Elementos de geometría analítica · Identificar el lugar geométrico (línea recta,...

UNIDAD 7: APLIQUEMOS ELEMENTOS DE GEOMETRIA ANALITICA.

Elementos de geometría analítica

Introducción

En esta unidad última nos ocuparemos del estudio de los conceptos más fundamentales de la geometría

analítica plana y haremos un recorrido pos los lugares geométricos más conocidos.

En concreto, se pretende que l@s estudiantes se familiaricen con los conceptos de distancia entre dos

puntos, pendiente de una recta, punto medio de un segmento, ángulo entre rectas. A su vez, se busca

que l@s estudiantes logren un conocimiento claro de las ecuaciones de una línea recta, de una

circunferencia y de una parábola.

Por otro lado, será importante visualizar la aplicación de estos conceptos y ecuaciones, en el análisis de

situaciones geométricas.

Objetivos:

Que el alumno o la alumna pueda:

1. Explicar los conceptos matemáticos de distancia entre dos puntos, inclinación y pendiente de una

recta, ángulo entre rectas y punto medio de un segmento.

2. Aplicar las fórmulas para calcular: la distancia entre dos puntos, la pendiente de una recta, el ángulo

entre rectas y el punto medio de un segmento..

3. Utilizar los conceptos elementales estudiados, para realizar demostraciones geométricas.

4. Definir los lugares geométricos siguientes: línea recta, circunferencia y parábola.

5. Identificar el lugar geométrico (línea recta, circunferencia y parábola) correspondiente a una

determinada ecuación.

6. Determinar los elementos característicos de un lugar geométrico a partir de su ecuación y trazar el

gráfico.

7. Encontrar la ecuación de un lugar geométrico a partir de ciertos elementos que lo caracterizan.

1. Conceptos fundamentales .

1.1 Coordenadas rectangulares

El plano cartesiano ya se ha estudiado en años anteriores. Aquí haremos un breve

recordatorio.

En la página siguiente se muestra el plano cartesiano. Allí podemos observar los 2

ejes cartesianos: X y y. Observamos también los 4 cuadrantes y 2 pares ordenados.

Objetivos conceptuales. Entender los conceptos: coordenadas rectangulares, distancia entre dos puntos,

iInclinación y pendiente de una recta, ángulo entre 2 rectas y punto medio de un segmento de recta. Objetivos procedimentales. Ubicar un punto en el plano cartesano, calcular la distancia entre 2 puntos y la inclinación y la

pendiente de una recta, calcular el ángulo entre 2 rectas y el punto medio de un segmento de recta. Objetivos actitudinales. Considerar que ubicarse en el plano cartesiano nos puede servir para ubicarnos en las circunstancias de

la vida cotidiana.

Actividad 1. Coloquen en el plano cartesiano los puntos siguientes: (2,5), (3,4),

(5,1), (-4,2), (-3,-4), (-1,-4), y (1,-3)

Actividad 1b. Ubiquen en el plano cartesiano los puntos siguientes: (-2,5), (-3,4), (-

5,1), (4,2), (3,-4), (1,-4), y (-1,-3)

Actividad 1c. Ubiquen en el plano cartesiano los puntos siguientes: (-2,-5), (-3,-4),

(-5,-1), (4,-2), (3,4), (1,4), y (-1,3)

Podemos observar las características siguientes:

1. Los valores positivos de X están a la derecha del origen

2. Los valores positivos de y están hacia arriba del origen

3. Los valores negativos de X están a la izquierda del origen

4. Los valores negativos de y están hacia abajo del origen

5. Todo valor a la izquierda es menor que todo valor a la derecha (en X)

6. Todo valor de abajo es menor que todo valor de arriba (en y)

1.2 Distancia entre dos puntos

En La gráfica siguiente tenemos 2 rectas: una horizontal que pasa por y = 5, y una

vertical que para por X = 9. sobre cada recta hay dos puntos. Sobre la recta que pasa

por 9 tenemos los puntos (9,-1) y (9,6) ¿Cuál es la distancia entre los dos puntos? Si

Eje X

Cuadrante I Cuadrante II

Cuadrante III Cuadrante IV

Eje y

(-2, 3)

(4, -1)

1

2

3

4

5

-5

-4

-3

-2

-1

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

Origen (0, 0)

Un punto en el plano puede estar arriba o

abajo. Algo parecido te ocurrirá en la vida:

procura estar ubicado en la posición adecuada.

medimos con una regla, encontramos que esa distancia es 7 cm. Pero 7 = 6 – (-1) = 6

+ 1 = 7. Pero 6 y –1 son las coordenadas en y.

