Libro de Matematicas Financieras

Matemáticas Financieras

i Ing. Jaime Ortega Pereira MCA - [email protected]

TABLA DE CONTENIDO

Pág.

Autor .................................................................................................................... v Capítulo I .............................................................................................................. 1 Interés Simple y Descuento Bancario ..................................................................... 1

Interés Simple ............................................................................................................. 1 Objetivo ....................................................................................................................... 1 Objetivos Específicos .................................................................................................. 1

1. Factor de Crecimiento ....................................................................................... 2 1.1. La Tasa de Interés .......................................................................................... 2 Tasa Nominal Vencida, Anticipada y la Tasa Efectiva ........................................... 5 1.2. Cálculo del Tiempo ......................................................................................... 7 2. Uso de las Calculadoras Financieras ................................................................ 10 3. Monto o Valor Futuro ..................................................................................... 11 4. Capital, Valor Actual o Presente ...................................................................... 12 5. Descuento Ordinario o Matemático ................................................................. 13 6. Línea de Tiempo .............................................................................................. 14 7. Ecuaciones de Valor Equivalente ..................................................................... 14 Resumen ............................................................................................................. 16 Ejercicios Resueltos ............................................................................................. 17

Descuento Bancario .................................................................................................. 22 Objetivo ..................................................................................................................... 22 Objetivos Específicos ................................................................................................ 22

8. Descontar ........................................................................................................ 23 9. Valor Efectivo o Líquido .................................................................................. 23 10. Comparación del Descuento Bancario y Descuento Comercial ....................... 25 11. Pagos Después de la Fecha de Vencimiento .................................................... 26 Resumen ............................................................................................................. 27 Ejercicios Resueltos ............................................................................................. 28 Capítulo II .......................................................................................................... 35 Ventas a Crédito a Corto Plazo ........................................................................... 35

Objetivos .................................................................................................................... 35 Objetivos Específicos ................................................................................................ 35

1. Comisiones ...................................................................................................... 35 2. Descuentos Comerciales ................................................................................... 36


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3. Pagos de los Intereses ...................................................................................... 40 4. Pagos Parciales ................................................................................................ 41 5. Ventas a Plazos ................................................................................................ 42 5. Calculo de la Tasas de Interés Aplicada a la Ventas a Crédito ......................... 43 Resumen ............................................................................................................. 45 Ejercicios Resueltos ............................................................................................. 46 Capítulo III ......................................................................................................... 56 Interés Compuesto .............................................................................................. 56

Objetivo ..................................................................................................................... 56 Objetivos Específico ................................................................................................. 56

1. Monto o Valor Futuro ..................................................................................... 56 2. Tasa de Interés Nominal, Tasa Efectiva y Tasas Equivalentes .......................... 57 3. Cálculo de la Tasa de Interés Compuesto ......................................................... 61 4. Capital, Valor Actual o Valor presente ............................................................ 62 5. Descuento a Interés Compuesto ....................................................................... 62 6. Ecuaciones de Valores Equivalentes ................................................................ 63 Resumen ............................................................................................................. 65 Ejercicios Resueltos ............................................................................................. 66 Capítulo IV ......................................................................................................... 70 Anualidades Vencidas y Anticipadas ................................................................... 70

Anualidades Vencidas. ............................................................................................. 70 Objetivo ..................................................................................................................... 70 Objetivos Específicos. ............................................................................................... 70

1. Valor de la Anualidad ...................................................................................... 71 2. Nomenclatura .................................................................................................. 73 3. Valor Futuro (S) y Valor Presente (C) ............................................................. 73 4. Cálculo de la Cuota o Anualidad ..................................................................... 78 5. Cálculo Plazo de una Anualidad ...................................................................... 79 Resumen ............................................................................................................. 81 Ejercicios Resueltos ............................................................................................. 82

Anualidades Anticipadas ......................................................................................... 86 Objetivos .................................................................................................................... 86 Objetivos Específicos ................................................................................................ 86

6. Valor de las Anualidades ................................................................................. 87 7. Nomenclatura .................................................................................................. 88 8. Valor Futuro ................................................................................................... 89


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9. Valor Actual .................................................................................................... 91 Resumen ............................................................................................................. 93 Ejercicios Resueltos ............................................................................................. 94 Capítulo V ........................................................................................................... 97 Anualidades Diferidas ......................................................................................... 97

Objetivos .................................................................................................................... 97 Objetivos Específicos ................................................................................................ 97

1. Valor Presente ................................................................................................. 97 2. Valor Futuro ................................................................................................. 100 3. Cuota (A) ....................................................................................................... 100 Resumen ........................................................................................................... 103 Ejercicios Resueltos ........................................................................................... 104 Capítulo VI ....................................................................................................... 109 Perpetuidades y Anualidades Variables ............................................................. 109

Perpetuidades. ......................................................................................................... 109 Objetivo ................................................................................................................... 109 Objetivos Específicos .............................................................................................. 109

1. Anualidades Perpetuas Vencidas ................................................................... 109 2. Anualidades Perpetuas Anticipadas ............................................................... 111 3. Anualidades Perpetuas Vencidas con Períodos de Capitalización................... 113 4. Toma de decisiones ........................................................................................ 114 Resumen ........................................................................................................... 117 Ejercicios Resueltos ........................................................................................... 118

Anualidades Variables ........................................................................................... 120 Objetivo ................................................................................................................... 120 Objetivos Específicos .............................................................................................. 120

5. Gradiente Aritmético ..................................................................................... 121 6. Gradiente Geométrico ................................................................................... 122 Capítulo VII ...................................................................................................... 125 Tablas de Amortización ..................................................................................... 125

Objetivo ................................................................................................................... 125 Objetivos Específicos .............................................................................................. 125

1. Tablas con Cuotas Iguales ............................................................................. 125 2. Tablas con Cuotas Decrecientes ..................................................................... 127 3. Tablas con Períodos de Gracia ....................................................................... 128 4. Otros Tipos de Tablas de Amortización ......................................................... 129 5. Gradiente Aritmética ..................................................................................... 129


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6. Gradiente Geométrica ................................................................................... 131 Resumen ........................................................................................................... 133 Ejercicios Resueltos ........................................................................................... 134 Capítulo VIII .................................................................................................... 142 Fondos de Amortización .................................................................................... 142

Objetivos .................................................................................................................. 142 Objetivos Específicos .............................................................................................. 142

1. Fondos de Amortización Vencidos ................................................................. 142 2. Fondos de Amortización Anticipada .............................................................. 143 3. Gradiente Aritmética ..................................................................................... 145 4. Gradiente Geométrica ................................................................................... 146 5. Gradientes con Influencia de la Inflación ....................................................... 147 Resumen ........................................................................................................... 150 Ejercicios Resueltos ........................................................................................... 151


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MATEMÁTICAS FINANCIERAS

Autor

l desarrollo de la matemáticas ha evolucionado con la sociedad, se considera el medio de comunicación universal, por medio de

esta hemos podido formar ingenieros, arquitectos, informáticos, científicos, físicos que han contribuido al crecimiento del pensamiento, gracias a las matemáticas disfrutamos de hermosos edificios, puentes que unen ciudades, carreteras para trasportar nuestros alimentos y mercancías, de la tecnología, de telecomunicaciones, en fin muchas o casi todas las cosas que conocemos tienen una base matemática, incluidos nuestros nombres, quien puede negar que en alguna etapa de la vida ha tenido un roce con las muchas veces ingratas matemáticas, de hecho vivimos con ellas a diario. Por esta razón mi invitación a conocer parte de este mundo, en la asignatura de matemáticas financieras, tenga presente que cuando usted financia una casa, un auto, cualquier bien o servicio, le asignan una cuota, esta cuota es resultado de una fórmula matemática, en la cual está incluido su deuda más el costo financiero. Vivimos tanto tiempo con ellas que no notamos su presencia, cada vez que usted utiliza su tarjeta de crédito está utilizando matemáticas financieras, es entonces imperativo tener un conocimiento más detallado y profundo de las matemáticas, ya que si es inevitable el vivir con ellas, por tanto hay que hacer la relación un poquito más amena. Atentamente. Jaime Ortega Pereira

E

CAP. I. Interés Simple y Descuento Bancario

1 Ing. Jaime Ortega Pereira MCA - [email protected]

Capítulo I

Interés Simple y Descuento Bancario

Interés Simple

Objetivo El objetivo de este capítulo es proporcionar el conocimiento de valor del dinero en el tiempo y las herramientas de cálculo del mismo considerando las consideraciones del interés simple aplicables a ciertas obligaciones financieras.

Objetivos Específicos

Calcular y definir el interés simple. Calcular el valor futuro y valor presente. Calcular las tasas de interés. Calcular el tiempo. Manejar diagramas de tiempo - valor y de flujo de caja. Resolver ecuaciones de valores equivalentes.

Antes de entrar en materia debemos estar conscientes, de que todas las actividades que desempeñamos están directa o indirectamente relacionadas con actividades financieras, ya que gran parte de los bienes o servicios que adquirimos son financiados, por ejemplo, si nosotros somos los que solicitamos un préstamo a una institución financiera debemos pagar un rédito por el uso del dinero, mientras, que si invertimos dinero, este nos será devuelto con un incremento llamado interés. En el sistema financiero, básicamente lo que se negocia es dinero, y como en toda economía el dinero, es una mercancía igual que cualquier otra, como un carro, un electrodoméstico, una fruta, entre otras, todas estas mercancías tiene un costo de transacción “costo del dinero” denominado tasa de interés en economía y en las matemáticas financieras. Toda persona que obtiene un préstamo está obligada a pagar un interés por el uso de ese dinero, es decir, el dinero genera dinero, para este efecto se analizan dos factores principales de variación del valor del dinero, la variación es medida y generada por el tiempo y el costo en un mercado determinado, este costo dependerá en mercados eficientes de la oferta y la demanda que se ejerza. El principal problema que ocasiona el estudio de las matemáticas financieras, es la dificultad del concepto de Presente (C) y el Futuro (S), observe la gráfica 1-1. !No estamos hablando de nada filosófico¡¡ simplemente el dinero de hoy (C) es modificado por el tiempo (n), digamos un año y por el costo (i), para transformarse en el nuevo dinero (S).



Gráfica 1 – 1 Diagrama de Tiempo o Línea de Tiempo

1. Factor de Crecimiento Usted seguramente alguna vez habrá escuchado la expresión “No se puede sumar peras con piñas”, en finanzas esto es una gran verdad, no podemos sumar dinero (C) también conocido como capital, con dinero (S) o monto, por una sencilla razón son diferentes, ya que ambos están afectados por el factor de crecimiento (1 + in). Teniendo claro y después de haber reflexionado sobre este concepto básico pero fundamental, podemos proseguir, primero analizaremos dos de los factores importantes en la definición de cambios en el valor del dinero, para algunos autores llamado “El Valor del Dinero en el Tiempo”, estos factores son, (i) interés y (n) tiempo.

Factor de Crecimiento ( )in+1

1.1. La Tasa de Interés Es el costo del dinero en un economía en particular, es decir, es el costo que se pacto pagar por un dinero tomado en préstamo (tasa contractual), en cada país el gobierno es el que controla las tasas de interés y regula las formas licitas de ingresar el dinero al mercado financiero, en nuestro país esta responsabilidad está dividida, la fijación de la tasa máxima de interés por producto por parte del Banco Central BCE y el control por la Superintendencia de Bancos y Seguros. La tasa de interés o costo del dinero es expresado en porcentaje (i%), para un período de tiempo dado generalmente de un año. Tasa de Interés Activa.- Esta tasa representa el costo del dinero que se paga por adquirir un préstamo en cualquiera de las instituciones financieras que conforman el mercado de dinero, como se menciono anteriormente, este costo esta expresado en porcentaje de una base de 100 unidades.

Tasa de interés activa = Tasa de interés pasiva + Gastos Operativos + spread Tasa de Interés Pasiva.- Esta tasa también es llamada tasa de retorno, ya que está asociada a una inversión, por consiguiente esta tasa a diferencia de la anterior, sería el beneficio que se recibe por la inversión realizada en el mercado de dinero o mercado de capitales, aquí por ejemplo, mencionaremos algunos productos, como una póliza de acumulación, un fondo de inversión, entre otros instrumentos de inversión.



Cálculo del Interés.- Es el costo que se paga por un préstamo que en la vida práctica depende de muchos factores entre ellos las condiciones contractuales, la cantidad de dinero solicitada y el tiempo o plazo de duración del préstamo, también depende del poder de negociación de las partes, de la reciprocidad entre otros factores. Para facilitar el entendimiento utilizaremos la siguiente nomenclatura.

C = Capital (Dinero hoy) n = Tiempo (360 – 365 días) i = Interés en %

Fórmula No. 1

CniI =

En donde (i), representa el interés anual de un préstamo de (C) unidades monetarias obtenidas, en (n) tiempo o plazo de duración del préstamo. Por ejemplo. Una persona solicita un préstamo de 1.000 dólares a un año plazo, el mismo que se concede a una tasa de 12% anual. ¿Cuánto deberá pagar por concepto de interés?

C = 1.000 unidades monetarias n = 360 días (año comercial) i = 12 % anual

I = 1.000 * (360/360) * (12/100)

I = 120 Esta persona deberá pagar 1.120 dólares al final del año, 1.000 dólares de capital y 120 de costos de adquirir el dinero. Modifiquemos el ejemplo, el interés será pagado al 1% mensual.

I = 1.000 * (12) * (1/100) I = 120

En interés simple para convertir una tasa del 1% mensual a una tasa anual se debe multiplicar, la tasa mensual para doce para expresarla en término de un año, esta es una característica importante.

12% anual = 1% mensual * 12 meses El interés simple no admite capitalizaciones de los intereses, por consiguiente los valores son exactamente los mismos, ya sea, a una tasa anual, mensual, diaria, etc.



El Interés Simple Comercial.- Es el interés que se calcula considerando un año de 360 días, se divide por consiguiente al año en 12 meses de 30 días.

Ic = Interés simple comercial (360 año comercial) El Interés Simple Real.- Es el interés que se calcula con año calendario de 365 días ó de 366 días si se trata de año bisiesto.

Ir = Interés simple real (365 ó 366 año real) El interés real es menor al interés comercial en 1/73 del mismo, como lo demostraremos a continuación.

731

365519863,0

365360

==−==IrIc

Ic = 1.000 * (360/360) * (10/100)

Ic = 100

Ir = 1.000 * (365/365) * (10/100) Ir = 100

Usted puede estarse preguntando, ¿Donde está la diferencia?, la respuesta está en que ¡¡no existe!!, ya que este crédito en particular está hecho para el periodo de un año, el interés simple comercial es igual al interés simple real, cuando la operación es realizada para un año. Es necesario entonces, realizar un pequeño cambio en el factor tiempo digamos que fue adquirido a 90 días, no a un año, como anteriormente teníamos establecido.

Reemplazando

Ic = 1.000 * (90/360) * (10/100) Ic = 25,00

Ir = 1.000 * (90/365) * (10/100)

Ir = 24,65 También se puede comprobar el resultado utilizando la fórmula 2. Fórmula No. 2

00 731 III r −=

Ir = 25 – ((1/73)*25)

Ir = 25 – 0.34 Ir = 24,65

La mayor parte de las operaciones están calculadas en función del interés ordinario o comercial, usted ya debe haber comprendido el por qué?



Tasa Nominal Vencida, Anticipada y la Tasa Efectiva

En los últimos años ha salido a la luz pública un secreto a voces, cada vez que realizamos una transacción, ya sea un préstamo o una inversión, lo que denominan los banqueros colocación y captación respectivamente, pactamos una tasa de interés contractual, la cual no corresponde a la tasa de interés efectivamente pagada o desembolsada, para lo cual efectuaremos un pequeño estudio para poder identificar las diferencias.

Tasa Nominal

Tasa convenida o tasa contractual, esta tasa puede según el tiempo en que se desembolsa, ser una tasa anticipada o tasa vencida.

Tasa Vencida.- El interés, costo por el uso del dinero, es pagado en la fecha en la que se termina el plazo de la deuda, también puede ser llamado interés simple puro.

Por ejemplo. Un préstamo de 1.000 dólares a un año plazo y a una tasa de interés del 10% anual.

( )niCS += 1

S = 1.000 (1 + (360/360)(10/100))

S = 1.100

I = Cni

I = 1.000 * (360/360) * (10/100)

I = 100

Interés efectivo = Interés Nominal i = 100 / 1.000 = 10%.

La tasa nominal es igual a la tasa efectiva, cuando los períodos son iguales a un año, esta es una característica del interés simple.



Tasa Anticipada.- Tasa pagada antes de recibir el benéfico del préstamo, este tipo de préstamos se da fundamentalmente en las cooperativas de ahorro y crédito o en algunos servicios como el de la telefonía celular con el producto prepago. El mismo ejercicio anterior será utilizado, pero con una pequeña modificación, el interés será cobrado por adelantado o anticipadamente.

Hay que tomar en cuenta dos aspectos importantes que serán de vital importancia más adelante.

1er. Aspecto.- Los intereses pagados por anticipado generan beneficios a futuro o también ganan interés, aquí se presenta el concepto de costos de oportunidad.

( )niCS += 1

S = 100 (1 + (360/360)(10/100))

S = 110

2do. Aspecto.- Los intereses pagados hasta el vencimiento, representan en realidad el costo del préstamo, tome en cuenta que solicitamos 1.000 y únicamente nos acreditan 900 dólares.

( )niCS += 1

1.000 = 900 (1 + (360/360) i)

i = 11,11%

Tasa efectiva

La tasa efectiva es el costo realmente cobrado, en otras palabras, es la tasa realmente pagada e incluye capitalizaciones, gastos de operación, etc. En ambos ejemplos la tasa nominal es de 10% pero la diferencia esta en la tasa efectiva.

Tasa Nominal Tasa Efectiva Vencida 10,00% 10,00%

Anticipada 10,00% 11,11%



1.2. Cálculo del Tiempo Para facilitar los cálculos y la negociación, al año se lo divide en periodos en días, mes, etc., por consiguiente existen varias maneras de medir el tiempo que interviene en el cálculo del interés simple, aunque en la práctica este cálculo es aun más sencillo, sin embargo se expresará algunas formas de hacerlo. Día Inicial y Terminal.- Para el cálculo del tiempo, se recomienda eliminar el primer día e incluir el último. Por ejemplo. Un préstamo contraído el 5 de Julio y pagado el 25 de Julio del mismo año, el tiempo trascurrido es de 20 días. Fecha de Vencimiento.- La fijación de la fecha de vencimiento se establece contractualmente cuando se obtenga una obligación financiera. Por ejemplo. Un préstamo que se recibe el 12 de Febrero será cancelado en 5 meses. Este préstamo deberá pagarse el 12 de Julio del mismo año, cuando el tiempo esta expresado en meses, se establece la fecha de pago el mismo día en que inicia el préstamo. Por ejemplo. Hagamos un variante, cuando se estable pagar el mismos préstamo, no en 5 meses, si no que se establece que sea pagado en 120 días. En este caso, se deberá pagar el 12 de Junio, si se acostumbra contabilizar sólo el día terminal y se elimina el día inicial, como anteriormente. Es decir:

Días Acumulados Febrero 16 16 (28 – 12) Marzo 31 47 (16 + 31) Abril 30 77 (30 + 47) Mayo 31 108 (31 + 77)

Tenemos 108 días al 31 de Mayo, según el cuadro anterior, pero necesitamos 120 días, la diferencia es 12 días (120 - 108) se atribuye al mes siguiente, es decir el 12 de Junio. Si la fecha terminal corresponde a un día festivo, los sistemas computarizados indicarán que el pago debe recibirse el primer día hábil siguiente, sin contar días adicionales para el cobro de intereses. Por ejemplo. Para calcular el tiempo trascurrido entre la fecha inicial y la fecha terminal de períodos superiores a un año, comercialmente se acostumbra calcular el tiempo aproximado, computando los años de 360 días y los meses de 30 días. Por consiguiente para calcular el tiempo trascurrido entre el 19 de Febrero de 1975 y el 25 de Julio del 2007, es de 32 años, 5 meses y 6 días.



Si restamos los años 32 años (2007 – 1975), 5 meses (7 – 2) y 6 días (25 – 19).

Tabla para el Cálculo del Tiempo.- Para periodos menores de un año, comercialmente se acostumbra contabilizar los días calendario que hay entre dos fechas, la siguiente tabla ofrece valores reales expresados en días en un periodo de un año de 365 días, contabilizando mes a mes trascurridos desde el primero de Enero hasta Diciembre, en donde no se incluye el día inicial.

Características

Es una matriz que en las columnas presenta los meses del mes terminal, mientras que en las filas se expresa los meses del mes inicial.

En las intersecciones línea - columna se anotan los días transcurridos desde el mes inicial hasta la fecha seleccionada.

Los días se calculan entre dos fechas de acuerdo con la diferencia entre los días trascurridos desde el primero de Enero.

Tabla 1 - 1 Número exacto de días entre dos fechas (año no bisiesto)

Al mismo día del mes terminal

Desde el día del mes inicial Ene. Feb. Mar. Abr. May. Jun. Jul. Ago. Sep. Oct. Nov. Dic.

Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

365 334 306 275 245 214 184 153 122 92 61 31

31 365 337 306 276 245 215 184 153 123 92 62

59 28

365 334 304 273 243 212 181 151 120 90

90 59 31

365 335 304 274 243 212 182 151 121

120 89 61 30

365 334 304 273 242 212 181 151

151 120 92 61 31

365 335 304 273 243 212 182

181 150 122 91 61 30

365 334 303 273 242 212

212 181 153 122 92 61 31

365 334 304 273 243

243 212 184 153 123 92 62 31

365 335 304 274

273 242 214 183 153 122 92 61 30

365 334 304

304 273 245 214 184 153 123 92 61 31

365 335

334 303 275 244 214 183 153 122 91 61 30

365

Fuente: Portus, Lincoyán; Matemáticas Financieras; 4ta ed; Mc Graw Hill.

Por ejemplo. Desde el 19 de Febrero de un año, al 19 de Septiembre del mismo año, existen 212 días, como se pude observar en la tabla anterior.

Los 212 días calculados corresponde al número anotado en la intersección de la horizontal correspondiente al mes inicial (Febrero), con la vertical del mes terminal (Septiembre). Cuando se utiliza esta tabla se debe notar que la fecha inicial es el 19 debe ser igual a la fecha final, igual que sucedía cuando se calcula por meses, esta consideración de cálculo es frecuentemente utilizado en la vida práctica.

Diferencias en los Días.- Si el día del mes inicial es diferente del día del mes terminal existen varios métodos para el cálculo de tiempo, que serán explicadas a continuación.



Primer Método

a) El día del mes terminal es mayor que el día del mes inicial.

D.M.T. > D.M.I.

En este caso, se suma la diferencia (días terminal menos el día inicial), más el valor establecido en la tabla.

Por ejemplo. ¿Calcular los días trascurridos entre el 3 de Septiembre de un año y el 15 de Abril del año siguiente?

Diferencia entre los números de días finales e iníciales, 15 - 3 = 12 días.

Días correspondiente a la intersección Septiembre – Abril, se registra 212 días.

212 días + 12 días = 224 días.

Entre las dos fechas propuestas existen 224 días calendario.

Segundo Método

b) El día del mes terminal es menor que el día del mes inicial.

En este caso, se suma la diferencia (días terminal menos el día inicial, hay que destacar que la diferencia es negativa), más el valor establecido en la tabla.

D.M.T. < D.M.I.

Por ejemplo. ¿Calcular los días que hay entre el 18 de Marzo y el 10 de Noviembre del mismo año?

Diferencia entre los números de días finales e iníciales, 10 - 18 = - 8 días.

Días correspondiente a la intersección Marzo - Noviembre, se registra 245 días.

245 días – 8 días = 237 días.




Por ejemplo. ¿Calcular los días que hay entre el 20 de Junio de 1996 y el 14 de Marzo de 1998?

Diferencia entre los números de días 14 - 20 = - 6 días.

Días correspondiente a la intersección Junio – Marzo, se registra 273 días.

273 días – 6 días = 267 días + 365 días = 632 días


La tabla 1 – 1 es de gran utilidad para determinar la fecha en días, cuando se conoce la fecha terminal, la fecha inicial y el número de días. El cálculo se hace con gran rapidez, sin necesidad de contar los días en un calendario.

2. Uso de las Calculadoras Financieras

El uso de las calculadoras permite prescindir de las tablas, ya que los valores pueden obtenerse directamente con una calculadora, también existen sistema utilizados especialmente por los bancos y entidades financieras que facilitan el cálculo de días de una forma exacta y práctica.

Para el cálculo de este libro utilizaremos la calculadora Hewlett Packard HP 19B II.

Por ejemplo. Digamos que queremos determinar la fecha final de un crédito que empieza el 22 de Septiembre del 2006 a 120 días plazo.

Calculadora Financiera HP 19B II

1.- CALEN

2.- CALC

3.- 22.092006

4.- FECH1

5.- 120

6.- DÍAS

7.- FECH2

8.- 20.012007

La fecha de vencimiento sería por consiguiente el 20 de Enero del 2007, estas funciones son aplicables a otros modelos de calculadoras Hewlett Packard.

Qué tal si se sabe el día o la fecha inicial y también la fecha final, pero se desconoce los días entre ambas fechas.



Por ejemplo. Cuantos días hay desde la fecha inicial 12 de Mayo del 2006 al 1 de Noviembre del mismo año.


1.- CALEN

2.- CALC

3.- 12.052006

4.- FECH1

5.- 1.112006

6.- FECH2

7.- DÍAS

8.- 173

Existen 173 días entre estas dos fechas.

3. Monto o Valor Futuro Recuerda que hablábamos anteriormente de que el dinero era afectado por dos factores principalmente el tiempo y la tasa de interés, de ahí se deriva la teoría del valor del dinero en el tiempo, este concepto analiza lo que sucede con el dinero en el presente (Capital o Actualización) y en el futuro (Monto o Capitalización).

Gráfica 1 – 2 Monto y Capital

Capitalización.- Esta relacionada con el estudio del valor del dinero en fecha futura, también llamado monto (S), que se obtendrá o en que se convertirá el capital invertido, por consiguiente, capitalizar es transformar el valor de capital (C) modificado por el interés y el tiempo, para encontrar un dinero a futuro (S).

El intensivo uso de calculadoras financieras y computadoras, ha provocado cambios de forma en la denominación de la nomenclatura utilizada, sin embargo, los conceptos son los mismos.



Vamos a dar varios ejemplos.

Monto = Valor Futuro = S = VF = F

El monto es el valor acumulado de los capitales agregando los intereses devengados, en otras palabras, el monto es igual al capital más los intereses.

S = C + I

Recuerde que el interés I = Cni

S = C + Cni

Obtenemos

Fórmula No. 3

S = C (1 + ni)

En donde

C = Capital

i = Interés en % tasa de interés

S = Monto

n = Tiempo

4. Capital, Valor Actual o Presente

El valor actual, presente o capital, no es otra cosa que la actualización o traer a valor de hoy los dineros o montos del futuro, a una tasa de interés (i%), es aquel monto que afectado por una tasa dada y en el período comprendido hasta la fecha de inicio da como resultado el capital.

Actualización.- Esta relacionado con el estudio del valor en la fecha inicial o presente (C) de los montos que se recibirán en fecha futura. En otras palabras actualizar es traer los montos del futuro al presente modificados por el interés y el tiempo.

Capital = Valor Actual = C = VA = P = VP

A partir de la definición se deduce que para hallar el valor actual, hay que despejar de la fórmula del capital, cuando es conocido el monto y el interés.

De la fórmula ( )niCS += 1 se deduce la.



Fórmula No. 4

( )niSC+

=1

Otra forma de obtener el valor actual teniendo el valor futuro, es aplicando el descuento ordinario.

5. Descuento Ordinario o Matemático

La diferencia entre la cantidad por pagar en fecha futura y su valor actual, se denomina descuento.

Fórmula No. 5

D = S – C

En donde

D = Descuento

C = Capital

S = Monto

Si se remplazamos, se obtiene.

CSD −=

( )niCS += 1

( ) CCniCCniCD −+=−+= 1

Fórmula No. 6

CniD =

Como se puede observar, el descuento ordinario o matemático es igual al interés simple del capital que en fecha futura, darán como resultado el monto de la deuda.



6. Línea de Tiempo

También llamado por algunos autores “diagramas de tiempo - valor y diagramas de flujo de caja” las líneas de tiempo, no es otra cosa que la gráfica de un problema financiero considerando tiempo y flujo de operaciones. Sin duda alguna es de gran utilidad para la resolución y análisis de los problemas financieros, permiten al analista un mejor entendimiento y ayuda a mitigar una falencia en el estudio de las matemáticas financieras relacionado con el presente y futuro.

Gráfica 1 – 3 Línea de Tiempo

En las líneas de tiempo se establece los plazos, los valores, sean estos de presente o de futuro.

En evaluación de proyectos también son utilizados estos diagramas, los cuales son denominados flujos de caja o flujo de efectivo, ingrediente principal para poder realizar un presupuesto de capital.

7. Ecuaciones de Valor Equivalente

Una complicación en las finanzas radica en la renegociación o reestructuración de un préstamo o una deuda, estas ecuaciones sirven para resolver esos problemas y también para facilitar la elección entre varias inversiones, convirtiéndose en una forma de resolución práctica y sencilla.

Es decir, la ecuación equivalente, produce el mismo resultado económico entre varias opciones financieras, recuerde que en las finanzas no se puede sumar, restar, dividir o multiplicar dinero que estén expresados en diferentes tiempos, ya que el dinero de hoy no es el mismo que el dinero de mañana, por consiguiente 100 dólares situados en fechas diferentes tienen un valor distinto desde el punto de vista financiero.



Para poder decidir entre diversos préstamos o inversiones financieras, es importante utilizar ecuaciones equivalentes, para determinar por medio de ellas, cuál es la opción más conveniente.

La fecha que se escoge para la equivalencia, se denomina fecha focal, la fijación de la fecha focal debe ser cuidadosamente analizada, ya que debe corresponder estrictamente a lo pactado en los pagarés.

Por ejemplo. Una persona adquirió varias deudas en el pasado y pretende cambiar o reestructurar esas deudas, la persona debe 1.000 dólares el cual debe ser cancelado en 30 días, 2.000 en 60 días y 5.000 en 90 días, para lo cual conviene y logra reestructurar su deuda por un solo pago a 180 días ¿Cuánto debe pagar? si la tasa convenida es del 10% de interés anual.

Por favor no contestará que debe 8.000 dólares, ya que la respuesta es un “Categórico No”.

Gráfica 1 – 4

Ecuaciones Equivalentes

( )niCS += 1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

10010

360901000.5

10010

3601201000.2

10010

3601501000.1S

S = 1.041,67 + 2.066,67 + 5.125,00

S = 8.233,34 dólares

La respuesta correcta, después de haber recordado que no se suman peras con piñas es, la deuda que debe ser pagada a 180 días por parte de la persona es 8.233,34 dólares, los valores de 1.000, de 2.000 y 5.000 dólares expresados en 30, 60 y 90 días, son equivalentes a un pago a 180 días de 8.233,34 dólares corrigiendo los cambios debido a la influencia del interés y el tiempo.



Resumen El aprendizaje fundamental de esta primera parte tiene que ver esencialmente con la lección de presente y futuro, concepto que en las matemáticas financieras son de vital importancia, además del entendimiento que el dinero de hoy puede ser modificado por el tiempo y el costo del mismo en un mercado específico. Se incluye el cálculo de los intereses tanto en % como en unidades monetarias, las distintas formas de cálculo del tiempo son presentadas desde distintos supuestos, también se realiza una distinción entre tipos de tasas nominales vencidas, anticipadas y tasas efectivas. Se pone en práctica el concepto de pasado y futuro con las determinación de capital o valor presente y del monto o valor futuro, logrando determinar a través de fórmulas el incremento sufrido por el dinero hacia el futuro, el mismo que a su vez es afectado por el factor de crecimiento, así como también el concepto de capital en donde se reduce el interés y el tiempo transcurrido de un valor futuro. Bajo lo antes anotado se puede concluir que el interés generado en un futuro determinado y a una tasa de interés específico es igual al descuento ordinario también conocido como descuento matemático. En este libro, creí necesario incluir alguna terminología bancaria que tiene que ver con las tasas de interés, ya sean pasiva las asociadas con el rendimiento que obtienen nuestras inversiones y tasas activas con el costo que originan las deudas que mantenemos en el sistema financiero. Se realiza también una crítica de la utilización del tiempo en la vida práctica y la introducción de la tecnología circunscrita a la utilización de calculadoras financieras. Se hace también necesario el análisis de ecuaciones equivalentes muy útiles a la hora de renegociar una deuda, buscando siempre que exista consistencia del resultado con los valores iniciados.



Ejercicios Resueltos

1. Demostrar que el interés simple producido por un capital (C), colocado durante (n) años a la tasa (i) es igual al interés simple que produciría a la tasa proporcional (j/m) colocado durante (m*n) períodos.

CniI =

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

mjmnCI *

Utilicemos datos concretos, calcular el interés de un capital de 100 a un año plazo con (i) del 12% de interés y los mismos 100 dólares al 1% de interés mensual durante 12 meses.

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

mjmnCCni *

( ) ( )100/1*12*1*10012,0*1*100 =

1212 =

Como se puede apreciar da el mismo resultado utilizar una tasa anual o dividida en diferentes fracciones de tiempo.

2. A que tasa de interés el monto de un capital de 1.000 dólares será 1.200 dólares, a interés simple en 6 meses plazo.

( )niCS += 1

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+= i1261000.1200.1

000.1200.15,01 =+ i

12,15,0 −=i

40,0=i

100*40,0=i

%40=i



3. El 19 de Febrero se firmó un pagaré de 10.000 dólares a un 15% de interés. ¿En qué fecha los intereses serán 750 dólares.

CniI =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=10015000.10750 n

( )15.0000.10750 n=

n500.1750 =

500.1750

=n

360*50,0=n

díasn 180=

Si realizamos la misma operación pero esta vez utilizaremos la tabla 1- 1. En el intervalo Febrero – Agosto, existen 181 días de los cuales solo se necesita 180 días, al ser la fecha de inicio el 19 de Febrero, los 181 días del intervalo de la tabla sería el 19 de Agosto, pero al necesitar tan solo 180 días para obtener 750 dólares, la fecha sería el 18 de Agosto. Utilizando la calculadora financiera, obtenemos.


1.- CALEN

2.- CALC

3.- 19.022006

4.- FECH1

5.- 18.082006

6.- FECH2

7.- DÍAS

8.- 180



4. Un computador cuesta 2.000 dólares de contado, el comprador conviene pagar 1.000 de cuota inicial y el saldo a 90 días, por efectos del financiamiento el establecimiento comercial decide incrementar un interés del 10% sobre el precio de contado ¿Qué tasa de interés simple anual pagó?

Recuerde que el interés se carga a toda la deuda.

10,0*000.2200 =

CniI =

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

36090000.1200 i

( )( )25,0000.1200 i=

i250200 =

250200

=i

100*80,0=i

%80=i

En la fórmula de interés simple se aplicó como capital a financiar los 1.000 también conocido como saldo insoluto (saldo a un no cancelado) y no los 2.000 dólares que el computador cuesta de contado.

5. Cuanto se debe invertir al 15% de interés anual para conseguir 12.000 dentro de 9 meses?

( )niCS += 1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

10015

1291000.12 C

( )( )( )15,075,01000.12 += C

( )( )1125,01000.12 += C

52,786.10=C



6. En el mercado el rendimiento aceptable es de 10% ¿Qué oferta es más conveniente por un terreno?

a) 63.000 dólares de contado

b) 20.000 cuota inicial y el saldo en dos pagarés, el primero de 20.000 a 60

días y el segundo 25.000 dólares a 90 días.

La primera opción esta expresada en dinero de hoy, mientras que la segunda oferta hay que calcular la suma de los tres pagos para saber cuánto es ese valor.

( )niSC+

=1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=

36060

100101

000.201C = 19.672,13

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=

36090

100101

000.252C = 24.390,24

C (b) = C + C1 + C2

C (b) = 20.000,00 + 19.672,13 + 24.390,24

C (b) = 64.062,37

La mejor propuesta por lo menos la matemática es la (b), ya que proporciona el mayor valor presente, sin embargo esta es solo una respuesta matemática, ya que depende del costos de oportunidad.

7. El Banco del Estudiante concede un préstamo a un alumno universitario por

un valor de 20.000 dólares al 8% de interés a 180 días. ¿Cuál es el monto que deberá pagar? ¿A cuánto asciende el interés?

( )niCS += 1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

1008

3601801000.20S

800.20=S



También se puede calcular el monto de otra forma

CniI =

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

36018008,0000.20I

800=I

ICS +=

800000.20 +=S

800.20=S

8. Una persona concedió un préstamo de 1.000 dólares, con la condición de que se le devuelva 1.100 dólares, el préstamo fue acordado para un mes plazo, a usted este ejemplo se le puede hacer conocido y los puede haber escuchado (chulqueros) ¿A qué tasa se concedido el préstamo?

( )niCS += 1

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=1211000.1100.1 i

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=1211

000.1100.1 i

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−12111,1 i

%1202,112,1

1211,0

===⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=i

En interés simple da lo mismos multiplicar 10% mensual por 12 meses que tiene un año 120% (10% * 12), en posteriores capítulos veremos algunas otras formas de cálculo un tanto más real con el concepto del valor del dinero en el tiempo.



Descuento Bancario

Objetivo En esta parte del primer capítulo se presenta las formas de cálculo del descuento aplicado en el sistema financiero y el contraste con el descuento comercial o matemático analizado en la primera parte.


Conceptos de las operaciones bancarias y comerciales. Intereses, descuentos y comisiones. Descuentos bancarios, descuento racional. Calcular el monto. Cálculo de las comisiones. Cálculo de los descuentos sobre facturas comerciales. Valor nominal, valor líquido y valor actual.

En esta parte se presentará algunas de las operaciones bancarias utilizadas en esta materia, el instrumento analizado es el pagaré, existe la costumbre generalizada de cobrar los intereses por adelantado sobre el valor de los pagarés y en ciertos instrumentos financieros y por algunas instituciones financieras.

Este instrumento presenta ventajas para el prestamista, la primera es disponer de inmediato de los valores generados por el interés cobrado por anticipado y la segunda ventaja es aumentar la tasa efectiva cobrada, mientras que, genera un costo adicional para el beneficiario del crédito, ya que sus costos son incrementados por el costo de oportunidad desperdiciado.

Antes de entrar en materias nos debemos familiarizar con varias expresiones.

Valor Nominal.- Conocido también como valor facial o a la par, el valor nominal de un pagaré es el que está inscrito en la obligación.

Estos instrumentos puede o no estar castigados por un interés, si el pagaré no genera intereses, el valor nominal indica la cantidad que debe ser pagada en la fecha de vencimiento y se transferiría con descuento.

Tasa de Descuento.- Se mide en porcentaje y no es otra cosa que el tanto por ciento aplicado como descuento, este se aplica al valor nominal que reduce el prestamista al descontar un pagaré. El descuento bancario simple nunca se efectúa para períodos mayores de un año.

Plazo.- Es el período de duración del préstamo, los pagarés son obligaciones financieras que se establecen a corto plazo.



8. Descontar

Es una especie de actualización, en otras palabras es traer a valor actual o presente los valores establecidos a futuro, para poder negociarlo (venderlo) a futuro a un valor más alto.

Un pagaré (similar a dinero o cuasi dinero) es como una mercancía que puede ser vendido a un valor menor, es decir descontado, una o más veces antes de la fecha de su vencimiento y cada comprador descuenta el pagaré por el tiempo que falta para su vencimiento, afectado por una tasa negociada y por el tiempo.

Descuento.- Es la diferencia establecida entre el valor nominal y el valor que se recibe, al momento de descontar el pagaré.

Fórmula para el Cálculo del Descuento Bancario

S = Valor del pagaré

n = Tiempo expresado en años

d = Tanto por ciento (tasa de descuento)

Aplicando la fórmula

CniI =

Al remplazar se tiene, Fórmula No. 7

SndD =

Por ejemplo. Un pagaré vence el 20 de Mayo por un valor de 6.000 dólares, para su vencimiento faltan 120 días y se descuenta al 10%. ¿Calcular el valor descontado y el valor líquido del pagaré?

SndD =

D = 6.000 * (120/360) * (10/100)

D = 200

9. Valor Efectivo o Líquido

Es el valor nominal menos el descuento, es el valor en dinero que se recibe en el momento de descontar la obligación, en otras palabras, el valor actual o presente con descuento bancario.



Fórmula para el Cálculo del Valor Líquido

El valor líquido (VL), es el valor actual (C) del pagaré, es decir es el valor nominal (S) en el descuento bancario, menos el descuento (D).

VL = Valor líquido

VN = Valor nominal

DVNVL −=

( )ndVND =

Se sustituye

( )ndVNVNVL −=

Fórmula No. 8

( )( )ndVNVL −= 1

Considerando los datos anteriores

( )( )ndVNVL −= 1

VL = (6.000)(1-(120/360)(10/100))

VL = (6.000)(1-(0,3333)(0,10))

VL = 5.800

También se la puede calcular utilizando

Fórmula No. 9

DSVL −=

VL = 6.000 – 200

VL = 5.800



10. Comparación del Descuento Bancario y Descuento Comercial

Al comparar el descuento bancario con el descuento comercial, el valor actual (valor líquido) con descuento comercial (VLc) es mayor que el valor líquido con descuento bancario (VLb), aplicándole el mismo tiempo y con la misma tasa.

( )niVNVLc+

=1

( )( )niVNVLb −= 1

Fórmula, en la cual d = i

Recuerde que tanto la (d) como la (i) son tasas, ya sea de descuento o de interés respectivamente, que ayudan a llevar un capital a monto (capitalización) y viceversa (actualización). Fórmula No. 10

( )( )21 niVLcVLb −=

Esta última expresión indica en tiempos iguales y a una misma tasa, el valor líquido con descuento racional es siempre mayor que el valor liquido con descuento

bancario.

¿Por qué cree usted que le interesa a las instituciones financieras utilizar el descuento bancario?

La respuesta es obvia, se debe cancelar un menor valor por el pagaré y el valor de reventa y la tasa de rentabilidad es superior.

