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FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERÍA
PROBLEMAS DE EXAMEN RESUELTOS
CURSO 2006-2007
2
CINEMCINEMÁÁTICATICAP07.01. EXAMEN A1. CURSO 2006/2007
Un avión vuela horizontalmente a una altura h sobre el suelo, con velocidad constante v0. En cierto instante deja caer un paquete, y en ese mismo momento un tirador situado exactamente debajo del avión realiza un disparo con el ángulo y velocidad apropiados para impactar en el avión en el mismo momento en que el paquete toque el suelo. Se supone que el rozamiento es despreciable. Usando los datos numéricos que aparecen abajo, se pide:a)b)c)
Determinar a qué distancia de la posición del tirador caerá el paquete.La altura del paquete sobre el suelo un segundo antes de estrellarse contra él.
Calcular con qué ángulo debe disparar el tirador, y cuál ha de ser la velocidad inicial de la bala para que haga blanco en el avión.
Datos numéricos: h = 500 m; v0 = 200 m/s; g = 9.8 m/s2
3
CINEMCINEMÁÁTICATICAP07.01.EXAMEN A1. CURSO 2006/2007 (CONTINUACIÓN)
X
Y
vB
θ
h
Avión
Bala
Paquete
d
Posición del avión como función del tiempotvx 0=
hy =
Posición del paquete como función del tiempo
tvx 0= 2 21 tghy −=
Ecuación de la trayectoria del paquete (eliminando el tiempo)
220
2
xvghy −=
ghvdx y
20
)0(2
===Abscisa del punto de choque
del paquete con el suelo (y = 0)
222
cos2tan x
vgxy
B θθ −=
2 21 sin tgtvy BB −= θ
tvx BB cosθ=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += 2
211 sin s
sB tgh
tv θ
sB t
dv cos =θ
Trayectoria de la bala
s
ss
B
B
td
tght
vv
/
211
cossintan
2 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
==θθθ
θcos
sB t
dv =
º 3.26=θ
( )10 −= stvx
( )21 21
−−= stghy
Tiempo que emplea el paquete en caer al suelo:
0vdts =
Posición del paquete 1 s antes de tocar el suelo (t = ts-1):
m 3.2020=
m 1.94=
4950.0=
m/s 2.223=
(son desconocidos θ, v0)
Movimiento vertical de
la bala
Movimiento horizontal de
la bala
(Nótese que la bala y el paquete están volando el mismo tiempo durante el que recorren la altura h y la distancia horizontal d)
4
Un bloque de masa m1 está sujeto a una cuerda de longitud L1 fija por un extremo. Este bloque está situado sobre una superficie plana horizontal muy bien pulida, en la que el rozamiento puede considerarse despreciable, y se mueve describiendo una trayectoria circular en torno al punto de sujeción. Un segundo bloque m2 se une al primero mediante una cuerda de longitud L2, y se mueve también en trayectoria circular concéntrica con la primera (véase esquema). Dibujar el diagrama fuerzas para cada masa y determinar la tensión en cada una de las cuerdas si el tiempo que los bloques tardan en describir una órbita completa (periodo) es T.
DINDINÁÁMICAMICAP07.02. EXAMEN A1. CURSO 2006/2007
L1L2
m2
m1
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DINDINÁÁMICAMICAP07.02. EXAMEN A1. CURSO 2006/2007 (CONTINUACIÓN)
gm r1
1L
gm r2
2Nr
2Fr
1121 NamFF rrr=−
2Nar
21
22
2222 LL
vmamF N +==
1Fr
1Nar
1Nr
2Fr
222 NamF rr=
1
21
1121 LvmamFF N ==−
21 LL +1L
( ) ( )212122 LLT
LLv +=+=πω
1112 LT
Lv πω ==
amF rr=∑
amF rr=∑
[ ] ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= 2
212
2
21
2212
2
1
11
44 LLTLL
mLTL
mF ππ
( )[ ]212112
2
14 LLmLmT
F ++=π
( )2122
2
24 LLmT
F +=π
21
22
2222 LL
vmamF N +==
1
21
1121 LvmamFF N ==−
21
22
21
21
11 LLvm
LvmF
++=
Masa 2
Masa 1
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DINDINÁÁMICAMICAP07.03. EXAMEN B1. CURSO 2006/2007
0L
L
AM
M
(a) (b) (c)
Se dispone de un muelle de longitud natural L0 = 20 cm -figura (a)-. Cuando una masa M = 400 g se cuelga del muelle, su longitud se incrementa en L = 50 cm –figura (b)-. Finalmente, la masa colgante se hace oscilar después de haber estirado el muelle una longitud A = 20 cm –figura (c)-. Conteste las siguientes preguntas:
¿Cuál es la constante del muelle?Calcular el periodo de la oscilación.Calcular la posición de la masa 6.98 s después de comenzar las oscilaciones.Calcular el periodo de oscilación si se hubiese colgado la misma masa M de dos muelles idénticos a éste colocados paralelamente entre si.
