FUNCIONES ORTOGONALES  Y SERIES DE FOURIER

INTRODUCCION

El lector ha estudiado ya, en el cálculo infinitesimal, los vectores en el espacio de dos y tres dimensiones, y sabe que dos vectores no cero son ortogonales cuando su producto punto, o producto interno, es cero. Al dejar ese nivel, las nociones de vectores, ortogonalidad y producto interno pierden, con frecuencia, su interpretación geométrica. Estos conceptos se han generalizado es muy común imaginar que una función es un vector. En consecuencia, podemos decir que dos funciones distintas son ortogonales cuando su producto interno es cero. En este caso, veremos que el producto interno de los vectores es una integral definida.

Otro concepto que se vio en cálculo infinitesimal fue el desarrollo de una función f como serie infinita de potencias de x - a, llamada serie de potencias. En este capítulo aprenderemos a desarrollar una función f en términos de un conjunto infinito de funciones ortogonales.

FUNCIONES ORTOGONALES

Supongamos que u y v son vectores en el espacio tridimensional. El producto interno (u, v) de los vectores, que también se escribe u.v, posee las propiedades siguientes:

i) (u, v) = (v, u)

ii) (ku, v) = k(u, v), donde k es un escalar

iii) (u, u)= 0, si u= 0,y (u,u) > 0 si u ≠ 0

iv) (u + v, w) = (u, w) + (v, w).

Esperamos que una generalización del concepto de producto interno debe tener las mismas propiedades.

DEFINICIÓN Producto interno

El producto interno de dos funciones ƒ1 y ƒ2 en un intervalo [a, b] es el número

DEFINICION Funciones ortogonales

Dos funciones ƒ1 y ƒ2 son ortogonales en un intervalo [a, b] si

EJEMPLO 1 Funciones ortogonales

Las funciones ƒ1 (x) = x2 y  ƒ2 (x) = x3 son ortogonales en el intervalo [-1, 1] porque

 

EJERCICIOS

En los problemas 1 a 6, demuestre que las funciones respectivas son ortogonales en el intervalo indicado.

Serie de Fourier

Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función continua y periódica. Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinitesimal de funciones senoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico.

Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo. Refiérase al uso de un analizador de espectros.

Las series de Fourier tienen la forma:

Donde y se denominan coeficientes de Fourier de la serie de

Fourier de la función

La Serie de Fourier de una función f definida en el intervalo (- L, L) está dada por

                 

                                                       Donde

Ejercicios Propuestos

Encuentre la serie de Fourier de f en el intervalo dado

Funciones Ortogonales y Series de Fourier

• 12.1 Funciones Ortogonales• 12.2 Series de Fourier• 12.3 Series de Fourier de Cosenos y Senos• 12.4 Series d eFourier Complejas• 12.5 Problema de Sturm-Liouville• 12.6 Series de Bessel y Legendre

Ejemplo• Las funciones f1(x) = x2, f2(x) = x3 son ortogonales en el intervalo [−1, 1] puesto

que

Conjuntos Ortonormales La expresión (u, u) = ||u||2 se llama norma cuadrada. Por tanto podemso definir la norma cuadrada de una función como

(3)

Si {n(x)} es un conjunto ortogonal en [a, b] con la propiedad de que ||n(x)|| = 1 para todo n, entonces se llama conjunto ortonormal en [a, b].

061

),(1

1

631

1

221

xxdxxff ．

,)( 22 b

a nn dxx b

a nn dxxx )()( 2

Ejemplo 1

Demuestre que el conjunto {1, cos x, cos 2x, …} es ortogonal en [−, ].

Solución Sea 0(x) = 1, n(x) = cos nx, comprobamos que

Ejemplo 1 (2)

Ejemplo 2

Determine la norma de cada función del Ejemplo 1.

Solución

0 ,0sin1

cos)()() ,( 00

nfornx

n

nxdxdxxx nn

nmnmxnm

nmxnm

dxxnmxnm

nxdxmxdxxx nmnm

,0)sin()sin(

21

])cos()[cos(21

coscos)()(),(

0 ,||||

)2cos1(21

cos||||

,cos

22

n

dxnxnxdx

nx

n

n

n

22 ,1 0

200 dx

Analogía con Vectores

Recordando de la teoría de vectores en 3 dimensiones que tenemos

(4)

(5)

Así podemos hacer una analogía entre funciones y vectores.