En general se tiene que, para 2 puntos sobre una recta vertical, la distancia es y2 – y1,

siendo y2 el mayor.

De igual forma tenemos que, para 2 puntos sobre una recta horizontal, la distancia es

X2 – X1, siendo X2 el mayor.

Para el caso de la recta horizontal mostrada, la distancia es: 7 – (-1) = 7 + 1 = 8 cm.

Supongamos ahora que queremos medir la distancia entre los puntos (1,1) y el punto

(5,4) Si medimos con una regla encontramos que es 5 cm. Pero a esta respuesta

también se llega aplicando Pitágoras, pues se tiene un triángulo rectángulo.

Para el cateto horizontal se tiene una distancia de: X2 – X1 = 5 – 1 = 4 cm

Para el cateto vertical se tiene una distancia de: y2 – y1 = 4 – 1 = 3 cm

Al aplicar Pitágoras, se tiene que la distancia es: d = 42 + 3

2 = 25 = 5 cm

Por lo tanto se tiene que la distancia, d, entre 2 puntos es: d = (X2 – X1)2 + (y

2

– y1)2

En esta ecuación no importa si X2 es mayor o menor que X1.

6

5

4

3

2

1 -1

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Actividad 2. Encuentren la distancia entre los siguientes pares de puntos: 1. (2,8) y (5,8)

____

2. (3,8) y (5,8) ____ 3. (4,8) y (5,8) ____ 4. (-2,8) y (5,8) ____ 5. (-4,8) y (5,8)

____

6. (3,-8) y (5,-8) ____ 7. (4,-8) y (5,-8) ____ 8. (-2,-8) y (5,-8) ____ 9. (-4,-8) y (5,-8)

____

10. (3,8) y (3,6) ____ 11. (3,8) y (3,7) ____ 12. (3,8) y (3,1) ____ 13. (5,-8) y (5,1)

____

14. (3,7) y (6,-5) ____ 15. (3,5) y (12,-4) ____ 16. (-5,8) y (3,-2) ____ 17. (5,12) y (-1,8)

____

18. (12,-7) y (10,-1) ____ 19. (15,10) y (14,9) ____20. (100,-20) y (101,-21) 21. (100,-20) y (-

100,0) ____

discusión 1.1. Encuentren gráfica y analíticamente el perímetro de los

triángulos siguientes:

6

5

4

3

2

1 -1

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4

-4

-3

-2

-1

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

1

2

3

4

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

A

B

Para lograr tus propósitos debes saber ubicarte. Ubícate de manera que tengas cerca de ti lo que necesitarás.

1

2

3

4

-4

-3

-2

-1

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

1

2

3

4

-4

-3

-2

-1

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

1

2

3

4

-4

-3

-2

-1

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

1

2

3

4

-2

-1

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

3

4

5

6

C

D

E

F

H

Ubícate a la derecha o a la izquierda. La mejor posición dependerá de

las circunstancias.

2. En los casos siguientes se da la distancia entre los 2 puntos. Encuentren en cada caso

la coordenada q. a. (2, q) y (20, 12) d = 373 ___ b. (5, 8) y (10, q) d = 13 ___

c. (-2, 6) y (q, -4) d = ___ d. (q,5) y (10,4) d = ___ e. (q,8) y (10,12)

d = ___

f. (8,3) y (10,q) d = ___ g. (5,q) y (7,12) ___ h. (2,10) y (q,7)

___

i. (10,q) y (20,10) d = ___ j. (q,10) y (5,12) d = ____ k. (1,5) y (5,q)

____

l. (q,5) y (14,12) ____ m. (q,20) y (20,30) ____

2b. En los casos siguientes se da la distancia entre los 2 puntos. Encuentren en cada caso

la coordenada q. a.(q, 4) y (-10,-5) ____ b. (q, -8) y (-10,-8) d = 400

c. (10, -20) y (-15,q) d = 25 ____ d. (10, -20) y (-15,q) d = 25 ____

e. (10, -20) y (-15,q) d = 25 ____ f. (-5, -8) y (q,-12) ____

g. (-5, q) y (14,-10) ____ h. (q, 12) y (12,-14) ____

i. (10, -12) y (q,15) ____ j. (q, 10) y (20,-5) ____

2c. Trazar y encontrar el perímetro de los triángulos cuyos vértices son los puntos

siguientes:

a. (3,8); (5,8) y (6,7) ______ b. (3,10); (2,8) y (6,-7) ______ c. (3,-10); (2,-8) y (4,-

7) ______

d. (3,-12); (2,-10) y (-4,-7) ______ e. (-3,-12); (2,-10) y (5,-7) ______

discusión 2. a. Un cuerpo se mueve del punto A, al B, del B al C, del C

al D, del D al E. Encuentren la distancia total recorrida si se sabe que: el punto A es (-

