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FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERÍA

PROBLEMAS DE EXAMEN RESUELTOS

CURSO 2006-2007

2

CINEMCINEMÁÁTICATICAP07.01. EXAMEN A1. CURSO 2006/2007

Un avión vuela horizontalmente a una altura h sobre el suelo, con velocidad constante v0. En cierto instante deja caer un paquete, y en ese mismo momento un tirador situado exactamente debajo del avión realiza un disparo con el ángulo y velocidad apropiados para impactar en el avión en el mismo momento en que el paquete toque el suelo. Se supone que el rozamiento es despreciable. Usando los datos numéricos que aparecen abajo, se pide:a)b)c)

Determinar a qué distancia de la posición del tirador caerá el paquete.La altura del paquete sobre el suelo un segundo antes de estrellarse contra él.

Calcular con qué ángulo debe disparar el tirador, y cuál ha de ser la velocidad inicial de la bala para que haga blanco en el avión.

Datos numéricos: h = 500 m; v0 = 200 m/s; g = 9.8 m/s2

3

CINEMCINEMÁÁTICATICAP07.01.EXAMEN A1. CURSO 2006/2007 (CONTINUACIÓN)

X

Y

vB

θ

h

Avión

Bala

Paquete

d

Posición del avión como función del tiempotvx 0=

hy =

Posición del paquete como función del tiempo

tvx 0= 2 21 tghy −=

Ecuación de la trayectoria del paquete (eliminando el tiempo)

220

2

xvghy −=

ghvdx y

20

)0(2

===Abscisa del punto de choque

del paquete con el suelo (y = 0)

222

cos2tan x

vgxy

B θθ −=

2 21 sin tgtvy BB −= θ

tvx BB cosθ=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += 2

211 sin s

sB tgh

tv θ

sB t

dv cos =θ

Trayectoria de la bala

s

ss

B

B

td

tght

vv

/

211

cossintan

2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

==θθθ

θcos

sB t

dv =

º 3.26=θ

( )10 −= stvx

( )21 21

−−= stghy

Tiempo que emplea el paquete en caer al suelo:

0vdts =

Posición del paquete 1 s antes de tocar el suelo (t = ts-1):

m 3.2020=

m 1.94=

4950.0=

m/s 2.223=

(son desconocidos θ, v0)

Movimiento vertical de

la bala

Movimiento horizontal de

la bala

(Nótese que la bala y el paquete están volando el mismo tiempo durante el que recorren la altura h y la distancia horizontal d)

4

Un bloque de masa m1 está sujeto a una cuerda de longitud L1 fija por un extremo. Este bloque está situado sobre una superficie plana horizontal muy bien pulida, en la que el rozamiento puede considerarse despreciable, y se mueve describiendo una trayectoria circular en torno al punto de sujeción. Un segundo bloque m2 se une al primero mediante una cuerda de longitud L2, y se mueve también en trayectoria circular concéntrica con la primera (véase esquema). Dibujar el diagrama fuerzas para cada masa y determinar la tensión en cada una de las cuerdas si el tiempo que los bloques tardan en describir una órbita completa (periodo) es T.

DINDINÁÁMICAMICAP07.02. EXAMEN A1. CURSO 2006/2007

L1L2

m2

m1

5

DINDINÁÁMICAMICAP07.02. EXAMEN A1. CURSO 2006/2007 (CONTINUACIÓN)

gm r1

1L

gm r2

2Nr

2Fr

1121 NamFF rrr=−

2Nar

21

22

2222 LL

vmamF N +==

1Fr

1Nar

1Nr

2Fr

222 NamF rr=

1

21

1121 LvmamFF N ==−

21 LL +1L

( ) ( )212122 LLT

LLv +=+=πω

1112 LT

Lv πω ==

amF rr=∑

amF rr=∑

[ ] ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 2

212

2

21

2212

2

1

11

44 LLTLL

mLTL

mF ππ

( )[ ]212112

2

14 LLmLmT

F ++=π

( )2122

2

24 LLmT

F +=π

21

22

2222 LL

vmamF N +==

1

21

1121 LvmamFF N ==−

21

22

21

21

11 LLvm

LvmF

++=

Masa 2

Masa 1

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DINDINÁÁMICAMICAP07.03. EXAMEN B1. CURSO 2006/2007

0L

L

AM

M

(a) (b) (c)

Se dispone de un muelle de longitud natural L0 = 20 cm -figura (a)-. Cuando una masa M = 400 g se cuelga del muelle, su longitud se incrementa en L = 50 cm –figura (b)-. Finalmente, la masa colgante se hace oscilar después de haber estirado el muelle una longitud A = 20 cm –figura (c)-. Conteste las siguientes preguntas:

