FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA(patrones, generalización, abstracción, predicción, variables, ecuaciones, funciones)

El aprendizaje es un proceso de maduración

El papel que juegan lasMatemáticas en la vidaCotidiana es el de detectarengaños y mentiras

Papelito de entrada (ejemplos rápidos) Use la información para orientar la clase del día en curso. Explica una idea que recuerdes de la clase anterior. Nombra una idea que no comprendiste de la tarea para hoy. Explica que fue difícil (o fácil) de la tarea asignada para hoy.Papelito de salida (ejemplos rápidos) En la clase de hoy aprendí ______________.Hoy estuve confundido con _________.

“Leer, Escribir, Pensar, y Hablar el lenguaje del Álgebra”

1.- INTRODUCCIÓN 1.1.- Abstracción 1.2.- Aritmética 1.3.- Definición de Álgebra 1.4.- Pensamiento algebraico2.- PATRONES 2.1.- Reconocer, Describir, Extender, Generalizar y Predecir Patrones 2.2.- Patrones repetitivos o de crecimiento 2.3.- PATRONES: Tablas, Gráficas, Ecuaciones, Regla Verbal3.- ECUACIONES 3.1.- Significado del signo “=” 3.2.- Tipos de Ecuaciones: Identidades, Condicionales, Contradictorias, Fórmulas. 3.3.- Resolver Ecuaciones4.- VARIABLES 4.2.- La variable como: Generalizadoras de Patrones, Cantidad que varía, Número Generalizado, Incógnita, Relación Funcional 4.3.- MODELO 3UV ( Tres usos de la variable ) 4.3.1.- Incógnita específica 4.3.2.- Número general 4.3.3.- Relación funcional

ABSTRACCIÓN.- Una noción o idea es abstracta cuando resume la esencia de muchos ejemplos similares considerando la semejanza como un nuevo objeto mental. La idea abstracta es llamada concepto.

LA ABSTRACCIÓN: La abstracción es una estructura conceptual que nos sirve para pensar y transformar la realidad, sin tener que operar con objetos físicos, es decir la matemática como ciencia formal trabaja con conceptos ideales.

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“El lenguaje de la aritmética se centra en respuestas mientras que el álgebra se centra sobre relaciones”

ARITMÉTICA“La aritmética consiste en elegir de manera intuitiva las incógnitas intermedias así como los datos y las operaciones a utilizar para calcularlas, mientras que el álgebra consiste en extraer relaciones sin comprometerse en un cálculo, y después tratar las ecuaciones de manera casi automática sin tener en cuenta el sentido. Por otro lado, el álgebra exige más a menudo que se manipulen incógnitas, lo que es antiintuitivo: los alumnos rechazan razonar y operar sobre incógnitas o sobre números desconocidos”

El foco de la actividad algebraica y la naturaleza de las respuestas:” el foco de la actividad aritmética es encontrar respuestas numéricas particulares mientras que el foco en la actividad algebraica es deducir procedimientos y relaciones, expresarlos en forma general y manipular con ellas.”

El uso de la notación y la convención en álgebra: en aritmética, + significa realizar la operación de adición y el = significa escribir la respuesta, en cambio en álgebra + puede representar no sólo la acción de adicionar sino también el resultado de la correspondiente acción. De la misma manera el signo = puede representar no sólo la acción de escribir el resultado sino también una relación de equivalencia.

El significado de las letras y variables: en aritmética las letras se usan principalmente como etiquetas para representar objetos concretos mientras que en álgebra el uso de la letra está destinado principalmente a representar valores. En casos donde la letra, para la aritmética, representa un valor numérico, este es único; mientras que en álgebra las letras se usan para generalizar números…

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA.- Es el estudio de patrones, funciones, y relaciones numéricas.ÁLGEBRA.- Significa: Patrones, Ecuaciones, Relaciones, Funciones y Variables.ÁLGEBRA.- Se trata de pensamiento matemático generalizado que se presenta al ver patrones y relaciones. Se trata de expresar éstos patrones en palabras, símbolos, diagramas y gráficas, e interpretar lo que es observado en estas formas de expresión.ÁLGEBRA.- Es la habilidad para reconocer, describir, generalizar patrones y para construir los modelos matemáticos que simulen el comportamiento de los fenómenos del mundo real que exhibe patrones observados.ÁLGEBRA.- Representar y analizar situaciones matemáticas y estructuras usando símbolos algebraicos.ÁLGEBRA.- Usar modelos matemáticos para representar y entender relaciones cuantitativas.ÁLGEBRA.- Usar el razonamiento algebraico para formar generalizaciones las cuales posteriormente se expresarán en forma de ecuaciones usando la notación algebraica.ÁLGEBRA.- Es la rama de las matemáticas que se ocupa de las relaciones y propiedades de la cantidad.ÁLGEBRA.- Proporciona un lenguaje simbólico en el cual podemos expresar nuestras conjeturas generalizadas.ÁLGEBRA.- Proporciona un sistema de símbolos manipulable en el cual podemos expresar y manipular la generalidad.ÁLGEBRA.- El álgebra es la rama de la matemática que usa letras, símbolos y/o caracteres para representar números y expresar relaciones matemáticas. Esos símbolos se llaman variables.ÁLGEBRA.- Un lenguaje que ayuda a traducir situaciones de la vida real a forma matemática de manera de poder analizar, cambiar y responder a la pregunta “Qué pasa si…?”ÁLGEBRA.- Para esta propuesta, la acepción del álgebra es entendida como “ el estudio de relaciones funcionales, el estudio y generalización de patrones y relaciones numéricas, el estudio de estructuras abstraídas de cálculos y relaciones,

