Funciones Ortgonales

• Hemos estudiado ya, en el cálculo infinitesimal, los vectores en el espacio de dos y tres dimensiones, y sabe que dos vectores no cero son ortogonales cuando su producto punto, o producto interno, es cero. Al dejar ese nivel, las nociones de vectores, ortogonalidad y producto interno pierden, con frecuencia, su interpretación geométrica.

¿y qué pasa si x toma valores continuos?

Funciones Ortgonales

• Estos conceptos se han generalizado es muy comúnn imaginar que una función es un vector. En consecuencia, podemos decir que dos funciones distintas son ortogonales cuando su producto interno es cero. En este caso, veremos que el producto interno de los vectores es una integral definida

Espacios de FuncionesEspacios de Funciones

Los vectores en el espacio R se pueden pensar como funciones evaluadas en valores discretos de una variable, por ejemplo, la sucesión geométrica

[1, 1/2, 1/4, 1/8,...] es la función f(x)=(1/2)x, valuada en x=0,1,2,3,...En forma similar, la sucesión aritmética

[2, 4, 6, 8, 10,...]Se expresa como la función f(x) =2x+2 valuada en x=0,1,2,3,...

¿y qué pasa si x toma valores continuos?

Espacios de FuncionesEspacios de Funciones

Si x toma valores continuos en el intervalo de números reales [a,b] los vectores se transforman en funciones de valor real en ese intervalo.

Sin embargo, este conjunto de funciones es demasiado extenso y sólo algunos subconjuntos son de interés, especialmente los de funciones de norma finita.

¿Pero y ... Como se define la norma de una función?

Espacios de FuncionesEspacios de Funciones

La manera natural de redefinir el producto interno para funciones, es transformando la sumatoria en una integral, así, para las funciones f, g definidas en el intervalo [a,b]:

De acuerdo a esto, la norma de la función f, será

f,g >=∫a

b

f u g u du

∥ f ∥= f,f>=∫a

b

f 2u du1/2

Espacios de FuncionesEspacios de Funciones

Ejemplo: Para las funciones f(x) = sen(x), g(x)=cos(x), definidas en el intervalo [0,2]

a) Producto interno: = 0, es decir, son funciones ortogonales.

b) Normas: =

= a) Normalización: las siguientes funciones son

ortonormales:

f,g >=∫0

2π

sin u cos u du

∥ f ∥=∫0

2π

sin2 u du 1/ 2

∥g∥=∫0

2π

cos2 u du1/2

f x =1

πsin x , g x =

1

πcos x

Espacios de FuncionesEspacios de Funciones

Ejemplo:

a) ¿Cuál es el ángulo entre las funciones del ejemplo anterior? , es decir, =90°

b) ¿cuál es la proyección ortogonal de la función h(x) = sin(x+) sobre sin(x)?

=cos() sin(x)

Lo cual era de esperarse, ¿porqué?

cos θ=f,g>∥ f ∥∥g∥

=0

h,f>∥ f ∥

f=1π [∫

0

2π

sin u+θ sin u du] sin x

Espacios de FuncionesEspacios de Funciones

Tarea:

a) ¿Cuál es el ángulo de la función h(x)=cos(x+), respecto a f(x)=sin(x)?

b) ¿Cuál es la proyección ortogonal de h sobre f?

c) ¿y sobre g(x)=cos(x)?

d) ¿Cuál es la norma de h(x)?

Espacios LEspacios L22

Las Normas lp definidas para vectores en R se transforman en las normas Lp que se definen para una función f(x) en el intervalo [a,b]como sigue

Así, las funciones de norma L2 finita conforman el conjunto de funciones de cuadrado integrable o Espacio L2.