a)b)c)
d)
0.5 p0.5 p
1.0 p
2.0 p
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DINDINÁÁMICAMICAP07.03. EXAMEN B1. CURSO 2006/2007 (CONTINUACIÓN)
Ley de Hooke: LkF =
LMgk =
Mg
F
MgF
a)
=N/m 125.6
40.08.925.0
=⋅
=2a ley de Newton:
kMT π2= s 27.1
125.625.02 == π c) ( )δω += tAy cos m 10.0=A
Mk
=ω rad/s 95.425.0
125.6==( )ty .954cos1.0
b)=
Elegimos t = 0 cuando y = A( ) m 01.098.6.954cos1.0 −=⋅=y Ay −=lo cual implica δ = 0
d) 2a ley de Newton: MaMgFF =++ 21
(Los muelles son idénticos)
Ley de Hooke: ykF 1 −= ykF 2 −=
Mgykdt
ydM +−= 22
2
gyMk
dtyd
+−= 22
2
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DINDINÁÁMICAMICAP07.03. EXAMEN B1. CURSO 2006/2007 (CONTINUACIÓN)
M
1F 2F
Ecuación de la oscilación con dos muelles:
y gyMk
dtyd
=+ 22
2
am
Escribamos la ecuación como
La solución de esta ecuación es
gydt
yd=+ 2
2
2
ω
donde
2Mk
=ω
( )δω ++= tAgk
My cos2
El periodo es 2
22'
kMT π
ωπ
== s 0.90 125.6225.02 =
⋅= π
La pareja de muelles idénticos en paralelo se comporta como un único muelle de constante 2 k.
Mg
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ESTESTÁÁTICATICAP07.04. EXAMEN B2. CURSO 2006/2007
Una varilla rígida de longitud L = 1.80 m y masa M = 6 kg está unida a una articulación (punto O de la figura). La varilla se mantiene inclinada mediante un cable de acero unido a la pared. Los ángulos entre el cable, la varilla y la pared son θ1 = 60º y θ2 = 50ºrespectivamente. Un contrapeso m = 4 kg cuelga del extremo opuesto de la varilla. a) Dibuje el diagrama de sólido libre para la varilla (2 p).b) Calcular la tensión en el cable y las componentes rectangulares de la reacción en el punto O (2 p). M
1θ
2θ
mL
O
290 θ−
2θ2θ
1θ
OMg
mg
T
xRyR
X
Y
DSL
β
21180 θθβ −−=
ββ−180
β−180
1180 θ−
L
( ) ( ) ( ) 0180sin180sin180sin2 1 =−+−−−−=∑ θββτ TLmgLLMgO
gmMT 2
sinsin
1⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
θβ
( ) 090cos 2 =−−=∑ θTRF xx gmMRx 2
sin
sin sin
1
2 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
θθβ
( ) 090sin 2 =−−−+=∑ mgMgTRF yy θ
( ) gmMgmMRy 2sin
cos sin
1
2 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−+=
θθβ
N 2.50 N; 0.57 N; 4.74 === yx RRT
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SSÓÓLIDO RIGIDOLIDO RIGIDOP07.05. EXAMEN B1. CURSO 2006/2007
El mecanismo dibujado en la figura se compone de dos barras rígidas, cada una de ellas de la misma longitud L = 25 cm. La barra AB gira en torno a la rótula A con velocidad angular ωAB = 0,50 rad/s. La barra BC se une a la barra AB y puede girar en torno al extremo B, mientras que el extremo C desliza sobre el suelo. En el instante representado en el dibujo, los ángulos son θ1 = 60º y θ2 = 50º . Se pide:
a) La velocidad del punto B, vB, y el ángulo formado por vB con la horizontal. 2 p
4 pb) La velocidad angular de la barra BC, ωBC, y la velocidad del extremo C, vC.
AC
ABω
LL
θ1
θ2
B
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SSÓÓLIDO RIGIDOLIDO RIGIDOP07.05. EXAMEN B1. CURSO 2006/2007 CONTINUACIÓN)
a) Cálculo de la velocidad vB y del ángulo formado por vB con la horizontal.