¿Cuál es la constante del muelle?Calcular el periodo de la oscilación.Calcular la posición de la masa 6.98 s después de comenzar las oscilaciones.Calcular el periodo de oscilación si se hubiese colgado la misma masa M de dos muelles idénticos a éste colocados paralelamente entre si.

a)b)c)

d)

0.5 p0.5 p

1.0 p

2.0 p

7

DINDINÁÁMICAMICAP07.03. EXAMEN B1. CURSO 2006/2007 (CONTINUACIÓN)

Ley de Hooke: LkF =

LMgk =

Mg

F

MgF

a)

=N/m 125.6

40.08.925.0

=⋅

=2a ley de Newton:

kMT π2= s 27.1

125.625.02 == π c) ( )δω += tAy cos m 10.0=A

Mk

=ω rad/s 95.425.0

125.6==( )ty .954cos1.0

b)=

Elegimos t = 0 cuando y = A( ) m 01.098.6.954cos1.0 −=⋅=y Ay −=lo cual implica δ = 0

d) 2a ley de Newton: MaMgFF =++ 21

(Los muelles son idénticos)

Ley de Hooke: ykF 1 −= ykF 2 −=

Mgykdt

ydM +−= 22

2

gyMk

dtyd

+−= 22

2

8

DINDINÁÁMICAMICAP07.03. EXAMEN B1. CURSO 2006/2007 (CONTINUACIÓN)

M

1F 2F

Ecuación de la oscilación con dos muelles:

y gyMk

dtyd

=+ 22

2

am

Escribamos la ecuación como

La solución de esta ecuación es

gydt

yd=+ 2

2

2

ω

donde

2Mk

=ω

( )δω ++= tAgk

My cos2

El periodo es 2

22'

kMT π

ωπ

== s 0.90 125.6225.02 =

⋅= π

La pareja de muelles idénticos en paralelo se comporta como un único muelle de constante 2 k.

Mg

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ESTESTÁÁTICATICAP07.04. EXAMEN B2. CURSO 2006/2007

Una varilla rígida de longitud L = 1.80 m y masa M = 6 kg está unida a una articulación (punto O de la figura). La varilla se mantiene inclinada mediante un cable de acero unido a la pared. Los ángulos entre el cable, la varilla y la pared son θ1 = 60º y θ2 = 50ºrespectivamente. Un contrapeso m = 4 kg cuelga del extremo opuesto de la varilla. a) Dibuje el diagrama de sólido libre para la varilla (2 p).b) Calcular la tensión en el cable y las componentes rectangulares de la reacción en el punto O (2 p). M

1θ

2θ

mL

O

290 θ−

2θ2θ

1θ

OMg

mg

T

xRyR

X

Y

DSL

β

21180 θθβ −−=

ββ−180

β−180

1180 θ−

L

( ) ( ) ( ) 0180sin180sin180sin2 1 =−+−−−−=∑ θββτ TLmgLLMgO

gmMT 2

sinsin

1⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

θβ

( ) 090cos 2 =−−=∑ θTRF xx gmMRx 2

sin

sin sin

1

2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

θθβ

( ) 090sin 2 =−−−+=∑ mgMgTRF yy θ

( ) gmMgmMRy 2sin

cos sin

1

2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+=

θθβ

N 2.50 N; 0.57 N; 4.74 === yx RRT

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SSÓÓLIDO RIGIDOLIDO RIGIDOP07.05. EXAMEN B1. CURSO 2006/2007

El mecanismo dibujado en la figura se compone de dos barras rígidas, cada una de ellas de la misma longitud L = 25 cm. La barra AB gira en torno a la rótula A con velocidad angular ωAB = 0,50 rad/s. La barra BC se une a la barra AB y puede girar en torno al extremo B, mientras que el extremo C desliza sobre el suelo. En el instante representado en el dibujo, los ángulos son θ1 = 60º y θ2 = 50º . Se pide:

a) La velocidad del punto B, vB, y el ángulo formado por vB con la horizontal. 2 p

4 pb) La velocidad angular de la barra BC, ωBC, y la velocidad del extremo C, vC.

AC

ABω

LL

θ1

θ2

B

11

SSÓÓLIDO RIGIDOLIDO RIGIDOP07.05. EXAMEN B1. CURSO 2006/2007 CONTINUACIÓN)

a) Cálculo de la velocidad vB y del ángulo formado por vB con la horizontal.

