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CAPÍTULO 3

FUNCIONES

RACIONALES CONTENIDO

Definición de una función racional

Operaciones con funciones racionales

Asíntotas

Graficación de funciones racionales

RESULTADOS DEL APRENDIZAJE:

Al finalizar el estudio de este capítulo el alumno:

Explica con sus propias palabras el concepto de función racional.

Suma, multiplica y divide funciones racionales

Determina asíntotas al gráfico de una función racional.

GENERALIDADES En esta sección operaremos con funciones que se expresan como cocientes de polinomios.

Estas funciones se llaman funciones racionales.

Definición. Una función racional f tiene la forma( )

( ) ,( )

p xf x

q x donde p y q son

polinomios.

Obviamente una tal función está definida únicamente para aquellos valores de x para los

cuales q(x) ≠ 0.

90

La expresión ( )

( )

p x

q x se llama también una fracción polinomial.

Las siguientes expresiones representan funciones racionales:

3 22

2 3 3

2 3 8 2, , , , 2 2.

1 1 2 1 3

x x x xx x

x x x x x

Observe que un polinomio también es una función racional en la que el denominador es el polinomio

constante 1. En general el dominio de una función racional está constituido por todos los números reales excepto aquellos valores que anulan el denominador. Gran parte de la discusión de funciones racionales se enfoca en el comportamiento de su gráfica cerca de aquellos valores que anulan el denominador.

EJEMPLO

Encontrar el dominio de la función definida por 1

( )f xx

y discutir su comportamiento cerca de los

valores que hacen cero el denominador. Solución:

Como el denominador es cero cuando 0,x el dominio de la función f son todos los números reales

excepto 0,x es decir, ( )Dom f *0 .

Para determinar el comportamiento de f cerca de 0,x evaluamos ( )f x a la izquierda y a la

derecha de 0x como se indica en la tabla siguiente.

x 1

1

2

1

10

1

100

1

1000

0

0

1

1000

1

100

1

10

1

2

1

( )f x

1

2

10

100

1000

1000

100

10

2

1

De la tabla, note que cuando x se aproxima a 0 por la izquierda, ( )f x decrece indefinidamente. En

contraste, cuando x se aproxima a 0 por la derecha, ( )f x crece indefinidamente. Diremos que

( )f x tiende a cuando x tiende a cero por la izquierda y que ( )f x tiende a cuando x tiende

a cero por la derecha. Abreviaremos ( )f x o ( ) .f x El gráfico de f se muestra a

continuación.

91

Observación. El comportamiento de f cerca de 0x es denotado como sigue: ( )f x cuando

0x y ( )f x cuando 0 .x

La recta de ecuación 0x es una asíntota vertical del gráfico de ,f como se muestra en la figura.

El gráfico de f tiene también una asíntota horizontal, es la recta de ecuación 0.y Esto significa

que los valores de 1

( )f xx

se aproximan a cero cuando x crece sin límite.

Evaluación de una función racional

Dada la función racional definida por 2

( )3

f xx

para todo 3,x calcular ( 2), ( 1/ 2),f f

(0), (2 / 3), (1), 2 y ( ( )).f f f f f f x

Solución:

2 2

( 2) .( 2) 3 5

f

92

2 2 4

( 1/ 2) .1 7 7

( ) 32 2

f

2 2

(0) .(0) 3 3

f

2 2 6

(2 / 3) .2 7 7

33 3

f

2 2

(1) 1.(1) 3 2

f

2 2 3 2 2 32 2 2 3

2 .2 9 72 3 2 3 2 3

f

2 2 2 3

( )2 2 3 93 11 3

33 3

xf f x f

xx x

x x

o también

2 2 3

( ) .2( ) 3 11 3

33

xf f x

f x x

x

La gráfica de esta función se muestra a continuación.

EJERCICIOS

1. Evalúe la expresión que se indica, en cada uno de los valores indicados.

a. 5

1x para 0, 2, 1, 6.x x x x

b. 4

6

x

x

para 6, 4, 0 y 4.x x x x

c. 3

2

y

y

para 0, 2, 3 y 4.y y y y

93

d. 2

3 1

1

a

a

para

11, 0, y 1.

3a a a a

e. 2

2 8

9

z

z

para 4, 4, 3 y 3.z z z z

2. Hallar el dominio de la función racional dada.

a. 1

( )2

xf x

x

b. 2

1( )

1f x

x

c. 2

2( )

2 3 5

xf x

x x

d. 2

1( )

6 27

xf x

x x

e. 2

1( )

16

xf x

x

f.

2

2

1( )

9

xf x

x

g.

2

2

1( )

1

xf x

x x

h.

Simplificación deexpresiones racionales Es conveniente expresar una función racional en la forma más sencilla posible, así:

x² - 1

( x + 2)(x - 1) =

( x - 1)( x + 1)

( x + 2)( x - 1) =

x + 1

x + 2 , si x ≠ 1 y x ≠ - 2.

Se dice entonces que se ha simplificado la fracción x² - 1

( x + 2)( x – 1 ).

En general si dos polinomios p(x) y q(x) tienen un factor común k(x), podemos eliminar este factor en

la fracción p(x)

q(x) , usando las propiedades de los números reales. Es decir:

p(x)

q(x) =

( ) ( )

( ) ( )

k x r x

k x s x

=

r(x)

s(x) si q(x) ≠ 0.

Lo anterior sugiere que para simplificar una fracción polinomial es útil factorar el numerador y el

denominador y eliminar los factores comunes.

EJEMPLOS

1. x³ + 1

x³ - x² + x =

(x + 1)(x² - x + 1)

x(x² - x + 1) =

(x + 1)

x .

