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Funciones numéricas

Llamamos funciones numéricas a funciones cuyo dominio y codominio son subconjuntos

de los Reales. Estas funciones son aquellas que aparecen más frecuentemente en las

aplicaciones elementales.Funciones acotadas

Una función se denomina acotada si su conjunto imagen está acotado. Por 

ejemplo: f(x) = sen(x) y g(x) = cos(x) tienen por conjunto imagen el intervalo [-1,1]. Si

su conjunto imagen está acotado sólo superior o inferiormente, se dice que la función

está acotada superior o inferiormente, respectivamente. Por ejemplo, f("x")=|

x| tiene por conjunto imagen , por lo que está acotada inferiormente.

Funciones pares e impares Artículo principal: Función par 

 

 Artículo principal: Función impar 

 

Se dice que una función es par cuando presenta simetría sobre el eje de ordenadas, esto

es, si

Una función es impar si presenta simetría con respecto al origen de coordenadas, esto es

si

Una función que no presenta simetría par no tiene necesariamente simetría impar.

Algunas funciones no presentan ninguno de los dos tipos de simetría o bien la presentan

frente a focos o ejes distintos del origen de coordenadas o el eje de ordenadas (o eje Y).

Dichas funciones se dice que no poseen paridad.

La importancia de los conceptos reside en que funciones cuyo dominio es simétrico

respecto al origen, se cumple que son iguales a la suma de una función par con una

función impar 

Funciones monótonas Artículo principal: Función monótona

1. La función f es estrictamente

creciente en

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2. f es estrictamente

decreciente en

Si una función es estrictamente creciente o decreciente entonces es inyectiva.

1. f 

es creciente en

2. f 

es decreciente en

Si una función verifica cualquiera de las cuatro propiedades anteriores se dice que

es monótona.Funciones periódicas

 Artículo principal: función periódica

 

Una función es periódica si se cumple: donde es

el período

 

.

En particular, una función es periódica alternada cuando se

cumple: . Estas últimas también son conocidas como funciones

simétricas de media onda y constan de dos semiondas iguales de sentidos opuestos.

Funciones cóncavas y convexas Artículo principal: Función convexa

 Artículo principal: Función cóncava

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Función convexa.

Una función es convexa en un intervalo si la rectas tangentes a la función en ese intervalo

están por debajo de la función. Una función es cóncava en un intervalo si la rectas

tangentes a la función de ese intervalo están por encima.

La denominación de convexidad y concavidad depende del punto de vista que se adopte

para considerar que es una concavidad, esto es si se mira a la función "desde arriba" o

"desde abajo". Por ello, algunos textos denominan convexas a las funciones que se

curvan "hacia abajo", al contrario de la definición que se acaba de dar en los anteriores

párrafos. Por ello, es frecuente que en ocasiones se adopten las

denominaciones convexa hacia arriba y concava hacia abajo para evitar las

ambigüedades.

Las técnicas del análisis diferencial permiten determinar si una función es creciente,decreciente, concava o convexa a través del estudio de las derivadas sucesivas de la

función.

Funciones reales y funciones discretas Artículo principal: Función real 

 Artículo principal: Función discreta

Si el dominio de una función es un intervalo de la recta real la función se

denominará real . En cambio, si la función está definida para los números enteros se

denominará función discreta. Un ejemplo de unafunción discreta son las sucesiones.

Función inversa Artículo principal: Función recíproca

 

Dada una función , se llama una (función) inversa de , a una

función tal que se cumple las siguientes condiciones:

.

Decimos también que la función f es invertible

Cuando existe una función inversa de f 

 

, se demuestra que esa función es única, por lo

que se habla de la inversa y se la denota por .

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Se verifica también las siguientes propiedades.

Una función tiene inversa si, y sólo si, es biyectiva.

La función inversa de una función es invertible, y su inversa es la función original. Osea que ( f   − 1) − 1 =  f  

 

.

La composición de dos funciones invertibles es invertible, y su inversa es la

composición de las inversas de los factores pero con el orden invertido.

.

El grupo simétrico o grupo de las funciones biyectivas

Sea A un conjunto no vacío y Biy 

 

(A) el conjunto formado por todas las funciones

biyectivas de A en sí mismo. El conjunto Biy 

 

(A) no es vacío, porque al menos la función

identidad está en ese conjunto. Además, recordando que las funciones biyectivas

coinciden con las funciones invertibles, tenemos que la composición de funciones define

una operación algebraica en Biy 

 

(A). Se verifica que

1. La composición es una operación asociativa, es decir, dadas tres funciones

cualesquiera se cumple que

2. La función identidad es un neutro respecto a la operación. O

sea, , tenemos que .

3. Cada elemento f de Biy 

 

(A) tiene un inverso respecto a la operación: la función

inversa de f 

 

. O sea que .

Estas tres condiciones determinan lo que se llama un grupo

 

. Por lo que el conjunto de las

funciones biyectivas , Biy 

 

(A) es un grupo con respecto a la operación de

composición de funciones que recibe el nombre de grupo simétrico de .

