funciones vectoriales

1

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE CAMPECHEINGENIERÍA METAL MECÁNICA

INTRODUCCIÓN

Consideramos una partícula en movimiento sobre un plano, su posición en un determinado instante t viene determinada por dos coordenadas x(t) e y(t) que dependen de t.

Si la partícula se mueve en el espacio su posición queda determinada por tres coordenadas x(t), y(t) y z(t) dependientes de t.

En el primer caso la posición de la partícula se describe mediante un vector de dimensión dos, cuyas componentes dependen de t y en el segundo caso mediante un vector de tres coordenadas cuyas componentes son función de t. esto nos lleva a considerar un tipo nuevo de funciones.

OBJETIVO

El objetivo de esta asignatura es introducir a los estudiantes al cálculo vectorial y su utilización como modelos de fenómenos físicos. Se enfatizará la elaboración y presentación de los conceptos, así como la argumentación matemática también se destacará la flexibilidad del cálculo vectorial como una herramienta para el modelado y solución de problemas de la física.

1. FUNCIONES VECTORIAL

17 de Diciembre del 2014

2


Se llama función vectorial a cualquier función de la forma

Donde las funciones componentes f, g y h son funciones del parámetro t con

valores reales. Las funciones vectoriales se denotan con frecuencia por:

Debe quedar clara la distinción entre la función vectorial r y las funciones de variable real f, g y h. Todas son funciones de la variable real t, pero r (t) es un vector mientras que f (t), g (t) y h (t) son números (para cada valor especificado de t).

Las funciones vectoriales juegan un doble papel en la representación de curvas. Tomando como parámetro t el tiempo, las podemos usar para describir el movimiento a lo largo de una curva. Más en general, podemos usar una función


http://4.bp.blogspot.com/_-sztY2-bVHQ/Ste4wOMyf3I/AAAAAAAAALE/DKnXLl99inc/s1600-h/Dibujo.JPG

http://2.bp.blogspot.com/_-sztY2-bVHQ/Ste5I04B50I/AAAAAAAAALM/ByNwL6k36Ow/s1600-h/Dibujo2.JPG

3


vectorial para trazar la gráfica de una curva. En ambos casos, el punto final del vector posición r (t) coincide con el punto (x, y) o (x, y, z) de la curva dada por las ecuaciones paramétricas, como muestra la figura 11.1. La flecha sobre la curva indica el sentido de recorrido, es decir, el sentido de valores crecientes de t.

Salvo que se especifique otra cosa, se considera como dominio de una función vectorial r la intersección de los dominios de las funciones f, g y h. Por ejemplo el dominio de:

En la ciencia y la ingeniería a menudo es conveniente introducir un vector r con las funciones f y g como componentes.

R(t) = < f(t), g(t)> =f(t)i + g(t)j

Se dice que r es una función vectorial. De manera semejante, una curva en el espacio es parametrizada por 3 ecuaciones

X = f(t) y = g(t) z = h(t) a " t " b

Una función vectorial se expresa como:

R(t) = < f(t),g(t), h(t) > = f(t) I +g(t) j + h(t)k.

2. Ejemplos:

Ejemplo:


4


r(t) = (t3 - 2t2 )i + 4tj + e-tk ,

r'(t) = (3t2 -4t)i + 4j - e-tk

r''(t) = ( 6t -4)i + e-tk

Regla de cadena

si r es una función vectorial diferenciables y s = u(t) es una función escalar diferenciable, entonces de r(s) con respecto a t es

dr/dt = dr/ds ds/dt = r'(s) u' (t)

Ejemplo:

Si r(s) = cos 2si + sen 2sj + e-3sk, en donde s = t4 , entonces

dr/dt = [ -2 sen 2si + 2 cos 2sj - 3e-3sk]4t3

Integrales de funciones vectoriales

si f, g y h son integrables, entonces las integrales indefinida y definida de una función vectorial r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k se definen respectivamente por:

" r(t) dt = [ "f(t) dt] i +[ "g(t) dt] + [ "h(t) dt]k

Ejemplo:

Si

R(t) = 6t2 i + 4e-2tj +8 cos 4tk

Entonces

" r(t) dt = [6t2 dt]i + [ " 4e-2t dt]j + [ "8 cos 4t dt]k

=[2t3 + c1]i + [-2e-2t +c2]j + [ "2 sen 4t + c3]k

=2t3i-2e-2tj + 2sen 4tk +C

3. LÍMITE Y CONTINUIDAD EN FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES


5


El estudio de límites y continuidad en funciones de varias variables, y más adelante el de su diferenciabilidad, se reduce al estudio de sus funciones componentes. Para calcular límites lo podemos hacer por componentes, y la continuidad se tiene si y solo si se tiene continuidad en cada una de las componentes. Por tanto lo más importante es saber trabajar sobre las funciones componentes que en general son lo que denominamos campos escalares. Así pues el estudio de los campos escalares es fundamental. Tras algunas nociones básicas y definiciones nos centraremos en el estudio de técnicas sobre cálculo de límites de campos escalares y aplicaremos estas al estudio de la continuidad.

3.1. Limite en funciones vectoriales

La definición de límite es análoga a la del caso real y la generaliza. Dada una

función vectorial, , un punto de acumulación (es decir, que

hay puntos del dominio tan cerca de como queramos), y , decimos

que es el límite de cuando tiende a , , si ocurre que

Como la norma en el caso coincide con el valor absoluto, esta definición generaliza a la que conocemos de en .

3.2. Funciones componentes

Si es una función vectorial, es un vector de , , y

tiene coordenadas . Cada coordenada

determina una función , . A estas funciones se las

denomina funciones componentes de y escribimos

El problema de calcular límites se reduce al cálculo de sus componentes.


6


3.3. Proposición

Sea y

3.4. Ejemplo

,

No existe ya que no existe , es .

4. CONTINUIDAD DE FUNCIONES VECTORIALES

La continuidad se define como en el caso de una variable. Si es del dominio

de , , se dice que es continua en si ocurre que

existe y coincide con ,


7


Como nos podemos reducir a las funciones componentes, resulta que es

continua en si y solo si cada función componente es continua en .

La función derivada de una función f(x) es una función que asocia a cada número real su derivada , si existe. Se expresa por f'(x).

4.1. Ejemplos:

es continua en todo ya que y lo son.

si y .


8


Es continua en , pero no en ya que

Fijémonos que no es continua en .

si , ;

, .

es continua en todo y también, pero no es continua en ya que

Ejemplos

Determinar la función derivada de f(x) = x 2 − x + 1.


9


Calcular f'(−1), f'(0) y f'(1)

f'(−1) = 2(−1) − 1 = −3

f'(0) = 2(0) − 1 = −1

f'(1) = 2(1) − 1 = 1

4.1. Derivada de las funciones

En las funciones definidas a trozos es necesario estudiar las derivadas laterales en los puntos de separación de los distintos trozos.

Estudiar la derivabilidad de la función f(x) = |x|.


10


Puesto que las derivadas laterales en x = 0 son distintas, la función no es derivable en dicho punto.

Las derivadas laterales no coinciden en los picos ni en los puntos

angulosos de las funciones. Por tanto en esos puntos no existe la

derivada.

No es derivable en x = 0.


11


Hallar el punto en que y = |x + 2| no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.

La función es continua en toda .

f'(−2)− = −1f'(−2)+ = 1

No será derivable en: x= -2.


12


En x = -2 hay un pico, por lo que no es derivable en x= -2.

Hallar los puntos en que y = |x 2 − 5x + 6| no tiene derivada. Justificar

el resultado representando su gráfica.

La función es continua en toda .

f'(2) - = −1f'(2)+ = 1


13


f'(3) - = −1f'(3)+ = 1

Como no coinciden las derivadas laterales la función no será

derivable en: x=2 y x=3.

Podemos observar que en x = 2 y en x = 3 tenemos dos puntos angulosos, por lo que la función no será derivable en ellos.

