UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN

ESCUELA DE GRADUADOS

CONCEPCIÓN-CHILE

ALGEBRAY

TRIGONOMETRIA

Myriam Ortega Saavedra, Miryam Vicente Parada y otros.

FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICASDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 2003

Índice general

FUNCIONES Y GRAFICAS II

0.1. FUNCIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii0.2. FUNCIONES REALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v0.3. OPERACIONES CON FUNCIONES . . . . . . . . . . . . . . xvii0.4. FUNCION INVERSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxi0.5. FUNCION EXPONENCIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxvii0.6. FUNCION LOGARITMICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxix0.7. EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxxiv

i

FUNCIONES Y GRAFICAS

0.1. FUNCIONES

De�nición 0.1.1 Sean A y B dos conjuntos no vacíos. Se llamaFUNCION DE A en B a toda ley o regla que asigna a cada elemento deA un único elemento de B:

Es común usar las letras f; g; h; F; �; ::: para designar funciones.Para indicar que f es una función de A en B se escribe:

f : A! B

Para indicar que a un elemento x de A, la función f le asocia un soloelemento y de B; se escribe:

x 7! f (x) = y;

o más simplemente:f (x) = y:

Es decir:

f : A! B , 8 x 2 A;9! y 2 B tal que f (x) = y

El elemento y se llama IMAGEN de x por f o también se dice que y esEL VALOR DE f en x o que y es la VARIABLE DEPENDIENTE.El elemento x se llama PRE-IMAGEN de y por f o VARIABLE INDE-PENDIENTE.El conjunto A se llama DOMINIO de f y se denota por Dom (f) ; el

conjunto B se llama CODOMINIO de f y se denota por Cod (f) :

ii

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá�cas iii

El conjunto de los valores que toma f en los elementos de A se llamaconjunto imagen o RECORRIDO de f y se denota por Rec (f) ; es decir:

Rec (f) = ff (x) 2 B : x 2 Ag= fy 2 B : 9 x 2 A tal que f (x) = yg :

Ejemplo 0.1.1 La fórmula familiar de geometría

A (r) = �r2; (r > 0)

describe el área de un círculo en función del radio. Es decir,

A : R+ ! R+; r 7! A (r) = �r2:

Ejemplo 0.1.2 F = 32+ 95C expresa la temperatura de un cuerpo en grados

Fahrenheit, F, en función de su temperatura en grados Celsius, C.

F : R! R; C 7! F (C) = 32 +9

5C:

Ejemplo 0.1.3 Sea

g : N ! Zn 7! g (n) = 2n+ 1

entonces la imagen por g de 3 es g (3) = 7; la preimagen de 7 por g es 3.

1. Observe que todo número del dominio de g, es decir, todo número natu-ral, tiene imagen en Z. Sin embargo, no todo número en Z tiene unapreimagen por g.

Por ejemplo: 8 2 Z y no existe n 2 N tal que g (n) = 2n + 1 = 8; yaque se debería tener n = 7

2pero 7

2=2 N:

4) La ley que asocia a cada número real su inverso multiplicativo, no esuna función de R en R pues el cero no tiene inverso multiplicativo.Para obtener una función se debe considerar como dominio el conjuntoR n f0g ; así

f : R n f0g ! Rx 7! f (x) = 1

x

es una función, ya que todo número no nulo tiene un único inversomultiplicativo.

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá�cas iv

5) Sean A y B dos conjuntos no vacíos y b 2 B; b �jo. La función f de Aen B con Rec (f) = fbg ; es decir,

f : A ! Ba 7! f (a) = b

se llama FUNCION CONSTANTE de valor b.

6) Sea A un conjunto no vacío. La función de�nida por f : A! A tal quef (x) = x se llama FUNCION IDENTICA en A y se denota porIA:

De�nición 0.1.2 Una función de A en B, f : A! B; es:

1) SOBREYECTIVA: Si Rec (f) = B:

2) INYECTIVA: Si elementos diferentes de A tienen imágenes difer-entes en B; o sea si:

8 x1; x2 2 A; x1 6= x2 ) f (x1) 6= f (x2) ;

o lo que es equivalente:

8 x1; x2 2 A; f (x1) = f (x2)) x1 = x2

3) BIYECTIVA: Si es sobreyectiva e inyectiva a la vez.

Observación 0.1.1 f no es inyectiva si y sólo si existen x1 2 A; x2 2 A;x1 6= x2; tales que f (x1) = f (x2) :

Ejemplo 0.1.4 1.

2. La función idéntica de un conjunto A es biyectiva ¿Por qué?

3. Una función constante normalmente no es biyectiva ¿Por qué?

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá�cas v

0.2. FUNCIONES REALES

El concepto de función no impone condiciones a la clase o especiede objetos que pertenecen al dominio o codominio. En particular, dominio ycodominio no son necesariamente conjuntos de números. Sin embargo, nues-tro interés se centra casi exclusivamente en funciones cuyos dominios y codo-minios son subconjuntos del conjunto de los números reales. Estas son lasfunciones a valores reales de variable real o FUNCIONES REALES.Además, si bien la ley que de�ne la función no está dada generalmente

por una fórmula o ecuación, la mayoría de las funciones con las cuales tra-bajaremos serán de este tipo.

Observación 0.2.1 :

1) Una función está deteminada por su dominio, codominio y ley de aso-ciación.