Definición producto escalar:

A

ABω

L

θ1

B

ABABAB rvv /rrrr

×+= ω

( ) ( )11 sincos 0 θθω jiLkv ABB

rrrr+×−+=

Varilla AB

ABr /r

( )11/ sincos θθ jiLr AB

rrr+= j

r

ir

kr

0=Avr

( )kABAB

rr−= ωω

( )11 cossin θθω jiLv ABB

rrr−=

( ) jikrrr

−=×−

( ) ijkrrr

=×−

Véase que

Bvrδir

11 cossin θθ jirr

−

( ) δθθθθ cos cossin cossin 1111 ijiijirrrrrr

−=⋅−

( )ijiijirrr

rrr

cossin cossincos

11

11

θθθθδ

−⋅−

=

1sincos θδ = ( )190cos θ−= 190 θδ −=

12

SSÓÓLIDO RIGIDOLIDO RIGIDOP07.05. EXAMEN B1. CURSO 2006/2007 CONTINUACIÓN)

b) Cálculo de la velocidad angular ωBC y de la velocidad vC.

( )0cossin

00cossin 11

ββωθθω

LL

kjijiLiv BCABC

−+−=

rrr

rrrBCBCBC rvv /

rrrr×+= ω

Sabemos que:( )11 cossin θθω jiLv ABB

rrr−= ( ) βωβωθθω sincoscossin 11 LjLijiLiv BCBCABC

rrrrr++−=

BCr /r

Vector Esta ecuación vectorial corresponde a dos ecuaciones escalares, una por componente:

C

Lθ2

Bvr

BCr /r

Cvr

BCω

kBCBC

rr ωω =

A

ABω

L

θ1

B

jr

ir

kr

190 θ−

9021 −+θθ

( ) ( )( )90cos90sin 2121/ −+−−+= θθθθ jiLr BC

rrr

Aunque no sepamos sus valores, podemos escribir la velocidad angular y la velocidad de Ccomo:

ivv CC

rr =

ωBC y vC son las cantidades

a calcular.

1sincos θωβω LLv ABBCC =−

1cossin θωβω LL ABBC =

( )90sincos

sincos

21

11

−+==

θθθω

βθωω ABABBC

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= 11 sincos

sincos θθ

ββω Lv ABC

( )( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−+−+

= 1121

21 sincos90sin90cos θθ

θθθθω Lv ABC

( )ββ cossin / jiLr BC

rrr−=

9021 −+= θθβLet’s call

C desliza sobre el suelo

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SSÓÓLIDO RIGIDOLIDO RIGIDOP07.06. EXAMEN A2. CURSO 2006/2007

Una varilla rígida y delgada de longitud 2L = 180 cm está formada por dos mitades homogéneas hechas de materiales diferentes, cuyas densidades lineales respectivas son ρA = 8 kg/m y ρB = 12 kg/m.

La varilla se cuelga por sus extremos mediante unos hilos, según se muestra en la figura. Se pide:a) Determinar la posición del CM de la varilla (1 p)

b) Determinar la tensión de cada uno de los hilos usados para colgar horizontalmente lavarilla (1 p)c) Determinar el momento de inercia respecto al punto A (1 p)

d) Suponiendo que en un momento dado se corta el hilo B, determinar la velocidad angular y la aceleración angular de la varilla cuando el ángulo entre la varilla y la horizontal es 45º (2 p).

A B

LL

Aρ Bρ

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SSÓÓLIDO RIGIDOLIDO RIGIDOP07.06. EXAMEN A2. CURSO 2006/2007 (CONTINUACIÓN)

A B

0=x LL

Aρ Bρ

CMx

mg

AT BT

Apartado a) Puesto que las dos mitades son homogéneas, las respectivas posiciones de los centros de masas serán

2/LxA = 2/3LxB =

Masa de cada mitad:

Posición del CM del conjunto:

Lm AA ρ=

Lm BB ρ=

BA

BBAACM mm

xmxmx++

=

( ) ( )BA

BACM mm

LmLmx++

=2/32/ ( ) ( )

LLLLLLx

BA

BACM ρρ

ρρ++

=2/32/

23 Lx

BA

BACM ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=ρρρρMasa total: ( )Lm BA ρρ +=

Y

02 =+−=∑ LTxmg BCMAτL

xmgT CMB 2

=

0 =++−=∑ BAy TTmgF ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

Lxmg CM

21 BA TmgT −=

( ) gLT BAB 341 ρρ +=( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

+=BA

BABAB gLT

ρρρρρρ 3

41

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=BA

BACM

Lx

ρρρρ 3

41

2( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

−+=BA

BABAA gLT

ρρρρρρ 3

411 [ ] gLT BAA 3

41 ρρ +=

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SSÓÓLIDO RIGIDOLIDO RIGIDOP07.06. EXAMEN A2. CURSO 2006/2007 (CONTINUACIÓN)