4,2); el punto B es (2,10); el punto C es (6,4); el punto D es (8,-2) y el punto E es (5,-

7) ______ Además grafiquen los puntos y encuentren la distancia que habría recorrido

el cuerpo si se hubiera movido en línea recta de A a E _____ b. Un cuerpo se mueve

del punto A, al B, del B al C, del C al D, del D al E. Encuentren la distancia total

recorrida si se sabe que: el punto A es (-4,3); el punto B es (-2,10); el punto C es

(6,5); el punto D es (5,-2) y el punto E es (5,-6) ______ Además grafiquen los puntos

y encuentren la distancia que habría recorrido el cuerpo si se hubiera movido en línea

recta de A a E _____ c. Un cuerpo se mueve del punto A, al B, del B al C, del C al D,

del D al E. Encuentren la distancia total recorrida si se sabe que: el punto A es (-4,3);

el punto B es (-2,8); el punto C es (6,7); el punto D es (5,-4) y el punto E es (5,-5)

G

82 244 41

13

d = 8 d = 45

136 13

d = 32

d = 85 d = 85

d = 200

d = 85

d = 641

d = 685 d = 932

d = 954 d = 1450

______ Además grafiquen los puntos y encuentren la distancia que habría recorrido el

cuerpo si se hubiera movido en línea recta de A a E _____ d. Un cuerpo se mueve del

punto A, al B, del B al C, del C al D, del D al E. Encuentren la distancia total recorrida

si se sabe que: el punto A es (-2,3); el punto B es (-2,7); el punto C es (5,7); el punto

D es (2,-4) y el punto E es (7,-5) ______ Además grafiquen los puntos y encuentren

la distancia que habría recorrido el cuerpo si se hubiera movido en línea recta de A a E

_____ e. Un cuerpo se mueve del punto A, al B, del B al C, del C al D, del D al E.

Encuentren la distancia total recorrida si se sabe que: el punto A es (-5,3); el punto B

es (-2,5); el punto C es (2,7); el punto D es (2,10) y el punto E es (7,-8) ______

Además grafiquen los puntos y encuentren la distancia que habría recorrido el cuerpo

si se hubiera movido en línea recta de A a E _____

discusión 3. a. Encuentren 4 puntos que estén a 5 unidades del punto

(2,5) b. Encuentren 4 puntos que estén a 4 unidades del punto (3,5) c. Encuentren 4

puntos que estén a 6 unidades del punto (4,5) d. Encuentren 4 puntos que estén a 7

unidades del punto (2,4) e. Encuentren 4 puntos que estén a 2 unidades del punto

(3,5) f. Encuentren 4 puntos que estén a 6 unidades del punto (3,3) g. Encuentren 4

puntos que estén a 7 unidades del punto (2,2)

discusión 3b. La circunferencia

mostrada tiene un radio de 4 cm. Calcular las

distancias entre los puntos: a. A y B ______

b. A y C ______ c. A y D ______ d. B y C

______ e. B y D ______ f. C y D ______

1.3 Inclinación y pendiente de una recta

Inclinación. La inclinación de una recta es el ángulo que forma con la horizontal

Pendiente. La pendiente m de una recta es la tangente del ángulo de inclinación.

l

63.43º

45° 60

° 30° 75°

A

B

C

D

Un punto en el plano se rige por coordenadas. En la vida encontrarás coordenadas que te señalarán el camino adecuado.

Si conoces las circunstancias de tu vida

como un plano cartesiano, lograrás

ubicarte bien, de manera que no te

inclinarás ante nadie.

En el plano cartesiano anterior, la recta l tiene una inclinación de 63.43º Esto

significa que su pendiente es: Tan (63.43º) = 2

Lo anterior nos lleva a la conclusión que la inclinación de una recta es la tangente

inversa de la pendiente.

Para el caso anterior, como la pendiente es 2, entonces la inclinación es: Tan-1 (2) =

63.43º

Para una recta que pasa por 2 puntos conocidos, su pendiente viene dada por la

fórmula:

Ejemplo. Calcular la pendiente y la inclinación de las rectas siguientes: 1. La que

pasa por los puntos (2,10) y (4,16) 2. La que pasa por los puntos (2,-3) y (4,-7)

Los puntos son (2,10) y (4,16)

La pendiente es: m = (16 – 10) / (4 – 2) = 6/2 = 3

El ángulo de inclinación es: Tan-1

(3) = 71.6º

Los puntos son (2,-3) y (4,-7)

La pendiente es: m = (-7 – (-3)) / (4 – 2) = (-7 + 3) / 2 = -4/2 = -2

El ángulo de inclinación es: Tan-1

(-2) = -63.43º

Observemos que la pendiente y la inclinación son negativas. –63.43 nos indica que es

un ángulo medido hacia abajo del eje X positivo. Esta recta es la siguiente:

Surge la pregunta: ¿qué ángulo forma hacia arriba del eje X? La respuesta es sencilla.

