TEMA 1: CURVAS

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

TEMA 1: CURVAS1. CÓNICAS

* Parábolas* Elipses* Hipérbolas* Ecuación General de una cónica

2. ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE UNA CURVA

3. COORDENADAS POLARES EN EL PLANO

* Coordenadas polares* Curvas en coordenadas polares

CÓNICAS

CÓNICASSUPERFICIE CÓNICA DE REVOLUCIÓN

eje

generatriz

vértice

PARÁBOLA HIPÉRBOLA

SECCIONES CÓNICAS O CÓNICAS

ELIPSE

Ecuación general de una cónica

CÓNICAS

ECUACIÓN GENERAL DE UNA CÓNICA

Proposición

Si una cónica no degenerada viene dada por la ecuación

, la cónica será:

- parábola, si A=0 ó C=0, pero no ambos coeficientes nulos

- elipse, si A y C tienen el mismo signo

- hipérbola, si A y C tienen distinto coeficiente

022 =+++++ FEyDxCyBxyAx

Parábolas

CÓNICASPARÁBOLASDefinición y elementos

P(x,y)

Foco (F)

Directriz (d)

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano, P(x,y) que equidistan de un punto fijo llamado foco (F) y de una recta fija dada llamada directriz (d).

),(),( dPdFPd =

P ∈ parábola determinada por la recta r y el punto F ⇔

Directriz (d)

Foco (F)

P(x,y)

CÓNICASPARÁBOLASDefinición y elementos

P(x,y)

Foco (F)

Directriz (d)

* Eje es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.

* Vértice es el punto de intersección de la parábola con su eje.

Vértice

EjeDirectriz (d)

Foco (F)

P(x,y)

CÓNICASPARÁBOLAS

Ecuación reducida o canónica de una parábola

X

X

Y Y

(0,0)

(0,0)

X X

Y Y

(0,0) (0,0)

Posición estándar

CÓNICASPARÁBOLAS

Teorema

i) La ecuación reducida de la parábola con vértice (0,0) y Foco (0,c) es:

Ecuación reducida o canónica de una parábola

X

X

Y Y

(0,0)

(0,0)

2

41 xc

y =

•Si c>0, la parábola se abre en la dirección positiva del eje Y.

•Si c<0, la parábola se abre en la dirección negativa del eje Y.

F(0,c)

d: y=-c

F(0,c)

d: y=-c

CÓNICASPARÁBOLAS

Teorema

ii) La ecuación reducida de la parábola con vértice (0,0) y Foco (c,0) es:

Ecuación reducida o canónica de una parábola

2

41 yc

x =

•Si c>0, la parábola se abre en la dirección positiva del eje X.

•Si c<0, la parábola se abre en la dirección negativa del eje X.

X X

Y Y

(0,0) (0,0)

CÓNICASPARÁBOLASParábolas trasladadas

X

Y

O(0,0)

X’

Y’

O’(h,k)

2'41' xc

y =

En el sistema de referencia X’Y’, la ecuación canónica de la parábola viene dada por la expresión:

CÓNICAS

( )241 hxc

ky −=−

PARÁBOLASParábolas trasladadas

Teorema

i) La ecuación de la parábola con vértice V(h,k) y eje de simetría paralelo al eje Y es:

ii) La ecuación de la parábola con vértice V(h,k) y eje de simetría paralelo al eje X es:

, con foco F(h,c+k) y directriz y=k-c.

( )241 kyc

hx −=− , con foco F(c+h,k) y directriz x=h-c.

CÓNICASPARÁBOLAS

CÓNICASPARÁBOLASAplicaciones

X

Y

O

P(x,y)F α

α

Propiedad reflectora de la parábola:La recta tangente a una parábola en un punto P forma ángulos iguales con las siguientes rectas:-la que pasa por P y por el foco F,-la que pasa por P y es paralela al eje de simetría de la parábola.

Elipses

CÓNICASELIPSESDefinición y elementos

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano, P(x,y) tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos denominados focos (F y F’) es una constante dada, siendo este valor mayor que la distancia entre los focos.

teconsFPdFPd tan)',(),( =+

P ∈ elipse ⇔P (x,y)

FF’

CÓNICASELIPSESDefinición y elementos

- Focos son los puntos fijos F’ y F. La distancia entre ambos es 2c.- Centro (C) es el punto medio entre los dos focos.- Ejes de simetría son la recta que pasa por los focos y su perpendicular por el punto C.

