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Funciones monótonas (IV)EN 29/09/2015 POR MATHEMATICAEEN ANÁLIS IS DEJA UN COMENTARIO

Sea un intervalo no vacío de la recta real. Recordemos que la propiedad definitoria de

un intervalo es que si son elementos del intervalo con , entonces existe un de

dicho intervalo que verifica . Esto mismo puede trasladarse con ciertos

matices a las funciones que se definan sobre intervalos. Así decimos que una función

real definida sobre un intervalo verifica la propiedad de !aor i"#er$edio si para

cualesquiera con , si es un valor entre y , entonces hallaremos

cierto que cumple . Obsrvese que si , bastar!

tomar o para que esto sea cierto y, en consecuencia, las funciones constantes

verifican trivialmente la propiedad del valor intermedio. "o m!s interesante de las

funciones con esta propiedad es que transforman intervalos en intervalos #aunque no

necesariamente del mismo tipo$.

%eorema &' Sea un intervalo no vacío de la recta real y sea una función que

verifica la propiedad del valor intermedio. Entonces es un intervalo.

(rueba' Obviamente es no vacío. Si consiste en un sólo punto entonces

tambin consiste en un sólo punto y tambin es un intervalo. Supon)amos que tiene

m!s de un punto y sean elementos de con . *allaremos

con y . Si , la propiedad del valor intermedio nos ase)ura

que existe un entre y #no preciso si uno es mayor que el otro$ tal que

, lue)o y es un intervalo.

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Es f!cil comprobar que no toda función monótona tiene la propiedad del valor

intermedio. (or e+emplo, la )r!fica si)uiente nos muestra como una función monótona

creciente transforma el intervalo en dos subintervalos dis+untos.

amos a probar que las funciones reales de variable real continuas verifican la

 propiedad del valor intermedio y, en consecuencia, transforman intervalos en intervalos.

(rimero necesitamos al)unos resultados.

%eorema -' Sea un intervalo no vacío y sea una función real continua en un punto

de y con . Entonces existe un tal que tiene el mismo si)no

que en .

(rueba' Supon)amos que . omo es continua en , dado ,

hallaremos tal que

  implica .

Esto es, si , lo que prueba que en dicho

entorno de la función tiene el mismo si)no que . Si fuera ,

tomamos y el desarrollo es an!lo)o.

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%eorema /' #0ol1ano$. Sea un compacto de la recta real y sea una función real

continua en dicho compacto y con #extremos de distinto si)no$. Entonces

hallaremos al menos un tal que .

(rueba' Supon)amos que y . 2efinimos el con+unto

.

Es decir, los puntos del compacto donde la función es no ne)ativa. Obviamente es no

vacío pues al menos pertence a . Adem!s est! acotado por . Esto si)nifica que

existe y es 3nico el valor . (robaremos que . En efecto, si no fueraasí, sería y aplicando el teorema anterior, existiría un entorno de donde

tendría si)no positivo. Esto, es habría al menos un que est! en . Esto

contradice la definición de por lo que no es posible. 2el mismo modo, si

fuera , hallaríamos un entorno de donde es ne)ativa. Ahora

 bien, por definición del supremo hallaríamos un tal que . (ero

esto no es posible pues para dicho sería . (ara evitar estas contradicciones

concluimos que .

%eorema 4' Sea una función real continua en un intervalo compacto . Sean y

dos puntos de con . Entonces toma todos los valores comprendidos

entre y .

(rueba' "a continuidad en implica la continuidad en . Sea un n3mero real

comprendido entre y . 2efinimos la función y resulta

continua en con . Aplicando el teorema de 0ol1ano, hallamos

un tal que

.

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Esto es, .

%eorema 5' Sea un intervalo no vacío ni reducido a un punto y sea una función real

continua en dicho intervalo. Entonces es un intervalo.

(rueba' Sean dos elementos de . Si fuera un con+unto unipuntual no

habría nada que probar. Supon)amos que existen en con .

