Razonamiento Geométrico

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CENTRO ACADÉMICO “NEWTON” RAZONAMIENTO GEOMÉTRICO

1

RAZONAMIENTO GEOMÉTRICO

SEGMENTO DE RECTA Es la porción de línea recta comprendida entre dos puntos. Sólo en el segmento de recta es posible la medida de longitud. Gráficamente: A B

* Notación: AB

Significa segmento que inicia en A y termina en B. La medida o longitud de AB se representa por AB. Ejemplo: Es correcto escribir un dato como el siguiente: AB = 5 metros. 1.6.1. CONGRUENCIA DE SEGMENTOS

Dos segmentos se dicen que son congruentes; cuando tienen la misma longitud.

* Notación: AB CD Se lee el segmento AB es congruente

con el segmento CD .

1.6.3. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO Se llama punto medio de un segmento al punto que divide al segmento en dos partes congruentes.

Ejemplo:

“B” es punto medio de AC. * Notación: AB = BC 1.6.4. OPERACIONES CON SEGMENTOS Suma : AD = AC + CD Resta : CD = CE - DE

ÁNGULO Es la unión de dos rayos que tienen el mismo punto de origen o extremo. A estos dos rayos se les denomina lados del ángulo y su punto extremo común recibe el nombre de vértice.

* Notación: AOB, O. 1.1. ELEMENTOS 1.1.1.- Vértice, es el punto donde se unen los dos lados. Se representa con letras mayúsculas, el vértice del AOB es (O). 1.1.2.- Lados, son los dos rayos que forman el ángulo. Los rayos que forman el AOB son OA, OB

1.2. MEDIDA DE UN ÁNGULO *Postulado de la medida de un ángulo: A cada ángulo le corresponde como medida, un número real. La medida de un ángulo se expresa principalmente en grados sexagesimales y en radianes. Para la medición exacta de un ángulo se utiliza el transportador. Medida del ángulo AOB : m AOB.

1.3. BISECTRIZ DE UN ÁNGULO Se denomina bisectriz de un ángulo al rayo cuyo origen es el vértice del ángulo y que perteneciendo a su interior determina dos ángulos de igual medida. Por eso decimos que este rayo biseca al ángulo.

* OM : Bisectriz del AOB

1.4. CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS Se clasifican en:

1.4.1. DE ACUERDO CON SU MEDIDA Pueden ser:

A B C D E

A B C

A B

6m

C D

6m

B O

Bisectriz

A

M

Región angular

B

A

O



2

a) Ángulo convexo.- Es aquel ángulo que mide entre 0° y 180°. * Se clasifican en: - Ángulo Agudo: Es aquel que mide entre 0° y 90° . - Ángulo Recto: Es aquel que mide 90° . - Ángulo Obtuso: Es aquel que mide entre 90° y 180 °. - Ángulo Nulo: Es aquel que mide 0°. - Ángulo Llano.- Es aquel que mide 180°. b) Ángulo No Convexo.- Es aquel que mide entre 180° Y 360°. 1.4.2. DE ACUERDO A SU POSICIÓN. Pueden ser:

a) Ángulos Opuestos por un Vértice.- Son ángulos de igual medida, tales que los lados de uno son las prolongaciones de los lados del otro.

Del gráfico: AOB y COD Opuestos por el vértice. = b) Ángulos Consecutivos.-Tienen el mismo vértice y dos a dos un lado común.

Del gráfico : , , y son ángulos consecutivos c) Ángulos Adyacentes.- Son los que tienen el vértice y un lado en común, pero no tienen puntos interiores comunes. Se dice: AOM es adyacente al MOB. 1.5.TEOREMAS FUNDAMENTALES a).- Podemos tener ángulos consecutivos alrededor de un punto; tales ángulos suman 360°.

b).- También podemos tener ángulos consecutivos a un lado de una recta, los cuales suman 180°. c).- Dos ángulos consecutivos a un lado de una recta se llaman Par Lineal. - y son par lineal. 1.4.3. DE ACUERDO A LA SUMA DE SUS MEDIDAS. Pueden ser: a) Ángulos Complementarios.- Son dos ángulos cuya suma de sus medidas es 90°.Uno es el complemento del otro.

0° < < 180°

= 90°

90° < <

180°

0° < < 90°

180° < < 360°

+ + + = 360°

+ + = 180°

+ =

90°

O

D B

C A

O

E

B

A

C

D

= 180°

+ = 180°

O

O

O

O

O

= 0°

A

M

B O



3

Complemento de un Angulo x°: CX

b) Ángulos Suplementarios.- Son dos ángulos cuya suma de sus medidas es 180°. Uno es el suplemento del otro. Suplemento de un Angulo x°: CX

1.6. PROPIEDADES Si “x°” es la medida de un ángulo, donde: a) Si: CCC...CX = b) Si: SSS...SX = “n” veces 2. PERPENDICULARIDAD Y PARALELISMO 2.1. RECTAS PERPENDICULARES Se dice que dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman cuatro ángulos iguales. Cada uno es un ángulo recto. El símbolo de perpendicular es: Si dos rectas se cortan y no son perpendiculares se dice que son oblicuas.

2.2. RECTAS PARALELAS Se dice que dos rectas de un plano son paralelas cuando al prolongarse no tienen ningún punto común. El paralelismo tiene la Propiedad Recíproca, es decir: si una recta es paralela a otra, esta otra es paralela a la primera. El símbolo de rectas paralelas es // .

Si : = 90° 1L

// 2L

.

O también las rectas paralelas se pueden expresar de la siguiente manera:

2.3. RECTAS SECANTES Dos rectas en un plano son secantes cuando tienen un punto en común.

2.4. ÁNGULOS FORMADOS POR DOS PARALELAS Y UNA

SECANTE Dos rectas paralelas al ser cortadas por una tercera recta (llamada recta secante) determinan ángulos especiales por la posición de uno respecto al otro.

Si: Los cuatro ángulos determinados en la recta L1 se relacionan con los cuatro ángulos determinados en la recta L2 formando parejas que reciben nombres específicos. Es importante identificar tales parejas y conocer sus propiedades. Los ángulos formados son: 2.4.1. Ángulos Alternos Internos: A uno y otro lado de la secante y entre las paralelas. Son pares de ángulos de igual medida.

