Fundamentos de Lógica

¿Qué es una proposición?

¿Cuáles son los conectivos lógicos?

¿Cómo utilizar las tablas de verdad?

¿Qué es una tautología?

¿Qué es una contradicción?

Proposiciones

Una proposición es una declaración sobre la que se puede decidir su veracidad o falsedad. Es decir, es un enunciado verdadero o es un enunciado falso, pero no puede ocurrir ambas cosas.

Por ejemplo

SON PROPOSICIONES“El 2 es un número primo”.“ 25 es divisible entre 3 ”.“ 6 + 5 = 10 ”.“El aula A1-205 está en el

2do piso”.

NO SON PROPOSICIONES“ Pare inmediatamente!” “¿15 y 18 tienen la misma cantidad de divisores?”.“ En realidad, ¿a qué se refiere?”.“ Lávalo”.

Proposiciones.

Llamaremos proposiciones a aquellas frases del lenguaje natural, las cuales podamos afirmar que son verdaderas o falsas.

Ejemplos de proposiciones:

Dos es par

Tres es mayor que diezTres más cuatro es nueve

Se usan letras minúsculas p, q, r, s,...etc., para denotar proposiciones simples o atómicas.

Una proposición es simple o atómica, si ninguna parte de ella es a su vez una proposición.

Ejemplos de proposiciones simples o atómicas:

“Dos es un número par".

"Tres es mayor que cuatro".

"Tres más cinco es mayor que cuatro".

La propiedad fundamental de una proposición, es que ella puede ser verdadera o falsa, pero no ambas cosas a la vez.

El valor de verdad de una proposición simple depende exclusivamente del enunciado de la proposición.

“Dos es un número par". "Tres es mayor que cuatro". "Tres más cinco es mayor que cuatro".

Es verdadero.Es Falso.Es verdadero.

Algunos enunciados o proposiciones son compuestos, es decir, están formados de proposiciones simples y de conectivos que los unen.

2 es un número entero y es positivo

Si llueve, el piso se moja

Si es un entero, entonces es real

Si estudio y hago los ejercicios, entonces apruebo y paso de curso

El valor de verdad de una proposición compuesta depende completamente del valor de verdad de cada proposición simple y del modo como se les reúne o conecta para formar la proposición compuesta.

Proposiciones

¿Cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones? (Explica por qué lo son o no lo son)

1) “ El trabajo en grupo es lo más fácil que existe”. 2) “ 2 es divisor de 15”.3) “ ¿Fuiste a la manfestación del sábado?”.4) “ El aula A1-205 de la Unimet tiene más de 50 mts.

cuadrados”.5) “ x + 3 es un entero positivo”.6) “ Tranquilícese”.

Respuestas: Sólo son proposiciones los enunciados dados en 2 y 4

Conectivos Negación. Es aquel conectivo que niega la proposición, y normalmente se utiliza anteponiendo “no”, o anteponiendo la frase es falso que.

Simbólicamente la negación se puede representar en lenguaje matemático, de tres formas diferentes:  I.- Anteponiendo el símbolo “” . “ p” significa “no p”.

II.- Sobreponiéndole una barra “ p “

III.- Anteponiendo el símbolo “” . “ p” significa “no p”.

Notación

Para denotar o representar las proposiciones se usan letras minúsculas: p, q, r, s, ...

p: “El aula A1-204 está en el 2do piso”

q: “El aula A1-204 es iluminada”

r: “El 5 es un entero par”

s: “La Tierra es el único planeta con vida en el universo”

t: “El aula A1-204 no está iluminada”

u: “Un decenio tiene 10 años”

Negación

El enunciado “No se cumple p” es una proposición llamada“la negación de p” y se denota por p.

Ejemplo p: Nuestro salón está en el 2do piso.p : Nuestro salón no está en el 2do piso.p : No es cierto que nuestro salón esté en el 2do piso.

Si p es verdadera entonces p es falsa. En cambio, si p esfalsa, p es verdadera.La tabla de verdad de la negación es:

p p

V F

F V

Notación

Las proposiciones se combinan mediante conectivos,por ejemplo, “y”, “o”, “pero”, “si ... entonces”…

Por ejemplo p: “El aula A1-204 está en el 2do piso”;

q: “El aula A1-204 es iluminada”.pueden combinarse como:

“El aula A1-204 está iluminada y está en el 2do piso”

“Si el aula A1-204 está iluminada entonces se encuentra en el 2do piso”

Conjunción. Es aquel conectivo que une dos proposiciones, incluyéndolas obligatoriamente a ambas.

Se utiliza “y” como conectivo de conjunción.

"dos es par y tres es impar

Simbólicamente la conjunción “y” se representa en lenguaje matemático con el símbolo

y

Conectivos

La proposición resultante de conectar dos ó más proposiciones se denomina proposición compuesta.