2) Si el dominio de una función real no está especi�cado, se conviene enque es el mayor subconjunto del conjunto de los números reales a loscuales la ley les asigna como imagen un número real (es decir, para loscuales la ley tiene sentido):

3) Si el codominio no se especi�ca se subentenderá que es el conjunto delos números reales.

De�nición 0.2.1 Dos funciones f y g son IGUALES si y sólo si:

Dom (f) = Dom (g)Cod (f) = Cod (g)

yf (x) = g (x) ; 8 x 2 Dom (f)

Ejemplo 0.2.1 :

1) Si f (x) = 3x� 2 y g (x) = 6x�42; entonces f = g:

2) Si f (x) = xx

y g (x) = 1; entonces f 6= g: ¿Por qué?.

De�nición 0.2.2 Sea f : A! B y C � A:La función g : C ! B; g (x) = f (x) se llama RESTRICCION DE

f a C. Se suele denotar g = f=C :

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá�cas vi

Nota: Por abuso de lenguaje suele denotarse la restricción de f a unsubconjunto del dominio, simplemente, por f:

De�nición 0.2.3 Sea f una función real. Se llama GRAFICO de f alconjunto

Gr (f) = f(x; y) 2 R� R : y = f (x)g

Ejemplo 0.2.2 :

1) Sea f (x) = x: Se puede considerar a R como el Dom (f) ; entonces laimagen de cualquier número es el mismo número y Rec (f) = R: Luegola función idéntica es sobreyectiva.

52 .50-2 .5-5

5

2 .5

0

-2 .5

-5

x

y

x

y

Además, cualesquiera sean x1 2 R y x2 2 R;

f (x1) = f (x2)) x1 = x2;

por lo tanto, la función f es también inyectiva.

2) Si f (x) = x2; el dominio es el conjunto de todos los números reales yel recorrido es el conjunto de todos los números reales no negativos.

52.50-2.5-5

5

3.75

2.5

1.25

0

x

y

x

y

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá�cas vii

En efecto,

y 2 Rec (f) , 9 x 2 Dom (f) y f (x) = y, 9 x 2 R e y = x2

, 9 x 2 R y x = �py, y � 0:

Luego, Rec (f) = R+ [ f0g :Como Cod (f) = R y Rec (f) = R [ f0g ; f no es sobreyectiva. ¿Esf inyectiva?

Si x1 2 R; x2 2 R y f (x1) = f (x2) ; entonces x21 = x22;

luego x21 � x22 = 0: Por lo tanto, (x1 � x2) (x1 + x2) = 0, de dondex1 = x2 _ x1 = �x2:Es decir, no necesariamente x1 = x2: Luego f no es inyectiva. Paraprobar la no inyectividad, basta exhibir un contraejemplo. En la funciónanterior se tiene:

f (2) = f (�2) = 4 y 2 6= �2

Por lo tanto la función f no es biyectiva.

OBSERVACION: Se vio que la función f (x) = x2 no es inyectivaen R. Si consideramos a R+ [ f0g como dominio, se tiene que

g : R+ [ f0g ! Rx 7! g (x) = x2

es inyectiva. Así, g; la restricción de f a R+ [ f0g es inyectiva.

1. Sea f (x) =px; x � 0:

52.50-2.5-5

5

3.75

2.5

1.25

0

x

y

x

y

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá�cas viii

¿Es f biyectiva?

Para quepx sea un número real, x debe ser un número real no neg-

ativo. Además, todo número no negativo es una raíz cuadrada, luegoel dominio y el recorrido son el mismo conjunto: el conjunto de losnúmeros reales no negativos.

En efecto, claramente Dom (f) = R+ [ f0g ; ahora determinemos elrecorrido de f :

y 2 Rec (f) , 9 x 2 R+ [ f0g e y =px

, 9 x 2 R+ [ f0g ; x = y2; y � 0, y2 2 R+ [ f0g ; y � 0, y � 0

) Rec (f) = R+ [ f0g

Luego, f no es sobreyectiva y por lo tanto no es biyectiva.

Observemos que f es inyectiva:

Si x1 2 R+ [ f0g ; x2 2 R+ [ f0g y f (x1) = f (x2) ; entonces

px1 =

px2 )

�px1�2=�px2�2

) x1 = x2

) f es inyectiva.

Luego, f no es biyectiva.

4) Sea f (x) = 1x; x 6= 0:

52.50-2.5-5

5

2.5

0

-2.5

-5

x

y

x

y

Luego, Dom (f) = R n f0g : Además, todo número real distinto de ceroes el recíproco (inverso multiplicativo) de algún número real no nulo

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá�cas ix

¿por qué?. Luego, el recorrido es el conjunto R n f0g : ComoCod (f) = R; es evidente que la función no es sobreyectiva. Es fácilveri�car la inyectividad.

f (x) = 1xde�ne la FUNCION RECIPROCA.

5) Sea f (x) = jxj =�

x; x � 0�x; x < 0

52.50-2.5-5

5

3.75

2.5

1.25

0

x

y

x

y

El dominio de f es R. Como jxj � 0; 8 x 2 R; el recorrido de f esR+ [ f0g :OBSERVACION: f (x) = jxj de�ne la FUNCION VALORABSOLUTO; f no es inyectiva. ¿Por qué?.

6) Sea f (x) = [x] ; llamada función PARTE ENTERA. El símbolo [x]indica el mayor entero menor o igual que x.