2.

x³ - 4x² + x + 6

x4 + 2x³ - 14 x² + 2x – 15 =

(x + 1)(x - 3)(x - 2)

(x - 3)(x² + 1)(5 + x) =

(x + 1)(x - 2)

(x² + 1)(x + 5)

= (x² - x - 2)

(x³ + 5x² + x + 5) .

94

Como las funciones racionales son funciones reales, se tiene la siguiente definición.

Definición. Si p, q, r y s son polinomios entonces p(x)

q(x) +

r(x)

s(x) =

p(x) s(x) + q(x) r(x)

q(x) s(x) , si q(x) 0 y s(x) 0 .

p(x)

q(x) -

r(x)

s(x)=

p(x) s(x) - q(x)r(x)

q(x) s(x) , si q(x) 0 y s(x) 0 .

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

p x r x p x r x

q x s x q x s x , si q(x) 0 y s(x) 0 .

( ) ( ) ( ) / ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) / ( ) ( ) ( )

p x r x p x q x p x s x

q x s x r x s x q x r x , si q(x) 0 , r(x) 0 y s(x) 0 .

Note que p(x)

q(x) +

r(x)

q(x) =

p(x) + r(x)

q(x) .

Los siguientes ejemplos ilustran estas situaciones. EJEMPLOS.

1.

x² + 5x + 6

x² + 1 +

(x - 2)

x (x - 1) =

x (x - 1)(x² + 5x + 6) + (x - 2)(x² + 1)

x (x - 1)(x² + 1) =

= x4 + 5x³ - x² - 5x – 2

x(x - 1)(x² + 1 )

= x4 + 5x³ - x² - 5x – 2

x4 - x³ + x² - x

2.

x – 4

x² - 3x – 4

2x²

2x³ - 3x² =

(x - 4)(2x³ - 3x²) - 2x²(x² - 3x - 4)

(x² - 3x - 4)(2x³ - 3x²)

= (2x4 - 11x³ + 12x² ) - (2x4 - 6x³ - 8x² )

(x² - 3x - 4)(2x³ - 3x²)

= - 5x³ + 20x²

(x² - 3x - 4)(2x³ - 3x²)

95

= 5x²(- x + 4)

(x - 4)(x + 1) x²(2x - 3)

= 5x² (x - 4)

(x - 4)(x + 1) x²(2x - 3)

=

5.

1 2 3x x

Es conveniente simplificar las fracciones, en caso de ser posible, antes de efectuar las operaciones. Así, en el ejemplo anterior

2 2

2 3 2 2

4 2 4 2

3 4 2 3 4 1 2 3

1 2

1 2 3

2 3 2 1

1 2 3

5.

1 2 3

x x x x

x x x x x x x x

x x

x x

x x

x x

3.

2x² - x – 6

(x + 2)

(x² - 2)

x²(x - 2) =

(2x² - x - 6)(x² - 2)

(x + 2) x²(x - 2)

= (2x + 3)(x - 2)( x - 2)(x + 2)

(x + 2) x²(x - 2)

= (2x + 3)(x - 2)

x²

= 2x² + (3 - 2 2)x - 3 2

x² .

4.

x³ + 1

3x + 2 ÷

x² - x + 1

x + 2 =

x³ + 1

3x + 2 ×

x + 2

x² - x + 1

= (x + 1)(x² - x + 1)

3x + 2 ×

x + 2

x² - x + 1

96

= (x + 1)(x + 2)

3x + 2

= x² + 3x + 2

3x + 2 .

Usando la propiedad asociativa, podemos sumar y multiplicar más de dos fracciones. Por ejemplo:

1

x² - 2x – 15 +

x + 1

x² - 3x

x²

x² - 9 =

1

x² - 2x – 15 +

x + 1

x² - 3x

x²

x² - 9

= x² - 3x + (x + 1)(x² - 2x - 15)

(x² - 2x - 15)(x² - 3x)

x²

x² - 9

= (x² - 9)[x² - 3x + (x + 1)(x² - 2x - 15)] - x²(x² - 2x - 15)(x² - 3x)

(x² - 2x - 15)(x² - 3x)(x² - 9)

= x4 - 6x³ + 20 x + 15

(x² - 2x - 15)(x² - 3x)

Observe que en la operación anterior podemos tomar directamente, como denominador de la fracción resultante, el producto de los denominadores de los sumandos. El numerador se obtiene entonces sumando los productos obtenidos al dividir este denominador por cada uno de los denominadores de los sumandos y multiplicar el resultado por el numerador correspondiente. Así:

1

x² - 2x – 15 +

x + 1

x² - 3x

x²

x² - 9 =

= (x² - 3x )(x² - 9) + (x + 1)(x² - 2x - 15)(x² - 9) - x² (x² - 2x - 15)(x² - 3x)

( x² - 2x - 15)(x² - 3x)(x² - 9)

Sean a, b, c, d, h y k enteros y supongamos que m = hb = kd, entonces

a

b +

c

d=

ah

hd +

ck

kd=

ah

m +

ck

m =

ah + ck

m .

Lo anterior muestra que para sumar fracciones, podemos tomar como denominador de la

fracción resultante un múltiplo común de los denominadores de los sumandos que no tiene

que ser necesariamente bd, generalmente se toma el más pequeño de éstos múltiplos llamado

el mínimo común múltiplo.

Esta observación es también útil para sumar o restar fracciones polinomiales. El mínimo

común múltiplo de polinomios, que tratamos a continuación, nos permite realizar este

proceso.

97

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE POLINOMIOS

Dados dos polinomios p(x) y q(x) de grado mayor o igual que 1, se trata de encontrar un polinomio m(x) que sea divisible por p(x) y q(x) y que sea el "más pequeño" polinomio que satisface esta condición.

