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FUNDAMENTOS

DE

HIDROLOGIA APLICADA

Ludwig Stowhas

UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA

DEPARTAMENTO DE OBRAS CIVILES



FUNDAMENTOSDE

HIDROLOGIA APLICADA

Ludwig Stowhas B.

Editado por:

Alvaro Ossandon A.

Raul Flores A.

Documento borrador preliminar, uso reservado alumnos Hidrologıa CIV-243



CONTENIDO

INDICE DE FIGURAS XIII

INDICE DE TABLAS XVI

1. INTRODUCCION 1

1.1. Definicion y Alcance de la Hidrologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Hidrologıa e Ingenierıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3. Disponibilidad del Recurso Agua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4. El Ciclo Hidrologico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5. Ecuacion General de Balance Hidrologico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2. ELEMENTOS DE CLIMATOLOGIA Y METEOROLOGIA 9

2.1. Radiacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.1. Leyes de Radiacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.2. Medicion de la Radiacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.3. Radiacion de Onda Corta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.4. Balance de Radiacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2. Temperatura y Estratificacion Termica de la Atmosfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.1. Distribucion de Tem peraturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.2. Medicion de Temperaturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3. Humedad Atmosferica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.1. Leyes Ba s i c a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.2. Ley de Clausius - Clapeyron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.3. Variables para Cuantificar la Humedad Atmosferica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.4. Medicion de la Humedad Atmosferica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

iii



2.4. Elementos de Estatica y Termodinamica Atmosferica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4.1. Hidrostatica de la Atmosfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4.2. Atmosfera Isotermica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4.3. Atmosfera de Gradiente Termico Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4.4. Gradiente Adiabatico Seco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4.5. Gradiente Adiabatico Humedo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4.6. Estabilidad Atmosferica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.5. Altura de Agua Precipitable de la Atmosfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.6. Procesos de Intercambio de Energıa y Masa en la Atmo s f e r a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.6.1. Procesos de Intercambio Turbulento de Calor y Masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.6.2. Transporte Latitudinal de Energıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.6.2.1. Vientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.6.3. Circulacion General de la Atmosfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.6.3.1. Corrientes Marinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.6.4. El Fenomeno ENOS, El Nino - Oscilacion del Sur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3. EVAPORACION Y EVAPOTRANSPIRACION 55

3.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.2. Factores que Afectan la Evaporacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.2.1. Poder Evaporante de la Atmosfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.2.2. Caracterısticas de la Superficie Evaporante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.2.3. Disponibilidad de Agua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.3. Evaporacion de Suelos y Transpiracion Vegetal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.4. Medicion de la Evaporacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.4.0.1. Evaporımetros de Estanque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.4.1. Evaporımetro de Papel Poroso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.4.2. Evaporımetro de Porcelana Porosa o Atmometro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.5. Estimacion de la Evaporacion y Evapotranspiracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.5.1. Formula de Thornthwaite-Holzman o Metodo Aerodina m i c o . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.5.2. Metodo del Balance de Energıa o Formula de Bowen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65



3.5.3. Form ul as Com bi nadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.5.3.1. Form ul a de Mc I l roy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.5.3.2. Formula de Penman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.5.4. Formulas Basadas en la Ley de Dalton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.5.4.1. Formula del Lago Hefner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.5.4.2. Formula de los Servicios Hidrologicos de la ex URSS . . . . . . . . . . . . . . 69

3.5.4.3. Fo r m u l a d e M e y e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.5.5. Formulas Climatologicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.5.5.1. Fo r m u l a d e T u r c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.5.5.2. Metodo de Thornthwaite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.6. Evaporacio n d e s d e S a l a r e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.7. Evaporacion desde Superficies de Hielo o Nieve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.8. Reduccion de la Evaporacion desde Superficies Lıquidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4. PRECIPITACION 75

4.1. Mecanismos de Condensacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.1.1. Precipitaciones Convectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.1.2. Precipitaciones Ciclonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.1.3. Precipitaciones Orograficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.2. Mecanismos de Formacion de Gotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.2.1. Coalescencia Directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.2.2. Nucleos de Condensacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.3. Formas de Precipitacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.4. Lluvias Artificiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.5. Medicion de la Precipitacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.5.1. Pluviometro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.5.2. Pluviografos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.5.2.1. Pluviografo de Bascula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.5.2.2. Pluviografo Gravimetrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.5.2.3. Pluviografo de Sifon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83



4.5.3. Medicion de Precipitacion Nival . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.5.4. Observaciones Satelitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.6. Procesamiento de Datos Pluviometricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.6.1. Relleno de Estadısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.6.2. Homogeneidad de Estadısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.6.2.1. Ampliacion de Estadısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.7. Precipitacion Media Real o en el Espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.7.1. Promedio Aritmetico Simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.7.2. Polıgonos de Thiessen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.7.3. Metodo de las Isoyetas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.8. Intensidades de Precipitacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.8.1. Curva Intensidad – Duracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.8.2. Precipitaciones Maximas en 24 Horas y Precipitaciones Maximas Diarias . . . . . . . 98

4.8.3. Precipitaciones Maximas en 1, 2 y 3 Dıas Consecutivos . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5. ANALISIS DE FRECUENCIA EN HIDROLOGIA 101

5.1. Tratamiento de Datos Hidrologicos para el Analisis de Frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.1.1. Seleccion de Datos Hidrologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.1.1.1. Serie de Duracion Completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.1.1.2. Serie de Duracion Parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.1.1.3. Serie de Valores Extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.1.2. Funcion de Densidad de Frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.1.3. Perıodo de Retorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.2. Analisis de Frecuencia Analıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.2.1. Funciones de Densidad de Frecuencia Utilizadas Comunmente en Hidrologıa . . . . . . 111

5.2.1.1. Distribucion Normal o Distribucion de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.2.1.2. Distribucion Logarıtmico Normal o Log-normal . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.2.1.3. Distribuciones de Valores Extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.2.1.3.1. Distribucion de Valores Extremos Tipo I o Distribucion Gumbel . 116

5.2.1.3.2. Distribucion de Valores Extremos Tipo III o Distribucion Weibull . 120



5.2.1.4. Distribucion Gamma de Dos Parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.2.1.5. Curvas de Pearson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

5.2.1.6. Distribucion de Pearson Ti po III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

5.2.1.7. Distribucion Log – Pearson Tipo III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.2.1.8. Distribuciones de Frecuencia Generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5.2.2. Uso de Intervalos de Confianza en Analisis de Frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5.2.3. Seleccion de Modelos Probabilısticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5.2.3.1. Test o Prueba χ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

5.2.3.2. Test o Prueba de Kolmogorov – Smirnov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.3. Analisis de Frecuencia Directo o Grafico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

5.4. Coeficientes de Frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

5.5. Seleccion del Perıodo de Retorno de Diseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

5.5.1. Distribucion Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

5.5.2. Distribucion de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

5.5.3. Estadısticas con Valores Nulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

5.6. Presentacion Estadıstica de Variables Hidrologicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

5.6.1. Curvas Intensidad-Duracion-Frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

5.6.2. Curvas de Variacion Estacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

5.6.3. Curvas de Duracion General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

6. PRECIPITACION MAXIMA

PROBABLE 157

6.1. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

6.2. Influencia del Tipo de Precipitacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

6.3. Factores Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

6.4. Metodo Hidrometeorologico de Estimacion de la Precipitacion Maxima Probable . . . . . . . 159

6.4.1. Maximizacion de la Humedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

6.4.2. Maximizacion del Viento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

6.4.3. Maximizacion de Tormentas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

6.4.4. Estimacion de la PMP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163



6.4.5. Curvas Precipitacion-Duracion-Area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

6.4.6. Precipitacion Maxima Probable Vıa Metodo Estadıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

7. ESCORRENTIA 167

7.1. Fluviometrıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

7.1.1. Tecnicas de Medicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

7.1.1.1. Flotadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

7.1.1.2. Trazadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

7.1.1.3. Molinetes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

7.1.2. Perıodo de Validez de la Curva de Descarga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

7.1.3. Extension de Curvas de Descarga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

7.1.4. Homogeneidad de Estadısticas Fluviometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

7.1.5. Presentacion de Estadısticas Fluviometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

7.1.5.1. Curvas de Variacion Estacional de Caudales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

7.1.5.2. Curvas de Duracion General de Caudales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

7.1.6. Caudales Mınimos, Sequıas y Caudales Ecologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

8. ESTIMACION

DE LA ESCORRENTIA 181

8.1. Transposicion de Caudales Medios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

8.2. Transposicion de Caudales de Crecida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

8.3. Uso de Correlaciones Estadısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

8.3.1. Regresion Lineal Simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

8.3.2. Regresiones No Lineales o Multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

8.4. Pronosticos o Prediccion de Caudales Estacionales Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

8.4.1. Pronostico de Volumenes Estacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

8.4.2. Distribucion Estacional del Volumen de Deshielo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

8.5. Relleno y Extension de Estadısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

8.5.0.1. Extension o Relleno de Datos Individuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

8.5.0.2. Extension de Curvas de Duracion General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

8.5.1. Relaciones Precipitacion-Escorrentıa Volumetricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192



8.5.1.1. Deficit de Escorrentıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

8.5.1.2. Formulas Empıricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

8.5.1.3. Metodo del Balance de Thornthwaite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

9. ESTUDIO Y ESTIMACION DE CRECIDAS 199

9.1. Estimacion de la Infiltracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

9.1.1. Ecuacion de Horton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

9.1.2. Ecuacion de Philip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

9.1.3. Ecuacion de Green-Ampt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

9.1.4. Tiempo de Encharcamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

9.1.5. Indices de Infiltracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

9.1.6. Metodo de la Curva Numero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

9.1.7. Condiciones Antecedentes de Humedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

9.2. Estimacio n d e l F l u j o B a s e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

9.3. Hidrogramas Unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

9.3.1. Obtencion del Hidrograma Unitario a partir de Lluvias de Intensidad Constante . . . 213

9.3.2. Hidrogramas Unitarios para Otras Duraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

9.3.3. Hidrograma en S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

9.3.4. Estimacion de Hidrogramas Unitarios a partir de Tormentas de Intensidad Variable . 216

9.3.5. Hidrograma Unitario Instantaneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

9.3.6. Hidrograma Unitario de Nash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

9.3.7. Hidrogramas Unitarios Sinteticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

9.3.7.1. Hidrograma Unitario de Snyder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

9.3.7.2. Hidrogramas Unitarios Tipo Linsley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

9.3.8. Hidrogramas Unitarios sinteticos en Chile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

9.4. Formulas Empıricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

9.4.1. Formulas tipo Burkli-Ziegler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

9.4.2. Formula Racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

9.4.2.1. Estimacion del Coeficiente de escorrentıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

9.4.2.2. Estimacion del Tiempo de Concentracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230



9.4.3. Formula de Verni-King . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

9.4.4. Formulas DGA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

9.4.5. Hidrogramas de Crecidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

9.4.5.1. Hidrograma de Santa Barbara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

9.4.5.2. Hidrograma del SCS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

9.4.5.3. Formula de Milla n - S t o w h a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

9.4.6. Hietogramas de Tormentas de Diseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

9.4.6.1. Distribucion de Tormentas de Endesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

9.4.6.2. Metodo de los Bloques Alternantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240



INDICE DE FIGURAS

1.1. El Ciclo Hidrologico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Diagrama de flujo del Ciclo Hidrologico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1. Espectros de emision de un cuerpo negro. Fuente: Sellers (1965). . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2. Distribucion estacional de la radiacion de onda corta incidente en funcion de la latitud. Fuente:

Sellers (1965) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3. Balance anual promedio de radiacion solar de onda corta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4. Balance anual promedio de radiacion terrestre de onda onda larga. . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5. Estratificacion termica de la atmosfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.6. Diagrama presion de vapor - temperatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.7. Diagrama termodinamico atmosfera absolutamente estable (γ > Γs). . . . . . . . . . . . . . . 33

2.8. Diagrama termodinamico atmosfera estable seca o neutra saturada (γ = Γs). . . . . . . . . . 33

2.9. Diagrama termodinamico atmosfera condicionalmente inestable (Γd < γ < Γs). . . . . . . . . 34

2.10. Diagrama termodinamico atmosfera neutra seca o inestable saturada (γ = Γd). . . . . . . . . 34

2.11. Diagrama termodinamico atmosfera absolutamente inestable (γ < Γd). . . . . . . . . . . . . . 35

2.12. Ajuste de curvas a perfiles de temperatura medidos durante dıas de lloviznas, lluvias moderadas

y lluvias intensas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.13. Ajuste de curvas a perfiles de humedad relativa medidos durante dıas de lloviznas, lluvias

moderadas y lluvias intensas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.14. Ajuste de curvas a perfiles de velocidad del viento medidos durante dıas de lloviznas, lluvias

moderadas y lluvias intensas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.15. Circulacion General de la Atmosfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.1. El efecto del viento sobre la eficiencia del pluviometro o nivom etro. . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.2. El efecto del viento sobre la eficiencia del pluviometro o nivom etro. . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.3. Pluviograma de un pluviografo de sifon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

xi



4.4. Curva doble acumulada con tramos de pendientes (α) di sti ntas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.5. Curva doble acumulada con desplazamiento brusco debido a un error grosero de medicion. . . 89

4.6. Polıgonos de Thiessen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.7. Coeficientes de duracion inferiores a 1 hora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.8. Coeficientes de duracion para mas de 1 hora para tormentas altiplanicas (Convectivas). . . . 96

4.9. Coeficientes de duracion para mas de 1 hora para tormentas cicl onicas sin excesivo efecto

orografico (IV a X Regiones). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.1. Serie de excedencias anuales y de valores extremos anuales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.2. Incertidumbre en el valor de D para muestras de tamano fini to. . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

5.3. Curva de frecuencia acumulada distribucion normal centrada y reducida. . . . . . . . . . . . . 144

5.4. Papel normal de probabilidades.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

5.5. Papel Log-normal de probabilidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

5.6. Papel Gumbel-Powel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

5.7. Analisis grafico excel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

5.8. Curvas IDF para la serie de excedencias anuales de la estacion USM, Valparaıso. . . . . . . . 153

5.9. Curva de variacion estacional de los caudales medios mensuales . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

5.10. Curva de duracion general de caudales del Rıo Chopa en Puente Negro. . . . . . . . . . . . . 155

6.1. Diagrama pseudo adiabatico para reducir temperaturas de punto de rocıo . . . . . . . . . . . 162

7.1. Ciclo Escorrentıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

7.2. Curva de variacion estacional de caudales Estacion Aconcagua en Desembocadura. . . . . . . 176

7.3. Curva de duracion general de caudales Estacion Rıo el Salto en Bocatoma (1978-2008). . . . 178

8.1. Distribucion caudal maxi m o de deshi el o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

8.2. Distribucion caudales de deshielo para el caso en que el caudal maximo ocurre en noviembre. 190

8.3. Curva duracion serie mayor longitud (Q1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

8.4. Curva de duracion serie menor longitud (Q2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

9.1. Variacion de CN en funcion de la precipitacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

9.2. Frecuencias relativas promedio por cuenca de las CAH de las precipitaciones diarias, estacion

inactiva (Mayo-Agosto). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207



9.3. Frecuencias relativas promedio por cuenca de las CAH de las precipitaciones diarias, estacion

crecimiento (Septiembre-Abril). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

9.4. Frecuencias relativas promedio por cuenca de las CAH de las precipitaciones maximas anuales

en 24 hrs., estacio n i n a c t i v a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209


en 24 hrs., estacion creci m i ento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

9.6. Separacion de hidrogramas de crecida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

9.7. Punto de separacion de escorrentıa directa y flujo base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

9.8. Fabricacion de Hidrograma Unitario promedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

9.9. Hidrograma en S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

9.10. Hietograma discretizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

9.11. Distribucion de Endesa centrada para tormentas de duraciones 12 [hr] ≤ t ≤ 72 [hr]. . . . . . 240

9.12. Obtencion de hietograma de diseno mediante el metodo de los bloques alternantes. . . . . . . 241



INDICE DE TABLAS

1.1. Disponibilidad de agua en la tierra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1. Balance hıdrico medio anual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2. Gradiente pseudo adiabatico humedo (Γs) [ºC/km]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3. Altura de agua precipitable [mm] entre la superficie 1000 [Hpa] y un nivel de presion “p” en

una atmosfera saturada pseudo adiabatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.4. Altura de agua precipitable [mm] entre la superficie 1000 [Hpa] y un nivel z[m] sobre esa

superficie en una atmosfera saturada pseudo adiabatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.5. Rugosidades superficiales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.6. Constantes para definir el perfil de viento correspondiente a diferentes tipos de dıas. . . . . . 48

3.1. Coeficientes de embalse de Evaporımetros de Bandeja Tipo A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.2. Evaporacion mensual de bandeja [mm]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.3. Valores de la funcion ∆∆+γ ( p = 1000 [Hpa]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.4. Coeficiente de horas de luz (d). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.5. Valores estimativos de sublimacion de nieves Lat. 33º Cota 2600 [m.s.n.m.]. . . . . . . . . . . 72

4.1. Precipitaciones Medias Mensuales [mm]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.2. Coeficientes de Duracion (C d) para valores menores a una hora, en base a la precipitaci on en

60 minutos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.3. Coeficientes de Duracion(C d) para valores menores a un dıa, en base a la precipitacion en 24

horas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.1. Equivalencia entre perıodos de retorno y probabilidades de excedencia. . . . . . . . . . . . . . 109

5.2. Distribucion normal centrada y reducida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.3. Rıo Maule en Armerillo, caudales maximos instantaneos anuales. . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.4. Medias y desviaciones estandar de la variable reducida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

xv



5.5. Factores de frecuencia para distribuciones Pearson Tipo III con asimetrıa positiva. . . . . . . 125

5.6. Factores de frecuencia para distribuciones Pearson Tipo III con asimetrıa negativa. . . . . . . 129

5.7. Factores de correccion f c(α) para estimacion de intervalos de confianza (β = 0.9). . . . . . . . 135

5.8. Resumen obtenidos en los ejemplos 5.2.1 a 5.2.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5.9. Valores de χ2ν,(1−α). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

5.10. Valores de Dν,α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

5.11. valores de la constante b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

8.1. Parametros Form ul a de Langbei n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

8.2. Tabulacion Ejemplo del Metodo del Balance de Thorntwaite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

9.1. Parametros de la ecuacio n d e H o r t o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

9.2. Curva Numero equivalente en funcion de la precipitacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

9.3. Condiciones antecedentes de humedad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

9.4. Frecuencias relativas promedio por cuenca de las CAH de las precipitaciones diarias. . . . . . 207


en 24 hrs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

9.6. Hidrograma Adimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

9.7. Coeficientes de Escorrentıa en Cuencas Rurales Pequenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

9.8. Coeficientes de Escorrentıa en funcion de tipo de area y tipo de calzada . . . . . . . . . . . . 228

9.9. Distribucion de Endesa centrada para tormentas de duraciones 12 [hr] ≤ t ≤ 72 [hr]. . . . . . 240

9.10. Obtencion de hietograma de diseno mediante el metodo de los bloques alternantes. . . . . . . 241



Capıtulo 1

INTRODUCCION

1.1. Definicion y Alcance de la Hidrologıa

La Hidrologıa puede definirse como la ciencia que tiene que ver con el origen, distribucion, circulacion y propie-

dades del agua en su estado natural y sus relaciones con el medio ambiente. Es considerada, en consecuencia,

como una Ciencia de la Tierra y parte de la Geografıa Fısica.

Sin embargo, considerando que de una u otra forma, el agua se presenta en manifestaciones m ultiples en

distintas partes del planeta, su estudio no es exclusivo de la hidrologıa, existiendo multiples interrelaciones

entre ella y otras Ciencias de la Tierra que le son afines, tales como la Meteorologıa, Geologıa, Oceanografıa,

Limnologıa y otras.

Por otra parte, si bien es cierto que la Hidrologıa puede ser estudiada y considerada como una ciencia pura,

de caracter mas bien descriptivo y cualitativo, no es menos cierto que existen importantes aplicaciones de ella

a otras disciplinas mas cuantitativas, tales como la Agronomıa, Ingenierıa en general e Ingenierıa Hidraulica

en particular, donde aparecen metodos y procedimientos aplicados especiales que configuran lo que algunos

autores han denominado Ingenierıa Hidrologica.

En este contexto, aparecen una serie de herramientas matematicas, metodos y procedimientos empleados en

Hidrologıa, que provienen de otras disciplinas, marcando su dependencia, entre otras, respecto a la Mecanica

y Fısica de Suelos, Mecanica de Fluidos e Hidraulica, Estadıstica Matematica, Analisis Matematico y Analisis

de Sistemas. Aun ası, muchos de los metodos y procedimientos de la hidrologıa le son en general propios y

solo aplicables a sus fines y objetivos.

De lo anteriormente expuesto se deduce que existe una amplia gama de enfoques y aproximaciones al

estudio de la Hidrologıa que van desde su vision como una disciplina eminentemente descriptiva hasta su

vision como una especialidad de la ingenierıa.

El presente texto esta orientado especialmente a las aplicaciones ingenieriles de la Hidrologıa.

1



2 Introduccion

1.2. Hidrologıa e Ingenierıa

Definiendo al Ingeniero como al profesional encargado de concebir, planificar, disenar, construir, operar y

mantener obras de infraestructura destinadas a aprovechar y a transformar los recursos naturales renovables o

no renovables en beneficio de la satisfaccion eficiente, segura, justa, economica y sustentable de las necesidades

humanas, resulta claro que la necesidad e interes del Ingeniero por la Hidrologıa se centra por una parte en

la conservacion y aprovechamiento optimo del agua como recurso natural, y por otra parte en la proteccion y

conservacion de las obras de infraestructura frente a la accion destructiva que los eventuales excesos de agua

provocan sobre ellas.

Es ası, por ejemplo, como los estudios y analisis hidrologicos en ingenierıa tratan de la determinacion de

la cantidad, calidad y distribucion en el tiempo y en el espacio de los recursos hıdricos de una cuenca o

region, de la magnitud y distribucion de los caudales de un determinado curso de agua, de la evaluacion

y aprovechamiento de recursos de agua subterranea, del establecimiento o determinacion de los caudales

maximos o de diseno para el dimensionamiento de obras de proteccion, del establecimiento o determinacion delos caudales mınimos o ecologicos que deben preservarse en un determinado cauce, del pronostico o prevision

de caudales a corto y mediano plazo, o de la determinaci on del impacto o efectos fısicos provocados sobre

el recurso por cambios climaticos o cambios en el uso de la tierra o del agua provocados por la intervencion

humana (Urbanizaciones, construccion de grandes embalses, deforestacion, etc.).

Los resultados de estos estudios resultan fundamentales para planificar la toma de decisiones en torno al

optimo aprovechamiento del recurso y le permiten al ingeniero abordar el diseno y dimensionamiento de las

obras civiles afectadas por el agua con la seguridad requerida, asegurando la preservacion del ambiente y

estableciendo las mejores condiciones de construccion, operacion y explotacion de las obras.

1.3. Disponibilidad del Recurso Agua

El agua, siendo uno de los elementos naturales m as abundantes de la Tierra, se encuentra principalmente

depositada en forma de agua salada en los oceanos y en forma de hielo o nieve en los inhospitos casquetes

polares.

Como se desprende de las cifras de la Tabla 1.1, de una disponibilidad total estimada cercana a los 1,386

millones de kilometros cubicos de agua en el planeta Tierra, menos de un 0.8 % de este volumen ocurre en

los continentes habitados por el hombre. De este porcentaje, gran parte se encuentra en forma subterranea

o glaciares continentales, resultando que solo 122,000 Km3 o un 0.009% del volumen total queda disponiblecomo aguas dulces superficiales de utilizacion relativamente inmediata.

Resulta innecesario, por otra parte, destacar cuan vital es el agua para la existencia de vida en la Tierra

y para el desarrollo social y economico de los pueblos. El vertiginoso incremento de la poblacion y las

modalidades de la vida moderna han provocado una creciente demanda de recursos hidr aulicos que han, no

solo desencadenado una intensa competencia entre los diversos sectores de consumidores, sino que adem as

ha provocado serios y crecientes problemas de contaminacion y calidad de las aguas, agravando aun mas el



Introduccion 3

problema de desabastecimiento.

Tabla 1.1: Disponibilidad de agua en la tierra.

Distribucion del agua en la Tierra

Situacion del agua Volumen en Km PorcentajeAgua dulce Agua salada Agua dulce Agua total

Oceanos y mares - 1,338,000,000 - 96.5

Casquetes y glaciares polares 24,064,000 - 68.7 1.74

Atmosfera 12,900 - 0.04 0.001

Agua subterranea salada - 12,870,000 - 0.94

Lagos de agua salada - 85,400 - 0.006

Aguas Continentales

Agua subterranea dulce 10,530,000 - 30.1 0.76

Glaciares continentales y Permafrost 300,000 - 0.86 0.022

Lagos de agua dulce 91,000 - 0.26 0.007Humedad del suelo 16,500 - 0.05 0.001

Embalses 11,470 - 0.03 0.0008

Rıos 2,120 - 0.006 0.0002

Agua biologica 1,120 - 0.003 0.0001

Total aguas continentales 10,952,210 31.27 0.79

Total agua dulce 35,029,110 100 2.53

Total agua en la tierra 1,386,000,000 - 100

Fuente: UNESCO (2003), World Water Balance and Water Resources of the Earth.

Ademas, la distribucion y ocurrencia natural de las aguas continentales es extraordinariamente variable

tanto en el tiempo como en el espacio. Esto origina la paradojal situacion de la existencia de regiones donde

el principal factor limitante al desarrollo es la poca disponibilidad o deficit de agua, mientras en regiones no

muy lejanas y aun en las mismas regiones pero en distintas temporadas, el principal problema sea el control

o eliminacion parcial o total de los efectos nocivos o catastroficos provocados por los excesos de agua.

Esta situacion ha llevado a la necesidad de desarrollar programas y proyectos regionales para el control y

aprovechamiento integral de los recursos hıdricos, como a mejorar la tecnologıa y metodos necesarios para

la concepcion, planificacion, diseno y construccion de las obras o sistemas hidraulicos que dichos programas

requieren.

La hidrologıa, como se ha mencionado anteriormente, proporciona elementos de decision y diseno que

contribuyen en forma importante al buen comportamiento de los desarrollos abordados.



4 Introduccion

1.4. El Ciclo Hidrologico

El ciclo hidrologico es un concepto mas bien academico que corresponde a un modelo o idealizacion del movi-

miento de circulacion del agua dentro del planeta Tierra, e incluye por lo tanto el movimiento y distribuci on

del agua dentro de la litosfera (continentes), hidrosfera (oceanos y mares) y atmosfera, al igual que los proce-sos de transferencia del agua entre estos elementos a traves de los mecanismos de evaporacion, precipitacion

y escorrentıa.

Aun cuando el ciclo hidrologico es globalmente un proceso continuo, contiene variables de ocurrencia

aleatoria, que configuran elementos discretos al considerar extensiones, territorios o intervalos de tiempo de

analisis a escalas reducidas. Por ejemplo, dentro de una cuenca hidrografica especıfica, la precipitacion a

una escala diaria aparece como un elemento discreto de ocurrencia aleatoria, mientras la evaporacion y la

escorrentıa se presentan como procesos continuos, aun cuando variables e impermanentes en el tiempo. Es

decir, un fenomeno que constituye una funcion o proceso continuo desde un punto de vista global, aparece con

una distribucion discreta desde el punto de vista local. Esta situacion es un hecho importante y conveniente,

ya que facilita el analisis estadıstico de los estudios hidrologicos de caracter local, en que las variables deben

ser necesariamente discretizadas.

En primer lugar, se hace referencia a la Figura 1.1 que describe en forma pictorica los diferentes elementos

que constituyen el ciclo hidrologico, distinguiendose tanto elementos de almacenamiento como de transferencia

o transporte de agua.

Ası, se observa como el agua depositada en el principal elemento de almacenamiento, el cual son los oceanos

y mares, es transferida mediante procesos de evaporacion a la atmosfera donde se almacena en forma de vapor

de agua. Este vapor puede condensar e incorporarse a la superficie terrestre a traves de procesos de precipi-

tacion pluvial o nival, cayendo sobre oceanos, lagos, montanas y valles. Parte de la precipitacion caıda sobre

la superficie terrestre puede escurrir sobre ella, incorporandose a redes de drenaje natural que la retornarannuevamente al mar. Otra parte puede quedar temporalmente almacenada en depresiones, lagos o en forma de

hielo o nieve, o puede infiltrarse quedando retenida en la zona de raıces de las plantas o percolar profunda-

mente hasta alcanzar las napas subterraneas, o escurrir a traves de grietas en los estratos profundos de roca.

El agua superficialmente almacenada o retenida en el suelo, retornar a a la atmosfera a traves de procesos

de evaporacion, sublimacion de hielo o transpiracion de las plantas, o infiltrara y percolara profundamente,

escurriendo en forma subterranea hasta aflorar en rıos o lagos, o descargara subterraneamente al mar.

Puede observarse a su vez, la interaccion o traspaso de agua entre diferentes elementos superficiales y sub-

terraneos del ciclo, y la existencia de distintas alternativas de circulaci on o subciclos, como agua precipitada

directamente sobre los oceanos o precipitacion evaporada durante su caıda, antes de alcanzar la superficie de

la Tierra.

La representacion grafica del ciclo hidrologico permite efectuar una especie de inventario de los fen omenos

que forman parte del ciclo, pero no permite establecer las relaciones funcionales entre los distintos elemen-

tos componentes que determinan la trayectoria del agua a traves de los distintos subciclos o cortacircuitos

existentes en su camino de retorno a la atmosfera o al mar.

Finalmente la imagen de la Figura 1.1 no permite considerar la variable tiempo, que introduce algunas



Introduccion 5

Figura 1.1: El Ciclo Hidrologico.

complicaciones, como en el caso del agua temporalmente almacenada en forma de nieve o hielo, ni permite

considerar procesos mas complejos como la existencia de perıodos humedos o de crecidas, o perıodos secos o

sequıas.

Para lograr parte de estos objetivos, levantando algunas de las limitaciones, se puede recurrir a otras formas

de idealizacion del ciclo hidrologico, en las que se abandona la forma pictorica. Estas se basan en diagramas

de flujo del ciclo hidrologico en los que es posible distinguir claramente entre elementos de almacenamiento

y de traslacion del agua, estableciendo relaciones conceptuales entre los diferentes componentes, permitiendo

resolver determinados problemas aplicando procedimientos apropiados de analisis.

La Figura 1.2 muestra uno de estos diagramas de flujo describiendo los diversos fenomenos que intervienen

en el ciclo hidrologico y las interconexiones entre los distintos procesos.

Mediante una l ınea de trazos se ha delimitado en la Figura 1.2, los procesos correspondientes al ciclo de

escorrentıa, materia de estudio de la Hidrologıa.

La definicion del ciclo de escorrentıa determina como unidad fısica territorial fundamental en hidrologıa, a

la cuenca u hoya hidrografica, que queda definida al seleccionar un punto o secci on de salida en el cauce de

un rıo u otro curso de agua, por todo el territorio adyacente cuyas aguas fluyen o drenan hacia dicho punto.

La lınea perimetral que encierra y delimita la superficie de la cuenca, se denomina la lınea divisoria de

aguas.

Cabe agregar aquı, la ventaja de utilizar la cuenca hidrografica no solo como unidad territorial hidrologica,

sino tambien como unidad polıtica y administrativa, lo que elimina, o al menos disminuye, las disputas y

conflictos territoriales y de uso del agua, facilitando el manejo y administracion racional del recurso.



6 Introduccion

Figura 1.2: Diagrama de flujo del Ciclo Hidrologico.

1.5. Ecuacion General de Balance Hidrologico

Asociado a la cuantificacion de los conceptos de ciclo hidrologico y ciclo de escorrentıa surge otro concepto

basico en hidrologıa, cual es el concepto de conservacion de la masa o su equivalente en mecanica de fluidos,

la ecuacion de continuidad.

Expresada en su forma mas basica y general, la ecuacion de continuidad puede representarse por la relacion,

I − Q = ∂V

∂t (1.1)

donde I y Q son los flujos de entrada y salida a un determinado volumen de control y V es el almacenamiento

al interior de dicho volumen.

La ecuacion (1.1) expresada en su forma integral y aplicada a una cuenca hidrografica como “volumen de

control”, se conoce con el nombre de ecuacion de balance de masas o ecuacion general de balance hidrologico.



Introduccion 7

Para un intervalo de tiempo ∂t comprendido entre dos instantes t1 y t2, el balance de masas en una cuenca

se representa por la siguiente ecuacion:

P + Qa − R − E − T − Qe = ∂V sup + ∂V sub + ∂V h + ∂H (1.2)

donde P es la precipitacion total ocurrida en el perıodo t2 − t1 sobre la cuenca, Qa es el volumen de agua

afluente a la cuenca como caudales superficiales o subterraneos, R es la precipitacion retenida por la vegeta-

cion, E es la evaporacion desde superficies de suelo humedo o desde espejos de agua, T es la transpiracion

vegetal ocurrida en el perıodo, Qe es la escorrentıa total efluente en la seccion de salida de la cuenca, y los

valores ∂V sup, ∂V sub, ∂V h y ∂H corresponden a la variacion del volumen de agua almacenado en la cuenca

en depresiones superficiales, lagos y embalses, en forma de agua subterranea, en forma de hielos, glaciares o

nieve estacional, y en forma de humedad contenida en los suelos, respectivamente.

Salvo en cuencas intervenidas por el hombre, el termino Qa es normalmente nulo o despreciable, aunque

se dan excepciones en lo que se refiere a caudales afluentes en forma subterr anea ; la evaporacion, retencion

y transpiracion vegetal pueden agruparse en un termino global denominado “evapotranspiracion”, E T , por

lo que la ecuacion (1.2) puede reescribirse de la forma

P − ET − Qe = ∂V sup + ∂V sub + ∂V h + ∂H (1.3)

Siendo conceptualmente exacta, para la aplicacion practica de la ecuacion de balance hidrologico se requiere

que solo uno de los terminos del balance sea incognita, debiendo disponerse de informacion respecto a todas

las demas variables involucradas. Considerando los errores que se cometen en la medicion o estimacion de

cada uno de los terminos de la ecuacion, la sumatoria de ellos, que pasa a ser el valor estimado de la variableincognita, puede alcanzar magnitudes de error inadmisibles, dando resultados, en consecuencia, absurdos, a

menos que se elija adecuadamente el intervalo de tiempo para el cual se aplica la ecuaci on.

En efecto, utilizando como intervalo de tiempo t2 − t1, un perıodo que se denomina un ano hidrologico, el

cual difiere del ano calendario en el sentido de que comienza y termina al termino del perıodo de estiaje que

presentan las variables hidrologicas en su variacion cıclica anual, pueden lograrse resultados admisibles en la

aplicacion directa de la ecuacion de balance.

Si, por ejemplo, se inicia y termina el perıodo de balance al final de la temporada seca de verano, en la zona

central de Chile, digamos desde el 1 de Abril al 31 de Marzo del ano siguiente, los valores de nieve estacional

almacenada o humedad de los suelos seran nulos o se encontraran en su valor mınimo, independientementede los valores que hayan alcanzado durante la epoca humeda del invierno, por lo cual los terminos ∂V h y ∂ H

de la ecuacion seran nulos o al menos mınimos.

Analogo raciocinio puede efectuarse con los terminos que representan la variacion del almacenamiento de

aguas superficiales y subterraneas, por lo que tambien pueden despreciarse con un margen aceptable de error.

La situacion mas habitual, en consecuencia, es la de estimar la escorrentıa media anual de la cuenca mediante

la ecuacion simplificada expresada de la forma,



8 Introduccion

Q ≈ P − ET (1.4)

Esta ecuacion permite una primera estimacion aproximada de la escorrentıa media anual de una cuenca,

conocidas la precipitacion y la evapotraspiracion, salvo en aquellos casos en que las variaciones de almacena-miento a escala anual no sean despreciables o existan aportes externos importantes.

Mayor aproximacion aun se logra con la ecuacion anterior, si se aplica a la estimaci on de la escorrentıa

media anual durante largos perıodos de tiempo, del orden de decadas hidrologicas o mas, dado que siendo los

terminos de la izquierda de la ecuacion (1.3), a diferencia de los de la derecha, acumulativos, estos pasan a

ser de ordenes de magnitud superiores a los terminos de la derecha, los que pasan a ser despreciables. Para un

largo perıodo de tiempo, digamos del orden de 30 anos, puede aseverarse sin mayor error, que en un sistema

estacionario en que no existen aportes externos significativos, se cumple en forma muy exacta, la relacion,

Q = P − ET (1.5)

En los capıtulos siguientes se vera una descripcion detallada de las variables que participan en la ecuacion

de balance hidrologico y de los principales metodos utilizados en ingenierıa hidrologica, precedidos por algu-

nos conceptos fundamentales de Climatologıa y Meteorologıa, que resultan imprescindibles para lograr una

comprension global del ciclo hidrologico.



Capıtulo 2

ELEMENTOS DE CLIMATOLOGIA Y

METEOROLOGIA

Introduccion

La disponibilidad de recursos hıdricos y las caracterısticas hidrologicas de una determinada cuenca o region

quedan determinadas principalmente por la estructura geologica y geomorfologıa del area, y por una serie

de factores climatologicos, como la radiacion solar, vientos y circulacion del aire, temperatura y humedad

ambiental, que condicionan y regulan la intensidad del ciclo hidrologico y la cantidad y distribucion de las

precipitaciones.

Es fundamental, en consecuencia, para lograr una comprension global del ciclo hidrologico, disponer de

algunos conocimientos basicos de climatologıa y meteorologıa, dada la fuerte dependencia que existe entre

estas ciencias y algunos campos de la hidrologıa.

9



10 Elementos de Climatologıa y Meteorologıa

2.1. Radiacion

2.1.1. Leyes de Radiacion

El 99.97 % de la energıa necesaria para la realizacion de los procesos fısicos que ocurren en la Tierra, provieneoriginalmente de la radiacion solar.

De acuerdo a la ley de radiacion de Planck, la intensidad de radiacion en una determinada longitud de onda

emitida por un cuerpo negro, es decir, un cuerpo que absorbe toda la radiacion incidente sobre su superficie,

puede expresarse mediante la ecuacion,

E λ = 2h · c2

λ5 · 1

e hcλkT − 1

(2.1)

donde E λ se obtiene en [erg/(cm2 ·seg · cm)], h corresponde a la constante de Planck (6.55×10−27 [erg ·seg]),

c a la velocidad de la luz (3

×1010 [cm/seg]), k a la constante de Stefan-Boltzmann (1.37

×10−16 [erg/K ])

y T a la temperatura absoluta del cuerpo en K .

Esta ley indica que un cuerpo negro emite distintas intensidades de radiacion en diferentes longitudes de

onda y que estas intensidades varıan en funcion de la temperatura del cuerpo.

Dos importantes leyes pueden deducirse facilmente a partir de la ecuacion (2.1).

Derivando respecto a la longitud de onda e igualando a cero, se obtiene la ley de Wien, que determina

la longitud de onda en la cual se produce la m axima emision de radiacion. Este valor de λ es inversamente

proporcional a la temperatura absoluta del cuerpo,

λmax = a

T (2.2)

donde λmax se obtiene en [cm] y a = h·c5k = 0.288 [cm · K ].

Por otra parte, integrando la ecuacion (2.1) para todas las longitudes de onda, bajo la hip otesis de una

emision isotropica, se puede calcular el flujo total de radiacion emitido por un cuerpo negro. Esta es la ley

de Stefan-Boltzmann, expresada por la ecuacion

F = σT 4 (2.3)

donde F se obtiene en [cal/(cm2

· min)] y σ corresponde a la constante de Stefan-Boltzmann (8.14

×10−11[cal/(cm2 · min · K 4)]).

Como lo indican las ecuaciones (2.2) y (2.3), la radiacion total emitida por un cuerpo negro aumenta con

la cuarta potencia de su temperatura absoluta, desplazandose ademas el espectro de emision hacia longitudes

de onda mas cortas a medida que la temperatura aumenta.

La Figura 2.1 muestra los espectros de emision de un cuerpo negro para las temperaturas de 6000 y 293

ºK, que corresponden aproximadamente a las temperaturas del Sol y la Tierra respectivamente.



2.1. Radiacion 11

Figura 2.1: Espectros de emision de un cuerpo negro. Fuente: Sellers (1965).

Los cuerpos fısicos reales no se comportan como cuerpos negros teoricos y absorben y emiten una cantidad

de radiacion en general menor a la indicada por la ley de Stefan-Boltzmann. Si la cantidad de radiaci onemitida es proporcionalmente igual en cualquier longitud de onda, estos cuerpos se denominan “cuerpos

grises”, siendoles aplicables la ecuacion (2.3), corregida en la forma

F = εσT 4 (2.4)

donde ε se denomina la emisividad del cuerpo y es tal que 0 < ε < 1.

Aunque los cuerpos reales tienen una emisividad variable con la longitud de onda, existiendo bandas

especıficas, caracterısticas de cada cuerpo, en las que se producen distintas cantidades de absorcion y emision,

el flujo total de radiacion emitido por estos cuerpos se calcula en la practica en base a la ecuacion de Stefan-

Boltzmann, adoptando una emisividad media del cuerpo, equivalente a la de un cuerpo gris. En la Figura 2.1se incluyen los espectros reales estimados de radiacion solar extraterrestre en el borde exterior de la atmosfera

y de la emision real al espacio desde la Tierra.

Debido a la gran diferencia de temperaturas entre el Sol y la Tierra, puede apreciarse que sus espectros

electromagneticos, en la practica no se traslapan; la radiacion solar ocurre en el rango de longitudes de onda

entre 0.15 y 4.0µ con un 45 % dentro del rango de la luz visible (0.4 a 0.74µ), mientras la radiacion terrestre

ocurre a longitudes de onda mas largas, en el rango infrarrojo entre 4 y 30µ aproximadamente. Por estas




razones, la radiacion solar es denominada normalmente “radiacion de onda corta”, mientras la radiacion

terrestre es denominada “radiacion de onda larga”.

2.1.2. Medicion de la Radiacion

Diversos instrumentos han sido desarrollados para medir los distintos componentes del balance radiativo.

Entre ellos podemos distinguir los siguientes:

Piroheliometro: Es el instrumento basico, disenado para medir la intensidad de la radiacion solar,

es decir, la radiacion directa desde el Sol sobre una superficie unitaria normal a la direccion del rayo.

El mas comun de ellos es el llamado piroheliometro de Angstrom, que consiste en dos placas metalicas

gemelas aisladas. Una de ellas se expone, mediante un tubo colimador, a la radiaci on solar, siguiendo

durante el dıa la trayectoria del Sol en el cielo, de manera que reciba permanentemente la radiacion

directa desde el Sol. La otra placa, aislada a la radiacion externa, se conecta a un circuito electrico yse mide la cantidad de energıa o calor necesario para calentar electricamente esta placa aislada, a la

misma temperatura que la placa calentada por el Sol. Como ambas placas son gemelas, la intensidad

solar, sera igual a la potencia electrica disipada, es decir,

Roc,dir = K · i2 (2.5)

donde,

Roc,dir: Radiacion solar directa en [cal/(cm2·ano)] u otra unidad equivalente.

i: Intensidad de la corriente en el circuito electrico.

K : Constante de calibracion del instrumento.

Piranometro: Es un instrumento disenado para medir la radiacion solar total, tanto directa como

difusa, incidente sobre una superficie horizontal, radiacion denominada comunmente radiacion global.

El mas utilizado de estos instrumentos es el piranometro Eppley, que consiste en dos anillos de plata

concentricos, uno pintado de negro y el otro de blanco (oxido de magnesio), protegidos por una ampolleta

de cuarzo que filtra la radiacion de onda larga. La mayor absorcion de radiacion por parte del anillo

negro, genera una diferencia de temperatura entre los dos anillos que es aproximadamente proporcional

a la intensidad de radiacion global recibida.

Roc,dir + Roc,dif = K · (T n − T b) (2.6)

donde,

Roc,dir: Radiacion solar directa en [cal/(cm2·ano)] u otra unidad equivalente.

Roc,dir: Radiacion solar difusa en [cal/(cm2·ano)] u otra unidad equivalente.

T n: temperatura de los anillos negro.

T b: temperatura de los anillos blanco.




2.1. Radiacion 13

La diferencia de temperatura entre los anillos se mide en base a termocuplas o termojuntas en contacto

con los anillos, midiendose la diferencia de voltaje generada.

Actinografo: Es un instrumento similar y que cumple la misma funci on que el piranometro. La dife-

rencia fundamental esta en el mecanismo sensor de la diferencia de temperatura entre las placas blancay negra, que en este caso se mide en base a la dilataci on de elementos bimetalicos. Es un instrumento

de uso mas comun que el piranometro debido a su menor costo. Desgraciadamente tiene mayor retardo

en su respuesta a los cambios de intensidad de radiacion y una menor precision que los piranometros

electricos.

Piroradiometro: Es un instrumento disenado para medir el total de radiacion de onda corta y larga

(solar y terrestre o atmosferica) incidente sobre una superficie horizontal. Consiste en dos elementos

sensores, uno superior, expuesto a la intemperie y uno inferior protegido por una placa pulida de

aluminio que lo aısla radiativamente. La intensidad de radiacion se mide en funcion de la temperatura

y la diferencia de temperatura entre los sensores.

Radiometro neto: Instrumento que mide el balance neto de radiacion sobre una superficie horizontal,

es decir, el total de la radiacion incidente menos la radiacion reflejada por la superficie y la emision de

radiacion de onda larga de la superficie. Se basa tambien en dos placas sensoras expuestas horizontal-

mente, una hacia arriba y otra hacia abajo, siendo el flujo neto de radiacion proporcional a la diferencia

de temperatura de las placas sensoras.

Si se define el albedo o reflectividad “a” de la superficie como el cuociente entre la radiacion reflejada

y la radiacion incidente sobre ella, la radiacion neta Rn resulta en definitiva

Rn = (Roc,dir + Roc,dif )(1 − a) + Rol,inc − Rol,emit = K (T u − T d) (2.7)

donde,

Rn: Radiacion neta.

Roc,dir: Radiacion solar directa.

Roc,dir: Radiacion solar difusa.

a: Albedo de reflexion de la superficie.

Rol,inc: Radiacion de onda larga incidente.

Rol,emit: Radiacion de onda larga emitida.

T u: Temperatura de la placa expuesta hacia arriba.T d: Temperatura de la placa expuesta hacia la superficie del terreno.


En la pagina web de la Direccion Meteorologica de Chile1 pueden obtenerse mas detalles y fotografıas de

la mayorıa de los instrumentos antes senalados.

1http://www.meteochile.gob.cl/

http://www.meteochile.gob.cl/

http://www.meteochile.gob.cl/




2.1.3. Radiacion de Onda Corta

El Sol, con una temperatura cercana a los 6000 [K] y una emisividad pr oxima a la de un cuerpo negro, emite

aproximadamente 56 × 1026 calorıas por minuto. En consecuencia, la Tierra, ubicada a una distancia media

de 1.5 × 1013

[cm] del Sol, recibe en el borde exterior de su atm osfera una radiacion por unidad de superficiede

S = 56 × 1026

4π(1.5 × 1013)2 ≈ 2.0 [ly/min] (2.8)

La unidad de intensidad de radiacion es el “langley” [ly], que equivale a 1 [cal/cm2].

La intensidad de radiacion en el borde exterior de la atmosfera, S , recibe el nombre de Constante Solar,

aun cuando su constancia es solo estadıstica, ya que la magnitud depende de las manchas y actividad solar.

Las mediciones mas exactas logradas de la constante solar mediante el uso de satelites artificiales, arrojan

el valor,

S = 1.961 ± 0.005 [ly/min] (2.9)

El total de energıa interceptado por la Tierra es proporcional a su proyeccion plana πR2, donde R es el radio

de la Tierra, por lo tanto, la energıa media repartida a traves de toda la superficie del globo es

Roc = πR2S

4πR2 =

S

4 = 0.49 [ly/min] = 706 [ly/dıa]= 258 [Kly/ano]

Obviamente la distribucion no es uniforme sobre toda la superficie, pues depende del angulo de incidencia,

de la distancia Sol-Tierra y del tiempo de exposicion, variando en consecuencia en funcion de la epoca del

ano y la latitud del lugar. En promedio, la energıa recibida en las regiones ecuatoriales es del orden de 2.4

veces la energıa recibida cerca de los polos. La Figura 2.2 muestra la distribucion estacional de la radiacion

de onda corta incidente en funcion de la latitud.

La radiacion que logra llegar a la superficie terrestre, es obviamente menor a la existente en el borde

exterior de la atmosfera, ya que la atmosfera absorbe parte de la radiacion, de acuerdo a la ley de absorci on

de radiacion,

I x = I 0e−kx (2.10)

donde,I 0: Radiacion en el borde exterior de la atm osfera.

x: Distancia atravesada en el medio absorbente (atmosfera).

k: Masa optica atmosferica, funcion de su composicion y nubosidad.

Al respecto cabe senalar que la radiacion ultravioleta, altamente danina para la salud humana, practica-

mente no alcanza a llegar a la superficie terrestre producto de su absorci on en la alta atmosfera principalmente

por parte del gas ozono existente en ella, situacion que se ha visto revertida (sobre todo en las regiones po-



2.1. Radiacion 15

Figura 2.2: Distribucion estacional de la radiacion de onda corta incidente en funcion de la latitud. Fuente:

Sellers (1965)

lares) en los ultimos anos por efectos de la accion antropogenica de contaminacion atmosferica, que tiende a

reducir el contenido de ozono en la alta atmosfera.

2.1.4. Balance de Radiacion

La temperatura de la Tierra permanece en promedio constante a lo largo del tiempo. Para que esto ocurra,

es necesario que esta emita al espacio, por reflexion o emision en onda larga, una cantidad de energıa igual

a la que es recibida por efecto de la radiacion solar.

Diversos intentos por cuantificar este intercambio de radiacion, pueden resumirse en forma aproximada en

el siguiente balance de la disposicion de la radiacion en el sistema terrestre para un ano promedio:




Radiacion solar de onda corta:

Radiacion total incidente sobre el planeta: 258 [Kly/ano]

Radiacion reflejada por la atmosfera

(nubes, vapor de agua, impurezas, etc.): 66

Radiacion absorbida por la atmosfera

(nubes, vapor de agua, ozono, etc.): 51

Radiacion total incidente sobre la

superficie terrestre: 141 [Kly/ano]

Radiacion reflejada por la superficie

terrestre (nieve, agua, suelos, etc.): 14

Radiacion absorbida en la superficie

terrestre: 127 [Kly/ano]

Absorcion total del planeta (51+127): 178 [Kly/ano]

Radiacion terrestre de onda larga:

Emision neta de la atmosfera al espacio

exterior: 131 [Kly/ano]

Emision neta de la superficie terrestre: 47

Emision total del planeta: 178 [Kly/ano]

Figura 2.3: Balance anual promedio de ra-

diacion solar de onda corta.

Figura 2.4: Balance anual promedio de ra-

diacion terrestre de onda onda larga.

De las cifras anteriores se observa que la radiacion solar total absorbida por el planeta se ve compensadapor la emision de este en onda larga, resultando un equilibrio radiativo que mantiene en equilibrio el balance

de energıa global, y por ende la temperatura del planeta.

Sin embargo, las mismas cifras nos indican que internamente no existe un equilibrio radiativo. En efecto, la

atmosfera emite 131 [Kly/ano] y solo absorbe 51 [Kly/ano] de radiacion solar, presentando un enfriamiento

radiativo de 80 [Kly/ano]. Con la superficie terrestre pasa lo contrario, emite 47 [Kly/a no] y absorbe 127

[Kly/ano], resultando una tasa de calentamiento radiativo de 80 [Kly/ano].

Para mantener entonces el balance energetico interno total, se requiere un traspaso de energıa no radiativa

desde la superficie terrestre a la atmosfera, a una tasa media de 80 [Kly/ano]. Los mecanismos no radiativos

de traspaso de energıa corresponden a la evaporacion de agua en la superficie y su posterior condensacionen la atmosfera (calor latente) y a la conduccion y difusion de calor sensible desde la superficie terrestre a la

atmosfera (calor de conveccion).

Se estima que del orden de 68 [Kly/ano] ano son transferidas de la tierra a la atmosfera vıa calor latente,

mientras las 12 [Kly/ano] restantes son transferidas vıa calor sensible. Considerando por ultimo, un calor

latente de vaporizacion del agua, del orden de 600 [cal/gr], resulta una evaporacion media anual desde la

superficie terrestre (oceanos y continentes) de 113 [gr/cm2] o 1130 [mm] anuales. Considerando, a su vez,



2.1. Radiacion 17

que el volumen de agua que almacena la atmosfera en forma de humedad es relativamente pequeno, la cifra

anterior debe corresponder ademas a la precipitacion media anual sobre el planeta. La Tabla 2.1 muestra

una estimacion, basada en datos de la UNESCO (1995), de la distribucion geografica de evaporaciones y

precipitaciones en el planeta.

Tabla 2.1: Balance hıdrico medio anual.

Region Area 106 km2 Precipitacion [mm] Evaporacion [mm] Escorrentıa [mm]

Oceanos:

Pacıfico 178.7 1,460 1,510 -50

Atlantico 91.7 1,010 1,360 -350

Indico 76.2 1,320 1,420 -100

Artico 14.7 361 220 141

Total oceanos 361.3 1,271 1,400 -129

Continentes

Europa 10.5 790 507 283Asia 43.5 740 416 324

Africa 30.1 740 587 153

Oceanıa 9 791 511 280

Norteamerica 24.2 756 418 338

Sudamerica 17.8 1,600 910 690

Antartica 14 165 0 165

Total continentes 149.1 798 483 315

Total planeta 510.4 1,133 1,133 0

El proceso continuo de evaporacion de agua desde la superficie a la atmosfera, su arrastre por parte de los

vientos y circulacion atmosferica y su posterior condensacion y precipitacion configuran el ciclo hidrologico.

Se observa de la Tabla 2.1, que el continente sudamericano, favorecido por su posicion geografica meridional,

por su exposicion abierta al Oceano Pacıfico y por las caracterısticas de su relieve, es el continente donde el

ciclo hidrologico se presenta mas intenso. Considerando que 1 [mm] de precipitacion es equivalente a 1 litro

de agua por metro cuadrado de superficie, el caudal especıfico promedio de los rıos del planeta alcanza un

valor del orden de 10 [l/(s · km2)], cifra que en el caso de Sudamerica se eleva a 21.9 [l/(s · km2)].

A partir de las cifras de las Figuras 2.3, 2.4 y Tabla 2.1 puede estimarse en forma aproximada el tiempo

de residencia del agua en los oceanos, continentes y atmosfera. Una gota de agua permanece en promedio

en los oceanos un tiempo del orden de 2570 anos; en los continentes y casquetes polares, del orden de 309anos, mientras que en la atmosfera el tiempo de residencia promedio serıa del orden de tan solo 8 dıas. En

definitiva, una gota de agua promedio demora del orden de 2900 anos en completar el ciclo hidrologico.

Al respecto de todo lo anterior, cabe agregar que existen estudios asociados al cambio climatico que postulan

que el equilibrio energetico del planeta y actual balance de evaporaciones y precipitaciones, ha sido alterado

por la accion antropogenica del hombre al alterar la composicion de los gases constituyentes de la atmosfera.

Ası por ejemplo, se ha detectado una disminucion del contenido de ozono o disminucion de la capa de este




gas en la alta atmosfera, que tiene por consecuencia un aumento de la radiaci on ultravioleta que alcanza

la superficie del planeta, con nefastas consecuencias para la salud humana. Por otra parte, el aumento del

contenido de anhıdrido carbonico y otras impurezas de origen antropogenico, estarıan generando un efecto

de invernadero que traerıa como consecuencia un calentamiento global de la atmosfera, pronosticandose

un aumento de la temperatura media en un par de grados en las proximas decadas, proceso que ya ha

manifestando algunas consecuencias. Todos estos cambios, necesariamente deben influir en algun grado, en

el actual regimen de precipitaciones y evaporaciones.

2.2. Temperatura y Estratificacion Termica de la Atmosfera

2.2.1. Distribucion de Temperaturas

La temperatura es una medida o un ındice de la energıa interna de un cuerpo; en consecuencia, la distribucion

y variacion de temperaturas en la tierra y en la atm osfera es el resultado del balance radiativo y energetico

global.

En terminos promedios y globales entonces, las temperaturas disminuyen con la latitud debido al deficit

radiativo de las zonas polares. Por la misma razon, las temperaturas en la atmosfera son menores que las

temperaturas en la superficie terrestre. Como se menciono anteriormente, el deficit radiativo de la atmosfera

se ve compensado por un traspaso de calor latente y calor de convecci on desde la superficie terrestre. Esto

significa que la atmosfera es calentada desde su borde inferior, lo que origina en general un aumento de

temperatura en las capas mas bajas y un gradual descenso de la temperatura con la altura.

En regiones marıtimas y humedas, el traspaso de calor ocurre preferentemente en forma de calor latente,

fenomeno que origina una mayor uniformidad termica en superficie y una atenuacion de la oscilacion termicadiaria. En regiones continentales y aridas, prevalece el traspaso de calor como calor de conveccion, lo que

exige un mayor recalentamiento de la superficie durante el dıa, originando una fuerte amplitud de la oscilacion

termica diaria.

Independientemente de la magnitud de la oscilacion termica diaria en superficie, la atmosfera disminuye

gradualmente su temperatura con la altura, situacion que se verifica aproximadamente dentro de los prime-

ros 10,000 a 18,000 metros desde la superficie, dependiendo de la latitud, y definiendo un primer estrato

atmosferico inferior, denominado troposfera , en que la temperatura disminuye a una tasa cercana a 6 o 7

[°C/km].

En las inmediaciones de la superficie de la tierra, debido al efecto del ciclo diurno del balance radiativo antesmencionado, o a veces debido a la presencia de campos de hielo o nieve, o de condiciones micrometeorol ogicas

particulares, puede ocurrir que esta situacion se invierta, especialmente en horas de la noche, creando zonas

en que la temperatura del aire aumenta con la altura, situacion que se denomina inversion termica. Los

gradientes termicos en la atmosfera, como se vera mas adelante, condicionan la estabilidad atmosferica, que

influye en forma importante en el desarrollo del ciclo hidrologico.

Por encima de la troposfera, y separada de ella por la tropopausa, definida como la cota a la cual la



2.2. Temperatura y Estratificacion Termica de la Atmosfera 19

temperatura atmosferica deja de decrecer, se extiende un segundo estrato atmosferico que abarca entre

aproximadamente los 10,000 y 55,000 metros de altura, que se denomina estratosfera. En la parte baja de

la estratosfera, hasta cerca de los 30,000 metros de altura, las temperaturas son sensiblemente constantes y

del orden de –55 °C. Por sobre esta cota, se encuentra la zona donde se produce la mayor concentraci on de

gas ozono. Este gas, que absorbe gran parte de la radiaci on ultravioleta incidente, provoca un calentamiento

radiativo de la alta atmosfera, con un incremento de la temperatura con la altura, hasta llegar a un maximo

cercano a los 0°C en la estratopausa o lımite superior de la estratosfera. Por sobre la estratosfera, se extiende

la mesosfera, hasta unos 85,000 metros de altura, capa en la cual la temperatura nuevamente desciende hasta

llegar a un mınimo cercano a –80°C en la mesopausa.

Finalmente, la capa exterior de la atmosfera se identificara como la ionosfera, aun cuando hay otras sub-

divisiones, entendida como la zona donde el aire esta tan enrarecido que los gases componentes se ionizan,

interactuando con la radiacion solar. Por este proceso, el aire absorbe radiacion, lo que sumado a su ex-

traordinaria baja densidad provoca aumentos de temperatura que alcanzan en las zonas altas, hasta los

1000°C.

La Figura 2.5 muestra un perfil aproximado de la estratificacion y temperaturas de la atmosfera.

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

200

180

160

140

120

100

80

60

40

20

0

Temperatura [°C]

E l e v a c i ó n

[ k m . s . n . m . ]

Temperatura

Tropopausa

Estratopausa

Mesopausa

Figura 2.5: Estratificacion termica de la atmosfera.

Desde el punto de vista meteorologico e hidrologico, la unica capa de interes es la troposfera, zona donde

se concentra casi el 90 % de la masa atmosferica y practicamente el 100 % de la humedad atmosferica. En

esta zona se producen ademas, todos los fenomenos hidrometeorologicos.

Si consideramos el espesor de la troposfera, del orden de 10 [km], comparado con el radio de la Tierra,

de 6,400 [km], resulta que proporcionalmente, la troposfera, vista a veces como un recurso de disponibilidad

inagotable de aire, es bastante mas delgada que la cascara de una manzana.




2.2.2. Medicion de Temperaturas

Si bien hoy en dıa existen diversos procedimientos para la medicion de temperatura, tales como sensores

infrarrojos y otros, crecientemente incorporados en estaciones meteorologicas compactas, en meteorologıa el

instrumento basico para la medicion de la temperatura del aire, salvo en regiones muy frıas, sigue siendo el

termometro de mercurio.

La temperatura del aire en superficie se mide por convencion, a una altura de 1.50 metros desde el suelo con

termometros ubicados en una caseta meteorologica de madera provista de celosıas con sus puertas orientadas

hacia el sur en el hemisferio sur, a fin de evitar el ingreso de radiaci on solar directa sobre los instrumentos.

Las instalaciones basicas incluyen un termometro de maxima, que es basicamente igual a un termometro

clınico, provisto de un estrechamiento en el bulbo que provoca que la medicion mantenga el valor maximo de

temperatura registrado. Ademas, incluyen un termometro de mınima, provisto de un dispositivo que permite

registrar la temperatura mınima alcanzada. De esta manera, efectuando una sola medicion diaria, se puede

establecer las temperaturas maximas y mınimas alcanzadas en las 24 horas anteriores.Adicionalmente la estacion puede incluir un termografo o instrumento inscriptor que registra mecanica o

digitalmente, la variacion de la temperatura durante el dıa, obteniendose un termograma del cual es posible

determinar la temperatura media del dıa, ademas de la hora a la cual ocurrieron las temperaturas maximas

y mınimas diarias. En general los termografos son de menor precision que los termometros de mercurio,

por lo que en caso de discrepancia con estos ultimos debe prevalecer el dato medido por los term ometros

de mercurio y debe corregirse los registros del termograma, por desplazamiento del origen, por un factor

de escala o ambos, de manera de hacer coincidir los valores maximos y mınimos del termograma, con los

registros de maxima y mınima de los termometros de mercurio.

En ausencia de un termografo, es posible lograr una aceptable estimacion de la temperatura media diaria

mediante la expresion

T = T max + T mın + T 08 + T 16

4 (2.11)

donde T 08 y T 16 son las temperaturas a las 8 de la manana y 4 de la tarde respectivamente.