Definición producto escalar:
A
ABω
L
θ1
B
ABABAB rvv /rrrr
×+= ω
( ) ( )11 sincos 0 θθω jiLkv ABB
rrrr+×−+=
Varilla AB
ABr /r
( )11/ sincos θθ jiLr AB
rrr+= j
r
ir
kr
0=Avr
( )kABAB
rr−= ωω
( )11 cossin θθω jiLv ABB
rrr−=
( ) jikrrr
−=×−
( ) ijkrrr
=×−
Véase que
Bvrδir
11 cossin θθ jirr
−
( ) δθθθθ cos cossin cossin 1111 ijiijirrrrrr
−=⋅−
( )ijiijirrr
rrr
cossin cossincos
11
11
θθθθδ
−⋅−
=
1sincos θδ = ( )190cos θ−= 190 θδ −=
12
SSÓÓLIDO RIGIDOLIDO RIGIDOP07.05. EXAMEN B1. CURSO 2006/2007 CONTINUACIÓN)
b) Cálculo de la velocidad angular ωBC y de la velocidad vC.
( )0cossin
00cossin 11
ββωθθω
LL
kjijiLiv BCABC
−+−=
rrr
rrrBCBCBC rvv /
rrrr×+= ω
Sabemos que:( )11 cossin θθω jiLv ABB
rrr−= ( ) βωβωθθω sincoscossin 11 LjLijiLiv BCBCABC
rrrrr++−=
BCr /r
Vector Esta ecuación vectorial corresponde a dos ecuaciones escalares, una por componente:
C
Lθ2
Bvr
BCr /r
Cvr
BCω
kBCBC
rr ωω =
A
ABω
L
θ1
B
jr
ir
kr
190 θ−
9021 −+θθ
( ) ( )( )90cos90sin 2121/ −+−−+= θθθθ jiLr BC
rrr
Aunque no sepamos sus valores, podemos escribir la velocidad angular y la velocidad de Ccomo:
ivv CC
rr =
ωBC y vC son las cantidades
a calcular.
1sincos θωβω LLv ABBCC =−
1cossin θωβω LL ABBC =
( )90sincos
sincos
21
11
−+==
θθθω
βθωω ABABBC
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= 11 sincos
sincos θθ
ββω Lv ABC
( )( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−+−+
= 1121
21 sincos90sin90cos θθ
θθθθω Lv ABC
( )ββ cossin / jiLr BC
rrr−=
9021 −+= θθβLet’s call
C desliza sobre el suelo
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SSÓÓLIDO RIGIDOLIDO RIGIDOP07.06. EXAMEN A2. CURSO 2006/2007
Una varilla rígida y delgada de longitud 2L = 180 cm está formada por dos mitades homogéneas hechas de materiales diferentes, cuyas densidades lineales respectivas son ρA = 8 kg/m y ρB = 12 kg/m.
La varilla se cuelga por sus extremos mediante unos hilos, según se muestra en la figura. Se pide:a) Determinar la posición del CM de la varilla (1 p)
b) Determinar la tensión de cada uno de los hilos usados para colgar horizontalmente lavarilla (1 p)c) Determinar el momento de inercia respecto al punto A (1 p)
d) Suponiendo que en un momento dado se corta el hilo B, determinar la velocidad angular y la aceleración angular de la varilla cuando el ángulo entre la varilla y la horizontal es 45º (2 p).
A B
LL
Aρ Bρ
14
SSÓÓLIDO RIGIDOLIDO RIGIDOP07.06. EXAMEN A2. CURSO 2006/2007 (CONTINUACIÓN)
A B
0=x LL
Aρ Bρ
CMx
mg
AT BT
Apartado a) Puesto que las dos mitades son homogéneas, las respectivas posiciones de los centros de masas serán
2/LxA = 2/3LxB =
Masa de cada mitad:
Posición del CM del conjunto:
Lm AA ρ=
Lm BB ρ=
BA
BBAACM mm
xmxmx++
=
( ) ( )BA
BACM mm
LmLmx++
=2/32/ ( ) ( )
LLLLLLx
BA
BACM ρρ
ρρ++
=2/32/
23 Lx
BA
BACM ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
=ρρρρMasa total: ( )Lm BA ρρ +=
Y
02 =+−=∑ LTxmg BCMAτL
xmgT CMB 2
=
0 =++−=∑ BAy TTmgF ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
Lxmg CM
21 BA TmgT −=
( ) gLT BAB 341 ρρ +=( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
+=BA
BABAB gLT
ρρρρρρ 3
41
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
=BA
BACM
Lx
ρρρρ 3
41
2( ) ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
−+=BA
BABAA gLT
ρρρρρρ 3
411 [ ] gLT BAA 3
41 ρρ +=
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SSÓÓLIDO RIGIDOLIDO RIGIDOP07.06. EXAMEN A2. CURSO 2006/2007 (CONTINUACIÓN)
Apartado b) Momento de inercia respecto de A
A
LL
Aρ Bρ
0=x
A B
L
LB
L
Axx
2
3
0
3
3
3 ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡= ρρ ( )333 8
31
31 LLL BA −+= ρρ
( ) 73
3
BAALI ρρ +=
mg
CMx
θ
θ−90
( ) αθτ 90sin ACMA Imgx =−=∑
α
'AT
cos
A
CM
Imgx θα =
( )Lm BA ρρ +=
23 Lx
BA
BACM ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
=ρρρρ
( ) ( ) θρρρρρρ
ρρα cos
23
73
3 gLLL BA
BA
BA
BA
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
+=
Lg
BA
BA
2cos3
73 θ
ρρρρα ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
=
mg
dx
x
dxdm ρ=
∫∫ +=
L
L
B
L
AA dmxdmxI
2
2
0
2 ∫∫ +=
L
L
B
L
A dxxdxx
2
2
0
2 ρρ
Apartado c) Aceleración angular y velocidad angular
Cortando el hilo B, la varilla cae rotando alrededor de A.
