Niveles de razonamiento geométrico en estudiantes de una ...

Facultad de Ciencias Básicas

Magíster en Didáctica de la Matemática con Mención

TESIS PARA OPTAR AL GRADO DE MAGÍSTER EN DIDÁCTICA DE LA

MATEMÁTICA

MENCIÓN EN EDUCACIÓN BÁSICA

Niveles de razonamiento geométrico en

estudiantes de una escuela rural con aulas

multigrado de la comuna de Hualañé

Tesista: Matías Bustamante Valdés

Director de Tesis: Dr. Atif Lodhi

Codirector de Tesis: Dr. Carlos Caamaño Espinoza

TALCA, JUNIO 2018

2

AGRADECIMIENTOS

A mi familia, por creer en mi y ser un gran ejemplo de esfuerzo y dedicación, muchas

gracias por el apoyo y motivación para poder seguir. A mi gran amigo y compañero

de Magíster José Pardo Cañete, quien fue un gran apoyo y consejero en momentos

que los necesité, muchas gracias por estar ahí. A cada una de las personas que

forman parte de mi lugar de trabajo, por hacer que ir a la escuela sea tan agradable.

A mis compañeros del programa, que aprendí mucho de ellos. A mi Director y

Codirector de Tesis Dr. Atif Lodhi y Dr. Carlos Caamaño Espinoza, por las

orientaciones y compromiso en este proceso. A los académicos del programa, por

entregar una formación de excelencia, todo lo aprendido me sirvió para crecer como

profesional, muchas gracias. Y por último, a CONICYT, por brindarme el

financiamiento para poder perfeccionarme.

Matías Bustamante Valdés

3

ÍNDICE

RESUMEN ........................................................................................................... 5

ABSTRACT ................................................................................................................ 6

INTRODUCCIÓN ........................................................................................................ 7

CAPÍTULO I: Planteamiento del problema

1.1 Datos del contexto ............................................................................................. 10

1.2 Antecedentes teóricos……………...……………………………………………11 1.3 Relevancia de la investigación………………………………………………….11 1.4 Preguntas de investigación……………………………………………………...12 1.5 Objetivos e hipótesis de investigación ......................................................... 13

1.5.1 Objetivo General ............................................................................... 13 1.5.2 Objetivos Específicos ........................................................................ 13 1.5.3 Hipótesis de investigación ................................................................ 13

1.6 Limitaciones del estudio…………………………………………………..…….13

CAPÍTULO II: Marco teórico

2. MARCO TEÓRICO ............................................................................................ 15

2.1 Modelo de razonamiento geométrico de los van hiele y estudio del arte .... 15 2.1.1 Niveles de razonamiento .................................................................. 17 2.1.2 Propiedades del Modelo de Van Hiele .............................................. 20 2.1.3 Fases de aprendizaje ........................................................................ 20

2.2 Escuelas rurales con aulas multigrado ........................................................ 23 2.3 Enseñanza de la geometría……………….…………………………………….25 2.4 Inicios de la geometría ................................................................................ 29 2.5 Objeto de estudio: área y perímetro ............................................................ 30

4

CAPÍTULO III: Metodología

3. METODOLOGÍA .......................................................................................... 35

3.1 Tipo y diseño de investigación .................................................................... 35 3.2 Población y muestra .................................................................................... 35 3.3 Procedimiento de muestreo ......................................................................... 36 3.4 Características del contexto ........................................................................ 36 3.5 Variables ..................................................................................................... 37 3.6 Métodos e instrumentos de recogida de información .................................. 37

3.6.1 Grados de adquisición de un nivel de razonamiento ........................ 38 3.7 Técnicas de análisis .................................................................................... 40

3.7.1 Tipos de respuesta ........................................................................... 40 3.7.2 Asignación de los grados de adquisición de los niveles de Van

Hiele……………………………………………………………………….42 3.7.2.1 Ponderación de los tipos de respuestas……………………...42 3.7.2.2 Codificación……………………………………………………...42 3.7.2.3 Rango de los niveles de Van Hiele……………………………43

3.8 Experimento ................................................................................................ 44

CAPITULO IV: Análisis de resultados

4. ANÁLISIS DE RESULTADOS .......................................................................... 52

4.1 Resultados descriptivos............................................................................... 53 4.1.1 Resultados de curso multigrado y por nivel educacional .................. 53 4.1.2 Resultados por estudiante ............................................................... 58 4.1.3 Resultados por atributos involucrados en ítems de pre-test y post-

test……… ......................................................................................... 72 4.2 Análisis inferencial de los resultados ......................................................... 111

CONCLUSIONES Y PROYECCIONES ........................................................... 115

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................... 119

ANEXOS.......................................................................................................... 124

5

Resumen

Esta investigación se centra en el análisis de los niveles de razonamiento

matemático, de acuerdo al Modelo de Van Hiele, y de los grados de adquisición que

obtienen los estudiantes de quinto y sexto básico de una escuela rural con aulas

multigrado, en el desarrollo de una unidad didáctica de perímetro y área de

cuadriláteros. La metodología de esta investigación es cuantitativa con aspecto

cualitativo, con un diseño pre-experimental, y usando pre y post-test. Este estudio

se basa en las premisas que han surgido a partir de las diversas investigaciones de

Gutiérrez (2009), que señalan que en los cursos de quinto y sexto año básico (con

estudiantes que están en un nivel de desarrollo y un rendimiento adecuado) hay un

periodo de transición entre el nivel 1 e inicios del nivel 2 de razonamiento

geométrico, que son los considerados en este estudio. Este tema no ha sido

investigado con estudiantes de aula de multigrado. Se describen resultados de los

atributos antes y después de la unidad didáctica de cada estudiante, y también, de

acuerdo a su nivel educacional y curso multigrado. Se observan resultados

positivos, se generan aprendizajes significativos en los estudiantes a partir del

razonamiento geométrico, y se logra alcanzar grados de adquisición acordes a su

nivel educacional.

Palabras claves: Modelo Van Hiele, niveles de razonamiento, grados de

adquisición, multigrado

6

Abstract

This research focuses on the analysis of the levels of mathematical reasoning,

according to Van Hiele Model, and the degrees of acquisition obtained by the fifth

and sixth grade students of a rural school with multigrade classrooms, in the

development of a didactic unit of perimeter and area of quadrilaterals. The

methodology of this research is quantitative with qualitative aspect, having a pre-

experimental design, and using pre and post-test. This study is based on the premise

that has emerged from various studies conducted by Gutiérrez (2009), who point out

that in the fifth and sixth basic year courses (with students who are at a level of

development and an adequate performance) there is a transition’s period between

level 1 and beginnings of level 2 of geometric reasoning, which are the levels

considered in this study. This topic has not been investigated with multigrade

classroom students yet. The results of the attributes before and after the didactic unit

of each student are described, and also, according to their educational level and

multigrade course, positive results are observed, generating significant learning in

the students, that comes from the geometric reasoning, acquisition levels that match

their educational level.

Key words: Van Hiele model, reasoning levels, acquisition degrees, multigrade

7

Introducción

En los últimos años, se ha observado una situación preocupante en relación a los

aprendizajes de la matemática por parte de los estudiantes en Chile que, mediante

las pruebas estandarizadas internacionales realizadas a alumnos de distintos

niveles educacionales, quedan en evidencia los bajos resultados en los cuatro ejes

de dicha asignatura.

Este escenario, ha llevado a que se empleen diferentes estrategias para mejorar la

calidad de los aprendizajes donde, los modelos educativos, han sido de gran

pertinencia. Según Jaime y Gutiérrez (1990), cuando se habla generalmente de

modelos, se refiere a representaciones de un fenómeno real aunque, los modelos

de interés, son los llamados modelos educativos, los cuales tienen que ver con el

desarrollo intelectual, la enseñanza o el aprendizaje de la matemática. Existen

diferentes modelos pedagógicos tales como, el Modelo de Jorba, Duvall, Van Hiele,

entre otros, los cuales tienen como objetivo mejorar los procesos de enseñanza y

de aprendizaje de la matemática, que han sido implementados por investigadores

de todo el mundo, donde se han obtenidos resultados positivos al crear aprendizaje

significativo mediante el desarrollo del razonamiento.

El Modelo de Razonamiento Geométrico de los Van Hiele que, actualmente es un

modelo clave para mejorar los procesos de enseñanza y de aprendizaje de la

geometría. La implementación de este modelo consiste en aplicar un diagnostico

que permita observar el estado inicial de los estudiantes, para luego implementar

una unidad didáctica que pretende desarrollar un objeto matemático en geometría.

Finalmente, a través de una prueba final, se contrastan los resultados de las

pruebas iniciales y finales.

Además, es necesario destacar la poca participación de las escuelas rurales con

aulas multigrado en las investigaciones donde se implementa el modelo de Van

Hiele para generar unidades didácticas, por lo que en este estudio se considera

como muestra, estudiantes que pertenecen a aulas multigrado en un contexto rural.

8

El objetivo de esta investigación, es evidenciar la mejorara los aprendizajes de la

geometría, mediante la implementación del Modelo de Van Hiele en un curso que

tienen como características ser rural y con aulas multigrado.

La estructura del documento consta de cinco capítulos, el primero, “planteamiento

del problema”, señala los datos de contexto, antecedentes teóricos, la relevancia de

la investigación, las preguntas de investigación, el objetivo general y los objetivos

específicos, la hipótesis de investigación, y las limitaciones del estudio.

En el segundo capitulo “marco teórico” se presenta el modelo de Van Hiele, con los

descriptores de los niveles de razonamiento, las fases de aprendizaje, propiedades

y , una matriz con los atributos de los procesos de razonamiento de acuerdo a los

niveles de Van Hiele. Además, se exponen las líneas teóricas referidas escuelas

rurales con aulas multigrado, enseñanza de la geometría, inicios de la geometría y

del objeto de estudio de perímetro y área.

En el tercer capitulo “Marco metodológico”, se describe el diseño de investigación,

la población y muestra, procedimiento de muestreo, características del contexto,

variables, métodos e instrumentos de recogida de información, técnicas de análisis

y el experimento.

En el cuarto capítulo “Análisis de resultados” se presentan resultados de curso

multigrado y nivel educacional, por estudiantes y por atributos involucrados en el

pre-test y post-test.

Y por ultimo, en el Quinto capítulo “Conclusiones”, se exponen conclusiones a partir

del análisis de los resultados, dando a conocer si los objetivos de investigación son

alcanzados.

9

CAPÍTULO I PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

10

1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

1.1 Datos de contexto

A nivel internacional, la evaluación TIMSS (2011), realizada por la Asociación

Internacional para la Evaluación del Logro Educativo (IEA), la cual tiene como

objetivo proveer información de calidad sobre los logros de aprendizajes de los

estudiantes de Educación Básica y los contextos educacionales en los que

aprenden en el área de matemáticas y ciencias naturales, teniendo como

participantes a 63 países de los cinco continentes y a 14 estados, muestra

resultados preocupantes respecto a los aprendizajes matemáticos de los

estudiantes de Enseñanza Básica en Chile ya que, según sus niveles de

desempeño, dichos estudiantes demostraron estar situados bajo la media

establecida, alcanzando el nivel más bajo en los resultados de esta evaluación.

Asimismo, a través de los datos aportados por este instrumento, podemos ver que

existe una amplia brecha entre las instituciones escolares según su tipo de

dependencia. Es decir, las instituciones educativas particulares pagadas alcanzaron

mejores resultados (equivalentes a países como Finlandia y Bélgica), que los

obtenidos en establecimientos municipales. Estableciendo, al mismo tiempo, que

los recursos educativos que los estudiantes tienen en su hogar, dependiendo del

tipo de establecimiento, son significativamente distintos (siendo menor en los

establecimientos municipales). Por otra parte, vemos que uno de los ejes temáticos

que presenta mayor dificultad es el de geometría, donde se evaluó lo referente a

figuras geométricas y medidas.

Según explica el Ministerio de Desarrollo Social (2015), la Región del Maule es una

de las regiones con más alto índice de pobreza a nivel nacional, evidenciando,

además, que la mayor pobreza se encuentra en el contexto rural, ubicando a gran

parte de las familias y estudiantes en contextos de vulnerabilidad. Teniendo en

cuenta esta realidad y con los datos aportados anteriormente, se considera

pertinente realizar una intervención en la comuna de Hualañé, donde existe una

gran cantidad de escuelas rurales que tienen además, la condición de tener aulas

multigrado, donde se presentan cursos combinados por baja matricula.

11

1.2 Antecedentes teóricos

Las investigaciones en Didáctica de la Matemática, han sido de gran utilidad para la

mejora de las prácticas educativas y la adquisición de mejores aprendizajes

matemáticos por parte de los estudiantes. Por su parte, Rico, Sierra y Castro (2002),

afirman que: “La Didáctica de la Matemática se ocupa de indagar metódica y

sistemáticamente sobre los procesos de enseñanza y aprendizaje de las

matemáticas así como de los planes para la preparación profesional de los

educadores matemáticos” (p. 37).

Una línea de investigación de esta disciplina científica, que es pertinente para esta

situación, en el ámbito específico de la Didáctica de la Geometría, es la utilización

del Modelo de Razonamiento Geométrico de Van Hiele, pues busca mejorar los

procesos de la enseñanza y del aprendizaje de la Geometría, como se evidencian

en investigaciones tales como; Aravena y Caamaño, (2013), Aravena, Gutiérrez y

Jaime (2016), también considerar otros estudios que se han realizado en el Magister

de Didáctica de la Matemática como Vargas (2015), de las cuales se han obtenido

resultados positivos en los diferentes contenidos de la geometría y diferentes niveles

educativos y, Jaime, (1993), la cual, aparte de contribuir en el mejoramiento de los

aprendizajes geométricos, también aporta al desarrollo de la metodología de

investigación del Modelo de Van Hiele, mediante los grados de adquisición de los

niveles de razonamiento por parte de los estudiantes.

1.3 Relevancia de la investigación

Teniendo en cuenta lo expuesto en párrafos anteriores, la problemática tiene

importancia puesto que; en primer lugar, está relacionada directamente con los

aprendizajes de la geometría de los estudiantes en Chile, aun más, con aquellos

que poseen escasos recursos en el hogar, tal como ocurre en la Región del Maule.

En segundo lugar, no existe evidencia de investigaciones del modelo de Van Hiele,

en escuelas rurales con aulas multigrado, por lo que ayudaría a llenar lagunas del

conocimiento respecto a este tema. Y por ultimo, la implementación de este modelo,

mediante la generación de unidades didácticas, ha sido reconocido

12

internacionalmente, donde se evidencian resultados positivos en los aprendizajes

de los estudiantes.

Por lo tanto, esta intervención tiene como finalidad, mejorar la calidad de los

procesos de enseñanza y de aprendizaje de la geometría que, como se mencionara

anteriormente, es el eje más descendido en los aprendizajes adquiridos de los

estudiantes en Chile. Y además, relacionar los niveles de razonamiento geométrico

alcanzado y su grado de adquisición, con el nivel de escolaridad de los estudiantes

que pertenecen a estas aulas de multigrado.

1.4 Preguntas de investigación

Por todo lo anterior entonces, surgen las siguientes preguntas de investigación:

¿Es posible mejorar la calidad del razonamiento geométrico y el grado de

adquisición de aprendizajes de la geometría mediante la utilización del modelo de

razonamiento geométrico de Van Hiele en una escuela rural que tiene como

característica tener aulas multigrado?

¿Cuál es el nivel de razonamiento geométrico y su grado de adquisición que

alcanzan los estudiantes de una escuela multigrado, luego de implementar una

unidad didáctica basada en el modelo de razonamiento geométrico de Van Hiele?

13

1.5 Objetivos e hipótesis de investigación

1.5.1 Objetivo General

Analizar el nivel de razonamiento geométrico y su grado de adquisición alcanzado

por los estudiantes, utilizando una unidad didáctica basada en el modelo de Van

Hiele, en un curso que tiene como característica ser multigrado.

1.5.2 Objetivos Específicos

Determinar los niveles de razonamiento de los alumnos antes y después de la

unidad didáctica.

Identificar el grado de adquisición de los niveles de razonamiento que logran los

estudiantes al terminar la unidad didáctica.

1.5.3 Hipótesis de investigación

La utilización del modelo de razonamiento geométrico de Van Hiele, para generar y

aplicar una unidad didáctica en un curso rural multigrado, permite a los estudiantes

construir conocimiento a partir del razonamiento geométrico, adquiriendo un

dominio de herramientas y métodos que permita un aprendizaje significativo en el

ámbito de la geometría, logrando alcanzar los grados de adquisición de los niveles

de razonamiento según su nivel educacional.

1.6 Limitaciones del estudio

Debido al contexto de aula rural multigrado, se cuenta con la participación de un

número reducido de estudiantes. A pesar que los datos no pueden ser

generalizables de acuerdo a parametros poblacionales, dan información novedosa

sobre el nivel de adquisición de razonamiento de los alumnos. Asimismo, el tiempo

del trabajo de campo es limitado.

14

CAPÍTULO II MARCO TEÓRICO

15

2. MARCO TEÓRICO

En el capítulo anterior, se mencionó la problemática y las dificultades educativas

evidenciadas en Chile en la actualidad que, -con un conjunto de factores- se

muestra que las mayores falencias están en el eje de Geometría. Por lo que se

busca mejorar los procesos de enseñanza y de aprendizaje de la Geometría

mediante la utilización del Modelo de Razonamiento de los Van Hiele.

Para facilitar la comprensión de este modelo, es conveniente tener en cuenta, qué

es un modelo educativo y cuál es su objetivo que, como señala Jaime, y Gutiérrez

(1990) son teorías de razonamiento, enseñanza o aprendizaje, que corresponden a

modelos que tienen como objetivo describir rasgos del desarrollo intelectual de los

estudiantes y su aprendizaje escolar.

2.1 Modelo de razonamiento geométrico de los van hiele y estado del arte

En Van Hiele (1957), Pierre Marie Van Hiele, en su tesis doctoral, presentó el

modelo de enseñanza y de aprendizaje de la Geometría llamado Modelo de Van

Hiele, dando importancia en la forma en que se produce la comprensión en

geometría, considerando también la relevancia de esta comprensión por parte de

los docentes para plantear estrategias de enseñanza efectivas.

Además, Ángel Gutiérrez, profesor de la Universidad de Valencia, que también

trabaja ampliamente la enseñanza de la Geometría que, desde el año 1990 ha

publicado aplicaciones sobre el modelo de Van Hiele. En Jaime y Gutierrez (1990),

se realizó un trabajo explicando en que consiste el modelo de Van Hiele, y de cómo

llegó a ser práctica cotidiana de la enseñanza de la geometría, teniendo en cuenta

también, las problemáticas a las que se ven enfrentadas los docentes.

Posteriormente en Gutiérrez (1991), realiza trabajo dirigido a profesores, donde

muestra fortalezas que puede tener la aplicación del modelo de Van Hiele al ser

implementado en el aula. Asimismo, en Gutiérrez (1992), se describe la importancia

de la enseñanza de la geometría espacial, donde se señala la relevancia del modelo

en la enseñanza de la geometría, basados en la comprensión de la habilidad de

16

visualización espacial por parte de los estudiante, y como herramienta organizativa

de la enseñanza de la geometría espacial para el docente.

Además, Adela Jaime Pastor, en Jaime (1993), tesis doctoral que, no solo explica

el modelo de Van Hiele, sino que además, incorpora una nueva metodología para

medir los niveles de razonamiento geométrico, mediante los grados de adquisición.

También, considerar trabajos que se han realizado en Chile como Aravena y

Caamaño, (2013), Aravena, Gutiérrez y Jaime (2016) con resultados positivos en

estudiantes en la región del Maule, y otros como Vargas (2015), que perteneció al

programa de Magister en Didáctica de la Matemática, impartido por la Universidad

Católica del Maule, la cual tuvo como participantes a los estudiantes de la

Universidad del Cruch que, al igual que las investigaciones mencionadas

anteriormente, se obtuvieron resultados positivos.

Según señala Jaime y Gutiérrez (1990), el modelo de razonamiento geométrico de

los Van Hiele tiene su origen hace más de 40 años, debido a una problemática

experimentada por unos profesores holandeses llamados Pierre Marie Van Hiele y

Dina Van Hiele-Geldof, que daban clases en la asignatura de matemática en

enseñanza media. Pierre Marie Van Hiele (como se citó en Jaime y Gutierrez, 1990)

explica la situación y cómo surgió su interés hacia el tema:

Cuando empecé mi carrera como profesor de matemáticas, pronto me di

cuenta de que era una profesión difícil. Había partes de la materia en cuestión

que yo podía explicar y explicar, y aún así los alumnos no entendían. Podía

ver que ellos lo intentaban realmente, pero no tenían éxito. Especialmente al

comienzo de la geometría, cuando había que demostrar cosas muy simples,

podía ver que ellos daban el máximo de sí, pero la materia parecía ser

demasiado difícil. Pero debido a que yo era un profesor inexperto, también

tenía que considerar la posibilidad de que yo fuera un mal profesor. Y esta

última y desagradable posibilidad se afirmaba por lo que ocurría

posteriormente: De pronto parecía que comprendían la materia en cuestión.

Podían hablar de ella con bastante sentido y a menudo decían: "No es tan

17

difícil, pero ¿por qué nos lo explicó usted de forma tan complicada?" En los

años que siguieron cambié mi explicación muchas veces, pero las

dificultades se mantenían. Parecía como si siempre estuviera hablando en

una lengua distinta. Y considerando esta idea descubrí la solución, los

diferentes niveles del pensamiento.

Como señala Jaime (1993), el modelo de razonamiento geométrico de Van Hiele

tiene dos aspectos; el descriptivo, el cual identifica las formas de razonamiento

geométrico, donde además, se valora del proceso de un nivel de razonamiento a

otro. Y el instructivo, el cual está centrado en los profesores, correspondiente a las

fases de aprendizajes, que sitúan a los estudiantes en diferentes escenarios, para

lograr el cambio de un nivel de razonamiento a otro superior.

Existen diversos autores que, se han consolidado en los últimos años en el análisis

de los niveles de razonamiento geométrico en estudiantes, mediante la utilización

del Modelo de Van Hiele. Dentro de los cuales, se considera a Hoffer (1981), el cual

señala habilidades que son requeridas para el aprendizaje de la geometría de

acuerdo a los niveles de razonamiento de Van Hiele, pero principalmente Jaime y

Gutiérrez (1990), Jaime (1993), Aravena y Caamaño (2013), que permiten describir

este modelo en base a numerosas investigaciones, además de proponer elementos

claves a la hora de confeccionar instrumentos para analizar los niveles de

razonamiento de los estudiantes.

2.1.1 Niveles de razonamiento

Nivel 1: (Reconocimiento):

• Realizan procesos de percepciones globales, donde consideran figuras en

su totalidad, y como unidades, incluyendo atributos irrelevantes en las

descripciones que realizan, no siendo- estos atributos- propiedades, ni partes

de la figura. Hay que considerar también que, cuando reconocen

propiedades o partes de las figuras, éstas cumplen un rol secundario y con

frecuencia se evidencian contradicciones.

18

• No se generalizan las características de una figura a otras de su misma clase,

por lo que perciben las figuras como objetos individuales.

• Las descripciones de las figuras se basan en el aspecto físico y posición en

el espacio, donde los reconocimientos, distinciones y clasificaciones se

basan en semejanzas físicas globales.

