Medidas numericas de datos agrupados.

Rocıo Meza MorenoUniversidad Autonoma Metropolitana, Iztapalapa

Rocıo Meza Moreno Datos agrupados

Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados

Media de datos agrupados

En ocasiones debemos trabajar con datos que estanresumidos en una distribucion de frecuencias, sin tener el detallede cuantos y cuales valores caen dentro de cada clase.

Por ejemplo, considere la distribucion de frecuencias queresume los datos obtenidos al medir la estatura de 1000 mujeresseleccionadas al azar.

Estatura (cm) Frecuencia[142,147] 10(147,152] 64(152,157] 178(157,162] 324(162,167] 251(167,172] 135(172,177] 32(177,182] 6

Rocıo Meza Moreno Datos agrupados

Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados

Media de datos agrupados

En ocasiones debemos trabajar con datos que estanresumidos en una distribucion de frecuencias, sin tener el detallede cuantos y cuales valores caen dentro de cada clase.

Por ejemplo, considere la distribucion de frecuencias queresume los datos obtenidos al medir la estatura de 1000 mujeresseleccionadas al azar.

Estatura (cm) Frecuencia[142,147] 10(147,152] 64(152,157] 178(157,162] 324(162,167] 251(167,172] 135(172,177] 32(177,182] 6

Rocıo Meza Moreno Datos agrupados

Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados

Podemos aproximar la media muestral para datos aprupadosde la siguiente manera:

1 Para cada clase, digamos que el numero de clases es m, secalcula el punto medio (llamado marca de clase).Denotemos por mi la marca de la clase i.

2 Se calcula la suma de las frecuencias de todas las clasespara obtener el total de datos, n, es decir,

n =

m∑i=1

fi,

donde fi es la frecuencia de la clase i.

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Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados

Podemos aproximar la media muestral para datos aprupadosde la siguiente manera:

1 Para cada clase, digamos que el numero de clases es m, secalcula el punto medio (llamado marca de clase).Denotemos por mi la marca de la clase i.

2 Se calcula la suma de las frecuencias de todas las clasespara obtener el total de datos, n, es decir,

n =

m∑i=1

fi,

donde fi es la frecuencia de la clase i.

Rocıo Meza Moreno Datos agrupados

Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados

3 Se obtiene una aproximacion para la media suponiendo quecada valor en una clase es igual a su marca de clase, esdecir,

x ≈

m∑i=1

fimi

n

Rocıo Meza Moreno Datos agrupados

Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados

Ilustramos el procedimiento con los datos de la tabla anterior.

Primero debemos obtener la marca de cada clase para las m = 8clases:

Frecuencia Marca deEstatura (cm) fi clase mi

[142,147] 10 144.5(147,152] 64 149.5(152,157] 178 154.5(157,162] 324 159.5(162,167] 251 164.5(167,172] 135 169.5(172,177] 32 174.5(177,182] 6 179.5

Total 1000

Rocıo Meza Moreno Datos agrupados

Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados

Ilustramos el procedimiento con los datos de la tabla anterior.Primero debemos obtener la marca de cada clase para las m = 8clases:

Frecuencia Marca deEstatura (cm) fi clase mi

[142,147] 10

144.5

(147,152] 64

149.5

(152,157] 178

154.5

(157,162] 324

159.5

(162,167] 251

164.5

(167,172] 135

169.5

(172,177] 32

174.5

(177,182] 6

179.5

Total 1000

Rocıo Meza Moreno Datos agrupados

Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados

Ilustramos el procedimiento con los datos de la tabla anterior.Primero debemos obtener la marca de cada clase para las m = 8clases:

Frecuencia Marca deEstatura (cm) fi clase mi

[142,147] 10 144.5(147,152] 64

149.5

(152,157] 178

154.5

(157,162] 324

159.5

(162,167] 251

164.5

(167,172] 135

169.5

(172,177] 32

174.5

(177,182] 6

179.5

Total 1000

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Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados

Ilustramos el procedimiento con los datos de la tabla anterior.Primero debemos obtener la marca de cada clase para las m = 8clases:

Frecuencia Marca deEstatura (cm) fi clase mi

[142,147] 10 144.5(147,152] 64 149.5(152,157] 178 154.5(157,162] 324 159.5(162,167] 251 164.5(167,172] 135 169.5(172,177] 32 174.5(177,182] 6 179.5