5. OPERADORES DIFERENCIALES

El gradiente de un campo escalar, que sea diferenciable en el entorno de un punto, es un vector definido como el único que permite hallar la derivada direccional en cualquier dirección como:

Siendo un vector unitario y la derivada direccional de en la dirección de , que informa de la tasa de variación del campo escalar al desplazarnos según esta dirección:

Una forma equivalente de definir el gradiente es como el único vector que, multiplicado por cualquier desplazamiento infinitesimal, da el diferencial del campo escalar:


14


Con la definición anterior, el gradiente está caracterizado de forma unívoca. El gradiente se expresa alternativamente mediante el uso del operador nabla:

5.1. Interpretación del Gradiente De forma geométrica el gradiente es un vector que se encuentra normal a una superficie o curva en el espacio a la cual se le está estudiando, en un punto

cualquiera, llámese , , etcétera. Algunos ejemplos son:

Considere una habitación en la cual la temperatura se define a través de un

campo escalar, de tal manera que en cualquier punto , la

temperatura es . Asumiremos que la temperatura no varia con respecto al tiempo. Siendo esto así, para cada punto de la habitación, el gradiente en ese punto nos dará la dirección en la cual se calienta más rápido. La magnitud del gradiente nos dirá cuán rápido se calienta en esa dirección.

Considere una montaña en la cual su altura en el punto se define

como . El gradiente de H en ese punto estará en la dirección para la que hay un mayor grado de inclinación. La magnitud del gradiente nos mostrará cuán empinada se encuentra la pendiente.

5.2. Aproximación lineal de una función El gradiente de una función f definida de Rn a R caracteriza la mejor aproximación lineal de la función en un punto particular x0 en Rn. Se expresa así:

Donde es el gradiente evaluado en x0. Propiedades El gradiente verifica que:

Es ortogonal a las superficies equiescalares, definidas por =cte.. Apunta en la dirección en que la derivada direccional es máxima. Su módulo es igual a esta derivada direccional máxima. Se anula en los puntos estacionarios (máximos, mínimos y puntos de silla)


15


El campo formado por el gradiente en cada punto es siempre irrotacional, esto es,

5.3. Expresión en diferentes sistemas de coordenadas A partir de su definición puede hallarse su expresión en diferentes sistemas de coordenadas.En coordenadas cartesianas, su expresión es simplemente

En un sistema de coordenadas ortogonales, el gradiente requiere los factores de escala, mediante la expresión

Para coordenadas cilíndricas (hρ = hz = 1, ) resulta

y para coordenadas esféricas (hr = 1, hθ = r, )

5.4. Gradiente de un campo vectorial En un espacio euclídeo, el concepto de gradiente también puede extenderse al

caso de un campo vectorial, siendo el gradiente de un tensor que da el diferencial del campo al realizar un desplazamiento

Este tensor podrá representarse por una matriz , que en coordenadas cartesianas está formada por las tres derivadas parciales de las tres componentes del campo vectorial.


16


EjemploDada la función f(x,y,z) = 2x + 3y2 − sin(z) su vector gradiente es:

6. DIVERGENCIA

La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo entrante y el

flujo saliente de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de

control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" o "sumideros" la divergencia de dicho

campo será diferente de cero.

6.1. Divergencia de un campo vectorial

La divergencia de un campo vectorial es un campo escalar, y se define como el

flujo del campo vectorial por unidad de volumen:

Donde S es una superficie cerrada que se reduce a un punto en el límite. El

símbolo representa el operador nabla.

Esta definición está directamente relacionada con el concepto de flujo del campo.

Como en el caso del flujo, si la divergencia en un punto es positiva, se dice que el

campo posee manantiales. Si la divergencia es negativa, se dice que

tiene sumideros. El ejemplo más característico lo dan las cargas eléctricas, que

dan la divergencia del campo eléctrico, siendo las cargas positivas manantiales y

las negativas sumideros del campo eléctrico.


17


Se llaman fuentes escalares del campo al campo escalar que se obtiene a partir

de la divergencia de

La divergencia de un campo vectorial se relaciona con el flujo a través del teorema

de Gauss o teorema de la divergencia.