Considere el siguiente ejemplo: Sean los polinomios p(x) = x² 1 = (x 1) (x + 1) y q(x) = x³ + 5x² + 7x + 3 = (x + 3)(x + 1)². El polinomio m(x) = (x + 3)(x - 1)(x + 1)², es divisible por p(x) y q(x)

y cualquier polinomio que cumpla esta condición, como por ejemplo ( ) ( ),p x q x es divisible por

m(x).

Note que en m(x) aparecen todos los factores de p(x) y q(x) y que el factor (x+1), común a

los dos, aparece con su mayor exponente.

En general para determinar el mínimo común múltiplo, que básicamente es similar al

utilizado para números enteros, se descompone p(x) y q(x) en tantos factores no constantes

como sea posible. El mínimo común múltiplo m(x) es entonces el producto de los

factores comunes y no comunes de p(x) y q(x) con su mayor exponente.

Evidentemente podemos generalizar este proceso y hablar del mínimo común múltiplo de

tres o más polinomios.

EJEMPLO

Sean los polinomios p(x) = 4x² 9, q(x) = 4x² 12x + 9 y r(x) = 2x² + 3x.

Factorizando estos polinomios se obtiene: p(x) = (2x 3)(2x + 3), q(x) = (2x 3)²

y r(x) = x(2x + 3).

El mínimo común múltiplo de estos tres polinomios es: m(x) = (2x 3)²(2x + 3)x.

Utilicemos entonces el mínimo común múltiplo para sumar fracciones polinomiales.

Consideremos el siguiente ejemplo:

20x

4x ² - 9 +

8x - 12

4x² - 12x + 9

5

2x² + 3x =

20x

(2x - 3)(2x + 3) +

8x – 12

(2x - 3)²

5

x(2x + 3) .

Como vimos en el ejemplo anterior, el mínimo común múltiplo de los denominadores es

m(x) = (2x 3)² (2x + 3)x.

Se tiene entonces que

20x

(2x - 3)(2x + 3) +

8x – 12

(2x - 3)²

5

x(2x + 3) =

98

= 20x(2x - 3) x

(2x - 3)² (2x + 3) x +

(8x - 12)(2x + 3) x

(2x - 3)² (2x + 3) x

5(2x - 3)²

(2x - 3)² (2x + 3) x

= 20x (2x - 3) x + (8x - 12) (2x + 3 ) x - 5( 2x - 3)²

(2x - 3)² (2x + 3) x

= 28x² + 2x + 15

(2x - 3)(2x + 3) x .

Observe que los factores (2x 3)x, (2x + 3)x y (2x 3)² que aparecen en los numeradores se obtienen dividiendo el denominador común m(x) por los respectivos denominadores

2 3 2 3 ,x x (2x 3)² y x(2x + 3).

EJEMPLO

1

x³ - 27

1

x³ + 27 +

6

(x² + 9)² - 9x² =

= 1

(x - 3)(x² + 3x + 9)

1

(x + 3)(x² - 3x + 9) +

6

(x² + 9 - 3x)(x² + 9 + 3x)

= (x + 3)(x² - 3x + 9 ) - (x - 3)(x² + 3x + 9) + 6(x - 3)(x + 3)

(x - 3)(x + 3)(x² + 3x + 9)(x² - 3x + 9)

= x³ + 27 - (x³ - 27) + 6(x² - 9)

(x - 3)(x + 3)(x² + 3x + 9)(x² - 3x + 9)

= 6x²

(x³ + 27)(x³ - 27) .

Terminaremos esta sección presentando algunos ejemplos de simplificación de fracciones en las que

aparecen las diferentes operaciones.

EJEMPLOS 1. Simplifique

x

1 - 1

1 + 1

x – 1

= x

1 - 1

x

x – 1

= x

1 - x - 1

x

= x

1

x

= x².

2. Simplifique

99

x²

x + 1 +

x

2 - 3

x

x + 1

x - x - 2

x + 4

=

x²

x + 1 +

x

2x - 3

x

x + 1

(x² + 4x ) - (x - 2)

(x + 4)

=

x²

x + 1 +

x²

2x – 3

x + 1

x² + 3x + 2

x + 4

=

x²(2x - 3) + x²(x + 1)

(x + 1)(2x - 3)

(x + 1)(x + 4)

x² + 3x + 2

=

3x³ - 2x²

(x + 1)(2x - 3)

(x + 1)(x + 4)

(x + 2)(x + 1)

= 3x³ - 2x²

(x + 1)(2x - 4) ×

x + 2

x + 4

= x²(3x - 2)(x + 2)

2(x + 1)(x - 2)(x + 4) .

3.

x

a +

a

x - 1

1

x -

1

a

÷ x³ + a³

x² - a² =

x² + a² - ax

ax

a – x

ax

× x² - a²

x³ + a³

= x² + a² - ax

a – x ×

(x - a)(x + a)

(x + a)(x² - ax + a²)

=

1

1.x ax a

EJERCICIOS

100

1. Determinar el dominio de definición de cada una de las funciones racionales que se indican a continuación:

a. x → f(x)= - (x - 1)²(x + 2)

x² - 4x + 3

b. x → f(x)= x² - 2x - 3

2x² - 3x – 9

c. t → f(t) = t³ - 27

t² - 6t + 9

d. y → f(y)= y² + b² + 2by

y² + (b + 1)y + 1

e. x → f(x) = x³ + 27

x² - 9 +

x³ - 5x² + x - 5

x² - 9x + 14

f. y → f(y)= 3y² + y + 1

g. z → f(z)= 3z² + 2z 3+ 1

3 z² + z .