Por ejemplo. Un pagaré vence el 20 de Mayo por un valor de 6.000 dólares; para su vencimiento faltan 120 días, se descuenta al 10%. ¿Calcular el valor líquido del pagaré con descuento comercial y con descuento bancario?

Descuento Comercial

( )niVNVLc+

=1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=

10010

3601201

000.6cVL

45,806.5=rVL



Descuento Bancario

( )( )niVNVLb −= 1

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

10010

3601201000.6VLb

00,800.5=VLb

Si aplicamos la Fórmula obtenemos:

( )( )21 niVLcVLb −=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

2

10010

360120145,806.5VLb

00,800.5=VLb

11. Pagos Después de la Fecha de Vencimiento

Cuando un pagaré o algún otro tipo de obligación financiera no se cancelan en la fecha estipulada contractualmente, se genera un interés paralelo derivado del incumplimiento del contrato, este incremento es denominado interés de mora.

El cálculo se basa en el valor nominal por el tiempo que se retrasa el pago, a una tasa de interés fijada al firmar el pagaré, estos se calculo se realiza con las fórmulas ya estudiadas anteriormente.

( )( )niVNVL += 1

En el ejercicio anterior vamos a suponer que: La persona que descontó el pagaré no canceló la obligación y se tomo 50 días, por consiguiente generó un incumplimiento el cual produjo un 15% por interés de mora.

( )( )niVNVL += 1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

10015

360501000.6VL

125.6=VL

Al valor de 6.000 dólares se debe incrementar 125 dólares debido al incumplimiento del pago en la fecha previamente establecida.



Resumen Se presenta en esta parte del capítulo la forma de descontar un documento financiero como el pagaré, documento ampliamente utilizado en el sistema financiero y de muy fácil negociación en transacciones que son realizadas por parte de las instituciones que conforman el mercado de dinero. Se encontrará con conceptos nuevos como valor liquido, valor nominal, descuento, sin duda alguna no tiene ningún misterio y son fácilmente entendibles y aplicables a la vida diaria, el valor nominal lo compararemos con el monto, ya que los pagares pueden o no tener cargados los intereses y estos documento al ser descontados dan como resultado el valor liquido que no es otra cosa que un valor presente, concepto ya estudiado en este mismo capítulo en su primera parte. Se presentan también las diferencias que contrastan con el cálculo realizado por el descuento comercial y el descuento bancario.




1. Un inversionista descuenta dos pagarés en un banco local que cobra el 10% de interés simple por adelantado, el primero tiene un valor nominal de 20.000 dólares a 90 días y el segundo 30.000 dólares a 180 días.

( ) ( )ndVNVLniSC −==−= 11

( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= 1,0

3601801000.301,0

360901000.20VL

500.28500.19 +=VL

000.48=VL

2. Un inversionista presta una suma de dinero a un cliente respaldado en un pagaré cuyo valor nominal es de 100.000 dólares, con vencimiento a 180 días, quien descuenta al 10% de interés por adelantado, 60 días después negocia con un banco que lo descuenta al 9% por adelantado. ¿Qué suma de dinero recibe el cliente?¿Qué suma de dinero recibe el inversionista?¿Qué suma descontó el banco?

¿Qué suma de dinero recibe el cliente?

( ) ( )ndVNVLniSC −==−= 11

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= 1,0

3601801000.100VL

000.95=VL

¿Qué suma de dinero recibe el inversionista?

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= 09,0

3601201000.100VL

000.97=VL

g Tiene una utilidad en la transacción de 2.000 dólares

2.000 (97.000 – 95.000)



¿Qué suma descontó el banco?

( )ndVNDCniI ===

( ) 000.309,0360120000.100 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=D

000.3=D

DVNVLICS −==−=

000.3000.100 −=VL

000.97=VL

3. Se suele dar en algunas instituciones financieras como crédito, pagare a cambio de dinero a 270 días plazo por un valor de 50.000 dólares a interés del 20%, se negocia el día de hoy con un banco local que descuenta el 15% por adelantado ¿Hallar el valor líquido recibido por el banco?

( )niCS += 1

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

36027020,01000.50S

( )( )( )75,020,01000.50 +=S

500.57=S

( ) ( )ndVNVLniSC −==−= 11

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= 15,0

3602701500.57VL

( )( )( )15,075,01500.57 −=VL

25,031.51=VL



4. Un pagaré a 270 días al 15% de interés de un valor de 50.000 va ha ser descontado por medio del descuento comercial y bancario.

Descuento comercial

niVNVL

niSC

+==

+=

11

( )15,03602701

000.50

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=VL

82,943.44=VL

VLVND −=

82,943.44000.50 −=D

18,056.5=D

Descuento bancario

( ) ( )niVNVLniSC −==−= 11 ( )niVNVL −= 1

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= 15,0

3602701000.50VL

00,375.44=VL

( )ndVNDCniI ===

( ) 625.515,0360270000.50 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=D

00,375.44000.50 −=−= VLVND

00,625.5=D

Descuento Bancario > Descuento Comercial

5.625,00 > 5.056,18



5. Calcular la tasa de interés simple (i) equivalente al tipo de descuento bancario (d). Tasa de interés bancario al 10% a 120 días.

Descuento bancario

( ) ( )ndVNVLniVNVL −==−= 11

Descuento comercial

niVNVL

niSC

+==

+=

11

Despejando VN

( )niVLVN += 1

Despejando i

( )niVLVN += 1

( )( )nindVNVN +−= 11

( )( )nind +−= 111

( ) ( )ndni

+=−

111

( ) 11

1−

+=

ndni

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=nd

ndni1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=nd

di1

( )⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=10,0

3601201

10,0i

%34,10=i



6. Determinar la fecha en que se descuenta un pagaré de 5.000 dólares con vencimiento al 20 de Abril de un año en particular, si se recibe 4.500 dólares con descuento del 10%.

( ) ( )niVNVLniSC −==−= 11

( )niVNVL −= 1

( )( )( )10,01000.5500.4 n−=

( )( )( )10,01000.5500.4 n−=

( )( )( )10,0190,0 n−=

( )90,0110,0 −=n

10,010,0

=n

360360*1 ==n

( )niVNVL −= 1

( )( )( )10,011000.5 −=VL

500.4=VL

Se descontó el 20 de Abril del año anterior.

7. Se descuenta un pagaré de 10.000 dólares, 240 días antes del vencimiento, si

el banco cobra 20 dólares por concepto de gastos bancarios y el 1 por mil por concepto de impuestos, con una tasa de descuento del 10%. a) Calcular el valor líquido que se recibe. b) Calcular la tasa de interés simple equivalente al interés bancario.

a) Calcular el valor líquido que se recibe.

( )niVNVL −= 1

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= 10,0

3602401000.10VL

33,333.9=VL

9.333,33 – 20 – (10.000 * 0.001) = 9.333,33 – 20 – 10 = 9.303,33



b) Calcular la tasa de interés simple equivalente al interés bancario.

( )niCS += 1

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+= i

360240133,303.9000.10

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+= i

3602401

33,303.9000.10

1074888,1360240

−=i

074888,0360240

=i

%23,111123,0 ==i

8. Los siguientes pagarés mantienen una tasa del 9% y el incumplimiento de pago esta dado por una tasa de interés de mora del 12%. El 10 de Septiembre la empresa conviene pagar todo el 25 de Diciembre. a) 10.000 que vence el 14 de Agosto b) 20.000 que vence el 14 de Septiembre c) 30.000 que vence el 14 de Octubre

a) 10.000 que vence el 14 de Agosto, Existen 27 días desde el 14 de Agosto

hasta el 10 de Septiembre

( )niCS += 1

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+= 12,0

360271000.10S

090.10=S

b) 20.000 que vence el 14 de Septiembre

( )niVNVL −= 1

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= 09,0

36041000.20VL

00,930.19=VL



c) 30.000 que vence el 14 de Octubre

( )niVNVL −= 1

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= 09,0

360341000.30VL

00,745.29=VL

VL = 10.090,00 + 19.930,00 + 29.745,00 = 59.755,00

( )niVNVL −= 1

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= 09,0

360106100,755.59VL

61,381.61=VL

CAP. II. Ventas a Crédito a Corto Plazo


Capítulo II

Ventas a Crédito a Corto Plazo

Objetivos En este capítulo se determinará el cálculo de las cuotas a ser canceladas por las compras a crédito, los intereses que un establecimiento comercial aplica y los descuentos ofertados en las ventas a crédito.


Pagarés con intereses. Ventas a plazo. Cancelación de deudas mediante pagos parciales. Calcular intereses efectivos en deudas con abonos parciales. Intereses en las diferentes modalidades de ventas a plazo. Planes de ventas a plazo.

Hoy por hoy, se ha generalizado por parte de las casas comerciales el crédito a los clientes, cambiando de forma drástica el negocio real de las casas comerciales, estos créditos, son también llamados pagos parciales o abonos a la cuenta dentro del plazo convenido para cancelar la obligación, en lugar de un solo pago a la fecha de su vencimiento.

En este tipo de obligaciones financieras presentan varias alternativas y el análisis y cálculo de los valores en juego deberán hacerse de acuerdo con las costumbres locales o exigencias de cada proveedor.

1. Comisiones

Las comisiones se pagan o cobran por la prestación de un servicio, la misma que se expresa en tanto por ciento del valor total y no tiene afectación del tiempo.

De esta manera, si para la venta de automóvil se pacta con el vendedor una comisión del 1% del valor del vehículo, esto significa que se le pagará la suma de 1 dólar por cada 100 unidades del valor de la venta.

Si el valor del bien se denomina (C), denominado también como el valor sobre el cual se ha de pagar una comisión.

Fórmula No. 11

CiR =



2. Descuentos Comerciales

Un recurso utilizado por las empresas para dinamizar las ventas, ha sido establecer o generar promociones y rebajas (descuentos), muchos de los proveedores de grandes empresas para incrementar el volumen de sus ventas, generan descuentos por pronto pago, por volúmenes importantes, por comprar en fechas especiales, etc. Los motivos pueden ser variados, desde la obtención de recursos hasta aumentar mayor participación de mercado.

Los descuentos al igual que las comisiones se las expresan en tanto por ciento y en su valor no interviene el tiempo en su cálculo.

El descuento se lo realiza sobre el valor de la factura la cual denominaremos (S).

CiR =

Fórmula No. 12 SiDDescuento ==

Valor Neto de la Factura.- El valor neto de la factura es igual al valor facturado menos el descuento asignado.

S = Monto facturado o valor de la factura

VN = Valor neto de la factura

i = d/100 tanto por uno de descuento

SiSDSVN −=−=

Fórmula No. 13

( )iSVN −= 1

2.1. Descuento por Pronto Pago

Los proveedores de materias primas, suministros y artículos en general acostumbran ofrecer descuentos, esto permite al empresario (comprador) generar ahorros importantes después de hacer una evaluación entre varias alternativas, su forma de pago, el tiempo o plazo de pago, la elección depende de que es más conveniente.



Si embargo en este libro se realizará únicamente los cálculos de los descuentos.

Si un Mayorista ofrece un plazo de pago a 60 días, esto significa que el comprador queda obligado a pagar a los 60 días contados a partir de la fecha de la factura, sobre el precio facturado se ofrecen los descuentos por pronto pago, estos descuentos se acostumbra indicar por medio de fracciones, cuyo numerador señala el tanto por ciento de descuento y cuyo denominador se refiere al tiempo dentro del cual el comprador tiene la opción de pagar para tener derecho al descuento señalado.

Por ejemplo. Un comerciante factura una mercancía por valor de 50.000 dólares el 1ero de Enero, la empresa le ofrece varias opciones de pago o de financiamiento.

1) Neto a 45 días

2) 3 / 20

3) 5% de contado

Si el comprador decide pagar a 45 días, el pago deberá ser 50.000 dólares.

( )iSVN −= 1

000.50=VN

Si el comprador decide pagar a 20 días, el pago deberá ser 48.500 dólares, acogiéndose al descuento de 3%.

( )iSVN −= 1

( )03,01000.50 −=VN

500.48=VN

Pero si decide pagar de contado contra factura debe cancelar 47.500 dólares.

( )iSVN −= 1

( )05,01000.50 −=VN

500.47=VN



2.2. Descuentos en Cadena o en Serie

En los almacenes o tiendas especializadas y en época definidas se establecen varios descuentos sobre una misma compra o factura, las razones pueden ser variadas, estos beneficios se los denomina descuentos en serie o en cadena.

Por tratarse de descuentos independientes, cada uno se efectúa con base al valor neto de la factura, después de haberse deducido el descuento inmediatamente anterior.

Por ejemplo. Sobre una factura de 80.000 dólares se conceden los siguientes descuentos.

1. Por compra al por mayor 10%

2. Por promoción especial de ventas 5%

3. Por despachos sin empaques 2%

Estos descuentos en cadena operan así:

Valor neto por pagar = 67.032 dólares

Descuento Único Equivalente.- También conocido como descuento en cadena, d1, d2, d3, …,dn., ofrecidos sobre una misma factura.

El valor neto es dado por la fórmula

VN = S (1 - i)

Ya habrá podido notar que es la misma fórmula del monto de interés simple, pero con la diferencia de no tener el factor de tiempo y el valor de (i), es descontado al contrario de ser agregado, por tanto (i) es el tanto por uno correspondiente al descuento (d%).

Fórmula No. 14

)1)...(1)(1)(1( 321 nn iiiiSVN −−−−=



)1)...(1)(1)(1( 321 nn iiiiSVN −−−−=

)02,01)(05,01)(10,01(000.80 −−−=nVN

)8379,0(000.80=nVN

00,032.67=nVN

Fórmula No. 15

)1)...(1)(1)(1(1 321 niiiii −−−−−=

)02,01)(05,01)(10,01(1 −−−−=i

)8379,0(1−=i

%21,161621,0 ==i

Por ejemplo. Calcular el valor neto de una factura de 80.000 dólares con los descuentos en cadena del 9%, 4%, 6% y 2% y calcular el descuento equivalente único.

)1)...(1)(1)(1( 321 nn iiiiSVN −−−−=

)02,01)(06,01)(04,01)(09,01(000.80 −−−−=nVN

)804760,0(000.80=nVN

83,380.64=nVN

Descuento único equivalente

)1)...(1)(1)(1(1 321 niiiii −−−−−=

)02,01)(06,01)(04,01)(09,01(1 −−−−−=i

)804760,0(1−=i

%52,1919524,0 ==i



3. Pagos de los Intereses

Como ya se mencionó anteriormente en las ventas a crédito, se utiliza instrumentos financieros como los pagarés para sustentar varias transacciones.

Por ejemplo, un pagaré de 100 dólares con interés del 20% y con un vencimiento a un año plazo, en el cual se obliga al deudor a pagar los intereses por trimestres vencido.

Es importante en cada obligación financiera utilizar la línea de tiempo para poder graficar y tener un mejor entendimiento, en esta gráfica se debe fijar la fecha focal a la fecha de vencimiento del pagaré, en esta etapa debemos considerar que los intereses pagados al final de cada trimestre ganan intereses, a la misma tasa del pagaré, hasta la fecha de vencimiento.

Recordemos el capítulo anterior y procedemos a calcular los montos en la fecha focal y designándolos sucesivamente por F1, F2, F3,...Fn, valores futuros o montos, y por (C) el valor presente.

F1 = 5 [1 + (3/4)*(0.20)] = 5*(1 + 0,15) = 5.75

F2 = 5 [1 + (1/2)*(0.20)] = 5*(1 + 0,10) = 5.50

F3 = 5 [1 + (1/4)*(0.20)] = 5*(1 + 0,05) = 5.25

En la fecha del vencimiento, el deudor deberá pagar el valor del pagaré más los intereses del último trimestre, es decir 105 dólares, agregando a este valor los valores futuros F1, F2 y F3, se tiene el valor futuro en la fecha focal.

F = 105.00 + 5.75 + 5.50 + 5.25

F = 121.50

Este valor futuro muestra que los intereses corresponden a un pagaré de 100 dólares, a la tasa efectiva del 21,50%, cifra mayor que la tasa nominal del pagaré.



4. Pagos Parciales

Existen dos tratamientos importantes para las obligaciones financieras que permiten pagos parciales en lugar de realizar un solo pago, hay diferentes criterios para solucionarlos.

Regla Comercial.- Esta regla indica básicamente que tanto la deuda como los abonos tienen derecho a generar intereses, es el reconocimiento de que el dinero del deudor también tiene valor.

La deuda u obligación financiera la designaremos como (S) en la fecha de vencimiento, F1, F2, ..., Fn los valores futuros de los distintos abonos en la misma fecha y (X) la cantidad por liquidar, aplicando la regla comercial, la ecuación de equivalencia es.

X = S - (F1 + F2 + ...+ Fn)

Por ejemplo. Una persona firma un pagaré de 50.000 dólares a 8 meses plazo con el 10% de interés, antes del vencimiento efectúa los siguientes abonos a la deuda, 10.000 dólares al 2 meses y 30.000 dólares a los 5 meses de firmada la obligación financiera ¿Hallar el saldo que debe pagar al vencimiento aplicando la regla comercia?

Regla comercial

( )niCS += 1

( ) 33,333.5310,0128100,000.50 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=S

( ) 00,500.1010,0126100,000.101 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=S

( ) 00,750.3010,0123100,000.301 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=S

00,750.3000,500.1033,333.53 −−=S

33,083.12=S

Regla Americana.- También conocida como la regla de los saldos insolutos, esta regla no considera que el dinero del deudor que abono tiene valor alguno, es decir desconoce el valor del mismo y por consiguiente no genera intereses, cada vez que se hace un abono debe calcularse el monto de la deuda (capital más los intereses) hasta la fecha del mismo y restar el valor del abono, así se obtiene el saldo insoluto (saldo a un no cancelado) en esa fecha.



Una persona firma un pagaré de 50.000 dólares a 8 meses plazo con el 10% de interés, antes del vencimiento efectúa los siguientes abonos a la deuda, 10.000 dólares al 2 meses y 30.000 dólares a los 5 meses de firmada la obligación financiera ¿Hallar el saldo que debe pagar al vencimiento aplicando la regla americana?

Regla americana (Saldo Insoluto)

( ) 33,833.5010,0122100,000.50 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=S

Pago 1 50.833,33 – 10.000 = 40.833,33

( ) 16,854.4110,0123133,833.401 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=S

Pago 2 41.854,16 – 30.000 = 11.854,16

( ) 14,150.1210,0123116,854.111 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=S

5. Ventas a Plazos

Es un secreto a voces, que al precio de contado se carga una suma adicional por venta a plazos o a crédito, parte de esta suma es por concepto de intereses sobre la deuda que contrae el comprador y otra parte es para cubrir el mayor costo que significa la venta a plazos.

Los costos adicionales de una venta a plazos tienen que ver con los costos o gastos de contabilidad, cobranzas, investigación de créditos (análisis de riesgo), gastos legales, deudas incobrables y otros.

Pagos Periódicos Iguales.- En el comercio, la costumbre más generalizada para las ventas a plazos es la modalidad de pagos periódicos iguales, para poder determinar el valor de estos pagos periódicos o también llamadas cuotas.

La costumbre permite que al precio de contado se haga un cargo por concepto de interés por las ventas a plazos, de este valor se resta la cuota inicial y el saldo se divide por el número de pagos convenidos.

Fórmula No. 16

gosNúmerodePaInterésalCuotaIniciadoeciodeContValorcuota +−

=Pr



Saldo insoluto = (precio de contado - cuota inicial)

gosNúmerodePaInterésutoSaldoInsolValorcuota +

=

5. Calculo de la Tasas de Interés Aplicada a la Ventas a Crédito

Según la Regla Comercial.- Para (p) pagos parciales, se escoge como fecha focal la fecha de vencimiento de la obligación.

Para el caso de ventas a plazos, se trata de la fecha de pago para la última cuota de la compra a plazos.

Fórmula No. 17

( ) ( )112

−−+=

nInBmIi

Para un mejor entendimiento se explicará los significados de los componentes de la nomenclatura.

B = Saldo insoluto = valor de contado - pago inicial I = Intereses en monedas (dólares) n = Número de pagos excluyendo el pago inicial R = Valor del pago periódico o cuota m = Número de períodos o plazos contenidos en un año i = Tasa anual de interés expresada en tanto por ciento n/m = Tiempo expresado en años

Fórmula No. 18

BRnI −=

Una casa comercial ofrece electrodomésticos por un valor de 1.000 dólares con una cuota inicial de.200 dólares y el saldo a 12 mensualidades de 80 dólares ¿Calcular la tasa de interés cargada a la venta?

Regla comercial

B = 1.000 – 200 = 800 I = (80 * 12) – 800 = 160

n = 12 meses m = 12 meses



( ) ( )112

−−+=

nInBmIi

)112(160)112(800)160)(12(2

−−+=i

760.1400.10840.3−

=i

%44,44=i

Tasa de Descuento Bancario.- En este tipo de descuento se considera como el saldo insoluto (B) como el valor efectivo o actual de los pagos futuros, se tienen (n) pagos de valor (R), en períodos iguales (1/m) de año, a la tasa de descuento (d).