Cuando A es un conjunto finito, digamos con n elementos, las biyecciones de A se llaman

también permutaciones, por lo que el grupo simétríco de A se llama también grupo de

permutaciones.

La notación funcional

En muchos campos aplicados, inclusive a veces en textos de matemáticas, se encuentra

la expresión "la función  f  ( x)". De acuerdo a nuestra definición actual, lo anterior no hace

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sentido, ya que f(x) es una notación para el elemento del codominio. Otras veces, nos

encontramos con algo así como "la función f(x) = x^2 - 3x + 7 ". Aunque aquí hay una

posible asignación, no se ha especificado ni el dominio ni el codominio, por lo que en rigor 

la función f no está bien definida.

En ciertos contextos, por ejemplo de funciones numéricas (dominio y codominio son

subconjuntos de los Reales), hay una serie de convenios para simplificar la escritura. La

expresión "la función " se debe entender como una abreviación de lo

siguiente: La función f definida por dicha igualdad, que suponemos una relación funciona

(a cada x corresponde un único y 

 

) es una función cuyo dominio, llamado dominio natural 

 

,

es el máximo subconjunto para él cual tiene sentido la expresión, y cuyo codominio son

todos los Reales. En la "función" citada, la aparición del radical nos dice que el dominio

natural consiste de todos los reales no negativos.

Para evitar ambigüedades, a veces se usa la notación para

indicar la regla de asignación.

Igualmente, por restricciones adecuadas de dominio y codominio se trabaja la

composición de funciones numéricas. Por ejemplo: si y ,

podemos considerar a como la composición de las funciones g y f 

 

, a

pesar que esto es i'nconsistente con la definición dada de composición. En efecto, f es

una función de en cuya imagen es todo . Por su parte, g es una función de los

reales no negativos en los Reales, por lo que no se cumple que la imagen de f sea un

subconjunto del dominio de 'g . Sin embargo, como prácticamente o para efectos de otras

necesidades matemáticas queremos considerar a la función h como una composiciónd

de g con f 

 

, suponemos que f está restringido al intervalo .

Funciones (con valores) reales

Los anteriores apartados se han referido a funciones entre conjuntos cualesquiera. Lasfunciones entre conjuntos de números son particularmente relevantes por la diversidad de

sus aplicaciones prácticas y por sus particulares propiedades matemáticas. En algunos

textos se reserva para las funciones entre conjuntos de números el

término función mientras que a las funciones entre conjuntos cualesquiera se las

denomina aplicaciones o transformaciones.

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Llamamos función real o función con valores reales a cualquier función cuyo codominio

sea un subconjunto de los Reales.

Álgebra de Funciones

Sea  X un conjunto cualquiera no vacío y sea el conjunto formado por todas las

funciones de  X en . Muchas de las operaciones y propiedades algebraicas de los

Reales se pueden extender a , como veremos a continuación.

Sean elementos de . Definimos operaciones entre funciones,

punto a punto por 

Suma de Funciones.

Resta de Funciones.

Producto de Funciones.

Extendemos relaciones punto a punto.

.

La manera en que hacemos la extensión garantiza que muchas de las propiedades de los

Reales se extienden a . Indicamos a continuación aquellas más importantes.

La suma de funciones es asociativa, conmutativa, con neutro la función

constante , con opuesto aditivo − f  para cada función f 

 

.

La resta es tal que  f  −  g =  f  + ( −  g ).

La multiplicación es asociativa, conmutativa, con neutro la función constante ,

pero solamente las funciones que nunca tiene valor nulo, tienen recíprocos.

La multiplicación es distributiva respecto a la suma.

Note que todas las anteriores propiedades son propiedades de los números reales. Hay,

sin embargo, propiedades "extrañas". Por ejemplo, Si el conjunto X tiene a lo menos dos

elementos, hay divisores de cero en . En efecto, supongamos que  X = {a,b} y

definamos tales que y .

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Se ve, inmediatamente, que  fg es la función constantemente 0, o sea la función cero,

aunque ninguno de los factores lo es.

El conjunto junto con sus operaciones es importante por la gran cantidad de

ejemplos diversos que se obtienen al seleccionar el conjunto X 

 

.

Sea . Entonces, cada función de define una pareja de

números  f  (1), f  (2) que si consideramos el orden natural en X 

 

, podemos escribir como el

para ordenado ( f  (1), f  (2)). Esto nos dice que, en este caso, podemos

identificar con el conjunto de todos los pares posibles de números reales, o

sea con .

Sea Razonado como arriba, podemos identificar a

con .

Sea Razonado como arriba, podemos identificar 

a con .

Note que en cada uno de los ejemplos anteriores, el conjunto de pares, tríos, n-uplas

ordenadas aparece provisto de una suma y multiplicación. La suma coincide con la suma

vectorial usual y la multiplicación por constantes con la multiplicación por escalar.

Sea , los Naturales. En este caso, es el conjunto de todas las

sucesiones de números reales provisto cono la suma y multiplicación usual de

sucesiones.