2. Simplificar f(x), en cada uno de los siguientes casos:

a. f(x) = 1 – x + x² + x4 – x5 + x6

x³ + 1

b. f(x) = (x² + 2√3x + 3)(5 + x)

(25 - x²)(x + √3)

c. f(x) = (x + 1)4 - (x - 1)4

8x5 + 16x³ + 8x

d. f(x) = (2 + x)(2x + 1)² - 16(x + 2)

(2x + 5)(7 - x) + 4x² - 25

e. f(x) = x³ - 3x² - 5x + 14

x² - 3x – 2

f. f(x) = [a²(x + 1) + b²(x - 1)]² - 4a²b²x²

[a(x + 1)]² - [b(x - 1)]² .

3. Completar:

a. x – 4

x + 3 =

……….

x² - 5x – 24

b. x + 2

x + 6 =

………

x² + 3x – 18

c. x - 9

x – 1 =

………

x³ - 1

d. x² + 1

x – 1 =

………

x5 – 1 .

4. Hallar el mínimo común múltiplo de los polinomios: a. 28x, x² + 2x + 1, x² + 1, 7x² + 7, 14x + 14

b. x4 + 8x - 4x³ - 32, a²x4 - 2a²x³ - 8a²x², 2x4 - 4x³ + 8x²

c. x³ - 27a³, x² - 9a², x² - 6ab + 9a², x² + 3ab + 9a².

5. Reducir al mínimo común denominador.

a. a + 1

a³ - 1 ,

2a

a² + a + 1 ,

1

a – 1

101

b. 20x

4x² - 9 ,

8x – 12

4x² - 12x + 9 , -

5

2x² + 3x

c. 2x² + 2x

x² + 2x + 1 ,

2x + 2

x² - 1 ,

4x³ + 4x

x4 - 1

d. 4x

4x² - 9 ,

8x – 12

4x² - 12x + 9 ,

- 5x

2x² - 3x .

6. Efectuar las siguientes operaciones y simplificar:

a. 9x² - 25

3 - 12x² ×

2x + 1

9x² + 30 x + 25

b.

b - x - b

1 – xb

1 + x + b

1 – xb

c.

1

x + a +

1

x – a ÷

2a

x² - a²

d. y4 + 27y

y³ - y² + y ×

y4 + y

y4 - 3y³ + 9y² ×

1

y(y + 3)² ×

y²

y – 3

e. 2x² + 7xb - 15b²

x³ + 4x²b ÷

x² - 2xb - 40b²

x² - 4xb - 32b²

f. x³ + 4x² - 5x

x² - 2x + 1 ÷

x² + x - 2

x4 + 8x ×

x - 4

x² - 2x + 4

g.

3y

y – 3 -

3y + 2

y² - 6y + 9

y + 2

y + 3 -

y

y² + 6y + 9

h.

x + 1

x – 1 -

x - 1

x + 1

x - 1

x + 1 +

x + 1

x – 1

× x² + 1

2a² - 2b ÷

2x

a² - b

i. x² - ax

ax + a² ÷

x² - a²

x² + 2ax + a² ÷

x² - 2ax + a²

ax² + a²x

j.

x

b - b²

x

+ b

x - x²

b

÷

x²

b -

b²

x .

7. Simplificar:

a. x

1- 1

1 + 1

x – 1

b.

1

2 -

4

x³

1

x² +

1

4+

1

2x

c. (2x – 1)

1 - 1 – x

x

1 + 1 – x

x

102

d.

x + 1 - 6x + 12

x + 2

x – 5

x – 4 + 11x – 22

x – 2

x + 7

e. 1 + 1

1 + 1

1 + 1

1 + 1

1 + x

8. Dadas las funciones racionales de la variable real x:

f: x 2x³ + 5x² - 2x - 5

x² - 1 y g: x

x - 1

2x² + 3x – 5 ,

escribir bajo la forma más simple posible: f(x) - g(x), f(x)g(x), f(x)

g(x) . Precisar además para qué

valores de x esos números existen.

9. Resolver las siguientes inecuaciones:

a. 1

x>

1

2x

b. x² ≥ 2x² + x

x + 2

c. 5

x² - 4 < 1

d. x³ + 1

x³ - 1 < 0

e. 2x² + 2x

x² + 2x + 1 +

2x + 2

x² - 1 +

4x³ + 4x

x4 – 1 ≥ 0

f. 5x

x + 5x² -

3 - 15x

(1 - 5x)² +

6x

x - 25x³ ≤ 0.

ASÍNTOTAS HORIZONTALES Y VERTICALES Definición de asíntotas horizontales y verticales.

1. La recta x a es una asíntota vertical del gráfico de f si ( )f x o ( )f x cuando

,x a sea por la izquierda o por la derecha.

2. La recta y b es una asíntota horizontal del gráfico de f si ( )f x b cuando x o

.x

Las siguientes figuras muestran las asíntotas horizontales y verticales de tres funciones racionales.

103

Asíntotas horizontales y verticales de una función racional

Sea f la función racional definida por 1

1 1 0

1

1 1 0

( )( )

( )

n n

n n

m m

m m

a x a x a x ap xf x

q x b x b x b x b

donde ( )p x y ( )q x no tienen factores comunes.

1. El gráfico de f tiene asíntotas verticales en todos los ceros de ( ).q x

2. El gráfico de f tiene al menos una asíntota horizontal determinada por comparación de los

grados de ( )p x y ( ).q x

a. Si ,n m el gráfico de f tiene a la recta de ecuación 0y (eje X ) como una asíntota

horizontal.

b. Si ,n m el gráfico de f tiene a la recta de ecuación n

m

ay

b como una asíntota horizontal.

c. Si ,n m el gráfico de f no tiene asíntotas horizontales.