∥ f ∥=∫a

b

∣ f x ∣p dx 1/ p

Espacios LEspacios L22

Ejemplo: ¿Para que valores de r la siguiente función está en L2 considerando el intervalo [0,1]?

f(x) = xr

Solución: como

Entonces la función xr pertenece a L2 si y sólo si

r > -1/2

∥ f ∥2=∫0

1

∣x∣2r dx ={ 12r1

para r>−1/2

∞ para r≤−1/2 }

Espacios LEspacios L22

La siguiente gráfica representa la función f(x)=xr para diferentes valores de r

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

r=-1

r=-1/2

r=-1/5

Bases de Espacios LBases de Espacios L22

Si tuvieramos una base para un espacio de funciones podríamos expresar cualquier función como una Combinación Lineal (serie) de funciones de la base.

Algunas bases comúnmente utilizadas son:{1,x,x2,x3,...} Series de Taylor{1,senx,cosx,sen2x,cos2x,...}Series de Fourier{1,senx+cosx,sen2x+cos2x,...}Series de Hartley

Bases OrtogonalesBases Ortogonales

Dada una base {f1,f2,f3,...} de L2 es posible obtener la serie correspondiente de una función arbitraria f calculando los coeficientes c1,c2,... de dicha serie:

f= c1f1+c2f2+c3f3+...Esto en general es complicado, pero si la base es ortogonal el problema se vuelve simple.

De hecho, el planteamiento es válido para cualquier espacio vectorial. Y los coeficientes calculados no son más que las coordenadas del vector f en la base dada.

Bases OrtogonalesBases Ortogonales

Sea por ejemplo {b1,b2,b3,...bn} una base de Rn, y sea x=[x1,x2,x3,...,xn] un vector arbitrario en Rn, entonces:

x= c1b1+c2b2+c3b3+...+cnbn

Si la base no es ortogonal, esto conduce a un sistema de n ecuaciones con n incógnitas. Pero si la base es ortogonal, tomando el producto interno con b1 tenemos

<x,b1> = c1<b1,b1>+c2<b1,b2>+...+cn<b1,bn>De donde c1=x,b1∥b1∥

2

Bases OrtogonalesBases Ortogonales

En forma similar:

Y si la base es ortonormal: las expresiones se reducen a:

x,b 2∥b2∥2 , .. . ,cn=x,bn∥bn∥

2

x,b1∥b1∥2 ,c2=

c1=

c1 =< x,b1 >,c2 =< x,b2 >, . . . ,cn =< x,bn¿¿

Bases OrtogonalesBases Ortogonales

Ejemplo: En R2, sea la base

a) Verificar que es una base ortonormal

b) Encontrar las coordenadas del vector arbitrario x=[x1,x2] en esta base.

Solución:

a) En efecto, <b1,b1>=<b2,b2>=1 y <b1,b2>=0.

b) c1 = <x,b1> = (x1-x2)/2

c2 = <x,b2> = (x1+x2)/2

b1=[1

2,−

1

2] , b2=[

1

2,

1

2]

Bases OrtogonalesBases Ortogonales

Tarea:a) En R2, proponer una base ortonormal diferente

a la del ejemplo anterior y encontrar las coordenadas del vector arbitrario x=[x1,x2] en dicha base.

b) Sea {b1,b2,...bn} una base no ortogonal de Rn, y sea x=[x1,x2,...,xn] un vector arbitrario en Rn, usar el producto interno para expresar la matriz A del sistema Ac=x, donde x es el vector arbitrario y c es el vector de las coordenadas c1,c2,...,cn de x la base dada

Series de FourierSeries de Fourier

Al igual que en cualquier espacio vectorial, en L2 las bases ortogonales facilitan el cálculo de las coordenadas de un vector arbitrario.

Una base ortogonal en el intervalo [0,2] para L2 es la siguiente

{1, sen(x), cos(x), sen(2x), cos(2x),...}Ya que:

sennx ,sen mx >=∫0

2π

sennx sen mx dx={0 para n≠mπ para n=m }

cos nx ,cos mx >=∫0

2π

cos nx cos mx dx={0 para n≠mπ para n=m }

sennx ,cos mx >=∫0

2π

sen nx cos mx dx= 0 para todo n,m enteros

Series de FourierSeries de Fourier

Así, una función arbitraria f(x) definida en el intervalo [0,2], se puede expresar en ese intervalo como Combinación Lineal (Serie de Fourier) de las funciones de la base anterior, como:

f(x)=a0+a1cos(x)+a2cos(2x)+a3cos(3x)+...