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el desarrollo y la manipulación del simbolismo, y la modelización como dominio de expresión y formalización de generalizaciones”.

TEMAS QUE ESTUDIA EL ÁLGEBRAGENERALIZACIÓN.- Trascender los ejemplos particulares y tratar con un número infinito de casos particulares.

(1) Entender patrones, relaciones, y funciones.(2) Representar y analizar situaciones matemáticas y estructuras usando símbolos algebraicos.(3) Usar modelos matemáticos para representar y entender relaciones cuantitativas.(4) Analizar el cambio en varios contextos.(5) Modelar situaciones del mundo real, con el propósito de hacer predicciones acerca de estas situaciones.

ENCONTRAR Y USAR PATRONES – Diciendo y registrando lo que es visto en diferentes formas. ARITMÉTICA GENERALIZADA – HACIENDO ABSTRACIÓN DE CÁLCULO.- Es la capacidad de pensar acerca de cálculos independientemente de los

números particulares que son usados.

PENSAMIENTO ALGEBRAICO.- ( Generalización, Abstracción, Pensamiento Analítico, Pensamiento Dinámico, Modelado ).Proporciona las herramientas necesarias para que los estudiantes representen relaciones que ellos observan a través de patrones y entonces generalicen estas relaciones que representan los cambios que ellos pueden observar en varios contextos.PENSAMIENTO ALGEBRAICO.- Trata acerca de generalizar operaciones aritméticas y operandos sobre cantidades desconocidas.PENSAMIENTO ALGEBRAICO.- Ser capaz de usar la variable de manera flexible, esto es, cuando logran integrar sus diferentes usos y diferenciarlos.PENSAMIENTO ALGEBRAICO.- Gran parte del razonamiento algebraico se refiere a la comprensión y la manipulación de los símbolos matemáticos y poder usarlos correctamente en varios contextos.PENSAMIENTO ALGEBRAICO.- Implica representar, generalizar y formalizar patrones y regularidades en cualquier aspecto de la Matemática. A medida que se desarrolla este razonamiento, se va progresando en el uso del lenguaje y el simbolismo necesario para apoyar y comunicar el pensamiento algebraico, especialmente las ecuaciones, las variables y las funciones. Este tipo de razonamiento está en el corazón de la Matemática concebido como la ciencia de los patrones y el orden, ya que es difícil encontrar un área de la Matemática en la que formalizar y generalizar no sea central.

Algunas características del razonamiento algebraico que son sencillas de adquirir por los estudiantes, y por tanto deben conocer los docentes, son:

1.- Los patrones o regularidades que existen y aparecen de manera natural en la Matemática. Pueden ser reconocidos, ampliados, o generalizados. El mismo patrón se puede encontrar en muchas formas diferentes. Los patrones se encuentran en situaciones físicas, geométricas y numéricas.

2.- Podemos ser más eficaces al expresar las generalizaciones de patrones y relaciones usando símbolos.

3.- Las variables son símbolos que se ponen en lugar de los números o de un cierto rango de números.

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4.- Las funciones son relaciones o reglas que asocian los elementos de un conjunto con los de otro, de manera que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo uno del segundo conjunto. Se pueden expresar en contextos reales mediante gráficas, fórmulas, tablas o enunciados.

5.- El uso de símbolos, habitualmente letras, que designan elementos variables o genéricos de conjuntos de números, u otras clases de objetos matemáticos.

6.- La expresión de relaciones entre objetos mediante ecuaciones, fórmulas, funciones, y la aplicación de una reglas sintácticas de transformación de las expresiones.

7.- Las variables y constantes cumplen una función describiendo situaciones del mundo real.

8.- Dada una situación del mundo real en palabras, representarla como ecuación, gráfica y tabla.

