Plantel N.28 Turno: matutino

Asignatura: matemáticas IV

Profesor(a): Jesús Enrique Garcés Rodríguez

Grado Grupo 4to“G”

Alumna: Kristel Itzel Gómez Fuentes

FUNCION

En matemáticas, una función, aplicación o mapeo f es una relación entre un conjunto dado X (el dominio) y otro conjunto de elementos Y (el codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento del codominio f(x). Se denota por:

Comúnmente, el término función se utiliza cuando el codominio son valores numéricos, reales o complejos. Entonces se habla de función real o función compleja mientras que a las funciones entre conjuntos cualesquiera se las denomina aplicaciones.

Una función puede considerarse como un caso particular de una relación o de correspondencia matemática. Cada relación o correspondencia de un elemento con un (y sólo un)

se denota , en lugar de

Al dominio también se le llama conjunto de entrada o conjunto inicial. Se denota por o . A los elementos del dominio se les llama habitualmente argumento de la función.

Al codominio, también llamado, conjunto de llegada, conjunto final o rango de f se le denota por

o codomf

Si x es un elemento del dominio al elemento del codominio asignado por la función y denotado por f(x) se le llama valor o imagen de la función f de x. Al subconjunto del codominio formado por todos los valores o imágenes se le llama imagen, alcance o recorrido de la función. Se denota por o o

.

Una preimagen de un es algún tal que .

Note que puede haber algunos elementos del codominio que no sean imagen de un elemento del dominio, pero que cada elemento del dominio es preimagen de al menos un elemento del codominio.

La función definida por , tiene como dominio, codominio e imagen a todos los números reales

Para la función tal que , en cambio, si bien su dominio y codominio son iguales a , sólo tendrá como imagen los valores comprendidos entre 0 y +∞ que sean el cuadrado de un número real.

En la figura se puede apreciar una función , con

Note que a cada elemento de X le corresponde un único elemento de Y. Además, el elemento a de Y no tiene origen, y el elemento b tiene dos (el 1 y el 4). Finalmente,

Esta función representada como relación, queda:

f (x)f

(3)f (1)1 3 x

y

x

Rango

Dominio

y = f (x)

x

y

Representación de funciones

Las funciones se pueden presentar de distintas maneras:

usando una relación matemática descrita mediante una expresión matemática: ecuaciones de la forma y = f(x). Cuando la relación es funcional, es decir satisface la segunda condición de la definición de función, se puede definir una función que se dice definida por la relación, A menos que se indique lo contrario, se supone en tales casos que el dominio es el mayor posible (respecto a inclusión) y que el codominio son todos los Reales. El dominio seleccionado se llama el {\rm dominio naturl],} de la función.

Ejemplo: y=x+2. Dominio natural es todos los reales. Ejemplo: "Para todo x, número entero, y vale x más dos unidades".

La gráfica de una función f nos da una imagen útil del comportamiento de una función. La gráfica de f también nos permite tener una imagen del dominio y contradominio de una función, sobre el eje x e y, respectivamente.

La gráfica de una función es una curva en el plano xy.

Prueba de la recta vertical. Una curva en el plano xy es la gráfica de una función de x si y sólo si ninguna recta vertical se intercepta con la curva más de una vez.

La curva es la gráfica de una función

La curva no es la gráfica de una función

TIPOS DE FUNCION

Función inyectiva:

una función es inyectiva si a cada valor del conjunto (dominio) le corresponde un valor distinto en el conjunto

(imagen) de . Es decir, a cada elemento del conjunto A le corresponde un solo valor tal que, en el conjunto A no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.

Así, por ejemplo, la función de números reales , dada por no es inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como f(2) y f( − 2). Pero si el dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función

entonces sí se obtiene una función inyectiva.

Una función es inyectiva cuando se cumple alguna de las dos afirmaciones equivalentes:

Si x1,x2 son elementos de tales que f(x1) = f(x2), necesariamente se cumple x1 = x2.