210-1-2

2

1

0

-1

-2

x

y

x

y

Por ejemplo:

[5] = 5; [8;2] = 8; [�] = 3; [�1;4] = �2:En general:

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá�cas x

Si �2 � x < �1; entonces [x] = �2:Si �1 � x < 0; entonces [x] = �1Si 0 � x < 1; entonces [x] = 0Si 1 � x < 2; entonces [x] = 1

y así sucesivamente.

El dominio de f es R y el recorrido de f es Z. Observe que la funciónparte entera no es inyectiva ni sobreyectiva.

7) Una función f (x) = anxn+an�1xn�1+:::+a1x+a0; con a0; a1; :::; an 2R; n 2 N [ f0g y an 6= 0; se llama FUNCION POLINOMIALDE GRADO n.

El dominio de una función polinomial es R: Si la función polinomial esde grado 1, su ecuación de de�nición es:

f (x) = a1x+ a0

y se llama FUNCION LINEAL. La función lineal es biyectiva. Sugrá�co es una recta con pendiente a1 que intersecta al eje Y en el punto(0; a0) :

420-2-4

4

2

0

-2

-4

x

y

x

y

Si la función polinomial es de grado 2 su ecuación de de�nición es:

f (x) = a2x2 + a1x+ a0

y se llama FUNCION CUADRATICA. No es inyectiva y su grá�coes una parábola.

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá�cas xi

Ejercicio 0.2.3 Averigüe si la función f (x) = x�1x2

es inyectiva en Rnf0g :Solución:

f (x1) = f (x2) ) x1�1x21

= x2�1x22

) x22x1 � x22 = x21x2 � x21) x22x1 � x21x2 � x22 + x21 = 0) x2x1 (x2 � x1)� (x22 � x21) = 0) (x2 � x1) (x2x1 � (x2 + x1)) = 0

)�

x2 = x1�o x2x1 � x2 � x1 = 0 (1)

Observemos que no necesariamente x2 = x1:

De (1) x2 (x1 � 1) = x1; haciendo x1 = 3 se obtiene x2 =3

2; y

f (x1) = f (3) =2

9

f (x2) = f

�3

2

�=

1

29

4

=2

9:

Así, existen x1; x2 en R n f0g ; x1 6= x2 y f (x1) = f (x2) : Luego, fno es inyectiva.

La de�nición de una función puede darse a través de varias igualdades,como lo ilustra el caso de las llamadas FUNCIONES DEFINIDAS PORTRAMOS.

Ejemplo 0.2.4 De�namos:

g (x) =

�x� 1 ; x � 2

� (x� 2)2 + 1 ; x > 2

52 .50-2 .5-5

2

0

-2

-4

-6

x

y

x

y

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá�cas xii

Dom (f) = R:f es inyectiva en (�1; 2] : ¡Comprobarlo!Veamos que también es inyectiva en (2;1) :

f (x1) = f (x2) ) � (x1 � 2)2 + 1 = � (x2 � 2)2 + 1) (x1 � 2)2 = (x2 � 2)2) jx1 � 2j = jx2 � 2j) x1 � 2 = x2 � 2; pues x1 > 2 y x2 > 2) x1 = x2:

Sin embargo, observemos que f (1) = f (3) = 0 y 1 6= 3:Por lo tanto f no es inyectiva en R:Comente y veri�que que Rec (f) = (�1; 1] :

De�nición 0.2.4 Una función f : A � R! R es:

1) ESTRICTAMENTE CRECIENTE en A si:

8x1; x2 2 A ; x1 < x2 ) f (x1) < f (x2)

2) ESTRICTAMENTE DECRECIENTE en A si:

8x1; x2 2 A ; x1 < x2 ) f (x1) > f (x2)

Ejemplo 0.2.5 1) f (x) = 3x+ 2 es estrictamente creciente en R.En efecto:

x1 < x2 ) 3x1 < 3x2) 3x1 + 2 < 3x2 + 2) f (x1) < f (x2)

(b) f (x) = �3x+ 2 es estrictamente decreciente en R.En efecto:

x1 < x2 ) �3x1 > �3x2) �3x1 + 2 > �3x2 + 2) f (x1) > f (x2)

Observación 0.2.2 Toda función estrictamente creciente (decreciente) esinyectiva.

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá�cas xiii

Demostración. Supongamos x 6= y entonces x < y ó x > y: Como fes estrictamente creciente,

x < y ) f (x) < f (y)

óx > y ) f (x) > f (y)

luego,f (x) 6= f (y) :

Por lo tanto,x 6= y ) f (x) 6= f (y)

y f es inyectiva.

De�nición 0.2.5 Una función f : A � R! R es:

1) PAR si y sólo si: x 2 A) �x 2 A y f (�x) = f (x) :

2) IMPAR si y sólo si: x 2 A) �x 2 A y f (�x) = �f (x) :

En particular cuando A = R resulta que:

1) f es PAR si y sólo si: f (x) = f (�x) ; 8 x 2 R.

2) f es IMPAR si y sólo si: f (�x) = �f (x) ; 8 x 2 R:

Ejemplo 0.2.6 :

1) f (x) = x2 es par.

En efecto:f (x) = x2 = (�x)2 = f (�x) ; 8x 2 R:

2) f (x) = x3 es impar.

En efecto:

f (�x) = (�x)3 = �x3 = �f (x) ; 8x 2 R:

Observemos que en general una función par no es inyectiva.

AYUDAS PARA GRAFICAR

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá�cas xiv

I: Si se conoce el grá�co de una función f entonces se puede conocer elgrá�co de una función g donde g (x) = f (x+ k) ; k constante.