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SSÓÓLIDO RIGIDOLIDO RIGIDOP07.06. EXAMEN A2. CURSO 2006/2007 (CONTINUACIÓN)
Regla de la cadena
Lg
BA
BA
2cos3
73 θ
ρρρρα ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
=dtd
Lg
BA
BA ωθρρρρα =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
=2cos3
73
θωωθ
θω
dd
dtd
dd
==
∫∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
=
θω
θθρρρρωω
00
cos23
73 d
Lgd
BA
BAθθρρρρωω d
Lgd
BA
BA
2cos3
73 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
=
θρρρρω sin
23
73
Lg
BA
BA⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
=θρρρρω sin
23
732
Lg
BA
BA⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
=
x CM (m) = 0,9900
T A (N) = 97,02T B (N) = 79,38
I A (kg m2) = 22,36
α (rad s-2) = 5,52ω (rad/s) = 2,35
ρA (kg/m) = 8,00ρB (kg/m) = 12,00
L (m) = 0,90g (m s-2) = 9,80
θ (º) = 45θ (rad) = 0,7854
SOLUCIÓN NUMÉRICA
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SSÓÓLIDO RIGIDOLIDO RIGIDOP07.07. EXAMEN B2. CURSO 2006/2007
La figura muestra un disco de radio 3R, con cuatro agujeros circulares, cada uno de radio R. Estos agujeros están distribuidos como se indica en la figura. La densidad superficial del disco es ρ (kg·m-2). El disco se mueve sobre suelo horizontal. Conteste a las siguientes preguntas para los valores numéricos dados abajo:a) Calcular el momento de inercia Izz del disco, donde Z es el eje perpendidular que pasa a través de su centro de simetría (no se muestra en la figura). (2 p)
b) La velocidad angular inicial del disco cuando entra en contacto con el suelo es ω0 en sentido horario, mientras que la velocidad lineal del CM es nula. El coeficiente de rozamiento dinámico es µ. Dibuje el DSL teniendo en cuenta las fuerzas externas que actúan sobre el disco, y calcule: el tiempo que tarda el disco en empezar a rodar sin deslizar, la velocidad del centro de masas y la velocidad angular del sólido en el momento en que empieza la rodadura (4 p).
Halle los resultados numéricos de las cuestiones anteriores:R = 14,7 cm, ρ = 50 kg·m-2, ω0 = 0,60 rad/s, µ = 0.15
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SSÓÓLIDO RIGIDOLIDO RIGIDOP07.07. EXAMEN B2. CURSO 2006/2007 (CONTINUACIÓN)
Z normal al plano, no se muestra en el dibujo
Momento de inercia de un disco (densidad superficialσ, radio a)
Respecto a un eje normal que pasa por su centro de simetría (Izz) ( ) 42 21)(
21 aRadioMasaI zz πσ=⋅=
1. Disco macizo de radio a = 3R, densidad superficial σ = ρ. En nuestro problema tenemos discos de dos tipos:
( ) 441
2813
21 RRI zz πρπρ ==
Los agujeros están dispuestos simétricamente alrededor del centro de simetría del disco, la distancia entre cada centro de agujero y el centro de la figura es 2R.
42
21 RI zz πρ−=
Momento de inercia de cada agujero respecto al eje perpendicular que pasa por
su propio centro:
Hay que calcular el momento de inercia de cada agujero respecto al eje Z que pasa por el centro de simetría. Aplicamos el teorema de Steiner:
( )( ) 4222
'2
292 RRRII zzzz πρπρ −=−+=
( ) 441
2813
21 RRI zz πρπρ ==
( )( ) 4222
'2
292 RRRII zzzz πρπρ −=−+=
Eje Z 44'22
245
294
2814 RRIII zzzzzz πρπρ =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=+=
3R
2R
R2R
2R
4 245 RI zz πρ=
2. Cuatro agujeros que se tratarán como discos de radio a = R y densidad superficial σ = -ρ.
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SSÓÓLIDO RIGIDOLIDO RIGIDOP07.07. EXAMEN B2. CURSO 2006/2007 (CONTINUACIÓN)
t > 0, pero antes de rodar sin delizar
Situación inicial
)(tωr
C
( ) ( )jRkvC
rrr−⋅−= 300 ω ( )iR
r−= 03ω
X
Y
Z
( )kr
−0ω
( )jRr
− 3
Esto significa que el punto C se mueve inicialmente hacia la izquierda, luego la fuerza de rozamiento dinámica se dirige hacia la derecha.