Se tiene que 63.43º + θ = 180º Por lo tanto θ = 180º - 63.43º = 116.57

m = (y2 – y

1) / (X2 – X1)

-63.43º

θ

Solución.

No olvidemos que Tan –63.43 = Tan 116.57º

El ángulo puede expresarse como 116.57º ó -63.43º

Se concluye que de 0º a 90º, la pendiente es POSITIVA. De más de 90º a menos de

180º, la pendiente es NEGATIVA.

Además, una recta horizontal tiene pendiente CERO; y una vertical tiene pendiente

INFINITA.

Actividad 3. En cada par de puntos, encuentra la pendiente y la inclinación.

1. (2,4) y (4,6) __ ____ 2. (2,5) y (4,7) __ ____ 3. (2,3) y (4,6) __ ____ 4. (2,5) y (4,10)

__ ____

5. (2,0) y (4,-2) __ ____ 6. (2,1) y (4,-1) __ ____ 7. (2,-3) y (4,-6) __ ____ 8. (2,-5) y (4,-

10) __ ____

9. (2,3) y (3,-2) __ ____ 10. (2,2) y (3,-1) __ ____ 11. (4,-3) y (5,-6) __ ____ 12. (2,5) y (5,-

12) __ ____

13. (2,1) y (4,-2) __ ____ 14. (2,1) y (6,-1) __ ____ 15. (4,-3) y (4,-6) __ ____ 16. (2,-5) y (4,-10)

__ ____

17. (2,2) y (3,-2) __ ____ 18. (1,1) y (5,-1) __ ____ 19. (-4,-3) y (4,-6) __ ____ 20. (-2,-5) y (4,-

10) __ ____

1.4 Angulo entre dos rectas

Observa el gráfico siguiente:

Se tiene también que para l1 su pendiente es m1; y para l2 la pendiente es m2.

Ocurre que para θ:

Significa que el ángulo entre las rectas es:

Para el caso que estamos estudiando, las pendientes son:

m2 – m1

1 + m1m2

Tan θ =

θ = Tan-1

(m2 – m1) / (1 + m1m2)

45º 63.43º

θ

-63.43º

116.57º

l1

l2

En el gráfico, las rectas l1 y l2 forman un

ángulo θ. Como la suma de los ángulos de un

triángulo es 180º, entonces se tiene que el

ángulo θ es de 180º - 45º - 63.43º = 71.57º

Es decir que el ángulo entre las rectas es de

71.57º

Para l1: Tan 45º = 1

Para l2: Tan 116.57º = -2

Por lo tanto, el ángulo entre las rectas es: θ = Tan-1

((-2 – 1) / (1 + (1)(-2))) = Tan-1

(-

3/(1 - 2))

= Tan-1

-3/-1

= Tan-1

3 =

71.57º

Ejemplo. Encontrar el ángulo que forman 2 rectas. La primera pasa por los puntos

(2,4) y (4,8): y la segunda pasa por los puntos (2,-6) y (4,-12)

La primera pasa por los puntos (2,4) y (4,8) Encontremos la

pendiente.

m = (4 - 8) / (2 - 4) = -4/-2 = 2 Aquí hemos partido del primer punto.

La segunda pasa por los puntos (2,-6) y (4,-12) Encontremos la pendiente.

m = (-6 – (-12)) / (2 - 4) = (-6 + 12) / -2 = 6/-2 = -3

θ = Tan-1

((-3 – 2) / (1 + (2)(-3))) = Tan-1

(-5/(1 - 6)) = Tan-1

(–5/-5) = Tan-1

1 = 45º

θ = 45º

El ángulo que formen las 2 rectas será siempre POSITIVO y menor de 180º

Actividad 4. Encontrar en cada caso el ángulo que forman las 2 rectas.