En ausencia de estos ultimos datos, solo cabe estimar la temperatura media como el promedio entre la

maxima y la mınima.

Para la medicion de la temperatura del aire en altura se recurre normalmente a globosondas o radiosondas

que son lanzadas normalmente una o dos veces al dıa, las cuales van registrando la temperatura ambiente a

medida que ascienden. La informacion registrada por las naves marıtimas y aereas, tambien contribuye a la

medicion de la temperatura del aire.

En los ultimos anos, con el creciente uso de satelites meteorologicos, es posible evaluar mediante radio-

termometros las temperaturas en altura, en particular, la de los estratos nubosos.



2.3. Humedad Atmosferica 21

2.3. Humedad Atmosferica

2.3.1. Leyes Basicas

La atmosfera esta constituida por una mezcla de gases, fundamentalmente nitrogeno y oxıgeno, a los que seagregan algunos componentes menores, entre los que destacan por su importancia, el anhıdrido carbonico y

el vapor de agua, por lo que le es aplicable la ley de presiones parciales de gases o Ley de Dalton.

De acuerdo a esta ley, la presion total ejercida por una mezcla de gases es igual a la suma de las presiones

parciales ejercidas por cada uno de sus componentes:

pt =n1

pi (2.12)

donde,

pt: Presion total de la mezcla.

pi: Presion parcial del componente i.

n: Numero de gases de la mezcla.

Desde el punto de vista hidrometeorologico, donde el componente de mayor interes es el vapor de agua,

la atmosfera es posible visualizarla como la mezcla de dos componentes, el vapor de agua y el aire seco que

contiene al resto de todos los constituyentes de la mezcla. De acuerdo a esto, la ley de Dalton se puede

expresar de la forma,

pt = pd + e (2.13)

donde,

pd: Presion parcial del aire seco.

e: Presion de vapor de agua.

Para la mayorıa de las aplicaciones practicas, se puede aceptar que tanto el aire seco como el vapor de

agua se comportan como gases perfectos, por lo que les es aplicable la Ley de los Gases Perfectos.

De acuerdo a esta ley, en un volumen V ocupado por un gas ideal, se cumple que

p · V = n · R∗ · T (2.14)

donde,

p: Presion ejercida por el gas.

n: Numero de moles contenidos en el volumen.

T : Temperatura absoluta del gas.

R∗: Constante universal de los gases= 8.3144 × 107 [erg/mol· K] =1.987 [cal/mol· K].




Dividiendo por la masa M de gas contenida en el volumen,

p · V

M =

n · R∗ · T

M (2.15)

El termino V /M , volumen por unidad de masa, recıproco de la densidad, es el volumen especıfico α,

mientras la masa dividida por el numero de moles, M /n es el peso molecular, m.

Ası, La ecuacion queda,

p · α = R∗ · T

m (2.16)

o

p · α = R · T (2.17)

donde R = R∗/m es la constante particular de cada gas.

2.3.2. Ley de Clausius - Clapeyron

La cantidad de agua que puede existir en estado gaseoso en un volumen dado, queda limitada por la presion

de vapor saturante, la cual es funcion unica de la temperatura y se expresa mediante la relacion teorica pero

aproximada,

ln

eses0

= mvL

R∗

1T 0

− 1T

(2.18)

donde,

es: Presion de vapor saturado, en [Hpa].

mv: Peso molecular del vapor de agua = 18 [gr/mol].

L: Calor latente de vaporizacion o sublimacion, [cal/gr].

T : Temperatura absoluta, en [K].

Los valores es0 y T 0 corresponden a algun punto conocido de la curva. Para el punto triple del agua, 0 [°C]

o 273 [K] se ha determinado experimentalmente que es0 = 6.11 [Hpa].

Luego, la ley de Clausius - Clapeyron se puede expresar como,

ln es

6.11

=

mvL

R∗

1

273 − 1

T

(2.19)

Al respecto, cabe recordar que una atmosfera fısica vale

1 [atm] = 1.013 [bar] = 1.013 × 105 [ pa] = 1.013 × 106 [dinas/cm2]




luego,

1 [mb] = 100 [ pa] = 1 [Hpa]

La unidad usual de presion en meteorologıa es el hectopascal [Hpa] o milibar [mb].

En unidades tecnicas, 1 [kg/cm2]=9.81 [N/cm2]=9.81 × 104 [pa], luego

1 [atm] = 1013 [Hpa] = 1.033 [kg/cm2] = 10.33 [m.c.a.]

⇓1 [Hpa] = 0.0102 [m.c.a.]

Con respecto al calor latente de vaporizacion, o calor necesario para evaporar 1 gr de agua, este es ligeramente

dependiente de la temperatura y puede expresarse mediante la relacion aproximada,

Lv = 597.25 − 0.566 · T (2.20)

donde el calor latente de vaporizacion (Lv) se expresa en [cal/gr] y la temperatura (T ) en [°C].

Si el cambio de estado es de solido a gas, se debe agregar el calor de fusion del agua (Lf = 80 [cal/gr]),

por lo que el calor latente de sublimacion se puede expresar aproximadamente mediante la relacion,

Ls = 677.04 − 0.062 · T (2.21)

Para muchos calculos aproximados, basta suponer valores constantes de 600 y 680 [cal/gr], aproximadamente.

Una formula practica de buen ajuste para el calculo de la presion de vapor saturado, viene dada por la

expresion,

es = 6.11 · e 17.4T T +239 (2.22)

donde es esta en [Hpa] y T en [°C].

2.3.3. Variables para Cuantificar la Humedad Atmosferica

Diversas variables se utilizan en meteorologıa para cuantificar el contenido de vapor de agua o humedad

atmosferica. Entre ellas podemos distinguir:

Humedad absoluta (ρv): Se define como la masa de vapor contenida por unidad de volumen de aire por

lo que es equivalente a la densidad de vapor de agua.

ρv = M v

V (2.23)

donde ρv se expresa en [gr/cm3].




Razon de mezcla (ω): Se define como la razon o cuociente entre la masa de vapor de agua y la masa de

aire seco contenido en un volumen dado.

ω = M vM d

= ρvρd

(2.24)

donde ω se expresa como [gr vapor/gr aire seco] y ρd es la densidad del aire seco en [gr/cm3].

La densidad es el recıproco del volumen especıfico, luego aplicando la ley de los gases al vapor de agua

y al aire seco independientemente, se obtiene,

e

ρv=

R∗

mv· T (2.25)

pdρd

= R∗

md· T (2.26)

Como la temperatura en la mezcla de ambos gases es la misma, dividiendo resulta,

ω = ρvρd

= mv

md· e

pd(2.27)

El peso molecular del aire seco es variable, dependiendo de la composici on del mismo, pero se acepta

para un aire seco “normal” el valor md = 29 [gr/mol], por lo que puede definirse la razon,

ε = mv

md= 0.622 (2.28)

Como la presion del aire seco es,

pd = pT − e (2.29)

Reemplazando, se obtiene finalmente,

ω = ε e

pT − e (2.30)

Esta ultima expresion permite evaluar la razon de mezcla en funcion de la presion total y la presion de

vapor del aire. El factor ε = 0.622 es de frecuente ocurrencia en formulas meteorologicas.

Humedad especıfica (q ): Se define la humedad especıfica q , como el cuociente entre la masa de vapor y

la masa total de aire contenidas en un volumen dado,

q = M vM T

= M v

M v + M d=

ρvρv + ρd

(2.31)

donde q se expresa como [gr vapor/gr aire humedo]. Ademas, se tiene que,

1

q =

ρdρv

+ 1 = 1

ω + 1 (2.32)




de donde,

q = ω

1 + ω (2.33)

Haciendo un desarrollo analogo al anterior, en funcion de la ley de los gases, se obtiene,

q = ε · e

pT − (1 − ε)e =

0.622 · e

pT − 0.378 · e (2.34)

Como la presion de vapor es generalmente mucho menor que la presion total del aire, los valores

numericos de la razon de mezcla y de la humedad especıfica, siendo la razon de mezcla ligeramente

mayor, son muy parecidos, por lo que habitualmente ambas variables se confunden.

Humedad relativa (h): Se define la humedad relativa h, normalmente expresada como porcentaje, como

el cuociente entre la presion de vapor existente en el aire y la presion de vapor saturado correspondiente

a su temperatura,

h = e

es· 100 ≈ ω

ωs· 100 ≈ q

q s· 100 [ %] (2.35)

Siendo la humedad relativa una de las variables mas frecuentemente utilizadas para expresar la humedad

del aire, de acuerdo a su definicion, solo tiene valor como variable cuantitativa de la humedad, si se

conoce ademas, el valor de la temperatura del aire

Temperatura de punto de rocıo o Punto de Rocıo (T R): Esta variable, con dimensiones de temperatura,

se define como la temperatura a la que habrıa que enfriar el aire, manteniendo constante su presion de

vapor, hasta llegar a saturar el aire. De acuerdo a esta definici on, un aire saturado tiene una temperatura

de rocıo igual a su temperatura real. La diferencia entre la temperatura real y la temperatura de rocıo

es una medida indirecta de la “sequedad” del aire. Mientras mas seco el aire, mas baja su temperatura

de rocıo. En el diagrama presion - temperatura de la Figura 2.6, se visualizan los tres estados en los

que se puede encontrar el agua: Vapor, agua lıquida y hielo, en funcion a su presion real relativa a la

presion de vapor saturado. Si una partıcula de vapor con presion e < es y temperatura T , es enfriada

manteniendo e constante, la partıcula se saturara en el punto en que se cumpla,

e = es (T R) (2.36)

donde es(T R) es la presion de vapor saturado a la temperatura de rocıo.

En la Figura 2.6 una parcela de aire con temperatura de 30[ºC] y presion de vapor de 11 [Hpa], tiene

una temperatura de punto de rocıo de 8.36 [ºC].

Visto de otra manera entonces, la temperatura de rocıo es la temperatura, cuya presion de vapor

saturado coincide con la presion de vapor real del aire.




Figura 2.6: Diagrama presion de vapor - temperatura.

2.3.4. Medicion de la Humedad Atmosferica

Los instrumentos normalmente utilizados para medir la humedad atmosferica son el psicrometro, el higrografo

y una serie de otros instrumentos de aplicacion mas bien industrial, que podrıamos clasificar como higrometros

o higristores.

a) Psicrometro: El psicrometro es un instrumento basado en el principio del balance calorico. Consiste

basicamente en dos termometros de mercurio por los cuales se hace pasar una corriente del aire cuya

humedad se desea determinar. Uno de los termometros se deja con su bulbo seco, con lo cual mide la

temperatura real del aire que por el circula, denominada temperatura de bulbo seco. El otro termometro

se envuelve en una gasa o muselina humeda, razon por la cual alcanza una temperatura de equilibrio

menor que la de bulbo seco, producto del enfriamiento provocado por la evaporacion del agua contenida

en la muselina humeda. A la temperatura de equilibrio se le denomina temperatura de bulbo h umedo

(T w).

Si no hay aporte externo de calor, la masa de aire debe disminuir su energıa interna en una magnitud

igual al calor latente entregado para la evaporacion del agua de la muselina; luego, si el aire se aproxima

a la muselina con una temperatura de bulbo seco T y una razon de mezcla ω, y sale con una temperatura

T w y razon de mezcla ω , un balance calorico entrega la ecuacion,

C · ∆T = Lv · ∆ρv (2.37)

donde C es la capacidad calorıfica del aire en [cal/gr] y Lv es el calor latente de vaporizacion.

La ecuacion (2.37) expresada en funcion de los calores especıficos a presion constante de los componentes

de la masa de aire, resulta




(ρd · c p + ρv · c pv) · (T − T w) = Lv · (ρv − ρv) (2.38)

dividiendo por la densidad del aire seco ρd, se obtiene

(c p + ω · c pv) · (T − T w) = Lv · (ω − ω) (2.39)

donde,

c p: Calor especıfico a presion constante del aire seco.

c pv: Calor especıfico a presion constante del vapor de agua.

Para ω se acepta que es la razon de mezcla saturada correspondiente a la temperatura de bulbo humedo

T w. En consecuencia, midiendo las temperaturas de bulbo seco T y de bulbo humedo T w, por ser el calor

especıfico del aire seco, el calor especıfico del vapor de agua y el calor latente de vaporizacion, constantes

conocidas, y la razon de mezcla saturada ω una funcion conocida de la temperatura de bulbo humedo y

de la presion barometrica del lugar, es posible calcular la razon de mezcla del aire ω . La ecuacion (2.39)

es conocida como la ecuacion psicrometrica.

Para fines practicos de medicion de la humedad atmosferica, existen tablas, llamadas tablas Psicrometri-

cas, que permiten obtener directamente la humedad relativa, presi on de vapor del aire u otra variable

relacionada, entrando a las tablas con la temperatura del aire T , la depresion de bulbo humedo (T − T w)

y la presion barometrica del lugar.

La circulacion del aire a traves de la muselina se logra en los instrumentos mas simples, haciendo girar

en el aire el instrumento, provisto de una cuerda o cadena; instrumentos mas sofisticados, (Psicrometro

Assman) vienen provistos de un ventilador que fuerza la circulaci on del aire a traves de la muselina.

b) Higrografo de cabellos: Un instrumento de uso mas sencillo aun cuando bastante menos preciso, es el

higrografo de cabellos, basado en la propiedad higroscopica observada de los cabellos (humanos), de variar

su longitud por efecto de los cambios de la humedad del aire. Estas variaciones de longitud, amplificadas

por un sistema de palancas conectadas a un puntero, se registran sobre una banda previamente calibrada

que se monta sobre un tambor que rota en el tiempo. Las bandas o papel de higrogramas vienen calibrados

en terminos de la humedad relativa, lograndose la medicion directa de esta variable, mientras se trabaje

dentro de un rango especificado por el fabricante. Para temperaturas extremas (muy frıas) deben corregirse

los registros de acuerdo a las instrucciones del fabricante.

La forma rutinaria de medir la humedad atmosferica es el registro continuo en base a un higrografo de

cabellos, verificando periodicamente con mediciones puntuales mediante psicrometro, que permita corregir

errores de desplazamiento de escala y de amplitud de las oscilaciones.

Es frecuente la existencia de un instrumento que mide simultaneamente en una misma banda, humedad

relativa y temperatura del aire. En este caso el instrumento pasa a llamarse termohigr ografo o higro-

termografo.




c) Higristores: Existen ademas una serie de instrumentos que se llaman genericamente higrometros o higris-

tores, que permiten medir la humedad atmosferica, basados en una serie de materiales de caracterısticas

higroscopicas que varıan sus propiedades fısicas o electricas, en funcion del grado de humedad. La ventaja

de estos instrumentos, es que facilitan el registro digital de la informacion, aun cuando su precision es

baja.

Hoy en dıa son cada vez mas frecuentes, las estaciones meteorologicas compactas, que permiten medir no

solo la humedad relativa, sino muchas de las otras variables meteorologicas en forma digital, informacion

que se puede almacenar en un “datalogger” o teletransmitir en forma remota.

2.4. Elementos de Estatica y Termodinamica Atmosferica

Para lograr la comprension de los procesos de transferencia de masa y energıa que ocurren entre la atmosfera,

la hidrosfera y la litosfera, es necesario tener algunos conceptos elementales de est atica y termodinamicaatmosferica.

Aun cuando los ciclos termodinamicos y procesos de movimiento y circulacion de la atmosfera son ex-

traordinariamente complejos, en particular en la troposfera, que es la capa de mayor interes para efectos

hidrometeorologicos, es posible abordar su estudio en base a una serie de simplificaciones que permiten

obtener resultados suficientemente precisos para los efectos de su aplicacion practica.

2.4.1. Hidrostatica de la Atmosfera

Si despreciamos los movimientos de la atmosfera, y la consideramos en reposo, debe cumplirse en ella laecuacion de la ley hidrostatica

z + p

ρ · g = Cte. (2.40)

Para los efectos meteorologicos, conviene expresar esta ley en su forma diferencial, es decir:

dp = −ρ · g · dz (2.41)

Como la densidad ρ de la atmosfera no es constante con la altura, la ecuacion hidrostatica solo es integrable

con la ayuda de la ley de los gases perfectos y suponiendo ciertos modelos simplificados o situaciones especiales.

Recordando que la densidad es el recıproco del volumen especıfico y reemplazando la ecuacion (2.17) en la

ecuacion (2.41), se obtiene,

dp

p = − g

R · T dz (2.42)



2.4. Elementos de Estatica y Termodinamica Atmosferica 29

Esta ecuacion es analıticamente integrable para ciertos modelos simplificados de estratificacion termica en la

atmosfera.

2.4.2. Atmosfera Isotermica

Si la temperatura de la atmosfera se supone constante en la vertical, la integraci on de la ley hidrostatica es

inmediata y resulta,

p = p0 · e− gR·T

(z−z0) (2.43)

Esta situacion corresponde aproximadamente a la atmosfera real en la zona de la estratosfera y ha sido

utilizada para definir la “estratosfera normal”, adoptando los valores p0 = 234.53 [Hpa], z0 = 10.769 [km] y

T = −55°C, hasta los 32,000 metros de altura.

2.4.3. Atmosfera de Gradiente Termico Constante

Si se supone que la temperatura de la atmosfera varıa en forma lineal en la vertical de acuerdo a la expresion,

T = T 0 − γ · z (2.44)

donde γ es un gradiente constante de temperatura, reemplazando la ecuacion (2.44) en la ecuacion (2.42), se

obtiene

dp

p = −g

R

dz

(T 0 − γ · z) (2.45)

de cuya integracion resulta,

p = po

T

T 0

g/(Rγ )(2.46)

Esta situacion corresponde aproximadamente a la atmosfera real en la zona de la troposfera y ha sido adoptada

para definir la “troposfera normal”, entre 0 y 10,760 metros de altitud, adoptando los valores γ = 6.5 [°C/km]

y T 0 = 15°C.

2.4.4. Gradiente Adiabatico Seco

En diversas aplicaciones practicas, interesa conocer los gradientes termicos que se producen en la atmosfera,

producto de procesos adiabaticos o sin incorporacion de calor externo.

De acuerdo a la primera ley de la termodinamica, el calor incorporado a un sistema es igual a la variacion

de su energıa interna mas el trabajo efectuado por el sistema. Expresada en forma diferencial y por unidad

de masa, se tiene:




dh = du + dw = du + p · dα (2.47)

donde,

du: Variacion de la energıa interna por unidad de masa.

dw: Trabajo por unidad de masa, que en el caso de la expansion de un gas corresponde al producto de la

presion por la variacion del volumen especıfico.

Definiendo el calor especıfico a volumen constante como

cv =

dh

dt

α=cte

(2.48)

resulta para un gas perfecto que

du = cv · dT (2.49)

dh = cv · dT + p · dα (2.50)

Diferenciando la ley de los gases perfectos, se obtiene

p · dα = R · dT − α · dp (2.51)

luego, remplazando la ecuacion (2.51) en la ecuacion (2.50), se obtiene

dh = (cv + R) · dT − α · dp

dh = c p·

dT

−α

·dp (2.52)

donde c p = cv + R: calor especıfico a presion constante, igual a 0,24 [cal/gr · K ] para el aire seco.

Ahora, si un proceso es adiabatico, dh = 0 y se cumple para un gas perfecto que

c pdT = αdp (2.53)

Por otra parte, de la ley hidrostatica sabemos que,

dp = −ρ · g · dz

de donde resulta finalmente que en un proceso adiabatico,

Γd = −dT

dz =

α · ρ · g

c p=

g

c p= Cte. (2.54)

El gradiente de temperatura constante Γd, denominado gradiente adiabatico seco, cuyo valor numerico vale

9.76 [°C/km], rige aproximadamente el cambio de temperatura de una parcela de aire que se desplaza verti-

calmente en la atmosfera en forma adiabatica, es decir, sin quitarle o agregarle calor. Como los movimientos




verticales del aire en la atmosfera son en general rapidos, el tiempo para intercambiar calor externamente es

pequeno, y el concepto es generalmente aplicable a situaciones reales.

Por ultimo, reemplazando el valor del gradiente adiabatico seco en la ecuacion de la atmosfera de gradiente

de temperatura constante, ecuacion (2.46), se obtiene la denominada Ley de Poisson, que rige aproximada-

mente los procesos adiabaticos en la atmosfera.

p

p0=

T

T 0

cp/R(2.55)

2.4.5. Gradiente Adiabatico Humedo

Las expresiones desarrolladas en el acapite anterior son validas para un aire ideal y seco. Sin embargo,

considerando que el contenido de vapor de agua de un aire humedo es siempre una fraccion bastante pequena

de la masa total de aire, su efecto sobre la tasa de enfriamiento es despreciable y es posible utilizar en

la practica el gradiente adiabatico determinado para el aire seco, para el aire real con algun contenido de

humedad. Sin embargo, cuando debido al enfriamiento, el aire alcanza la temperatura de punto de rocıo y

llega al nivel de saturacion, lo anterior deja de ser valido. En efecto, cualquier enfriamiento adicional del aire

bajo el punto de rocıo, provocara la condensacion del exceso de vapor de agua, el cual liberara su calor latente

de condensacion que se transformara en calor sensible y que se traspasara a la masa de aire, produciendo una

tasa de enfriamiento menor que en el caso de un aire seco o un aire h umedo no saturado.

El gradiente adiabatico en condiciones de saturacion se denomina gradiente adiabatico humedo, que deja

de ser constante, siendo funcion de la presion y la temperatura del aire.

Puede demostrarse, con un desarrollo similar al anterior y haciendo uso de la definicion de razon de mezcla

y la ley de Clausius - Clapeyron para cuantificar la cantidad de vapor de agua condensado, que el gradiente

adiabatico humedo queda expresado por la relacion,

Γs = −dT

dz =

g

c p

1 +

LRd

ωsT

1 + εL2

c pRd

ωsT 2

(2.56)

donde,

L: Calor latente de condensacion.

Rd: Constante del aire seco.

ωs

: Razon de mezcla de saturacion correspondiente a la presion y temperatura del aire (mv

/md

= 0.622).

T : Temperatura absoluta del aire.

La expresion entre parentesis de la ecuacion (2.56) siempre es menor que la unidad.

El desarrollo para derivar la expresion anterior, desprecia el calor aportado por la fase lıquida condensada, es

decir, supone que toda el agua lıquida precipita, desapareciendo del sistema. En estricto rigor, en consecuencia,

el proceso no es exactamente adiabatico y se denomina mas apropiadamente a este gradiente como “gradiente

pseudo adiabatico humedo”. Numericamente no es muy diferente al gradiente adiabatico humedo propiamente




tal, y considerando que la situacion real de la atmosfera en la naturaleza sera una situacion intermedia entre

ambos extremos, se utiliza en la practica el gradiente pseudo adiabatico humedo como el gradiente termico

de la atmosfera en procesos adiabaticos bajo condiciones de saturacion.

En la Tabla 2.2 se indican algunos valores del gradiente pseudo adiabatico humedo para distintas con-

diciones de temperatura y presion atmosferica. Se observa de la tabla, que a medida que el aire se enfrıa

o aumenta su presion barometrica, con la consiguiente disminucion de la razon de mezcla de saturacion, el

gradiente pseudo adiabatico humedo se aproxima al gradiente adiabatico seco.

Tabla 2.2: Gradiente pseudo adiabatico humedo (Γs) [ºC/km].

Temperatura Presion [Hpa]

[°C] 1000 700 500

-20 8.6 8.2 7.8

0 6.5 5.8 5.1

20 4.3 3.7 3.3

2.4.6. Estabilidad Atmosferica

El metodo mas simple para establecer las condiciones de estabilidad atmosferica es el llamado “metodo de

la parcela de aire”, que puede desarrollarse sin siquiera hacer uso formal de las matematicas. El metodo, sin

embargo, no es rigurosamente exacto, ya que se basa en dos suposiciones simplificatorias que no se cumplen

exactamente en la practica:

i) Cuando una parcela de aire se mueve, no existe un movimiento compensatorio del ambiente para llenar

el vacıo dejado por la parcela.

ii) La parcela, al moverse, no se mezcla con el ambiente y por lo tanto, mantiene su identidad.

Si bien la primera simplificacion introduce errores que en general son menores, la segunda simplificaci on

normalmente inhabilita el uso del metodo para la obtencion de resultados cuantitativos, ya que las parcelas

al desplazarse sufren una difusion y mezcla de sus propiedades con el ambiente que las rodea.

Consideremos una atmosfera en equilibrio hidrostatico con un cierto gradiente de temperatura −dT/dz =

Cte. Si una parcela de aire esta inicialmente en equilibrio con su ambiente, es decir, a igual presion, densidad

y temperatura que el aire que la rodea, permanecera “flotando” en el. Supongamos ahora que por efecto de

un impulso externo, la parcela es puesta en movimiento hacia arriba. Si este movimiento es lo suficientemente

rapido, como de hecho ocurre en la practica, tal que el proceso sea adiabatico, la parcela se ira enfriando a

medida que asciende, con un gradiente igual al gradiente adiabatico seco, Γd, si no esta saturada o con un

gradiente pseudo adiabatico humedo, Γs, en caso contrario. Considerando que el gradiente adiabatico seco

es siempre mayor, en valores absolutos, que el gradiente adiabatico humedo, y como la presion de la parcela

tendera a equilibrarse rapidamente con la del ambiente, existiran cinco situaciones posibles, dependiendo del

valor del gradiente de temperatura γ de la atmosfera:




I. Si γ < Γs, la parcela, al ascender, sea segun el gradiente adiabatico seco o humedo, estara siempre a una

temperatura mas baja que el ambiente que la rodea; en consecuencia, sera mas densa y adquirira una

aceleracion contraria al sentido del movimiento que tendera a devolverla a su punto de origen. Igual

efecto se produce si el desplazamiento inicial hubiese sido hacia abajo. Esta condici on representa lo que

se denomina una atmosfera absolutamente estable o de inversion termica.

En la Figura 2.7 se presentan los ascensos posibles de la parcela de aire, dependiendo de la condici on

inicial de equilibrio.

(a) Parcela de aire inicialmente no saturada. (b) Parcela de aire inicialmente saturada.

Figura 2.7: Diagrama termodinamico atmosfera absolutamente estable (γ > Γs).

II. Si γ = Γs, tenemos una condicion lımite, la atmosfera sera estable mientras no este saturada inicial-

mente (Figura 2.8a). En caso contrario, (condiciones de saturacion, Figura 2.8b), la parcela al ascender,

estara en todo momento a la misma temperatura que el ambiente, no experimentara efectos de flotacion

o boyancia en ningun sentido y tendera a continuar su movimiento en forma uniforme e indefinida. Estacondicion se denomina atmosfera estable seca o neutra saturada.


Figura 2.8: Diagrama termodinamico atmosfera estable seca o neutra saturada (γ = Γs).

III. Si Γs < γ < Γd, la parcela al ascender permanecera mas frıa que el ambiente si no esta saturada inicial-

mente, siendo en consecuencia, la atmosfera estable. Sin embargo, si el impulso inicial dado a la parcela




es suficientemente intenso, como para que pase mas alla de su punto de saturacion, continuara ascendien-

do por el gradiente adiabatico humedo, pudiendo alcanzar y sobrepasar la temperatura del ambiente.

En este caso, la parcela sera mas liviana que el aire que la rodea y las fuerzas hidrost aticas tenderan

a acelerar indefinidamente su movimiento. Por ultimo, si la parcela de aire inicialmente se encuentra

saturada, debido al impulso inicial tendera a acelerar indefinidamente su movimiento, ya que, como

ascendera por el gradiente adiabatico humedo, estara en todo momento a una mayor temperatura que

la del ambiente. Esta situacion se denomina atmosfera condicionalmente inestable.




Figura 2.9: Diagrama termodinamico atmosfera condicionalmente inestable (Γd < γ < Γs).

IV. Si γ = Γd, tenemos una nueva condicion lımite; si la parcela no se encuentra inicialmente saturada, se

mantendra a la misma temperatura que el ambiente a medida que asciende y por lo tanto en equilibrio

indiferente, mientras no se sature. Una vez saturada, la atm osfera se hara inestable. Esta situacion se

denomina atmosfera neutra seca o inestable saturada.




Figura 2.10: Diagrama termodinamico atmosfera neutra seca o inestable saturada (γ = Γd).




V. Finalmente, si γ > Γd , la parcela, al ascender, alcanzara en todo momento temperaturas mas altas

que el ambiente, sera mas liviana y las fuerzas hidrostaticas tenderan a acelerar indefinidamente su

movimiento. Esta condicion corresponde a lo que se denomina atmosfera absolutamente inestable.




Figura 2.11: Diagrama termodinamico atmosfera absolutamente inestable (γ < Γd).

En todas las desigualdades anteriores, los gradientes llevan implıcito su signo, que es normalmente negativo.

En resumen, se tiene:

Si γ < Γs : Atmosfera absolutamente estable.

Si γ = Γs : Atmosfera estable seca o neutra saturada.

Si Γs < γ < Γd : Atmosfera condicionalmente inestable.Si γ = Γd : Atmosfera neutra seca o inestable saturada.

Si γ > Γd : Atmosfera absolutamente inestable.

Considerando los gradientes termicos de la atmosfera standard o normal, se tiene que la troposfera, con

un gradiente γ promedio de 6.5 [°C/km], presenta normalmente caracterısticas condicionalmente inestables;

la estratosfera, por otra parte, con un gradiente termico nulo en su estrato inferior, presenta caracterısticas

absolutamente estables, lo que significa la ausencia de turbulencia y un movimiento del aire estratificado,

que le da el nombre al estrato, constituyendo ademas una barrera impenetrable para las inestabilidades que

suelen presentarse en la troposfera y limitando a ella todos los fen omenos de tipo hidrometeorologico.

En meteorologıa, dependiendo de su objetivo, se utilizan diversos tipos de diagramas termodinamicos, en

que las cotas se reemplazan por alturas geopotenciales o niveles de presion atmosferica, utilizandose ademas,

escalas logarıtmicas para linealizar algunas variables.

Abordando el problema con un enfoque fısico matematico, aun cuando con las mismas suposiciones sim-

plificatorias que en el analisis anterior, de acuerdo a la primera ley de Newton,

F i = m · a (2.57)




Para una parcela de aire de volumen V que mantiene su identidad, en movimiento dentro de una atmosfera

en reposo, las fuerzas actuantes sobre ella seran su propio peso (W ), el empuje (E ) y las fuerzas de roce (F r),

fuerzas que se pueden representar por las ecuaciones,

W = ρ pgV (2.58)

E = ρagV (2.59)

F r = ρagcDAv|v|2g

(2.60)

Suponiendo una parcela esferica y expresada por unidad de volumen, la ley de Newton queda:

ρag − ρ pg − 3

4

cDD

ρav|v| = ρ pa = ρ pdv

dt = ρ p

dv

dz

dz

dt = ρ pv

dv

dz (2.61)

Suponiendo equilibrio de presiones y substituyendo las densidades por temperaturas en base a la ley de los

gases perfectos se obtiene,

g

T pT a

− 1

− 3

4

cDD

T pT a

v|v| = vdv

dz (2.62)

Si el proceso es adiabatico, T p = T p0 − Γ · z y la ecuacion queda,

g

T p0 − T a − Γ · z

T a

− 3

4

cDD

T p0 − Γ · z

T av|v| = v

dv

dz (2.63)

La ecuacion anterior podrıa integrarse, al menos en forma numerica, si se conoce el perfil de temperaturas

del aire en la vertical, T a = f (z).

Despreciando el roce y suponiendo una atmosfera isotermica, la integracion es directa, resultando,

v =

v20 + 2g

T p0 − T aT a

z − g Γ

T az2 (2.64)

Como v = dzdt , la ecuacion anterior es a su vez integrable, resultando,

z = ∆T

Γ +

T av20

gΓ +

∆T

Γ

2sen

g

Γ

T a· t − arcsen

∆T /Γ

T av20gΓ +

∆T Γ

2

(2.65)

donde ∆T = T p0 − T a

En el caso particular en que la temperatura inicial de la parcela es la misma del aire, es decir ∆ T = 0, se

obtiene,

z = v0

g ΓT a

sen

g

Γ

T a· t

(2.66)




v = v0 cos

g

Γ

T a· t

(2.67)

Es decir, un movimiento armonico simple de amplitud A =

T av20/(gΓ) y perıodo T = 2π

T a/(gΓ).

Si bien el perıodo puede que se cumpla aproximadamente en la practica, la amplitud teorica no se alcan-

zara nunca, pues se ha despreciado el roce y la dispersion o difusion.

Si la temperatura inicial de la parcela es distinta a la del aire, pero su velocidad inicial v0 = 0 , el resultado

se reduce a

z = ∆T

Γ +

∆T

Γ sen

g

Γ

T a· t − π

2

(2.68)

En los casos en que la atmosfera no es isotermica, la integracion de la ecuacion 2.56 se complica, resultandoen general mas conveniente su integracion numerica. Aun ası, para obtener resultados que representen en

forma mas adecuada los procesos reales, deberan considerarse los procesos de difusion y mezcla, que deben

consultarse en un texto mas especializado

Todos los analisis anteriores, tanto cualitativos como cuantitativos suponen ademas una atmosfera en

reposo. En la practica, el grado de estabilidad o inestabilidad de la atmosfera no depende solo del gradiente

termico, que define la magnitud de las fuerzas de boyancia o flotacion, sino tambien de la magnitud relativa

de estas fuerzas respecto a las fuerzas de inercia asociadas a la velocidad del movimiento horizontal del viento.

Un parametro adimensional que relaciona la magnitud relativa de ambas fuerzas, y que se utiliza, en

consecuencia para cuantificar la estabilidad atmosferica, corresponde al Numero de Richardson, definido por

la relacion:

Ri = g(dT/dz − Γ)

T (du/dz)2 =

g∆T ∆z

∆u2 (2.69)

donde ∆T y ∆u son las diferencias de temperatura y de velocidad del viento entre dos niveles de medicion

separados una distancia ∆z en la vertical.

De acuerdo a la definicion anterior resulta:

Si Ri < 0 : Atmosfera inestable.

Ri ≈ 0 : Atmosfera neutra.Ri > 0 : Atmosfera estable.

El grado de estabilidad o inestabilidad se asocia a la magnitud absoluta del Numero de Richardson.

Otro parametro adimensional utilizado para caracterizar la estabilidad atmosferica es una funcion del

Numero de Richardson, denominado parametro de estabilidad de Monin - Obukhov z /L, donde z es la cota

del punto de medicion respecto a la superficie del terreno y L es una variable con dimensiones de longitud,

equivalente a la longitud de mezcla de la teorıa de la capa lımite, definida por la expresion:




L = u∗ · T · ∆u

k · g · ∆T (2.70)

donde u∗ es la velocidad de friccion y k es la constante de Von Karman.

Si se acepta la validez de la ley de Von Karman - Prandtl para representar la variacion del perfil de velocidadesen la capa lımite atmosferica,

u

u∗=

1

k ln

z

z0

(2.71)

El Numero de Richardson y el parametro de Monin - Obukhov pueden relacionarse aproximadamente por la

expresion,

z

L = Ri · ln

z

z0

(2.72)

donde z0 es la rugosidad de la superficie del terreno.

2.5. Altura de Agua Precipitable de la Atmosfera

La masa total de vapor de agua contenida en una columna vertical de la atmosfera se denomina “equivalente

en agua del vapor” o “altura de agua precipitable” de la atmosfera. Expresada en unidades de altura de

columna de agua [cm], queda determinada por la integraci on en la columna de la humedad absoluta, dividida

por la densidad del agua lıquida,

W = 1ρw

z2z1

ρvdz (2.73)

donde W es la altura de agua precipitable entre los niveles z1 y z2, ρw es la densidad del agua y ρv es la

densidad de vapor de agua o humedad absoluta.

Recordando la definicion de humedad especıfica, la ecuacion queda,

W = 1

ρw

z2z1

qρadz (2.74)

donde q es la humedad especıfica y ρa es la densidad del aire humedo.

Reemplazando, por ultimo, la ley hidrostatica, la ecuacion se puede expresar de la forma,

W = 1

gρw

p1 p2

qdp (2.75)

Cualquiera que sea la forma de la ecuacion empleada para calcular el contenido de agua precipitable de la

atmosfera, siempre sera necesario conocer el perfil de variacion de la humedad en la altura. En la practica,

pocas veces esta informacion esta disponible, y cuando lo esta, su integracion numerica resulta poco precisa.



2.5. Altura de Agua Precipitable de la Atmosfera 39

En la practica, sin embargo, muchas veces interesa conocer lo que se denomina la “maxima” altura de agua

precipitable de la atmosfera, que como su nombre lo indica es el maximo equivalente de agua lıquida que la

atmosfera podrıa contener bajo ciertas condiciones termicas.

En este caso, afortunadamente, es posible hacer uso de dos factores que permiten estimar W , solo con

informacion de la cota inferior o de superficie.

La primera condicion o factor, es que evidentemente el contenido de humedad sera maximo cuando la

humedad atmosferica sea maxima y esta ultima esta limitada por las condiciones de saturacion del aire,

dependiente unicamente de la temperatura. Es decir, para estas condiciones bastarıa con disponer de un

perfil de temperaturas de punto de rocıo, que en el caso de una atmosfera saturada corresponde al perfil

termico real de la atmosfera, para conocer la maxima altura de agua precipitable.

La segunda condicion, resulta al considerar que calculos teoricos, experimentalmente comprobados, demues-

tran que durante las grandes tormentas, la velocidad de ascenso de las masas de aire es tan alta, que masas

de aire en la superficie llegan al punto mas alto de la zona de tormenta en intervalos que varıan entre unos

pocos minutos hasta no mas de una hora. Para tiempos tan cortos, el intercambio de calor es despreciable,

por lo que puede postularse que el ascenso de las masas de aire se produce en forma adiabatica seca hasta el

nivel de saturacion y despues, en forma pseudo adiabatica humeda. En el caso mas extremo, en que el nivel de

saturacion se encuentre en la superficie, el gradiente termico durante las grandes tormentas correspondera al

gradiente pseudoadiabatico humedo, partiendo desde la superficie. De esta manera, el m aximo contenido de

agua precipitable de la atmosfera queda determinado conociendo solamente la temperatura de rocıo en la

superficie.

En las Tablas 2.3 y 2.4, se han tabulado las alturas de agua precipitable [mm] contenidas entre la superficie,

supuesta a un nivel 1000 [Hpa], hasta una altura o nivel de presion dado, en funcion de la temperatura de

punto de rocıo al nivel 1000 [Hpa], para una atmosfera saturada pseudo adiabatica. Ası, por ejemplo, la alturade agua precipitable contenida en una columna de aire de 5000 [m] de altura por sobre el nivel 1000 [Hpa],

cuando la temperatura de punto de rocıo en este nivel es de 23°C, es de 58 [mm], siempre que se trate de

una atmosfera saturada pseudo adiabatica.

El concepto de maxima altura de agua precipitable se utiliza en meteorologıa y en hidrologıa para evaluar

los conceptos de “precipitacion maxima probable” o “crecida maxima probable”, definidos como la maxima

cantidad de precipitacion o maxima magnitud de crecida que es fısicamente posible de ocurrir, para una

condicion termica dada.

Notese de las Tablas 2.3 y 2.4 que el maximo contenido de agua precipitable de la atmosfera es en general

inferior a la magnitud de las precipitaciones en las grandes tormentas. Lo anterior, debido a que no se haconsiderado el contenido de agua que puede contener la atmosfera en estado lıquido o solido, pero principal-

mente porque representa una condicion estatica, es decir, no considera la convergencia de aire humedo que

va reemplazando a las masas de aire que ya han descargado su humedad.

En las Figuras 2.12 a 2.14 se presentan perfiles reales promedio de humedad relativa, temperatura del aire

y velocidad del viento en altura, medidos durante perıodos de lloviznas, lluvias moderadas y lluvias intensas,

mediante globosonda en la ciudad de Quintero, latitud 33° Sur, (Soto, 2003). En general se observa que para




lluvias moderadas e intensas, la humedad relativa supera el 85 % sobre el nivel 760 [Hpa], es decir, valores

cercanos a la saturacion, disminuyendo ligeramente a niveles mas bajos. En cuanto a las temperaturas, el

ajuste de expresiones del tipo potencial, entrega las siguientes expresiones de mejor ajuste:

P ara lluvias intensas T = 288.45

p1007.4

1/5.90726 R2 = 0.99 (2.76)

P ara lluvias moderadas T = 288.467 p

1008.1

1/5.8663R2 = 0.98 (2.77)

Esta informacion permitirıa una estimacion mas acuciosa del contenido de agua precipitable en la atmosfera

durante tormentas reales. Sin embargo, los perfiles termicos difieren muy poco respecto a un perfil adiabatico

humedo, con una temperatura en superficie cercana a 13.5°C, lo que sumado a las altas humedades relativas

confirman que las hipotesis utilizadas para el calculo del maximo contenido de agua precipitable parecen

adecuadas para la estimacion del contenido de agua precipitable durante perıodos con precipitaciones.

El contenido de agua l ıquida o solida que pueda contener la atmosfera en forma de nubes, dependera de la

densidad que alcance esta agua en las nubes, valor que puede oscilar entre 0.5 y 2 [gr/m3].

Figura 2.12: Ajuste de curvas a perfiles de temperatura medidos durante dıas de lloviznas, lluvias moderadas

y lluvias intensas.



2.5. Altura de Agua Precipitable de la Atmosfera 41

Figura 2.13: Ajuste de curvas a perfiles de humedad relativa medidos durante dıas de lloviznas, lluvias

moderadas y lluvias intensas.

Figura 2.14: Ajuste de curvas a perfiles de velocidad del viento medidos durante dıas de lloviznas, lluvias

moderadas y lluvias intensas.




Tabla 2.3: Altura de agua precipitable [mm] entre la superficie 1000 [Hpa] y un nivel de presion “ p” en una

atmosfera saturada pseudo adiabatica, en funcion de la temperatura de rocıo (T r) al nivel 1000 [Hpa].

P 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

[Hpa] T r [°C]

990 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3

980 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 5 5 5 5

970 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6 7 7 7 8

960 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 8 8 9 9 10 11

950 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 6 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 12 12 13

940 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 7 7 7 8 9 9 10 10 11 12 12 13 14 15 16

930 2 3 3 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 11 11 12 13 14 14 15 16 17 18

920 3 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 12 13 14 14 15 16 17 19 20 21

910 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 7 7 8 8 9 10 10 11 12 13 13 14 15 16 17 18 20 21 22 23

900 3 4 4 4 4 5 5 6 6 6 7 7 8 8 9 10 11 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 23 24 24

890 4 4 4 5 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 11 12 12 13 14 15 16 17 18 20 21 22 24 25 27 28

880 4 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 11 12 12 13 14 15 16 17 19 20 21 23 24 26 27 29 31

870 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 1 1 1 2 1 3 1 3 1 4 1 5 1 6 1 8 1 9 2 0 21 23 24 26 28 29 31 33

860 4 5 5 6 6 6 7 7 8 9 9 10 11 12 12 13 14 15 16 18 19 20 21 23 24 26 28 30 32 34 36

850 5 5 5 6 6 7 7 8 9 9 10 11 11 12 13 14 15 16 18 19 20 21 23 24 26 28 30 32 34 36 38

840 5 5 6 6 7 7 8 8 9 10 10 11 12 13 14 15 16 17 19 20 21 23 24 26 28 30 32 34 36 38 40

830 5 5 6 6 7 7 8 9 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 21 22 24 26 27 29 31 33 35 38 40 43

820 5 6 6 7 7 8 8 9 10 11 11 12 13 14 15 17 18 19 20 22 24 25 27 29 31 33 35 37 40 42 45

810 5 6 6 7 8 8 9 10 10 11 12 13 14 15 16 17 19 20 21 23 25 26 28 30 32 34 37 39 42 44 47

800 6 6 7 7 8 8 9 10 11 12 12 13 15 16 17 18 19 21 22 24 26 28 29 32 34 36 38 41 44 46 49

790 6 6 7 7 8 9 9 10 11 12 13 14 15 16 17 19 20 22 23 25 27 29 31 33 35 38 40 43 46 49 52

780 6 7 7 8 8 9 10 11 11 12 13 14 16 17 18 19 21 23 24 26 28 30 32 34 37 39 42 45 48 51 54

770 6 7 7 8 9 9 10 11 12 13 14 15 16 17 19 20 22 23 25 27 28 30 32 34 37 39 42 45 48 52 55

760 6 7 7 8 9 10 10 11 1 2 13 14 15 17 18 19 21 22 23 25 27 29 31 33 35 38 41 43 46 49 53 56

750 6 7 8 8 9 10 11 12 1 3 14 15 16 17 18 20 21 23 25 27 29 31 33 35 38 41 44 47 50 53 57 60

740 7 7 8 9 9 10 11 12 1 3 14 15 16 18 19 20 22 24 26 28 30 32 34 37 39 42 45 48 51 55 59 62

730 7 7 8 9 9 10 11 12 1 3 14 15 17 18 20 21 23 24 26 28 30 33 35 38 40 43 46 50 53 57 60 64

720 7 7 8 9 10 1 1 1 1 12 13 1 5 1 6 17 18 20 22 23 25 27 29 31 34 36 39 42 45 48 51 55 58 62 65

710 7 8 8 9 10 1 1 1 2 13 14 1 5 1 6 17 19 20 22 24 26 28 30 32 35 37 40 43 46 49 53 56 60 64 68

700 7 8 8 9 10 1 1 1 2 13 14 1 5 1 6 18 19 21 23 24 26 28 31 33 35 38 41 44 47 50 54 58 62 66 70

690 7 8 9 9 10 1 1 1 2 13 14 1 5 1 7 18 20 21 23 25 27 29 31 34 36 39 42 45 48 52 55 59 63 68 72

680 7 8 9 10 10 11 12 13 15 16 17 19 20 22 24 25 27 30 32 34 37 40 43 46 49 53 57 61 65 69 74

670 7 8 9 10 11 11 12 14 15 16 17 19 20 22 24 26 28 30 33 35 38 41 44 47 51 54 58 62 67 71 76

660 8 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 21 23 24 26 29 31 33 36 39 42 45 48 52 55 60 64 68 73 78

640 8 8 9 10 11 12 13 14 15 17 18 20 21 23 25 27 29 32 35 37 40 43 46 50 54 58 62 67 71 76 81

620 8 9 9 10 11 12 13 14 16 17 19 20 22 24 26 28 30 33 36 38 42 45 48 52 56 60 65 69 74 79 85

600 8 9 9 10 11 12 13 15 16 17 19 21 23 25 27 29 31 34 37 40 43 46 50 54 58 62 67 72 77 82 88

580 8 9 10 11 11 13 13 14 15 16 18 19 21 23 25 27 30 32 35 38 41 44 48 51 55 60 64 69 74 80 85

560 8 9 10 11 12 13 14 15 17 18 20 21 23 26 28 30 33 36 39 42 45 49 53 57 61 66 71 77 82 88 94

540 8 9 10 11 12 13 14 16 17 18 20 22 24 26 28 31 33 36 39 42 46 50 54 58 63 68 73 79 85 91 97

520 8 9 10 11 12 13 14 16 17 19 20 22 24 26 29 31 34 37 40 43 47 51 55 60 64 70 75 81 87 93 100

500 8 9 10 11 12 13 14 16 17 19 21 22 24 27 29 32 34 37 41 44 48 52 56 61 66 71 77 83 89 96 103

480 8 9 10 11 12 13 14 16 17 19 21 23 25 27 29 32 35 38 41 45 49 53 57 62 67 73 78 85 91 98 105

460 8 9 10 11 12 13 14 16 17 19 21 23 25 27 30 32 35 38 42 45 49 54 58 63 68 74 80 86 93 100 108

440 8 9 10 11 12 13 15 16 17 19 21 23 25 27 30 33 35 39 42 46 50 54 59 64 69 75 81 88 95 102 110

420 8 9 10 11 12 13 15 16 18 19 21 23 25 27 30 33 36 39 43 46 50 55 60 65 70 76 82 89 96 104 112

400 8 9 10 11 12 13 15 16 18 19 21 23 25 28 30 33 36 39 43 47 51 55 60 65 71 77 84 90 98 105 114

380 8 9 10 11 12 13 15 16 18 19 21 23 25 28 30 33 36 39 43 47 51 56 61 66 72 78 85 92 99 107 115

360 8 9 10 11 12 13 15 16 18 19 21 23 25 28 30 33 36 40 43 47 51 56 61 66 72 79 85 93 100 109 117

340 8 9 10 11 12 13 15 16 18 19 21 23 25 28 30 33 36 40 43 47 52 56 61 67 73 79 86 93 101 109 118

320 8 9 10 11 12 13 15 16 18 19 21 23 25 28 30 33 36 40 44 48 52 57 62 67 73 80 87 94 102 111 120

300 8 9 10 11 12 13 15 16 18 19 21 23 25 28 30 33 36 40 44 48 52 57 62 67 73 80 87 95 103 111 121

280 8 9 10 11 12 13 15 16 18 19 21 23 25 28 30 33 36 40 44 48 52 57 62 68 74 80 88 95 103 112 121

260 8 9 10 11 12 13 15 16 18 19 21 23 25 28 30 33 36 40 44 48 52 57 62 68 74 81 88 96 104 113 122

240 8 9 10 11 12 13 15 16 18 19 21 23 25 28 30 33 36 40 44 48 52 57 62 68 74 81 88 96 104 113 123

220 8 9 10 11 12 13 15 16 18 19 21 23 25 28 30 33 36 40 44 48 52 57 62 68 74 81 88 96 104 113 123

200 8 9 10 11 12 13 15 16 18 19 21 23 25 28 30 33 36 40 44 48 52 57 62 68 74 81 88 96 104 113 123



2.6. Procesos de Intercambio de Energıa y Masa en la Atmosfera 43

Tabla 2.4: Altura de agua precipitable [mm] entre la superficie a 1000 [Hpa] y un nivel z[m] sobre esa

superficie en una atmosfera saturada pseudo adiabatica,en funcion de la temperatura de rocıo (T r) al nivel

1000 [Hpa].

z [m]0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 26 2 7 28 29 30

T r [°

C]200 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 6 6

400 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 12

600 3 3 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 7 8 8 9 10 10 11 11 12 13 14 15 15 16 17

800 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 12 13 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

1000 4 4 4 5 5 6 6 6 7 7 8 9 9 10 10 11 12 13 13 14 15 16 17 18 20 21 22 23 25 26 28

1200 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 11 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 23 24 26 27 29 31 32

1400 5 5 6 6 7 7 8 8 9 10 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 23 24 26 28 29 31 33 35 37

1600 5 6 6 7 7 8 9 9 10 11 11 12 13 14 15 16 17 19 20 21 23 24 25 27 29 31 33 35 37 39 41

1800 6 6 7 7 8 9 9 10 11 12 12 13 14 15 17 18 19 20 22 23 25 26 28 30 32 34 36 39 41 43 46

2000 6 7 7 8 9 9 10 11 11 12 13 14 16 17 18 19 21 22 24 25 27 29 31 33 35 37 39 42 44 47 50

2200 7 7 8 8 9 10 10 11 12 13 14 15 16 18 19 20 22 24 25 27 29 31 33 35 37 40 42 45 48 51 54

2400 7 8 8 9 9 10 11 12 13 14 15 16 17 19 20 22 23 25 27 29 31 33 35 37 40 42 45 48 51 54 57

2600 7 8 8 9 10 1 1 1 1 1 2 1 3 14 16 17 18 20 21 23 24 26 28 30 32 35 37 40 42 45 48 51 55 58 61

2800 7 8 9 9 10 1 1 1 2 1 3 1 4 15 16 18 19 21 22 24 26 27 30 32 34 36 39 42 45 48 51 54 58 61 65

3000 8 8 9 10 10 1 1 1 2 1 3 1 4 15 17 18 20 21 23 25 27 29 31 33 35 38 41 44 47 50 53 57 61 64 68

3200 8 8 9 10 11 1 2 1 3 1 4 1 5 16 17 19 20 22 24 26 28 30 32 34 37 40 42 45 49 52 56 59 63 67 713400 8 8 9 10 11 1 2 1 3 1 4 1 5 16 18 19 21 23 24 26 29 31 33 36 38 41 44 47 51 54 58 62 66 70 74

3600 8 9 9 10 11 1 2 1 3 1 4 1 5 17 18 20 22 23 25 29 29 32 34 37 39 42 45 49 52 56 60 64 68 73 77

3800 8 9 10 10 11 12 13 14 16 17 19 20 22 24 26 28 30 32 35 38 41 44 47 50 54 58 62 66 70 75 80

4000 8 9 10 11 11 12 14 15 16 17 19 21 22 24 26 28 31 33 36 39 42 45 48 52 56 60 64 68 73 78 83

4200 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 21 23 25 27 29 31 34 37 40 43 46 49 53 57 61 66 70 75 80 85

4400 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 20 21 23 25 27 29 32 34 37 40 44 47 51 54 58 63 67 72 77 82 87

4600 8 9 10 11 12 13 14 15 17 18 20 22 24 25 28 30 32 35 38 41 44 48 52 56 60 64 69 74 79 84 90

4800 8 9 10 11 12 13 14 15 17 18 20 22 24 26 28 30 33 36 39 42 45 49 53 57 61 65 70 75 81 86 92

5000 8 9 10 11 12 13 14 16 17 19 20 22 24 26 28 31 33 36 39 42 46 50 54 58 62 67 72 77 82 88 94

5200 8 9 10 11 12 13 14 16 17 19 20 22 24 26 29 31 34 37 40 43 47 50 54 59 63 68 73 78 84 90 96

5400 8 9 10 11 12 13 14 16 17 19 20 22 24 26 29 31 34 37 40 44 47 51 55 60 64 69 74 80 85 92 98

5600 8 9 10 11 12 13 14 16 17 19 21 22 24 27 29 32 35 38 41 44 48 52 56 60 65 70 76 81 87 93 100

5800 8 9 10 11 12 13 14 16 17 19 21 22 25 27 29 32 35 38 41 45 48 52 57 61 66 71 77 82 88 95 101

6000 8 9 10 11 12 13 14 16 17 19 21 23 25 27 30 32 35 38 42 45 49 53 57 62 67 72 78 84 90 96 103

6200 8 9 10 11 12 13 15 16 17 19 21 23 25 27 30 32 35 38 42 45 49 54 58 63 68 73 79 85 91 98 104

6400 8 9 10 11 12 13 15 16 18 19 21 23 25 27 30 33 35 39 42 46 50 54 58 63 68 74 80 86 92 99 1066600 8 9 10 11 12 13 15 16 18 19 21 23 25 27 30 33 36 39 42 46 50 54 59 64 69 74 80 86 93 100 107

6800 8 9 10 11 12 13 15 16 18 19 21 23 25 27 30 33 36 39 42 46 50 55 60 65 70 75 81 87 94 101 108

7000 8 9 10 11 12 14 15 16 18 19 21 23 25 28 30 33 36 39 43 46 51 55 60 65 70 76 82 88 95 102 110

7200 8 9 10 11 12 14 15 16 18 19 21 23 25 28 30 33 36 39 43 47 51 55 60 65 71 76 82 89 96 103 111

7400 8 9 10 11 12 14 15 16 18 19 21 23 25 28 30 33 36 39 43 47 51 56 61 66 71 76 83 90 97 104 112

7600 8 9 10 11 12 14 15 16 18 19 21 23 25 28 30 33 36 39 43 47 51 56 61 66 72 77 83 90 98 105 113

7800 8 9 10 11 12 14 15 16 18 19 21 23 25 28 30 33 36 39 43 47 51 56 61 66 72 78 84 91 98 106 114

8000 8 9 10 11 12 14 15 16 18 19 21 23 25 28 30 33 36 40 43 47 52 56 61 67 72 78 85 92 99 107 115

8200 8 9 10 11 12 14 15 16 18 19 21 23 26 28 30 33 36 40 43 47 52 57 62 67 73 78 85 92 100 108 115

8400 8 9 10 11 12 14 15 16 18 19 21 23 26 28 30 33 36 40 43 47 52 57 62 67 73 79 85 92 100 108 116

8600 8 9 10 11 12 14 15 16 18 19 21 23 26 28 30 33 36 40 43 47 52 57 62 68 73 79 86 93 101 109 117

8800 8 9 10 11 12 14 15 16 18 19 21 23 26 28 30 33 36 40 43 47 52 57 62 68 73 79 86 93 101 109 118

9000 8 9 10 11 12 14 15 16 18 19 21 23 26 28 30 33 36 40 43 47 52 57 62 68 74 80 86 94 102 110 118

9200 8 9 10 11 12 14 15 16 18 19 21 23 26 28 30 33 36 40 43 48 52 57 62 68 74 80 87 94 102 110 119

9400 14 15 16 18 19 21 23 26 28 30 33 36 40 44 48 52 57 62 68 74 80 87 94 102 110 119

9600 15 16 18 19 21 23 26 2 8 3 0 3 3 3 6 4 0 4 4 4 8 5 2 5 7 6 3 6 8 7 4 8 0 8 7 9 4 102 111 120

9800 16 18 19 21 23 26 28 30 33 36 40 44 48 52 57 63 68 74 80 87 95 103 111 120

10000 18 19 21 23 26 28 30 33 36 40 44 48 52 57 63 68 74 80 87 95 103 112 121

11000 21 23 26 28 30 33 36 40 44 48 52 57 63 68 74 81 88 96 104 113 122

12000 33 36 40 44 48 52 57 63 68 74 81 88 96 105 114 122

13000 52 57 63 68 74 81 88 97 105 114 123

14000 57 63 68 74 81 88 97 105 115 124

15000 81 88 97 106 115 124

16000 81 88 97 106 115 124

17000 89 97 106 115 124




2.6. Procesos de Intercambio de Energıa y Masa en la Atmosfera

Del analisis del balance radiativo terrestre, efectuado en acapites anteriores, se deduce la existencia de un

desequilibrio radiativo interno que requiere de procesos extra radiativos que transporten calor en forma

latitudinal desde las zonas ecuatoriales hacia los polos y en forma vertical, desde la superficie terrestre hacia

la atmosfera.

2.6.1. Procesos de Intercambio Turbulento de Calor y Masa

El transporte vertical de energıa entre la superficie terrestre y la atmosfera se produce fundamentalmente

a traves de procesos de intercambio turbulento de calor sensible (calor de conveccion) y de calor latente de

evaporacion.

En un fluido newtoniano en escurrimiento laminar, el traspaso de cantidades de movimiento por unidad

de area o esfuerzo tangencial, queda dado por la relacion

τ = µdu

dz (2.78)

donde µ es la viscosidad dinamica. Ademas, como µ = ρν

τ = ρν du

dz (2.79)

donde ν es la viscosidad cinematica y ρ es la densidad del fluido.

Igualmente, el traspaso de calor sensible por procesos de conduccion molecular viene dado por la ecuacionde conduccion de calor

QH = λdT

dz (2.80)

donde λ es la conductividad calorica del medio conductor.

Definiendo la difusividad calorica κt = λ/C , donde C , la capacidad calorica queda a su vez definida como

C = ρ · c p , donde ρ es la densidad y c p el calor especıfico a presion constante, la ecuacion (2.80) queda,

QH = ρ · c p · κtdT

dz (2.81)

Por ultimo, si existe algun gradiente de concentracion de algun constituyente del fluido, en este caso, vapor

de agua, existira una difusion masica dada por la relacion

m = ρkdq

dz (2.82)

donde q es la humedad especıfica y k es la difusividad de vapor de agua.




Para expresar la ecuacion anterior en terminos caloricos, debe multiplicarse ambos terminos por el calor

latente de evaporacion, de donde el flujo de calor latente resulta

QL

= ρLkdq

dz (2.83)

Cuando el proceso se torna turbulento, el transporte de masa y energıa se efectua no solo por interaccion

molecular, sino que son volumenes finitos de fluidos que acarrean sus propiedades, en el proceso de mezcla,

a regiones vecinas, aumentandose la tasa de intercambio en varios ordenes de magnitud.

En el caso de los esfuerzos tangenciales, la ley de Newton puede expresarse de la forma

τ = ρ (ν + ε) du

dz (2.84)

donde ε

ν corresponde a una “viscosidad cinematica turbulenta” equivalente.

Por analogıa con las ecuaciones de los procesos de transporte molecular, pueden plantearse, para el caso

de intercambio turbulento, las ecuaciones

τ = ρK M du

dz (2.85)

QH = −ρc pK H dT

dz (2.86)

QL = −ρLK W dq

dz (2.87)

Donde K M = (ν + ε) corresponde a una viscosidad turbulenta y K H y K W a difusividades turbulentas de

calor sensible y de vapor de agua.

K M , K H y K W , se conocen tambien bajo el nombre de coeficientes de intercambio turbulento de cantidad

de movimiento, de calor sensible y de calor latente, respectivamente.

Desgraciadamente, a diferencia de sus equivalentes moleculares, los coeficientes de intercambio turbulento

no son constantes y no existe aun un conocimiento teorico completo de sus leyes de variacion, por lo que

deben ser determinados experimentalmente.

Se postula sı, que la magnitud de estos coeficientes debe ser funcion del grado relativo de turbulencia

termica y mecanica, es decir, de la estabilidad atmosferica. Ademas, la presencia de paredes o bordes s olidos

limita la existencia de turbulencia, generando capas limites, por lo que estos coeficientes varıan tambien

dependiendo de la distancia a la pared o superficie de la tierra, en este caso.

En virtud de lo anterior, la gran mayorıa de las determinaciones empıricas de los coeficientes de intercambio

turbulento los expresan como funciones del Numero de Richardson o del parametro de Monin Obukhov.




Por ultimo, las ecuaciones (2.86) y (2.87) han sido definidas con un signo negativo, para que arrojen valores

positivos cuando el flujo de calor sea desde la superficie terrestre hacia la atmosfera, ya que, es de esperar los

gradientes de humedad especıfica y temperatura sean negativos, excepto en los casos de inversion termica.

2.6.2. Transporte Latitudinal de Energıa

El desequilibrio radiativo y energetico que se produce entre las zonas ecuatoriales y polares exige a su

vez el traspaso de energıa en direccion latitudinal. El medio de transporte de esta energıa es a traves del

desplazamiento de grandes masas de aire y de agua a traves del globo terrestre, las que acarrean consigo

sus propiedades termicas. Estos mecanismos son los vientos y el movimiento de circulacion general de la

atmosfera, y las corrientes marinas.