EJEMPLOS

1. Encontrar las asíntotas horizontales y verticales a los gráficos de las funciones racionales y f g

definidas por:

a. 2

2( )

3 1

xf x

x

b.

2

2

2( ) .

1

xg x

x

Solución:

a. Para la función f como el grado del numerador es menor que el grado del denominador, el

gráfico tiene a la recta de ecuación 0y como una asíntota horizontal. Para encontrar las

asíntotas verticales, debemos igualar a cero el denominador y resolver la ecuación resultante

para .x Es decir, debemos resolver la ecuación 23 1 0.x Pero como esta ecuación no

tiene soluciones reales, podemos concluir que el gráfico de la función f no tiene asíntotas

verticales. El gráfico de la función se muestra a continuación.

104

b. Para la función racional g el grado del numerador es igual al grado del denominador. Como

el coeficiente del término de mayor grado en el numerador es 2 y en el denominador es 1,

entonces el gráfico de g tiene a la recta de ecuación 2y como una asíntota horizontal.

Para encontrar las asíntotas verticales, debemos igualar a cero el denominador y resolver la

ecuación resultante para .x Igualando a cero el denominador se tiene: 2 1 0.x Dicha

ecuación es equivalente a 1 1 0,x x de donde se sigue que 1x o 1.x Es

decir que el gráfico de g tiene a las rectas de ecuaciones como soluciones 1x y

1x como asíntotas verticales. El gráfico de la función se muestra a continuación.

2. Encontrar las asíntotas horizontales y las asíntotas verticales así como los huecos en el gráfico de

2

2

2( ) .

6

x xf x

x x

Solución: Para esta función el grado del numerador es igual al grado del denominador. Los coeficientes de

los términos de mayor grado en el numerador y denominador son iguales a 1, por lo tanto el

gráfico de la función tiene a la recta de ecuación 1y como una asíntota horizontal. Para

encontrar las asíntotas verticales, en primer lugar vamos a factorar numerador y denominador. Se tiene:

105

2

2

2 12 1( ) ,

6 3 2 3

x xx x xf x

x x x x x

con 2.x

Igualando a cero el denominador se deduce que la recta de ecuación 3x es una asíntota

vertical. Para encontrar los agujeros en el gráfico, note que la función no está definida en 2x

y en 3.x puesto que 2x no es una asíntota vertical, el gráfico tiene un agujero en 2.x

para encontrar el valor de la ordenada en el agujero, sustituimos 2x en la expresión simplificada de la función. Es decir,

1 2 1 3.

3 2 3 5

xy

x

Por lo tanto el gráfico de la función racional tiene un agujero en el punto 3

2, .5

EJERCICIOS

1. Para la función ,f definida por 3 2

3

3 7 2( ) .

4 5

x xf x

x

encontrar:

a. Dominio de .f

b. Las asíntotas verticales de .f

c. Las asíntotas horizontales de .f

d. Solución: 35

( ) .4

Dom f

Asíntota vertical: 35

,4

x horizontal: 3

.4

y

2. Un gráfico con dos asíntotas horizontales.Mostrar que la función f definida por 10

( ) ,2

xf x

x

que no es una función racional, tiene a la recta de ecuación 1y como una asíntota horizontal

a la izquierday a la recta de ecuación 1y como una asíntota horizontal a la derecha.

Sugerencia:

10, si 0

10 2( )

102, si 0

2

xx

x xf x

xxx

x

El gráfico de una función racional

Para construir el gráfico de una función racional, use las siguientes indicaciones:

Sea ( )

( ) ,( )

p xf x

q x donde ( )p x y ( )q x son polinomios.

1. Simplifique ,f si es posible. Cualquier restricción sobre el dominio de f antes de la

simplificación debe ser registrada.

2. Encontrar y dibujar el y intersecto (si existe) evaluando (0).f

3. Encontrar los ceros del numerador ( si existen) igualando el numerador a cero. Dibujar los

correspondientes x intersectos.

106

4. Encontrar los ceros del denominador (si existen) igualando el denominador a cero. Construir entonces las correspondientes asíntotas verticales usando líneas cortadas y dibujando los correspondientes huecos usando círculos abiertos.

5. Encontrar y construir cualquier otra asíntota del gráfico usando líneas cortadas. 6. Dibujar al menos un punto entre los ceros de la función y las asíntotas verticales. 7. Use una curva suave para completar el gráfico entre las asíntotas verticales, excluyendo cualquier

punto donde f no esté definida.

ASÍNTOTAS OBLICUAS

Considere una función racional cuyo denominador es de grado 1 o mayor. Si el grado del numerador es exactamente uno más que el grado del denominador, el gráfico de la función tiene una asíntota oblicua.

Por ejemplo, el gráfico de 2

( )1

x xf x

x

tiene una asíntota oblicua, como se muestra en la figura

de abajo. Para encontrar la ecuación de la asíntota oblicua, se usa la división. Dividiendo 2x x

para 1,x se tiene 2

Asíntota oblicua2

2( ) 2 .

1 1y x

x xf x x

x x

Cuando x aumenta o disminuye sin límite, el término 2

1x se aproxima a cero, y por tanto el

gráfico de f se aproxima a la recta 2y x , como se muestra en la figura.

Construir el gráfico de 2 2

( ) .1

x xf x

x

Solución

107

Primero escribimos ( )f x en dos formas diferentes. Factorando el numerador:

2 2 12( )

1 1

x xx xf x

x x

Permite reconocer los x interceptos. Si se realiza la división, se encuentra: 2 2 2

( ) .1 1

x xf x x

x x

Se reconoce entonces que la recta de ecuación y x es una asíntota oblicua del gráfico.