0CvrRFr
CM
Situación inicial:00 =CMvr
2a Ley de Newton: CMRx amFF rrr ==∑
iamigm CM
rr =µ
gaCM µ=
Rotación del disco: ( ) ατrrrr 3 CMRCM IFjR =×−=∑
( ) αµrrr
3 CMIigmjR =×− kI
Rgm
CM
rr 3 µα =
CMIRgm 3 µα =
El momento de inercia ICM es el mismo IZZ calculado antes, ya que nuestro disco es una figura plana; la aceleración angular es entonces:
donde la masa m es ( ) 222 5 43 RRRm πρπρπρ =−=
4 245 RII zzCM πρ==
( )( )
y el momento de inercia es
4
2
2/45 5 3
RRgR
πρπρµα =
Rg
3 2µ
= kRg rr
3 2µα =
RFr
Antihorario
αr
La velocidad angular decrece mientras la velocidad del centro de masas se incrementa
20
SSÓÓLIDO RIGIDOLIDO RIGIDOP07.07. EXAMEN B2. CURSO 2006/2007 (CONTINUACIÓN)
Ecuaciones de traslación y rotación tgtatv CMCM )( µ== tRgtt
3 2 )( 00
µωαωω −=−=
t > 0, pero antes de rodar sin deslizar
)(tωr
RFr
αr
)(tvCM
Condición de rodadura Rttv ffCM 3)()( ⋅= ω
ff tRRgRtg 3
3 23 0
µωµ −=g
Rt f 0
µω
=
Cuando comienza la rodadura tenemos:
ffCMfCM tgtatv )( µ== 0 ωR=
fff tRgtt
3 2 )( 00
µωαωω −=−= 03 1 ω=
4 245 RI zz πρ=
Rg
3 2µα =
R = 14,7 cm, ρ = 50 kg·m-2, ω0 = 0,60 rad/s, µ = 0.15SOLUCIÓN:
IZZ = 1.65 kg·m2 α = 6.67 rad·s-2 tf = 0.060 s vCM(tf) = 8.82·10-2 m/s ω(tf) = 0.20 rad/s
21
FLUIDOSFLUIDOSP07.08. EXAMEN A3. CURSO 2006/2007
En una tubería por la que se suministra agua a un embalse se han colocado unos tubos piezométricosabiertos a la atmósfera (véase figura 1).
1. Si la diferencia de alturas entre los tubos es h = 25 cmy las secciones de la conducción en la parte ancha y en la parte estrecha son S1 = 350 cm2 y S2 = 200 cm2, respectivamente, determinar el caudal y el flujo másico que circula por la tubería.
S1
h
1 2S2
Figura 1
H
0cP
Figura 2
2. Del embalse toma agua una bomba P que eleva 3000 kg de líquido por minuto y la expulsa a una altura H = 4 m con una velocidad c0 = 8 m/s (figura 2). ¿Qué potencia debe tener la bomba si despreciamos las pérdidas por rozamiento?.
