Funciones Trigonométricas

Curso de Apoyo en Matemática

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8. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS

La palabra trigonometría proviene del griego trí = tres, gonon = ángulo y metria = medida. Es la parte de la Matemática que nos ayuda a resolver problemas relacionando y haciendo cálculos con las medidas de los lados y los ángulos de un triángulo.

En esta Unidad estudiaremos dos sistemas de medición de ángulos para luego recordar las

principales funciones trigonométricas: seno, coseno y tangente, observando su relación en los distintos cuadrantes. Finalmente, las funciones trigonométricas inversas nos permitirán obtener el valor de un ángulo conociendo su ubicación y el valor de la función.

Todos estos recursos nos ayudarán a resolver problemas como el siguiente. ¿Cómo medir el ancho de un río sin cruzarlo? Supongamos que se tienen aparatos para medir distancias y para medir ángulos pero no se

puede cruzar el río. Además la orilla es escarpada y sólo es posible moverse perpendicularmente al río, donde hay un camino. ¿Cómo medir el ancho del río?

Este y otros problemas similares han podido ser resueltos desde la antigüedad utilizando las relaciones trigonométricas entre los ángulos y los lados de los triángulos. En esta Unidad recordaremos algunas de ellas. 8.1. Ángulos

Un ángulo αα en el plano es la región determinada por dos semirrectas ll 1 y ll 2 con origen común O, cuando se hace girar el lado inicial ll 1 hasta el lado final ll 2 en el sentido contrario al de las agujas del reloj. Este sentido también es llamado antihorario. ll 1 se denomina lado inicial y ll 2 lado

final de αα y lo denotamos por αα = A∧O B. ÁnguloÁngulo

Ejemplo:

Ángulo nulo l1 coincide con l2.

Trigonometría

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Ángulo recto l2 es perpendicular a l1.

Ángulo llano l2 es opuesta a l1.

Ángulo de 1 giro .l1 coincide con l2 después de un

giro.

Si colocamos el origen de un ángulo α = A∧O B en el origen de coordenadas y hacemos coincidir el

lado inicial l1 con el semieje positivo de las x, entonces el lado terminal l2 quedará en algún cuadrante.

l2 está en el primer cuadrante.

l2 está en el segundo cuadrante.

De esta manera, podemos hablar del cuadrante al que pertenece un ángulo α. Por definición, los ángulos agudos son los que pertenecen al primer cuadrante.


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8.1.1. Sistemas de Medición de Ángulos Para medir la amplitud de un ángulo tenemos diferentes sistemas de medición.

Sistema Sistema SexagesimalSexagesimal

El sistema sexagesimal consiste en tomar como unidad de medida la 90-ava parte de un ángulo recto.

Se denomina a dicha unidad grado sexagesimal y se la denota 1º.

A la 60-ava parte de un grado se la llama minuto y se la denota 1' ; y la 60-ava parte de un minuto se la denomina segundo y se denota 1''.

Si se requiere más precisión se consideran décimas, centésimas, etc. de segundo.

Ejemplos:

1) Un ángulo recto mide 90º.

2) Un ángulo llano mide 180º.

3) Expresemos en grados, minutos y segundos el ángulo que

mide 30,28º. En principio separamos la parte entera

y la parte decimal de 30,28º 30,28º = 30º + 0,28º

Ahora, usando proporcionalidad

directa calculamos cuántos minutos son 0,28º.

Separando luego la parte entera y la

parte decimal de los minutos.

1º → 60'

0,28º → 60' . 0,28 = 16,80'

= 16' + 0,80' Con la regla de tres simple calculamos

cuántos segundo son 0,80' 1' → 60''

0,80' → 60'' . 0,80 = 48''

Consulta el manual de tu calculadora para poder expresar 30,28º

como 30º 16' 48''

Así obtenemos: 30,28º = 30º 16' 48''

Otra unidad de medida de ángulos, de uso frecuente es el radián.

Sistema Sistema RadialRadial

Un radián representa la medida de un ángulo central de una circunferencia, de modo tal que la longitud del arco comprendido sea igual al radio de la circunferencia y se denota por 1 rad.

El siguiente cuadro muestra la correspondencia entre las longitudes de distintos arcos de circunferencia y sus correspondientes ángulos centrales medidos en radianes.

Trigonometría

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Longitud del arco

↔ Ángulo central

1 radio ↔ 1 rad.