La intersección con el eje Y es el punto 0;2 pues (0) 2.f

Intersecciones con el eje X son los puntos 1;0 y 2;0 .

Asíntota vertical: 1,x que se obtiene igualando a cero el denominador.

No tiene asíntota horizontal pues el grado del numerador ( )p x es mayor que el grado del

denominador ( ).q x

Asíntota oblicua: .y x

Puntos adicionales

x 2 0,5 1 1,5 3

( )f x 1,33 4,5 No definido 2,5 2

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Encontrando un área mínima. Una página rectangular está diseñada para contener 48

pulgadas cuadradas de impresión. Los márgenes de cada lado de la página son de ancho una y

media pulgada. Los márgenes de la parte superior e inferior son de una pulgada. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la página para que la mínima cantidad de papel sea usada?

108

Solución gráfica. Sea A el área a ser minimizada. De la figura se deduce que:

3 2 .A x y

El área impresa interior a los márgenes es modelada por 48 xy o también 48

.yx

Para

encontrar el área mínima, escribamos la ecuación para A en términos de una sola variable

sustituyendo por ejemplo 48

x en lugar de .y

3 48 248

3 2 , 0.x x

A x xx x

El gráfico de esta función racional se muestra en la figura siguiente:

Como x representa el ancho del área impresa, necesitamos considerar solo la porción del

gráfico para la cual x es positiva. En la gráfica usted puede aproximar el valor mínimo de A

que ocurre cuando 8,5x pulgadas. El correspondiente valor de y es 48

5,68,5

pulgadas.

Es decir, las dimensiones deben ser 3 11,5x pulgadas por 2 7,6y pulgadas.

Cuando usted tome un curso de cálculo, estudiará la técnica analítica para encontrar el valor

exacto de x que produce el área mínima. En este caso, ese valor es 6 2 8,485.x

2. Concentración de una mezcla. Un tanque de 1000 litros contiene 50 litros de una solución

brine al 25%. Se agrega x litros de una solución brine al 75% en el tanque.

a. Mostrar que la concentración ,C la proporción de brine de la solución total, de la mezcla

final está dada por 3 50

.4 50

xC

x

b. Determinar el dominio de la función basado en las restricciones físicas del problema.

109

3. Geometría. Una región rectangular de longitud x y ancho y tiene un área de 500 metros

cuadrados.

a. Escriba el ancho y como una función de .x

b. Determine el dominio de la función basado en las restricciones físicas del problema.

c. Construya el gráfico de la función y determine el ancho del rectángulo cuando 30x metros.

4. Diseño de una página. Una página que tiene x pulgadas de ancho y y pulgadas de alto

contiene 30 pulgadas cuadradas de impresión. Los márgenes superior e inferior son de 2 pulgadas de alto y los márgenes de cada lado son de una pulgada de ancho (Ver figura)

a. Mostrar que el área total A de la página está dada por: 2 2 11

.2

x xA

x

b. Determine el dominio de la función basado en las restricciones físicas del problema. c. Use un graficador para graficar la función área y aproxime el yamaño de la página para el

cual la cantidad mínima de papel sea usada.

5. Geometría. Un triángulo rectángulo está formado en el primer cuadrante por el eje ,X el eje

Y y el segmento de recta que pasa por el punto 3;2 (ver la figura).

a. Mostrar que la ecuación del segmento de recta está dada por: 2

, 0 .3

a xy x a

a

b. Mostrar que el área del triángulo está dada por 2

.3

aA

a

c. Grafique la función área y estime el valor de a para el cual se obtiene el área mínima.

Estime el valor del área mínima.

110

6. Costo. El costo de importación y transporte C (en miles de dólares) de las componentes

usadas en la elaboración de un producto está dado por 2

200100 , 1,

30

xC x

x x

donde x es el tamaño de la orden (en cientos). Usando una calculadora gráfica grafique la

función costo. Del gráfico, estime el tamaño de la orden que minimiza el costo.

7. Costo promedio. El costo C de producir x unidades de un producto está dado por 20,2 10 5,C x x y el costo promedio por unidad está dado por

20,2 10 5, 0.

C x xC x

x x

Construir el gráfico de la función costo promedio y estime

el número de unidades que debe ser producido para minimizar el costo promedio por unidad.

8. Medicina. La concentración C de un químico en la sangre t horas después de inyectarlo en el

tejido muscular está dada por 2

3

3, 0.

50

t tC t

t

a. Determinar la asíntota horizontal de la función e interpretar su significado en el contexto del problema.

b. Construir el gráfico y aproximar el tiempo cuando la concentración en la sangre es mayor.

c. Determine cuando la concentración es menor que 0,345.

9. Resolviendo una aplicación que involucra “trabajo”. Juan puede pegar el papel en el cuarto de baño en 3 horas y Pedro puede pegar el papel en el mismo baño en 5 horas. ¿Qué tiempo les tomará si trabajan juntos?

Solución:

Si x representa el tiempo requerido por ambas personas trabajando juntos para completar el trabajo.

10. Un método para aproximar este problema es determinar la porción de trabajo que cada persona puede completar en una hora y extender la razón (rata tasa) a la porción de trabajo

completado en x horas.

Juan puede realizar el trabajo en 3 horas. Por lo tanto, completa 1

3 del trabajo en una hora y

1

3x del trabajo en x horas.

Pedro puede realizar el trabajo en 5 horas. Por lo tanto, completa 1

5 del trabajo en una

hora y 1

5x del trabajo en x horas.

