UD8 - Dibujo Geométrico

Unidad Didáctica 8

Dibujo Geométrico

1.- Tazados Geométricos BásicosTrazados Rectas Paralelas

Rectas paralelas. Las que no llegan nunca a cortarse, o secortan en el infinito.

Con Escuadra y Cartabón:

De otra Forma:

1.- Tazados Geométricos BásicosTrazados Recta Paralela por un Punto Exterior P

Con Escuadra y Cartabón:

1.- Tazados Geométricos BásicosTrazados Rectas Perpendiculares

Con Regla y Compas:

1.- Tazados Geométricos BásicosTrazados Rectas Perpendiculares

División de Segmentos en dos partes iguales: Dado un segmentoAB, para dividirlo en dos partes iguales hay que realizar su mediatriz. Serealiza de la siguiente manera.

1.- Tazados Geométricos BásicosTrazados Perpendicular a un segmento por el Punto Medio

1.- Tazados Geométricos BásicosTrazados Perpendicular a un segmento en un Extremo

1.- Con centro en A y con un radio cualquiera se traza un arco que corteal segmento AB en el punto C. Con el mismo arco y con centro en C se traza otroarco que corta al anterior en D. Con el mismo radio y centro en D se traza otroarco que corte al anterior en E.

2.- Con centro en D y E manteniendo el mismo radio se trazan dosarcos que determinan el punto F , si unimos F y A esa es la perpendicular.

1.- Tazados Geométricos BásicosTrazados de Ángulos - Construir un Ángulo igual a otro

Cogiendo un compás, pinchamos sobre el vértice A y abrimos elcompás con una medida cualquiera. Trazamos un arco que corte los doslados del ángulo. Obtenemos los puntos 1 y 2.

Con la misma abertura del compás utilizada para la operación anterior, setraza otro arco en el punto A’. El arco trazado corta a la recta r en elpunto 1′.

Utilizando el compás, pinchamos en 1 yabrimos el compás hasta 2.

Con esta medida del compás,vamos al punto 1′ y trazamos un arcosobre el arco que teníamos. Obtenemosel punto 2′.

Unimos el vértice A’ y el punto2′ y tendremos el ángulo transportado

1.- Tazados Geométricos BásicosTrazados de Ángulos – Suma de Ángulos

Deberemos trasladar los ángulos, uno a continuación del otro, partiendodel primero (ángulo A).Con una abertura cualquiera del compás, se traza un arco en los ángulosA, B y C. También, con la misma abertura, trazamos otro arco en el puntoO.

1.- Tazados Geométricos BásicosTrazados de Ángulos – Suma de Ángulos

Obtenemos unos puntos que me servirán de ayuda para larealización de la suma que nos piden.

Estos puntos son: en el A, tendremos 1 y 2; en el B, tendremos 3 y 4y en el C, tendremos 5 y 6.

Además, en la recta r y con el punto O, tendré el punto 1′. Se tomanlas medidas de cada uno de los ángulos.

Con el compas, cogemos la abertura que tiene el ángulo A.Pinchamos en 1 y abrimos el compás hasta 2. Con esta abertura del compás,vamos al punto 1′ y trazamos un arco. Obtenemos el punto 2′. Repetimos lospasos 5 y 6 para los ángulos B y C. Obtenemos los puntos 4′ y 6′.

Si unimos la recta r hasta el punto O, y este con 6′, tenemos elángulo suma A+B+C. Si unimos los puntos 2′, 4′ y 6′ con O tendremos losángulos originales A, B y C trasladados a este punto para hallar la suma.

1.- Tazados Geométricos BásicosTrazados de Ángulos – División de un Ángulo Recto en tres partes Iguales

1. Haciendo centro en el vértice del ángulo V, con un radio cualquiera determinamos el punto A sobre uno de los tramos rectos.2. Haciendo centro en A con el radio anterior, se traza un arco que corta al primer arco trazado en el punto B.3. La recta que une B y el vértice V dividen el ángulo recto en uno de 30° y un ángulo de 60°.

1.- Tazados Geométricos BásicosTrazados de Ángulos – División de un Ángulo en tres partes Iguales

4. Solo queda trazar la bisectriz del ángulo creado de 60°, que está comprendido entre las rectas que pasan por BV y VA.

5. El punto obtenido C, unido al V, define una recta que divide el ángulo de 60° en dos de 30°, y por lo tanto hemos dividido el ángulo recto en tres ángulos iguales.

1.- Tazados Geométricos BásicosTrazados de Ángulos – División de un Ángulo en dos partes Iguales

Dado el ángulo BAC, con centro en A trazamos un arco que corta al ángulo en 1 y 2 luego con centro en 1 y un radio 1-2 dibujamos un arco; luego en 2 y un radio 2-1 levantamos otro arco que corta al anterior en 3, unimos A con 3 y encontramos la bisectriz.