Datos. Aceleración de la gravedad g = 9.8 m/s2; densidad del agua ρ = 1.00 g/cm3
22
FLUIDOSFLUIDOSP07.08. EXAMEN A3. CURSO 2006/2007 (CONTINUACION)
Ecuación de Bernoulli
S1
y1
h
1 2
1211 2
1 gycP ρρ ++
S2
y2
2222 2
1 gycP ρρ ++=
c1 c2
z2
z1
11 gzPP atm ρ+=
22 gzPP atm ρ+=
( )21
2221 2
1 ccPP −=− ρ
( )2121 zzgPP −=− ρ
ghPP ρ=− 21
Apartado 1
1
221 S
Scc =
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=− 2
1
222
22221 2
1SSccPP ρ
Ecuación de continuidad
ghρ=
( )212
2 12
SSghc
−=
( )212
22 12
SSghSVV
−== &&
( )212
22 12
SSghSmm
−== ρ&&
23
FLUIDOSFLUIDOSP07.08. EXAMEN A3. CURSO 2006/2007 (CONTINUACION)
2. Del embalse toma agua una bomba P que eleva M kg de líquido por minuto y la expulsa a una altura H con una velocidad c0 (figura 2). ¿Qué potencia debe tener la bomba si despreciamos las pérdidas por rozamiento?. H
0cP
S
0
SSS yc
ggP
++ 2
21
ρ 020
0
21 ycgg
P++=
ρPH+
Sy
0y
0
SP yycg
H −+= 0202
1
PHgmW =
PHgdtdm
dtdWW ==& mHgW P && =
kg/s 601
(s) 60(kg) MMm ==&
PHgMW 601
=&
Aplicamos la ec. de Bernoulli en función de las alturas
La presión en S y en 0 es la misma La velocidad de la superficie libre del embalse es nula
H
Hcg
H P += 202
1
Trabajo realizado por la bomba para elevar una masa de agua m a la altura H
Figura 2
ρ (kg/m3) = 1000g (m/s2) = 9,8
h (m) = 0,25S1 (m
2) = 3,50E-02S2 (m
2) = 2,00E-02
P1-P2 (Pa) = 2450c2 (m/s) = 2,70c1 (m/s) = 1,54V (m3/s) = 5,39E-02m (kg/s) = 53,95
g (m/s2) = 9,8M (kg/min) = 3000
c0 (m/s) = 8H (m) = 4
HP (m) = 7,27W (watt) = 3560,00
Potencia necesaria:
La bomba eleva M kg por minuto:
24
FLUIDOSFLUIDOSP07.09. EXAMEN B3. CURSO 2006/2007
Una esfera hueca (radio interno R1, radio externo R2), hecha de un material de densidad ρ0, flota en un líquido de densidad ρL. Cuando el hueco se rellena con un material de densidad ρm la esfera flota completamente sumergida con su parte superior justamente a ras de la superficie. (a) Calcule la fracción de volumen de la esfera hueca que flota por encima de la superficie antes de rellenarla. (b) Calcule la densidad ρm.
0ρ
1R
2R
Lρ
( )31
3200
34 RRM −= ρπ3
20 34 RV π=
gM 0
E (a) Volumen y masa de la esfera hueca:
ρ 0 (g/cm3) = 0,80ρ L (g/cm3) = 1,60
R 1 (m) = 0,10R 2 (m) = 0,20
Datos numéricos
Por el principio de Arquímedes, la esfera sufre un empuje E igual al peso del fluido dsplazado. Como la esfera flota, E debe ser igual a su peso M0g.
gVE LL ρ=LVVL es el volumen de la parte sumergida
gMgVE LL 0 == ρ ( ) gRR 34 3
1320 −= ρπIgualando E con el peso, calculamos VL
( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
−= 3
2
310
32
31
320
0
-1 RR
RRR
VV
LL
L
ρρ
ρρ( )3
132
0 34 RRV
LL −=
ρρπ Fracción sumergida
25
FLUIDOSFLUIDOSP07.09. EXAMEN B3. CURSO 2006/2007 (CONTINUACIÓN)
(b) Cuando el interior de la esfera se rellena con un material de densidad ρm, la esfera flota con su parte superior justo a ras de agua.
0ρ
1R
2R
Lρ
mρ
'E
'0 MgM +
El empuje E’ iguala al peso del fluido desplazado. Dicho peso es igual al peso de un volumen de fluido igual al volumen de la esfera.
( ) gMMgVE L ' ' 00 +== ρ 00 ' MVM L −= ρ
( )31
320
32
34
34' RRRM L −−= ρπρπ
( ) 310
320
34 -
34' RRM L ρπρρπ +=
La masa del material de relleno esρ0 (g/cm3) = 0,80
ρL (g/cm3) = 1,60
R1 (m) = 0,10R2 (m) = 0,20
VL/V0 = 0,44
ρm (g/cm3) = 7,20
31
34' RM mρπ=
Solución numéricaIgualando las dos expresiones para M’
( ) 31
32
00 - RR
Lm ρρρρ +=
26
FLUIDOSFLUIDOSP07.10. EXAMEN B3. CURSO 2006/2007
Un tanque de forma cilíndrica es utilizado para almacenaje de agua. El área de su base es S m2. Un grifo en la parte superior aporta un flujo másico de C1 kg/s, mientras que un desagüe situado en la parte inferior deja salir fuera C2 y kg/s, donde y representa la altura de la superficie del líquido sobre el fondo plano del tanque. Además, existe un rebosadero a una altura h m por encima del desagüe. Suponiendo que al comienzo de una jornada el tanque contiene inicialmente V0 litros, y que se abren al mismo tiempo el grifo de entrada y eldesagüe, calcular:
a) El tiempo que tarda la superficie del agua en alcanzar el rebosadero (si es que lo alcanza).
b) En caso de que no hubiese rebosadero, calcular el máximo nivel sobre el fondo que puede alcanzar el agua. c) Haga una gráfica de la altura alcanzada por el agua en función del tiempo, señalando en la misma los valores obtenidos en los apartados a) y b).