• En algunas situaciones los estudiantes realizan semejanzas con otros

objetos, que no son necesariamente matemáticos o geométricos, usando

frases tales como; se parece a…, tiene forma de…

• Usan un lenguaje básico para realizar descripciones.

Nivel 2: (Análisis):

• Los estudiantes reconocen que las figuras están dotadas de propiedades y

que están formada por una serie de elementos, generado mediante la

observación y experimentación.

• Son capaces de analizar propiedades, donde deducen y generalizan dichas

propiedades para las figuras de la misma familia.

• No son capaces de hacer relaciones entre propiedades, por lo que no pueden

realizar clasificaciones de figuras de forma lógica en relación a sus partes y

propiedades.

• Las descripciones que realizan los estudiantes corresponden a una lista lo

más exhaustiva posible de propiedades, aunque hay que tener en cuenta

que, en el recitado de propiedades puede haber una falta de características,

por lo que en este nivel, rechazan todas las propiedades -entregadas por el

profesor-, que estén en conflicto con las propias.

• Las demostraciones de propiedades se realizan mediante pocos pasos

Nivel 3: (Clasificación):

• Establecen relaciones entre propiedades.

• Clasifican lógicamente familias de figuras a partir de propiedades.

• El razonamiento lógico aún se basa principalmente en la experimentación.

• Comprenden la importancia de las definiciones matemáticas, por lo que

definen correctamente conceptos y figuras.

19

• Existe una necesidad de justificar la veracidad de las propiedades de manera

global, siendo informalmente.

• Comprenden y realizan implicaciones simples, siendo éstas, de manera

formal.

• Son capaces de entender demostraciones formales explicadas por el

profesor, pero no son capaces de generarlas, ya que comprenden los pasos

de forma aislada y no entienden la necesidad de encadenamiento ni

estructura axiomática de una demostración.

Nivel 4: (Deducción Formal):

• Realizan y comprenden demostraciones mediante razonamiento lógico

formal.

• Las demostraciones ya tienen sentido para ellos pues, sienten la necesidad

como medio para verificar verdades.

• Entienden la estructura axiomática, ya que entienden la utilidad de los

términos no definidos, axiomas, definiciones y teoremas.

• Aceptan la existencia de demostraciones alternativas para el mismo teorema

y la existencia de la equivalencia de definiciones del mismo concepto.

Nivel 5: (Rigor):

• Trabajan en sistemas axiomáticos distintos del usual (geometría euclidiana)

• Tiene la capacidad de realizar deducciones abstractas basadas en un

sistema axiomático determinado

• Tienen la capacidad para establecer la consistencia de un sistema de

axiomas. Comparar sistemas axiomáticos diferentes y decidir sobre su

equivalencia.

• Comprenden la importancia de la precisión al tratar los fundamentos y las

relaciones entre estructuras matemáticas.

20

2.1.2 Propiedades del Modelo de Van Hiele

Además de la descripción de los niveles de razonamiento, es necesario mencionar

características generales de estos niveles, las cuales, de acuerdo con Jaime y

Gutiérrez (1990), existe primero que todo una jerarquización y secuencialidad de los

niveles, que hace referencia a que cada nivel de razonamiento se apoya en el

anterior y que los niveles presentan diferentes grados de sofisticación. También

menciona que dentro de los primeros 3 niveles, existen determinadas habilidades

que se usan implícitamente que, cuyo uso explícito se aprende en el nivel

inmediatamente superior, las cuales son: a) nivel 1: no reconoce la importancia de

las partes de la figura; b) Nivel 2: no reconoce la relación entre propiedades; y c)

Nivel 3: no reconoce la necesidad de desencadenamiento para la construcción de

demostraciones.

En segundo lugar menciona la relación entre el lenguaje y los niveles, donde señala

que las capacidades de razonamiento no solo se evidencian en el desarrollo de un

problema, sino que también en la forma en el que el estudiante se expresa y a los

significados empleados.

Y tercero, menciona que el paso de un nivel a otro se realiza de forma continua,

donde el estudiante estará en una transición en el que cambiará de un nivel de

razonamiento a otro.

2.1.3 Fases de aprendizaje

Las fases de aprendizaje según Jaime y Gutiérrez (1990), Jaime (1993),

corresponden a una serie de orientaciones para el profesor, que le permiten

organizar actividades, con la finalidad de ayudar a sus alumnos a subir de un nivel

a otro, las cuales son:

Fase 1: (Información):

• Se toma contacto con el nuevo objeto de estudio, se identifican

conocimientos previos y nivel de razonamiento en relación al objeto en

cuestión.

21

• El profesor informa sobre cómo se abordará el objeto de estudio, los

problemas que se utilizarán, metodologías, materiales, entre otros.

• Los estudiantes aprenden a utilizar el material que se utilizará y también

aprenderán conceptos básicos indispensables para el trabajo matemático.

Fase 2: (Orientación Dirigida)

• Con la utilización del material entregado en la fase anterior, los estudiantes

exploran el campo de estudio mediante actividades y la resolución de

problemas. Estas situaciones tienen como objetivo que descubran,

comprendan y aprendan elementos pertenecientes a la red de conocimientos

que están involucrados, ya sea conceptos, propiedades, figuras, entre otros.

• Como los estudiantes no pueden generar aprendizajes de calidad por si solos

(de acuerdo a la relación entre resultados obtenidos y tiempo utilizado), el

profesor debe seleccionar cuidadosamente las actividades, para que estén

dirigidas hacia los conceptos y propiedades que se deben utilizar, siendo

éstos, presentados de manera gradual.

Fase 3: (Explicitación)

• La principal característica de esta fase, es que los estudiantes intercambian

experiencias entre pares y con el profesor, explican cómo es su resolución

de problemas, las regularidades que evidenciaron. Esta interacción es la

base para generar la red de relaciones.

• No hay un aprendizaje de conocimientos nuevos, sino que, es una revisión

del trabajo anteriormente desarrollado.

• En la explicación se debe alcanzar un vocabulario acorde al nivel que se

quiere alcanzar.

Fase 4: (Orientación Libre):

• Los estudiantes resuelven problemas diferentes a los anteriores, donde

posiblemente, son más complejos. Esta resolución debe utilizar los

conocimientos anteriormente aprendidos.

22

• Los nuevos problemas deben generar nuevas relaciones o propiedades,

deben ser más abiertos, donde existan varias procedimientos para la

resolución y que tengan varias soluciones o ninguna.

• En esta fase el profesor limita lo máximo posible la ayuda hacia los alumnos,

puesto que, la idea de ésta, es hacer que los estudiantes logren encontrar

por ellos mismos la red de relaciones.

• Las actividades involucradas en esta fase, permiten completar la red de

relaciones que se inició en las fases anteriores.

Fase 5: (Integración)

• Los estudiantes adquieren una visión global de la red de relaciones que han

estado trabajando en las fases anteriores, integrando conocimientos,

métodos y formas de razonamiento.

• Los trabajos en esta fase deben tener un carácter global, el profesor debe

utilizar recopilaciones a modo de facilitar esta integración.

• El profesor debe tener especial cuidado con utilizar conceptos o propiedades

nuevos, pues se trata de acumular, comparar y combinar cosas que ya

conoce.

• Al completar esta fase, los alumnos habrán adquirido un nuevo nivel de

razonamiento.

También, en Gutiérrez y Jaime (1998), se plantea una matriz que se presenta en la

tabla 1, la cual describe en detalle los atributos de acuerdo a los niveles de

razonamiento, siendo ésta, la base para la construcción y análisis de los

diagnósticos de esta investigación.

23

Tabla 1

Matriz de atributos de los procesos de razonamiento en los niveles de razonamiento

descrito por Gutiérrez y Jaime (1998)

Procesos Nivel 1 Visualización

Nivel 2 Análisis

Nivel 3 Clasificación

Nivel 4 Deducción

formal Reconocimiento y descripción

Atributos físicos (posición, forma, tamaño)

Propiedades matemáticas

Uso de definiciones

Definiciones con estructura simple

Definiciones con estructura matemática compleja

Aceptar definiciones diferentes

Formulación de definiciones

Listado de propiedades físicas

Listado de propiedades matemáticas

Conjunto de propiedades necesarias y suficientes

Prueba la equivalencia de definiciones

Clasificación Exclusiva basado en atributos físicos

Exclusiva basado en atributos matemáticos

Clasificar con diferentes definiciones Exclusiva e Inclusiva

Demostración Verificación con ejemplo Demostraciones empíricas

Demostraciones lógicas informales

Demostración matemática formal

Fuente: Gutiérrez y Jaime (1998).

2.2 Escuelas rurales con aulas multigrado

Definir el concepto de escuela rural es muy complejo, no solo porque el término

ruralidad conlleva múltiples características, sino porque además, como afirma

Berlanga, (2003): “no es posible dar una definición universal y permanentemente

válida de rural o urbano, sino tener una visión de conjunto con el fin de no caer en

una dicotomía simplista porque ambos están en constante cambio” (p. 80).

Cantón (2004), por su parte reúne características propias de la escolarización

específicas de las zonas rurales, las cuales son: a) bajo o muy bajo ratio entre

alumno y profesor; b) el agrupamiento de los estudiantes no suele ser por grados;

c) la escuela en algunos casos, es el último servicio público de la localidad; y d)

24

dificultad en el acceso a la los bienes culturales.

Estas características aunque no siendo precisas, permitieron establecer los tres

primeros criterios de concreción de la escuela rural, debido a la acepción de escuela

rural que considera Berlanga (2003):

Aquella que está ubicada en el ámbito rural, en una población que, siendo

flexible en la opinión y en las cuantificaciones, nunca supera los 10.000

habitantes, una densidad inferior a los 60 habitantes por kilómetro cuadrado

y donde la población está dedicada a tareas agrícolas es superior al 50 por

ciento.

Por lo que es preciso considerar los siguientes criterios fundamentales para definir

el concepto: a) un número de habitantes menor que 10.000; b) La densidad de la

población, la cual debe ser menor a 60 habitantes por kilómetro cuadrado; y c) La

taza de población dedicada a la agricultura.

Posteriormente Corchón (2005), especifica un indicador que permite tener una

acepción más precisa, señalando que: “en un sentido poco amplio, son escuelas

rurales las de localidades de censo inferior a 501 habitantes” y “son propiamente

rurales las de aldeas o lugares de población diseminada inferiores a 500 habitantes”

Se agrega a lo anterior, lo expuesto por Tous (como se citó en Hinojo, Raso e Hinojo

2010),que se refiere a escuela rural como la única en la población.

Entonces, es necesario considerar los siguientes criterios, que favorece la

delimitación de este concepto, los cuales son: a) Ubicación en localidades inferiores

a 500 habitantes; y b) Ser la única en su localidad.

Posteriormente, Jiménez (1983) señala que:

Las escuelas graduadas, unitarias y mixtas tienen unas características

comunes: en una misma clase conviven niños y niñas de distintas edades y

niveles de escolaridad, suelen estar ubicados en localidades menores de mil

habitantes y dedicadas a la agricultura, ganadería, pequeño comercio o

25

industrias familiares y son despreciadas por la administración, consideradas

como centros de tercera categoría dentro de la planificación educativa y

olvidadas por teóricos y pedagogos.

Por lo tanto, es importante tener en cuenta que, a partir de este momento, es

imposible hablar de escuela rural sin tomar en cuenta la evidente inherencia con la

multigraduación como característica en sus aulas, pues es una característica común

en escuelas con estas condiciones.

Finalmente, la definición resultante, -a partir de todo lo anteriormente expuesto-, y

a la vez, más pertinente para tener como sustento teórico en esta investigación, es

la que considera Corchón (como se citó en Hinojo, Raso e Hinojo, 2010):

La escuela rural como todo aquel centro de educación formal que verifica las

siguientes características; única en la localidad, presenta multigraduación en

sus aulas, son las escuelas unitarias y las pequeñas graduadas incompletas

de 1 a 4 unidades, y están situadas en pequeños núcleos de población que

no superan los 500 habitantes.

2.3 Enseñanza de la Geometría

Hoffer (1981) señala que la enseñanza de la geometría debe basarse en el

desarrollo de habilidades, de las cuales existen cinco habilidades básicas que deben

ser desarrolladas en los estudiantes para una exitosa enseñanza de la geometría,

las cuales son:

• Habilidades visuales; se refieren a la capacidad de extraer información a

partir de los que el estudiante observa, teniendo en cuenta objetos reales o

representaciones.

• Habilidades verbales; hace referencia a que el estudiante tenga la capacidad

de usar un lenguaje geométrico apropiado.

• Habilidades de dibujo; se refiere a la capacidad para interpretar ideas y

representarlas a través de dibujos, o esquemas.

26

• Habilidades lógicas; se refieren a la capacidad de construir argumentos que

obedecen a las reglas de lógica formal, y también, para identificar qué

argumentos son válidos y cuáles no.

• Habilidades de modelización; se refiere a capacidades para describir y

explicar situaciones de la vida real, por medio de la resolución de problemas.

También hay que tener en cuenta que estas habilidades propuestas por Hoffer

(1981), tienen un desarrollo especifico de acuerdo a los niveles de razonamientos

propuestos por el modelo de Van Hiele (ver tabla 2), es decir, tanto la habilidad de

visualización, como las demás, tiene características específicas para cada nivel de

Tabla 2

Habilidades básicas de la geometría de acuerdo a los niveles de razonamiento geométrico de Van Hiele según Hoffer (1981).

Habilidad Nivel 1 Nivel 2 Nivel 3 Nivel 4 Nivel 5 Visual Reconocer

diferentes figuras en un dibujo. Reconocer información contenida en una figura.

Notar las propiedades de una figura.

Identificar una figura como parte de una mayor.

Reconocer interrelaciones entre diferentes tipos de figuras.

Reconocer las propiedades comunes de diferentes tipos de figuras.

Utilizar información de otra figura para deducir más información.

Reconocer supuestos injustificados hechos al usar figuras.

Concebir figuras relacionadas en varios sistemas deductivos.

Verbal Asociar el nombre correcto con una figura dada.

Interpretar frases que describen figuras.

Describir adecuadamen-te varias propiedades de una figura.

Definir palabras adecuada y concisamente.

Formular frases que muestren relaciones entre figuras.

Comprender las distinciones entre definiciones, postulados y teoremas.

Reconocer qué información da un problema y qué informa- ción hay que hallar.

Formular extensiones de resultados conocidos.

Describir varios sistemas deductivos.

Dibujar Hacer dibujos de figuras, nombrando adecuadamente las partes.

Traducir información verbal dada en un dibujo.

Utilizar las propiedades

Dada cierta figura construir otras relacionadas con la primera.

Reconocer cómo y cuándo usar elementos auxiliares en una figura.

Comprender las limitaciones y capacidades de varios elementos de dibujo.

27

dadas de una figura para dibujarla o construirla.

Deducir de información dada cómo dibujar una figura específica.

Representar gráficamente conceptos no estándar en varios sistemas deductivos.

Lógico Darse cuenta de que hay diferencias y similitudes entre figuras.

Comprender la conservación de las figuras en distintas posiciones.

Comprender que las figuras pueden clasificarse en diferentes tipos.

Notar que las propiedades sirven para distinguir las figuras.

Comprender las cualidades de una buena definición.

Usar las propiedades para determinar si una clase de figura está contenida en otra.

Utilizar las reglas de la lógica para desarrollar demostraciones.

Poder deducir consecuencias de la información dada.

Comprender las capacidades y limitaciones de supuestos y postulados.

Saber cuándo un sistema de postulados es independiente, consistente y categórico.

Modelar Identificar formas geométricas en objetos físicos.

Reconocer propiedades geométricas de objetos físicos.

Representar fenómenosen un modelo.

Comprender el concepto de unmodelo matemático que representa relaciones entre objetos.

Poder deducir propiedades de objetos de información dada.

Poder resolver problemas relacionados con objetos.

Usar modelos matemáticos para representar sistemas abstractos.

Desarrollar modelos matemáticos para describir fenómenos físicos, sociales y naturales.

Fuente: Hoffer (1981).

Según el MINEDUC (2012), en sus bases curriculares plantea que la educación de

la matemática debe ser enfocada en los siguientes aspectos:

• Desarrollo de habilidades: las cuales, en la educación básica busca

desarrollar el pensamiento matemático, mediante cuatro habilidades; a)

resolver problemas; b) representar; c) modelar y argumentar y; d) comunicar.

Teniendo un rol fundamental en la adquisición de destrezas y conceptos.

• Desarrollo de conceptos: los cuales, se presentan en cinco ejes temáticos;

a) números y operaciones; b) geometría; c) medición y d) datos y

probabilidades.

28

• Desarrollo de actitudes: las cuales, son consideradas relevantes para el

aprendizaje en el contexto de cada disciplina, debiendo ser desarrolladas de

manera integrada con los conocimientos y habilidades propias de la

asignatura. Las actitudes a desarrollar son; a) manifestar un estilo de trabajo

ordenado y metódico; b) abordar de manera flexible y creativa la búsqueda

de soluciones a problemas; c) manifestar curiosidad e interés por el

aprendizaje de la matemática; d) demostrar una actitud de esfuerzo y

perseverancia y; e) expresar y escuchar ideas de forma respetuosa.

En este sentido, se plantea que en el eje de geometría se espera que los estudiantes

logren visualizar y dibujar figuras, teniendo en cuenta las características y

propiedades de figuras 3D y 2D, en diferentes situaciones, adquiriendo los

conceptos necesarios para la comprensión de la estructura del espacio,

describiendo con un lenguaje más preciso lo que conocen del entorno.

También, en las bases curriculares 2012 se plantean objetivos de aprendizaje, los

cuales señalan lo que los estudiantes deben ser capaces de hacer por cada

asignatura que, teniendo en cuenta el objeto de estudio de perímetro y área, se

hace necesario tener en cuenta los siguientes:

• Medir longitudes con unidades estandarizadas (m, cm, mm), en el contexto

de resolución de problemas.

• Diseñar y construir diferentes rectángulos, dados el perímetro, el área o

ambos, y sacar conclusiones.

• Calcular áreas de triángulos, de paralelogramos y de trapecios, y estimar

áreas de figuras irregulares, aplicando las siguientes estrategias; a) conteo

de cuadrículas; b) comparación con el área de un rectángulo y; c) completar

figuras por traslación.

29

2.4 Inicios de la geometría

En Boyer (1968), se señala la postura de Herodoto respecto a los inicios de la

geometría, el cual sostiene que la geometría tiene sus raíces en el antiguo Egipto,

debido a los constantes desbordamientos del rio Nilo, por lo que era necesario trazar

nuevos lindes de las tierras después de las inundaciones anuales, conllevando así,

al desarrollo de esta materia.

Según Aristóteles en cambio, el desarrollo de la geometría en el antiguo Egipto, era

impulsado por la existencia de una amplia clase sacerdotal, los cuales eran

privilegiados con el conocimientos de esta rama.

Como se mencionó anteriormente, Heródoto y Aristóteles tienen teorías opuestas

en relación al surgimiento de la geometría donde, la primera sostiene una

necesidad práctica y la segunda un origen basado en el ocio y ritual sacerdotal.

También hay que tener en cuenta que, el hecho de que los geómetras egipcios se

basan en el tensado de la cuerda, se puede utilizar para apoyar ambas teorías, ya

que las cuerdas se utilizaron tanto para trazar bosquejos de planos de estructuras,

como también para reconstruir fronteras borradas entre los terrenos.

Boyer (1968) sostiene que, si bien, no es posible rechazar con seguridad la teoría

de Heródoto ni la de Aristóteles, hay una clara subestimación de la edad de la

geometría, ya que existe evidencia de que el hombre neolítico, por medio de sus

dibujos y diseños, revela un interés en las relaciones espaciales que prepararon el

camino a la geometría. Se muestra en la alfarería, la cestería y los tejidos, dibujos

de congruencias y simetrías, que son parte de la geometría elemental. No existe

ningún documento de la época prehistórica, por lo que se hace imposible hallar la

evolución de la matemática en su origen. Pero eso no quiere decir que el origen de

un concepto no pueda ser la reaparición de una idea mucho más antigua.

También, y a partir de los resultados geométricos más antiguos de la civilización

India, surgen los Salvasutras o reglas de la cuerda, que se trata de relaciones

sencillas utilizadas en la construcción de altares y templos, aunque se piensa que

30

las motivaciones de los tensadores de cuerdas de Egipto, eran más prácticas que

las de India. Pero se sugiere que ambas geometrías, pudieron tener una fuente

común.

2.5 Objeto de estudio: área y perímetro

El concepto de área y perímetro tiene su origen y desarrollo en diversas culturas,

dentro de las cuales se encuentran los babilónicos, que mediante tabletas

cuneiformes expuestas en Illana-Rubio (2008), lograron dejar en evidencia

testimonio de sus avances, divididas en tablas con datos y otras con problemas,

donde lograron una aproximación a la noción de área con una ecuación cuadrática.

Como menciona Aldana-Bermúdez y López-Mesa (2016), “esta representación

menciona el lado de una figura e indica que esta magnitud está relacionada con otro

lado, que es igual lado al contrario” (p.11). Se considera que la representación

cuadrado tiene relación con una figura geométrica con su significado geométrico,

aunque las soluciones plasmadas en las tablillas, carecen de procedimientos,

siendo una característica matemática de Babilonia.

En las tablillas encontradas, se evidencia una idea clara del concepto de medición,

donde se utiliza la unidad de estadio para medir distancias largas, por lo que, se

asume que el concepto de perímetro ya existía. Ya que la medida del perímetro de

la ciudad Babilónica era aproximadamente 480 estadios, siendo la medida de sus

murallas.

Posteriormente, se descubrieron propiedades geométricas de figuras

bidimensionales con la noción de área y perímetro, asociando el área al concepto

de lado al cuadrado y el perímetro como la longitud que encierra una superficie,

conllevando además, siendo necesaria un conocimiento del concepto de medición.

Como señala Aldana-Bermúdez y López-Mesa (2016), en la civilización egipcia,

existía un conocimiento del teorema de Pitágoras, el cual lo utilizaban en un caso

especial de triángulo de lado 3, 4, y 5, correspondiente a los lados adyacentes y

opuestos al ángulo de 90º. Con estas medidas, los egipcios lograron trazar y

31

delimitar superficies utilizando ángulos rectos, y con este mismo método, construían

las bases de las pirámides utilizando una cuerda de 13 nudos equidistantes dos a

dos, que permitía unir los extremos de una figura.

En el papiro de Rhind, los problemas 42, 43 y 44, plantean procedimientos explícitos

del cálculo de área de un círculo, y en el problema 50, es resuelto para un círculo

de diámetro 9 unidades, el cual obedece a los siguiente: “Como primer paso se

considera el cuadrado circunscrito al círculo, su lado mide 9 unidades, cuya área es

igual a 92 = 81 unidades cuadradas, seguidamente se divide el cuadrado en

pequeñas unidades cuadradas, luego en las esquinas se traza una diagonal de lado

tres, formando un octágono irregular que corresponde a una aproximación del

circulo y por último, al área del cuadrado se le resta el área de las esquinas

obteniendo un valor de 63u2. Por otro lado, la generación de conocimiento del

perímetro se dio por medio de una razón que implica la utilización de área.

Morales (2002), señala que los egipcios utilizaban una regla relacionada con la

circunferencia, la cual consistía en que; la razón entre el área de un circulo y su

circunferencia es la misma que entre el área del cuadrado circunscrito al círculo y

su perímetro. Boyer (1968), por otro lado, menciona que esta relación tiene una

significancia mayor que la aproximación a pi, donde además, calculaban área de

triángulos, rectángulos y trapecios.