1. La primera pasa por (2,4) y (5,10) y la segunda pasa por (2,-4) y (5,-10) _____

2. La primera pasa por (2,4) y (5,10) y la segunda pasa por (2,6) y (3,9) _____

3. La primera pasa por (1,1) y (2,2) y la segunda pasa por (2,-4) y (3,-6) _____

4. La primera pasa por (2,-4) y (3,-6) y la segunda pasa por (2,-8) y (3,-12) _____

5 La primera pasa por (2,-5) y (3,-7) y la segunda pasa por (2,-5) y (3,-10) _____

Actividad 4b. Se tiene una recta que pasa por los puntos (0,0) y (2,7). Encontrar

el ángulo que forma esta recta con la recta que pasa por los puntos (10,0) y (3,q) si q

toma toma los valores de:

a. q = 12 θ = _______ b. q = 11 θ = _______ c. q = 10 θ = _______ d. q = 9 θ = _______

e. q = 8 θ = _______ f. q = 7 θ = _______ g. q = 6 θ = _______ h. q = 5

θ = _______

i. q = 4 θ = _______ j q = 3 θ = _______ k. q = 2 θ = _______ l. q = 1 θ = _______

m. q = 0 θ = _______ n q = -1 θ = _______ ñ. q = -2 θ = _______ o. q = -3 θ = _______

Actividad 4c. Para cada recta que pasa por los puntos indicados, encontrar el

menor ángulo que forma con los 2 ejes del plano cartesiano a. (2,4) y (5,10) θX =

Solución.

______ θY = ______ b. (2,-4) y (5,-10) θX = ______ θY = ______ c. (2,4) y (5,10)

θX = ______ θY = ______ d. (2,6) y (3,9) θX = ______ θY = ______ e. (1,1) y (2,2)

θX = ______ θY = ______ f. (2,-4) y (3,-6) θX = ______ θY = ______ g. (2,-4) y (3,-6)

θX = ______ θY = ______ h. (2,-8) y (3,-12) θX = ______ θY = ______

1.5 Punto medio de un segmento de recta

En la gráfica aparece un segmento de recta. El segmento se inicia en P1 y termina en

P2.

El punto Pm es el punto medio. Es decir, la mitad del segmento. Si conocemos las

coordenadas de los puntos extremos, cómo averiguamos las coordenadas del punto

medio.

Se tiene que:

Ejemplo. Los puntos extremos de un segmento de recta son (2,6) y (8,12) Encontrar

el punto medio.

Apliquemos las ecuaciones respectivas:

X = (X1 + X2)/2 = (2 + 8)/2 = 10/2 = 5 y = (y1 + y

2)/2 = (6 + 12)/2 =

18/2 = 9

El punto medio es Pm (5,9)

Actividad 5. En cada caso, encuentra el punto medio del segmento de recta. Se

dan los puntos extremos. 1. (2,3) y (8,6) _____ 2. (2,4) y (8,-2) _____ 3. (4,2) y

(10,-4) _____ 4. (-2,-4) y (8,10) _____ 5. (2,3) y (8,7) _____ 6. (2,5) y (8,7) _____

7. (2,5) y (8,7) _____ 8. (2,7) y (8,7) _____ 9. (-2,5) y (8,7) _____ 10. (-2,5) y (-

8,7) _____ 11. (2,5) y (-8,-7) _____ 12. (-2,5) y (-8,-7) _____ 13. (5,2) y (7,8)

_____ 14. (5,2) y (7,8) _____ 15. (5,2) y (5,8) _____ 16. (5,4) y (5,8) _____ 17.

(5,6) y (5,8) _____ 18. (-5,6) y (5,8) _____ 19. (5,6) y (-5,8) _____ 20. (5,8) y (-5,8)

P1 (X1, y1)

P2 (X2, y2)

Pm (X, y)

X = (X1 + X2) / 2

y = (y1 + y

2) /2

Solución.

_____ 21. (5,8) y (-5,-8) _____ 22. (5,6) y (-5,-6) _____ 23. (5,2) y (-5,-2) _____ 24.

(4,2) y (6,-2) _____ 25. (6,2) y (6,-2) _____ 26. (6,-2) y (6,2) _____ 27. (1,-2) y

(9,2) _____ 28. (1,-2) y (9,4) _____ 29. (3,-2) y (9,-4) _____ 30. (-3,-2) y (9,-4)

_____ 31. (-3,2) y (9,-4) _____ 32. (-3,2) y (-9,-4) _____ 33. (-3,-2) y (-9,-4)

_____ 34. (-3,-2) y (-9,-6) _____ 35. (-3,-2) y (-9,-8) _____ 35. (-3,-2) y (-9,-10)

_____ 35. (-5,-2) y (-9,-8) _____

En cada uno de los casos siguientes se da el punto inicial y

el punto medio; calculen el punto final.