Si x1,x2 son elementos diferentes de , necesariamente se cumple

Función sobreyectiva:

una función es sobreyectiva (epiyectiva, suprayectiva, suryectiva o exhaustiva), si está aplicada sobre todo el codominio, es decir, cuando la imagen , o en palabras más sencillas, cuando cada elemento de "Y" es la imagen de como mínimo un elemento de "X".

Formalmente,

Funciónes creciente y decreciente:

Una función     es estrictamente creciente en un intervalo   , si para dos valores cualesquiera del intervalo,

  y   , se cumple que:

Cuando en la gráfica de una función estrictamente creciente nos movemos hacia la derecha también nos movemos hacia arriba:

Una función     es estrictamente creciente en el punto de abcisa     si existe algun número positivo     tal que     es estrictamente creciente en el intervalo   .

De esta definición se deduce que si     es derivable en     y   es estrictamente creciente en el punto de abcisa   , entonces   .

Una función   es estrictamente decreciente en un intervalo   , si para dos valores cualesquiera del intervalo,

  y   , se cumple que:

Cuando en la gráfica de una función estrictamente decreciente nos movemos hacia la derecha tambien nos movemos hacia abajo:

Una función     es estrictamente decreciente en el punto de abcisa     si existe algun número positivo     tal que     es estrictamente decreciente en el intervalo   .

De esta esta definición se deduce que si     es derivable en     y     es estrictamente decreciente en el punto de abcisa , entonces   .

Función constante:

Se llama función polinómica de grado cero o función matemática constante a la que no depende de ninguna variable, se la representa de la forma:

Donde a es la constante.

Como se puede ver es una recta horizontal en el plano xy, en la gráfica la hemos representado en el plano, pero, como se puede ver la función no depende de x, si hacemos:

Tenemos:

donde a tiene un valor constante, en la gráfica tenemos representadas:

Como la variable dependiente y no depende de x tenemos que:

la variación de y respecto a x es cero.

Funciones continua y discontinua:

Una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo, es decir, si no presenta puntos de discontinuidad.

Una función es discontinua si tiene puntos en los cuales una pequeña variación de la variable independiente produce un salto en los valores de la variable dependiente. A estos puntos se les denomina puntos de discontinuidad.

Los puntos de discontinuidad pueden ser de dos tipos:

Puntos en los que la función no está definida, es decir, los puntos que no pertenecen al dominio de la función, gráfica a.

Puntos en los que la gráfica presenta un salto, gráfica b

a b

Funciones par e impar:

El término función par suele referirse a una clase especial de funciones de variable real: una función es una función par si para se cumple la relación

.

Las gráficas de dichas funciones son simétricas respecto al eje vertical y.

La definición anterior puede generalizarse a funciones sobre dominios más generales. Si A es un conjunto con cierta estructura algebraica en la que existan inversos aditivos (por

ejemplo, los números complejos C), una función par sería toda aquella función que cumpla

.

Aunque asimétrica a primera vista, dicha definición de función par presupone que si entonces necesariamente (de lo contrario no se podría establecer una igualdad).

Función impar a la que para todo x perteneciente al Dominio de D de la función, se cumple que:

Con lo que se produce una simetría con respecto al origen de coordenadas. De la misma manera para toda función impar definida en el punto "0" se tiene que f(0)=0.

La función impar también significa que la x tiene que ir separada de la y para no alterar las operaciones algebraicas que se van sugiriendo en las matemáticas por lo cual, seria: x=y

Función raíz cuadrada simple:

Es una función cuyo dominio es el conjunto de los reales positivos con el cero y el  codominio es el conjunto de los números reales. Su fórmula es:

¦: [0; +¥ ) ® Â / ¦ (x) = Ö(x)

Clasificación:

La función raíz cuadrada es inyectiva pero no sobreyectiva porque:

1. A elementos distintos corresponden imágenes distintas;

2. El conjunto Imagen de la función es  [0; +¥ )  y su Codominio es el conjunto de los números reales, por lo tanto existen elementos de él que no tienen preimágen.