Fórmula No. 19

( )12

+=

nRnmId



Resumen En las ventas a crédito y especialmente en establecimiento comercial se hace uso de diferentes alternativas de cálculo dependiendo de las formas en las que se quiera potencializar las ventas. Se realiza una presentación de las diferentes formas de cálculo, nótese sin embargo, que en este tipo de problemas financieros no se utiliza el factor tiempo, como es el caso de las comisiones pagadas a empleados, en rebajas de precio o descuentos por múltiples razones como pronto pago, montos altos, ofertas de temporada entre otras. Únicamente afecta el factor de interés, consideración que es aplicada según las condiciones en las que fue ofertada. Se establece por consiguiente las formas de cálculo de los descuentos por pronto pago, los descuentos en cadena y el descuento único equivalente. También se realiza un análisis del cálculo de los intereses que realmente fueron cobrados y la diferenciación práctica de un interés nominal versus un interés efectivo y la forma que se pueden utilizar para disfrazar el verdadero costo del financiamiento ofertado a los clientes.




1. Un inversionista presta 50.000 dólares a una persona a un año plazo, el instrumento financiero utilizado es el pagaré el mismo que gana un interés del 15%, con el cual el deudor se compromete a pagar los intereses por trimestre vencido ¿Hallar la tasa de interés cobrada, si las cuotas son vencidas y anticipadas?

El primer paso es calcular el interés a pagarse durante el período acordado.

CniI =

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

4115,0000.50I

00,875.1=I

Recuerde que los intereses pagados también ganan interés hasta el período final.

( )niCS += 1

( ) 94,085.215,043100,875.11 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=S

( ) 63,015.215,042100,875.12 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=S

( ) 31,945.115,041100,875.13 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=S

00,875.14 =S

4321 SSSSS +++=

00,875.131,945.163,015.294,085.2 +++=S 88,921.7=S



Tasa efectiva de interés cobrada

CnIi =

1*000.5088,921.7

=i

%84,15=i

¿Qué sucede cuando cambia de forma vencida a anticipada las cuotas?

El calculo del interés es el mismo únicamente cambia de vencida a anticipada.

( )niCS += 1

( ) 25,156.215,044100,875.11 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=S

( ) 94,085.215,043100,875.12 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=S

( ) 63,015.215,042100,875.13 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=S

( ) 31,945.115,041100,875.14 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=S

4321 SSSSS +++=

31,945.163,015.294,085.225,156.2 +++=S

13,203.8=S



Tasa efectiva de interés cobrada anticipadamente

CnIi =

1*000.5013,203.8

=i

%40,16=i

La tasa efectiva anticipada es mucho más alta que la tasa efectiva vencida cobrada.

2. Un banco local descuenta un pagaré de 80.000 dólares a 15 meses plazo, un trimestre antes, con un interés del 8% anual, pagadero por trimestre anticipado ¿Hallar la tasa efectiva de descuento bancario?

El primer paso es calcular el interés a pagar se durante el período acordado.

CniI =

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

4108,0000.80I

00,600.1=I

Recuerde que los intereses pagados también ganan interés hasta el período final.

( )niCS += 1

00,600.15 =S



( ) 00,632.108,041100,600.14 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=S

( ) 00,664.108,042100,600.13 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=S

( ) 00,696.108,043100,600.12 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=S

( ) 00,728.108,044100,600.11 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=S

54321 SSSSSS ++++=

00,600.100,632.100,664.100,696.100,728.1 ++++=S

00,320.8=S

Tasa de descuento bancaria efectiva

CnDd =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

45000.80

00,320.8i

%32,8=i

3. Una persona firma un pagaré de 90.000 dólares a 9 meses plazo con el 9% de

interés, antes del vencimiento efectúa los siguientes abonos a la deuda, 20.000 dólares al mes y 30.000 dólares a los 5 meses de firmada la obligación financiera ¿Hallar el saldo que debe pagar al vencimiento aplicando la regla comercial y la regla del saldo insoluto?

Regla comercial

( )niCS += 1

( ) 00,075.9609,0129100,000.90 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=S



( ) 00,200.2109,0128100,000.201 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=S

( ) 00,900.3009,0124100,000.301 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=S

900.30200.21075.96 −−=S

00,975.43=S

Regla americana (Saldo Insoluto)

( ) 00,675.9009,0121100,000.90 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=S

Pago 1 90.675 – 20.000 = 70.675

( ) 25,795.7209,0124100,675.701 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=S

Pago 2 72.795,25 – 30.000 = 42.795,25

( ) 10,079.4409,0124125,795.421 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=S

Como se puede apreciar al utilizar la regla de los saldos insolutos se ignora o se descarta que el dinero aportado o abonado por el cliente tenga valor, únicamente gana intereses la deuda.

4. Como es sabido, es una costumbre generalizada aumentar el precio de venta

de contado digamos por ejemplo en un 10% para la venta plazos a 6 meses y en un 15% para plazos superiores a 6 meses pero inferiores a un año, estas mismas empresas cobran cuota inicial en la venta de sus productos a plazos, en este caso una cuota inicial igual a las cuotas.

La empresa tiene dos clientes el cliente X y el cliente Y, los mismos que adquieren productos por un valor de 10.000 dólares cada uno, el cliente X accede a un plazo de 4 meses con pagos mensuales, mientras que el cliente Y acepta un plazo de 9 meses con pagos mensuales. Regla comercial cliente X

I = 10.000 * 0,10 = 1.000




200.25

000.1000.10=

+=

+=

nICR

..ICCB −=

200.2000.10 −=B

800.7=B

( ) ( )112

−−+=

nInBmIi

)14(000.1)14(800.7)000.1)(12(2

−−+=i

000.3000.39000.24−

=i

%67,66=i

Regla comercial cliente Y

I = 10.000 * 0,15 = 1.500


150.110

500.1000.10=

+=

+=

nICR

..ICCB −=

150.1000.10 −=B

850.8=B

( ) ( )112

−−+=

nInBmIi

)19(500.1)19(850.8)500.1)(12(2

−−+=i

000.12500.88000.36−

=i

%06,47=i



5. Una comercializadora ofrece productos por un valor de 8.000 dólares con una cuota inicial de 1.600 dólares y el saldo a 12 mensual de 600 dólares ¿Calcular la tasa de interés cargada a la venta?

Regla comercial

B = 8.000 – 1.600 = 6.400

I = (600 * 12) – 6.400 = 800 n = 12 meses m = 12 meses

( ) ( )112

−−+=

nInBmIi

)112(800)112(400.6)800)(12(2

−−+=i

800.8200.83200.19−

=i

%81,25=i

6. Un comerciante vende electrodomésticos por valor de 10.000 dólares para

promover sus ventas ofrece crédito para pagar en 12 cuotas mensuales de 900 dólares cada cuota y recibe la primera como cuota inicial ¿Calcular la tasa de descuento bancario?

( )12

+=

nRnmId

R = 900

B = 10.000 – 900 = 9.100 m = 12 n = 11

I = 900 (11)

I = 9.900 – 9.100 I = 800

( )( )( )( )11111900

800122+

=d

800.118200.19

=d

%16.16=d



7. En la práctica es común encontrar que una casa comercial ofrece la venta de un producto por ejemplo a 20.000 dólares, si la compra se la realiza de contado ofrecen una rebaja del precio establecido en la tarjeta digamos 10% de descuento por pago de contado, mientras que a plazos ofrecen crédito a 24 meses, para este tipo de crédito se incrementa 2.000 dólares adicionales y se exige una cuota inicial de 4.000 dólares ¿Calcular la tasa cargada?

Desde el punto de vista del comerciante.

( ) ( )112

−−+=

nInBmIi

)124(000.2)124(000.16)000.2)(12(2

−−+=i

000.46000.400000.48−

=i

%56,13=i

Desde el punto de vista financiero

Valor de contado = 20.000 – (20.000 * 0,10) = 18.000

..ICCB −=

B = 18.000 – 4.000 = 14.000

El precio de contado es 18.000, ya que los 20.000 son un precio sobrevalorado.

24000.4000.2000.20 −+

=R

24000.18

=R

750=R

)124(000.4)124(000.14)000.4)(12(2

−−+=i

000.92000.350000.96−

=i

%21,37=i



8. En un casa comercial se establecen dos tipos de financiamiento por la compra de sus electrodomésticos el valor de contado de la refrigeradora de dos puertas es 2.000 dólares, en la prima forma de crédito, se ofrece el crédito de la casa a 6 meses plazo con un interés del 8% anual y se solicita una cuota inicial de 250 dólares. La segunda forma de crédito es en base a tarjetas a 6 meses plazo, con una cuota inicial de 250 dólares y al mismo interés del 8% ¿Hallar el valor de cada cuota?

Crédito directo

B = 2.000 – 250 = 1.750

( ) ( )112

−−+=

nInBmIi

)16()16(750.1)12(208,0

−−+=

II

II

5250.122408,0

−=

( ) II 245250.1208,0 =−

II 244,0980 =−

9804,024 =− II

6,23980

=I

53,41=I

nIBR +

=

653,41750.1 +

=R

653,791.1

=R

59,298=R

Establecer el interés cargado

298,59 * 6 = 1.791,48



1.791,48 – 1.750,00 = 41,48

( ) ( )112

−−+=

nInBmIi

( )

( ) ( )1648,4116750.148,41122

−−+=i

40,207250.1252,995

−=i

%26,8=i

Tarjetas de crédito

B = 2.000 – 250 = 1.750

( )

nBniR +

=1

6

750.108,01261 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=R

( )

6750.104,1

=R

33,303=R

Establecer el interés cargado

303,33 * 6 = 1.819,98

1.819,98 – 1.750,00 = 69,98

( ) ( )112

−−+=

nInBmIi

( )

( ) ( )1698,6916750.198,69122

−−+=i

90,349250.1252,679.1

−=i

%11,14=i

CAP. III. Interés Compuesto


Capítulo III

Interés Compuesto

Objetivo El objetivo de este capítulo es proporcionar el conocimiento del valor del dinero en el tiempo y las herramientas de cálculo del interés compuesto aplicables a ciertas obligaciones financieras.

Objetivos Específico

Calcular el interés compuesto. Calcular el monto o valor futuro. Calcular las tasas y plazos. Diferenciar entre tasa nominal y tasa efectiva. Determinar las tasas equivalentes. Calcular valores actuales o presentes. Valores futuros o montos a interés compuesto. Ecuaciones de valores equivalentes y diagramas de flujos de caja. Obligaciones que devengan o no intereses.

En el interés simple, el capital permanece constante hasta la extinción de la obligación únicamente este genera intereses y es utilizado mayormente en obligaciones comerciales, mientras que en el interés compuesto se agregan los intereses al capital en cada una de las fracciones de tiempo en el cual está dividida la obligación, intereses que se convertirán en un nuevo capital llamado monto y es utilizado especialmente en obligaciones con el sistema financiero.

1. Monto o Valor Futuro

Utilizaremos la misma nomenclatura del interés simple para determinar el monto en el interés compuesto, además nos servirá para poder demostrar la diferencia entre ambos.

Interés Simple ( )inCS += 1 Fórmula No. 20

Interés Compuesto ( )niCS += 1 En el interés compuesto cambia radicalmente la utilización del factor tiempo, ya que el interés se capitaliza el número de veces en la que se divida el plazo de duración de la obligación. El monto por consiguiente es la suma del capital, los intereses de este capital más los intereses generados de los intereses devengados en los períodos intermedios. Usted se preguntara ¿Existe capitalización de intereses? La respuesta es SÍ.



Grafica 3 – 1 Diagrama de Tiempo o Línea de Tiempo

Se utiliza la misma nomenclatura antes estudiada.

S = Monto = F = VF C = Capital = P = VP i = Tanto por uno en el período n = Tiempo

ni)1( + factor de valor futuro, también conocido como factor de crecimiento en interés compuesto.

En la práctica se utilizan calculadoras, computadoras o tablas financieras en las que los valores de ni)1( + están calculados hasta con diez decimales, para las tasas más utilizadas y para valores de (n) desde 1 hasta 150 períodos.

2. Tasa de Interés Nominal, Tasa Efectiva y Tasas Equivalentes

Recuerde que en el interés simple se habló de la tasas contractuales o tasa nominales, son las tasas que constan en el contrato, mientras que la tasa efectiva de interés es la que realmente actúa sobre el capital de la operación financiera.

Tasa de Interés Nominal.- Puede ser igual o distinta de la tasa efectiva y esto sólo depende de las condiciones convenidas para la operación, es decir, depende de cuantas veces el tiempo sea dividido.

Para graficar lo expresado tenemos que agregar a la nomenclatura, ya establecida un nuevo componente.

m = Número de veces en que se divide el año

La fórmula anteriormente expresada es modificada

De ( )niCS += 1

Fórmula No. 21

mn

mjCS

*

1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=



El año, tiempo en que esta expresado una tasa de interés, puede dividirse en 12 meses, 6 bimestres, 4 trimestres, 3 cuatrimestres, 2 semestres, 52 semanas, 26 quincenas e incluso en 360 días (365 – 366).

Por ejemplo. Si se presta un capital al 8% de interés con capitalización trimestral, el 8% es la tasa nominal anual, la tasa efectiva queda expresada por los intereses que corresponden a 100 dólares en un año en las condiciones del préstamo. ¿Calcular el monto?

mn

mjCS

*

1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

4*1

408,01100 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=S

24,108=S


1.- FIN

2.- VDT

3.- OTRO

4.- 4

5.- P/AÑOS

6.- FINAL

7.- EXIT

8.- CLEAR DATA

9.- 4

10.- N

11.- 8

12.- %IA

13. 100

14. +/-

15. V.A.

16. V.F.

17. 108.24



Tasa Equivalente.- Es aquella tasa en la que se busca equiparar otra tasa que se plantea en condiciones diferentes y se demuestra que son iguales, ya que producen la misma (TEA) tasa efectiva anual, recuerde que solo se puede comparar tasas equivalentes.

i = Tasa efectiva anual j = Tasa nominal anual m = Número de veces en que se divide el año

Cuando se tiene una tasa del 8% con capitalización trimestral se entiende que el tiempo de un año se divide en 4 (m = 4); y la tasa se considera nominal j = 8; j/m = 8 / 4 = 2%.

Tasa Nominal y Tasa Efectiva.- Para este capítulo utilizaremos o definiremos a la tasa (i) como tasa efectiva y a la (j) como tasa nominal.

La tasa efectiva puede ser comparada únicamente con otra tasa efectiva para poder tomar una decisión acertada, si no es el caso, se puede buscar la equivalencia para facilitar el análisis, una tasa efectiva es expresada regularmente para un año, mientras que una tasa nominal puede ser expresada en varios períodos dentro de un año.

La ecuación de equivalencia, para calcular la tasa equivalente es.

Fórmula No. 22

m

mji ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+ 11

La fórmula permite calcular la tasa efectiva equivalente de una tasa nominal (j) capitalizable (m) veces en el año.

En el ejemplo anterior se puede apreciar que se plantea una tasa de interés del 8% capitalizable trimestralmente. ¿Encontremos entonces la tasa efectiva?

Fórmula para el Cálculo de la Tasa Efectiva

Fórmula No. 23

11 −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

m

mji

1408,01

4

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=i

%24,8=i



El 8% del ejemplo es la tasa contractual, la tasa en la que un préstamo es concedido a una persona y el 8,24% es la tasa realmente pagada por el beneficiario.


1.- FIN

2.- CONVI

3.- EFECT

4.- 8

5.- %NOM

6.- 4

7.- P

8.- %EFE

9.- 8.24

Despejando (j) en la fórmula se tiene.

Cuando se tiene una tasa efectiva, se puede encontrar una tasa nominal para cualquier tipo de periodo, para este objetivo utilizaremos la siguiente fórmula:

Fórmula para el Cálculo de la Tasa Nominal

Fórmula No. 24

( )[ ]111−+= mimj


1.- FIN

2.- CONVI

3.- EFECT

4.- 8.24

5.- %EFE

6.- 4

7.- P

8.- %NOM

9.- = 8



3. Cálculo de la Tasa de Interés Compuesto

Cuando se obtiene un crédito es frecuente conocer el capital a solicitar, el tiempo y el monto a pagar, pero se desconoce el costo de esa deuda, en otras palabras se desconoce la tasa de interés cargada al préstamo.

Por ejemplo. Una persona consigue un préstamo de 1.000 dólares y termina pagando 1.200 al cabo de un año a una tasa convertible mensualmente ¿Hallar la tasa de interés nominal cargada?


1.- FIN

2.- VDT

3.- OTRO

4.- 12

5.- P/AÑOS

6.- FINAL

7.- EXIT

8.- CLEAR DATA

9.- 12

10.- N

11.- 1000

12.- V.A.

13.- 1200

14.- +/-

15.- V.F.

16.- %IA

17.- 18.37

Recuerde que la tasa de interés es del 18,37% nominal pero la tasa real pagada es del 20%, se obtiene el mismo resultado al dividir 200 para 1.000 = 20%, o puede utilizar la siguiente fórmula:

1121837,01

12

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=i

%20=i



4. Capital, Valor Actual o Valor presente

En el mundo de las finanzas o de los negocios gira en torno a determinar ¿Cuánto vale hoy el dinero del futuro?, contestar esta pregunta resuelve muchas interrogantes y nos ayuda en la toma de decisiones de inversión en la evaluación de proyectos.

El valor presente también es conocido como valor actual o capital, que en el tiempo de hoy un valor futuro será evaluado, en otras palabras, el valor futuro tendrá su equivalencia el día de hoy.

Fórmula No. 25

( )niSC+

=1

( )( )niSC −+= 1

El factor (1 + i) n− es el valor presente de un valor futuro de una unidad por recibir dentro de (n) períodos de capitalización, a la tasa efectiva (i) por período. También se lo puede denominar como factor de decrecimiento.

La fórmula para el valor actual a la tasa (j) capitalizable (m) veces en el año se obtiene remplazando (i).

Fórmula No. 26

( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

− mn

mjSC

*

1

5. Descuento a Interés Compuesto

El descuento compuesto es la diferencia entre el valor futuro por pagar y su valor presente.

Fórmula No. 27

CSD −=

niSC −+= )1(

( ) niSSD −+−= 1

niSD −+−= ))1(1(

( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

− mn

mjSD

*

11



Por ejemplo. Digamos que se conoce que una persona tiene 108.24 dólares y se quiere saber con cuanto empezó a ahorrar, si se sabe que la inversión la realizó a una tasa del 8% con capitalización trimestral durante un año.


1.- FIN

2.- VDT

3.- OTRO

4.- 4

5.- P/AÑOS

6.- FINAL

7.- EXIT

8.- CLEAR DATA

9.- 4

10.- N

11.- 8

12.- %IA

13.- 108.24

14.- +/-

15.- V.F.

16.- V.A.

17.- 100

6. Ecuaciones de Valores Equivalentes

Estas ecuaciones son las que permiten igualar o comparar pagos de diferentes fechas y es una forma práctica para buscar una renegociación.

Para este fin al igual de las ecuaciones equivalentes del interés simple se busca una fecha focal.

Los problemas básicos que deben analizarse son:

1. Establecer el valor equivalente que debe pagarse en determinada fecha, de un conjunto de obligaciones que vencen en diferentes fechas.



2. Determinar la fecha o las fechas de vencimiento en que se puede cancelar, mediante un pago único igual o varios equivalentes a la suma de los valores de un conjunto de obligaciones que tienen distintas fechas de vencimiento.

Por ejemplo. Una persona adquirió varias deudas en el pasado y pretende cambiar o reestructurar esas deudas, la persona debe 1.000 dólares el cual debe ser cancelado en 1 mes, 2.000 en 2 meses y 5.000 en 3 meses, para lo cual conviene y logra reestructurar su deuda por un solo pago a 6 meses. ¿Cuánto debe pagar? si la tasa convenida es del 10% de interés anual convertible mensualmente.

Gráfica 3 – 2 Ecuaciones Equivalentes

( )niCS += 1

345

1210,01000.5

1210,01000.2

1210,01000.1 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=S

S = 1.042,37 + 2.067,51 + 5.126,05

S = 8.235,93 dólares

La respuesta correcta, después de haber recordado que no se suman peras con piñas es, la deuda que debe ser pagada a 6 meses por parte de la persona es 8.235,93 dólares, los valores de 1.000, de 2.000 y 5.000 dólares expresados en 1, 2 y 3 meses, son equivalentes a un solo pago a 6 meses de 8.235,93 dólares corrigiendo los cambios debido a la influencia del interés y el tiempo.



Resumen En el interés compuesto se aplica el crecimiento de los valores de forma continua, en donde se establece el tiempo como exponencial, en este tipo de cálculo los intereses se capitalizan en función del número de periodos que se dividen el tiempo o plazo establecido por la obligación financiera. En este tipo de cálculos se agrega el concepto de capitalización, que no es otra cosa que agregar los intereses periódicos al nuevo capital a ser calculado. Se presentan también conceptos mucho más elaborados de las diferencias entre tasas nominales y efectivas y la relación de los periodos con las mismas, es imperativo sin embargo, analizar dos modificaciones que están relacionadas con el factor de crecimiento, esta tiene que ver con la tasas aplicadas y su correlación con el tiempo o periodos en los cuales está dividido el año. Bajo este criterio y para mejorar el análisis se presentan también las fórmulas para calcular las tasas equivalentes desde una tasa nominal hacia una tasa efectiva o viceversa, también se puede obtener de una tasa nominal a un periodo de terminado a otra tasa nominal. El entendimiento de este capítulo es determinante para la comprensión y análisis de los capítulos presentados a continuación. Este capítulo presenta ciertas complicaciones al estudiantes de matemáticas financieras que tiene que ver la terminología utilizada en la división del tiempo, cuando se habla de una tasa del 12% convertible semestralmente, obviamente se está hablando de una tasa nominal, ya que la mismas se está dividiendo o convirtiendo según el periodo semestral, lo lógico por consiguiente sería que el estudiante realice la siguiente operación 0,06 (0,12/2), sin embargo suelen interpretar 0,02 (0,12/6), es decir un año tiene un semestre de 6 meses. Similar situación ocurre con el cuatrimestre, las personas lo confunde con 4 cuatrimestres en el año, los bimestres y lo interpretan con 2 en el año, igual cosa con los trimestres (3), etc. Este es un problema que debe ser tomado en cuenta para no generar errores futuros.