9.- Dada una ecuación lineal, encuentra el set de pares ordenados que la soluciona.

10.- Evaluar expresiones con variables.

11.- Dada una expresión verbal, escribirla de manera algebraica.

12.- Resolver ecuaciones lineales de un paso.

13.- Evaluar una expresión e identificar las propiedades usadas en la solución.

14.- Dado un patrón geométrico, describirlo de manera algebraica.

15.- Dada una situación del mundo real, representarla con una ecuación que incluya una variable y una constante.

Aunque el cálculo literal, basado en las propiedades estructurales de los conjuntos numéricos se suele iniciar en secundaria, los procesos de simbolización, expresión de relaciones e identificación de patrones, son propios de los primeros niveles de algebrización.La identificación y designación de las variables que caracterizan el sistema es el primer paso de la modelización matemática, que vendrá seguido del establecimiento de relaciones entre dichas variables. Lo primero que se trabaja, entonces, es el modelo, la manipulación formal de las expresiones simbólicas que muestra las propiedades del sistema modelizado y ello permite obtener nuevos conocimientos sobre el mismo.

PENSAMIENTO ALGEBRAICO.- Representar, analizar, y generalizar una variedad de patrones con tablas, gráficas, palabras y, cuando sea posible,

con reglas simbólicas. Relacionar y comparar diferentes formas de representación para una relación. Identificar funciones como lineales y no lineales y contrastar sus propiedades en tablas, gráficas, o ecuaciones. Desarrollar un inicial entendimiento conceptual de diferentes usos de variables. Explorar relaciones entre expresiones simbólicas y gráficas de líneas, prestar particular atención al significado de

intercepción y la pendiente. Usar la notación algebraica para representar situaciones y la resolución de problemas, especialmente en aquellas

que involucran relaciones lineales.

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Reconocer y generar formas equivalentes para simple expresiones algebraicas y resolver ecuaciones lineales. Modelar y resolver problemas usando varias representaciones, tales como: Gráficas, Tablas, y Ecuaciones. Usar gráficas para analizar la naturaleza del cambio en las cantidades con relaciones lineales. Usar modelos matemáticos para representar y entender relaciones cuantitativas. La generalización de secuencias numéricas y modelos geométricos. La generalización de las leyes que intervienen en las relaciones numéricas. La resolución de problemas. La resolución de ecuaciones con soporte concreto. La introducción en situaciones funcionales. La creación de modelos de fenómenos físicos y matemáticos.

1) Usar o crear un modelo matemático, si es necesario2) Obtener y registrar datos, si es necesario3) Organizar datos y buscar patrones4) Describir y extender estos patrones5) Generalizar lo encontrado, algunas veces en una regla o descripción verbal6) Usar lo encontrado, incluyendo cual

PATRONES(Reconocer, Extender, Describir, Generalizar y Predecir Patrones)

Patrones están dondequiera. Usted puede ver patrones en las construcciones, flores, e insectos.Es importante que usted busque patrones, los describa y extienda muchos tipos de patrones.

Reconocer y describir patrones y usar patrones para hacer predicciones es una importante habilidad matemática.Reconocer patrones, describirlos y expresar esos patrones de diferentes maneras son una de las claves para la generalización en matemáticas. Se han propuesto desde las investigaciones al respecto, como las de Mason varias aproximaciones posibles que pueden conducir a los estudiantes a la construcción de fórmulas: la visualización; la manipulación de la figura en la cual se basa el proceso de generalización, facilitando, en relación con ésta, la construcción de la fórmula; la formulación de una regla recursiva que muestra cómo construir los términos siguientes a partir de los precedentes; y el hallazgo de un patrón que los guíe directamente a la fórmula.

PATRONES ALGEBRAICOS.- ( PATRONES = FUNCIONES )Son generalmente definidos como una secuencia repetida de objetos, acciones, sonidos, eventos, o símbolos. Estas secuencias pueden cambiar pero el patrón es el mismo.El estudio de patrones y funciones, ya sea repetitivos o de crecimiento, pueden ser reconocidos, extendidos y generalizados.Cuando un patrón es identificado, puede ser expresado numéricamente, gráficamente, o símbolicamente y usado para predecir como el patrón continuará. Este modelo matemático del patrón tiene un poder tanto descriptivo como predictivo.

PATRONES ALGEBRAICOS.- Si se sabe como algo está cambiando, y se conoce el patrón, entonces se puede predecir.PATRONES ALGEBRAICOS.- Identificarán, describirán, completarán y crearán patrones crecientes y de repetición. Encontrarán reglas para patrones y encontrarán patrones en el mundo real. Investigarán y analizarán cambios en las variables.PATRONES ALGEBRAICOS.-¿Dónde podemos encontrar patrones?¿Cómo podemos reconocer un patrón?