Es estrictamente creciente.

La función raíz cuadrada no es par ni impar pues los elementos del dominio no verifican ninguna de las dos definiciones.

Función identidad:

La función de en tiene como representación gráfica en el eje de coordenadas la línea recta que cruza el origen subiendo en un ángulo de 45° hacia la derecha.

La función identidad en (el plano de los reales tomando las coordenadas polares) es la función determinada por la ecuación r = θ: una espiral que se aleja del origen uniformemente en el sentido contrario a las agujas del reloj.

La función identidad en es la doble negación, expresada por .

Función polinomial:

Una función f es una función polinomial si es de la forma

1f (x) = an x + an−1 x+ · · · + a1x + a0 .

• n es un número natural y se llama el grado del polinomio.

• Los números an, a n−1, · · · , a 1, a0 son números reales y son

los coeficientes del polinomio. Se pide que an 6= 0.

• Dominio de f : Todos los números reales.

• Un punto de alternancia es un punto que separa una parte

creciente de una decreciente o viceversa.

• Un cero de un polinomio es el punto r en su dominio tal

que f (r) = 0.

• Un polinomio de grado n tiene a lo más (n − 1) puntos de

alternacia y a lo más n ceros.

• Si r es un cero de un polinomio

P (x) = xn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0 ,

entonces |r| < 1 + max {|an−1 | , |an−2| , . . . , |a1| , |a0|} .

• Casos particulares de polinomios son las rectas y las parábolas.

Función irracional:

Las funciones irracionales son aquellas cuya expresión

matemática f(x) presenta un radical:

 donde g(x) es una función polinómica o una función racional.

Si n es par, el radical está definido para g(x) ³ 0; así que a los efectos de calcular el dominio de f(x) que contenga un radical, habrá que imponer la condición anterior al conjunto de la expresión f(x).

Función exponencial:

Es una función real que tiene la forma de f(x)=ex. Toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales. Además la función exponencial es la función inversa del logaritmo natural. Esta función se denota equivalentemente como f(x)=ex ó exp(x),

donde e es la base de los logaritmos naturales. Tiene la particularidad de que si su base es el numero de euler su derivada es la misma función.

En términos generales, una función real F(x) es de tipo exponencial si tiene la forma

siendo números reales, . Se observa en los gráficos que si a > 1 la curva será creciente.

Introducción a los logaritmos:

Se llama logaritmo en base a del número x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho número.

que se lee : "el logaritmo en base a del número x es b" , o también : "el número b se llama logaritmo del número x respecto de la base a " .

Como podemos ver, un logaritmo no es otra cosa que un exponente , hecho que no debemos olvidar cuando trabajemos con logaritmos.

La constante a es un número real positivo distinto de 1, y se denomina base del sistema de logaritmos. La potencia ab

para cualquier valor real de b solo tiene sentido si a > 0.

La función logarítmica (o función logaritmo) es una aplicación biyectiva del conjunto de los números reales positivos, sin el cero, en el conjunto de los números reales :

Función logarítmica:

Se llama función logarítmica a la función real de variable real :

La función logarítmica es una aplicación biyectiva definida de R*

+ en R :

o La función logarítmica solo está definida sobre los números positivos.

o Los números negativos y el cero no tienen logaritmo o La función logarítmica de base a es la recíproca de

la función exponencial de base a. o Las funciones logarítmicas más usuales son la de

base 10 y la de base e = 2’718281...

Debido a la continuidad de la función logarítmica, los límites de la forma

se hallan por medio de la fórmula :

Función definida por partes:

La función por partes es una de las funciones básicas. El nombre se deriva de su forma. Cuando una función está definida usando dos o más ecuaciones se dice que está definida por partes. La función por partes tiene la forma :

)x(fdeiomindo)x(f.

.

.

.

.