El grá�co de g se obtiene trasladando el de f , en el sentido del eje de lasx, k unidades hacia la derecha si k < 0 y k unidades hacia la izquierdasi k > 0:

EJEMPLO: Gra�car g (x) = (x� 2)2 :Es conocido el grá�co de f (x) = x2; luego el grá�co de g es:

52.50-2 .5-5

7 .5

5

2.5

0

x

y

x

y

II: Si se conoce el grá�co de una función f entonces el grá�co de unafunción g de la forma g (x) = f (x) + k; donde k es constante, seobtiene del de f trasladándolo, en el sentido del eje de las y; k unidadeshacia arriba si k > 0 y k unidades hacia abajo si k < 0:

EJEMPLO: Gra�car g (x) = x2 � 2:Es conocido el grá�co de f (x) = x2; luego el grá�co de g es:

420-2-4

5

2 .5

0

-2 .5

x

y

x

y

III: Si se conoce el grá�co de una función f el grá�co de una función gde�nida por g (x) = �f (x) es el simétrico del de f respecto deleje X:

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá�cas xv

EJEMPLO: El grá�co de g (x) = �x2 es:

420-2-4

4

2

0

-2

-4

x

y

x

y

EJEMPLO: Gra�car f (x) = �x2 � 6x� 4:Como

�x2 � 6x� 4 = �x2 � 6x� 4= � (x+ 3)2 + 5

el grá�co de f se obtiene del de y = x2 como lo indican los siguientespasos:

0-1 .25-2 .5-3 .75-5

3 .7 5

2 .5

1 .2 5

0

-1 .25

x

y

x

y20-2-4-6 0

-2

-4

-6

-8

xy xy

0-2-4-6-8

5

2 .5

0

-2 .5

-5

-7 .5

-10

x

y

x

y

IV: El grá�co de una función par es simétrico respecto del eje Y: Es decir:

8 (x; y) (x; y) 2 Gr (f)) (�x; y) 2 Gr (f) :

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá�cas xvi

EJEMPLO: f (x) =px2 � 4:

52.50-2.5-5

6

4

2

0

-2

x

y

x

y

V: El grá�co de una función impar es simétrico respecto del origen. Esdecir:

8 (x; y) ; (x; y) 2 Gr (f)) (�x;�y) 2 Gr (f) :

EJEMPLO: f (x) = x3:

2.51.250-1.25-2.5

2.5

1.25

0

-1.25

-2.5

x

y

x

y

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá�cas xvii

0.3. OPERACIONES CON FUNCIONES

Sean f : A � R! R y g : B � R! R:

1) La función suma de f y g se denota f + g y se de�ne por:

f + g : A \B ! Rx 7! (f + g) (x) = f (x) + g (x)

2) La función producto de f y g se denota f � g y se de�ne:

f � g : A \B ! Rx 7! (f � g) (x) = f (x) � g (x)

3) La función cuociente de f y g se denota por f=g y se de�ne por:

f=g : A \B ! R

x 7! (f=g) (x) =f (x)

g (x)

siempre que g (x) 6= 0 8 x 2 A \B:

4) La función producto de una constante � por la función f sedenota �f y se de�ne:

�f : A ! Rx 7! (�f) (x) = �f (x)

siendo � un número real.

5) La función compuesta de f y g se denota por g � f y se de�ne por:

g � f : X ! Rx 7! (g � f) (x) = g (f (x))

donde

X = Dom (g � f) = fx 2 R : x 2 Dom (f) ^ f (x) 2 Dom (g)g

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá�cas xviii

Ejemplo 0.3.1 :

1) Seanf : A � R ! R

x 7! f (x) =px2 � 1

yg : B � R ! R

x 7! g (x) =p4� x2

Luego,A = Dom (f) = fx 2 R : f (x) 2 Rg

=�x 2 R :

px2 � 1 2 R

= fx 2 R : x2 � 1g= fx 2 R : jxj � 1g= ]�1;�1] [ [1;+1[

B = Dom (g) = fx 2 R : g (x) 2 Rg=�x 2 R :

p4� x2 2 R

= fx 2 R : 4� x2 � 0g= fx 2 R : 2 � jxjg= [�2; 2]

Por tanto,

Dom (f + g) = A \B = [�2;�1] [ [1; 2]

y(f + g) (x) =

px2 � 1 +

p4� x2:

Podemos gra�car sumando punto a punto

2.51.250-1.25-2.5

3

2

1

0

-1

x

y

x

y

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá�cas xix

2) Considere las funciones

f : [1;+1) ! Rx 7! f (x) =

px

yg : [0; 5] ! R

x 7! g (x) = x+ 3

entonces:

f + g : [1; 5] ! Rx 7! (f + g) (x) =

px+ x+ 3

f � g : [1; 5] ! Rx 7! (f � g) (x) =

px (x+ 3)

f=g : [1; 5] ! R

x 7! (f=g) (x) =

px

x+ 3

g � f : X ! R

donde

X = Dom (g � f) = fx 2 R : x 2 Dom (f) ^ f (x) 2 Dom (g)g= fx 2 R : x � 1 ^ 0 �

px � 5g

= fx 2 R : x � 1 ^ 0 � x � 25g= [1; 25] :