2 radios ↔ 2 rad. longitud del arco AB =

longitud del radio 0A

2π radios ↔ 2π rad.

Se podría llegar a pensar que el valor de un radián depende de la circunferencia elegida para formular la definición. Observemos sin embargo que si el radio de una circunferencia se duplica, su longitud también se duplica.

2 π (2 r) = 2 (2 π r)

En consecuencia, el arco correspondiente a un ángulo central también se duplica.

Siguiendo este razonamiento, podemos afirmar que nuestra definición no depende de la circunferencia elegida.

PASO DE RADIANES A GRADOS Y DE GRADOS A RADIANES

Siguiendo la definición, a un ángulo de 2 radianes le corresponderá un arco de circunferencia que mide dos veces el radio.

Longitud del arco ↔ Ángulo central

2 radios ↔ 2 rad.

En símbolos,

360º = 2 π rad

Como la longitud de la circunferencia es 2 π r, el número de radianes de un ángulo de un giro es 2 π , ya que es el número de veces que el radio está contenido en la longitud de la

circunferencia, es decir, ππ

22

=r

r.

Longitud del arco ↔ Ángulo central

2π radios ↔ 2π radios


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Otras equivalencias entre los dos sistemas son:

1º = 360 2 π

rad

1 rad = π 2

360

Ejemplos:

a) Veamos cuántos radianes son 225º .

360º → 2 π rad

225º → º360225º x rad 2 π

= 45

π rad

b) Veamos cuántos grados son

6π

radianes

2 π rad → 360º

6π

rad → π

π

26

360º = 30º

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 1) ¿A qué cuadrante pertenecen los siguientes ángulos?

300º, 192º, 93º, 180º 1', 150º, 35º 2) Expresar en grados, minutos y segundos los ángulos que miden 23,18º , 107,03º 3) Dibujar el triángulo de vértices

A (0 , 0) B (2 , 0) C (1 , 3 )

Probar que es equilátero y que en particular el ángulo A mide 60º. 4) Encontrar un punto P(x , y) del primer cuadrante de tal manera que la semirecta l2 de origen O y que pasa por P determine un ángulo de 30º. 5) Completar la siguiente tabla:

Grados 0 30º 90º 135º 150º 240º 270º 360º

Radianes 0 4π

3π

π 32

π π

35

2 π

6) ¿Cuántos grados mide un radián?.

Trigonometría

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7) En una circunferencia de 10 cm de radio, un arco mide 6 cm. ¿Cuánto mide, en grados y en radianes, el ángulo correspondiente?. 8) Un ángulo mide 3 radianes. Si dibujamos su arco tomando un radio de 5 cm, ¿cuánto medirá dicho arco?.

8.2. Funciones trigonométricas de un ángulo

Si tomamos un ángulo α con lado terminal l2 y P(x , y) un punto sobre l2 , la distancia de P al origen es

r = 22 yx +

El cociente ry

se llama seno de αα y se denota:

SenoSeno sen α = ry

= origen al P de distancia

P de ordenada

y el cociente r

x se llama coseno de αα y se denota:

CosenoCoseno

cos α =

r

x =

origen al P de distancia P de abscisa

Estos cocientes aparentemente dependen del punto P(x , y) elegido sobre l2 , pero no es así, pues dependen únicamente del ángulo α. En efecto, si P'(x' , y') es otro punto sobre l2 , observemos las figuras de la izquierda.

Como los triángulos rectángulos ∆

PX0 y ∆X'0P' donde

X = (x , 0) y X’ = (x’ , 0) son semejantes, los lados son

l2

P(x, y)

y

x

r

α

0

l2

P y

y’

x’ x 0 α


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X = (x , 0) y X’ = (x’ , 0) son semejantes, los lados son proporcionales, luego:

r

x =

''

rx

y ry

= ''

ry

r = 22 yx +

r’ = 2'2' yx +

Como cos α =

r

x y sen α =

ry

, las igualdades anteriores

muestran que cos α y sen α son independientes del punto elegido sobre la recta.

Para pensar... A partir de las definiciones se deduce que:

- 1 ≤ sen α ≤ 1 , - 1 ≤ cos α ≤ 1

¿Por qué?