.)x(fdeiomindo)x(f

)x(fdeiomindo)x(f

)x(f

nn

22

11

2xparax

2xparax)x(f

2

Observa que f (x) está definida en dos partes:

2xesiomindosuyx)x(f 21

2xesiomindosuyx)x(f2

Observa que ambas partes son funciones ya conocidas, la cuadrática simple e indica que se usa para valores mayores o iguales que dos, la identidad e indica que se usa para valores menores que dos.

Función valor absoluto:

Función entero mayor o función escalonada:

Una función escalonada es aquella cuya gráfica tiene la forma de una escalera o una serie de escalones (que no necesariamente deben ser crecientes) al ser dibujada. El ejemplo más común de función escalonada es la función parte entera. Otras funciones escalonadas son la función unitaria de Heaviside o función escalón unitario, y la función signo.

La composición de cualquier función escalonada s(x) y una función cualquiera f(x) da por resultado una función escalonada g(x) = f(s(x)), siempre que f(x) esté definida para cualquier valor de x en el rango de s(x).

Evidentemente, la derivada de una función escalonada es 0 en cualquier punto en que se halle definida. No puede definirse en los puntos en que hay discontinuidades.

Función compuesta:

Una función compuesta es una función formada por la composición o aplicación sucesiva de otras dos funciones. Para ello, se aplica sobre el argumento la función más próxima al mismo, y al resultado del cálculo anterior se le aplica finalmente la función restante.

Formalmente, dadas dos funciones f: X → Y y g: Y → Z, donde la imagen de f está contenida en el dominio de g, se define la función composición (g ο f ): X → Z como (g ο f)(x) = g (f(x)), para todos los elementos x de X.

A g ο f se le llama composición de f y g. Nótese que se nombra no siguiendo el orden de escritura, sino el orden en que se aplican las funciones a su argumento.

La función compuesta está bien definida, pues cumple con las dos condiciones de existencia y unicidad, propias de toda función:

1. Condición de existencia: dado x, conocemos (x, f(x)), puesto que conocemos la función f, y dado cualquier elemento y de B conocemos también (y, g(y)), puesto que conocemos la función g. Por tanto, (x, g( f(x)) ) está definido para todo x, y así (g ο f) cumple la condición de existencia.

2. Condición de unicidad: como f y g son funciones bien definidas, para cada x el valor de f(x) es único, y para cada f(x) también lo es el de g( f(x)).

Función inversa:

Se define que una función f es una función uno a uno,  si y solo si cada elemento del rango de f está asociado con exactamente a un elemento de su dominio x. En general, una función f es uno a uno si cada elemento del recorrido de la función es imagen de un único elemento del dominio.

             Es precisamente esta propiedad la que se requiere para que la “regla de inversión” sea una función. Es recomendable antes de tratar de hallar la inversa de una función, determinar si la función dada es uno a uno.

             Gráficamente una función es uno a uno si solo si ninguna recta horizontal corta su gráfica mas de una vez.

            Sea f una función uno a uno, con dominio X y recorrido Y. La inversa de f  es una función g con dominio Y y recorrido X; para lo cual:

  f(g(x)) para cada x en Y

g(f(x))   para cada y en X

Es decir:

f(f -1(x))= xf -1(f(x)) = x

O sea, a la función inversa de f, se le llama  f -1, y se cumple que: 

Si f(a)=b ------------------------->   f -1(b)=a

Como consecuencia se dan las relaciones siguientes:

(f -1 º f)(x)=x                    (f º f -1)(x)=x

Método para hallar f -1, para una función uno a uno.

1.      Desarrolle la composición de f y f -1, esto es  f(f -1(x)).

2.      Desarrolle la ecuación   f(f -1(x)) = x.3.      Resuelva la ecuación   f(f -1(x))= x., despejando f –1(x).

Traslaciones verticales:

Traslaciones horizontales

Reflexión con respecto al eje x:

Contracciones y expansiones:

Funcion lineal y cuadratica:

Función lineal:

Una aplicación lineal (también llamada función lineal, transformación lineal u operador lineal) es una aplicación entre dos espacios vectoriales, que preserva las operaciones de suma de vectores y producto por un escalar. El término función lineal se usa incorrectamente en análisis matemático y en geometría para designar una recta, un plano, o en general una variedad lineal.

