Fundamentos de La Estadistica

Jos Luis Quintero

FUNDAMENTOS DE ESTADSTICA DESCRIPTIVA

Distribucinde

Frecuencias

EstadsticaDescriptiva

Medidas de Tendencia

Central

Diagrama de Caja yBigotes

Universidad Catlica Andrs BelloIngeniera en TelecomunicacionesSerie: Probabilidad y Estadstica

Medidas de

Localizacin

Medidas de

Dispersin

Jos Luis Quintero

FUNDAMENTOS DE ESTADSTICA DESCRIPTIVA

Distribucinde

Frecuencias

Universidad Catlica Andrs BelloAsignatura: Probabilidades

Caracas, Octubre 2013

EstadsticaDescriptiva

Medidas de

Localizacin

Medidas de

Dispersin

Medidas de Tendencia

Central

Diagrama de Caja yBigotes

Jos Luis Quintero

ROBABILIDADES (ITEL-30205)

Tema 1. Fundamentos de Estadstica Descriptiva

Distribucin de frecuencias y medidas de localizacin

Lo malo de escribir libros es que se nos va la vida en rehacerlos

Alfonso Reyes

El presente material ha tenido un proceso de actualizacin permanente, iniciado ya

hace algunos aos. En cada una de ellas, se han incluido nuevos temas y ejercicios, con lo cual

se ha venido enriqueciendo y mejorando su contenido, ajustndolo a las necesidades, para la

formacin de profesionales y para estudiosos de la materia, que requieren de esta materia.

En esta presentacin, se han mejorado sustancialmente aspectos tales como su

diagramacin haciendo ms agradable y hbil la presentacin de los diferentes tpicos, adems

en su contenido se han incluido, actualizado, revisado tanto los contenidos como los problemas

de aplicacin a fin de atender a las necesidades y consultas exigidas por estudiantes,

profesionales o personas que sin formacin acadmica requieren de su utilizacin.

Jos Luis Quintero

PROLOGO

Jos Luis Quintero



Distribucin de frecuencias y medidas de localizacin

Destacar la importancia del manejo estadstico descriptivo de un conjunto de datos Familiarizar al estudiante con la terminologa empleada en la organizacin y la descripcin de un conjunto de datos

Construir ejemplos sencillos donde se refleje la organizacin de los datos en una tabla de distribucin de frecuencias

Establecer diferencias entre las principales medidas de tendencia central Calcular los valores de las principales medidas de localizacin o de tendencia central tanto para el caso de agrupacin por valor o uso de clases discretas como para el caso de agrupacin por intervalos o uso de clases continuas

Calcular percentiles, dciles y cuartiles para un conjunto de datos organizados en clases discretas y un conjunto de datos organizados en clases continuas

Calcular el intervalo intercuartil para una muestra aleatoria Calcular los valores de las principales medidas de dispersin tanto para clases discretas como para clases continuas

Construir ejemplos sencillos donde se refleje la importancia y la utilidad de las principales medidas de dispersin

Construir un diagrama de caja y bigotes para una muestra dada Trabajar mediante problemas los fundamentos de la Estadstica Descriptiva

OBJETIVOS A LOGRAR

Jos Luis Quintero



Distribucin defrecuencias y medidas de localizacin

1. Definiciones de inters

1.1. Estadstica

1.2. Estadstica Descriptiva

1.3. Muestra aleatoria

1.4. Mnimo valor de una muestra

1.5. Mximo valor de una muestra

1.6. Intervalo de una muestra

1.7. Clase

1.8. Histograma de una muestra

2. Medidas de tendencia central

2.1. Media de una muestra

2.2. Mediana de una muestra

2.3. Moda de una muestra

3. Ejemplos ilustrativos para datos agrupados por valor o uso de clases discretas

4. Ejemplos ilustrativos para datos agrupados por intervalos o uso de clases continuas

5. Clculo de las medidas de tendencia central para datos agrupados por valor

6. Clculo de las medidas de tendencia central para datos agrupados por intervalos

7. Clculo de la media recortada al %

7.1. Definicin

7.2. Clculo de la media recortada

7.3. Clculo para datos no agrupados

7.4. Clculo para datos agrupados por valor o uso de clases discretas

7.5. Clculo para datos agrupados por intervalos o uso de clases continuas

8. Percentiles

8.1. Definicin



9. Intervalo intercuartil

9.1. Definicin



10. Definiciones de inters

10.1. Varianza de una muestra

10.2. Varianza corregida de una muestra

10.3. Desviacin estndar de una muestra

10.4. Desviacin estndar corregida de una muestra

10.5. Coeficiente de variacin de una muestra

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

4

5

6

10

10

10

11

11

12

13

13

13

14

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17

17

17

17

17

INDICE GENERAL

Jos Luis Quintero

10.6. Sesgo de una muestra

10.7. Curtosis de una muestra

11. Clculo de las medidas de dispersin para datos agrupados por valor

11.1. Varianza de la muestra

11.2. Varianza corregida de la muestra

11.3. Desviacin estndar de la muestra

11.4. Desviacin estndar corregida de la muestra

11.5. Coeficiente de variacin de la muestra

11.6. Sesgo de la muestra

11.7. Curtosis de la muestra

12. Clculo de las medidas de dispersin para datos agrupados por intervalos

12.1. Varianza de la muestra

12.2. Varianza corregida de la muestra

12.3. Desviacin estndar de la muestra

12.4. Desviacin estndar corregida de la muestra

12.5. Coeficiente de variacin de la muestra

12.6. Sesgo de la muestra

12.7. Curtosis de la muestra

13. Diagrama de caja y bigotes

13.1. Definicin

13.2. Ejemplos ilustrativos

14. Problemas resueltos

15. Problemas propuestos

17

17

18

18

18

18

18

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18

19

20

20

20

20

21

21

21

21

22

22

23

24

31

Probabilidad y Estadstica Fundamentos de Estadstica Descriptiva

Jos Luis Quintero 1

1. DEFINICIONES DE INTERS

Observacin 1. Consideraciones

acerca de la estadstica:

Los orgenes de la estadstica,

aunque no se sabe con exactitud

cundo se comenz a utilizar,

pueden estar ligados al antiguo

Egipto como a los censos chinos

que se realizaron hace unos

4.000 aos, aproximadamente

Sin duda, fueron los romanos,

maestros de la organizacin

poltica, quienes mejor supieron

usar la estadstica. Cada cinco

aos realizaban un censo de la

poblacin, cuyos datos de

nacimientos, defunciones y

matrimonios eran esenciales para

estudiar los avances del imperio;

sin olvidar los recuentos de

ganancias y las riquezas que

dejaban las tierras Los datos a trabajar se agruparn

por valor o en clases discretas o

por intervalo o en clases

continuas, considerando las

caractersticas de los datos

suministrados. En tal sentido, se

justificar la mejor manera de

agrupar los datos

1.1. Estadstica. Es una rama de la matemtica

que se encarga de estudiar mtodos cientficos

para recoger, organizar, resumir y analizar

datos, as como para sacar conclusiones

vlidas y tomar decisiones razonables basadas

en tal anlisis.

1.2. Estadstica Descriptiva. Es la parte de la Estadstica que se encarga de reunir

informacin cuantitativa concerniente a

individuos, grupos, series de hechos, etc

1.3. Muestra aleatoria. Grupo de resultados que

se obtienen al repetir varias veces un

experimento aleatorio, bajo las mismas

condiciones.

1.4. Mnimo valor de una muestra. El valor ms pequeo de una muestra.

1.5. Mximo valor de una muestra. El valor ms

grande de una muestra.

1.6. Intervalo de una muestra. Diferencia entre

el valor ms grande y el valor ms pequeo de

una muestra.

1.7. Clase. Es cada uno de los intervalos que se consiguen al realizar una particin dentro del

conjunto de los nmeros reales.

1.8. Histograma de una muestra. Es una representacin grfica en forma de barras de una muestra.


Jos Luis Quintero 2

9

9

Ejemplo 1.

Tabla de distribucin de frecuencias de la nota obtenida en un examen de Clculo

Clase Dato (xi) fi Fi hi Hi

1 2.8 1 1 0.0417 0.0417

2 3.2 4 5 0.1667 0.2084

3 3.9 3 8 0.1250 0.3334

4 4.2 5 13 0.2082 0.5416

5 5.0 4 17 0.1667 0.7083

6 5.6 3 20 0.1250 0.8333

7 6.0 4 24 0.1667 1.0000

2. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

3. EJEMPLOS ILUSTRATIVOS PARA DATOS AGRUPADOS POR VALOR O USO DE CLASES DISCRETAS

2.1. Media de una muestra. Promedio de los valores de la muestra.

2.1. Mediana de una muestra. Valor que ocupa la

posicin intermedia de la muestra ya ordenada

previamente.

