Fundamentos Máquinas Eléctricas Cilíndricas

ESCUELA POLITCNICA NACIONAL

DEPARTAMENTO DE ENERGA ELCTRICA REA DE MQUINAS ELCTRICAS

DR. ING. HUGO ARCOS M. 102

3.3. Mquinas cilndricas

Figura 15 Montaje del bobinado sobre un estator cilndrico

Figura 16 Rotor de polos salientes en un estator cilndrico

Figura 17 Rotor cilndrico en un estator cilndrico




Si las fuentes del estator y del rotor tuvieran diferentes frecuencias, existiran dos velocidades sincrnicas. Solo una de ellas podra ser satisfecha, mientras que la otra provocara un par oscilatorio y adems indeseables oscilaciones de velocidad. Es deseable eliminar uno o los dos pares de reluctancia y concentrarse en el de inductancia mutua, el cual permitir que la mquina opere a velocidad variable. En la mquina cilndrica la Ec. [106] se reduce a:

N.m 2

2

d

dLii

d

dLiT srrs

sss [107]

El primer trmino de la Ec. [107] determina la velocidad sincrnica de esta mquina, que es aquella velocidad en radianes por segundo que es igual a la frecuencia angular de la fuente del estator. El segundo trmino de la Ec. [107] es til solamente si produce un par promedio a esa misma velocidad sincrnica. Es deseable sin embargo eliminar el primer trmino pues en la prctica se requiere mquinas que puedan girar a velocidad continuamente variable. Quedara entonces solo el par debido a la interaccin entre las fmms de los dos bobinados. Este par no est sujeto a ninguna restriccin de velocidad.

Para lograr (dLss/d) = 0, el rotor debe proveer al flujo producido por el estator un camino de reluctancia constante e independiente de la posicin del rotor. Para esto se bobina el rotor como se indica en la Fig. 17. Para esta mquina los pares de reluctancia son efectivamente cero y

N.m d

dLiiT srrs [108]

Como los bobinados de estator y rotor van a ser excitados por fuentes de tensin sinusoidales, es conveniente que todas las variables en el sistema incluyendo la inductancia mutua Lsr sean funciones sinusoidales del tiempo. Esto se logra si las corrientes is e ir actuando individualmente o en conjunto producen una densidad de flujo magntico distribuida sinusoidalmente a lo largo del entrehierro.




Figura 18 Densidad de flujo distribuida sinusoidalmente en el entrehierro (a) Debido a la fmm

del estator. (b) Debido a la fmm del rotor.

Para el estator (corriente is) T sin ss BB [109]

Para el rotor (corriente ir) T sin rr BB [110]

La resultante de estas dos distribuciones para cualquier ngulo y para magnitudes cualesquiera Bsmax y Brmax que dependen de is e ir, estar tambin sinusoidalmente distribuida en el entrehierro. Para lograr la distribucin indicada en la Ec. [109], la fmm debida al estator, actuante a travs del entrehierro debe estar sinusoidalmente distribuida en el entrehierro. Esto podra lograrse si los conductores estuvieran distribuidos sobre el estator

en modo tal que para una posicin la densidad de conductores, medida en

cantidad de conductores por arco de radia, fuera proporcional a cos .

s/radconductore cos2

ssN

n [111]

Ns = nmero total de vueltas del bobinado del estator.

Una distribucin de conductores similar a esta, pero sobre el rotor conducira a la distribucin de densidad de flujo indicada en la Fig. 18 (b).