Rata de trabajo Tiempo Porción de trabajo completado

Juan 1

3del trabajo/hora

x horas 1

3x del trabajo

Pedro 1

5del trabajo/hora

x horas 1

5x del trabajo

La suma de las porciones de los trabajos completados por cada persona debe ser igual al

111

trabajo total:

Porción de trabajo Porción de trabajo Trabajo

completado por Juan completado por Pedro completo

1 1 1 1

1 15 15 1 5 3 153 5 3 5

158 15 .

8

x x x x x x

x x

Por lo tanto Juan y Pedro trabajando juntos pueden colocar el papel en el cuarto de baño en

15

8 horas.

11. En los siguientes ejercicios use la siguiente informnación: En un circuito eléctrico, si dos

resistores con resistencias 1R y

2R están conectados en paralelo como se muestra en la

figura, la relación entre estas resistencias y la resistencia resultante combinada R es

1 2

1 1 1.

R R R

a. Si

1R es x ohms y 2R es 4 ohms menos que dos veces x ohms, escriba una expresión

para 1

.R

Respuesta:

3 4.

2 2

x

x x

b. Encontrar la resistencia efectiva de un resistor de 30 ohms y uno de 20 ohms que son conectados en paralelo. Respuesta: 12 ohms,

12. Magnetismo. Para una barra magnética, el campo magnético strength H en un punto P a lo

largo del eje del magneto es

2 2.

2 2

m mH

L d L L d L

Escriba una expresión simple

para .H Respuesta:

2 2

2md

d L d L o

2

2 2

2.

md

d L

112

13. Gráficos con puntos de discontinuidad

Grafique 2 9

( ) .3

xf x

x

Note que 2 3 39

3.3 3

x xxx

x x

Por lo tanto, el gráfico de

2 9( ) ,

3

xf x

x

es el

gráfico de ( ) 3g x x con un hueco en 3.x

14. ¿Cuál es el dominio de la función graficada a la derecha?

a. 0;2

b. 2;0

c. ;4

d. 4;

Respuesta: a)

15. ¿Cuál es el recorrido de la función definida por 2 8

2

xy

?

a. 2 2,2 2

113

b. 0;

c. 4;

d. ;0

Respuesta: b.

16. Si la razón de 2a a 3b es como 4 a 5, ¿cuál es la razón de 5a a 4b ?

a. 4

3 b.

3

4 c.

9

8 d.

3

2

Respuesta: Literal d)

17. Suponga que b varía inversamente con el cuadrado de .a Si a es multiplicado por 9, ¿cuál

de las siguientes afirmaciones es verdadera para el valor de ?b

a. Es multiplicado por 1

.3

b. Es multiplicado por 1

.9

c. Es multiplicado por 1

.81

d. Es multiplicado por 3. Respuesta: Literal c)

18. Gráficos con asíntotas no horizontales

Graficar 3

( ) .1

xf x

x

Solución: Paso 1. Encontrar los ceros de la función.

3 0 0.x x Por lo tanto se tiene un cero en 0.x Paso 2. Dibujar las asíntotas.

Si igualamos a cero el denominador se obtiene: 1 0 1.x x Por lo tanto la recta de

ecuación 1x es una asíntota vertical. Como el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, no exite asíntota horizontal.

Paso 3. Dibujar el gráfico 19. Usamos una tabla para encontrar pares ordenados en el gráfico. Luego conectamos los puntos.

114

20. Determinar las asíntotas y graficar la función f definida por:

a. 2 4 4

( )2 1

x xf x

x

Respuesta: Asíntota vertical:

1.

2x Asíntota oblicua:

1 9.

2 4y x

b.

3

2

1( )

2

xf x

x

21. En algunos casos, los gráficos de las funciones racionales pueden tener puntos de

discontinuidad, los cuales los miramos como un hueco en el gráfico. Esto es porque la función no está definida en ese punto.

Si ( )

( ) , ( ) 0,( )

p xf x q x

q x y x c es un factor de ( )p x y de ( ),q x entonces existe un

punto de discontinuidad en .x c

EJEMPLO

2 1( ) 2; 1.

1

x xf x x x

x

Para cada una de las siguientes funciones, hallar los puntos de discontinuidad:

a. 2 16

( )4

xf x

x

b.

4

2

2( )

1

xf x

x

c.

3

( )2

xf x

x

d.

2 4 5( )

5

x xf x

x

e.

4

( )6 12

xf x

x

f.

3 2

2

3 9 18( )

9

x x xf x

x

g.

4

2

16( )

1

xf x

x

h.

3

( )8 4

xf x

x

i.

26 3 2( )

x xf x

x

j.

3( )

1

xf x

x

k.

2 4 5( )

1

x xf x

x

l.

2 8 20( )

2

x xf x

x

m.

2 12( )

4

x xf x

x

n. 5

( )1 4

f xx x

o.

4 2

3

2 1( )

2

x xf x

x

22. Electricidad. La corriente en amperios en un circuito eléctrico con tres resistores en serie está

115

dada por la ecuación 1 2 3

,V

IR R R

donde V es el voltaje en voltios en el circuito y

1 2 3, y R R R son las resistencias en ohms de los tres resistores.

a. Sea 1R la variable independiente, y sea I la variable dependiente. Grafique la función si

120V voltios, 2 25R ohms, y

3 75R ohms.

b. Dar la ecuación de la asíntota vertical y los interseptos 1R e .I

c. Encontrar el valor de I cuando el valor de 1R es 140 ohms.

d. ¿Qué dominio y rango tiene significado en el contexto del problema?