2.3. Moda de una muestra. Es el valor del dato que ocurre con ms frecuencia.


acerca de las medidas de tendencia

central:

Tambin son llamadas medidas

de localizacin

La media se ve afectada por la

presencia de valores extremos,

perdiendo representatividad

La media no necesariamente

coincide con un dato muestral

Por lo general, la mediana

coincide con un dato muestral

La moda puede usarse para datos

cualitativos

La moda pudiera no ser nica en

una muestra

La moda pierde representatividad

en muestras multimodales


Jos Luis Quintero 3

Notacin de inters:

fi = frecuencia absoluta , Fi = Frecuencia absoluta acumulada

hi = frecuencia relativa , Hi = Frecuencia relativa acumulada

Frmulas de inters:

n = nmero de clases , N = nmero total de datos

i

i ii j i 1 i i i

j 1

f FF f F f , h , H , i 1,...,n

N N

=

= = + = = =

Ejemplo 2.

Tabla de distribucin de frecuencias de la duracin en minutos de las llamadas

telefnicas i(x ) entre las 9 a.m. y las 10 a.m. registradas en una central telefnica

Clase Dato

(xi)

fi Fi hi Hi Clase Dato

(xi)

fi Fi hi Hi

1 1 3 3 0.06 0.06 9 9 0 45 0.00 0.90

2 2 7 10 0.14 0.20 10 10 1 46 0.02 0.92

3 3 9 19 0.18 0.38 11 11 0 46 0.00 0.92

4 4 10 29 0.20 0.58 12 12 2 48 0.04 0.96

5 5 6 35 0.12 0.70 13 13 0 48 0.00 0.96

6 6 4 39 0.08 0.78 14 14 0 48 0.00 0.96

7 7 4 43 0.08 0.86 15 15 1 49 0.02 0.98

8 8 2 45 0.04 0.90 16 16 1 50 0.02 1.00

A continuacin la figura 1 visualiza el histograma para las frecuencias relativas:

Figura 1. Histograma de frecuencias relativas para la duracin en minutos de las llamadas telefnicas


Jos Luis Quintero 4

Ejemplo 3.

Tabla de distribucin de frecuencias del pago en miles de bolvares (MBs.) del uso

del servicio telefnico i(x ) efectuado por los usuarios en un ao

Clase

Inicio

Fin

Marca

de clase

(xi)

fi

Fi

hi

Hi

1 1.465 1.497 1.481 4 4 0.08 0.08

2 1.497 1.529 1.513 4 8 0.08 0.16

3 1.529 1.561 1.545 15 23 0.30 0.46

4 1.561 1.593 1.577 12 35 0.24 0.70

5 1.593 1.625 1.609 9 44 0.18 0.88

6 1.625 1.657 1.641 5 49 0.10 0.98

7 1.657 1.689 1.673 1 50 0.02 1.00

A continuacin la figura 2 visualiza el histograma para las frecuencias relativas:

Figura 2. Histograma de frecuencias relativas para el pago anual del servicio telefnico

4. EJEMPLOS ILUSTRATIVOS PARA DATOS AGRUPADOS POR INTERVALOS O USO DE CLASES CONTINUAS


Jos Luis Quintero 5

Ejemplo 4.

Tabla de distribucin de frecuencias del pago en miles de bolvares (MBs.) del uso

del servicio telefnico i(x ) efectuado por los usuarios en dos aos

Clase

Inicio

Fin

Marca

de clase

(xi)

fi

Fi

hi

Hi

1 3.62 3.70 3.66 2 2 0.02 0.02

2 3.70 3.78 3.74 7 9 0.07 0.09

3 3.78 3.86 3.82 11 20 0.11 0.20

4 3.86 3.94 3.90 11 31 0.11 0.31

5 3.94 4.02 3.98 23 54 0.23 0.54

6 4.02 4.10 4.06 22 76 0.22 0.76

7 4.10 4.18 4.14 15 91 0.15 0.91

8 4.18 4.26 4.22 5 96 0.05 0.96

9 4.26 4.34 4.30 3 99 0.03 0.99

10 4.34 4.42 4.38 1 100 0.01 1.00

5.1. Media de la muestra (M).

Notacin:

ix = dato que pertenece a la clase i

fi = frecuencia del dato que pertenece a la clase i

n = nmero de clases

N = tamao de la muestra n

i i

i 1

1M x f

N=

=

Ejemplo de las calificaciones obtenidas:

2.8 1 3.2 4 ... 5.6 3 6.0 4 109.1

M 4.545824 24

+ + + + = = =

Ejemplo de la duracin en minutos de las llamadas telefnicas:

5. CLCULO DE LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS AGRUPADOS POR VALOR


Jos Luis Quintero 6

1 3 2 7 ... 15 1 16 1 247

M 4.9450 50

+ + + + = = =

5.2. Mediana de la muestra (Me).

Notacin:

ix = dato que ocupa la posicin i despus de estar ordenada la muestra

N = tamao de la muestra

i

i i 1

N 1x i si N es impar

2Me

x x Ni si N es par

2 2+

+=

= +

=


N 24= es par, por lo tanto i 12= y

12 13x x 4.2 4.2Me 4.22 2

+ += = =


N 50= es par, por lo tanto i 25= y

25 26x x 4 4Me 42 2

+ += = =

5.3. Moda de la muestra (Mo).


El dato de mayor frecuencia (igual a 5) es 4.2, por lo tanto la moda de la muestra es 4.2.


El dato de mayor frecuencia (igual a 10) es 4, por lo tanto la moda de la muestra es 4.

6.1. Media de la muestra (M).

Notacin:

6. CLCULO DE LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS AGRUPADOS POR INTERVALOS


Jos Luis Quintero 7

ix = marca de clase que pertenece a la clase i

fi = frecuencia de la clase i

n = nmero de clases

N = tamao de la muestra n

i i

i 1

1M x f

N=

= .

Usando la expresin anterior se tendr entonces una estimacin de la media de la

muestra para datos agrupados por intervalos o uso de clases continuas.

Ejemplo del pago del uso del servicio telefnico anual:

1.481 4 1.513 4 ... 1.641 5 1.673 1 78.434

M 1.5686850 50

+ + + + = = =

Ejemplo del pago del uso del servicio telefnico en dos aos:

3.66 2 3.74 7 ... 4.30 3 4.38 1 399.76

M 3.9976100 100

+ + + + = = =

6.2. Mediana de la muestra (Me).

En primer lugar se identifica la clase k donde se encuentra el dato que ocupa la

posicin N/2. Esta clase es denominada clase medianal. Una vez ubicada la clase se procede

a estimar la mediana de la muestra usando la expresin N

k 12k k k

k

FMe LI (LS LI )

f

= +

Notacin:

kLI = Lmite inferior de la clase k (clase medianal)

kLS = Lmite superior de la clase k (clase medianal)

k 1F = Frecuencia absoluta acumulada de la clase anterior a la clase medianal

kf = Frecuencia absoluta de la clase medianal

Deduccin de la frmula de la mediana para datos agrupados por intervalos

La frmula utilizada para la estimacin de la mediana se obtiene por interpolacin

lineal, es decir se construye la recta que pasa por los puntos de coordenadas

k 1 k k k(F ,LI ) y (F ,LS ) . Esta recta tiene la ecuacin

k kk k 1

k k 1

LS LIy LI (x F )

F F

= +

El punto de coordenadas N2( ,Me) es un punto de la recta de modo que


Jos Luis Quintero 8

N

k 1k k 2Nk k 1 k k k2

k k 1 k

FLS LIMe LI ( F ) LI (LS LI )

F F f

= + = +

Observacin. Se suponen que los datos dentro de la clase medianal estn equiespaciados y

se usa interpolacin lineal para la estimacin de la mediana.


N= 50 por lo tanto N/2 = 25 y la clase medianal identificada es la clase 4:

4 1.561 1.593 1.577 12 35 0.24 0.70

Calculando ahora la estimacin para la mediana se tiene: 25 23 2

Me 1.561 (1.593 1.561) 1.561 (0.032) 1.566312 12

= + = + =


N = 100 por lo tanto N/2 = 50 y la clase medianal identificada es la clase 5:

5 3.94 4.02 3.98 23 54 0.23 0.54

Calculando ahora la estimacin para la mediana se tiene: 50 31 19

Me 3.94 (4.02 3.94) 3.94 (0.08) 4.006123 23

= + = + =

6.3. Moda de la muestra (Mo).

Deduccin de la frmula de la moda para datos agrupados por intervalos

a. En primera instancia se identifica la clase con mayor frecuencia la cual se llamar clase

modal. Esta clase pudiera no ser nica, y ese caso se estar en presencia de una muestra

con distribucin de frecuencia multimodal.

b. Una vez identificada la clase modal, la moda se estimar bajo la premisa de que ella

estar ms prxima a la clase contigua con mayor frecuencia, de modo que la distancia

entre la moda y las clases contiguas es inversamente proporcional a las frecuencias de

esas clases. El clculo de esta estimacin ser de la forma kMo LI p= + , donde

posteriormente se hablar del clculo de p.

c. Si se denotan 1 k k 1d f f = y 2 k k 1d f f += , representarn las diferencias de la frecuencia

de la clase modal y la frecuencia de la clase premodal y la de la frecuencia de la clase

modal y la frecuencia de la clase postmodal respectivamente. Se deduce que a mayor

frecuencia de la clase contigua, menor ser la diferencia respectiva.

d. Suponga que el intervalo de la clase modal es dividido en dos partes: una de ellas de denota con p y la otra como k kLS LI p . Se establecer la relacin


Jos Luis Quintero 9

1

k k 2

dp

LS LI p d=

.