1.- Tazados Geométricos BásicosTrazados de Ángulos – División de un Ángulo en dos partes Iguales con el

Vértice fuera del Dibujo

a

b


1.- Se traza una recta cualquieraque corte a los dos lados delángulo y se forman 4 ángulosinternos.

2.- Se trazan las bisectricesde los ángulos internosformados.Las dos bisectrices se cortanen dos puntos.

a

b

a

b

a

b

a

b


3.- Se unen los dos puntos y tenemos la bisectriz del ángulo cuyo vértice queda fuera de los límites del dibujo.

a

b

a

b

2.- Construcción de Polígonos Regulares conocido el lado

Construcción de un Triángulo Equilátero

1.- Se toma la medida dellado con el compás y se dibuja elsegmento AB con dicha medida.

2.- Desde los extremos delsegmento y con la misma medidaanterior se traza con el compas dosarcos que se cortan en el punto C.

3.- Al unir A,B y C se obtieneel triángulo equilátero.


Construcción de un Cuadrado

1.- Se toma la medida dellado con el compás y se dibuja elsegmento AB con dicha medida.

2.- A partir de A se traza laperpendicular a AB, y sobre esta selleva la medida del lado, obteniendoel punto D.

3.- Con centros en B y D setrazan arcos con la medida del ladoque se interceptan en C.

4.- Al unir A,B,C y D seobtiene el cuadrado.


Construcción de un Pentágono

1.- Se toma la medida del ladocon el compás y se dibuja el segmentoAB, por el extremo B se levanta unaperpendicular de la misma medida.

2.- Se traza la mediatriz de ABy desde M, se dibuja un arco con radioMS hasta corta con la prolongación delsegmento AB en el punto T.

3.- La longitud AT es ladiagonal del pentágono por lo que laintersección de los arcos trazados concentros A y B y radios AT y AB da losvértices C,D y E.


Construcción de un Hexágono

1.- Se toma la medida del ladocon el compás y se dibuja el segmentoAB, y con esta medida se trazan dosarcos desde sus extremos que secortan en O.

2.- Con centro en O y radio OBse dibuja una circunferencia. Lasprolongaciones de los lados AO y BOcortan a la misma en D y E.

3.- Con centros en A y B y conla medida del lado se trazan dos arcoshasta que corten a la circunferencia enlos vértices que faltan, C y F, delhexágono.


Construcción de un Heptágono

1.- Se dibuja el segmento AB conla medida del lado a.

2.- Por el extremo A se traza unángulo de 30º y por el extremo B setraza una perpendicular que cortara alángulo en N.

3.- Se dibuja la mediatriz AB ycon centro en A y radio AN se traza unarco hasta que corte con la mediatriz enO.

4.- Se dibuja circunferencia concentro en O y radio OB, y a partir de B ycon radio AB, se trazan los arcosconsecutivos que determinan losrestantes vértices.

2.- Construcción de Polígonos Regulares conocido el ladoConstrucción de un Octógono

1.- Se dibuja el segmento AB conla medida del lado a y se dibuja sumediatriz que corta la lado en M.

2.- Con centro en M y radio MAse traza un arco que corta a la mediatrizen N y con centro en N y radio NA setraza otro arco que corta a la mediatrizen O.

3.- Se dibuja la circunferencia decentro O y radio OB, y a parir de B y conradio AB, se trazan arcos consecutivosque determinan los restantes vértices.


Método General para la Construcción de un Polígono regular conocido el lado

1.- Se construye el hexágonoregular de lado AB, y se dibuja lamediatriz de AB. Aplicando el teoremade Tales, se divide el radio OT en seispartes iguales, se toma la medida de ladivisión y se traslada sobre la mediatriztantas veces como lados tenga elpolígono.

2.- Cada punto es el centro de lacircunferencia circunscrita de lospolígonos de 7,8,9… lados. Sobre lacircunferencia trazada, se lleva lamedida del lado el númerocorrespondiente de veces.

3.- Construcción de Polígonos Regulares conocido el radio de la Circunferencia Circunscrita

Construcción de un Triangulo Equilátero

1.- Se dibuja la circunferenciacon el radio dado, y se traza un diámetroAB cualquiera de la misma.

2.- Desde B con radio igual aldado, se traza un arco, que cortara a lacircunferencia en los puntos M y N.

3.- Uniendo los puntos A,M y Nse obtiene el triángulo equilátero.


Construcción de un Cuadrado

1.- Se dibuja la circunferenciacon el radio dado.

2.- Se trazan dos diámetroscualesquiera perpendiculares AC y BD.

3.- Al unir en orden los puntosA,B,C y D se obtiene el cuadrado inscritoen la circunferencia.