Apartado b) Momento de inercia respecto de A

A

LL

Aρ Bρ

0=x

A B

L

LB

L

Axx

2

3

0

3

3

3 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= ρρ ( )333 8

31

31 LLL BA −+= ρρ

( ) 73

3

BAALI ρρ +=

mg

CMx

θ

θ−90

( ) αθτ 90sin ACMA Imgx =−=∑

α

'AT

cos

A

CM

Imgx θα =

( )Lm BA ρρ +=

23 Lx

BA

BACM ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=ρρρρ

( ) ( ) θρρρρρρ

ρρα cos

23

73

3 gLLL BA

BA

BA

BA

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

+=

Lg

BA

BA

2cos3

73 θ

ρρρρα ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=

mg

dx

x

dxdm ρ=

∫∫ +=

L

L

B

L

AA dmxdmxI

2

2

0

2 ∫∫ +=

L

L

B

L

A dxxdxx

2

2

0

2 ρρ

Apartado c) Aceleración angular y velocidad angular

Cortando el hilo B, la varilla cae rotando alrededor de A.

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SSÓÓLIDO RIGIDOLIDO RIGIDOP07.06. EXAMEN A2. CURSO 2006/2007 (CONTINUACIÓN)

Regla de la cadena

Lg

BA

BA

2cos3

73 θ

ρρρρα ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=dtd

Lg

BA

BA ωθρρρρα =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=2cos3

73

θωωθ

θω

dd

dtd

dd

==

∫∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=

θω

θθρρρρωω

00

cos23

73 d

Lgd

BA

BAθθρρρρωω d

Lgd

BA

BA

2cos3

73 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=

θρρρρω sin

23

73

Lg

BA

BA⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=θρρρρω sin

23

732

Lg

BA

BA⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=

x CM (m) = 0,9900

T A (N) = 97,02T B (N) = 79,38

I A (kg m2) = 22,36

α (rad s-2) = 5,52ω (rad/s) = 2,35

ρA (kg/m) = 8,00ρB (kg/m) = 12,00

L (m) = 0,90g (m s-2) = 9,80

θ (º) = 45θ (rad) = 0,7854

SOLUCIÓN NUMÉRICA

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SSÓÓLIDO RIGIDOLIDO RIGIDOP07.07. EXAMEN B2. CURSO 2006/2007

La figura muestra un disco de radio 3R, con cuatro agujeros circulares, cada uno de radio R. Estos agujeros están distribuidos como se indica en la figura. La densidad superficial del disco es ρ (kg·m-2). El disco se mueve sobre suelo horizontal. Conteste a las siguientes preguntas para los valores numéricos dados abajo:a) Calcular el momento de inercia Izz del disco, donde Z es el eje perpendidular que pasa a través de su centro de simetría (no se muestra en la figura). (2 p)

b) La velocidad angular inicial del disco cuando entra en contacto con el suelo es ω0 en sentido horario, mientras que la velocidad lineal del CM es nula. El coeficiente de rozamiento dinámico es µ. Dibuje el DSL teniendo en cuenta las fuerzas externas que actúan sobre el disco, y calcule: el tiempo que tarda el disco en empezar a rodar sin deslizar, la velocidad del centro de masas y la velocidad angular del sólido en el momento en que empieza la rodadura (4 p).

Halle los resultados numéricos de las cuestiones anteriores:R = 14,7 cm, ρ = 50 kg·m-2, ω0 = 0,60 rad/s, µ = 0.15

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SSÓÓLIDO RIGIDOLIDO RIGIDOP07.07. EXAMEN B2. CURSO 2006/2007 (CONTINUACIÓN)

Z normal al plano, no se muestra en el dibujo

Momento de inercia de un disco (densidad superficialσ, radio a)

Respecto a un eje normal que pasa por su centro de simetría (Izz) ( ) 42 21)(

21 aRadioMasaI zz πσ=⋅=

1. Disco macizo de radio a = 3R, densidad superficial σ = ρ. En nuestro problema tenemos discos de dos tipos:

( ) 441

2813

21 RRI zz πρπρ ==

Los agujeros están dispuestos simétricamente alrededor del centro de simetría del disco, la distancia entre cada centro de agujero y el centro de la figura es 2R.

42

21 RI zz πρ−=

Momento de inercia de cada agujero respecto al eje perpendicular que pasa por

su propio centro:

Hay que calcular el momento de inercia de cada agujero respecto al eje Z que pasa por el centro de simetría. Aplicamos el teorema de Steiner:

( )( ) 4222

'2

292 RRRII zzzz πρπρ −=−+=

( ) 441

2813

21 RRI zz πρπρ ==

( )( ) 4222

'2

292 RRRII zzzz πρπρ −=−+=

Eje Z 44'22

245

294

2814 RRIII zzzzzz πρπρ =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=+=

3R

2R

R2R

2R

4 245 RI zz πρ=

2. Cuatro agujeros que se tratarán como discos de radio a = R y densidad superficial σ = -ρ.

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SSÓÓLIDO RIGIDOLIDO RIGIDOP07.07. EXAMEN B2. CURSO 2006/2007 (CONTINUACIÓN)

t > 0, pero antes de rodar sin delizar

Situación inicial

)(tωr

C

( ) ( )jRkvC

rrr−⋅−= 300 ω ( )iR

r−= 03ω

X

Y

Z

( )kr

−0ω

( )jRr

− 3

Esto significa que el punto C se mueve inicialmente hacia la izquierda, luego la fuerza de rozamiento dinámica se dirige hacia la derecha.