Total 1000

Rocıo Meza Moreno Datos agrupados

Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados

Ilustramos el procedimiento con los datos de la tabla anterior.Primero debemos obtener la marca de cada clase para las m = 8clases:

Frecuencia Marca deEstatura (cm) fi clase mi

[142,147] 10 144.5(147,152] 64 149.5(152,157] 178 154.5(157,162] 324 159.5(162,167] 251 164.5(167,172] 135 169.5(172,177] 32 174.5(177,182] 6 179.5

Total 1000

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Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados

A continuacion calculamos la suma de las frecuencias:

n =

8∑i=1

fi = 10 + 64 + · · ·+ 6 = 1000

y calculamos la media como si todos los valores de una clasefueran iguales a su marca de clase, esto es,

x ≈ (10)(144.5) + (64)(149.5) + (178)(154.5) · · ·+ (6)(179.5)

1000

=161, 025

1000= 161.03

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Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados

A continuacion calculamos la suma de las frecuencias:

n =

8∑i=1

fi =

10 + 64 + · · ·+ 6 = 1000

y calculamos la media como si todos los valores de una clasefueran iguales a su marca de clase, esto es,

x ≈ (10)(144.5) + (64)(149.5) + (178)(154.5) · · ·+ (6)(179.5)

1000

=161, 025

1000= 161.03

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Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados

A continuacion calculamos la suma de las frecuencias:

n =

8∑i=1

fi = 10 + 64 + · · ·+ 6 = 1000

y calculamos la media como si todos los valores de una clasefueran iguales a su marca de clase, esto es,

x ≈ (10)(144.5) + (64)(149.5) + (178)(154.5) · · ·+ (6)(179.5)

1000

=161, 025

1000= 161.03

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Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados

A continuacion calculamos la suma de las frecuencias:

n =

8∑i=1

fi = 10 + 64 + · · ·+ 6 = 1000

y calculamos la media como si todos los valores de una clasefueran iguales a su marca de clase, esto es,

x ≈ (10)(144.5) + (64)(149.5) + (178)(154.5) · · ·+ (6)(179.5)

1000

=161, 025

1000= 161.03

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Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados

A continuacion calculamos la suma de las frecuencias:

n =

8∑i=1

fi = 10 + 64 + · · ·+ 6 = 1000

y calculamos la media como si todos los valores de una clasefueran iguales a su marca de clase, esto es,

x ≈ (10)(144.5) + (64)(149.5) + (178)(154.5) · · ·+ (6)(179.5)

1000

=161, 025

1000= 161.03

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Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados

A continuacion calculamos la suma de las frecuencias:

n =

8∑i=1

fi = 10 + 64 + · · ·+ 6 = 1000

y calculamos la media como si todos los valores de una clasefueran iguales a su marca de clase, esto es,

x ≈ (10)(144.5) + (64)(149.5) + (178)(154.5) · · ·+ (6)(179.5)

1000

=161, 025

1000

= 161.03

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Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados

A continuacion calculamos la suma de las frecuencias:

n =

8∑i=1

fi = 10 + 64 + · · ·+ 6 = 1000

y calculamos la media como si todos los valores de una clasefueran iguales a su marca de clase, esto es,

x ≈ (10)(144.5) + (64)(149.5) + (178)(154.5) · · ·+ (6)(179.5)

1000

=161, 025

1000= 161.03

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Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados

Cuando se calcula la media de datos agrupados en unadistribucion de frecuencias con el procedimiento descrito, ¿porque decimos que el valor obtenido es una aproximacion a lamedia?

Rocıo Meza Moreno Datos agrupados

Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados

Ejemplo. Considere la distribucion de frecuencias siguiente:

Temperatura Frecuencia

Marca de clase

mınima diaria (◦F) fi

mi fimi

(35, 39] 1

37 37

(39, 45] 3

42 126

(45, 49] 5

47 235

(49, 55] 11

52 572

(55, 59] 7

57 399

(59, 65] 7

62 434

(65, 69] 1

67 67

Total 35 1870

Rocıo Meza Moreno Datos agrupados

Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados

Ejemplo. Considere la distribucion de frecuencias siguiente:

Temperatura Frecuencia Marca de clasemınima diaria (◦F) fi mi fimi

(35, 39] 1

37 37

(39, 45] 3

42 126

(45, 49] 5

47 235

(49, 55] 11

52 572

(55, 59] 7

57 399

(59, 65] 7

62 434

(65, 69] 1

67 67

Total 35 1870

Rocıo Meza Moreno Datos agrupados

Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados

Ejemplo. Considere la distribucion de frecuencias siguiente:

Temperatura Frecuencia Marca de clasemınima diaria (◦F) fi mi fimi

(35, 39] 1 37

37

(39, 45] 3

42 126

(45, 49] 5

47 235

(49, 55] 11

52 572

(55, 59] 7

57 399

(59, 65] 7

62 434

(65, 69] 1

67 67

Total 35 1870

Rocıo Meza Moreno Datos agrupados

Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados

Ejemplo. Considere la distribucion de frecuencias siguiente:

Temperatura Frecuencia Marca de clasemınima diaria (◦F) fi mi fimi

(35, 39] 1 37

37

(39, 45] 3 42

126

(45, 49] 5 47

235

(49, 55] 11 52

572

(55, 59] 7 57

399

(59, 65] 7 62

434

(65, 69] 1 67

67

Total 35 1870

Rocıo Meza Moreno Datos agrupados

Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados

Ejemplo. Considere la distribucion de frecuencias siguiente:

Temperatura Frecuencia Marca de clasemınima diaria (◦F) fi mi fimi

(35, 39] 1 37 37(39, 45] 3 42

126

(45, 49] 5 47

235

(49, 55] 11 52

572

(55, 59] 7 57

399

(59, 65] 7 62

434

(65, 69] 1 67

67

Total 35 1870

Rocıo Meza Moreno Datos agrupados

Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados

Ejemplo. Considere la distribucion de frecuencias siguiente:

Temperatura Frecuencia Marca de clasemınima diaria (◦F) fi mi fimi

(35, 39] 1 37 37(39, 45] 3 42 126(45, 49] 5 47

235

(49, 55] 11 52

572

(55, 59] 7 57

399

(59, 65] 7 62

434

(65, 69] 1 67

67

Total 35 1870

Rocıo Meza Moreno Datos agrupados

Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados

Ejemplo. Considere la distribucion de frecuencias siguiente:

Temperatura Frecuencia Marca de clasemınima diaria (◦F) fi mi fimi

(35, 39] 1 37 37(39, 45] 3 42 126(45, 49] 5 47 235(49, 55] 11 52 572(55, 59] 7 57 399(59, 65] 7 62 434(65, 69] 1 67 67

Total 35 1870

Rocıo Meza Moreno Datos agrupados

Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados

Ejemplo. Considere la distribucion de frecuencias siguiente:

Temperatura Frecuencia Marca de clasemınima diaria (◦F) fi mi fimi

(35, 39] 1 37 37(39, 45] 3 42 126(45, 49] 5 47 235(49, 55] 11 52 572(55, 59] 7 57 399(59, 65] 7 62 434(65, 69] 1 67 67

Total 35 1870

Rocıo Meza Moreno Datos agrupados

Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados

La aproximacion a la media es entonces

x ≈

7∑i=1

fimi

n=

1870

35= 53.4

La media muestral real que se obtuvo al utilizar la listaoriginal de datos es 53.8◦F, ¿que puede concluir?

Rocıo Meza Moreno Datos agrupados

Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados

La aproximacion a la media es entonces

x ≈

7∑i=1

fimi

n=

1870

35= 53.4

La media muestral real que se obtuvo al utilizar la listaoriginal de datos es 53.8◦F, ¿que puede concluir?

Rocıo Meza Moreno Datos agrupados

Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados

Desviacion estandar de datos agrupados

Para calcular una aproximacion a la desviacion estandar dedatos agrupados usamos la formula

s ≈

√√√√√√n

m∑i=1

fim2i −

(m∑i=1

fimi

)2

n(n− 1)

donde, nuevamente m es el numero de clases, mi y fi son lamarca y la frecuencia de la clase i, respectivamente, y n es lasuma de las frecuencias (es decir, el numero total de datos).