*allaremos , tales que y . Ahora bien, es evidente que

 por lo que podemos suponer sin prdida de )eneralidad que . Entonces la

función es continua en el compacto y aplicando el teorema 4 concluimos

que existe tal que est! comprendido entre y . Esto si)nifica que

cumple la propiedad del valor intermedio y, en consecuencia, es un intervalo.

(odemos precisar m!s si el intervalo en cuestión es compacto. (ero eso lo veremos en

la si)uiente entrada de esta serie

Funciones monótonas (III)EN 2%/09/2015 POR MATHEMATICAEEN ANÁLISIS & TOP OLO'(A DEJA UN COMENTARIO

amos a estudiar las relaciones entre la monotonía y continuidad de las funciones reales

de variable real. Esto precisa de un repaso de conceptos topoló)icos para hacer la

exposición m!s clara y amplia.

2efinición &' Sean e dos espacios topoló)icos y sea una

aplicación. 2iremos que es continua en si para todo abierto de , su ima)en

inversa es un abierto de .

Esta es la definición de lo que podemos llamar continuidad )lobal. %ambin nos

interesa la continuidad puntual.

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Es decir, todo entorno de corta a por lo que . omo es claro

que , concluimos pues la inclusión buscada' .

#-$ implica #/$. Sea un cerrado de y sea . omo

,

resulta que si , entonces

.

Esto prueba que y por ello contiene todos sus puntos adherentes y

es cerrado.

#/$ implica #&$. Sea un abierto de . Entonces es abierto y tenemos que

es cerrado. En consecuencia, es abierto y la función es continua.

(ara acabar esta entrada nos queda relacionar la continuidad )lobal y la puntual

%eorema -' Sean e dos espacios topoló)icos. Son equivalentes'

#a$ es continua en todo punto .

#b$ es continua en .

(rueba'

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#a$ implica #b$. Sea un abierto de . Sea . *allaremos que y

existe un entorno abierto del punto tal que

.

Es decir,

.

*acemos esto para cada punto de quedando

y así es abierto al ser unión de abiertos. Esto nos permite afirmar que es

continua en .

#b$ implica #a$. Sea continua en y sea un punto de y un entorno de .

*allaremos pues un abierto de tal que

.

"ue)o

.

omo es continua, resulta que es un abierto y un entorno de . (ara

acabar 

.

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Esto prueba que es un entorno de que cumple la definición de

continuidad puntual y así es continua en .

En la próxima entrada veremos que ocurre con las funciones continuas y los compactos.

Funciones monótonas (II)EN 22/09/2015 POR MATHEMATICAEEN ANÁLIS IS DEJA UN COMENTARIO

onsideremos una función real definida en un intervalo cerrado y acotado no

trivial . amos a probar que si es creciente o decreciente, entonces cada punto

interior de su dominio tiene límite por la i1quierda y por la derecha y los puntos y

tienen límite por la derecha y la i1quierda, respectivamente.

%eorema' Sea una función creciente y sea , entonces

existen y y se cumple .

(rueba' onsideramos el con+unto

.

Este con+unto es no vacío pues es un punto interior de . Adem!s est! acotado

inferiormente por por lo que existe y es 3nico el valor 

.

(robaremos que . En efecto, dado , podemos hallar un tal

que

.

(ero como es creciente resulta que si es

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Visión topológica del límite de

sucesiones realesEN 21/09/2015 POR MATHEMATICAEEN ANÁLIS IS DEJA UN COMENTARIO"a topolo)ía es la rama de las matem!ticas que estudia las propiedades que se

mantienen inalteradas mediante transformaciones continuas. Su aplicación en el

An!lisis es fundamental y esclarecedora. En particular, vamos a ver cómo definir el

límite de una sucesión de n3meros reales de una manera topoló)ica extremadamente

sencilla.

Sea un punto de la recta real. 9n entorno de de radio no es m!s que el

intervalo

.