0CvrRFr

CM

Situación inicial:00 =CMvr

2a Ley de Newton: CMRx amFF rrr ==∑

iamigm CM

rr =µ

gaCM µ=

Rotación del disco: ( ) ατrrrr 3 CMRCM IFjR =×−=∑

( ) αµrrr

3 CMIigmjR =×− kI

Rgm

CM

rr 3 µα =

CMIRgm 3 µα =

El momento de inercia ICM es el mismo IZZ calculado antes, ya que nuestro disco es una figura plana; la aceleración angular es entonces:

donde la masa m es ( ) 222 5 43 RRRm πρπρπρ =−=

4 245 RII zzCM πρ==

( )( )

y el momento de inercia es

4

2

2/45 5 3

RRgR

πρπρµα =

Rg

3 2µ

= kRg rr

3 2µα =

RFr

Antihorario

αr

La velocidad angular decrece mientras la velocidad del centro de masas se incrementa

20

SSÓÓLIDO RIGIDOLIDO RIGIDOP07.07. EXAMEN B2. CURSO 2006/2007 (CONTINUACIÓN)

Ecuaciones de traslación y rotación tgtatv CMCM )( µ== tRgtt

3 2 )( 00

µωαωω −=−=

t > 0, pero antes de rodar sin deslizar

)(tωr

RFr

αr

)(tvCM

Condición de rodadura Rttv ffCM 3)()( ⋅= ω

ff tRRgRtg 3

3 23 0

µωµ −=g

Rt f 0

µω

=

Cuando comienza la rodadura tenemos:

ffCMfCM tgtatv )( µ== 0 ωR=

fff tRgtt

3 2 )( 00

µωαωω −=−= 03 1 ω=

4 245 RI zz πρ=

Rg

3 2µα =

R = 14,7 cm, ρ = 50 kg·m-2, ω0 = 0,60 rad/s, µ = 0.15SOLUCIÓN:

IZZ = 1.65 kg·m2 α = 6.67 rad·s-2 tf = 0.060 s vCM(tf) = 8.82·10-2 m/s ω(tf) = 0.20 rad/s

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FLUIDOSFLUIDOSP07.08. EXAMEN A3. CURSO 2006/2007

En una tubería por la que se suministra agua a un embalse se han colocado unos tubos piezométricosabiertos a la atmósfera (véase figura 1).

1. Si la diferencia de alturas entre los tubos es h = 25 cmy las secciones de la conducción en la parte ancha y en la parte estrecha son S1 = 350 cm2 y S2 = 200 cm2, respectivamente, determinar el caudal y el flujo másico que circula por la tubería.

S1

h

1 2S2

Figura 1

H

0cP

Figura 2

2. Del embalse toma agua una bomba P que eleva 3000 kg de líquido por minuto y la expulsa a una altura H = 4 m con una velocidad c0 = 8 m/s (figura 2). ¿Qué potencia debe tener la bomba si despreciamos las pérdidas por rozamiento?.

Datos. Aceleración de la gravedad g = 9.8 m/s2; densidad del agua ρ = 1.00 g/cm3

22

FLUIDOSFLUIDOSP07.08. EXAMEN A3. CURSO 2006/2007 (CONTINUACION)

Ecuación de Bernoulli

S1

y1

h

1 2

1211 2

1 gycP ρρ ++

S2

y2

2222 2

1 gycP ρρ ++=

c1 c2

z2

z1

11 gzPP atm ρ+=

22 gzPP atm ρ+=

( )21

2221 2

1 ccPP −=− ρ

( )2121 zzgPP −=− ρ

ghPP ρ=− 21

Apartado 1

1

221 S

Scc =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=− 2

1

222

22221 2

1SSccPP ρ

Ecuación de continuidad

ghρ=

( )212

2 12

SSghc

−=

( )212

22 12

SSghSVV

−== &&

( )212

22 12

SSghSmm

−== ρ&&

23

FLUIDOSFLUIDOSP07.08. EXAMEN A3. CURSO 2006/2007 (CONTINUACION)

2. Del embalse toma agua una bomba P que eleva M kg de líquido por minuto y la expulsa a una altura H con una velocidad c0 (figura 2). ¿Qué potencia debe tener la bomba si despreciamos las pérdidas por rozamiento?. H