Además, podemos obtener la relación fundamental

sen2 α + cos2 α = 2

2

r

x + 2

2

r

y = 2

22

r

yx + = 2

2

r

r = 1

es decir,

Relación Relación FundamentalFundamental

sen2 αα + cos2 αα = 1

Ejemplo:

Sea α el ángulo cuyo lado terminal l2 pasa por P(2 , 3). Entonces:

r = 22 32 + = 13

sen α = 133

, cos α = 132

En este ejemplo se calcularon las funciones trigonométricas de un ángulo cuya medida no se conoce. Ahora veremos cómo se pueden calcular los valores de las funciones trigonométricas para los ángulos de 30º, 45º y 60º.

l2

P y

y’

x’ x 0 α

P’

r

3

2 x

y l2

α

0

P

Trigonometría

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Ejemplo: ángulo de 45º

Como r = 22 11 + = 2 , entonces

sen 45º = 2

1 =

22

cos 45º = 2

1 =

22

Ejemplo: ángulo de 60º (recordar el ejercicio 3 )

Como r = ( )22 31 + = 4 = 2, entonces

sen 60º = 23

cos 60º = 21

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 9) Mostrar que:

sen 30 º = 21

; cos 30º = 23

Recordar el ejercicio 4. 10) Mostrar que: sen 0º = 0 ; cos 0º = 1 sen 90º = 1 ; cos 90º = 0 sen 180º = 0 ; cos 180º = -1 sen 270º = -1 ; cos 270º = 0

A partir de las funciones seno y coseno es posible obtener una nueva función llamada la tangente del ángulo α , definida por:

TangeTangentente

tg α = αα cos

sen

Observemos que....

como no se puede dividir por 0, debemos excluir los ángulos

de 90º y 270º.

O sea

tg α = αα cos

sen =

rxry

= xy

= P de abscisaP de ordenada

45º

1

1 x

y l2

0

P(1, 1) r

60º

3

1 x

y l2

0

P(1, 3 )

r


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11) Hallar la tangente de los ángulos que miden: 0º , 30º , 45º , 60º 12) Hallar sen α, cos α y tg α , si α es el ángulo cuyo lado terminal l2 pasa por P(- 2 , 3). Para las aplicaciones es importante conocer los valores de las funciones trigonométricas de cualquier ángulo. Los métodos para calcularlos no son elementales y se basan en el cálculo infinitesimal; dichos métodos permiten calcular los valores con la precisión que se quiera. No obstante, una calculadora común da los valores con una aproximación que resulta muy buena para la mayoría de los problemas. Para los ángulos especiales de 0º, 30º, 45º, 60º y 90º es conveniente usar los valores exactos calculados con anterioridad. 8.3. Triángulos Rectángulos

Consideremos un triángulo rectángulo cuyos catetos miden a y b y su hipotenusa c. Sean α y β sus ángulos agudos. α y β se dicen ángulos complementarios y su suma es siempre

α + β = 90º.

Las relaciones entre estas cantidades que conviene tener

presente son:

Teorema de Teorema de PitágorasPitágoras

c2 = a2 + b2

Las definiciones de las funciones trigonométricas

sen α = ca

cos α = cb

tg α = ba

y las correspondientes para β.

sen β = cb

cos β = ca

tg β = ab

La suma de los ángulos interiores de un triángulo vale 180º; por lo que en un triángulo rectángulo:

β = 90º - α

α

β c

b

Trigonometría

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ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

13) Calcular sen α, cos α y tg α en los siguientes casos.

a) a = 5 ; b = 3.

b) a = 6 ; c = 10.

RelacionesRelaciones t r igonométr icas tr igonométr icas

de ángulosde ángulos complementcomplement aa r iosr ios

Ejemplo:

A partir del triángulo anterior y usando las relaciones mencionadas, obtenemos:

sen (90º - α) = sen β = cb

= cos α

cos (90º - α) = cos β = ca

= sen α

tg (90º - α) = tg β = ab

= α

1tg

Veamos ahora cómo podemos hallar los ángulos de un triángulo rectángulo, si se conocen sus lados.

Ejemplo:

Supongamos que a = 3 , b = 4 y, por el teorema de Pitágoras, c = 5. Queremos hallar el valor de α . De la definición de las funciones trigonométricas tenemos que

tg α = 43

Este valor de α, también se podría haber hallado a partir del seno y coseno de ángulos agudos, es decir:

sen α = 5

3 y α = arc sen

5

3

cos α = 5

4 y α = arc cos

5

4

Denotamos por

α = arc tg 43

el ángulo agudo cuya tangente es 43

.