+b1sen(x)+b2sen(2x)+b3sen(3x)+...

Donde los coeficientes a0,a1,a2,a3,...,b1,b2,b3,...Son las coordenadas de la función f(x) en la base dada y se calculan como ya se dijo, es decir:

Series de FourierSeries de Fourier

Para k=0,1,2,3,4,...

La serie obtenida para f(x) será válida solamente en el intervalo [0,2] si f(x) está en L2.Si queremos generalizar la serie de Fourier para cualquier valor de x f(x) deberá cumplir las condiciones de Dirichlet

ak =f x ,cos kx ∥cos kx ∥2 = 1

π∫0

2π

f x cos kx dx

bk =f x ,sen kx ∥sen kx ∥2 = 1

π∫0

2π

f x sen kx dx

Series de FourierSeries de Fourier

Ejemplo: Encontrar la serie de Fourier para la siguiente función:

f x ={ 1 para 0≤ x<π−1 para π≤ x< 2π}

f(x)

x

Series de FourierSeries de Fourier

Solución: Calculamos los coeficientes ak:

en forma similar para los coeficientes bk:

Por lo cual, la serie de fourier queda:

ak=1π∫0

2π

f x cos kx dx= 1π∫0

π

cos kx dx− 1π∫π

2π

cos kx dx= 0

bk=1π∫0

π

sen kx dx− 1π∫π

2π

sen kx dx={ 4kπ

para k impar

0 para k par }

f x = 4π sen x

1

sen 3x 3

sen5x

5

sen 7x 7

. . .

Series de FourierSeries de Fourier

En la siguiente figura se muestran la primera y la quinta componentes de la serie:

Series de FourierSeries de Fourier

El Fenómeno de Gibbs:

Series de FourierSeries de Fourier

El Fenómeno de Gibbs:

Series de FourierSeries de Fourier

El Fenómeno de Gibbs:

Series de FourierSeries de Fourier

El Fenómeno de Gibbs:

Series de FourierSeries de Fourier

Tarea: 1) Obtener la serie de Fourier para la siguiente función:

2) Hacer un programa en Matlab para ilustrar el fenómeno de Gibbs para la función del inciso anterior

f(x)

x

Series de FourierSeries de Fourier

Funciones Pares e Impares:

Una función par es una función simétrica respecto al eje vertical, es decir, f(x) es par si

f(x) = f(-x)

f(x)

x

Series de FourierSeries de Fourier

En forma similar, una función f(x) se dice función impar si es simétrica respecto al origen, es decir, si cumple lo siguiente

-f(x) = f(-x)

f(x)

x

Series de FourierSeries de Fourier

Ejemplo: ¿Las siguientes funciones son pares o impares? f(x)= x+1/x, g(x)=1/(x2+1), h(x)=i(x2) donde i es una función arbitraria.

Solución:

Como f(-x) = -x - 1/x = -f(x), f es función impar.

Como g(-x)=1/((-x)2+1)=1/(x2+1)=g(x), g es función par.

Como h(-x) = i((-x)2) = i(x), h es función par.

Series de FourierSeries de Fourier

Tarea: ¿Las siguientes funciones son pares o impares? f(x)=x3-1/x, g(x)=x2/(x2+1), h(x)=i(x2+1) donde i es una función arbitraria. Verificar en cada caso con la gráfica de la función en el intervalo [-1,1], en el caso de la función i proponerla arbitrariamente para graficar.

Series de FourierSeries de Fourier

Como la función sen(kx) es una función impar para todo k0 y la función cos(kx) es una función par para todo k, es de esperar que:

–Si f(x) es par, su serie de Fourier no contendrá términos seno, por lo tanto bk=0 para todo k

–Si f(x) es impar, su serie de Fourier no contendrá términos coseno, por lo tanto ak=0 para todo k