1. Cuando se realiza una inversión se debe escoger la opción más rentable ¿Cómo saber cómo escoger entre estas dos opciones? a) La primera inversión tiene un interés del 3% capitalizable

trimestralmente. b) La segunda inversión tiene un interés del 4% capitalizable

semestralmente.

a) La primera inversión tiene un interés del 3% capitalizable trimestralmente.

11 −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

m

mji

1403,01

4

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=i

%0339,3=i

b) La segunda inversión tiene un interés del 4% capitalizable

semestralmente.

1204,01

2

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=i

%04,4=i

La segunda opción es la más rentable, ya que tiene la tasa efectiva más alta.

2. Calcular la tasa de interés simple equivalente al interés compuesto del 10%

durante 15 años.

puestoInterésComicpleInterésSimis === ( )nicnis +=+ 1*1

( ) 11* −+= nicnis

( )

nicis

n 11 −+=

( )

15110,01 15 −+

=is

%18,21=is



La tasa a interés simple es igual a la tasa de interés compuesto si la obligación financiera es evaluada a un año plazo y sin dividir el tiempo.

( )

1110,01 1 −+

=is

%10=is

La tasa a interés simple es diferente a la tasa de interés compuesto si la obligación financiera es evaluada a un plazo mayor a un año y se divide el tiempo.

Dos Años Dos Semestres

( )2

110,01 2 −+=is

2

1210,01

2

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=is

%50,10=is %25,10=is

Diseñemos un ejemplo más claro, supongamos que se quiere evaluar una inversión de 100 dólares a dos años plazo a una tasa del 10% capitalizable anualmente ¿Cuál es la tasa equivalente?

( ) ( )inCSsiCSc n +==+= 11

( ) ( )2*105,0110010,01100 2 +==+= SsSc 00,12100,121 =

Utilizando el mismo principio, supongamos que se quiere evaluar una inversión de 100 dólares a 15 años plazo a una tasa del 10% capitalizable anualmente ¿Cuál es la tasa equivalente?

( ) ( )inCSsiCSc n +==+= 11

( ) ( )15*2118,0110010,01100 15 +==+= SsSc 72,41772,417 =

3. Un inversionista desea ganar el 10% efectivo anual sobre un préstamo

efectuado a una persona, los intereses son capitalizables semestralmente ¿Hallar la tasa nominal que debe cobrar?

( )( )11 /1 −+= mimj

( )( )110,012 2/1 −+=j

%76,9=j



4. A usted le piden la asesoría de escoger una opción de oferta más rentable. a) 102.000 dólares de contado b) 50.000 dólares de contado y el saldo por medio de dos pagos iguales de

30.000 dólares, de 1 año y 2 años respectivamente, al 10% capitalizable semestralmente.

a) 102.000 dólares de contado

Cuando el pago es de contado no se debe efectuar ningún cambio

b) 50.000 dólares de contado y el saldo por medio de dos pagos iguales

de 30.000 dólares, de 1 año y 2 años respectivamente, al 10% capitalizable semestralmente.

( ) ( ) 21 12

111 nn i

Si

SCC+

++

+=

42

210,01

000.30

210,01

000.30000.50

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+=C

07,681.2488,210.27000.50 ++=C

95,891.101=C

5. Qué tasa capitalizable mensualmente equivale al 5% capitalizable

diariamente.

( )m

mji ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+ 11

36012

36005,01

121 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

j

05126,112

112

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

j

12/1)05126,1(

121 =+

j

%01,5=j

Verifiquemos si ambas tasas nominales son iguales, como podemos comprobar esto, con la tasa de interés efectiva anual.



( )m

mji ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+ 11

( )12

120501,011 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+ i

%12,5=i

( )m

mji ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+ 11

( )360

36005,011 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+ i

%12,5=i

6. Una empresa obtuvo un préstamo de 20.000 dólares a 9 meses plazo, al

cabo de las cuales canceló 26.000 dólares. Si se pactó con el banco una tasa de capitalización mensual ¿A qué tasa pactó el banco?

mn

mjCS

*

1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

Error Frecuente Respuesta Correcta

12

121000.20000.26 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

j

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

121

000.20000.26 12/1 j

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

1210221044,1 j

1210221044,1 j=−

%53,26=j

9

121000.20000.26 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

j

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

121

000.20000.26 9/1 j

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

121029580652,1 j

121029580652,1 j=−

%49,35=j

CAP. IV. Anualidades Vencida y Anticipadas


Capítulo IV

Anualidades Vencidas y Anticipadas

Anualidades Vencidas.

Objetivo Este capítulo en particular tiene el objetivo de definir y calcular los valores de una anualidad y los factores que intervienen en la misma, así como su aplicación en la práctica.

Objetivos Específicos.

Anualidades vencidas concepto. Calcular el monto o valor futuro, valor actual o presente. Calcular las rentas de las anualidades. Calcular las tasas de interés y plazos de anualidades. Diagramas de flujo de caja. Calcular las ecuaciones de equivalencia entre anualidades.

Ojo los estudiantes de matemáticas financieras cometen un error obvio, el confundir la palabra anualidad con un año calendario, pero en realidad las anualidades son pagos iguales en periodos iguales, una anualidad puede ser pagos de 100, 15, 50 dólares, en periodos de semestres, bimestres, cuatrimestres en fin, en todas las divisiones que se puede fraccionar un año.

Gráfica 4 – 1 Anualidad Vencida

La línea de tiempo anterior se la puede interpretar como una anualidad, ya que tienen pagos iguales de 100 dólares y períodos iguales (n), que podrían ser trimestres, meses, semanas, en fin.

Algunos ejemplos de anualidad las encontramos en la vida diaria, el sueldo que recibimos, la cuota del carro o de la casa, en forma empresarial o de inversionista los dividendos sobre acciones, los fondos de amortización, los pagos a las compañías de seguro, entre otras.



Anualidad o Renta.- También llamada cuota, es el valor de cada pago periódico que se realizará para extinguir una obligación financiera.

Periodo de Pago.- Es el tiempo fijado entre pago y pago, el mismo que es invariablemente fijo.

Plazo.- Intervalo de tiempo o duración que se da entre el primer pago y el último.

Tasa.- Es el interés contractualmente fijada para determinar el valor de una anualidad, la misma que puede ser nominal o efectiva.

Características de las anualidades vencidas

Son pagos iguales en períodos de tiempo iguales.

El valor futuro coincide con el último pago o cuota.

El valor actual no coincide con el primer pago o cuota, ya que se realiza un periodo antes.

1. Valor de la Anualidad

Recuerde que una anualidad es un pago igual en periodos iguales, por consiguiente las formas de saber su valor es determinando tanto por el valor actual como el valor futuro de los pagos periódicos.

Valor Futuro

El valor de la anualidad calculado al final del plazo es el valor futuro.

El valor de la anualidad calculado al comienzo es su valor presente.

Estos valores pueden, también, calcularse en fechas intermedias, se refieren a valor futuro de la parte vencida o valor presente de las anualidades por vencer.

En el siguiente ejemplo se presenta la valoración de una anualidad de 100 dólares a 3 años, tanto a valor futuro como a valor presente.

Para el cálculo del valor futuro de estos pagos o cuotas se utilizó la fórmula del valor futuro del interés compuesto, presentado en el capítulo III.

( )niCS += 1

( ) 25,11005,011001 2 =+=S ( ) 00,10505,011002 1 =+=S

00,1001 =S No hay nada que hacer 25,11000,10500,100 ++=S

25,315=S



Gráfica 4 – 2 Valor Futuro de una Anualidad Vencida

Asumiendo que cada período es un año, y tomando en cuenta que las anualidades pueden ser de 30, 40, 50 y n años, aprenderemos más adelante en este capítulo una forma de simplificar los cálculos.

Valor actual.

El valor actual de la anualidad es el resultado de la suma de los valores actuales de los pagos o cuotas periódicas.

Gráfica 4 – 3 Valor Actual de una Anualidad Vencida

Para poder determinar el valor presente de esta anualidad se utilizó la fórmula del interés compuesto, asumiendo que los periodos son iguales a un año.

( )niSC+

=1

( )23,95

05,011001 1 =+

=C

( )70,90

05,011002 2 =+

=C



( )38,86

05,011003 3 =+

=C

38,8670,9023,953 ++=C 31,2723 =C

2. Nomenclatura

S = Monto o valor futuro de una anualidad C = Capital, valor actual o presente de una anualidad A = Pago o cuota periódica de una anualidad n = Número de periodos de pago m = Número de veces que se divide el año i = Tasa efectiva j = Tasa nominal anual j/m = Tasa nominal con (m) periodos de capitalizaciones en el año

3. Valor Futuro (S) y Valor Presente (C)

3.1. Valor futuro.- Los pagos o anualidades (A), efectuados al final de cada periodo crecen ha interés compuesto, hasta la fecha final.

Los valores futuros respectivos de los pagos (A) comenzando por el último serán:

El valor futuro total (S) de la anualidad es igual a la suma de los valores futuros producidos por las distintas rentas o cuotas (A).

Los términos del segundo miembro forman una progresión geométrica de (n) términos, razón (1 + i) y primer término (A). Al aplicar la fórmula se obtiene.

Fórmula No. 28

12321 )1(...)1(...)1()1()1( −− ++++++++= nn iSiSiSiSiSCC

( )iiAS

n 11 −+=

mj

mj

AS

mn

11*

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

Factor de valor futuro de una anualidad.- Si el valor de cada pago (A) es de una unidad monetaria, el valor futuro (S) corresponde al valor futuro de una anualidad de uno por período.



Utilizando los datos de la gráfica 4 – 2, es manejable utilizar la fórmula de interés compuesto!! Sin embargo, si los datos son más extensos digamos 15 o 20 o más pagos como para el financiamiento de una casa o carro, la respuesta sería que NO, es preferible utilizar la fórmula 28 para el cálculo del valor futuro de una anualidad.

( ) 25,31505,0

105,0100,1003

=−+

=S

Observé que se obtiene el mismo resultado independientemente de la formula se use.

Por ejemplo. Para su mayor entendimiento y comprensión, en el siguiente ejercicio se presenta el flujo de caja con varios valores los cuales pueden ser resueltos en base a la fórmula del interés compuesto.

Primera forma de solución Gráfica 4 – 4

Línea de Tiempo Valor Futuro

( )niCS += 1

( ) 85,14106,011001 6 =+=S ( ) 65,26706,012002 5 =+=S ( ) 50,25206,012003 4 =+=S ( ) 20,23806,012004 3 =+=S ( ) 72,22406,012005 2 =+=S

00,06 =S No hay nada que hacer 00,000.17 =S No hay nada que hacer

00,000.100,072,22420,23850,25265,26785,141 ++++++=S

92,124.2=S

Como usted puede notar, se puede resolver un flujo con la fórmula de interés compuesto, solo que el camino es más largo, sin embargo, también se puede solucionar en base a anualidades en forma parcial, ya que los 200 dólares a un año de plazo durante 4 años se convierten en una anualidad.



Segunda forma de solución Gráfica 4 – 5

Línea de Tiempo Valor Futuro

( )niCS += 1

( ) 85,14106,011001 6 =+=S

( )iiAS

n 11 −+=

( ) 92,87406,0

106,0100,20023

=−+

=S

( ) 06,98306,0192,8742 5 =+=S 00,03 =S No hay nada que hacer 00,000.14 =S No hay nada que hacer

00,000.100,092,87485,141 +++=S

92,124.2=S

3.2. Valor Presente.- El valor presente de una anualidad no es otra cosa que el valor de todos los flujos o anualidades futuras descontadas a la tasa (i), expresada como una cantidad (C) de dinero. Fórmula No. 29

( )i

iACn−+−

=11

mjmj

AC

mn*11 −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

=



Con el mismo ejercicio anteriormente utilizado se procederá al cálculo del valor de la anualidad a valor presente.

Utilizando los datos de la gráfica 4 – 3, es preferible utilizar la fórmula 29 para el cálculo del valor presente de una anualidad.

( ) 31,27205,0

05,01100,1003

=+−

=−

C

En el siguiente ejercicio se presenta el flujo de caja con varios valores los cuales pueden ser resueltos en base a la fórmula del interés compuesto.

Primera forma de solución Gráfica 4 – 6

Línea de Tiempo Valor Presente

( )niSC+

=1

( )34,94

06,011001 1 =+

=C

( )00,178

06,012002 2 =+

=C

( )92,167

06,012003 3 =+

=C

( )42,158

06,012004 4 =+

=C

( )46,149

06,012005 5 =+

=C



00,06 =C No hay nada que hacer

( )10,665

06,01000.17 7 =

+=C

00,000.100,046,14942,15892,16700,17834,943 ++++++=C 24,413.13 =C

También se puede solucionar en base a anualidades, ya que los 200 dólares a un año de plazo durante 4 años se convierten en una anualidad. Segunda forma de solución

Gráfica 4 – 7 Línea de Tiempo Valor Presente

( )niSC+

=1

( )34,94

06,011001 1 =+

=C

( )i

iACn−+−

=11

( ) 02,69306,0

06,01100,2004

=+−

=−

C

( )80,653

06,0102,6932 1 =+

=C

( )00,0

06,0103 6 =

+=C



( )10,665

06,01000.14 7 =

+=C

10,66500,080,65323,953 +++=C 24,413.13 =C

4. Cálculo de la Cuota o Anualidad

Es necesario en la práctica conocer sobre el pago, cuota o anualidad periódica para una determinada obligación financiera.

Este cálculo nos ayudará a responder las siguientes preguntas que se realizan con mayor frecuencia una persona

¿Cuál es la cuota mensual que debe ser cancelada para extinguir una obligación financiera en cierto número de años?

¿Qué cantidad de dinero se tendría que ahorrar periódicamente, para alcanzar una inversión objetivo?

¿Con qué cuotas periódicas puede cancelarse una obligación, conociéndose su valor actual, valor futuro y la tasa de interés?

4.1. Cálculo de la Cuota Cuando se Conoce el Valor Futuro.

Fórmula No. 30

( ) 11 −+= ni

iSA

11*

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

= mn

mjmj

SA

El factor recibe el nombre de factor del fondo de amortización ( ) 11 −+ ni

i , análisis que

se ampliará en el capítulo VIII de este libro, corresponde al valor de la renta de una anualidad que incrementara el valor futuro en una unidad monetaria, después de (n) pagos, a la tasa (i) por periodo de pago.

Por ejemplo. Si utilizamos la información del ejercicio base, en donde el valor futuro es de 315.25 a tres años plazo a una tasa de interés del 5% anual. Cuál es el valor de la cuota a ser depositada en un fondo de inversiones?



( ) 105,0105,025,315 3 −+

=A

100=A

4.2. Cálculo de la Cuota Cuando se Conoce el Valor Presente.

Fórmula No. 31

( ) niiCA −+−

=11

mn

mj

mj

CA *

11−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

=

El factor recibe el nombre de factor de amortización ( ) ni

i−+− 11

, análisis que se

ampliará en el capítulo VII de este libro, corresponde al valor de la renta de una anualidad que amortiza una deuda de una unidad monetaria, en (n) pagos, a la tasa (i) por periodo de pago.

Por ejemplo. Si utilizamos la información del ejercicio base, en donde el valor presente es de 272.31 y se realizar tres depósitos cada año a una tasa de interés del 5% anual. Cuál es el valor de la cuota a ser depositada?

( ) 305,01105,031,272 −+−

=A

100=A

5. Cálculo Plazo de una Anualidad Si se conoce el valor futuro (S) o el valor presente (C), la tasa de interés (i) y la anualidad (A), puede calcularse el valor de (n) tiempo o números de pagos, despejando de la siguiente fórmula:

( )iiAS

n 11 −+=



Fórmula No. 32

( )( )( )i

AAiSn+−+

=1log

loglog

En la práctica, el cálculo de (n) se efectúa utilizando un programa de computación o calculadora financiera.

Por ejemplo. Si utilizamos la información del ejercicio base, Una persona quiere invertir en un fondo a tres años plazo a una tasa de interés del 5% anual, con un depósito anual de 100 dólares. En cuantos pagos logrará tener ahorrado 315.25 dólares?

( )( )

( )05,01log100log10025,315*05,0log

+−+

=n

( )

( )05,1log100log1007625,15log −+

=n

021189299,020635678,2 −

=n

021189299,00635678,0

=n

3=n



Resumen El estudio de las anualidades al igual que en el caso de las expresiones relacionadas con los periodos en los que se divide el año en el capitulo anterior, generan un error obvio este es el confundir el termino anualidad con un año. Una anualidad no es otra cosa que un pago periódico siempre igual que se realiza en periodos de intervalos de tiempo iguales, la mensualidad de su automóvil es una anualidad, ya que se puede cancelar, por ejemplo, del 28 al 28 de cada mes digamos un valor de 350,00 dólares. En la práctica las anualidades son altamente utilizadas, ya sea por las casa comerciales y por las instituciones financieras, sin embargo, su aplicación se profundizará más adelante, en este capítulo analizaremos el valor presente de las mismas, su valor futuro, el análisis del valor de pago periódico (anualidad), en este capítulo se sigue manteniendo la complejidad entre el entendimiento de las tasas y el tiempo, que debe ser cuidadosamente estudiado. Se hace necesaria la utilización de flujo de caja y diagramas para un mejor entendimiento y resolución de problemas financieros, así como el cálculo del número de pagos para poder extinguir una deuda.




1. Una persona realiza depósitos de 1.000 dólares al final de cada año, durante los 18 años de edad de su hija para costear sus estudios universitarios, en una cuenta de ahorros que gana el 3% de interés ¿Hallar el valor futuro?

( )

iiAS

n 11 −+=

( )

03,0103,01000.1

18 −+=S

44,414.23=S


1.- FIN

2.- VDT

3.- OTRO

4.- 1

5.- P/AÑO

6.- FINAL

7.- EXIT

8.- CLEAR DATA

9.- 18

10.- N

11.- 3

12.- %IA

13.- 1000

14.- +/-

15.- PAGO

16.- VF = 23.414.44

2. Una persona pretende entregar una renta de 2.000 dólares a un orfanato durante los próximos 20 años ¿Hallar el costo de la anualidad a la tasa del 10%?

( )

iiAC

n−+−=

11

( )

10.,010,011000.2

20−+−=C

13,027.17=C




1.- FIN

2.- VDT

3.- OTRO

4.- 1

5.- P/AÑO

6.- FINAL

7.- EXIT

8.- CLEAR DATA

9.- 20

10.- N

11.- 10

12.- %IA

13.- 2000

14.- +/-

15.- PAGO

16.- VA = 17.027.13

3. La empresa Televition S.A. vende televisores con una cuota inicial de 50 dólares y 12 cuotas mensuales de 20 dólares, si se carga el 8% de interés con capitalización mensual ¿Hallar el valor de contado?

Valor de Contado = Cuota Inicial + Valor Presente Anualidad

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

+=

−

1208,01208,011

2050

12*1

tadoValordeCon

92,22950 +=tadoValordeCon

92,279=tadoValordeCon

4. Un proveedor de la industria metalmecánica vende materias primas en

50.000 dólares precio de contado, para promover sus ventas idea el siguiente plan de promoción, las ventas a crédito se financiaran con un costos del 2% capitalización mensual, solicitan a sus clientes 10.000 dólares de cuota inicial y el saldo a 6 abonos mensuales ¿Cuál es el valor de la anualidad?

( ) niiCA −+−

=11

mn

mj

mj

CA *

11−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

=



6

1202,011

1202,0

000.40 −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

=A

58,705.6=A

5. Una persona pretende tener ahorrado la suma de 20.000 dólares en un plazo de 15 años, se entero de la existencia de un fondo de amortización promovido por una cooperativa, la cual ofrece el pago de un interés del 8.5% con capitalización mensual, para lo cual esta persona debe depositar una cifra igual cada mes durante los 15 años siguientes empezando desde el fin de mes, ya que será debitado de su cuenta de ahorros cuando sea acreditado su sueldo por la empresa en la que trabaja ¿Hallar el valor del depósito?

( )

iiAS

n 11 −+=

12085,0

112085,01

000.20

12*15

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

= A

( )

0071,019929,0000.20

180 −= A

28,55=A


1.- FIN

2.- VDT

3.- OTRO

4.- 12

5.- P/AÑO

6.- FINAL

7.- EXIT

8.- CLEAR DATA

9.- 180

10.- N

11.- 8.5

12.- %IA

13.- 20000

14.- +/-

15.- VF

16.- PAGO = 55.28



6. Una persona adeuda a una institución financiera local 1.000 dólares, con pagos mensuales de 150 dólares, si el crédito fue obtenido al 8% de interés con capitalizaciones mensuales ¿Hallar el número de depósitos?