Su valor numérico

α = 36,86º = 36º 51' 36''

puede ser hallado utilizando la calculadora.

3 5

4 α


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14)

a) Si sen α = 31

y a = 2 , calcular el valor exacto de b y c.

b) Si tg β = 2 y a = 2 , calcular el valor exacto de b y c.

c) Calcular el valor exacto del área del triángulo si c = 1 y cos β = 41

.

15) a) Hallar el área de un triángulo rectángulo en el cual un ángulo mide 30º y la hipotenusa mide 4. b) En un triángulo rectángulo, un ángulo mide 60º y el cateto opuesto mide 3. Hallar su perímetro. 16) a) Hallar los ángulos del triángulo rectángulo cuyos catetos miden 30 y 35. b) La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 18 y uno de sus catetos 7. Hallar sus ángulos.

8.4. Signos de las Funciones Trigonométricas

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 17) Comprobar que los signos de las funciones trigonométricas en los distintos cuadrantes son los indicados en las figuras siguientes:

Los signos de las funciones trigonométricas dependen del cuadrante en que se encuentra el ángulo. Así por ejemplo, si α está en el segundo cuadrante, como r > 0 :

x < 0 ; y > 0

sen α = ry

> 0

cos α = r

x < 0

tg α = xy

< 0

P(x, y) y

x 0 α

r

Trigonometría

Página 145

18) Hallar el signo de las funciones trigonométricas de los siguientes ángulos, sin hallar el valor numérico:

98º , 220º , 75º , 160º , 300º , 185º

19) Determinar el cuadrante en que se encuentra el ángulo α en cada uno de los siguientes casos: a) sen α < 0 y cos α > 0

b) sen α > 0 y cos α < 0

c) sen α < 0 y tg α > 0

d) tg α < 0 y cos α > 0

8.5. Relaciones entre las Funciones Trigonométricas

Hemos visto que para cada ángulo α vale la relación fundamental

sen2 α + cos2 α = 1 y definimos la tangente de un ángulo α distinto de 90º y 270º como:

tg α = αα cos

sen .

Ejemplo: Sea α un ángulo del tercer cuadrante del cual se conoce que sen α = - 31

a) Calculemos el cos α:

Como sen2 α + cos2 α = 1, entonces

cos α = ± sen - 1 2 α

= ± 31 - - 1

2

= ±

98 = ±

3 8

y como α está en el tercer cuadrante, cos α < 0 , luego,

cos α = - 3

8 .

x

y

r

0

α


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b) Calculemos la tangente de α:

tg α = αα cos

sen =

3

8 -

31

- =

8

1.

Ejemplo: Sea α el ángulo del segundo cuadrante tal que tg α = - 3.

a) Calculemos cos α

Como - 3 = tg α = αα cos

sen , entonces sen α = - 3 cos α

Usando que sen2 α + cos2 α = 1 , tenemos que:

(- 3)2 cos2 α + cos2 α = 1

10 cos2 α = 1

cos2 α = 101

cos α = ± 10

1

Dado que α está en el segundo cuadrante, cos α < 0 , luego

cos α = - 10

1

Utilizamos la relación fundamental

sen2 α + cos2 α = 1.

b) Calculemos sen α:

Como - 3 = tg α = αα cos

sen , entonces cos α =

3−αsen

sen2 α + 9

sen 2 α = 1

910

sen2 α = 1

sen2 α = 109

sen α = ± 109

= ± 10

3

Como α está en el segundo cuadrante, sen α > 0 , entonces

sen α = 10

3.

x

y r

0

α

P(x, y)

x

y r

0

α

P(x, y)

Trigonometría

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20) Calcular las funciones trigonométricas del ángulo α en los siguientes casos:

a) sen α = - 32

, α en el cuarto cuadrante;

b) tg α = 3 , α en el primer cuadrante;

c) cos α = - 52

, α en el segundo cuadrante;

d) tg α = 2 , α en el tercer cuadrante; 8.6. Funciones Trigonométricas Inversas de un Angulo Hemos visto que conocido el valor de una función trigonométrica para ángulos agudos, es posible hallar el valor del ángulo mediante las funciones arco seno, arco coseno , arco tangente. Nuestro objetivo es ahora, calcular estas funciones para ángulos del segundo, tercero y cuarto cuadrante, para lo que debemos tener en cuenta el signo de las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente.