1. (2,4), Pm(6,8) _____ 2. (2,4), Pm(7,6) _____ 3. (4,6), Pm(9,6) _____ 4. (8,2),

Pm(14,4) ___ 5. (4,8), Pm(4,9) ___ 6. (6,8), Pm(6,9) ___ 7. (6,8), Pm(6,10) ___

8. (3,8), Pm(7,10) ___

9. (-3,8), Pm(4,11) ___ 10. (3,-8), Pm(7,3) ___ 11. (3,10), Pm(7,4) ___ 12. (-3,8),

Pm(-4,11) ___ 13. (-3,-2), Pm(-5,6) ___ 14. (-5, 10), Pm(-5,6) ___ 15. (-7, 8), Pm(-

6,6) ___ 16. (-3, -2), Pm(-5,-5) ___ 17. (10, -2), Pm(9,-5) ___

En los casos siguientes, deberán encontrar la distancia que

hay de un extremo al punto medio del segmento de recta dado. 1. (2,4) y (-2,8)

_____ 2. (-4,2) y (6,8) _____ 3. (9,8) y (4,-6) _____ 4. (-2,-10) y (4,8) _____ 5.

(-4,6) y (8,12) _____ 6. (-4,6) y (8,14) _____ 7. (-4,8) y (8,10) _____ 8. (-2,8) y

(10,10) _____ 9. (6,8) y (10,10) _____ 10. (6,2) y (10,18) _____ 11. (-6,4) y (-

10,12) _____ 12. (-8,4) y (-8,10) _____

2. La línea recta .

Hemos trabajado anteriormente con segmentos de línea recta. Esto debido a que no

se puede trabajar completamente con la línea recta, pues ésta es infinita. Es decir, no

tiene ni principio ni fin: viene de menos infinito y va hacia más

infinito.

Se tiene también que por un punto pasan infinitas líneas rectas.

Esto se muestra en el gráfico:

Sin embargo, por 2 puntos sólo puede pasar una línea recta.

discusión 4.

discusión 5.

Objetivos conceptuales. Comprender con cierta profundidad lo que es una línea recta. Objetivos procedimentales. Trazar una recta y expresar su ecuación conocidos 2 puntos de ella o un punto y su pendiente; y,

conocida la ecuación, calcular si es paralela o no a otra, así como conocer su pendiente o algunos de sus puntos. Objetivos actitudinales. Considerar que así como la línea recta carece de quiebres, así nosotros debemos proceder con rectitud

ante nuestros semejantes.

Si por 2 puntos sólo pasa una recta, entonces la ecuación de dicha recta puede

encontrarse a partir de tales puntos. Así es. Pero, ¿cuál es la ecuación de una recta?

Ecuación general de la recta

La ecuación general de la recta tiene la siguiente forma

Forma pendiente-intersecto de la recta

Si de la ecuación general despejamos y, obtenemos:

AX + By + C = 0

By = -AX - C

y = (-A/B) X - C/ B

Ocurre en la última ecuación que el factor (-A/B) es la pendiente, m, de la recta;

mientras que C/B es el punto donde la recta intersecta al eje y. Es decir que C/B es el

intersecto. Si al intersecto le llamamos b, se tiene que:

La ecuación pendiente intersecto de una línea recta es:

Es evidente que toda recta que no es vertical, SIEMPRE tendrá intersecto, aunque

éste puede valer CERO. Esto se da cuando la recta pasa por el origen. Además, en el

intersecto, X = 0. Es decir que el punto intersecto es (0, b)

La ecuación, evidentemente, se aplica si se conoce la pendiente y el intersecto.

Forma intersecciones de la recta

Toda recta que no es vertical tiene intersecto en y, pero también tiene intersecto en X.

Llamemósle a al intersecto en X. Ambos intersectos se muestran a continuación

y = mX + b

AX+ By + C = 0

Intersecto b

b

Si se conocen los intersectos, la ecuación de la recta es:

X + y a b

Forma dos puntos de la recta

Si se conocen 2 puntos de una recta, puede calcularse su pendiente m.

Recordémoslo:

m =

La ecuación dos puntos de una recta es la siguiente:

La ecuación, evidentemente, se aplica si se conocen 2 puntos de la recta.

Forma punto y pendiente de la recta

En la ecuación anterior, al sustituir la pendiente m, se obtiene la ecuación punto

pendiente de la recta:

Ejemplo. Una recta pasa por los puntos (1, 4) y (2, 2) Encontremos la ecuación de la

recta y los puntos donde la recta corta los ejes. Además, trazar la gráfica.

Lo primero que debemos hacer es encontrar la pendiente:

m = (y2–y

1)/(X2–X1)= (4 – 2)/(1 – 2) = 2/(-1) = -2

Ahora tomemos un punto y apliquemos la ecuación punto pendiente. Tomemos el

primer punto (1, 4); obtenemos:

y–y1 = m (X - X1)

y–4 = -2 (X - 1)

y2 – y1

X2 – X1

y – y1 = m (X - X1)

a

= 1 +

y2 – y

1

X2 – X1 y – y

1 = (X - X1)

Solución.

y – 4 = -2X + 2

y = -2X + 2 + 4 = -2X + 6

y = -2X + 6 Esta es la ecuación pendiente intersecto.