0cP

S

0

SSS yc

ggP

++ 2

21

ρ 020

0

21 ycgg

P++=

ρPH+

Sy

0y

0

SP yycg

H −+= 0202

1

PHgmW =

PHgdtdm

dtdWW ==& mHgW P && =

kg/s 601

(s) 60(kg) MMm ==&

PHgMW 601

=&

Aplicamos la ec. de Bernoulli en función de las alturas

La presión en S y en 0 es la misma La velocidad de la superficie libre del embalse es nula

H

Hcg

H P += 202

1

Trabajo realizado por la bomba para elevar una masa de agua m a la altura H

Figura 2

ρ (kg/m3) = 1000g (m/s2) = 9,8

h (m) = 0,25S1 (m

2) = 3,50E-02S2 (m

2) = 2,00E-02

P1-P2 (Pa) = 2450c2 (m/s) = 2,70c1 (m/s) = 1,54V (m3/s) = 5,39E-02m (kg/s) = 53,95

g (m/s2) = 9,8M (kg/min) = 3000

c0 (m/s) = 8H (m) = 4

HP (m) = 7,27W (watt) = 3560,00

Potencia necesaria:

La bomba eleva M kg por minuto:

24

FLUIDOSFLUIDOSP07.09. EXAMEN B3. CURSO 2006/2007

Una esfera hueca (radio interno R1, radio externo R2), hecha de un material de densidad ρ0, flota en un líquido de densidad ρL. Cuando el hueco se rellena con un material de densidad ρm la esfera flota completamente sumergida con su parte superior justamente a ras de la superficie. (a) Calcule la fracción de volumen de la esfera hueca que flota por encima de la superficie antes de rellenarla. (b) Calcule la densidad ρm.

0ρ

1R

2R

Lρ

( )31

3200

34 RRM −= ρπ3

20 34 RV π=

gM 0

E (a) Volumen y masa de la esfera hueca:

ρ 0 (g/cm3) = 0,80ρ L (g/cm3) = 1,60

R 1 (m) = 0,10R 2 (m) = 0,20

Datos numéricos

Por el principio de Arquímedes, la esfera sufre un empuje E igual al peso del fluido dsplazado. Como la esfera flota, E debe ser igual a su peso M0g.

gVE LL ρ=LVVL es el volumen de la parte sumergida

gMgVE LL 0 == ρ ( ) gRR 34 3

1320 −= ρπIgualando E con el peso, calculamos VL

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−= 3

2

310

32

31

320

0

-1 RR

RRR

VV

LL

L

ρρ

ρρ( )3

132

0 34 RRV

LL −=

ρρπ Fracción sumergida

25

FLUIDOSFLUIDOSP07.09. EXAMEN B3. CURSO 2006/2007 (CONTINUACIÓN)

(b) Cuando el interior de la esfera se rellena con un material de densidad ρm, la esfera flota con su parte superior justo a ras de agua.

0ρ

1R

2R

Lρ

mρ

'E

'0 MgM +

El empuje E’ iguala al peso del fluido desplazado. Dicho peso es igual al peso de un volumen de fluido igual al volumen de la esfera.

( ) gMMgVE L ' ' 00 +== ρ 00 ' MVM L −= ρ

( )31

320

32

34

34' RRRM L −−= ρπρπ

( ) 310

320

34 -

34' RRM L ρπρρπ +=

La masa del material de relleno esρ0 (g/cm3) = 0,80

ρL (g/cm3) = 1,60

R1 (m) = 0,10R2 (m) = 0,20

VL/V0 = 0,44

ρm (g/cm3) = 7,20

31

34' RM mρπ=

Solución numéricaIgualando las dos expresiones para M’

( ) 31

32

00 - RR

Lm ρρρρ +=

26

FLUIDOSFLUIDOSP07.10. EXAMEN B3. CURSO 2006/2007

Un tanque de forma cilíndrica es utilizado para almacenaje de agua. El área de su base es S m2. Un grifo en la parte superior aporta un flujo másico de C1 kg/s, mientras que un desagüe situado en la parte inferior deja salir fuera C2 y kg/s, donde y representa la altura de la superficie del líquido sobre el fondo plano del tanque. Además, existe un rebosadero a una altura h m por encima del desagüe. Suponiendo que al comienzo de una jornada el tanque contiene inicialmente V0 litros, y que se abren al mismo tiempo el grifo de entrada y eldesagüe, calcular:

a) El tiempo que tarda la superficie del agua en alcanzar el rebosadero (si es que lo alcanza).

b) En caso de que no hubiese rebosadero, calcular el máximo nivel sobre el fondo que puede alcanzar el agua. c) Haga una gráfica de la altura alcanzada por el agua en función del tiempo, señalando en la misma los valores obtenidos en los apartados a) y b).

