ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA

SERIES DE FOURIER

FUNCIONES ORTONORMALESGRUPO 12 GR4INTEGRANTES: DIEGO ORTIZ CARLOS POGO

Producto Escalar o Interior

El producto interior de dos funciones f1 y f2 en un

intervalo [a, b] es el número:

Norma

El producto escalar produce la norma de una función f definida en el intervalo [a,b], y es el número:

Funciones Ortogonales

Dos funciones f1 y f2 son ortogonales en un

intervalo [a, b] si

ejemplo

Conjunto Ortogonal

Se dice que un conjunto de funciones de valores

reales {f0(x), f1(x), f2(x), …} es ortogonal en un

intervalo [a, b] si;

Conjunto OrtonormalUn conjunto ortogonal de funciones go, g1,g2,.........

en el intervalo a<t<b, tal que cuyas funciones tiene norma 1 satisface las relaciones:

un conjunto de este tipo recibe el nombre de conjunto “ortonormal” de funciones en el intervalo a<t<b.

Ejemplo

Es conocido que, dada una base ortogonal en un espacio vectorial de dimensión finita, cualquier elemento de dicho espacio vectorial puede representarse como combinación lineal de los elementos de esa base. Nuestro objetivo es extender esta propiedad a un espacio de dimensión infinita.Sea {ϕn} para todo n entre (0,∞) un conjunto ortogonal de funciones en el intervalo [a, b] y sea f una función definida en ese intervalo. Los coeficientes cm, m = 0, 1, 2, . . . , para los que

se calculan multiplicando esta expresión por ϕm e integrando en el intervalo [a, b]

Por ortogonalidad, cada término del lado derecho de la última ecuación es cero, excepto cuando n = m. En este caso, se tiene

donde los coeficientes cn vienen dados por:

En otras palabras,

entonces:

Este desarrollo se llama desarrollo en serie ortogonal de f (o también, serie de Fourier generalizada).

Bibliografía

•Analisis Matematico IV,Eduardo Espinoza Ramos, pag 711-712•http://www.dma.uvigo.es/~aurea/Transparencias_tema2.pdf•http://ocw.unican.es/ensenanzas-tecnicas/ampliacion-de-matematicas/materiales/tema7.pdf

FIN