Según Aldana-Bermúdez y López-Mesa (2016), no existen indicios de que haya un

dominio a nivel disciplinar del concepto de área y perímetro, aunque la utilización

de la cuerda de 13 nudos, permite evidenciar cierta regularidad de medida,

permitiendo calcular áreas de diferentes regiones, donde se puedo solucionar

variadas situaciones, es decir, se tenía un concepto que no se generalizaba

mediante algoritmos, aunque se consideraban regularidades de elementos

matemáticos.

Más adelante, los griegos con Euclides (300 a.C.), dejaron un legado respecto a

este concepto de área y de perímetro. En su libro 1, plantea construcciones,

teoremas de áreas de polígonos, teorema de Pitágoras y sus congruencias.

32

Además, el libro XII, hace referencia al cálculo de área y volúmenes, utilizando el

método exhaustivo de Eudoxio (408 – 335 a.C.), contribuyendo la primera técnica

matemática rigurosa de un algoritmo infinito, el cual es realmente importante en el

cálculo exacto de áreas y volúmenes.

Para estudiar el concepto de área y de perímetro, hay que tener en cuenta

características y propiedades de figuras geométricas, las cuales están relacionadas

con formas, tamaños, distancias y ubicación, aspectos fundamentales para la

medición de longitudes, como también, sus dificultades y obstáculos de acuerdo al

objeto matemático.

De acuerdo a Rogalsky (como se citó en Aldana-Bermúdez y López-Mesa, 2016),

en el proceso de aprendizaje del tema de perímetro y área existen dificultados en

los cambios en relación a la forma y dimisiones, como también, en la utilización de

patrones en las unidades de medición. El obstáculo conceptual que se genera por

parte de los estudiantes, se da al momento de que deben asociar unidades de

longitud con las medidas realizadas en geometría, como la medición de superficies.

También existe una dificultad al diferenciar los conceptos de perímetro y área

cuando se realizan mediciones de contornos y superficies, debido a la carencia de

significado en los valores que aparecen en los lados, ni tampoco logran reconocer

e identificar medidas de área y perímetro en figuras planas. Que como lo considera

Moreira y Comiti (1994), los estudiantes no logran asociar la longitud de los lados

con la forma de la figura.

Otros estudios que involucran las concepciones que tienen profesores para la

enseñanza de perímetro y área, evidencian la carencia de relación entre el concepto

de perímetro y área. Tierney, Boyd y Davis (como se citó en D’Amore y Fandiño,

2007), señalan que esta dificultad se da porque los estudiantes aprenden de

memoria el concepto, siendo así, el aprendizaje basado en formulas y algoritmos

matemáticos.

33

Y por último, Azhari (como se citó en D’Amore y Fandiño, 2007), menciona que se

encuentran obstáculos del tipo epistemológico, cuando hay dos relaciones ligadas

mutuamente, donde se aplica la Ley de Conservación, la cual consiste en que si

una determinada cosa crece, también la otra que está relacionada, y viceversa. En

el caso de perímetro y área, existe dificultades al momento de que los estudiantes

no le dan sentido o explicación a esta relación y como se presenta al momento de

trabajar con estos conceptos. Esta relación de perímetro y área es fundamental para

el estudio de estos conceptos, por lo que es necesario que los estudiantes logren la

comprensión, mediante la explicación de situaciones donde el perímetro cambie

pero el área se mantenga y viceversa.

CAPÍTULO III MARCO METODOLÓGICO

35

3. METODOLOGÍA

3.1 Tipo y diseño de investigación

Dadas las características de la problemática presentada en esta investigación, el

diseño a utilizar es tipo cuantitativo con aspectos cualitativos para conocer mejor los

sujetos de estudio. Hernández (2014), señala que “la recolección de datos para

probar hipótesis con base en la medición numérica y el análisis estadístico, con el

fin establecer pautas de comportamiento y probar teorías” (p.4). En este caso

corresponde a la descripción de los niveles de razonamiento geométrico y su grado

de adquisición, que poseen y logran alcanzar los alumnos en el aprendizaje de la

geometría. Además, Hernández (2014), señala que “la investigación cualitativa se

enfoca en comprender los fenómenos, explorándolos desde la perspectiva de los

participantes” (p.358), lo que corresponde a la descripción de ejemplos de

respuestas de los participantes obtuvieron al finalizar la intervención, teniendo en

cuenta los niveles de razonamiento empleados y su grado de adquisición. El diseño

de investigación es pre-experimental, con un pre-test, tratamiento, y post-test.

Según Hernández (2014), “a un grupo se le aplica una prueba previa al estímulo o

tratamiento experimental, después se le administra el tratamiento y finalmente se le

aplica una prueba posterior al estimulo” (p.141). En este caso del pre-test, permite

describir el nivel inicial de los niveles de razonamiento geométrico que poseen los

alumnos de acuerdo a un objeto matemático. Posteriormente el tratamiento se basa

en la implementación de una unidad didáctica generada a partir del Modelo de

Razonamiento Matemático de Van Hiele, cuyo objeto matemático es perímetro y

área de cuadriláteros. Y respecto al post-test, describe el nivel de razonamiento y

grado de adquisición alcanzado al finalizar la unidad didáctica.

3.2 Población y muestra

Se considera como población a los alumnos de la Escuela Orilla de Navarro, y los

participantes de esta intervención son los alumnos pertenecientes al curso

multigrado, conformado por Quinto y Sexto Año Básico.

36

3.3 Procedimiento de muestreo

Para seleccionar la muestra se consideran la proyección de los niveles de

razonamiento, planteados por Gutiérrez (2009) indicando; que los alumnos de

primero a cuarto básico solo logran alcanzar el nivel 1 de razonamiento geométrico

y no necesariamente en su más alto grado de adquisición. Además, que los alumnos

pertenecientes a quinto básico estarían en un periodo de transición entre el nivel 1

e inicios del nivel 2, y que en sexto básico podrían comenzar realmente con en el

nivel 2, para que en octavo básico o al finalizar el primero medio, se pudiera alcanzar

su máximo grado de adquisición, tal como lo plantea Gutiérrez, (2009), en la

conferencia: “Un enfoque didáctico de la enseñanza de la demostración

matemática”, que ofreció al Programa de Magister en Didáctica de la Matemática

UCM.

Teniendo en cuenta las características de ruralidad, multigraduación, y nivel

socioeconómico que se explican en detalle en los próximos párrafos. Resulta

pertinente, tener como muestra los estudiantes del curso multigrado de quinto y

sexto año básico

3.4 Características del contexto

Esta escuela está ubicada en un sector rural de la Región del Maule, en cuanto a

sus características, consta de dos cursos multigrados, que están conformados por

alumnos de primero a cuarto, y quinto a sexto básico donde, el 44,8 % de los

estudiantes pertenece al Programa de Integración Escolar, quienes poseen un

índice de vulnerabilidad escolar de 83,4%. En cuanto a la situación social del sector,

los datos muestran que el 62% de la comunidad vive en extrema pobreza, el 20%

vive en pobreza y el 18% corresponde a otras situaciones.

También, es importante mencionar que los participantes de este estudio, lograron

un puntaje sobresaliente (344 puntos) en la prueba SIMCE (2015), respecto a la

asignatura de Matemática, situando a esta escuela, dentro de los 10

establecimientos que obtuvieron más altos puntajes del país en ese año. Y, en

37

relación a los demás estudiantes del curso multigrado, en la misma prueba SIMCE

(2016), obtuvieron 334 puntos en la asignatura.

3.5 Variables

Independiente: consiste en la unidad de aprendizaje, diseñada para ser

implementada en el curso multigrado compuesto por quinto y sexto año básico,

utilizando el nivel 1 y nivel 2 de razonamiento geométrico.

Dependiente: corresponde al nivel de razonamiento y grado de adquisición que

logra cada alumno de quinto y sexto año básico, en relación al tema de perímetro y

área de cuadriláteros de los ítems del pre-test y post-test.

3.6 Métodos e instrumentos de recogida de información

Como se menciona en el párrafo anterior, para recolectar la información se utiliza

un pre-test y un post-test, que permite saber el estado inicial y el final de los

participantes. Estos test, son semejantes y tienen como tema perímetro y área de

cuadriláteros, siendo validados por tres jueces expertos (ver anexo 1 y 2). El

contraste de los resultados de estos test, permite saber el nivel de razonamiento

geométrico y el grado de adquisición alcanzado por los estudiantes, al terminar el

proceso.

38

La tabla 3 muestra el contenido geométrico y los niveles de razonamiento en los

que pueden responder los estudiantes en relación a cada ítem del pre-test y post-

test (ver anexo 3 y 4):

Tabla 3

Contenido geométrico de ítems de pre-test y post-test

ITEM NIVELES

CONTENIDO GEOMÉTRICO 1 2

1 x Identificación de cuadriláteros

1.1 x Identificación de interior y contorno de cuadriláteros Identificación y descripción de unidades de medida (unidades cuadradas y no cuadradas)

2 x x Construcción de cuadriláteros Cálculo de perímetro y área

3 x x Descomposición de figuras en cuadrados y rectángulos Cálculo de perímetro y área

4 x Relación entre formas de figuras con el perímetro y área

5 x Reconfiguración de figuras Cálculo de perímetro y área

6 x Construcción de cuadriláteros a partir de perímetro y área Identificación de propiedades de cuadriláteros

Fuente: Elaboración propia.

3.6.1 Grados de adquisición de un nivel de razonamiento

Teniendo en cuenta que los niveles de razonamiento se adquieren de manera

gradual, Jaime (1993) en su tesis doctoral, propone un concepto llamado grado de

adquisición, que permite obtener más información sobre el razonamiento de los

estudiantes. Estos grados son:

• Adquisición Nula: “No se emplean las características de este nivel”

• Adquisición Baja: “Empieza la consciencia de las características, métodos y

exigencias propios del nivel, pero es muy pobre la utilización que se hace de

ellos. Es frecuente el abandono del trabajo en este nivel para recurrir al

razonamiento de nivel inferior”

39

• Adquisición Intermedia: “El empleo de los métodos de este nivel es más

frecuente y preciso. No obstante, todavía no se domina, por lo que, ante

situaciones que resultan complicadas, se produce un retroceso de nivel, con

un intento posterior de retorno al nivel superior. Hay, por tanto, saltos

frecuentes entre dos niveles consecutivos de razonamiento”

• Adquisición Alta: “El nivel habitual de trabajo es éste y se produce con muy

poca frecuencia el retroceso de nivel, aunque sucede alguna vez. Asimismo,

en ocasiones se hace un uso inadecuado de las herramientas propias de este

nivel de razonamiento”.

• Adquisición Completa: “Hay un dominio total de las herramientas y métodos

de trabajo propios de este nivel de razonamiento”.

A la vez, Jaime (1993), señala una cuantificación de los grados de adquisición que

se consideran razonables para un nivel de razonamiento, que se muestra en la

figura 1

Figura 1. Grados de adquisición considerados para los niveles de razonamiento, Fuente: Jaime (1993).

40

3.7 Técnicas de análisis

Los datos recolectados por medio del pre-test y post-test, se analizan usando el

software estadístico SPSS, mediante un análisis descriptivo interpretativo.

Las pruebas que permiten analizar y evidenciar que existen diferencias

estadísticamente significativas teniendo dos muestras relacionadas, son la prueba t

(prueba paramétrica), que según Berlanga y Rubio (2012), esta prueba tiene

requisitos previos para su aplicación, tales como: a) distribución normal de la

variable cuantitativa, b) la homogeneidad de varianza y, c) una n muestral no inferior

a 30 participantes. Por lo que se selecciona una prueba no paramétrica debido a

que la cantidad de participantes de este estudio es menor a 30. Según Berlanga y

Rubio (2012) es común referirse a las pruebas no paramétricas como pruebas de

distribución libre, donde la prueba Wilcoxon de dos muestras relacionadas es la

opción no paramétrica de la prueba t.

Asimismo, se describen respuestas de los estudiantes, a modo de ejemplificar

resoluciones teniendo en cuenta los niveles de razonamiento y su grado de

adquisición.

3.7.1 Tipos de respuesta

Jaime (1993), propone los denominados tipos de respuesta, que son aplicables en

los ítems de respuesta con desarrollo, ya sea, de manera oral o escritos. Hay que

tener en cuenta que, como estos ítems pueden ser contestados en distintos niveles

de razonamiento, es importante analizar el tipo de respuesta de cada uno de ellos,

ya que de esta forma es posible determinar con mayor precisión el nivel de

razonamiento que posee el estudiante.

Entonces, como señala Jaime (1993) “ a la hora de evaluar una respuesta, primero

se debe determinar el nivel de razonamiento en el que se ha respondido y después

se debe analizar la calidad de la respuesta desde la perspectiva del nivel que se

considera” (p. 267). A partir de este doble análisis se generan los siguientes tipos

de respuesta y sus respectivos descriptores:

41

• Tipo 1: Ítems sin respuesta, con respuestas no codificables o con respuestas

que indican que el estudiante no está en un determinado nivel de

razonamiento pero que no proporcionan ninguna información sobre su forma

de utilizar los niveles de razonamiento inferiores.

• Tipo 2: Respuestas matemáticamente incorrectas y muy incompletas, pero

en las que se reconocen indicios de utilización de cierto nivel de

razonamiento. Se trata, por lo general, de respuestas muy breves y pobres

que, además, contienen errores matemáticos o que no contestan

directamente a la pregunta planteada.

• Tipo 3:Respuestas matemáticamente correctas pero muy incompletas, en las

que se reconoces indicios de utilización de cierto nivel de razonamiento. Se

trata, por lo general, de respuestas breves y pobres, aunque no contienen

errores matemáticos.

• Tipo 4:Respuestas que reflejan claramente características de dos niveles de

razonamiento consecutivos. Esta es la situación más típica de los alumnos

en transición entre niveles, pues entremezclan dos niveles de razonamiento

consecutivo en sus respuestas a un ítem (generalmente en función de la

dificultad de las preguntas). Las respuestas pueden ser matemáticamente

correctas o incorrectas, pero deben ser bastante completas.

• Tipo 5:respuestas bastante completas pero matemáticamente incorrectas,

que reflejan claramente la utilización predominante de un nivel de

razonamiento determinado. La incorreción de las respuestas puede deberse

a errores matemáticos o a que siguen una línea de trabajo que no lleva la

solución del problema planteado, pero cuyos procesos de razonamiento son

válidos.

• Tipo 6: respuestas bastante complejas y matemáticamente correctas que

reflejan claramente la utilización predominante de un nivel de razonamiento

determinado. Se trata de respuestas claras y correctas, pero que no están

completas porque no llegan a resolver el problema totalmente, porque hay

42

“saltos” en el razonamiento deductivo seguido o porque tienen pequeños

erres, entre otras características.

• Tipo 7: respuestas matemáticamente correctas y completas que reflejan

claramente la utilización de un nivel de razonamiento determinado.

3.7.2 Asignación de los grados de adquisición de los niveles de Van Hiele

Finalmente, luego de que los estudiantes responden el pre-test y el post-test, y que

se identifica la calidad de la respuesta, de acuerdo a los tipos de respuesta, es

necesario tener en cuenta ciertos pasos para determinar el grado de adquisición de

los Niveles de Van Hiele.

3.7.2.1 Ponderación de los tipos de respuesta

Primero que todo, Jaime (1993), señala una ponderación de los tipos de respuesta,

los cuales señala que tienen valores subjetivos, pero que son considerado válidos,

debido a que en sus experimentos no han detectado problema con estos valores.

La ponderación de los tipos de respuesta consideradas para esta investigación, se

muestran en la tabla 4, teniendo en cuenta los valores de Jaime (1993):

Tabla 4:

Ponderación de los tipos de respuesta según Jaime (1993)

Tipo de respuesta 1 2 3 4 5 6 7 Ponderación % 0 20 25 50 75 80 100

Fuente: Jaime (1993). 3.7.2.2 Codificación

En segundo lugar, corresponde la codificación de las respuestas de los estudiantes,

de acuerdo al nivel de razonamiento y al tipo de respuesta asignado con su

respectiva ponderación (ver anexo 5 y 6).

43

3.7.2.3 Rango de los niveles de Van Hiele

En tercer lugar, considerando que los ítems pueden ser contestados en diferentes

niveles de razonamiento que, por lo general, son de 2 o 3 niveles, se aplica una

ponderación teniendo en cuenta la organización jerárquica de los niveles de

razonamiento, esta ponderación es la siguiente:

Si un ítem puede ser contestado en rango de nivel N1 y N2 y es contestado en nivel

N, entonces N(N1 ≤ N ≤ N2).

Por lo que, tendrá 100% en los niveles de ese rango que sean inferiores a N, 0% en

los que son superiores a N, y la ponderación que corresponde al tipo de respuesta

en el nivel N.

Un ejemplo de esta situación, según Jaime (1993):

Si es posible responder un ítem en los niveles 2,3 y 4, y un estudiante responde en

nivel 3 y en tipo de respuesta 5, la ponderación es la siguiente; nivel 2:100%, nivel

3: 75%, nivel 4: 0%.

Y por último, para obtener el grado de adquisición de los niveles de razonamiento

de los estudiantes, se debe calcular la media aritmética de las ponderaciones de

todos los ítems que pueden ser contestados en cada nivel.

Es decir, si hay 3 ítems que pueden ser contestado en el nivel 2, y las ponderaciones

de esos ítems en ese nivel son 0%, 20% y 50%, el grado de adquisición del nivel 2

es Gr(2) = '()'(*'+

= 23,3%, el cual corresponde a grado bajo de adquisición de

este nivel.

En el caso de esta investigación, donde se consideran los niveles 1 y 2, la

evaluación de los test respondidos por los estudiantes, se basaran en 2 valores,

siendo cada uno, el grado de adquisición de dichos niveles.

44

3.8 Experimento

Corresponde a una unidad didáctica (ver anexo 7). con el objeto matemático

perímetro y área de cuadriláteros

El objetivo de la unidad:

Desarrollar el razonamiento geométrico para avanzar en los niveles de Van–Hiele y

su grado de adquisición, por medio de resolución de problemas y la visualización de

objetos en contexto real y abstractos, a partir de los conceptos de perímetro y área

de cuadriláteros.

Punto de vista del material didáctico:

a) Relación con los contenidos anteriores y posteriores (ver tabla 5)

Los conocimientos previos tienen carácter necesario para poder comprender el

cálculo del perímetro y área de cuadriláteros, ya que, hay que tener en cuenta que

los cuadriláteros son polígonos que tienen características particulares, y que surgen

a partir de segmentos, y éstos a partir de rectas. También cabe mencionar que estos

cuadriláteros están en una dimensión determinada (2D), donde es preciso conocer

conceptos tales como largo y ancho. Por último, para poder medir el área y el

perímetro, es necesario poder distinguir e identificar el interior y el exterior de las

figuras.

El cálculo del perímetro y área – con sus respectivas unidades de medidas

estandarizadas – en cuadriláteros, forman una base imprescindible para poder

iniciar con la medición de figuras con tres dimensiones pues, permite calcular

superficies y perímetros de sus caras, las cuales son elementos que conforman

estas figuras.

45

Tabla 5 Contenidos anteriores, nuevos y posteriores.

Contenidos Anteriores Línea- recta – segmento

Dimensiones Polígonos Triángulos Base-altura Cuadriláteros Longitud (medida)

Nuevos Contorno Superficie Unidades de medida estandarizada Área de cuadriláteros Perímetro de cuadriláteros Generalizaciones de figuras (perímetro y área)

Posteriores Transformaciones isométricas Área de figuras 3D Volumen


b) Secuencia didáctica

La unidad didáctica consistirá en implementar el Modelo de Van Hiele, teniendo

como objeto matemático “área y perímetro”, el cual permite describir los niveles de

razonamiento geométrico y su grado de adquisición, que poseen los estudiantes de

quinto y sexto año básico que tienen como característica la ruralidad y la

multigraduación en el contexto de aula.

Para generar esta unidad es pertinente tener en cuenta la proyección de los niveles

de razonamiento y su grado de adquisición que, en condiciones normales plantea

Gutiérrez (2009), señalando que los alumnos de quinto básico estarían alcanzando

un alto grado de adquisición del nivel 1 e iniciarían algún tipo de razonamiento de

nivel 2, cuestión que iría en progreso, de tal forma de lograr un mayor grado de

adquisición en octavo año.

46

También, y no menos importantes son las características generales del modelo de

Van Hiele que señalan Jaime y Gutiérrez (1990) que, en primer lugar, se menciona

una jerarquización y secuencialidad entre los niveles de razonamiento, lo que quiere

decir, que cada nivel de razonamiento se apoya en el anterior y también que cada

uno tiene diferentes grados de sofisticación. En segundo lugar, se describen

habilidades que están involucradas implícitamente en los primeros tres niveles que,

como se señala en el párrafo anterior, se consideran los primeros dos niveles, los

cuales son; nivel 1: no reconoce la importancia de las partes de las figuras. Nivel 2:

no reconoce relación entre las propiedades. Y finalmente, se describe una relación

entre el lenguaje y los niveles de razonamiento, haciendo hincapié en que, no solo

se evidencian las capacidades de razonamiento en el desarrollo de un problema,

sino que también en la forma de expresarse y a los significados que se emplean.

Por todo lo anterior, los niveles de razonamiento utilizados para esta unidad son los

siguientes:

• Nivel 1 (Reconocimiento): Los estudiantes clasifican cuadriláteros de

acuerdo a su aspecto físico, identificando el interior y el exterior dentro de un

contexto real, observando la diferencia que existe en el modo en que se

calcula el perímetro y el área. Construyen y transforman figuras teniendo en

cuenta unidades cuadradas y no cuadradas.

• Nivel 2 (Análisis): Los estudiantes reconocen propiedades de los

cuadriláteros. Relacionan la medida del perímetro y el área con la forma de

las figuras. Reconfiguran figuras a modo para calcular perímetros y áreas.

La secuencia metódica de esta unidad didáctica, empieza con una visualización de

objetos a modo de identificar cuadriláteros y más específico aún, el interior y el

exterior de ellos. Luego, miden interior y exterior de figuras utilizando diversos

materiales, permitiéndoles también construir diferentes cuadriláteros.

Posteriormente, deducen, conjeturan y describen estrategias que les permitan

obtener el cálculo de área y perímetro. Y por último, manipulan y transforman figuras

para obtener cuadriláteros considerando también, la superficie, el perímetro y como

47

se relacionan.

Visualización

En la etapa de la visualización, se presentaran diferentes objetos de la vida

cotidiana, con el fin de identificar cuales cumplen las características de ser

cuadriláteros, además de identificar el interior y el exterior, explicando como poder

medirlos, y como serían las unidades que utilizarían.

Medición

La etapa de la medición consistirá en utilizar material concreto, ya sea a partir de

unidades cuadradas y no cuadradas, que les permita a los estudiantes realizar

diferentes mediciones dentro y fuera de cuadriláteros, iniciándolos en la

construcción de figuras a partir de este proceso.

Estrategias de cálculo

Las estrategias de cálculo se generan a partir del conteo de cuadriculas, donde

explican además estimaciones. Describen estrategias que les permiten crear

cuadriláteros teniendo de antemano, un área y un perímetro determinado. Y por

último, conjeturan sobre la relación que encuentran en la medición que tiene el área

y el perímetro.