2.6.2.1. Vientos

Entendemos por viento, simplemente a la velocidad con que se mueve una determinada masa de aire en algun

punto del espacio y del tiempo. Como en cualquier otro fluido, su movimiento se produce para compensar la

existencia de algun gradiente de presion, es decir, en general,

vs ∝ ∂p

∂s (2.88)

Si v es la velocidad del viento en un determinado instante y lugar, esta se puede expresar como

v(x, t) = v(x) + w(x, t) (2.89)

donde v(x) es la velocidad media del viento en dicho lugar, una vez filtrados todos los componentes transientes,

locales y aleatorios w(x, t) que puedan existir en dicho lugar. La velocidad media del viento se entiende

como parte de la denominada circulacion general de la atmosfera, definida como el movimiento de circulacion

promedio, es decir la direccion y magnitud promedio de los vientos atmosfericos, una vez suavizados y filtrados

todos los movimientos o vientos transientes y locales w(x, t) causados por perturbaciones barometricas,

termicas o de densidad, que pueden ser de caracter cıclico, como las brisas marinas, o simplemente aleatorios.

El instrumento basico para la medicion de la velocidad del viento es el anemometro, compuesto de una helice

o un sistema de copas, cuya velocidad angular resulta proporcional a la velocidad del viento reinante y de una

veleta o plancha metalica aerodinamica que se orienta indicando la direccion del viento reinante, normalmente

discretizado en 8 octantes, N (norte), NE, E(este), SE, S(sur), SW, W(oeste o “weste”) y NW, aunque loshay de registro continuo que van indicando el azimut o angulo respecto al norte en cada momento. En cuanto

a la magnitud del viento, tambien hay instrumentos de registro continuo y otros solamente totalizadores que

indican el recorrido acumulado en un perıodo determinado de tiempo, normalmente millas marinas, millas

terrestres o kilometros en un dıa.

Por convencion, la direccion del viento se identifica con el punto cardinal desde el cual el viento proviene,

ası el viento Norte es aquel que se desplaza desde el Norte hacia el Sur.




En superficie, producto del roce con ella, se producen importantes gradientes verticales de la velocidad del

viento, por lo que las mediciones deben indicar la cota sobre la superficie a la que se efect ua la medicion,

pudiendo existir torres anemometricas en que la velocidad se mide a diferentes alturas, 0.4 [m], 1.5 [m], 3

[m], 10 [m] u otra altura que resulte de interes en algun caso particular.

Dentro de la capa lımite atmosferica, las velocidades a distintas alturas pueden relacionarse adoptando una

ley de variacion potencial, del tipo,

v1v2

=

z1z2

p(2.90)

con p ≈ 1/7 a 1/3 dependiendo de la rugosidad de la superficie y de la estabilidad atmosferica.

Tambien puede utilizarse, en estricto rigor para atmosferas neutras o cuasi neutras, la Ley de la Pared o

ley de Von Karman - Prandtl,

vzv∗

= 1

k ln

z

z0

(2.91)

donde v∗ es la velocidad de friccion v∗ =

τ 0ρ , k es la constante de Von Karman k ≈ 0.4 y z0 es la rugosidad

de la pared.

Valores tıpicos de rugosidad de distintas superficies se indican en la Tabla 2.5

Tabla 2.5: Rugosidades superficiales.

Tipo de superficie Rugosidad [cm]

Agua libre, pantanos 0.001 - 0.1

Nieve 0.01 - 0.1

Suelo despejado, arenales ≈ 0.03

Cespedes y pastizales 0.15 - 2.0

Plantaciones de trigo ≈ 20

Plantaciones de maız 70 - 120

Arbustos y matorrales 50 - 150

En presencia de macrorugosidades, como por ejemplo bosques o edificios en zonas urbanas, se suele intro-

ducir un desplazamiento de la cota de referencia, reemplazando la cota z sobre el suelo, por la cota corregida

z = z

−d, donde d es aproximadamente el espesor de la capa de aire que queda atrapada entre las rugosidades.

Cuando la atmosfera no es neutra, el perfil de velocidades se aleja del perfil teorico de Von Karman -

Prandtl. Para atmosferas estables, el perfil tiende a linealizarse como en un flujo laminar, mientras que

para atmosferas inestables las velocidades tienden a uniformarse en la vertical. Estas situaciones pueden

manejarse introduciendo modificaciones a la constante de Von Karman, normalmente en funcion del Numero

de Richardson o del parametro de Monin - Obukhov.

Para medir vientos en altura, la aplicacion de estas formulas deja de ser valida, ya que la disminucion




de la densidad del aire, tiende a provocar aumentos crecientes de la velocidad en la altura por lo que debe

recurrirse al empleo de globosondas.

En las Figuras 2.12 a 2.14 se mostraron perfiles promedios de distribucion vertical de la componente oeste

de la velocidad del viento en altura durante perıodos de lloviznas, lluvias moderadas y lluvias intensas,

obtenidos del analisis de informacion de radiosonda en la ciudad de Quintero, a los que puede ajustarseles

expresiones del tipo:

v = a · zb + c (2.92)

donde v esta en [m/s] y z en [km].

En la Tabla 2.6, se muestran los valores de las constantes correspondientes a la expresion precedente que

fue posible ajustar a los datos medidos, junto a sus correspondientes coeficientes de correlaci on.

Tabla 2.6: Constantes para definir el perfil de viento correspondiente a diferentes tipos de dıas.

Tipo de Lluvia a b c R2

Intensa 2.88995 1.1625 0.753854 0.997

Moderada 1.55294 1.40117 0.251655 0.999

Llovizna 0.9825 1.55797 0.130278 0.998

2.6.3. Circulacion General de la Atmosfera

Desde el punto de vista climatologico y del transporte latitudinal de energıa, la componente mas importante

del viento es la circulacion general de la atmosfera, para cuya explicacion se han desarrollado diversas teorıas

y modelos de simulacion.

Todo modelo que pretenda simular en forma general la circulacion atmosferica, debe necesariamente satis-

facer las siguientes condiciones:

Proporcionar un mecanismo para el transporte latitudinal de calor desde las zonas ecuatoriales a las

regiones polares.

Satisfacer la ecuacion de continuidad de masas de agua, aire y de vapor de agua.

Satisfacer las leyes basicas de conservacion de cantidad de movimiento y momento angular.

Respetar las leyes basicas de la termodinamica atmosferica y del movimiento de fluidos reales.

Ninguna teorıa simple es capaz, en consecuencia, de explicar individualmente la circulacion general de

la atmosfera y solo es posible aproximarse a ella a traves de modelos de alta complejidad, que a pesar

de los notorios progresos experimentados en las ultimas decadas, no siempre dan resultados satisfactorios,

considerando ademas que la desigual distribucion de mares, continentes, montanas y cordilleras, complican

aun mas el problema.




Es posible incluso que exista mas de una solucion al sistema general de ecuaciones del movimiento que

satisfagan las condiciones restrictivas anteriormente mencionadas, por lo que no es sorprendente que no exista

aun un conocimiento cabal y completo de la circulacion atmosferica.

En todo caso, hoy en dıa existen modelos numericos, entre ellos los modelos MM52 (The PSU/NCAR

mesoscale model) y WRF3 (The Weather Research & Forecasting Model), que permiten simular el compor-

tamiento de la atmosfera, utilizandose incluso para fines de pronostico meteorologico, con relativo exito.

Sin necesidad de entrar en estos modelos matematicos de alta complejidad que hoy en dıa permiten el

analisis cuantitativo de la circulacion general de la atmosfera, es posible el analisis simplificado y cualitativo

del fenomeno, a partir de modelos basicos simples.

Si suponemos inicialmente una Tierra homogenea y en reposo, calentada en forma desuniforme por la

radiacion solar, tendrıamos un primer modelo de circulacion termal. El aire, recalentado en las regiones

ecuatoriales, tenderıa a ascender, produciendo un desplazamiento de las masas de aire desde las regiones

polares hacia el Ecuador. El ciclo se completarıa con un descenso de aire frıo en las regiones polares y una

circulacion en altura desde el Ecuador hacia los polos, segun se ilustra en la Figura 2.15a.

La Tierra, sin embargo, posee un movimiento de rotacion con velocidad angular w, por lo que cada unidad

de masa de aire posee un momento angular dado por la relaci on,

I = wR2 cos2(φ) (2.93)

donde R es el radio de la tierra y φ es la latitud del lugar.El momento angular debe permanecer constante, por lo tanto, al desplazarse latitudinalmente las masas

de aire, inicialmente en reposo relativo a la tierra, adquirir an componentes longitudinales de velocidad que

compensen la variacion del radio de giro. En general, debido a la rotaci on de la Tierra, una aceleracion

aparente, la aceleracion de Coriolis, tendera a derivar en el hemisferio Sur, en el sentido contrario a los

punteros del reloj, a toda partıcula en movimiento. En consecuencia, la circulacion hacia el Ecuador derivarıa

hacia el oeste (vientos del este), mientas la circulacion en altura derivarıa hacia el este (vientos del Oeste),

segun se ilustra en la Figura 2.15b. Las corrientes ascendentes en el Ecuador, producirıan una zona de bajas

presiones y correspondientemente una zona de altas presiones en los polos.

Este simple esquema de circulacion termal no se cumple en la practica, a excepcion de las zonas polares y

ecuatoriales, debido principalmente a que no se ha considerado el enfriamiento radiativo que sufren las masas

de aire en la atmosfera. Ademas, la desaceleracion relativa de todos los vientos en superficie tenderıa, por

friccion, a frenar la rotacion terrestre.

2http://www2.mmm.ucar.edu/mm5/3http://www.wrf-model.org/index.php

http://www2.mmm.ucar.edu/mm5/

http://www.wrf-model.org/index.php

http://www.wrf-model.org/index.php

http://www2.mmm.ucar.edu/mm5/




(a) Circulacion termal en reposo (b) Circulacion termal en rotacion

(c) Circulacion mas acorde con la realidad

Figura 2.15: Circulacion General de la Atmosfera.

En la practica ocurre que las masas de aire caliente que ascienden en el Ecuador, al desplazarse en altura

hacia los polos, sufren un enfriamiento radiativo tal que al alcanzar aproximadamente una latitud aproxi-

mada de 25 a 30° su aumento de densidad es suficiente para que desciendan a la superficie, (subsidencia),

calentandose adiabaticamente y divergiendo en dos subcorrientes superficiales, una hacia el ecuador y otra

hacia los polos, como se ilustra en la Figura 2.15c.

Esto define una celda cerrada en los tropicos (Celda de Hadley), con vientos del este hacia el ecuador,

(vientos alisios) y vientos del oeste en altura hacia los polos (vientos contraalisios).

La subcorriente que deriva hacia los polos, adquiere una componente oeste en el hemisferio Sur, que

equilibra las fuerzas de friccion, manteniendo la rotacion terrestre. Esta rama de aire se enfrenta, al llegar a

una latitud de 55 a 60° con la corriente de aire frıo y seco proveniente en superficie desde los polos, dando




origen a la zona denominada “frente polar”. Se denomina “frente”, en general, a la zona en que se ponen en

contacto masas de aire de distinta calidad termica.

La convergencia de masas de aire en superficie hacia el frente polar, tanto desde el Norte como del Sur,

exige, para mantener la circulacion, el ascenso de estas masas de aire, dando origen a por lo menos dos nuevas

celdas, con corrientes de aire en altura hacia los polos en la celda polar y con movimiento del aire en altura

hacia el ecuador en la celda intermedia.

Este nuevo modelo de circulacion esta en general, en mucho mejor acuerdo con lo observado y medido

en la naturaleza, excepto que los vientos en altura de la celda intermedia, debiendo tener, de acuerdo a

la aceleracion de Coriolis, una componente Este, presentan una fuerte componente Oeste, denomin andose

incluso el “chorro (jet) del oeste”.

Una explicacion a esta anomalıa radica en los fuertes vientos en altura que se generan en los frentes.

En efecto, si la presion barometrica en superficie es aproximadamente la misma, por tener el aire caliente

un mayor volumen especifico, tiene mayor desarrollo vertical, lo que crea en altura un fuerte gradiente de

presiones entre el aire caliente y el frıo. El aire caliente, proveniente del norte en el hemisferio Sur, es acelerado

por el gradiente de presiones y derivado hacia el este por la accion de la aceleracion de Coriolis. En ausencia

de roce, el equilibrio se produce cuando el aire se mueve en forma uniforme, en direcci on al este, paralelo a

las curvas isobaras, anulandose los vectores de aceleracion de presion, en direccion al Sur con el vector de

aceleracion de Coriolis, normal hacia la izquierda al vector velocidad y por lo tanto en direccion norte. A

este viento que en altura tiende a correr con velocidad uniforme, paralelo a las curvas isobaras, producto del

equilibrio de fuerzas, se le denomina viento geostrofico. Cerca de la superficie, donde las fuerzas de roce, en

direccion opuesta al movimiento, comienzan a ser importantes, la direcci on de equilibrio tiende a ser oblicua a

las curvas isobaras. Las turbulencias a macroescala que existen en estas areas, denominadas ondas de Rossby,

transmitirıan la componente de velocidad oeste a toda la celda intermedia.

La circulacion general de la atmosfera, si bien sigue en forma global el modelo descrito, en terminos

estadısticos medios, se ve perturbada por la heterogeneidad de la distribucion de oceanos y continentes,

por vientos locales tales como brisas marinas de car acter periodico diurno nocturno y por la presencia de

sistemas migratorios de alta o baja presion generados por la turbulencia a meso o macroescala, denominados

anticiclones y ciclones respectivamente.

En todo caso, la circulacion general de la atmosfera marca los rasgos climaticos principales de las distintas

latitudes. La subsidencia de aire en las latitudes 30° y en los polos, esta asociada a calentamientos adiabaticos

y altas presiones, por lo que corresponde a zonas de clima seco. La ascensi on del aire en los tropicos y

frentes polares se asocia a bajas presiones y enfriamientos adiabaticos, con la correspondiente condensacion

y precipitacion de la humedad atmosferica, lo que genera climas lluviosos.

El desplazamiento de la ubicacion del ecuador termico, producto de la inclinacion del eje de rotacion

terrestre y del movimiento de traslacion de la tierra, genera el mismo desplazamiento cıclico con perıodo de

un ano en los l ımites entre zonas secas y lluviosas.

El clima de Chile es un buen exponente de esta situacion; la zona norte esta permanentemente bajo el efecto

de una zona de marcadas y permanentes altas presiones, denominada anticiclon del Pacifico que se centraliza




frente a la costa en la zona oceanica, dandole su predominante caracterıstica desertica con precipitaciones

anuales de menos de 10 [mm] e incluso nula en algunos sectores; la zona sur queda permanentemente dominada

por la zona del frente polar, con su caracterıstica pluviosidad durante todo el ano, alcanzando pluviometrıas

por sobre los 3000 [mm], mientras la zona central presenta una pluviometrıa intermedia, del orden de centenas

de [mm], con caracterısticas humedas en invierno y secas en verano, cuando el desplazamiento hacia el sur

del anticiclon del Pacıfico bloquea los frentes de mal tiempo generados en el frente polar.

2.6.3.1. Corrientes Marinas

Al igual que en la atmosfera, el calentamiento radiativo de los oceanos tiene una fuerte desuniformidad en el

sentido latitudinal, por lo cual, en principio, las corrientes marinas son producidas por circulaciones de tipo

termal, enteramente analogas a las descritas para la atmosfera, estando de hecho profundamente influenciadas

por la circulacion general de la atmosfera y vientos predominantes, cuyas trayectorias las corrientes marinas

intentan reproducir, generandose corrientes de masas de aguas frıas, de origen polar que se desplazan haciael ecuador acarreando sus propiedades termicas, generandose a su vez corrientes de aguas calientes que se

desplazan desde los tropicos hacia altas latitudes.

A diferencia de las circulaciones atmosfericas, la presencia de barreras continentales constituye un obstacu-

lo insalvable para las corrientes marinas, por lo que resulta mas difıcil plantear un modelo de circulacion

general simple que resulte adecuadamente representativo. A esto contribuye la existencia de otro tipo de

corrientes entre las que pueden distinguirse las corrientes de densidad, generadas por gradientes de salinidad

y/o temperatura, corrientes de deriva, provocadas por arrastre del roce de los vientos, corrientes de pendiente,

provocadas por desniveles generados por apilamientos de agua por efecto del viento, y corrientes de marea,

normalmente de caracter cıclico, provocadas por las mismas fuerzas gravitacionales de generacion de mareas.

En relacion a su influencia sobre el clima de Chile, resulta de particular importancia la corriente de Hum-

boldt, corriente frıa que se desplaza de Sur a Norte a lo largo de la costa, influyendo sobre el regimen de

temperaturas en el sentido de generar una gran uniformidad termica latitudinal, provocando particularmente

en las zonas costeras central y norte temperaturas bastante mas moderadas que las tıpicas correspondien-

tes a su latitud. Este enfriamiento superficial contribuye a su vez a la generaci on de inversiones termicas,

incrementando la estabilidad atmosferica.

2.6.4. El Fenomeno ENOS, El Nino - Oscilacion del Sur

Se entiende por el fenomeno ENOS, (El Nino - Oscilacion del Sur), a una anomalıa que en forma aperiodica

sufren tanto la circulacion general de la atmosfera como las corrientes marinas en el sector del Pacıfico Sur

ecuatorial. El fenomeno, cuyas causas aun se investigan, se presenta en forma aperiodica y con distintas

intensidades, en promedio cada tres a cuatro anos, y se manifiesta por una parte como una perturbacion ba-

rometrica, fenomeno denominado Oscilacion del Sur en que se debilitan o invierten los gradientes barometricos

normales entre el Pacıfico ecuatorial en la zona de Indonesia y las costas subtropicales sudamericanas. Este

fenomeno se asocia a su vez a un debilitamiento de los vientos alisios en el Oceano Pacifico ecuatorial y a un




cambio en el regimen termico del oceano, al cual se le atribuye la ocurrencia de ciertas anomalıas climaticas,

entre ellas, perturbaciones termicas y pluviometricas.

En efecto, en condiciones normales, los vientos alisios arrastran las aguas superficiales m as calientes del

oceano en las cercanıas de las costas de Ecuador y Peru, provocando la surgencia de masas oceanicas mas

profundas de menor temperatura. Al debilitarse esta circulacion, se altera la estratificacion termica del oceano,

observandose un recalentamiento de sus aguas superficiales, que se extiende hacia el Sur, gener andose una

corriente caliente que puede alcanzar hasta la costa norte y central de Chile, y que ha sido denominada

corriente de El Nino, termino introducido por los pescadores peruanos, al observar que el fenomeno suele

iniciarse en el mes de diciembre, junto con la fecha de nacimiento del Nino Jesus. El fenomeno genera por

una parte una alteracion en la biotica acuatica, ya que los peces se desplazan hacia el Sur, en busca de aguas

mas frıas, con un perjuicio economico para la pesquerıa de esos paıses y por otra parte el fenomeno se asocia

a perturbaciones en el regimen pluviometrico de diversas regiones. En Chile, si bien la correspondencia y

correlacion entre ambos fenomenos no es muy alta, estadısticamente se ha detectado una mayor probabilidad

de tener anos mas humedos cuando prevalece el fenomeno de El Nino y una mayor probabilidad de tener

anos mas secos, cuando prevalece la situacion inversa y las aguas oceanicas tienden a enfriarse, situacion que

ha sido denominada “La Nina”. La relacion se hace mas clara durante el invierno entre las latitudes 30ºS

y 36ºS con predominio de anos normales – lluviosos durante eventos El Nino y normales – secos durante

eventos La Nina. Mas hacia el sur, entre los 36ºS y 41ºS, la presencia del fenomeno de El Nino se asociarıa

a la ocurrencia de veranos en el rango normal - seco. (Montecinos, 1998)

Bibliografıa

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UNESCO (1995), World Water Balance and Water Resources of the Earth.



Capıtulo 3

EVAPORACION Y

EVAPOTRANSPIRACION

Introduccion

La evaporacion, proceso mediante el cual el agua pasa del estado lıquido al estado de vapor, es un proceso

natural de enorme trascendencia, ya que como se analizara anteriormente, transforma en energıa cinetica

su calor de vaporizacion (

≈ 600 [cal/gr]), enfriando la superficie evaporante y traspasando esta energıa a la

atmosfera. Este proceso evita los recalentamientos excesivos de la superficie terrestre y contribuye a compensar

el desequilibrio existente en el balance radiativo. Ademas, los procesos de evaporacion inician la circulacion

del agua en la Tierra, generando y manteniendo el ciclo hidrologico. La evaporacion ocurre desde la superficie

de los mares, desde la superficie de las aguas dulces continentales, desde suelos u otras superficies humedas

y a traves de los procesos de transpiracion de organismos vivos, fundamentalmente los vegetales.

Desde el punto de vista de los recursos hıdricos, cuando el proceso de evaporacion ocurre desde la superficie

de los mares, es tremendamente beneficioso, pues constituye la fuente primaria del recurso. Sin embargo,

cuando la evaporacion ocurre desde las aguas dulces continentales, es decir, desde lagos, suelos humedos,

transpiracion vegetal y otros, el proceso constituye una perdida del recurso que puede llegar a constituir una

gran parte y en ocasiones la casi totalidad del recurso agua disponible.

Es en consecuencia de fundamental importancia en ingenierıa de recursos hidraulicos, poder medir o cuan-

tificar en forma adecuada las perdidas por evaporacion, si se desea evaluar las disponibilidades netas de agua

en una cuenca o region. Las perdidas por evaporacion son tambien factores importantes a considerar en la

planificacion, diseno y operacion de embalses destinados a la regulacion de aguas. Por ultimo, toda una rama

de la Ingenierıa Hidraulica, como la Ingenierıa de Riego o Hidraulica Agrıcola, se origina en la necesidad de

reponer a los suelos la humedad perdida por procesos de evaporaci on y transpiracion vegetal.

55



56 Evaporacion y Evapotranspiracion

3.1. Definiciones

A continuacion se presentacion algunas definiciones importantes para facilitar la compresion de este capıtulo:

Evaporacion: Proceso por medio del cual el agua pasa del estado lıquido al estado gaseoso, a tempera-turas inferiores al punto de ebullicion.

Sublimacion: Proceso por medio del cual el agua pasa directamente del estado solido al estado gaseoso,

sin pasar por la fase lıquida.

Transpiracion: Proceso de evaporacion del agua absorbida por las plantas y vegetaci on natural

Evapotranspiracion: Efecto conjunto de la evaporacion del agua contenida en las plantas y la evaporacion

desde la superficie del suelo adyacente.

Uso Consumo: Termino utilizado en Agronomıa, que corresponde a la evapotranspiracion neta mas la

cantidad de agua utilizada por las plantas en la construccion de su tejido vegetal. En terminos practicos

es cuantitativamente casi equivalente a la evapotranspiracion.

Condensacion: Proceso por medio del cual el agua pasa del estado gaseoso al estado lıquido o eventual-

mente al estado solido.

Rocıo: Condensacion que ocurre al estado lıquido, directamente sobre la superficie del terreno.

Escarcha: Condensacion que ocurre directamente al estado solido, sobre la superficie del terreno.

3.2. Factores que Afectan la Evaporacion

La tasa o intensidad a la cual se produce el proceso de evaporaci on depende de una serie de factores condi-

cionantes, que pueden clasificarse en tres grupos:

Poder evaporante de la atmosfera.

Caracterısticas de la superficie evaporante.

Disponibilidad de agua.

A continuacion se describen cada uno de estos factores.

3.2.1. Poder Evaporante de la Atmosfera

Se entiende por poder evaporante de la atmosfera al conjunto de factores de origen atmosferico que controlan

la tasas de evaporacion, independientemente de la disponibilidad de agua para evaporar y de las caracterısticas

de la superficie evaporante.



3.2. Factores que Afectan la Evaporacion 57

Los principales factores atmosfericos que constituyen y condicionan el poder evaporante de la atmosfera

son los siguientes:

Deficit Higrometrico

Se vio al establecer las ecuaciones de intercambio turbulento, que para que exista un flujo de vapor de

agua, es necesaria la existencia de un gradiente de humedad, o expresado de otra manera, un gradiente

de presiones de vapor.

En la superficie de un espejo de agua u otra superficie que contenga agua libre, la presion de vapor

va a corresponder a la presion de vapor saturado, dependiente de la temperatura de la superficie

evaporante, que como se mencionara anteriormente en el capıtulo 2, puede cuantificarse utilizando la

ley de Clausius-Clapeyron, segun la expresion:

ln

es6.11

= mvL

R∗

1

273 − 1

T

donde,

es: Presion de vapor saturado, en [Hpa].

mv: Peso molecular del vapor de agua = 18 [gr/mol].

L: Calor latente de vaporizacion o sublimacion, [cal/gr].

T : Temperatura absoluta, en [K].

o en forma mas practica, por la expresion aproximada,

es = 6.11 · e 17.4T T +239

donde es esta en [Hpa] y T en [°C].

Si el aire en contacto con la superficie del agua tiene una presion de vapor ea menor que la de saturacion,

se producira un gradiente de presiones de vapor, denominandose deficit higrometrico, a la diferencia

entre estas presiones de vapor, es decir,

ϑ = es − ea (3.1)

donde ϑ es el deficit higrometrico.

Este deficit higrometrico se utiliza para cuantificar el gradiente de humedad entre la superficie del

agua y el aire, que originara un flujo o traspaso de humedad desde la superficie a la atmosfera, lo queconstituye el proceso de evaporacion.

El primero en reconocer la importancia de este factor en el proceso de evaporacion fue Dalton en 1802,

quien establecio una relacion para evaluar la evaporacion desde superficies de agua conocida como la

Ley de Dalton.

E = k (es − ea) (3.2)




El factor k depende de otros factores que intervienen en el poder evaporante de la atmosfera,

entre los que destacan la velocidad del viento, la estabilidad atmosferica y el suministro de energıa o

radiacion solar para proporcionar el calor que consume el proceso de cambio de estado del agua.

De hecho, aun hoy en dıa, la mayorıa de las formulas empıricas propuestas para cuantificar la evapora-

cion se basan en la ley de Dalton, cuantificando con distintos criterios el factor k .

Suministro de Calor

Dado que la evaporacion consume calor latente de vaporizacion, si el proceso ocurre sin suministro

de calor externo, la superficie evaporante comenzara a enfriarse disminuyendo su presion de vapor

saturado, hasta anular el deficit higrometrico. Para mantener el proceso evaporativo en el tiempo, en

consecuencia, es necesario un suministro externo de calor, que evite el enfriamiento del agua. La fuente

de calor es normal y principalmente la radiacion solar, razon por la cual la evaporacion natural ocurre

fundamentalmente durante las horas del dıa, disminuyendo considerablemente, aun hasta anularse o

invertirse (condensacion) durante las horas de la noche.

Vientos

Si la atmosfera esta en reposo durante el proceso de evaporacion, el aumento de vapor de agua se

concentrara en las capas bajas con muy poca difusion, incrementando la presion de vapor del aire,

tendiendo tambien a anular el deficit higrometrico. En el proceso evaporativo, en consecuencia, es

importante la accion del viento en la remocion del aire humedo y su reemplazo por masas de aire mas

secas, que mantengan el deficit higrometrico. El grado de influencia del viento depende ademas del

tamano de la superficie evaporante.

Estabilidad Atmosf erica

La estabilidad o inestabilidad atmosferica al frenar o aumentar la difusion vertical turbulenta de lasmasas de aire influyen en forma similar a los vientos en la remoci on del aire humedo en superficie. Una

atmosfera inestable, en definitiva tendera a provocar mas evaporacion que una atmosfera estable.

Presion Atmosf erica

El aumento de la presion atmosferica implica un aumento de la densidad del aire por lo que habra un

mayor numero de moleculas de aire que interfieren y dificultan el flujo de las moleculas de vapor. En

general, entonces, la evaporacion tendera a disminuir con el aumento de la presion atmosferica.

3.2.2. Caracterısticas de la Superficie Evaporante

Las caracterısticas de la superficie evaporante influyen tambien en el proceso de evaporacion, en terminos

de la cantidad de agua libre que este disponible para la evaporacion. Ası, espejos de agua libre tienden a

evaporar mas que superficies de suelos humedos o saturados y que el follaje de la vegetaci on, donde actuan

fuerzas que tienden a atraer y fijar el agua.

Dentro de superficies de agua libre, el agua con movimiento u oleaje evapora del orden del 5 al 10 % mas

que el agua en reposo.



3.3. Evaporacion de Suelos y Transpiracion Vegetal 59

Otro factor que influye es la salinidad del agua, ya que la presencia de s olidos solubles disminuye la presion

de vapor saturado de acuerdo a la Ley de Raoult,

ew − ews

ew=

m

m + M = f (3.3)

donde,

f : Fraccion molar de la solucion.

m: Numero de moles de sal.

M : Numero de moles de agua.

ew: Presion de vapor saturado sobre agua pura.

ews: Presion de vapor saturado sobre agua salada.

En general, la tasa de evaporacion disminuye del orden de un 1 % por cada 1 % de aumento de la salinidad.

Una ultima caracterıstica de la superficie evaporante que influye en el proceso de evaporacion, es el tamanode la superficie. En los bordes de la superficie la tasa de evaporacion tiende a ser mayor por efectos de difusion

lateral, efecto conocido como “efecto oasis”. Por lo anterior, las superficies evaporantes m as pequenas tienden

a tener una tasa de evaporacion por unidad de superficie mayor. A lo anterior se suma una mayor influencia

de los efectos del viento y del calor de adveccion sobre superficies mas pequenas.

3.2.3. Disponibilidad de Agua

Aunque parezca de Perogrullo, es necesario destacar que para que exista un proceso de evaporaci on, se

necesita disponer de la cantidad de agua necesaria para satisfacer el poder evaporante de la atmosfera. Si

por alguna razon la disponibilidad de agua para evaporar es menor que el poder evaporante de la atm osfera,

ya sea porque la superficie comienza a secarse o por alguna otra razon, la tasa de evaporacion comenzara a

disminuir quedando restringida a la disponibilidad de agua libre, llegando incluso a anularse.

Al respecto se definen los conceptos de evaporacion y evapotranspiracion potencial, como la maxima tasa de

evaporacion o evapotranspiracion que puede ocurrir para un determinado poder evaporante de la atmosfera,

siempre que en todo momento exista la disponibilidad de agua necesaria. En estos terminos, la evaporacion o

evapotranspiracion potencial es el lımite maximo de evaporacion o evapotranspiracion posible. La evaporacion

o evapotranspiracion real podra ser menor o a lo sumo igual a la potencial, dependiendo de la disponibilidad

de agua, llegando incluso a anularse si la disponibilidad de agua se agota.

3.3. Evaporacion de Suelos y Transpiracion Vegetal

La evaporacion no solo ocurre desde superficies de agua libre; tambien ocurre desde cualquier superficie

humeda, como pueden ser los suelos o el follaje de la vegetacion.

La evaporacion de suelos superficialmente saturados puede ser del orden del 80 % al 95 % del valor de




un espejo de agua, pero se reduce rapidamente al secarse la capa superficial del suelo. Valores tıpicos de

evaporacion desde superficie de suelos saturados respecto a la evaporaci on desde espejos de agua libre, son

los siguientes:

Arenas: 95 - 100 %Limos: 85 - 95 %

Arcillas: 75 - 85%

La transpiracion vegetal, en cambio, al extraer las plantas el agua a traves de su sistema radicular que

penetra en profundidad el suelo, es mucho mas permanente en el tiempo, siendo de hecho la principal fuente

de evaporacion en zonas continentales. El flujo de agua a traves de troncos y tallos desde las raıces hasta

las hojas, donde fundamentalmente traspira, cumple ademas la funcion de lıquido portador de los nutrientes

necesarios para la planta.

Al efecto conjunto de la transpiracion vegetal y de la evaporacion del suelo que la circunda, se le denomina

evapotranspiracion, que si bien puede ser medida mediante instrumentos llamados lisımetros, normalmentese evalua mediante la expresion,

ET p = cc · E p (3.4)

Donde E T p es la evapotranspiracion potencial y el coeficiente cc, llamado coeficiente de cultivo, depende del

tipo de vegetacion y de la etapa de su desarrollo vegetativo.

El termino evapotranspiracion potencial surge del hecho de suponer que en todo momento existe la disponi-

bilidad de agua necesaria para satisfacer las necesidades transpirativas de la planta. Si existen restricciones de

suministro de agua y el suelo baja de cierto nivel mınimo de humedad, la evapotranspiracion real sera menor

que la potencial, hasta llegar a anularse si la planta se marchita.

En algunos textos de Agronomıa suele definirse la evapotranspiracion potencial como la tasa de evaporacion

que ocurre desde una superficie de alfalfa verde con cobertura total sobre el terreno, siempre que exista en

todo momento la disponibilidad de agua para satisfacer el proceso, aun cuando originalmente dicha definicion

correspondio al termino evapotranspiracion “referencial”. En estos terminos esta definicion concuerda mas

con lo que en este texto ha sido definido como poder evaporante de la atm osfera o evaporacion potencial,

bajo el supuesto de que la alfalfa tenga un coeficiente de cultivo cercano al valor 1.0

A la evapotranspiracion potencial de otro tipo de cultivos, con coeficientes distintos del valor 1.0, se le

identifica en algunos textos de Agronomıa como Evapotranspiracion Actual, en una desafortunada traduccion

del termino ingles “Actual Evapotranspiration” que vendrıa a corresponder a lo que aquı se ha denominado

evapotranspiracion potencial, siempre mayor o a lo sumo igual a la evaporacion real.

3.4. Medicion de la Evaporacion

El instrumento basico para medir la evaporacion es el evaporımetro, del cual se distinguen tres tipos:



3.4. Medicion de la Evaporacion 61

Evaporımetro de estanque o de bandeja

Evaporımetro de papel poroso (tipo Piche)

Evaporımetro de membrana porosa o atmometro.

La medicion que arroja un evaporımetro es solo un “ındice” de la verdadera evaporacion ocurrida sobre

una superficie de agua de mayor tamano, debido principalmente a diferencias en el calor absorbido y distintos

efectos del viento y del calor de adveccion. Por estos efectos, la evaporacion medida debe multiplicarse por

un factor correctivo, denominado coeficiente de embalse del evaporımetro, para hacerla mas representativa

de la evaporacion real.

Se define entonces el coeficiente de embalse de un evaporımetro por la relacion,

C = E rE m

(3.5)

donde,

C : Coeficiente de embalse del evaporımetro, dependiente de su tipo y de las condiciones de instalacion.

E r: Evaporacion real.

E m: Evaporacion medida.

En general en meteorologıa o hidrologıa el concepto de “ındice hidrologico o meteorologico” se aplica a

todas aquellas variables medidas que no corresponden exactamente a la variable que se desea medir, pero que

corresponden a una variable asociada, altamente correlacionada con la variable original y de cuyo an alisis

puedan extraerse conclusiones validas para la variable de interes.

3.4.0.1. Evaporımetros de Estanque

El evaporımetro de estanque, como su nombre lo indica consiste en un estanque o bandeja de seccion circular

o rectangular que se llena con agua y que puede instalarse sobre la superficie del terreno, semi-enterrado en

el terreno de manera que la superficie del agua coincida con la rasante del suelo, o flotando en un lago o

embalse.

El coeficiente de embalse del evaporımetro dependera de su diseno y condiciones de instalacion, por lo que

es conveniente para propositos comparativos que todos los instrumentos sean iguales. Existiendo diversos

modelos disenados para medir la evaporacion, el instrumento basico y mas frecuente es el evaporımetro de

bandeja o estanque tipo A del U.S.W.B., instrumento que consiste simplemente en un estanque de seccioncircular construido en fierro galvanizado sin pintar, que se instala sobre una parrilla de manera que permite

la circulacion del aire bajo el y cuyas dimensiones y condiciones de instalacion estan normalizadas.

Las principales dimensiones son las siguientes:

Diametro: 4’ o 122 [cm]

Alto: 10” o 25.5 [cm]




Alto de la parrilla sobre la que se instala el instrumento: 15 [cm]

Borde libre o revancha inicial de llenado: 2” o 5 [cm]

La unidad de medida es el milımetro de altura de agua y la medicion se efectua llenando inicialmente el

estanque hasta el nivel inicial predeterminado y registrando la cantidad de agua necesaria para reponer el

nivel original en un intervalo de tiempo dado, normalmente un dıa, lo que da origen a las estadısticas de

evaporaciones diarias.

Las principales instituciones que recopilan informacion evaporımetrica en Chile son la Direccion General

de Aguas del Ministerio de Obras Publicas (DGA), la Direccion Meteorologica de Chile, dependiente de la

Direccion de Aeronautica (DMC) y organismos dependientes del Ministerio de Agricultura.

El coeficiente de embalse del evaporımetro de bandeja Tipo A, puede variar, segun recomendaciones de la

FAO, entre 0.35 y 0.85 dependiendo del ambiente de su instalaci on, de la humedad del aire y de la velocidad

del viento, segun se indica en la Tabla 3.1; en ausencia de mejor informacion se recomienda un valor del orden

de 0.7.

Tabla 3.1: Coeficientes de embalse de Evaporımetros de Bandeja Tipo A.

Condicion de instalacion Instrumento en terreno con cobertura vegetal verde Instrumento en terreno seco sin cubierta vegetal (*)

Humedad relativa Baja Media Alta Baja Media Alta

media [ %] (< 40) (40 – 70) (> 70) (< 40) (40 – 70) (> 70)

Recorrido del viento Distancia del area verde Distancia del area seca

[km/dıa] viento arriba [m] Viento arriba [m]

0 0.55 0.65 0.75 0 0.7 0.8 0.85

Ligero 10 0.65 0.75 0.85 10 0.6 0.7 0.8

(<175) 100 0.7 0.8 0.85 100 0.55 0.65 0.75

1000 0.75 0.85 0.85 1000 0.5 0.6 0.7

0 0.5 0.6 0.65 0 0.65 0.75 0.8

Moderado 10 0.6 0.7 0.75 10 0.55 0.65 0.7

(175 – 425) 100 0.65 0.75 0.8 100 0.5 0.6 0.65

1000 0.7 0.8 0.8 1000 0.45 0.55 0.6

0 0.45 0.5 0.6 0 0.6 0.65 0.7

Fuerte 10 0.55 0.6 0.65 10 0.5 0.55 0.65

(425 – 700) 100 0.6 0.65 0.7 100 0.45 0.5 0.6

1000 0.65 0.7 0.75 1000 0.4 0.45 0.55

0 0.4 0.45 0.5 0 0.5 0.6 0.65

Muy fuerte 10 0.45 0.55 0.6 10 0.45 0.5 0.55

(> 700) 100 0.5 0.6 0.65 100 0.4 0.45 0.5

1000 0.55 0.6 0.65 1000 0.35 0.4 0.45

(*): En el caso de vastas extensiones de suelos desnudos y en ausencia total de vegetaci on, reducir los valores del coeficiente de embalse

en un 20 % en condiciones calurosas y ventosas, y en un 5 a 10 % en condiciones moderadas de viento, temperatura y humedad.

Por ultimo es necesario senalar que la medicion de un evaporımetro es de tipo puntual, es decir mide la

variable o “ındice” en el punto especıfico de su instalacion. Para poder cuantificar la evaporacion sobre una

cuenca o region, es necesario instalar una adecuada red de evaporımetros. En la publicacion “Balance Hıdrico

de Chile”, de la DGA (1987) se presentan curvas de isoevaporacion para diversas regiones del paıs.

Valores tıpicos de evaporacion media mensual en distintas localidades de Chile, se presentan en la Tabla 3.2.



3.4. Medicion de la Evaporacion 63

Aun cuando las cifras no son estrictamente comparables pues corresponden a distintos perıodos y longitudes

de medicion, muestran claramente la dependencia de la evaporacion con las caracterısticas termicas y de

humedad ambiental de las distintas localidades, ademas de la eventual dependencia de las condiciones de

instalacion del instrumento.

Tabla 3.2: Evaporacion mensual de bandeja [mm].

Estacion ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SEP OCT NOV DIC ANUAL

Arica 325 283 286 228 181 134 121 133 159 214 251 285 2600

Antofagasta 260 214 197 149 122 100 106 127 148 191 213 242 2069

Calama 432 364 410 348 344 314 338 323 354 415 429 444 4515

Copiapo 322 249 209 148 99 103 88 116 145 198 235 282 2194

Vallenar 302 228 195 134 97 73 71 108 133 177 221 240 1979

La Serena 159 134 115 81 65 51 48 53 75 92 113 148 1134

Vicuna 287 242 210 137 99 85 85 114 149 214 246 284 2152

San Felipe 268 219 176 104 64 47 36 62 105 144 203 245 1673

Santiago 224 174 138 71 39 24 27 45 69 115 160 214 1300

Rancagua 210 150 109 60 28 18 21 34 51 103 155 190 1129Curico 236 191 142 88 47 37 42 53 75 107 163 215 1396

Linares 244 204 153 73 33 19 16 30 58 106 130 218 1284

Chillan 245 189 144 85 32 16 21 40 73 113 170 203 1310

Ls. Angeles 225 183 135 65 33 25 28 39 65 102 144 196 1240

Victoria 190 152 121 67 37 34 37 40 78 84 124 162 1126

Temuco 137 117 101 55 28 22 32 41 68 86 94 135 916

Osorno 133 127 110 81 46 36 68 51 47 69 91 133 992

Pto. Montt 161 119 89 66 43 37 43 50 73 109 130 154 1074

Pta. Arenas 118 98 56 36 13 0 0 0 30 65 114 127 657

Fuente: CNR-CIREN (1997).

3.4.1. Evaporımetro de Papel Poroso

El evaporımetro de papel poroso o evaporımetro Piche, de uso frecuente en Europa, es poco utilizado en Chile,

consistiendo en un tubo de vidrio con forma de un pequeno baston invertido, de 14 [mm] de diametro y 22.5

[cm] de largo, que se llena con agua. En el extremo inferior, lleva una tapa de material poroso, exactamente

de papel filtro en forma de “hostia” de 32 [mm] de diametro, que permite la evaporacion del agua, cuya

magnitud se mide mediante una escala en el tubo de vidrio. Presenta el problema de que por su peque no

tamano, es muy sensible a las variaciones de radiacion y viento, con un coeficiente de embalse promedio del

orden de C=0.5, con fuertes variaciones estacionales.

3.4.2. Evaporımetro de Porcelana Porosa o Atmometro

Consisten en esferas, placas o cilindros de porcelana porosa, conectados a una fuente de agua para mantenerlos

permanentemente saturados, que se utilizan principalmente en Agronomıa para estimar la evapotranspiracion

potencial. Tienen poco uso en Meteorologıa.




3.5. Estimacion de la Evaporacion y Evapotranspiracion

Considerando que la evaporacion potencial o poder evaporante de la atmosfera depende fundamentalmente

de las caracterısticas climatologicas y meteorologicas, se han propuesto diversos metodos basados en con-

sideraciones teoricas aerodinamicas, en balances de energıa, ası como formulas empıricas, semi empıricas y

combinadas, para lograr estimaciones de la evaporacion y evapotranspiracion potencial. Dentro de un gran

numero de formulas o metodos que se han propuesto en la literatura, pueden destacarse los siguientes metodos.

3.5.1. Formula de Thornthwaite-Holzman o Metodo Aerodinamico

Este metodo es tal vez el de mayor base teorica, basado en los conceptos de intercambio turbulento de masa

y energıa.

Dividiendo las ecuaciones (2.85) y (2.83) de intercambio turbulento de calor latente y cantidad de movi-

miento, se obtiene:

QL = −τ · L · K W

K M

dq/dz

du/dz (3.6)

Utilizando a su vez la ecuacion (2.89) de Von Karman-Prandtl para estimar los esfuerzos tangenciales τ entre

los niveles 1 y 2, se obtiene,

τ = ρak2 (u2 − u1)2

(ln(z2/z1))2 (3.7)

donde ρa es la densidad del aire.

Reemplazando en la ecuacion anterior y expresando las derivadas como diferencias finitas entre los niveles 1

y 2, resulta,

QL = ρa · L · k2K W

K M

(q 1 − q 2) · (u2 − u1)

(ln(z2/z1))2 (3.8)

Postulando que los coeficientes de intercambio turbulento de calor latente y cantidad de movimiento fuesen

parecidos, (K W ≈ K M ), Thornthwaite y Holzman plantean su ecuacion para estimar la tasa masica de

evaporacion por unidad de superficie mediante la relacion simplificada,

ma = ρa · k2 (q 1 − q 2) · (u2 − u1)(ln(z2/z1))

2 (3.9)

La ecuacion anterior, conocida como formula aerodinamica o formula de Thornthwaite-Holzman, debe ser

aplicada con precaucion, ya que solo es valida cuando las condiciones atmosfericas son neutras o cuasi neutras,

debido por una parte a la hipotesis de igualdad entre los coeficientes de intercambio turbulento que es solo

admisible bajo esas condiciones, y por otra parte porque cuando la atm osfera no es neutra, los perfiles de

velocidad pueden apartarse considerablemente de la ley de Von Karman-Prandtl.



3.5. Estimacion de la Evaporacion y Evapotranspiracion 65

Diversos autores han propuesto factores correctivos a la formula de Thornthwaite-Holzman, para condicio-

nes no neutras, principalmente en funcion del Numero de Richardson o del parametro de Monin-Obukhov,

que deben consultarse en bibliografıa especializada.

3.5.2. Metodo del Balance de Energıa o Formula de Bowen

Los flujos de intercambio de energıa entre la tierra y la atmosfera corresponden a flujos radiativos, de calor

latente y calor sensible. Por lo tanto, planteando una ecuacion de balance energetico sobre una superficie

unitaria de agua o suelo, resulta:

RN − QL − QH = Qs (3.10)

donde,RN : Flujo de radiacion neto.

QL: Flujo de calor latente.

QH : Flujo de calor sensible

Qs: Flujo de calor que se incorpora a la superficie.

En la expresion anterior la radiacion se considera positiva si incide sobre la superficie, los flujos de calor

latente y sensible se consideran positivos cuando los emite la superficie y el flujo de calor incorporado ser a nulo

si el sistema esta en equilibrio, positivo si se esta calentando y negativo si se esta enfriando. La ecuacion

anterior supone tambien que todo el intercambio energetico ocurre en la vertical. En la practica puede ocurrir

que existan aportes de calor laterales como por ejemplo viento o aportes de agua con temperaturas distintas

a la del sistema, calor que se denomina genericamente calor de adveccion, por lo que la ecuacion de balance,

en su forma mas general queda,

RN − QL − QH + QA = Qs (3.11)

donde,

QA: calor de adveccion.

Reordenando la ecuacion anterior, se obtiene,

QL

1 + QH

QL

= RN + QA − Qs (3.12)

Al cuociente entre el flujo de calor sensible y calor latente se le conoce con el nombre de cuociente o raz on

de Bowen, β , de donde,

QL = RN + QA − Qs

1 + β (3.13)




Para evaluar la razon de Bowen se puede recurrir a las ecuaciones de intercambio turbulento de calor sensible

y latente, de donde,

β = QH

QL=

c p

L

K H

K W

dT

dq (3.14)

Suponiendo nuevamente la igualdad entre los coeficientes de intercambio turbulento (K H = K W ), el flujo de

calor latente se expresa finalmente mediante la relacion,

QL = RN + QA − Qs

1 + cpL

K HK W

dT dq

(3.15)

La ecuacion anterior se conoce como ecuacion o formula de Bowen, que ha demostrado ser aplicable

para condiciones atmosfericas no neutras, ya que la hipotesis de igualdad de los coeficientes de intercambio

turbulento ha resultado mas valida que en el caso de la formula aerodinamica. Sin embargo la formula pierde

precision, tendiendo a indefinirse, para condiciones atmosfericas muy particulares en que el coeficiente o razon

de Bowen tiende al valor β = −1.

3.5.3. Formulas Combinadas

Los metodos anteriores permiten estimar las tasas de evaporacion, estrictamente en forma instantanea, o a lo

mas, a escala horaria, requiriendo de mediciones meteorologicas de buena calidad, lo que es difıcil de lograr

en la practica. En consecuencia, son poco apropiadas para estimaciones rutinarias en que basten valores pro-

medios a escala diaria o mensual. Debido a lo anterior, se han propuesto diversas f ormulas semiempıricas que

tratan de adaptar la teorıa a la realidad, mediante la introduccion de coeficientes o funciones experimentales.Estas formulas se pueden clasificar en dos grupos: las formulas combinadas y las formulas basadas en la Ley

de Dalton.

Las formulas combinadas son las que tienen una mayor base teorica y se basan en una combinacion de las

ecuaciones de intercambio turbulento y de balance de energıa, con el objeto de eliminar algunas variables

desconocidas y expresar las ecuaciones en funcion de variables comunmente disponibles. Contienen ademas,

alguna funcion de tipo empırico, que normalmente representa una estimacion de los coeficientes de intercambio

turbulento. Entre diversas formulas de este tipo, pueden destacarse las formulas de Penman y de Mc Ilroy.

3.5.3.1. Formula de Mc Ilroy

Combinando las ecuaciones de intercambio turbulento y la ecuaci on de balance de energıa, y reemplazando

ademas algunas variables en base a la ecuacion psicrometrica, Mc Ilroy propuso la siguiente expresion para

la estimacion del flujo de calor latente:

QL = ∆

∆ + γ (RN + QA − Qs) + h · (D − D0) (3.16)




donde,

∆ = desdT : Derivada o pendiente de la curva de presi on de vapor saturado vs. temperatura, evaluada con la

temperatura de bulbo humedo (T w).

γ = cp pεL : Constante psicrometrica.

D = (T − T w): Depresion de bulbo humedo a una cota z .D0: Depresion de bulbo humedo en superficie.

h = ρacpK H

z : Funcion a determinar empıricamente.

La ecuacion permitirıa estimar tanto evaporacion como evapotranspiracion a partir de informacion de ra-

diacion neta, temperatura de bulbo seco y temperatura de bulbo humedo, estas ultimas medidas en superficie

y a una cota z. En el caso de evaporacion de superficies de agua lıquida puede aceptarse que D0 tiene un

valor nulo.

En cuanto a la funcion empırica “h”, experiencias efectuadas en California, con un clima muy parecido al

de Chile Central, proponen estimar esta funcion mediante la expresion,

h = 0.036 · (1 + u1) (3.17)

donde u1 es la velocidad del viento en [m/seg] medida a una cota z = 1 [m] y aplicable cuando el flujo de

calor latente se expresa en unidades de [cal/cm2 · min].

En la Tabla 3.3 se presentan valores de la funcion ∆∆+γ en funcion de la temperatura de bulbo humedo

(T w), para una presion barometrica de 1000 [Hpa].

Por otro lado, La derivada de la presion de vapor saturado respecto a la temperatura puede ser determinada

a partir de la ley de Clausius-Clapeyron. Ası, considerando la ecuacion (2.22) se obtiene:

∆ = desdT

= 4158.6(T + 239)

2 · 6.11 · e( 17.4T T +239) (3.18)

donde T esta en [°C].

Como el valor de γ se puede obtener facilmente, la ecuacion (3.18) permite determinar el valor de la funcion∆

∆+γ para cualquier valor de T w.

Tabla 3.3: Valores de la funcion ∆∆+γ ( p = 1000 [Hpa]).

T w [°C] ∆∆+γ T w [°C] ∆

∆+γ

0 0.4 18 0.651

2 0.431 20 0.6754 0.461 22 0.699

6 0.49 24 0.722

8 0.519 26 0.744

10 0.547 28 0.765

12 0.575 30 0.785

14 0.601 32 0.805

16 0.626 34 0.824




3.5.3.2. Formula de Penman

En base a un desarrollo muy similar al anterior, Penman propuso la expresion

QL = ∆

∆ + γ · (RN + QA − Qs) +

γ

∆ + γ · L · E a (3.19)

donde E a es una medida del poder evaporante de la atm osfera, para lo cual propone la expresion,

E a = ρaε

p(a + b · u)(es − e) (3.20)

donde,

ρa: Densidad del aire.

p: Presion atmosferica.

u: Velocidad del viento.

a: Constante con dimension de velocidad a determinar empıricamente.

b: Constante adimensional, a determinar empıricamente.

es: Presion de vapor saturado a una temperatura T .

e: Presion de vapor a una temperatura T .

Para condiciones normales de densidad y presion atmosferica, se ha propuesto la relacion,

E a = 0.0265(1 + 0.0062 · u2)(es − e) (3.21)

donde E a se expresa en [gr/cm2 · dıa ], la presion de vapor en [Hpa] y u2 es la velocidad del viento a 2 metros

de altura expresado en [km/dıa].

Reemplazando lo anterior en la ecuacion (3.19) y expresando en terminos volumetricos, la ecuacion de

Penman queda finalmente,

E = QL

ρw · L = 0.0167 ∆

∆ + γ · (RN + QA − Qs) + 0.265 γ

∆ + γ (1 + 0.0062 · u2)(es(T ) − e(T )) (3.22)

donde E se obtiene en [mm/dıa ], el termino RN se expresa en [cal/cm2 · dıa ] y los terminos QA y Qs, suelen

despreciarse.

Notese que el termino γ ∆+γ equivale al valor

1 − ∆

∆+γ

, por lo que su valor numerico puede obtenerse de

la Tabla 3.3, o bien a partir de la ecuacion (3.18).




3.5.4. Formulas Basadas en la Ley de Dalton

Un gran numero de formulas empıricas han sido propuestas en la literatura especializada para estimar tasas

de evaporacion a distintas escalas de tiempo, las cuales se basan en la ecuacion (3.2) o Ley de Dalton,

proponiendo distintas expresiones para evaluar el coeficiente de proporcionalidad k .

3.5.4.1. Formula del Lago Hefner

Esta formula, deducida originalmente en 1954, en base a datos de evaporacion del Lago Hefner, ha sido

extendida para su aplicacion universal mediante la expresion,

E = 0.291 · A−0.05u2(es − e) (3.23)

donde,

E : Evaporacion en [mm/dıa].A: Area del lago o superficie evaporante en [m2]

u2: Velocidad media diaria del viento a 2 [m] de altura, en [m/s].

es − e: Deficit higrometrico en [mb] o [Hpa].

3.5.4.2. Formula de los Servicios Hidrologicos de la ex URSS

E = 0.15(1 + 0.72 · u2)(es − e) (3.24)

donde,

E : Evaporacion en [mm/dıa].



3.5.4.3. Formula de Meyer

Esta formula ha dado resultados relativamente buenos en Chile,

E = c(1 + 0.22·

u10)(es−

e) (3.25)

donde,

E : Evaporacion en [mm/mes].



c: Factor que depende de la profundidad y tamano de la superficie evaporante. sus valores oscilan entre 8 y

11.




3.5.5. Formulas Climatologicas

Desde un punto de vista climatologico, se han propuesto tambien una serie de metodos o formulas para

estimar la evaporacion o evapotranspiracion natural a nivel de cuencas u hoyas hidrogr aficas. Entre ellas es

posible destacar:

3.5.5.1. Formula de Turc

Formula de origen climatologico para estimar evapotranspiracion potencial:

ET p = 0.013 · T

T + 15 · (R + 50) ·

1 +

65 − h

120

(3.26)

donde,

ET p: Evapotranspiracion potencial [mm/dıa].

T : Temperatura media diaria [°C].R: Radiacion global [cal/cm2dıa].

h: Humedad relativa media diaria [ %].

En esta formula el ultimo factor toma un valor 1 para humedades mayores a 65 %.

3.5.5.2. Metodo de Thornthwaite

De acuerdo a este autor, la evapotranspiracion potencial en cuencas naturales se puede estimar por la expre-

sion,

ET p = 16 · d ·

10 · T

I c

a(3.27)

donde,

ET p: Evapotranspiracion potencial [mm/mes].

T : Temperatura media mensual [°C].

d: Coeficiente de horas de luz.

I c: Indice de calor anual.

El coeficiente de horas de luz (d) corresponde al cuociente entre la duracion media de las horas de luz del

mes respecto al valor promedio 12 horas. Es un valor calculable astron omicamente, dependiendo de la latituddel lugar y la epoca del ano. En la Tabla 3.4 se presentan valores del coeficiente mensual de horas de luz en

funcion de la latitud u epoca del ano.

Por otro lado, el indice de calor anual esta definido por la relacion,

I C =12i=1

ic (3.28)



3.6. Evaporacion desde Salares 71

donde a su vez, el ındice de calor mensual ic se estima por la relacion,

ic =

T

5

1.51(3.29)

Por ultimo, El exponente a se calcula por la expresion,

a = 6.75 × 10−7I 3c − 7.71 × 10−5I 2c + 1.79 × 10−2I c + 0.492 (3.30)

Tabla 3.4: Coeficiente de horas de luz (d).

Latitud Sur [°] E F M A M J J A S O N D

10 1.08 0.98 1.05 0.99 1.01 0.96 1 1 1 1.06 1.05 1.1

20 1.14 1.01 1.05 0.97 0.96 0.91 0.95 0.99 1 1.09 1.09 1.15

30 1.2 1.04 1.06 0.95 0.92 0.85 0.9 0.95 1 1.12 1.14 1.21

35 1.23 1.06 1.06 0.94 0.89 0.82 0.87 0.93 1 1.13 1.17 1.2540 1.27 1.08 1.07 0.93 0.86 0.78 0.84 0.91 1 1.15 1.2 1.29

45 1.31 1.1 1.07 0.91 0.82 0.73 0.8 0.89 0.99 1.17 1.24 1.33

50 1.37 1.14 1.1 0.89 0.79 0.68 0.74 0.86 0.99 1.19 1.29 1.41

Para ambas formulas recien presentadas, se debe considerar que para su aplicacion a alguna cobertura

vegetal especıfica, deben multiplicarse por su respectivo coeficiente de cultivo.

Existen ademas numerosas otras formulas empıricas que se utilizan principalmente en Agricultura, pa-

ra la estimacion de la evapotranspiracion potencial de cultivos comerciales. En la publicacion “Calculo y

Cartografıa de la Evapotranspiracion Potencial en Chile”, de CNR-CIREN (1997) se proponen valores de

evapotranspiracion potencial para distintas localidades del paıs, estimados con diversas metodologıas.

3.6. Evaporacion desde Salares

En la zona Norte del paıs existen numerosas cuencas endorreicas que no tienen descarga al mar, por lo que

las aguas se concentran en el punto m as bajo de ellas, conformando lagos o lagunas cerradas que al evaporar

potencialmente mas que la alimentacion que reciben, se transforman en salares, de los cuales se evaporan

todos o gran parte de los recursos hıdricos de la cuenca.

Cuando los salares mantienen lagunas o espejos de agua libre, o cuando su costra se mantiene permanen-

temente saturada, la evaporacion debe ser cercana a la evaporacion potencial de agua o suelos saturados,

corregidos por un factor que considere la salinidad del agua.

Si la superficie del salar se seca, y el nivel de las aguas subterr aneas del salar comienza a bajar, las tasas

de evaporacion deben reducirse considerablemente, en forma analoga a lo que sucede en los suelos.

A pesar de la enorme trascendencia que tiene el recurso agua en zonas deserticas, existe muy poca infor-

macion que permita estimar las tasas de evaporacion desde salares.




Algunos estudios realizados, proponen leyes de decaimiento exponencial de la tasa de evaporaci on, a medida

que la profundidad del nivel freatico aumenta, expresadas mediante la relacion,

E = E ae−k·z (3.31)

donde,

E : Evaporacion desde el salar o laguna [mm/dıa].

E a: Evaporacion desde superficie de agua [mm/dıa].

z: Profundidad de la napa [m].

k: Constante de decaimiento

Para la constante k se han propuesto los valores k = 3.25 para el Salar de Atacama (Mardones, 1986)

y k = 0.92 para el Salar de Bellavista (Grilli et al., 1987). Sin embargo, estos valores se estiman aun muy

aproximados y de caracter solo referencial.

3.7. Evaporacion desde Superficies de Hielo o Nieve

Muy poca informacion se dispone respecto a las tasas de evaporacion desde superficies de hielo o nieve. En

general se estima que la sublimacion directa es bastante reducida, produciendose principalmente la evapora-

cion cuando el hielo o nieve comienzan a tener algun contenido de agua lıquida. Se han informado valores

del orden de 20 a 40 [mm/ano] en regiones frıas septentrionales, del orden de 10 a 20 [mm/mes] en latitudes

medias y valores de 2 a 4 [mm/dıa] en zonas montanosas subtropicales como los Montes Atlas en Marruecos

o la Cordillera de Los Andes en el Norte de Chile.

Algunos valores medidos en la localidad de La Parva, en la precordillera de Santiago, arrojaron los valores

estimativos que se presentan en la Tabla 3.5.

Tabla 3.5: Valores estimativos de sublimacion de nieves Lat. 33º Cota 2600 [m.s.n.m.].

Mes E F M A M J J A S O N D

E [mm/mes] 52.7* 43.9* 41.8* 26.4* 17.5 12.5 12.5 11.5 20.7* 29.3* 40.5* 45.0*

Los valores marcados con asterisco (*) no corresponden a valores medidos, sino que estimados en base a

correlacion con evaporacion de agua libre. Todos estos valores son de car acter solo referencial y serıan solo

aplicables a la cota y latitud indicada, variando en funcion de estas variables en forma similar a la variacion

de la evaporacion desde agua, es decir dependientes principalmente de la humedad, velocidad del viento ytemperatura atmosfericos.

Maluk (2009) modelando el balance energetico en un manto de nieve obtuvo valores estacionales de evapo-

racion de nieve en la zona central de Chile, que oscilan entre un 10 % de la precipitacion invernal para cotas

bajas en anos humedos hasta un 45 % de esta en zonas altas en anos secos. Las mayores tasas de evaporacion

ocurrirıan en cotas bajas a fines de invierno y en primavera en cotas medias y altas, coincidiendo con el

perıodo en que la nieve alcanza su maxima madurez, es decir, temperaturas cercanas al punto de fusion y



3.8. Reduccion de la Evaporacion desde Superficies Lıquidas 73

con contenido de agua lıquida. Los parametros meteorologicos de mayor incidencia serıan la sequedad del

aire y principalmente la velocidad del viento. En ausencia de mejor informaci on, Maluk (2009) propone las

siguientes relaciones para estimar la evaposublimacion mensual de nieves en la zona central de Chile.

Perıodo Abril - Septiembre

Es = λ (85.32 + 7.972 · ln(z))

u ·

1 − h

100

0.951(3.32)

Perıodo Octubre - Marzo

Es = λ (8.348 + 1.058 · ln(z))

u ·

1 − h

100

1.112(3.33)

donde,

z: Cota sobre el nivel del mar en [m].

u: Velocidad media del viento a 1.5 [m] de altura, en [m/s].h: Humedad relativa [ %].

λ: Fraccion espacio-temporal de cobertura de nieve.

3.8. Reduccion de la Evaporacion desde Superficies Lıquidas

Bajo ciertas condiciones climaticas o de exposicion, la perdida de agua por efecto de la evaporacion puede

llegar a ser considerable, al punto que justifique tomar algunas medidas para intentar reducir las tasas de

evaporacion. Algunas medidas que pueden tomarse son las siguientes:

Reduccion de la superficie evaporante: En el caso de estanques o embalses, aumentar la profun-

didad de la cuba, de manera de reducir la relaci on superficie del espejo de agua/volumen almacenado.