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Reconoce, lee, describe, identifica, completa y crea patrones de repetición y crecientes que incluyan: modelos concretos y números.

Completa tablas basadas en una regla para revelar patrones Reconoce, describe e identifica patrones de su diario vivir. Utiliza palabras, modelos y símbolos para demostrar relaciones de igualdad: geométricas, numéricas y

operacionales. Investiga y analiza cómo un cambio en una variable afecta a otra. Los patrones se encuentran a todo nuestro alrededor Los patrones siguen reglas Las herramientas matemáticas se utilizan para resolver problemas del mundo real. Comprender la diferencia entre los patrones en repetición y los crecientes Comprender los patrones en la vida diaria.

1) PATRONES REPETITIVOS. Un patrón repetitivo tiene un elemento central que se repite una y otra vez.2) PATRONES DE CRECIMIENTO.

REGISTRANDO LA INFORMACIÓN PARA ENCONTRAR PATRONES1.- Identifique la parte constante del patrón.2.- Identifique la parte variable del patrón.3.- Identificar que sucede una y otra vez.4.- Descubrir la regla iterativa.4.- Encuentre la regla general para el patrón dado y siga desarrollando el patrón con la regla general.

1.- TABLAS O T-CHARTS

EJEMPLO: Completa la siguiente sucesión y encuentra el n-ésimo término.

ENÉSIMO CONSTANTE + PARTE VARIABLE TOTAL1 2 2

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PATRONES

TABLAS

GRÁFICAS ECUACIONES

REGLAVERBAL

2 2 + 5 7

3 2 + 5 + 5 12

4 2 + 5 + 5 + 5 17

ENÉSIMO CONSTANTE + PARTE VARIABLE TOTAL1 2 2

2 2 + 5(1) 7

3 2 + 5(2) 12

4 2 + 5(3) 17

ENÉSIMO CONSTANTE + PARTE VARIABLE TOTAL1 2 2

2 2 + 5(2 – 1) 7

3 2 + 5( 3 – 1 ) 12

4 2 + 5( 4 – 1 ) 17

ENÉSIMO CONSTANTE + PARTE VARIABLE TOTAL1 2 2

2 2 + 5( 2 - 1 7

3 2 + 5( 3 – 1 ) 12

4 2 + 5( 4 – 1 ) 17

n 2 + 5( n – 1 ) 2 + 5n - 5

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PATRÓN BLOCKHOUSE

ACTIVIDAD.- Usar un diagrama T-chart para registrar la información, buscar el patrón, y encontrar y checar la regla que se utiliza para construir el PATRÓN BLOCKHOUSE.Escribir las expresiones en el centro de las columnas del diagrama T-chart en forma expandida. El cual se verá así:

Escribir las expresiones en el centro de la columna del diagrama T-chart en una forma expandida ayuda a los estudiantes a encontrar la regla más fácilmente. Si es necesario, se debe describir como cada una de las formas expandidas refleje como el patrón está cambiando en una forma que lo relacione a cualquier número de etapa.

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Es decir, cuando un patrón es detectado en la cual algunas cosas están cambiando o variando y otras permanecen igual o constantes, se da la oportunidad para expresar una generalidad.

ECUACIONES

DIFERENTES TIPOS DE IGUALDADES EN MATEMÁTICASEl signo “=” ( igual ) indica que lo que se encuentra a la izquierda de este signo, primer miembro de la igualdad, y lo que se encuentra a la derecha de este signo, llamado el segundo miembro de la igualdad, son dos maneras de designar al mismo objeto, o dos escrituras diferentes del mismo.Ejemplo:Cuando escribimos 2 + 3 = 1 + 4 queremos decir que 2 + 3 y 1 + 4 son dos formas diferentes de escribir el mismo número 5.Según la naturaleza de los elementos que intervienen en una igualdad numérica se obtienen diferentes tipos de igualdades:

Si en la igualdad aparecen variables y la igualdad es verdadera para cualquier valor que tomen las variables, se dice

que se trata de una identidad:

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ECUACIÓN

Si la igualdad es verdadera sólo para ciertos valores de las variables se dice que se trata de una ecuación: a + 3 = 7 La igualdad se usa también para expresar la relación de dependencia entre dos o más variables, hablándose en este

caso de una fórmula:

ECUACIONES.- Una sentencia matemática en la cual dos expresiones son iguales.FÓRMULAS.- Una regla que muestra la relación entre cantidades.

RESOLVER ECUACIONESResolver problemas de palabras requiere excelente comprensión de lectura y habilidades de traducción.

1.- Determina lo que se pide hallar en el enunciado e introducir una variable para representar la cantidad desconocida. Algunas palabras clave como, qué, cuántos, y encontrar, señalan la cantidad desconocida.