Manipulación y transformación

Esta etapa consiste en transformar y manipular figuras, a modo de poder calcular el

área y el perímetro de figuras a partir de cuadriláteros, en un contexto de resolución

de problemas.

48

La matriz que se generó (ver tabla 6), de acuerdo a fases de aprendizajes y niveles

de razonamiento, con el objeto matemático de perímetro y área es la siguiente:

Tabla 6

Matriz de fases de aprendizaje y niveles de razonamiento de perímetro y área Fases de

aprendizaje/ niveles de

razonamiento Nivel 1: Reconocimiento Nivel 2: Análisis Fase 1: Información

- Identifican visualmente objetos de contexto local, que tengan características comunes relacionadas con los cuadriláteros

- Identifican interior y exterior de cuadriláteros

- Medición de interior y contorno de cuadriláteros

- Clasificar cuadriláteros según sus características

- Identifican transformaciones que permitan crear cuadriláteros

Fase 2: Orientación dirigida

- Miden interior de figuras mediante cuadrículas

- Miden contornos de cuadriláteros, utilizando unidades de medida no estandarizada

- Construyen cuadriláteros a partir de cuadriculas

- Relacionan el área y perímetro con la forma de figuras

- Clasifican cuadriláteros de acuerdo a su forma de calcular perímetro y área

- Obtienen área y perímetro de diferentes cuadriláteros, utilizando unidades de medida estandarizadas y no estandarizada

- Construyen cuadrilátero a partir de perímetros, áreas y otras características.

- Realizan transformaciones de cuadriláteros para calcular el perímetro y área

- Generan expresiones de cálculo de perímetro y área de cuadriláteros

Fase 3: Explicitación

- Describen estrategias de conteo de cuadrículas

- Describen construcciones de cuadriláteros

- Explican utilización de unidades de medida no estandarizada.

- Explican mediciones de contornos

- Describen características de cuadriláteros

- Explican los procedimientos utilizados para la construcción de cuadrículas

- Explican resultados y procedimientos utilizados de caculo de área y perímetro

- Discuten el cálculo de perímetro en figuras compuestas

- Describen regularidades de cuadriláteros

- Describen expresiones de cálculo de perímetro y área de cuadriláteros

49

Fase 4: Orientación libre

- Suman áreas de cuadriláteros para obtener una mayor.

- Realizan transformaciones entre unidades de medidas no estandarizadas

- Descomponen superficies en cuadrados y rectángulos

- Modifican superficies a partir de perímetros

- Relacionan regularidades que surgen a partir de la duplicación de lados, en relación al perímetro y el área

- Utilizan expresiones para calcular perímetros y áreas

- Reconfiguran figuras para obtener cuadriláteros

Fase 5: Integración

- Realizan una síntesis de los conceptos tratados anteriormente y describe las formas de calcular áreas y perímetros

- Resumen los conceptos utilizados en los problemas desarrollados, tales como área, perímetro, cuadrilátero, unidad de medida, graduación

- Realizan una síntesis de los conceptos tratados anteriormente y describen las formas de calcular el perímetro y área de cuadriláteros

- Explican regularidades que permiten generar expresiones de cálculo de área y perímetro

- Resumen de conceptos utilizados en problemas desarrollados

- Integración de estrategia de arreglo rectangular para contar cuadrículas


A continuación, se presenta en la tabla 7, los objetivos presentes en la unidad

didáctica de acuerdo a los niveles de razonamiento 1 y 2.

Tabla 7

Objetivos de unidad didáctica de los niveles de razonamiento 1 y 2. Objetivos

Nivel 1: Reconocimiento Nivel 2: Análisis Identificar cuadriláteros de acuerdo a su aspecto físico.

Identificar interior y contorno de cuadriláteros en un contexto real.

Reconocer diferencias de medición entre el área y perímetro.

Construir cuadriláteros a partir de unidades cuadradas.

Calcular área de superficie por medio de la suma de áreas más pequeñas.

Calcular áreas a partir de la descomposición de superficies en cuadrados y rectángulos.

Clasificar cuadriláteros según sus características.

Construir unidades de medida para obtener área y perímetro.

Relacionar el perímetro y el área con la forma de figuras.

Clasificar cuadriláteros de acuerdo a su forma de calcular perímetro y área.

Construir cuadriláteros a partir de perímetros, áreas, y otras características.

Realizar transformaciones de cuadriláteros para obtener áreas y perímetro.

Generar y utilizar expresiones de cuadriláteros para calcular perímetro y área.

Descomponer figuras en cuadriláteros para calcular perímetro y área.


50

La asignación de tiempo de la intervención, considerando el pre-test, post-test, y

las clases, se muestra en la tabla 8.

Tabla 8

Asignación de tiempo intervención.


Tema Tiempo estimado Pre-Test 2 hrs. pedagógicas Clase 1: Visualización y área de cuadriláteros 2 hrs. pedagógicas Clase 2: Cálculo de área de figuras compuestas 2 hrs. pedagógicas Clase 3: Visualización y perímetro de cuadriláteros 2 hrs. pedagógicas Clase 4: Relación entre área y perímetro 2 hrs. pedagógicas Clase 5: Construcción de cuadriláteros a partir de área y perímetros 2 hrs. pedagógicas Clase 6: Expresiones de cálculo de área y perímetro 2 hrs. pedagógicas Post-Test 2 hrs. pedagógicas

51

CAPÍTULO IV ANÁLISIS DE RESULTADOS

52

4. Análisis de resultados

Primero que todo, para analizar los datos, teniendo en cuenta la cantidad de

participantes de este estudio, se presenta un resumen por estudiante de los grados

de adquisición, y ponderación de los tipos de respuesta, de acuerdo a los atributos

por cada ítem del pre-test y post-test.

También, es importante señalar que, como los participantes pertenecen a un curso

multigrado, los análisis se realizan teniendo en cuenta el curso multigrado y niveles

educativos, por lo que se asigna lo siguiente en la tabla 9:

Tabla 9

Asignación de estudiantes, según nivel educacional para análisis de resultados

Nº Estudiante Curso

1 5º Año Básico

2 5º Año Básico

3 5º Año Básico

4 6º Año Básico

5 6º Año Básico

6 6º Año Básico

7 6º Año Básico Fuente: Elaboración propia.

53

4.1 Resultados descriptivos

4.1.1 Resultados de curso multigrado y por nivel educacional

A continuación, se presenta en la tabla 10 , un análisis de los resultados del pre-test

y post-test, de acuerdo a los grados de adquisición de los niveles 1 y 2 de

razonamiento de Van Hiele, de los estudiantes del curso multigrado de quinto y

sexto año básico, obtenidos al iniciar y finalizar la intervención, los cuales arrojaron

los siguientes resultados:

Tabla 10

Resultados pre-test curso multigrado de quinto y sexto año Básico nivel 1 y2.

Fuente: Elaboración propia. De acuerdo a los porcentajes obtenidos del pre-test, se observan los siguientes

resultados, teniendo en cuenta los grados de adquisición de los niveles de

razonamiento 1 y 2.

Al iniciar la intervención y, en relación al nivel 1 de razonamiento, se observa en la

tabla 11, una distribución dispersa en los datos obtenidos en el pre-test, los cuales

varían entre la adquisición nula y alta, concentrándose un porcentaje considerable

(71,5%) en las categorías baja y nula. Respecto al nivel 2, los resultados se

distribuyen entre los grados de adquisición nulo y bajo donde, un gran porcentaje

(85,7%) alcanza un grado de adquisición nulo.

Resultados Pre-test Curso Multigrado de Quinto y Sexto Año Básico Nº Alumno Curso Gr(Nivel 1) Gr(Nivel 2)

1 5º Básico 8,88 % Nula 0,00 % Nula 2 5º Básico 25,55 % Baja 0,00 % Nula 3 5º Básico 21,11 % Baja 16,66 % Baja 4 6º Básico 8,88 % Nula 0,00 % Nula 5 6º Básico 76,66 % Alta 12,50 % Nula 6 6º Básico 32,22 % Baja 12,50 % Nula 7 6º Básico 51,11 % Intermedia 2,22 % Nula

54

Tabla 11

Grado de adquisición del nivel 1 y 2 del curso multigrado pre-test.

Grado de adquisición Nivel 1 Pre-test Nivel 2 Pre-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 2 28,6 6 85,7 Baja 3 42,9 1 14,3 Intermedia 1 14,3 0 0,0 Alta 1 14,3 0 0,0 Completa 0 0,0 0 0,0 Total 7 100,0 7 100,0

Fuente: Elaboración propia. Los resultados obtenidos del nivel 1 (ver tabla 12), al iniciar la intervención en Quinto

Año Básico, muestran datos distribuidos en las categorías nula y baja,

concentrándose un porcentaje mayor en el grado de adquisición bajo (66,7%).

Respecto al nivel 2, los resultados muestran que los estudiantes alcanzan los

grados de adquisición nula y baja, donde la mayor concentración de porcentaje se

encuentra en la categoría nula (66,7%).

Tabla 12

Grados de adquisición de nivel 1 y 2 de Quinto Año Básico pre-test. Grado de adquisición Nivel 1 Pre-test Nivel 2 Pre-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 1 33,3 2 66,7 Baja 2 66,7 1 33,3 Intermedia 0 0,0 0 0,0 Alta 0 0,0 0 0,0 Completa 0 0,0 0 0,0 Total 3 100,0 3 100,0

Fuente: elaboración propia. En Sexto Año Básico (ver tabla 13), en relación al nivel 1, los resultados que arroja

el pre-test, muestran datos dispersos donde, se distribuye el mismo porcentaje

(25%) entre las categorías de nula a alta. Respecto al nivel 2, el 100% de los

estudiantes está situado en un grado de adquisición nulo.

Al contrastar los resultados obtenidos en ambos cursos, queda en evidencia que, a

diferencia de quinto año, estudiantes de sexto logran alcanzar una adquisición

intermedia y alta. Y por el contrario, un estudiante de quinto año, a diferencia de los

55

de sexto, que el 100% obtuvo una adquisición nula, logra alcanzar una adquisición

baja del nivel 2 de razonamiento.

Tabla 13

Grados de adquisición nivel 1 y 2 de Sexto Año Básico pre-test. Grado de adquisición Nivel 1 Pre-test Nivel 2 Pre-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 1 25,0 4 100,0 Baja 1 25,0 0 0,0 Intermedia 1 25,0 0 0,0 Alta 1 25,0 0 0,0 Completa 0 0,0 0 0,0 Total 4 100,0 4 100,0

Fuente: Elaboración propia. Al finalizar la intervención (ver tabla 14), queda en evidencia un incremento en los

porcentajes de los grados de adquisición alcanzados por los estudiantes en los

niveles 1 y 2 de razonamiento, del curso multigrado.

Tabla 14

Resultados post-test en estudiantes de Quinto y Sexto multigrado


Resumen resultados post-test Quinto y Sexto Año Básico Nº Alumno Curso Gr(Nivel 1) Gr(Nivel 2)

1 5º Básico 77,77 % Alta 28,33 % Baja 2 5º Básico 79,44 % Alta 41,66 % Intermedia 3 5º Básico 97,77 % Completa 96,66 % Completa 4 6º Básico 100,00 % Completa 89,16 % Completa 5 6º Básico 100,00 % Completa 93,33 % Completa 6 6º Básico 100,00 % Completa 89,16 % Completa 7 6º Básico 100,00 % Completa 88,33 % Completa

56

Al finalizar la investigación (ver tabla 15) y, en relación al nivel 1 de razonamiento,

se observa una distribución entre los grados de adquisición alta y completa,

concentrándose mayormente (71%) en la categoría completa. En relación al nivel 2,

los resultados se distribuyen entre los grados de adquisición bajo y completa donde,

un gran porcentaje (71,43%) alcanza un grado de adquisición completo.

Tabla 15

Grado de adquisición del nivel 1 y 2 del curso multigrado post-test. Grado de adquisición Nivel 1 Post-test Nivel 2 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 0 0,0 0 0,0 Baja 0 0,0 1 14,3 Intermedia 0 0,0 1 14,3 Alta 2 28,6 0 0,0 Completa 5 71,4 5 71,4 Total 7 100,0 7 100,0


En el curso de Quinto Año Básico (ver tabla 16), al finalizar la intervención y, en

relación al nivel 1 de razonamiento, se observa una distribución de los datos entre

las categorías alta y completa, habiendo un porcentaje mayor (66,7%) en el grado

de adquisición alto. En relación al nivel 2 los resultados se distribuyen, con el mismo

porcentaje (33,3%) entre tres grados de adquisición; bajo, intermedio y completa.

Tabla 16 Grados de adquisición de nivel 1 y 2 de Quinto Año Básico post-test Grado de adquisición Nivel 1 Post-test Nivel 2 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 0 0,0 0 0,0 Baja 0 0,0 1 33,3 Intermedia 0 0,0 1 33,3 Alta 2 66,7 0 0,0 Completa 1 33,3 1 33,3 Total 3 100 3 100,0

Fuente: Elaboración propia. En el curso de Sexto Año Básico (ver tabla 17), los resultados finales de los

estudiantes, indican que el 100% de los estudiantes, logra alcanzar una adquisición

completa en el nivel 1 y 2.

57

Tabla 17

Grados de adquisición del nivel 1 y 2 de Sexto Año Básico post-test

Grado de adquisición Nivel 1 Post-test Nivel 2 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 0 0,0 0 0,0 Baja 0 0,0 0 0,0 Intermedia 0 0,0 0 0,0 Alta 0 0,0 0 0,0 Completa 4 100,0 4 100,0 Total 4 100,0 4 100,0


58

4.1.2 Resultados por estudiante

A continuación se presentan los porcentajes de los grados de adquisición por cada

atributo en las pruebas pre-test y post-test de cada participante del estudio.

Los resultados del participante 1 (ver tabla 18), perteneciente al 5º Año Básico,

muestran que en el pre-test, logra alcanzar un grado de adquisición nulo (8,88%) en

el nivel 1, y que hay ausencia de razonamiento de nivel 2, pudiendo solamente

responder y de forma errónea e incompleta los ítem donde es preciso identificar

cuadriláteros, unidades de medida, interior y contorno de figuras y construir

cuadriláteros a partir de unidades cuadradas.

Respecto al post- test, se muestra un aumento en el nivel 1, alcanzando un alto

grado de adquisición (77,77%), pudiendo responder de forma correcta y completa

los ítems que es requerido identificar cuadriláteros, construir cuadriláteros a partir

de unidades cuadradas, descomponer figuras en cuadrados y rectángulos y de

calcular áreas a partir de otras más pequeñas. En lo relacionado a perímetro y área

responde de forma incorrecta y muy incompleta, donde precede una

reconfiguración.

También se evidencia un aumento en el uso del nivel 2 de razonamiento,

alcanzando un grado de adquisición bajo (28,33%), donde responde los ítem de

cálculo de perímetro y área de una manera a) correcta e incompleta y, b) incorrecta

y completa. Además, relaciona perímetros y áreas con la forma de las figuras,

justificando de manera bastante completa. Reconfigura con errores y justificando

incorrectamente y de forma incompleta y, no construye cuadrilátero de acuerdo a

perímetro y área, propiedades y otras características.

59

Tabla 18

Porcentajes de los grados de adquisición en pre-test y post-test de estudiante Nº1. Estudiante Nº1 Quinto Año Básico

ÍTEM

ATRIBUTO

PORCENTAJE Y GRADO

ADQUISICIÓN PRE- TEST

PORCENTAJE GRADO

ADQUISICIÓN POST- TEST

Nivel 1 Nivel 2 Nivel 1 Nivel 2 1

Identifica visualmente objetos de contexto local, que tengan características comunes relacionadas con los cuadriláteros

20% 100%

1.1 Identifica interior y contorno de cuadriláteros

20% 80%

Identifican unidades de medida para medir interiores y contorno de cuadriláteros

20% 0%

2 Construye cuadriláteros a partir de unidades de cuadrículas

20% 100%

Obtiene área y perímetro de diferentes cuadriláteros, utilizando unidades de medida estandarizadas y no estandarizada

0% 0% 100% 25%

3

Descompone superficies en cuadrados y Rectángulos

0% 100%

Obtiene áreas a partir de la suma de áreas más pequeñas

0% 100%


0% 0% 100% 75%

4 Relaciona perímetro y área con formas de figuras

0% 50%

5 Reconfigura figuras para calcular perímetros y áreas

0% 20%


0% 0% 20% 0%

6 Construye cuadriláteros a partir de perímetros, áreas y otras características

0% 0%

Ponderación total 8,88% 0% 77,77% 28,33%


60

Del participante 2, de 5º Año Básico (ver tabla 19), en el pre-test, logra alcanzar una

adquisición baja (25,55%) del nivel 1 de razonamiento, habiendo ausencia completa

del nivel 2. El ítem que es respondido de forma correcta y completa corresponde al

de identificación de interior y contorno de figuras. Además, identifica de manera

completa, aunque con errores, cuadriláteros en contexto local. De acuerdo al cálculo

de perímetro y área, es respondido con errores y de forma muy incompleta. No logra

responder los ítem donde es necesario descomponer figuras en cuadrados y

rectángulos, y tampoco obtiene áreas a partir de la unión de otras más pequeñas.

Respecto al post-test, existe un aumento en los grados de adquisición de ambos

niveles, alcanzando un alto grado (79,44%) en el nivel 1, y una adquisición

intermedia en el nivel 2 (41,66%). El ítem de identificación de cuadriláteros es

respondido de manera incorrecta, aunque los procedimientos son válidos y

completos. Los demás ítems son respondidos de forma clara, completa y correcta,

aunque no resuelve completamente los problemas. Responde con un alto nivel,

aunque matemáticamente incorrecto, el cálculo de perímetro y área donde, es

preciso descomponer figuras en cuadrados y rectángulos previamente, pero no

logra responder en nivel 2, cuando previamente es preciso construir un cuadrilátero.

Del mismo modo, el ítem referido a relacionar perímetro y área con forma de figuras,

es respondido en un alto nivel, pero de forma incorrecta. Reconfigura figura de

manera incompleta y errónea y, por último, construye cuadrilátero a partir de

perímetro y área de forma correcta y completa, sin embargo, no logra responder

completamente al ítem.

61

Tabla 19


ÍTEM

ATRIBUTO

PORCENTAJE Y GRADO


PORCENTAJE GRADO




50% 75%


100% 80%


20% 80%


20% 100%


20% 0% 80% 0%

3


0% 100%


0% 100%


20% 0% 100% 75%


0% 75%


0% 20%


0% 0% 0% 0%


0% 80%

Ponderación total 25,55% 0% 79,44% 41,66%


62

Del participante 3, de 5º Año Básico (ver tabla 20), en el pre-test, alcanza una

adquisición baja en ambos niveles de razonamiento donde, en el nivel 1 alcanza el

21,11%, y en el nivel 2 16,66%. Reconoce cuadriláteros e identifica unidades de

medida de forma muy incompleta y errónea. Logra identificar interior y contorno de

figura justificando de manera bastante completas. Logra construir cuadrilátero a

partir de unidades cuadradas de forma correcta y completa. Los demás ítems de

este nivel, son respondidos con respuestas no codificables o no son respondidos.

Respecto al nivel 2 del pre-test, justifica de forma breve y pobre la relación entre

perímetro y área con forma de figura. Y También, construye cuadrilátero a partir de

perímetro, área y otras características, haciendo uso de un alto nivel, donde

responde de forma correcta y bastante completa, aunque no responde la totalidad

del ítem.

En el post-test, existe un aumento en los grados de adquisición en los niveles 1 y 2,

alcanzando un grado de adquisición completa en ambos niveles de razonamiento,

siendo en el primero un 97,77% y en el segundo, un 96,66%.

Del nivel 1, el ítem de identificación de unidades de medida para perímetro y área

es respondido de forma correcta y completa, aunque no responde completamente

el ítem. Los demás ítem son respondidos con un alto uso del nivel de razonamiento,

siendo respondidos completamente y de forma correcta.

Del nivel 2, los ítems fueron respondidos con un alto uso del nivel de razonamiento,

siendo contestados de forma muy completa y correcta, salvo el ítem de construcción

de cuadriláteros a partir de perímetro y área, el cual no pudo ser respondido

completamente, pero los procedimientos son válidos.

63

Tabla 20


ÍTEM

ATRIBUTO

PORCENTAJE Y GRADO


PORCENTAJE GRADO




20% 100%


50% 100%


20% 80%


100% 100%


0% 0% 100% 100%

3


0% 100%


0% 100%


0% 0% 100% 100%


20% 100%


0% 100%


0% 0% 100% 100%


80% 80%

Ponderación total 21,11% 16,66% 97,77% 96,66%


64

El participante 4, de 6to Año Básico (ver tabla 21), en el pre-test alcanza una

adquisición nula (8,88%) en el nivel 1, siendo respondidos erróneamente y de forma

incompleta los ítems donde tienen que identificar cuadriláteros, interiores y

contornos, unidades de medida, y también, y donde es preciso construir cuadrilátero

a partir de unidades cuadradas. Los demás ítems son respondidos con respuestas

no codificables o no son respondidos. Y por último, no se evidencia la presencia del

uso del nivel 2.

Respecto al post-test, logra alcanzar una adquisición completa en los niveles 1 y 2,

siendo el 100% y 89,16% respectivamente donde, todas las respuestas del nivel 1,

son respondidas de forma correcta y completa. Además, se evidencia un alto uso

del nivel 2, calculando el perímetro y área de forma; a) correcta y completa y b)

correcta y completa, pero no responde directamente al problema. Del mismo modo,

relaciona con un alto nivel las formas de las figuras, con el perímetro y área,

respondiendo de una forma completa, pero con errores matemáticos. Y por último,

responde con un alto nivel al construir un cuadrilátero a partir de perímetro , área y

otras características.

65

Tabla 21

Porcentajes de los grados de adquisición en pre-test y post-test de estudiante Nº4. Estudiante Nº4 Sexto Año Básico

ÍTEM

ATRIBUTO

PORCENTAJE Y GRADO


PORCENTAJE GRADO




20% 100%


20% 100%


20% 100%


20% 100%


0% 0% 100% 100%

3


0% 100%


0% 100%


0% 0% 100% 100%


0% 75%


0% 100%


0% 0% 100% 80%


0% 80%

Ponderación total 8,88% 0% 100% 89,16% Fuente: Elaboración propia.

66

El participante 5, de 6º año básico (ver tabla 22), en el pre-test, alcanza un grado

de adquisición alto (76,66%) en el nivel 1, donde alcanza un alto uso de este nivel

en los ítem donde es necesario; identificar cuadriláteros, interiores y contornos,

construir cuadriláteros a partir de unidades cuadradas, y descomponer superficies

en cuadrados y rectángulos. Identifica interiores y contornos con un uso medio del

nivel, respondiendo de forma completa, y con un bajo uso los ítem donde es

requerido calcular perímetro y áreas, respondiendo de forma incompleta y con

errores. Respecto al nivel 2, alcanza un grado de adquisición nulo (12,50%), no

pudiendo; relacionar perímetro y área con forma de figuras, construir cuadriláteros

a partir de perímetro, áreas y otras características, y calcular perímetro y área.

Responde con un uso medio de este nivel, el ítem donde se requiere calcular

perímetro y área, posteriormente a descomponer figura en cuadrados y rectángulos.

Y por último, realiza reconfiguraciones correctamente, pero de forma incompleta.