Observemos que...

las calculadoras científicas devuelven:

Ø mediante la función arc sen

• si sen α > 0 , un ángulo α del primer cuadrante, • si sen α < 0 , un ángulo α del cuarto cuadrante,

Ø mediante la función arc cos

• si cos α > 0 , un ángulo α del primer cuadrante, • si cos α < 0 , un ángulo α del segundo cuadrante,

x

y

+

sen

x

y

+

cos


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Ø mediante la función arc tg

• si tg α > 0 , un ángulo α del primer cuadrante • si tg α < 0 , un ángulo α del cuarto cuadrante.

Si el ángulo que nos interesa no se encuentra en el cuadrante que la calculadora nos devuelve, debemos hacer la reducción correspondiente.

Ejemplo:

Calculemos α sabiendo que sen α = 0,83867 y α está en el segundo cuadrante.

Operando con la calculadora obtenemos:

β = arc sen 0,83867 ≈ 57º

ángulo que pertenece al primer cuadrante.

Observemos en la figura que los triángulos

∆0XP y

∆P'0X' son

congruentes, pues son simétricos respecto del eje y, X = (x , 0) y X’ = (- x , 0).

Luego, sen β = ry

= sen α.

Para calcular α, que es el ángulo que nos interesa, basta observar del dibujo que α = 180º - β ≈ 180º - 57º = 123º

Ejemplos:

1) Calculemos el ángulo α sabiendo que sen α = - 0,5 y α está en el cuarto cuadrante.

Con la calculadora obtenemos:

β = arc sen (- 0,5) = - 30º Aquí el signo menos delante del valor del ángulo significa, que el mismo se ha medido en sentido de las agujas del reloj. De la figura obtenemos que:

α = 360º - 30º = 330º

x

y

+

tg

- x

y r

0 α

P’

x

P

β

x

α

β

Trigonometría

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2) Calculemos el ángulo α sabiendo que sen α = - 0,5 y α está en el tercer cuadrante.

Como en el ejemplo anterior, la calculadora nos devuelve:

β = arc sen (- 0,5) = - 30º

Observamos en la figura que los triángulos ∆

0XP y ∆

P'0X' , donde X = (x , 0) y X’ = (- x, 0) , son congruentes por ser simétricos respecto del eje y, en consecuencia,

sen β = ry

= sen α

De la figura observamos que como los triángulos mencionados son congruentes:

P'X0 = PX0 = 30º luego,

α = 180º + PX0 = 180º + 30º = 210º

3) Calculemos α sabiendo que cos α = 0,61566 y α está en el cuarto cuadrante.

En la calculadora obtenemos: β = arc cos 0,61566 ≈ 52º

De la figura vemos que, si X = (x , 0) , ∆

0XP es congruente

con ∆

0XP' por ser simétricos respecto al eje x de aquí

cos β = rx

= cos α

concluimos que α = 360º - β

4) Calculemos α sabiendo que cos α = - 0,342 y α está en el tercer cuadrante

De la calculadora obtenemos: β = arc cos (- 0,342) ≈ 110º

Vemos que, si X = (x , 0), ∆

0XP' es congruente con ∆

0XP por ser simétricos respecto al eje x, luego

cos β = rx

= cos α

y también PX0 = P'X0 = 180º - β .

Entonces α = 180º + PX0 = 180º + (180º - β) = 360º - β , es decir, α = 360º - 110º = 250º

- x

y

0

α

P’

x

P

β r

x

y

r 0

α

- y

β

P’

P

x

- y

r

0

α

y

β

P’

P


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Retomemos el ejemplo que presentamos al comienzo de la Unidad ¿Cómo podremos medir el ancho de un río sin cruzarlo? Tenemos aparatos para medir distancias y para medir ángulos pero no podemos cruzar el río. Además la orilla es escarpada y sólo es posible moverse perpendicularmente al río, donde hay un camino. ¿Cómo medir el ancho del río?

Ejemplo: Un árbol y un observador se encuentran en orillas opuestas de un río. El observador mide el ángulo que forma su visual con el punto más alto del árbol y obtiene 35 º; retrocede 10 m. y mide el nuevo ángulo, obteniendo un valor de 25 º . ¿Qué altura tiene el árbol?, y ¿ cuál es el ancho del río?.