2.- Buscar relaciones matemáticas entre las cantidades conocidas y desconocidas. Algunas palabras proporcionan claves lingüísticas de posibles igualdades y operaciones.

3.- Escribir las relaciones mediante expresiones algebraicas.

4.- Tratar de escribir alguna cantidad de dos maneras distintas, lo que producirá una ecuación.

5.- Traducir la solución matemática encontrada al lenguaje original del problema.

6.- Evaluar la solución ¿Has encontrado lo que se pedía? ¿Tiene sentido la respuesta? Por ejemplo, si el problema era encontrar el área de un rectángulo, la respuesta -4 sería absurdo.

VARIABLES(Incógnitas, generalización, cantidades que varían)

CONCEPTO DE VARIABLE Y SUS DIFERENTES USOS EN ÁLGEBRA ELEMENTAL

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VARIABLES.- Una variable es un valor que puede cambiar en el ámbito de un determinado problema o conjunto de operacionesVARIABLES.- Las variables son uno de los instrumentos más poderosos para expresar las regularidades que se encuentran en matemáticas. El principal interés del uso de letras ( variables ) en matemáticas es que permiten expresar relaciones generales entre los objetos de una manera eficaz.

VARIABLES.- Una variable es aquello que varía o puede variar. Se trata de algo inestable, inconstante y mudable. En otras palabras, una variable es un símbolo que representa un elemento no especificado de un conjunto dado. Este conjunto es denominado conjunto universal de la variable o universo de la variable, y cada elemento del conjunto es un valor de la variable.Por ejemplo: x es una variable del universo {2,4,6,8}. Por lo tanto, x puede tener cualquiera de dichos valores, es decir que puede ser reemplazada por cualquier número par menor a 9.

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VARIABLES

INCÓGNITA

NÚMEROGENERALIZADO

CANTIDADQUE VARÍA

RELACIÓNFUNCIONAL

GENERALIZADORAS DE PATRONES

CANTIDADDESCONOCIDA

Una variable es un elemento de una fórmula, proposición o algoritmo, que puede ser sustituido o puede adquirir un valor cualquiera dentro de su universo. Los valores de una variable pueden definirse dentro de un rango o estar limitados por condiciones de pertenencia.

Puede hablarse de distintos tipos de variable: las variables dependientes, que son aquellas que dependen del valor que asuman otros fenómenos o variables; las variables independientes, cuyos cambios en los valores determinan cambios en los valores de otra; variables cualitativas, que expresan distintas cualidades, características o modalidades; y variables cuantitativas, que se enuncian mediante cantidades numéricas, entre otras.

INCÓGNITA.- En matemáticas, una incógnita es un elemento constitutivo de una expresión matemática. La incógnita permite describir una propiedad verificada por algún tipo de “valor desconocido”, por lo general números. En el caso de una ecuación, es un valor tal que, al sustituirlo por la incógnita, se verifica la igualdad; en este caso se le llama solución.La incógnita también es utilizada en otros casos, como por ejemplo una inecuación. Un problema puede tener una o varias incógnitas, pero cada una se expresa bajo la forma de un solo y único símbolo.

En un sentido moderno, una incógnita es una variable independiente asociada a una función matemática. Históricamente, la incógnita fue utilizada en la modelización de problemas algebraicos relacionados con polinomios.

Una incógnita posee las mismas propiedades algebraicas que los objetos matemáticos a los que representa, de este modo, es posible sumar x con x – por ejemplo – para obtener 2x. De manera totalmente general, las operaciones aplicables a los posibles valores de la incógnita, son válidas en la manipulación de la propia incógnita. Es cuando se opera de este modo que se puede hablar verdaderamente de <<incógnita>> en el sentido matemático del término.

CONSTANTE.- Es una valor que se mantiene sin cambios, aunque a menudo desconocida o indeterminada.

MODELO 3UV ( Tres usos de la variable )1.- INCÓGNITA ESPECÍFICA Se entiende a la variable como incógnita específica, cuando se reconoce la existencia de algo desconocido que se puede determinar; cuando se simboliza y posteriormente se comprueba dicho resultado mediante una sustitución.

2.- NÚMERO GENERAL La variable como número general, abarca la interpretación de una literal como la representación de un número, el reconocimiento de patrones y deducción de métodos generales: tautologías, fórmulas y parámetros en ecuaciones.

3.- RELACIÓN FUNCIONAL La variable en una relación funcional se refiere al reconocimiento de que existe una correspondencia entre los valores de las variables involucradas, la determinación de una de las variables cuando se conoce el valor de la otra; identificando a su vez la relación entre cantidades y la variación de una cantidad que afecta a la otra independientemente de cómo se proporcione la información ( verbal, tabla o gráfica ).