3.3.1 Bobinados concntricos

Figura 19 Bobinado concntrico para un estator de 12 ranuras

Distribucin de conductores que se aproxima a la ideal sinusoidal:

sq

sq

sq d

NN

/2

/12cos

2

[112]

s = nmero de ranuras sobre el estator Nq = cantidad de conductores en la ranura genrica q Ns = nmero total de conductores La bobina en las ranuras a f tiene 0.25 Ns vueltas La bobina en las ranuras b-e tiene 0.183 Ns vueltas La bobina en las ranuras c-d tiene 0.067 Ns vueltas; Total entre las 3 = 0.5 Ns




Figura 20 Bobinado extendido y distribucin de fmm para el estator de 12 ranuras

La fmm actuante en un camino de flujo en la posicin es la corriente neta encerrada por tal camino. Por simetra la fmm a travs de cada uno de los dos entrehierros del camino es la mitad de la fmm total de ese camino. La distribucin espacial de la fmm a lo largo del entrehierro que toma la forma de onda escalonada mostrada en la Fig. 20 (b) puede describirse mediante la serie de Fourier.

A ...13sin0380.011sin0449.0sin494.0 sssg iN [113] No existen componentes de orden inferior a 11. Las componentes de orden superior a 13 son despreciables frente a la fundamental. Ns is /2 = mxima amplitud de la onda escalonada de la Fig. 20(b)




a1 Ns is /2 = amplitud de la componente fundamental (a1 /2 = 0.494; a1 = 0.988)

Se puede considerar que la componente fundamental es originada por un bobinado de Nse vueltas efectivas, que est idealmente distribuido de acuerdo a la Ec. [111] y que produce una onda sinusoidal de fmm de amplitud Nse is /2.

a1Nsis/2 ssse NNaN 989.01 [114]

De ac en ms se usar Nse (estator) y Nre (rotor). Los nmeros reales de vueltas Ns (estator) y Nr (rotor) son nmeros enteros, mientras que Nse (estator) y Nre (rotor) no necesariamente lo son. 3.3.2. Produccin de par en la mquina cilndrica.

Figura 21 Produccin de par en una mquina cilndrica

N y S en el estator indican los puntos de la periferia en los que B sera mximo si solo actuara la corriente del estator. Debido a la distribucin sinusoidal efectiva de conductores en el estator y en el rotor, la inductancia mutua se expresa como:

H cos srsr LL [115]

Supngase que las corrientes en ambos bobinados sean,

A cos tii sss [116]

A cos tii rrr [117]




Y que el rotor gira a velocidad angular

rad/s dt

dm

[118]

La posicin del rotor en el instante t es

rad 0 tm [119]

Con 0 = posicin para t = 0 El par instantneo en una mquina puede obtenerse sustituyendo las Ecs. [115], [116], [117], y [119] en la Ec. [108]. Esto da

N.m sincoscos 0 tttLiiT mrssrrs [120] El producto de tres trminos trigonomtricos puede ser expandido para dar

N.m

sin

sin

sin

sin

4

0

0

0

0

t

t

t

t

LiiT

rsm

rsm

rsm

rsm

srrs [121]

El par promedio Tav desarrollado por la mquina es cero a menos que se cumpla que:

rad/s msm [122] La condicin necesaria para que se desarrolle un par promedio en la mquina es

rad/s rsm [123]

Diferentes combinaciones de excitaciones elctricas y mecnicas que satisfacen la Ec. [123] determinan los tipos de mquinas que se pueden construir. Casos particulares de inters

A. Sea 0 rs ; las excitaciones son corrientes continuas Is e Ir y = 0

Sea 0m , tal que se satisface la Ec. [123]. Sustituyendo estos valores en

Ec. [121] resulta

N.m sin 0rsrs LIIT [124]




Bajo estas condiciones la mquina opera como un actuador de corriente continua, desarrollando un par constante contra cualquier desplazamiento

0 producido por un par externo aplicado al eje del rotor.

B. Sea rs ; ambas excitaciones son corrientes alternadas de la misma

frecuencia. Sea 0m , tal que se satisface la Ec. [123]. Sustituyendo estos

valores en la Ec. [121] resulta un par formado por dos trminos alternados y dos trminos constantes. El par desarrollado es fluctuante y tiene un valor promedio de:

N.m cossin2

0

srrsav

LiiT

[125]

Si los dos bobinados estuvieran conectados en serie, sera cero, y el

trmino cos en la Ec. [125] resultara la unidad.