Son aplicaciones lineales los operadores usados en la formulación matemática de la mecánica cuántica.

Tomados dos puntos de una recta, la pendiente , es siempre

constante. Se calcula mediante la ecuación:

Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente:

Variación directamente proporcional:

Supóngase que una variable q es directamente proporcional a una variable z.

(a) Si q = 12 cuando z = 5, calcule la constante de proporcionalidad.

(b) Determinar el valor de q cuando z = 7.

Función cuadrática:

Una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica que se define mediante un polinomio de segundo grado como:

Donde a, b y c son constantes y a es distinto de 0.

La representación gráfica en el plano XY haciendo:

esto es:

es una parábola vertical, orientada hacia arriba o hacia abajo según el signo de a.

Ejemplos de funciones cuadráticas

a. f (x) =-2x 2 + x - 1 b. f (x) = x 2 + 3x + 2

ecuación en la forma estándar o vértice:

Cualquier función cuadrática puede ser escrito en el formulario normalizado. f (x) = a (x - h) 2 + k

en donde h y k se dan en términos de los coeficientes a, b y c.

Comencemos con la función cuadrática en forma general y completa de la plaza de reescribir en forma estándar.

Dada la función f (x) f (x) = ax 2 + bx + c

factor de coeficiente a de los términos en x 2 y x f (x) = a [x 2 + (b / a) x] + c

de sumar y restar (b/2a) 2 dentro de los paréntesis f (x) = a [x 2 + (b / a) x + (b/2a) 2 - (b/2a) 2] + c

Tenga en cuenta que x 2 + (b / a) x + (b/2a) 2

puede ser escrito como [x + (b/2a)] 2

Ahora escribir f de la siguiente manera f (x) = a [x + (b/2a)] 2 - a (b/2a) 2 + c

que puede ser escrito como f (x) = a [x + (b/2a)] 2 - (b 2 / 4a) + c

Esta es la forma estándar de una función cuadrática con la

h = b / (2a)

k = c - b 2 / 4ª

Cuando se grafica una función cuadrática, la gráfica o bien tendrá un máximo o un punto mínimo llamado el vértice. Las coordenadas x e y del vértice están dadas por H y K, respectivamente.

Ejemplo: Escribir la función cuadrática f dada por f (x) = -2x 2 + 4x + 1 en la forma estándar y encontrar el vértice de la gráfica.

la tubería de recolección de la Solución

dada la función f (x) = -2x 2 + 4x + 1

factor de -2 a cabo f (x) = -2 (x 2 - 2x) + 1

Ahora dividimos el coeficiente de x que es de -2 por 2 y que le da -1. f (x) = -2 (x 2 - 2x + (-1) 2 - (-1) 2) + 1

sumar y restar (-1) 2 dentro de los paréntesis f (x) = -2 (x 2 - 2x + (-1) 2) + 2 + 1

grupo como los términos y escribir en la forma estándar f (x) = -2 (x - 1) 2 + 3

Lo anterior da h = 1 y k = 3.

H y K también se puede encontrar usando las fórmulas para H y K obtenido anteriormente. h = -b/2a = -4 / (2 *- 2) = 1

k = c - b 2 / (4a) = 1 - 4 2 / (4 *- 2) = 3

El vértice de la gráfica se encuentra en (1,3).