Construcción de un Pentágono

1.- Se dibuja la circunferenciacon el radio dado y se trazan dosdiámetros cualesquiera perpendicularesAB y CD.

2.- Se traza la mediatriz de OD yse obtiene el punto medio M. con centroen M y radio MA se traza el arco AS. Elsegmento AS es la longitud del lado delPentágono.

3.- Se trazan las medidas AS,arcos consecutivos desde A en lacircunferencia para obtener losrestantes vértices


Construcción de un Hexágono

1.- Se dibuja la circunferenciacon el radio dado y se traza un diámetroAB.

2.- Como el radio de lacircunferencia coincide con la medida dellado del hexágono regular, se trazanarcos desde los extremos A y B, con lamedida del radio que corten a lacircunferencia para obtener losrestantes vértices.


Construcción de un Heptágono

1.- Se dibuja la circunferenciacon el radio dado y se traza un diámetroAB.

2.- Con centro en B y radio el dela circunferencia se traza un arco quecorta a la misma en R y S.

3.- El segmento RM determina ellado del heptágono, por lo que, con estamedida se trazan arcos consecutivosdesde R para obtener los vértices


Construcción de un Octógono

1.- Se dibuja la circunferenciacon el radio dado y se trazan dosdiámetros perpendiculares AB y CD.

2.- Se dibuja el cuadrado inscritoen la circunferencia, y las mediatrices desus lados.

3.- Estas mediatrices cortan a lacircunferencia en los cuatros vérticesrestantes del octógono.


1.- Se dibuja la circunferencia con elradio r y se traza un diámetro AT. Desde Ay T se trazan, con la medida AT, dos arcosque se cortan en S. Aplicando el teorema detales, se divide el diámetro AT en tantaspartes como numero de lados tenga elpolígono a construir.

2.- Se une el punto S con la segundadivisión y se prolonga hasta cortar a lacircunferencia en B. El segmento AB es lamedida del lado del polígono buscado;trazando arcos consecutivos desde A seobtienen los vértices del polígono, en estecaso un octógono

Método General para la Construcción de un Polígono regular conocido el radio

4.- Polígonos Estrellados y Espirales

Los Polígonos Estrellados se obtienen al unir de forma alterna losvértices de los polígonos regulares de circunscrito en lacircunferencia.Método General para la Construcción de un Polígono regularconocido el radio

Pentágono Estrellado Octógono Estrellado : uniendo vérticesalternos de dos en dos o de tres en tres


La Espiral es una línea curva que crece de manera ordenada entorno a un núcleo central.

Construcción Espiral de dos centros

Se traza una recta y sobreella los puntos 1 y 2 . Con centro en 1y radio 12 se traza el primer arco 2A.Con centro en 2 y radio 2A se dibujael segundo arco AB. Con centro en Ay radio AB se traza el siguiente arcoy así sucesivamente.


La Espiral es una línea curva que crece de manera ordenada entorno a un núcleo central.

Construcción Espiral de tres centros

Se construye un trianguloequilátero y se prolongan sus lados.Con centro en 1 y radio 13 se dibujael aro 3A. Con centro en 2 y radio 2Ase traza el arco AB. Con centro en 3y radio 3B se construye el arco BC yasí sucesivamente.

5.- Óvalos y Ovoides

Se llama óvalo a la curva plana cerrada formada por arcos decircunferencia con dos ejes de simetría. Para construir un óvalo conocido eleje de simetría mayor se siguen los siguientes pasos:

1.-Se traza el eje mayor AB yse divide en tres partes iguales. Concentros en E y F y radio EF sedibujan dos circunferencias que secortan en P y Q.

2.-Se unen P y Q con E y F, yse prolongan las líneas hasta cortar alas circunferencias en S,T,U y V. concentros en P y Q y radios eldiámetros de las circunferencias, setrazan los arcos TU y SV que cierranel ovalo

5.- Óvalos y Ovoides

Se llama ovoide a la curva plana cerrada formada por arcos decircunferencia con un eje de simetría. Para construir un ovoide conocido eleje menor se siguen los siguientes pasos:

1.-Se traza el eje menor AB yse traza la mediatriz. Con centro enO y radio OA se traza unacircunferencia que corta la mediatrizen T y S.

2.-Se trazan las rectas BS yAS y se prolongan. Con centros A y By radio AB se trazan dos arcos quecortan a las rectas anteriores en C yD. con centro en S y radio SC setraza el arco CD que cierra el ovoide.

6.- Tangencias

Decimos que dos elementos geométricos son tangentes cuandotienen un punto en común. Las tangencias son trazados que unos líneas,curvas o rectas, de manera que parezcan una línea continua.

Para empezar tenemos que tener en cuenta dos propiedades de lastangencias:

1.- El punto de tangencia de dos circunferencias estasituado en la recta que une sus centros.

2.- La recta tangente a una circunferencia es perpendicularal radio que toca el punto de tangencia.