27
FLUIDOSFLUIDOSP07.10. EXAMEN B3. CURSO 2006/2007 (CONTINUACIÓN)
0y
1m&
2m&
Rebosadero
h
)( ty
0V
S
)(tV
Ecuación de continuidad 21 mmdtdm
&& −=
)( )( )( tyStVtm ρρ ==S
Vy 00 =
agua del densidad →ρ
)( 21 tyCCdtdm
−=
(kg/s) 11 Cm =&
s))kg/(m( 222 ⋅→= CyCm&
dtdyS
dttdV
dtdm )( ρρ ==
yCCdtdyS 21 −=ρ
dtSyCC
dy 1
21 ρ=
− ∫∫ =−
ty
y
dtSyCC
dy
021
1
0
ρ
( )yCCLnCu
duCyCC
dy21
2221
11−−=−=
− ∫∫du
CdyyCCu
221
1 −=→−=
( )ty
y
tS
yCCLnC
0
21
2 11
0ρ
=−− tS
CyCCyCCLn
2
021
21
ρ−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−− ( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=− t
SCyCCyCC
exp 202121 ρ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−= t
SCy
CC
CCy
exp 2
02
1
2
1
ρ
28
FLUIDOSFLUIDOSP07.10. EXAMEN B3. CURSO 2006/2007 (CONTINUACIÓN)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−= t
SCy
CC
CCy
exp 2
02
1
2
1
ρ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−==
02
1
2
1
2
yCC
hCC
LnC
St hyρa) El tiempo que tarda la superficie del agua en
alcanzar el rebosadero (si es que lo alcanza).
b) En caso de no existir rebosadero, calcular el máximo nivel sobre el fondo que puede alcanzar el agua.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
∞→t
SCy
CC
CCy
tmáx
exp 20
2
1
2
1lim ρ 2
1
CC
=
Valores numéricos
V 0 (litros) = 100V 0 (m
3) = 0,1S (m2) = 10ρ (kg/m3) = 1000
C 1 (kg/s) = 0,6C 2 (kg/m.s)= 0,5
y 0 (m) = 0,01C 1/C 2 (m) = 1,2C 1/C 2-y 0 = 1,19C 2/ρ S = 0,00005
h (m) = 1
( )ty 00005.0exp19.12.1 −−=
( )( ) s 35668
01.02.112.1
00005.01
=−
−−== Lnt hy
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
∞→t
SCy
CC
CCy
tmáx
exp 20
2
1
2
1lim ρ
m 20.12
1 ==CCymáx
0y
1m&
2m&
Spillway
h
)( ty
0V
S
)(tV
29
FLUIDOSFLUIDOSP07.10. EXAMEN B3. CURSO 2006/2007 (CONTINUACIÓN)
c) Nivel de agua frente a tiempo
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−= t
SCy
CC
CCy
exp 2
02
1
2
1
ρ( )ty 00005.0exp19.12.1 −−=
0,0 2,0x104 4,0x104 6,0x104 8,0x104 1,0x105 1,2x105 1,4x1050,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
t (s)
y (m)
El nivel de agua llega al rebosadero
y = h = 1 m
t = 35668 s
Altura máxima si no hubiese rebosadero
1.20 m
30
10 moles de un gas ideal monoatómico inicialmente a 20 ºC se expanden reversiblemente de acuerdo con la relación p = aV, donde p, V representan la presión y el volumen, respectivamente, y a es una constante. El volumen al final de la expansión es el doble del volumen inicial. La constante universal de los gases es R = 8.314 J/(K⋅mol)1. Representar el proceso en un diagrama p-V (1 p).2. Determinar la temperatura final (1.5 p).3. Calcular el trabajo en la expansión (1.5 p).
p
V
1
2
V1 V2=2V1
aVp =11 aVp =
22 aVp =
nRVpT 11
1 =
nRVpT 22
2 =
Conocemos T1 = 20º C = 293 K
Debemos encontrar una relación que nos permita hallar el valor de T2 sabiendo T1 y la relación de volúmenes inicial y final.
22
11
2
1
VpVp
TT
=2
1
2
1
VV
pp
=2
2
1⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
VV
12 mVV =
21⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
m 12
2 TmT =
(en este caso m = 2)
C º899K 11729322 21
22 ==⋅== TmT
Trabajo en la expansión:
[ ] 2
1 2
2
1
2
1
2
VV
V
V
V
V
VadVVapdVW === ∫∫ [ ] [ ] 21
221
22 1
2
2VmaVVaW −=−=
nRaVT
21
1 =a
nRTV 121 =
[ ] 12 1
2TmnR
−=
[ ] J 36540932 12 2
314.810 2 =⋅−⋅
=W
TERMODINTERMODINÁÁMICAMICAP07.11. EXAMEN A4. CURSO 2006/2007
31
TERMODINTERMODINÁÁMICAMICAP07.12. EXAMEN B4. CURSO 2006/2007
Un gas ideal de coeficiente adiabático γ = 1.4 ejecuta un ciclo de potencia formado por las siguientes etapas:1→2.