Ejemplor : “El aula A1-205 está en el 2do piso pero es iluminada”

r es la proposición compuesta “p y q”

s: “Si el aula A1-204 está iluminada entonces se encuentra en el

2do piso” s es la proposición compuesta “Si q entonces p” ”

La conjunción de p y q es la proposición “p y q”que se denota por “p q”.La conjunción es verdadera, únicamente cuando ambasproposiciones que la componen son verdaderas.

Ejemplo Sea p: “2 divide a 68”

q: “2 divide a 25”. p q : “ 2 es divisor de 68 y de 25”.

Valor de verdad: p q es falsa

Conectivos

Disyunción. Es aquel conectivo que une dos proposiciones ofreciendo una alternativa entre una proposición o la otra, así como también ofrece la posibilidad que sean ambas.

"dos es mayor que siete o siete es mayor que dos".

La proposición está compuesta por las proposiciones simples

"dos es mayor que siete"

junto con

" siete es mayor que dos",

conectadas por la palabra "o“, que constituye el conectivo de disyunción, y su símbolo es “”

ConectivosLa disyunción de p y q, es la proposición “p o q”, que se denota

por “p q”. El “o” se usa en el sentido inclusivo; como en “La solución de (x–2).(y+2) = 0 es x = 2 o y = -2”.

La disyunción es falsa, únicamente, cuando ambasproposiciones son falsas.Ejemplo: Sean p: “3 divide a 6” q: “3 divide a 7” p q : “ 3 divide a 6 ó a 7”

Valor de verdad: p q es verdadera.

Las tablas de verdad de los dos conectivosanteriores son:

p q

V

V

V

F

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F F

Tablas de verdad

p y q

p o q

DISYUNCIÓN EXCLUYENTE

• Es la disyunción pero que su valor de verdad acepta una sola proposición como verdadera.

• No pueden ocurrir las dos proposiciones al mismo tiempo.• Ejemplo: Me caso con Rosita o con Doris• Hoy a las 3 voy al Parque Arauco o al Alto Las Condes.

• Su notación es:

p q

p q p q

Valores de verdad Disyunción excluyente

VFV

V

F

F F

V

FV

V

F

Implicación o Condicional

Es aquél conectivo en el que se establece una condición para que se cumpla la otra proposición.

normalmente se establece como:

“Si se cumple p, entonces se cumple q”

p q

Conectivos

La implicación es la proposición “Si p entonces q ”, que se denota por p q

A p se le llama hipótesis (o antecedente) y a q se le llama tesis (o consecuente).

La proposición p q, se puede leer también como Si p, q

p sólo si qp es suficiente para qq es necesaria para p

p implica qq se deduce de p

Conectivos

Ejemplo:p: “Los polvos de jardín contienen veneno”q: “Los polvos de jardín son de colores brillantes”.

La proposición p q puede estar expresada como:

“Si los polvos de jardín contienen veneno entonces son de colores brillantes”;

“Los polvos de jardín contienen veneno sólo si son de colores brillantes”;

“Son necesarios los colores brillantes para los polvos de jardín que contienen veneno”;

“Los polvos de jardín son de colores brillantes si contienen veneno”.

Conectivos“Si p entonces q ” es verdadera, cada vez que la condición p es verdadera obliga a que la condición q también sea verdadera. Es decir, con el cumplimiento de p, se promete el cumplimiento de q.

La tabla de verdad para la implicación es

p q p qV V V

V F F

F V V

F F V

La implicación es falsa, únicamente, cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. En este caso, a pesar de “estar dadas las condiciones”, no se cumple la promesa.

ConectivosEjemplo:p: “La respuesta automática se puede enviar”q: “El sistema de archivos está lleno”.

p q : “Si la respuesta automática no se puede enviar, el archivo está lleno”.

q p :“La respuesta automática no se puede enviar cuando el archivo está lleno”.

q p :“La respuesta automática no se puede enviar si el archivo está lleno”.

p q : “Si la respuesta automática se puede enviar, el archivo no está lleno”.

ConectivosEjercicioSi x = 1, ¿cuál es el valor de la variable x después de ejecutarse

cada una de las siguientes instrucciones?a) si 2 + 2 = 4 entonces x:=x + 1b) si (1+1=3) or (2+2=3) entonces x:=x + 1c) si (2+3=5) and (4+3=7) entonces x:=x + 1d) si x < 3 entonces x:=x + 1

Respuesta:

a) x = 2 c) x = 2

b) x = 1 d) x = 2

¿ x = ??

Bicondicional o doble implicancia.

Es aquel conectivo de la forma:

“se cumple p si y solamente si se cumple q”.