( )( )

( )iAAiSn

+−+

=1log

loglog

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=

1208,01log

150log150000.1*1208,0log

n

( )006667,1log150log67,156log −

=n

0028858,0176091,2194977,2 −

=n

84,6=n


1.- FIN

2.- VDT

3.- OTRO

4.- 12

5.- P/AÑO

6.- FINAL

7.- EXIT

8.- CLEAR DATA

9.- 8

10.- %IA

11.- 150

12.- +/-

13.- PAGO

14.- 1000

15.- VA

16.- N = 6.84



Anualidades Anticipadas

Objetivos Este capítulo en particular tiene el objetivo de definir y calcular los valores de una anualidad anticipada y los factores que intervienen en la misma, así como su aplicación en la práctica.


Anualidades anticipadas conceptos. Calcular el monto o valor futuro, valor actual o presente. Rentas o cuotas de las anualidades. Tasas de interés y plazos de anualidades. Diagramas de flujo de caja. Ecuaciones de equivalencia entre anualidades.

En la vida práctica existen varios ejemplos de anualidades anticipadas, por consiguiente es frecuente que los pagos periódicos se efectúen al comienzo de cada período, como por ejemplo el caso del alquiler de un departamento, oficina, pago de seguros, impuestos prediales de propiedades terrenos, edificios y oficinas, entre otras.

Todos estos y muchos valores más se pagan al principio del período o de forma anticipada.

Otros ejemplos

En las ventas a plazos En los seguros, ya sean seguros de bienes en general Seguros de vida o de protección contra riesgos

Características de las anualidades anticipadas

Son pagos iguales en periodos de tiempo iguales. El valor futuro no coincide con el último pago o cuota, ya que esta desplazado

un periodo adicional. El valor actual coincide con el primer pago o cuota.

Las anualidades anticipadas de forma análoga a las anualidades vencidas son pagos sucesivos en periodos iguales pero con la única diferencia que su vencimiento se realiza al inicio del período. Para diferenciar las anualidades anticipadas de las anualidades vencidas es muy útil el siguiente gráfica.



Gráfica 4 – 8 Anualidad Anticipadas

6. Valor de las Anualidades

Recuerde que una anualidad son pagos iguales en períodos iguales, por consiguiente la forma de saber su valor, se puede calcular tanto el valor actual como el valor futuro de los pagos periódicos.

El valor de la anualidad calculado a la fecha final, es el valor futuro.

El valor de la anualidad calculado al comienzo, es su valor presente.

Estos valores pueden, también, calcularse en fechas intermedias, se refieren a valor futuro de la parte vencida o valor presente de las anualidades por vencer.

Gráfica 4 – 9 Valor Futuro de una Anualidad Anticipada

Para el cálculo del valor futuro de estos pagos o cuotas se utilizó la fórmula del valor futuro del interés compuesto.

( )niCS += 1

( ) 76,11505,011001 3 =+=S ( ) 25,11005,011002 2 =+=S ( ) 00,10505,011003 1 =+=S

76,11525,11000,1053 ++=S

01,3313 =S



El valor actual de la anualidad es el resultado de la suma de los valores actuales de los pagos o cuotas periódicas.

Como se habrá podido dar cuenta con solo el estudio de la fórmula del interés compuesto usted podría solucionar varios problemas financieros, ya que tanto las anualidades vencidas como las anualidades anticipadas se derivan de la fórmula del interés compuesto anteriormente estudiada.

Cabe mencionar que las matemáticas son fáciles, por consiguientes. Es de Usted la Decisión.

Gráfica 4 – 10 Valor Actual de una Anualidad Anticipada

Para poder determinar el valor presente de esta anualidad se utilizó la fórmula del interés compuesto, asumiendo que los periodos son iguales a un año.

( )niSC+

=1

1001 =C No hay nada que se deba hacer

( )23,95

05,011002 1 =+

=C

( )70,90

05,011003 2 =+

=C

70,9023,9500,1003 ++=C 93,2853 =C

7. Nomenclatura

Se utiliza la misma simbología utilizada en las anualidades vencidas.



S* = Valor futuro o monto de una anualidad C* = Valor presente o actual de una anualidad A = Pago periódico o renta n = Número de periodos de pago m = Número de capitalizaciones en el año i = Tasa efectiva por periodo de capitalización j = Tasa nominal anual j/m = Tasa nominal con (m) capitalizaciones en el año

8. Valor Futuro

Existen diferentes formas para calcular tanto el valor futuro como el valor presente de las anualidades anticipadas.

Fórmula No. 33

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+=

+

111*1

iiAS

n

( )

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

+

111

*

1*

mj

mj

AS

mn

Utilizando el ejercicio de la anualidad vencida, lo modificamos cambiando los pagos de forma anticipada para poder evidenciar los cambios en el valor futuro utilizando la fórmula del interés compuesto.

Primera forma de solución

Gráfica 4 – 11 Línea de Tiempo Valor Futuro

( )niCS += 1



( ) 36,15006,011001 7 =+=S ( ) 70,28306,012002 6 =+=S ( ) 65,26706,012003 5 =+=S ( ) 50,25206,012004 4 =+=S ( ) 20,23806,012005 3 =+=S

00,06 =S No hay nada que hacer ( ) 00,060.106,01000.17 1 =+=S

00,000.100,020,23850,25265,26770,28336,150 ++++++=S

41,252.2=S

Segunda forma de solución

Gráfica 4 – 12 Línea de Tiempo Valor Futuro

( )niCS += 1 ( ) 36,15006,011001 7 =+=S

( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+=

+

111*1

iiAS

n

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+=

+

106,0

106,01200*14

S

42,927* =S ( )206,0142,9272 +=S

05,042.12 =S

00,03 =S No hay nada que hacer ( ) 00,060.106,01000.14 1 =+=S

00,000.100,005,042.136,150 +++=S

41,252.2=S



9. Valor Actual Fórmula No. 34

( ) ( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+−=

−−

111*1

iiAC

n

( )

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

=

−−

111

*

1*

mj

mj

AC

mn


Gráfica 4 – 12


( )niSC+

=1


( )68,188

06,012002 1 =+

=C

( )00,178

06,012003 2 =+

=C

( )92,167

06,012004 3 =+

=C

( )42,158

06,012005 4 =+

=C




( )96,704

06,01000.17 6 =

+=C

96,70400,042,15892,16700,17868,18800,1003 ++++++=C 98,497.13 =C


Gráfica 4 – 13


( )niSC+

=1


( ) ( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+−=

−−

111*1

iiAC

n

( ) ( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+−=

−−

106,006,011200*

14

C

60,734* =C

( ) ( )693,02

06,0160,734

12 1 =+

=+

= niSC


( )96,704

06,01000.17 6 =

+=C

96,70400,002,69300,1003 +++=C 98,497.13 =C



Resumen En este capítulo se estudia las anualidades anticipadas que al igual que en las anualidades vencidas, son pagos periódicos siempre igual que se realiza en periodos de intervalos de tiempo iguales, la diferencia sin embargo, radica en que su pago se realiza en el inicio del periodo. En este capítulo analizaremos el valor presente de las mismas, su valor futuro, el análisis del valor de pago periódico (anualidad), en este capítulo se sigue manteniendo la complejidad entre el entendimiento de las tasas y el tiempo. Se hace necesaria la utilización de flujo de caja y diagramas para un mejor entendimiento y resolución de problemas financieros, así como el cálculo del número de pagos para poder extinguir una deuda.




1. Una persona realiza depósitos de 1.000 dólares al inicio de cada año, durante los 18 años de edad de su hija para costear sus estudios universitarios, en una cuenta de ahorros que gana el 3% de interés ¿Hallar el valor futuro?

( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+=

+

111*1

iiAS

n

( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+=

+

103,0

103,01000.1*118

S

87,116.24=S


1.- FIN

2.- VDT

3.- OTRO

4.- 1

5.- P/AÑO

6.- INIC

7.- EXIT

8.- CLEAR DATA

9.- 18

10.- N

11.- 3

12.- %IA

13.- 1000

14.- +/-

15.- PAGO

16.- VF = 24.116.87

2. Una persona pretende entregar una renta de 2.000 dólares a un orfanato empezando desde hoy durante los próximos 20 años ¿Hallar el costo de la anualidad a la tasa del 10%?

( ) ( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+−=

−−

111*1

iiAC

n

( ) ( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+−=

−−

110,010,011000.2*

120

C

84,729.18=C




1.- FIN

2.- VDT

3.- OTRO

4.- 1

5.- P/AÑO

6.- INIC

7.- EXIT

8.- CLEAR DATA

9.- 20

10.- N

11.- 10

12.- %IA

13.- 2000

14.- +/-

15.- PAGO

16.- VA = 18.729.84

3. Una persona pretende ahorrar 20.000 dólares en un plazo de 15 años, se

entero de la existencia de un fondo de amortización promovido por una cooperativa la cual ofrece el pago de un interés del 8.5% con capitalización mensual, para lo cual esta persona debe depositar una cifra igual cada mes durante los 15 años siguientes empezando desde el día de hoy ¿Hallar el valor del depósito?

( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+=

+

111*1

iiAS

n

( )

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

+

1

12085,0

112085,01

000.20

112*15

A

89,54=A


1.- FIN

2.- VDT

3.- OTRO

4.- 12

5.- P/AÑO

6.- INIC

7.- EXIT

8.- CLEAR DATA

9.- 180

10.- N

11.- 8.5

12.- %IA

13.- 20000

14.- +/-

15.- VF

16.- PAGO = 54.89



4. Una persona ha realizado un préstamo en una institución financiera local por un valor de 1.000 dólares, con pagos mensuales de 150 dólares al inicio de cada período, si el crédito fue obtenido al 8% de interés con capitalizaciones mensuales ¿Hallar el número de depósitos?

( ) ( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+−=

−−

111*1

iiAC

n

( )

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

=

−−

1

1208,01208,011

150000.1

1n

( ) ( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+−=

−−

1006666667,0006666667,011

150000.1 1n

( ) ( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=−

−−

006666667,0006666667,111

150000.1 1n

( ) ( )1006666667,11006666667,0*666666667,5 −−−= n

( ) ( )1006666667,11037777779,0 −−−=− n

( ) ( ) ( )962222221,0ln006666667,1ln1 =−− n

( )( )006667,1ln

96222,0ln1 =+− n

100664454,0038509,0

+=n = 6,80


1.- FIN

2.- VDT

3.- OTRO

4.- 12

5.- P/AÑO

6.- INIC

7.- EXIT

8.- CLEAR DATA

9.- 8

10.- %IA

11.- 150

12.- +/-

13.- PAGO

14.- 1000

15.- VA

16.- N = 6.80

CAP. V. Anualidades Diferidas


Capítulo V

Anualidades Diferidas

Objetivos En este capítulo aprendernos a solucionar problemas financieros cuando se presentan diferimientos en los pagos y las consideraciones a las que esta expuestas.


Cálculo de los valores de una anualidad diferida. Determinar el valor futuro y valor presente de una anualidad diferida. Calcular la renta, tasa de interés y el plazo de una anualidad diferida. Determinar las ecuaciones equivalentes.

En el mundo de los negocios cuando el gobierno quiere dar un especial impulso a un determinado sector de la economía o en créditos otorgados por organismos internacionales, se suele ofrecer los periodos de no pago del capital y/o de los intereses en un número de periodos que se los denomina de gracias, este es solo uno de los ejemplos que se pueden dar respecto de esta forma de solucionar problemas financieros, sin embargo, vamos a aprender algunos más en este capítulo. Es frecuente que algunas circunstancias obliguen a que el primer periodo de pago comience en una fecha futura, hasta después de transcurrido cierto tiempo desde el momento inicial del convenio, es decir, la fecha inicial de la anualidad no coincide con la fecha del primer pago, en estos casos, se dice que la anualidad es diferida.

1. Valor Presente Este tipo de anualidades pueden ser resueltas, ya sean como vencidas o anticipadas para el cálculo de valor actual, el tiempo o período de diferimiento el mismo que se lo denomina (k), de una cuota o pago (A), pagaderos durante (n) periodos a una tasa (i) por periodo.

Gráfica 5 – 1 Línea de Tiempo Valor Presente Anualidad Diferida



Cuando se quiere calcular una ecuación de equivalencia, se debe utilizar como fecha focal, el final del periodo (k), siendo (C) el valor presente en la fecha inicial, se tiene: Fórmula No. 35

( ) ( ) kn

ii

iAC −−

++−

= 111

De forma alternativa se puede utilizar la siguiente fórmula. Fórmula No. 36

( ) ( )i

ii

iACkn −− +−

−+−

=1111

Características de las anualidades diferidas

El final del período de diferimiento coincide con el inicio de la primera cuota. El valor futuro coincide con el último pago o cuota. El valor futuro de una anualidad diferida, es el valor futuro de una anualidad

vencida. Por ejemplo. Si se desea conocer el valor actual de una anualidad de 200 pagaderos al final de cada año, tomando en cuenta que el primero se realiza dentro de tres años y el último dentro de 10 años, con una tasa de interés del 10%.

Gráfica 5 – 2 Línea de Tiempo Valor Presente Anualidad Diferida Vencida

( ) ( ) kn

ii

iAC −−

++−

= 111

( ) ( ) 2

8

10,0110,0

10,011200 −−

++−

=C

826446281,0*334926198,5*200=C

81,881=C



Obsérvese que la primera parte, es la fórmula del valor presente de la Anualidad Vencida analizada en el capítulo IV.

( )i

iACn−+−

=11

( ) ( )

ii

iiAC

kn −− +−−

+−=

1111

( ) ( )

10,010,011

10,010,011200

210 −− +−−

+−=C

81,881=C

También se puede calcular utilizando la fórmula de la Anualidad Anticipada.

( ) ( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+−=

−−

111*1

iiAC

n

Gráfica 5 – 3

Línea de Tiempo Valor Presente Anualidad Diferida Anticipada

Fórmula No. 37

( ) ( )( ) k

n

iiiAC −

−−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+−= 1111 1

( ) ( )

( ) 318

10,01110,010,011200 −

−−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+−=C

7513148,0*8684188,5*200=C

81,881=C



2. Valor Futuro Se realiza con los mismos procedimientos de cálculo del valor futuro de una Anualidad Vencida.

( )iiAS

n 11 −+=

( )10,0

110,012008 −+

=S

18,287.2=S

Como se puede apreciar, los periodos de la anualidad son ocho. El cálculo del valor presente, utilizando los datos del ejercicio base, también puede ser resuelto utilizando el valor futuro y la fórmula del interés compuesto.

( )niSC+

=1

( )1010,0118,287.2

+=C

81,881=C

3. Cuota (A) Para calcular la cuota o renta de una anualidad diferida, se puede utilizar las fórmulas tanto de Anualidades Vencidas como la de la Anualidad Anticipadas. 1. Si asumimos como Anualidad Vencida.


Primero hay que encontrar el valor futuro o monto en el periodo 2, un periodo antes del inicio de la anualidad diferida.



( )niCS += 1

( )210,0181,881 +=S

99,066.1=S Como segundo paso se establece el valor de la cuota, utilizando la fórmula de valor actual.

( )i

iACn−+−

=11

( )

10,010,01199,066.1

8−+−= A

200=A

Fórmula No. 38

( ) ( )i

ii

iCA kn −− +−−

+−=

1111

( ) ( )10,0

10,01110,0

10,01181,881

210 −− +−−

+−=A

200=A

2. Si asumimos como Anualidad Anticipada


Primero hay que encontrar el valor futuro o monto en el periodo 3, ya que se asume que es una anualidad anticipada, es decir el cálculo debe ser establecido en el periodo en donde empieza la anualidad diferida.

( )niCS += 1



( )310,0181,881 +=S

69,173.1=S Como segundo paso se establece el valor de la cuota, utilizando la fórmula de valor actual.

( ) ( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+−=

−−

111*1

iiAC

n

( ) ( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+−=

−−

110,010,01169,173.1

18

A

200=A

Usted se estará preguntando. ¿Por qué utiliza la fórmula de valor actual, cuando se calculo el valor futuro o monto? La respuesta es sencilla, el valor futuro o monto en un momento determinado se convierte en valor presente o viceversa, esta lección se complementa y reafirma lo que mencione en el primer capítulo, en lo que respecta al entendimiento del concepto de presente y de futuro en matemáticas financieras, es quizás la principal enseñanza y el primer paradigma que debe vencer un estudiante de matemáticas financieras en el camino a especializarse en las finanzas. Observe que el concepto de presente o futuro es relativo al punto de vista en el que se encuentre el evaluador del problema financiero.



Resumen En este capítulo se realiza la aplicación y forma de resolución de anualidades estudiadas en el capítulo anterior, ya que una anualidad diferida puede ser resuelta como una anualidad vencida o como una anualidad anticipada, dependiendo del punto de vista del evaluador. Se incluye en este tipo de anualidades, un concepto de tiempo diferente, ya que existe el tiempo (n) de la anualidad ya visto en los capítulos anteriores y el tiempo o periodo (k) de diferimiento, en síntesis una anualidad diferida, es un pagos de cierta cantidad fija en un periodo de intervalo de tiempo fijo, pero que se realiza pasando cierto número de periodos, se puede decir que es el inicio del estudio de problemas financieros con periodos de gracia. Su principal complicación radica en la determinación del inicio de la anualidad y el final del periodo de diferimiento.




1. Al cumplir un joven 7 años, su padre decide depositar 10.000 dólares en un fondo universitario que abona el 6% de interés anual, con la finalidad de que cuando cumpla los 18 años comience a recibir una renta anual suficiente para costear sus estudios durante 4 años que dura una ingeniería. Hallar el costo anual o la anualidad.

Primero forma de solución. F20-F29.

( )niCS += 1

( )1006,01000.10 +=S

48,908.17=S

( )

iiAC

n−+−=

11

( )

06,006,01148,908.17

4−+−= A

( )47,348,908.17 A=

23,168.5=A

Segunda forma de solución. F38.

( ) ( )i

ii

iCA kn −− +−−

+−=

1111

( ) ( )06,0

06,01106,0

06,011000.10

1014 −− +−−

+−=A

36,729,9000.10−

=A

93,1000.10

=A

23,168.5=A



Si nosotros tendríamos los datos anteriores y queríamos determinar el valor presente utilizaremos las siguientes formulas. Primera forma de solución. F35.

( ) ( ) kn

ii

iAC −−

++−

= 111

( ) ( ) 10

4

06,0106,0

06,01123,168.5 −−

++−

=C

000.10=C

Segunda forma de solución. F36.

( ) ( )i

ii

iACkn −− +−

−+−

=1111

( ) ( )

06,006,011

06,006,01123,168.5

1014 −− +−−

+−=C

000.10=C

Tercera forma de solución. F37.

( ) ( )( ) k

n

iiiAC −

−−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+−= 1111 1

( ) ( )

( ) ( )11014

06,01106,006,01123,168.5 +−

−−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+−=C

000.10=C

2. Se estima recibir una renta de 1.000 dólares semestralmente, dentro de 2

años y el último dentro de 6 años, con una tasa de interés del 8% convertible semestralmente. Hallar el valor presente.


( ) ( ) kn

ii

iAC −−

++−

= 111

mk

mn

mj

mjmj

AC*

*

111 −

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

=



3

9

208,01

208,0

208,011

000.1−

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

=C

98,609.6=C


( ) ( )i

ii

iACkn −− +−

−+−

=1111

mj

mj

mj

mj

AC

kn −−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

=1111

208,0

208,011

208,0

208,011

000.1

312 −−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

=C

98,609.6=C

Tercera forma de solución

( ) ( )( ) k

n

iiiAC −

−−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+−= 1111 1

( )

k

n

mj

mjmj

AC−

−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

= 1111

1

( )

( )13

19

208,011

208,0208,011

000.1+−

−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

=C

98,609.6=C



3. Se realiza un depósito de 100.000 dólares en un banco local, el mismo que reconoce una tasa de interés del 10%, este fondo servirá como renta de un estudiante dentro de 6 años para la manutención de su carrera universitaria de medicina, con una renta anual de 30.000 dólares. Hallar el número de rentas.

( ) ( )

AiP

ii kn +

=+− − 111

( ) ( )

000.3010,01000.100

10,010,011 5+

=+− −n

( ) ( ) ( )000.30

10,010,1000.10010,0115

=+− −n

( )000.30

10,105.16110,01 −=+ −n

( ) 54,0110,01 −=+ −n

( ) 46,0ln10,1ln =− n

10,1ln46,0ln

=n

095310,0776528,0

=n

14,8=n

4. En una granja se sembró pimienta y empezará a producir dentro de 5 años, la producción anual se estima según los estudios de productividad en 200.000 dólares y ese rendimiento se mantendrá por espacio de 10 años. Hallar el valor presente si la tasa de interés es del 4%


( ) ( ) kn

ii

iAC −−

++−

= 111

( ) ( ) 4

10

04,0104,0

04,011000.200 −−

++−

=C

54,645.386.1=C




( ) ( )i

ii

iACkn −− +−

−+−

=1111

( ) ( )

04,004,011

04,004,011000.200

414 −− +−−

+−=C

54,645.386.1=C

Tercera forma de solución

( ) ( )( ) k

n

iiiAC −

−−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+−= 1111 1

( ) ( )

( ) 5110

04,01104,004,011000.200 −

−−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+−=C

54,645.386.1=C

CAP. VI. Perpetuidades y Anualidades Variables


Capítulo VI

Perpetuidades y Anualidades Variables

Perpetuidades.