Desarrollo en Series Ortogonales

• Suponga que {n(x)} es un conjunto ortogonal en [a, b]. Si f(x) está definida en [a, b], escribimos primero

(6)

Entonces

Como {n(x)} es un conjunto ortogonal en [a, b], cada término en el lado derecho es nulo, excepto m = n. En este caso tenemos

,332211 vvvu ccc

3

1232

3

322

2

212

1

1

||||

),(

||||

),(

||||

),(

||||

),(

nn

n

n vv

vuv

v

vuv

v

vuv

v

vuu

?)()()()( 1100 xcxcxcxf nn

),(),(),(

)()(

)()()()(

)()(

1100

1100

mnnmm

b

a mnn

b

a m

b

a m

b

a m

ccc

dxxxc

dxxxcdxxxc

dxxxf

,...2,1,0 ,)(

)()(

)(),()()(

2

2

ndxx

dxxxfc

dxxccdxxxf

b

a n

b

a nn

b

a nnnnn

b

a n

En otras palabras,

(7)

(8)

Entonces (7) se transforma en

(9)

Conjuntos Completos

Conjuntos Completos

Un conjunto ortogonal es completo si la única función ortogonal continua a cada miembro del conjunto es función nula.

12.2 Series de Fourier• Una Serie Trigonométrica

Podemos demostrar que el conjunto

(1)

es orthogonal en [−p, p]. Así una función f definida en [−p, p] puede escribirse como

(2)

0

),()(n

nn xcxf

2||)(||

)()(

x

dxxxfc

n

b

a n

n

02 )(

||)(||

),()(

nn

n

n xx

fxf

• Ahora calculamos los coeficientes.

(3)

Como cos(nx/p) y sin(nx/p) son ortogonales a 1 en este intervalo, entonces (3) se transforma en

Así tenemos

(4)

• Además,

(5)

por ortogonalidad tenemos

Y

Así (5) se reduce a

y por tanto

1

0 sincos2

)(n

p

pn

p

pn

p

p

p

pdxx

pn

bdxxpn

adxa

dxxf

000

22)( pax

adx

adxxf

p

p

p

p

p

p

p

pdxxf

pa )(

10

1

0

sincoscoscos

cos2

cos)(

n

p

pn

p

pn

p

p

p

p

dxxpn

xpm

bdxxpm

xpm

a

dxxpma

dxxpm

xf

0sincos

0,0cos

p

p

p

p

xdxpn

xpm

mxdxpm

nmp

nmxdx

pn

xpmp

p ,

0,coscos

(6)

Finalmente, si multiplicamos (2) por sin(mx/p) y usamos

y

obtenemos que

(7)

0sinsin

0 ,0sin

p

p

p

p

xdxpn

xpm

mxdxpm

nmp

nmxdx

pn

xpmp

p ,

0,sinsin

p

p nmp

nmdxx

pn

xpm

,

,0sinsin

Ejemplo 1

Desarrolle (12) en una serie de Fourier.

SoluciónLa gráfica de f se muestra en la Fig 12.1 con p = .

Ejemplo 1 (2)

Ejemplo 1 (3)

De (11) tenemos

Po tanto

(13)

xx

xxf

0,

0,0)(

221

)(01

)(1

0

2

0

0

0

xx

dxxdxdxxfa

22

0

00

0

0

)1(11cos

cos1

sin1sin

)(1

cos)(01

cos)(1

nn

n

nnx

n

dxnxnn

nxx

dxnxxdx

dxnxxfa

n

n

nnxdxxbn

1sin)(

10

1

2 sin1

cos)1(1

4)(

n

n

nxn

nxn

xf

Fig 12.1

Ejemplo 2

• La función f en el Ejemplo 1, es continua en (−, ) excepto en x = 0. Así que la serie (13) converge a

en x = 0.

Extensión Periódica

• Fig 12.2 es la extensión periódica de la función f del Ejemplo 1. Así que la discontinuidad en x = 0, 2, 4, … converge a

y en x = , 3, … converge a

220

2)0()0( ff

22)0()0( ff

02

)0()( ff

Fig 12.2

Secuencia de Sumas Parciales

• Secuencia de Sumas ParcialesPara (13), escribimos las sums parciales como

Fig 12.3

xxxS

xxSS

2sin21

sincos2

4

,sincos2

4 ,

4

3

21