En el post-test, alcanza una adquisición completa en ambos niveles de

razonamiento, siendo de 100% el nivel 1, y de 93,33% el nivel 2. Respondiendo de

una manera correcta y completa todos los ítems, salvo el que es requerido construir

un cuadrilátero a partir de perímetro, área y otras características, y el de cálculo de

perímetro y área donde, previamente es requerido descomponer figura en

cuadrados y rectángulos, que se responden de manera completa y correcta, aunque

no llegan a responder la totalidad del ítem.

67

Tabla 22


ÍTEM

ATRIBUTO

PORCENTAJE Y GRADO


PORCENTAJE GRADO




100% 100%


100% 100%


50% 100%


100% 100%


20% 0% 100% 100%

3

Descompone superficies en cuadrados y rectángulos

100% 100%


100% 100%


100% 50% 100% 80%


0% 100%


25% 100%


20% 0% 100% 100%


0% 80%

Ponderación total 76,66% 12,50% 100% 93,33%


68

El participante 6, de 6º Año Básico (ver tabla 23), alcanza un grado de adquisición

bajo (32,22%) del nivel 1, donde se evidencia un alto uso de este nivel, en los ítem

donde es preciso identificar cuadriláteros y construir cuadrilátero a partir de

unidades cuadradas, siendo respondidos de manera correcta y completa. Calcula

perímetro y área de manera; a) completa, en ítem de construcción, b) incompleto y

con errores en ítem de reconfiguración y c) sin respuesta, en ítem de

descomposición de figuras en cuadrados y rectángulos. Respecto al nivel 2, alcanza

una adquisición nula (12,50%), respondiendo de manera: correcta e incompleta,

ítem de relación de perímetro y área con forma de figura, y completa, el de

reconfiguración de figura.

Del post-test, alcanza un grado completo del nivel 1 y 2, siendo de 100% y 89,16%

respectivamente, respondiendo la totalidad de los ítem de una manera correcta y

completa, salvo los ítem donde es requerido calcular perímetro y área

posteriormente a descomponer figura en cuadrados y rectángulos, construir

cuadrilátero a partir de perímetro, área y otras características, que se responden de

forma correcta y completa, pero no se contesta la totalidad de los ítem, y el de

cálculo de perímetro y área, posteriormente a reconfigurar figuras, el cual es

respondido de forma completa pero con errores matemáticos, aunque con

procedimientos válidos.

69

Tabla 23


ÍTEM

ATRIBUTO

PORCENTAJE Y GRADO


PORCENTAJE GRADO




100% 100%


0% 100%


20% 100%


100% 100%


50% 0% 100% 100%

3

Descompone superficies en cuadrados y rectángulos

0% 100%


0% 100%


0% 0% 100% 80%


25% 100%


50% 100%


20% 0% 100% 75%


0% 80%

Ponderación total 32,22% 12,50% 100% 89,16%


70

El participante 7, de 6º Año Básico (ver tabla 24), alcanza un grado de adquisición

intermedio (51,11%) en el nivel 1 donde, logra responder con un alto uso del nivel

los ítem de; identificación de cuadriláteros, interiores y contornos, y obtención de

áreas a partir de la suma de áreas más pequeñas, donde las respuestas son

bastante completas y correctas. Además, existe un uso medio del nivel en ítem

donde es necesario descomponer figuras en cuadrados y rectángulos, y calcular

perímetro y área donde es necesario realizar descomposición antes mencionada,

siendo respuestas completas. Y también, existe un bajo uso del nivel, en los ítem

donde identifica unidades de medida, construir cuadriláteros a partir de unidades

cuadradas y obtener perímetro y área posteriormente a reconfigurar figuras, siendo

respuestas erróneas y muy incompletas. Respecto al nivel 2, alcanza un grado de

adquisición nulo (2,22%) donde, relaciona con errores y de forma muy incompleta,

el perímetro y área con forma de figuras y, en los demás ítems, existe ausencia de

este nivel.

En el post-test, alcanza un grado de adquisición completo en ambos niveles, siendo

de 100% en nivel 1 y 88,33% en el nivel 2, respondiendo de manera muy completa

y correcta, todos los ítem, salvo ítem de construcción de cuadrilátero a partir de

perímetro, área y otras características, el cual es respondido de manera muy

completa y correcta, aunque no llega a contestar el ítem en su totalidad, y el de

cálculo de perímetro y área posteriormente a descomponer figura en cuadrados y

rectángulos, que es respondido de manera completa.

71

Tabla 24


ÍTEM

ATRIBUTO

PORCENTAJE Y GRADO


PORCENTAJE GRADO




100% 100%


100% 100%


20% 100%


20% 100%


0% 0% 100% 100%

3


50% 100%


100% 100%


50% 0% 100% 50%


20% 100%


0% 100%


20% 0% 100% 100%


0% 80%

Ponderación total 51,11% 2,22% 100% 88,33% Fuente: Elaboración propia.

72

4.1.3 Resultados por atributos involucrados en ítems de pre-test y post-test

Posteriormente, se presenta el análisis descriptivo de los atributos involucrados en

cada ítem de las pruebas pre-test y post-test, considerando los grados de

adquisición y niveles de razonamiento que los estudiantes obtuvieron,

ejemplificando en el nivel superior de cada atributo.

La tabla 25 da cuenta que, los resultados iniciales en relación a la identificación de

cuadriláteros en un contexto local, se distribuyen en las categorías baja, intermedia

y completa, donde el mismo porcentaje de los estudiantes (42,86%) está en el grado

de adquisición baja y completa. Respecto a los resultados arrojados en el post-test,

se evidencia un aumento en los grados de adquisición, ya que, los datos se

distribuyen en los dos más altos grados de adquisición, concentrándose un mayor

porcentaje (85,71%) en la categoría completa, indicando que existe un domino total

al momento de identificar cuadriláteros en un contexto local, basándose en

características físicas propias del nivel.

Tabla 25

Resultados iniciales y finales de identificación de cuadriláteros curso multigrado.

Ítem 1, Nivel abarcado: N1 Grado de adquisición Nivel 1 Pre-test Nivel 1 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 0 0,0 0 0,0 Baja 3 42,9 0 0,0 Intermedia 1 14,3 0 0,0 Alta 0 0,0 1 14,3 Completa 3 42,9 6 85,7 Total 7 100,0 7 100,0


73

Queda en evidencia en el la tabla 26 que, los estudiantes de Quinto Año Básico,

incrementaron su grado de adquisición en relación a la identificación de

cuadriláteros en un contexto local donde, los resultados iniciales se sitúan entre los

grados de adquisición baja e intermedia, concentrándose mayormente (66,7%) en

el grado de adquisición bajo. Y los resultados finales, se distribuyen entre las

categorías alta y completa, habiendo una mayor concentración (66,7%) en el grado

de adquisición completo.

Tabla 26

Resultados iniciales y finales de identificación de cuadriláteros en curso de Quinto

Año Básico. Ítem 1, Nivel abarcado: N1

Grado de adquisición Nivel 1 Pre-test Nivel 1 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 0 0,0 0 0,0 Baja 2 66,7 0 0,0 Intermedia 1 33,3 0 0,0 Alta 0 0,0 1 33,3 Completa 0 0,0 2 66,7 Total 3 100,0 3 100,0


74

En la figura 2, en el post-test, el estudiante de Quinto Año Básico identifica las

figuras que son cuadriláteros y no cuadrilateritos, dando características, utilizando

el concepto lados en su respuesta.

En la tabla 27 se observa que, en Sexto Año Básico, los resultados obtenidos en el

pre-test, respecto a la identificación de cuadriláteros, se distribuyen en los grados

de adquisición nula y completa, concentrándose mayormente (75%) en la categoría

completa. Al finalizar la intervención, queda en evidencia un aumento en los grados

de adquisición de los estudiantes, puesto que, el 100% de los participantes de este

curso, alcanzaron una adquisición completa en este ítem.

Tabla 27

Resultados iniciales y finales de identificación de cuadriláteros en curso de Sexto

Año Básico. Ítem 1, Nivel abarcado: N1 Grado de adquisición Nivel 1 Pre-test Nivel 1 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 0 0,0 0 0,0 Baja 1 25,0 0 0,0 Intermedia 0 0,0 0 0,0 Alta 0 0,0 0 0,0 Completa 3 75,0 4 100,0 Total 4 100,0 4 100,0


Figura 2. Ejemplo de respuesta identificación de cuadriláteros, estudiante 5º básico. Fuente: respuesta E3.

75

En la figura 3, los estudiantes de sexto año básico, identifican figuras que son

cuadriláteros y las que no lo son, utilizando el concepto lado que, además agregan

la característica de ser recto y en las figuras que no son cuadriláteros, agrega la

característica de ser curvo.

En la tabla 28 queda en evidencia que, existe un incremento en los resultados

obtenidos al finalizar la intervención, en relación a la identificación de interior y

contorno de cuadriláteros de los estudiantes del curso multigrado, ya que, los grados

de adquisición iniciales de los estudiantes se distribuyen entre las categorías nula,

baja, intermedia y completa, habiendo una mayor concentración en la adquisición

completa (42,9%), y en el estado final, los datos varían entre las categorías alta y

completa, habiendo la mayor concentración de estudiantes (71,4%), en el grado de

adquisición completo, donde logran identificar interiores y contornos de

cuadriláteros para el cálculo de perímetro y área, de acuerdo a atributos físicos.

Tabla 28

Resultados iniciales y finales de identificación interior y contorno de cuadriláteros

en curso multigrado. Ítem 1.1, Nivel abarcado: N1



Figura 3. Ejemplos de respuestas identificación de cuadriláteros, estudiantes 6º básico. Fuente: Respuesta E5 y E7.

76

La tabla 29, muestra el aumento en los grados de adquisición obtenidos en el curso

de Quinto Año Básico, respecto a la identificación de interior y contorno de

cuadriláteros ya que, en el estado inicial, los resultados muestran una distribución

que varía entre los grados de adquisición baja, intermedia y completa, donde se

encuentra el mismo porcentaje de estudiantes (33,3%) en cada categoría. Y el

estado final de los estudiantes, varían entre las categorías alta y completa,

concentrándose una mayor porcentaje de estudiantes (66,7%) en el grado de

adquisición alta.

Tabla 29

Resultados iniciales y finales de identificación interior y contorno de cuadriláteros en

curso de Quinto Año Básico. Ítem 1.1, Nivel abarcado: N1 Grado de adquisición Nivel 1 Pre-test Nivel 1 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 0 0,0 0 0,0 Baja 1 33,3 0 0,0 Intermedia 1 33,3 0 0,0 Alta 0 0,0 2 66,7 Completa 1 33,3 1 33,3 Total 3 100,0 3 100,0

Fuente: Elaboración propia. En la figura 4, los estudiantes de Quinto año Básico al terminal la intervención,

identifican el contorno y el interior de las figuras, señalando de forma pictórica y

señalando colores.

Figura 4. Ejemplos de respuestas identificación de interior y contorno de cuadriláteros, 5º básico. Fuente: Respuesta E2 y E3.

77

La tabla 30, da cuenta del aumento en los grados de adquisición obtenidos en el

curso de Sexto Año básico, respecto a la identificación de interior y contorno de

cuadriláteros ya que, en el estado inicial, los resultados muestran una distribución

que varía entre los grados de adquisición nula, baja y completa, donde se encuentra

un porcentaje mayor de estudiantes (50%) en la categoría completa. Y el estado

final de los estudiantes, de acuerdo a los datos del post-test, muestra que el 100%

de los estudiantes de sexto, logra alcanzar el grado adquisición completo.

Tabla 30

Resultados iniciales y finales de identificación interior y contorno de cuadriláteros en

curso de Sexto Año Básico. Ítem 1.1, Nivel abarcado: N1 Grado de adquisición Nivel 1 Pre-test Nivel 1 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 1 25,0 0 0,0 Baja 1 25,0 0 0,0 Intermedia 0 0,0 0 0,0 Alta 0 0,0 0 0,0 Completa 2 50,0 4 100,0 Total 4 100,0 4 100,0

Fuente: Elaboración propia. En la figura 5, los estudiantes de Sexto Año Básico, los estudiantes señalan interior

y contorno señalando colores y, además, señalan que el inter se mide con el área y

el contorno con el perímetro.

Figura 5. Ejemplos de respuestas identificación de interior y contorno de cuadriláteros, 6º básico. Fuente: Respuesta E4 y E5.

78

Respeto a la identificación y descripción de unidades de medida (ver tabla 31), los

resultados del pre-test muestran que los datos se distribuyen entre las categorías

baja e intermedia, donde la mayor concentración está en el grado de adquisición

bajo (85,7%). El estado final de los estudiantes varía entre los grados de adquisición

nulo, alto y completo, habiendo un 85,7% de los participantes en las categorías alta

y completa donde, logrando identificar unidades de medida cuadradas para el

cálculo de área, y no cuadradas para el cálculo de perímetro.

Tabla 31

Resultados iniciales y finales de Identificación y descripción de unidades de medidas

en curso multigrado. Ítem 1.1, Nivel abarcado: N1



El estado inicial de los estudiantes de Quinto Año Básico (ver tabla 32), de acuerdo

a los datos del pre-test de este atributo, corresponde al grado de adquisición baja,

donde el 100% de los estudiantes se encuentra en esta categoría. Y en el estado

final, se evidencia un aumento en los grados de adquisición, situando un porcentaje

mayor (66,7%) de los estudiantes en el grado de adquisición alto.

79

Tabla 32


en Quinto Año Básico. Ítem 1.1, Nivel abarcado: N1 Grado de adquisición Nivel 1 Pre-test Nivel 1 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 0 0,0 1 33,3 Baja 3 100,0 0 0,0 Intermedia 0 0,0 0 0,0 Alta 0 0,0 2 66,7 Completa 0 0,0 0 0,0 Total 3 100,0 3 100,0


En la figura 6, los estudiantes de Quinto Año Básico en el post-test, responde que para medir el interior y el contorno se utiliza el área y el perímetro, explicando como calcularlo.

Respecto a Sexto Año Básico (ver tabla 33), se evidencia un aumento considerable

entre los resultados del pre-test y post-test, en relación a la identificación y

descripción de unidades de medida, puesto que los resultados iniciales muestran

una distribución entre los grados de adquisición bajo e intermedia, y al finalizar, el

100% de los estudiantes logra una adquisición completa.

Figura 6. Ejemplos de respuesta identificación y descripción unidades de medida, 5º básico. Fuente: Repuesta E2 yE3.

80

Tabla 33


en Sexto Año Básico. Ítem 1.1, Nivel abarcado: N1 Grado de adquisición Nivel 1 Pre-test Nivel 1 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 0 0,0 0 0,0 Baja 3 75,0 0 0,0 Intermedia 1 25,0 0 0,0 Alta 0 0,0 0 0,0 Completa 0 0,0 4 100,0 Total 4 100,0 4 100,0

Fuente: Elaboración propia. En la figura 7, en el post-test, los estudiantes de Sexto Año Básico señalan que

medirían interiores con unidades cuadradas y contorno con unidades no cuadradas

En la tabla 34, queda en evidencia el aumento en los grados de adquisición entre el

estado inicial y final, respecto a la construcción de cuadriláteros a partir de unidades

cuadradas, puesto que, los datos obtenidos del pre-test, muestran que los

estudiantes están entre el grado de adquisición alto y completo, donde el 57,1%

está en la categoría baja. Y el estado final de los estudiantes, de acuerdo a los datos

obtenidos del post-test, señalan que todos los estudiantes del curso multigrado,

alcanzan un grado de adquisición completo, pudiendo construir cuadriláteros a partir

de unidades cuadrada.

Figura 7. Ejemplos de respuestas identificación y descripción unidades de medida, 6º básico. Fuente: Respuesta E5 y E6.

81

Tabla 34

Resultados iniciales y finales de construcción de cuadriláteros a partir de unidades

cuadradas en el curso multigrado. Ítem 2, Nivel abarcado: N1 Grado de adquisición Nivel 1 Pre-test Nivel 1 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 0 0,0 0 0,0 Baja 4 57,1 0 0,0 Intermedia 0 0,0 0 0,0 Alta 0 0,0 0 0,0 Completa 3 42,9 7 100,0 Total 7 100,0 7 100,0

Fuente: Elaboración propia. La tabla 35, muestra un aumento en los grados de adquisición, respecto al atributo

de construcción de cuadriláteros a partir de unidades cuadradas de los estudiantes

de Quinto Año Básico, ya que, de acuerdo a los resultados iniciales, la distribución

está entre los grados de adquisición baja y completa, donde se concentra

mayormente (66,7%) en la categoría baja. Y el estado final, de acuerdo a resultados

de post-test, el 100% de los estudiantes de este curso logra estar en la categoría

completa.

Tabla 35


cuadradas en Quinto Año Básico. Ítem 2, Nivel abarcado: N1 Grado de adquisición Nivel 1 Pre-test Nivel 1 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 0 0,0 0 0,0 Baja 2 66,7 0 0,0 Intermedia 0 0,0 0 0,0 Alta 0 0,0 0 0,0 Completa 1 33,3 3 100,0 Total 3 100,0 3 100,0


82

En la figura 8, los estudiantes de Quinto Año Básico, construyen cuadriláteros,

señalando las medidas de las dimensiones

En sexto Año Básico (ver tabla 36), los estudiantes lograron mejoría en los grados

de adquisición, respecto a la construcción de cuadriláteros a partir de unidades

cuadradas ya que, en el estado inicial, los porcentajes se divide entre los grados de

adquisición bajo y completo, y al finalizar la intervención, el 100% de los estudiantes

logra alcanzar la categoría completa.

Tabla 36


cuadradas en Sexto Año Básico. Ítem 2, Nivel abarcado: N1



Figura 8. Ejemplos de respuestas construcción de cuadriláteros, 5º básico. Fuente: Respuesta E2 y E3.

83

En la figura 9, los estudiantes de Sexto Año Básico, construyen cuadriláteros

señalando las medidas de las dimensiones donde, además, se señala que las

cuadriculas son iguales.

La tabla 37, muestra que los resultados iniciales del cálculo de perímetro y área del

curso multigrado del nivel 1, varían entre los grados de adquisición nula, baja e

intermedia, concentrándose el mayor porcentaje de los estudiantes (57,14%), en la

categoría nula. Respecto a los datos que muestra el post-test, el estado final indica

que el 100% de los estudiantes alcanza las categorías alta y completa donde, el

85,71% de los estudiantes, alcanza el grado de adquisición completo de este nivel.

Al terminar la intervención, los participantes calculan perímetro y áreas basándose

en conteo de unidades cuadradas y no cuadradas.

Figura 9. Ejemplos de respuestas construcción de cuadriláteros, 6º básico. Fuente: Repuesta E6 y E7.

84

Tabla 37

Resultados iniciales y finales de cálculo de perímetro y área curso multigrado. Ítem

2, Nivel abarcado: N1 Grado de adquisición Nivel 1 Pre-test Nivel 1 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 4 57,1 0 0,0 Baja 2 28,6 0 0,0 Intermedia 1 14,3 0 0,0 Alta 0 0,0 1 14,3 Completa 0 0,0 6 85,7 Total 7 100,0 7 100,0


En relación al Quinto Año Básico (ver tabla 38), los estudiantes, al iniciar la

intervención, logran alcanzar los grados de adquisición nulo y baja, donde el 66,7%

está en la categoría nula. Y de acuerdo al post-test, los datos muestran que los

participantes de este curso logran alcanzar los grados de adquisición alta y

completa, estando el 66,7% en la categoría completa.

Tabla 38

Resultados iniciales y finales de cálculo de perímetro y área en Quinto Año Básico.



85

En la figura 10, el estudiante de Quinto Año Básico, calcula área y perímetro no

utilizando unidades de medida en sus respuestas.

Los grados de adquisición de los estudiantes de Sexto Año Básico (ver tabla 39),

respecto al nivel 1 del cálculo de perímetro y área, indica que varían entre las

categorías nula, baja e intermedia, donde el 50% de los participantes tiene una

adquisición nula. y respecto al estado final, el 100% de los participantes logra el

grado de adquisición completo.

Tabla 39

Resultados iniciales y finales de cálculo de perímetro y área en Sexto Año Básico.



Figura 10. Ejemplo de respuesta cálculo de perímetro y área N1, 5º básico. Fuente: Respuesta E2.

86

En la figura 11, los estudiantes de Sexto Año Básico, calculan perímetro y área

utilizando unidades de medida, señalando el uso de unidades cuadradas cuando se

refiere al área, y no cuadrada cuando se refiere a perímetro.

En la tabla 40 se observa que, en el estado inicial del curso multigrado, al nivel 2

del cálculo de perímetro y área, el 100% de los estudiantes está en la categoría

nula. Y, los datos del post-test, muestra una distribución de los datos entre las

categorías nula, baja y completa, donde queda en evidencia que, la mayor

concentración de los estudiantes (71,4%), alcanza un grado de adquisición

completo, donde son capaces de calcular el perímetro y área con uso de

definiciones y unidades de medidas.

Tabla 40

Resultados iniciales y finales de cálculo de perímetro y área del curso multigrado.



Figura 11. Ejemplos de respuestas cálculo de perímetro y área N1, 6º básico. Fuente: Respuesta E5 y E7.

87

En Quinto Año Básico (ver tabla 41), de acuerdo a este atributo, el 100% de los

estudiantes tiene un grado de adquisición nulo del nivel 2 al iniciar la intervención.

Y al finalizar, los resultados del post-test indican que los datos se distribuyen con el

mismo porcentaje (33,3%) entre las categorías nula, baja y completa.

Tabla 41


Ítem 2, Nivel abarcado: N2


En la figura 12, el estudiante de Quinto Año Básico calcula el perímetro y área

utilizando unidades de medida cuadradas cuando se refiere a área, y no cuadradas

cuando calcula perímetro, explicando además, como obtener dichos cálculos.



88

Del Sexto Año Básico (ver tabla 42), de acuerdo a los resultados al iniciar y finalizar

la intervención, queda en evidencia un incremento considerable entre los datos

obtenidos en el pre-test, y post-test, donde el 100% de los estudiantes, de un grado

de adquisición nulo, alcanza la categoría completa.

Tabla 42



Fuente: Elaboración propia. En la figura 13, los estudiantes de Sexto Año Básico de calcular perímetro y área

utilizando unidades cuadradas, cuando se refiere a área, y no cuadradas cuando se

refiere a perímetro, explicando como se obtiene dichas mediciones.

Figura 13. Ejemplos de respuestas cálculo de perímetro y área N2, 6º básico. Fuente: Respuesta E4 y E6.

89

En la tabla 43, queda en evidencia un aumento en los grados de adquisición,

respecto a la descomposición de figuras en cuadrados y rectángulos en el curso

multigrado, ya que los resultados iniciales muestran una distribución de los datos en

las categorías nula, intermedia y completa, concentrándose el mayor porcentaje

(71,4%) de los estudiantes en el grado de adquisición nula. Y al terminal la

intervención, el 100% de los estudiantes logra el grado de adquisición completo,

pudiendo descomponer figuras para calcular perímetro y área de sectores más

pequeños.