Luego:

g � f : [1; 25] ! Rx 7! (g � f) (x) = g (f (x)) = g (

px) =

px+ 3

f � g : X ! R

donde

X = Dom (f � g) = fx 2 R : x 2 Dom (g) ^ g (x) 2 Dom (f)g= fx 2 R : 0 � x � 5 ^ x+ 3 � 1g= fx 2 R : 0 � x � 5 ^ x � �2g= fx 2 R : 0 � x � 5g= [0; 5] :

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá�cas xx

Luego:

f � g : [0; 5] ! Rx 7! (f � g) (x) = f (g (x)) = f (x+ 3) =

px+ 3

3) Sean

f (x) =

�x2 ; si x � 2x+ 2 ; si x < 2

y

g (x) =

( 1

x; si x < �1

2x ; si x � �1Determinemos g � f:

Dom (g � f) = fx 2 R : x 2 Dom (f) ^ f (x) 2 Dom (g)g = R

(g � f) (x) = g (f (x)) =�g (x2) ; si x � 2 (i)g (x+ 2) ; si x < 2 (ii)

Para (i)

Si x � 2; evidentemente x2 � �1: ) g (x2) = 2x2:Para (ii)

Si x < 2 y x + 2 < �1; entonces g (x+ 2) =1

x+ 2; es decir, si

x < �3; entonces g (x+ 2) = 1

x+ 2:

Si x < 2 y x + 2 � �1; entonces g (x+ 2) = 2 (x+ 2) ; es decir,si �3 � x < 2; entonces g (x+ 2) = 2 (x+ 2) :En resumen tenemos: g � f : R! R:

(g � f) (x) =

8><>:1

x+ 2; si x < �3

2 (x+ 2) ; si � 3 � x < 22x2 ; si x � 2

Ejercicio 0.3.2 Sean f : A! B; g : B ! C y h : C ! D:Demuestre que:a) (h � g) � f = h � (g � f)b) f � IA = fc) IB � f = f

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá�cas xxi

0.4. FUNCION INVERSA

Observemos que si f es una función biyectiva de A en B; podemos de�niruna función g de B en A de manera que g (x) = y si y sólo si f (y) = x:

Ejemplo 0.4.1 :x f (x)a 0b 1c 2d 3

x g (x)0 a1 b2 c3 d

De�nición 0.4.1 Sea f : A! B una función biyectiva.La función g : B ! A de�nida por:

8x 2 B; 8y 2 A; g (x) = y , f (y) = x

se llama función inversa de f y se denota por f�1:

¡Cuidado! f�1 6= 1

f:

Ejemplo 0.4.2 :

1)f : R ! R

x 7! f (x) = 2x+ 1

es biyectiva, luego existe f�1 : R! R tal que:

f�1 (x) = y , f (y) = x, x = 2y + 1, y =x� 12

) f�1 (x) = x� 12:

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá�cas xxii

2) Sea f (x) =px2 � 1: De�na la función inversa si existe.

Solución:

(a)x 2 Dom (f) , f (x) 2 R

,px2 � 1 2 R

, x2 � 1 � 0, x2 � 1, jxj � 1:

) Dom (f) = (�1;�1] [ [1;+1) :(b)

y 2 Rec (f) , 9 x 2 Dom (f) ^ f (x) = y

, 9 x; jxj � 1 ^px2 � 1 = y e y � 0

, 9 x; jxj � 1 ^ x2 = y2 + 1 e y � 0, 9 x; jxj � 1 ^ jxj =

py2 + 1 e y � 0

,py2 + 1 � 1 e y � 0

, y2 � 0 e y � 0

Luego, Rec (f) = R+ [ f0g :Si Cod (f) = R; f evidentemente no es sobreyectiva.Es claro que:

f : Dom (f)! Rec (f)

es sobreyectiva.

(c) De la igualdad jxj =py2 + 1; que equivale a x = �

py2 + 1se

tiene que la función no es inyectiva, por ejemplo para y =p8 existen

x1 = 3 y x2 = �3 y, f (x1) = f (x2) : Luego,

f : Dom (f)! Rec (f)

no tiene inversa.

Ahora, la restricción g de f al nuevo dominio (�1;�1],con codominioR+ [ f0g ; es biyectiva (¡pruébelo!), luego, existe su inversa.

g�1 : R+ [ f0g ! (�1;�1]

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá�cas xxiii

g�1 (x) = y , g (y) = x

,py2 � 1 = x

, jyj =px2 + 1

como y 2 (�1;�1] ; entonces

g�1 (x) = �px2 + 1:

Estudie la restricción de f; h : [1;+1)! R+ [ f0g :

3) Sea f (x) = 3x2 � 2x� 1: De�na la función inversa, si existe.Solución:

Evidentemente Dom (f) = R:Completando cuadrados tenemos que:

f (x) = 3

�x� 1

3

�2� 43

Estudiemos la inyectividad:

f (x1) = f (x2) ) 3�x1 � 1

3

�2 � 43= 3

�x2 � 1

3

�2 � 43

)�x1 � 1

3

�2=�x2 � 1

3

�2)��x1 � 1

3

�� = ��x2 � 13

��) x2 = x1 _ x2 =

23� x1

De aquí observamos que:

(a) Si x1 = 0 y x2 =23se tiene que

f (x1) = f (0) = f

�2

3

�= f (x2)

) f no es inyectiva.(b) Si x1 � 1

3y x2 � 1

3; entonces x1 � 1

3� 0 y x2 � 1

3� 0; luego��x1 � 1

3

�� = x1 � 13

��x2 � 13

�� = x2 � 13

y así resulta x1 = x2:

En forma análoga: si x1 � 13y x2 � 1

3; entonces x1 = x2:

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá�cas xxiv

Luego, restringiendo el dominio de f al intervalo��1; 1

3

�o al inter-

valo�13;+1

�la función resulta inyectiva.