23. Construya el gráfico de una función racional con una asíntota horizontal 1y y una asíntota

vertical 2.x 24. Escriba una función racional para el gráfico de abajo.

25. ¿Cuál es la diferencia entre los gráficos de ( ) 2f x x y 3 2

( )3

x xg x

x

?

26. Música. La longitud de una cuerda de violín varía inversamente con la frecuencia de su

vibración. Una cuerda de violín de 10 pulgadas de longitud vibra a una frecuencia de 512 ciclos por segundo. Encontrar la frecuencia de una cuerda de violín de 8 pulgadas.

Solución: Sea 1 110, 512v f y

2 8.v Resolver para 2.f

De 1 1 2 2v f v f se sigue que

210 512 8 ,f de donde 2

5120640.

8f La cuerda de

violín de 8 pulgadas vibra a una frecuencia de 640 ciclos por segundo. 27. Gravitación universal. De acuerdo a la ley de Gravitación Universal, la fuerza de atracción F

en Newtons entre dos cuerpos cualesquiera en el universo es directamente proporcional al

producto de las masas 1m y 2m en kilogramos de los dos cuerpos e inversamente proporcional

al cuadrado de la distancia d en metros entre los cuerpos. Esto es, 1 2

2,

Gm mF

d donde G

es la constante de gravitación universal. Su valor es 2

11

26,67 10 .

Nm

kg

a. La distancia entre la Tierra y la Luna es cerca de 83,84 10 metros. La masa de la Luna

es 227,36 10 kilogramos. La masa de la Tierra es 245,97 10 kilogramos. ¿Cuál es la

fuerza gravitacional que la Luna y la Tierra ejercen cada una sobre la otra ?

116

b. La distancia entre la Tierra y el Sol es aproximadamente 111,5 10 metros. La masa del sol

es cerca de 301,99 10 kilogramos. ¿Cuál es la fuerza de gravitación que se ejercen la

Tierra y el Sol? c. Encontrar La fuerza de gravitación ejercida sobre cada una de dos bolas de hierro de 1000

kilogramos ubicadas a ua distancia de 0,1 metros.

28. Problema de mezclas. Ana agrega una solución ácida al 70% a 12 mililitros de una solución que es 15% ácida. ¿Cuánto solución ácida al 70% debe ser añadida para crear una solución ácida al 60%? Solución. Ana necesita conocer como cuánto de una solución necesita ser añadida a la

solución original para crear una nueva solución. Plan: Cada solución tiene un cierto porcentaje que es ácido. El porcentaje de ácido en la solución final debe ser igual a la cantidad de ácido dividida por la solución total.

Original Añadida Nueva

Cantidad de ácido

0,15 12 0,7 x 0,15 12 0,7 x

Solución total 12 x 12 x

cantidad de ácidoPorcentaje de ácido en la solución

solución total

0,15 12 0,7porcentaje cantidad de ácido 60

100 solución total 100 12

x

x

Realizando las operaciones se obtiene:

12 60 100 1,8 0,7 720 60 180 70 10 540 54.x x x x x x

Por lo tanto Ana necesita añadir 54 mililitros de la solución ácida al 70%.

29. ¿Qué es equivalente a 2 3

2

4 2

5 10

x y y

xy xy ?

a. 4

25

y b.

24x

y c. 24x y d. 2 54 .x y

30. ¿Cuál es la pendiente de la recta 3 2 9y x ?

a. 2

3 b.

3

2 c. 3 d. 9

31. ¿Qué expresión puede ser simplificada para obtener un número racional?

a. 1 8 b. 10 25 c. 2

15 d. 20

4

32. ¿Qué relación describe mejor la relación entre x y y mostrada en la tabla?

x 1 3 6 10 15 y 1 5 14 26 41

a. 3 2y x b. 2 1y x c. 2 3y x d. 3 4y x

117

33. Un triángulo con vértices en 1;4 , 2;3 y 5;0 es trasladado 2 unidades a la derecha y 3

unidades hacia abajo. ¿Cuáles son las coordenadas de un vértice de la imagen?

a. 5;5 b. 1;1 c. 0;0 d. 3;3 .

34. ¿Cuál es la solución de la ecuación 3 2 3 2 2x x ?

a. 4

15x b.

8

15x c.

4

3x d.

8

3x

35. ¿Cuál es el gráfico de la función f definida por ( ) 4 2 3f x x ?

36. ¿Cuál valor de x haceverdadera la ecuación 1 3 6

3x x x

?

a. 15

2 b.

12

5 c.

3

2 d.

6

7

37. ¿Cómo cuántas soluciones tiene la ecuación 2

2 1 4

4 4

x

x x x x

?

a. 0 b. 1 c. 2 d. 3

38. ¿Si 2,x cuál es equivalente a 4 10

62 2

x

x x

?

a. 4 16

2 2

x

x x

b. 4 6 2 10x x c. 4 6 10x d.

4 56 .

2 1x

39. ¿El gráfico de cuál de las siguientes funciones racionales tiene un hueco?

118

a. 2

2

5 4( )

12

x xf x

x x

b.

2

2

2 1( )

7 15

x xf x

x x

c.

2

2

9( )

2 7

xf x

x x

d.

2

2

30( )

5 14

x xf x

x x

40. ¿Qué función es mostrada en el gráfico?

a. 2

2

2( )

3 2

x xf x

x x

b.

2

2

3 2( )

2

x xf x

x x

c.

2

2

2( )

3 2

x xf x

x x

d.

2

2

3 2( )

2

x xf x

x x

41. ¿Cuál es la asíntota horizontal de

2 4 3 6( )

1 6

x xf x

x x

?

a. 6y b. 2y c. 2y d. 6y