P (x,y)

FF’ C

- Vértices son los puntos de intersección de los ejes con la elipse (A, A’, B y B’).- Eje mayor es el segmento AA’de longitud 2a (a es el valor del semieje mayor)- Eje menor es el segmento BB’de longitud 2b (b es el valor del semieje menor.- Excentricidad, e, al número resultante de dividir la distancia entre los focos, entre la longitud del eje mayor,

AA’

B’

B

ace /=

CÓNICAS

)',(),()',(),( FBdFBdFAdFAd +=+

ELIPSES (relación entre el semieje mayor y el semieje menor)

FF’ C(0,0)A(a,0)A’(-a,0)

B’(0,-b)

B(0,b)

A y B pertenecen a la elipse:

c

ba

222 cba +=

CÓNICASELIPSES

OBSERVACIONES:

1. La constante que aparece en la definición de la elipse es 2a, es decir,

P ∈ elipse ⇔ aFPdFPd 2)',(),( =+

con 2a>d(F,F’)=2c.

2. La longitud del eje mayor es mayor o igual a la del eje menor, esto es, a ≥ b. La igualdad se verifica cuando c = 0, en cuyo caso los focoscoinciden en un mismo punto, y en este caso la elipse es una circunferencia de radio a = b.

3. Para dibujar una elipse basta con fijar dos puntos y atar los extremos de la cuerda a dos puntos fijos y se mantiene la cuerda tensa al mismo tiempo que se desliza un lápiz (Método del jardinero).

CÓNICASELIPSES

OBSERVACIONES:

3. Para dibujar una elipse basta con fijar dos puntos y atar los extremos de la cuerda a dos puntos fijos y se mantiene la cuerda tensa al mismo tiempo que se desliza un lápiz (Método del jardinero).

CÓNICASELIPSES

OBSERVACIONES:

4. La excentricidad es un número que mide el achatamiento mayor o menor de la elipse:

-Si c < a, la excentricidad de la elipse es menor que 1, es decir, e < 1.- Si c → 0, la excentricidad e → 0. En este caso la elipse es una circunferencia (los focos se aproximan).- Si c → a , la excentricidad e → 1. En este caso, el vértice B se aproxima al centro y la elipse al segmento AA’.

CÓNICASELIPSES

Ecuación reducida o canónica de una elipse

Posiciones estándar

−5 0 5−5

0

5

−5 0 5−5

0

5

X X

Y Y

O (c,0)(-c,0)(a,0)(-a,0)

(0,b)

(0,-b)

(b,0)(-b,0)

(0,a)

(0,-a)

(0,c)

(0,-c)

Eje mayor horizontal Eje mayor vertical

Teorema

La ecuación reducida de una elipse de centro (0,0), ejes de longitud 2a y 2b con a ≥ b y focos en el eje mayor a distancia c del centro, siendo a2=b2+c2, es:

i) , si el eje mayor es horizontal.

ii) , si el eje mayor es vertical.

CÓNICAS

12

2

2

2

=+by

ax

12

2

2

2

=+by

ax

ELIPSESEcuación reducida o canónica de una elipse

−5 0 5−5

0

5

−5 0 5−5

0

5

X X

Y Y

O (c,0)(-c,0)(a,0)(-a,0)

(0,b)

(0,-b)

(b,0)(-b,0)

(0,a)

(0,-a)

(0,c)

(0,-c)

12

2

2

2

=+bx

ay

CÓNICASELIPSESElipses trasladadas

X

Y

O

X’

Y’

O’(h,k)

1''2

2

2

2

=+by

ax

En el sistema de referencia X’Y’, la ecuación canónica de la elipse viene dada por la expresión:

ó 1''2

2

2

2

=+bx

ay

CÓNICASELIPSESElipses trasladadas

X

Y

O

X’

Y’

O’(h,k)

1''2

2

2

2

=+by

ax

En el sistema de referencia X’Y’, la ecuación canónica de la elipse viene dada por la expresión:

ó 1''2

2

2

2

=+bx

ay

CÓNICAS

( ) ( ) 12

2

2

2

=−

+−

bky

ahx

ELIPSESElipses trasladadas

Teorema

i) La ecuación de la elipse de centro C(h,k) y eje mayor paralelo al eje X es:

ii) La ecuación de la elipse de centro C(h,k) y eje mayor paralelo al eje Y es:

, con a ≥ b.