Veamos la sobreyectividad:

y 2 Rec (f) , 9 x 2 Dom (f) ^ f (x) = y

, 9 x 2 R ^ 3�x� 1

3

�2 � 43= y

, 9 x 2 R ^�x� 1

3

�2=y + 4

3

3

, 9 x 2 R ^ x = 13�ry + 4

3

3(�)

, y � �43:

Luego, Rec (f) =��43;+1

�y la función resulta sobreyectiva si re-

stringimos el codominio a��43;+1

�y el dominio al intervalo

��1; 1

3

�;

o bien al intervalo�13;+1

�; en vista de (�) :

Así, las funciones

g :

��1; 1

3

�!��43;+1

�; x 7! g (x) = 3

�x� 1

3

�2� 43

y

h :

�1

3;+1

�!��43;+1

�; x 7! h (x) = 3

�x� 1

3

�2� 43

resultan biyectivas. Por lo tanto, admiten inversa.

La inversa para g es:

g�1 :

��43;+1

�!��1; 1

3

�g�1 (y) = x , g (x) = y

, 3

�x� 1

3

�2� 43= y

, x =1

3�

vuuty +4

33

) g�1 (y) = 1

3�

vuuty +4

33

:

La inversa para h se deja a cargo del lector.

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá�cas xxv

Proposición 0.4.3 Si f : A ! B es biyectiva, entonces f � f�1 = IB yf�1 � f = IA:

Demostración. A cargo del lector.

Proposición 0.4.4 Si f admite inversa, entonces ésta es única.

Demostración. Sea f : A! B biyectiva y supongamos que f admitedos funciones inversas f1 y f2

f1 : B ! A; f2 : B ! A

y por lo tanto:(a) f � f1 = IB (b) f1 � f = IA

(c) f � f2 = IB (d) f2 � f = IAProbemos que: f1 = f2:

De (a) y (c)f � f1 = f � f2

componiendo a izquierda con f1

f1 � (f � f1) = f1 � (f � f2)

por asociatividad(f1 � f) � f1 = (f1 � f) � f2:

Por (b)IA � f1 = IA � f2

luegof1 = f2:

Proposición 0.4.5 Si g : A ! B y f : B ! C son inversibles, entoncesf � g es inversible y

(f � g)�1 = g�1 � f�1

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá�cas xxvi

Demostración.

(f � g) � (g�1 � f�1) = f � (g � g�1) � f�1= f � IC � f�1= f � f�1= IB

(g�1 � f�1) (f � g) = g�1 � (f�1 � f) � g= g�1 � IB � g= g�1 � g= IB

Luego:(f � g) �

�g�1 � f�1

�= IB

y �g�1 � f�1

�� (f � g) = IB:

Por lo tanto,(f � g)�1 = g�1 � f�1

Observación 0.4.1 :

1) Usando la proposición anterior, también se puede obtener la ecuaciónde de�nición de f�1: En el ejemplo 3.4.2 (2:) ; la función

f : (�1;�1]! R+ [ f0g

tiene inversa f�1; su ecuación se obtiene de (f � f�1) (x) = x;8x 2 R+ [ f0g :

f (f�1 (x)) = x ,q(f�1 (x))2 � 1 = x

, (f�1 (x))2 � 1 = x2

, (f�1 (x))2= x2 + 1

, f�1 (x) = �px2 + 1:

2) El grá�co de f�1 es simétrico del de f respecto de la recta y = x. Enefecto:

(x; y) 2 Gr (f) , f (x) = y, f�1 (y) = x, (y; x) 2 Gr (f�1)

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá�cas xxvii

Los grá�cos de f y f�1 del ejemplo 3.4.2 (2:) ; se muestran en la si-guiente �gura.

2 .51 .2 50-1 .25-2 .5

2 .5

1 .2 5

0

-1 .25

-2 .5

x

y

x

y

0.5. FUNCION EXPONENCIAL

De�nición 0.5.1 Sea b 2 R; b > 0; b 6= 1: La función f : R! R+ de�ni-da por f (x) = bx se llama FUNCION EXPONENCIAL de BASEb.

Observación 0.5.1 :

1) La función exponencial de base b suele denotarse por expb : Así:

expb (x) = bx:

2) El grá�co de la función expb no corta al eje X y corta al eje Y en elpunto (0; 1) pues expb (0) = 1; 8 b > 0:

3) Si 0 < b < 1; entonces expb es una función estrictamente decrecientey por lo tanto es inyectiva, su grá�co es de la forma

x

y

x

y

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá�cas xxviii

4) Si b > 1; entonces expb es una función estrictamente creciente y porlo tanto es inyectiva, su grá�co es de la forma

x

y

x

y

5) Si la base b de la función exponencial es el número irracionale = 2; 7182::: la función se llama FUNCION EXPONENCIALNATURAL y se denota exp; es decir:

exp (x) = ex

6)expb (x1 + x2) = expb (x1) � expb (x2)expb (x1 � x2) = expb (x1) : expb (x2)

expb (�x) =1

expb (x)

7) Ciertos fenómenos de la naturaleza pueden describirse mediante fun-ciones exponenciales, por ejemplo:

- Crecimiento de una población (personas, animales, bacterias) :

- Desintegración radioactiva.

