Funcions - balagium.com · Edita: Balàgium Editors, SL [email protected] Edició: Octubre 2018...
11
Maths 6 Funcions Continguts teòrics i exemples
Transcript of Funcions - balagium.com · Edita: Balàgium Editors, SL [email protected] Edició: Octubre 2018...
Maths
6
Funcions
Continguts teòrics
i exemples
Edita: Balàgium Editors, SL [email protected] www.balagium.com
Edició: Octubre 2018ISBN: 978-84-17431-08-2Dipòsit legal: L-1202-2018
Disseny cobertes i maquetació: Jordi Prió Burgués
© Balàgium Editors, SL
Reservats tots els drets.Tots els dossiers que estiguin en format PDF gratuït es podran projectar a l’aula i fer-ne fotocòpies per a l’alumnat sempre i quan s’indiqui la seva perti-nença al projecte Maths.
Tot i que és possible fotocopiar tot els dossiers, es recomana comprar-los perquè resulta més econòmic i, alhora, es contribueix a desenvolupar altruis-tament el projecte Maths.
Funcions6
Introducció .................................................................................................. 2 Concepte .............................................................................................. 2 Formesdedefinirunafunció ................................................................ 3 Dominiirecorregut .............................................................................. 4
Tipus de funcions ....................................................................................... 5 Funcionsalgebraiques .......................................................................... 5 Funcionstranscendents ........................................................................ 7 Funcionsdefinidesatrossos ................................................................ 8
Operacions amb funcions ........................................................................11 Operacionsalgebraiques .....................................................................11 Composiciódefuncions ...................................................................... 12 Funciórecíprocaoinversa ................................................................. 14 Transformacionsdefuncions .............................................................. 16
Propietats de les funcions ...................................................................... 19 Simetria .............................................................................................. 19 Periodicitat .......................................................................................... 20 Continuïtat .......................................................................................... 20
Característiques de les funcions ............................................................ 21 Puntsdetallambelseixos ................................................................. 21 Signed'unafunció .............................................................................. 21 Monotonia ........................................................................................... 22 Extrems .............................................................................................. 22 Curvatura ............................................................................................ 23 Puntsd'inflexió .................................................................................... 23
Interpolació .............................................................................................. 24 Lineal .................................................................................................. 25 Quadràtica .......................................................................................... 26
Recursos gràfics. Geogebra .................................................................... 27
Mapa mental ............................................................................................. 28
2
Maths. Batxillerat
1 IntroduccióUnamagnitudésunapropietat físicaquepotserobservadaimesurada.Lesmagnitudspodenserconstants(com,perexem-ple,lavelocitatdelallum)ovariables enelcasquedepenguind'altresmagnituds.Apartirdelanecessitatderelacionaraquestesmag-nituds entre elles va sorgir el concepte de funció.Aquestes magnituds es poden trobar en diversosàmbits:científic,econòmic,sociològic...Enaquestdossiers'analitzaran les relacionsentremagnituds numèriques. I aquests valors numèricspodenserqualsevolnombre real.
1
Definició
Una funció real fdevariable realésuna relacióqueassociaacadanombre realx ! D 1 R,unúnicnombrey ! R / y = f(x).
Una primera idea intuïtiva defunció ja lavamencionarOres-mel'any1350.
Més endavant, Galileu va esta-blirrelacionsnumèriquesapartirdel'experimentacióquantitativa.
Leibniz,BernouilliifinalmentEu-lervanformularl'actualconceptedefuncióilanotaciódef(x).
A partir del concepte de funcióes construeix l'anàlisimatemà-tica,unadelespartsimportantsdelesbranquesqueestudienlesmatemàtiques.
En lespàgines12 i13deldos-sier 12 (Conjunts i estructures,d'aquesta col·lecció Maths),s'expliquen les definicions decorrespondència i aplicació, lesqualsconstitueixenlabasecon-ceptualperentendreladefiniciódefunció.
f : D R x y=f(x)
variableindependent
variabledependent
yéslaimatgede x per f
esllegeix Les successions són funcionsrealsdevariablenatural.
s : N R n an
Exemples
Ésunafunció.
Cadavalordelavariableindependent(abscis-sa)nomésesrelacionaambunvalordelavari-abledependent(ordenada).
Ésadir,qualsevollíniaverticalnoméspottallarlagràficaenunpunt.
No és una funció (és una corres-pondència).