En primer lugar, debemos situarnos frente a algún objeto ubicado en la orilla opuesta que nos sirva de referencia. Desde allí nos movemos a lo largo de la orilla y en dirección perpendicular al árbol una distancia d, como muestra la figura. Desde este punto P medimos el ángulo α que forma la dirección al árbol con el camino que acabamos de recorrer. Para fijar ideas, supongamos que d = 100m. y α = 24º.

Como tg α =100

ada = entonces a = 100 tg 24º ≈ 44,52 m.

Trigonometría

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ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 21) Determinar α en cada uno de los siguientes casos:

a) sen α = 0,63465 y α en el segundo cuadrante,

b) tg α = - 1,42814 y α en el segundo cuadrante.

c) cos α = - 0,656 y α está en el tercer cuadrante,

d) tg α = - 2 y α está en el cuarto cuadrante,

e) 31

ásen −= y α está en el tercer cuadrante,

f) cos α = - 0,659 y α está en el segundo cuadrante

22) Completar

Sexagesimal Radial sen cos tg α1 36º α2 1 α3 (3/4) π α4 210º 30' α5 (7/8) π α6 810º α7 - (7/6) π α8 - 162º 38' 20''

Llamando h a la altura del árbol y a el ancho del río, el gráfico muestra los datos del problema.

tg 35º = ah

y tg 25º = 100+ah

Despejando la variable h h = a tg35º y h = (a + 100) tg25º

Igualando ambas ecuaciones a tg35º = a tg25º + 100 tg25º

a (tg35º - tg25º) = 100 tg25º

a = tg25ºº35tg

º25tg100

− ≈ 199,36 m.

Reemplazando en alguna de las

ecuaciones anteriores Entonces h = a tg35º ≈ 139,59 m.


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23) Escribir todos los ángulos α (comprendidos entre 0 y 360) cuyo coseno valga -0.5. 24) ¿Para qué valores de α ∈ [0 , 2π] el seno y el coseno coinciden? 25) Resolver los siguientes triángulos:

a) a = 5 cm , β = 30º , α = 90º

b) b = 2 cm , c = 5 cm , α = 90º

c) b = 82 cm , α = 90º , γ = 57º

26) Cuando el ángulo de elevación del sol sobre el horizonte es de 30º, una torre proyecta una sombra de 75 m. Calcular su altura. 27) ¿Cuán larga es la sombra que arroja un mástil de 11 m de altura cuando el sol tiene una elevación de 20º?. 28) El hilo que sujeta un barrilete mide 250 m y forma un ángulo de 32º con la vertical. Hallar la altura a que se halla si se supone que el hilo está en línea recta. 29) Un automóvil asciende una cuesta que tiene una inclinación de 22º. Si viaja a una velocidad de 60 km/h, ¿cuántos metros varía su altura sobre el nivel del mar en 15 minutos?. 30) Se piensa construir una pista de aviación y debido a la orientación elegida se ve que al final de la misma quedará una arboleda de 25 m de altura. ¿A qué distancia mínima de la arboleda debe terminar la pista si el ángulo de despegue de los aviones es de 16º?. 31) Cuando se apoya una escalera de 3 m de largo en una de las paredes de un pasillo, llega a una altura de 2,50 m. Si se la inclina sobre la otra pared llega a 2 m de altura. Averiguar el ancho del pasillo. 32) Un carpintero desea construir una escuadra de madera y necesita que uno de los ángulos sea de 30º. Desea saber las relaciones que deben guardar los lados entre sí. 33) Los lados paralelos de un trapecio miden 6 cm y 8 cm, y los otros dos miden 3 cm. Hallar las longitudes de sus diagonales y su área. 34) El frente de un terreno da sobre una diagonal y tiene las dimensiones que se indican en el esquema. Calcular los metros que tiene el frente y el área que ocupa.