Tabla 43

Resultados iniciales y finales de descomposición de figuras en cuadrados y

rectángulos en curso multigrado. Ítem 3, Nivel abarcado: N1 Grado de adquisición Nivel 1 Pre-test Nivel 1 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 5 71,4 0 0,0 Baja 0 0,0 0 0,0 Intermedia 1 14,3 0 0,0 Alta 0 0,0 0 0,0 Completa 1 14,3 7 100,0 Total 7 100,0 7 100,0


De acuerdo a los resultados iniciales y finales que muestra la tabla 44, se evidencia

un aumento de los grados de adquisición de los estudiantes de Quinto Año Básico

respecto a este atributo ya que, de acuerdo a los datos obtenidos en el pre-test, los

participantes de este curso, solo logran estar en el grado de adquisición nula y al

finalizar la intervención, el 100% de los estudiantes, alcanzan el grado de

adquisición completo.

90

Tabla 44


rectángulos en Quinto Año Básico. Ítem 3,Nivel abarcado: N1 Grado de adquisición Nivel 1 Pre-test Nivel 1 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 3 100,0 0 0,0 Baja 0 0,0 0 0,0 Intermedia 0 0,0 0 0,0 Alta 0 0,0 0 0,0 Completa 0 0,0 3 100,0 Total 3 100,0 3 100,0


En la figura 14, los estudiantes de Quinto Año Básico, descomponen figura en

diferentes cuadriláteros.

Respecto a los estudiantes de Sexto Año Básico (ver tabla 45), los resultados

muestran un aumento en los grados de adquisición, de acuerdo al atributo de

descomposición de figuras en cuadrados y rectángulos donde, los resultados del

pre-test, indican que el 75% de los participantes de este curso, está en la categoría

nula e intermedia, concentrándose mayormente (50%) el grado de adquisición nulo.

Y de acuerdo a los resultados obtenidos al finalizar la intervención, en este curso,

la totalidad de los estudiantes alcanzan el grado de adquisición completo.

Figura 14. Ejemplos de respuesta descomposición de figuras en cuadrados y rectángulos, 5º básico. Fuente: Respuesta E1 y E3.

91

Tabla 45


rectángulos en Sexto Año Básico. Ítem 2, Nivel abarcado: N1 Grado de adquisición Nivel 1 Pre-test Nivel 1 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 2 50,0 0 0,0 Baja 0 0,0 0 0,0 Intermedia 1 25,0 0 0,0 Alta 0 0,0 0 0,0 Completa 1 25,0 4 100,0 Total 4 100,0 4 100,0


En la figura 15, los estudiantes de Sexto Año Básico, descomponen figura en

cuadriláteros

.

Respecto al estado inicial y final de los estudiantes del curso multigrado (ver tabla

46), y de acuerdo a la suma de áreas de cuadriláteros, se evidencia un aumento en

los grados de adquisición utilizados en post-test ya que, al iniciar la intervención, el

71,4% de los estudiantes logra trabajar con un grado de adquisición nulo. Y al

terminar, el 100% alcanza un grado de adquisición completo, donde los estudiantes

logran obtener áreas a partir de la suma de un conjunto de áreas más pequeñas.

Figura 15. Ejemplos de respuesta descomposición de figuras en cuadrados y rectángulos, 6º básico. Fuente: Respuesta E4 y E6.

92

Tabla 46

Resultados iniciales y finales de suma de áreas de cuadriláteros en curso

multigrado. Ítem 3, Nivel abarcado: N1 Grado de adquisición Nivel 1 Pre-test Nivel 1 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 5 71,4 0 0,0 Baja 0 0,0 0 0,0 Intermedia 0 0,0 0 0,0 Alta 0 0,0 0 0,0 Completa 2 28,6 7 100,0 Total 7 100,0 7 100,0


De acuerdo a los datos de la tabla 47, en el estado inicial y final de los estudiantes

de Quinto Año Básico, se evidencia un aumento en los grados de adquisición, ya

que, de acuerdo a los datos obtenidos en el pre- test, el 100% de los estudiantes

logra trabajar con un grado de adquisición nulo respecto a este atributo. Y el estado

final de los estudiantes de este curso, teniendo en cuenta los resultados arrojados

por el post-test, es que el 100% logra la adquisición completa.

Tabla 47

Resultados iniciales y finales de suma de áreas de cuadriláteros en Quinto Año

Básico. Ítem 3, Nivel abarcado: N1 Grado de adquisición Nivel 1 Pre-test Nivel 1 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 3 100,0 0 0,0 Baja 0 0,0 0 0,0 Intermedia 0 0,0 0 0,0 Alta 0 0,0 0 0,0 Completa 0 0,0 3 100,0 Total 3 100,0 3 100,0


93

En la figura 16, el estudiante de Quinto Año Básico, suma áreas de cuadriláteros

para obtener área total de la figura.

Del curso de Sexto Año Básico (ver tabla 48), se evidencia también, un incremento

en los grados de adquisición utilizados, de acuerdo al estado inicial y final de los

estudiantes, donde los datos arrojados por el pre-test, indican que el 50% está en

la categoría nula, y en el estado final, el 100% de los estudiantes de este curso

logran alcanzar un grado de adquisición completo, respecto al ítem de suma de

áreas de cuadriláteros

Tabla 48

Resultados iniciales y finales de suma de áreas de cuadriláteros en Sexto Año

Básico. Ítem 3, Nivel abarcado: N1 Grado de adquisición Nivel 1 Pre-test Nivel 1 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 2 50,0 0 0,0 Baja 0 0,0 0 0,0 Intermedia 0 0,0 0 0,0 Alta 0 0,0 0 0,0 Completa 2 50,0 4 100,0 Total 4 100,0 4 100,0


Figura 16. Ejemplos de respuesta suma de áreas de cuadriláteros, 5º básico. Fuente: Respuesta E1 y E3.

94

En la figura 17, estudiantes de Sexto Básico, explican suma áreas de cuadriláteros

para obtener área total de figura.

De la tabla 49, se evidencia el incremento entre los grados de adquisición iniciales

y finales del curso multigrado, respecto al nivel 1 de razonamiento del atributo de

cálculo de perímetro y área. Indicando que, en el estado inicial, los grados de

adquisición de los estudiantes varían entre los grados de adquisición nulo, bajo,

intermedio y completo, concentrándose un mayor porcentaje (57,1%) en la

categoría nula. Y respecto al estado final, el 100% de los estudiantes logra un grado

de adquisición completo, logrando calcular perímetro y área, de acuerdo a técnicas

de conteo de unidades de medida.

Tabla 49

Resultados iniciales y finales de cálculo de perímetro y área del curso multigrado.




Figura 17. Ejemplos de respuesta suma de áreas de cuadriláteros, 6º básico. Fuente: Respuesta E4 y E5.

95

La tabla 50, da cuenta de los resultados iniciales y finales en el atributo de cálculo

de perímetro y área de Quinto Año Básico que, de acuerdo a los datos del pre-test,

los grados de adquisición varían entre la categoría nula y baja, siendo la adquisición

nula de 66,7%. Y los resultados del post-test, indican que el 100% de los estudiantes

alcanza el grado de adquisición completo.

Tabla 50

Resultados iniciales y finales de cálculo de perímetro y área del Quinto Año Básico.



Y respecto al Sexto Año Básico (ver tabla 51), los resultados iniciales de este

atributo, varían entre las categorías nula intermedia y completa, donde se concentra

la mayor cantidad de estudiantes (50%) en el grado de adquisición nulo. Y de

acuerdo a los resultados del post-test, queda en evidencia un incremento en los

grados de adquisición, alcanzando el 100% de los estudiantes la categoría

completa.

Tabla 51

Resultados iniciales y finales de cálculo de perímetro y área del Sexto Año Básico.




96

Respecto al nivel 2, en el curso multigrado (ver tabla 53), en su estado inicial se

evidencia que los datos se distribuyen en la categoría nula e intermedia, donde el

85,7% de los estudiantes, tiene un grado de adquisición nulo. Y en el estado final

de los participantes, se evidencia un avance en los grados de adquisición, ya que el

85,6% se encuentra en la categorías alta y completa, pudiendo calcular perímetro y

área haciendo uso de definiciones, y donde previamente es necesario realizar

descomposiciones de figuras.

Tabla 52

Resultados iniciales y finales de cálculo de perímetro y área en curso multigrado.




En el curso de Quinto Año Básico (ver tabla 53), el 100% de los estudiantes está en

el grado de adquisición nulo, en el atributo de cálculo de perímetro y área del nivel

2 de razonamiento. Y de acuerdo al estado final, el 100% de los estudiantes alcanza

los grados de adquisición alta y completa, siendo el 66,7% la categoría alta.

Tabla 53




97

En la figura 18, el estudiante de Quinto Año Básico, calcula perímetro y área de

figura, donde precede una descomposición en cuadriláteros, utilizando unidades

cuadradas cuando se refiere a área, y unidades no cuadradas cuando es perímetro.

Del Sexto Año Básico (ver tabla 54), el estado inicial de este atributo, varían entre

los grados de adquisición nula e intermedia, siendo la concentración mayor (75%)

en la categoría nula. Y en el post-test, los datos se distribuyen entre las categorías

intermedia, alta y completa donde, el 75% de los estudiantes, alcanza los grados de

adquisición alto y completo.

Tabla 54




Figura 18. Ejemplos de respuesta cálculo de perímetro y área N2, 5º básico. Fuente: Respuesta E3.

98

En la figura 19, El estudiante de Sexto Año Básico, calcula perímetro y área, donde

precede una descomposición en cuadriláteros, utilizando unidades cuadradas en

área y unidades no cuadradas en perímetro.

En la tabla 55, los datos que arroja el pre-test y post-test, muestran un incremento

en los grados de adquisición al relacionar el perímetro y el área con forma de figuras,

puesto que en el estado inicial, los resultados se distribuyen entre los grados de

adquisición nulo y baja, habiendo mayor concentración de los estudiantes en la

categoría nula (57,1%). Y respecto al post-test, los resultados finales muestran que

el 85,7% está distribuido en una adquisición alta y completa, donde, la mayor

concentración (57,1%) está en la categoría completa, pudiendo relacionar formas

de figura, con el perímetro y área, donde figuras con distinta forma, tienen igual

perímetro y distinta área, igual área y distinto perímetro, e igual perímetro y área.

Figura 19. Ejemplos de respuesta cálculo de perímetro y área N2, 6º básico. Fuente: Respuesta E6.

99

Tabla 55

Resultados iniciales y finales relación de perímetro y área con forma de figuras en

curso multigrado. Ítem 4, Nivel abarcado: N2 Grado de adquisición Nivel 2 Pre-test Nivel 2 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 4 57,1 0 0,0 Baja 3 42,9 0 0,0 Intermedia 0 0,0 1 14,3 Alta 0 0,0 2 28,6 Completa 0 0,0 4 57,1 Total 7 100,0 7 100,0


En la tabla 56, se observa un incremento en los grados de adquisición de los

estudiantes de Quinto Año Básico, de acuerdo al atributo de relación de perímetro

y área con forma de figuras donde, en el estado inicial, los datos se distribuyen entre

la categoría nula y baja, concentrándose un 66,7% en el grado de adquisición nulo.

Y al finalizar la intervención, el 66,6% alcanza una adquisición alta y completa.

Tabla 56


Quinto Año Básico. Ítem 4, Nivel abarcado: N2 Grado de adquisición Nivel 2 Pre-test Nivel 2 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 2 66,7 0 0,0 Baja 1 33,3 0 0,0 Intermedia 0 0,0 1 33,3 Alta 0 0,0 1 33,3 Completa 0 0,0 1 33,3 Total 3 100,0 3 100,0


100

En la figura 20, el estudiante de Quinto Año Básico, relaciona figuras considerando

el área y perímetro.

Respecto a Sexto Año Básico (ver tabla 57), queda en evidencia un incremento en

los grados de adquisición logrados en el post-test respecto a este atributo ya que,

en el estado inicial de los estudiantes, se evidencia una distribución entre las

categorías nula y baja. Y en el estado final, el 100% de los estudiantes, logra

situarse en los grados de adquisición alto y completo, habiendo una mayor

concentración (75%) en la categoría completa.

Tabla 57


Sexto Año Básico. Ítem 4, Nivel abarcado: N2 Grado de adquisición Nivel 2 Pre-test Nivel 2 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 2 50,0 0 0,0 Baja 2 50,0 0 0,0 Intermedia 0 0,0 0 0,0 Alta 0 0,0 1 25,0 Completa 0 0,0 3 75,0 Total 4 100,0 4 100,0


Figura 20. Ejemplo de respuesta relación entre formas de figuras con perímetro y área, 5º básico. Fuente: Respuesta E2.

101

En la figura 21, estudiantes de Sexto Año Básico, relacionan perímetro y área de

dos figuras.

La tabla 58, da cuenta del incremento en los grados de adquisición de los

participantes del curso multigrado, respecto al atributo de reconfiguración de figuras

donde, en el estado inicial los resultados varían entre los grados de adquisición nulo,

bajo e intermedio, donde se concentra el 71% en la categoría nula. Y en el post-

test, los datos se distribuyen en la categoría baja y completa, habiendo un 71,4%

de los estudiantes el grado de adquisición completo, donde realizan procesos de

reconfiguración de figuras, de tal modo que permita el cálculo de perímetro y área

de cuadriláteros.

Tabla 58

Resultados iniciales y finales reconfiguración de figuras del curso multigrado. Ítem



Figura 21. Ejemplo de respuesta relación entre formas de figuras con perímetro y área, 6º básico. Fuente: Respuesta E4 y E6.

102

Respecto al Quinto Año Básico (ver tabla 59), los resultados iniciales indican que el

100% de los estudiantes, tiene un grado de adquisición nulo en este atributo, y que,

al finalizar la intervención, queda en evidencia un incremento en los resultados,

donde el 33% de los estudiantes alcanza una adquisición completa, y el 66,7 una

baja.

Tabla 59

Resultados iniciales y finales reconfiguración de figuras del Quinto Año Básico. Ítem



En la figura 22, el estudiante de Quinto Aó Básico, realiza reconfiguración de figura

para obtener cuadriláteros

Y en el Sexto Año Básico (ver tabla 60), los resultados iniciales muestran una

distribución entre las categorías nula, baja e intermedia, donde la mayor

concentración (50%) está en el grado de adquisición nulo. Y respecto a los datos

obtenidos en el post-test, el 100% de los estudiantes alcanza el grado de adquisición

completo en el atributo de reconfiguración de figuras.

Figura 22. Ejemplo de respuesta reconfiguración de figuras, 5º básico. Fuente: Respuesta E3.

103

Tabla 60

Resultados iniciales y finales reconfiguración de figuras del Sexto Año Básico. Ítem


Fuente: Elaboración propia. En la figura 23, los estudiantes de Sexto Año Básico, reconfiguran figuras para

obtener cuadriláteros.

En el curso multigrado (ver tabla 61), de acuerdo al estado inicial del atributo de

cálculo de perímetro y área del nivel 1 de razonamiento, el 100% de los estudiantes

logran los grados de adquisición nulo y bajo, siendo el 57,1% la categoría nula. Y

respecto al estado final de la intervención, el 71,43% logra el grado de adquisición

completo, calculando el perímetro y área de acuerdo a conteo de unidades

cuadradas y no cuadradas, donde anteriormente es preciso reconfigurar figuras.

Figura 23. Ejemplo de respuesta reconfiguración de figuras, 6º básico. Fuente: Respuesta E6 y E7.

104

Tabla 61




En el Quinto Año Básico (ver tabla 62), el 100% de los estudiantes inicia en el grado

de adquisición nulo, en el atributo de cálculo de perímetro y área del nivel 1 de

razonamiento, y al finalizar, los datos del post-test indican una distribución de 33,3%

en las categorías nula, baja y completa.

Tabla 62





El estado inicial de los estudiantes de Sexto Año Básico (ver tabla 63), respecto a

este atributo, indica que el 100% de los estudiantes está en los grados de

adquisición nulo y baja, concentrándose el 75% en la categoría baja del nivel 1 de

razonamiento. Y respecto al estado final, el 100% de los participantes de este curso,

logra el grado de adquisición completo.

105

Tabla 63



Fuente: Elaboración propia. Respecto al nivel 2 de razonamiento de este atributo del curso multigrado (ver tabla

64), el 100% de los estudiantes inicia con un grado de adquisición nulo. Y de

acuerdo a los datos entregados por el post-test, los estudiantes se distribuyen en

las categorías nula, alta y completa, donde el 71,5% se concentra en los grados de

adquisición alto y completo, los cuales calculan perímetro y área usando

definiciones y unidades de medida, posteriormente a la reconfiguración de figuras.

Tabla 64





106

El estado inicial de los participantes del Quinto Año Básico (ver tabla 65), según los

datos del pre-test, el 100% de los estudiantes están en el grado de adquisición nulo

del nivel 2 de razonamiento, respecto al atributo de cálculo de perímetro y área. Y

al terminar la intervención, los resultados del post-test, indican que los estudiantes

logran la adquisición nula y completa, habiendo una mayor concentración (66,7%)

en la categoría nula.

Tabla 65

Resultados iniciales y finales de cálculo de perímetro y área de Quinto Año Básico.


Fuente: Elaboración propia. En la figura 24, el estudiante de Quinto Año Básico calcula perímetro y área donde

precede una reconfiguración, utilizando unidades de medida cuadrada cuando se

calcula el área, y unidades no cuadrada cuando es perímetro.


107

Respecto al Sexto Año Básico (ver tabla 66), al igual que el cuadro anterior, el

estado inicial del 100% de los estudiantes, respecto a este atributo, corresponde a

una adquisición nula del nivel 2 de razonamiento. Y de acuerdo al estado final, el

100% logra un grado de adquisición alto y completo, habiendo la misma distribución

entre ambos

Tabla 66

Resultados iniciales y finales de cálculo de perímetro y área de Sexto Año Básico.



En la figura 25, el estudiante de Sexto Año Básico, calcula el perímetro y área,

donde precede una reconfiguración, utilizando unidades de medida cuadrada

cuando es área, y no cuadrada cuando es perímetro.


108

La tabla 67, muestra el aumento en los grados de adquisición obtenidos en el curso

multigrado, respecto a la construcción de cuadriláteros a partir de perímetro, área y

otras características, ya que, en el estado inicial, los resultados muestran una

distribución que varía entre los grados de adquisición nula (85,71%), y alta (14,3%).

Y en el estado final de los estudiantes, los datos recogidos en el post-test, varían en

las categorías nula y alta, concentrándose una mayor porcentaje de estudiantes

(85,7%) en el grado de adquisición alta, pudiendo construir cuadrilátero a partir de

perímetro y área, y otras características, donde se evidencian dificultades en

justificar propiedades.

Tabla 67

Resultados iniciales y finales de construcción de cuadriláteros, a partir de perímetro,

área y otras características del curso multigrado. Ítem 6, Nivel abarcado: N2 Grado de adquisición Nivel 2 Pre-test Nivel 2 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 6 85,7 1 14,3 Baja 0 0,0 0 0,0 Intermedia 0 0,0 0 0,0 Alta 1 14,3 6 85,7 Completa 0 0,0 0 0,0 Total 7 100,0 7 100,0


La tabla 68, da cuenta del aumento en los grados de adquisición ya que, el estado

inicial del curso de Quinto Año Básico, respecto al atributo de construcción de

cuadriláteros a partir de perímetro, área y otras características, está en una

distribución en los grados de adquisición nulo y alta, donde el 66,7% está en la

categoría nula. Y respecto al estado final, los grados de adquisición alcanzados son

nulo y alto, situando al 66,7% de los estudiantes en la categoría alta.

109

Tabla 68


área y otras características del Quinto Año Básico. Ítem 6, Nivel abarcado: N2 Grado de adquisición Nivel 2 Pre-test Nivel 2 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 2 66,7 1 33,3 Baja 0 0,0 0 0,0 Intermedia 0 0,0 0 0,0 Alta 1 33,3 2 66,7 Completa 0 0,0 0 0,0 Total 3 100,0 3 100,0


En la figura 26, los estudiantes de Quinto Año Básico construyen cuadrilátero

teniendo en cuenta un área, perímetro y características dadas.

Figura 26. Ejemplo de respuesta construcción de cuadriláteros a partir de perímetro, área y otras características, 5º básico. Fuente: Respuesta E2 y E3.

110

Y en el estado inicial del Sexto Año Básico (ver tabla 69), los datos recogidos del

pre-test indican que el 100% de los estudiantes tiene un grado de adquisición nulo,

respecto a este atributo. Y en el estado final, queda en evidencia el aumento en los

grados de adquisición que lograron los estudiantes, debido a que el 100% logra un

grado de adquisición alta.

Tabla 69


área y otras características del Sexto Año Básico. Ítem 6, Nivel abarcado: N2 Grado de adquisición Nivel 2 Pre-test Nivel 2 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 4 100,0 0 0,0 Baja 0 0,0 0 0,0 Intermedia 0 0,0 0 0,0 Alta 0 0,0 4 100,0 Completa 0 0,0 0 0,0 Total 4 100,0 4 100,0

Fuente: Elaboración propia. En la figura 27, los estudiantes de Sexto Año Básico, construyen cuadrilátero a partir

de un perímetro, área y características.

Figura 27. Ejemplos de respuestas construcción de cuadriláteros a partir de perímetro, área y otras características, 6º básico. Fuente: Respuestas E4 y E6.

111

4.2 Análisis inferencial de los resultados

Considerando que la muestra es menor a 30 participantes, para determinar si las

diferencia existente entre los resultados obtenidos al iniciar y finalizar la intervención

son estadísticamente significativas, se utiliza la prueba Wilcoxon de distribución libre

para dos muestras emparejadas.

En la tabla 70, se evidencia una diferencia entre los promedios de los resultados del

pre-test y post-test donde, no logran dominar completamente el nivel 1 de

razonamiento al iniciar la intervención, teniendo una media aritmética de 32,05%.

Por el contrario, en los resultados del post-test, el promedio aumenta a 93,56%,

alcanzando un dominio completo de este nivel.

Tabla 70

Estadísticos descriptivos nivel 1 de razonamiento en pre-test y post-test. Porcentaje alcanzado N Mínimo Máximo Media Desviación estándar

Nivel 1 Pre-Test 7 8,88 76,66 32,0585 24,45743

Nivel 1 Post-test 7 77,77 100,00 93,5686 10,26577

N Válido 7


Para afirmar que las diferencias entre el pre-test y post-test del nivel 1 son

estadísticamente significativas se aplica la prueba Wilcoxon para muestras

relacionadas con las siguientes hipótesis:

H0: Las medianas de los resultados iniciales y finales del nivel 1 de razonamiento

son iguales.


no son iguales.

112

La prueba Wilcoxon (ver figura 28), respecto al nivel 1 muestra que, el valor-p (.018)

es menos que alfa (0,05), por lo que se rechaza hipótesis nula. Por ende, la mediana

que se obtiene al finalizar la intervención es significativamente mayor que la

mediana de los resultados iniciales.

En la tabla 71 se observa un aumento en el promedio respecto a los resultados del

pre-test y post-test donde, la media de los datos iniciales indican que alcanzan el

6,26% del nivel 2 de razonamiento, y en el post-test, la media es de 75,23%.

Tabla 71:

Estadísticos descriptivos nivel 2 de razonamiento en pre-test y post-test. Porcentaje alcanzado N Mínimo Máximo Media Desviación estándar

Nivel 2 Pre-Test 7 0,00 16,66 6,2686 7,30204 Nivel 2 Post-test 7 28,33 96,66 75,2329 27.90791

N Válido 7


Figura 28. Resultados prueba Wilcoxon del nivel 1 de razonamiento. Fuete: Elaboración propia.