C. Sea 0r , 0s ; la excitacin del rotor es corriente continua Ir, y = 0.

Sea sm , tal que se satisface la Ec. [123]. Sustituyendo estos valores en

Ec. [121] resulta un par promedio

N.m sin2

0

srrsav

LiiT

[126]

Entonces si el rotor fuera llevado a una velocidad de s rad/s, se establecera un par promedio unidireccional y tendra lugar una continua conversin de energa a velocidad sincrnica.

D. Sean s y r dos frecuencias angulares diferentes y considrese la condicin

rad/s rsm [127]

Que satisface la Ec. [123]. Sustituyendo estos valores en Ec. [121] resulta un par promedio

N.m sin4

0

srrsav

LiiT [128]

Entonces si el rotor fuera llevado a una velocidad de ( rs ) rad/s, se

establecera un par promedio unidireccional y tendra lugar un continua conversin de energa a velocidad asincrnica.

Debera notarse que en ninguna de las mquinas rotantes, para las que el par promedio est dado por las Ec. [126] y [128], acelerara desde el reposo con

valores constantes de las frecuencias de suministro s y r, puesto que

ninguna desarrolla un par promedio unidireccional a m = 0.




Cada una de las posibles condiciones que satisfacen la Ec. [123] conduce a la produccin de un par unidireccional promedio y por lo tanto a la posibilidad de conversin de energa. Exceptuando el caso del actuador de corriente continua, el par instantneo en cada caso es pulsante, debido a los trminos sinusoidales que se mantiene cuando las excitaciones especificadas se sustituyen en la Ec. [121]. Este par pulsante es un comportamiento indeseado en un motor o generador, puesto que puede conducir a fluctuacin de velocidad, vibracin, ruido o despilfarro de energa. Solo en algunas pequeas mquinas es aceptable este par pulsante. Dado que el par pulsa mientras la velocidad es relativamente constante, la potencia desarrollada por un convertidor de energa del tipo ilustrado en la Fig. 21 debe tambin pulsar. Potencia pulsante es un comportamiento de sistemas excitados por fuentes alternas monofsicas, y esto indica que puede encontrarse un mejoramiento empleando fuentes polifsicas que desarrollan potencia constante en sistemas equilibrados. Ejemplo 6: Un dispositivo tal como el mostrado en la Fig. 21 tiene bobinados similares en el estator y en el rotor. Los parmetros elctricos son:

Rs = 0.4 Rr = 0.4 Lss = 45 mH Lrr = 45 mH

srL = 40 mH

Figura 22

a) Determine el par promedio producido a un ngulo del rotor de 45 cuando la

mquina es empleada como un actuador con sus dos bobinados en serie, como se indica en la Fig. 22 y excitado por:

i. Una fuente de corriente continua de 10 V ii. Una fuente de corriente alterna, 115 V, 60 Hz




b) Si el estator fuera excitado con una fuente de 60 Hz, y el rotor con una

fuente de 25 Hz, a qu velocidad o a qu velocidades sera capaz la mquina de convertir energa?

3.4. Condicin para par constante

En la Fig. 21, expresa la posicin del rotor, y la de cualquier punto en el entrehierro. De las Ecs. [113] y [114], la componente fundamental de la fmm del estator es

A sin2

1 sse

sg

iN [129]

Y para el rotor

A sin2

1 rre

rg

iN [130]

En adelante se omite el subndice 1

Figura 23 Diagrama desarrollado de las fmm del estator y del rotor

Las amplitudes de las fmm para el instante considerado son:

A 2

;2

rrerg

ssesg

iNiN [131]

Reemplazando las Ecs. [115] y [131] en la Ec. [108] resulta el par instantneo

N.m sin rgsgKT [132]

H 4

rese

sr

NN

LK [133]




La constante K depende de los parmetros de la mquina. T es proporcional a los valores pico de las fmm y al seno del ngulo entre los ejes de simetra de ambas distribuciones de fmm.