Rocıo Meza Moreno Datos agrupados

Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados

Para los datos anteriores:

Temperatura Frecuencia Marca de clasemınima diaria (◦F) fi mi fimi fim

2i

(35, 39] 1 37 37

1369

(39, 45] 3 42 126

5292

(45, 49] 5 47 235

11045

(49, 55] 11 52 572

29744

(55, 59] 7 57 399

22743

(59, 65] 7 62 434

26908

(65, 69] 1 67 67

4489

Total 35 1870

101590

La desviacion estandar aproximada es

s ≈

√35(101590)− (1870)2

35(35− 1)

Rocıo Meza Moreno Datos agrupados

Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados

Para los datos anteriores:

Temperatura Frecuencia Marca de clasemınima diaria (◦F) fi mi fimi fim

2i

(35, 39] 1 37 37 1369(39, 45] 3 42 126

5292

(45, 49] 5 47 235

11045

(49, 55] 11 52 572

29744

(55, 59] 7 57 399

22743

(59, 65] 7 62 434

26908

(65, 69] 1 67 67

4489

Total 35 1870

101590

La desviacion estandar aproximada es

s ≈

√35(101590)− (1870)2

35(35− 1)

Rocıo Meza Moreno Datos agrupados

Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados

Para los datos anteriores:

Temperatura Frecuencia Marca de clasemınima diaria (◦F) fi mi fimi fim

2i

(35, 39] 1 37 37 1369(39, 45] 3 42 126 5292(45, 49] 5 47 235 11045(49, 55] 11 52 572 29744(55, 59] 7 57 399 22743(59, 65] 7 62 434 26908(65, 69] 1 67 67 4489

Total 35 1870

101590

La desviacion estandar aproximada es

s ≈

√35(101590)− (1870)2

35(35− 1)

Rocıo Meza Moreno Datos agrupados

Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados

Para los datos anteriores:

Temperatura Frecuencia Marca de clasemınima diaria (◦F) fi mi fimi fim

2i

(35, 39] 1 37 37 1369(39, 45] 3 42 126 5292(45, 49] 5 47 235 11045(49, 55] 11 52 572 29744(55, 59] 7 57 399 22743(59, 65] 7 62 434 26908(65, 69] 1 67 67 4489

Total 35 1870 101590

La desviacion estandar aproximada es

s ≈

√35(101590)− (1870)2

35(35− 1)

Rocıo Meza Moreno Datos agrupados

Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados

Para los datos anteriores:

Temperatura Frecuencia Marca de clasemınima diaria (◦F) fi mi fimi fim

2i

(35, 39] 1 37 37 1369(39, 45] 3 42 126 5292(45, 49] 5 47 235 11045(49, 55] 11 52 572 29744(55, 59] 7 57 399 22743(59, 65] 7 62 434 26908(65, 69] 1 67 67 4489

Total 35 1870 101590

La desviacion estandar aproximada es

s ≈

√35(101590)− (1870)2

35(35− 1)

Rocıo Meza Moreno Datos agrupados

Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados

s ≈

√35(101590)− (1870)2

35(35− 1)

=

√58750

1156

=√

49.3697479

= 7.0

La desviacion estandar real que se obtuvo al utilizar la listaoriginal de datos es 6.9◦F, ¿que se puede concluir?

Rocıo Meza Moreno Datos agrupados

Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados

s ≈

√35(101590)− (1870)2

35(35− 1)

=

√58750

1156

=√

49.3697479

= 7.0

La desviacion estandar real que se obtuvo al utilizar la listaoriginal de datos es 6.9◦F, ¿que se puede concluir?

Rocıo Meza Moreno Datos agrupados

Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados

s ≈

√35(101590)− (1870)2

35(35− 1)

=

√58750

1156

=√

49.3697479

= 7.0

La desviacion estandar real que se obtuvo al utilizar la listaoriginal de datos es 6.9◦F, ¿que se puede concluir?

Rocıo Meza Moreno Datos agrupados

Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados

s ≈

√35(101590)− (1870)2

35(35− 1)

=

√58750

1156

=√

49.3697479

= 7.0

La desviacion estandar real que se obtuvo al utilizar la listaoriginal de datos es 6.9◦F, ¿que se puede concluir?

Rocıo Meza Moreno Datos agrupados

Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados

Ejercicio.

Para los siguientes dados agrupados calcule la media y ladesviacion estandar.

Velocidad(mi/h) Frecuencia

42-45 2546-49 1450-53 754-57 358-61 1

Rocıo Meza Moreno Datos agrupados

Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados

Referencias

[1] Anderson, D., Sweeney D. y Thomas W., Estadıstica paraadministracion y economıa, Thompson Editores, Mexico,2008.

[2] Lind, D., Marchal, W. y Wathen, S., Estadıstica aplicada alos negocios y la economıa, McGraw-Hill interamericana,Mexico, 2012.

[3] Triola, M., Estadıstica, Pearson Educacion, Mexico, 2009,pp. 75-86.

Rocıo Meza Moreno Datos agrupados