Esto desgraciadamente implica un aumento de la altura de muros con el correspondiente aumento de

costos.

Cubiertas artificiales: En estanques o embalses pequenos pueden utilizarse cubiertas artificiales o

balsas de troncos flotantes que protegen de la radiacion disminuyendo la evaporacion.

Capas superficiales monomoleculares: Es ampliamente conocido que la aplicacion de substancias

aceitosas sobre la superficie del agua reduce la evaporacion. Sin embargo, el procedimiento es costoso,

difıcil de aplicar e interfiere sobre la oxigenacion, sobre el intercambio de gases con la atmosfera y

sobre la flora y la fauna. Existen sin embargo, algunos tipos de hidrocarburos de cadenas largas, tales

como el hexadecanol (C16OH) o el octadecanol (C18OH) que son repelentes al agua y se esparcen

espontaneamente sobre la superficie formando capas o pelıculas de solo una molecula de espesor. Esto

tiene la ventaja de no interferir a los procesos de aireacion, no son toxicos a la flora y la fauna,

permitiendo reducciones de la evaporacion de hasta un 50 %. Es, sin embargo, costoso y requiere de

permanente mantencion, ya que el viento arrastra la capa hacia las orillas, perdiendose eficiencia.




Barreras cortavientos: Cualquier accion que tienda disminuir el poder evaporante de la atmosfera

reducira la evaporacion. Un procedimiento simple y expedito es la plantacion de alamedas o barreras

de arboles que al disminuir o deflectar la velocidad del viento disminuyen la evaporaci on. La mayor

eficiencia se logra con barreras perpendiculares a la direccion predominante de los vientos, sin aberturas

o interrupciones, que pueden ser contraproducentes, y no demasiado densas, ya que si forman una

barrera impenetrable se generan turbulencias a sotavento, sobre el espejo de agua, que incrementan la

evaporacion.

Bibliografıa

Chow, V. T., D. R. Maidment, and L. W. Mays (1994), Hidrologıa Aplicada , Mc Graw Hill Interamericana,

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de Informacion de Recursos Naturales.

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Hidraulicos. Departamento de obras civiles, facultad de ciencias fısicas y matematicas, Universidad de Chile.

Grilli, A., C. Fernandez (1987), Evaluacion de la Evaporacion desde Salares Utilizando Trazadores Naturales

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Linsley, R., M. Kohler, J.Paulhus (1958), Hydrology for Engineers , McGraw¸ Hill.

Maidment, D. R. (1993), Handbook of Hydrology , Mc Graw Hill.

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Organization, Technical Note No. 83, WMO-No. 201.TP.105, Geneva, Switzerland.



Capıtulo 4

PRECIPITACION

Introduccion

En hidrologıa se entiende por precipitacion a toda agua de origen meteorico que cae o se deposita sobre la

superficie terrestre. Comprende en consecuencia, la lluvia, el granizo, la nieve, el ro cıo y la escarcha.

El mayor elemento de almacenamiento de agua del planeta es obviamente la hidr osfera (mares y oceanos),

desde donde el agua se evapora, consumiendo la energıa recibida principalmente desde el sol, para almacenarse

en forma de vapor en la atmosfera. El vapor que se incorpora, ejerce una presion, al igual que cualquier otro

gas, la cual va aumentando a medida que se incorpora mas vapor, hasta alcanzar un valor maximo o condicion

de saturacion que aumenta, de acuerdo a la ley de presi on de vapor saturado, en forma exponencial con la

temperatura. Al ser sobrepasado el lımite de saturacion, se provoca la condensacion del sobrecontenido de

vapor, el que pasa al estado lıquido o solido, constituyendo las nubes, formadas por microscopicas gotas de

agua o cristales de hielo, del orden de micrones o milesimas de milımetros de diametro, en una concentracion

variable pero del orden de 400 [gotas/cm3], que se mantienen en el aire en suspension. Para que estas gotas

o cristales precipiten, es necesario un proceso de crecimiento de su tamano del orden de un millon de veces,

hasta que alcancen el peso necesario para precipitar.

75



76 Precipitacion

4.1. Mecanismos de Condensacion

El mecanismo mas frecuente utilizado por la naturaleza para condensar el vapor de agua, formar nubes y

precipitar, consiste en provocar el ascenso adiabatico de masas de aire humedo. El aire al ascender, se enfrıa;

con ello su presion de vapor saturado disminuye, logrando la saturacion y condensacion.

Es posible clasificar las precipitaciones dependiendo del mecanismo natural que provoque el ascenso de las

masas de aire, en distintos tipos:

Precipitaciones convectivas.

Precipitaciones ciclonicas

Precipitaciones ciclonico-frontales

Precipitaciones orograficas.

4.1.1. Precipitaciones Convectivas

Debido al recalentamiento de masas de aire humedo proximas a la superficie terrestre, la atmosfera se hace

inestable provocando el ascenso casi vertical de este aire, que al enfriarse adiab aticamente, alcanza la tempe-

ratura de rocıo y la condensacion. Las nubes ası formadas, de tipo cumulus, tienen un gran desarrollo vertical,

alcanzando hasta la tropopausa y dando origen a precipitaciones localizadas y de gran intensidad. Sin em-

bargo, al no haber realimentacion externa de aire humedo, dado el escaso contenido de agua precipitable de

la atmosfera, estas lluvias son en general de corta duracion.

El mecanismo generador del ascenso del aire es en este caso de origen termico, siendo las precipitaciones

convectivas tıpicas de zonas tropicales o de perıodos calurosos en zonas templadas.

4.1.2. Precipitaciones Ciclonicas

La presencia de un ciclon, o zona de baja presion atmosferica, provoca la convergencia del aire hacia ese

punto, en un movimiento en espiral por la accion de la aceleracion de Coriolis, debiendo el aire necesariamente

ascender en el centro u ojo del ciclon, con su correspondiente enfriamiento y condensacion. Las precipitaciones

ası generadas se denominan precipitaciones ciclonicas.

En presencia de un frente o zona donde se ponen en contacto masas de aire de distinta calidad termica,

siendo de particular importancia el frente polar que se genera aproximadamente a la latitud de 60°, donde

se ponen en contacto masa de aire caliente y humedo de origen subtropical con masas de aire frıo y seco

provenientes de las regiones polares, si se produce, por motivos de inestabilidad de la circulacion atmosferica,

un centro de baja presion o ciclon, las masas de aire circundantes, frıas y calientes se ponen en movimiento,

producto del gradiente de presion, hacia el centro de baja. El movimiento en espiral en torno al centro de

baja presion, provoca el choque de masas de aire de distinta calidad termica. Esto provoca dos fenomenos

distintos: En algunos sectores, especıficamente al oriente del centro de baja en el hemisferio sur, las masas



4.1. Mecanismos de Condensacion 77

de aire caliente irrumpen sobre las masas de aire frıo y al ser mas livianas las primeras, estas se ven forzadas

a ascender por encima del aire frıo, con lo que se enfrıan y condensan. Esto es lo que se denomina un frente

caliente. En otros sectores, es el aire frıo el que irrumpe sobre el aire caliente y al ser mas denso, penetra como

una cuna por debajo del aire caliente, provocando en definitiva el mismo efecto, las masas de aire caliente

y humedo, se ven forzadas a ascender, se enfrıan y condensan. Esto es lo que se denomina un frente frıo.

Las precipitaciones ası generadas, se denominan precipitaciones ciclonico - frontales, las cuales pueden ser

de magnitud muy variable, dependiendo de la energıa del frente, son de duracion prolongada, alcanzando

desde horas a dıas de duracion y cubren una gran extension de territorio, de cientos o mas kilometros con

una distribucion espacial bastante uniforme.

4.1.3. Precipitaciones Orograficas

Cuando la circulacion de masas de aire humedo se ve obstaculizada por la presencia de barreras orografi-

cas o cadenas montanosas dispuestas perpendicularmente a la direccion del viento, el aire se ve obligado a

ascender por la presencia de esta barrera fısica, produciendose su enfriamiento con la consiguiente conden-

sacion y precipitacion. Por estos motivos, en las vertientes a barlovento de las montanas la precipitacion es

bastante mayor que a sotavento, donde el descenso posterior del aire, provoca su calentamiento y disipaci on

de las nubes, generando regiones secas y de temperaturas m as altas que en la vertiente opuesta, ya que el

calentamiento del aire se aproxima mas a un proceso adiabatico seco.

Las precipitaciones orograficas puras, sin embargo, suelen generar solo lloviznas, manifestandose su efecto

principalmente en combinacion con algun otro mecanismo, ya que las precipitaciones reales suelen ser mezclas

de los distintos tipos.

En Chile, salvo las precipitaciones altiplanicas del Norte Grande (Invierno Boliviano) y algunas precipita-

ciones principalmente de verano en la cordillera, que son de tipo convectivo, las principales precipitaciones

son de origen ciclonico frontal.

Los frentes, que se generan normalmente sobre el Oceano Pacıfico, son desplazados por los vientos que en

esas regiones predominan en direccion oeste – este, hacia la costa y territorio de Chile, provocando la gran

mayorıa de las precipitaciones desde la III Region hacia el sur. El desplazamiento sucesivo de un frente caliente

seguido de uno frıo en un lapso de uno a dos dıas, debiera en principio generar dos perıodos de mal tiempo,

separados por algunas horas de tiempo inestable, aun cuando en la practica, los frentes calientes suelen pasar

desapercibidos. Al alcanzar los frentes la zona continental, se hace presente el efecto orogr afico debido a la

presencia de la Cordillera de la Costa y la Cordillera de Los Andes, que obligan a las masas de aire a ascender

aun mas, provocando un aumento de las precipitaciones a barlovento de las montanas, y su disminucion asotavento, generando en definitiva, una distribucion bastante mas irregular de las precipitaciones que la que

corresponderıa a un fenomeno ciclonico - frontal puro.

El desplazamiento anual en sentido norte - sur del ecuador termico, provocado por la inclinacion del eje te-

rrestre, provoca a su vez el desplazamiento latitudinal estacional de los frentes de mal tiempo, gener andose el

clima caracterıstico de Chile, donde la zona norte es de caracter desertico, por encontrarse permanentemente

bajo predominio de condiciones anticiclonales, la zona central presenta una clara distribuci on de precipita-



78 Precipitacion

ciones que se concentran en los meses de invierno, mientras la zona sur se mantiene permanentemente bajo

la influencia del frente polar, con precipitaciones bastante m as parejas entre invierno y verano.

4.2. Mecanismos de Formacion de Gotas

La presencia de nubes no necesariamente significa que habra precipitaciones. Las microgotas o microcristales

de hielo producidos por la condensacion, se mantienen en suspension en la atmosfera, requiriendose de un

proceso adicional de incremento de su tamano, para que logren precipitar.

Los procesos de crecimiento de tamano de las gotas, hasta alcanzar el peso suficiente para su precipitacion,

ocurren fundamentalmente por dos mecanismos distintos: Coalescencia directa y Nucleos de Condensacion.

4.2.1. Coalescencia Directa

Se entiende por coalescencia directa a una serie de procesos que contribuyen al aumento de tama no de las

gotas, entre los cuales pueden mencionarse las atracciones electrostaticas, colisiones mecanicas y el arrastre

de partıculas de agua que caen incorporando a otras en su paso.

4.2.2. Nucleos de Condensacion

La presion de vapor saturado, de acuerdo a la ley de Clausius - Clapeyron, funci on unica de la temperatura,

es valida sobre superficies planas. Sobre superficies curvas, en particular sobre gotas de agua, por efecto de

la tension superficial, la presion de vapor saturado depende del radio de curvatura de acuerdo a la ecuaci on

de Kelvin:

ln

ere∞

=

2σmv

ρvT R∗r (4.1)

donde,

er: Presion de vapor sobre superficie de radio r .

e∞: Presion sobre superficie plana.

mv: Peso molecular del vapor de agua.

R∗: Constante universal de los gases.σ: Tension superficial.

ρv: Densidad del vapor de agua.

T : Temperatura absoluta.

De acuerdo a esta relacion, a una temperatura dada, la presion de vapor saturado aumenta al disminuir el

radio, efecto que se hace particularmente importante para diametros menores a un micron. De esta manera,

las gotas de muy pequeno diametro tienden a evaporarse y a condensar sobre gotas de mayor di ametro.



4.4. Lluvias Artificiales 79

Esta relacion, sin embargo, se ve alterada cuando existen impurezas en el agua. La presencia de nucleos de

condensacion, entendiendose por ello a pequenas partıculas de sal arrastradas en los procesos de evaporacion

desde el mar o simple y mas frecuentemente, por impurezas o partıculas de polvo elevadas por el viento, al

ser generalmente higroscopicas, atraen la humedad, generando superficies con presion de vapor saturante mas

baja que la de las gotas de agua pura. Esto provoca, en consecuencia, la evaporaci on de las gotas de agua pura

y su condensacion sobre estos nucleos, los que van incrementando progresivamente su tamano hasta alcanzar

el peso suficiente para precipitar. Algunas investigaciones recientes sugieren la presencia de microorganismos

vivos como integrantes de los nucleos de condensacion.

De acuerdo a la teorıa del meteorologo Thor Bergeron, cuando en una nube coexisten gotas de agua con

cristales de hielo, por ser la presion de vapor sobre el hielo mas baja que sobre el agua, los cristales actuan

como nucleos de condensacion, atrayendo a las gotas de agua, que evaporan para condensar sobre ellos. Este

serıa el principal mecanismo de incremento del tamano de los cristales y de generacion de precipitacion en

climas templados y frıos donde la precipitacion se genera inicialmente en forma de nieve en zonas altas,

derritiendose eventualmente durante su caıda al ir aumentando la temperatura, para alcanzar la superficie

en forma de lluvia.

4.3. Formas de Precipitacion

Dependiendo de la temperatura del aire, la condensacion del vapor de agua se traduce en su cambio al estado

lıquido o al estado solido, generando en definitiva precipitacion en formas de lluvia o en forma de nieve. Ya

que la precipitacion, al caer, tendera a la temperatura de bulbo humedo del aire que atraviesa, la precipitacion

serıa lıquida o solida dependiendo de si la temperatura de bulbo humedo en superficie es superior o inferior

a 0°C. Un buen ındice para discriminar entre la forma de lluvia y nieve, es una temperatura superficial del

aire cercana a –0.9°C, recomendandose como valor diario el ındice,

T i = 1

7 (T max + 6T min) (4.2)

donde,

T max: Temperatura maxima diaria.

T min: Temperatura mınima diaria.

Para valores del ındice T i mayores a -0.9°C, la precipitacion diaria serıa predominantemente lıquida.

Si la condensacion se produce directamente sobre la superficie terrestre, tendremos los fenomenos de rocıo

y escarcha respectivamente, dependiendo de si la temperatura de la superficie supera o no los 0 °C. El granizo

corresponde a precipitacion originalmente en forma lıquida que por problemas de inestabilidad atmosferica,

se recongela antes de alcanzar la superficie. Es frecuente tambien que precipitacion originalmente en forma de

nieve, tenga tiempo de derretirse antes de alcanzar la superficie, cayendo como agua-nieve o lluvia propiamente

tal.



80 Precipitacion

4.4. Lluvias Artificiales

De acuerdo a lo anteriormente expuesto, los mecanismos de condensacion y formacion de nubes no bastan

para que se produzca precipitacion; se requiere de un mecanismo adicional que provoque el aumento del

tamano de las gotas de agua o cristales de hielo para que logren precipitar.

Los metodos de generacion de lluvias artificiales consisten precisamente en la incorporacion de nucleos de

condensacion de baja presion de vapor saturante, normalmente mediante el bombardeo de nubes con cristales

de yoduro de plata, con lo cual se favorece el incremento del tamano de las gotas y su posterior precipitacion.

La efectividad de estos metodos es aun materia de controversia, pues se argumenta que solo aceleran un

proceso que se producirıa de todas maneras en forma natural o que provocan precipitacion sobre ciertas areas

en perjuicio de otras donde habrıa precipitado naturalmente.

4.5. Medicion de la Precipitacion

Existe una gran variedad de instrumentos para medir la precipitacion, tanto a nivel de valores diarios como

a nivel horario. A continuacion, se presentan algunos de estos.

4.5.1. Pluviometro

El instrumento basico para la medicion de la precipitacion lıquida es el pluviometro, que consiste simple-

mente en un embudo colector, normalmente de 20 [cm] de diametro, que descarga a un recipiente de seccion

circular, cuyas dimensiones y condiciones de instalacion estan normalizadas.La unidad de medida es el milımetro de altura de agua, equivalente a un volumen de 1 litro por metro

cuadrado de superficie. La medicion se efectua registrando la altura de agua acumulada en un intervalo de

tiempo dado, normalmente un dıa, lo que da origen a las estadısticas de precipitaciones diarias. Las mediciones

se efectuan rutinariamente entre las 08:00 de la manana de un dıa y las 08:00 de la manana del dıa siguiente,

debiendo consignarse por convencion, la precipitacion medida, al dıa en que se efectua la lectura final. En

algunas ocasiones, las mediciones se efectuan cada 8 horas, a las 08:00, a las 16:00 y a las 24:00 horas.

Normalmente, la boca del colector descarga en un tubo graduado de seccion circular 10 veces menor, con

lo que se logra una precision 10 veces mayor en la simple lectura ocular del instrumento.

Se recomienda que el pluviometro debe instalarse en un lugar abierto pero relativamente protegido delviento, la boca de captacion debe ubicarse a una altura de 1.5 metros sobre la superficie del terreno, debiendo

existir un cono de pendiente 1V:4H libre de cualquier obstaculo tales como arboles o construcciones.

Cuando la precipitacion ocurre en forma de nieve, el sistema de embudo resulta inadecuado y se usa

generalmente un colector de seccion troncoconica, para evitar la acumulacion de nieve en la boca del colector.

En este caso, el instrumento pasa a llamarse nivometro, recomendandose el uso de anticongelantes (cloruro

de calcio, CaCl2), previamente incorporado al receptaculo, para facilitar la medicion del equivalente en agua



4.5. Medicion de la Precipitacion 81

lıquida de la nieve y para disminuir la posibilidad de que la nieve sea arrastrada por el viento.

Como se vera mas adelante, la medicion de precipitacion nival mediante nivometros, es altamente incierta,

por lo que a menudo se opta por tapar la boca de los pluvi ometros durante perıodos de precipitacion en

forma de nieve, midiendo simplemente la altura de nieve acumulada en el suelo adyacente.

Es importante senalar que la medicion de la precipitacion esta sujeta a una serie de errores aleatorios y

sistematicos, que la eficiencia de captacion es variable, principalmente en funcion de la velocidad del viento,

por lo que en definitiva la medicion obtenida debe considerarse solo como un “ındice” de la precipitacion

real y no como la verdadera magnitud de la precipitacion caıda.

El viento es normalmente la principal fuente de error en la medicion de la precipitacion, debido a los torbe-

llinos y perturbaciones aerodinamicas que la presencia del pluviometro origina, efecto que es particularmente

importante en el caso de la precipitacion nival.

Se denomina eficiencia de un pluviometro, al cociente entre la precipitacion realmente captada y la pre-

cipitacion real. El efecto del viento sobre la eficiencia del pluviometro o nivometro se presenta en la Figura4.1.

Figura 4.1: El efecto del viento sobre la eficiencia del pluvi ometro o nivometro.

Para mejorar la eficiencia de captacion, en el caso de los nivometros, estos suelen equiparse con pantallas

corta viento, de las cuales la mas comun es la denominada pantalla Alter, que se muestra en la Figura 4.2.



82 Precipitacion

Figura 4.2: El efecto del viento sobre la eficiencia del pluvi ometro o nivometro.

Por ultimo es necesario senalar que la medicion de un pluviometro es de tipo puntual, es decir mide la

variable o “ındice” en el punto especıfico de su instalacion. Para poder cuantificar la precipitacion sobre un

area mas extensa, cuenca o region, es necesario instalar una red de pluviometros adecuadamente distribuidos

a lo largo y ancho de la zona a estudiar. La densidad de la red necesaria dependera de la uniformidad espacial

de las precipitaciones en la region. En zonas planas con precipitacion ciclonica frontal, de distribucion muy

uniforme, podra bastar un instrumento cada cientos de kilometros cuadrados o mas. En zonas con acentuado

efecto orografico, la densidad ideal serıa considerablemente mayor.

4.5.2. Pluviografos

Si se desea disponer de informacion de precipitacion en intervalos menores a la escala diaria o aun en forma

continua, es necesario recurrir a instrumentos inscriptores llamados pluvi ografos, que registran en forma

continua la precipitacion acumulada en funcion del tiempo.

Se utilizan principalmente tres tipos de pluviografos:

Pluviografos de bascula

Pluviografos de sifon

Pluviografos gravimetricos o de balanza.

4.5.2.1. Pluviografo de Bascula

En el pluviografo de bascula, el embudo de la boca del colector descarga sobre una bascula o balanza com-

puesta de dos compartimentos que oscilan en torno a un pivote de eje horizontal. Al acumularse una cierta

cantidad de agua predeterminada sobre uno de los compartimentos, la bascula se desequilibra, inclinandose




hacia el otro lado, descargando el agua acumulada y comenzando a llenar el otro compartimiento. Cada osci-

lacion de la bascula acciona unos engranajes que van inscribiendo la precipitacion acumulada en un tambor

giratorio. El grafico resultante, llamado pluviograma, queda constituido, en consecuencia por lıneas disconti-

nuas en forma de escalera, donde cada trazo vertical indica, por ejemplo, 1 mm de precipitaci on acumulada.

Este tipo de instrumento, pierde precision para intensidades de precipitacion muy extremas, altas o bajas,

no habiendo sido muy usado historicamente en Chile. En los ultimos anos, sin embargo, con la aparicion de

instrumentos digitales, que reemplazan la inscripcion grafica por el envıo de senales remotas a una central

computacional de procesamiento, estos instrumentos se han hecho mas habituales, ya que parecen ser los mas

adaptables al registro digital de la informacion.

4.5.2.2. Pluviografo Gravimetrico

En este caso el colector descarga sobre un balde montado sobre una pesa o romana de alta precisi on, re-

gistrandose el aumento de peso o precipitacion acumulada en un tambor giratorio. El pluviograma resultan-

te, en este caso, es una lınea continua, cuya tangente representa la intensidad de la precipitacion, medida

habitualmente en unidades de milımetros por hora.

i = dP

dt (4.3)

Este tipo de pluviografo es el mas adecuado para medir precipitacion nival, eliminando el embudo del

colector y cargando inicialmente el balde con una carga de anticongelante (CaCl2) y una ligera capa de

aceite liviano, para reducir la evaporacion. En este caso el instrumento pasa a llamarse nivografo, normalmente

provisto de una pantalla Alter, para disminuir el efecto del viento en su eficiencia. A un ası, la medicion con

nivografo mantiene las dificultades senaladas en el caso de los nivometros.

4.5.2.3. Pluviografo de Sifon

En el pluviografo de sifon, el embudo del colector descarga sobre una probeta provista de un flotador conectado

mediante poleas y engranajes a una aguja inscriptora que va inscribiendo la precipitaci on acumulada en un

tambor. La probeta esta conectada a un sifon, que se ceba al alcanzarse una cierta precipitacion acumulada(10 mm), vaciando el agua contenida en la probeta hasta que el sifon se desceba, acumulandose el agua

descargada en un recipiente conectado a la descarga del sifon, lo que permite el registro manual del total de

precipitacion acumulada.

El mecanismo de inscripcion genera un tipo de pluviograma particular, tal como el que se presenta en

la Figura 4.3, donde se observa la descarga brusca de la probeta, cada vez que se acumulan 10 [mm] de

precipitacion.



84 Precipitacion

Figura 4.3: Pluviograma de un pluviografo de sifon.

Este es el tipo de pluviografo historicamente mas utilizado en Chile, al menos en las versiones convencionales

o mecanicas.

4.5.3. Medicion de Precipitacion Nival

Como se mencionara anteriormente, la eficiencia y confiabilidad de las mediciones de nivometros y nivografos

es bastante baja. Debido a esto y gracias a que la precipitacion nival queda acumulada sobre el terreno, a

menudo se recurre a la tecnica de tubos muestreadores para medir la precipitacion nival.

El tubo muestreador mas utilizado corresponde al que se denomina tubo “Monte Rosa”, que consiste en un

tubo de aluminio que se hinca en la nieve con el objeto de obtener una muestra cilındrica del perfil de nieve

acumulada sobre el terreno. El tubo, conocido su peso inicial vacıo, se pesa con su contenido de nieve en una

balanza portatil especialmente calibrada, que por diferencia de peso, entrega directamente el peso de la nieve

contenida en la muestra, expresado en terminos de su equivalente en agua, definido como la altura de agua

lıquida que resultarıa de la fusion total de la nieve. El tubo mismo trae exteriormente una escala graduada

que permite, al hincarlo en la nieve, determinar directamente el espesor H del estrato de nieve muestreado.

Con la informacion de altura y equivalente en agua de la nieve se puede conocer adem as, su densidad

aparente,

ρn = E.A.

H (4.4)

donde,

ρn: Densidad aparente de la nieve, en [gr/cm3].

E.A.: Equivalente en agua en [cm] o [gr/cm2].

H : Altura del manto en [cm].




Cuando solo se hacen mediciones de la altura del espesor del manto con alguna regla graduada, para

conocer el equivalente en agua de la nieve, se suele suponer una densidad de nieve recien caıda, de ρn = 0.1

[gr/cm3].

Uno de los problemas del uso de tubos muestreadores es su representatividad, ya que miden la cantidad

de nieve que queda depositada en un punto especıfico del terreno, magnitud que no tiene por que coincidir

con la nieve precipitada, ya que las ventiscas o “viento blanco” suelen arrastrar la nieve de lugares expuestos,

depositandola en lugares protegidos contra el viento.

Para salvar parcialmente esta limitacion, deben hacerse varias mediciones simultaneas del equivalente en

agua de la nieve a lo largo de un perfil longitudinal del terreno que sea representativo de las variaciones

topograficas del lugar y de las distintas condiciones de acumulacion de la nieve. Un promedio de todas las

mediciones efectuadas, se considera mas representativo del equivalente en agua promedio del manto.

Las mediciones sucesivas, deben efectuarse siempre en el mismo lugar, a fin de que sus datos sean compa-

rables, por lo que el trazado del perfil se senala con balizas o jalones a lo largo de la zona de medici on. Estas

instalaciones se conocen con el nombre de “rutas de nieve”.

Aparte del uso de tubos muestreadores y rutas de nieve, existen procedimientos mas sofisticados para medir

el equivalente en agua de la nieve, entre los que destacan metodos basados en la atenuacion de la radiacion

emitida por alguna fuente radioactiva instalada en el terreno, ya que la absorcion de la radiacion dependera de

la masa de nieve atravesada por la radiaci on, e instrumentos conocidos como “colchones de nieve”, que

consisten en estanques sellados, con forma de “almohada” o colchones que se depositan inicialmente en el

terreno, llenos de algun l ıquido que no se congele. Al irse acumulando nieve sobre el colchon, el peso de esta

se traduce en un aumento de la presi on interior del l ıquido, cuya magnitud sera proporcional al equivalente

en agua de la nieve acumulada sobre el. Los registros de variacion de presion del lıquido, pueden trasmitirse

en forma remota a alguna estacion de control.

Todos estos metodos mas sofisticados, tampoco estan exentos de incertidumbres y errores, manteniendose

la precipitacion nival como una de las variables hidrologicas mas difıciles de medir en forma confiable.

4.5.4. Observaciones Satelitales

Con el espectacular desarrollo tecnologico de los ultimos anos, hoy en dıa se dispone de estaciones automa-

tizadas de medicion con teletrasmision de la informacion, ası como de satelites meteorologicos que permiten

conocer en tiempo real el estado del tiempo a escala mundial. Mediante dichas estaciones y a traves de

fotografıas satelitales en bandas de luz visible y diversas bandas infrarrojas, es posible identificar las areas

cubiertas por nubes, las areas cubiertas de nieve, las areas donde esta precipitando, ademas de varias otras

variables meteorologicas tales como temperatura, radiacion, humedad y vientos. A dicha informacion y foto-

grafıas, ası como a su interpretacion y pronosticos en base a ellas, se puede acceder a traves de Internet o

instituciones como la Direccion Meteorologica de Chile y la Direccion General de Aguas.



86 Precipitacion

4.6. Procesamiento de Datos Pluviometricos

Como resultado de la medicion continua o diaria de informacion sobre precipitacion es posible generar es-

tadısticas de precipitacion a escala diaria, mensual o anual que permiten caracterizar el regimen de precipi-

taciones en una determinada estacion de medicion.

Ası es como producto de la acumulacion en un mes de mediciones pluviometricas diarias, es posible de-

terminar la precipitacion mensual de un ano determinado; de la suma de estas, se obtiene la precipitacion

total anual, y del promedio de estas ultimas, para un perıodo en lo posible de 30 anos, se obtiene el modulo

pluviometrico o precipitacion media anual de un determinado lugar. Esta informaci on estadıstica es reco-

pilada por los organismos encargados de su medicion, particularmente el Banco Nacional de Aguas de la

DGA y la Direccion Meteorologica de Chile, aun cuando existen diversos otros organismos fiscales, privados

o particulares, que colaboran en esta funcion.

En la Tabla 4.1 se presentan estadısticas de precipitaciones medias mensuales en diversas localidades del

paıs, donde se observan las variaciones latitudinales del clima y el efecto de la orografıa sobre los montos deprecipitacion en cada lugar.

Tabla 4.1: Precipitaciones Medias Mensuales [mm].

Estacion ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SEP OCT NOV DIC ANUAL

Arica 0.3 0 0 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0 0 0 1.3

Antofagasta 0 0 0 0.2 0.1 1 1.5 0.8 0.7 0.5 0.3 0.1 5.2

Copiapo 0 0 0.1 0.7 3.9 7.5 6.2 4.3 0.3 1 0.1 0 24.5

Vallenar 0 0 0 1.8 7.4 10.1 8.4 11.4 3.3 1.85 0.3 0 45.5

La Serena 0.1 0.6 0.8 2.3 21.2 38.9 33.8 22.1 6.2 3.4 0.7 0.4 125.8

Vicuna 0 0.8 1.3 3.6 23.3 36 29.8 25.6 7.2 4.2 0.9 0.3 137.5

Valparaıso 1.4 1.2 6.6 16.7 82.7 124.3 97.2 67.7 25.9 11.7 5.6 3 449.1

San Felipe 1.4 2.1 1.6 9.2 42.8 62.1 48 45.9 17.9 8.4 3.9 2 245.8

Santiago 1.4 2.3 4.3 14.6 59.3 81.3 73.3 56.8 28.7 13.9 6.2 4.2 346

Rancagua 2.8 2.2 7.3 21.9 74.7 103 77.9 65.6 31.4 17.2 9.9 4.4 420.2

Curico 6 4 12.2 41.2 142 172 144 105 56.6 31 15.7 12 722.6

Linares 14.7 10.4 21.1 67.4 170 203 184 134 82.6 43.6 34.7 17.1 986.5

Chillan 19.8 15.4 27.4 62.2 167.1 201.8 175 145 88.7 47.1 31.8 29 1033

Los Angeles 24.8 26 46.1 85.3 210.8 250.9 218 185 106 60.9 51.5 35.8 1301

Victoria 43.5 40.5 66.4 115 250 292 265 225 138 90.7 75 59.2 1654

Temuco 34.2 39.7 66.6 110 218 207 194 158 98.5 69.4 72.6 58.1 1332

Osorno 47.6 46.9 62.5 110 195 227 187 164 109 70.6 59.3 57.6 1331

Pto. Montt 106 99 149 176 252 251 250 223 163 128 130 126 2060

Pta. Arenas 33.9 28.2 42.3 44.6 46.8 37.2 36.2 37 30.5 24.8 30.4 33.3 425.3

Para llegar a esta representacion estadıstica de la caracterısticas pluviometricas de un determinado lugar,

la informacion recopilada debe previamente revisarse, analizarse y procesarse a fin de detectar errores u

omisiones en su medicion, ası como debe verificarse la homogeneidad de la informacion recopilada, que

de validez estadıstica a los analisis a que dicha informacion sea sometida.

La utilizacion de esta informacion requiere, por lo tanto, de una serie de tratamientos de verificacion,

relleno, correccion y ampliacion de ella.



4.6. Procesamiento de Datos Pluviometricos 87

En primer lugar la estadıstica debe revisarse y compararse con la de estaciones vecinas, a fin de verificar

su consistencia y detectar errores groseros que pueda contener producto de omisiones de medici on o errores

de trascripcion.

Es ası como la omision o error en un dıa de medicion en un ano completo, invalida el dato de la precipitacion

del correspondiente mes y en definitiva del ano completo, por lo que resulta altamente conveniente, para

aprovechar el resto de la informacion medida, rellenar o estimar mediante algun procedimiento confiable el

dato faltante o erroneo.

Otras veces ocurre que la longitud del perıodo de medicion de una determinada estacion es demasiado

corto, invalidando cualquier analisis estadıstico, por lo que puede resultar necesario extender la longitud de

dicho perıodo aprovechando otra informacion cercana disponible.

Por ultimo puede ocurrir que producto de variaciones de las condiciones de medici on, recordando que el

dato medido es solo un ındice, distintas mediciones en un mismo lugar no sean estrictamente comparables

entre sı, lo que requiere de tratamientos de homogeneizacion de dicha informacion.

Los procedimientos y metodos utilizados para este tipo de correcciones se indican en los acapites siguientes.

4.6.1. Relleno de Estadısticas

Es frecuente que en una estadıstica pluviometrica falten datos sobre la precipitacion caıda en algunos dıas,

meses o anos completos, por lo que es conveniente disponer de metodos que permitan rellenar estadısticas en

estas condiciones. Para el relleno de valores faltantes aislados se recomienda utilizar los valores simult aneos

disponibles en al menos las tres estaciones mas cercanas.

Si el modulo pluviometrico de las estaciones difiere en menos de un 10 %, basta estimar la informacionfaltante como el promedio simple de las estaciones vecinas

P x = P a + P b + P c

3 (4.5)

Si los modulos difieren en mas de un 10 %, es preferible un promedio ponderado segun los modulos de cada

estacion

P x = P a/M a + P b/M b + P c/M c

3

(4.6)

donde,

P x: Precipitacion o dato faltante.

P i: Precipitacion en estacion vecina i.

M i: Modulo pluviometrico de la respectiva estacion i.

Para estos propositos pueden utilizarse tambien correlaciones estadısticas entre las estaciones o aun metodos

geoestadısticos, aunque normalmente no se justifica.



88 Precipitacion

4.6.2. Homogeneidad de Estadısticas

Una vez que se dispone de la estadıstica completa, es necesario verificar la homogeneidad de la misma.

Como se mencionara anteriormente, el dato pluviometrico es solo un ındice; luego, producto de modifica-

ciones ambientales, cambio de ubicacion del instrumento, cambios del instrumento mismo o aun cambios del

operador del instrumento, puede producirse un cambio, disminucion o aumento de la precipitacion medida,

sin que ello signifique un cambio de la precipitacion verdadera o real.

Para detectar la presencia de heterogeneidades en la estadıstica, se utiliza normalmente el metodo de las

curvas doble acumuladas, que consiste en graficar la precipitacion anual acumulada de la estacion en analisis,

versus el valor acumulado de una precipitacion patron, constituida por un promedio de las estaciones vecinas.

El metodo se basa en la hipotesis de que si la zona es pluviometricamente homogenea, la precipitacion

anual en un lugar dado, debe ser estadısticamente proporcional a la precipitacion del patron. Es decir,

P x = αP p + ε (4.7)

donde ε es algun resto aleatorio, error o simple dispersion.

Acumulando en el tiempo,

P x =

αP p +

ε≈0 =

αP p (4.8)

ya que la suma o promedio de los errores o dispersiones debiera ser despreciable, si no nula.

Luego, si la estadıstica es homogenea, la curva sera una recta de pendiente α que pasa por el origen. Si se

observa una discontinuidad, o dos o mas tramos de pendientes distintas α1 y αi, significa que en esos perıodos

hubo cambios en las condiciones de medicion. Para homogeneizar la informacion, deben llevarse todos los

datos a una recta de pendiente unica, corrigiendo los valores medidos, previa investigacion de la causa que

pudo haber producido el cambio, por la relacion

P c = P mα1

αi(4.9)

donde,

P c Precipitacion corregida.

P m Precipitacion medida.αi: Pendiente del perıodo a corregir.

α1: Perıodo de homogeneizacion, por convencion, normalmente el perıodo mas reciente.

Este procedimiento de correccion debe efectuarse en forma cautelosa, no recomendandose corregir cambios

de pendiente no muy notorios o que perduren por menos de cinco a nos. Ademas, el procedimiento debe ser

iterativo, partiendo inicialmente con un patron que contenga todas las estaciones disponibles y eliminando

sucesivamente de el aquellas estaciones que no resulten homogeneas.



4.6. Procesamiento de Datos Pluviometricos 89

En algunas ocasiones se observa un desplazamiento brusco de la curva acumulada, manteniendo su mis-

ma pendiente. Esta discontinuidad revela casi siempre la existencia de un error grosero en el dato de la

precipitacion anual de la estacion en analisis, en el ano en que se produce el desplazamiento.

Las Figuras 4.4 y 4.5, muestran curvas doble acumuladas tıpicas donde es posible apreciar los efectos de

cambios en las condiciones de medicion o errores groseros en la estadıstica.

Figura 4.4: Curva doble acumulada con tramos de pendientes (α) distintas.

Figura 4.5: Curva doble acumulada con desplazamiento brusco debido a un error grosero de medicion.

4.6.2.1. Ampliacion de Estadısticas

Es frecuente que existan estaciones pluviometricas cuya longitud es demasiado corta para los efectos de

analisis estadısticos, por lo que puede resultar conveniente intentar ampliar la longitud de la serie de datos.

Aunque la informacion que no se midio, sera imposible conocerla en exactitud, esta es posible estimarla en



90 Precipitacion

base a informacion de estaciones vecinas. Los procedimientos utilizados pueden ser en base a las curvas doble

acumuladas o a correlaciones estadısticas.

Para precipitaciones anuales, la extension de la serie faltante puede efectuarse en base a la pendiente de la

curva doble acumulada,

P x = αP p (4.10)

Esta estimacion, sin embargo, genera estadısticas con una desviacion estandar parecida a la del patron,

que por ser un valor promedio, es inferior a la de las estaciones individuales.

Por lo anterior, para precipitaciones anuales, como para escalas de tiempo m as cortas, precipitaciones

estacionales, mensuales o aun perıodos menores, puede recurrirse a correlaciones estadısticas, intentando

regresiones lineales, simples o multiples con estaciones vecinas del tipo:

P x = αP p (4.11)

La gran disponibilidad actual de software estadıstico o planillas electronicas, facilita enormemente hoy en

dıa este tipo de calculos. Deben intentarse a criterio diversas regresiones posibles y elegir aquella que muestre

la mejor correlacion, a juzgar por el coeficiente de correlacion obtenido. Un coeficiente igual a 1 significa

una correlacion perfecta, un coeficiente nulo significa que no hay ninguna correlacion. En general, se estima

aceptables o admisibles, coeficientes de correlacion superiores a R = 0.7, sujetos a tests estadısticos que

aseguren su representatividad.

4.7. Precipitacion Media Real o en el Espacio

Conocida la precipitacion en una serie de estaciones de una red pluviometrica, normalmente resulta necesario

establecer la magnitud media de la precipitacion en una determinada zona, cuenca o region. Para ello se

utilizan normalmente tres procedimientos alternativos de precision creciente:

Promedio aritmetico simple.

Metodo de los Polıgonos de Thiessen.

Metodo de las Isoyetas.

4.7.1. Promedio Aritmetico Simple

El promedio aritmetico de todas las estaciones existentes dentro de la cuenca o area en estudio, es la estimacion

mas facil y simple de la precipitacion promedio sobre el area.

P =

N i=1 P iN

(4.12)



4.7. Precipitacion Media Real o en el Espacio 91

donde P i es la precipitacion individual de cada estacion.

Desgraciadamente, debido a que la red de estaciones pluviometricas es normalmente desuniforme, con-

centrandose las estaciones en los lugares poblados o mas accesibles, normalmente en zonas bajas donde la

precipitacion es menor, el promedio aritmetico es normalmente la estimacion menos precisa del promedio de

precipitacion sobre una cuenca.

4.7.2. Polıgonos de Thiessen

El metodo de los polıgonos de Thiessen es un promedio ponderado de las precipitaciones en las diferentes

estaciones de la cuenca o areas vecinas, usando como factor de ponderacion la magnitud relativa de las

superficies o areas que resultan las mas cercanas a una estacion dada. Las areas de influencia de cada estacion

se obtienen al determinar los polıgonos que resultan de la intercepcion de las simetrales trazadas a una red

de triangulos que unen a todas las estaciones, segun se ilustra en la Figura 4.6.

Figura 4.6: Polıgonos de Thiessen.

En este caso, la precipitacion media espacial viene dada por la relacion,

P =

N i=1 P iAi

AT (4.13)

donde,

P i: Precipitacion individual de cada estacion.Ai: Area de cada polıgono de influencia, en el caso de polıgonos internos, o area encerrada por las aristas del

polıgono y la lınea divisoria de agua, en el caso de los polıgonos exteriores abiertos.

AT : Area total de la cuenca.

Notese que en este caso pueden y deben incluirse estaciones que se ubiquen fuera de los lımites de la cuenca,

siempre que su area de influencia abarque algun sector de la cuenca en estudio.



92 Precipitacion

Este procedimiento da normalmente una mejor estimacion de la precipitacion media espacial, que el simple

promedio aritmetico.

4.7.3. Metodo de las Isoyetas

Las lıneas isoyetas, definidas como las lıneas de igual precipitacion, se trazan a partir de los puntos indivi-

duales con informacion medida, en forma analoga a las curvas de nivel topografico, obteniendose un promedio

ponderado, segun la ecuacion (4.13), utilizando como factor de ponderacion, el area o superficie comprendida

entre dos curvas isoyetas sucesivas y como precipitacion representativa, el promedio de los valores de las

isoyetas que definen dichas areas.

Al igual que en el caso de los polıgonos de Thiessen, debe considerarse la informacion que entregan estaciones

ubicadas fuera, pero cercanas a la cuenca en estudio.

El problema de las curvas isoyetas es que estas son din amicas. A diferencia de los polıgonos que se trazanuna sola vez, ya que solo dependen de la ubicacion fısica de cada estacion, las curvas isoyetas resultaran

distintas para diferentes conjuntos de datos de precipitacion.

Otra caracterıstica de las curvas isoyetas, es que tienen una componente subjetiva, dependiendo de la

persona que efectue su trazado. Si bien es cierto que hoy en dıa, existen programas computacionales que

permiten su trazado objetivo, adoptando algun criterio matematico predeterminado de interpolacion, es

conveniente modificar su trazado, incorporando el conocimiento adicional que se tenga de las caracterısticas

pluviometricas de la region, como ser el efecto de la orografıa sobre la distribucion de las precipitaciones.

El trazado de isoyetas efectuado por una persona experta y conocedora de las caracterısticas pluviometricas

del area en estudio, se postula que es la mejor estimacion de la precipitacion media sobre una cuenca.Parte de la subjetividad puede eliminarse, utilizando tecnicas geoestadısticas mas sofisticadas, como es el

metodo de interpolacion en base a “kriging”, donde se puede incorporar como elemento de interpolacion, la

cota o altitud de cada estacion (Jacquin, 2001).

En la publicacion “Balance Hıdrico de Chile”, de la DGA (1987), se han trazado las curvas isoyetas medias

anuales de diversas regiones de Chile.

4.8. Intensidades de Precipitacion

En muchas aplicaciones, especialmente de ingenierıa, resulta de mayor interes que la precipitacion diaria

total, establecer la tasa o intensidad a la cual ocurre la precipitaci on, para perıodos mas cortos de tiempo,

expresada normalmente en la unidad [mm/hr].

Aun cuando se han propuesto instrumentos para medir directamente esta informaci on, normalmente se

recurre a registros de pluviografos, que proporcionan un “pluviograma”, o curva que muestra la variacion en

el tiempo de la precipitacion acumulada.



4.8. Intensidades de Precipitacion 93

Derivando estas curvas, lo que se efectua en la practica en forma discreta, estableciendo para intervalos de

tiempo pequenos dt, la intensidad media en el intervalo, dada por la expresion,

idt = dP

dt (4.14)

Es posible establecer el hietograma de la tormenta, o curva que representa la variaci on de la intensidad

de la precipitacion en el tiempo. Mediante instrumentos con registro digital es posible hoy en dıa medir

precipitaciones caıdas en cortos intervalos de tiempo, del orden de 10 o menos minutos, de los cuales se puede

derivar en forma directa el hietograma correspondiente.

4.8.1. Curva Intensidad – Duracion

Para establecer las caracterısticas de la variabilidad de las intensidades de precipitacion en el tiempo, se recurre

a la curva intensidad-duracion, o curva que representa la intensidad media maxima de precipitacion ocurrida

durante la tormenta para intervalos continuos de tiempo de distintas duraciones. Para ello se rastrea a lo largo

del hietograma, los promedios moviles ocurridos para distintas intervalos de duracion n∆t, n = 1, 2, · · · , N ,

siendo N el valor

N = T

∆t (4.15)

donde T es la duracion total de la tormenta.

La forma tıpica de una curva de intensidad- duracion es la de una exponencial decreciente, con las mayores

intensidades para los intervalos mas cortos y las menores para intervalos mayores. Para cada tormenta ocu-

rrida, es posible entonces, si se dispone de registro pluviografico, determinar su curva intensidad - duracion,

que indica la maxima intensidad media que ocurrio para dicha tormenta, para distintos intervalos continuos

de duracion.

Desgraciadamente la disponibilidad de registros pluviograficos es escasa, y si solo se dispone de estadısticas

pluviometricas diarias, solo se dispondra de un punto de la curva, correspondiendo a la intensidad media

diaria o en 24 hrs, dada por la expresi on

i24 = P 24

24 (4.16)

donde,i24: Intensidad media en 24 hrs, en [mm/hr].

P 24: Precipitacion caıda en 24 hrs, en [mm].

Sin embargo, estadısticamente se ha establecido, en diversas partes del mundo que la forma de las curvas

intensidad - duracion es muy poco variable para tormentas de un mismo tipo, por lo que es posible estimar

intensidades en distintas duraciones de las tormentas a partir de un punto conocido de ellas, normalmente la

intensidad media diaria i24.



94 Precipitacion

Es ası, que para caracterizar estadısticamente la distribucion temporal de las precipitaciones, se ha pro-

puesto el uso de coeficientes de duracion, definidos por la relacion,

C d(t) = P (t)

P 0(4.17)

donde,

P (t): Maxima precipitacion caıda en un intervalo de duracion t.

P 0: Maxima precipitacion caıda en un intervalo de referencia conocido, normalmente 1 hora o 24 horas.

Los coeficientes de duracion se postulan estadısticamente constantes para una estacion dada, e incluso

para una cuenca o region con un mismo tipo de regimen de precipitaciones, habiendo sido determinados en

diferentes lugares del mundo.

Postulando, como se vera mas adelante, su independencia respecto a la probabilidad o frecuencia de la

lluvia, pueden deducirse coeficientes de duracion promedios para distintas ciudades chilenas, a partir de

estudios realizados por distintos autores, segun se indica en las Tablas 4.2 y 4.3.

En relacion a los valores de la Tabla 4.2, para intervalos de duracion menores a una hora, los valores pro-

puestos por Broekman y Quintana, muy coincidentes entre si, corresponden al analisis de un grupo reducido

de tormentas en la ciudad de Santiago de la primera mitad del siglo XX. Los valores propuestos por Schroeder

(1971), Estelle et al. (2003) y Espinoza (2005), para las estaciones Santiago - Quinta Normal y Valparaıso -

Universidad Santa Marıa, respectivamente, tambien muy coincidentes entre sı, han sido deducidos de analisis

probabilısticos de tormentas, y corresponden, en consecuencia, a valores promedios de grandes tormentas de

lluvias que ocurren con intervalos de recurrencia entre 2 y 100 anos.

Los valores propuestos por Espıldora (1971), corresponden a valores promedios, obtenidos del an alisis de

datos propuestos por distintos autores, para diversas ciudades del paıs.

En la literatura se han propuesto ademas diversas formulas que pretenden tener validez universal, entre

las que destaca, por su frecuente aplicacion en Chile, la denominada f ormula de Grunsky, segun la cual,

i(t) = i24

24

t (4.18)

donde,

i(t): Intensidad en una duracion cualquiera t, en [mm/hr].

i24: Intensidad media en 24 horas, en [mm/hr].

t: Duracion en horas.

Del uso recursivo de esta formula, para una duracion cualquiera y una duracion de una hora, se obtiene

una expresion para el coeficiente de duracion en base a la lluvia en una hora, dada por la relacion,

C d(t) =

t

60 (4.19)

donde t es la duracion del intervalo, en minutos.




Para duraciones menores de una hora, ha sido propuesta por Bell, una relaci on que tambien pretende ser

universal, la que puede expresarse por la expresion,

C d(t) = 0.54·

t0.25

−0.50 (4.20)

Este coeficiente es respecto a una lluvia de una hora, C d = P d/P 60, y el tiempo se expresa en minutos.

Los valores resultantes de estas expresiones se han incorporado en la Tabla 4.2 y en la Figura 4.7. donde

se observa la buena correspondencia entre los coeficientes resultantes de los an alisis de Schroeder (1971),

Estel le et al. (2003) y Espinoza (2005), que respaldan los coeficientes generalizados propuestos por Espıldora

(1971) y validan la aplicacion en Chile, con un ligero error por exceso, de la formula de Grunsky, para

duraciones menores de una hora. La expresion propuesta por Bell tenderıa a sobreestimar la intensidad de

lluvias de corta duracion en Chile.

Tabla 4.2: Coeficientes de Duracion (C d) para valores menores a una hora, en base a la precipitaci on en 60

minutos.

Autor CiudadDuracion en minutos

10 15 20 30 40 50

Broekman Santiago 0.286 0.39 0.48 0.628 0.755 0.877

Quintana Santiago 0.294 - 0.473 0.622 0.756 -

Schroeder Santiago 0.358 0.465 0.54 0.677 0.783 0.876

Estelle Santiago 0.339 - 0.534 0.654 0.774 0.893

Espinoza Valparaıso 0.354 - 0.545 0.686 0.813 0.916

Estelle Cca. Maipo 0.394 - 0.526 0.652 0.773 0.887

Espıldora Generalizado 0.4 0.53 0.6 0.7 0.82 0.91Grunsky Generalizado 0.408 0.5 0.577 0.707 0.816 0.912

Bell Generalizado 0.46 0.563 0.642 0.764 0.858 0.936

Para duraciones mayores a una hora, los coeficientes de duracion suelen expresarse en terminos de la

precipitacion en 24 horas. Valores propuestos para diferentes ciudades de Chile por distintos autores, se

presentan en la Tabla 4.3.

En relacion a los coeficientes de duracion entre 1 y 24 horas, puede distinguirse claramente en la Tabla 4.3

la diferencia entre las precipitaciones de tipo convectivo de la zona Norte, respecto a las precipitaciones de

origen ciclonico del resto del paıs.

La Figura 4.8 muestra los coeficientes de duracion promedio para lluvias convectivas, que pueden repre-

sentarse razonablemente bien mediante la expresion,

C d(t) = (24 + 1.73) · t

24 · (t + 1.73) =

1.072 · t

(t + 1.73) (4.21)

En las zonas con precipitacion primordialmente ciclonica, se observa cierta dispersion entre las distintas

estaciones, que en parte parece deberse al metodo de muestreo y de calculo. Por ejemplo, para duraciones de



96 Precipitacion

Figura 4.7: Coeficientes de duracion inferiores a 1 hora.

Figura 4.8: Coeficientes de duracion para mas de 1 hora para tormentas altiplanicas (Convectivas).

una hora, en la zona central aparecen con los mayores valores las estaciones de Santiago ( Estel le et al., 2003)

y Valparaıso (Espinoza, 2005; Nicoud, 2004), cifras que provienen de un analisis casi exhaustivo de las series

completas de datos, a diferencia de otros estudios que trabajan con series de m aximos anuales.




Tabla 4.3: Coeficientes de Duracion (C d) para valores menores a un dıa, en base a la precipitacion en 24

horas.

LocalidadDuracion en horas

1 2 4 6 12 18 24

Zona altiplanica (precipitaciones convectivas)Putre (1) 0.468 0.645 0.746 0.788 0.826 0.88 1

Lequena (1) 0.325 0.499 0.735 0.857 0.95 - 1

Toconce (1) 0.382 0.561 0.79 0.908 0.949 0.969 1

Promedio 0.392 0.568 0.757 0.851 0.908 0.925 1

Precipitaciones ciclonicas

Rivadavia(2) 0.116 0.2 0.341 0.47 0.74 0.867 1

Paloma (2) 0.156 0.266 0.441 0.597 0.823 0.919 1

Illapel (1) 0.137 0.241 0.401 0.532 0.779 0.914 1

Valparaıso(3) 0.222 0.298 0.452 0.533 0.752 0.896 1

Valparaıso(7) 0.213 0.294 0.447 0.553 0.755 0.885 1

Santiago (4) 0.128 0.208 0.339 0.45 0.711 0.89 1

Santiago (5) 0.165 0.2697 0.439 0.576 0.763 0.909 1Santiago* (8) 0.183 0.254 0.381 0.490 0.728 0.881 1

Rapel (2) 0.147 0.233 0.337 0.465 0.709 0.907 1

San Fdo. (2) 0.127 0.213 0.346 0.428 0.659 0.83 1

Pencahue(6) 0.194 0.267 0.407 0.497 0.717 - 1

Talca (6) 0.164 0.286 0.464 0.557 0.738 - 1

Armerillo (2) 0.08 0.141 0.25 0.349 0.608 0.807 1

Colbun (2) 0.123 0.194 0.294 0.407 0.68 0.806 1

Bullileo (6) 0.123 0.184 0.306 0.414 0.652 - 1

Parral (6) 0.171 0.248 0.381 0.467 0.743 - 1

Chillan (2) 0.174 0.245 0.365 0.443 0.677 0.891 1

Concepcion 2 0.197 0.307 0.385 0.479 0.708 0.891 1

Quilaco (2) 0.164 0.264 0.39 0.472 0.67 0.877 1

Polcura (2) 0.123 0.193 0.325 0.433 0.683 0.869 1

Temuco (2) 0.193 0.317 0.477 0.583 0.792 0.917 1

Pullinque (2) 0.125 0.205 0.33 0.427 0.655 0.832 1

Valdivia (1) 0.128 0.169 0.29 0.41 0.657 0.885 1

Ensenada (2) 0.166 0.233 0.349 0.468 0.676 0.861 1

Pto. Montt (1) 0.16 0.262 0.343 0.449 0.683 0.875 1

Chaiten (1) 0.184 0.298 0.418 0.503 0.746 0.902 1

Pto Aysen (1) 0.141 0.221 0.377 0.499 0.8 0.988 1

Pta. Arenas 1 0.207 0.329 0.485 0.61 0.865 0.98 1

Promedio 0.157 0.245 0.378 0.486 0.722 0.891 1

Grunsky 0.204 0.289 0.408 0.5 0.707 0.866 1

(1) MOP (2001), (2) Varas y S´ anchez (1988), (3) Espinoza (2005), (4) Quintana,(5) Schroeder (1971)

(6) Pizarro et al. (2001),(7) Nicoud (2004), (8) Estel le et al. (2003) * Promedio varias estaciones

Santiago Urbano.

Por otra parte, la Estacion Armerillo, ubicada en zona precordillerana, muestra un comportamiento anoma-

lo, situacion que se repite para las estaciones de la zona austral, que muestran tambien un comportamiento

algo diferente.

Excluyendo estas estaciones, es decir, en las zonas no cordilleranas o sin un importante componente orografi-



98 Precipitacion

co, comprendidas entre la IV y X Regiones, la relacion de Grunsky, (Ecuacion (4.18)) representa razonable-

mente bien las caracterısticas de intensidad - duracion, de las tormentas ciclonicas, como se observa en la

Figura 4.9.

San Fdo.

Rapel

Santiago (E)

Santiago (Sch)

Santiago (Q)

Valparaíso

Illapel

Paloma

Rivadavia Pencahue

Talca

Colbun

Bullileo

Parral

Chillan

Concepción

Quilaco

Polcura

Temuco

Pullinque

Valdivia

Ensenada

Pto. Montt

Chaitén

Promedio

Grunsky

Duración [hrs]

Figura 4.9: Coeficientes de duracion para mas de 1 hora para tormentas ciclonicas sin excesivo efecto

orografico (IV a X Regiones).

Finalmente cabe agregar, que la hipotesis de independencia de los coeficientes de duracion respecto a la

probabilidad o frecuencia de las tormentas, no es estrictamente valida, ya que se observa en general una

ligera disminucion de los coeficientes en funcion de la magnitud de las tormentas, aunque se dan casos que

presentan la tendencia contraria.

En virtud de lo anterior, siempre sera preferible utilizar relaciones intensidad - duracion determinadas

especıficamente para cada localidad, donde dicha informacion exista. En las publicaciones “Manual de Ca-

rreteras” del Ministerio de Obras Publicas (MOP, 2001), “Tecnicas Alternativas para Soluciones de Aguas

Lluvias en Sectores Urbanos”, del Ministerio de Vivienda y Urbanismo (MINVU, 1996) se presentan valores

“oficiales” de curvas intensidad - duracion entre 1 y 24 horas, recomendados para diferentes ciudades de Chile.

4.8.2. Precipitaciones Maximas en 24 Horas y Precipitaciones Maximas Diarias

Los coeficientes de duracion determinados en los acapites anteriores, son en principio validos para establecer

la relacion entre la maxima precipitacion en un intervalo continuo cualquiera y la maxima precipitacion en

un intervalo continuo de 24 horas.

Cuando se trabaja con informacion sobre precipitaciones maximas diarias provenientes de registros plu-




viometricos, que como se senalara anteriormente se miden normalmente entre las 08:00 horas de un dıa y las

08:00 horas del dıa siguiente, el registro de precipitacion diaria no tiene por que coincidir con el valor maximo

en 24 horas continuas, a menos que la tormenta se centre cronol ogicamente precisamente en el perıodo de

medicion entre 08:00 hrs y 08:00 hrs. Debido a lo anterior, el dato de precipitaci on diaria puede fısicamente

corresponder a un valor entre un 50 y 100 % de la precipitacion en 24 horas dependiendo de su distribuci on

temporal. En rigor, solo es posible establecer que la precipitacion maxima en 24 horas corresponde a un

valor comprendido entre el valor de la maxima precipitacion en un dıa y la maxima precipitacion en dos dıas

seguidos.

Si se postula la ocurrencia de tormentas centradas con intensidades horarias que satisfagan la ley o f ormula

de Grunsky, se obtiene que la precipitacion medida en un dıa corresponde a un valor entre el 78 y 100 % de la

precipitacion maxima en 24 horas, con un valor esperado de 94 %. Debido a lo anterior, se recomienda ampli-

ficar las estadısticas de precipitaciones maximas diarias por un factor F=1.06, para hacerlas estadısticamente

representativas de las magnitudes de las precipitaciones maximas en 24 horas.

4.8.3. Precipitaciones Maximas en 1, 2 y 3 Dıas Consecutivos

Como se vera mas adelante, para el analisis de cuencas de dimensiones mayores, puede resultar de interes

establecer la magnitud de la precipitacion de tormentas que duren mas de un dıa. En estos casos, dicha

informacion podra obtenerse a partir de los registros de precipitaciones diarias, considerando la suma movil

en 2, 3 o mas dıas consecutivos, o recurrirse a coeficientes de duracion extendidos a dichas duraciones.

En la publicacion de la Direccion General de Aguas del Ministerio de Obras Publicas, DGA (1989), hay una

amplia recopilacion y analisis de precipitaciones maximas en dichas duraciones, para las diferentes regiones

del paıs.

Bibliografıa

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Capıtulo 5

ANALISIS DE FRECUENCIA EN

HIDROLOGIA

Introduccion

La medicion o registro de todas las variables hidrologicas, sea evaporacion, precipitacion, escorrentıa, ası como

muchas otras series de tiempo, pasa a constituir una “estadıstica” de estas variables, las cuales pueden

considerarse como variables aleatorias, en el sentido de que no se tiene un conocimiento determinıstico paraestablecer la magnitud que ellas van a alcanzar en un determinado instante o perıodo de tiempo.

En el diseno y estudio de obras hidraulicas se requiere interpretar estas estadısticas o registros hidrologicos

historicos, en terminos de su futura probabilidad de ocurrencia. Esta necesidad se manifiesta, por ejemplo, en

el diseno del vertedero de un embalse o de una obra de defensa fluvial en que se requiere dimensionar la obra,

de manera de asegurar su adecuado funcionamiento ante la ocurrencia de un evento de magnitud extrema,

sin provocar su falla o colapso.

Considerando los costos asociados a la construccion de estas obras hidraulicas, no siempre sera conveniente

asegurar su funcionamiento ante un acontecimiento de caracterısticas catastroficas, debiendo aceptarse un

riesgo de que esta falle, con una probabilidad de ocurrencia, que dependera de la importancia, magnitud y

consecuencias asociadas a la falla de la obra.

Ası por ejemplo, una alcantarilla en un camino provisorio que se requiera temporalmente para el acceso al

frente de trabajo de una obra, se disenara con un riesgo de falla mucho mas alto que una obra definitiva tal

como una presa o embalse, cuya falla puede tener caracterısticas catastroficas.

En el caso de estudios destinados a establecer la disponibilidad de recursos hıdricos, tambien se presentan

situaciones parecidas. La evaluacion de la disponibilidad de agua para satisfacer determinadas demandas

101



102 Analisis de Frecuencia en Hidrologıa

de agua potable, por ejemplo, requerira normalmente establecer niveles de seguridad de abastecimiento mas

rigurosos que aquellos para satisfacer necesidades de regadıo, tomando en consideracion la trascendencia de

un eventual desabastecimiento.

Para la adecuada determinacion de las magnitudes de diseno a adoptar para las distintas variables hidrologi-

cas ante los distintos escenarios posibles, la Hidrologıa recurre a una herramienta de la ciencia Estadıstica

o de la teorıa de probabilidades, cual es la tecnica del analisis de frecuencia, que puede definirse en forma

general, como el procedimiento que permite expresar los datos hidrologicos historicos en terminos estadısti-

cos y aplicar a ellos ciertos modelos probabilısticos que permiten establecer la probabilidad de ocurrencia o

repeticion de dichos eventos hidrologicos en el futuro.