Estos son: 3 y 5 ; 4 y 6 2.4.2. Ángulos Alternos Externos: A uno y otro lado de la secante y fuera de las paralelas. Tienen igual medida.

Estos son: 1 y 7 ; 2 y 8 . 2.4.3. Ángulos Correspondientes: A un solo lado de la secante, uno fuera y otro entre las paralelas. Tienen igual medida.

Estos son: 1 y 5; 2 y 6; 3 y 7; 4 y 8. 2.4.4. Ángulos Conjugados Internos: A un solo lado de la secante y entre las paralelas. Son suplementarios. Estos son: 3 y 6 ; 4 y 5. 2.4.5. Ángulos Conjugados Externos: A un solo lado de la secante y fuera de las paralelas. Son suplementarios. Estos son: 1 y 8 ; 2 y 7. 2.5. PROPIEDADES

a) Si:

21 L // L

CX = 90° - x

0° < x°< 90°

SX = 180° - x

“n” veces

x, si “n” es par SX, si “n” es impar

+ = 180°

0° < x°< 180°

x, si “n” es par

CX, si “n” es impar

2L

1L

1L

2L

O

1L

2L

OLL21

x

1L

2L

1L

2L

1 2

3 4

5

8

6

7

L1

L2 L1 // L2



4

a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an = 180°

* Generalizando :

b) Si:

21 L // L

TRIÁNGULO Es la figura geométrica formada al unir tres puntos no colineales mediante segmentos de recta. ELEMENTOS

a) Vértices : A, B y C

b) Lados : AC y BC , AB

c) Longitudes de sus lados : a, b y c.

d) Ángulos interiores : , y

e) Ángulos exteriores : , y

f) Perímetro : 2P = a + b +c

g) Semiperímetro : P =2

cba

Observación : P Punto interior del triángulo ABC. QPunto exterior del triángulo ABC.

CLASIFICACIÓN Veamos dos formas de clasificar a los triángulos:

a) Por la Relación entre sus Lados

- Triángulo Equilátero.-Cuando sus tres lados son de igual medida.

- Triángulo Isósceles.- Cuando dos de sus lados son de igual

medida. - Triángulo Escaleno.-Es aquel que tiene sus tres lados de diferente

medida. b) Por las Medidas de sus Ángulos: - Triángulo Rectángulo.-Cuando uno de sus ángulos internos mide

90°. - Triángulo Acutángulo.- Cuando cada uno de sus tres ángulos

internos son agudos.

- Triángulo Obtusángulo.- Cuando uno de sus ángulos internos es obtuso.

> 90° TEOREMAS BÁSICOS SOBRE TRIÁNGULOS a) La suma de las medidas de los ángulos interiores es 180°.

x = +

1L

2L

a1

a2

a3

a4

an

1L

1L

2L

2L

a

x

b

c

z

y

a + b + c = x + y + z

B

C A

c a

P

Q

b

a

C A

B

a

B

b A

C

a c

A C

a c

b

B

B

A

C

< 90°

< 90° < 90°

C A

B

B

A

C

+ + =180°

C A

B

a a

a

= 60°



5

b) La medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las

medidas de los ángulos interiores no adyacentes a él.

c) La suma de las medidas de los ángulos exteriores (uno por

vértice) es 360°.

d) Dado un triángulo isósceles: a lados de igual medida se oponen

ángulos de igual medida.

e) Existencia de triángulos.

Para que un triángulo exista se cumple que:

Si : > >

Propiedad de a > b >c Correspondencia: *También:

b + c > a > b - c a + c > b > a - c a + b > c > a – b

2.4.- PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS a) x + 180° = + b)

x + y = +

c).

x + y = + d)

x = + + e)

x + y = +

LÍNEAS NOTABLES DE UN TRIÀNGULO 1.- LA CEVIANA Es el segmento que une un vértice con un punto cualquiera del lado opuesto o de su respectiva prolongación.

Ceviana Interior : BN , BM relativa a AC .

Ceviana Exterior : BQ , BP relativa a AC .

2.- LA MEDIANA

Es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto a dicho vértice.

BM : Mediana relativa a AC

3.- LA ALTURA Es el segmento que parte de un vértice y corta en forma perpendicular al lado opuesto o a su prolongación.

x

x = +

x

a

C A

B

a

Si: AB = BC Entonces =

B

b A

C

a c

B

z A C

x

y

x + y + z = 360°

x

y

x

y

x

y

x

A M N C P Q

B

P

B

M C A

B

n n



6

AP : Altura relativa a BC

BH : Altura relativa a AC

4.- LA MEDIATRIZ Es la recta perpendicular a un lado cualquiera en su punto medio.

L

: mediatriz de AC

5.- LA BISECTRIZ Es el segmento que biseca al ángulo interior o exterior del triángulo.

BM : Bisectriz interior relativa a AC .

BN : Bisectriz exterior relativa a AC .

2.5.6.-ÁNGULOS FORMADOS POR BISECTRICES a) ÁNGULO FORMADO POR UNA BISECTRIZ INTERIOR Y

EXTERIOR

b) ÁNGULO FORMADO POR DOS BISECTRICES INTERIORES

c) ÁNGULO FORMADO POR DOS BISECTRICES

d) ÁNGULO FORMADO POR DOS BISECTRICES EN UN CUADRILÁTERO CÓNCAVO

. . . Ángulo formado por la Bisectriz Interior y la Altura.

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Primer Caso (L.A.L)

Segundo Caso (A.L.A)

Tercer Caso (L.L.L)

º º º º

º º

B

l l

A C

L

C M N A

B

2 x

x =

2

x

x = 90°+

2

x

x = 90°-

a

x

b

x = 2

ba

x x = 2

ba

a b

a x

b

x = 2

ba



7

Cuarto Caso (A.L.LM)

PROPIEDAD DE LA BISECTRIZ

Siendo la bisectriz de Se cumple:

PROPIEDAD DE LA MEDIATRIZ

Siendo: L mediatriz de Se cumple:

PROPIEDAD EN EL TRIÁNGULO ISÓSCELES

PROPIEDAD DE LA BASE MEDIA

Si: M es punto medio de AB y MN // AC

Se cumple:

Si: E y F son puntos medios.

Se cumple:

PROPIEDAD DE LA MEDIANA EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Si: BM es mediana relativa a AC.