27

FLUIDOSFLUIDOSP07.10. EXAMEN B3. CURSO 2006/2007 (CONTINUACIÓN)

0y

1m&

2m&

Rebosadero

h

)( ty

0V

S

)(tV

Ecuación de continuidad 21 mmdtdm

&& −=

)( )( )( tyStVtm ρρ ==S

Vy 00 =

agua del densidad →ρ

)( 21 tyCCdtdm

−=

(kg/s) 11 Cm =&

s))kg/(m( 222 ⋅→= CyCm&

dtdyS

dttdV

dtdm )( ρρ ==

yCCdtdyS 21 −=ρ

dtSyCC

dy 1

21 ρ=

− ∫∫ =−

ty

y

dtSyCC

dy

021

1

0

ρ

( )yCCLnCu

duCyCC

dy21

2221

11−−=−=

− ∫∫du

CdyyCCu

221

1 −=→−=

( )ty

y

tS

yCCLnC

0

21

2 11

0ρ

=−− tS

CyCCyCCLn

2

021

21

ρ−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−− ( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=− t

SCyCCyCC

exp 202121 ρ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= t

SCy

CC

CCy

exp 2

02

1

2

1

ρ

28

FLUIDOSFLUIDOSP07.10. EXAMEN B3. CURSO 2006/2007 (CONTINUACIÓN)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= t

SCy

CC

CCy

exp 2

02

1

2

1

ρ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−==

02

1

2

1

2

yCC

hCC

LnC

St hyρa) El tiempo que tarda la superficie del agua en

alcanzar el rebosadero (si es que lo alcanza).

b) En caso de no existir rebosadero, calcular el máximo nivel sobre el fondo que puede alcanzar el agua.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

∞→t

SCy

CC

CCy

tmáx

exp 20

2

1

2

1lim ρ 2

1

CC

=

Valores numéricos

V 0 (litros) = 100V 0 (m

3) = 0,1S (m2) = 10ρ (kg/m3) = 1000

C 1 (kg/s) = 0,6C 2 (kg/m.s)= 0,5

y 0 (m) = 0,01C 1/C 2 (m) = 1,2C 1/C 2-y 0 = 1,19C 2/ρ S = 0,00005

h (m) = 1

( )ty 00005.0exp19.12.1 −−=

( )( ) s 35668

01.02.112.1

00005.01

=−

−−== Lnt hy

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

∞→t

SCy

CC

CCy

tmáx

exp 20

2

1

2

1lim ρ

m 20.12

1 ==CCymáx

0y

1m&

2m&

Spillway

h

)( ty

0V

S

)(tV

29

FLUIDOSFLUIDOSP07.10. EXAMEN B3. CURSO 2006/2007 (CONTINUACIÓN)

c) Nivel de agua frente a tiempo

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= t

SCy

CC

CCy

exp 2

02

1

2

1

ρ( )ty 00005.0exp19.12.1 −−=

0,0 2,0x104 4,0x104 6,0x104 8,0x104 1,0x105 1,2x105 1,4x1050,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

t (s)

y (m)

El nivel de agua llega al rebosadero

y = h = 1 m

t = 35668 s

Altura máxima si no hubiese rebosadero

1.20 m

30

10 moles de un gas ideal monoatómico inicialmente a 20 ºC se expanden reversiblemente de acuerdo con la relación p = aV, donde p, V representan la presión y el volumen, respectivamente, y a es una constante. El volumen al final de la expansión es el doble del volumen inicial. La constante universal de los gases es R = 8.314 J/(K⋅mol)1. Representar el proceso en un diagrama p-V (1 p).2. Determinar la temperatura final (1.5 p).3. Calcular el trabajo en la expansión (1.5 p).

p

V

1

2

V1 V2=2V1

aVp =11 aVp =

22 aVp =

nRVpT 11

1 =

nRVpT 22

2 =

Conocemos T1 = 20º C = 293 K

Debemos encontrar una relación que nos permita hallar el valor de T2 sabiendo T1 y la relación de volúmenes inicial y final.

22

11

2

1

VpVp

TT

=2

1

2

1

VV

pp

=2

2

1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

VV

12 mVV =

21⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

m 12

2 TmT =

(en este caso m = 2)

C º899K 11729322 21

22 ==⋅== TmT

Trabajo en la expansión:

[ ] 2

1 2

2

1

2

1

2

VV

V

V

V

V

VadVVapdVW === ∫∫ [ ] [ ] 21

221

22 1

2

2VmaVVaW −=−=

nRaVT

21

1 =a

nRTV 121 =

[ ] 12 1

2TmnR

−=

[ ] J 36540932 12 2

314.810 2 =⋅−⋅

=W

TERMODINTERMODINÁÁMICAMICAP07.11. EXAMEN A4. CURSO 2006/2007

31

TERMODINTERMODINÁÁMICAMICAP07.12. EXAMEN B4. CURSO 2006/2007

Un gas ideal de coeficiente adiabático γ = 1.4 ejecuta un ciclo de potencia formado por las siguientes etapas:1→2.