9na sucesión de n3meros reales se puede concebir como una lista ordenada e

infinita de n3meros reales

,

donde por supuesto pueden existir elementos repetidos #incluso infinitos elementos

repetidos$. (or e+emplo, la sucesión

,

cuyo trmino )eneral es si , si .

(ues bien, una sucesión es conver)ente a o bien tiene por límite si y sólo si para

cada entorno de podemos encontrar una infinidad de trminos de la sucesión dentro

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de l y una cantidad finita fuera. En símbolos, para todo existe tal que

si se tiene que

.

"o importante es que esto ocurra para cualquier .

Funciones monótonas (I)EN 21/09/2015 POR MATHEMATICAEEN ANÁLIS IS DEJA UN COMENTARIO

Sean y dos con+untos parcialmente ordenados. 9na aplicación

se dice que es monótona creciente si para cualesquiera de ,

implica . En el caso de que implique se dir! que es

monótona decreciente. Obsrvese que esta definición no es m!s que la idea de la

:conservación; del orden a travs de la aplicación.

eamos dos con+untos y cuyos órdenes parciales

est!n descritos mediante dia)ramas de *asse

"a aplicación dada por 

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no es monótona pues pero no es comparable con .

En )eneral, vamos a aplicar estos conceptos a la recta real y subcon+untos de sta,

considerando el orden usual. Así, si es un subcon+unto no vacío de y

es una función, entonces es monótona creciente si y sólo si para cada par de

elementos de tales que es . En el caso de que

implique diremos que es monótona no decreciente y en el caso de

que implique diremos que es estrictamente creciente. 2e forma

an!lo)a podemos definir las funciones decrecientes, monótonas no crecientes y

estrictamente decrecientes.

9n primer resultado relaciona las funciones estrictamente monótonas y las inyectivas.

%eorema' %oda función real de variable real estrictamente monótona es inyectiva. (or

tanto, tiene una inversa que tambin es estrictamente monótona en el mismo sentido que

la ori)inal.

(rueba' Sea un subcon+unto no vacío de la recta real y sea una función real definida

en y estrictamente creciente en dicho con+unto. Entonces dados

con , tenemos que o bien #en virtud del orden total de $. (ortanto, o bien lo que nos dice que la función es inyectiva.

Sea la inversa de . onsideremos , elementos de y

sean y . Si fuera , entonces y por

ello . Esto contradice nuestra suposición inicial por lo

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que y tambin es estrictamente creciente. Similares ar)umentos

 podemos emplear para el caso de funciones estrictamente decrecientes.

Sin embar)o, existen funciones que son inyectivas pero no estrictamente monótonas.

(or e+emplo, la función real de variable real definida en mediante

, si es racional,

, si es irracional.

2e hecho no existe nin)3n subintervalo de su dominio donde sea monótona.

Desigualdades simples con

valor absolutoEN 1)/09/2015 POR MATHEMATICAEEN ANÁLISIS & CO NSULTOR IO DEJA UN C OMENTARIO

amos a explicar cómo se resuelven inecuaciones del tipo

,

,

donde es un función polinómica con )rado mayor o i)ual que uno y es un

n3mero real positivo. (ara ello vamos a usar la idea de :distancia; que pasamos a

definir.

9na función es una mtrica o distancia si verifica

a$ , para todos .

 b$ , para todos .

c$ si y sólo si .

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d$ , para todos .

Es f!cil comprobar que la función

 es una mtrica.

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.

Estas inecuaciones son polinómicas y resultan sencillas de resolver. El primer paso es

 ponerlas en forma normal'

,

.

"a primera no tiene solución #ver )r!fica en ro+o$ y la se)unda #en a1ul$ tiene por

solución el con+unto . Esta es la solución buscada.

En )eneral, si tenemos

lo interpretamos como la distancia entre y = y así la solución se halla a travs de

las inecuaciones

y si tenemos entonces la solución se halla a travs de las inecuaciones

.