Objetivo En este capítulo haremos una introducción a las perpetuidades y su aplicación práctica en las diferentes obligaciones financieras.


Aprender y definir las rentas perpetuas anticipadas, vencidas y diferidas. Cálculo del costo capitalizado. Diagramas de flujo de caja y ecuaciones equivalentes. Calcular el valor presente, tasas de interés y pagos periódicos.

En la práctica existen varias obligaciones financieras que mantienen la característica de una perpetuidad. Una empresa aun cuando en su constitución se establece un período de vida limitado, en la práctica, cuando se evalúa el valor de una acción se la considera perpetua (es decir, sin límite de edad) o de por vida. Qué es una renta perpetua o una perpetuidad por lo tanto? es un pago indefinido, por ejemplo, la renta de un terreno, los dividendos sobre acciones, entre otras. Las anualidades perpetuas, así como las anualidades diferidas pueden ser evaluadas en la práctica, tanto como anualidades vencidas o como anticipadas, así como las anualidades diferidas estudiadas en el capítulo anterior.

1. Anualidades Perpetuas Vencidas

Gráfica 6 – 1 Línea de Tiempo Anualidad Perpetua Vencida



Valor Futuro.- El valor futuro de una anualidad perpetua tiende al infinito (∞), originado por la ausencia del plazo o por no tener tiempo de terminación de la obligación financiera, por consiguiente resulta complicada su determinación. Usted habrá notado que no existe el factor tiempo, en este tipo de anualidades, por lo menos el fin, ya que el tiempo en períodos de cuota a cuota si existe. Valor Presente.- También conocido como valor actual de una anualidad perpetua, cuando una anualidad perpetua con valor de la cuota (A), pagadero al final de cada período (n), a una tasa (i) por período, si se asume que el valor presente se lo representa con la letra (P). Fórmula No. 39

iAP 1

=

Por ejemplo. Una persona con una alta conciencia social, decide contribuir con un hospital de niños por siempre, la cantidad a donar anualmente es de 300.000 dólares cada fin de año. Qué cantidad de dinero debe invertir para logar cumplir su cometido, si el mercado estas pagando una tasa del 10%.

iAP 1

=

10,01000.300=P

000.000.3=P

Cuota.- El valor de la cuota se establece a perpetuidad, por consiguiente depende únicamente del valor del interés, ya que no existe tiempo.

Despejando, la fórmula 39, se obtiene.

Fórmula No. 40

PiA = Utilizando la misma información pero considerando que la cuota es el valor a calcular, se aplica la fórmula.

PiA =

( )10,0000.000.3=A

000.300=A



Interés.- La tasa de interés se calcula despejando de la fórmula 40. Fórmula No. 41

PAi =

También podemos calcular el interés de una anualidad perpetua, considerando los datos del ejemplo anterior.

PAi =

000.000.3000.300

=i

%1010,0 ==i

2. Anualidades Perpetuas Anticipadas Valor Presente.- Recuerde que una anualidad es anticipada cuando el pago o cuota se realiza de forma inmediata.

Gráfica 6 – 2 Línea de Tiempo Anualidad Perpetua Anticipada

Fórmula No. 42

iAAP +=

Por ejemplo. Si la persona anterior además de donar los 300.000 cada fin de año, decide entregar un valor similar a inicio del primer año cuando realiza el ofrecimiento, se estima como valor presente.

iAAP +=



10,0000.300000.300 +=P

000.300.3=P

Cuota.- Tomado en cuenta esta particularidad, se deduce que el valor presente de la anualidad anticipada es la cantidad (P), el cual es disminuido por la primera cuota (A), que con una tasa de interés (i) produce como intereses la suma (A), por consiguiente se obtiene.

Fórmula No. 43

( )iAPA −=

Utilizando los datos básicos del ejercicio se obtiene:

( )iAPA −=

( ) 10,0000.300000.300.3 −=A

000.300=A

Interés.- El cálculo del interés se obtiene si se despeja la fórmula 43.

Fórmula No. 44

APAi−

=

000.300000.300.3000.300−

=i

%1010,0 ==i

Si el pago que debe efectuarse de inmediato es un monto distinto a la cuota periódica se lo denomina (W), es decir, es un valor distinto del pago o cuota (A), se tiene.

Fórmula No. 45

iAWP +=



Por ejemplo. Digamos que se desea entregar la hospital de niños 1.000.000 dólares y se mantiene lo demás constante.

iAWP +=

10,0000.300000.000.1 +=P

000.000.4=P

3. Anualidades Perpetuas Vencidas con Períodos de Capitalización En la práctica es común que se de este tipo de anualidades, en donde se genera una cuota después de varios períodos de capitalización. Los pagos de las cuotas perpetuas se deben efectuar cada cierto período de capitalización, para reemplazar un activo, este costo debe sustituir el bien y se constituye como una renta perpetua.

Gráfica 6 – 3 Línea de Tiempo Anualidad Perpetua Vencida con Capitalización

Fórmula No. 46

( ) 11 −+= ki

WP

Donde, W = Costo de Reemplazo Por ejemplo. La Junta Parroquial de Minas, tomo la decisión de crear un fondo para proveer a perpetuidad la reparación de una carretera cuyo costo es de 100.000 dólares, según los estudios de ingeniería se estima que deberá ser reemplazada cada 10 años, a un costo de 50.000 dólares, tome en cuenta que una tasa del 9% de interés para el cálculo.

( ) 11 −+= ki

WP



( ) 109,01000.50

10 −+=P

72,566.36=P

4. Toma de decisiones Capitalización.- Como usted recordara la capitalización es un sinónimo de monto, sin embargo en este capítulo y para este tipo de problemas financieros se debe utilizar como sinónimo de valor presente. Este tipo de criterio nos sirve para determinar el valor de un activo. Por ejemplo. Una persona quiere determinar el valor de un terreno en el noroccidente de Quito, el mismo que actualmente está alquilado por un valor de 2.000 dólares, si tomamos en cuenta que una inversión a plazo fijo en una institución financiera local paga el 9.5% anual.

iAAP +=

12095,0000.2000.2 +=P

50,844.254=P

Es decir, desde el punto de vista financiero, sería equivalente poseer un capital de 254.845 dólares o ser propietario de un terreno que puede arrendarse, por siempre, en 2.000 dólares, por mes anticipado. Por consiguiente, se debe estudiar un negocio desde el punto de vista de su capitalización, ya que es de suma importancia, debido a que permite analizar el rendimiento de los activos utilizados en el negocio. Costos Capitalizados Como es conocido por usted, los activos de una compañía tienen diferentes vidas útiles, este criterio es también considerado por la administración tributaria, por consiguiente se hace imperativo el tener que reemplazarlos en un determinado tiempo (k). Si se tiene ese criterio claro, se puede definir entonces que los costos capitalizados es el resultado de la sumatoria entre el costo inicial y el valor presente de la renovaciones, tomemos en cuenta que una empresa se la constituye por siempre, General Electric, Coca Cola, tienen más de 50 años, están establecidas bajo el concepto de perpetuidad, a su vez estas empresas dependen de sus activos, por consiguiente utilizados también a perpetuidad.



Muchos analistas comenten el error de evaluar un activo en base de su vida útil, y no consideran que un activo es la suma de su costo original más el valor presente de la renta necesaria para las renovaciones futuras.

K = Costo capitalizado C = Costo original o inicial W = Costo de cada reposición k = Número de períodos de vida útil i = Tasa de interés por período

Fórmula No. 47

PCK +=

Donde (P) es el valor presente de la renta perpetua.

Fórmula No. 48

( ) 11*

−++= ki

ii

WCK

Fórmula No. 49

( ) kiCK −+−

=111

Las ecuaciones de costos capitalizados son de gran ayuda para toma de decisiones en la elección de equipos que tienen el mismo rendimiento, pero que presentan diferentes costos y tienen distintas vidas útiles.

Para alternativas con diferentes vidas útiles. En evaluación de proyectos

Por ejemplo. Una maquinaria para tejer medias es adquirida por la fábrica Inglesa a un costo de 50.000, si su vida útil es de 10 años, sus activos por consiguiente debe ser reemplazada por el mismo valor, para lo cual se estima una tasa de interés del 8%. Hallar el costo capitalizado?

( ) kiCK −+−

=111

( ) 1008,0111000.50 −+−

=K

43,143.93=K



Costos Equivalentes.- Este criterio es utilizado cuando se debe estimar, cuánto puede pagarse por un activo que prestará el mismo servicio que otro, pero que tienen diferentes vidas útiles y costos, tanto iníciales como de reposición. En este punto surgen preguntas como:

Se justifica o no incurrir en ciertos gastos adicionales para prolongar la vida de un activo?

Por Ejemplo. La Junta Parroquial de Minas, tomo la decisión de construir un puente, para lo cual tiene dos opciones. a) Hacer un puente de madera elaborado por medio de una minga a un costo de 100.000 dólares, el mismo que debe ser reemplazado cada 5 años al mismo costo, y b) Construir uno de hierro a un costo de 200.000 dólares cuya vida útil es de 10 años, al cabo de los cuales debe ser reemplazado a un costo de 100.000. El rendimiento de la inversión tiene una tasa efectiva del 10%.

Opción a

( ) kiCK −+−

=111

( ) 510,0111000.100 −+−

=K

48,797.263=K

Opción b

( ) 11*

−++= ki

ii

WCK

( ) 110,0110,0*

10,0000.100000.200 10 −+

+=K

0627,0*000.000.1000.200 +=K

00,700.262=K

La opción (b), es la conveniente.



Resumen Las perpetuidades son utilizadas en los países de la Unión Europea y particularmente en Inglaterra, ya que la monarquía alquila en perpetuidad cada una de los terrenos en donde se construyen las casas y los edificios a cada uno de sus habitantes, este alquiler está establecido en forma de tributo. Este estudio sin embargo, es utilizado en todo el mundo y puesto en práctica en el estudio de las valoración de acciones, ya que se estima que la vida de una empresa es infinita, cuando un flujo tiene periodos de 30, 40, 100 años, etc., se dice que se está hablando de perpetuidad, tomando en consideración empresas como Coca Cola, General Electric entre otras podríamos decir que se cumple que son empresas creadas a perpetuidad, por su larga vida sirviendo a la comunidad. Existe una limitación en este tipo de instrumentos, ya que se puede calcular el valor actual, la tasa de interés, la anualidad a ser aportada a perpetuidad, pero no se puede calcular el valor futuro de la misma. Además son prácticas en el análisis y estudio de un negocio o en el establecimiento de estudios de factibilidad en cuanto a reemplazos y nuevas alternativas de proyectos.




1. En la ciudad de Machala, las inversiones tienen un rendimiento del 12% con capitalización anual. En esta ciudad se está ofertando la posibilidad de adquirir un negocio por un valor de 900.000 dólares, para el análisis y sustento de la propuesta la empresa presenta una utilidad en libros de 10.000 dólares anual promedio. Hallar el valor máximo a pagarse y determine si es o no una oferta atractiva.

iAP 1

=

1212,01000.10=P

000.000.1=P

Si es una oferta atractiva.

2. Una maquinaria para tejer medias es adquirida por la fabrica Inglesa a un costo de 50.000 dólares, si su vida útil es de 10 años, con un valor de salvamento de 10% del costo histórico, al final de su vida útil debe ser reemplazada por un valor de reposición igual a la diferencia entre el costo inicial menos el valor de salvamento. Hallar el costo capitalizado para lo cual se estima una tasa de interés del 8%.

( ) 11*

−++= ki

ii

WCK

W = Costo de reposición – valor de salvamento

W = 50.000 – 5.000

W = 45.000

( ) 108,0108,0*

08,0000.45000.50 10 −+

+=K

069029,0*500.562000.50 +=K

09,829.88=K



3. Una empresa actualmente tiene una maquinaria con un costo inicial de 150.000 dólares y una vida útil de 10 años y debe sustituirse al mismo costo inicial. ¿Cuánto debe pagarse por un equipo de similares características de rendimiento, si tiene una vida útil de 5 años y un costo de reposición igual al costo inicial, si la tasa efectiva es 5%.

( ) kiCK −+−

=111

( ) ( ) 510 05,0111

05,0111000.150 −− +−

=+−

= CK

)21647,0(*)59009,2*000.150( C=

)61949,4(*72,513.388 C=

61949,472,513.388

=C

04,103.84=C

También se puede utilizar la siguiente fórmula

( ) kii

iCK −+−

=11

( ) ( ) 510 05,01105,0

05,005,01105,0

05,0000.150

−− +−=

+−C

2309747,0*05.0

1295045,0*000.000.3 C=

04,103.84=C



Anualidades Variables

Objetivo En este parte del este capítulo veremos la aplicación práctica en las anualidades con crecimiento el mismo que puede ser aritmético y geométrico.


Cálculo del valor de una anualidad variable. Determinar el valor futuro y valor presente de una anualidad variable. Calcular la renta, tasa de interés y el plazo de una anualidad variable. Determinar las ecuaciones equivalentes. Tipos de anualidades variables.

Las anualidades con gradientes, son también conocidas como anualidades variables, las variaciones pueden ser de carácter aritmético o geométrico, tome en cuenta que estas pueden tener una tendencia creciente o decreciente.

Gráfica 6 – 4 Línea de Tiempo Anualidad Variables Crecientes

Gráfica 6 – 5 Línea de Tiempo Anualidad Variables Decrecientes



5. Gradiente Aritmético También conocido como anualidades de crecimiento o decrecimiento lineal, este concepto por consiguiente, se contrapone a lo estudiado anteriormente, en donde se sostenía que una anualidad son pagos iguales en períodos iguales. Las anualidades con gradientes, son anualidades variables, que cambia la característica de pagos iguales, por pagos incrementales o pagos con decrecimiento, por consiguiente únicamente conservan la característica de períodos iguales de pago. Valor Presente.- Es igual a la suma de los pagos periódicos variables, con la característica de que estos pagos pueden tener una variación con incremento o con decrecimiento. Fórmula No. 50

Valor presente de los pagos periódicos

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

+−= −

−n

n

ini

iiLAL 111

Donde (L) es la gradiente aritmética, a la que crece o decrece la cuota o renta variable.

Valor presente de una anualidad vencida.- Se considera como anualidad vencida, todas las anualidades perpetuas.

( )i

iACn−+−

=11

Si unimos esta fórmula a la anterior obtenemos el valor presente de una anualidad variable vencida. Fórmula No. 51

( ) ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

+−+

+−= −

−−n

nn

ini

iiL

iiAP 11111



Como se mencionó anteriormente las variaciones pueden tener una tendencia creciente o decreciente, para el caso de las anualidades variables decreciente se utiliza la siguiente fórmula. Fórmula No. 52

Valor presente de una anualidad con gradiente aritmética decreciente.

( ) ( ) ( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

+−−

+−= −

−−n

nn

ini

iiL

iiAP 11111

Valor Futuro.- Es igual a la suma de los pagos periódicos llevados al futuro. Fórmula No. 53

Valor futuro de una anualidad con gradiente aritmética creciente.

( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−++

−+= n

iii

iL

iiAF

nn 111

Fórmula No. 54

Valor futuro de una anualidad con gradiente aritmética decreciente.

( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+−

−+= n

iii

iL

iiAF

nn 111

6. Gradiente Geométrico También conocido como anualidades de crecimiento geométrico, exponencial o crecimiento no lineal. Existen dos tipos de anualidades con gradientes geométricas.



1. Gradiente geométrico o crecimiento vencido


Fórmula No. 55

Valor presente de una anualidad con gradiente geométrico creciente.

( ) ( )[ ]( ) ( )ig

igAPnn

+−+−++

=−

11111

Fórmula No. 56

Valor presente de una anualidad con gradiente geométrico decreciente.

( ) ( )[ ]( ) ( )ig

igAPnn

+−−−+−

=−

11111

Fórmula No. 57

Valor futuro de una anualidad con gradiente geométrico creciente.

( ) ( )( ) ( )ig

igAFnn

+−++−+

=1111

Fórmula No. 58

Valor futuro de una anualidad con gradiente geométrico decreciente.

( ) ( )( ) ( )ig

igAFnn

+−−+−−

=1111



2. Anualidades variables con gradientes geométricos En este tipo de anualidades variables, la base permanece constante mientras que la parte variable es una gradiente geométrica.


AGPP += 1

( ) ( )[ ]( )

( ) 11111 1

112

−+−+

+= −

−−−

iqiqigAG

n

( ) ( ) ( ) ( )

( )iqiqig

iiAP

nnn

+−−+

+++−

=−−−

−−

111111 11

1

CAP VII. Tablas de Amortización


Capítulo VII

Tablas de Amortización

Objetivo En este capítulo ampliaremos las ventajas de las anualidades en la extinción de obligaciones financieras.


Aprender los principales sistemas de amortización de deudas. Métodos de cálculo para determinar el valor de las cuotas. Calculo de las tasas de interés. Calculo de los saldos insolutos. Calculo de los plazos y elaboración de tablas de amortización.

A usted se le hará familiar la expresión amortización, ya que es muy conocida y muy difundido en la actualidad, especialmente cuando se adquiere una deuda, este documento es facilitado por el prestamista y se denomina tabla de amortización, el mismo que sirve para extinguir gradualmente una deuda por medio de pagos periódicos, que pueden ser iguales o diferentes. Recordemos la expresión anualidad, pagos iguales en períodos iguales, una amortización es exactamente lo mismo, en la mayoría de los casos y especialmente en el Ecuador.

Amortizar.- Es el proceso de extinguir una obligación financiera por medio de pagos periódicos iguales o variables.

En las tablas de amortización se establece que cada pago o cuota que se entrega, sirve para pagar parte de los intereses y reducir gradualmente el capital.

Tipos de Tablas de Amortización. Existen varios tipos de tablas de amortización que a continuación las vamos a explicar, esta variedad es infinita y comparable con la imaginación y buen juicio del financiero.

1. Tablas con Cuotas Iguales La cuota que se cancelará es igual en todos los períodos, es la comúnmente utilizada en el Ecuador. Supongamos que solicitamos un préstamo a una institución financiera y los datos del préstamo se establecen en el siguiente cuadro.



Un préstamo con pagos vencidos iguales El capital solicitado es 10.000 dólares con una tasa del 15% de interés anual, a 5 años plazo con pagos anuales.

Datos

Capital = 10.000,00Interes % (i) = 0,15Tiempo (n) = 5Periodos (m) = 1

Tabla de Amortización Vencida

Para el cálculo de la cuota o pago periódico utilizaremos la siguiente fórmula. Valor Actual.- Valor presente de los pagos periódicos traídos en base a una tasa de interés determinada o convenida.

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−=

−

iiAVA

n11

Al despejar esta fórmula que sirve para determinar el valor presente de una anualidad vencida con pagos iguales, se obtiene la cuota o pago periódico igual.

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−= −ni

iVAA11

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−= −515,011

15,0000.10A

16,983.2=A

Pagos Iguales.- En el modelo de tabla de amortización con pagos iguales, en la primera columna de la tabla se expresan que en este caso en particular son 5 años o cinco períodos, en la segunda columna se establecen las cuotas a ser canceladas según los períodos, observe que son cuotas iguales pagaderas en este caso cada año.

Tabla No. 7 - 1 Tabla de Amortización con Pagos Iguales

Fecha Cuota Interes Capital Saldo

0 10.000,001 2.983,16 1.500,00 1.483,16 8.516,842 2.983,16 1.277,53 1.705,63 6.811,223 2.983,16 1.021,68 1.961,47 4.849,744 2.983,16 727,46 2.255,69 2.594,055 2.983,16 389,11 2.594,05 0,00

14.915,78 4.915,78 10.000,00



En la tercera columna se calcula el valor de los intereses por año, para el primer año se establece el valor de 1.500 (10.000 * 0,15), mientras, que en la cuarta columna esta el valor que se debe amortizar la deuda, la deuda es también conocida como capital, por consiguiente se amortizará 1.483,16 (2.983,16 – 1.500) y por último se calcula el valor adeudado también conocido como saldo insoluto o saldo aun no cancelado 8.516,84 (10.000 – 1.483,16), se debe realizar el mismo procedimiento para cada uno de los años siguientes.

2. Tablas con Cuotas Decrecientes En este tipo de tabla de amortización el pago disminuye de período en período, observe que al igual que la tabla anterior tienen los mismos componentes. Pagos Decrecientes.- En la primera columna de la tabla, se expresan los períodos, en la segunda columna se establecen las cuotas que han de ser canceladas, observe que no son iguales y el cálculo depende específicamente de la suma 3.500 (1.500 + 2.000) de los intereses más la amortización del capital según el período, en este caso en particular el período es un año.