Esto significa que también se cumple la situación inversa,

es decir que como se cumple q, también se cumple p.

p q

Conectivos

La proposición “p si y sólo si q” se denomina bicondicional y sedenota por “p q” Es verdadera cuando p y q tienen los mismos valores deverdad, es decir, es verdadera si ambas componentes sonverdaderas o ambas son falsas. Una manera de abreviar “si y sólo si” es “sii”.

“p si y sólo si q” se puede expresar como “p es condición necesaria y suficiente para q”.

Ejemplop : 24 es un número par.q : 24 es divisible por 2.p q : “ 24 es un número par si y sólo si 24 es divisible entre 2”.

Conectivos

• La tabla de verdad para el bi-condicional es

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F V

Verdad lógica o Tautología.

Son aquellas proposiciones que siempre son verdad, sin importar los valores de verdad de las proposiciones que la componen.

p q p q (pq)p

Consideremos la proposición ((p q) p)

FV VVF VF F

VFF

F

VVVV

Tautología y contradicción

Una tautología es una proposición compuesta que es verdadera para todos los valores de verdad de lasproposiciones que la componen.Por ejemplo: p p “ Soy un hombre o no soy un hombre”

Una contradicción es una proposición compuesta que es falsa para todos los valores de verdad de lasproposiciones que la componen. Por ejemplo: p p

“Soy un hombre pero no soy un hombre”

Contingencia

Son aquellas proposiciones que pueden ser verdad o falso, dependiendo de los valores de verdad de las proposiciones que le componen.

Contradicciones

Son aquellas proposiciones que siempre son falsas, sin importar los valores de verdad de las proposiciones que la componen.

Verdades lógicas usuales

Ley de Idempotenciap p pp p p

Ley Asociativa(p q ) r p (q r)(p q) r p (q r)

Ley Conmutativap q q pp q q p

Ley Distributiva

Ley de Identidadp F p Vp Vp F

qp)qp( qp)qp(

Leyes de DeMorgan

(p q) (p r)

(a b) + (a c)a (b + c )

p (q r)

p (q r)

(p q) (p r)

F p V p

Implicancia

qpqp

)pq()qp(qp

Ley de Absorciónp (p q) pp (p q) p

Leyes del Complemento

p p V

p p F

p p V F

F V

qpqp

)qp()qp(

)pq()qp((qp

p))qq(p(

Algunas equivalencias

• A A F Contradicción• A A T Tautología• A A Doble negación• A B B A Conmutatividad• A B B A Conmutatividad• A (B C) (A B) (A C) Distributividad• A (B C) (A B) (A C) Distributividad• A (A B) A Absorción• A (A B) A Absorción

Utilizando las equivalencias lógicas

qpqp

qpqp Implicancia

qpqp Negación

qpqp DeMorgan

Utilizando las equivalencias lógicas

q)qp()qp(

Implicancia

distribución

)qp()qp(

pqp qqp

)pp( pq qp qq distribución

F qq )pp( ( )

Vq

F q ( ) q

qF q

Ejercicios 1) Halla los valores de verdad de las proposiciones si sabes que p q es falsa. a) p q b) q p c) p p d) p q

Piensa un rato y justsiica tus respuestas

3) Construye una tabla de verdad para cada una de las

proposiciones

a) ( p ¬q ) q

b) ( p q ) ( p q )

c) q (¬p ¬q)

2) Halla los valores de verdad de p, q, r, s, t para que la proposición

( p q ) r ( s t ) sea falsa.

¿Cuáles de estas proposiciones es una tautología?

¿Puedes construir una contradicción a partir de alguna de ellas? ¿Cuál?

FormalizaciónLa formalización es el proceso en el que se traducen proposiciones

del lenguaje cotidiano al lenguaje formal o simbólico.

4) Expresa las siguientes proposiciones usando p, q y los conectivos.Sean p: “La temperatura está sobre los 17°C”

q: “ Llueve”

a) La temperatura está sobre los 17°C pero llueve.b) Ni la temperatura supera los 17°C ni llueve.c) No es cierto que llueva con la temperatura superior a los 17°C.d) Llueve cuando la temperatura está sobre los 17°C.e) Que la temperatura esté sobre los 17°C es suficiente para que no llueva.f) O bien llueve o bien la temperatura es superior a 17°C.

Formalización5) Sean p: “El mensaje es revisado para buscar algún virus”

q: “ El mensaje fue enviado desde un sistema desconocido”

Expresa las siguientes proposiciones usando p, q y los conectivos.

a) El mensaje se revisa para buscar algún virus siempre que se haya enviado desde un sistema desconocido.

b) El mensaje fue enviado desde un sistema desconocido pero no revisó para buscar ningún virus.

c) Cuando el mensaje no es enviado desde un sistema desconocido no se revisa para buscar ningún virus.

d) El mensaje fue enviado desde un sistema desconocido pero no se reviso para buscar ningún virus.