CASO 1. 1 2d d<

Aqui la clase premodal tiene una frecuencia absoluta mayor que la de la clase postmodal, de

modo que se desea que la moda estimada est ms cerca de ella que de la clase postmodal.

Trabajando la expresin anterior:

1 1k k

k k 2 2

d dpp (LS LI p)

LS LI p d d= =

,

lo cual permite ver que p es menor que k kLS LI p y la moda estimada como kMo LI p= +

estar ms cerca de la clase premodal que de la clase postmodal como se deseaba.

CASO 2. 1 2d d=

Aqui la clase premodal tiene una frecuencia absoluta igual que la de la clase postmodal, de

modo que se desea que la moda estimada est equidistante de ambas clases. Trabajando la

expresin anterior:

k kk k

k k

LS LIp1 p (LS LI p) p

LS LI p 2

= = =

,

lo cual permite ver que p es igual que k kLS LI p y la moda estimada como kMo LI p= + se

ver de la forma

k k k kk k

LS LI LI LSMo LI p LI

2 2

+= + = + =

CASO 3. 1 2d d>

Aqui la clase premodal tiene una frecuencia absoluta menor que la de la clase postmodal, de

modo que se desea que la moda estimada est ms lejos de ella que de la clase postmodal.

Trabajando la expresin anterior:

1 1k k

k k 2 2

d dpp (LS LI p)

LS LI p d d= =

,

lo cual permite ver que p es mayor que k kLS LI p y la moda estimada como kMo LI p= +

estar ms lejos de la clase premodal que de la clase postmodal como se deseaba.

Visto todo lo anterior, despejando p se tiene

1 11 2 1 k k k k

k k 2 1 2

d dpp(d d ) d (LS LI ) p (LS LI )

LS LI p d d d= + = =

+,

calculando entonces la estimacin de la moda como

1k k k

1 2

dMo LI (LS LI )

d d= +

+


La clase modal identificada es la clase 3.

3 1.529 1.561 1.545 15 23 0.30 0.46


Jos Luis Quintero 10

Las clases premodal y postmodal sern respectivamente las clases 2 y 4.

2 1.497 1.529 1.513 4 8 0.08 0.16

4 1.561 1.593 1.577 12 35 0.24 0.70

Calculando ahora la estimacin para la moda se tiene

1k k k

1 2

d 15 4Mo LI (LS LI ) 1.529 (1.561 1.529) 1.5541

d d 15 4 15 12

= + = + + +


La clase modal identificada es la clase 5.

5 3.94 4.02 3.98 23 54 0.23 0.54

Las clases premodal y postmodal sern respectivamente las clases 4 y 6.

4 3.86 3.94 3.90 11 31 0.11 0.31

6 4.02 4.10 4.06 22 76 0.22 0.76

Calculando ahora la estimacin para la moda se tiene

1k k k

1 2

d (23 11)Mo LI (LS LI ) 3.94 (4.02 3.94) 4.0138

d d (23 11) (23 22)

= + = + =+ +

7.2. Clculo de la media recortada:

La notacin a se lee parte entera de a y asigna como resultado la aproximacin

como truncamiento del nmero real a. La expresin

N

, [0,50)100

determina la cantidad de datos que deben eliminarse de la muestra ordenada tanto

inferiormente como superiormente. En tal sentido, la muestra recortada al % tiene como

tamao

7. CLCULO DE LA MEDIA RECORTADA AL %

7.1. Definicin (Media recortada). Se define como el promedio de los datos que quedan al eliminar el % inferior y superior en la muestra ordenada.



N(1 ) N , con100

= .

7.3. Clculo para datos no agrupados:

Despus de ordenarlos la media recortada al % se calcula como

N(1 )

rec( ) i

i N 1

1M x

N(1 ) N

= +

=

.

7.4. Clculo para datos agrupados por valor o uso de clases discretas:

n n n1 2

rec( ) i i i i i i

i 1 i n 1 i n 11 2

1 M x f x f x fN(1 ) N

= = + = +

= + +

,

donde

if =nueva frecuencia absoluta de la clase i afectada despus de eliminar datos de la muestra

aleatoria.


Se desea calcular la media recortada al 5% para los datos suministrados.

Cantidad total de datos que deben eliminarse:

24 52 2

100

=

Tamao de la nueva muestra: 22

Clculo de la nueva media: 0 3

rec(5)

2.8 3.2 4 ... 5.6 3 6.0 100.3M 4.5591

22 22

+ + + + = =

Observaciones.

Las negritas se colocaron para indicar las frecuencias absolutas que fueron modificadas

La eliminacin de los 2 datos no afecta significativamente a la media anterior (4.5458) al

compararla con la nueva media (4.5591)




50 52 4

100

=




Clculo de la nueva media: 1 0 0

rec(5)

1 2 7 ... 14 0 15 16 214M 4.65

46 46

+ + + + + = =

Observacin. Se puede notar la influencia de los 4 datos anteriores eliminados sobre la media anterior (4.94) al compararla con la nueva media (4.65)

7.5. Clculo para datos agrupados por intervalos o uso de clases continuas: n n n1 2

rec( ) i i i i i i

i 1 i n 1 i n 11 2

1 M x f x f x fN(1 ) N

= = + = +

= + +

,

donde


if = nueva frecuencia absoluta de la clase i afectada despus de eliminar datos de la muestra

aleatoria.




50 52 4

100

=

Tamao de la nueva muestra: 46 2 4 0

rec(5)

1.481 1.513 4 ... 1.641 1.673 72.158M 1.56865

46 46

+ + + + = =

Observacin. Se puede notar la poca influencia de los 4 datos eliminados sobre la media anterior (1.56868) al compararla con la nueva media (1.56865)




100 52 10

100

=


0 4 4 0 0rec(5)

3.66 3.74 ... 4.22 4.30 4.38 359.72M 3.9969

90 90

+ + + + + = = =

Observacin. Se puede notar la poca influencia de los 10 datos eliminados sobre la media anterior (3.9976) al compararla con la nueva media (3.9969)



9


El percentil k-simo k(P ) ser igual a m 1x + , es

decir k m 1P x += , siempre y cuando se verifique

que

km N m 1

100< + , con m N .


Se desean encontrar los percentiles 25, 30

y 75, es decir 25P , 30P y 75P respectivamente.

Para 25P :

25 6

25m 24 m 1 m 6 m 1

100

m 5 P x 3.9

< + < +

= = =

Para 30P :

30 8

30m 24 m 1 m 7.2 m 1 m 7 P x 3.9

100< + < + = = =

Para 75P :

75 18

75m 24 m 1 m 18 m 1 m 17 P x 5.6

100< + < + = = =


Se desean encontrar los percentiles 25, 30 y 75, es decir 25P , 30P y 75P

respectivamente.

Para 25P :

25 13

25m 50 m 1 m 12.5 m 1 m 12 P x 3

100< + < + = = =

8. PERCENTILES

8.1. Definicin (Percentil). El k-simo percentil de una muestra aleatoria se define como el valor que ocupa una posicin tal en la muestra ordenada que aproximadamente el k% de

los datos es menor o igual que l.


acerca de las medidas de

localizacin:

El percentil k-simo tambin es

llamado medida de localizacin

La mediana es considerada como

el percentil 50 es decir 50P Me=

El cuartil k-simo k(Q ) es una

medida de localizacin tal que

1 25Q P= , 2 50Q P= , 3 75Q P= ,

4 100Q P=

El decil k-simo k(D ) es una

medida de localizacin tal que:

1 10 2 20 9 90D P , D P , ... , D P ,= = =

10 100D P=



Para 30P :

30 15

30m 50 m 1 m 15 m 1 m 14 P x 3

100< + < + = = =

Para 75P :

75 38

75m 50 m 1 m 37.5 m 1 m 37 P x 6

100< + < + = = =

8.3. Clculo para datos agrupados por intervalos o uso de clases continuas:

El percentil k-simo k(P ) ser igual a m 1x + , es decir k m 1P x += , siempre y cuando se

verifique que k

m N m 1100

< + , con m N .

En primer lugar se identifica la clase j donde est el dato que ocupa la posicin

encontrada anteriormente. Una vez ubicada la clase se procede a estimar el percentil k-

simo de la muestra usando la expresin k

j 1100k j j j

j

N FP LI (LS LI )

f

= +

La frmula utilizada para la estimacin del percentil se obtiene tambin por

interpolacin lineal, con el mismo basamento empleado para la frmula de estimacin de la

mediana discutido anteriormente.


Se desean encontrar los percentiles 25, 30 y 75, es decir 25P , 30P y 75P

respectivamente.