- Crecimiento de un capital colocado a una tasa de interés.

- Aumento o disminución de la temperatura de una sustancia cuando

se calienta o enfría.

- Absorción de la luz al pasar a través del aire, agua o vidrio.

- Descenso de la presión atmosférica cuando aumenta la altura.

Ejemplo 0.5.1 Una persona coloca un capital al 8% anual. Determinar elcapital acumulado después de t años.Sean:

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá�cas xxix

C0 = capital inicial:C (t) = capital acumulado:entonces:C (0) = C0

C (1) = C0 +8

100C0 =

108

100C0

C (2) = C (1) +8

100C (1) =

108

100C (1) =

�108

100

�2C0

C (3) = C (2) +8

100C (2) =

108

100C (2) =

�108

100

�3C0

...

C (t) = C (t� 1) + 8

100C (t� 1) =

�108

100

�tC0

) C (t) = C0�108

100

�ten t años.

0.6. FUNCION LOGARITMICA

Sabemos que expb : R ! R+ es biyectiva. Luego existe una función in-versa de R+ en R, que llamaremos FUNCION LOGARITMO en BASEb, tal que:

8 x 2 R+; logb (x) = y , expb (y) = x = by

Así,logb : R+ ! R

x 7! y = logb (x)

Observación 0.6.1 :

1)logb (b

x) = x y blogb(x) = x

2) La función logaritmo en base 10 se llama logaritmo decimal o vulgary se denota por log :

La función logaritmo en base e se llama logaritmo natural y se denotapor ln : Así,

log 10 = 1 y ln e = 1

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá�cas xxx

Ejemplo 0.6.1 :

1)log2 : R+ ! R

x 7! y = log2 (x)

algunos valores son:

log2 (2) = 1 porque exp2 (1) = 21 = 2

log2 (4) = 2 porque exp2 (2) = 22 = 4

log2

�1

8

�= �3 porque exp2 (�3) = 2�3 =

1

8

log2�p2�=1

2porque exp2

�1

2

�=p2

Su grá�ca:

53.752.51.250

2

0

-2

-4

x

y

x

y

2) log3 (9) = 2 porque 32 = 9:

3) logp2 (4) = 4 porque�p2�4= 4:

PROPIEDADES DE LA FUNCION LOGARITMO EN BASE b.

1) logb (1) = 0

2) Si b > 1 y 0 < x < 1; entonces logb (x) < 0

Si b > 1 y x > 1; entonces logb (x) > 0

3) logb (x1) = logb (x2)) x1 = x2 ¿Por qué?

4) logb (b) = 1

5) logb (x1 � x2) = logb (x1) + logb (x2)

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá�cas xxxi

6) logb

�x1x2

�= logb (x1)� logb (x2)

7) logb

�1

x

�= � logb (x)

8) logb (x�) = � logb (x) � 2 R

9) loga (N) =logbN

logb (a)

10) Si b > 1; entonces logb es función creciente.

Si b < 1; entonces logb es función decreciente.

Demostración. (Propiedad 5))Sean y1 = logb x1; y2 = logb x2; por tanto, b

y1 = x1; by2 = x2:

Luego,x1 � x2 = by1 � by2 = by1+y2

pero,

x1 � x2 = by1+y2 ) logb (x1 � x2) = y1 + y2 = logb x1 + logb x2:

Demostración. (Propiedad 8))Sea y = logb x; por tanto, b

y = x:Luego, para � 2 R;

x� = (by)� = by� = b�y

con lo que concluimos que:

x� = b�y ) logb (x�) = �y = � logb x:

Demostración. (Propiedad 9))Sea y = logaN; por tanto, a

y = N:Luego,

logbN = logb ay = y logb a = logaN � logb a

Por lo tanto,logbN

logb a= logaN:

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá�cas xxxii

Ejercicio 0.6.2 :

1) Encuentre todos los números reales x tales que log2 (3x2 + x+ 1) > 0:

Solución:

log2 (3x2 + x+ 1) > 0 , 3x2 + x+ 1 > 1

, 3x2 + x > 0, x (3x+ 1) > 0, x > 0 ^ 3x+ 1 > 0

�ox < 0 ^ (3x+ 1) < 0

, x > 0 _ x < �13

2) Si logb (a) =p3 y loga (x) = 2; calcular logb (x) :

Solución:

logb (x) =loga (x)

loga (b)pero loga (b) =

logb (b)

logb (a)=

1p3:

Por lo tanto,

logb (x) =21p3

= 2p3:

3) Resolver, para x 2 R; la ecuación ex � e�x = 1:Solución:

Note que:ex � e�x = 1

es equivalente cone2x � ex = 1

Luego,

e2x � ex � 1 = 0) ex =1�

p1 + 4

2

Por tanto,

ex =1 +

p5

2ó ex =

1�p5

2

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá�cas xxxiii

Ahora,

ex =1 +

p5

2) x = ln

1 +

p5

2

!