Hihaalgunsvalorsdelavariableindependent(abscissa)queesrelacionenambmésd'unva-lordelavariabledependent(ordenada).
Ésadir,hihalíniesverticalsquetallenlagràficaenmésd'unpunt.
a b
x
y2
y1y1
x1 x2
y2
xéslaantiimatgede y per f
1 R
10
Maths. Batxillerat
c Valor absolut
Elvalorabsolutcanviadesigneels resultatsnegatiusdef(x)ideixaigualelspositius.
Eldominiéselmateixqueeldel'expressióanalíticasensevalorabsolut.
| f(x) |=f(x) sif(x) $ 0
-f(x) sif(x) < 0
Elvalorabsolutdona llocadostipusdetrams.Unperalsvalorsen què f(x) dona positiu i l'altreperalsderesultatnegatiu.
Lineal Quadràtica Trigonomètrica
f(x)=| x-2 | f(x)=| x2-x-6 | f(x)=| sinx |
Domf(x)=RImf(x)= [0,+3]
Domf(x)=RImf(x)= [0,+3]
Domf(x)=R Imf(x)=[0,1]
1
2
-1
π π23π-π
2π3-2
f(x)= x - 2 ,x $ 2
- ( x - 2) ,x < 2 f(x)=
sinx
sinx
,0# x # π
,-2π# x #- π
- sinx
- sinx
,π < x < 2π
,-π < x < 0
Procediment de transformaciód'una funció amb valor absolutaunadetrossos(senseelssím-bolsdevalorabsolut):
1. S'igualaazerolafunció,sen-seelvalorabsolut,iescalcu-lenlessevesarrels.
2. Es formen els intervals ambles arrels i s'avalua el signedecadainterval.
3. Esdefineixlafuncióatrossos.Enelsintervalsonlesimatgesdelafunciódonennegatives,se'ncanviaelsigne.
4. Es representa la gràfica decadatram.
2
y = x - 2y = -(x - 2)==-x + 2
f(x)=
x2-x-6
-(x2-x-6)
,x $ 3
,-2 < x < 3
x2-x-6 ,x # -2
Exemple
1.f(x)=08 x2-x-6 =08x1 = -2ix2 = 3
2. -2 3 +3-3
+
-3!(-3,-2)
f(-3) = (-3)2 - (-3) - 6 = +6
0!(-2,3) 4!(-2,3)
f(0) = 02 - 0 - 6 = -6 f(4) = 42 - 4 - 6 = +6
+
3.i4.Estanindicatsenl'exempledela2acolumna.
f(x)=| x2-x-6 |
12
Maths. Batxillerat
2 Composició de funcionsMitjançant lacomposicióde funcionsse'ngenerenunamultituddefuncionsméscomplexes,ques'ano-menenfuncionscompostes.
Funcióidentitat:I(x) = x6 x ! R
Propietatsdelacomposició:• És associativa:
(f%g)%h=f%(g%h)
• I(x)ésl'ementneutre:I%f=f%I=f
• No és commutativa:g%f!f%g
Imf(x)
Img(x)
R R R
Domf(x)
f g
Dom f(x) 3 R Im f(x) 3 R
Dom g(x) 3 R Im g(x) 3 R
Im (g%f)(x) 3 R
Dom (g%f)(x)
g%f
Domg(x)
Im (g%f)(x)
Dom (g%f)(x) 3 R
Imf(x)+Domg(x)
Sovint no tots els nombres dela Imf(x) també estan en elDomg(x) enR. En aquests ca-sos:
• Hi ha nombres de la Imf(x)quenotenenimatgeaR per g.
• Hi ha nombres del Domg(x)que no són imatge de capnombredeR per f.