Ahora dispongámonos a encontrar los puntos donde la recta corta los ejes. El punto

donde corta al eje y es el intersecto: (0,6)

Para encontrar donde la recta corta al eje X, hacemos y igual a CERO.

y = -2X + 6 0 = -2X + 6 -2X = -6 X = -6/(-2) X = 3

Tracemos la gráfica:

Para trazar la gráfica Bastan

2 puntos. Pueden ser los

puntos dados o los

intersectos. Usemos éstos.

Ejemplo. Una recta pasa por el punto (-2,2) y se sabe que tiene la misma pendiente

que la recta 2y – 4X – 10 = 0 Encontremos la ecuación, los intersectos, la gráfica y 5

puntos más de la recta.

Nos dan la ecuación general de una recta paralela a la que buscamos. Son paralelas

porque tienen la misma pendiente.

De la ecuación general sacamos la pendiente. ¿Cómo? Despejando y.

2y – 4X – 10 = 0 2y = 4X + 10 y = 2X + 5

La pendiente de la recta que buscamos es 2.

Con el punto que se tiene y la pendiente, encontramos la ecuación:

y–y1 = m (X - X1)

y–2 = 2 (X – (-2))

y–2 = 2 (X + 2)

y–2 = 2X + 4

3

6

(0,6)

(3,0)

Solución.

y = 2X + 6 Esta es la ecuación pendiente intersecto.

El intersecto en y es: (0,6)

Para encontrar donde la recta corta al eje X, hacemos y igual a CERO.

y = 2X + 6 0 = 2X + 6 2X = -6 X = -6/2 X = -3

El intersecto en X es: (-3,0)

El gráfico es el siguiente:

Para encontrar 5 puntos de la recta, le damos a X 5 valores.

Llenaremos una tabla de valores.

Los 5 puntos son: (1,8), (2,10), (3,12), (4,14) y (5,16)

Actividad 6. En los casos siguientes se te dan 2 puntos. Deberás encontrar la

ecuación de la recta, los intersectos, 3 puntos más de la recta y la gráfica.

1. (2,12) y (3,13) _________________ __________ ________

2. (2,7) y (5,10) _________________ __________ ________

3. (2,1) y (5,7) _________________ __________ ________

4. (-3,-19) y (2,-4) _________________ __________ ________

5. (-2,-10) y (5,11) _________________ __________ ________

6. (2,-4) y (3,-6) _________________ __________ ________

7. (5,-11) y (7,-17) _________________ __________ ________

8. (3,15) y (-2,-5) _________________ __________ ________

9. (3,-7) y (5,-15) _________________ __________ ________

10. (3,6) y (6,8) _________________ __________ ________

11. (2,2) y (4,7) _________________ __________ ________

12. (2,1) y (6,-5) _________________ __________ ________

6

-3

X y

1 8

2 10

3 12

4 14

5 16

5

1 2 3

4 5 6

Actividad 6b. En los casos siguientes se te da 1 punto y la inclinación. Deberás

encontrar la ecuación de la recta, los intersectos, 3 puntos más de la recta y la gráfica.

1. (2, 12) La inclinación es de 45º _________________ __________

________


________

3. (2, 1) La inclinación es de 63.435º _________________ __________

________

4. (2, -4) La inclinación es de 71.565º _________________ __________

________


________


________


________


________


________


________

11. (2, -5) La inclinación es de 78.69º _________________ __________

________

12. (1, 5) La inclinación es de -78.69º _________________ __________

________


________


________


________

Actividad 6c. Para cada recta mostrada encontrar su ecuación.

____________ ____________

____________

2

4

2 2

2

-4

2

-5

2

-2

2

2

7 8 9

10 11 12

2

13 14 15

2 -5

____________ ____________

____________

____________ ____________

____________

____________ ____________ ____________

____________ ____________ ____________

P

-1 4

discusión 6. 1. Se sabe que la distancia de P al punto (8,2) es de 251

Encuentren la ecuación de la recta

2. Se sabe que la distancia de P al punto (3,4) es de 251








6 Se sabe que la distancia de P al punto (2,12) es de 251

41

2

8

-4

6

-5 -4

8 4

-6

-2

-5

-5

-3

-5

-7

-2

-6

-3

-6

3

1 7

Discusión 7.

Encuentren la ecuación de la recta en los casos siguientes. La

longitud del segmento de recta es d.