Para 25P :

25 13

25m 50 m 1 m 12.5 m 1 m 12 P x

100< + < + = =

La clase donde se encuentra 25P es la clase 3:

3 1.529 1.561 1.545 15 23 0.30 0.46

Calculando ahora la estimacin para 25P se tiene:

25100

25

50 8 4.5P 1.529 (1.561 1.529) 1.529 (0.032) 1.5386

15 15

= + = + =



Para 30P :

30 15

30m 50 m 1 m 15 m 1 m 14 P x

100< + < + = =


3 1.529 1.561 1.545 15 23 0.30 0.46


30100

30

50 8 7P 1.529 (1.561 1.529) 1.529 (0.032) 1.5439

15 15

= + = + =

Para 75P :

75 38

75m 50 m 1 m 37.5 m 1 m 37 P x

100< + < + = =


5 1.593 1.625 1.609 9 44 0.18 0.88


75100

75

50 35 2.5P 1.593 (1.625 1.593) 1.593 (0.032) 1.6019

9 9

= + = + =


Se desean encontrar los percentiles 25, 30 y 75, es decir 25P , 30P y 75P .

Para 25P :

25 25

25m 100 m 1 m 25 m 1 m 24 P x

100< + < + = =


4 3.86 3.94 3.90 11 31 0.11 0.31


25100

25

100 20 5P 3.86 (3.94 3.86) 3.86 (0.08) 3.8964

11 11

= + = +

Para 30P :

30 30

30m 100 m 1 m 30 m 1 m 29 P x

100< + < + = =




4 3.86 3.94 3.90 11 31 0.11 0.31


30100

30

100 20 10P 3.86 (3.94 3.86) 3.86 (0.08) 3.9327

11 11

= + = + =

Para 75P :

75 75

75m 100 m 1 m 75 m 1 m 74 P x

100< + < + = =


6 4.02 4.10 4.06 22 76 0.22 0.76


75100

75

100 54 21P 4.02 (4.10 4.02) 4.02 (0.08) 4.0964

22 22

= + = + =

9


Intervalo intercuartil de la muestra Q(I ). Q 3 1I Q Q=

Ejemplo de las calificaciones obtenidas: Q 3 1I Q Q 5 3.2 1.8= = =

Ejemplo de la duracin en minutos de las llamadas telefnicas: Q 3 1I Q Q 6 3 3= = =

9.3. Clculo para datos agrupados por intervalos o uso de clases continuas:

Intervalo intercuartil de la muestra Q(I ). Q 3 1I Q Q=


9. INTERVALO INTERCUARTIL

9.1. Definicin (Intervalo intercuartil). Es el intervalo de la muestra que resulta al considerar solamente aquellos datos que estn entre el primer cuartil y el tercero.



Q 3 1I Q Q 1.6019 1.5386 0.0633= = =


Q 3 1I Q Q 4.0964 3.8964 0.2= = =

9

10. DEFINICIONES DE INTERS

10.1. Varianza de una muestra. Promedio

aritmtico de los cuadrados de las diferencias

de cada valor en la muestra y la media de la

muestra.

10.2. Varianza corregida de una muestra. Cociente que resulta de dividir la suma de los

cuadrados de las diferencias de cada dato en

la muestra y la media de la muestra, entre el

nmero de datos menos uno.

10.3. Desviacin estndar de una muestra. Es

la raz cuadrada positiva de la varianza de la

muestra.

10.4. Desviacin estndar corregida de una muestra. Es la raz cuadrada positiva de la

varianza corregida de la muestra.

Observacin 4. Consideraciones acerca de las medidas de dispersin:

Para conocer la varianza de la

muestra, previamente se debe

conocer la media de la muestra

La justificacin de la frmula de

la varianza corregida de la

muestra se halla en el estudio de

estimadores insesgados en

Estadstica

La desviacin estndar de la

muestra posee las mismas

unidades que tienen los datos de

la muestra

El coeficiente de variacin, el

sesgo y la curtosis de la muestra

son adimensionales, es decir, no

poseen unidades

El sesgo y la curtosis

proporcionan informacin acerca

de la forma de la distribucin de

la muestra

10.5. Coeficiente de variacin de una muestra. Es la relacin entre la desviacin estndar de

la muestra y el valor absoluto de la media de

la muestra.

10.6. Sesgo de una muestra. Es la relacin entre

el promedio aritmtico de las diferencias entre

cada dato y la media de la muestra elevadas

al cubo, y el cubo de la desviacin estndar.

10.7. Curtosis de una muestra. Es la relacin entre el promedio aritmtico de las diferencias

entre cada dato y la media de la muestra elevadas a la cuatro, y el cuadrado de la

varianza de la muestra.



9

11.1. Varianza de la muestra 2(S ) .

Sean n = nmero de clases , N = tamao de la muestra

Una frmula para su clculo: n

2 2i i

i 1

1S f(x M)

N=

=

Otra frmula para su clculo:

n n n

2 2 2 2 2 2i i i i i i i i i i

i 1 i 1 i 1

n n n n

2 2 2 2 2 2 2i i i i i i i

i 1 i 1 i 1 i 1

1 1 1S f(x M) f (x 2xM M ) (fx 2fxM fM )

N N N

1 2 1 1fx fxM fM fx 2M M M M

N N N N

= = =

= = = =

= = + = +

= + = + =

11.2. Varianza corregida de la muestra 2c(S ) . n n

2 2 2 2c i i i i

i 1 i 1

1 N 1 NS f(x M) . f (x M) .S

N 1 N 1 N N 1= =

= = =

11.3. Desviacin estndar de la muestra (S). 2S S= +

11.4. Desviacin estndar corregida de la muestra c(S ) .

2c cS S= +

11.5. Coeficiente de variacin de la muestra (CV).

SCV

M=

11.6. Sesgo de la muestra (SE). n

3i i3

i 1

1SE f(x M)

NS=

=

11. CLCULO DE LAS MEDIDAS DE DISPERSIN PARA DATOS AGRUPADOS POR VALOR



11.7. Curtosis de la muestra (K). n

4i i4

i 1

1K f(x M)

NS=

=


Varianza de la muestra 2(S ) .

n 7= , N 24= , M 4.5458=

Primera forma para su clculo:

2 2 2 2 21S (2.8 4.5458) 4(3.2 4.5458) ... 3(5.6 4.5458) 4(6 4.5458)24

24.75961.0317

24

= + + + +

= =

Segunda forma para su clculo:

2 2 2 2 2 2 21 520.71S (2.8) 4(3.2) ... 3(5.6) 4(6) (4.5458) (4.5458) 1.031724 24

= + + + + = =

Varianza corregida de la muestra 2c(S ) .

2 2c

N 24S .S 1.0317 1.0766

N 1 23= =

Desviacin estndar de la muestra (S). 2S S 1.0157= +

Desviacin estndar corregida de la muestra c(S ) . 2S S 1.0376= +

Coeficiente de variacin de la muestra (CV). S 1.0157

CV 0.22344.5458M

= =

Sesgo de la muestra (SE). n

3i i3 3

i 1

1 0.1047SE f(x M) 0.0042

NS 24 (1.0157)=

= = =

Curtosis de la muestra (K).

n

4i i4 4

i 1

1 44.7672K f(x M) 1.7526

NS 24 (1.0157)=

= = =


Varianza de la muestra 2(S ) .

n 16= , N 50= , M 4.94=

Primera forma para su clculo:

2 2 2 2 21 538.82S 3(1 4.94) 7(2 4.94) ... 1(15 4.94) 1(16 4.94) 10.776450 50

= + + + + = =

Segunda forma para su clculo:

2 2 2 2 2 2 21 1759S 3(1) 7(2) ... 1(15) 1(16) (4.94) (4.94) 10.776450 50

= + + + + = =




2 2c

N 50S .S 10.7764 10.9963

N 1 49= = =

Desviacin estndar de la muestra (S). 2S S 3.2827= + =

Desviacin estndar corregida de la muestra c(S ) . 2

c cS S 3.3161= + =


CV 0.66454.94M

= =


3i i3 3

i 1

1 2866SE f(x M) 1.6204

NS 50 (3.2827)=

= = =


n

4i i4 4

i 1

1 32463K f(x M) 5.5911

NS 50 (3.2827)=

= == =

9

12.1. Varianza de la muestra 2(S ) .

Sean


n = nmero de clases

N = tamao de la muestra

Una frmula para su clculo: n

2 2i i

i 1

1S f(x M)

N=

= Otra frmula para su clculo: 2 2 2S M M=

12.2. Varianza corregida de la muestra 2c(S ) .

2 2c

NS .S

N 1=

12.3. Desviacin estndar de la muestra (S). 2S S= +

12. CLCULO DE LAS MEDIDAS DE DISPERSIN PARA DATOS AGRUPADOS POR INTERVALOS



12.4. Desviacin estndar corregida de la muestra c(S ) . 2

c cS S= +

12.5. Coeficiente de variacin de la muestra (CV). S

CVM

=

12.6. Sesgo de la muestra (SE).

n

3i i3

i 1

1SE f(x M)

NS=

=

12.7. Curtosis de la muestra (K). n

4i i4

i 1

1K f(x M)

NS=

=


Varianza de la muestra 2(S ) . n 7= , N 50=

Primera forma de clculo:

2 2 2 21S 4(1.481 1.56868) 4(1.513 1.56868) ... 1(1.673 1.56868) 0.002150

= + + + =

Segunda forma de clculo: 2 2 2 2S M M 2.4628 (1.56868) 0.0021= = =


2 2c

N 50S .S 0.0021 0.0021

N 1 49= =



c cS S 0.0458= + =


CV 0.02921.56868M

= =


53

i i3 3

i 1

1 3.7434 10SE f(x M) 0.0078

NS 50 (0.0458)

=

= = =


n4

4i i4 4

i 1

1 5.5862 10K f(x M) 2.5391

NS 50 (0.0458)

=

= = =


Varianza de la muestra 2(S ) . n 10= , N 100=



Primera forma de clculo:

2 2 2 21S 2(3.66 3.9976) 7(3.74 3.9976) ... 1(4.38 3.9976) 0.02209100

= + + + =

Segunda forma de clculo: 2 2 2 2S M M 16 (3.9976) 0.02= = =


2 2c

N 100S .S 0.02 0.0202

N 1 99= =



c cS S 0.1421= + =


CV 0.03543.9976M

= =


3i i3 3

i 1

1 0.0260SE f(x M) 0.0920

NS 100 (0.1414)=

= = =


n

4i i4 4

i 1

1 0.1340K f(x M) 3.3520

NS 100 (0.1414)=

= = =

9

La figura 3 revela toda la informacin que se puede representar en un diagrama de caja.