Pertant,noméselsnombresdeR queestanaIm f(x)+Dom g(x) tenenimatgeaR per gisónal-hora imatge d'un nombre deR per f.Apartir d'aquest conjunt es po-den trobar (indicat per fletxesblaves):
Dom (g%f)(x) 3 Dom f(x) Im (g%f)(x) 3 Im g(x)
Donades lesfuncionsf igs'anomena funció com-posta de grespectea fag%fenquè
(g%f)(x)=g(f(x))
Exemples
f(x)=x2 + 2x - 3
Dom f(x) = R
g(x)=sinx
Dom g(x) = R
h(x)=ex
Dom h(x) = R
(g%f)(x)=g(f(x))
(h%g)(x)=h(g(x))
(g%i)(x)=g(i(x))
(i%g)(x)=i(g(x))
(i%f)(x)=i(f(x))
(g%i%h)(x)=g(i(h(x)))
Dom i(x) =[0,+3)
i(x)=x
g(x2 + 2x - 3)=
h(sinx)=esinx
g(x)=sin(x)
i(sinx)=sinx
i(x2 + 2x - 3)=x2 + 2x - 3
sin(x2 + 2x - 3) Dom (g%f)(x) = R
Dom (h%g)(x) = R
Dom (g%i)(x) = [0,+3)
Dom (g%i%h)(x) = R perquè ex >0
Dom (i%g)(x) = ... [-2π,-π],[0,π]...
Dom (i%f)(x) =(-3,-3],[1,+3)
=
=
=
=
=
= g(i(ex))=g(ex)=sin(ex)
a
b
d
f
c
e
13
FuncionsTeoria i exemples 6
Unafunciócompostaespotdescompondreenduesomésfuncionselementalssiesfaelprocésinversmostratalsexemplesanteriors.
f(x)=p(x)
f(x)=p(x)/q(x)
f(x)=g(x)
f(x)=loga (g(x))
f(x)=a g(x)
f(x)=sin (g(x))
f(x)=cos (g(x))
f(x)=tg (g(x))
Dom f(x) = R
Dom f(x) = R -{x,q(x) = 0 }
n = senar " Dom f(x) = Dom g(x)
Dom f(x) = { x,g(x)>0}
Dom f(x) = Dom g(x)
Dom f(x) = Dom g(x)
Dom f(x) = Dom g(x)- { x, g(x) = 0 }
n = parell " Dom f(x) = { x,g(x)$0}
Exemples de funcions compos-tesdepotènciesambtrigonomè-triquesilogarítmiques( h = g%f ):
• h(x) = sin 3 x "h(x) = (sin x ) 3g( x ) = x 3 if (x ) = sinx
• h(x) = sin x3 "h(x) = sin ( x 3 )g( x ) = sin x if (x ) = x 3
n
Elquadresegüentresumeixcomespodencalcularelsdominisdefuncionscompostessenzilles:
Elprocedimentpertrobareldo-minidefuncionscompostescon-sisteix,bàsicament,enresoldre:
• EquacionsIgualar a zero els denomina-dorsdelesfraccions.Les solucions d'aquestesequacionsestreuendeldomi-niis'indicamitjançantelssím-bolsdeconjunt{i}.
• InequacionsElradicantd'unaarrel$ 0.L'argumentdellogaritme> 0.Lessolucionss'expressenmit-jançant intervals que combi-nenelssímbols (, [, ) i ] ielsintervalss'uneixenambelsím-bol,.
Sihihaoperacionsalgebraiquesde funcions, s'haurà de trobarla intersecciódelsseusdominisrespectius(vegeup.11).
a
b
d
f
g
c
e
(g%f)(x)=g(f(x))=g(y)
Funciómésapropdel'argumentx
1afunció queactua
L'expressióanalíticade1a fun-cióésl'argumentdela2afunció
2afunció queactua
Exemples
g(x)= x2-9 4-x2 i(x)=log x
2-9 4-x2
f f
4-x2 = 0
x=-2ix=2
4-x2 = 0 x2 - 9 = 0
x2-9 4-x2
$ 0
x=-3ix=3
Resoldreinequacions
Resoldreequacions
h(x)= x2-9 4-x2
3
Dom h(x) = Dom f(x)x2 - 94-x2
> 0
x=-2ix=2
R-{-2,2}
-2 3 +3-3 -3 2
[ -3, -2 ),( 2, 3 ] ( -3, -2 ),( 2, 3 )
Dominidelesfuncions
x2-9 4-x2 f(x)=a b dc
L'arrelquadradad'unnegatiuNOésreal
Ellogaritmed'unnegatiuodezeroNOésreal
L'arrelcúbicad'unnegatiuSÍésreal
Ladivisiód'unnombreperzeroNOésreal
Eldominidef(x)ih(x)éselmateix (el conjunt de lesx quetenenimatge).Però les imatges són dife-rents,f(x)!h(x).
Six = 0"f(x) = -9/4 h(x) = -9/4f(x) = g(x)quanf(x)= ±1.