6.2. Coordenadas cartesianas

Cuando la definición de divergencia se aplica al caso de un campo expresado en

coordenadas cartesianas,

El resultado es sencillo:

6.3. Coordenadas ortogonales

Sin embargo, para un caso más general de coordenadas ortogonales curvilíneas,

como las cilíndricas o las esféricas, la expresión se complica debido a la

dependencia de los vectores de la base con la posición. La expresión para un

sistema de coordenadas ortogonales es:

Donde los son los factores de escala del sistema de coordenadas, relacionados

con la forma del tensor métrico en dicho sistema de coordenadas. Esta fórmula

general, para el caso de coordenadas cartesianas (hx = hy = hz = 1) se reduce a la

expresión anterior. Para coordenadas cilíndricas ( ) resulta:


18


Para coordenadas esféricas ( ) resulta

6.4. Coordenadas generales

En sistemas de coordenadas generales, no necesariamente ortogonales, la

divergencia de un vector puede expresarse en términos de las derivadas parciales

respecto a las coordenadas y el determinante del tensor métrico:

7. Divergencia de un campo tensorial El concepto de divergencia puede extenderse a un campo tensorial de orden superior. En una variedad de Riemann la divergencia de un tensor T completamente simétrico

Se define como:

Por ejemplo, en teoría de la relatividad especial la energía de un sistema se representa por un tensor simétrico de segundo orden, cuya divergencia es cero. De hecho el principio de conservación de la energía relativista toma la forma:

7.1. Teorema de la divergencia El teorema de la divergencia, frecuentemente llamado teorema de Gauss, relaciona el flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada con la integral de la divergencia de dicho campo en el interior del volumen encerrado por una superficie. Ese resultado lo hace interesante en aplicaciones relacionadas con la electroestática como en la mecánica de fluidos.


19


El teorema se enuncia así: Sea una función vectorial diferenciable definida sobre

un conjunto y sea un conjunto cerrado limitado por una frontera o superficie de contorno (que sea una variedad diferenciable) y sea el vector normal en cada punto de la superficie, entonces se cumple que:

8. ROTACIONAL

Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo

vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto:

Aquí, ΔS es el área de la superficie apoyada en la curva C, que se reduce a un

punto. El resultado de este límite no es el rotacional completo (que es un vector),

sino solo su componente según la dirección normal a ΔS y orientada según la

regla de la mano derecha. Para obtener el rotacional completo deberán calcularse

tres límites, considerando tres curvas situadas en planos perpendiculares.

Aunque el que el rotacional de un campo alrededor de un punto sea distinto de

cero no implica que las líneas de campo giren alrededor de ese punto y lo en

cierren. Por ejemplo, el campo de velocidades de un fluido que circula por una

tubería (conocido como perfil de Poiseuille) posee un rotacional no nulo en todas

partes, salvo el eje central, pese a que la corriente fluye en línea recta:

Figura 1.


20


La idea es que si colocamos una rueda de paletas infinitamente pequeña en el

interior del campo vectorial, esta rueda girará, aunque el campo tenga siempre la

misma dirección, debido a la diferente magnitud del campo a un lado y a otro de la

rueda.

8.1. Fuente vectorial y escalar

Al campo vectorial, , que se obtiene calculando el rotacional de un campo en

cada punto,

se conoce como las fuentes vectoriales de (siendo las fuentes escalares las

que se obtienen mediante la divergencia).

Un campo cuyo rotacional es nulo en todos los puntos del espacio se

denomina irrotacional o se dice que carece de fuentes vectoriales. Y si está

definido sobre un dominio simplemente conexo entonces dicho campo puede

expresarse como el gradiente de una función escalar:

8.2. Expresión en coordenadas cartesianas Partiendo de la definición mediante un límite, puede demostrarse que la expresión, en coordenadas cartesianas, del rotacional es

que se puede expresar de forma más concisa con ayuda del operador nabla como un producto vectorial, calculable mediante un determinante:

En la notación de Einstein, con el símbolo de Levi-Civita se escribe como:


21


9. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES VECTORIALES

Una función vectorial es una función definida en términos de la variable tiempo. El rango de esta función es multidimensional dado que la función está constituida por diversos componentes, donde cada uno de los componentes varía con respecto al tiempo en una de las direcciones. Por lo tanto, de manera informal una función vectorial puede denotarse como,

Aquí, cada una de las funciones individuales es una función vectorial de variable real en sí misma. Por lo tanto, el conjunto de funciones (p (t), q (t), r (t)) es una asignación de un intervalo cerrado en Rk, la cual es de rango dimensional k para la función dada. Las dimensiones de entrada y salida de una función vectorial son iguales, las cuales son un vector con alguna forma determinada.