Figura 3. Diagrama de caja y bigotes

13. DIAGRAMA DE CAJA Y BIGOTES

13.1. Definicin (Diagrama de caja y bigotes). Un diagrama de caja y bigotes busca

representar los tres cuartiles y los valores mnimo y mximo de la muestra con la

finalidad de definir la ubicacin de algunos valores de la muestra que no tienen un

comportamiento tpico o esperado y perfectamente podran deberse a errores en la

recoleccin y manipulacin de la muestra.



13.2. Ejemplos ilustrativos.

Ejemplo 1. Suponga que de una muestra dada se tiene la siguiente informacin:

1 2 3Q 9.586 , Q 10.1825 , Q 10.448= = =

Construya el diagrama de caja y bigotes correspondiente.

Solucin. Clculo del rango intercuartil: Q 3 1I Q Q 10.448 9.586 0.862= = =

Clculo de la distancia Q1.5I 1.5 0.862 1.293= =

Clculo de los lmites inferior y superior de los bigotes:

Lmite inferior: i 1 Qa L Q 1.5I 9.586 1.293 8.293= = = =

Lmite superior: s 3 Qd L Q 1.5I 10.448 1.293 11.741= = + = + =

Finalmente el diagrama de caja y bigotes se visualiza en la figura 4.

Figura 4. Diagrama de caja y bigotes del ejemplo

Ejemplo 2. La figura 5 representa un diagrama de caja por cada mes que muestra los

niveles de precipitacin de los ltimos 38 aos en la estacin de San Fernando de Apure.

ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SEP OCT NOV DIC

010

020

030

040

050

0

DIAGRAMAS DE CAJA MESES DE SAN FERNANDO

PREC

IPIT

ACI

N (m

m)

Figura 5. Niveles de precipitacin por mes medidos en la estacin de San Fernando



SOLUCIN.

a. Obtenga el salario promedio del grupo de obreros

SOLUCIN.

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7f x f x f x f x f x f x f xM60

8 22 11 27 4 32 7 37 12 42 9 47 9 52 225537.583

60 60

+ + + + + +=

+ + + + + + = =

b. Determine el porcentaje de obreros que tienen salarios mayores o iguales a 25.000 Bs pero

igual o menor a 44.000 Bs

SOLUCIN.

2 3 4 5f f f f 11 4 7 12 34Porcentaje 100 100 100 56.67%60 60 60

+ + + + + += = =

c. Calcule la moda SOLUCIN.

Clase modal:

Salario (Bs/sem)

Punto medio

Frecuencia absoluta

Frecuencia absoluta acumulada

Frecuencia relativa

Frecuencia relativa acumulada

[40,44] 42 12 42 12/60 42/60

14. PROBLEMAS RESUELTOS

PROBLEMA 1.

Se toma una muestra de 60 obreros de una fbrica y se quiere hacer un estudio del salario

semanal (en miles de bolvares). Se obtuvo la siguiente informacin presentada en el cuadro

adjunto.

Salario

(Bs/sem)

Punto

medio

Frecuencia

absoluta

Frecuencia absoluta

acumulada

Frecuencia

relativa

Frecuencia relativa

acumulada

[20,24] 22 8 8 8/60 8/60

[25,29] 27 11 19 11/60 19/60

[30,34] 32 4 23 4/60 23/60

[35,39] 37 7 30 7/60 30/60

[40,44] 42 12 42 12/60 42/60

[45,49] 47 9 51 9/60 51/60

[50,54] 52 9 60 9/60 60/60


b. Determine el porcentaje de obreros que tienen salarios mayores o iguales a 25.000 Bs pero igual o menor a 44.000 Bs

c. Calcule la moda

d. Calcule el recorrido intercuartil



12 7 5 20 340

Moda 40 4 40 4 40 42.512 7 12 9 8 8 8

= + = + = + = = +

d. Calcule el recorrido intercuartil SOLUCIN.

25 6025 25 15100Clase P :14 15 14 15 15 P x< < =

Salario (Bs/sem)

Punto medio

Frecuencia absoluta


Frecuencia relativa


[25,29] 27 11 19 11/60 19/60

25

15 8 7 28 303P 25 4 25 4 25 27.55

11 11 11 11

= + = + = + =

75 6075 75 45100Clase P : 44 45 44 45 45 P x< < =

Salario (Bs/sem)

Punto medio

Frecuencia absoluta


Frecuencia relativa


[45,49] 47 9 51 9/60 51/60

75

45 42 3 12 417P 45 4 45 4 45 46.33

9 9 9 9

= + = + = + =

Finalmente

Q 3 1 75 25I Q Q P P 46.33 27.55 18.78= = = =

SOLUCIN. f3

3 360h 0.1 0.1 f 6= = = .

F33 360

H 0.3 0.3 F 18= = = .

3 2 3 2 2F F f 18 F 6 18 F 12= + = + = = . 4 3 4 4 4F F f 48 18 f 48 f 30= + = + = = .

Clase medianal: clase 4 N

324 4 4 4 4 4 4 4 4

4

F 30 18Me LI (LS LI ) 26 LI (LS LI ) 26 LI 0.4(LS LI )

f 30

= + = + = +

Ubicando el percentil 80:

80P : 80 4880

m 60 m 1 m 47 P x 38100

< + = = =

PROBLEMA 2.

60 datos han sido agrupados en una distribucin de frecuencias de 6 clases de igual amplitud.

Se dispone de la siguiente informacin acerca de esa distribucin de frecuencias: La mediana es 26

El 20% de los datos es superior a 38 3H 0.3=

3h 0.1=

4F 48=

11 5 62f f f= =

Halle la distribucin de frecuencias.



El percentil 80 se ubica en la clase 4.

80 803100 100

80 4 4 4 4 4 44

4 4 4

60 F 60 18P LI (LS LI ) 38 LI (LS LI )

f 30

38 LI (LS LI )

= + = +

= +

Resolviendo el sistema lineal:

4 4 4 4 4 4

4 4 4 4 4

LI 0.4(LS LI ) 26 0.6LI 0.4LS 26 LI 18

LI (LS LI ) 38 LS 38 LS 38

+ = + = =

+ = = =

1 2 3 4 5 6 1 2 5 6 1 2 5 6

1 2 5 6 1 2 1 2 1

1 2 1 1 5

f f f f f f 60 f f 6 30 f f 60 f f 36 f f 60

f f f f 24 4f f 24 4f F f 24

3f F 24 3f 12 f 4 f 4 f

+ + + + + = + + + + + = + + + + =

+ + + = + = + =

+ = = = = 6 8=

Finalmente 1 2 2 2 2 1f f F f F f 12 4 8+ = = = =

A continuacin se muestra la distribucin de frecuencias de los datos:

Clase

Inicio

Fin

Marca de

clase

(xi)

fi

Fi

hi

Hi

1 -42 -22 -32 4 4 4/60 4/60

2 -22 -2 -12 8 12 8/60 12/60

3 -2 18 8 6 18 6/60 18/60

4 18 38 28 30 48 30/60 48/60

5 38 58 48 4 52 4/60 52/60

6 58 78 68 8 60 8/60 1

SOLUCIN.

Distribucin simtrica:

1 2 3 4 5 6 1 2 3 3 2 1 1 2 3f f f f f f 300 f f f f f f 300 f f f 150+ + + + + = + + + + + = + + =

Relaciones entre las frecuencias:

2 1 3 1 1 1 1 1 6 2 5 3 4f 3f , f 2f f 3f 2f 150 f 25 f , f 75 f , f 50 f= = + + = = = = = = =

Informacin de la mediana: Clase medianal: clase 3 N

223 3 3 3 3 3 3

3

F 150 100Me LI (LS LI ) 25 LI (LS LI ) LS

f 50

= + = + =

Informacin del percentil: Ubicacin:

91.667P : 91.667 27591.667

m 300 m 1 m 274 P x 35100

< + = = =

PROBLEMA 3. Considere un lote de 300 muestras distribuidas en forma simtrica en seis intervalos de igual

amplitud. Se dispone de la siguiente informacin acerca de esa distribucin de frecuencias:

La mediana es 25

El percentil 91.667 es 35

2 1f 3f=

3 1f 2f=




El percentil 91.667 se ubica en la clase 5.