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DIFERENTES USO DE VARIABLES EN ÁLGEBRA

PRIMER USO: COMO INCÓGNITA ESPECÍFICA

1.- Un número desconocido pero específico que puede ser calculado considerando las restricciones dadas.1.- Un valor determinado pero desconocido ( las ecuaciones son un ejemplo de esto ).1.- Donde la literal tiene un valor desconocido específico como en las ecuaciones.Para trabajar exitosamente con problemas y ejercicios que involucran la INCÓGNITA es necesario:

1.- Reconocer e identificar en una situación problemática la presencia de algo desconocido que puede ser determinado considerando las restricciones del problema.2.- Interpretar los símbolos que aparecen en una ecuación como la representación de valores específicos.3.- Sustituir la variable por el valor o los valores que hacen de la ecuación un enunciado verdadero.4.- Determinar la cantidad desconocida que aparece en ecuaciones o problemas, realizando las operaciones algebraicas o aritméticas.5.- Simbolizar las cantidades desconocidas identificadas en una situación específica y utilizarlas para plantear ecuaciones.6.- Interpretar la variable como un número cuyo valor o valores específicos se pueden determinar a partir de las restricciones de un problema dado.7.- Manipular los elementos que componen una ecuación, parámetros e incógnita, independientemente de la operación o las operaciones involucradas.8.- Identificar y simbolizar la incógnita en problemas específicos, susceptibles a representarse mediante una ecuación.9.- Reconocer e identificar en un problema la existencia de algo desconocido que se puede determinar10.-Interpretar el símbolo que aparece en una ecuación como un ente que puede tomar valores específicos11.- Sustituir el o los valores de la variable que hacen que la ecuación sea verdadera12.- Determinar la incógnita que aparece en ecuaciones o problemas llevando a cabo las operaciones algebraicas o aritméticas necesarias.13.- Identificar la incógnita en una situación específica y representarla simbólicamente en una situación.

SEGUNDO USO: COMO NÚMERO GENERAL O GENERALIZADO1.- Un número indeterminado comprendido dentro de un método general

1.- Cuando pueden tomar más de una valor ( el uso de los parámetros está asociado a las familias de funciones o de ecuaciones ).

1.- Aquélla que aparece en generalizaciones y en métodos generales.1.- Es decir, aquella que aparece en generalizaciones y en métodos generales. Podemos afirmar que es… un instrumento que se emplea para expresar una generalización. Cuando se quiere expresar matemáticamente un patrón, una regularidad o un método general, se usan las variables para representar los números generales involucrados…1.- Donde la letra puede tomar más de un valor, como en el caso de la expresión de patrones en sucesiones numéricas o figurativas.Para trabajar exitosamente con problemas y ejercicios que involucran el NÚMERO GENERAL es necesario:

1.- Reconocer patrones, percibir reglas y métodos en secuencias y en familias de problemas.2.- Interpretar un símbolo como la representación de una entidad general indeterminada que puede asumir cualquier valor.3.- Deducir reglas y métodos generales en secuencias y familias de problemas4.- Manipular ( simplificar, desarrollar ) la variable simbólica.

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5.- Interpretar la variable como representación de un número cualquiera en expresiones algebraicas como tautologías y expresiones abiertas.6.- Manipular la variable en ese tipo de expresiones.7.- Identificar y simbolizar el objeto general en situaciones particulares que pueden describirse en términos de una regla o método general.8.- Desarrollar la idea de método general distinguiendo los elementos variantes de los invariantes en familias de problemas similares, hasta llegar a la simbolización de un método general y del objeto general sobre el cual éste actúa9.- Manipular el símbolo para simplificar o desarrollar expresiones algebraicas.

TERCER USO: COMO RELACIÓN FUNCIONAL1.- Puede ser utilizado para representar una relación funcional entre dos cantidades cuyos valores cambian. Más aún, una variable puede utilizarse de diferentes formas en momentos distintos dentro de un mismo problema, decir, puede tener distintas caracterizaciones.

2.- La variable como una relación funcional, es decir, la variable representa números cuyo valor se mueve dentro de un rango de valores ligados entre sí por una relación.

3.- Cuando representan un rango especifico de posibles valores ( su uso está vinculado al tratamiento de funciones ).

4.- La variable en una relación de variación conjunta con otras variables que denominaremos variable en relación funcional.

5.- Las variables para expresar cantidades que varían conjuntamente. La relación de dependencia entre variables ocurre cuando el cambio en una variable determina el cambio en la otra.