113

Para afirmar que las diferencias entre el pre-test y post-test del nivel 2 son

estadísticamente significativas se aplica la prueba Wilcoxon para muestras

relacionadas con las siguientes hipótesis:


son iguales.


no son iguales.

La prueba Wilcoxon (ver figura 29), respecto al nivel 2 muestra que, el valor-p (.018)

es menos que alfa (0,05), por lo que se rechaza hipótesis nula. Por ende, la mediana

que se obtiene al finalizar la intervención es significativamente mayor que la

mediana de los resultados iniciales.

Figura 29. Resultados prueba Wilcoxon del nivel 2 de razonamiento. Fuente: Elaboración propia.

114

CONCLUSIONES

115

Conclusiones y proyecciones

De acuerdo al análisis de los niveles de razonamiento y su grado de adquisición

realizado anteriormente, teniendo en cuenta las características de las escuelas

rurales con aulas multigrado, se puede concluir lo siguiente:

La unidad didáctica es aplicada a estudiantes de diferentes niveles educativos

(quinto y sexto año básico), permitiendo que interactúen alumnos de distintas

edades y características al momento de resolver un mismo problema, conllevando

a que estudiantes de cursos inferiores, puedan acceder al conocimiento y

razonamiento de cursos superiores. Quedando claro que, no necesariamente los

estudiantes que están en estos últimos cursos obtienen mejores resultados en las

pruebas de pre-test y post-test, ya que puede ocurrir que estudiantes de quinto

básico obtengan mejores resultados que los de sexto, alcanzando porcentajes

mayores de grado de adquisición de los niveles de razonamiento que los

estudiantes de sexto al finalizar la intervención.

Al iniciar la unidad didáctica, los resultados del pre-test, indican que todos los

estudiantes no logran estar en los grados de adquisición de los niveles de

razonamiento propuestos por Gutiérrez, A. (2009) y Gutiérrez, A (2012), el cual

señala la transición entre el nivel 1 y 2 en alumnos de quinto básico, e inicios del

nivel 2 en los estudiantes de Sexto. Como era de esperar, en el post-test, los

estudiantes logran resultados exitosos, ya que se observa que el 66,6% de los

estudiantes de quinto básico alcanzan una adquisición alta y el 33,3% una

adquisición completa del nivel 1, y respecto al nivel 2, un 33,3% no logra dominar

los métodos de este nivel donde, si se producen situación que resultan ser

complicadas, hay un retroceso del nivel, habiendo saltos frecuentes entre los niveles

de razonamiento empleados. Otro 33,3% empieza con la conciencia de las

características y métodos propios del nivel, pero la utilización es muy pobre. Y por

último, el 33,3% restante, logra un dominio total de las herramientas y métodos de

trabajo, en relación al tema de perímetro y área, alcanzando los mejores resultados

del curso multigrado. En sexto, todos los estudiantes logran el grado de adquisición

116

completa en el nivel 1 y 2, por lo que alcanzaron un dominio total del tema de

perímetro y área, según su nivel educacional.

La utilización de ítems de respuesta libre, al generar la unidad didáctica señalada

por Jaime (1993), se considera pertinente para esta investigación, ya que aparte de

permitir realizar los análisis teniendo en cuenta los tipos de respuesta, también hace

posible la generación y aplicación de preguntas con contexto propio de la ruralidad,

utilizando materiales y superficies del entorno más próximo. Además, al dedicarle

una atención personalizada a los participantes se logra un mayor provecho de estas

actividades y problemas, puesto que se logra un mayor entendimiento entre alumno

y profesor, que es permitido por el bajo número de participantes en el aula.

También, y de acuerdo a las propiedades del modelo de Van Hiele, se observa en

los resultados la secuencialidad de los niveles de razonamiento, donde Van Hiele

(como se citó en Jaime 1993) señala que “el pensamiento del segundo nivel no es

posible sin el del nivel básico; el pensamiento del tercer nivel no es posible sin el

pensamiento del segundo nivel” (p.14), por lo que los estudiantes del curso

multigrado, lograron trabajar con un nivel 2, cuando hay dominio de nivel 1. De

acuerdo a la relación entre el lenguaje y los niveles de razonamiento observados en

el post-test, los estudiantes que alcanzaron un alto o completo grado del nivel 2

(71,4%) lograron mejorar el lenguaje matemático, puesto que en sus respuestas

utilizan definiciones matemáticas como lados, cuadriláteros, perímetro, área,

unidades cuadradas, entre otras.

Respecto a la localidad de los niveles de razonamiento, se muestran situaciones

donde los estudiantes pueden razonar en distintos niveles, teniendo en cuenta los

objetos geométricos. Por ejemplo, estudiantes logran relacionar el perímetro y área

con la forma de las figuras, usando definiciones en sus respuestas (Nivel 2), pero

algunos no logran reconfigurar figuras, para posteriormente realizar cálculos.

Además, los datos muestran la transición continua considerada por Jaime (1993) de

los niveles de razonamiento, la cual señala que el proceso de un nivel a otro no se

realiza de una forma brusca, por lo que los grados de adquisición tienen un rol

fundamental en el análisis de esta investigación.

117

Las actividades que se generaron, están acordes al currículum nacional, es decir,

los resultados alcanzados por el modelo de Van Hiele, también alcanzan a los

objetivos del programa de estudio de geometría en Chile, aunque hay que

considerar la versatilidad anteriormente expuesta entre las actividades para lograr

estos aprendizajes donde, los estudiantes de distinto curso, están expuesto al

mismo objeto matemático, pero en diferente nivel de complejidad.

Y por último, se puede concluir que el modelo de Van Hiele permite mejorar los

aprendizajes de la geometría en escuelas rurales que tienen como característica

tener aulas multigrado pues, según los datos de pre y post-test, existe un aumento

significativo en el razonamiento de acuerdo al tema de área y perímetro de

cuadriláteros al iniciar y finalizar la intervención.

Teniendo en cuenta las escasas investigaciones en el contexto rural referido al

Modelo de Van Hiele, es conveniente considerar la realización de estudios futuros

para evidenciar, de acuerdo a una mayor experiencia, resultados positivos en el

área de geometría. Entonces, a modo de proyección resulta pertinente, continuar

con investigaciones utilizando este modelo, para generar unidades didácticas

teniendo como participantes, estudiantes que pertenezcan a escuelas rurales con

aulas multigrado.

118

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

119

Referencias bibliográficas

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122

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Vargas, L. C. (2015). Niveles de razonamiento geométrico en estudiantes de pedagogía en educación general básica de una Universidad del Cruch (Tesis Magíster, Universidad Católica del Maule, Chile)

123

ANEXOS

124

7. Anexos

Anexo 1

Planilla de validación pre-test

Instrucciones: El presente documento contiene un listado de ítems que guardan

relación con los contenidos que los alumnos debiesen aprender referente a la

unidad “Perímetro y área” de cursos multigrado correspondientes a quinto y sexto

año básico. En concordancia con la unidad anteriormente señalada se presentan

los siguientes objetivos:

A. Clasificar cuadriláteros de acuerdo a su aspecto físico.

B. Identificar interior y exterior de cuadriláteros en un contexto real,

reconociendo diferencias de medición entre el área y perímetro.

C. Construir cuadriláteros a partir de unidades cuadradas, calculando perímetro

y área.

D. Calcular áreas a partir de la descomposición de superficies en cuadrados y

rectángulos.

E. Relacionar el perímetro y el área con la forma de figuras.

F. Descomponer figuras en cuadriláteros para calcular perímetro y área.

G. Construir cuadriláteros a partir de perímetros, áreas, y otras características.

Se pide que cada pregunta pueda clasificarla colocando la letra de acuerdo a uno

de los objetivos presentados en el casillero de “Objetivo” y en caso de que alguna

pregunta no guarde relación con alguno de ellos, señálelo con una “X” en el casillero

respectivo. Por otro lado se solicita que pueda marcar uno de los tres casilleros,

aprobando o no el ítem creado marcando con una x uno de los tres casilleros donde

se menciona “se aprueba, no se aprueba, se aprueba con modificaciones”. En caso

de tener alguna observación a alguno de los ítems, escribir dicha observación en el

espacio asignado.

128

Anexo 2

Planilla de validación post- test

Instrucciones: El presente documento contiene un listado de ítems que guardan

relación con los contenidos que los alumnos debiesen aprender referente a la

unidad “Perímetro y área” de cursos multigrado correspondientes a quinto y sexto

año básico. En concordancia con la unidad anteriormente señalada se presentan

los siguientes objetivos:

A. Clasificar cuadriláteros de acuerdo a su aspecto físico.

B. Identificar interior y exterior de cuadriláteros en un contexto real,

reconociendo diferencias de medición entre el área y perímetro.

C. Construir cuadriláteros a partir de unidades cuadradas, calculando perímetro

y área.

D. Calcular áreas a partir de la descomposición de superficies en cuadrados y

rectángulos.

E. Relacionar el perímetro y el área con la forma de figuras.

F. Descomponer figuras en cuadriláteros para calcular perímetro y área.

G. Construir cuadriláteros a partir de perímetros, áreas, y otras características.

Se pide que cada pregunta pueda clasificarla colocando la letra de acuerdo a uno

de los objetivos presentados en el casillero de “Objetivo” y en caso de que alguna

pregunta no guarde relación con alguno de ellos, señálelo con una “X” en el casillero

respectivo. Por otro lado se solicita que pueda marcar uno de los tres casilleros,

aprobando o no el ítem creado marcando con una x uno de los tres casilleros donde

se menciona “se aprueba, no se aprueba, se aprueba con modificaciones”. En caso

de tener alguna observación a alguno de los ítems, escribir dicha observación en el

espacio asignado.

132

Anexo 3

Universidad Católica del Maule Facultad de Ciencias Básicas

Programa de Magister en Didáctica de la Matemática ________________________________________________

PRE TEST: “PERÍMETRO Y ÁREA”

NOMBRE:_________________________________________________________ FECHA: __________________________ CURSO: __________________________

Observaciones:

Ø Mediante este test, se evaluarán los conocimientos de años anteriores, en

relación al contenido de “Área y perímetro”

Ø Se recuerda que antes de responder, se debe leer atentamente cada

pregunta, y se contará con un tiempo de 90 minutos para desarrollar esta

actividad.

133

Pregunta 1

I Observa las siguientes imágenes y sigue las siguientes instrucciones:

Ø Encierra en círculos las imágenes que consideres que poseen cuadriláteros.

Justifica.

Ø Marca con una X las imágenes que consideres que no poseen cuadriláteros.

Justifica.

De la siguiente pizarra:

Ø ¿Cuál es el interior y el contorno?.

Ø Explica como medirías el interior y el contorno de la pizarra.

Imagen 1

Imagen 6

Imagen 3

Imagen 5 Imagen 4

Imagen 2

134

Pregunta 2

El 27 de febrero del año 2010 se registró en Chile uno de los terremotos más

violentos que han azotado al planeta tierra. Los registros oficiales señalan más de

120 mil personas damnificadas, 1.229 colegios dañados y 53 hospitales afectados

en todo el país.

Una de las regiones más afectadas en este evento telúrico de magnitud 8,9 grados

Richter fue la Región del Maule.

En medio de este escenario de caos y destrucción, fue que muchas instituciones

gubernamentales, empresas, colegios y personas se motivaron a realizar campañas

de ayuda a los miles de damnificados del país. Tal fue la iniciativa que se formó

una campaña a nivel nacional liderada por el animador Don Francisco llamada

“Chile ayuda a Chile”.

Uno de los casos de ayuda más destacados, fue el realizado por los alumnos de

una escuela de la comuna de Hualañé, quienes durante una semana organizaron

una campaña de confección de frazadas, las que se generaron a partir de

“cuadrados de lana” que se destinó para ayudar a 300 personas de la localidad de

Iloca.

Frazadas a partir de cuadrados de lado 1u

135

Teniendo en cuenta que se cuenta con un máximo de 300 y un mínimo de 100

cuadrados para la confección de cada frazada:

Ø Dibuja una frazada con los cuadrados y tiras de genero que consideraste,

indicando cuales son las medidas de sus dimensiones. Justifica.

Ø Calcula el perímetro y área de la frazada que confeccionaste. Justifica.

Ø ¿Es importante que los cuadrados de lana tengan la misma medida? Explica.

Pregunta 3

Ø Calcula el área y el perímetro de la figura.

Explica tus procedimientos.

Pregunta 4

Un terreno se repartió en dos parcelas de la siguiente

forma:

Ø ¿Qué parcela es más grande?, explica por qué. Y la

que es más pequeña, explica por qué es más

pequeña.

Ø ¿Qué se puede concluir a partir del perímetro de

cada parcela? Explica.

Ø ¿Que conclusiones obtienes al relacionar el

perímetro y el área y la forma de la figura?

136

Pregunta Nº5

Se tiene la siguiente figura:

Ø Calcula su área y su perímetro.

Explica tus procedimientos

Pregunta Nº6

A partir de un área de 27 cm2 y un perímetro de 24 cm construye un cuadrilátero

que cumpla con al menos 3 características de la lista. Explica tu elección y

construcción.

Ø Todos sus ángulos son rectos

Ø Ángulos opuestos iguales y diferentes a los adyacentes

Ø Lados iguales

Ø Un lado es el triple del otro

Ø Todos sus ángulos tienen diferente medida

Ø Todos sus ángulos no son rectos

Ø Un lado es el doble del otro

Ø Dos pares de lados de igual medida

137

Anexo 4

Universidad Católica del Maule Facultad de Ciencias Básicas

Programa de Magister en Didáctica de la Matemática ________________________________________________

POST TEST: “ÁREA Y PERÍMETRO”

NOMBRE:_________________________________________________________ FECHA: __________________________ CURSO: __________________________ Observaciones:

Ø Mediante este test, se evaluarán los conocimientos adquiridos mediante la

unidad didáctica, en relación al contenido de “Área y perímetro”

Ø Se recuerda que antes de responder, se debe leer atentamente cada

pregunta, y se contará con un tiempo de 45 minutos para desarrollar esta

actividad.

Pregunta 1

Observa las siguientes imágenes y sigue las siguientes instrucciones:

Ø Encierra en círculos los objetos que consideres que poseen cuadriláteros

explica por qué, y los que no, explica por que no.

Del siguiente objeto responde las siguientes preguntas

Ø ¿Cuál es el interior y el contorno del objeto?.

Ø Explica como medirías el interior y el contorno del objeto

Imagen 4 Imagen 6 Imagen 5


139

Pregunta 2

Se hizo un concurso en la escuela, donde se premió a la mejor idea para ser

implementada en el establecimiento. Ésta consiste en crear un “huerto didáctico”

que permita lograr aprendizajes en relación a las asignaturas de matemática,

ciencias naturales, historia, lenguaje y comunicación, entre otras.

Si se cuenta con un máximo 600 plantas y, cada una de ellas utiliza 1u2 de suelo.

Responde las siguientes preguntas.

Ø Realiza un bosquejo del huerto didáctico con la cantidad de plantas que

consideraste, indicando cuales son las medidas de sus dimensiones.

Justifica.

Ø Calcula el perímetro y el área del huerto didáctico que confeccionaste.

Justifica.

Ø ¿Es importante que las superficies de suelo que utilizan las plantas sean

iguales?. Explica.

Pregunta 3

Ø Calcula el área y el perímetro de la figura. Explica tus procedimientos.

140

Pregunta 4

Un terreno se repartió de la siguiente forma:

Ø ¿Qué parte del terreno es más grande?, explica

por qué. Y la que es más pequeña, explica por

qué es más pequeña.

Ø ¿Qué se puede concluir a partir del perímetro

en los dos terrenos? Explica.

Ø ¿Que conclusiones obtienes al relacionar el

perímetro y el área y la forma de la figura?

Pregunta 5

De la siguiente figura:

Ø Calcula su área y su perímetro.

Explica tus procedimientos

Pregunta Nº6

A partir de un área de 21 cm2 y un perímetro de 20 cm, elige 3 características de la

lista y construye un cuadrilátero a partir de ellas. Explica tu elección y construcción.

Ø Ángulos opuestos iguales y diferentes a los adyacentes

Ø Lados iguales

Ø Todos sus ángulos son rectos

Ø Un lado supera en 4 cm al otro

Ø Un lado es el doble del otro

Ø Todos sus ángulos no son rectos

Ø Dos pares de lados con la misma medida

141

Anexo 5

Codificación de respuestas Pre-test

ITEM 1: NIVELES QUE ABARCA: N1

GRAD. DE AD.

NIVELES

Nº AL

DESCRIPTOR (ATRIBUTOS)

NIV. DE R.

TIP. DE

RES. JUSTIFICACIÓN EJEMPLO N1 N2

1

Reconocimiento: Identifican

visualmente objetos de contexto local,

que tengan características

comunes relacionadas con los

cuadriláteros

1 2

La identificación de cuadriláteros

la realiza de acuerdo a

elementos con errores

conceptuales

Son cuadriláteros

“porque tienen líneas rectas”

No son cuadriláteros “porque no

tienen líneas rectas”

20%

2





cuadriláteros

1 4

Identifica cuadriláteros

considerando que tienen que tener 4

lados, pero no identifica

cuadriláteros que tengan solamente un par de lados

paralelos

Son cuadriláteros

“porque tienen 4 lados” No son

cuadriláteros “porque no

tienen líneas rectas” y

“porque hay 3 líneas rectas y

la de arriba está en otra

dirección”

50%

3





cuadriláteros

1 2

Identifica cuadriláteros y no cuadriláteros de

acuerdo a si tienen par de

lados iguales o no

“no son cuadriláteros

porque no tienen lados

iguales”

20%

4





cuadriláteros

1 2

Identifica

cuadriláteros de acuerdo a la

cantidad de líneas y no de

segmentos.

“son cuadriláteros

porque tiene 4 líneas”

20%

5 Reconocimiento:

Identifican visualmente objetos de contexto local,

1 7

Identifica cuadriláteros de

acuerdo a su

Son cuadriláteros

“porque tienen 4 lados rectos”

100%

142



cuadriláteros

cantidad de lados e identifica lados

no rectos

“No son cuadriláteros porque son redondos”

6





cuadriláteros

1 7

Identifica

cuadriláteros de acuerdo a su

cantidad de lados

“porque tienen 4 lados rectos” “porque no

tienen 4 lados rectos”

100%

7





cuadriláteros

1 7

Identifica cuadriláteros de

acuerdo a su cantidad de lados

Son cuadriláteros

“porque tienen 4 lados” No son

cuadriláteros porque no

tienen 4 lados

100%

ITEM 1.1: NIVELES QUE ABARCA: N1

GRAD. DE AD.

NIVELES Nº AL

DESCRIPTOR NIV. DE R.

TIP. DE

RES.

JUSTIFICACIÓN EJEMPLO N1 N2

1

Reconocimiento: Identifican interior y

contorno de cuadriláteros

1 2 Identifica de acuerdo a errores conceptuales. Se

refiere al instrumento y no a las unidades de

medida para interiores y contornos

“el interior son las rectas y el contorno es la

figura” “mediría con una güincha”

20%

Reconocimiento: Identifican unidades

de medida para medir interiores y


1 2 20%

2



1 7

Señala correctamente el

interior y el contorno. No

hace referencia a las unidades de

medida

“multiplicando la medida por la cantidad de los lados del contorno y sumando la

medida de los

100%

Reconocimiento: Identifican unidades 1 2 20%

143



lados del interior”

3


contorno de cuadriláteros y su forma de medir

1 4 Error conceptual en el concepto de

contorno. No presenta el concepto de unidades de

medida

“El interior es lo de adentro

y el exterior es lo de afuera

de algo” “Mediría

multiplicando el contorno

para que de el interior”

50%




1 2 20%

4



1 2 Identifica de acuerdo a errores conceptuales. Se

refiere al instrumento y no a la manera de medir interior y

contorno

“el interior es plano y el

contorno tiene 4 líneas”

“mediría la pizarra con una regla”

20%




1 2 20%

5



1 7 Identifica

correctamente de acuerdo a colores

del objeto. Confunde

dimensiones con contorno, no

identifica unidades de

medida

“el interior es lo blanco y el contorno es lo

negro” “mediría con una regla el contorno y después lo

multiplico por el largo y así da el interior”

100%




1 4 50%

6



1 1

No presenta la utilización de unidades de

medidas

“lo mediría sacando

cuando mide cada lado”

0




1 2 20%

7



1 7

Identifica correctamente

interior y contorno. Solo se

refiere a que utilizaría unidades de medida para

medir

“el interior es lo de adentro y el contorno es el borde” “lo mediría

con las unidades de

medida”

100%

Reconocimiento: Identifican unidades 1 2 20%

144



ITEM 2: NIVELES QUE ABARCA: N1-N2

GRAD. DE AD.

NIVELES Nº AL


TIP. DE

RES.


1

Reconocimiento: Construyen

cuadriláteros a partir de unidades de

cuadrículas

1 2 Construcción errónea, no reconoce

dimensiones, unidades de

medida. Mide estimando de

acuerdo al tamaño del dibujo

“mide 3 centímetros

más o menos” “ el perímetro mide como 3 centímetros y el área como

2”

20%

Análisis: Obtienen área y

perímetro de diferentes

cuadriláteros, utilizando unidades

de medida estandarizadas y no

estandarizada

1 1 0% 0%

2



cuadrículas

1 2

Errores de conceptualización de dimensiones,

errores en construcción

“porque sus lados son 4, por eso son

1x4 sus dimensiones” “el perímetro

es 14 cm2 y el área 400 cm2”

20%





estandarizada

1 2 20% 0%

3



cuadrículas

1 7 Construcción correcta de la figura, pero no

entrega información de

cálculos, dimensiones ni

unidades de medida

100%





estandarizada

1 1 0% 0%

145

4



cuadrículas

1 2

Errores en medición de

perímetro y área

“tiene 10 cuadraditos para cada

lado

20%





estandarizada

1 1 0% 0%

5



cuadrículas

1 7 Confunde perímetro por área, no utiliza unidades de medida ni reconoce

dimensiones, construcción

correcta de figura

“el perímetro es de 200 y el área es de 60”

100%





estandarizada

1 2 20% 0%

6



cuadrículas

1 7 Construcción correcta, no

reconoce dimensiones,

cálculo correcto, no utiliza

unidades de medida para el

perímetro y área

“P=40 y A=100”

100%





estandarizada

1 4 50% 0%

7



cuadrículas

1 2

No reconoce dimensiones ni

unidades de medida para cálculo de

perímetro y área

“su medidas de

dimensiones 2D”

20%





estandarizada

1 1 0% 0%

146


GRAD. DE AD.

NIVELES

Nº AL DESCRIPTOR

NIV DE R.