491.667 5 5 5 5 5 5

5

5 5 5 5

275 F 275 200P LI (LS LI ) 35 LI (LS LI )

f 75

35 LI (LS LI ) 35 LS

= + = +

= + =

Amplitud (d) del intervalo de clase: 5 32d LS LS 35 25 10 d 5= = = =

A continuacin se muestra la distribucin de frecuencias de los datos:

Clase

Inicio

Fin

Marca

de clase

(xi)

fi

Fi

hi

Hi

1 10 15 12.5 25 25 25/300 25/300

2 15 20 17.5 75 100 75/300 100/300

3 20 25 22.5 50 150 50/300 150/300

4 25 30 27.5 50 200 50/300 200/300

5 30 35 32.5 75 275 75/300 275/300

6 35 40 37.5 25 300 25/300 1

SOLUCIN.

Informacin suministrada:

4 6 1 5 3 4 5 6 2 1 6f 2f , f f , f 25 , f f f 19 , f 3f , LI 20= = = + + = = =

Se sabe que

1 2 3 4 5 6 1 1 1 1f f f f f f 60 f 3f 25 19 60 4f 16 f 4+ + + + + = + + + = = =

Por lo tanto:

2 5f 12 , f 4= = .

Por otro lado

4 5 6 6 6 4f f f 19 3f 4 19 f 5 f 10+ + = + = = =

Hasta ahora se tiene la siguiente informacin:

PROBLEMA 4.

Para estudiar la cantidad de errores ortogrficos cometidos por un conjunto de 60 estudiantes

al tomar un dictado, se organizaron los datos en una tabla de distribucin de frecuencias de

seis clases de igual amplitud. De dicha distribucin solo se conoce la siguiente informacin:

a. en la cuarta clase se tiene el doble de datos que en la sexta clase b. las clases uno y cinco tienen igual nmero de datos

c. la clase tres tiene la mayor cantidad de datos igual a 25

d. la mediana de los datos es igual a 10.24 e. el extremo inferior de la clase 6 es 20

f. por encima de la clase tres hay 19 datos

g. el nmero de datos de la clase dos triplica al nmero de datos de la clase uno Construya la distribucin de frecuencias para esos datos.



Clase Inicio Fin fi Fi hi Hi

1 a a d+ 4 4 4/60 4/60

2 a d+ a 2d+ 12 16 12/60 16/60

3 a 2d+ a 3d+ 25 41 25/60 41/60

4 a 3d+ a 4d+ 10 51 10/60 51/60

5 a 4d+ 20 4 55 4/60 55/60

6 20 a 6d+ 5 60 5/60 1

Informacin suministrada: mediana 10.24=

Clase medianal: 3. Entonces N

223 3 3

3

F 30 16mediana LI (LS LI ) a 2d d 10.24

f 25

64a d 10.24 25a 64d 256

25

= + = + + =

+ = + =

Por otro lado se tiene que a 5d 20+ =

Construyendo y resolviendo el sistema se obtiene

25a 64d 256a 0,d 4

a 5d 20

+ = = =

+ =

Finalmente la tabla de distribucin de frecuencias de los datos se muestra a continuacin:


1 0 4 4 4 4/60 4/60

2 4 8 12 16 12/60 16/60

3 8 12 25 41 25/60 41/60

4 12 16 10 51 10/60 51/60

5 16 20 4 55 4/60 55/60

6 20 24 5 60 5/60 1

SOLUCIN.

PROBLEMA 5. Se tienen los datos correspondientes al peso (en Kg.) de 200 productos, organizados en una

distribucin de frecuencias formada por 6 intervalos de clases de igual amplitud, con las

caractersticas siguientes: La diferencia entre el percentil 90 y el percentil 2 es 0.88

Si se elimina el 5% inferior de los datos y el 10% superior de los datos, el peso promedio es

de 0.5776 Kg La primera clase contiene el 5% de los datos La mediana es el lmite superior de la tercera clase La frecuencia acumulada absoluta de la segunda clase es 40 4 3F F 64 =

6 55f 4f=

Halle la distribucin de frecuencias de estos datos.



Informacin suministrada:

90 2P P 0.88 = , 1f 10= , 3Me LS= , 2F 40= , 4 3F F 64 =

Clculos

2 1 2 2 2F 40 f f 40 10 f 40 f 30= + = + = =

4 3 3 4 3 4F F 64 F f F 64 f 64 = + = =

3 3 3 3 33 3

100 40 100 40Me LS LI (LS LI ) 1 f 60

f f

= = + = =

Ubicando el percentil 2 y el percentil 90:

2P :

2 4

2m 200 m 1 m 3 P x

100< + = =

90P :

90 180

90m 200 m 1 m 179 P x

100< + = =

2 20100 100

2 1 1 1 1 1 1 1 1 11

200 F 200 0P LI (LS LI ) LI (LS LI ) LI 0.4(LS LI )

f 10

= + = + = +

90 904100 100

90 5 5 5 5 5 5 5 5 55

200 F 200 164P LI (LS LI ) LI (LS LI ) LI 0.8(LS LI )

f 20

= + = + = +

90 2 5 1 5 5 1 1P P (LI LI ) 0.8(LS LI ) 0.4(LS LI ) 4d 0.4d 0.88 d 0.2 = + = + = =

5 5 5

i i i i 2 3 4 5

i 2 i 2 i 2

1fx 0.5776 fx 98.192 30x 60x 64x 16x 98.192

170

15(2a d) 30(2a 3d) 32(2a 5d) 8(2a 7d) 98.192

170a 3 18 32 11.2 98.19

= = =

= = + + + =

+ + + + + + + =

+ + + + =

2 170a 64.2 98.192

a 0.2

+ =

Finalmente la tabla de distribucin de frecuencias de los datos se muestra a continuacin:

Clase

Inicio

Fin

Marca

de clase

(xi)

fi

Fi

hi

Hi

1 0.0 0.2 0.1 10 10 0.05 0.05

2 0.2 0.4 0.3 30 40 0.15 0.20

3 0.4 0.6 0.5 60 100 0.30 0.50

4 0.6 0.8 0.7 64 164 0.32 0.82

5 0.8 1.0 0.9 20 184 0.10 0.92

6 1.0 1.2 1.1 16 200 0.08 1.00



SOLUCIN.

Codificacin de la informacin suministrada:

50 1 2 3 5 6 7 6 2 3 5

7 7 2 10 1 2 3 4 5 6 7

Me P 20 ; f f f 10 ; f f f 25 ; f f f ; f 11

f 6 ; f 2f ; P 10 ; f f f f f f f 50

= = + + = + + = = + =

= = = + + + + + + =

Usando algunas de las anteriores relaciones se tiene que

7 2 5 6 3 1 4f 6 f 3 ; f 11 f 8 f 5 f 2 f 15= = = = = = =

Se tiene hasta ahora la siguiente distribucin de frecuencias:

Clase

Inicio

Fin

Marca de clase (xi)

fi

Fi

hi

Hi

1 a a + d a + d/2 2 2 0.04 0.04

2 a + d a + 2d a + d + d/2 3 5 0.06 0.10

3 a + 2d a + 3d a + 2d + d/2 5 10 0.10 0.20

4 a + 3d a + 4d a + 3d + d/2 15 25 0.30 0.50

5 a + 4d a + 5d a + 4d + d/2 11 36 0.22 0.72

6 a + 5d a + 6d a + 5d + d/2 8 44 0.16 0.88

7 a + 6d a + 7d a + 6d + d/2 6 50 0.12 1.00

De la distribucin anterior se observa que la clase medianal es la clase 4 y se puede inferir que 20

es el lmite superior de la clase 4, por lo tanto se tiene que a 4d 20+ = . Por otro lado se puede

inferir tambin que el percentil 10 est en la clase 2 y 10 es su lmite superior. Este hecho genera

la ecuacin a 2d 10+ = . De las dos ecuaciones se tiene que a 0 ; d 5= = . Por lo tanto

Clase Inicio Fin Marca de clase (xi) fi Fi Hi Hi

1 0 5 2.5 2 2 0.04 0.04

2 5 10 7.5 3 5 0.06 0.10

3 10 15 12.5 5 10 0.10 0.20

4 15 20 17.5 15 25 0.30 0.50

5 20 25 22.5 11 36 0.22 0.72

6 25 30 27.5 8 44 0.16 0.88

7 30 35 32.5 6 50 0.12 1.00

PROBLEMA 6.

Se desea distribuir en 7 clases los datos de la vida til, medida en meses, de 50 bateras para

automviles. Para ello se dispone de la siguiente informacin acerca de esa distribucin: La mediana de la vida til de las bateras es de 20 meses

Las tres primeras clases contienen un total de 10 datos

La mitad de los datos est en las tres ltimas clases

La suma de los datos de las clases 2 y 3 es igual al nmero de datos de la clase 6

En la clase 5 hay 11 datos y en la clase 7 hay 6 datos

7 2f 2f= y 10P 10=

Obtenga la distribucin de frecuencias de la vida til de las 50 bateras.