Los resultados que se obtienen con estos procedimientos, llevan siempre asociada una incertidumbre, pro-

veniente no solo del metodo estadıstico mismo, sino ademas, de la posible falta de representatividad de los

datos o estadıstica disponible, respecto a la poblacion total de la cual provienen. Por esto, si bien los resul-

tados del analisis de frecuencia seran siempre fundamentales para establecer la seguridad y eficiencia de una

obra hidraulica, estos deberan complementarse con analisis de tipo economico y con el sentido practico yexperiencia del proyectista, en funcion de la envergadura y trascendencia de la falla de la obra.

Ası, para el diseno del sistema de drenaje de una carretera, cuya falla solo origine la paralizacion temporal

del transito en ella mientras dure una tormenta, se elegira una magnitud de lluvia moderada, que ocurra por

ejemplo, una vez cada 5 anos, por establecer un criterio, o se disenara para un valor que minimice el costo

conjunto de la construccion del sistema de drenaje, mas los costos asociados a la paralizacion de la carretera.

Por otra parte, el vertedero de un gran embalse, construido aguas arriba de sectores poblados, cuya falla

originarıa una catastrofe de proporciones mayores, debera ser disenado para ser capaz de evacuar una crecida

lo suficientemente grande como para tener una bajısima probabilidad de ocurrencia dentro de la vida util del

embalse, o bien para una crecida que se estime como la m axima fısicamente posible.

5.1. Tratamiento de Datos Hidrologicos para el Analisis de Frecuencia

Si tenemos una serie de datos de una variable aleatoria, hidrologica o no, de ocurrencia secuencial en el tiempo,

hablamos de una serie de tiempo. Esta serie de datos, al ser finita en el tiempo, podemos interpretarla como

una muestra estadıstica finita proveniente de un universo infinito asociado a la variable en cuestion, la cual

para poder ser tratada estadıstica y probabilısticamente, debera ser una muestra aleatoria representativa de

la poblacion de la cual proviene, y sus valores deberan ser homogeneos e independientes.

La muestra sera mas representativa del universo a medida que aumente el numero de datos disponibles,

estimandose en general, que una estadıstica de al menos 30 anos de longitud, es requerida para lograr una

adecuada representatividad. A ello se debe la conveniencia de extender estadısticas demasiado cortas, antes

de realizar un analisis de frecuencia. Considerando que los datos estimados tienen una mayor incertidumbre

que los directamente medidos, se requiere en general, de una extension de al menos un 25 % de su longitud,

para lograr mejorar la representatividad de la muestra.



5.1. Tratamiento de Datos Hidrologicos para el Analisis de Frecuencia 103

Por otra parte, muestras de mas de 50 anos de longitud van aportando cada vez menor informacion

adicional, por lo que sumados los efectos de la manipulacion de un excesivo numero de datos y la posible

falta de estacionareidad de los informacion, no hacen aconsejable trabajar con muestras de mayor longitud a

la indicada.

Una muestra es homogenea si todos los datos disponibles provienen realmente de la misma poblacion, razon

por la cual, considerando que normalmente nuestras variables son solo ındices hidrologicos, sera necesario

aplicar procedimientos como el metodo de las curvas doble acumuladas, para verificar la consistencia y

homogeneidad de la informacion.

El principal problema al analizar probabilısticamente datos hidrologicos, es su eventual falta de indepen-

dencia, ya que puede existir entre ellos, tanto dependencia espacial como temporal.

Existe dependencia en el espacio, por ejemplo, cuando dos pluvi ometros estan ubicados muy cercanos

uno del otro, registrando datos similares que posean algun grado de correlacion. Para estos propositos, ellos

deberıan ser considerados como un solo dato.

La dependencia en el tiempo es sin embargo, la causa de error m as comun en el analisis de frecuencia de

datos hidrologicos. Por ejemplo, los gastos maximos de dos crecidas que suceden una a continuacion de la

otra, dentro de un intervalo corto de tiempo, pueden no ser independientes entre sı, ya que pueden deberse al

mismo fenomeno meteorologico, o bien, de ser distintos fenomenos, la magnitud de la segunda crecida puede

quedar influenciada por las condiciones provocadas por la primera crecida. En un caso ası, solo uno de los

valores debe ser considerado para el analisis de frecuencia.

Por ultimo, como ya se adelantara, otra condicion que debe cumplir una serie de tiempo para someterla

a un analisis de frecuencia, es que esta sea estacionaria, en particular autoestacionaria. Un proceso es auto-

estacionario cuando sus caracterısticas o propiedades no cambian al realizar un desplazamiento en el origen

del tiempo. Es decir, las caracterısticas de una serie de tiempo de m observaciones, (z1, z2, z3, · · · , zm) son

las mismas que la de una serie (z1+k, z2+k, z3+k, .....zm+k), para cualquier valor del desplazamiento k .

Pueden definirse no estacionariedades de distinto orden, dependiendo del orden del momento de la distri-

bucion al cual afectan. Los procesos no estacionarios m as comunes que afectan al promedio de la serie, son

los de tendencia, periodicidad y persistencia.

Existe tendencia en una serie, cuando el promedio movil de las caracterısticas o parametros de ella, muestran

una variacion sostenida, ya sea creciente o decreciente en el tiempo. La periodicidad es una caracterıstica

intrınseca de muchas variables hidrologicas, ya que quedan sujetas a los ciclos climatologicos diurnos y

anuales, habiendo sido sugeridas ademas, la existencia de otros ciclos de perıodo mayor. La persistencia es

la tendencia de algunas variables aleatorias a mantenerse sostenidamente en valores similares a los que la

han precedido. Existen variados procedimientos y tests estadısticos que permiten detectar la presencia de

procesos no estacionarios, que en caso de detectarse, deben ser eliminados de la serie, antes de someterla a

analisis de frecuencia.




5.1.1. Seleccion de Datos Hidrologicos

Los datos hidrologicos pueden presentarse en forma continua o discreta, pero para su analisis estadıstico deben

ser discretizados. Las temperaturas del aire o los caudales de un rıo, por ejemplo, son variables esencialmente

continuas, por lo que pueden ser discretizadas tomando valores promedios en un determinado intervalo detiempo; temperaturas o caudales medios diarios, temperaturas o caudales medios mensuales o valores pro-

medios anuales. Tambien resulta una serie discreta si se consideran solo los valores extremos, sean maximos

o mınimos de una variable continua dentro de ciertos intervalos de tiempo.

5.1.1.1. Serie de Duracion Completa

La serie cronologica de datos que incluye toda la informacion disponible respecto a una variable hidrologica se

denomina serie de duracion completa. Este tipo de series, que tienen importantes usos en algunas aplicaciones

ingenieriles que se veran mas adelante, no resultan apropiadas para someterlas a analisis de frecuencia,

principalmente por la fuerte dependencia temporal que puede existir entre sus valores y porque al contenertoda la informacion disponible incluyen mucha informacion irrelevante, especialmente en estudios en que solo

interesan los valores crıticos o extremos que toma la variable, valores maximos o mınimos.

Es por estas razones que normalmente, para el desarrollo de an alisis de frecuencia, se seleccionan subcon-

juntos de las series de duracion completa, cuales son las series de duracion parcial y las series de valores

extremos.

5.1.1.2. Serie de Duracion Parcial

Una serie de duracion parcial es un subconjunto de la serie de duracion completa constituido por todos losvalores de la variable que exceden, o complementariamente, que no logran exceder, la magnitud de un cierto

valor umbral base, arbitrariamente seleccionado.

De las distintas series de duracion parcial que pueden definirse, cambiando la magnitud del valor umbral,

resulta de especial interes el caso particular en que la magnitud del valor umbral se elige de manera tal, que

permanezcan en la serie solo un numero de valores igual al numero de anos de estadıstica de que se disponga.

Esta serie particular pasa a denominarse serie de excedencias anuales y corresponder a al subconjunto de la

serie de duracion completa que contiene los “N” mayores (o menores) valores medidos de la variable, donde

“N” es el numero de anos de estadıstica disponible.

Si bien esta serie elimina toda la informacion irrelevante, al retener solo los N valores extremos de la serie,

presenta el inconveniente de que no asegura su total independencia, ya que puede contener dos o mas valores

extremos ocurridos en un mismo ano, cortamente distanciados en el tiempo, los que pueden tener dependencia

temporal.




5.1.1.3. Serie de Valores Extremos

Una serie de valores extremos es un subconjunto de la serie de duracion completa constituido solo por los

valores maximos o mınimos que toma la variable dentro de un intervalo o perıodo de tiempo previamente

establecido. Si para evitar problemas de dependencia temporal, se elige como intervalo de tiempo el perıodo

de un ano hidrologico, la serie resultante pasa a ser la serie de valores extremos anuales, que contendra tantos

valores como anos de estadıstica haya disponible, es decir, contendra el mayor (o menor) valor de cada ano.

Si bien la serie de valores extremos anuales contiene el mismo numero de datos que la serie de excedencias

anuales, los valores incluidos no son necesariamente los mismos, ya que incluye solo un valor por ano, a

diferencia de la serie de excedencias anuales que puede contener m as de un valor en algun ano, en perjuicio

de anos que quedan sin representacion.

La serie de valores extremos anuales elimina tambien toda la informacion irrelevante, y asegura su total

independencia temporal, pero presenta el inconveniente de eliminar importantes eventos historicos por el

simple motivo de no ser los extremos de un a no, aun cuando estos eventos hayan sido independientes. Es

decir, pueden llegar a omitir informacion que sı es relevante.

En la Figura 5.1 se muestra, a manera de ejemplo una serie de 42 eventos ocurridos durante un perıodo

de 10 anos. Con trapecios rojos se ha identificado el mayor valor ocurrido en cada ano, constituyendose este

subconjunto en la serie de valores extremos anuales de la variable en an alisis. Por otra parte, con cırculos

grises se han identificado los 10 mayores valores de la serie, constituyendose este subconjunto en la serie de

excedencias anuales. Se observa que en este caso 8 de los 10 valores son coincidentes, quedando los a nos 6 y

7 sin representacion en la serie de excedencias anuales, en beneficio de los anos 8 y 9 que quedan con doble

representacion.

Figura 5.1: Serie de excedencias anuales y de valores extremos anuales.




5.1.2. Funcion de Densidad de Frecuencia

Si el numero de datos disponibles de una variable aleatoria x es N , decimos que tenemos una muestra de

tamano N de nuestra variable aleatoria, la cual sera mas representativa del universo o poblacion de la cual

proviene, mientras mayor sea el valor de N .

Si nos damos un intervalo de clase dx, podemos construir un histograma de nuestra muestra, contabili-

zando el numero de eventos ocurridos por unidad de intervalo de clase, o frecuencia absoluta de ocurrencia.

Ası, el histograma sera un diagrama de barras que nos representa la variable frecuencia absoluta (f/dx), en

funcion de la magnitud de la variable x.

Si la frecuencia absoluta se divide por el numero total de datos N , se obtiene lo que se denomina histo-

grama relativo, diagrama que presenta la particularidad de que el area total encerrada bajo el, es unitaria:

f i

dxN

dx = f i

N

= 1

N f i = 1 (5.1)

ya que la sumatoria del numero de valores en cada clase, f es igual al numero total de datos N .

Si se comienza a reducir el intervalo de clase, en el lımite cuando dx tiende a cero, el histograma relativo

se transforma en una curva continua que corresponde a la curva denominada curva o funcion de densidad

de frecuencia de los datos, f (x).

f (x) = lımdx→0

f idxN

(5.2)

El area bajo la curva continuara siendo unitaria, por lo que se cumplira que,

∞−∞

f (x)dx = 1 (5.3)

Ahora, la teorıa de probabilidades nos dice que la probabilidad de que la variable x tome valores menores o

iguales a x, queda dada por el area bajo la curva a la izquierda del valor x.

P (x ≤ χ) = χ

−∞

f (x)dx = F (χ) (5.4)

donde F (χ) es la curva o funcion de frecuencia acumulada de la variable.

Esta probabilidad se identifica con el nombre de probabilidad de no excedencia o con el nombre, estricta-

mente mal utilizado pero de uso comun, de probabilidad de ocurrencia de un evento de magnitud x.

Complementariamente, la probabilidad de que la variable x exceda el valor χ, o probabilidad de excedencia,

queda dada por la expresion,




P (x > χ) = 1 − F (χ) (5.5)

Lo anterior significa que si la funcion de densidad de frecuencia o su integral, la funcion de frecuencia

acumulada de una serie de datos, fuese conocida, la probabilidad de ocurrencia o de excedencia de una

magnitud dada de un evento hidrologico, quedarıa automaticamente determinada.

El problema practico es que esta funcion no es normalmente conocida a priori, debiendose inferir, a partir

de los datos de la muestra que se dispone, cual es la funcion de densidad de frecuencia de la poblaci on desde

la cual fue extraıda. El procedimiento en general consiste en suponer un cierto modelo probabilıstico que nos

proporciona la teorıa de probabilidades, es decir, atribuirle una cierta funcion de densidad de frecuencia a la

poblacion y verificar el comportamiento de ese modelo, comparando el ajuste de esa distribuci on teorica con

las observaciones de la realidad, proporcionadas por la serie de datos disponibles.

Debido al caracter probabilıstico mismo del proceso y por ser la serie de datos solo una muestra de la

poblacion, resulta poco probable una correspondencia exacta entre el modelo teorico y la muestra real, aun enel caso en que la distribucion teorica escogida corresponda exactamente a la funcion de densidad de frecuencia

de la poblacion. Mas aun, si se considera otra muestra distinta proveniente de la misma poblaci on, el ensayo

dara probablemente un resultado algo diferente. Es necesario, en consecuencia, efectuar algun ensayo o test

estadıstico que permita definir alguna magnitud de discrepancia aceptable, sin que sea necesario rechazar la

funcion de densidad de frecuencia supuesta.

Por otra parte, hay que hacer notar que un buen ajuste de los datos reales con el modelo teorico, no es

suficiente garantıa de que la funcion de densidad de frecuencia adoptada corresponda exactamente a la de la

poblacion.

Existen procedimientos tanto analıticos como graficos para efectuar el ajuste de las funciones de frecuencia,en particular, las curvas de frecuencia acumulada.

5.1.3. Perıodo de Retorno

Las variables hidrologicas en analisis son series de tiempo, es decir, constituyen sucesiones cronologicas, por

lo que la probabilidad de excedencia va asociada a una excedencia en el tiempo. Por ello, el objetivo principal

del analisis de frecuencia de series hidrologicas es determinar lo que se denomina el intervalo de recurrencia

o perıodo de retorno asociado a una magnitud dada x de una variable hidrologica.

Se define el perıodo de retorno T de una magnitud de una serie de tiempo, como el intervalo promedio detiempo dentro del cual se espera que la magnitud x de un evento hidrologico se iguale o exceda solamente una

vez. Ası, por ejemplo, si tenemos una estadıstica de precipitaciones diarias, y seleccionamos solo la maxima

precipitacion diaria de cada ano, formando la serie llamada serie de precipitaciones maximas diarias anuales,

aquella magnitud de precipitacion P o, asociada a una probabilidad de excedencia P ex = 0.01, se dice que

corresponde a la precipitacion maxima diaria con perıodo de retorno 100 anos.

Definido en esos terminos, el perıodo de retorno asociado a una cierta magnitud x de una variable hi-




drologica, corresponde al valor recıproco de su respectiva probabilidad de excedencia,

P ex = P (x > χ) = 1

T (5.6)

El concepto de perıodo de retorno no debe asociarse a alguna recurrencia cıclica de la variable. Si una lluvia

o caudal de perıodo de retorno T = 100 anos, ocurre en un instante cualquiera, no significa que tengan que

transcurrir 100 anos para que ese evento vuelva a ocurrir. Esta lluvia o caudal puede volver a ocurrir al ano

siguiente o aun dentro del mismo ano; el perıodo de retorno solo nos dice que la probabilidad de que el evento

se exceda en un ano cualquiera es P ex = 1/T , en nuestro ejemplo, P ex = 0.01.

En el muy largo plazo, sı P o tendra una frecuencia promedio de ocurrencia de una vez cada 100 anos.

La correcta dimension de la variable T dependera de la frecuencia con la cual se haya medido la variable

en analisis. Solo si se selecciona la muestra, tomando un solo valor por ano, sea el maximo o el mınimo, de

manera que N , el tamano de la muestra corresponda al numero de anos de estadıstica, el perıodo de retorno

pasa a tomar la dimension “ano”. En estricto rigor, la definicion de perıodo de retorno antes dada corresponde

al recıproco de la probabilidad de excedencia de una serie de excedencias anuales. Si se considera una serie

de valores extremos anuales, el recıproco de la probabilidad de excedencia indicara el numero promedio de

anos en que la magnitud sera igualada o excedida, sin negar la posibilidad de que en un ano el evento ocurra

mas de una vez.

Si se postula que los eventos hidrologicos ocurren en el tiempo de acuerdo a un proceso del tipo Poisson, la

relacion entre las probabilidades de excedencia obtenidas de series de excedencias anuales y series de valores

extremos anuales, viene dada por la expresion propuesta por Langbein,

P ex,VE = 1 − eP ex,EA (5.7)

o en terminos del perıodo de retorno como,

T V E = 1

1 − e−1/T EA(5.8)

donde,

P ex,VE : Probabilidad de excedencia resultante de una serie de valores extremos anuales.

P ex,EA: Probabilidad de excedencia resultante de una serie de excedencias anuales.

T V E : Perıodo de retorno resultante de una serie de valores extremos anuales.T EA: Perıodo de retorno resultante de una serie de excedencias anuales.

Las relaciones inversas resultan:

P ex,EA = ln

1

1 − P ex,VE

(5.9)




T EA = 1

ln T VE

T VE−1

(5.10)

La Tabla 5.1 muestra la comparacion entre los resultados obtenidos entre ambos tipos de series, en terminosde su probabilidad de excedencia y del perıodo de retorno resultante.

Tabla 5.1: Equivalencia entre perıodos de retorno y probabilidades de excedencia.

Serie de valores extremos Serie de excedencias anuales

pxe (VE) T(VE) anos pex(EA) T(EA) anos

0.632 1.58 1 1

0.5 2 0.693 1.44

0.333 3 0.405 2.47

0.2 5 0.223 4.48

0.1 10 0.105 9.49

0.05 20 0.051 19.5

0.02 50 0.02 49.5

0.01 100 0.01 99.5

Se observa de los resultados de la Tabla 5.1, que para perıodos de retorno mayores de 10 anos, las diferencias

en los resultados son practicamente despreciables, por lo que habitualmente se trabaja con series de valores

extremos anuales, dada la mayor disponibilidad de informacion respecto a este tipo de series. Para perıodos

de retorno menores, acercandose al valor 2 anos, valor utilizado para el diseno de algunas obras menores, el

uso de series de valores extremos anuales generarıa una sobrestimacion del perıodo de retorno, que se puede

traducir en un subdimensionamiento de las obras.

Sin embargo, el analisis de datos reales medidos en Valparaıso, (Espinoza et al., 2005) sugiere que, al menos

en ese caso, el criterio propuesto por Langbein sobreestima la correccion necesaria a los perıodos de retorno

estimados, proponiendose las siguientes formulas modificadas, que permite un mejor ajuste a la correccion

necesaria a los perıodos de retorno estimados mediante la serie de valores extremos anuales, aplicables a

perıodos de retorno inferiores a 5 anos.

T V E = 1

1 − e−1/(T EA+0.22) (5.11)

o bien,

T EA = 1

lnT VE+0.22T VE−0.78

(5.12)

Si se utiliza alguna otra serie de duracion parcial, el perıodo de retorno, expresado en “anos”, se relaciona

con la probabilidad de excedencia mediante la relacion,




P ex = P (x > χ) = 1

n · T (5.13)

donde n es el numero promedio de observaciones disponibles por ano de estadıstica.

5.2. Analisis de Frecuencia Analıtico

Para materializar el analisis de frecuencia de una serie de datos, puede recurrirse a procedimientos directos o

graficos, donde las probabilidades o perıodos de retorno se determinan directamente a partir de la informacion

que proporciona la muestra disponible, o puede recurrirse a la teorıa de probabilidades que proporciona

modelos analıticos teoricos de la funcion de densidad de frecuencia f (x), de cuya integracion puede obtenerse

la probabilidad o perıodo de retorno asociado a la magnitud de la variable en analisis.

Existe un gran numero de funciones matematicas f (x) que cumplen con las condiciones de servir comofunciones de densidad de frecuencia, en particular, en terminos de establecer una relacion biunıvoca entre la

magnitud de la variable y su probabilidad y de respetar que la integral de la funcion en todo el dominio de

validez de la variable, sea unitaria. Estas funciones se establecen en terminos de un conjunto de parametros o

estadıgrafos que caracterizan al universo o poblacion del cual la muestra disponible proviene, que se deducen

a partir de los momentos de la distribucion y que pueden inferirse a partir de la informacion contenida en la

muestra.

Si el numero de datos disponibles de una variable x es N , decimos que tenemos una muestra de tamano

N de nuestra variable aleatoria, a partir de la cual es posible estimar los estadıgrafos del universo del cual

proviene. En particular, resultan de interes los cuatro primeros momentos de la distribucion, asociados a los

conceptos de promedio, varianza, asimetrıa y kurtosis, cuyos estimadores son:

1° Momento o Promedio aritmetico

x =

N i=1 xiN

(5.14)

2 ° Momento o Varianza

s2

x

= N i=1 (xi − x)2

N − 1 (5.15)

3 ° Momento o Asimetrıa

Ax = N N

i=1 (xi − x)3

(N − 1)(N − 2) (5.16)

4º Momento o Kurtosis



5.2. Analisis de Frecuencia Analıtico 111

K x = (N 2 − 2N + 3)

(N − 1)(N − 2)(N − 3)

N i=1

(x − x)4 − 3(2N − 3)

N (N − 1)(N − 2)(N − 3)

N i=1

(x − x)2

2(5.17)

En terminos practicos los momentos segundo, tercero y cuarto, suelen reemplazarse por la desviacion

standard, coeficiente de asimetrıa y coeficiente de kurtosis , respectivamente, segun las relaciones,

Desviaci´ on Est´ andar:

sx =

s2x (5.18)

Coeficiente de Asimetrıa:

C s,x = Ax

s3x(5.19)

Coeficiente de Kurtosis:

κx = K x

s4x(5.20)

Existen procedimientos matematicos mas poderosos para estimar los estadıgrafos de una distribucion,

como los metodos de maxima verosimilitud, que pueden consultarse en un texto de estadıstica, pero que para

muestras de pequeno tamano, como es el caso habitual en hidrologıa, no presentan una ventaja sustantiva.

5.2.1. Funciones de Densidad de Frecuencia Utilizadas Comunmente en Hidrologıa

Dentro de las numerosas funciones de densidad de frecuencia que proporciona la teorıa de probabilidades,

existen algunas que por la facilidad de uso o por haber demostrado su buen ajuste con datos hidrologicos, se

utilizan comunmente en hidrologıa. Dentro de ellas, es posible destacar las siguientes.

5.2.1.1. Distribucion Normal o Distribucion de Gauss

Se dice que una variable aleatoria es normalmente distribuida, si su funci on de densidad de frecuencia viene

expresada por la relacion,

f (x) = 1√

2πσxe−

12(x−µσx

)2

− ∞ < x < ∞ (5.21)

donde µ y σx son los parametros de esta distribucion, los que resultan ser el promedio y la desviacion estandar,

respectivamente. Por ser los parametros poblacionales, normalmente desconocidos, estos se estiman en base

a los parametros muestrales: µ ≈ x; σx ≈ sx.

La funcion de frecuencia acumulada de una magnitud “b” de la variable, esta dada por:




F (b) = P (x ≤ b) =

b−∞

1√ 2πσx

e−12(x−µσx

)2

dx (5.22)

y consecuentemente,

P (x > b) = 1 − F (b) (5.23)

La funcion de frecuencia acumulada no es analıticamente integrable y se encuentra normalmente tabulada

o disponible en medios electronicos, solo para el caso particular donde µ ≈ 0; σx ≈ 1, que corresponde a la

denominada distribucion normal centrada y reducida.

En consecuencia, si se define la variable centrada y reducida z como,

z = x − x

sx(5.24)

se puede escribir,

x = x + z · sx (5.25)

donde z, el valor de la variable reducida o factor de frecuencia se obtiene de tablas o medios electr onicos

dependiendo de la probabilidad de ocurrencia asociada al valor x y de la forma de funcion de densidad de

frecuencia f (x), en este caso la distribucion normal.

En la Tabla 5.2 se incluyen valores de la funcion de frecuencia acumulada para la distribucion normal

centrada y reducida. En dicha Tabla se dan los valores del area bajo la curva de distribucion normal para

valores de la variable estandarizada “z” entre los valores 0 y 3.29. Por ser la distribucion normal simetrica, la

probabilidad de tener un valor menor o igual que un cierto valor positivo dado de la variable estandarizada,

se obtiene sumando al valor dado por la tabla la cantidad 0.5 que corresponde al area total bajo la curva de

densidad en el rango de los valores negativos de z .

Como ejemplo, si queremos encontrar la probabilidad de obtener un valor de la variable centrada y reducida

menor que 1.67, se entra a la Tabla 5.2:

Para z = 1.67 se obtiene A = 0.4525

⇓P (z ≤ 1.67) = 0.5 + A = 0.9525

P (z > 1.67) = 1 − 0.9525 = 0.0475

Complementariamente, para obtener la probabilidad asociada a un valor negativo de la variable reducida,

debemos restar a la cantidad 0.5 el valor de la Tabla 5.2 correspondiente al modulo o valor positivo de la

variable z .




Para z = −1.67 se obtiene A = 0.4525

⇓

P (z

≤ −1.67) = A

−0.5 = 0.0475

P (z > −1.67) = 1 − 0.0475 = 0.9525

Muchas calculadoras cientıficas y programas en la actualidad permiten obtener en forma directa las areas

bajo la distribucion normal, por ejemplo, la funcion Distr.norm.estand de Microsoft Excel.

Tabla 5.2: Distribucion normal centrada y reducida.

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 0 .0000 0.004 0.008 0.012 0.016 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359

0.1 0.0308 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753

0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.091 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141

0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.148 0.15170.4 0 .1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.17 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879

0.5 0 .1915 0.195 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.219 0.2214

0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549

0.7 0.258 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852

0.8 0.2881 0.291 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133

0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.334 0.3365 0.3389

1 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621

1.1 0 .3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.372 0.3749 0.377 0.379 0.381 0.383

1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.398 0.3997 0.4015

1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.409 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177

1.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4326 0.4351 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319

1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.437 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.44411.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545

1.7 0.1554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633

1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706

1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.475 0.4756 0.4761 0.4767

2 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817

2.1 0 .4821 0.4826 0.483 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.485 0.4854 0.4857

2.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.489

2.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.49 0.4911 0.4913 0.4916

2.4 0.4918 0.492 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936

2.5 0.4938 0.494 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952

2.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.496 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964

2.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.497 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974

2.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.498 0.4981

2.9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986

3 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.499 0.499

3.1 0.499 0.4991 0.4991 0.4991 0.4992 0.4992 0.4992 0.4993 0.4993 0.4993

3.2 0.4993 0.4993 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4995 0.4995 0.4995




Ejemplo 5.2.1:

Se tiene una estadıstica de 30 anos de longitud de los caudales maximos anuales en el rıo Maule en la

Estacion Armerillo y se desea saber cual es la probabilidad de que ocurra en dicho lugar un caudal mayor

que 3100 [m3/s].

Se supondra para el analisis que los datos siguen una distribucion normal.

Tabla 5.3: Rıo Maule en Armerillo, caudales maximos instantaneos anuales.

Ano Q [m3/s] Ano Q [m3/s] Ano Q [m3/s] Ano Q [m3/s] Ano Q [m3/s]

1 2650 7 3000 13 950 19 1950 25 1400

2 750 8 1750 14 610 20 2100 26 1750

3 2400 9 1300 15 850 21 800 27 700

4 1700 10 1100 16 1500 22 1250 28 3200

5 1650 11 850 17 1250 23 850 29 390

6 1600 12 1500 18 1300 24 1100 30 2800

De la muestra (N = 30) se obtiene:

x =

N i=1 xiN

= 1500 [m3/s]; sx =

N i=1 (xi − x)2

N − 1 = 732.1 [m3/s]

Considerando b = 3100 [m3/s], se tiene que

z = b − x

sx= 2.185

Ası, ingresando en la Tabla 5.2, se obtiene:

P (x ≤ 3100) = 0.9856

P (x > 3100) = 1 − 0.9856 = 0.0144

T = 1

P (x > 3100 =

1

0.0144 ≈ 69.4 anos

5.2.1.2. Distribucion Logarıtmico Normal o Log-normal

La distribucion normal antes vista, siendo la distribucion estadıstica mas utilizada en muchas disciplinas,

esta definida en el dominio de los numeros reales, es decir, acepta la existencia de valores negativos. En este

sentido, su aplicabilidad a datos hidrologicos se ve bastante reducida, ya que muchas de las variables invo-

lucradas tales como precipitaciones, caudales, humedades, etc. solo tienen sentido con numeros positivos o




cuando menos nulos, por lo que suelen presentar funciones de densidad de frecuencia asimetricas que teorica-

mente no pueden ser representadas por una distribucion normal. Aun cuando podrıan utilizarse distribuciones

normales truncadas, que no acepten valores negativos, en hidrologıa ha resultado conveniente el empleo de

transformaciones de la variable original que cumplan el objetivo de eliminar valores negativos. Entre ellas, la

mas utilizada corresponde a la denominada distribucion logarıtmico normal.

Si x es una variable aleatorio e y = ln(x) es una transformacion logarıtmica de ella, se dice que x es

distribuida en forma logarıtmico normal, si la funcion de densidad de frecuencia de la variable transformada

y viene expresada por la relacion,

f (y) = 1√

2πσye− 1

2

y−µσy

2

− ∞ < y < ∞ (5.26)

donde µ y σy son los parametros de esta distribucion, los que resultan ser el promedio y la desviacion estandar

de los logaritmos de la variable original x, respectivamente.

Por ser los parametros poblacionales, normalmente desconocidos, estos se estiman en base a los parametros

muestrales: µ ≈ y; σy ≈ sy, donde,

y =

N i=1 ln(yi)

N = ln(x) (5.27)

s2y =

N i=1

ln(yi) − ln(x)

2N − 1

(5.28)

La funcion de densidad de frecuencia de x se obtiene haciendo la transformacion:

f (x)dx = f (y)dy

x = ey

dx = eydy

f (x) = f (y)dy

dx =

1√ 2πσyey

e− 1

2

y−µσy

2

(5.29)

La utilizacion de esta distribucion, exige la misma estandarizacion que la distribucion normal.

Ejemplo 5.2.2:

Se utilizaran los mismos datos del ejemplo 5.2.1, excepto que se supondra para el analisis que los datos

siguen una distribucion logarıtmico normal.

A partir de los datos de la muestra entregados en la Tabla 5.3 (N = 30) se obtiene:

y =

N i=1 ln(yi)

N = 7.196; s2y =

N i=1

ln(yi) − ln(x)

2N − 1

= 0.505;




Considerando ln(b) = ln(3100) = 8.039, se tiene que

z = ln(b) − y

sy= 1.670

Ası, ingresando en la Tabla 5.2, se obtiene:

P (x ≤ 3100) = 0.9525

P (x > 3100) = 1 − 0.9525 = 0.0475

T = 1

P (x > 3100) =

1

0.0475 ≈ 21.1 anos

5.2.1.3. Distribuciones de Valores Extremos

Las series de datos utilizadas para el analisis de frecuencia en hidrologıa, corresponden como se menciono an-

teriormente, no a series de duracion completa sino a series de valores extremos o de excedencias anuales, es

decir, cada dato en sı corresponde a un valor extremo, normalmente maximo, dentro de un conjunto de datos

mayor. En estos terminos, es conceptualmente lıcito aplicar a las series hidrologicas, teorıas provenientes

de la rama de la estadıstica correspondiente a la teorıa de valores extremos, que proporciona distribuciones

de frecuencia lımites aplicables a este tipo de variables, entre las que se destacan la Distribucion de valo-

res Extremos Tipo I o Distribucion Gumbel y la Distribucion de Valores Extremos Tipo III o Distribucion

Weibull.

5.2.1.3.1. Distribucion de Valores Extremos Tipo I o Distribucion Gumbel

La teorıa de valores extremos establece que si se tienen M muestras de N valores cada una correspondientes

a una variable aleatoria x cuya funcion de densidad de frecuencia es ilimitada hacia los valores altos, o sea, de

tipo exponencial abierta hacia la derecha, entonces cuando el numero de muestras M aumenta y el numero

de valores N de cada muestra aumenta, tendiendo ambos a infinito, la funcion de densidad de frecuencia de la

serie conformada por los valores maximos de cada una de las series tiende, cuando M y N tienden a infinito,

a la distribucion de Valores Extremos Tipo I o Distribucion de Gumbel.

La curva de frecuencia acumulada F (x) de esta distribucion queda representada por la ecuacion:

F (x) = e−e−y

(5.30)

donde y se denomina la variable reducida y viene dada por

y = a(x − xf ) (5.31)




donde a su vez, “a” es un parametro de dispersion definido por:

a = π√

6

1

σx≈ 1.28255

sx(5.32)

y xf es la moda de la distribucion

xf = µ − γ

a (5.33)

donde γ es el numero de Euler dado por

γ =

∞0

1

x

1

1 + x − e−x

dx = 0.57721 (5.34)

Reemplazando en funcion de los parametros muestrales, resulta

x = x − 0.450sx (5.35)

En consecuencia, la probabilidad de que la variable x exceda un valor dado b, viene dada en forma directa

por

P (x > b) = 1 − F (b) = 1 − e−e−yb

(5.36)

donde yb = a(b − xf ).

La distribucion de valores extremos Tipo I, depende de s olo dos parametros, por lo que su coeficiente de

asimetrıa debe ser constante. Se puede demostrar que en este caso el coeficiente de asimetrıa vale,

C s = 1.139 = Cte.

En la practica se trabaja con un numero finito de muestras que contienen a su vez un numero finito de

valores, por lo cual esta funcion lımite no es estrictamente aplicable. Sin embargo, al trabajar con series

de valores extremos anuales se puede interpretar que cada ano es una muestra del cual el valor disponible

es el valor maximo de un gran numero N de eventos que pudieron haber ocurrido ese ano, aceptandose en

consecuencia que el tamano de la muestra es suficientemente grande, estadısticamente cercano a infinito.

No ocurre lo mismo con el numero de muestras M que corresponderıa en este caso al numero de anos de

estadıstica disponible, el cual puede ser una cifra bastante reducida, no asimilable al valor infinito.

Al respecto Gumbel realizo un estudio de esta distribucion y determino que cuando se trabaja con un

numero M finito de muestras, las constantes lımites γ y π/√

6 deben reemplazarse por ym y σm, la media y

la desviacion estandar de la variable reducida, respectivamente.

En terminos practicos, para una muestra de tamano M , se le puede asignar a cada valor su probabilidad

muestral, dada por la expresion




P = m

M + 1 (5.37)

donde m es el numero de orden de la variable ordenada de menor a mayor. Para cada valor de probabilidad

se obtiene el correspondiente valor de la variable reducida “y” mediante la curva de frecuencia acumulada de

la distribucion, valores a los cuales se les determina su promedio y desviaci on estandar.

En Tabla 5.4 se presentan valores de las medias y desviaciones estandar de la variable reducida para

diferentes numeros de muestra o anos de estadıstica disponibles M .

Tabla 5.4: Medias y desviaciones estandar de la variable reducida.

M ym σm M ym σm M ym σm

10 0.49521 0.94963 50 0.54854 1.16066 150 0.56462 1.22534

15 0.51284 1.02057 55 0.55044 1.16817 200 0.56715 1.23598

20 0.52355 1.06282 60 0.55208 1.17467 250 0.56878 1.2429225 0.53086 1.09145 70 0.55477 1.18535 300 0.56993 1.24787

30 0.53622 1.11237 80 0.55689 1.19382 400 0.57144 1.2545

35 0.54034 1.12847 90 0.5586 1.20073 500 0.5724 1.2588

40 0.54362 1.14131 100 0.56002 1.20649 1000 0.5749 1.2691

45 0.5463 1.15184 120 0.56225 1.21558 ∞ 0.57721 1.28255

De la definicion de la variable reducida (ecuacion (5.31)), se puede despejar xf ,

xf = x − y

a (5.38)

pero por definicion de xf ,

xf = µ − γ

a (5.39)

Igualando ambas expresiones y reemplazando las constantes por las propuestas por Gumbel, se obtiene una

expresion para el factor de frecuencia a traves de la igualdad,

k =

x

−x

sx =

y

−ym

σm (5.40)

Esta expresion, llamada Ley de Gumbel, nos da una relacion directa entre la magnitud de la variable x y la

variable reducida “y” en funcion unica de parametros dependientes solo del tamano de la muestra.

Una vez determinada la variable reducida “y” se puede obtener la probabilidad directamente de la funcion

de frecuencia acumulada.

El perıodo de retorno T , definido por la ecuacion 5.6, se puede reemplazar en este caso como




1

T (b) = 1 − e−e

−y

(5.41)

de donde se obtiene otra relacion directa, ahora entre la variable reducida y el perıodo de retorno

y = − ln

ln

T

T − 1

(5.42)

expresion que para T > 50 anos se puede aproximar por la relacion,

y = ln(T ) (5.43)

Ejemplo 5.2.3:

Se continuara con el mismo problema de los ejemplos anteriores, suponiendo ahora que los datos siguen

una distribucion de valores extremos Tipo I, Gumbel.


x =

N i=1 xiN

= 1500 [m3/s]; sx =

N i=1 (xi − x)2

N − 1 = 732.1 [m3/s]

De la Tabla 5.4, para M = 30,

ym = 0.53622; σm = 1.11237;

Luego, considerando b = 3100 [m3/s], se tiene,

b − x

sx=

y − ymσm

2.185 = y − 0.53622

1.11237

=⇒ y = 2.9667

En consecuencia,

P (x > 3100) = 1 − F (b) = 1 − e−e−y

= 1 − 0.9498 = 0.0502

y por lo tanto,

T = 1

P (x > 3100) =

1

0.0502 = 19.9 anos




5.2.1.3.2. Distribucion de Valores Extremos Tipo III o Distribucion Weibull

La distribucion de valores extremos tipo III resulta de la teorıa de valores extremos si se postula que la

variable en analisis esta acotada superiormente a un valor lımite. Su curva de frecuencia acumulada queda

representada por la expresion,

F (x) = e−(γ−xγ−θ )k

(5.44)

para −∞ < x < γ y θ < γ .

Esta distribucion tiene tres parametros: γ , el limite superior y los parametros de forma θ y k .

Para la estimacion de estos parametros puede recurrirse al siguiente cambio de variable:

y = −k [ln(γ − x) − ln(γ − θ)]

luego,

y = − ln

γ − x

γ − θ

ko e−y =

γ − x

γ − θ

k

de donde su curva de frecuencia acumulada se reduce a

F (x) = e−e−y

(5.45)

Esta ecuacion que corresponde a la estructura de la distribucion de valores extremos Tipo I. Esto nos dice

que la distribucion de Valores Extremos Tipo III es una transformacion logarıtmica de la distribucion de

valores extremos Tipo I.

Recordando que

y = a(x − xf ) = k [− ln(γ − x) + ln(γ − θ)] (5.46)

resulta que la variable

z =

−ln(γ

−x)

tiene una distribucion de valores extremos Tipo I o Gumbel, con parametros,

a = σm

sz= k (5.47)

xf =

z − ym

szσm

= − ln(γ − θ) (5.48)




donde,

z = − 1

N

N

i=1ln(γ − xi)

y con coeficiente de asimetrıa C s,z = 1.139 = C te.

En consecuencia, el valor de debe satisfacer la ecuacion,

C s,z = N N

i=1 (− ln(γ − xi) − z)3

(N − 1)(N − 2)s3z

la cual debera resolverse por tanteo o mediante procedimientos analıtico-graficos descritos por Yevyevich.

Resuelto γ , la constante θ se obtiene de la ecuacion (5.48).

Ahora, si X tiene una distribucion de valores extremos Tipo III, acotada superiormente por el parametro γ ,

entonces, la variable –X es una variable con distribucion de valores extremos tipo III, acotada inferiormente

a un valor lımite −γ , denominada distribucion Weibull, la cual suele aplicarse a series de valores extremos

mınimos.

Su curva de frecuencia acumulada queda representada por la expresi on,

F (x) = e−(x−γθ−γ )k

(5.49)

para γ < x < ∞ y θ > γ .

En forma analoga, resulta ahora que la variable

z = − ln(x − γ )

tiene una distribucion de valores extremos Tipo I o Gumbel, cuyos parametros se evaluan en igual forma que

el caso anterior.

Ejemplo 5.2.4:

Se continuara con el mismo problema, suponiendo ahora inicialmente que los datos siguen una distribucion

de valores extremos Tipo III, acotada superiormente.

Ası, evaluando z = − ln(γ − x) para los datos de la muestra entregados en la Tabla 5.3 e iterando el valor deγ hasta que satisfaga un coeficiente de asimetrıa C s,z = 1.139, se obtiene

γ = 6079.25

⇓

z = 1

N

zi = −8.4154; sz =

(zi − z)2

N − 1 = 0.175; b = − ln(6079.25 − 3100) = −7.999





ym = 0.53622; σm = 1.11237;

Luego,

b − z

sz=

y − ymσm

2.3775 = y − 0.53622

1.11237

=⇒ y = 3.181

En consecuencia,

P (x > 3100) = 1 − F (b) = 1 − e−e−y

= 1 − 0.9593 = 0.041

y por lo tanto,

T = 1

P (x > 3100) =

1

0.041 = 24.4 anos

De acuerdo a este modelo, los caudales estarıan limitados a un valor maximo superior de 6079.25 [m3/s].

Ahora, si se supone que los datos siguen una distribucion de valores extremos Tipo III, acotada inferiormente

o distribucion de Weibull, evaluando z = − ln(x − γ ) para los datos de la muestra entregados en la Tabla 5.3

e iterando el valor de γ hasta que satisfaga un coeficiente de asimetrıa C s,z = 1.139, se obtiene

γ = 308.58

⇓

z = 1

N

zi = −6.8616; sz =

(zi − z)2

N − 1 = 0.7555; b = − ln(3100 − 308.58) = −7.9343


ym = 0.53622; σm = 1.11237;

Luego,

b − z

sz=

y − ymσm




−1.4197 = y − 0.53622

1.11237

=⇒ y = −1.043

En consecuencia,

P (x > 3100) = 1 − F (b) = 1 −

1 − e−e−y

= 0.05854

y por lo tanto,

T = 1

P (x > 3100) =

1

0.05854 = 17.1 anos

De acuerdo a este modelo, los caudales estarıan limitados a un valor mınimo inferior de 308.58 [m3/s].

5.2.1.4. Distribucion Gamma de Dos Parametros

Una variable aleatoria “x” tiene una distribucion Gamma de dos parametros o Gamma 2, cuando su funcion

de densidad de frecuencia es

F (x) = 1

β αΓ(α)xα−1e−x/β x > 0 (5.50)

donde α y β son los dos parametros de la distribucion y Γ(α) es la funcion Gamma completa definida por la

integral,

Γ(α) =

∞0

yα−1e−ydy (5.51)

Integrando la funcion Gamma por partes, puede demostrarse que

Γ(α) = (α − 1)Γ(α − 1) (5.52)

de donde resulta que si es un numero entero positivo

Γ(α) = (α − 1)! (5.53)

Para valores no enteros de α, la funcion Γ(α) no es analıticamente integrable y se haya tabulada en tablas

matematicas y estadısticas o puede obtenerse mediante aproximaciones analıticas polinomiales.

La funcion de frecuencia acumulada esta dada por




F (b) = P (x ≤ b) =

b0

1

β αΓ(α)xα−1e−x/βdx (5.54)

Haciendo el cambio de variable y = x/β se tiene,

dx = βdy

F (b) = P (x ≤ b) =

b/β0

1

β αΓ(α)β α−1yα−1e−yβdy

F (b) = P (x ≤ b) = 1

Γ(α)

b/β0

yα−1e−ydy (5.55)

La integral resultante tiene la estructura de la funci on Gamma, pero integrada solo hasta el valor finito b/β ,por lo que se le denomina funcion Gamma incompleta, en este caso de dos parametros Γ (b/β,α). Esta funcion

tambien se haya tabulada.

En definitiva,

F (b) = P (x ≤ b) = Γ (b/β,α)

Γ(α) (5.56)

Los parametros α y β satisfacen las siguientes relaciones:

x = αβ ; s2x = β 2α; (5.57)

de donde

β = s2x

x ; α =

x

sx

2=

1

c2v; (5.58)

donde cv = sx/x es el coeficiente de variacion.

Siendo la distribucion Gamma 2 dependiente de solo dos parametros, su coeficiente de asimetrıa no es

independiente, quedando definido por la relacion

C s = 2√

α = 2cv (5.59)

Para fines practicos, se adjunta la Tabla 5.5 simplificada, que permite relacionar la variable centrada y

reducida o factor de frecuencia con su probabilidad de excedencia en funci on del coeficiente de asimetrıa, que

en este caso siempre es positivo, ya que el dominio de la variable es s olo para valores positivos con lımite

inferior nulo.




Tabla 5.5: Factores de frecuencia para distribuciones Pearson Tipo III con asimetrıa positiva.

C s

Perıodo de retorno [anos]

1.01 1.053 1.25 2 5 10 25 50 100 200 500 1000 2000 10000

Probabilidad de excedencia

0.99 0.95 0.8 0.5 0.2 0.1 0.04 0.02 0.01 0.005 0.002 0.001 0.0005 0.00010 -2.326 -1.645 -0.842 0.000 0.842 1.282 1.751 2.054 2.326 2.576 2.878 3.090 3.291 3.719

0.1 -2.253 -1.616 -0.846 -0.017 0.836 1.292 1.785 2.107 2.400 2.670 3.000 3.233 3.455 3.935

0.2 -2.178 -1.586 -0.850 -0.033 0.830 1.301 1.818 2.159 2.472 2.763 3.122 3.377 3.621 4.153

0.3 -2.104 -1.555 -0.853 -0.050 0.824 1.309 1.849 2.211 2.544 2.856 3.244 3.521 3.788 4.374

0.4 -2.029 -1.524 -0.855 -0.067 0.816 1.317 1.880 2.261 2.615 2.949 3.366 3.666 3.956 4.597

0.5 -1.955 -1.491 -0.857 -0.083 0.808 1.323 1.910 2.311 2.686 3.041 3.487 3.811 4.124 4.821

0.6 -1.880 -1.458 -0.857 -0.099 0.800 1.329 1.939 2.359 2.755 3.132 3.609 3.956 4.293 5.047

0.7 -1.806 -1.423 -0.857 -0.116 0.790 1.333 1.967 2.407 2.824 3.223 3.730 4.100 4.462 5.274

0.8 -1.733 -1.389 -0.856 -0.132 0.780 1.336 1.993 2.453 2.891 3.312 3.850 4.244 4.631 5.501

0.9 -1.660 -1.353 -0.854 -0.148 0.769 1.339 2.018 2.498 2.957 3.401 3.969 4.388 4.799 5.729

1 -1.588 -1.317 -0.852 -0.164 0.758 1.340 2.043 2.542 3.023 3.489 4.088 4.531 4.967 5.957

1.1 -1.518 -1.280 -0.848 -0.180 0.745 1.341 2.066 2.585 3.087 3.575 4.206 4.673 5.134 6.185

1.2 -1.449 -1.243 -0.844 -0.195 0.733 1.340 2.088 2.626 3.149 3.661 4.323 4.815 5.301 6.412

1.3 -1.383 -1.206 -0.838 -0.210 0.719 1.339 2.108 2.667 3.211 3.745 4.438 4.955 5.467 6.640

1.4 -1.318 -1.168 -0.832 -0.225 0.705 1.337 2.128 2.706 3.271 3.828 4.553 5.095 5.633 6.867

1.5 -1.256 -1.131 -0.825 -0.240 0.691 1.333 2.146 2.743 3.330 3.910 4.667 5.234 5.797 7.093

1.6 -1.197 -1.094 -0.817 -0.254 0.675 1.329 2.163 2.780 3.388 3.990 4.779 5.371 5.960 7.318

1.7 -1.140 -1.056 -0.808 -0.268 0.660 1.324 2.179 2.815 3.444 4.069 4.890 5.507 6.122 7.543

1.8 -1.087 -1.020 -0.799 -0.282 0.643 1.318 2.193 2.848 3.499 4.147 4.999 5.642 6.283 7.766

1.9 -1.037 -0.984 -0.788 -0.294 0.627 1.311 2.207 2.881 3.553 4.223 5.108 5.775 6.443 7.989

2 -0.990 -0.949 -0.777 -0.307 0.609 1.303 2.219 2.912 3.605 4.298 5.215 5.908 6.601 8.210

2.1 -0.946 -0.915 -0.765 -0.319 0.592 1.294 2.230 2.942 3.656 4.372 5.320 6.039 6.758 8.431

2.2 -0.905 -0.882 -0.752 -0.330 0.574 1.284 2.240 2.970 3.705 4.444 5.424 6.168 6.914 8.650

2.3 -0.867 -0.850 -0.739 -0.341 0.555 1.274 2.248 2.997 3.753 4.515 5.527 6.296 7.068 8.868

2.4 -0.832 -0.819 -0.725 -0.351 0.537 1.262 2.256 3.023 3.800 4.584 5.628 6.423 7.221 9.084

2.5 -0.799 -0.790 -0.711 -0.360 0.518 1.250 2.262 3.048 3.845 4.652 5.728 6.548 7.373 9.299

2.6 -0.769 -0.762 -0.696 -0.369 0.499 1.238 2.267 3.071 3.889 4.718 5.826 6.672 7.523 9.513

2.7 -0.740 -0.736 -0.681 -0.376 0.479 1.224 2.272 3.093 3.932 4.783 5.923 6.794 7.671 9.725

2.8 -0.714 -0.711 -0.666 -0.384 0.460 1.210 2.275 3.114 3.973 4.847 6.019 6.915 7.818 9.936

2.9 -0.690 -0.688 -0.651 -0.390 0.440 1.195 2.277 3.134 4.013 4.909 6.113 7.034 7.964 10.146

3 -0.667 -0.665 -0.636 -0.396 0.420 1.180 2.278 3.152 4.051 4.966 6.205 7.152 8.108 10.354

3.2 -0.625 -0.624 -0.606 -0.405 0.381 1.148 2.277 3.185 4.125 5.087 6.386 7.384 8.392 10.766

3.4 -0.588 -0.588 -0.577 -0.411 0.341 1.113 2.273 3.214 4.193 5.199 6.561 7.606 8.671 11.172

3.6 -0.556 -0.555 -0.549 -0.414 0.302 1.077 2.264 3.238 4.256 5.306 6.730 7.830 8.943 11.573

3.8 -0.529 -0.526 -0.522 -0.414 0.264 1.040 2.253 3.258 4.314 5.407 6.894 8.044 9.210 11.968

4 -0.500 -0.4.9999 -0.498 -0.413 0.226 1.001 2.238 3.274 4.368 5.504 7.053 8.253 9.472 12.357

4.5 -0.444 -0.444 -0.444 -0.400 0.137 0.900 2.189 3.298 4.483 5.724 7.427 8.752 10.101 13.3055 -0.400 -0.400 -0.400 -0.379 0.058 0.795 2.124 3.300 4.573 5.916 7.771 9.220 10.698 14.220

Ejemplo 5.2.5:

Continuando con el mismo problema de los ejemplos anteriores, se supone ahora que los datos siguen una

distribucion Gamma de 2 parametros.





x =

N i=1 xiN

= 1500 [m3/s]; sx =

N i=1 (xi − x)2

N

−1

= 732.1 [m3/s]; cv = sx

x = 0.488;

De esta forma, a partir de los parametros estadısticos se calculan los parametros de la distribucion gamma

β = s2x

x = 357.3; α =

x

sx

2=

1

c2v= 4.198;

Considerando que b = 3100 [m3/s] y entrando en la Tabla 5.5 con

C s = 2√

α = 2cv = 0.9761 y k =

b − x

sx= 2.185

interpolando se obtiene

P (x > b) = 0.0334

⇓T =

1

P (x > b) =

1

0.0334 = 30.3 anos

5.2.1.5. Curvas de Pearson

Karl Pearson encontro una ecuacion diferencial que cumple la propiedad de ajustarse a las distribuciones m as

importantes de la estadıstica.

Esta ecuacion diferencial es

1

f (x)

d (f (x))

dx =

d − x

a + bx + cx2 (5.60)

d (f (x))

f (x) =

d − x

a + bx + cx2dx (5.61)

ln f (x)

f (x0) =

x

x−0

d − x

a + bx + cx2

dx (5.62)

Por lo tanto, la llamada funcion de densidad de la curva de Pearson es

f (x) = f (x0)e

x

x−0

d−x

a+bx+cx2dx

(5.63)

A partir de esta distribucion general se puede llegar a diversas distribuciones conocidas, dependiendo del

valor que se le de a los parametros a, b, c y d.




La constante f (x0) se obtiene al imponer la condicion de que el area bajo la curva dentro de todo el rango

de variacion de x sea unitaria,

x2

x1

f (x)dx

≡1 x1

≤x

≤x2 (5.64)

Los parametros a, b, c y d pueden calcularse a partir de los cuatro primeros momentos de la distribucion,

es decir, en funcion del promedio, desviacion estandar, coeficiente de asimetrıa y coeficiente de kurtosis.

5.2.1.6. Distribucion de Pearson Tipo III

Para aplicaciones en hidrologıa, la curva de Pearson de mayor interes corresponde a la llamada Distribucion

de Pearson Tipo III, que cumple con la condicion de que el parametro c = 0.

Puede demostrarse por integracion directa, que en este caso la funcion de densidad de frecuencia se reduce

a:

f (x) = 1

bαΓ(α)(x − x0)α−1e−

x−x0b (5.65)

Esta funcion se conoce tambien como distribucion Gamma de 3 parametros, ya que es una generalizacion de

la distribucion Gamma de 2 parametros, en que el lımite inferior no es nulo, sino:

x0 = −a

b

Las condiciones que deben cumplir las constantes de Pearson en este caso son,

c = 0

b > 0

c = 0

a = −bx0

d = x0 − b

En el caso particular x0 = 0, se cumple a = c = 0, b > 0, d > −b, con lo que la distribucion queda en funcion

de 2 parametros,

f (x) = 1

bαΓ(α)xα−1e−x/b (5.66)

expresion que corresponde a la distribucion Gamma de 2 parametros, anteriormente vista.

Se cumple entonces que si la variable x > x0 tiene distribucion Pearson Tipo III, entonces la variable

y = x–x0 > 0 tiene distribucion Gamma de 2 parametros, cumpliendose las relaciones,




y = x − x0 (5.67)

s2y = s2x = b2α (5.68)

C s,x = C s,y = 2√

α (5.69)

de donde los parametros de la Distribucion Pearson Tipo III se pueden estimar mediante las relaciones,

α = 4

C 2s,x

(5.70)

b = sx|C s,x|

2 (5.71)

x0 = x − 2 sx|C s,x| (5.72)

En el caso en que C s,x sea nulo, la distribucion es simetrica y tiende a la distribucion normal.

Para el calculo de la distribucion Pearson Tipo III, hay que recurrir tambien a Tablas o integracionesaproximadas. Como la distribucion en este caso tiene 3 parametros, el coeficiente de asimetrıa debe ser

estimado en forma independiente a partir de los datos muestrales, con los estimadores del segundo (ec.

(5.15)) y tercer momento (ec. (5.16)) de la distribucion,

C s,x = Ax

s3x(5.73)

La misma Tabla 5.5 aplicable a la Distribucion Gamma 2, sumada a la Tabla 5.6, que incluye los valores

de la variable reducida para coeficientes de asimetrıa negativos, son aplicables a la Distribucion Gamma 3,las cuales permiten estimar la probabilidad de excedencia de la variable reducida o factor de frecuencia

k = x − x

sx

en funcion del coeficiente de asimetrıa.




Tabla 5.6: Factores de frecuencia para distribuciones Pearson Tipo III con asimetrıa negativa.

C s

Perıodo de retorno (anos)

1.01 1.053 1.25 2 5 10 25 50 100 200 500 1000 2000 10000


0.99 0.95 0.8 0.5 0.2 0.1 0.04 0.02 0.01 0.005 0.002 0.001 0.0005 0.00010 -2.326 -1.645 -0.842 0.000 0.842 1.282 1.751 2.054 2.326 2.576 2.878 3.090 3.291 3.719

-0.1 -2.400 -1.673 -0.836 0.017 0.846 1.270 1.716 2.000 2.253 2.482 2.757 2.948 3.128 3.507

-0.2 -2.472 -1.700 -0.830 0.033 0.850 1.258 1.680 1.945 2.178 2.388 2.637 2.808 2.967 3.299

-0.3 -2.544 -1.726 -0.824 0.050 0.853 1.245 1.643 1.890 2.104 2.294 2.517 2.669 2.809 3.096

-0.4 -2.615 -1.750 -0.816 0.067 0.855 1.231 1.606 1.834 2.029 2.201 2.399 2.533 2.654 2.899

-0.5 -2.686 -1.774 -0.808 0.083 0.857 1.216 1.567 1.777 1.955 2.108 2.283 2.399 2.503 2.708

-0.6 -2.755 -1.797 -0.800 0.099 0.857 1.200 1.528 1.720 1.880 2.016 2.169 2.268 2.355 2.525

-0.7 -2.824 -1.819 -0.790 0.116 0.857 1.184 1.489 1.663 1.806 1.926 2.057 2.141 2.213 2.350

-0.8 -2.891 -1.839 -0.780 0.132 0.856 1.166 1.448 1.606 1.733 1.837 1.948 2.017 2.077 2.184

-0.9 -2.957 -1.859 -0.769 0.148 0.854 1.147 1.407 1.549 1.660 1.749 1.842 1.899 1.946 2.029

-1 -3.023 -1.877 -0.758 0.164 0.852 1.128 1.366 1.492 1.588 1.664 1.741 1.786 1.822 1.884

-1.1 -3.087 -1.894 -0.745 0.180 0.848 1.107 1.324 1.444 1.518 1.581 1.643 1.678 1.706 1.751

-1.2 -3.149 -1.910 -0.733 0.195 0.844 1.086 1.282 1.379 1.449 1.501 1.550 1.577 1.597 1.628

-1.3 -3.211 -1.925 -0.719 0.210 0.838 1.064 1.240 1.324 1.383 1.424 1.462 1.482 1.497 1.518

-1.4 -3.271 -1.938 -0.705 0.225 0.832 1.041 1.198 1.270 1.318 1.351 1.380 1.394 1.404 1.418

-1.5 -3.330 -1.951 -0.691 0.240 0.825 1.018 1.157 1.217 1.256 1.282 1.303 1.313 1.319 1.328

-1.6 -3.388 -1.962 -0.675 0.254 0.817 0.994 1.116 1.166 1.197 1.216 1.231 1.238 1.242 1.247

-1.7 -3.444 -1.972 -0.660 0.268 0.808 0.970 1.075 1.116 1.140 1.155 1.165 1.170 1.172 1.175

-1.8 -3.499 -1.981 -0.643 0.282 0.799 0.945 1.035 1.069 1.087 1.097 1.105 1.107 1.109 1.111

-1.9 -3.553 -1.989 -0.627 0.294 0.788 0.920 0.997 1.023 1.037 1.044 1.049 1.051 1.052 1.052

-2 -3.605 -1.996 -0.609 0.307 0.777 0.895 0.959 0.980 0.990 0.995 0.998 0.999 1.000 1.000

-2.1 -3.656 -2.001 -0.592 0.319 0.765 0.869 0.923 0.939 0.946 0.949 0.951 0.952 0.952 0.952

-2.2 -3.705 -2.006 -0.574 0.330 0.752 0.844 0.888 0.900 0.905 0.907 0.909 0.909 0.909 0.909-2.3 -3.753 -2.009 -0.555 0.341 0.739 0.819 0.855 0.864 0.867 0.869 0.669 0.869 0.870 0.870

-2.4 -3.800 -2.011 -0.537 0.351 0.725 0.795 0.823 0.830 0.832 0.833 0.833 0.833 0.833 0.833

-2.5 -3.845 -2.012 -0.518 0.360 0.711 0.771 0.793 0.798 0.799 0.800 0.800 0.800 0.800 0.800

-2.6 -3.889 -2.013 -0.499 0.369 0.696 0.747 0.765 0.768 0.769 0.769 0.769 0.769 0.769 0.769

-2.7 -3.932 -2.012 -0.479 0.376 0.681 0.724 0.738 0.740 0.740 0.741 0.741 0.741 0.741 0.741

-2.8 -3.973 -2.010 -0.460 0.384 0.666 0.702 0.712 0.714 0.714 0.714 0.714 0.714 0.714 0.714

-2.9 -4.013 -2.007 -0.440 0.390 0.651 0.681 0.688 0.689 0.690 0.690 0.690 0.690 0.690 0.690

-3 -4.051 -2.003 -0.420 0.396 0.636 0.660 0.666 0.666 0.667 0.667 0.667 0.667 0.667 0.667

-3.2 -4.125 -1.993 -0.381 0.405 0.606 0.622 0.625 0.625 0.625 0.625 0.625 0.625 0.625 0.625

-3.4 -4.193 -1.980 -0.341 0.410 0.577 0.587 0.588 0.588 0.588 0.588 0.588 0.588 0.588 0.588

-3.6 -4.256 -1.963 -0.302 0.414 0.549 0.555 0.556 0.556 0.556 0.556 0.556 0.556 0.556 0.556

-3.8 -4.314 -1.943 -0.264 0.414 0.522 0.526 0.526 0.526 0.526 0.526 0.526 0.526 0.526 0.526

-4 -4.368 -1.920 -0.226 0.413 0.498 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500

-4.5 -4.483 -1.853 -0.137 0.400 0.444 0.444 0.444 0.444 0.444 0.444 0.444 0.444 0.444 0.444




Ejemplo 5.2.6:

Continuando con el mismo problema de los ejemplos anteriores, pero ahora se supone que los datos siguen

una distribucion Gamma de 3 parametros.


x =

N i=1 xiN

= 1500 [m3/s]; sx =

N i=1 (xi − x)2

N − 1 = 732.1 [m3/s];

Ax = N N

i=1 (xi − x)3

(N − 1)(N − 2) = 316612684.7;

Calculando el coeficiente de asimetrıa se obtiene

C s,x = Ax

s3x

= 0.8068

Considerando que b = 3100 [m3/s] y entrando en la Tabla 5.5 con

C s,x = 0.8068 y k = b − x

sx= 2.185


P (x > b) = 0.03096

⇓T =

1

P (x > b) =

1

0.03096 = 32.3 anos

5.2.1.7. Distribucion Log – Pearson Tipo III

La distribucion Log – Pearson Tipo III resulta de reemplazar la variable hidrologica original por sus logarit-

mos, en forma analoga a la relacion entre las distribuciones normal y log-normal.