Se cumple:

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES

OP AOB

PA PB OA OB

AB

EA BE

BN NC

PREF

2

ACBM

2

n n 17

4n

14º

76º

k k 10

3k

37º/2

b 5

b

2b

53º/2

3a

4a

5a 53º

37º

a 2a

60º

30º

a 3

45

º

a 2 a

a 45

º

A M C

B

P

E

Q

F

C

A C

N M

B

BH

Altura

Mediana

Bisectriz

Segmento de mediatriz

C H A

B

º º

A M B

E

P

A

O

B

º

º

º

º



8

POLIGONO

Se denomina polígono a la figura geométrica formada por la unión

de tres o más segmentos de rectas que tienen sus extremos

comunes dos a dos.

* Un polígono determina en el plano una región interior y una región exterior. * El polígono es la frontera entre la región interior y la exterior. * La unión de un polígono y su región interior recibe el nombre de región poligonal. 1.1.- ELEMENTOS Sea el polígono ABCDE, sus elementos son: a)-Lados de un polígono, son cada uno de los segmentos que forman un polígono. Los lados del polígono ABCD son:

EA,DE ,CD ,BC , AB .

b)-Vértices de un polígono, son cada uno de los puntos donde se unen los lados y se representan mediante letras mayúsculas . Los vértices del polígono ABCD son: A, B, C, D, E. c)-Ángulos en un polígono, hay dos clases de ángulos: * Ángulos Interiores, son los que se encuentran dentro del polígono. - Un ángulo interior del polígono ABCD es: “” * Ángulos Exteriores, son los que se encuentran en el exterior del polígono. - Un ángulo exterior del polígono ABCD es: a°

d)-Diagonales de un polígono, son los segmentos que unen los vértices no consecutivos.

- Una diagonal del polígono ABCD es: AD .

e)-Perímetro de un polígono, es la suma de las longitudes de todos sus lados.

2P = AB + BC + CD + DE + EA

* OBSERVACIÓN: En todo polígono se cumple que el número de lados es igual al número de vértices e igual al número de ángulos.

# Lados = # Vértices = # Ángulos 1.2.- CLASIFICACIÓN DE LOS POLIGONOS A) SEGÚN EL NÚMERO DE LADOS Los polígonos se nombran según el número de lados que poseen. Se utilizan para ello los prefijos griegos.

NÚMERO DE LADOS

NOMBRE DEL POLIGONO

3 lados Triángulo

4 lados Cuadrilátero

5 lados Pentágono

6 lados Hexágono

7 lados Heptágono

8 lados Octágono

9 lados Nonágono

10 lados Decágono

11 lados Endecágono

12 lados Dodecágono

15 lados Pentadecágono

20 lados Icoságono

B) SEGÚN LA FORMA Pueden ser: - POLÍGONO CONVEXO: Es aquel polígono cuyos ángulos

interiores son convexos. Un polígono es convexo cuando una recta secante lo corta como máximo en dos puntos.

- POLÍGONO NO CONVEXO: Llamado también cóncavo, es aquel polígono que tiene uno o más ángulos cóncavos. Un polígono es no convexo cuando una recta secante lo corta en más de dos puntos. C) POR LA REGULARIDAD DE SUS ELEMENTOS - POLÍGONO EQUILÁTERO: Todos los lados del polígono equilátero son congruentes. Esto no implica que sus ángulos sean congruentes.

75

º

a

15º A H

B

C

4a

7a

24a

25a 74º

16º

C

D

E

B

A

Región exterior

Región interior

Frontera

E A

C

D B

a°

1

2

Recta secante

1 2

3

4

A C

D

B

E G

F H

D

B

A

E

C

F



9

- POLÍGONO EQUIÁNGULO: Todos los ángulos interiores del polígono equiángulo son congruentes. Esto no implica que sus lados sean congruentes. - POLÍGONO REGULAR: Los lados y los ángulos interiores del polígono regular son congruentes. 1.3.- PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS

Para un polígono de “n” lados se cumple que: a).-En todo polígono, la suma de sus ángulos interiores está dado

por la siguiente relación :

b).-En todo polígono convexo, la suma de sus ángulos exteriores es

360°.

c).- En todo polígono, el número total de diagonales está dado por

la siguiente relación:

d).- Para calcular el número de diagonales desde un solo vértice se utilizará la siguiente relación:

e).- En todo polígono, el número de diagonales medias está dado por la siguiente relación. f).- En todo polígono, el número de diagonales trazadas desde “v” vértices consecutivos está dado por la siguiente relación.

Donde “P” = N° de vértices consecutivos.

En todo polígono de “n” lados, si se empieza a trazar las diagonales desde cada vértice consecutivo, se cumple que del primer y segundo vértice se puede trazar el mismo número de diagonales, pero a partir del tercer vértice el número de diagonales disminuye de uno en uno.

N° orden de vértices N° de diagonales

1° n - 3

2° n - 3

3° n – 4

4° n – 5

K° n - k

* OBSERVACIÓN: Para un polígono regular o equiángulo se cumple: a)- Medida de un ángulo interior b)- Medida de un ángulo exterior c)- Medida de un ángulo central IMPORTANTE: También debemos saber que la suma de los ángulos centrales es 360°.

CUADRILÁTERO

Se denomina cuadrilátero a la figura, geométrica plana determinada por la unión de cuatro puntos no colineales mediante segmentos de recta de modo que estos segmentos no se intersecan. De acuerdo al tipo de región que limita, un cuadrilátero puede ser convexo o cóncavo. Cuadrilátero Convexo Es aquel cuadrilátero que tiene sus cuatro ángulos internos con medidas menores a 180º.

Cuadrilátero Cóncavo

AC y BD : diagonales

+ + + =360°

ABCD : convexo

B

DA

C

S Inter.= 180 (n - 2)

S ext.= 360°

N° D = 2

)3n(n

int = n

)2n(180

ext = n

360

cent = n

360

N° de diagonales = n – 3

E

D

B

A C

F

D

B

A

E

C

F

N° D.M. = 2

)1n(n

( 1)( 2)

2

v vnv

(2n – p - 3) – 1



10

Es aquel cuadrilátero que tiene un ángulo interior con medida mayor a 180º.

CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS CONVEXOS Los cuadriláteros convexos se clasifican de acuerdo al paralelismo de sus lados en: a) Trapezoides b) Trapecios c) Paralelogramos

TRAPEZOIDES Es aquel cuadrilátero convexo que no tiene lados opuestos paralelos; estos pueden ser trapezoides asimétricos y trapezoides simétricos o bisósceles. A. Trapezoide Asimétrico

B. Trapezoide Simétrico

TRAPECIO Es aquel cuadrilátero convexo que presenta dos lados opuestos paralelos.