3
17
FuncionsTeoria i exemples 6
Vertical1 Horitzontal)
b Expansió / compressió
Equival a una deformació. Totsels punts de la gràfica s'expan-deixenocomprimeixen enunamateixa direcció (horitzontal overtical) respecte a l'origen decoordenades.
k· f ( h x) representaduesdefor-macions(unad'horitzontal iunaaltradevertical).
Quadràtica Trigonomètrica
k · f (x),k>0Sik>1" expansióSik<1" compressió
f(x)=x2
2 · f(x)=2x2
L'expansióocasionaquelaparàbolasiguimésestreta
0,5 · f(x)=0,5x2
Lacompressiófaquelaparàbolasiguimésampla
f(2x)=4x2
Lacompressióocasionaquelaparàbolasiguimésestreta
f(x)=sinx
2·f(x)=2sinxS'expandeixeldobleverticalmentrespectea
l'eixd'abscisses
0,5·f(x)=0,5sinxEscomprimeixalameitatverticalmentrespectea
l'eixd'abscisses
2
-2
-1
0,5
-0,5
1
1
-1
2
-3
f (h · x),h>0Sih>1" compressióSih<1" expansió
Lineal
f(x)= 2x
2 · f(x)=2 · 2x=4x L'expansióprovoca
queelpendentdelarectasiguimésgran
0,5 ·f(x)=0,5·2x =x Lacompressióocasionaqueelpendentdelarecta
siguiméspetit
f(2x)=2 ( 2x)=4x Lacompressiófa
queelpendentdelarectasiguimésgran
k=2k=0,5
Vertical1
Horitzontal)
k=2k=-0,5
k=2k=-0,5
h=2h=0,5
h=2h=-0,5
h=2h=-0,5
f(2x)=sin2xEscomprimeixalameitathoritzontalmentrespectea
l'eixd'ordenades
f(0,5x)=sin(0,5x)S'expandeixeldoble
horitzontalmentrespecteal'eixd'ordenades
f(0,5x)=0,25x2
L'expansiófaquelaparàbolasiguimésampla
f(0,5x)=2(0,5x) = x L'expansióprovoca
queelpendentdelarectasiguiméspetit
https://goo.gl/XnwEAf https://goo.gl/XDziAf
28
Maths. Batxillerat
Operacions
alge
braiqu
es
Com
posició
Transformacions
Concepte
Definició
Domini
Compressió
Translacions
H
Monotonia
Signe
Puntsdetall
text
taulavalors
gràfica
fórm
ula
Algebraiq
ues
Definides
Transcendents
Esglaonades P
artdecimal
Valorabsolut
Tipus
atrossos
PolinòmiquesRacionals
Irracionals
Exponencials
Logarítm
iques
Trigonom
ètriques
Divisió
Multiplicació
Resta
Suma
Recíproc
a
Expansió
Reflexió
V
H
V
H V
PropietatsCaracterístiques
Funcions
Periodicitat
Simetria
Continuïtat
Extrems
Curvatura
Puntsd'inflexió
Recorregut
Interpolació
Quadràtica
Lineal
1 8
2 9
3
4
5
6
7
10
11
12
13
14
Els nombres Derivades i aplicacions
Trigonometria Integrals
Geometria al pla
Àlgebra
Geometria a l’espai
Funcions
Límits i continuïtat
Estadística i probabilitat
Resolució de problemes
Conjunts i estructures
Programació lineal
Continguts
Disponibles en format imprès a preu gairebé de cost.
-volupant tot el projecte altruista Maths, especialment, els multi-mèdia interactius, d’accés lliure.
Una vegada aquests multimèdia estiguin acabats, els dossiers de teoria també estaran disponibles en PDF gratuït.
Cada una d’aquestes temàtiques presenta tres dossiers: un de teoria i exemples, un altre d’exercicis i activitats i, un tercer, amb la guia didàctica i solucionari.
Disponibles gratuïtament des de la seva publicació en format PDF.
Amb la col·laboració altruista del professorat, apor-tant suggeriments, exercicis i activitats, s’aniran rea-lizant, actualitzant i ampliant els dossiers d’exercicis i activitats i les guies didàctiques. En cada exercici i activitat se citarà l’autoria del pro-fessorat i/o centre educatiu col·laborador que ens l’hagi proporcionat.
Per a ampliar la informació del projecte i descarregar els PDF gratuïts, visiteu www.balagium.com