6.- Relación Función, se presenta en una relación de variación conjunta con otras variables. Es decir, uno estático y uno dinámico, entendemos por este aspecto estático “cuando se pone énfasis en la correspondencia estática entre dos cantidades” y por un aspecto dinámico cuando “se ven las dos cantidades como entidades en movimiento y se percibe su comportamiento global de manera relacionable”

7.- Donde las literales son usadas para representar un rango específico de valores y se observa una relación existente entre dos conjuntos numéricos.

8.- Reconocer la correspondencia entre cantidades en sus diferentes representaciones: tabla, gráfica, problema verbal o expresión analítica.

9.- Determinar los valores de la variable dependiente cuando se conocen los de la variable independiente.

10.- Reconocer la variación conjunta de las variables que intervienen en una relación en cualquiera de sus formas de representación.

11.- Determinar los intervalos de variación de una de las variables cuando se conocen los de la otra.

12.- Expresar una relación funcional de manera tabular, gráfica y/o analítica, a partir de los datos de un problema.

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Para trabajar exitosamente con problemas y ejercicios que involucran VARIABLES EN RELACIÓN FUNCIONAL es necesario:1.- Reconocer la correspondencia entre variables relacionadas, independientemente de la representación utilizada ( tablas, gráficas, problemas verbales, expresiones analíticas ).2.- Determinar los valores de la variable dependiente, dados los valores de la independiente.3.- Determinar los valores de la variable independiente, dados los valores de la dependiente.4.- Reconocer la variación conjunta de las variables involucradas en una relación funcional, independientemente de la representación utilizada ( tablas, gráficas, problemas verbales, expresiones analíticas ).5.- Determinar los intervalos de variación de una de las variables, dado el intervalo de variación de la otra.6.- Simbolizar una relación funcional, basados en el análisis de los datos de un problema.

PARÁMETROS

1.- Las variables como constantes o parámetros. Es el caso de la letra a en la fórmula de la función de proporcionalidad y = ax.En un primer momento se ha de considerar que la letra a no varía y que sólo lo hacen de manera conjunta la x y la y. De esta manera se obtiene una función de proporcionalidad concreta. En este primer momento no hay diferencia entre tener y = ax o y = 2x. En un segundo momento se ha de considerar que a puede variar y tomar cualquier valor, con lo que obtenemos la familia de todas las funciones de proporcionalidad.

2.- Las variables y los parámetros están en el corazón del álgebra. El parámetro es una variable extra en una expresión algebraica o función que generaliza toda una clase de expresiones, toda una familia de funciones o un grupo de gráficas. El parámetro puede ser considerado una meta-variable: la a en y = ax + b puede jugar los roles de una variable ordinaria, un fijador de posición, una cantidad desconocida o que cambia pero ésta actúa en un nivel más alto que el caso de una variable. Por ejemplo, un cambio del valor del parámetro no afecta sólo un punto en particular sino completamente a la gráfica. Los diferentes roles de las variables son nuevamente considerados, pero ahora en un nivel más elevado, y la función genérica se convierte en el objeto de estudio. El concepto de parámetro además es adecuado para resaltar la abstracción de situaciones concretas, así que representaciones algebraicas más formales y generales se vuelven parte natural del mundo matemático de los estudiantes.

SEIS DIFERENTES MANERAS DE INTERPRETAR LOS SÍMBOLOS LITERALES

1.- LETRA EVALUADA. A la letra se le asigna un valor numérico.2.- LETRA NO UTILIZADA. La letra es ignorada o su existencia es reconocida pero no se le atribuye ningún significado.3.- LETRA COMO OBJETO. Se considera la letra como una abreviación del nombre de un objeto o como a un objeto en sí.

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4.- LETRA COMO INCÓGNITA ESPECÍFICA. La letra representa un número particular pero desconocido y los alumnos son capaces de operar directamente sobre ella.5.- LETRA COMO NÚMERO GENERALIZADO. Se considera que la letra representa o es capaz de asumir distintos valores.6.- LETRA COMO VARIABLE. Se considera que la letra representa un rango de valores no especificado y que existe una relación sistemática entre dos conjuntos de valores de este tipo.

FUNCIONESINTRODUCCIÓNUno de los conceptos más importantes en Matemáticas es el de función, ya se puede aplicar en numerosas situaciones de la vida cotidiana, y determinar las relaciones que existen entre magnitudes tanto en Matemáticas, Físicas, Economía, etc., y poder calcular el valor de una de ellas en función de otras de las que depende.

Ya desde hace años, se observaron fenómenos que estaban relacionados con otros, así el volumen de un gas a temperatura constante, está relacionado con la presión, la fuerza de atracción entre dos cuerpos se vio que estaba relacionada con la masa de esos cuerpos y la distancia que les separa, y el capital final de una inversión está determinado por el capital invertido y el tiempo que dure esa inversión, etc.