1. Coloque al lado de cada proposicin la letra V o F segn sea verdadera o falsa

respectivamente.

a. Los datos discretos slo se pueden expresar con nmeros enteros b. Un histograma es una serie de rectngulos, cada uno proporcional en ancho al nmero de

elementos que caen dentro de una clase especfica de datos

c. Todos los valores de los datos se toman en cuenta cuando se calcula la mediana del conjunto

d. La desviacin estndar se mide en las mismas unidades que las observaciones del conjunto

de datos

2. Subraye la respuesta que considere correcta.

a. Cul de las afirmaciones siguientes acerca de los rectngulos de un histograma es correcta?

i. Los rectngulos tienen una altura proporcional al nmero de elementos de las clases

ii. Por lo general existen cinco rectngulos en cada histograma iii. El rea de un rectngulo depende slo del nmero de elementos de la clase en

comparacin con el nmero de elementos de todas las dems clases

iv. Todas las anteriores b. Cul es la principal suposicin que se hace cuando se calcula la media de datos

agrupados?

i. Todos los valores son discretos ii. Cada valor de una clase es igual a su punto medio

iii. Ningn valor se presenta ms de una vez

iv. Cada clase contiene exactamente el mismo nmero de valores c. En cul de estos casos sera la moda ms til como indicador de la tendencia central?

i. Cada valor de un conjunto de datos se presenta solamente una vez

ii. Todos los valores de un conjunto de datos, excepto tres, se presentan slo una vez. Los tres valores se presentan 100 veces cada uno

iii. Todos los valores de un conjunto de datos se presentan 100 veces cada uno

iv. Todas las observaciones de un conjunto de datos tienen el mismo valor d. El cuadrado de la varianza de un conjunto de datos representa

i. La desviacin estndar

ii. La media iii. El alcance

iv. Ninguna de las anteriores

e. Por qu es necesario elevar al cuadrado las diferencias con respecto a la media cuando se calcula la varianza de la poblacin?

i. Para que los valores extremos no afecten el clculo

ii. Porque es posible que el tamao de la poblacin sea pequeo

15. PROBLEMAS PROPUESTOS



iii. Algunas de las diferencias sern positivas y otras negativas

iv. Ninguna de las anteriores

3. Halle la media y la mediana de los primeros n nmeros naturales.

4. Halle la media y la mediana de los cuadrados de los primeros n nmeros naturales.

5. Halle la varianza muestral y la varianza muestral corregida de los primeros n nmeros

naturales.

6. Se toma una muestra de 60 obreros de una fbrica y se quiere hacer un estudio del salario semanal (en miles de bolvares). Se obtuvo la siguiente informacin presentada en el cuadro

adjunto.

Salario

(Bs/sem)

Punto

medio

Frecuencia

absoluta

Frecuencia absoluta

acumulada

Frecuencia

relativa

Frecuencia relativa

acumulada

[20,24] 22 8 8 8/60 8/60

[25,29] 27 11 19 11/60 19/60

[30,34] 32 4 23 4/60 23/60

[35,39] 37 7 30 7/60 30/60

[40,44] 42 12 42 12/60 42/60

[45,49] 47 9 51 9/60 51/60

[50,54] 52 9 60 9/60 60/60


b. Determine el porcentaje de obreros que tienen salarios mayores o iguales a 25.000 Bs pero igual o menor a 44.000 Bs

c. Calcule la moda

d. Calcule el recorrido intercuartil

7. 60 datos han sido agrupados en una distribucin de frecuencias de 6 clases de igual amplitud.

Se dispone de la siguiente informacin acerca de esa distribucin de frecuencias: La mediana es 26

El 20% de los datos es superior a 38 3H 0.3=

3h 0.1=

4F 48=

11 5 62f f f= =


8. Considere un lote de 300 muestras distribuidas en forma simtrica en seis intervalos de igual amplitud. Se dispone de la siguiente informacin acerca de esa distribucin de frecuencias:

La mediana es 25

El percentil 91.667 es 35

2 1f 3f=



3 1f 2f=


9. Para estudiar la cantidad de errores ortogrficos cometidos por un conjunto de 60 estudiantes

al tomar un dictado, se organizaron los datos en una tabla de distribucin de frecuencias de

seis clases de igual amplitud. De dicha distribucin solo se conoce la siguiente informacin:

a. en la cuarta clase se tiene el doble de datos que en la sexta clase

b. las clases uno y cinco tienen igual nmero de datos c. la clase tres tiene la mayor cantidad de datos igual a 25

d. la mediana de los datos es igual a 10.24

e. el extremo inferior de la clase 6 es 20 f. por encima de la clase tres hay 19 datos

g. el nmero de datos de la clase dos triplica al nmero de datos de la clase uno

Construya la distribucin de frecuencias para esos datos.

10. Se tienen los datos correspondientes al peso (en Kg.) de 200 productos, organizados en una

distribucin de frecuencias formada por 6 intervalos de clases de igual amplitud, con las

caractersticas siguientes:

La diferencia entre el percentil 90 y el percentil 2 es 0.88

Si se elimina el 5% inferior de los datos y el 10% superior de los datos, el peso promedio

es de 0.5776 Kg

La primera clase contiene el 5% de los datos

La mediana es el lmite superior de la tercera clase La frecuencia acumulada absoluta de la segunda clase es 40 4 3F F 64 =

6 55f 4f=

Halle la distribucin de frecuencias de estos datos.

11. En un torneo de ftbol se conoce que el 15% de los jugadores ha anotado ms de 5 goles.

Hay dos jugadores que se disputan el liderato del torneo con 8 goles. El 30% de los jugadores

ha anotado 4 5 goles, sabiendo adems que la cantidad de jugadores es la misma para

ambas categoras. La cuarta parte de los jugadores anot un gol y el nmero de jugadores

que anot 2 goles es el doble del nmero que anot 3 goles. Por otro lado, se sabe que slo

un jugador ha anotado 7 goles. Los datos anteriores son relativos a aquellos jugadores que

anotaron al menos un gol y estos representan el 60% del total de 100 jugadores en el torneo.

Obtenga la tabla de frecuencias para estos datos.

12. Un complejo Sistema de Telecomunicaciones GSM est formado por 1000 nodos. El

Departamento de Estadstica Operativa que monitorea al Sistema de Telecomunicaciones se

encarg de recopilar las fallas que se presentaron en cada uno de los nodos durante un ao.

Los datos obtenidos corresponden a aquellos nodos que presentaron al menos una falla, que

representan el 90% del total de los nodos. Los resultados fueron los siguientes:

El nmero de nodos que presentaron 2 fallas es el mismo que el cudruple del nmero de

nodos que sufrieron 4 fallas



Solo el 20% de los nodos han presentado ms de 5 fallas

Una cuarta parte de los nodos han presentado 3 5 fallas

Solo el 20% de los nodos present una falla

El mismo nmero de nodos que presentaron 4 fallas tambin presentaron 7 fallas

El 70% de los nodos presentaron menos de 5 fallas

Slo 30 nodos presentaron un mximo de 8 fallas cada uno

a. Halle la distribucin de frecuencias de los datos

b. Calcule media, moda y mediana para la distribucin anterior

13. En una liga de bisbol aficionado slo 30 bateadores batearon por encima de 300 puntos. Los

1200 jugadores con turnos legales para ser tomados en cuenta han sido distribuidos en seis

clases de igual ancho donde el percentil 97,5 coincide con el lmite superior de la clase cinco.

Por otro lado, el tercer cuartil es 270 y coincide con el borde inferior de la clase cuatro. El

nmero de jugadores en la primera clase es el triple del nmero en la tercera clase mientras

que en la segunda clase hay el doble de jugadores que en la tercera. Finalmente, se conoce

que el 14,5% de los jugadores pertenece a la cuarta clase. Halle la distribucin de

frecuencias.

14. Una prestigiosa compaa ha decidido contratar a una compaa de recursos humanos para

que gestione la contratacin de varios ingenieros para el prximo proyecto que se va a licitar.