( ) ( ) 12

2

2

2

=−

+−

bhx

aky

, con a ≥ b.

CÓNICASELIPSESAplicaciones

Propiedad reflectora de la elipse:

La recta tangente a una elipse en un punto P forma ángulos iguales con las rectas que lo unen a sus focos.

Como consecuencia se tiene que un rayo de luz procedente de uno de los focos se reflejará, en un espejo elíptico pasando por el otro foco.

Hipérbola

CÓNICASHIPÉRBOLAS

Definición y elementos

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano, P(x,y), tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante dada que es menorque la distancia entre los focos.

X

Y

P (x,y)

FF’ C

* Centro (C) es el punto medio entre los focos. La distancia entre los focos es 2c.

•Ejes de simetría son las rectas que unen los focos y su perpendicular.

•Los puntos A, A’, B y B’son los vértices de la hipérbola.

AA’

B

B’

CÓNICASHIPÉRBOLAS

Definición y elementos

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano, P(x,y), tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante dada que es menorque la distancia entre los focos.

X

Y

P (x,y)

FF’ C

* Eje transversal es el segmento AA’ de longitud 2a.

•Eje conjugado es el segmento BB’ de longitud 2b.

•En el triángulo rectángulo CAB se cumple el teorema de Pitágoras:

AA’

B

B’222 cba =+

a

cb

CÓNICASHIPÉRBOLAS

Definición y elementos

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano, P(x,y), tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante dada que es menorque la distancia entre los focos.

* Excentricidad: e=c/a>1

X

Y

P (x,y)

FF’ C AA’

B

B’ •Si c→a, la excentricidad e→1. Las ramas se cierran y se aproximan a las semirrectas de origen A y A’ que contienen el eje focal.•Si c→∞, la excentricidad e→∞. Las ramas se abren cada vez más y se aproximan a rectas perpendiculares al eje transversal

CÓNICASHIPÉRBOLAS

Definición y elementos

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano, P(x,y), tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante dada que es menorque la distancia entre los focos.

X

Y

P (x,y)

FF’ C

P ∈ hipérbola determinada por los focos F y F’ ⇔

AA’

B

B’

( ) ( ) aFPdFPd 2',, =−

con a<c.

CÓNICASHIPÉRBOLASEcuación reducida o canónica de una hipérbola

Posiciones estándar

Eje transversal horizontal Eje transversal vertical

A’(-a,0) A(a,0)

F’(-c,0) F (c,0)

A’(0,-a)A (0,a)

F’(0,-c)

F(0,c)

Teorema

La ecuación reducida de una hipérbola de centro (0,0), vértices a distancia “a”del centro y focos a distancia “c” del centro con a<c y c2=b2+a2, es:

i) , si el eje transversal es horizontal.

ii) , si el eje transversal es vertical.

CÓNICAS

12

2

2

2

=−by

ax

HIPÉRBOLASEcuación reducida o canónica de una hipérbola

A’(-a,0) A(a,0)

F’(-c,0) F (c,0)A’(0,-a)A (0,a)

F’(0,-c)

F(0,c)

12

2

2

2

=−bx

ay

CÓNICASHIPÉRBOLASAsíntotas

Teorema

Para una hipérbola situada en posición estándar,

i) si el transversal es horizontal, las ecuaciones de sus asíntotas son

e

ii) si el eje transversal es vertical, las ecuaciones de sus asíntotas son

e xbay −=

xaby = x

aby −=

xbay =

CÓNICASHIPÉRBOLASHipérbolas trasladadas

X

Y

O

1''2

2

2

2

=−by

ax

En el sistema de referencia X’Y’, la ecuación canónica de la hipérbola viene dada por la expresión:

ó 1''2

2

2

2

=−bx

ay

X’

Y’

O’(h,k)

Teorema

Sea una hipérbola de centro c(h,k), vértices a distancia “a” del centro y focos a distancia “c” del centro y c2=a2+b2. Su ecuación y la de sus asíntotas son:

i) Si su eje transversal es horizontal,

CÓNICAS

( ) ( ) 12

2

2

2

=−

−−

bky

ahx

( ) ( ) 12

2

2

2

=−

−−

bhx

aky

HIPÉRBOLASHipérbolas trasladadas

ii) Si su eje transversal es vertical,

, asíntotas:

, asíntotas: ( )hxabky −+= ( )hx

abky −−=,

( )hxbaky −+= , ( )hx

baky −−=

CÓNICAS

222 axy =−222 ayx =−

HIPÉRBOLASHipérbola equilátera

Si a = b, la hipérbola recibe el nombre de hipérbola equilátera. Su ecuación, según sea el eje transversal horizontal o vertical será:

X

Y

P (x,y)

FF’ C

* Los valores de c y e son:

•Sus asíntotas son, en ambos casos, las rectas:

AA’

ó

2ac = 2=e,

xy = xy −=,

CÓNICAS

0≠kkxy =

HIPÉRBOLASHipérbola equilátera

Ecuación de una hipérbola referida a sus asíntotas

•Si k<0, la gráfica estásituada en el segundo y cuarto cuadrante.

•Si k>0, la gráfica estásituada eN el primer y tercer cuadrante.

siendo

CÓNICASHIPÉRBOLASAplicaciones

Propiedad reflectora de la hipérbola:

La recta tangente a una hipérbola en un punto P forma ángulos iguales con las rectas que lo unen a sus focos.

Como consecuencia se tiene que un rayo de luz procedente de uno de los focos se reflejará siguiendo la recta que pasa por el otro foco.

Coordenadas polares en el plano

COORDENADAS POLARES

Un sistema de coordenadas

polares consta de un punto fijo O

denominado polo, y una semirrecta

con origen en dicho punto llamada

eje polar.

OPolo Eje polar

P(r,θ)

θ

•(r,θ) son las coordenadas polares del punto del plano P,

donde:

r: distancia orientada desde O hasta P

θ: es el ángulo, orientado en sentido contrario a las agujas

del reloj, que forma el eje polar con el segmento de recta

OP.

RELACIÓN ENTRE COORDENADAS POLARES Y COORDENADAS CARTESIANAS

X

Y

O

P(x,y) = P(r,θ)

y

x

r

θ

θcosrx =θrseny =

222 ryx =+

xytg =θ

ECUACIONES POLARES DE LAS CÓNICAS

Teorema

Sean F un punto fijo (llamado foco) y s una recta fija (llamada directriz) en el plano. Sea e una constante positiva (denominada excentricidad). El conjunto de todos los puntos P del plano tales que

es decir, cuya relación entre la distancia d(P,F) y la distancia d(P,s), es igual a la constante e, es una sección cónica, que se identifica:

i) es una elipse si e<1,ii) es una parábola si e=1,iii) es una hipérbola si e>1.

( )( ) e

sPdFPd

=,,

ECUACIONES POLARES DE LAS CÓNICAS

Teorema

Una ecuación polar de la forma

ó

representa una sección cónica de excentricidad e, la cónica es:

i) es una elipse si e<1,

ii) es una parábola si e=1,

iii) es una hipérbola si e>1.

θcos1 eedr

±=

θesenedr

±=

1

SIMETRÍAS

(r,θ)

θ

(r,θ)

θ

(r,θ)

θ

-θ

(r,-θ)(-r,π-θ)

Respecto al eje X

π-θ(-r,-θ)(r,π-θ)

Respecto al eje Y Respecto del origen (0,0)

π+θ

(-r, θ)(r,π+θ)

Una curva dada en coordenadas polares es simétrica respecto al

1) Eje OX si al sustituir θ por -θ se obtiene una ecuación equivalente.2) Eje OY si al sustituir θ por π-θ se obtiene una ecuación equivalente.3) O(0,0) si al sustituir r por –r se obtiene una ecuación equivalente.

Ecuaciones paramétricas de una

curva

DEFINICIÓN de una curva dada en forma paramétrica

Las ecuaciones x = x(t), y = y(t), definidas en el intervalo I ⊂R, es decir, el parámetro t ∈ I, siendo las funciones x e y continuas en t, son unas ecuaciones paramétricas de una curva plana cuyos puntos de coordenadas (x,y) se obtienen al hacer variar el parámetro t en el intervalo I.

CURVA SUAVE

i) Una curva plana es suave si tiene una parametrización de la forma x = x(t), y = y(t), en un intervalo I ⊂ R, tal que las derivadas x’ e y’ respecto de t, son continuas en I y no se anulan simultáneamente excepto tal vez en los extremos del intervalo I.

ii) Una curva es suave a trozos si se puede dividir el intervalo I en subintervalos cerrados de modo que la curva sea suave en cada subintervalo.