1 d =

2 d = d = 3

8

5

13

3

1 9

3

1 11

89

3

1 5

3

1 8

136

52

65

A B

C

4 d = d = 5

En cada caso encuentra la ecuación de la recta

41

Discusión 7b.

4

5

6

7

8

9

D

E

G

F

H

I J

K

L

M

N

Tipos de recta

Rectas paralelas

Dos rectas son paralelas si nunca se intersectan. Es decir, si tienen la misma pendiente

Las parejas de rectas siguientes son paralelas.

Por ejemplo, las rectas y = 5X – 1 y 2y –10X – 4 = 0 son rectas paralelas.

Despejemos y de la segunda ecuación para comprobarlo.

2y –10X – 4 = 0 2y = 10X + 4 y = 5X + 2

Como vemos, tienen la misma pendiente: 5.

Rectas perpendiculares

Si 2 rectas no son paralelas, entonces son intersectantes. Es decir, se intersectan. Si

esas rectas se intersectan formando un ángulo de 90º, entonces son perpendiculares

u ortogonales.

Si 2 rectas son ortogonales, entonces se cumple que el producto de sus pendientes es

–1. Por ejemplo, si l1 y l2 son 2 restas perpendiculares, y si m1 y m2 son sus

pendientes respectivas, entonces se cumple que:

Para el caso, si 3/4 es una pendiente; entonces la otra pendiente es –4/3.

Encontremos el producto.

(3/4) x (-4/3) = -12/12 = -1

Actividad 7. En cada caso, determina si las rectas son paralelas o si se

intersectan. Si se intersectan, determina si son perpendiculares. 1. y - 3X – 2 = 0 y

2y - 6X = 2 ________ 2. y = 2X + 3 y 2y - X = -4 _______ 3. y = 2X + 3 y 2y +

X = -4 ______ 4. y - 3X = 4 y 2y - 6X = 2 ________ 5. y = 5X + 2 y 5y + X –15

= 0 ______ 6. y - 3X + 2 = 0 y y + 3X = 5 ______ 7. Una recta pasa por (2,4) y

(5,8) y la otra es 4y + 3X = 4 _______ 8. Una recta pasa por (2,4) y (5,8) y la

otra pasa por (4,-3) y (8,-6) _________ 9. Una recta pasa por (2,4) y (5,8) y la

90º Estas rectas son perpendiculares, pues

al cortarse forman un ángulo de 90º

m1 x m 2 = -1

Discusión 8.

1

2

3

4 5

6

7 8

9

10 11

12

otra tiene una inclinación de 53.13º ________ 10. Una recta pasa por (3,5) y (8,10)

y la otra tiene una inclinación de 135º __________

Encontrar la ecuación de la recta graficada si se sabe que

es perpendicular a la recta cuya ecuación aparece.

2 y + 2X + 3 = 0

3 y + 8 = -2X

1 y + 5 = -2X

y = X/2 + 10

y = X/2 + 100 y = X/2 + 25

1 2 3

y = -0.5X + 2

-1 -2 y = -0.5X + 25

-3

y = -0.5X + 20

y = -X /3 + 2 3

-2 y = -X /3 + 20

1 y = -X /3 + 20

y + 2X + 3 = 0

y + 8 = -2X

13 14 15 (4, 3)

y + 5 = -2X

(3, 5)

(-2, -5)

16 17

18

19 20 21

Construir 5 ecuaciones de rectas perpendiculares a otra cuya

inclinación es de 26.365º.

Encontrar el área del triángulo que forma cada una de las

rectas siguientes con los ejes del plano cartesiano (los puntos están en centímetros):

1. y = X + 2 ________ 2. y = X + 4 ________ 3. y = X + 6 ________ 4. y = X + 8

________

5. y = 2X + 2 ________ 6. y = 2X + 4 ________ 7. y = 2X + 6 ________ 8. y = 2X +

8 ________

9. y = 3X - 3 ________ 10. y = 3X - 6 ________ 11. y = 3X - 9 ________ 12. y = 3 X -

12 ________

13. y = 0.5X - 4 ________ 14. y = 0.5X + 6 ________ 15. y = 0.5X - 3 ________

(3, 5)

y + 5 = -X

(6, 5)

(2, -5)

y + 7 = -X y + 5 = -X

Discusión 9.

(3, 5) y + 5 = 4X/3

(6, 5)

(2, -5) y + 7 = 4X/3

y + 5 = 4X/3

Discusión 9b.

(3, 5) y + 5 = 4X/3

(6, 5)

(2, -5) y + 7 = 4X/3

y + 5 = 4X/3

Elementos de geometría analítica · Identificar el lugar geométrico (línea recta,...

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