Si:

: bases

: lados laterales

: altura

: base media

1. PROPIEDAD DE LA BASE MEDIA (MEDIANA) Se denomina base media al segmento que une los puntos

medios de los lados no paralelos de un trapecio. La base media es siempre paralela a las bases del trapecio,

además su longitud es igual a la semisuma de las longitudes de dichas bases.

Si: es la base media del trapecio ABCD.

y

2. PROPIEDAD El segmento que une los puntos medios de las diagonales se

ubica sobre la mediana y mide la semidiferencia de las medidas de las bases del trapecio.

Si: es el segmento que une los puntos medios de las

diagonales del trapecio ABCD.

CLASIFICACIÓN DE LOS TRAPECIOS A. Trapecio Isósceles

R

MNLR : cóncavo en R ( > 180°)

ML y NR : diagonales

x+y+z+ = 360°

ML

x

y

z

N

Sii =

BC // AD

B

DA

C

Si :

ABCD : trapezoide asimétrico

y AB // BC

B D

A

C

Si : AB // CD y BC // AD

Además : BD mediatriz de AC

ABCD : trapezoide simétrico, bisósceles

a

a

b

b

m

m

o contraparelelogramo

A

B

M

H

C

D

N

m

m

n

n

AD // BC

ABCD : trapecio

AD yBC

CD yAB

BH

MN

A

B C

D

N

x

b

a

M

m

m

n

n

MN

MN // BC

a bx

2

A

B C

D

NP

a

MQ

b

PQ

AC y BD

PQ // MN P,Q MN

a bPQ

2

A

B C

D

d d



11

Si:

Se cumple:

Además:

B. Trapecio Escaleno

Si:

C. Trapecio Rectángulo

Si:

y m ABC=m BAD=90º

ABCD: trapecio rectángulo, recto en A y B Nota:

En la figura el trapecio ABCD es rectángulo, recto en A y D.

Si: BM=MC y

Entonces:

PARALELOGRAMO Es aquel cuadrilátero convexo que presenta sus lados opuestos respectivamente paralelos. Los paralelogramos pueden ser: romboides, rombos, rectángulos y cuadrados.

<

Propiedades

A. Romboide

B. Rombo

AB = BC = CD = AD

C. Rectángulo

AB BC AC = BD D. Cuadrado

CD AB yAD // BC

ABCD : trapecio isósceles

180

AC BD

A

B C

D

CD AB yAD // BC

ABCD : trapecio escaleno

A

B C

D

BC // AD ; AB CD

A B

D

m

m

H M

a

b

C

x

MH AD

AH HD

a bx

2

AD //BC yCD // AB :Si

ABCD : paralelogramo

A

B C

D

a

b

b

a

m

m n

n

O

180° -

180° -

1 AB = CD , BC = AD

2m ABC = m ADC

m BAD = m BCD

3 AO = OC , BO = OD

A

B C

D

m

m n

n

En la figura ABCD : romboide

AB BC

AC BD

A

B

C

D

a

a a

a

mm

n

n

En la figura ABCD : rombo

BD AC

am m

m m

b

a

bA

B C

D

ABCD : rectángulo



12

AB = BC = CD = AD AC = BD O : centro del cuadrado

CIRCUNFERENCIA Es aquella figura formada por todos los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo coplanar a ellos, este último es denominado centro y la distancia del centro hacia los puntos de la circunferencia se denomina radio. ELEMENTOS Y LÍNEAS NOTABLES EN UNA CIRCUNFERENCIA

Centro : O

Radio :

Cuerda :

Diámetro :

Recta tangente :

Punto de Tangencia : T3

Recta secante :

Longitud de la circunferencia:

donde (número trascendental)

Ángulos en la Circunferencia. A. Ángulo Central ()

B. Ángulo Inscrito ()

C. Ángulo Semi-inscrito ()

T: punto de tangencia

D. Ángulo Ex-inscrito ()

Nota: + = 180º

E. Ángulo Interior

F. Ángulo Exterior 1. De dos secantes

A B

CD

a

a

a

a

l l

l l

O

45°45°

En la figura ABCD : cuadrado

R

A

B

D

E

O

LT

LS

T

OA , (OA R)

DE

AB , (AB 2R)

DE, (m = )DE Arco :

TL

SL

CL

CL 2 R

22

7

2

T

2

B

2

2



13

2. De secante y tangente


3. De tangentes

T y H: puntos de tangencia.

Nota:

POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS

Las posiciones relativas de las circunferencias se establecen con relación a la línea que une los centros. a) Circunferencias Exteriores

b) Circunferencias Tangentes Exteriormente <


c) Circunferencias Tangentes Interiormente


d) Circunferencias Secantes

Cuerda común de los circunferencias e) Circunferencias Ortogonales

f) Circunferencias Interiores

g) Circunferencias Concéntricos

Cuerda de la circunferencia d radio R y tangente a la circunferencia de radio r

Observaciones: La recta que contiene a los centros de dos circunferencias

tangentes pasa por el punto de tangencia.

2

-

T

2

-

T

H

2

-

180

O'O

R rA

d

d R r

O'O

R r

d

d R r

O'O

Rr

d

d R r

O'O

R r

d

R r d R r

AB :

O'O

R r

d

2 2 2d R r

O'O

R

rd

d R r

O'

OR

r

2 2AB 2 R r

AB :



14

En circunferencias secantes, el segmento que une los puntos

comunes se llama cuerda común, en la figura, es cuerda

común, además es mediatriz de .

En circunferencias ortogonales los radios y son perpendiculares.

Los centros de dos o más circunferencias concéntricas coinciden. Saber que: a) Las circunferencias ortogonales son secantes. b) El ángulo entre dos circunferencias secantes, es el ángulo

formado por las tangentes a una y otra circunferencia en uno de los puntos de intersección.

c) Las circunferencias cuya distancia (d) entre sus centros es

mayor que cero (d>0) se denominan excéntricas. d) En dos circunferencias ortogonales las tangentes a una y otra

circunferencia trazadas por uno de los puntos de intersección son perpendiculares y pasan por los centros de las circunferencias.