Como1�

p5

2< 0; no existe x en R tal que ex =

1�p5

2: Luego,

la única solución es:

x = ln

1 +

p5

2

!:

4) Resolver, para x 2 R; la ecuación: log x+ log (x+ 3) = 1:

Solución:

log x+ log (x+ 3) = 1 , log (x (x+ 3)) = 1, x (x+ 3) = 10, x2 + 3x� 10 = 0, (x� 2) (x+ 5) = 0, x = 2 _ x = �5

Observemos que x = �5 no es solución de la ecuación dada ¿porqué?. La única solución es x = 2:

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá�cas xxxiv

0.7. EJERCICIOS PROPUESTOS

1. En los siguientes problemas determine: Dominio, Recorrido. Decida siexiste la función inversa. En caso negativo, haga las restricciones ade-cuadas de modo que exista y defínala.

(a)f : A � R ! Rn f0g

x 7! f (x) =1

1� x(b)

f : A � R ! Rx 7! f (x) = 2x2 � 2x� 4

(c)f : A � R ! R

x 7! f (x) = x2 � 5x+ 6

(d)f : A � R ! R

x 7! f (x) =x2 � 1

x2 + 2x� 3(e)

f : A � R ! Rx 7! f (x) = ln (x2 � 9)

(f)g : A � R ! R

x 7! g (x) = log2 (5� x2)

(g)h : A � R ! R

x 7! h (x) =plog (2x+ 3)

2. Dadas las funciones f y g; de�na f � g y g � f:

(a)f : A � R ! R

x 7! f (x) = x2 � 5

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá�cas xxxv

g : A � R ! Rx 7! g (x) =

px+ 8

(b)f : [�3; 3] ! R

x 7! f (x) = x2 � 6x+ 9

g : R n f0g ! R

x 7! g (x) =1

x

(c)f : [0; 4] ! R

x 7! f (x) =px+ 1

g : [1; 15] ! Rx 7! g (x) = x2 � 3

(d)f : [0; 6] ! R

x 7! f (x) = x2 � 4x+ 3

g : R+ ! Rx 7! g (x) =

px

(e)f : R ! R

x 7! f (x) =

8<:x

2+ 1 ; x � 0

1

x+ 1 ; x > 0

g : R ! R

x 7! g (x) =

(2x� 2 ; x � 11

x� 1 ; x > 1

(f)f : A � R ! R

x 7! f (x) = log (x� 1)

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá�cas xxxvi

g : R ! R

x 7! g (x) =

�2x+ 1 ; x � 25 ; x > 2

3. Demuestre que:

(a) Si f y g son inyectivas, entonces f � g es inyectiva.

(b) Si f y g son sobreyectivas, entonces f � g es sobreyectiva.

(c) Si f y g son biyectivas entonces, f � g es biyectiva.

(d) Si f � g es sobreyectiva, entonces f es sobreyectiva.

(e) Si f � g es inyectiva, entonces g es inyectiva.

(f) Si f es biyectiva, entonces f�1 es biyectiva.

(g) Si f es sobreyectiva y estrictamente creciente (decreciente) ; en-tonces f�1 es estrictamente creciente (decreciente) :

(h) Los grá�cos de f y f�1 son simétricos con respecto a la recta y = x:

4. Resolver:

(a)log5 (35� x3)log5 (5� x)

= 3:

(b) 32x � 56x�7 = 9x�2 � 71�x:

(c)log 4p4 2

logx 2+ log2x 2 � log1=2 2x = 0:

(d) (0;4)log x2+1 = (6;25)2�log x

3

:

(e) 4x � 3x� 12 = 3x+

12 � 22x�1:

(f) ex2+4x�2 � 1:

(g) log2 (9x�1 + 7) = 2 + log2 (3

x�1 + 1) :

(h) ex � e�x = 2:(i) log (7x� 9)2 + log (3x� 4)2 = 2:(j) 35�x � 52x�4 = 1511�3x:

(k)axby = ab2 loga x = log 1

by � logpa b

�

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá�cas xxxvii

4. El estroncio 90 tiene una vida media de 28 años, es decir, en 28 años lamitad de cualquier cantidad de estroncio 90 cambiará a otra sustanciapor desintegración radioactiva. Se coloca una base que contiene 100grs: de estroncio 90 en un reactor nuclear; escriba la ecuación que dala cantidad de estroncio 90 presente después de t años.

5. Si una bacteria en un cierto cultivo se duplica cada 20 minutos, escribiruna fórmula que nos de el número N de bacterias que hay en el cultivodespués de n horas, suponiendo que N0 es el número de bacterias quehay al iniciar el experimento.

6. Cierta clase de algas, puede duplicar su población cada dos días. Suponien-do que la población de algas crece exponencialmente, comenzando aho-ra con una población de 106, determinar la población que habría des-pués de una semana.

7. Sea f (x) la cantidad de C14 presente en un organismo x años después demuerto. Determine la constante K en la ecuación f (x) = f (0) e�Kx yel porcentaje de C14 que debería quedar 1000 años después del decesodel organismo, sabiendo que la vida media del C14 es de 5700 añosaproximadamente

8. Suponga que sólo 110de la cantidad original de C14 queda hoy en un

hueso humano descubierto en Kenya. ¿Cuántos años hace que ocurrióla muerte?.

9. Gra�que las siguientes funciones:

(a) f (x) = �3 + jx� 1j(b) f (x) = x� [x](c) f (x) = [x]� x

(d) f (x) =x+ 1

x+ 2

(e) f (x) = log (x� 1)(f) f (x) = � log jx+ 3j � 5(g) f (x) = 3ex�1

(h) f (x) =1

222�x

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá�cas xxxviii

(i) f (x) = jlog (x� 1)j(j) f (x) = log jx� 1j(k) f (x) = �

px+ 2 + 5