En cualquier área de las ciencias, existen leyes en las que se relacionan distintas magnitudes, temperatura-presión, masa-velocidad, intensidad del sonido-distancia, etc. Es decir, a partir de los valores de algunas magnitudes se obtienen los valores de otras de forma directa a través de fórmulas ya demostradas.

Un punto de origen del concepto de función nace precisamente de las relaciones que mantienen diferentes magnitudes, así pues la función se puede representar algebraicamente o de forma gráfica en la que se relacionan varias magnitudes entre sí.Mediante la representación gráfica de estas relaciones entre diferentes magnitudes, se pudo dar de forma visual esa relación e interpretarla de forma rápida y sencilla.

FUNCIONES ALGEBRAICAS.- Se utilizan para generalizar una relación de patrones que ha sido observada.Formas de representación: ( Diagramas, Tablas, Gráficas y Ecuaciones ) los cuales se usan para representar la relación funcional entre dos cantidades.FUNCIONES.- Analizar la relación funcional para explicar como el cambio en una cantidad resulta en el cambio de otra.FUNCIONES.- (Valor de Entrada, Valor de Salida) La capacidad para reconocer patrones y organizar datos que representan situaciones en la cual la entrada está relacionada a la salida por reglas funcionales bien definidas.FUNCIONES.- Una función se puede representar como una ecuación usando símbolos para las cantidades que cambian o varían.FUNCIONES.- Una función es una relación entre dos variables en la cual el valor de una variable, algunas veces llamada la salida, depende del valor de la otra, algunas veces llamada la entrada. Una característica importante de una función es que para cada entrada, hay exactamente una salida.FUNCIONES.- Describir un patrón e identificar la regla para determinar el valor de salida para cualquier valor de entrada.FUNCIONES.- Representaciones de una función: T-chart, Ecuación usando variables, y una Gráfica.FUNCIONES.- Estudio de relaciones entre cantidades que varían.FUNCIONES.- Un proceso que toma dos o más números como entrada y da como resultado un solo número.

FUNCIONES.- En las que los valores que toman una o más de las letras pueden variar de manera que conviene saber describir y estudiar la historia de estas variaciones.FUNCIONES.- Una cantidad variable que tiene relación con otra variable, como en y = 4x

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FUNCIONES.- Hay muchas situaciones en las que dos variables están relacionadas. Esta relación es una función cuando para cada valor de la variable independiente le corresponde un solo valor de la variable dependiente. Esta relación se puede expresar en forma de enunciado, gráfica, tabla y fórmula.

FORMAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN1.- TABLAS: Es una lista de pares ordenados de números.2.- GRÁFICA: Es una figura de los números sobre un plano cartesiano.GRÁFICA: Representación visual de una función.3.- ECUACIÓN: Es una expresión matemática que describe el patrón algebraicamente.

FUNCIONES LINEALESFORMA PUNTO-PENDIENTE: y = mx + b m = la pendiente b = intercepción con el eje verticalPENDIENTE(m) = Es el patrón que nos indica cómo se graficarán los puntos a través de los ejes x y yGRÁFICAS.- Un punto en un plano puede ser exactamente localizado si sus distancias, a los ejes x y y fueran dadas desde dos líneas formando ángulos rectos en el plano.PARES ORDENADOS O COORDENADAS.- (x,y) Se llaman así porque el orden es importante.

VALOR DE ENTRADA, VALOR DE SALIDA = PARES ORDENADOS = ( X, Y )

GENERALIZAR PATRONES.- ¿Cómo podemos investigar la relación en el patrón y desarrollar una regla para encontrar la etapa 20 del patrón sin tener que encontrar todos los términos que le preceden, es decir, hacer una predicción?.Una forma de contestar a esta pregunta está en buscar una forma más general de entender el patrón.

TÉRMINO GENERAL DE UNA SECUENCIA.- Término y Número del Término.Encontrar la relación entre el término y el número del término( término general ) puede ser expresado usando una expresión algebraica.

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DESCRIPCIÓN VERBAL DE LA REGLA DE UN PATRÓN = ECUACIÓN

ECUACIONES.- Una ecuación describe un patrón.VARIABLES.- Cuando una variable aparece más de una vez en una expresión algebraica, representa el mismo número cada vez que la variable es usada en el problema.

MODELOS VERBALES Y MATEMÁTICOS

SENTENCIA DEL IDENTIFICAR LAS OPERACIONES IDENTIFICAR ESCRIBIR EL ESCRIBIR EL OBTENER LAPROBLEMA INVOLUCRADAS LAS CANTIDADES MODELO MODELO ECUACIÓN DESCONOCIDAS VERBAL MATEMÁTICO

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