Su funcion de densidad de frecuencia, en consecuencia es,

f (y) = 1bαΓ(α)

(y − y0)α−1e− y−y0b (5.74)

donde y = ln(x).

En consecuencia, los parametros estadısticos son

y =

N i=1 ln(xi)

N (5.75)




s2y =

N i=1 (ln(xi) − y)

2

N − 1 (5.76)

C s,y = N N

i=1 (ln(xi) − y)

3

(N − 1)(N − 2)s3y(5.77)

y los parametros de la distribucion resultan

α = 4

C 2s,y(5.78)

b = sy|C s,y|

2 (5.79)

y0 = y − 2 sy|C s,y| (5.80)

Esta distribucion ha sido recomendada por el Water Resources Council de los Estados Unidos, como ladistribucion mas adecuada para la determinacion de crecidas de diseno en los EE.UU., razon por la cual ha

ganado gran popularidad en los ultimos anos.

Ejemplo 5.2.7:

Continuando con el mismo problema de los ejemplos anteriores, pero ahora se supone que los datos siguen

una distribucion Log – Pearson Tipo III.

se aplica la transformacion logarıtmica y = ln(x) a los datos de la muestra entregados en la Tabla 5.3 (N = 30)

y se obtiene:

y =

N i=1 ln(yi)

N = 7.196; sy =

N i=1

ln(yi) − ln(x)

2N − 1

= 0.505;

C s,y = N N

i=1 (ln(xi) − y)3

(N − 1)(N − 2)s3y= −0.2578;

Considerando que b = 3100 [m3/s] y que ln(b) = 8.039, y luego entrando en la Tabla 5.6 con

C s,y = −0.2578 y k = ln(b) − y

sy= 1.670


P (x > 3000) = 0.0391

⇓T =

1

P (x > 3000) =

1

0.0391 = 25.6 anos




5.2.1.8. Distribuciones de Frecuencia Generalizadas

Como se ha analizado, cuando el tamano de las muestras es pequeno, la estimacion de los parametros,

en particular el coeficiente de asimetrıa, adquiere gran incertidumbre, caracterıstica que se traslada a la

estimacion de las variables asociadas a algun perıodo de retorno. Como una manera de aminorar este problemase han propuesto una serie de tecnicas que tratan de reducir la incertidumbre, incorporando informacion

regional adicional disponible. Por ejemplo, se ha propuesto corregir los valores muestrales del coeficiente de

asimetrıa ponderando su valor con estimaciones regionales de este parametro, correspondiente a promedios

de valores de estaciones vecinas.

Tambien se ha propuesto trabajar con variables adimensionalizadas, dividiendo los valores por su valor

promedio e incorporando como una sola muestra, valores obtenidos de distintas estaciones vecinas, con lo

que se ampliarıa el tamano de la muestra y se reducirıa la incertidumbre. Varas y Lara (1997) proponen un

modelo regional en funcion de parametros fisiograficos y meteorologicos que permitirıa incluso la estimacion

probabilıstica de variables en lugares no controlados.

5.2.2. Uso de Intervalos de Confianza en Analisis de Frecuencia

En estricto rigor, la magnitud de un evento xT de perıodo de retorno T , viene dada por la expresion

xT = µ + kT σx (5.81)

donde µ y σx son el promedio y desviacion estandar de la poblacion y kT es el factor de frecuencia , funcion

de la distribucion de frecuencia de la poblacion y del perıodo de retorno o probabilidad de excedencia del

evento.

En la practica, como desconocemos los valores exactos de los parametros de la distribucion, los estimamos

con los parametros muestrales, por lo que el valor estimado del evento xT , resulta

xT = x + kT sx (5.82)

donde x y sx son los estimadores del promedio y desviacion estandar en base a la informacion que proporciona

la muestra finita de tamano N . En consecuencia, estos estimadores son a su vez variables aleatorias que

dependen de la distribucion de frecuencia de la poblacion y del tamano de la muestra de la cual provienen. Es

posible entonces establecer un rango o intervalo de confianza, dentro del cual se espera en forma razonable,

que quede comprendido el valor correcto de la estimacion. El tamano del intervalo de confianza depende del

nivel β de confianza que se escoja.

A cada nivel de confianza le corresponde a su vez un nivel de significancia α, que viene dado por las

expresiones

α = 1 − β

2 o α = 1 − β (5.83)




dependiendo si la distribucion de origen es abierta en sus dos extremos o s olo en uno, respectivamente.

Ası entonces, en el caso del promedio, se puede plantear la expresion

x =

=

x ±kx,ασx (5.84)

donde los parametros son el promedio y desviacion estandar del estimador del promedio y kx,α es el coeficiente

de frecuencia asociado al nivel de significancia.

Expresiones analogas pueden plantearse para cualquier estimador estadıstico, en este caso, la desviacion

estandar de la muestra.

En el caso de la distribucion normal, la teorıa estadıstica nos dice que la variable

t = x − µ

sx/√

N (5.85)

tiene una distribucion “t” de Student, con ν = N − 1 grados de libertad.

Analogamente, en el caso de la distribucion normal, la variable

χ2 = (N − 1)s2x

σ2x

(5.86)

tiene una distribucion χ2 con ν = N − 1 grados de libertad.

La distribucion χ2 es un caso particular de la distribucion Gamma de 2 parametros, con los valores α = ν /2

y β = 2.

Despejando de estas expresiones los parametros de la poblacion y remplazando en la ecuacion (5.82),

finalmente queda.

xT = x ± tα√ N

sx + kT

(N − 1)

χ2α

sx (5.87)

Normalmente se trabaja con un nivel de confianza del 90 % (β = 0.9) por lo que la expresion anterior nos

da el lımite superior utilizando el signo positivo y un nivel de significancia de α = 0.05 o α = 0.1 , y el lımite

inferior del intervalo de confianza utilizando el signo negativo y el nivel de significancia complementario.

Tanto la distribucion t de Student como la χ2 se hayan tabuladas para distintos niveles de significancia y

grados de libertad.

La distribucion normal, sin embargo, generalmente no es apropiada para el analisis de frecuencia de datos

hidrologicos, sin embargo, trabajando con los logaritmos de los datos, el procedimiento descrito es aplicable

a la distribucion log-normal.

Desgraciadamente, para distribuciones que presenten asimetrıas distintas de cero (C s = 0), el estableci-

miento de niveles de confianza se torna muy complejo o simplemente imposible; sin embargo, se acepta utilizar




en forma aproximada los lımites de la distribucion normal para otras distribuciones.

En la Tabla 5.7 se entregan factores de correccion f c ,propuestos por el U.S. Water Resources Council, que

permiten una estimacion aproximada de los lımites de confianza superior e inferior, utilizando las expresiones,

xT = x + f c(α)kT sx (5.88)

y

xT = x + f c(1 − α)kT sx (5.89)

donde kT es el factor de frecuencia asociado a la distribuci on y al perıodo de retorno asociado. El procedi-

miento es preciso para valores del coeficiente de asimetrıa en el rango |C s| < 0.5. Para asimetrıas mayores,

se pierde precision

Ejemplo 5.2.8:

Se considera el ejemplo 5.2.7 del ajuste de la distribucion log-Pearson, donde al caudal de Q = 3.100

[m3/s] se le asignaba un perıodo de retorno de T = 25.6 anos. El problema de determinacion de intervalos de

confianza se puede abordar en la determinacion del intervalo de confianza del perıodo de retorno estimado

para el caudal Q = 3.100 [m3/s], o en terminos de plantear el problema inverso de establecer el intervalo de

confianza de los caudales para el perıodo de retorno estimado de T = 25.6 anos.

El segundo caso es de solucion directa.

De los datos y solucion del problema 5.2.7, se tiene:

T = 25.6 anos; P ex = 1T

= 0.0391; N = 30;

y = 7.196; sy = 0.505; C s,y = −0.2578; z = kT = 1.670;

por lo que la estimacion es precisa Para un nivel de confianza de β = 0.9, para una distribucion abierta se

tiene,

αs = 1 − β

2 = 0.05; αI = 0.95;

Interpolando en la Tabla 5.7, para N = 30 entre las probabilidades 0.02 y 0.05, se obtiene,

f c(αs) = 1.343; f c(αI ) = 0.767;

Reemplazando en las ecuaciones (5.88) y (5.89), resulta

ys = ln(Qs) = 7.196 + 1.343 · 1.670 · 0.505 = 8.329 ⇒ Qs = 4141 [m3/s]

yI = ln(QI ) = 7.196 + 0.767 · 1.670 · 0.505 = 7.843 ⇒ QI = 2547 [m3/s]




Tabla 5.7: Factores de correccion f c(α) para estimacion de intervalos de confianza (β = 0.9).

Perıodo de retorno [anos]

Nivel Tamano 2.5 5 10 20 50 100 200 1000

Significancia Muestra Probabilidad de excedencia

α N 0.4 0.2 0.1 0.05 0.02 0.01 0.005 0.001

0.05

10 3.55 2.02 1.84 1.77 1.73 1.71 1.7 1.68

15 2.96 1.76 1.61 1.56 1.53 1.51 1.5 1.49

20 2.65 1.63 1.5 1.46 1.43 1.42 1.41 1.4

30 2.31 1.49 1.39 1.35 1.33 1.32 1.31 1.3

40 2.12 1.41 1.32 1.29 1.27 1.26 1.26 1.25

50 1.99 1.36 1.28 1.26 1.24 1.23 1.23 1.22

70 1.84 1.3 1.23 1.21 1.2 1.18 1.18 1.18

100 1.69 1.25 1.19 1.17 1.16 1.15 1.15 1.15

0.1

10 2.9 1.75 1.61 1.56 1.53 1.52 1.51 1.5

15 2.48 1.57 1.46 1.42 1.39 1.38 1.37 1.36

20 2.26 1.47 1.38 1.34 1.32 1.31 1.31 1.3

30 2 1.37 1.29 1.26 1.25 1.24 1.23 1.23

40 1.86 1.31 1.25 1.22 1.21 1.2 1.2 1.19

50 1.76 1.28 1.22 1.19 1.18 1.18 1.17 1.17

70 1.65 1.23 1.18 1.16 1.15 1.14 1.14 1.14

100 1.54 1.19 1.15 1.13 1.12 1.12 1.12 1.11

0.9

10 -0.64 0.51 0.65 0.7 0.72 0.74 0.75 0.76

15 -0.26 0.62 0.72 0.76 0.78 0.79 0.79 0.8

20 -0.14 0.64 0.74 0.77 0.79 0.8 0.81 0.82

30 0.07 0.7 0.78 0.81 0.83 0.83 0.84 0.85

40 0.2 0.74 0.81 0.83 0.85 0.85 0.86 0.86

50 0.28 0.76 0.83 0.85 0.86 0.87 0.87 0.88

70 0.4 0.8 0.85 0.87 0.88 0.89 0.89 0.89

100 0.5 0.83 0.87 0.89 0.9 0.9 0.91 0.91

0.95

10 -1.14 0.38 0.56 0.62 0.66 0.67 0.68 0.7

15 -0.71 0.48 0.63 0.68 0.71 0.72 0.73 0.74

20 -0.47 0.55 0.67 0.71 0.74 0.75 0.76 0.77

30 -0.19 0.62 0.72 0.76 0.78 0.79 0.8 0.81

40 -0.03 0.67 0.76 0.79 0.81 0.81 0.82 0.83

50 0.07 0.7 0.78 0.81 0.82 0.83 0.84 0.84

70 0.22 0.75 0.81 0.84 0.85 0.86 0.86 0.86

100 0.35 0.79 0.84 0.86 0.87 0.88 0.88 0.89

En definitiva, para un perıodo de retorno de T = 25.6 anos, el caudal esperado es de Q = 3100 [m3/s],

pudiendo establecerse con un nivel de confianza del 90 %, que el verdadero valor estara comprendido aproxi-

madamente entre los lımites 2547 y 4141 [m3/s].

La solucion al problema inverso, de establecer los lımites de confianza de los perıodos de retorno corres-

pondientes al caudal Q = 3100 [m3/s], resultan de establecer por tanteo, con la ayuda de las Tablas 5.6 y




5.7, para que perıodos de retorno se cumple en este ejemplo, la relacion

f c(α, T ) · kT = y − y

sy= z = 1.670

Para el coeficiente de asimetrıa C s,y =

−0.2578 y los valores de alfa 0.05 y 0.95.

5.2.3. Seleccion de Modelos Probabilısticos

Los procedimientos descritos en los acapites anteriores permiten determinar el perıodo de retorno de una

cierta magnitud de un evento hidrologico o, inversamente, calcular la magnitud del evento asociado a un

perıodo de retorno determinado, siempre y cuando se sepa o se suponga a priori, cual es la funcion de

densidad de frecuencia que posee la poblacion de la cual fue extraıda la muestra.

Como se vio en los ejemplos desarrollados, el resultado de un analisis de frecuencia efectuado a una

misma serie de datos sera distinto dependiendo de la funcion de densidad de frecuencia que se adopte como

distribucion mas apropiada para los datos.

De hecho, para los ejemplos del Rıo Maule en Armerillo, el caudal estimado de Q = 3100 [m3/s], resulto con

los siguientes perıodos de retorno segun la distribucion elegida

Tabla 5.8: Resumen obtenidos en los ejemplos 5.2.1 a 5.2.7.

DISTRIBUCION T [anos]

Normal 69.4

Logarıtmico normal 21.1

Valores extremos Tipo I, Gumbel 19.9

Valores Extremos Tipo III, acotada superiormente 24.4

Valores extremos Tipo III Weibull 17.1Gamma de 2 parametros 30.3

Gamma de 3 parametros o Pearson 32.3

Log-Pearson 25.6

En este caso, salvo la distribucion normal, que no puede adaptarse a una serie de datos con asimetrıa, el

resto de las distribuciones nos dice que el perıodo de retorno del caudal senalado, oscilarıa entre los 20 a 30

anos aproximadamente. Este rango de variacion, de ya importante, se acentua enormemente al evaluar eventos

mas extremos, de alto perıodo de retorno, lo que obliga a adoptar algun criterio objetivo para establecer cual

de los resultados obtenidos es el mas adecuado, lo que implica establecer cual de las distribuciones teoricas

es la que mejor se ajusta a la distribuci on empırica de los datos. En otras palabras, habra que inferir apartir de la informacion proporcionada por la muestra, cual es la distribucion que mejor se ajusta a los datos

disponibles, es decir, se debera escoger aquella funcion de densidad de frecuencia que mejor coincida con la

forma del histograma normalizado de la muestra.

La teorıa estadıstica nos proporciona tests que permiten establecer, con un determinado nivel de confianza,

cual distribucion o distribuciones es posible aceptar como representativa de los datos disponibles. Los tests

mas comunmente utilizado corresponden al Test χ2 y al Test Kolmogorov- Smirnov.




5.2.3.1. Test o Prueba χ2

Si se dispone de una muestra de datos de tamano N, es posible dividir el rango de variacion de la variable

en K intervalos de clase y determinar para cada uno de ellos la frecuencia absoluta o n umero de datos de

la muestra que caen dentro de cada intervalo, confeccionando ası el histograma absoluto de la muestra y larespectiva frecuencia absoluta (f i) para cada uno de los intervalos.

El numero de intervalos de clases que reproduce en forma adecuada la forma de la distribucion de origen,

puede estimarse mediante la relacion aproximada,

K = 1 + 1.45ln(N ) (5.90)

recomendandose ademas que el valor de K sea igual o superior a K = 5 y que a su vez, la frecuencia absoluta

observada de cada intervalo sea igual o superior a f i = 5.

El Test se basa en adoptar la hipotesis nula respecto a que los datos provienen de un universo con una

cierta funcion de frecuencia dada f (x), conocida.

Si la hipotesis es valida, entonces si se designa con C i el lımite superior de un intervalo de clase cualquiera,

la probabilidad de la variable aleatoria de caer dentro de ese intervalo queda dada por la integral,

P (C i−1 < x < C i) = P i =

C iC i−1

f (x)dx (5.91)

de donde el valor teorico esperado de la frecuencia absoluta de ese intervalo de clase queda dado por la

expresion

ti = N · P i (5.92)

Manteniendo la validez de la hipotesis, la diferencia entre el valor teorico y el observado

ε = (f i − ti) (5.93)

solo puede provenir de un error de muestreo, teniendo segun la teorıa de errores una distribucion normal.

Se demuestra en ese caso que la variable,

χ2m =

K i=1

(f i − ti)2

ti(5.94)

se aproxima a una distribucion χ2 con ν = K − s − 1 grados de libertad, donde s es el numero de parametrosde la funcion de densidad de frecuencia en analisis. Se recuerda que la distribucion χ2 es un caso particular de

la distribucion gamma de 2 parametros y se encuentra tabulada para distintas probabilidades de excedencia

y distintos grados de libertad.

Escogiendo un nivel de significancia α, se cumple con un nivel de confianza (1 − α) que la variable χ2m

debiera tomar valores menores que el valor χ2ν,(1−α) correspondiente al valor de la variable χ2 que tiene una

probabilidad de excedencia α.




En consecuencia la prueba es la siguiente: Se compara el valor obtenido de la muestra χ2m con el valor de

la variable χ2ν,(1−α), tabulado para un cierto nivel de confianza elegido,

Si χ2m

< χ2ν,(1−α): No hay argumentos para rechazar la hipotesis nula de que los datos provienen de

la distribucion f (x) elegida.

Si χ2m ≥ χ2

ν,(1−α): Se rechaza la hipotesis nula, ya que es muy poco probable, con el nivel de con-

fianza elegido, que la variable alcance un valor tan grande, si realmente los datos correspondieran a la

distribucion en analisis.

Es importante hacer notar que si bien este test permite rechazar una distribucion por no ser adecuada, en

ningun caso permite probar que una distribucion aceptada sea realmente la correcta.

Si al probar distintas distribuciones resulta que dos o m as de ellas pueden ser aceptadas, normalmente se

elige como mas probable a aquella distribucion que arroje el menor valor de la variable χ2m.

Con el proposito de minimizar los errores de Tipo I, normalmente se acostumbra trabajar con un nivel de

confianza del 95 % o α = 0.05. En la Tabla 5.9 se incluyen los valores de la distribucion para distintos grados

de libertad y niveles de significancia.

Tabla 5.9: Valores de χ2ν,(1−α).

ν Nivel de significancia (α)

0.2 0.1 0.05 0.02 0.01 0.005 0.002 0.001

1 1.64 2.71 3.84 5.41 6.63 7.88 9.55 10.83

2 3.22 4.61 5.99 7.82 9.21 10.60 12.43 13.82

3 4.64 6.25 7.81 9.84 11.34 12.84 14.80 16.27

4 5.99 7.78 9.49 11.67 13.28 14.86 16.92 18.475 7.29 9.24 11.07 13.39 15.09 16.75 18.91 20.52

6 8.56 10.64 12.59 15.03 16.81 18.55 20.79 22.46

7 9.80 12.02 14.07 16.62 18.48 20.28 22.60 24.32

8 11.03 13.36 15.51 18.17 20.09 21.95 24.35 26.12

9 12.24 14.68 16.92 19.68 21.67 23.59 26.06 27.88

10 13.44 15.99 18.31 21.16 23.21 25.19 27.72 29.59

11 14.63 17.28 19.68 22.62 24.72 26.76 29.35 31.26

12 15.81 18.55 21.03 24.05 26.22 28.30 30.96 32.91

13 16.98 19.81 22.36 25.47 27.69 29.82 32.54 34.53

14 18.15 21.06 23.68 26.87 29.14 31.32 34.09 36.12

15 19.31 22.31 25.00 28.26 30.58 32.80 35.63 37.70

16 20.47 23.54 26.30 29.63 32.00 34.27 37.15 39.25

17 21.61 24.77 27.59 31.00 33.41 35.72 38.65 40.79

18 22.76 25.99 28.87 32.35 34.81 37.16 40.14 42.31

19 23.90 27.20 30.14 33.69 36.19 38.58 41.61 43.82

20 25.04 28.41 31.41 35.02 37.57 40.00 43.07 45.31




5.2.3.2. Test o Prueba de Kolmogorov – Smirnov

Un procedimiento alternativo a la Prueba χ2 para evaluar la bondad de ajuste de la distribucion de una

determinada muestra respecto de alguna distribucion teorica, corresponde al Test de Kolmogorov-Smirnov,

que presenta para muestras pequenas la caracterıstica de ser mas potente.

A diferencia del Test χ2, que compara las diferencias entre el histograma de la muestra y la funcion

de densidad de frecuencia, este test compara la funci on de frecuencia acumulada de la distribucion teorica

ensayada F (x) con la curva de frecuencia acumulada empırica que se obtiene de los datos.

Si la funcion teorica de frecuencia acumulada es

F (x0) = P (x ≤ x0) (5.95)

entonces la funcion empırica vale,

F e(x0) = P (x ≤ x0) ∼= N 0N

(5.96)

Donde N 0 es el numero de valores de la muestra de magnitud menor o igual a x0 y N es el tamano total de

la muestra.

En teorıa si el tamano de la muestra tiende a infinito y la hipotesis nula respecto a que la funcion de

frecuencia acumulada ensayada es la correcta, los valores de F (x) y F e(x) debieran coincidir. Para muestras

finitas, manteniendo la validez de la hipotesis nula, las diferencias entre F (x) y F e(x) corresponde a errores

de muestreo y analogamente a la prueba anterior, se demuestra que si la hip otesis nula adoptada es valida,

entonces la variable D definida por el valor absoluto de la mayor diferencia entre F (x) y F e(x),

D = max|F e(xi) − F (xi)| i = 1, · · · , N (5.97)

Tiene una distribucion de Kolmogorov Dν,α de ν = N − s − 1 grados de libertad, que esta tabulada para

distintos niveles de significancia α.

En definitiva, comparando el valor muestral D con la variable de referencia Dν,α, se tiene

Si D < Dν,α: No hay argumentos para rechazar la hipotesis nula de que los datos provienen de la

distribucion F (x) elegida.

Si D ≥ Dν,α: Se rechaza la hipotesis nula, ya que es muy poco probable, con el nivel de confianza elegi-

do, que la variable alcance un valor tan grande, si realmente los datos correspondieran a la distribucion

en analisis.

En general, se dispone de muestras de tamano finito, lo que provoca una incertidumbre en el valor de D .

Esto se aprecia en la Figura 5.2.




Figura 5.2: Incertidumbre en el valor de D para muestras de tamano finito.

En este caso, para el calculo de D deben obtenerse las siguientes expresiones

D+ = max|F e(xi) − F (xi)| i = 1, · · · , N (5.98)

D− = max|F e(xi−1) − F (xi)| i = 1, · · · , N (5.99)

y a partir de estos valores:

D = max

D+, D− (5.100)

La Tabla 5.10 entrega valores de la distribucion de Kolmogorov para distintos grados de libertad y un nivel

de confianza del 95 %.



5.3. Analisis de Frecuencia Directo o Grafico 141

Tabla 5.10: Valores de Dν,α

N Nivel de significancion α

0.2 0.1 0.05 0.02 0.01 0.005 0.002 0.001

1 0.9000 0.9500 0.9750 0.9900 0.9950 0.9975 0.9990 0.9995

2 0.6834 0.7764 0.8419 0.9000 0.9293 0.9500 0.9684 0.9776

3 0.5648 0.6360 0.7076 0.7846 0.8290 0.8643 0.9000 0.9207

4 0.4927 0.5652 0.6239 0.6889 0.7342 0.7764 0.8222 0.8505

5 0.4470 0.5095 0.5633 0.6272 0.6685 0.7054 0.7500 0.7814

6 0.4104 0.4680 0.5193 0.5774 0.6166 0.6529 0.6957 0.7248

7 0.3815 0.4361 0.4834 0.5384 0.5758 0.6098 0.6507 0.6793

8 0.3583 0.4096 0.4543 0.5065 0.5418 0.5743 0.6137 0.6410

9 0.3391 0.3875 0.4300 0.4796 0.5133 0.5444 0.5821 0.6085

10 0.3226 0.3687 0.4093 0.4556 0.4889 0.5187 0.5550 0.5804

11 0.3083 0.3524 0.3912 0.4367 0.4677 0.4954 0.5314 0.5559

12 0.2958 0.3382 0.3754 0.4192 0.4491 0.4767 0.5105 0.5342

13 0.2847 0.3255 0.3614 0.4036 0.4325 0.4592 0.4919 0.5149

14 0.2748 0.3142 0.3489 0.3897 0.4176 0.4435 0.4752 0.4975

15 0.2659 0.3040 0.3375 0.3771 0.4042 0.4293 0.4561 0.4818

16 0.2578 0.2947 0.3273 0.3657 0.3920 0.4164 0.4464 0.4675

17 0.2504 0.2863 0.3180 0.3553 0.3809 0.4046 0.4338 0.4554

18 0.2436 0.2785 0.3094 0.3457 0.3706 0.3938 0.4222 0.4423

19 0.2374 0.2714 0.3014 0.3369 0.3612 0.3838 0.4116 0.4312

20 0.2316 0.2647 0.2941 0.3287 0.3524 0.3745 0.4017 0.4209

21 0.2252 0.2586 0.2872 0.3210 0.3443 0.3659 0.3924 0.4112

22 0.221I5 0.2528 0.2809 0.3139 0.3367 0.3578 0.3838 0.4022

23 0.2165 0.2475 0.2749 0.3073 0.3295 0.3503 0.3758 0.3938

24 0.2121 0.2424 0.2693 0.3010 0.3229 0.3432 0.3679 0.3859

25 0.2079 0.2377 0.2640 0.2952 0.3166 0.3365 0.3610 0.3774

26 0.2040 0.2332 0.2591 0.2896 0.3096 0.3302 0.3543 0.3714

27 0.2003 0.2290 0.2544 0.2844 0.3050 0.3243 0.3479 0.3647

28 0.1968 0.2250 0.2499 0.2794 0.2997 0.3186 0.3419 0.3584

29 0.1935 0.2212 0.2457 0.2747 0.2947 0.3133 0.3362 0.3524

30 0.1903 0.2176 0.2417 0.2702 0.2899 0.3082 0.3307 0.3467

32 0.1845 0.2109 0.2342 0.2619 0.2809 0.2987 0.3206 0.3361

34 0.1791 0.2147 0.2274 0.2543 0.2727 0.2901 0.3113 0.3264

36 0.1742 0.1991 0.2212 0.2473 0.2653 0.2821 0.3028 0.3175

38 0.1697 0.1939 0.2154 0.2409 0.2584 0.2748 0.2950 0.3093

40 0.1655 0.1891 0.2101 0.2349 0.2521 0.2680 0.2877 0.3017

42 0.1616 0.1847 0.2052 0.2294 0.2461 0.2617 0.2810 0.2947

44 0.1580 0.1805 0.2006 0.2243 0.2406 0.2559 0.2747 0.2881

46 0.1546 0.1767 0.1963 0.2194 0.2354 0.2504 0.2688 0.2819

48 0.1514 0.1730 0.1922 0.2149 0.2306 0.2452 0.2633 0.2761

50 0.1484 0.1696 0.1884 0.2107 0.2260 0.2404 0.2581 0.2707




5.3. Analisis de Frecuencia Directo o Grafico

Como alternativa al analisis de frecuencia puramente analıtico de los datos hidrologicos, existe la posibilidad

de realizar un analisis de frecuencia directo o grafico, que tiene la ventaja de permitir una mejor visualizaci on

del comportamiento de las variables en analisis y la intervencion del criterio y experiencia del analista. Los

resultados incorporan algo de subjetividad, pero el metodo puede llegar a ser tanto o mas potente que el

metodo analıtico puro. Incluso, aun cuando el analisis se haga con los procedimientos analıticos antes descritos,

para la presentacion y visualizacion de los resultados, suelen utilizarse las tecnicas del analisis grafico.

El metodo grafico de analisis de frecuencia consiste simplemente en construir una curva de frecuencia

acumulada de la variable en forma empırica, a partir de la informacion disponible, sin recurrir en principio a

ningun modelo o distribucion teorico.

Esto implica atribuir una cierta probabilidad o perıodo de retorno a los valores de la muestra disponible

y con ello construir una curva empırica de probabilidad de excedencia en funcion de la magnitud de cada

evento. La probabilidad de excedencia que se le asigne a cada valor observado de la serie de datos se conocecon el nombre de posicion de trazado o posicion de ploteo.

Si ordenamos la serie de datos disponible de mayor a menor, y le asignamos un n umero de orden m a cada

dato, tal que al mayor le corresponde el valor m = 1, y al menor, el valor m = N , la probabilidad empırica

de excedencia de cada valor de la muestra valdra

P ex = m

N (5.101)

Esta expresion se conoce como la probabilidad empırica o posicion de ploteo de California, que serıa

la probabilidad exacta si estuviesemos trabajando con el universo completo. Al trabajar con una muestrafinita de tamano N, esta expresion presenta el inconveniente de que al menor valor medido le asigna una

probabilidad de excedencia P ex = 1, es decir, niega la posibilidad de que pueda existir un evento de magnitud

menor al menor evento medido.

Para subsanar este inconveniente, se han propuesto una serie de f ormulas que pretenden disminuir el sesgo

de la estimacion adoptando una estructura del tipo

P ex = m − b

N + 1 − 2b 0 ≤ b ≤ 0.5 (5.102)

En la Tabla 5.11 se presentan los valores de la constante “b” propuestos por distintos autores.

Tabla 5.11: valores de la constante b.

Autor Ano b

A. Hazen 1930 0.5

Weibull 1939 0

Chegodayev 1955 0.3

Gringorten 1963 0.44




Se ha sugerido que el valor mas apropiado de la constante b depende de la distribucion teorica a la cual

pertenezcan los datos, pero lo mas habitual es utilizar la posicion de ploteo propuesta por Weibull, utilizando

el valor b = 0, con lo que la expresion queda,

P ex = mN + 1

(5.103)

Disponiendo de los pares (x, P ex), es posible graficarlos, obteniendose una representacion empırica de la

funcion de frecuencia acumulada de los datos. Para fines practicos, salvo para los eventos mas extremos, las

diferencias entre las distintas formulas de ploteo no son significativas, luego al ajustar la curva debe darsele

menos ponderacion a los valores extremos, que presentan mayor incertidumbre.

Disponiendo de la curva de frecuencia acumulada empırica, esta puede utilizarse sin mayor error para

interpolar valores dentro del rango de valores medidos. Cuando se trata de extrapolar valores a perıodos de

retorno mas extremos, el procedimiento se torna muy incierto, ya que el error de extrapolaci on de curvas

puede ser de magnitud considerable,

El procedimiento en estos casos consiste en comparar graficamente la curva de frecuencia acumulada

empıricamente determinada, con curvas de frecuencia acumulada de distribuciones de frecuencia teoricas y

ver cual de ellas se ajusta mejor. Para facilitar esta comparacion, y especialmente para dar mayor seguridad a

la extrapolacion de datos, se recurre a un tipo de gr afico especial, llamado grafico o papel de probabilidades,

en el cual se distorsiona la escala de probabilidades de tal manera que la curva de frecuencia acumulada de

la distribucion teorica se transforma en una recta. Debera existir, por lo tanto, un papel de probabilidades

para cada distribucion de frecuencia.

El procedimiento para la confeccion de un grafico o papel de probabilidades se ilustra en la Figura 5.3, para

el caso de la distribucion normal centrada y reducida. A escala natural, la curva de frecuencia acumulada,que corresponde a la integracion de la campana de Gauss, es una curva conocida (curva cian), asintotica a

mas y menos infinito para el rango de probabilidades entre 0 y 1. Simplemente imponiendo una recta (lınea

roja) como curva de frecuencia acumulada, es posible determinar para cada valor de la variable z, a traves

de la recta, el valor correspondiente a su probabilidad, en la escala de probabilidades.

Al valor z = −1, le corresponde segun la curva cian una probabilidad de P = 0.159, valor que se impone en

la escala de probabilidades para el mismo valor z = −1 de la recta roja. Analogamente, para z = 0, P = 0.5,

para z = 1, P = 0.841, para z = 2, P = 0.977 y ası sucesivamente. La curva resultante es para la variable

centrada y reducida, pero puede generalizarse desplazando el origen y utilizando la desviacion estandar como

factor de escala.

El grafico resultante, intercambiando los ejes de coordenadas, denominado papel de probabilidades se

muestra en la Figura 5.4. Una serie de datos que esten normalmente distribuidos, se alinearan en ese grafico

formando una recta, de facil extrapolacion. Si la escala natural de las ordenadas se transforma a escala

logarıtmica, se tiene el papel logarıtmico-probabilidades, que sirve para la distribucion logarıtmico normal.




1.0

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

0.977

0.841

0.159

Figura 5.3: Curva de frecuencia acumulada distribucion normal centrada y reducida.

Para la distribucion de valores extremos Tipo I, existe el llamado papel de probabilidades Gumbel-Powel,

que es simplemente un grafico o papel en escala natural llevando como variables, la variable hidrologica “x” y

la variable reducida “y”, ya que de acuerdo a la ecuacion (5.31), la relacion entre dichas variables corresponde

a una recta. La probabilidad de excedencia se lleva en una escala auxiliar, paralela a la escala de la variable

reducida “y”, la cual se determina a partir de la ecuacion

P ex = 1 − e−e−y

(5.104)

Las Figuras 5.5 y 5.6 muestran los papeles Log-normal y Gumbel-Powel.

Para distribuciones de forma variable como la Gamma o Pearson III, habrıa que construir un grafico con

escalas ad hoc, para cada combinacion de parametros, por lo que el metodo grafico se hace impracticable, y

solo se acostumbra graficar dichas distribuciones, en forma de curvas no lineales, en alguno de los papeles antes

descritos. La seleccion de la distribucion de mejor ajuste, puede hacerse a criterio, en forma de inspeccion

visual, seleccionando la distribucion cuya curva coincida mejor con la curva de frecuencia acumulada empırica,

recordando darle menor importancia a los puntos extremos, ya que para ellos la probabilidad calculada con

las formulas de ploteo es cada vez menos confiable.

La Figura 5.7, muestra, aprovechando la potencialidad de una planilla Excell, el ajuste grafico de diversas

curvas teoricas de frecuencia a los datos de la estacion Maule en Armerillo, ploteados con la formula de

Weibull en un papel logarıtmico-probabilidades.




0 . 0

1

0 .

0 5

0 . 1

0 .

5

1

2

5

1 0

2 0

3 0

4 0

5 0

6 0

7 0

8 0

9 0

9 5

9 8

9 9

9 9 .

5

9

9 . 9

9 9 .

9 5

9 9 .

9 9

9 9 .

9 9

9 9 .

9 5

9 9 .

9

9 9 .

5

9 9

9 8

9 5

9 0

8 0

7 0

6 0

5 0

4 0

3 0

2 0

1 0

5

2

1

0 .

5

0 .

1

0 . 0

5

0 . 0

1

Figura 5.4: Papel normal de probabilidades..




Fuente: Manual de Carreteras, MOP (2014).

Figura 5.5: Papel Log-normal de probabilidades.




Fuente: Manual de Carreteras, MOP (2014).

Figura 5.6: Papel Gumbel-Powel.




Figura 5.7: Analisis grafico excel.



5.5. Seleccion del Perıodo de Retorno de Diseno 149

5.4. Coeficientes de Frecuencia

Una alternativa para establecer la magnitud asociada a un cierto perıodo de retorno, es recurrir al concepto

de coeficiente de frecuencia C T , definido por la relacion,

C T = xT x10

(5.105)

donde xT es la magnitud de la variable asociada a un perıodo de retorno de T anos, y x10 es la magnitud,

supuestamente conocida, asociada a un perıodo de retorno de 10 anos.

En la publicacion de la DGA (1989), “Investigacion de Eventos Meteorologicos Extremos, Precipitaciones

Maximas en 24, 48 y 72 horas”, se presenta un exhaustivo analisis de las precipitaciones maximas con perıodo

de retorno de 10 anos, y de los respectivos coeficientes de frecuencia para otros perıodos de retorno.

5.5. Seleccion del Perıodo de Retorno de Diseno

El perıodo de retorno o probabilidad de excedencia que se obtiene mediante el analisis de frecuencia corres-

ponde al intervalo promedio de tiempo en que una magnitud dada de un evento hidrologico se excede una

vez, pero no nos proporciona ninguna informacion referente a la probabilidad de que dicho evento ocurra

dentro de la vida util de una determinada obra.

La pregunta que se plantea entonces es la siguiente: Si proyectamos, por ejemplo, la altura y longitud de

un puente de manera que permita el paso de una crecida con un perıodo de retorno de, digamos, 500 anos,

que seguridad tenemos de que esa crecida no vaya a ocurrir dentro de los proximos 50 anos, que es la vida utilque estimamos para dicha obra? Inversamente, nos podemos preguntar, ¿con que perıodo de retorno debemos

disenar una determinada obra hidraulica para tener una cierta seguridad de que no vaya a fallar dentro de

la vida util de la misma?

Las respuestas se pueden encontrar mediante la aplicacion de una de las distribuciones discretas mas

importantes de la estadıstica, la cual es la distribucion binomial.

5.5.1. Distribucion Binomial

Esta distribucion, basada en los conceptos de “exito” o “fracaso”, nos da la probabilidad de tener x exitos alefectuar N ensayos independientes de un experimento cuya probabilidad de exito es P .

Si la probabilidad de excedencia de un evento hidrologico es “P ”, y a esto lo llamamos “exito”, entonces

la probabilidad de no excedencia o “fracaso” sera (1 − P ) y la probabilidad de tener x exitos en N ensayos

sera P x(1−P )N −x para un determinado orden de ocurrencia de los sucesos. Como el numero de combinaciones

en que x exitos pueden ocurrir en N ensayos esN x

, entonces la probabilidad de tener x exitos en N ensayos

cuando la probabilidad de exito es P , sera




P (x, N, P ) =

N

x

P x(1 − P )N −x (5.106)

Si la probabilidad de excedencia del evento hidrol ogico proviene del analisis de una serie de excedencias

anuales, entonces N el numero de ensayos, pasa a ser un numero de anos y P es el recıproco del perıodo deretorno.

De lo anterior resulta que la probabilidad de tener 0 “exitos” en N anos, es decir, que la magnitud no se

exceda en N anos y por lo tanto la obra no falle, ser a

P (0, N , P ) = (1 − P )N (5.107)

y la probabilidad o riesgo J de que la obra falle en un perıodo de N anos, sera el complemento,

J = 1 − P (0, N , P ) = 1 − (1 − P )N

(5.108)

J = 1 −

1 − 1

T

N (5.109)

Por ejemplo, si aceptamos un riesgo de falla J del 5 % de que la obra falle dentro de un perıodo de prevision

N de 10 anos, el perıodo de retornos de diseno sera,

J = 1 −

1 − 1

T

N

0.05 = 1 −1 − 1

T 10

⇒ T = 195 anos

5.5.2. Distribucion de Poisson

En forma alternativa al procedimiento anterior y tal vez con mayor propiedad, pues asocia el fenomeno con

la variable tiempo, puede utilizarse la distribucion de Poisson. Esta es una distribucion continua que resulta

como distribucion lımite de la distribucion binomial, cuando la probabilidad del evento tiende a 0 y el numero

de ensayos tiende a infinito, tendiendo el producto p · N a un valor constante λ, que pasa a ser la tasa media

de ocurrencia del evento, es decir, en este caso, el recıproco del perıodo de retorno T .

La distribucion de Poisson da la probabilidad de que ocurran x eventos en un intervalo de tiempo, cuando

la tasa media de ocurrencia de este en dicho intervalo es λ.

P (x, λ) = λxe−λ

x! (5.110)

Luego la probabilidad de que no falle en un ano cualquiera (x = 0) resulta

P (0, λ) = e−λ (5.111)



5.5. Seleccion del Perıodo de Retorno de Diseno 151

Como la suma de distribuciones Poisson de parametros λi, es otra distribucion Poisson de parametro λT =λi, la probabilidad de que no falle en N anos de vida util es

P = e−Nλ = e−N/T (5.112)

y el riesgo hidrologico de falla sera el complemento

J = 1 − P = 1 − e−N/T (5.113)

Volviendo al ejemplo anterior, si J = 0.05 y N = 10

0.05 = 1 − e−10/T ⇒ T = 195 anos

que es el mismo resultado anteriormente.

5.5.3. Estadısticas con Valores Nulos

En zonas aridas o semiaridas como es el caso de la zona norte de Chile, puede ocurrir que las series sean de

precipitacion o caudales maximos anuales, contengan valores nulos. Esta situacion distorsiona la verdadera

distribucion de la variable y de hecho inhabilita el uso de distribuciones logarıtmicas.

Una manera de salvar esta situacion es diferenciar previamente los anos con precipitacion de aquellos sin

precipitacion, trabajando con el subconjunto de anos con valores no nulos. Los resultados que se obtengan

seran probabilidades condicionadas a que haya llovido, valores que deberan multiplicarse por la probabilidad

de que exista lluvia para convertirlos a probabilidades absolutas.

Ejemplo: Tenemos una serie de valores maximos anuales para un perıodo total de 56 anos, dentro de los

cuales se han registrado 7 anos con valores nulos. Entonces empıricamente la probabilidad de anos con eventos

nulos es

P (0) = 7

56 = 0.125

Por lo tanto, la probabilidad de un ano con lluvia sera el complemento,

P (LL) = 1 − 0.125 = 0.875

Luego se calculan los estadıgrafos y se procede al analisis de frecuencia con el subconjunto de 49 anos con

valores no nulos. Suponiendo que se llega a un resultado que nos dice que la probabilidad de excedencia de

una lluvia de 75 [mm] es de

P (x > 75|LL) = 0.012

es decir, un perıodo de retorno condicional de T = 1/0.012 = 83.33 anos.




Ası, la probabilidad de excedencia corregida sera

P (x > 75) = P (x > 75|LL) · P (LL) = 0.012 · 0.875 = 0.0105

y el verdadero perıodo de retorno sera T = 1/0.0105 = 95.24 anos.

5.6. Presentacion Estadıstica de Variables Hidrologicas

Todas las variables hidrologicas, y a diferentes escalas de tiempo, pueden ser consideradas como variables

aleatorias y en consecuencia ser sometidas a analisis de frecuencia asociando sus magnitudes a respectivas

probabilidades de excedencia o perıodos de retorno. Para facilitar la interpretacion de los resultados que se

obtienen, estos suelen representarse en forma grafica, destacando por su importancia practica las curvas de

Intensidad-duracion-frecuencia de precipitaciones, las curvas de variacion estacional y las curvas de duracion

general.

5.6.1. Curvas Intensidad-Duracion-Frecuencia

Volviendo al problema de la estimacion de intensidades de precipitacion, se definio la curva Intensidad-

Duracion como la representacion grafica de la intensidad media maxima de precipitacion en funcion del

intervalo de duracion de la misma, existiendo para cada tormenta su respectiva curva. Ahora, si se dispone

de un numero suficientemente grande de tormentas a las que se le ha confeccionado su curva de intensidad-

duracion, es posible someter a un analisis de frecuencia a las series formadas por las intensidades medias

maximas de cada tormenta correspondientes a una misma duracion, obteniendose como resultado la proba-bilidad de excedencia o perıodo de retorno asociado a cada magnitud de intensidad de precipitacion, para

cada uno de los intervalos de duracion considerados. Los resultados obtenidos pueden representarse mediante

las curvas intensidad-duracion-frecuencia, curvas IDF que corresponden a una familia de curvas intensidad-

duracion, que llevan como parametro, el perıodo de retorno o probabilidad de excedencia, asociado a cada

magnitud.

La Figura 5.8 muestra las curvas IDF propuestas por Espinoza et al. (2005) para la ciudad de Valparaıso

(Estacion USM), a partir de series de excedencias anuales de datos. Curvas similares han sido propuestas

para otras ciudades del paıs.

La disponibilidad de estas curvas IDF es indispensable para abordar el diseno de muchas obras hidraulicas.Desgraciadamente, en muchas localidades no se dispone de informacion pluviografica suficiente para su deter-

minacion directa, por lo que a menudo resulta necesario sintetizarlas en base a los conceptos de coeficientes

de duracion y coeficientes de frecuencia antes definidos.

En forma analoga a la definicion de coeficiente de duracion de precipitaciones, que expresaba el cuociente

entre la precipitacion en un tiempo cualquiera respecto a una duracion base, es posible definir los coeficientes

de frecuencia de precipitaciones por la relacion,



5.6. Presentacion Estadıstica de Variables Hidrologicas 153

Figura 5.8: Curvas IDF para la serie de excedencias anuales de la estaci on USM, Valparaıso.

C F (T ) = P (T )

P 0(5.114)

donde,

P (T ): Maxima precipitacion caıda para un perıodo de retorno T .P 0: Maxima precipitacion caıda para un perıodo de retorno base o de referencia conocido, normalmente 10

anos

De esta manera, combinando las ecuaciones (4.17) y (5.113), la precipitacion para una duracion y perıodo

de retorno cualquiera, puede expresarse mediante la expresion

P (T, t) = C F (T ) · C d(t) · P (T 0, t0) (5.115)

donde,P (T, t): Maxima precipitacion caıda para un perıodo de retorno T y una duracion t.

P (T 0, t0): Maxima precipitacion caıda para un perıodo de retorno y una duracion base conocidos, normalmente

T 0 = 10 anos y t0 = 1 hora o 24 horas.

Los coeficientes de frecuencia se postulan estadısticamente constantes para una estacion dada, e indepen-

dientes de los coeficientes de duracion, habiendo sido determinados en diferentes lugares del paıs. (Espıldora,

1971; DGA, 1991).




5.6.2. Curvas de Variacion Estacional

Practicamente todas las variables hidrologicas poseen la periodicidad que impone el ciclo hidrologico anual,

por lo cual en principio no es lıcito utilizar valores de las variables obtenidos en distintos perıodos del ano para

efectuar analisis de frecuencia, ya que la serie no resultarıa homogenea. En muchos casos este inconvenientepuede obviarse subdividiendo el ano en subperıodos, normalmente meses, dentro de los cuales se postula que

la variable es estacionaria, efectuandose los analisis de frecuencia para cada una de las 12 subseries mensuales

resultantes. De estos analisis resultan las curvas de variacion estacional, normalmente asociadas a caudales

medios mensuales, pero aplicables a muchas otras variables hidrologicas, en las cuales se representa para cada

uno de los meses del ano, las magnitudes de las variables asociadas a diferentes porcentajes de excedencia.

La Figura 5.9 muestra a manera de ejemplo, la curva de variacion estacional de los caudales medios

mensuales del Rıo Chopa en Puente Negro, para distintos niveles de “sequedad” o “humedad”. Se habla

normalmente de un valor o ano, por ejemplo, 80 % seco (o 20 % humedo) a aquellos valores que en cada uno

de los meses del ano tienen un 80 % de excedencia.

Figura 5.9: Curva de variacion estacional de los caudales medios mensuales del Rıo Chopa en Puente Negro.

Debe tomarse conciencia de que el promedio o suma de los doce valores mensuales de una misma proba-

bilidad de excedencia no necesariamente coincide con el valor medio anual de la variable para esa misma

probabilidad.

5.6.3. Curvas de Duracion General

Las curvas de duracion general tienen importantes aplicaciones en ingenierıa y representan simplemente la

probabilidad media, en estricto rigor, el porcentaje del tiempo en que una cierta magnitud de una variable

hidrologica es excedida. Son en definitiva analogas o equivalentes a la curvas de frecuencia acumulada, pero

considerando en estos casos la serie de duracion completa de la variable en analisis. Aun cuando se trate

de una variable continua, como las temperaturas o los caudales de un rıo, para el analisis la serie debe ser



5.6. Presentacion Estadıstica de Variables Hidrologicas 155

discretizada, trabajando con valores medios horarios, medios diarios o medios mensuales, dependiendo de la

precision que se desee obtener. Los datos se ordenan de mayor a menor y su porcentaje de excedencia en el

tiempo se calcula simplemente con la formula de California,

P ex = m

N (5.116)

donde m es el numero de orden a cada dato y N es el numero total de datos disponibles. Como los valores

diarios son el promedio de los horarios y los mensuales los promedios de los diarios, a medida que se aumenta la

escala de tiempo de discretizacion, las curvas de duracion general van resultando cada vez mas amortiguadas

y menos representativas.

La Figura 5.10 muestra la curva de duracion general de caudales del Rıo Chopa en Puente Negro, conside-

rando las series de caudales medios diarios y caudales medios mensuales.

Figura 5.10: Curva de duracion general de caudales del Rıo Chopa en Puente Negro.

Bibliografıa

DGA (1989),Investigaci´ on de eventos hidrometeorol´ ogicos extremos: precipitaciones m´ aximas en 24, 48 y 72

horas , Ministerio de Obras Publicas, Direccion General de Aguas, Departamento de Hidrologıa, bf Ingenieros

Civiles.

DGA (1991),Precipitaciones m´ aximas en 1, 2 y 3 dıas , Ministerio de Obras Publicas, Direccion General de

Aguas, Departamento de Hidrologıa.

Espıldora, B. (1971), Estimacion de curvas intensidad-duracion-frecuencia mediante coeficientes generaliza-

dos, Memorias I Coloquio Nacional Sociedad Chilena de Ingenierıa Hidr´ aulica , Santiago, Chile.




Espinoza, A., J. Nicoud y L. Stowhas (2005), Curvas IDF para Valparaıso, XVII Congreso Chileno de Hi-

draulica , SOCHID,Valparaıso.

MOP (2014), Manual de Carreteras , Vol. 3, Direccion de Vialidad, Ministerio de Obras Publicas.



Capıtulo 6

PRECIPITACION MAXIMA

PROBABLE

Introduccion

Como se ha analizado en capıtulos anteriores, la precipitacion es la variable primaria, normalmente origen de

toda la disponibilidad de agua en la litosfera, por lo que su conocimiento y analisis es vital para la mayorıa

de los propositos de la ingenierıa hidrologica. Su ocurrencia se produce por la accion de diversos procesoshidrometeorologicos, presentandose en forma discreta y con magnitudes e intensidades variables en el tiempo

y en el espacio. Desconociendose en detalle los mecanismos que la generan o al menos la oportunidad en

que se presentaran dichos mecanismos generadores, solo cabe analizar la variabilidad de las precipitaciones

tratandola como una variable aleatoria, aplicando las tecnicas provenientes de la teorıa de probabilidades

a traves de metodos de analisis de frecuencia de variables aleatorias, vistos en el capıtulo anterior, lo que

permite asociar las magnitudes de las precipitaciones con la probabilidad de que ellas ocurran o se excedan. Sin

embargo, estos procedimientos llevan implıcitos diversos niveles de incertidumbre que hacen extremadamente

incierta la estimacion de las maximas magnitudes que la precipitacion pueda alcanzar.

Sin perjuicio de lo anterior, e incluso intuitivamente, es posible senalar que debe existir un nivel o lımite

fısico maximo que la magnitud de las precipitaciones no debieran poder sobrepasar en un determinado tiempo

y lugar. Conceptualmente, la magnitud de la precipitacion dependera de la magnitud del contenido de agua

precipitable de la atmosfera y de la velocidad con que este contenido de agua sea capaz de renovarse en

la atmosfera cuando se produce la precipitacion. La magnitud de la precipitacion alcanzara su lımite fısico

maximo cuando el contenido de agua precipitable y su velocidad de renovaci on alcancen sus valores fısicos

lımites maximos. Basado en estos raciocinios, se han propuesto procedimientos para tratar de cuantificar el

maximo valor que la magnitud de una precipitacion pueda fısicamente alcanzar.

157



158 Precipitacion Maxima Probable

6.1. Definicion

Precipitacion maxima probable (P M P ), es la mayor cantidad teorica de precipitacion de una duracion dada

que es fısicamente posible sobre una cuenca en particular, para una epoca especifica del ano, suponiendo

condiciones climaticas estacionarias.

El termino “precipitacion maxima probable” es preferible al termino “precipitacion maxima posible”, con

que a menudo se refiere al mismo concepto, ya que destaca en forma explicita la incertidumbre asociada a

cualquier estimacion de precipitaciones maximas.

6.2. Influencia del Tipo de Precipitacion

Debido a las diferentes caracterısticas que adquieren las tormentas, segun sea el mecanismo que provoca

la condensacion, para una duracion dada de ellas sera generalmente el mismo tipo de precipitacion el queorigina las tormentas crıticas que tienden a producir la precipitacion maxima probable en el lugar. Ası, para

duraciones cortas, seran las precipitaciones de tipo convectivo, intensas, cortas y locales, las que produzcan

las condiciones mas desfavorables. Por el contrario, para duraciones largas, seran las precipitaciones de tipo

ciclonico, de larga duracion y abarcando zonas extensas, las mas desfavorables.

Lo anterior, es sin considerar la importancia fundamental que tiene la presencia de barreras orogr aficas en

los procesos de elevacion, enfriamiento, condensacion y posterior precipitacion de la humedad atmosferica.

Los efectos orograficos se superponen y a menudo sobrepasan a las caracterısticas ciclonicas o convectivas,

creando precipitaciones de tipo orografico de propiedades distintas dependiendo principalmente de la orografıa

del lugar.

Por estos motivos, es conveniente analizar primero, en forma general, los casos de precipitacion no orografica

y abordar posteriormente en forma separada la precipitacion maxima probable en zonas orograficas.

6.3. Factores Determinantes

En general, la magnitud de una tormenta quedara determinada principalmente por tres condiciones meteo-

rologicas:

i) Contenido de humedad de la atmosfera: Mientras mayor sea el contenido de agua que sea capaz

de almacenar la atmosfera, mayor sera la cantidad de agua que podra precipitar.

ii) Velocidad de condensacion: La intensidad con que al agua atmosferica pueda precipitar, queda de-

terminada por la intensidad de condensacion o paso del agua del estado gaseoso al estado liquido. Este

proceso depende principalmente de la velocidad de los movimientos verticales o ascensos de la masa de

aire humedo.



6.4. Metodo Hidrometeorologico de Estimacion de la Precipitacion Maxima Probable 159

iii) Convergencia de humedad: Como se analizo anteriormente el contenido de agua precipitable o can-

tidad de agua que puede contener la atmosfera rara vez excede de un par de centımetros de altura de

agua. En consecuencia, para que una precipitacion de cierta intensidad pueda mantenerse en el tiempo,

es necesaria una reposicion continua de aire humedo proveniente del mar u otra fuente de humedad. Es

por esto, que la magnitud de una tormenta queda condicionada a la velocidad de convergencia de aire

humedo hacia la zona de la tormenta.

La precipitacion maxima probable resultara de la maximizacion de todos estos factores determinantes,

junto a la distribucion en el espacio y ordenacion secuencial en el tiempo de las tormentas maximas, que

produzca la combinacion hidrologicamente mas desfavorable.

Las relaciones teoricas entre maximo contenido de humedad, presion y temperatura de una masa de aire,

ası como las relaciones entre condensacion y ascenso vertical son conocidas a traves de las leyes de los gases

y de la termodinamica.

De esta forma, el contenido, de humedad de una masa de aire, puede ser maximizado en forma aceptablea partir de una apropiada interpretacion de la informacion climatologica. Por otra parte, aun cuando los

procesos de convergencia y movimiento vertical del aire son dependientes uno del otro a traves de la ecua-

cion de continuidad, no existe aun una base teorica satisfactoria que permita maximizar los fenomenos de

convergencia y ascenso vertical. Para obviar esta dificultad, a menudo se supone que las maximas tormentas

historicas observadas son ındices de las maximas tasas de convergencia y movimiento vertical de la atm osfe-

ra, lo que permite entonces estimar o maximizar estas ultimas en forma indirecta a traves de un analisis de

las maximas precipitaciones observadas. Este procedimiento se conoce como Metodo Hidrometeorologico de

Estimacion de la Precipitacion Maxima Probable.

6.4. Metodo Hidrometeorologico de Estimacion de la Precipitacion Maxima Probable

6.4.1. Maximizacion de la Humedad

Como se analizo anteriormente, el maximo contenido de agua precipitable de la atmosfera durante una

tormenta es posible estimarlo, suponiendo una atmosfera totalmente saturada con una distribucion vertical

de temperatura de acuerdo a un gradiente pseudoadiabatico humedo, conociendo solamente la temperatura

de rocıo del aire en la superficie, segun los valores que se entregaron en las Tablas 2.3 y 2.4.

Por este motivo, es la temperatura de punto de rocıo en superficie la variable que se usa normalmente

como ındice de humedad, postulando, que maximizar la altura de agua precipitable de la atmosfera equivale

a maximizar las temperaturas de rocıo.

Mas claramente, la maxima altura de agua precipitable en una region sera el valor correspondiente al

maximo punto de rocıo de esa misma region.

El criterio a emplear depende del tipo de informacion disponible, pero debido a que observaciones puntuales

de punto de rocıo, pueden indicar situaciones transientes de poca significacion, aparte de estar sujetas a errores




importantes de medicion, se recomienda usar como Indice de humedad el “Maximo punto de rocıo persistente

por 12 horas”, que se define como el maximo valor de punto de rocıo igualado o excedido durante un intervalo

continuo de 12 horas.

De esta manera, el maximo valor observado de punto de rocıo persistente por 12 horas, o si se prefiere, un

analisis estadıstico de esta variable que permita definir una magnitud correspondiente a una probabilidad de

muy baja excedencia, se considera representativo de las condiciones de saturaci on mas calidas probables.

Una limitacion de este ındice es que normalmente presenta una variacion estacional, observandose los

maximos valores frecuentemente en verano.

Serıa un error, en consecuencia, maximizar una tormenta en regiones donde las maximas precipitaciones

ocurren en invierno mediante un ındice maximo obtenido para los meses de verano. Lo que corresponde hacer

es establecer valores de maximo punto de rocıo persistente para distintas epocas del ano, en lo posible para

intervalos de tiempo de no mas de 15 dıas y maximizar cada tormenta usando el Indice correspondiente a la

fecha en que ella ocurrio.

6.4.2. Maximizacion del Viento

En forma analoga a la maximizacion de la humedad, puede analizarse la informacion sobre velocidad del

viento y determinar para cada epoca del ano, digamos para intervalos de cada 15 dıas, las velocidades

maximas observadas. Alternativamente, mediante un analisis estadıstico, podemos determinar las mas altas

magnitudes correspondientes a un perıodo determinado. Solo debe considerarse en el analisis, la informacion

de velocidad del viento cuya direccion corresponda a la direccion de entrada de las masas de aire humedo

que aportan la humedad local. Si existen dos o m as fuentes de humedad, el analisis debe hacerse en forma

separada para cada direccion del viento.Una complicacion de la maximizacion del viento frente a la maximizacion del punto de rocıo es que si bien

el valor maximo de punto de rocıo persistente durante 12 horas es un ındice suficiente para cualquier duracion

de tormenta, en el caso del viento el analisis debe hacerse para cada duracion en forma separada hasta llegar

a una duracion maxima de 24 horas que se estima suficientemente representativa de tormentas de duracion

igual o mayor a 24 horas. Esto significa que deben construirse curvas de velocidad media m axima-duracion

del viento similares a las curvas de intensidad-duracion usadas al analizar datos de precipitacion.

El producto de la maxima altura de agua precipitable multiplicada por la maxima velocidad media del

viento para una duracion dada, se conoce como “Indice de aporte maximo de humedad”.

La informacion experimental analizada en diversas regiones indica, sin embargo, que la velocidad delviento no es un muy buen Indice de la convergencia de humedad y que en ciertas ocasiones las m aximas

precipitaciones no coinciden con las maximas velocidades del viento. Debido a esto, frecuentemente, se supone

que las grandes tormentas ocurren siempre con una m axima eficiencia dinamica, omitiendose la maximizacion

por concepto de velocidad del viento.

E1 efecto de la velocidad del viento sı es de gran importancia en regiones orograficas y en estos casos

procede su maximizacion, tal como se ha indicado.




6.4.3. Maximizacion de Tormentas

La maximizacion de tormentas consiste en estimar en base al ındice de aporte maximo de humedad, la magni-

tud que las tormentas historicas hubiesen tenido si hubieran ocurrido bajo las condiciones mas desfavorables

de humedad y eventualmente, de velocidad del viento.

Para este objeto, se seleccionan las mas grandes tormentas historicas ocurridas en una determinada cuenca

o region en estudio y se determina para cada una de ellas, el maximo punto de rocıo persistente por 12 horas

y la velocidad media del viento para la correspondiente duraci on. El producto de la velocidad del viento

por la altura de agua precipitable, correspondiente al punto de rocıo de la tormenta es el “Indice de aporte

de humedad de la tormenta”. Finalmente, las tormentas historicas se maximizan multiplicando la cantidad

de agua o precipitacion caıda por el cuociente entre el Indice de aporte maximo de humedad y el Indice de

aporte de humedad de cada tormenta en particular.

P max = P iW max

·V max

W i · V i (6.1)

donde,

P max: Precipitacion maximizada.

P i: Precipitacion medida.

W max: Maxima altura de agua precipitable del lugar.

V max: Indice de velocidad maxima del viento.

W i: Altura de agua precipitable.

V i: Velocidad media del viento de la tormenta medida.

Para estimar los valores de W max y W i pueden usarse las integraciones numericas de la altura de agua

precipitable para una atmosfera saturada pseudo adiabatica tabuladas en las Tablas 2.3 y 2.4. Sin embargo,

como se menciono anteriormente, estas tablas corresponden a la altura de agua precipitable hasta un nivel

dado, por sobre el nivel del mar (1000 [mb]) en funcion de la temperatura de rocıo al nivel 1000 [mb]. En

consecuencia, el uso de las tablas, requiere previamente, reducir el valor de maximo punto de rocıo persistente

por 12 horas al valor correspondiente al nivel 1000 [mb], cuando este haya sido determinado para una altura

distinta y requiere ademas, definir los niveles lımites de integracion.

La reduccion de los valores de punto de rocıo al nivel 1000 [mb], puede efectuarse en forma analıtica, pero

resulta mucho mas practico recurrir a un diagrama termodinamico tal como se indica en la Figura 6.1.

Por ejemplo, si el punto de rocıo ındice es de 10ºC y ha sido determinado en una estaci on ubicada a 1000

[m] sobre el nivel del mar, entrando con estos dos valores al diagrama y desplazandose por la lınea adiabatica

correspondiente, se llega al valor 15ºC para el nivel del mar, supuesto a 1000 [mb]. Con este ultimo valor debe

entrarse a las Tablas 2.3 y 2.4. Con respecto a los 1ımites o niveles de integracion, el inferior es generalmente

la cota media sobre el nivel del mar del lugar en estudio; sin embargo, si existe entre la zona en estudio y

la fuente de humedad (el mar), una barrera orografica o cadena montanosa que interfiere significativamente

el paso de las masas de aire humedo, resulta mas adecuado usar como nivel inferior de integracion la altura

media de la barrera montanosa. Como nivel o lımite superior de integracion se usa generalmente, el nivel de




la tropopausa o limite entre la troposfera y estratosfera que corresponde a la cota maxima de las masas de

aire inestable en las cuales ocurren las tormentas. Este nivel corresponde mas o menos a 10,000 metros sobre

el nivel del mar o 250 [Hpa].