Máximos y minimos de una función cuadrática:

  En un conjunto de números reales X, máximo es un número M que pertenece a X tal que todo otro número de X es menor que M; y mínimo es un número m que pertenece a X y tal que todo otro número de X es mayor que m. No todo conjunto X

de números reales posee un máximo (o mínimo). Así, conjunto de los números x tales que1<XDada una función (v.) real definida en un conjunto C (v. CONJUNTOS, TEORÍA DE), el máximo y el mínimo del conjunto de valores de la función, cuando existen, se denominan, respectivamente, máximo y mínimo absolutos de la función; es decir, g es el máximo absoluto (mínimo absoluto) de la función f(x) definida en un conjunto C cualquiera y cuyos valores son números reales, si existe un elemento a en C en el que es             g=f(a)             y, además, para todo x de C es            f(x)S1£ (ó f(x)'g)            No toda función real tiene máximo (mínimo); así, la función                         y=x             definida en el conjunto

Dominio y rango de una función cuadrática:

Una función cuadrática es una función de la forma f(x) =ax2 + bx + c, con a diferente de cero, donde a,b y c son números reales. La gráfica de una función cuadrática es una parábola. Si a>0 entonces la parábola abre hacia arriba y si a<0 entonces la parábola abre hacia abajo. El dominio de una función cuadrática es el conjunto de los números reales. El vértice de la parábola se determina por la fórmula: 

b

af

b

a2 2, .

 

0

5

10

15

20

-5 0 5

 f(x) = x2 es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola que abre hacia arriba, pues a>0. El vértice es (0,0). El dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es cero y los reales positivos. La gráfica de una función que luce como la de f(x) = x2 es cóncava hacia arriba.  

-20

-15

-10

-5

0

-5 0 5

 f(x) = -x2 es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola que abre hacia abajo, pues a<0. El vértice es (0,0). El dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es el conjunto de los números reales negativos y el cero. La gráfica de una función que luce como f(x) = -x2 es cóncava hacia abajo. Nota:El eje de simetría es x = h, donde h es la abscisa del vértice de la parábola, paralelo al eje de y.  

Operaciones con funciones:

Función Suma

Dadas dos funciones f(x) y g(x) cualesquiera, la suma de

, denotada por , es otra función definida por

.

El dominio de es la intersección de sus respectivos dominios.

Ejemplo   Dadas dos funciones definidas en los reales por

y , determinar f(x)+g(x), e igualmente su dominio:

=

Como podemos observar el y , luego

sera intersección de los dos dominios; por consiguiente:

Resta de funciones:

Dadas dos funciones f(x) y g(x) cualesquiera, la diferencia de

f(x) y g(x) denotada por , es otra función definida por

El dominio de es la intersección de sus respectivos dominios.

Ejemplo 2   Dadas dos funciones , y ,

definidas en los reales, determinar e igualmente su dominio:

Multiplicación de funciones:

La multiplicación de dos funciones f y g es otra función f ·g, cuyas imágenes se obtienen multiplicando las imágenes de f y g.

Si las funciones vienen definidas por una fórmula, la función resultante tiene como expresión analítica el producto de dichas fórmulas.

Por ejemplo, sean f(x) = x + 2 y g(x) = x2, entonces la función producto es h(x) = (f ·g) (x) = (x + 2) · x2 = x3 + 2x2

División de funciones:

La división de funciones que se denota por F(x)/G(x)=F(x)/G(x). Ejemplo:1.-Sean las funciones F(x)=x3-1 y g(x)=x-1; hallar F(x)/G(x) =x3-1/x-1=(x-1)(x2+x+1)/x-1=x2+x+1

Composición de funciones:

Sean f(x) y g(x) dos funciones con sus respectivos dominios Df y Dg ,

entonces la función f(x) compuesta con g(x) es dada por:

))(()( xgfxgf

Conclusion:

Pues dice que la función es cuando X es un elemento del dominio relacionado con un conjunto de elementos en Y, el cual es una relación de función en donde se denomina valores de Y los cuales se les denomina función.

La grafica de funciones es cuando Y=F(X) osea el conjunto de todos los puntos en el plano cartesiano de la forma (X.F(X)) donde X esta en el dominio F.

La recta vertical es la grafica de una función es una curva en plano XY

También hay diferentes tipos de funciones una de ellas es la:

Inyectiva que es aquella que si trazas el plano cartesiano y dibujas una línea horizontal y vertical y si solo atraviesa en un punto es una función inyectiva.

Entendí que la sobreyectiva es cuando a un elemento de Y le corresponde un elemento de X.