PROPIEDADES FUNDAMENTALES

A. Si : recta tangente


Entonces: Es decir: = 90º

B. Si:

Entonces:

C. Si: AB = CD

<

Entonces:

D. Si: , T: punto de tangencia.

Entonces:

E. Si A y B son puntos de tangencia

Entonces:

F. Si A, B, C y D son puntos de tangencia

Entonces:

G. Si A y B son puntos de tangencia

Entonces:

TEOREMAS FUNDAMENTALES

EN LA CIRCUNFERENCIA

Teorema I: Teorema de Steiner "En todo cuadrilátero ex - inscrito se cumple que la diferencia de dos lados opuestos es igual a la diferencia de los otros dos".

CIRCUNFERENCIA INSCRITA Es aquella circunferencia tangente a los lados de un polígono cualquiera.

AB

OO' AB

OA O'A

TL

OT

LT

TOT L

OA MN

AO T

M

N

MT TN y MA AN

A

B C

D

d1d2

1 2AB CD y d d

321 L // L // L

A B

C D

1L

L2

L3

T

AT TB y AC BD

A

O

P

B

PA PB y PObi sec tríz del APB

A

B

C

D

AB CD

A

B

M

AMB 90º

AE EB EM

AD T U

BP

Q

R

SOC



15

Su centro se llama: Incentro del ABC Su radio se llama: Incentro del ABC Teorema II: Teorema de Poncelet "En todo triángulo rectángulo la suma de los catetos es igual a la suma de la hipotenusa y el diámetro del incírculo".

Teorema III: Teorema de Pitot "En todo cuadrilátero circunscrito se cumple que la suma de las medidas de dos lados opuestos es igual a la suma de los otros dos".

CIRCUNFERENCIA EXINSCRITA Es aquella circunferencia tangente a un lado de un triángulo y a las prolongaciones de los otros dos". Su centro se llama: Excentro Su radio se llama: Exradio del ABC

Teorema IV: "El ex - radio relativo a un cateto de un triángulo rectángulo es igual a su semiperímetro menor al otro cateto".

Teorema V: En todo triángulo rectángulo la suma de los ex radios relativos a los catetos es igual al valor de la hipotenusa.

Teorema VI: "En todo triángulo rectángulo la suma de los ex - radio relativos a los catetos mas el inradio es igual al ex - radio relativo a la hipotenusa".

CUADRILÁTEROS INSCRITOS E INSCRIPTIBLES Casos: 1.

2.

3.

A

B

C

P Q

S

Or

A

B

C

c a

b

O

r

B C

A D

p

n

m

q

A

BP

Q

r

So

C

A

B

P

Q

r

SO

C

c

b

a

ara =

B

c a

bA C

rarc

B

r

A C

rarc

rb

º

º

= 180º

º

º

ºº



16

B A A D

B C DC

PROPORCIONALIDAD

RAZÓN GEOMÉTRICA ENTRE LAS LONGITUDES DE

DOS SEGMENTOS Es la comparación de las longitudes de dos segmentos

mediante el cociente entre ellos.

SEGMENTOS PROPORCIONALES

Se denominan segmentos proporcionales a dos pares de

segmentos que presentan razones geométricas iguales.

TEOREMA DE THALES

Tres o más rectas paralelas determinan en dos rectas

transversales segmentos proporcionales.

COROLARIO DE THALES Toda recta secante a dos lados o a sus prolongaciones en un

triángulo y paralela al tercer lado determinan sobre los lados anteriores, segmentos proporcionales.

1.

2.

3.

TEOREMA DE LA BISECTRIZ EN UN TRIÁNGULO

En un triángulo se cumple que los lados que forman el vértice

de donde parte la bisectriz interior o exterior son proporcionales a

los segmentos determinados por dicha bisectriz sobre el lado

opuesto a su prolongación.

1.

Método práctico

2.

Si: es bisectriz exterior. Método práctico

En un triángulo los puntos de intersección de las bisectrices

interior y exterior trazados desde un mismo vértice, dividen

armónicamente al lado opuesto.

En la figura:

A B

2cm

C D

6cm

A B 1

CD 3

A B

4cm

M N

6cm

C D

10cm

P Q

15cm

A B 2

CD 5

M N 2

P Q 5

A B M N

CD P Q

A

B

C

D

E

F

L1

L2

L3

1 2 3Si : L // L // L

A B DE

B C E F

Si : E F// A C

B

A C

E F

B E B F

E A F C

Si : E F// A C

E F

B

A C

E B F B

B C B A

Si :E F// A C

E F

B

A C B A B C

A E CF

CA

B

D

a b

ak bk

mk nk

m n

DA

B

C

A B A D

B C CD

AB BC y BD

a

akbk

b

ak

ab

bk

EA

B

C

AB BC

AD AE

DC CE



17

TEOREMA DEL INCENTRO En todo triángulo el incentro divide a un segmento de bisectriz

interior en dos segmentos cuyas longitudes son proporcionales a la suma de las longitudes de los lados adyacentes a dicha bisectriz como a la longitud del tercer lado.

I: Incentro

TEOREMA DE MENELAO

Al trazar una recta secante a dos lados de un triángulo y a la prolongación del tercero; se determinan 6 segmentos de tal manera, que el producto de las longitudes de 3 de ellos tomados en forma no consecutiva es igual al producto de las longitudes de los tres segmentos restantes.

TEOREMA DE CEVA

En todo triángulo, al trazar tres cevianas interiores concurrentes

en un punto denominado cevacentro, se determinan en los lados 6

segmentos de tal manera que el producto de las longitudes de 3 de

ellos tomados en forma no consecutiva es igual al producto de las

longitudes de los otros tres. Si: O es cevacentro.

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Los triángulos son semejantes cuando tienen los ángulos interiores iguales y los lados homólogos proporcionales.

Lados Homólogos:

Son los lados opuestos a ángulos iguales de dos triángulos semejantes

Si:

k razón de semejanza

* El símbolo de semejanza es “ ” La semejanza de los triángulos nos dice que las formas permanecen invariables, solamente se diferencian por sus tamaños.

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

I. Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos ángulos respectivamente congruentes.

II. Dos triángulos son semejantes, cuando tienen un ángulo

respectivamente congruente y las longitudes de los lados que forman a dicho ángulo respectivamente proporcionales.

III. Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus tres lados

respectivamente proporcionales

PROPIEDADES 1. En todo triángulo se cumple que el producto de dos lados es

igual al diámetro de la circunferencia circunscrita multiplicado por la altura relativa al tercer lado.

TEOREMAS 1. En la figura mostrada se cumple:

2. En la figura mostrada se cumple:

3. En todo trapecio isósceles circunscrito se cumple. Si M y N

son puntos de tangencia.

4. En un trapecio, si por el punto de intersección de las

diagonales se traza una paralela a las bases, se cumple. Si:

5. PAPPUS: El cuadrado de la distancia de un punto del arco

de una circunferencia a su cuerda correspondiente es igual al producto de las distancias de dicho punto hacia las tangentes trazadas por los extremos de la cuerda. Si M y N son puntos de tangencia.

CA

B

D

I

B I A B B C

I D A C

PA

B

C

MN

L

L : R ecta secante

A M B N C P M B N C A P

A

B

D E

F C

O

Si : O es cevacentro

A D B E CF DB E C F A

ABG PQR

A B BC A C

P Q QR P Rk

a

c

ak

ck

a

c

bak bk

ck

a bh

R

2Ra b h

xa b

30° 30°

3 1 1

x a b

xa

b45°

2 1 1

x a b

x

a

b

B C

M N

A D

2 1 1

x a b

BC // EF // AD.a

b

E F

B C

A D

2 1 L

E F a b



18

6. En la figura mostrada se cumple. Si M y N son puntos de

tangencia.

7. En la figura mostrada se cumple. Si M y N son puntos de

tangencia.

8. En la figura mostrada se cumple. Si:

RELACIONES MÉTRICAS

1. PROYECCIÓN DE UN PUNTO La proyección de un punto sobre una recta es el pie de la perpendicular trazada del punto a la recta.

2. PROYECCIÓN DE UN SEGMENTO

La proyección de un segmento se obtiene proyectando los extremos del segmento sobre la recta.

A'B' proyección de

RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

: Proyección de

: Proyección de Teorema: Si en un triángulo rectángulo se traza la altura correspondiente a la hipotenusa, se determina 2 triángulos parciales semejantes al triángulo dado, por consiguiente se cumplen las siguientes relaciones:

Relaciones:

I. c2 = bm ó a2 = bn

II. h2 = m×n

III. b2 = a2 + c2 (T. Pitágoras)

IV. ac = bh

V.

VI.

La altura relativa a la hipotenusa es menor o igual que la mitad a dicha hipotenusa

APLICACIONES EN LA CIRCUNFERENCIA a. Semicircunferencia

b. Semicircunferencia

Teoremas: (P y Q son puntos de tangencia)

1.

2.

a b

xM N

2x ab

a bx

M

N

2x ab

ax

b

M

N

2 1 1

x a b

a

bx

A

B

F

E C

D

1 1 1

x a b

Proyectante

Proyección P’

P

A B

B’A’ N’M’

MN

QP’

P

A B

A'

A

B'

B

m n

h

A

B

CH

ac

b

90º–

90º–

A H AB

HC BC

2 2 2

1 1 1

h a c

2

2

a m

nc

h

b2

bh

x

m n

2 · x m n

x

nm

2 · x m n

PQ

R r P Q 2 R r

a

b

c

d

C

DA

B

2 2 2 2a c b d



19

RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA

TEOREMA DE LAS CUERDAS: Si dos o más cuerdas se intersectan en un punto interior de una circunferencia, el producto de las longitudes de los segmentos que determinan dichas cuerdas es constante.

FLECHA O SAGITA : Es el segmento perpendicular, trazado desde el punto medio del arco, a la cuerda que subtiende dicho arco.

donde :

También :

La prolongación de pasa por el centro de la circunferencia.

TEOREMA DE LA TANGENTE : Si desde un punto exterior a una circunferencia se traza una tangente y una secante. La longitud de la tangente al cuadrado es igual al producto de la secante completa por la parte externa.

donde : AP secante completa BP parte externa TEOREMA DE LA SECANTE: Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos o más secantes, el producto de las longitudes de la secante entera por su parte externa, es igual a otra secante entera por su parte externa.

TEOREMA DE PTOLOMEO En todo cuadrilátero inscrito o inscriptible; el producto de las longitudes de las diagonales es igual a la suma del producto de las longitudes de los lados opuestos.

Sea : ABCD

donde : AC = x BD = y

TEOREMA DE VIETTE En todo cuadrilátero inscriptible o inscrito la relación entre las longitudes de las diagonales es igual a la relación de las suma de productos de las longitudes de los lados que tengan a los extremos de las diagonales como vértices comunes.

Sea el ABCD : donde : AC = x CD = y • vértice A : común a los lados AD AB • vértice C : común a los lados CB CD • vértice B : común a los lados BC BA • vértice D : común a los lados DC DA TEOREMA DE ARQUÍMEDES: En todo cuadrilátero inscrito o inscriptible si las diagonales se cortan perpendicularmente se cumple :

Sea el ABCD : * 1. La suma de los cuadrados de las longitudes de dos lados

opuestos es igual a la suma de cuadrados de los otros dos.

2. La suma de cuadrados de las longitudes de los segmentos

determinados en las diagonales es igual a 4 veces el cuadrado del radio de la circunferencia circunscrita.

RECTAS ISOGONALES

Son aquellas que, partiendo del vértice, forman ángulos

congruentes con los lados de un ángulo.

también se dice que son simétricas respecto a la bisectriz del mismo

ángulo.

donde : y se llaman isogonales respecto a los lados

y

TEOREMA DE LAS RECTAS ISOGONALES En todo triángulo se cumple que :

El producto de las longitudes de dos lados es igual al producto de las longitudes de los segmentos isogonales correspondientes al ángulo que forman dichos lados, uno de ellos limitado por el tercer lado del triángulo y el otro por la circunferencia circunscrita a dicho triángulo.

AD

B

C

a y

bP

x

(A P)(P B) (CP)(P D)

a b x y

//

//

N

A

B

M

MN flecha

A M M B

A N N B

N M

A B

T

P2P T (A P)(BP)

A BP

C

D

(PB)(P A) (PD)(PC)

AD

CB

a

d

y

x

x y a c bd

A

CB

x ad bc

y ab cd

RA

B C

D

P

2 2 2 2a c b d

2 2 2 2 24 Rm n p q

A

B

Y

X

Rectas

O

C

X

O

Y

Bisectriz

OX

OY,

OA

OB .