Figura 6.1: Diagrama pseudo adiabatico para reducir temperaturas de punto de rocıo al nivel 1000 [Hpa].

Sin embargo, debido a la poquısima cantidad de agua que es capaz de contener la atmosfera a estas alturas,

cualquier nivel por sobre los 400 [Hpa] que se adopte como lımite superior, no afecta mayormente el resultado.

Ejemplo: Supongamos que en el lugar hipotetico mencionado anteriormente a una cota de 1000 [m] sobre

el nivel del mar y cuyo maximo punto de rocıo persistente era de T rmax = 10 °C, queremos maximizar unatormenta en la cual precipitaron P i = 100 [mm], con un punto de rocıo persistente de T ri = 6 °C.

Mediante la Figura 6.1, reducimos los valores de punto de rocıo al nivel 1000 [mb]. Resulta:

T rmax = 15 °C; T i = 11.5 °C;

Mediante las Tablas 2.3 y 2.4, calculamos las alturas de agua precipitable correspondientes entre la cota del

lugar (1000 [m]) y el nivel 250 [mb].

W 250[mb]1000[m] = W 250[mb]

1000[mb]− W 1000[m]

1000[mb]

De esta forma, se tiene:

W max = 33 − 11 = 22 [mm]

W i = 24 − 9 = 15 [mm]




En consecuencia, la precipitacion maximizada por humedad atmosferica resulta:

P max = P iW max

W i= 100

22

15 = 147 [mm]

El valor P = 147 [mm] obtenido corresponde a la magnitud de precipitaci on que esa tormenta historica

hubiese tenido, si hubiere ocurrido bajo condiciones de maxima humedad.

Faltarıa solamente maximizar por velocidad del viento. Esta ultima correccion, como se indico, normalmente

se omite a menos que queramos disenar con maxima seguridad, aparte de la dudosa eficacia del viento como,

Indice de convergencia de humedad.

6.4.4. Estimacion de la PMP

El procedimiento de maximizacion de tormentas recien descrito, solamente implica una estimacion de la

magnitud que una tormenta historica pudo haber tenido si hubiera ocurrido en las condiciones mas desfavo-

rables. En ningun momento nos asegura que la tormenta analizada haya sido extrema y que su maximizacion

implique una estimacion de la Precipitacion Maxima Probable. Aun mas, nada hemos visto con respecto a

la distribucion en el tiempo de la intensidad de la precipitacion. En consecuencia, es muy probable que aun

cuando una tormenta maximizada alcance el valor de la PMP para un intervalo de tiempo o duracion dada,

este bastante por debajo de la PMP para otras duraciones.

Por esta razon, el analisis de una o un par de tormentas hist oricas, independientemente de cuan sofisticado

haya sido el metodo de maximizacion, no da ninguna seguridad de que la magnitud de la PMP haya sido

alcanzada. Parece logico, sin embargo, esperar que una curva envolvente superior que iguale o exceda las

magnitudes maximizadas de una serie de tormentas para distintas duraciones, tienda a representar la PMP.

Este es el procedimiento usualmente seguido para determinar la magnitud de la PMP.

Se calculan inicialmente para cada tormenta las curvas precipitacion duracion area; o intensidad duracion

area; se maximizan estas curvas por concepto de humedad del aire y velocidad del viento y finalmente se

construye un juego de curvas precipitacion duracion area envolventes a las curvas historicas que se consideran

representativas de la PMP.

6.4.5. Curvas Precipitacion-Duracion-Area

Las curvas Precipitacion-Duracion Area o Intensidad-Duracion-Area, se emplean para analizar la distribucion

espacial y temporal de la precipitacion caıda durante una tormenta. Son una extension de las curvas de

intensidad – duracion o precipitacion – duracion vistas anteriormente, en terminos de que el analisis se

efectua no solo para los registros de una estacion individual sino que tambien para las precipitaciones medias

espaciales ocurridas sobre distintas magnitudes de superficie de una cuenca, lo que genera familias de curvas

intensidad media maxima – duracion, llevando como parametro el tamano de la superficie considerada o

alternativamente, familias de curvas precipitacion media maxima – area, llevando como parametro el intervalo




de tiempo o duracion de la lluvia.

6.4.6. Precipitacion Maxima Probable Vıa Metodo Estadıstico

El calculo de la Precipitacion Maxima Probable por la vıa de maximizacion hidrometeorologica de tormen-

tas historicas, segun los procedimientos indicados en los acapites anteriores resulta altamente engorroso y

requiere disponer de completa informacion hidrometeorologica, razon por la cual no siempre se justifica y

frecuentemente no es posible llevarlo a cabo por falta de la informacion mınima indispensable.

En estos casos es posible efectuar estimaciones de la PMP siguiendo un procedimiento estadıstico simplifi-

cado, propuesto inicialmente por Herschfield (1965). Basado en el analisis de un gran numero de estadısticas

de precipitaciones maximas diarias, Herschfield (1965) propone estimar la precipitacion maxima probable

mediante la expresion,

P MP = P c + K M · σc (6.2)

donde,

P c: Precipitacion maxima anual media corregida.

σc: Desviacion estandar corregida de las precipitaciones maximas anuales.

K M : Coeficiente de frecuencia maximo para una lluvia de 24 horas de duracion, que se puede aproximar con

suficiente aproximacion mediante las expresiones,

K M =

18.2 · e−0.00212 P c P c > 140 [mm]

20 · e−0.00279 P c P c ≤ 140 [mm]

(6.3)

Los valores del promedio y de la desviacion estandar deben corregirse segun Herschfield, por los efectos de

la longitud de estadıstica y por la presencia de eventos extremos que distorsionan estos estadıgrafos, segun

factores que se obtienen de abacos o graficos, pero que se pueden aproximar con un error similar o menor al

resultado de la lectura grafica, mediante las expresiones:

P c = P N

1 + 0.143 · e−0.105·N

(1.05 − 0.0008 · N )P N −1

P N + 3.9 × 10−5 (N − 37)

2+ 0.002

(6.4)

σc = σN

0.993 + 0.307 · e−0.258·(N −10)0.699

1.09 + 0.223 · e−0.07·N σN −1

σN + 0.008

(6.5)

No obstante lo anterior, en un estudio efectuado en Chile, (Stowhas, 1983) analizando 190 estaciones

pluviometricas con un total de 6504 anos de registro, se concluye que los valores del coeficiente de frecuencia

propuestos por Herschfield tienden a sobreestimar las precipitaciones maximas probables en Chile, donde

predominan lluvias de gran variabilidad, con altos coeficientes de variacion, sugiriendose utilizar un coeficiente

de frecuencia maximo constante, K M = 11, es decir,




P M P 1 = P c + 11 · σc (6.6)

Alternativamente, en base a un trazado de envolventes superiores que respeta no solo los maximos eventos

a nivel nacional, sino a eventos mundiales a los que se tuvo acceso, se propone estimar la PMP con lasexpresiones:

P MP 2 = P c

4 + 3.8e−0.0069·P

1.141c

(6.7)

o

P MP 3 = P c

3.5 + 3.65e−0.0076·P

1.102c

(6.8)

donde P MP 2 de la ecuacion (6.7) serıa aplicable a estaciones pluviometricas cordilleranas y P MP 3 de la

ecuacion (6.8) serıa aplicable a estaciones pluviometricas no cordilleranas.

En definitiva, ante la imposibilidad de aplicar el metodo hidrometeorologico, se recomienda estimar la PMPcon el metodo estadıstico, utilizando el valor mas conservador que resulte entre las ecuaciones (6.6) y la que

corresponda entre (6.7) o (6.8).

Debe recordarse que todo lo anterior es valido para precipitaciones maximas diarias, recomendandose un

factor de amplificacion 1.06 para evaluar precipitaciones maximas en 24 horas.

Bibliografıa

Herschfield, D. M. (1961), Estimating the probable maximum precipitation, J. Hyd.Div, ASCE , Vol 87.

Herschfield, D. M. (1965), Method for estimating probable maximum precipitation, J. American Waterworks

Assoc., Vol 57.

Stowhas (1973), Metodos Hidrometeorol´ ogicos en el Estudio de Crecidas , Universidad de Chile.

Stowhas, L. (1983), Precipitaciones Maximas Diarias en Chile, VI Congreso Nacional de Hidr´ aulica, SOCHID .

WMO (1973), Manual on Estimation of Probable Maximum Precipitation (PMP), World Meteorological

Organization, Op. Hydr. Report N° 1, WMO-332.



Capıtulo 7

ESCORRENTIA

Introduccion

El ciclo de escorrentıa es la fase del ciclo hidrologico que ocurre sobre la litosfera, y es en definitiva el mas

importante en terminos de la evaluacion de los recursos hidraulicos disponibles en una determinada cuenca.

La forma como el agua se desplaza a traves de la litosfera puede esquematizarse a traves del diagrama de flujo

que se presenta en la Figura 7.1. La primera precipitacion caıda, es interceptada por la capa de vegetacion

que cubre el suelo, la que normalmente es devuelta a la atmosfera como evaporacion. El agua lluvia quesobrepasa la retencion vegetal, llega a la superficie del suelo donde es detenida en zonas depresionarias y/o

es infiltrada al interior del suelo, inicialmente seco.

A medida que la precipitacion continua, la capacidad de retencion se colmata, la infiltracion, al hume-

decerse el suelo, disminuye, hasta que se produce una precipitacion en exceso que genera escorrentıa

superficial, que comienza a escurrir inicialmente en la forma de una lamina superficial, para posteriormente

irse concentrando a traves de la red de drenaje natural de la cuenca.

El agua que infiltra en el suelo, puede seguir dos caminos. Uno, encontrarse con capas de suelo permeable

que le permitan percolar profundo hasta alcanzar los acuıferos o napas subterraneas, donde escurrira como

flujo subterraneo, volviendo posteriormente a la superficie en forma de vertientes o afloramientos en los

cauces de los rıos, o eventualmente descargando en forma subterranea hasta alcanzar un lago o el mar.

El otro camino es encontrarse con estratos impermeables que le impidan la percolacion profunda, por lo

que el agua infiltrada se desplaza en forma subsuperficial, ya sea en forma de flujo intermedio rapido o

flujo intermedio lento, dependiendo del tiempo que se demore en retornar a la superficie para agregarse a

la escorrentıa superficial.

La suma de la escorrentıa superficial mas el flujo intermedio rapido, definido como aquel que aflora a la

167



168 Escorrentıa

superficie dentro de la escala de tiempo de la tormenta que lo produjo, constituyen la denominada escorrentıa

directa. A su vez, la precipitacion en exceso sumada a aquella parte del agua infiltrada que se manifiesta

como escorrentıa directa y que se indican con lıneas de trazos en la Figura 7.1, constituyen lo que se denomina

precipitacion efectiva.

El flujo intermedio lento sumado a la escorrentıa subterranea, que retornan a la superficie en un tiempo

posterior a la ocurrencia de la tormenta que los genero, constituyen lo que se denomina el flujo base.

La escorrentıa total o el caudal presente en el cauce de un rıo en un determinado instante, tiene entonces

dos componentes: El flujo base o caudal semi permanente en el cauce, originado por infiltraci on y recuperacion

de precipitaciones ocurridas en perıodos anteriores, y la escorrentıa directa, producto de las precipitaciones

que estan ocurriendo en ese instante o en instantes inmediatamente anteriores.

Figura 7.1: Esquema del Ciclo de Escorrentıa

7.1. Fluviometrıa

A diferencia de las variables meteorologicas antes analizadas, cuya medicion es responsabilidad de la me-

teorologıa, la medicion de la escorrentıa es responsabilidad de la ingenierıa hidraulica o de la hidrologıa. Se

denomina fluviometrıa a una rama de la hidrologıa dedicada a la accion de medir los caudales que escurren

por un determinado cauce en una seccion especıfica de el denominada seccion de aforo. A diferencia de las

variables meteorologicas donde las mediciones instrumentales constituıan solo un ındice de la variable en

interes, en el caso de los caudales, que se van concentrando hasta llegar a la seccion de aforo, la medicion co-



7.1. Fluviometrıa 169

rresponde a la variable misma y en este sentido la escorrentıa es normalmente la unica variable constituyente

del ciclo hidrologico que se puede medir directamente y no a traves de un ındice. Sin embargo, la medicion

directa del caudal, lo que se denomina “aforo”, es bastante tediosa y complicada, por lo que la medici on

rutinaria de los caudales de un rıo se hace normalmente en forma indirecta, midiendo la altura o niveles del

agua, traduciendo posteriormente esta informacion a caudales, a traves de la denominada curva de descarga,

o funcion que relaciona los niveles del agua con el caudal.

Las secciones de aforo se pueden clasificar en:

Artificiales

Naturales

Naturales modificadas

Una seccion de aforo es artificial, cuando existe en ella alguna estructura hidraulica, tales como venturıme-tros, canaletas Parshall o generalmente un vertedero, que permite establecer una relaci on analıtica teorica o

semiempırica entre el nivel de agua y el caudal. En el caso de vertederos esta relacion es del tipo

Q = m · Ω ·

2gH (7.1)

donde,

Q: Caudal.

Ω: Seccion transversal.

g: Aceleracion de gravedad.

H : Carga o altura de agua sobre el vertedero.m: Coeficiente de gasto teorico o empırico particular para cada tipo de estructura.

La instalacion de secciones artificiales solo se justifica para caudales relativamente pequenos. Para caudales

mayores suele aprovecharse la existencia de dichas estructuras con otros propositos, tales como barreras de

bocatomas, vertederos de embalses u otras, pero lo usual es que la secci on de aforo sea simplemente una

seccion adecuada del propio cauce, o seccion de aforo natural.

En el caso de secciones naturales, no existe a priori una curva de descarga conocida por lo que esta debe

determinarse experimentalmente mediante mediciones sucesivas, simultaneas e independientes del nivel de

agua y del caudal. Una seccion de aforo natural modificada es una seccion natural en la que se introducen

algunas modificaciones, por ejemplo, muros laterales de confinamiento, que permiten una mejor definicion dela geometrıa de la seccion.

Los niveles de agua pueden medirse con limnımetros, reglas limnimetricas muy similares a las miras to-

pograficas, tecnicas basadas en reflexion de ondas o en base a presostatos que miden la presion ejercida por el

agua sobre el fondo del cauce. Las mediciones pueden ser puntuales, normalmente se miden uno o dos valores

diarios, o pueden registrarse en forma continua, con instrumentos inscriptores denominados limnıgrafos, que

pueden ser mecanicos o electronicos, hoy en dıa incluso conteletransmision de los registros. Los limnıgrafos,



170 Escorrentıa

para evitar que sean danados o arrastrados por las aguas durante las crecidas, normalmente se instalan en un

pozo ubicado fuera del cauce, pero conectado hidraulicamente con el, aprovechando el principio de los vasos

comunicantes.

Las tecnicas de medicion directa de caudales o aforos son diversas, yendo desde el simple uso de flotadores,

dinamometros, uso de trazadores puntuales o continuos, tanto quımicos como radioactivos, diversos tipos

de caudalımetros mecanicos o electronicos, pero el metodo habitual de medicion se basa en el instrumento

denominado molinete, los cuales pueden ser electronicos, que estiman la velocidad del agua por efecto Doppler,

o mecanicos, de los cuales existen dos tipos genericos, de eje vertical o de copas, analogo a un anemometro

y de eje horizontal o helice, analogo a un molino de viento.

7.1.1. Tecnicas de Medicion

7.1.1.1. Flotadores

El uso de flotadores se restringe a mediciones improvisadas en terreno o determinaciones muy preliminares

del caudal y consiste simplemente en medir el tiempo “t” que demora un flotador en recorrer, en lo posible

por el centro del cauce, una determinada distancia “s”. Con ello se determina la velocidad del flotador, segun

vf = s

t (7.2)

Si el flotador es superficial, su velocidad sera normalmente mayor que la velocidad media del escurrimiento,

la cual puede estimarse en una primera aproximacion como

v ≈ 0.8vf (7.3)

Estimando en forma independiente la seccion mojada del escurrimiento Ω, se obtiene una primera aproxima-

cion al valor del caudal como

Q ≈ 0.8 · Ω · vf (7.4)

Si se logra, mediante la introduccion de algun lastre, que el flotador escurra semi-sumergido, ocupando

toda la vertical del escurrimiento, suele suponerse que su velocidad corresponde a la velocidad media del

flujo. La estimacion de caudales mediante flotadores debe repetirse al menos dos o tres veces, para evitar

errores groseros.

7.1.1.2. Trazadores

El uso de trazadores quımicos o radioactivos, por su costo y caracter contaminante, se limita a condiciones

muy particulares, donde se necesite buena precision y donde el uso de otras tecnicas no resulte factible.

Basicamente consiste en efectuar un balance masico de algun trazador incorporado a la corriente. En el




caso del aforo continuo, esto consiste en inyectar a la corriente un caudal “q ” de algun trazador en una

concentracion o radioactividad C 0, y medir aguas abajo, despues de que se haya logrado una mezcla perfecta,

la concentracion o radioactividad final C f .

Si el caudal del rıo es “Q”, entonces de un balance masico del trazador se obtiene

q · C 0 = (Q + q ) · C f (7.5)

Q + q = C 0C f

· q (7.6)

Normalmente Q >> q , por lo que

Q = C 0C f ·

q (7.7)

La concentracion final de los trazadores quımicos, los que no deberan reaccionar con ningun componente del

agua o el lecho, se determina tomando muestras que se analizan en laboratorio.

La concentracion de trazadores radioactivos, para lo cual se usa frecuentemente 131I, puede determinarse

in situ mediante el uso de contadores Geiger o preferentemente contadores de centelleo.

Los aforos puntuales consisten en inyectar de una sola vez, una “bomba” con una concentracion conocida

C 0 e integrar aguas abajo, una vez que se ha producido la mezcla, la variaci on de la concentracion en el

tiempo y espacio. La deduccion del caudal en estos casos se hace mas compleja y debe consultarse en algun

texto mas especializado.

7.1.1.3. Molinetes

El molinete, mide en estricto rigor la velocidad del agua en un punto especıfico del escurrimiento, por lo que

el caudal se determina a traves de la relacion

Q =

Ω

v · dΩ (7.8)

En terminos practicos la integral se resuelve efectuando diversas mediciones de velocidad en distintas verticales

de la seccion de escurrimiento, e integrando numericamente,

Q =N i=1

vi · dΩi (7.9)

donde vi es la velocidad puntual del agua, la cual se determina en el caso de instrumentos electr onicos por

efecto Doppler y en el caso de molinetes mec anicos a traves de una curva de calibracion del instrumento,

midiendo la velocidad angular de las copas o helice del instrumento.



172 Escorrentıa

Otra alternativa es trazar, en base a las diversas mediciones, las curvas isot aquicas o curvas de igual

velocidad en la seccion de aforo, e integrar posteriormente en funcion del area asociada a cada curva.

En teorıa, la medicion sera mas exacta mientras mas valores de velocidad se midan, sin embargo, la medicion

se hace cada vez mas lenta y si el caudal del rıo es variable en el tiempo, aparte del trabajo consumido, se

comienza a perder precision.

En la practica, una vez calibrada la medicion, se recomienda subdividir la seccion en una serie de subsec-

ciones verticales de ancho ∆x, tal que ninguna de ellas sea mayor que el 20 % de la seccion total, estimando

la velocidad media en cada seccion mediante

V x = V 0.8 + V 0.2

2 (7.10)

donde,

V x: Velocidad media en la seccion x.

V 0.8: Velocidad a un 80 % de la profundidad total en la seccion (H x).V 0.2: Velocidad a un 20 % de la profundidad total en la seccion (H x)

El caudal en este caso resultara segun la expresion,

Q =

N xi=1

V x · H x · ∆x (7.11)

donde N x corresponde al numero de subsecciones en que se dividio la seccion. La medicion de la velocidad

en las distintas verticales, puede lograrse bajando el instrumento en cada vertical, mediante una barra o un

cable graduados, desde una embarcacion que logre mantenerse estacionaria, desde algun puente cuyas cepas

no interfieran el escurrimiento o lo que es mas habitual mediante un cable-carro, consistente en un pequenocarro que se desplaza accionado manualmente, a lo largo de un cable que se tensa entre las dos riberas del

rıo.

Una vez que se dispone de sucesivas mediciones simultaneas de altura limnimetrica y caudal, se dispondra de

pares de puntos (H, Q) que permitiran la definicion empırica de la curva de descarga. Finalmente, una vez

establecida la curva, se continua la medicion rutinaria de las alturas limnimetricas o limnigraficas, y a traves

de la curva de descarga se determina el caudal. Si la instalaci on es limnimetrica, se recomienda la lectura

mınima de dos valores diarios, a partir de los cuales se estima el caudal medio diario. Si la instalacion es

limnigrafica, se dispondra de una curva continua de niveles en funcion del tiempo, denominada limnigrama,

de cuya traduccion se puede obtener una curva continua de caudales en funcion del tiempo, o hidrograma.

El promedio mensual de los caudales diarios dara origen al caudal medio mensual, y el promedio de estos

ultimos dara origen al caudal medio anual. Tambien se acostumbra mantener registros especiales de los

caudales extremos, caudales maximos y mınimos diarios en el caso de estaciones limnimetricas, y de caudales

extremos instantaneos en el caso de estaciones limnigraficas.

La institucion encargada en Chile de registrar, procesar y almacenar esta informacion es oficialmente la

Direccion General de Aguas del M.O.P. (DGA), aunque tambien existen estadısticas controladas por parti-




culares, para sus propios intereses, especialmente las empresas hidroelectricas. A traves del Banco Nacional

de Aguas de la DGA, esta informacion se hace accesible a los distintos usuarios.

7.1.2. Perıodo de Validez de la Curva de Descarga

Desgraciadamente, en la mayorıa de los casos no basta con establecer solo en forma inicial la curva de descarga,

pues esta puede ser variable en el tiempo. Luego, es necesario efectuar aforos esporadicos, normalmente una

vez al mes, que permitan verificar la invariancia de la curva o detectar cu ando esta ha sufrido algun cambio.

En efecto, si utilizamos algun modelo hidraulico para representar la relacion entre la altura de agua y el

caudal, como por ejemplo, la conocida formula de Manning, tendremos la relacion,

Q =

√ J

n · Ω · R2/3

h (7.12)

donde,

J : Pendiente del eje hidraulico.

Ω: Seccion transversal.

Rh: Radio hidraulico.

n: Coeficiente de rugosidad de Manning.

Del analisis de esta ecuacion tenemos que funcionalmente, el caudal Q depende de

Q = f (H,J,n, geometrıa)

Luego, la curva de descarga solo sera invariante, si permanecen constantes en el tiempo, la pendiente del

eje hidraulico (o del fondo del lecho), la rugosidad del lecho y la forma geometrica de la seccion. En secciones

naturales, por efecto de socavaciones de fondo y laterales, por embancamientos, por crecimiento de vegetaci on

acuatica o riberena o por perturbaciones del rıo en otros puntos del cauce, todas estas variables pueden sufrir

cambios en el tiempo.

Si alguno o alguna combinacion de estos parametros sufre algun cambio, brusco o paulatino, la curva de

descarga variara, siendo necesario comenzar nuevamente la recopilacion en terreno de pares de valores (Q, H )

con el proposito de establecer la nueva curva de descarga. El perıodo de tiempo para el cual una determinada

curva de descarga es valida, es lo que se denomina su perıodo de validez. Algunas secciones resultan muy

estables y mantienen de forma permanente su curva de descarga, o al menos esta se mantiene durante perıodosmuy largos. Otras, sin embargo, resultan tan cambiantes que resulta imposible establecer adecuadamente su

curva de descarga y deben ser abandonadas como secciones de aforo.

Una manera de lograr secciones estables es elegir secciones del rıo en que este escurra en lecho rocoso, ya que

sera difıcil de socavar y en consecuencia su seccion y geometrıa sera constante. Tambien es posible intentar

independizarse de las variaciones de pendiente del fondo y rugosidad, si se escoge una secci on, normalmente a

corta distancia aguas arriba de un rapido, donde el escurrimiento tiende a ser en regimen crıtico o de energıa



174 Escorrentıa

mınima. Bajo estas condiciones, la teorıa hidraulica nos dice que la relacion entre altura y caudal pasa a ser

funcion unica de la geometrıa del cauce.

En definitiva, una seccion en roca, alguna corta distancia aguas arriba de un rapido, parece ser el lugar

ideal escogido por la naturaleza para instalar una seccion de aforo estable.

Como se menciono anteriormente, si en alguna seccion se efectuan algunas modificaciones, como construir

muros guıas laterales a fin de confinar el escurrimiento y estabilizar su seccion, se habla de secciones de aforo

naturales modificadas.

7.1.3. Extension de Curvas de Descarga

Para la traduccion de estadısticas fluviometricas, faena que hoy en dıa se efectua normalmente en forma

computacional, es necesario ajustar expresiones analıticas a las curvas de descarga a fin de facilitar el trabajo.

Cuando se trata de interpolar datos dentro del rango de valores aforados que definen la curva, podra ajustarse,

utilizando los numerosos software que existen para ello, la expresion analıtica que logre el mejor ajuste. Un

problema especial lo constituye la extrapolacion de las curvas, situacion que se presenta cuando se mide un

valor de altura extremo, normalmente muy alto, que cae fuera del rango de los aforos efectuados. En estos

casos la extrapolacion debe ser muy cuidadosa, a fin de no cometer errores de extrapolaci on severos. Para

estos propositos se recomienda el uso de expresiones analıticas relativamente simples o con alguna estructura

que tenga algun sentido fısico. Para ello pueden utilizarse polinomios algebraicos de no muy alto grado o

preferiblemente expresiones potenciales del tipo,

Q = a · (H − b)c (7.13)

La constante b es normalmente necesaria porque el origen o valor 0 de la escala del limnımetro, no tiene

porque coincidir con el fondo exacto del cauce, o condicion Q = 0.

Una tecnica de extrapolacion que suele dar buenos resultados, es apoyarse en alguna formula hidraulica

como la de Manning. A partir de la informacion que se obtiene de los aforos, es posible expresar la altura

limnimetrica en funcion de los factores hidraulico y geometrico de la formula, es decir, se pueden establecer

las relaciones,

H = f (Ω · R2/3h ) (7.14)

H = f (√

J/n) (7.15)

La primera funcion, es solamente geometrica y puede extrapolarse en base a un levantamiento topografico

de la seccion del cauce. La segunda funcion, para caudales altos, en que el escurrimiento se acerca al crıtico,

suele hacerse constante o muy poco variable, con lo que resulta menos azarosa su extrapolaci on. Luego, la

extrapolacion se efectua, para un valor de H mas alto que el rango aforado, evaluando en forma independiente

los factores geometricos e hidraulicos, resultando de su producto, el caudal asociado a dicha altura.




Un problema frecuente en las mediciones fluviometricas es el embanque, mal funcionamiento del limnıgrafo

o destruccion de la regla limnimetrica durante las grandes crecidas del rıo, precisamente en los perıodos en

que las mediciones resultan de mayor interes. Por eso es conveniente instalar medidores de niveles maximos

que consisten simplemente en un tubo vertical ranurado que por efecto de vasos comunicantes mantiene su

nivel de aguas al mismo nivel del rıo. En el interior del tubo se incorpora algun material granular flotante,

por ejemplo, pellets de plumavit, algunos de los cuales se quedan adheridos a la pared interior del tubo,

permitiendo detectar el mas alto nivel alcanzado por las aguas.

7.1.4. Homogeneidad de Estadısticas Fluviometricas

Con motivo de cambios no detectados de la curva de descarga o mal ajuste de estas, u otras veces, por interven-

ciones hechas aguas arriba que cambian el regimen natural del escurrimiento, las estadısticas fluviometricas

pueden contener errores sistematicos o representar regımenes de escurrimiento diferentes en distintos perıodos

de tiempo, por lo que en definitiva, para los propositos de analisis estadısticos, se constituyen en series nohomogeneas.

Con el proposito de detectar y corregir estas heterogeneidades, puede utilizarse en principio el metodo de

las curvas doble acumuladas descrito para la homogeneizacion de las estadısticas pluviometricas. Sin embargo,

el metodo en este caso tiene algunas limitaciones. A diferencia de las precipitaciones, las cuales dentro de

una zona homogenea tienen un mismo orden de magnitud, la magnitud de los caudales de los distintos rıos

involucrados en el analisis puede ser bastante diferente, dependiendo de los tamanos de las respectivas cuencas

aportantes. Por ello resulta conveniente no trabajar con los caudales mismos sino con los caudales especıficos,

definidos como el caudal por unidad de area aportante, expresados por ejemplo en [m3/s/km2].

Una segunda limitacion proviene de que la hipotesis de que la relacion entre las variables corresponde auna relacion lineal que pasa por el origen, no necesariamente se cumple en el caso de caudales, lo que puede

generar una curva acumulada serpenteante, dependiendo del rango de magnitud de los mismos. Esta situaci on

puede resolverse efectuando una regresion lineal o no lineal entre los valores no acumulados de la variable

en analisis y el patron, construyendo posteriormente las curvas doble acumuladas entre los valores medidos

versus los estimados por la ecuacion de regresion. La correccion de los datos, en caso de detectarse algun

quiebre, se recomienda en estos casos verificando el trazado y perıodo de validez de las curvas de descarga,

o corrigiendo los datos medidos para llevarlos al regimen natural, en caso que este sea la causa del quiebre.

7.1.5. Presentacion de Estadısticas Fluviometricas

De toda la informacion que se recopila en una estacion fluviometrica, suelen rescatarse los caudales medios

diarios y extremos diarios, mientras que en las estaciones fluviograficas se rescatan los caudales medios diarios

y los caudales maximos o mınimos instantaneos. A partir de ellos pueden construirse las series de caudales

medios y extremos mensuales y las series de caudales medios y extremos anuales, series a las que se les

dara distinto uso dependiendo de los propositos del estudio. Para el estudio de crecidas, por ejemplo, se

consideraran las series de caudales maximos diarios o instantaneos anuales, las que se someteran a analisis



176 Escorrentıa

de frecuencia con los procedimientos antes vistos, los que permitiran asociar la magnitud de estos caudales

de crecida con su respectivo perıodo de retorno.

Para la evaluacion de recursos hıdricos, se trabajara normalmente con las series de caudales medios diarios,

mensuales o anuales, dependiendo del detalle o precision requeridos.

Existen diferentes metodos o procedimientos para presentar los resultados de los analisis estadısticos efec-

tuados a las estadısticas fluviometricas a fin de lograr su mejor visualizacion e interpretacion, entre los que

destacan las curvas de variacion estacional y las curvas de duracion general, descritas anteriormente.

7.1.5.1. Curvas de Variacion Estacional de Caudales

Corresponden a curvas asociadas normalmente a caudales medios mensuales, que muestran, para cada mes del

ano, la magnitud de la variable asociada a una determinada probabilidad de ocurrencia. Permiten establecer,

por ejemplo, que caudal medio mensual habra en un cauce dado, en un cierto mes del a no con una cierta

probabilidad de ocurrencia o “ % de sequedad”. Como se menciono en el capıtulo 5, resultan de someter aun analisis de frecuencia a las 12 series de caudales medios mensuales. La Figura 7.2 muestra la curva de

variacion estacional en una seccion del Rıo Aconcagua.

ABR MAY JUN JUL AGO SEP OCT NOV DIC ENE FEB MAR

5% 42.77 68.43 132.96 156.92 141.12 113.94 105.05 123.82 156.23 103.79 49.67 39.88

85% 6.12 18.81 20.62 24.52 24.14 15.79 8.46 12.38 3.76 0.00 0.00 3.60

Q 18.03 36.05 57.39 67.88 62.77 47.59 37.99 51.32 59.56 37.70 18.46 16.34medio

160

150

140

130

120

110

100

90

80

70

60

50

40

30

20

10

0

3

C a u d a l [ m

/ s ]

Figura 7.2: Curva de variacion estacional de caudales Estacion Aconcagua en Desembocadura.

La simple inspeccion ocular de una curva de variacion estacional permite determinar el regimen de un

rıo. Ası, si las curvas presentan un solo maximo que coincide con la epoca lluviosa del ano (invierno en

Chile central), entonces el regimen sera pluvial, es decir, las precipitaciones caen en forma lıquida sobre la

cuenca. Si los maximos ocurren en el perıodo seco estival, entonces el regimen sera nival, las precipitaciones




caen en forma de nieve en el invierno, la cual se derrite e incrementa los caudales en la epoca calurosa del

verano. Si las curvas presentan dos maximos, en el caso de Chile central, el regimen es mixto pluvio-nival, las

precipitaciones ocurren en forma lıquida en la parte baja de la cuenca y en forma solida en las partes altas.

Debe tenerse en consideracion que la suma o promedio de todos los caudales medios mensuales con una

misma probabilidad normalmente no coincide con la magnitud del caudal medio anual correspondiente a la

misma probabilidad. Para estimar la variacion estacional de un ano tipo, es preferible efectuar el analisis de

frecuencia a los caudales medios anuales y adoptar la distribucion mensual historica media de aquellos anos

historicos que mas se acerquen a la probabilidad anual de excedencia que se desea establecer, verificando

obviamente que el promedio de todos los meses coincida con el caudal medio anual.

7.1.5.2. Curvas de Duracion General de Caudales

Son curvas normalmente asociadas a caudales medios diarios o mensuales, que permiten determinar en

que porcentaje del tiempo total existira en el cauce un caudal mayor (o menor) a un cierto valor especi-ficado. Resultan de ordenar de mayor a menor la serie de caudales medios diarios o mensuales de todo el

perıodo de estadısticas y asociar la probabilidad empırica de California con el porcentaje del tiempo de ex-

cedencia (ver seccion 5.6.3). Este es uno de los casos en que se trabaja con la serie de duraci on completa,

y en estricto rigor debiera trabajarse con la variable continua. A medida que se incrementa el intervalo de

medicion, promedio horario, promedio diario o promedio mensual la curva va perdiendo precisi on. Ası la

curva de duracion general efectuada con la serie de caudales medios mensuales resulta mas plana que la

curva construida con los valores diarios, subestimando la magnitud de los valores altos y sobreestimando la

magnitud de los valores bajos, ya que obviamente dentro de un mes habr a caudales diarios que exceden y

otros que no exceden el valor promedio. En el caso de rıos de regimen nival, en que las ondas de crecida son

paulatinas y estacionales, el uso de serie de caudales medios mensuales no introduce en general mayor errorrespecto a las series diarias (Castillo, 2004). No ocurre lo mismo en las cuencas de regimen pluvial, donde

los caudales altos se concentran en unos pocos dıas del mes en que ocurren las precipitaciones. Hormaechea

(1999) presenta un procedimiento para corregir la cantidad de agua que es posible de extraer de un rıo de

regimen pluvial, cuando la estimacion se efectua a partir de la serie de caudales medios mensuales. La Figura

7.3 muestra la curva de duracion general de caudales para el perıodo 1978-2008 en la estacion Rıo El Salto

en Bocatoma.



178 Escorrentıa

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Probabilidad de Excedencia [%]

3

C a u d a l M e d i o M e n s

u a l [ m

/ s ]

80

70

60

50

40

30

20

10

0

Figura 7.3: Curva de duracion general de caudales Estacion Rıo el Salto en Bocatoma (1978-2008).

7.1.6. Caudales Mınimos, Sequıas y Caudales Ecologicos

Para el analisis de caudales mınimos puede en principio utilizarse las mismas tecnicas de analisis de frecuencia

que permitiran asociar la magnitud de dichos caudales con su probabilidad de ocurrencia o perıodo de retorno.

Sin embargo, el analisis de sequıas es un problema mas complejo, pues los perjuicios que provoca una sequıa

no dependen solo de la magnitud de las precipitaciones o de los caudales mınimos, sino ademas del tiempo

en que se prolonguen dichos valores mınimos pues a diferencia de los eventos maximos que normalmente son

eventos aislados e independientes, los perıodos secos y los caudales mınimos son mucho mas persistentes. A

su vez, debe distinguirse entre sequıas meteorologicas o deficit de precipitaciones y sequıas hidrologicas o

deficit de caudales. La ocurrencia, por ejemplo, de una serie de caudales bajos no muy extremos puede ser,

y de hecho, normalmente lo es, mas perjudicial que un evento mınimo mas extremo que ocurra en forma

aislada. En definitiva, las sequıas dependen tanto de la magnitud como de la duracion del evento, por lo

que su analisis se debe abordar con metodologıas ad hoc para distintos casos particulares. Fern´ andez (1991)

presenta un completo analisis de las sequıas en la zona central de Chile.

Los caudales ecologicos corresponden a un concepto distinto que se refiere a los caudales mınimos que deben

mantenerse en el cauce de un curso natural de agua, para preservar los ecosistemas que de el dependen, cuando

los caudales son disminuidos por la accion humana de extraccion de dichos recursos. Si bien la definicion del

concepto de caudal ecologico es bastante clara, cuando llega el momento de cuantificar sus magnitudes, elproblema se complica pues aparecen distintos criterios que van desde lo puramente estadıstico, hidrologico,

hidraulico, biologico y ecologico, hasta posiciones puramente conservacionistas.

La Direccion General de Aguas, DGA, institucion encargada de velar por los recursos hıdricos del paıs ha

definido a lo largo del tiempo distintos criterios para cuantificar los caudales ecol ogicos o caudales mınimos

que deben respetarse al extraer los caudales de un rıo. En general, el caudal ecologico ha sido establecido

en terminos probabilısticos tales como el 10 % del caudal medio anual o el 50 % del caudal medio mensual




mınimo de un ano 95 % seco. Hoy en dıa, este ultimo criterio se ha extendido a la escala mensual, permitiendo

tener una variacion estacional, con una serie de restricciones que se pueden consultar en el Manual de Normas

y Procedimientos de la DGA.

Estos criterios, de alguna manera algo arbitrarios, podrıan continuar cambiando en el transcurso del tiempo,

por lo que siempre sera necesario consultar a futuro cuales son las ultimas determinaciones vigentes al respecto.

Bibliografıa




Hendriks, M. R. (2010), Indroduction to Physical Hydrology , Oxford University Press.

Hormaechea, J. (1999), Estimaci´ on del caudal ´ util de extracci´ on de bocatomas en cauces de regimen pluvial ,

XIV Congreso Chileno de Hidraulica.

Castillo, J. (2004), Estimaci´ on de extracciones mensuales de bocatomas en rıos de regimen nival , Universidad

T. F. Santa Marıa, Depto. de Obras Civiles.

Fernandez, B. (1991), Sequıas en la Zona Central de Chile , Informe final de proyecto, 94 pp., Pontificia

Universidad Catolica de Chile, Santiago, Chile.



Capıtulo 8

ESTIMACION

DE LA ESCORRENTIA

Introduccion

Uno de los problemas mas frecuentes a que se ve abocado un hidrologo o ingeniero hidraulico, es a la

estimacion de los caudales en alguna seccion especıfica de un rıo. Esto se debe a que es difıcil, en caso de

que exista informacion fluviometrica medida en dicho cauce, que esta informacion coincida exactamente conel lugar en que se necesita conocer dichos caudales, o lo que es mas frecuente, debido a que simplemente

no existe informacion fluviometrica en la zona. Los metodos a utilizar en estos casos corresponderan a

relaciones estadısticas, correlaciones entre distintas variables o a modelos conceptuales que permitan evaluar

la escorrentıa a partir de informacion primaria respecto a precipitaciones, simulando el ciclo de escorrentıa

subsiguiente.

El metodo especıfico a utilizar en cada caso, dependera por una parte de los objetivos y fines de la estimaci on

requerida, y por otra parte, del tipo y cantidad de informacion disponible y de la escala de tiempo requerida

para caracterizar adecuadamente el problema en analisis.

Por ejemplo, las metodologıas a utilizar seran bastante distintas si lo que se pretende es evaluar recursos

hıdricos en terminos de caudales medios o volumenes de agua en perıodos largos de tiempo o si se pretende

estimar caudales maximos o mınimos en un instante historico dado, o en terminos probabilısticos.

Las situaciones mas frecuentes, para las cuales se necesita estimar escorrentıa, son entre otras, las siguientes:

(i) Interpolar o rellenar estadısticas incompletas.

Muchas veces estadısticas disponibles resultan inutiles por la falta de algun dato individual o la perdida

181



182 Estimacion de la Escorrentıa

de algun perıodo de medicion. La interpolacion o relleno de la informacion faltante, permite la utilizacion

del resto de la informacion medida.

(ii) Extender estadısticas de duracion demasiado corta.

La representatividad estadıstica de los parametros de una muestra depende fundamentalmente deltamano de la muestra. Para el analisis de series hidrologicas se recomienda utilizar series del orden

de 30 anos. Si las estadısticas disponibles son demasiado cortas, estas podran extenderse mediante

distintos procedimientos a fin de aumentar el tamano de la muestra. Sin embargo, como los datos

estimados tendran mayor incertidumbre que los datos medidos, para una mayor representatividad de

los parametros de la estadıstica extendida, se recomienda que la extension sea al menos del 25 % de la

longitud de la estadıstica original.

(iii) Trasladar o trasponer informacion fluviometrica desde un punto conocido a otro de mayor interes.

(iv) Sintetizar informacion fluviometrica, donde ella simplemente no existe.

(v) Predecir o pronosticar caudales o escorrentıa futura.

(vi) Analisis de gastos mınimos o sequıas.

(vii) Analisis de gastos maximos o estudios de crecidas.

Para cada una de las situaciones anteriores, a su vez, podra requerirse informacion a distinta escala de

tiempo, ya sea caudales instantaneos, medios diarios, medios mensuales o simplemente volumenes anuales de

escorrentıa.

En cuanto a la informacion disponible, podran presentarse las siguientes situaciones:

(i) Existencia de informacion fluviometrica en el lugar, pero en cantidad insuficiente.

(ii) Existencia de informacion fluviometrica, pero en un lugar distinto, en la misma cuenca o cuencas

vecinas.

(iii) Existencia solo de informacion meteorologica, en particular, pluviometrica.

De lo anterior se deduce que los metodos tenderan en general a buscar relaciones estadısticas entre distintas

series de caudales o relaciones entre lluvias y caudales, conocidas como relaciones precipitacion-escorrentıa.

Al respecto, es de especial importancia en la selecci on de la metodologıa a utilizar, establecer la escala de

tiempo requerida para la informacion a estimar. Los procedimientos seran distintos si solo se requiere conocer

el caudal medio anual del rıo, si se requiere sintetizar estadısticas a nivel de caudales anuales, incluso de

caudales medios mensuales, respecto a si se requiere estimar caudales extremos, caudales m aximos diarios o

instantaneos. Para valores promedios en perıodos de tiempo largo, las relaciones tendran en general menos

dispersion, pudiendo intentarse relaciones caudal-caudal o precipitacion-escorrentıa entre caudales totales y

precipitaciones totales. Para intervalos de tiempo cortos o estudios de crecidas, estas relaciones ser an en

general de baja calidad, debiendo intentarse relaciones entre escorrentıa directa y precipitacion efectiva.



8.2. Transposicion de caudales de crecida 183

Como practica de sana ingenierıa es conveniente intentar inicialmente el uso de metodos o procedimientos

mas simples, derivando hacia procedimientos mas complejos o sofisticados, en funcion de la calidad de los

resultados obtenidos.

Algunos de los procedimientos o metodos mas utilizados se describen en los acapites siguientes.

8.1. Transposicion de Caudales Medios

Si se dispone de informacion fluviometrica en otras secciones de la misma cuenca o en cuencas vecinas, pueden

estimarse caudales postulando igualdad de gastos especıficos:

Qy

Ay=

Qx

Ax(8.1)

Donde Ay y Ax son las respectivas areas de las cuencas aportantes a cada seccion. Esta relacion, endefinitiva una regla de tres simple, supone la semejanza total entre las dos cuencas, excepto por su tamano,

por lo que debe ser utilizada solo para secciones dentro de una misma cuenca o cuencas vecinas, y s olo para

la estimacion de caudales promedio, cuando mucho a escala mensual.

Si ademas se conoce la pluviometrıa sobre las respectivas cuencas, la transposicion anterior puede mejorarse

imponiendo una condicion de igualdad de rendimientos:

Qy

P y · Ay

= Qx

P x · Ax

(8.2)

donde P y

y P x

son las precipitaciones medias sobre las respectivas areas aportantes.

La relacion anterior, nuevamente es recomendable solo para escalas de tiempo grandes, caudales medios

anuales y tal vez caudales medios mensuales, siempre que no haya una componente nival. En general, la

transposicion en base a igualdad de rendimientos resulta mas precisa que la transposicion en base a gastos

especıficos para el caso de caudales medios anuales; no sucede lo mismo si se intentan transposiciones a escala

mensual, donde la transposicion en base a rendimientos tiende a resultar mejor s olo en el perıodo lluvioso en

que la magnitud de las precipitaciones es grande, mientras que en los perıodos de estiaje, debido a la inercia

de la variable caudal, su relacion con la precipitacion, que incluso puede ser nula, pierde validez.

Ambas relaciones anteriores son adimensionales. El uso del analisis dimensional ha sido intentado por

diversos autores para intentar mejorar la calidad de las transposiciones, incorporando otros factores de tipo

geomorfologico o climatologico, lo que ha dado origen a diversas f ormulas de transposicion (Andre, 2009,

Miranda, 2011).

8.2. Transposicion de Caudales de Crecida

Una formula propuesta por Creager para la estimacion de caudales maximos, tiene la estructura




Q = 1.302 · C · (0.386 · A)0.9358A−0.048

m3/s (8.3)

donde A es la superficie de la cuenca en km2 y C es una constante a determinar localmente. Puede intentarse

para la transposicion de caudales de crecida, la relacion

Qy

Qx=

(0.386Ay)0.9358A−0.048

y

(0.386Ax)0.9358A−0.048

x

(8.4)

Diversos procedimientos similares a este, basados en formulas empıricas pueden encontrarse en la literatura.

Estas formulas, incluida la de Creager, deben utilizarse con precaucion, a menos que hayan sido validadas de

alguna manera en la zona de analisis.

8.3. Uso de Correlaciones Estadısticas

Las correlaciones estadısticas son una herramienta matematica poderosa que puede utilizarse pragmaticamen-

te para relacionar cualquier conjunto de variables, sujeto a que se obtengan niveles de correlacion admisibles.

Su unica restriccion es que exige la disponibilidad de datos simultaneos de las variables en analisis durante

algun perıodo mınimo de tiempo.

Ası, en caso de disponerse de algun nivel de informacion fluviometrica en la seccion de interes, como es

el caso de relleno o ampliacion de estadısticas y pronosticos, puede intentarse el uso de estas correlaciones

estadısticas con alguna o mas variables explicativas, tales como caudales en secciones vecinas, precipitaciones

u otras variables.

Estas correlaciones podran ser lineales, no lineales, simples o multiples, escogiendo aquella que resulte massignificativa de acuerdo a los coeficientes de correlacion obtenidos.

8.3.1. Regresion Lineal Simple

El caso mas elemental corresponde a la regresion lineal simple entre dos variables, que obedece a la ecuaci on,

y = a · x + b (8.5)

donde y es el valor estimado de la variable dependiente, x es la variable independiente y los coeficientes a y b

se obtienen de una minimizacion de los errores de estimacion mediante el metodo de los mınimos cuadrados,

con las expresiones

a =

(xi − x) (yi − y)

(xi − x)2 (8.6)

b = y − a · x (8.7)



8.3. Uso de Correlaciones Estadısticas 185

El coeficiente de correlacion R, cuyo valor absoluto varıa entre 1 y 0, para una correlacion perfecta y una

correlacion nula respectivamente, puede estimarse, entre otras f ormulas, como

R =

1 − (yi

−y)

2(yi − y)2 (8.8)

Por convencion se utiliza el signo positivo para R cuando la correlacion es positiva (coeficiente de regresion

a > 0). El signo negativo se utiliza para correlaciones negativas.

El cuadrado del coeficiente de correlacion, el coeficiente de determinacion R2, es un ındice del porcentaje

o fraccion de las variaciones de la variable dependiente que son explicadas por las variaciones de la variable

independiente. Es costumbre en hidrologıa aceptar el valor R2 > 0.5 o |R| ≥ 0.7, como grado de correlacion

aceptable.

Como todo estimador estadıstico, el coeficiente de correlacion R es un estimador del coeficiente de corre-

lacion de la poblacion ρ, y su significancia depende del tamano N de la muestra, siendo mas significativomientras mayor sea el tamano de la misma. Luego, para muestras muy pequenas suelen obtenerse coeficientes

distintos de cero solo por efecto del muestreo, aun cuando no exista correlacion.

Un test estadıstico, que es estrictamente valido solo para poblaciones de distribucion binormales, pero de

utilizacion generalizada, es el siguiente:

Si se plantea la hipotesis nula que la correlacion poblacional es nula, ρ = 0, y se extrae de ella una muestra

de tamano N , entonces la variable

t = R

1−R2

N −2

(8.9)

tiene una distribucion de t-Student con N −2 grados de libertad. Luego, comparando el valor de t muestral

con el valor teorico tα, generalmente con un nivel de confianza del 90 % (α = 0.05), se acepta la hipotesis

nula ρ = 0, si tα > t. En caso contrario, la hipotesis se rechaza, aceptandose por consiguiente la existencia

de correlacion (ρ = 0).

El hecho de establecer la existencia de una correlacion no nula, no significa que el valor muestral de R

coincida con ρ. Para determinar el intervalo de confianza del valor muestral R, puede utilizarse el siguiente

test:

Si R constituye una representacion muestral del coeficiente de correlacion ρ

= 0, entonces la variable

z = 1

2 ln

1 + R

1 − R

(8.10)

tiene una distribucion gaussiana con media

µz = 1

2 ln

1 + ρ

1 − ρ

(8.11)




y desviacion estandar

σz =

1

N − 3 (8.12)

Luego, la variable

zr = z − µz

σz=

ln1+R1−R

− ln1+ρ1−ρ

4N −3

(8.13)

tiene una distribucion normal centrada y reducida cuyo valor |zr| debera ser menor a la cantidad |zα| para un

nivel de confianza determinado, lo que permite conocer el intervalo de confianza del coeficiente de correlaci on

ρ.

Ejemplo:

De una regresion lineal simple de una muestra de N = 52 pares de datos, se obtuvo un coeficiente de

correlacion R = 0.53. De esta forma,

2z = ln

1 + R

1 − R

= 1.18

2σz =

4

N − 3 = 0.286

Ahora, para un intervalo de confianza del 95 % (α = 0.05), de las tablas de la distribucion normal se obtiene

|zα

| ≤1.96. Luego:

2z − 2µz2σz

≤ |zα| ⇒1.18 − ln

1 + ρ

1 − ρ

≤ 0.286|zα| = 0.56

ln

1 + ρ

1 − ρ

= 1.18 ± 0.56

0.62 < ln

1 + ρ

1 − ρ

< 1.74

0.3 < ρ < 0.70

Es decir, con un 95 % de confianza, el verdadero valor de ρ esta comprendido entre los valores 0.3 y 0.7

8.3.2. Regresiones No Lineales o Multiples

Algunas relaciones no lineales pueden linearizarse utilizando logaritmos y resolverse con el mismo procedi-

miento anterior. En el caso de las relaciones lineales multiples o relaciones polinomiales, aunque conceptual-

mente el procedimiento es el mismo, la determinacion de los coeficientes de regresion implica la solucion de



8.4. Pronosticos o prediccion de caudales estacionales futuros 187

sistemas de ecuaciones que puede tornarse bastante laboriosa. Afortunadamente existen numerosos progra-

mas computacionales (SPSS u otros), incluyendo las planillas electronicas de calculo, que permiten establecer

regresiones de diferentes tipos, incluyendo sus coeficientes de regresi on y correlacion.

Las correlaciones estadısticas pueden utilizarse para el relleno y extension de estadısticas demasiado cortas,

pudiendo las variables independientes ser datos de caudales en estaciones vecinas, datos de precipitacion u

otras variables hidrologicas o meteorologicas que resulten pertinentes.

8.4. Pronosticos o Prediccion de Caudales Estacionales Futuros

Un caso tıpico del uso de regresiones y correlaciones se presenta en el caso de predicciones o pronosticos

de escorrentıa estacional. En muchas regiones del mundo, particularmente en Chile Central, se presenta el

fenomeno de que la temporada lluviosa ocurre durante el perıodo de invierno siendo la temporada de verano

bastante seca en terminos pluviometricos. Sin embargo, en los principales rıos de la zona la precipitacion

ocurre en forma solida y se mantiene acumulada en forma de nieve estacional, produciendose la escorrentıa

durante la temporada pluviometricamente seca de la primavera y el verano, epoca en que se produce el

derretimiento de la nieve acumulada. Es decir, al comienzo de la temporada de crecidas o de deshielos,

digamos al 1º de Septiembre, en Chile Central, ya ha ocurrido y se conoce gran parte de la precipitaci on que

ha ocurrido en el invierno inmediatamente anterior, que sera la fuente de la escorrentıa de deshielos.

Ante esta caracterıstica climatica, que corresponde como se ha dicho a las cuencas de mayor importancia

en Chile, resulta de gran beneficio economico poder pronosticar o determinar a priori, los caudales que

habra disponibles durante el verano, a fin de poder planificar en forma optima los programas de utilizacion

de aguas de regadıo, de operacion de centrales hidroelectricas y el uso del agua en general.

8.4.1. Pronostico de Volumenes Estacionales

El metodo mas utilizado para efectuar estos pronosticos se basa en correlacionar el volumen de agua escurrido

durante la temporada de deshielo con la precipitaci on total caıda en el invierno inmediatamente anterior.

Por ejemplo, si se acepta que la temporada lluviosa se concentra entre los meses de Mayo y Agosto, en Chile

Central, sera posible estimar el volumen de agua a escurrir entre Septiembre y Abril teniendo medida la

precipitacion caıda en el perıodo inmediatamente anterior. Se intenta, en general, correlaciones del tipo,

V

A

S = a · I + b o V

A

S = m · I

n

(8.14)

donde V AS es el volumen de escorrentıa entre Septiembre y Abril o el perıodo que se estime mas adecuado

en algun caso particular, e I es un ındice general de precipitacion entre Mayo y Agosto, o el perıodo que

corresponda, que puede elaborarse con las estadısticas disponibles que permitan la mejor correlacion posible.

Este ındice I puede incorporar, segun la informacion que se disponga, datos de precipitacion lıquida (datos

de pluviometros), precipitacion solida (datos de rutas de nieve) e incluso otras variables meteorologicas e

hidrologicas que puedan mejorar la correlacion. Si existe, por ejemplo, “n” registros de valores acumulados




de precipitaciones o rutas de nieve en la regi on, el ındice I se puede asimilar a un ındice de precipitacion

caracterıstico de la cuenca denominado Indice de Precipitacion Media Estacional Ponderada, P , definido por

I = P =

ni=1 aiP i (8.15)

donde P i es la precipitacion o valor de ruta de nieve acumulado en cada una de las n estaciones de la cuenca

en el perıodo Mayo-Agosto.

Los coeficientes de ponderacion αi pueden obtenerse mediante una correlacion multiple del tipo

V AS = b1P 1 + b2P 2 + ... + bnP n + b0 (8.16)

de la cual se eliminan las estaciones que den coeficientes de regresion negativos o cercanos a 0, pues significa

que no influyen significativamente en la correlacion. Los coeficientes de ponderacion resultan entonces

ai = bi

bicon

ni=1

ai = 1 (8.17)

En ocasiones no todos los meses del perıodo de invierno tienen la misma importancia en el establecimiento

de la correlacion, pues las precipitaciones de los primeros meses pueden verse afectas a las condiciones iniciales

del suelo que generan deshielos prematuros o quedar m as afectas a otras condiciones climaticas imperantes.

Luego, si el ındice P no logra resultados satisfactorios, este puede ampliarse a un ındice de precipitacion

mensual ponderada,

I = Z =ni=1

Z i (8.18)

donde Z i a su vez corresponde a un promedio ponderado temporal de las precipitaciones de cada estaci on,

del tipo

Z i = ai

αM P M i + αJN P JN i + αJLP JLi + αAP Ai

(8.19)

Donde los αK representan a su vez la importancia relativa de la precipitacion de cada mes en cada estacion,

los cuales se obtienen en forma similar al caso anterior mediante regresiones multiples extendidas. Debe tenerseen cuenta que al ir incorporando un mayor numero de variables explicativas se le van quitando grados de

libertad al sistema con lo que el poder predictivo de la relaci on disminuye, por lo que conviene no abusar de

este procedimiento.

Hay incluso casos, particularmente en cuencas altas, donde la nieve acumulada puede perdurar de un ano

para otro con una regulacion interanual. En estos casos, puede resultar necesario recurrir a un Indice de

Precipitacion Anterior, definido como



8.4. Pronosticos o prediccion de caudales estacionales futuros 189

IAt = β 1I t + β 2I t−1 (8.20)

donde β 1 + β 2 = 1 y el subındice “t” se refiere al ano para el cual se establece la correlaci on.

Cualquiera que sea la ecuacion de regresion que se obtenga, recomendandose la mas simple que arroje

una correlacion admisible, conociendo al 1º de septiembre de un ano cualquiera, las precipitaciones ocurridas

entre Mayo y Agosto, puede pronosticarse el volumen de escorrentıa a ocurrir entre Septiembre y Abril.

8.4.2. Distribucion Estacional del Volumen de Deshielo

De tanto interes como conocer el volumen total a escurrir, es saber como se van a distribuir los caudales en

los distintos meses de la temporada. Para pronosticar la magnitud del escurrimiento y ubicar cu al sera el mes

de maximo caudal, suele dar buenos resultados buscar una correlacion entre el volumen total estacional entre

Septiembre y Abril, con el volumen del mes de maximo caudal, tal como se indica en la Figura 8.1, dondeaparte de la correlacion obtenida se indica con distinta nomenclatura, cual fue el mes en que dicho m aximo

escurrio. Como se observa en la figura, dentro de un cierto rango de vol umenes totales, el maximo caudal

ocurre sistematicamente el mismo mes. Luego, si la relacion obtenida es aceptable, conocido o pronosticado

el volumen total a escurrir, esta relacion nos permite establecer cuanto sera el volumen a escurrir durante el

mes de maximo caudal y cual sera ese mes.

Figura 8.1: Distribucion caudal maximo de deshielo.

Finalmente, para evaluar la distribucion de los caudales durante el resto de los meses, suele postularse que

su distribucion sera similar al promedio historicamente ocurrido. Para ello se determina para todos los anos

historicos en que el maximo ocurrio en un mismo mes, cual fue la fraccion escurrida, respecto a ese maximo,

del resto de los meses de la temporada. La Figura 8.2 muestra un ejemplo de estas relaciones, para el caso




de los anos en que el maximo ocurrio en noviembre en un cierto rıo.

Debe considerarse que como la distribucion de los volumenes de cada mes se evalua independientemente de

la determinacion del volumen total, para propositos de consistencia debe verificarse que se cumpla la ecuacion

de balance masico

AS

V mes,i = V AS (8.21)

Si la diferencia entre ambos valores es pequena, digamos menor al 10 %, suele multiplicarse la magnitud de

cada uno de los caudales mensuales, para lograr la igualdad. Si la diferencia es mayor, el mejor procedimiento

es el siguiente: Con la diferencia entre los volumenes totales, se determina de la Figura 8.1 un δ maxmes con el

cual se corrige la estimacion del mes de maximo y a traves de la Figura 8.2, los valores del resto de los meses.

El procedimiento se repite hasta que las sumas cuadren.

Figura 8.2: Distribucion caudales de deshielo para el caso en que el caudal maximo ocurre en noviembre.

El procedimiento indicado, al considerar que el comportamiento de los caudales correspondera a una

situacion promedio del comportamiento historico del rıo en el perıodo de deshielo, puede dar pronosticos

errados si las condiciones pluviometricas de un ano en particular resultan distintas a la situacion promedio.

Por ello resulta conveniente ir actualizando el pronostico a medida que se conoce la nueva informaci on. En el

caso anterior, al 1 de Octubre, cuando ya se conocen las precipitaciones del mes de septiembre, puede repetirse

todo el proceso, pero considerando ahora un ındice de precipitacion que cubra el perıodo Mayo-Septiembre,

para obtener un pronostico actualizado del perıodo Octubre-Abril.

Como se vera mas adelante, existen otras alternativas para efectuar estos pronosticos, que se basan en

tecnicas de simulacion, y potencialmente, metodos matematicos mas avanzados como redes neuronales u

otros.



8.5. Relleno y Extension de Estadısticas 191

8.5. Relleno y Extension de Estadısticas

8.5.0.1. Extension o Relleno de Datos Individuales

Para el relleno de estadısticas aisladas y eventualmente extension de registros a escala mensual o anual,cuando los objetivos son meramente estadısticos, pueden utilizarse los mismos procedimientos descritos para

el relleno o extension de precipitaciones en la seccion 4.6.1, respecto a relleno con promedios de estaciones

vecinas, curvas doble acumuladas o correlaciones, con la salvedad de la conveniencia de trabajar con caudales

especıficos.

8.5.0.2. Extension de Curvas de Duracion General

En el caso en que el objetivo de extender estadısticas, sea el de generar curvas de duracion general mas

confiables, y las correlaciones obtenidas para su estimacion con una estacion vecina, no sean muy buenas,

puede extenderse la curva de duracion de la estacion de menor longitud, mediante el siguiente procedimiento.Se construyen las curvas de duracion general de las dos estaciones considerando solamente el perıodo comun.

Luego se construye la curva de duracion con la informacion completa de la estacion mas larga, determinando

para cada magnitud de caudal la nueva probabilidad de excedencia que resulta, para finalmente construir la

curva de duracion extendida de la estacion mas corta, imponiendole a cada caudal, la misma modificacion de

su probabilidad de excedencia que resulto para la estacion mas larga.

En las Figuras 8.3 y 8.4 se ilustra el procedimiento. Sean Q1 los caudales correspondientes a la estacion

de mayor longitud, y Q2 los caudales de la estacion que se desea extender. Se procede a confeccionar las

curvas de duracion de la estacion de mayor duracion para el perıodo de tiempo total (sean 280 datos) y para

el perıodo en que existe informacion comun (sean 210 datos), Figura 8.3. Para un caudal dado, sean 3020

[m3/seg], la serie completa indica una probabilidad de excedencia de 0.25 mientras que en la serie truncada

la probabilidad de excedencia se reduce a 0.13, es decir, si la serie mas larga hubiese tenido la misma longitud

y perıodo que la serie mas corta, se le hubiese asignado una probabilidad de excedencia de 0.13 en vez del

valor mas representativo de 0.25. En la Figura 8.4 se confecciona la curva de duracion general de la serie

mas corta, segun la cual a la probabilidad de excedencia de 0.13 le corresponde un caudal de Q2 = 1260

[m3/s]. Aplicando el raciocinio inverso al anterior, se postula que si la serie corta hubiese tenido la extension

de la serie mayor, al caudal Q2 = 1260 [m3/s] se le hubiese asignado una probabilidad de 0.25. Repitiendo el

procedimiento para distintos valores de las probabilidades y caudales de la serie corta, se va construyendo la

curva de duracion general extendida a un perıodo de 280 datos, indicada en rojo, de la serie Q2.