Función creciente es el intervalo que su resultado tiene que ser mayor que 0,la función creciente al moverse a la derecha al mismo tiempo se mueve hacia arriba. Y la decreciente es aquella que debe tener como resultado igual o menor a 0 y el decreciente al moverse a la derecha esta se mueve hacia abajo.

La función constante es la que no depende de ninguna variable en el plano XY, haces una recta horizontal donde la función no dependa de X, esta función tendrá una función constante.

La función continua es la línea o recta que no debe tener puntos de discontinuidad.

Una función discontinua tiene dos puntos los cuales separan a la línea o recta y pues hacen una separación en esta.

Función par una función par es aquella que para X €R se cumple la relación: (F(X)=F (-X) la grafica de esta función debe ser simétrica respecto al eje vertical Y.

Función impar es cuando X pertenece al dominio de D de la función. Esta produce una simetría con respeto al origen de coordenada la X en esta función debe estar separada de la X.

La función raíz cuadrada simple es una función la cual el dominio es el conjunto de los reales positivo con el cero y codominio es el conjunto de los números reales. La función raíz cuadrada debe ser inyectiva es estrictamente creciente y no es par ni impar ya que el dominio no verifican ninguna de las dos definiciones.

La función identidad es aquella que está representada en la grafica en el eje de coordenadas la línea recta que cruza el origen subiendo un ángulo de 45° hacia la derecha.

Función polinomial es aquel valor de la función de X y puede tener varios valores a si como en una recta o parábola.

Función irracional la cual tiene una expresión matemática presenta un radical donde g(x) es una función polinomica o una función racional.

Función exponencial es la que tiene por dominio la definición el conjunto de los números reales también es la función inversa de un logaritmo natural.

Un logaritmos para mi es el exponente de cualquier numero elevado a X y una función logarítmica es la función real de variable real es una aplicación biyectiva una función logarítmica tiene que ser mayor que cero y positivo.

Función definida por partes esta función se llama definida por partes por que es cuando se usan dos o más ecuaciones.

Función valor absoluto la imagen de esta debe ser positiva para representar hay que descomponerla.

Función escalonada es la grafica que tiene la forma de una escalera.la composición de cualquier función escalonada y una función cualquiera dará por resultado una función escalonada.

Función compuesto es aquella que está formada por la unión sucesiva de otras dos funciones

La función inversa es cuando una función F es una función uno a uno si cada elemento del recorrido de la función es imagen de un único elemento del dominio

La traslación vertical se obtiene moviendo la función abajo y hacia arriba y la traslación horizontal se obtiene moviendo la grafica de la función hacia la izquierda o derecha.

Esta también la reflexión respecto al eje X que se obtiene llevando la grafica los pares ordenados (Y,-Y).

Las expansiones y contracciones son si F(X) es una función se obtiene una expansión y si C>1, la grafica se expande y al mismo tiempo la grafica se contrae.

La función lineal es cuando una aplicación entre dos espacios vectoriales, es como una recta, un plano o en general una variedad lineal, las ecuaciones lineales

Y=mx+b

m es la pendiente b es el intercepto en Y

El punto pendiente es Y-Y1=m(x-x1) m es la pendiente(x1-y1) un punto que satisface la función.

Función cuadrática polinomica que se define mediante un polinomio tiene 2 tipos de ecuación estándar o vértice.

Sus máximos y mínimos de una función cuadrática si a >0 entonces la función cuadrática tiene un valor mínimo y si a<0 entonces la función cuadrática tiene un valor máximo.

El dominio y rango de una función cuadrática es el dominio de una función cuadrática el conjunto de los números reales; mientras que su rango depende de si el vértice existe el valor máximo o minimo. Si a>0 entonces la parábola abre hacia arriba y si a<0 entonces la parábola la abre hacia abajo.

Todas estos conceptos o definiciones no ayudan de alguna u otra manera aplicarlas en nuestra vida cotidiana o en un futuro ya que estas funciones se interrelacionan con otras ciencias.