Tabla No. 7 - 2 Tabla de Amortización con Pagos Decrecientes


0 10.000,001 3.500,00 1.500,00 2.000,00 8.000,002 3.200,00 1.200,00 2.000,00 6.000,003 2.900,00 900,00 2.000,00 4.000,004 2.600,00 600,00 2.000,00 2.000,005 2.300,00 300,00 2.000,00 0,00

14.500,00 4.500,00 10.000,00 Luego en la tercera columna se calcula el valor de los intereses para el primer año 1.500 (10.000 * 0,15), exactamente igual al ejemplo anterior, mientras, que en la cuarta columna se divide la deuda o capital para el número de períodos 2.000 (10.000 / 5) en esta tabla la deuda o capital se divide en cuotas iguales para el número de períodos en la cual fue concedido el crédito, por último, la columna de saldo es la diferencia entre el saldo insoluto menos la amortización de la deuda. Recuerde que en este caso la deuda o capital se divide en cuotas iguales y sumados los intereses del período origina una disminución gradual de la cuota, otra característica es que los intereses siguen calculándose del saldo insoluto. En el formato anterior tabla 7-1 a diferencia de la tabla 7-2, las cuotas se expresan en pagos iguales mientras que el interés disminuye y la amortización del capital aumenta.



3. Tablas con Períodos de Gracia Períodos de Gracia.- Aquí se pueden expresar de varias formas una tabla de amortización y dependerá del plazo que se establezca como período de gracia. Por ejemplo. Con los datos anteriores, la misma deuda es cancelada con cuatro años de gracia, en donde únicamente se debe cancelar los intereses y en este caso la cancelación de la deuda o capital al final del último año.

Tabla No. 7 - 3 Tabla de Amortización con Períodos de Gracia

Suponga que únicamente se concede cómo período de gracia un año, en este caso se debe utilizar la fórmula anteriormente explicada, en este ejemplo, se utiliza y se calcula la cuota o pago periódico igual.



0 10.000,001 1.500,00 1.500,00 0,00 10.000,002 2.983,16 1.500,00 1.483,16 8.516,843 2.983,16 1.277,53 1.705,63 6.811,224 2.983,16 1.021,68 1.961,47 4.849,745 2.983,16 727,46 2.255,69 2.594,056 2.983,16 389,11 2.594,05 0,00

16.415,78 6.415,78 10.000,00 También se puede utilizar el pago igual de la amortización de la deuda, con cuotas o pagos decrecientes.



0 10.000,001 1.500,00 1.500,00 0,00 10.000,002 3.500,00 1.500,00 2.000,00 8.000,003 3.200,00 1.200,00 2.000,00 6.000,004 2.900,00 900,00 2.000,00 4.000,005 2.600,00 600,00 2.000,00 2.000,006 2.300,00 300,00 2.000,00 0,00

16.000,00 6.000,00 10.000,00



4. Otros Tipos de Tablas de Amortización Son poco utilizadas en nuestro medio, sin embargo, podemos decir que existen dos tipos de tablas de amortización con gradientes o anualidades variables.

5. Gradiente Aritmética En este tipo de tablas de amortización se establece un crecimiento aritmético de la cuota a cancelarse, para lo cual se debe aplicar la siguiente fórmula. Por ejemplo. Una persona adquiere una deuda de 200.000 dólares a una tasa de interés del 10% a 24 años. Hallar el pago anual si estima cancelar desde la segunda cuota 10 dólares más hasta finalizar el préstamo?

( )m

mji ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+ 11

( )1

1110,01 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+

j

( )1

110,01 1/1 j+=+

( )[ ] 1*110,01 1/1 −+=j

1*10,0=j

%10=j

Tome en cuenta que la tasa efectiva es igual a la tasa nominal cuando (m) es igual a 1, después se debe determinar el valor actual con la siguiente fórmula.

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

+−= −

−n

n

ini

iiLAL 111

( ) ( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

+−= −

−24

24

10,012410,0

10,01110,0

10AL

81,654=AL

Como tercer paso se debe restar de 200.000 dólares de préstamo los 654,81 dólares para obtener el valor de (P*) 199.345,07 (200.000 – 654,81). Luego se debe reemplazar en.



( ) niiPA −+−

=11

*

Esta ayuda a determinar la cuota inicial a ser incrementada de forma aritmética.

( ) 2410,01110,007,345.199 −+−

=A

07,187.22=A

Si observa la tabla de amortización siguiente, podrá ver la evolución de la cuota cancelada a 24 años pagaderos de forma anual, ya que crece en 10 dólares cada año pasando de 22.187,07 a 22.197,07 (22.187,07 + 10,00), la última cuota es de 22.417,07 dólares.

Tabla No. 7 - 6

Tabla de Amortización con Gradientes Aritméticas



6. Gradiente Geométrica En este tipo de tablas de amortización establece un crecimiento geométrico de la cuota a cancelarse, para lo cual se debe aplicar la siguiente fórmula. Por ejemplo. Una persona adquiere una deuda de 1.000.000 dólares a una tasa de interés del 30% efectiva a 3 años plazo. Hallar los pagos trimestrales si se estima una cuota con una gradiente del 18% anual?

( ) ( )[ ]( ) ( )ig

igAPnn

+−+−++

=−

11111

Reemplazando se obtiene

( )

( )30,0118,1130,0118,1000.000.1

33

+−−+

=−

A

90,145.475=A

Para obtener el valor de 560.672,16 (475.145,90 * 1,18) y 661.593,15 (560.672,16 * 1,18).

Como segundo paso se debe calcular la tasa de interés.

( )m

mji ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+ 11

( )4

4130,01 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+

j

( )4

130,01 4/1 j+=+

( )[ ] 4*130,01 4/1 −+=j

4*067567,0=j

270268,0=j

%03,27=j

Como tercer paso se debe reemplazar en

( ) 11 −+= ni

iFA

Esta ayuda a determinar la cuota a ser incrementada de forma geométrica.



11* *

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

= mn

mjmj

FA

14

270268,01

4270268,0

90,145.475 4*1

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=A

( ) 1067567,01067567,090,145.475 4 −+

=A

43,402.107=A

Para obtener el valor de 126.734,87 (107.402,43 * 1,18) y 149.547,14 (126.734,87 * 1,18).

Tabla No. 7 - 7 Tabla de Amortización con Gradientes Geométrica



Resumen En este capítulo se realiza una aplicación práctica de las anualidades aplicadas en las tablas de amortización y sus diferentes alternativas de presentación. Se realizan los cálculos de los diferentes componentes de la tabla de amortización más la utilidad en la actualidad en el Ecuador, la misma que establece una cuota fija periódica utilizando la formula de la anualidad vencida, también se presentan tablas de amortización decrecientes con pagos de capital igual, con periodos de gracia, con pagos crecientes ya sea de forma aritmética o geométrica.




1. Una empresa radicada en la ciudad toma un crédito por una institución financiera local de 100.000 dólares a cinco años plazo con pagos periódicos de un año. Utilizando la fórmula anterior se obtiene una cuota anual de 26.379,75 para cancelar la deuda en 5 años.

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−= −ni

iVAA11

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−=

−510,01110,0000.100A

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=3790,010,0000.100A

75,379.26=A

Realicemos algunas modificaciones al problema anterior para poder determinar lo que sucedería si el crédito es únicamente a 2 años y medio, es decir a 5 semestres. Para obtener la información de la cuota semestral se debe hacer una variación de la fórmula para poder expresarla en fracciones de año.

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−= −ni

iVAA11

Reemplazando se obtiene



⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

= − mn

mj

mj

VAA *

11

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

=− 2*5.2

215,011

215,0

000.100A

48,097.23=A

2. Una empresa adquiere un préstamo de 200.000 dólares, a 10 años plazo, con una tasa de interés del 10%. Hallar la cuota a ser cancela, si esta crece en 10 dólares cada mes.

( )m

mji ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+ 11

( )12

12110,01 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+

j

( )12

110,01 12/1 j+=+

( )[ ] 12*110,01 12/1 −+=j

12*00797414,0=j

095689,0=j



Después

( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

=−

−

mn

mn

mjmn

mjmj

mjLAL

*

*

1*11

( )

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

=−

−

12*10

12*10

120956,0112*10

120956,0120956,011

120956,010AL

( ) ( )( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

+−= −

−120

120

00797,0112*1000797,0

00797,01100797,010AL

53,613.38=AL

ALPP −=*

53,613.38000.200* −=P

47,386.161* =P

mn

mj

mj

PA *

11* −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

=

12*10

120956,011

120956,0

47,386.161 −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

=A

( ) 12000797,01100797,047,386.161 −+−

=A

40,094.2=A



3. La empresa Metalquimia, ubicada en la ciudad de Quito, solicita un préstamo de 400.000 dólares, a 10 años plazo, con una tasa de interés del 15%. Hallar la cuota mensual a ser cancela, si esta crece en 5% cada año.

( ) ( )[ ]( ) ( )ig

igAPnn

+−+−++

=−

11111



( )( )15,0105,1

115,0105,1000.4001010

+−−+

=−

A

05,961.66=A

Para obtener el valor de 70.309,11 (66.961,05 * 1,05) así sucesivamente hasta llegar a 103.878,57 (98.931,97 * 1,05).

Como segundo paso se debe calcular la tasa de interés.

( )m

mji ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+ 11

( )12

12115,01 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+

j

( ) j+=+ 115,01 12/1

( ) 115,01 12/1 −+=j

12*011714,0=j

140568,0=j

Como tercer paso se debe reemplazar en:

( ) 11 −+= ni

iFA

112

140568,01

12140568,0

05,961.66 12

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=A

( ) 1011714,01011714,005,961.66 12 −+

=A

62,229.5=A

Para obtener el valor de 5.491,10 (5.229,62 * 1,05) y así sucesivamente hasta llegar a 8.112,86 (7.726,53 * 1,05).



4. Una persona adquiere una deuda de 200.000 dólares a una tasa de interés del 10% a 2 años. Hallar el pago mensual si estima cancelar desde la segunda cuota 10 dólares más hasta finalizar el préstamo?

( )m

mji ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+ 11

( )12

12110,01 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+

j

( )12

110,01 12/1 j+=+

( )[ ] 12*110,01 12/1 −+=j

12*00797414,0=j

09568968,0=j

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

+−= −

−n

n

ini

iiLAL 111

( ) ( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

+−= −

−24

24

00797,012400797,0

00797,011007974,0

10AL

14,420.2=AL

ALPP −=*

14,420.2000.200* −=P

86,579.197* =P

( ) niiPA −+−

=11

( ) 2400797,01100797,086,579.197 −+−

=A

05,078.9=A

CAP. VIII. Fondos de Amortización


Capítulo VIII

Fondos de Amortización

Objetivos En este capítulo aprenderemos los distintos factores que intervienen en la construcción de un fondo de amortización y su aplicación en fondos de inversión.


Aprender los principales sistemas o fondos de amortización. Métodos de cálculo para determinar el valor de las cuotas. Calculo de las tasas de interés. Calculo de los saldos insolutos. Calculo de los plazos.

Los fondos de amortización son parte y una buena base para poder construir los conocidos fondos de inversión, utilizados por las instituciones financieras y su base matemática tiene que ver con las anualidades al igual que las tablas de amortización.

1. Fondos de Amortización Vencidos Son fondos que sus depósitos se los realiza al finalizar el período de capitalización, para un mejor entendimiento se presentará la siguiente gráfica.

Gráfica No. 8 - 1 Fondo de Amortización Vencida

Por ejemplo. Una persona quiere ahorrar 10.000 dólares en un plazo de 4 años, para este fin debe realizar depósitos iguales anuales, si el fondo reconoce una tasa del 8%. Calcular el valor del deposito? Cuota.- Es el valor que depositado periódicamente al final de cada período o al final del plazo constituirá un monto o valor futuro.

( ) 11 −+= ni

iFA



( ) 108,0108,0000.10 4 −+

=A

21,219.2=A

Valor Futuro.- También conocido como ahorro meta en una institución financiera, es el valor que se quiere obtener al final de un período de tiempo.

( )iiAF

n 11 −+=

Despejando, se obtiene.

( )08,0

108,0121,219.24 −+

=F

000.10=F

Tabla 8 – 1

Fondo de Amortización con Depósitos Iguales

2. Fondos de Amortización Anticipada Son fondos que sus depósitos se los realizan al inicio del período de capitalización.

Gráfica No. 8 - 2 Fondo de Amortización Anticipada



Cuota.- Es el valor que depositado periódicamente al inicio de cada período y al final del plazo constituirá un monto o valor futuro. Fórmula No. 59

( ) ( )nn

ii

iFA

++−+

=

111

( ) ( )44

08,0108,0

108,01000.10

++−+

=A

56,704.1=A

Valor Futuro.- También conocido como valor meta, es el valor que se quiere obtener al final de un período de tiempo. Fórmula No. 60

( ) ( )nn

iAi

iAF ++−+

= 111

Reemplazando, se obtiene.

( ) ( )44

08,0156,704.108,0

108,0156,704.1 ++−+

=F

000.10=F

Tabla 8 – 2

Fondo de Amortización con Depósitos Iguales



Fondos de Amortización con Gradientes

3. Gradiente Aritmética Como se analizó en el Capítulo VI, la gradiente aritmética presenta un crecimiento lineal. Por ejemplo. Si una empresa pretende ahorrar 500.000 dólares en cuatro años, a una tasa del 10%. Hallar las cuotas en los cuatro años siguientes, con una gradiente de 10.000 dólares. Valor de la Cuota.- Es el valor que depositado periódicamente al inicio de cada período y al final del plazo constituirá un monto o valor futuro. Fórmula No. 61

( )

( )ii

nii

iLF

A n

n

11

11

−+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−+−

=

( )

( )10,0

110,01

410,0

110,0110,0000.10000.500

4

4

−+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−+−

=A

( )[ ]

641,44641,4000.100000.500 −−

=A

72,923.93=A

Para el primer año el valor del depósito es 93.923,72 dólares, mientras que para el segundo pago se debe incrementar la gradiente 103.923,72 (93.923,72 + 10.000,00) dólares, así excesivamente hasta determinar el último depósito de 123.923,72 (113.923,72 + 10.000,00).

Gráfica No. 8 - 3

Fondo de Amortización con Gradiente Aritmética

P 1 2 3 4 5 n-2 n-1 n. . .

A A+L

A+2L

A+3L

A+4L

A+5L F



Tabla 8 – 3 Fondo de Amortización con Depósitos Crecientes

Valor Futuro.- Valor que se quiere obtener al final de un período de tiempo. Fórmula No. 62

( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−++

−+= n

ii

iL

iiAF

nn 1111

( ) ( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−++

−+= 4

10,0110,01

10,0000.10

10,0110,0172,923.93

44

F

000.500=F

4. Gradiente Geométrica Como se analizó en el Capítulo VI, la gradiente geométrica presenta un crecimiento no lineal. Por ejemplo. Si una empresa pretende ahorrar 250.000 dólares en cuatro años, a una tasa del 14%. Hallar las cuotas en los cuatro años siguientes, con una gradiente de 20% anual. Valor de la Cuota.- Es el valor que depositado periódicamente al inicio de cada período y al final del plazo constituirá un monto o valor futuro. Fórmula No. 63

( ) ( )( ) ( )ig

ig nn

FA+−++−+

=1111



( )( )14,0120,1

14,0120,1 44

000.250

+−+−

=A

52,997.38=A

Valor Futuro.- Valor que se quiere obtener al final de un período de tiempo.

Gráfica No. 8 - 4 Fondo de Amortización con Gradiente Geométrica

P 1 2 3 4 5 n-2 n-1 n. . . A

A+g1

A+g2

A+g3

A+g4

A+g5 F

( ) ( )( ) ( )ig

igAFnn

+−++−+

=1111

( )( )14,0120,1

14,0120,152,997.3844

+−+−

=F

000.502=F

Tabla 8 – 4

Fondo de Amortización con Depósitos Crecientes

5. Gradientes con Influencia de la Inflación En los países latinoamericanos especialmente se da procesos inflacionarios.



Por ejemplo. Una persona pretende ahorrar el equivalente en poder adquisitivo de 600.000 dólares en 3 años plazo, si se toma en cuenta una tasa de inflación anual del 18%, a una tasa de interés de 15% anual. Hallar los depósitos trimestral que debe realizar tomando en cuenta una tasa de crecimientos de los depósitos de 5% anual? Este ejercicio se puede resolver de la siguiente forma: Fórmula No. 64 Inflación anualizada

( ) mnffa *1+=

( ) mnffa *1+=

( ) 1*318,01+=fa

F = 600.000 * 1,64

F = 985.819,20

( ) ( )( ) ( )ig

igAF

nn

+−++−+

=1111

( ) ( )

( )15,0105,115,0105,120,819.985

33

+−+−

= A

63,388.271=A

Valor de la Cuota.- Es el valor que depositado periódicamente al inicio de cada período, y al final del plazo constituirá un monto o valor futuro.

( ) ( )( ) ( )ig

ig nn

FA+−++−+

=1111

( ) ( )( )15,0105,1

15,0105,120,819.985

33

+−+−

=A

63,388.271=A

( )m

mji ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+ 11

( )4

4115,01 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+

j



( )4

115,01 4/1 j+=+

( )[ ] 4*115,01 4/1 −+=j

4*035558,0=j

1422323,0=j

( ) 11 −+= ni

iFA

14

1422323,01

41422323,0

63,388.271 4

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=A

( ) 1035558076,01035558076,063,388.271 4 −+

=A

72,333.64=A

Tabla 8 – 5

Fondo de Amortización con Inflación



Resumen Los fondos de amortización son básicamente utilizados para el ahorro y pago de deudas, ya que ayudan a la amortización de una deuda, estableciendo un valor periódico a ser ahorrado de acuerdo a las condiciones de la obligación financiera, sin embargo, hay que aclarar que puede ser aplicado a inversiones, llamándolos fondos de inversión. Este análisis está encaminado al establecimiento de un ahorro fijo a un periodo fijo de intervalo de tiempo como una anualidad hasta logar un objetivo (valor futuro) en un plazo de tiempo determinado, se establece que este aporte puede ser vencido o anticipado. También se establecen aporte al fondo con crecimiento aritmético o geométrico como forma de ahorrar tomando en cuenta el crecimiento o capacidad de ahorro de los inversionistas.




1. Una persona pretende realizar un fondo de inversiones en un banco local, el mismo que reconoce el 16% de interés anual, para la cual pretende realizar depósitos cada año durante 5 años para obtener 20.000 dólares. Hallar el depósito anual que debe realizar, el saldo al cuarto año.

Para calcular la cuota debemos reemplazar los datos en la siguiente fórmula.

( ) 11 −+= ni

iFA

( ) 116,0116,0000.20 5 −+

=A

19,908.2=A

Para obtener el valor futuro al cuarto año se debe aplicar la siguiente fórmula.

( )

iiAF

n 11 −+=

( )

16,0116,0119,908.2

4 −+=F

32,734.14=F

Si resto de los 20.000 – 14.734,32 se obtiene el valor que aun falta para completar los 20.000 esto es 5.265,68 dólares.



2. Una deuda de 100.000 dólares vence dentro de 4 años, para poderla cancelar la empresa Acerito, establece un fondo de inversiones que paga el 15% de interés efectivo. Realizar la tabla del fondo de inversiones, con una gradiente de 5.000 dólares.

( )

( )ii

nii

iLF

A n

n

11

11*

−+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−+−

=

( )

( )15,0

115,01

415,0

115,01*15,0000.5000.100

4

4

−+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−+−

=A

25,395.13=A

3. Una persona quiere ahorrar 250.000 dólares en un periodo de 2 años, este fondo será destinado a la compra de una casa en el valle de Cumbaya, con esta finalidad invertir en una institución financiera que paga el 14% de interés convertible mensualmente. Realizar la tabla del fondo de inversiones, con una gradiente de 20% de forma mensual.

( ) ( )( ) ( )ig

igFA nn

+−++−+

=

1111



( )

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+

=

mjg

mjg

FA mnn

11

11*

( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

=

214,0120,1

214,0120,1

000.25024

24

A

27,602=A



4. Una persona quiere ahorrar 600.000 dólares en un periodo de 3 años, este fondo será destinado a la compra de una casa en Pelucolandia, con esta finalidad invierte en una institución financiera que paga el 15% efectivo anual y pretende hacer crecer la cuota en un 5% cada año. Realizar la tabla del fondo de inversiones, si los depósitos se realizarían de forma mensual.

( ) ( )( ) ( )ig

igFA nn

+−++−+

=

1111

( ) ( )( )15,0105,1

15,0105,1000.600

33

+−+−

=A

50,175.165=A

( )m

mji ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+ 11

( )12

12115,01 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+

j

( )12

115,01 12/1 j+=+

( )[ ] 12*115,01 12/1 −+=j

12*0117,0=j

140579,0=j

( ) 11 −+= ni

iFA

112

140579,01

12140579,0

50,175.165 12

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=A

11,900.12=A



5. Un padre quiere dejar de legado un fondo para sus hijos, el pretende dejarles 500.000 dólares el mismo que será ahorrado en un periodo de 2 años, con esta finalidad invierte en una institución financiera que paga el 10% convertible mensualmente y pretende hacer crecer la cuota en 1.000 dólares cada mes. Realizar la tabla del fondo de inversiones.

( )

( )ii

nii

iLF

A n

n

11

11*

−+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−+−

=



mj

mj

mn

mj

mj

mjLF

A mn

mn

11

*11

*

*

*

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−

=

1210,0

11210,01

24

1210,0

11210,01

*

1210,0000.1000.500

4

24

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−

=A

18,803.7=A

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