Para corrientes positivas y > 0, es T < 0, el par acta en una direccin tal que tiende a hacer coincidir los ejes de las fuerzas magnetomotrices. De la Ec. [132] surge que un par constate que no vare ni con el tiempo ni con la posicin del rotor podra obtenerse siempre que fuera posible producir dos ondas de fmm de amplitudes constantes y desplazadas entre s un ngulo constante. Si uno de los bobinados es estacionario y el otro es rotante, como es posible mantener un ngulo constante entre los ejes de las fmm del estator y del rotor? Hay tres posibles respuestas:

i. Si la fmm del estator es fija en el espacio, el eje de la fmm del rotor debe tambin estar fijo en el espacio, an cuando el bobinado del rotor sea rotante.

ii. Si la fmm del rotor es fija respecto del rotor, el eje de la fmm del estator

debe girar a la velocidad del rotor respecto del bobinado fijo del estator. iii. Los dos ejes de las fmm deben rotar con respecto a sus bobinados a

velocidades relativas tales que esos ejes entre s permanezcan estacionarios.

En cada una de estas 3 respuestas los valores sg y rg deben ser constantes.

En la Ec. [132] define tanto la posicin del rotor como el ngulo entre los ejes de las fmm. Si el eje de la fmm del rotor llega a girar respecto del bobinado del rotor, entonces la posicin del rotor no define ya el ngulo entre los ejes de las fmm.

Por lo tanto para indicar este ngulo se emplear en adelante la letra griega ,

mientras que ser reservada para la posicin del rotor. La Ec. [132] se transforma en

N.m sin rgsgKT [134]

Donde es el ngulo entre los ejes de las dos fuerzas magnetomotrices.




3.4.1. Estator de dos bobinados

Figura 24 Mquina con dos bobinados en el estator

Dos bobinados a 90; cada uno de ellos sinusoidalmente distribuido (distribucin sinusoidal de fmm en la periferia del estator) fmm de pico = valor variable pues depende de la magnitud y el sentido de la corriente en el bobinado

Figura 25 Fuerza magnetomotriz debida al bobinado aa en la Fig. 24

A i imax corresponde Fag (de pico) en la Fig. 25 (curva discontinua)

A i = imax corresponde Fgmax (de pico) en la Fig. 25 (curva continua)

A cos tii ssa [135]

A 2

cos

tii ssb [136]




Figura 26 Variacin en el tiempo de las corrientes en los bobinados de la Fig. 24

Para A ,

A ,

gmazbgsb

gmazagsa

ii

ii

[137]

De donde:

A cos max tsgag [138]

A sin max tsgbg [139]

Considerando una serie de valores instantneos de las dos fmm puede determinarse para cada instante la magnitud y el valor de pico de la onda de fmm resultante

Figura 27 Direccin de la fmm resultante en el estator

de la Fig. 24 para los instantes t = 0, /6, /3, /2.




La onda de fmm rotante produce un par de polos en la superficie interior del

estator, que viaja alrededor de l a s rad/s.

Figura 28 Polos rotantes del estator.

El valor de pico de la resultante de la onda de fmm del estator coincide con el eje de una bobina cuando por ella circula el valor mximo de corriente. 3.4.2. Estator Trifsico

Figura 29 Fuerza magnetomotriz debida a un nico bobinado sinusoidalmente distribuido.

El Bobinado pp de Nse vueltas efectivas sinusoidalmente distribuido y que lleva la corriente ip. Su centro se ubica a un ngulo . La fmm de pico aplicada a cada tramo de entrehierro en el eje de la bobina es Nseip/2

Para = + /2, es (Nse ip) > 0 (de estator a rotor)




Para = - /2, es (Nse ip) < 0 (de rotor a estator) La fmm total debida al bobinado pp actuante alrededor del camino ubicado el ngulo es:

A 2

cos

psepath iN [140]

La fmm que acta en el entrehierro a un ngulo es:

A sin22

cos2

psepse

sg

iNiN [141]

Figura 30 Estator trifsico

Bobinado trifsico, cada uno con Nse vueltas efectivas, sinusoidalmente

distribuido y separado de su bobinado vecino un ngulo de 2/3 radianes en la secuencia a, b, c sobre la periferia del estator.