El gas se expande politrópicamente (índice de politropía k1 = 1.35) desde las condiciones V1 = 1 litro, P1 = 7.87 bar, hasta que su volumen se duplica.

2→3. El gas se enfría a volumen constante, hasta que su temperatura es T3 = 280 K.

3→1.

El gas se comprime politrópicamente hasta restituir las condiciones iniciales (sea k2 el índice de politropía de este proceso, que deberá determinarse).

Se supone que todas las etapas son reversibles. La masa de gas es n = 0.20 moles, y la constante universal de los gases es R = 8,314 J/(K·mol). Se pide:A) Calcular las coordenadas de presión y temperatura en todos los puntos notables del ciclo (2 p).

C) Calcular el trabajo asociado con cada una de las etapas del ciclo, discutiendo su signo (2 p).

D) Calcular el calor asociado con cada una de las etapas del ciclo, discutiendo su signo (2 p).

E) Determinar el rendimiento del ciclo (1 p).F) Calcular la variación de entropía de cada una de las etapas del ciclo (2 p).

B) Determinar el índice k2 y representar gráficamente el ciclo en un diagrama de Clapeyron (P-V) (2 p).

32

TERMODINTERMODINÁÁMICAMICAP07.12. EXAMEN B4. CURSO 2006/2007 (CONTINUACIÓN)

R (J/K.mol) 8,314n (mol) 0,2V1 (l) 1P1 (bar) 7,87V2 (l) 2T3 (K) 280k1 1,35γ 1,4

V1 (m3) 0,001

P1 (Pa) 787000V2 (m

3) 0,002k1 1,35 P1V1

k1 70,141449V3 (m

3) 0,002k2 1,7573 P1V1

k2 4,2073464cv (J/K.mol) 20,785

T (K) V (m3) P (Pa)1 473,3 0,001 7870002 371,3 0,002 3087343 280,0 0,002 232792

En azul, los datos iniciales

Cálculo del índice k2

233

211

kk VpVp =

123 2VVV ==

( )( )31

132 ln

lnVVppk =

Se calcula p3usando la ley de los gases ideales

1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,02

3

4

5

6

7

8 1

2

3

1k

2k

)bar( p

)litros( V

1−

−=

kVpVp

W ffiiopolitrópic

11 −

−+

−

−=

γiiffffii

opolitrópic

VpVpk

VpVpQ ( ) ( )( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−−=

11 γγ

kkTTnR if

( )1−

−=

kTTnR fi

0>W

0<W

0>Q

0<Q0>Q

Observe que en la etapa 1→2 se verifica0 0 112 <−<− γkTT

Los demás se calculan usando la ecuación de estado del gas ideal, y para T2, la

ecuación adiabática en función de T y V.( )1−

=γ

RcV( )23 TTcnQ VV −=

33

TERMODINTERMODINÁÁMICAMICAP07.12. EXAMEN B4. CURSO 2006/2007 (CONTINUACIÓN)

Q (J) W (J) ∆U (J)Polit 1→2 60,55 484,38 -423,83Isoc 2→3 -379,71 0,00 -379,71Polit 3→1 379,13 -424,41 803,54Qin, Wout 439,68 59,97 0,00

Calor y trabajo

( )1−

−=

kTTnR fi

1−

−=

kVpVp

W ffiiopolitrópic

11 −

−+

−

−=

γiiffffii

opolitrópic

VpVpk

VpVpQ ( ) ( )( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−−=

11 γγ

kkTTnR if

( )23 TTcnQ VV −=

1321

1321

→→

→→

+

+==

politpolit

politpolit

in

out

QQWW

QWη 136.0

68.43997.59

==Rendimiento

Incremento de entropía (politrópicas)Cálculo entropíasVolumen auxiliarV(k1) (m

3) 0,00109V(k2) (m

3) 0,00371∆S12 (J/K) 0,144 Politropica∆S23 (J/K) -1,174 Isocora∆S31 (J/K) 1,030 Politropica∆Sciclo (J/K) 0,000

( )1/1 −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

γγ

ii

ff

VpVp

V( )1/1 −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

γγ

ii

ff

VpVp

VVVnRS iln−=∆

Incremento de entropía (isocórica)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

===∆ ∫∫ i

f

T

T

vV

TTRn

TdTnc

TQS

f

i

ln1γ

δ