La integración de la función se lleva a cabo mediante la integración de cada uno de los componentes individuales de la función. Por lo tanto la integración de la función vectorial se valora,

Aquí la integración se hace con respecto a ‘t’, la cual es la variable.

Asimismo la integración definida de la función también puede hacerse de la misma manera que una función ordinaria. Para que la integración definida sea llevada a cabo, los componentes completos de la función, y por lo tanto la función misma debe ser real en un intervalo cerrado [a, b]. Si el valor de ‘t’ está incrementándose monótonamente en el intervalo dado o podemos decir que, fi R(t) para i = 1 … k, entonces la integración definida de la función será,


22


El Teorema Fundamental del Cálculo también se ha modificado para una función valorada vectorial la cual establece que, sean F y f dos funciones diferentes que se trazan con el rango multidimensional Rk para un intervalo cerrado [a, b] también la derivada de F es equivalente a f, entonces

si, f R en [a, b].

Observemos ahora un ejemplo ilustrativo con el fin de tener una mejor comprensión acerca del tema. Calcule la función r(t), dada r’(t) = - y r(0) = + 2 .

Para determinar la función r(t) a partir de las ecuaciones anteriores tenemos que integrar ‘r(t). Pero antes vamos a escribir cada una de las dos funciones en sus formas vectoriales,

r’(t) = <1, −1, 0> r(0) = <0, 1, 2>

Ahora integremos r’(t) como,

r’(t) dt = dt - dt + dt

r(t) = <t + c1, -t +c2, c1>

Ahora bien, si sustituimos estos valores en la ecuación 2, podemos obtener los valores reales de la constante de integración como,

r(0) = <c1, c2, c3> = <0, 1, 2> c1 = 0 c2 = 1 c3 = 2

Entonces la función r(t) se calcula como <t, -t + 1, 2>.

Por lo general, en el caso que la función vectorial esté en lugar de la constante de integración hacemos uso del vector integración, el cual es un vector arbitrario.


23


De manera similar, un campo vectorial completo también puede ser integrado lo cual nos ayuda a determinar la cantidad de trabajo realizado por el campo vectorial. Esto se hace tomando la integral de línea del campo vectorial dado.

9.1. Integrales de línea

Una de las integrales de línea más importantes, donde aparece el vector d_r, es la siguiente: la suma de las magnitudes de las componentes del campo vectorial F que son tangentes a la curva Γ (rectificable, regular y lisa) del espacio 3. Dado que una curva Γ, en un intervalo ti < t < tf se puede representar por el vector de posición y t es cualquier parámetro.

r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k

El vector de desplazamiento diferencial d_r a lo largo de Γ, y siempre tangente en cualquier punto de ésta, se representa.

d_r = dxi + dyj + dzk

Y a todas las integrales que incluyen vectores de desplazamiento diferencial d_r se llaman integrales de línea. Una integral de este tipo, es el trabajo que realiza una fuerza al mover una partícula, a lo largo de una trayectoria plana, desde una posición P1 hasta una posición P2. La expresión que caracteriza este concepto mecánico es.


24


Figura 2.

Bibliografía.

http://castilloabarca301a.blogspot.mx/2009/10/funciones-vectoriales.html

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001008/lecciones/cap02/02_02_01.pdf

http://www.matap.uma.es/~garvin/05Ca11/node4.html http://www.dervor.com/derivadas/derivadas_funciones.html http://www.matap.uma.es/~garvin/05Ca11/node3.html http://rua.ua.es/dspace/bitstream/10045/22216/1/

OPERADORES_VECTORIALES.pdf http://ocw.uv.es/ciencias/2/1-2/112733mats61.pdf http://www.giematic.unican.es/integracion-linea/campos/

operadores http://webs.um.es/gvb/OCW/OCW-AM-II_files/PDF/ApendD.pdf http://teoriaelectromagneticated502.pbworks.com/w/page/

20548734/Operadores%20Diferenciales%3AGradiente,%20divergencia%20y%20rotacional

http://www.scoop.it/t/calculo-vectorial http://mitecnologico.com/sistemas/Main/

IntegracionDeFuncionesVectoriales


funciones vectoriales

Documents

Transcript of funciones vectoriales