20

Sea el ABC: donde

(rectas isogonales)

también se cumple :

donde :

son rectas isogonales

Diámetro (BD = 2R)

TEOREMA DE EUCLIDES

TEOREMA I:

(El cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo)

En todo triángulo oblicuángulo el cuadrado de la longitud del lado

que se opone a un ángulo agudo es igual a la suma de los

cuadrados de las longitudes de los otros dos lados menos el doble

producto de la longitud de uno de estos lados por la longitud de la

proyección del otro lado sobre el lado que se considera para el

doble producto.

TEOREMA II:

(El cuadrado del lado opuestos a un ángulo obtuso)

En todo triángulo oblicuángulo, el cuadrado de esa longitud del

lado opuesto al ángulo obtuso, es igual a la suma de los cuadrados

de las longitudes de los otros dos lados más el doble producto de la

longitud de uno de estos lados por la proyección del otro lado

sobre el.

FÓRMULA DE HERÓN:

Nos sirve para determinar la longitud de la altura de un triángulo en

función del semiperímetro y las longitudes de los lados del

triángulo.

TEOREMA DE LA MEDIANA:

En todo triángulo se cumple que:

dos veces el cuadrado de la longitud de la mediana relativa a un

lado es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los

otros 2 lados, menos la mitad del cuadrado de la longitud del lado

relativo a la mediana.

TEOREMA DE LA PROYECCIÓN DE LA MEDIANA:

Dado el ABC:

TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR EN

EL TRIÁNGULO:

También:

TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR:

Dado el ABC:

B

A C

Q

PR

BP y BQ

(AB)(BC) (BP)(BQ)

B

A C

D

HR

c a

O

BH BD

BD

( )( ) (2R)(BH)a c

b ah

C

A BHc

n 2 2 2

* Sea el ABC

* 0 90º

2cna b c

ch

H A C

B

bn

a

2 2 2

* Sea el ABC

* 90º 180º

2nba b c

A H Cb

B

ac

* Si: P ; donde2

(P es semiperímetro)

a b c

2P ( ) (P ) (P )bh P a b c

b

x

A M C

B

c a

b2

b2

Dado el ABC :

BM mediana

22 2 2

22

bx a c

A H M C

B

ac

b

BM mediana (AM MC)

HM proyección de BM

2 22 HMa c b

B

A CD

x

m n

c a

b2

Dado el ABC:

BD bisectriz interior

x ac mn

;a c bc ab

m nn m a c a c



21

TEOREMA DE STEWARD:

Al trazar una ceviana cualquiera, su longitud se puede calcular en

función de las longitudes de los segmentos que determina dicha

ceviana y los lados del triángulo.

TEOREMA DE EULER:

En todo cuadrilátero; la suma de los cuadrados de los lados es igual

a cuatro veces el cuadrado de la longitud del segmento que une los

puntos medios de sus diagonales, más la suma de sus cuadrados,

de dichas diagonales.

NATURALEZA DE UN TRIÁNGULO:

Sean a; b y c las medidas de los lados de un triángulo ABC, siendo

"a" la medida del mayor lado.

1. Si a2 < b2 +c2 ABC es acutángulo.

2. Si a2 = b2 +c2 ABC es rectángulo.

3. Si a2 > b2 +c2 ABC es obtusángulo.

PRÁCTICA DE CLASE 1. Sobre una línea recta se consideran los puntos P, Q, R, S. Si

PQ x RS = QR x PS y

, entonces el valor de

m + n + e + f es: A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

2. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y

D con la condición de que: . Además: , entonces el segmento AC, mide: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

3. Si la gráfica 21 // LL y NP con NQ son trisectrices

del ángulo MNR entonces x mide:

A) 82º B) 84º C) 86º D) 88º E) 90º

4. Si los

del suplemento de los

de la sustracción entre el

suplemento del suplemento de x y el complemento del

complemento de y es igual a los

del suplemento del

complemento de los

de la sustracción entre el complemento

del complemento de x y el suplemento del suplemento de y. Calcular el complemento de la sustracción entre x e y. A) 65° B) 70° C) 75° D) 85° E) 90°

5. Se tienen los ángulos consecutivos POQ, QOR y ROS donde

las bisectrices de ROS y POQ forman un ángulo recto. Si la suma ROS y POQ es 80º, la misma medida que ROP, entonces el valor de es:

A) 2º B) 5º C) 8º D) 12º E) 15º

6. En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior BM (

M en AC ), luego en ,AB BC y MC se ubican los

puntos N, Q y R respectivamente, tal que

// , // //MN BC NQ AC y QR AB si

24

3

ABAM y

BC , entonces MR mide:

A) 1 B) 2 C) 1,5 D) 2,5 E) 3

7. En el triángulo isósceles ABC, AB=BC , si se ubica el punto

interior T tal que la º40BATm , º30TACm y

º20BCTm entonces la medida del ángulo CBT, es:

A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14 8. De un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la

ceviana AD tal que 2 ;m CAD m DAB además

se traza DE ( )E en AC donde

m ADE m BCA . Si 6BD , entonces la

medida de DE es:

A) 8 B) 10 C)12 D) 14 E) 16

A C D

B

a

b

x

n

c

m

BD bisectriz exterior

2x mn ac

c m

a n

A CD

B

x

b

m n

c a

Dado el ABC :

BD ceviana

2 2 2x b a m c n mnb

A D

CB

M N

b

d

a c

M punto medio de AC

N punto medio de BD

2 2 2 2 2 2 24MN AC BDa b c d

A

B

C

a

b

c



22

9. En el triangulo rectángulo ACB, recto en C, se trazan las

bisectrices interiores de A y B cortando a la altura CH en M y

N respectivamente, si AC = 3m y CB = 4m, la distancia desde M hasta N, en metros, es:

A) 1

2 B)

1

3 C)

1

4 D)

1

5 E)

1

6

10. En un triangulo ABC, la medida m A = 2 , Si M es el

punto de intersección de la bisectriz interior del ángulo A con

la ceviana interior del ángulo C, además MCBC y mB = 90º + entonces la medida del ángulo MCA, es:

A) 20 B) 30 C) 20

D) 30 E) 230

11. Al interior de un heptágono convexo INGRESO se ubican los

puntos T y U que son los puntos por donde pasan las mediatrices y de los lados respectivamente. Si y la suma de los ángulos externos correspondientes a los ángulos I y N del heptágono es 37° entonces los ángulos suman:

A) 161,5° B) 217° C) 233° D) 251,5° E) 254°

12. Se da un triángulo equilátero ABC inscrito en una

circunferencia de radio 4 cm., entonces la longitud del punto

medio del lado al punto medio del arco , mide; en centímetros:

A) B) C)

D) E) 2 13. Dado el grafico siguiente:

Se sabe que el arco AB mide 30° y radio de la circunferencia mide 8 cm. Entonces, el valor de CD es:

A) 22 B) 23 C) 28 D) 26 E) 24

14. Las bases de un trapecio miden 4 m y 12 m., los lados no

paralelos miden 10 m y 8 m., aproximadamente y las diagonales son ortogonales, entonces el perímetro del triángulo que se forma al unir el punto de intersección de las diagonales con los extremos de la mediana del trapecio, mide:

A) 21 m B) 20 m C) 19 m D) 18 m E) 17 m

15. Se tiene un polígono regular cuyo semiperímetro es "p" y en

el cual el número que expresa su perímetro es el mismo que el que expresa su número de diagonales. Además su ángulo interior es "p" veces su ángulo exterior. El lado del polígono mide:

A) 1/3 B) 1/5 C) 1/4 D) 1/4 E) ½ 16. Dado un triángulo rectángulo ABC recto en B. Las

circunferencias de centro A y C radios AB y BC

respectivamente interseca a AC en D y E respectivamente si

AD = a y EC = b.

Calcule DE

A) 2 ab B) 2 2a b C) 2ab

D) 2 22 a b E) ab

17. Del gráfico mostrado Q es punto de tangencia AP = a y PQ = b.

Calcular R

A) 2 2

2

a b

a

B) 2 2

2

a b

b

C) ab

a b

D) ab E) 2 2a b

18. Del gráfico, r1 = 3u, r2 = 4u

Calcular: r3

A) 16/5 B) 17/4 C) 16/3

D) 19/20 E) 18/5

19. Desde un punto de una circunferencia se trazan dos cuerdas y el diámetro. Las cuerdas miden 5u y 13u y la diferencia de las proyecciones sobre el diámetro mide 4u. Calcular la longitud del diámetro.

A) 9u B) 12u C) 18u

D) 36u E) 45u

20. En el rectángulo ABCD donde BC = 2AB = 8, calcule “x” si “O” es el centro del arco ED.

A) 2,6 B) 2,8 C) 3,0

D) 3,2 E) 1,2

21. En un triángulo acutángulo ABC la proyección de AB sobre

BC mide la cuarta parte de BC. Calcule BC si:

2 2

AC AB 8

A) 2 B) 4 C) 8

D) 16 E) 6

C

A

B

D

x

E O

M



23

22. En una circunferencia de diámetro AB y centro “O”, se traza la cuerda AC y CH AB . Calcule la distancia de “O” a

AC si AH = 3 y HB = 4.

A) 7 B) 2 3 C) 3

D) 2 7 E) 5

23. En el triángulo rectángulo ABC recto en B, se traza la altura

BH y la mediatriz de BH que intersecta a BC en P. Calcule

2 2

AP HP si AB = 4

A) 16 B) 4 C) 8

D) 12 E) 32

24. Calcule la medida de la altura de un trapecio si las bases miden 6 y 8, las diagonales miden 13 y 15.

A) 10 B) 11 C) 11,5

D) 12 E) 10,5

25. En la figura AD = DC. Calcular : x

a) 20° b) 50° c) 30°

d) 60° e) 40°

26. En un triángulo ABC, se traza la ceviana BP de modo que

AC 2BP y m BAC m ACB

m ABP3 2

.

Calcular la m ABP .

a) 12° b) 20° c) 15°

d) 25° e) 18°

27. En la figura: AB = CD. Calcular x.

a) 15° b) 30° c) 18°

d) 36° e) 22,5°

28. En la figura AB = BC. Calcular:

a) 10° b) 18° c) 12°

d) 20° e) 15°

29. En la figura, calcular x.

a) 22°30’ b) 45° c) 30°

d) 18° e) 15°

30. En la siguiente figura , AB = CD, y AC = 6. Calcular AD.

a) 8 d) 6 2

b) 10 e) 6 3

c) 12 31. En la figura mostrada, AP = BC. Calcular : x.

a) 5° d) 15° b) 10° e) 20° c) 12° 32. En el gráfico adjunto , calcular FG, si: BF = 5 y DE = 9.

a) 2 d) 5 b) 3 e) 6 c) 4 33. En un triángulo ABC se traza la ceviana interior BM, si

m MBC 50 , m ACB 30 y AB = MC.

Calcule: m BAC .

a) 30° d) 40° b) 10° e) 15° c) 20° 34. Según la figura, RG = RC = GA. Calcule el valor de x.

18º xº

42º30ºA

D

B

C

xº

2 º

60º-

A

B C

D

2

3

A

B

C

P

A

M

B

N

Cx4x

2x

2 +

A D

B

C

A

B

PC2x

3x90º-x

A

B D

F

CE

G



24

a) 10° d) 30° b) 15° e) 20° c) 18°

35. En el gráfico, m BAC 37 , HC=2(BH) y AP = PH,

calcular x.

a) 7° d) 8° b) 14° e) 37°/2 36. Se tiene un triángulo isósceles ABC(AB = BC), en su región

interior se ubica un punto P tal que: AP = PB y

m PBC

m BAP m ACP5

Calcular: m PAB .

a) 30° d) 12° b) 20° e) 15° c) 10° 37. La suma de las medidas de cinco ángulos internos de un

polígono convexo es 760º.Calcule la suma de las medidas de los ángulos externos correspondientes a los vértices restantes.

A) 190º B) 200º C) 210º D) 220º E) 230º

38. En un decágono convexo, calcule el máximo número de

ángulos internos de medida 100º.

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

39. Del gráfico AM = MC, PQ = 10u Calcular: BH

A) 4u B) 5 2u C) 6u

D) 5u E) 3u

40. En la figura mostrada ABCD es un romboide T es punto de

tangencia, BM = MC y 4 2TC . Calcule: (EN)2 –

(BN)2

A) 49 B) 44

C) 36

D) 40 E) 32

x

10º

R

G

C

A

A

P

H

B

C

Razonamiento Geométrico

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