Esta compaa de recursos humanos tiene las calificaciones de una prueba tcnica presentada

por 800 ingenieros logrando distribuir en clases esta informacin. La informacin que se tiene

es la siguiente:

Las notas estn distribuidas en 7 clases de igual amplitud

El 10% superior de las notas supera el valor 96

La mitad de los datos est por debajo de 60

La clase 4 es una clase modal y contiene el 30% de los datos

Por encima de esa clase modal esta el 20% de las notas

La primera y la ltima clase contienen cada una 80 datos

La segunda clase contiene la tercera parte de los datos de la tercera clase

El percentil 85 es 84 puntos

a. Obtenga la tabla de distribucin de frecuencias b. Determine el rango intercuartlico

15. Pensando en la seleccin de estudiantes para su ingreso al Sistema de Educacin Superior, se han escogido los 5000 mejores estudiantes de aquellos que solicitan estudiar la carrera de

Ingeniera Elctrica. Para la escogencia de estos 5000 aspirantes se tom en cuenta el

promedio de sus asignaturas cursadas y aprobadas en los primeros cuatro aos de estudios de

educacin media. Se sabe que el promedio de notas de esta muestra de 5000 estudiantes es

de 15.94. Los promedios de notas para estos 5000 estudiantes han sido distribuidos en 8

clases de igual amplitud. De esta distribucin de frecuencias se conoce adems lo siguiente:

El primer cuartil es 15 y coincide con el borde inferior de la quinta clase

El percentil 90 es 18 y coincide con el borde superior de la sptima clase

El nmero de datos en la clase 4 es igual a la suma de los datos de las clases 2 y 3



Las clases 5 y 6 tienen cada una 4 veces el contenido de la primera clase

La sptima clase tiene 1250 datos

Obtenga la tabla de distribucin de frecuencias

16. Una mquina produce tornillos cuya longitud nominal es de 10 cm de largo. Se considera que un tornillo est en especificaciones si su longitud difiere menos de 2 mm de la longitud

nominal. La produccin de una hora correspondiente a 1500 tornillos, se ha distribuido en 7

clases de igual amplitud, con las caractersticas siguientes:

En las clases uno y siete hay igual cantidad de tornillos

El total de tornillos por encima de la clase cinco excede al total de la clase dos por cinco

En las dos primeras clases hay un total de 180 tornillos

Hasta la clase seis hay 1450 tornillos acumulados

El 37% de los tornillos cae en la cuarta clase

El percentil 27,33, igual a 9,95 cm, coincide con el lmite superior de la clase tres

La longitud promedio de los 1500 tornillos es de 10,033 cm

a. Obtenga la tabla de distribucin de frecuencias

b. Qu porcentaje de tornillos est en especificaciones?

17. A continuacin se presentan unos diagramas de cajas para los datos de precipitacin por mes

de la estacin meteorolgica de San Fernando en el estado Apure.

ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SEP OCT NOV DIC

010

020

030

040

050

0

DIAGRAMAS DE CAJA MESES DE SAN FERNANDO

PREC

IPIT

ACI

N (m

m)

Analice el siguiente grfico considerando los siguientes aspectos de inters: media aritmtica y

mediana por mes, datos atpicos, rango intercuartlico y comportamiento de la precipitacin.

18. Una empresa productora de antenas satelitales tiene tres mquinas dedicadas a la produccin de antenas cuyo radio de pantalla debe ser de 11 cm. Debido a desperfectos en las mquinas

el radio de cada pantalla vara dificultando la calidad de las antenas producidas. Por esta

razn, el Departamento de Control de Calidad de la empresa ha decidido tomar una muestra

de 11 antenas de cada mquina para verificar su radio. La tabla siguiente presenta los

resultados obtenidos de las muestras tomadas.



N de la muestra Mquina 1 Mquina 2 Mquina 3

1 11,6 12,2 11,8

2 11,2 11,7 11,2

3 11,3 11,7 11,5

4 11,8 12,0 11,5

5 11,7 11,9 11,6

6 11,0 11,5 11,2

7 9,6 11,4 10,4

8 10,1 11,4 10,2

9 10,2 11,2 11,2

10 9,5 11,4 10,7

11 9,6 11,3 10,4

Radios dados en centmetros

Con base en los diagramas de caja y bigotes para las 3 mquinas, qu podra decir usted acerca

de la calidad del lote de produccin analizado? Tome en cuenta localizacin y dispersin de la

muestra en su respuesta.

19. Se desea distribuir en 7 clases los datos de la vida til, medida en meses, de 50 bateras para

automviles. Para ello se dispone de la siguiente informacin acerca de esa distribucin:

La mediana de la vida til de las bateras es de 20 meses

Las tres primeras clases contienen un total de 10 datos

La mitad de los datos est en las tres ltimas clases

La suma de los datos de las clases 2 y 3 es igual al nmero de datos de la clase 6

En la clase 5 hay 11 datos y en la clase 7 hay 6 datos

7 2f 2f= y 10P 10=

Obtenga la distribucin de frecuencias de la vida til de las 50 bateras.

20. Construya el diagrama de caja y bigotes para los datos del ejercicio anterior.



RESPUESTAS

1. a. F b. F c. F d. V 2. a.i b.ii c.ii d.iv e.iii 3. n 1

M Me2

+= =

4.

2

2

n 1n impar

2(n 1)(2n 1)M , Me

6 n 1 1n par

2 4

+

+ + = =

+ +

5. 2

2 2c

n 1 n(n 1)S , S

12 12

+= =

6. a. 37.583 b. 56.67 c. 42.5 d. 18.78 7.

Clase

Inicio

Fin

Marca de

clase

(xi)

fi

Fi

hi

Hi

1 -42 -22 -32 4 4 4/60 4/60

2 -22 -2 -12 8 12 8/60 12/60

3 -2 18 8 6 18 6/60 18/60

4 18 38 28 30 48 30/60 48/60

5 38 58 48 4 52 4/60 52/60

6 58 78 68 8 60 8/60 1 8.

Clase

Inicio

Fin

Marca

de clase

(xi)

Fi

Fi

hi

Hi

1 10 15 12.5 25 25 25/300 25/300

2 15 20 17.5 75 100 75/300 100/300

3 20 25 22.5 50 150 50/300 150/300

4 25 30 27.5 50 200 50/300 200/300

5 30 35 32.5 75 275 75/300 275/300

6 35 40 37.5 25 300 25/300 1 9.


1 0 4 4 4 4/60 4/60

2 4 8 12 16 12/60 16/60

3 8 12 25 41 25/60 41/60

4 12 16 10 51 10/60 51/60

5 16 20 4 55 4/60 55/60

6 20 24 5 60 5/60 1



10.

Clase

Inicio

Fin

Marca

de clase

(xi)

fi

Fi

hi

Hi

1 0.0 0.2 0.1 10 10 0.05 0.05

2 0.2 0.4 0.3 30 40 0.15 0.20

3 0.4 0.6 0.5 60 100 0.30 0.50

4 0.6 0.8 0.7 64 164 0.32 0.82

5 0.8 1.0 0.9 20 184 0.10 0.92

6 1.0 1.2 1.1 16 200 0.08 1.00 11.

12.

MEDIA = 3.31 MEDIANA = 3 MODA = 2



13.

14.

RANGO INTERCUARTIL = 20 15.



16.

PORCENTAJE EN ESPECIFICACIONES: 70%

19.

Clase

Inicio

Fin

Marca de

clase

(xi)

fi

Fi

hi

Hi

1 0 5 2.5 2 2 0.04 0.04

2 5 10 7.5 3 5 0.06 0.10

3 10 15 12.5 5 10 0.10 0.20

4 15 20 17.5 15 25 0.30 0.50

5 20 25 22.5 11 36 0.22 0.72

6 25 30 27.5 8 44 0.16 0.88

7 30 35 32.5 6 50 0.12 1.00

Jos Luis Quintero



Distribucin defrecuencias y medidas de localizacin

[1] CANAVOS, GEORGE. Probabilidad y Estadstica. Aplicaciones y Mtodos. Mc Graw Hill (1995)

[2] DEVORE, JAY. Probabilidad y Estadstica para Ingeniera y Ciencias. Quinta edicin.

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Disponible en Mdulo 7 Universidad Catlica Andrs Bello (2011)

[4] HINES, WILLIAM y MONTGOMERY, DOUGLAS. Probabilidad y Estadstica para Ingeniera. Tercera edicin. CECSA (1999)

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BIBLIOGRAFA GENERAL

Jos Luis Quintero

Ingeniero de Sistemas (I.U.P.F.A.N.) Magister Scientiarum enInvestigacin de Operaciones (U.C.V.) Doctor en Ciencias dela Computacin: rea de inters: Clculo Numrico yOptimizacin (U.C.V.). Postdoctor en Ciencias Gerenciales(U.N.E.F.A.). Actualmente se encuentra culminando el

Fundamentos de Estadstica Descriptiva rene en unsolo material los puntos de inters de este segundo tema parael curso de Probabilidades que forma parte del conjunto deasignaturas del programa de estudios de Ingeniera deTelecomunicaciones. Aspectos de inters como organizacinde los datos en tablas de distribucin de frecuencias, medidasde tendencia central, medidas de localizacin, medidas de

(U.N.E.F.A.). Actualmente se encuentra culminando elDoctorado en Ingeniera: rea de inters: Estadstica (U.S.B.).Investigador y profesor de pregrado y postgrado de la Facultadde Ingeniera de la Universidad Central de Venezuela. Profesorde la Escuela de Ingeniera de Telecomunicaciones de laUniversidad Catlica Andrs Bello.

http://www.joseluisquintero.com/

de tendencia central, medidas de localizacin, medidas dedispersin y diagramas de caja y bigotes forman parte delcontenido del tema. Se resuelven y proponen problemas adistintos niveles que buscan ilustran con situaciones sencillaslos aspectos tericos desarrollados en el tema. Determinadosgrficos estn generados con el programa MATLAB.

El presente material se encuentra disponible para descargarde forma gratuita del sitio web

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