6.- Tangencias

Construcción de una Recta Tangente a una Circunferencia por un punto P

1.- Se dibuja el radio de lacircunferencia OP.

2.- Se traza la perpendicular alradio por el punto P por cualquierade los métodos visto conanterioridad.

6.- Tangencias

Construcción de dos rectas Tangentes a una Circunferencia desde el punto P

1.- Se dibuja el segmento OP y se letraza la mediatriz, obteniendo elpunto M.

2.- Se traza la circunferencia concentro en M y con radio MP quecorta a la primera en S y en T, alunir P con S y P con T se obtienenlas dos tangentes buscadas.

6.- TangenciasConstrucción de tangentes Interiores comunes a dos Circunferencias

1.- Se dibuja el segmento que une loscentros O y O’ y se le traza la mediatriz,obteniendo el punto M.

2.- Con centro en M y radio OM se dibujala circunferencia, y a continuación un arcode centro O’ y de radio la suma de losradios dados. Las interseccionesdeterminan los puntos P y S.

3.- Unimos los puntos P y S con O’, quedandeterminado los puntos de tangencias T yV.

4.- Se trazan por O las paralelas a O’S yO’P, y se obtienen los puntos Z y U , queunidos con T y V son las tangentes

6.- TangenciasConstrucción de una circunferencia de radio conocido tangente a dos rectas

concurrentes

1.- Dadas las rectas concurrentes S y Tse dibuja la bisectriz del ángulo queforman y se traza la paralela U a una delas rectas a la distancia del radio dado r.

2.- La intersección de esta paralela U conla bisectriz determina el punto O, centrode la circunferencia pedida.

3.- Con centro en O y radio dado r setraza la circunferencia pedida.

6.- TangenciasEnlace de Arcos de Circunferencia sobre una Línea Poligonal

1.- Se dibuja la mediatriz AB, en un punto cualquiera de la misma se sitúa elpunto O centro del primer arco AB.

2.- Se une B con O que corta a la mediatriz del siguiente segmento BC enO1.

3.- Con centro en O1 y radio O1B se traza el siguiente arco BC.

4.- Este proceso se repite hasta completar la línea poligonal

7.- Curvas Cónicas

Elipse

La Elipse es una curva cerrada, plana y simétrica, formada por unconjunto de puntos cuya suma de distancia de cada punto a otros dos puntosfijos F y F’, llamados focos, es constante e igual a la medida del eje desimetría mayor.

7.- Curvas CónicasElipse

Para la construcción de la elipse se parte de la medida del ejemayor, AB, y del eje menor CD, que son perpendiculares entre si y se cortanen O.

1.- Se trazan el eje mayor AB y el ejemenor CD, perpendiculares entre si. Concentro en C y radio OB se dibuja un arco quecorte al eje AB en los focos F y F’. Se sitúa elpunto arbitrario 1 entre F y O. Con centros enF y F’ y radio 1A, se trazan arcos a los doslados del eje AB

2.- Con centros en F y F’ y radio B1, setrazan arcos que corten a los anteriores enN,P,N’ y P’. Para obtener más puntos de laelipse, se elige otro punto 2 entre F y O y sehace lo mismo. Uniendo los puntos obtenemosla elipse

7.- Curvas CónicasParábola

La Parábola es una curva abierta , plana y simétrica y cuyos puntosequidistan de una recta fija d, llamada directriz y de un punto F , llamadofoco. Tiene un vértice y un eje de simetría OX que pasa por V y por el foco,y es perpendicular a la directriz

1.- Se traza la directriz d y el eje desimetría OX, perpendiculares entre si. Sesitúa el foco F y el vértice V, que es el puntomedio de OF. A partir de F se marcan puntosarbitrarios 1,2,3.., por los que se trazanperpendiculares a OX.

2.- Con centro en F y radiosOF,O1,O2.., se trazan arcos que corten a lasperpendiculares en A,A’,B,B’,C,C’. Uniendo lospuntos tendremos la Parábola.

7.- Curvas Cónicas

Hipérbola

La Hipérbola es una curva doble, abierta , plana y simétrica y cuyadiferencia de distancia a dos puntos fijos F y F’ llamados focos es

7.- Curvas CónicasHipérbola

Para la construcción de la Hipérbola se parte de la medida del ejereal AA’ y del eje imaginario BB’

1.- Se trazan el eje real AA’ y elimaginario BB’, perpendiculares entre si. Concentro en O y radio AB se determinan losfocos F y F’. Se marcan puntos arbitrarios 1,2… , sobre el eje real

2.- Con centros en F y F’ se trazanarcos con radios A1 y A’1 que se corten en lospuntos S,P,S’,P’. Se repite el proceso con losrestantes puntos 2,3..,al unir todos los puntosse obtiene la hipérbola.

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