El gas se expande politrópicamente (índice de politropía k1 = 1.35) desde las condiciones V1 = 1 litro, P1 = 7.87 bar, hasta que su volumen se duplica.
2→3. El gas se enfría a volumen constante, hasta que su temperatura es T3 = 280 K.
3→1.
El gas se comprime politrópicamente hasta restituir las condiciones iniciales (sea k2 el índice de politropía de este proceso, que deberá determinarse).
Se supone que todas las etapas son reversibles. La masa de gas es n = 0.20 moles, y la constante universal de los gases es R = 8,314 J/(K·mol). Se pide:A) Calcular las coordenadas de presión y temperatura en todos los puntos notables del ciclo (2 p).
C) Calcular el trabajo asociado con cada una de las etapas del ciclo, discutiendo su signo (2 p).
D) Calcular el calor asociado con cada una de las etapas del ciclo, discutiendo su signo (2 p).
E) Determinar el rendimiento del ciclo (1 p).F) Calcular la variación de entropía de cada una de las etapas del ciclo (2 p).
B) Determinar el índice k2 y representar gráficamente el ciclo en un diagrama de Clapeyron (P-V) (2 p).
32
TERMODINTERMODINÁÁMICAMICAP07.12. EXAMEN B4. CURSO 2006/2007 (CONTINUACIÓN)
R (J/K.mol) 8,314n (mol) 0,2V1 (l) 1P1 (bar) 7,87V2 (l) 2T3 (K) 280k1 1,35γ 1,4
V1 (m3) 0,001
P1 (Pa) 787000V2 (m
3) 0,002k1 1,35 P1V1
k1 70,141449V3 (m
3) 0,002k2 1,7573 P1V1
k2 4,2073464cv (J/K.mol) 20,785
T (K) V (m3) P (Pa)1 473,3 0,001 7870002 371,3 0,002 3087343 280,0 0,002 232792
En azul, los datos iniciales
Cálculo del índice k2
233
211
kk VpVp =
123 2VVV ==
( )( )31
132 ln
lnVVppk =
Se calcula p3usando la ley de los gases ideales
1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,02
3
4
5
6
7
8 1
2
3
1k
2k
)bar( p
)litros( V
1−
−=
kVpVp
W ffiiopolitrópic
11 −
−+
−
−=
γiiffffii
opolitrópic
VpVpk
VpVpQ ( ) ( )( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
−−=
11 γγ
kkTTnR if
( )1−
−=
kTTnR fi
0>W
0<W
0>Q
0<Q0>Q
Observe que en la etapa 1→2 se verifica0 0 112 <−<− γkTT
Los demás se calculan usando la ecuación de estado del gas ideal, y para T2, la
ecuación adiabática en función de T y V.( )1−
=γ
RcV( )23 TTcnQ VV −=
33
TERMODINTERMODINÁÁMICAMICAP07.12. EXAMEN B4. CURSO 2006/2007 (CONTINUACIÓN)
Q (J) W (J) ∆U (J)Polit 1→2 60,55 484,38 -423,83Isoc 2→3 -379,71 0,00 -379,71Polit 3→1 379,13 -424,41 803,54Qin, Wout 439,68 59,97 0,00
Calor y trabajo
( )1−
−=
kTTnR fi
1−
−=
kVpVp
W ffiiopolitrópic
11 −
−+
−
−=
γiiffffii
opolitrópic
VpVpk
VpVpQ ( ) ( )( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
−−=
11 γγ
kkTTnR if
( )23 TTcnQ VV −=
1321
1321
→→
→→
+
+==
politpolit
politpolit
in
out
QQWW
QWη 136.0
68.43997.59
==Rendimiento
Incremento de entropía (politrópicas)Cálculo entropíasVolumen auxiliarV(k1) (m
3) 0,00109V(k2) (m
3) 0,00371∆S12 (J/K) 0,144 Politropica∆S23 (J/K) -1,174 Isocora∆S31 (J/K) 1,030 Politropica∆Sciclo (J/K) 0,000
( )1/1 −
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
γγ
ii
ff
VpVp
V( )1/1 −
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
γγ
ii
ff
VpVp
VVVnRS iln−=∆
Incremento de entropía (isocórica)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
===∆ ∫∫ i
f
T
T
vV
TTRn
TdTnc
TQS
f
i
ln1γ
δ