35) Se quiere saber cuántos metros de alambrado son necesarios para cerrar el terreno sombreado de la figura:

Trigonometría

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36) En un triángulo sabemos que la hipotenusa mide 4 cm y la tangente del ángulo que esta determina con la base es igual a 0,2. Calcular el área de dicho triángulo. 37) Un sitio rectangular mide 102m x 296 m. Determinar la longitud de la diagonal y el ángulo que esta forma con el lado mayor. 38) Calcular los lados de un rombo cuyas diagonales miden 12 cm y 8 cm y calcular las medidas de los ángulos interiores. 39) Un poste de teléfono está sujeto por medio de varios cables que parten del extremo superior. Uno de estos cables está atado a una estaca situada a 5 m del pie del poste y forma con la horizontal un ángulo de 60º. Calcular la altura del poste y la longitud del cable. 40) En una circunferencia de 7 cm de radio se traza una cuerda de 9 cm. ¿Qué ángulo central abarca dicha cuerda?. 41) El radio de una circunferencia mide 6 cm. ¿Cuál es la longitud del arco correspondiente a un ángulo de 20º?:

42) Dos ángulos de un triángulo miden 50º y 6π

radianes respectivamente. ¿Cuánto mide el otro

ángulo?. 43) Un barco navega a 30 kilómetros por hora en dirección norte-oeste. ¿Qué distancia ha recorrido en una hora hacia el norte?. ¿Y hacia el oeste?. 44) Calcular el perímetro y el área de un triángulo isósceles, cuyos ángulos iguales miden 27º y sus dos lados iguales 40 m. 45) Calcular el perímetro y el área de un pentágono regular inscripto en una circunferencia de 10 cm de radio. 46) Para conocer la altura de una torre se ha medido el ángulo que forma la visual al punto más alto con la horizontal obteniendo 43º al acercarse 15 metros hacia la torre, se obtiene un nuevo ángulo de 57º. ¿Cuánto mide la altura de la torre?. 47) Desde un acantilado de 50 metros se ve un barco bajo un ángulo de 70º con la vertical. ¿A qué distancia de la costa se encuentra el barco?. 48) Un árbol y un observador se encuentran en orillas opuestas de un río. El observador mide el ángulo que forma su visual con el punto más alto del árbol y obtiene 35º; retrocede 10 metros y mide el nuevo ángulo, obteniendo un resultado de 25º. ¿Qué altura tiene el árbol?.


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49) A los ángulos que están relacionados con los de 30º, 45º y 60º se les puede calcular en forma exacta el valor de las funciones trigonométricas, ellos son: 120º , 135º, 150º, 210º, 225º, 240º, 300º, 315º y 330º. Hallar dichos valores. 50) En un triángulo isósceles la altura correspondiente a la base mide el doble que esta. Hallar el valor de sus ángulos. 51) ¿Qué ángulos del primer cuadrante son adecuados para calcular las razones trigonométricas de 718º, 516º, 342º?. 52) Dibujar los ángulos que cumplen las siguientes condiciones y dar el valor de sus razones trigonométricas:

a) sen α = - 21

y tg α > 0 b) tg α = - 1 y cos α < 0

53) Si tg α = 33

y α > 2π

, calcular sen α y cos α.

8.7. Identidades trigonométricas En lo que resta de esta unidad veremos un listado de las identidades trigonométricas más importantes. Las mismas son de suma utilidad en la resolución de problemas de cálculo, álgebra y geometría. 8.7.1. Razones trigonométricas de αα + ββ y de αα – ββ

sen(α + β) = sen α cos β + cos α sen β

cos(α + β) = cos α cos β – sen α sen β

tg(α + β) = βαβα

tgtgtgtg

−+

1 Puedes verificar la veracidad de estas

identidades asignando valores a los ángulos α y β, o mejor aún, buscar las demostraciones de estas identidades

en un libro de Cálculo. sen(α – β) = sen α cos β – cos α sen β

cos(α – β) = cos α cos β + sen α sen β

tg(α – β) = βαβα

tgtgtgtg

+−

1

8.7.2. Razones trigonométricas del ángulo doble sen 2α = 2 sen α cos α

Trigonometría

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cos 2α = cos2 α – sen2 α

tg 2α =

α

α21

2

tg

tg

−

8.7.3. Teoremas del seno y del coseno

Teorema del seno

Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.

γβα senc

senb

sena ==

a b

c

α β

γ


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Teorema del coseno

El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados

por el coseno del ángulo comprendido.

a2 = b2 + c2 – 2ab cos α

b2 = a2 + c2 – 2ac cos β

c2 = a2 + b2 – 2ab cos γ


54) Comprobar que las siguientes igualdades son ciertas utilizando las identidades vistas.

a) αα

212cos

1tg+=

b) sen (α + β) sen (α – β) = sen2 α – cos2 β c) cos2 α = sen2 α cos2 α + cos4 α

a b

c

α β

γ

Funciones Trigonométricas

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