TIP. DE


1

Reconocimiento: Descomponen superficies en cuadrados y rectángulos

1 1

No entrega información pertinente

“El área seri como 2 o 3 y 4 centímetros y el perito sería como 4 o 5 centímetros

más o menos”

0%

Reconocimiento: Suman áreas de

cuadriláteros para obtener una mayor

1 1 0%





estandarizada

1 1 0% 0%

2


1 1

Obtiene área y perímetro de

acuerdo a errores conceptuales

“el perímetro se saca

sumando la medida de todos los

lados que da 22 cm2 y el

área se saca multiplicando

todos los lados y da 1008 cm2

0%



1 1 0%





estandarizada

1 2 20% 0%

147

3


1 1

No presenta procedimientos en

sus cálculos

“Mide 47 de área y de

perímetro es 32”

0%



1 1 0%





estandarizada

1 1 0% 0%

4


1 1

No responde al ítem

0%



1 1 0%





estandarizada

1 1 0% 0%

5


1 7

Procedimiento correcto de

descomposición de figura, genera

cuadriculas para medir interior y contornos, sin

embargo, responde con errores

conceptuales

“El área es de 28 cubos y el perímetro de

43 cubos”

100%


cuadriláteros para 1 7 100%

148

obtener una mayor





estandarizada

1 4 50% 0%

6


1 1

No responde al ítem

“No se puede porque faltan

medidas”

0%



1 1 0%





estandarizada

1 1 0% 0%

7


1 4

Error en la generación de

unidades cuadradas para medir interior

El área es 41 y el perímetro es 22. Sumé el perímetro y dividí el área”

50%



1 7 100%





estandarizada

1 4 50% 0%

149

ITEM 4:

NIVELES QUE ABARCA: N2 GRAD. DE

AD. NIVELES

Nº AL DESCRIPTOR NIVEL

DE R.

TIP. DE


1

Análisis: Relacionar

perímetro y área con formas de

figuras

2 1

No relaciona área y perímetro con la

forma de las figuras, solo hace

referencia al tamaño

“Se tomo mas parcela” 0% 0%

2



figuras

2 1




“una es más grande que

la otra” 0% 0%

3



figuras

2 1

Utiliza conceptos de área

correctamente, aunque sus cálculos son

erróneos, y no hace referencia a perímetro

“Miden lo mismo de alto y de

ancho, pero en el área

no, ya que al medio no son

iguales”

100% 20%

4



figuras

2 1




“Que solo 3 cuadritos hacen la

diferencia”

0% 0%

5



figuras

2 1

No relaciona perímetro y área con las formas de

las figuras

“cuanto mide toda la figura”

0% 0%

6



figuras

2 3

Relaciona el correctamente el área con la forma de las figuras, sin embargo, no hace

referencia al perímetro

“el área es distinta la

forma también”

100% 25%

7



figuras

2 2 Relaciona

solamente medida de contornos

“el perímetro es el mismo

de cada parcela”

100% 20%

150


GRAD. DE AD. NIVELES


DE R.

TIP. DE


1

Análisis: Reconfiguran figuras para

calcular perímetros y

áreas

2 1

No descompone ni transforma la

figura, por lo que no responde a la

pregunta

“que debe ser de largo como 2,83

cm”

0%



cuadriláteros, utilizando

unidades de medida

estandarizadas y no estandarizada

2 1 0% 0%

2



áreas

2 1

No descompone ni transforma la

figura, responde de acuerdo a errores

conceptuales

“suma 3,16 con 2,83, da

5,99 cm2, Multiplica

316 con 286 da 89428

cm2”

0%




unidades de medida


2 1 0% 0%

3



áreas

2 1

No realiza transformaciones ni descompone figura

“Yo la saqué viendo

cuantos cuadritos

tenía”

0%




unidades de medida


2 1 0% 0%

151

4



áreas

2 1

Ítem sin respuesta

0%




unidades de medida


2 1 0% 0%

5



áreas

2 3

Reconfigura correctamente la

figura, cálculo erróneo de

perímetro y área no logra explicar

procedimientos

“su área es 28 y su

perímetro de 33”

25%




unidades de medida


1 2 20% 0%

6



áreas

2 4

Realiza correctamente

reconfiguración de figura, responde de acuerdo a errores

conceptuales, error en cálculo de

perímetro y área

“Corté pedazos para que dara con

lados rectos y los puse

en otro lado” “A:26 P:24

50%




unidades de medida


2 2 20% 0%

7



áreas

2 1

No realiza procesos de descomposición

ni transformaciones,

por lo que no puede calcular

El área es 36 y su

perímetro es 5,99 cm

0%

152




unidades de medida


2 2

correctamente perímetro y área

20% 0%




DE R.

TIP. DE


1

Análisis: Construyen

cuadriláteros a partir de

perímetros, áreas y otras

características

2 1

No relaciona perímetro ni área

con figura, construcción errónea, no fundamenta alternativas

“todos los ángulos

correctos, lados iguales y dos pares

de lados iguales”

0%

2




características

2 1

Construcción errónea, no

corresponde a las características

escogidas, tampoco relación perímetro y área

con la figura

“Los lados son rectos, tiene lados iguales y un lado es el

triple que el otro”

0%

3




características

2 6

Construcción correcta de la figura

de acuerdo al perímetro y área, aunque no logra

explicar la elección de las alternativas

Lados de igual

medida, un lado es el 3 del otro, 2 pares de

lados son de igual media

80%

4




características

2 1

Construcción errónea de la

figura, no elige características

0%

5




características

2 1



0%

153

6




características

2 1



0%

7




características

2 1 Construcción errónea de la


0%

154

Anexo 6

Codificación respuestas post-test


GRAD. DE AD.

NIVELES

Nº AL

DESCRIPTOR (ATRIBUTOS)

NIV. DE R.

TIP. DE


1





cuadriláteros

1 7

Reconoce cuadriláteros de

acuerdo a características

“Son cuadriláteros las figuras n° 2,5 y

6, son cuadriláteros

porque tienen 4 lados y sus

esquinas no son curvas”

100%

2





cuadriláteros

1 5

Identifica correctamente cuadriláteros,

pero no justifica correctamente

algunos

“si, porque se transforma y

queda forma un rectángulo ”

75%

3





cuadriláteros

1 7 Identifica

correctamente cuadriláteros


porque tienen 4 lados y sus

puntas no son redondas”

100%

4





cuadriláteros

1 7 Identifica

correctamente los cuadriláteros


porque tienen 4 lados”

100%

5





cuadriláteros

1 7 Identifica y

justifica correctamente

“La encerré porque tiene 4

lados y no tiene curvas”

100%

155

6





cuadriláteros

1 7

Identifica y


“No, porque no tiene 4 lados”

“no porque tiene las esquinas redondas, si porque tiene

forma de rectángulo”

100%

7





cuadriláteros

1 7 Identifica y


“porque tiene 4 lados y son

rectos” 100%

ITEM 1.1: NIVELES QUE ABARCA: N1

GRAD. DE AD.

NIVELES Nº AL


TIP. DE

RES.


1



1 6

Identifica correctamente, pero confunde

límite con exterior

“Esto es el contorno porque es lo de afuera,

este es lo interior porque

es lo de adentro”

80%




1 1 0%

2



1 6 Identifica correctamente

interior y contorno,

reconoce que es necesario calcular área y perímetro.

“mediría con el área y el

perímetro, Área=largo x

ancho y Perímetro = suma de la

medida de todos sus lados”

80%




1 6 80%

3



1 7 Identifica correctamente

interior y contorno

“en un rectángulo para

medir el contorno se

suma el largo con el ancho y

se multiplica por

100

Reconocimiento: Identifican unidades 1 6 80

156



2 y para el interior se

multiplica largo por ancho

4



1 7 Identifica y

justifica correctamente las

mediciones de interior y contorno, identifica

correctamente las unidades de

medida

“el interior es lo que está dentro

(área), el contorno son las

líneas (así poder medir el perímetro). El

interior lo mediría largo x

ancho y el contorno la

suma de todos. sus lados,

mediría con unidades

cuadradas

100%




1 7 100%

5



1 7 Identifica y




medida

“el contorno lo mediría la A con la B + C con la D en unidades no cuadradas y

el interior lo mediría A por B

en unidades cuadradas”

100%




1 7 100%

6



1 7 Identifica y




medida

“el contorno es el borde y el

interior es lo de adentro de la

figura, el interior lo mediría con centímetros

cuadrados (cm2) y el contorno

con centímetros”

100%




1 7 100%

7



1 7 Identifica y




medida

“el interior es el área y el

contorno el perímetro. El

interior lo mido con unidades

cuadradas y el contorno con

unidades”

100%




1 7 100%

157

ITEM 2:

NIVELES QUE ABARCA: N1-N2 GRAD. DE AD.

NIVELES Nº AL


TIP. DE

RES.


1



cuadrículas

1 7

Construcción correcta, cálculo

correcto de perímetro y área

El perímetro es de 40u y el área es de 100

u2

100%





estandarizada

2 3 100% 25%

2



cuadrículas

1 7 Construcción

correcta, calculo correcto de

perímetro y área, no utiliza

unidades de medida en sus

respuestas

“Á=10 P=14”

100%





estandarizada

1 6 80% 0%

3



cuadrículas

1 7

Construcción correcta de

cuadrilátero y cálculo de

perímetro y área.

“El

perímetro es 40u, sumé

todos los lados. El

área es de 100u2,

multipliqué largo por ancho”

100%





estandarizada

2 7 100% 100%

4



cuadrículas

1 7 Construcción

correcta, calcula y justifica

correctamente el cálculo de

perímetro y área

“saqué el área

multiplicando el largo x ancho. Saqué el perímetro

100%

Análisis: Obtienen área y 2 7 100% 100%

158




estandarizada

sumando todos sus

lados. Calculé el área y me dio 60u2 y

de perímetro

32u”

5



cuadrículas

1 7



“porque el largo por el ancho me da 600 y como son unidades

cuadradas son las de adentro. El perímetro

es 308 porque el largo con

el ancho + el largo por el ancho es

308

100%





estandarizada

2 7 100% 100%

6



cuadrículas

1 7



Sus medidas

son 2 lados de 6u y 2 de 4 u. Su área es de 24u2 y su perímetro de 20 u.

Las plantas deben usar

1u2

100%





estandarizada

2 7 100% 100%

7



cuadrículas

1 7 Construcción correcta, cálculo


“Largo por ancho, 7x7. P=

28u. A=49u2”

100%



2 7 100% 100%

159



Nº AL DESCRIPTOR

NIV DE R.

TIP. DE

RES.


1


1 7

Al descomponer la figura suma el perímetro de

todos los cuadriláteros

descompuestos

El área es 32u2 y el perímetro

46u

100%



1 7 100%





estandarizada

2 5 100% 75%

2


1 7

Confunde medidas en

descomposición y calcula

erróneamente perímetro de

figura

100%



1 7 100%





estandarizada

2 5 100% 75%

3


1 7

Descomposición y cálculos de

perímetro y área correctos

“Él área es 32u2 y lo saqué cortando la

figura y luego sumé todo. El

perímetro es de 30 u y lo saqué

sumando”

100%

160



1 7 100%





estandarizada

2 7 100% 100%

4


1 7

Descomposición y cálculos de

perímetro y área correctos

100%



1 7 100%





estandarizada

2 7 100% 100%

5


1 7

Descompone y calcula

correctamente el área de la

figura, no utiliza unidades de

medidas

30 de perímetro sume todos los lados y el área

es de 32 porque la descompuse en cuadriláteros

y al sumarlos me dan 32

100%



1 7 100%





estandarizada

2 6 100% 80%

161

6


1 7



figura, no utiliza unidades de

medidas

Para calcular el área lo dividí en

3 figuras y multiplique largo por ancho, para

calcular el perímetro sumé todos los lados. Su perímetro es de 30. Su área

es 32

100%



1 7 100%





estandarizada

2 6 100% 80%

7


1 7



figura, error en adición y usa parcialmente definiciones

“Á=32u2 y P=29u. Saqué

el área contando los cuadraditos o cada unidad

cuadrada y para sacar el calculo

de perímetro sume todos los

números o rayitas de el

contorno”

100%



1 7 100%





estandarizada

2 4 100% 50%

162

ITEM 4:

NIVELES QUE ABARCA: N2 GRAD. DE AD.

NIVELES


DE R.

TIP. DE

RES.


1



figuras

2 4

Relaciona correctamente el área con la forma de la

figura pero no el perímetro.

“El terreno a es mas grande

porque tienen mas área y

perímetro y el terreno b es

más pequeño porque tiene menos área y

menos perímetro”

100% 50%

2



figuras

2 5

Relaciona correctamente el área con la forma de la figura, sin embargo, muestra

confusión al referirse al perímetro

A porque tiene más área y

perímetro es más grande y b es más pequeña

porque tiene menos área y

perímetro. A y B tienen el mismo

perímetro. Tienen mismo

perímetro y diferente área

100% 75%

3



figuras

2 7

Relacionan correctamente

perímetro y área con la forma de la

figura

“La parte A es más grande

tiene más u2 y la B es más

porque tiene menos u2. Que las 2 tienen el

mismo perímetro. Que la A tiene más área que la B pero tienen el

mismo perímetro.

100% 100%

4



figuras

2 5

Relaciona correctamente el área con la forma de la

figura pero no el perímetro. Error en el cálculo de

perímetro al comparar

figuras

La mas grande es la fig. A

porque tiene área de 46u2 y la fig. b solo tiene 13u2 El

perímetro de la fig.A es más

pequeña que la de la fig.b

100% 75%

163

5



figuras

2 7

Relaciona correctamente

área y perímetro al

comparar formas de

figuras

La “A” es más grande porque

tiene mas área y perímetro lo

tiene igual que la figura “B”. Que la “A” es más grande

tiene el mismo perímetro

100% 100%

6



figuras

2 7



comparar formas de

figuras

“el perímetro es igual aunque el

tamaño es distinto. Que tiene distinta

área, pero igual perímetro”

100% 100%

7



figuras

2 7



comparar formas de

figuras

La parte A es más grande porque tiene

más área y la B es más pequeña

porque tiene menos área. Se puede concluir

que tiene el mismo

perímetro. Que no porque una

figura tenga mayor área o mayor tamaño

su perímetro va a ser más

grande

100% 100%

164

ITEM 5:

NIVELES QUE ABARCA: N2 GRAD. DE AD.

NIVELES


DE R.

TIP. DE

RES.


1



áreas

2 2 Descompone la figura, pero

no realiza transformacio

nes que le permitan calcular

perímetro y área, error al

calcular perímetro

20%




unidades de medida


1 2 20% 0%

2



áreas

2 2

Reconfigura erróneamente, no le permite

realizar cálculos

20%




unidades de medida


1 1 0% 0%

3



áreas

2 1

Reconfigura la figura

correctamente de tal modo

que le permite obtener el

perímetro y área

100%




unidades de medida


2 7 100% 100%

165

4



áreas

2 7 Reconfigura la figura



perímetro y área,

estancamiento en la suma de

decimales

“Primero descompuse la figura y cada pedaso me dio

un resultado 36-4-4-2 todo eso lo sume y me

dio 46u2(área) y el perímetro me

dio 30”

100%




unidades de medida


2 6 100% 80%

5



áreas

2 7

Reconfigura la figura



perímetro y área

“El área me da 46 cm2 y

perímetro 29,32 para el área modifique”

100%




unidades de medida


2 7 100% 100%

6



áreas

2 7

Reconfigura pertinentemen

te la figura para calcular perímetro y

área, error en el cálculo del

perímetro

Para calcular área saque dos pedazos y los puse en otro

lado. El perímetro lo

saque sumando todos los lados.

Con el área dividí la figura

en 3 rectángulos y sumé el área

de cada rectángulo

100%




unidades de medida


2 5 100% 75%

7



áreas

2 1

Descompone correctamente

la figura y calcula

correctamente área y

La descompongo

para que me de el área y sumo

el calculo de sus lados para que

100%

166




unidades de medida


2 1

perímetro. me de el perímetro. Á=46u2.

P=25,49u

100% 100%




DE R.

TIP. DE

RES.


1




características

1 1

Construcción errónea, no relaciona

características, perímetro ni área con la

construcción de la figura, no explica su elección

0%

2




características

2 6

Construcción correcta a partir de perímetro y área. Elección

correcta de características,

no explica alternativas

80%

3




características

2 6


correcta de características

80%

4




características

2 6


correcta de características,

no explica alternativas

80%

167

5




características

2 6

Construcción correcta a partir de perímetro y

área. no explica alternativas

80%

6




características

1 6



80%

7




características

2 6



Mi elección fue que yo

solamente iba intentando

hacer varios con todas las

características hasta que diera uno

80%

168

Anexo 7 Unidad didáctica

Nivel 1: Reconocimiento CLASE Nº1: VISUALIZACIÓN Y CÁLCULO ÁREA DE CUADRILATEROS

Fase 1: Información

Actividad Nº1

Observa las siguientes imágenes y señala los objetos en los que ves cuadriláteros,

explica por qué, y de los que no ves, explica por qué no:



169


Actividad Nº2

Con las siguientes unidades cuadradas, construye diferentes cuadriláteros,

dibújalos, y luego responde:

• ¿Cuántas unidades cuadradas usaste para construirlos?

• ¿Qué concluyes a partir de la cantidad de unidades cuadradas y el tamaño

de los cuadriláteros?

• ¿Cómo realizas el conteo de las unidades cuadradas?


Actividad Nº3

• De la actividad anterior, muestra a tus compañeros los cuadriláteros

formados y explica tu estrategia de conteo.

• Explica tu conclusión relacionado al tamaño de la figura y la cantidad de

unidades cuadradas utilizadas.


Actividad Nº4

El auxiliar de la escuela tiene la misión de hermosear el patio, para ello, surgió la

idea de hacer una plaza de juegos y agregar una zona de pasto en la superficie

donde van a estar situados los columpios, resbalín y los go-kart.

170

Para realizar este trabajo, el auxiliar necesita:

• Un plano a escala que le permita ordenar los elementos de la plaza con

mayor facilidad y que los represente con la mayor exactitud.

• La cantidad unidades cuadradas de pasto que deberá cotizar.

Para realizar las mediciones, solo se cuenta con varas de madera no graduadas

encontradas en la bodega del establecimiento.

Go Kart Columpios Resbalín Palmetas de pasto

Varas de madera

171

CLASE Nº2: CÁLCULO DE ÁREA DE FIGURAS COMPUESTAS

Nivel 1: Reconocimiento


Actividad 1

Con las unidades de medida entregadas:

• Forma unas figuras a partir de 2,3,4, y más cuadriláteros.

• Registra en tu cuaderno las figuras generadas, teniendo en cuenta los

cuadriláteros que compusieron cada figura.

• ¿Cuál es tu estrategia para calcular el área de la figura compuesta? Explica.


Actividad 2

De la actividad anterior, muestra a tus compañeros las figuras formadas y explica tu

estrategia para calcular su área


Actividad 3

El director del establecimiento está en una reunión con el sostenedor, el cual

necesita urgentemente ciertas medidas de la escuela, con la finalidad de realizar un

172

presupuesto para el proyecto “Movámonos por la Educación Publica”, que se

implementa anualmente en las escuelas públicas.

El director, al no conocer las medidas que se necesitan, envía el siguiente mensaje

vía WhatsApp al auxiliar del establecimiento:

Lamentablemente, para hacer estos cálculos, la escuela no cuenta con los recursos

para comprar instrumentos de medición, ni tampoco se cuenta con mucho tiempo,

ya que, el director necesita el cálculo a la brevedad. Entonces, el auxiliar solamente

puede usar materiales que estén en la bodega del establecimiento

Ayuda al auxiliar a calcular el área de la superficie que consideras pertinente,

utilizando un objeto que te permita hacer las mediciones.

173

CLASE Nº 3: PERÍMETRO DE CUADRILÁTEROS

Nivel 1: Reconocimiento


Actividad 1

Con los siguientes ovillos de lana

• Mide exteriores de objetos o superficies que consideres cuadriláteros

• ¿Qué conclusiones obtienes a partir de estas mediciones?


Actividad 2

De la actividad anterior, explica tu estrategia para calcular perímetro y las

conclusiones a partir de la utilización de los ovillos.


Actividad 3

Vicente está proponiendo un proyecto para la escuela, el cual tiene como objetivo

remodelar el cierre perimetral porque, según diagnósticos, está muy deteriorado y

es lo más urgente para mantener la seguridad de los estudiantes.

Para este proyecto, se necesita cotizar materiales donde, la cantidad de materiales

variará de acuerdo a las medidas del trabajo que se quiere hacer.

• Utiliza los ovillos de lana para ayudar a Vicente a realizar las mediciones para

el proyecto.

174

• Genera una unidad de medida para esta medición.

• ¿Qué conclusiones obtienes a partir del los lados del terreno de la escuela y

el perímetro?.


Actividad Nº5

Realiza un resumen con los conceptos trabajados en las actividades anteriores, de

acuerdo a las figuras y las unidades de medida para medir interiores y exteriores.

175

Nivel 2: Análisis

CLASE 4: RELACIÓN ENTRE ÁREA Y PERÍMETRO

Nivel 2

Fase 1: Información

Actividad 1

De los siguientes cuadriláteros:

• Encierra los cuadriláteros en los que crees que se pueda medir el área de

forma exacta y explica por qué, y los que no, explica por qué no.

• ¿Qué características se identifican en cada uno de los cuadriláteros?

• ¿Cómo calcularías el área y el perímetro de los cuadriláteros?

• ¿Se puede transformar algún cuadrilátero, de tal modo que permita el conteo

de cuadriculas de forma exacta? Explica.

Figura 1 Figura 2 Figura 3


176


Actividad 2 (20 min)

De las siguientes figuras compuestas:

• De acuerdo al área y el perímetro, ¿Que puedes concluir a partir de los

pares de figuras?.



De la actividad anterior, explica tus conclusiones a partir de los pares de figuras.



En la clase de Ciencias Naturales, a los estudiantes se le pide hacer un huerto para

estudiar el crecimiento de ciertos vegetales a partir de una siembra. El profesor les

entrega materiales para que cerquen una superficie de perímetro 8 m, con el fin de

proteger los vegetales.

Imagen 1 Imagen 2

Imagen 3

177

• ¿Qué medidas debe tener la superficie para que pueda haber una mayor

cantidad de sembrado? Explica.

CLASE Nº 5: CONSTRUCCIÓN DE CUADRILATEROS A PARTIR DE ÁREAS Y PERÍMETROS.

Nivel 2: Análisis


Actividad 1

Utiliza la regla para realizar mediciones y para construir unidades cuadradas de lado

1cm, tal que permita construir diferentes cuadriláteros a partir de áreas, perímetros

y características dadas:

Figura que tenga:

• 24 cm2 de área y 22 cm de perímetro.

• Perímetro 16 cm, y que sus ángulos no sean de 90º

• 9 cm2 de área y todos sus lados iguales.

• Uno de sus lados sea el doble del otro, y que tenga 50 cm2 de área.


Actividad 2

De la actividad anterior, explica como realizaste tus construcciones.



Crea a partir de dos cuadrados de lado 3cm, forma un cuadrilátero.

• ¿Cuál es la medida de los lados de la nueva figura?

• ¿Que relación hay entre las medidas de un lado con el otro?

178

• Si las medidas de los lados del rectángulo aumentan el doble, ¿El perímetro

y su área también?. Explica.

CLASE 6: EXPRESIONES DE CÁLCULO DE ÁREA Y PERÍMETRO

Nivel 2: Análisis



De las siguientes figuras, mide su área y clasifica las figuras de acuerdo a su forma

para medir áreas y perímetro:

Ø Crea expresiones para calcular perímetros y áreas de cuadriláteros.

Explica.


Actividad 2

Explica como obtuviste el área de los cuadriláteros y su clasificación de acuerdo a

la forma de calcularlo.



179



Obtén el área de la siguiente figura, utilizando las expresiones anteriormente

trabajadas:


Actividad 4

Realiza un resumen de los conceptos de las actividad anteriores, relacionando el

área y perímetro, característica de cuadriláteros, transformaciones de cuadriláteros

para el conteo de cuadriculas, y expresiones que permitan obtener el área y el

perímetro.

180

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