Para las corrientes ia, ib, ic la fmm resultante en el entrehiero para un ngulo vale:

A 3

4sin

23

2sin

2sin

2

csebseasesg

iNiNiN [142]

Se alimentan los bobinados con un sistema trifsico balanceado de corrientes

de amplitud ismax (valor de pico), de frecuencia angular s y de secuencia a, b, c:




A 3

4sin

A 3

2sin

A sin

sssb

sssb

sssa

tii

tii

tii

[143]

Sustituyendo Ec. [143] en Ec. [142]

A

3

4sin

3

4sin

3

2sin

3

2sinsinsin

2

ss

ssss

ssesg

t

ttiN

[144]

Expandiendo los trminos sinusoidales de Ec. [144]

A

3

8cos

3

4cos

coscos3

4

ssss

ssss

ssesg

tt

ttiN

[145]

Los ltimos 3 trminos del parntesis rectangular de la Ec. [145] suman cero,

A cos ssgsg t [146] Donde

A 4

3 sse

g

iN [147]

La expresin de la Ec. [146] describe un campo magntico rotante sinusoidalmente distribuido.

En cualquier punto particular sobre la periferia del estator la fmm actuante a travs del entrehierro es una funcin sinusoidal del tiempo.

En cualquier instante t la fmm actuante a travs del entrehierro es una

funcin sinusoidal de , y el valor mximo positivo (valor de pico de esta

fmm ocurre all donde = st + s.

A medida que t aumenta, el ngulo para el cual se produce el pico positivo de fmm debe tambin aumentar, de modo tal que la distribucin de fmm avanza como una onda espacial de forma y amplitud invariables a lo largo del entrehierro.

Igual que en el caso del estator de dos bobinados, se puede concebir que en la periferia interna del estator aparecen polos Norte (N) y Sur (S)

que rotan a la velocidad s radianes/s como se ilustra en la Fig. 28.




La direccin de rotacin de la onda de fmm puede revertirse, revirtiendo la secuencia de fases de las corrientes del estator.

Se debe tambin notar que cuando ia = ismax (valor de pico), esto es

cuando st + s = /2, entonces de la Ec. [146] el valor de pico positivo

de fmm actuante a travs del entrehierro ocurrir para = /2 a lo largo del eje del bobinado a.

En general cuando la corriente en cualquier bobinado es igual al valor de

pico entonces la fmm sobre el eje de tal bobinado es max g .

Las Ecs. [144] y [147] describen el campo magntico rotante producido por un bobinado trifsico.

Otros nmeros de fases pueden tambin ser usados para producir un campo

rotante. Para ms fases, los bobinados estn desplazados unos de otros 2/ms radianes y la fmm del entrehierro est dada por las Ecs. [146] y [147], excepto que el factor 3 es reemplazado por ms.

Ejemplo 7: Una mquina con estator de 4 fases es excitada por un sistema de 4 fases, 5 conductores, 60 Hz, de 115 V de lnea a neutro. Los parmetros de la mquina son:

Nse = 300; Lss = 0.07 H; Lab = 0; longitud del entrehierro g = 1.5 mm Los 4 bobinados estn sinusoidalmente distribuidos y desplazados unos de

otros /2 radianes. La resistencia de cada bobinado es despreciable. El diagrama del circuito se muestra en la Fig. 31. Asumiendo reluctancia despreciable de las partes ferromagnticas del circuito obtenga una expresin para la densidad de flujo producida en el entrehierro cuando los terminales c y d en la Rig. 31 estn desconectados y determine la densidad de flujo de pico producida en el entrehierro.

Figura 31 Diagrama para Ejemplo 7.

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