0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

3

C a u d a l [ m

/ s ]


Serie Q completa, 280 valores1

Serie Q truncada, 210 valores1

Distintas probabilidades asignadas a un mismo caudal

Figura 8.3: Curva duracion serie mayor longitud (Q1).

Serie Q original, 210 valores2

Serie Q extendida2

Distintas probabilidades asignadasa un mismo caudal


3

C a u d a l [ m

/ s ]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Figura 8.4: Curva de duracion serie menor longitud (Q2).

8.5.1. Relaciones Precipitacion-Escorrentıa Volumetricas

8.5.1.1. Deficit de Escorrentıa

La forma mas simplificada para representar la ecuacion de balance hidrologico es de la forma,

P − ET = Q + δV (8.22)



8.5. Relaciones Precipitacion-Escorrentıa Volumetricas 193

donde δV a escala anual (o mayor) tiende a cero.

Diversos autores han propuesto metodos para estimar lo que se ha denominado el deficit de escorrentıa,

definido como,

D = P − Q (8.23)

Disponiendo de alguna expresion para estimar D, conocida la precipitacion P , se podra estimar Q.

Formula de Turc

Turc propuso para estimar el deficit de escorrentıa, la relacion,

D = P

0.9 + (P/L)2

[mm/ano] (8.24)

donde P es la precipitacion anual en [mm] y L es un ındice de calor definido por la relacion,

L = 300 + 25T + 0.05T 3 (8.25)

donde T es la temperatura media anual en ºC.

Formula de Coutagne-Wundt

Coutagne propone la relacion,

D = P − λ · P 2 [mm/ano] (8.26)

donde

λ = (0.8 + 0.14T )−1 (8.27)

Esta formula serıa valida para valores de P que cumplan la relacion,

1

8λ

< P < 1

2λ

Para precipitaciones menores, la escorrentıa serıa nula y para valores mayores, D se independiza de P ,

tomando el valor

Dmax = 0.2 + 0.035T (8.28)

Wundt, propone la misma formula, pero limitando el maximo valor de D por la relacion,




Dmax = 1

4λ (8.29)

que resulta de reemplazar en la ecuacion (8.28) el valor de T dado por la ecuacion (8.27).

De la estructura de la formula anterior, se deduce que la evaluacion directa de Q darıa la expresion,

Q = λP 2 (8.30)

Esta expresion, valida para P < 1 m, ha sido frecuentemente utilizada en Chile, bajo los nombres de Formula

de Grunsky (λ = 0.4) o Formula de Quintana o Penuelas (λ = 0.5).

8.5.1.2. Formulas Empıricas

Se ha propuesto en la literatura un sinnumero de formulas empıricas para relacionar la escorrentıa anual con

la precipitacion anual. La mayorıa de ellas tiene la estructura

Q = aP b [mm/ano] o Q = a (P − P 0)b

[mm/ano] (8.31)

Las formulas de Grunsky o Penuelas, antes vistas corresponderıan al primer tipo. Entre la formulas propuestas

con la estructura del segundo tipo, es posible rescatar la formula de Langbein,

Q = a (P − P 0)2

[mm/ano] si P < P c (8.32)

donde los parametros a, b y P 0 dependen segun este autor de una temperatura media anual ponderada por

la magnitud de las precipitaciones, segun la expresion,

T p =

12i=1

T iP i

12i=1

P i

(8.33)

donde P i y T i son las precipitaciones mensuales y temperaturas medias mensuales en ºC, respectivamente.

Los valores de los parametros serıan los siguientes:




Tabla 8.1: Parametros Formula de Langbein

T p °C a P 0 (m) P c (m)

0 0.90 0.00 0.55

5 0.60 0.08 0.90

10 0.50 0.15 1.15

15 0.47 0.27 1.32

20 0.41 0.38 1.58

25 0.34 0.49 1.91

Cualquier precipitacion en exceso a P c, escurrirıa totalmente.

8.5.1.3. Metodo del Balance de Thornthwaite

En la seccion 3.5.1 se vio la formula de Thornthwaite, para estimar la evapotranspiracion potencial. Para

estimar la evaporacion real, el deficit de escorrentıa y por ende la escorrentıa mensual, Thornthwaite propuso

desarrollar un balance hıdrico sobre la capa superficial del suelo, que contribuye a la evapotranspiracion. El

metodo supone que la evaporacion real sera igual a la potencial si la disponibilidad de agua, es decir, la suma

de la precipitacion del mes mas la humedad inicial contenida en el suelo son suficientes; en caso contrario, la

evaporacion real queda limitada a la disponibilidad de agua.

Si la precipitacion excede a la evaporacion potencial, el exceso de agua aumenta la humedad del suelo hasta

completar su capacidad maxima de almacenamiento o capacidad de campo, supuesta del orden de 100 mm.

Todo exceso de agua por sobre este valor umbral, constituye la escorrentıa de la cuenca. A fin de considerar

los efectos de retardo de la cuenca sobre la escorrentıa, Thornthwaite propone que solo el 50 % del exceso deagua de un mes dado, se manifiesta como escorrentıa durante ese mismo mes, sumando el otro 50 % al exceso

de agua del mes siguiente, y ası sucesivamente.

Para la aplicacion el metodo de balance, no necesariamente deben utilizarse las estimaciones de evapotrans-

piracion potencial propuestas por el propio Thorntwaite, pudiendo recurrirse a otras fuentes de informaci on

al respecto. Utilizando los datos de precipitacion y evaporacion de bandeja de la ciudad de Rancagua y

postulando que la evapotranspiracion potencial sea un 70 % de la evaporacion de bandeja, en la Tabla 8.2 se

incluye una tabulacion ejemplo del metodo del balance de Thornthwaite.

Al respecto, como en todo balance en el tiempo, deben postularse ciertas condiciones iniciales, en este

caso la humedad del suelo y escorrentıa iniciales. Iniciando el balance al comienzo del ano hidrologico, puedepostularse una humedad inicial nula, verificando su validez comparandola con la humedad final del ultimo

mes, la que tambien debiera resultar nula. Si esto no ocurre, debiera iterararse este valor, hasta verificar que

ambas humedades resulten iguales.

Algo similar debe hacerse con la escorrentıa inicial, suponiendo un ano cıclico, es decir, el retardo del ultimo

mes debe sumarse al excedente del primer mes, iterando hasta que la solucion converja. Ambos aspectos se

destacan con color cian en la Tabla 8.2.




Tabla 8.2: Tabulacion Ejemplo del Metodo del Balance de Thorntwaite

MES A M J J A S O N D E F M TOT

Precipitacion [mm] 21.9 74.7 103 77.9 65.6 31.4 17.2 9.9 4.4 2.8 2.2 7.3 418.3

Ev. de bandeja 60 28 18 21 34 51 103 155 190 210 150 109 1129

ET Potencial [mm] 42 19.6 12.6 14.7 23.8 35.7 72.1 109 133 147 105 76.3 790.3Humedad Inicial 0 0 55.1 100 100 100 95.7 40.8 0 0 0 0

Evapotranspiraci on real 21.9 19.6 12.6 14.7 23.8 35.7 72.1 50.7 4.4 2.8 2.2 7.3 267.8

Humedad intermedia 0 55.1 145.5 163 142 95.7 40.8 0 0 0 0 0

Deficit 20.1 0 0 0 0 0 0 57.8 129 144 103 69 522.5

Humedad final 0 55.1 100 100 100 95.7 40.8 0 0 0 0 0

Excedente 0 0 45.5 63.2 41.8 0 0 0 0 0 0 0 150.5

Escorrentıa [mm] 0.17 0.083 22.79 43 42.4 21.2 10.6 5.3 2.6 1.32 0.66 0.33 150.5

Los valores del balance resultan en [mm/mes], por lo que deberan multiplicarse por la superficie de la cuen-

ca aportante para transformarlos en unidades de caudal. Aparte de la estimaci on de los caudales mensuales,

alguna otra informacion puede obtenerse de este balance; por ejemplo, nos indica cuanto es la evapotranspi-

racion real, y el deficit de Thornthwaite nos indica la cantidad de agua que habrıa que aplicar para mantener

cultivos permanentes durante todo el ano, en el ejemplo, 522.5 [mm], y en que meses debiera aplicarse, en el

ejemplo, entre Noviembre y Abril.

Hoy en dıa, sin embargo, el principal interes del metodo de Thornthwaite es que puede considerarse un

precursor de los modelos de simulacion hidrologica. Efectivamente, los valores de humedad maxima de 100

[mm] y un retardo de la escorrentıa del 50 % son cifras bastante arbitrarias y no tienen por que ser validas

para diferentes configuraciones geomorfologicas de las cuencas. En consecuencia, parece razonable adoptar

para distintas cuencas valores distintos de estos dos “parametros”, de manera que reproduzcan de la mejor

forma posible los volumenes de escorrentıa y la variacion estacional de una cuenca en particular.

Con el advenimiento de los computadores en las ultimas decadas, esto no solo es facilmente realizable

utilizando algun metodo de optimizacion, sino que idealizaciones conceptuales del ciclo de escorrentıa tan

simples como la planteada por Thornthwaite, han podido ser ampliadas incorporando conceptos y relaciones

cada vez mas complejas, con la posibilidad de calibrar los parametros de los modelos, permitiendo una

respuesta de las simulaciones, cada vez mas proximas a las respuestas reales de los sistemas fısicos que se

pretende modelar. A partir del primer modelo de este tipo, el Stanford Watershed Model, propuesto en la

decada de los sesentas del siglo 20 por Crawford y Linsley (1966), se han desarrollado en diversas partes

del mundo, modelos de simulacion hidrologica de este tipo, tanto a escala mensual, diaria o aun horaria. En

Chile, uno de los primeros y mas utilizados, corresponde al desarrollado por Brown, Ferrer y Ayala (1973),

que trabaja a escala mensual. Posteriormente se han propuesto en Chile, modelos a escala diaria, como el

modelo SIMED de la DGA o el modelo QMD propuesto por Kuhlmann y modificado por Y. Morales. A

nivel internacional, existe hoy en dıa una gran cantidad de modelos de este tipo, algunos comerciales y otros

de libre disposicion en Internet, entre los que se puede mencionar el modelo Sacramento del U.S. Corps of

Engineers.




Bibliografıa

Brown, E., P. Ferrer, & L. Ayala (1973), Simulacion de gastos medios mensuales en una cuenca pluvial, II

Coloquio Nacional de Ingenierıa Hidr´ aulica , Universidad Catolica, Santiago, Chile.



Crawford, N. H., & R. K. Linsley, (1966), Digital Simulation in Hydrology: Stanford Watershed Model IV ,

Technical Report No. 39, Department of Civil Engineering, Stanford University, p. 210.




Capıtulo 9

ESTUDIO Y ESTIMACION DE

CRECIDAS

Introduccion

Cuando se pretende analizar o reproducir crecidas, o caudales a escala horaria y aun instantanea, las relaciones

entre precipitacion total y escorrentıa total suelen no dar buenos resultados, debiendo intentarse relaciones

entre la precipitacion efectiva y la escorrentıa directa. Para ello, por una parte debe descontarse o restarse ala escorrentıa total, aquella fraccion mas o menos constante, que constituye el flujo base o caudal existente

en el rıo antes del comienzo de una determinada tormenta, mientras por otra, debe restarse al hietograma de

precipitacion total, aquella fraccion de la lluvia que es retenida, detenida o infiltrada, dejando solo aquella

parte que contribuye a la escorrentıa directa, anteriormente definida como precipitacion efectiva.

9.1. Estimacion de la Infiltracion

La fraccion de la lluvia que se pierde para efectos de la escorrentıa directa por concepto de infiltracion,

puede evaluarse por medicion directa, con instrumentos llamados infiltrometros, puede estimarse con distintas

formulas o modelos analıticos tales como los propuestos por Horton, Phillip, Green-Amt, o Morel-Seytouk o

pueden utilizarse “indices de infiltracion” constantes, que consisten en restar al hietrograma de precipitacion

total una tasa constante de infiltracion, tal que resulte un volumen de precipitacion efectiva igual, por

definicion, al volumen de escorrentıa directa.

199



200 Estudio y Estimacion de Crecidas

9.1.1. Ecuacion de Horton

Horton (1939) propuso una ecuacion para estimar la variacion de la tasa de infiltracion en el tiempo que

obedece a la siguiente estructura de decaimiento exponencial,

f (t) = f c + (f 0 − f c) e−k·t (9.1)

donde f 0 es la tasa de infiltracion inicial, dependiente de la humedad inicial del suelo, y f c es la tasa constante

de infiltracion a la que tenderıa el suelo a medida que el proceso de infiltracion continua. Para la mayorıa de

los suelos esta tasa constante se alcanza antes de un par de horas, por lo que el parametro fundamental de

la ecuacion es f c y para el cual se ha propuesto el siguiente rango de valores:

Tabla 9.1: Parametros de la ecuacion de Horton

Tipo de suelo f c [mm/hr]

Arcillas 0.5 a 4

Limos 4 a 8

Arenas 8 a 12

9.1.2. Ecuacion de Philip

Philip (1957), con un desarrollo de base teorica, segun una tasa de decaimiento de tipo potencial, propone

una formula con la siguiente estructura,

f (t) = 1

2S · t−1/2 + K (9.2)

donde,

S : denominada “adsorcion”, depende de la humedad del suelo.

K : es equivalente a f c de Horton, debiendo aproximarse ambos valores a lo que se denomina como conducti-

vidad hidraulica del suelo, cuando el flujo de infiltracion es vertical.

9.1.3. Ecuacion de Green-Ampt

Si la tasa de infiltracion en funcion del tiempo es f (t), entonces la variable

F (t) =

t0

f dt (9.3)

corresponde al volumen total por unidad de superficie incorporado al suelo, o infiltraci on acumulada hasta

el instante t.



9.1. Estimacion de la Infiltracion 201

Green-Ampt (1911), postulando que el frente de infiltracion progresa en la forma de una lamina horizontal

que va saturando progresivamente al suelo a medida que avanza en profundidad, y resolviendo la ecuacion

de continuidad correspondiente, llegan a la expresion,

F (t) = K · t + ( p − θ)(h0 + ϕ) ln

1 + F (t)( p − θ)(h0 + ϕ)

(9.4)

ecuacion implıcita que puede resolverse por el metodo de Newton. Los parametros de la ecuacion de Green-

Ampt son los siguientes:

p = porosidad del suelo o cuociente entre el volumen de vacıo y volumen total.

θ = humedad inicial del suelo o cuociente entre el volumen de agua y el volumen total. N otese que el valor

maximo posible de humedad, cuando el suelo esta saturado, alcanza el valor θs = p.

K = conductividad hidraulica o coeficiente de permeabilidad del suelo saturado, parametro altamente de-

pendiente de la granulometrıa del suelo ([L/T ]).

h0 = carga o lamina de agua sobre la superficie del suelo, [L], valor que normalmente se supone despreciable.ϕ = carga de succion del suelo, [L], en rigor, energıa por unidad de peso, valor asociado a la cantidad de

agua que el suelo es capaz de retener contra la accion de la gravedad por efecto de tension superficial, valor

altamente dependiente de la humedad del suelo.

Los valores numericos de los parametros involucrados en la ecuacion de Green-Ampt deben buscarse en

textos mas especializados de aguas subterraneas o de mecanica de suelos. En cualquier caso, conocidos o

estimados los parametros involucrados, la infiltracion acumulada F (t) puede determinarse resolviendo por

tanteo o mediante el metodo de Newton. Por ultimo, una vez conocida la infiltracion acumulada F (t) al

tiempo t, la tasa de infiltracion f (t), se obtiene derivando la ecuacion anterior, obteniendose,

f (t) = K

1 +

(h0 + ϕ)( p − θ)

F (t)

(9.5)

9.1.4. Tiempo de Encharcamiento

Todas las expresiones anteriores para estimar la infiltracion, suponen que en todo momento existe la can-

tidad de agua necesaria para infiltrar, es decir, la intensidad de la precipitacion i(t) es mayor que la tasa

de infiltracion f (t). En estos terminos, las formulas corresponden a un concepto de infiltracion potencial.

Evidentemente si la intensidad de precipitacion es inferior a la capacidad potencial de infiltracion del suelo,

la tasa real de infiltracion quedara limitada a la tasa de precipitacion.

Se define el concepto de “tiempo de encharcamiento” como el tiempo requerido para lograr la formacion de

una capa libre de agua sobre el suelo o punto de encharcamiento, tiempo a partir del cual la tasa de infiltraci on

potencial se hace inferior a la tasa de precipitacion, produciendose precipitacion en exceso e infiltracion a tasa

potencial gobernada por las caracterısticas del suelo. Antes de este tiempo, se infiltrara solo la intensidad de

la lluvia i(t) que sera menor que f (t).

En estricto rigor, el tiempo de encharcamiento se debiera producir cuando la tasa de infiltracion se haga




igual a la intensidad de la lluvia, supuesta constante, y cuando el total infiltrado real sea igual al potencial.

En general, ambas condiciones resultan imposibles de conciliar, por lo que hay que optar por satisfacer una

u otra condicion, normalmente f (t) = i.

En el caso de la formula de Green-Ampt (1911), en que existe una relacion entre f (t) y F (t), imponiendo

en la ecuacion las condiciones

f (te) = i (9.6)

F (te) = i · te (9.7)

se obtiene

te =K (h

0 + ϕ)( p

−θ)

i(i − K )

(9.8)

donde te es el tiempo de encharcamiento e inicio de la escorrentıa superficial.

9.1.5. Indices de Infiltracion

Todas las formulas anteriores incluyen una serie de parametros, en general difıciles de cuantificar, suponiendo

ademas suelos espacialmente homogeneos, lo que dificulta su aplicacion practica. Por estos motivos, se han

propuesto una serie de metodos simplificados de mayor aplicacion practica, denominados Indices de Infiltra-

cion, entre los que destaca por su simplicidad, el denominado Indice φ, el cual supone una tasa de abstraccion

o infiltracion constante en el tiempo de magnitud φ [mm/hr] tal que satisfaga la condicion de que el volumen

de precipitacion efectiva iguale al volumen de escorrentıa directa. Si la intensidad de la precipitacion satisface

en todo momento la relacion i ≥ φ, su estimacion se reduce a la ecuacion

φ = P Total − QED

tLi(9.9)

donde P Total es la precipitacion total, QED es el volumen de escorrentıa directa por unidad de superficie y

tLi es la duracion de la tormenta.

En los ultimos anos, sin embargo, ha ganado popularidad, un metodo tambien simple, propuesto por elSoil Coservation Service de EE. UU. (1972), conocido como Metodo de la Curva Numero.

9.1.6. Metodo de la Curva Numero

Definiendo como I 0 la abstraccion inicial hasta antes del punto de encharcamiento y como F la abstraccion

o infiltracion ocurrida a continuacion del punto de encharcamiento, el metodo, desarrollado por el U.S. Soil




Conservation Service (SCS), postula la igualdad entre el cuociente entre la infiltracion F y el potencial

maximo de infiltracion S del suelo, respecto al cuociente entre la precipitacion efectiva o escorrentıa directa

expresada como lamina de agua P ef y la precipitacion efectiva maxima posible (P − I 0), es decir

F S

= P ef P − I 0

(9.10)

Por continuidad se cumple que

P = P ef + F + I 0 (9.11)

y eliminando F entre las dos relaciones anteriores, resulta

P ef = (P − I 0)2

(P + S

−I 0)

[mm] (9.12)

donde P es la precipitacion total de la tormenta y S , el deficit potencial maximo de escorrentıa, es evaluado

a su vez mediante la relacion,

S = 25.4 ·

1000

CN − 10

[mm] (9.13)

donde CN es un ındice de las caracterısticas geologicas, morfologicas y de uso de los suelos de la cuenca,

ademas de sus condiciones iniciales de humedad, llamado “Curva Numero”, que varıa entre los lımites CN = 0

para una cuenca donde todo lo que llueve se infiltra, hasta CN = 100 para una cuenca absolutamente

impermeable, donde todo lo que llueve escurre. Valores tıpicos de CN para cuencas naturales, oscilan entre

40 y 80 y se hayan tabulados para distintos tipos de suelo, o pueden ser estimados a partir de las caracterısticasgeologicas y de uso de los suelos, ası como de su contenido de agua inicial.

A partir de datos experimentales, el SCS propone la relacion

I 0 ≈ 0.2 · S (9.14)

de donde la formula queda en definitiva

P ef =(P − 0.2 · S )2

P + 0.8

·S

mm si P ≥ 0.2 · S

0 si P < 0.2 · S

(9.15)

lo que permite estimar la precipitacion efectiva o escorrentıa directa solo en funcion de la precipitacion total

de la tormenta y del Numero de curva de la cuenca.

El metodo es valido nuevamente solo para cuencas homogeneas, en que el valor de S es unico.

En la realidad, difıcilmente existiran cuencas que sean totalmente homogeneas y mas aun en el caso de

cuencas semi urbanizadas, existiendo en consecuencia diferentes sectores con distinto valor de Curva Numero.




En dichos casos se ha propuesto el uso de una Curva N umero promedio evaluada como el promedio ponderado

de los distintos valores sectoriales de la Curva Numero, es decir,

CN = Ai · CN i

AT

(9.16)

donde Ai y C N i son el tamano de cada subsector y su correspondiente Curva Numero, y AT es el area total

de la cuenca.

El inconveniente de dicho criterio es que la formula generara escorrentıa nula mientras la magnitud de

la precipitacion no supere el valor de I 0 = 0.2 · S correspondiente al valor promedio de la curva numero,

mientras que en la realidad, supuesta la validez del metodo, los subsectores con curva numero mayor al

promedio si estaran generando escorrentıa. Lo anterior le resta aplicabilidad al metodo en zonas aridas o

cuando se evaluen crecidas de bajo perıodo de retorno.

Por definicion de promedio, la precipitacion efectiva promedio se estima por la expresion,

P ef = 1

AT

AT

QdA (9.17)

y reemplazando las ecuaciones (9.13) y (9.15) en (9.17), resulta

P ef = 1

AT

AT

P − 5.08 · 1000

CN − 10

2P + 20.32 · 1000

CN − 10

dA (9.18)

Esta ultima expresion serıa integrable, si se conociera la funcion de distribucion de C N dentro de la cuenca.

Difıcilmente en la realidad esta distribucion sera conocida y lo mas probable es que solo se puedan identi-

ficar sectores de la cuenca con distintos valores de su Curva Numero. En estos casos, la determinacion de la

Curva Numero equivalente deberıa efectuarse, no ponderando las distintas curvas para obtener su promedio,

sino estableciendo la Curva Numero equivalente a la precipitacion efectiva promedio, mediante una integra-

cion numerica, como se explica en el siguiente ejemplo.

Estimacion de la Curva Numero Equivalente

Como ejemplo se considera una cuenca hipotetica, con un 2 % de superficie impermeable, sea una C N = 98,

de acuerdo a las recomendaciones del Manual de Carreteras; un 10 % de suelos montanosos con rocas sin

vegetacion, sea CN = 90; un 5 % de conos de deyeccion con escasa vegetacion, sea CN = 72; un 35% de

suelos limo arcillosos cubiertos de bosques, sea CN = 76; y un 48 % de praderas en suelos limosos, sea

CN = 60; resultando una Curva Numero promedio CN = 69.96. En la Tabla 9.2 se incluye en la primera

columna el porcentaje de area correspondiente a cada suelo con su respectiva C N que se indica en la segunda

columna. En las dos columnas siguientes, los valores de S e I 0 que se obtienen con las ecuaciones 9.13 y

9.14. En las columnas siguientes, para distintos valores de la precipitacion total se indica la precipitacion

efectiva que resulta para cada tipo de suelo, ası como su valor promedio ponderado por cada porcentaje de




area. Las dos ultimas lıneas muestran la infiltracion inicial equivalente I 0 y la Curva Numero equivalente a

dicha infiltracion inicial. La Figura 9.1 muestra la variabilidad de la Curva Numero equivalente en funcion

de la magnitud de la precipitacion. Para precipitaciones muy bajas la Curva Numero equivalente, tiende

a ser la maxima, CN = 98, el valor de la Curva Numero promedio se alcanza en este ejemplo, para una

precipitacion del orden de 225 [mm] y para precipitaciones mayores la curva n umero equivalente tiende a un

valor ligeramente menor al promedio.

Este comportamiento parece estar en mucha mejor concordancia con el comportamiento real de cuencas

heterogeneas, en que el uso de la curva promedio parece adecuado solo para precipitaciones de gran magnitud,

subestimandose la magnitud de las crecidas, al utilizarse para precipitaciones bajas.

Es importante senalar por ultimo, que el procedimiento antes descrito supone que cada una de los sectores de

la cuenca se comporta en forma independiente o en paralelo, situaci on no necesariamente valida en cuencas

reales, donde escorrentıa proveniente de zonas mas impermeables puede infiltrarse en zonas mas bajas de

mayor permeabilidad. Esta consideracion implica que la variabilidad real de la Curva Numero equivalente

de una cuenca especıfica en funcion de la precipitacion, solo podra determinarse empıricamente para cadacuenca en particular.

Tabla 9.2: Curva Numero equivalente en funcion de la precipitacion

Precipitacion [mm] 1.04 10 25 50 75 100 125 150 200 250 300

% Area CN S [mm] I 0 [mm] P ef [mm]

48 60 169.33 33.87 0 0 0 1.4 8.04 18.6 31.89 47.25 82.27 121.2 162.7

35 76 80.21 16.04 0 0 0.9 10.1 25 42.9 62.76 83.79 128.1 174.2 221.4

5 72 98.78 19.76 0 0 0.26 7.09 19.8 36 54.29 74.07 116.4 161.1 207.2

10 90 28.22 5.64 0 0.58 7.87 27.1 49.3 72.6 96.53 120.8 169.7 219.1 268.6

2 98 5.18 1.04 0 5.68 19.7 44.3 69.1 94 119 144 193.9 243.9 293.9

100 69.96 P ef [mm] 0 0.17 1.51 8.16 19.9 34.9 52.02 70.66 111 154 198.7

I 0,eq [mm] 1.04 7.39 14 18.3 19.7 20.4 20.87 21.2 21.65 21.94 22.15

CN eq 98 87.3 78.5 73.5 72.1 71.4 70.88 70.56 70.12 69.84 69.64

Figura 9.1: Variacion de CN en funcion de la precipitacion.




A partir del analisis del comportamiento real de cuencas chilenas, Saavedra (2003) estima la variacion de

la Curva Numero en funcion de la precipitacion y como alternativa propone utilizar el metodo de la Curva

Numero en cuencas reales, manteniendo constante el valor de la Curva, pero incorporando su variabilidad

producto de su heterogeneidad a traves del valor de la Infiltracion inicial I 0.

Para precipitaciones mayores a un monto cercano a los 100 mm, la cuenca se comporta como cuenca

homogenea con un valor de I 0 constante dado por la relacion,

I 0 = 0.23 · S si P > 100 [mm] (9.19)

Para precipitaciones menores, I 0 serıa aproximadamente linealmente variable con P , a traves de la relacion

I 0 = 2.3 · 10−3 · P · S si P < 100 [mm] (9.20)

La relacion propuesta serıa aplicable al norte de la cuenca del rıo Maule.

9.1.7. Condiciones Antecedentes de Humedad

Como se menciono anteriormente, el valor de la Curva Numero puede estimarse en funcion de tablas elabo-

radas para diversos tipos de complejos Suelo-Vegetacion (tipos de suelo y usos de estos). Estas tablas, sin

embargo, estan definidas para condiciones antecedentes de humedad calificadas por el SCS como “normales“

o condicion II. Para otras condiciones de humedad antecedente, el numero de la curva debe modificarse, a

partir de sus condiciones normales, en base a tablas o a las siguientes relaciones: ( Ven Te Chow , 1994)

CN (I ) = 4.2 · CN (II )10 − 0.058 · CN (II )

(9.21)

Para condiciones antecedentes de humedad secas (I), y

CN (II I ) = 23 · CN (II )

10 + 0.13 · CN (II ) (9.22)

Para condiciones antecedentes humedas (III).

Las condiciones antecedentes de humedad, se clasifican en tres grupos en base a la lluvia antecedente total

de 5 dıas:

Tabla 9.3: Condiciones antecedentes de humedad.

Lluvia antecedente total en 5 dıas (mm)

Grupo Tipo Estacion inactiva Estacion de Crecimiento

I Seca Menor a 12.7 Menor a 35.6

II Normal 12.7 a 28 35.6 a 53.5

III Humeda Sobre 28 Sobre 53.5




Barrientos (2001) analizo estadısticamente las condiciones antecedentes de humedad en tormentas chilenas,

considerando 63 estaciones pluviometricas entre las latitudes 30 y 42º S tanto para la estacion inactiva (mayo-

agosto) como para la estacion de crecimiento (septiembre-abril). El analisis se efectuo tanto para el total de

las lluvias diarias como para las precipitaciones maximas anuales en 24, 48 y 72 horas. Parte de los resultados

se presentan en las siguientes Tablas 9.4 a 9.5 y las Figuras 9.2 a 9.5.

Tabla 9.4: Frecuencias relativas promedio por cuenca de las CAH de las precipitaciones diarias.

N° CUENCA REGI ON REGIMEN

PROM. D.E. PROM. D.E. PROM. D.E. PROM. D.E. PROM. D.E. PROM. D.E.

1 ELQUI IV P-N 73.3% - 11.1% - 15.6% - 98.4% - 0.0% - 1.6% -

2 LIMARI IV P-N 66.6% 5.1% 12.8% 1.1% 20.6% 5.2% 97.1% 0.9% 0.9% 1.1% 2.0% 1.2%

3 CHOAPA IV P-N 63.3% 2.6% 14.3% 2.0% 22.4% 3.8% 96.8% 2.1% 1.9% 1.5% 1.2% 1.2%

4 QUILIMARI IV P 58.2% 2.8% 14.7% 1.2% 27.1% 2.6% 94.3% 3.0% 3.9% 2.8% 1.8% 1.7%

5 PETORCA V P 68.3% 2.8% 16.9% 2.9% 14.8% 0.1% 97.8% 0.6% 2.0% 0.3% 0.3% 0.4%

6 ACONCAGUA V N-P 56.3% 3.9% 16.4% 2.6% 27.2% 5.8% 96.3% 1.5% 1.8% 0.6% 1.9% 0.9%

7 MAIPO RM N-P 40.7% 4.1% 15.1% 0.8% 44.3% 3.2% 82.6% 4.6% 5.5% 2.2% 12.0% 2.3%

8 RAPEL VI P-N 40.5% 2.9% 14.1% 2.2% 45.4% 5.0% 86.5% 5.9% 6.1% 0.5% 7.4% 5.4%

9 MATAQUITO VII P-N 37.2% 4.9% 13.4% 3.2% 49.4% 8.0% 79.6% 8.9% 6.8% 0.5% 13.5% 9.1%

10 MAULE VII P-N 32.7% 5.8% 12.5% 3.0% 54.8% 8.2% 78.4% 7.5% 7.9% 1.7% 13.6% 6.8%

11 ITATA VIII P-N 22.3% - 10.7% - 67.0% - 71.0% - 10.3% - 18.7% -

12 IMPERIAL IX P-N 28.0% 2.1% 23.3% 0.9% 48.7% 1.3% 87.3% 2.2% 7.7% 1.7% 5.0% 0.4%

13 TOLTEN IX P-N 15.5% - 14.5% - 70.0% - 70.4% - 12.4% - 17.2% -

14 PUERTO MONTT X P 17.4% - 21.6% - 61.0% - 73.5% - 14.8% - 11.7% -

III (>28)II (12.7-28)I (<12.7mm)

ESTACION INACTIVA

M AYO-AGOSTO

Pdiarias-serie completa

ESTACION CRECIMIENTO

SEPTIEMBRE-ABRIL

III (>53.5)I (<35.6mm) II (35.6-53.5)

D.E.: Desviacion estandar de la muestra.

0%

10 %

20 %

30 %

40 %

50 %

60 %

70 %

80 %

90 %

1 0 0 %

E L Q

U I

L I M A R I

C H O A P A

Q U I L I M

A R I

P E T

O R C A

A C O N C A G U A

M A I P

O

R A P E

L

M A T A

Q U I T O

M A U L E

I T A T

A

I M P E

R I A L

T O L T E N

P U E R T O

M O N T T

CUENCAS

F R E C U E N C I A

R E L A T I V A

I ( <1 2 .7 m m ) I I ( 12 .7 -2 8 ) I II ( >2 8 )

Figura 9.2: Frecuencias relativas promedio por cuenca de las CAH de las precipitaciones diarias, estaci on

inactiva (Mayo-Agosto).




0%

10 %

20 %

30 %

40 %

50 %

60 %

70 %

80 %

90 %

1 0 0 %

E L Q U I

L I M A R I

C H O A P A

Q U I L I M

A R I

P E T O

R C A

A C O N C A G U A

M A I P O

R A P E L

M A T

A Q U I T O

M A U L E

I T A T

A

I M P E

R I A L

T O L T E N

P U E R T O

M O N T T

CUENCAS

F R E C U E N C I A

R E L A

T I V A

I ( <3 5.6 mm ) II ( 35 .6 -5 3. 5) III ( >5 3. 5)

Figura 9.3: Frecuencias relativas promedio por cuenca de las CAH de las precipitaciones diarias, estaci on

crecimiento (Septiembre-Abril).

Tabla 9.5: Frecuencias relativas promedio por cuenca de las CAH de las precipitaciones maximas anuales

en 24 hrs.

N° CUENCA REGION REGIMEN

PROM. D.E. PROM. D.E. PROM. D.E. PROM. D.E. PROM. D.E. PROM. D.E.

1 ELQUI IV P-N 66.7% - 18.2% - 15.2% - 100.0% - 0.0% - 0.0% -

2 LIMARI IV P-N 72.1% 11.6% 14.2% 5.6% 13.7% 10.2% 99.4% 1.4% 0.0% 0.0% 0.6% 1.4%

3 CHOAPA IV P-N 65.7% 10.3% 14.6% 8.0% 19.7% 11.9% 98.4% 2.4% 1.3% 1.9% 0.3% 1.0%

4 QUILIMARI IV P 64.4% 11.1% 3.4% 4.3% 32.2% 11.0% 99.3% 1.9% 0.7% 1.9% 0.0% 0.0%

5 PETORCA V P 65.6% 3.9% 20.5% 0.7% 13.8% 4.7% 98.4% 2.2% 1.6% 2.2% 0.0% 0.0%

6 ACONCAGUA V N-P 41.9% 5.5% 18.1% 5.3% 40.0% 10.8% 97.8% 3.8% 0.0% 0.0% 2.2% 3.8%

7 MAIPO RM N-P 13.9% 2.0% 10.1% 3.4% 76.0% 1.4% 92.3% 10.9% 0.0% 0.0% 7.7% 10.9%

8 RAPEL VI P-N 19.1% 2.9% 9.1% 5.2% 71.8% 7.0% 88.2% 2.2% 8.6% 3.4% 3.2% 5.5%

9 MATAQUITO VII P-N 30.5% 11.6% 23.4% 15.6% 46.0% 19.7% 88.2% 14.4% 4.9% 5.7% 6.9% 9.7%

10 MAULE VII P-N 27.2% 9.2% 9.8% 9.1% 63.1% 16.9% 76.7% 13.9% 6.1% 2.6% 17.2% 12.4%

11 ITATA VIII P-N 16.7% - 0.0% - 83.3% - 63.3% - 13.3% - 23.3% -

12 IMPERIAL IX P-N 26.7% 13.7% 25.8% 9.3% 47.4% 20.7% 91.4% 2.9% 5.7% 1.4% 2.9% 2.6%

13 TOLTEN IX P-N 14.7% - 11.8% - 73.5% - 55.9% - 17.6% - 26.5% -

14 PUERTO MONTT X P 9.5% - 14.3% - 76.2% - 81.0% - 9.5% - 9.5% -

SEPTIEMBRE-ABRIL

III (>53.5)I (<35.6mm) II(35.6-53.5)

PMAXANUAL 24hrs

I (<12.7mm) II (12.7-28) III (>28)

ESTACIONCRECIMIENTOESTACION INACTIVA

M AYO-AGOSTO

D.E.: Desviacion estandar de la muestra.




0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

E L Q U I

L I M A R I

C H O A P

A

Q U I L I M

A R I

P E T O

R C A

A C O N C A

G U A

M A I P O

R A P E

L

M A T A Q U I T O

M A U L E

I T A T

A

I M P E

R I A L

T O L T E N

P U E R

T O M O N T T

CUENCAS

F R E C U E N C I A

R E L A T

I V A

I ( <12 .7 mm ) II ( 12 .7 -2 8) III (> 28 )

Figura 9.4: Frecuencias relativas promedio por cuenca de las CAH de las precipitaciones m aximas anuales

en 24 hrs., estacion inactiva.

.

0%

10 %

20 %

30 %

40 %

50 %

60 %

70 %

80 %

90 %

100%

E L Q

U I

L I M A R I

C H O A P A

Q U I L I M

A R I

P E T O R C A

A C O N C A G U A

M A I P O

R A P E L

M A T

A Q U I T O

M A U L E

I T A T A

I M P E R I A L

T O L T E N

P U E R T O

M O N T T

CUENCAS

F R E C U E N C I A

R

E L A T I V A

I ( <3 5. 6m m ) I I ( 35 .6 -5 3. 5) I II ( >5 3. 5)

Figura 9.5: Frecuencias relativas promedio por cuenca de las CAH de las precipitaciones m aximas anuales

en 24 hrs., estacion crecimiento.

Es interesante destacar de los resultados que indican las tablas y graficos, que la condicion calificada como

normal por el metodo (Condicion II) es lejos la menos frecuente practicamente en toda la region analizada.

En el caso de las precipitaciones diarias (Figuras 9.2, 9.3 y Tabla 9.4), incluso en invierno, desde la cuenca

de Aconcagua al norte predominan claramente las condiciones antecedentes secas. Entre Maipo y Mataquito




hay un equilibrio predominante entre condiciones secas y humedas, manteniendose en forma minoritaria la

condicion “normal”. De Maule al sur, la condicion antecedente predominante, es condicion humeda.

En la estacion de crecimiento, perıodo Septiembre-Abril, la condicion predominante en toda la region,

desde Elqui hasta Puerto Montt, es la condicion seca.

El problema del analisis de lluvias diarias es la falta de independencia entre los eventos, ya que dos o m as

dıas pueden corresponder a una misma tormenta.

En el caso de las precipitaciones maximas diarias anuales (Figuras 9.4, 9.5 y Tabla 9.5), la condicion

predominante en invierno, es la condicion antecedente seca desde la cuenca de Petorca al norte. En la cuenca

de Aconcagua hay un equilibrio predominante entre condiciones secas y humedas, manteniendose en forma

minoritaria la condicion “normal”, presentandose como condicion antecedente predominante, la condicion

humeda desde Rapel al sur.

En la estacion de crecimiento, perıodo Septiembre-Abril, se mantiene como condicion predominante en

toda la region, desde Elqui hasta Puerto Montt, la condicion seca.La alternancia entre condiciones secas y humedas introduce una complicacion a la estimacion probabilıstica

de crecidas mediante relaciones precipitacion-escorrentıa, ya que la magnitud de la crecida pasa a ser una

funcion bivariada entre la magnitud de la precipitacion y las condiciones antecedentes de humedad. Este

problema ha sido tratado por Barrientos (2001).

El analisis de lluvias diarias no resuelve totalmente el problema de falta de independencia, puesto que esta

no representa necesariamente la precipitacion maxima en 24 horas, ya que la tormenta puede distribuirse

cronologicamente entre dos dıas calendario, estimandose que estadısticamente la lluvia maxima en 24 horas

es estadısticamente del orden de un 6 % mayor que la lluvia maxima diaria.

9.2. Estimacion del Flujo Base

Como se menciono en acapites anteriores, cuando se pretende analizar o reproducir crecidas, o caudales

a escala horaria o instantanea, deben intentarse relaciones entre la precipitacion efectiva y la escorrentıa

directa. Para evaluar la escorrentıa directa debe descontarse o restarse a la escorrentıa total, aquella fraccion

mas o menos constante, que constituye el flujo base o caudal existente en el rıo antes del comienzo de una

determinada tormenta.

Diversos procedimientos simplificados se han propuesto para la separacion de hidrogramas de crecida o

determinacion del flujo base. Un criterio consiste en extrapolar el hidrograma existente antes de la tormentacomo si esta no hubiese ocurrido, hasta llegar al tiempo en que se produce el caudal m aximo de la crecida,

punto a partir del cual se empalma la curva de flujo base mediante una recta que alcanza a la curva de

recesion del hidrograma de crecida N dıas despues del instante del caudal maximo. Para el valor de N se ha

propuesto la expresion

N = 0.83 · A0.2 [dıas] (9.23)



9.2. Estimacion del Flujo Base 211

donde A es el area de la cuenca en [km2].

El procedimiento se ilustra en la Figura 9.6

Tiempo

C a u d a l

0 20 40 60 80

3500

3000

2500

2000

1500

500

1000

0

N

Figura 9.6: Separacion de hidrogramas de crecida

Otra alternativa es postular que la curva de recesion de la crecida obedece a un decaimiento exponencial del

tipo

Q(t) = Qmax · e−k·t (9.24)

donde k es la constante de decaimiento. Graficando a escala semilogarıtmica la expresion anterior, resulta

ln (Q(t)) = ln(Qmax) − k · t (9.25)

Es decir, la ecuacion de una recta con constante de regresion “−k”. Si al graficar la curva se observa un

quiebre, o en otras palabras, un cambio en la magnitud de la constante inicial k1, como se ilustra en el instante

t = 19 de la Figura 9.7, se interpreta el instante del quiebre como el punto donde cesa la escorrentıa directa y

continua solo la recesion del flujo base. Si se observan dos quiebres en vez de uno, el tramo intermedio suele

asociarse al aporte del flujo intermedio rapido.

En estos casos, a partir de la constante k2 correspondiente al flujo base, se extrapola hacia atras este flujo,

hasta llegar al punto de inflexion de la crecida total, que da inicio a la curva de recesi on. Desde este puntose una mediante una recta o curva suave, hasta empalmar con el inicio de la crecida.

Por ultimo, cualquier trazado a criterio que empalme el inicio de la crecida con la curva de recesion

separando el hidrograma total en escorrentıa directa y flujo base es igualmente admisible, ya que en las

grandes crecidas, la componente escorrentıa directa es mucho mayor que la componente flujo base, por lo

que los errores que se cometan en su separacion son poco significativos respecto a la componente escorrentıa

directa.




8.2

8.1

8.0

7.9

7.8

7.7

7.6

7.5

7.4

7.3

7.2

7.1

Figura 9.7: Punto de separacion de escorrentıa directa y flujo base.

Es importante recordar que el volumen de escorrentıa directa debe ser igual al volumen de precipitacion

efectiva, es decir, debe cumplirse la relacion

t

Qeddt = P ef · A (9.26)

donde P ef es la magnitud de la precipitacion efectiva y A es el area de la cuenca. La importancia de

respetar la ecuacion anterior, es que representa la ecuacion de continuidad.

9.3. Hidrogramas Unitarios

Conocido el hietograma de precipitacion efectiva de una tormenta, para su transformacion a escorrentıa

directa o hidrograma de escorrentıa directa, el procedimiento mas utilizado consiste en recurrir al concepto

de funcion de transferencia del analisis de sistemas lineales, que en su aplicacion a la hidrologıa toma el

nombre de Metodo del Hidrograma Unitario.

Se define el hidrograma unitario de una cuenca como el hidrograma de escorrentıa directa provocado por

una lluvia de duracion efectiva T , y de intensidad efectiva constante ief = 1/T , tal que la precipitacion

efectiva total P ef = ief · T sea unitaria, digamos 1 mm.

Si este hidrograma unitario HU (T, t) fuese conocido, de acuerdo a las leyes de los sistemas lineales, la

magnitud de la crecida provocada por una tormenta cualquiera de magnitud efectiva P ef , sera,

Q(t) = P ef · HU (T, t) (9.27)

es decir, se amplifican las ordenadas del hidrograma unitario, por la magnitud P de la tormenta efectiva.



9.3. Hidrogramas Unitarios 213

La estimacion del hidrograma unitario de una cuenca puede realizarse en base a tormentas hist oricas

registradas, o puede recurrirse al concepto de “hidrograma unitario sintetico”, que permite estimarlo a

partir de informacion morfologica de la cuenca, disponiendo solo de un plano topografico de ella.

9.3.1. Obtencion del Hidrograma Unitario a partir de Lluvias de Intensidad Constante

Si se dispone de informacion concurrente de hidrogramas de crecidas y de hietogramas de las tormentas que

los produjeron, es posible proceder de la siguiente manera:

(i) Se seleccionan tormentas historicas que cumplan con la hipotesis del metodo, es decir, que tengan una

intensidad constante en un tiempo de duracion T . Para ello resultan adecuadas tormentas de corta

duracion y gran intensidad.

(ii) A partir del hidrograma total, se le resta el flujo base segun alguno de los criterios antes vistos, obte-

niendose el hidrograma de escorrentıa directa Q (t).

(iii) En base a la ecuacion 9.26, evaluando el volumen de escorrentıa directa y conocida el area de la cuenca

se obtiene la magnitud de la precipitacion efectiva P ef y su intensidad efectiva.

ief = P ef

T (9.28)

(iv) Por ultimo, de la definicion de Hidrograma Unitario, ecuacion 9.27, se obtienen las ordenadas de este

dividiendo las ordenadas del hidrograma de escorrentıa directa por la magnitud de la precipitacion

efectiva

HU (T, t) = Q(t)

P ef (9.29)

Por las hipotesis del metodo, se postula que el sistema es invariante en el tiempo, es decir, dos tor-

mentas identicas produciran dos crecidas identicas; ademas, el tiempo base o tiempo de duracion de la

escorrentıa directa debiera ser el mismo para dos tormentas de la misma duracion efectiva T .

Estas idealizaciones no tienen por que cumplirse con exactitud en cuencas reales, por lo que es conve-

niente estimar el hidrograma unitario en base a dos o mas tormentas de aproximadamente la misma

duracion efectiva T , y adoptar un hidrograma representativo promedio entre los distintos resultados

obtenidos.

Al respecto, no es conveniente estimar el hidrograma promedio por la vıa de promediar las ordenadas

de los distintos resultados, ya que esto distorsiona la forma resultante del hidrograma.

En relacion a la Figura 9.8, el procedimiento recomendado para el calculo del hidrograma promedio es

el siguiente:

En una cuenca de 52 [km2] se obtuvieron tres estimaciones del H U correspondiente a tormentas de 4

horas de duracion. En base a los distintos resultados, se calculan los promedios del tiempo de duracion




0 10 20 30 40 50 60

3.0

2.5

2.0

1.5

1.0

0.5

0

3

C a u d a l [ m

/ s m m ]

Tiempo [hr]

Figura 9.8: Fabricacion de Hidrograma Unitario promedio

de la escorrentıa directa o tiempos base tB ; analogamente se calculan los promedios de los tiempos

hasta alcanzar el maximo, o tiempo al pico t p, y la magnitud del caudal maximo promedio Q p.

Se imponen estos valores promedios como validos para el hidrograma unitario promedio representativo,

(indicados en la Figura 9.8), y las ordenadas correspondientes a otros instantes de tiempo se obtienen a

criterio, tratando de reproducir en la mejor forma posible la distribuci on temporal de los hidrogramas

individuales, recordando en todo momento que el area bajo la curva del hidrograma o volumen de

escorrentıa directa debe ser unitario. Expresados los caudales como gastos especıficos, es decir, comocaudales por unidad de area de la cuenca, el volumen bajo la curva del hidrograma representativo

debera valer

V =

tB0

HU (T, t)

A dt = 1 [mm] (9.30)

Se incluye en la Figura 9.8 el H U que hubiese resultado en base al promedio aritmetico de las ordenadas

de los tres resultados, observandose que resulta un caudal maximo menor que cada uno de los tres H U

individuales, subestimando el caudal maximo, lo que ilustra la inconveniencia de ese criterio.

9.3.2. Hidrogramas Unitarios para Otras Duraciones

En el caso anterior, el analisis debe hacerse para tormentas de aproximadamente la misma duracion T

y el Hidrograma Unitario que se obtiene, HU (T, t), es valido solo para tormentas de dicha duracion. En

estricto rigor, si se desease calcular el H U para otras duraciones, debiera repetirse el procedimiento utilizando

tormentas de la duracion deseada.




Sin embargo, considerando que el metodo postula que la cuenca se comporta como un sistema lineal, es

posible aprovechar el principio de superposicion de soluciones de los sistemas lineales.

En efecto, si se dispone del HU para una duracion T correspondiente a una lluvia de dicha duracion, si

ocurre una lluvia de duracion 2T , esta puede interpretarse como la sucesion inmediata de dos tormentas

identicas de duracion T , cada una de las cuales producira la misma crecida, solo que desfasadas en el tiempo

en la magnitud T . Luego, las ordenadas de la crecida generada por la tormenta total correspondera a la suma

de las ordenas del H.U. de cada una de las tormentas, desfasadas en T unidades de tiempo. Como cada una

de las tormentas era unitaria, la magnitud de la tormenta total sera de P = 2 [mm], por lo que para llevarla

a una magnitud unitaria, las ordenadas de la crecida total resultante deberan dividirse por dos.

Con esto, el H.U (2T, t), correspondiente a una lluvia de duracion 2T , quedara dado por la relacion

HU (2T, t) = HU (T, t) + HU (T, t − T )

2 (9.31)

Es facil visualizar que el raciocinio anterior puede generalizarse para tormentas de duracion n · T , donde n

es un multiplo entero de la duracion base:

HU (n · T, t) = HU (T, t) + HU (T, t − T ) + ... + HU (T, t − (n − 1) · T )

n (9.32)

La ecuacion anterior permite, en consecuencia, estimar los HU de cualquier tormenta cuya duracion sea

un multiplo entero de la duracion de la tormenta base.

9.3.3. Hidrograma en S

Si se desea evaluar el H U de una duracion cualquiera, conocido el H U de una duracion base, puede recurrirse

al concepto de Hidrograma en S.

Se define el Hidrograma en S, como el hidrograma de escorrentıa directa generado por una lluvia de

intensidad efectiva constante unitaria (ief = 1 [mm/hr]) y de duraci on indefinida. Luego, si sumamos un

numero indefinido de HU de duracion T , el resultado sera el hidrograma de crecida correspondiente a una

lluvia indefinida de intensidad ief = 1/T , y el Hidrograma en S, que corresponde a una lluvia indefinida de

intensidad ief = 1 [mm/hr], correspondera al hidrograma anterior amplificado por T . Luego,

S (t) = T [HU (T, t) + HU (T, t−

T ) + ... + HU (T, t−

k·

T ) + ...] (9.33)

En la practica, cuando la cuenca tienda a alcanzar una situaci on de equilibrio, el Hidrograma en S tendera a

un valor de equilibrio constante, como se indica en la Figura 9.9, tomando la forma que da origen a su nombre.

Luego, bastara sumar solo “k“ hidrogramas, donde




k = tB

T (9.34)

siendo tB el tiempo base del H U original.

Tiempo [hr]

C a u d a l a c u m u l a d o

Figura 9.9: Hidrograma en S

Suele ocurrir que el hidrograma en S no se estabilice, sino que presente ondulaciones finales en forma

indefinida. Esto se debe al no cumplimiento en la realidad, de las hip otesis del metodo; si las ondulaciones

son menores, pueden ignorarse tomando un valor promedio final constante. Si las oscilaciones resultan deimportancia, normalmente revela la existencia de un error en la estimacion de la duracion T de la tormenta

original.

Conocido en definitiva el Hidrograma en S, el H U de una tormenta de duracion cualquiera τ , podra esti-

marse restando al Hidrograma S(t) el mismo hidrograma desfasado en la magnitud τ .

La tormenta restante, dado que la intensidad de la lluvia que genera el Hidrograma es S es unitaria, ser a de

magnitud P ef = τ , por lo que el H.U. de cualquier duracion τ , vendra dado por la relacion

HU (τ, t) = S (t) − S (t − τ )

τ (9.35)

9.3.4. Estimacion de Hidrogramas Unitarios a partir de Tormentas de Intensidad Va-

riable

Si solo se dispone de registros de tormentas cuya intensidad efectiva es sensiblemente variable, siempre

sera posible representar su hietograma en forma discreta adoptando para distintos intervalos ∆t, la intensidad

efectiva media ocurrida en cada intervalo, como se indica en la Figura 9.10




Figura 9.10: Hietograma discretizado

Cada intervalo j tendra su intensidad efectiva media ief,j y duracion ∆t, por lo que la precipitacion efectiva

en el intervalo sera P ef,j = ief,j∆t.

Cada intervalo de lluvia j provocara un hidrograma de escorrentıa directa cuyas ordenadas quedan dadas

por la expresion

Qk = P ef,j · uk (9.36)

donde se ha adoptado la notacion simplificada para el H U de duracion ∆t,

uk = H U (∆t, k · ∆t) (9.37)

Aplicando el principio de superposicion de soluciones, el hidrograma de escorrentıa directa de la tormenta

total resultara de la suma de los hidrogramas parciales de cada intervalo de precipitacion, sumados con el

desfase correspondiente.

Ası, se tendra, si la lluvia tiene una duracion T = m · ∆t y el H U tiene un tiempo base tB = n · ∆t, donde

normalmente n > m,




Q(0) = 0

Q(1) = P ef,1 · u1

Q(2) = P ef,2

·u1 + P ef,1

·u2

Q(3) = P ef,3 · u1 + P ef,2 · u2 + P ef,1 · u3

...

Q(k) = P ef,k · u1 + P ef,k−1 · u2 + ... + P ef,1 · uk

...

Q(m) = P ef,m · u1 + P ef,m−1 · u2 + ... + P ef,2 · um−1 + P ef,1 · um

Q(m + 1) = 0 + P ef,m · u2 + ... + ... + ... + ... + P ef,2 · um + P ef,1 · um+1

...

Q(n) = 0 + 0 + 0 + ... + P ef,m · un−m+1 + P ef,m−1 · un−m+2 + ... + P ef,1 · un

Q(n + 1) = 0 + 0 + 0 + 0 + ... + P ef,m+1 · un−m+1 + ... + ... + ... + P ef,2 · un

...

Q(n + m + 1) = 0 + 0 + 0 + ... + 0 + 0 + ... + 0 + 0 + 0 + ... + 0 + P ef,m · un

(9.38)

En general, el caudal de crecida en un instante k , viene dado por

Qk =ki=1

P ef,k−i+1 · ui (9.39)

El sistema de ecuaciones anterior se puede expresar matricialmente como

[Q] = [P ef ] · [u] (9.40)

donde [Q] es el vector de dimension (m + n + 1) correspondiente a las ordenadas de la crecida real, en

este caso conocida, [u] es el vector de dimension n correspondiente a las ordenadas del HU (∆T, t), en este

caso la incognita, y [P ef ] es la matriz de precipitaciones de dimension (m + n + 1) · n correspondiente a las

precipitaciones con la estructura bandeada




P ef =

0 · · · · · · 0 · · · · · · 0 · · · · · · 0

P ef,1 0 · · · · · · 0 · · · 0 · · · · · · 0

P ef,2 P ef,1 0 · · · · · · 0 · · · 0 · · · 0

P ef,3 P ef,2 P ef,1 0 · · · 0 · · · 0 · · · 0...

......

......

......

......

...

P ef,m P ef,m−1 P ef,m−2 . . . . . . P 1 0 . . . . . . 0

0 P ef,m P ef,m−1 P ef,m−2 . . . . . . P 1 0 . . . 0...

......

......

......

......

...

0 · · · · · · 0 · · · 0 · · · · · · P ef,m P ef,m−1

0 · · · · · · 0 · · · 0 · · · · · · 0 P ef,m

Como [P ef ] no es una matriz cuadrada, para la solucion del sistema debe premultiplicarse por la traspuesta

de [P ef ], que equivale a minimizar errores por el metodo de mınimos cuadrados, quedando

[P ef ]T [Q] = [P ef ]

T [P ef ][u] (9.41)

lo que permite determinar [u] premultiplicando por la inversa de [P ef ]T [P ef ], de forma que

[u] =

[P ef ]T [P ef ]

−1[P ef ]

T [Q] (9.42)

9.3.5. Hidrograma Unitario Instantaneo

Se vio en el acapite anterior, que el caudal de crecida en un instante k , donde k corresponde en el tiempo alinstante t = k · ∆t, siendo ∆t el intervalo en que se ha discretizado el hietograma de la tormenta, viene dado

por la ecuacion

Qk =kj=1

uj · P ef,k−j+1

Volviendo a la notacion original, esta ecuacion se transforma en

Q(k∆t) =

k

j=1

HU (∆t, j∆t)

·P ef ((k

− j + 1)∆t) (9.43)

o de forma equivalente

Q(t) =kj=1

HU (∆t, τ ) · P ef (t − τ + ∆t) (9.44)

donde τ = j · ∆t. Recordando que P ef = i · ∆t




Q(t) =kj=1

HU (∆t, τ ) · i(t − τ + ∆t)∆t (9.45)

Si el intervalo de discretizacion se hace disminuir, en el lımite cundo ∆t→

0, la ecuacion anterior se transforma

en

Q(t) =

t0

HU I (τ ) · i(t − τ )dτ (9.46)

donde HUI es el hidrograma Unitario Instantaneo de la cuenca, es decir, el hidrograma de escorrentıa directa

producido por un pulso unitario de precipitacion de duracion infinitesimal y magnitud P = 1 mm. En la

ecuacion, τ es una variable muda de integracion.

La ecuacion anterior, en terminos matematicos corresponde a la integral de Duhamel o integral de convo-

lucion, para la cual se cumple, cambiando variables, la relaci on

Q(t) =

t0

HU I (τ ) · i(t − τ )dτ =

t0

HU I (t − τ ) · i(τ )dτ (9.47)

El concepto de hidrograma unitario instantaneo amplıa la aplicabilidad de metodos matematicos y el

desarrollo de modelos conceptuales para la definicion del hidrograma unitario de una cuenca.

9.3.6. Hidrograma Unitario de Nash

Entre los desarrollos conceptuales de hidrogramas unitarios destaca el HUI propuesto por Nash.

De acuerdo a la ecuacion de balance hidrologico, debe cumplirse la ecuacion de continuidad

I − Q = dV

dt (9.48)

Si se acepta que una cuenca se comporta como un embalse lineal, es decir, el caudal de salida Q es

proporcional al volumen embalsado V , de acuerdo a la relacion

V = k · Q (9.49)

donde k es la constante de tiempo del embalse, la ecuaci on de continuidad queda

I − Q = kdQ

dt (9.50)

Ahora, si el caudal de entrada I es un impulso unitario, I = 0 para todo tiempo t > 0. Luego,

−Q = kdQ

dt t > 0 (9.51)




Integrando entre 0 y t se llega a

Q(t) = Q0 · e−t/k (9.52)

Por otra parte, siendo I un impuso unitario, el volumen total de la crecida debera ser igual a V = A · 1,

donde A es el area de la cuenca aportante. Integrando,

Q0

∞0

e−t/kdt = Q0k = A

→ Q0 = A

k(9.53)

De lo anterior, resulta que el caudal especıfico q = Q/A resulta

q (t) = Q(t)

A =

1

ke−t/k (9.54)

Lo anterior nos dice que el HUI de una cuenca que se comporta como un embalse lineal, tiene la forma de

una distribucion exponencial.

Nash propuso que una cuenca real se comporta como una sucesi on de n embalses lineales o n embalses

lineales en cascada, donde la entrada de cada uno corresponde a la salida del anterior.

La salida del primer embalse corresponde a su HUI, luego, la ecuaci on de continuidad para el segundo

embalse queda representada por

1

ke−t/k − q 2(t) = k

dq 2dt

(9.55)

cuya solucion es

q 2(t) = 1

k2te−t/k (9.56)

Generalizando a n embalses se llega a

q n(t) = 1

kn

(n − 1)!

tn−1e−t/k (9.57)

Es decir, el HUI de una cuenca real corresponderıa a una distribucion Gamma 2, con parametros β = k y

α = n.

La crecida generada por un chubasco intenso de corta duraci on de magnitud efectiva P quedarıa dada por

Q(t) = P · A

kn(n − 1)!tn−1e−t/k (9.58)




Luego, de la funcion

q (t) = Q(t)

A (9.59)

que corresponde a una distribucion Gamma 2, a partir de su promedio en el tiempo y su desviaci on

standard, podrıan estimarse los parametros k y n de la cuenca.

9.3.7. Hidrogramas Unitarios Sinteticos

Los procedimientos de determinacion del Hidrograma Unitario de una cuenca, antes descritos, son bastante

laboriosos y muchas veces imposible de practicar por no existir registros simult aneos de informacion plu-

viografica e hidrografica.

Por el motivo anterior, se han desarrollado muchas investigaciones tratando de obtener H.U. en forma

sintetica, es decir, relacionando las principales variables del hidrograma con parametros geomorfologicos dela cuenca.

Para caracterizar adecuadamente un hidrograma unitario es necesario conocer las siguientes variables:

Tiempo base o tiempo total desde el inicio hasta el termino de la escorrentıa directa.

Tiempo al maximo o instante en que se produce el caudal maximo instantaneo.

Magnitud del caudal maximo.

Duracion de la lluvia efectiva que lo genera.

A lo anterior se agrega la condicion de que su volumen total debe ser unitario y que su forma debe mostrar

alguna semejanza con una distribucion gamma 2.

9.3.7.1. Hidrograma Unitario de Snyder

Snyder (1938) fue el primero en proponer expresiones analıticas para la generacion de H.U. sinteticos, pro-

poniendo relaciones del tipo:

Tiempo al maximo:

t p = C D(LL)0.3 [horas] (9.60)

Caudal maximo :

q p = C pA

t p[m3/s·mm] (9.61)

Tiempo base :

tB = 3

t p24

+ 3 [dıas] (9.62)




donde L es el largo total del cauce principal [km], L es la distancia desde el centro de masa de la cuenca

hasta la seccion de salida [km] y A es el area de la cuenca en [km2]. Para las constantes C D y C p propuso los

rangos:

1.35 < C D < 1.65

0.15 < C p < 0.19

obtenidos del analisis de crecidas en las montanas Rocallosas de los EE. UU.

Snyder desarrollo sus formulas utilizando tormentas cuya duracion efectiva cumplıa la relacion

tLL = t p5.5

(9.63)

Para tormentas de otras duraciones, dentro de un rango de variaci on moderado, Snyder propuso corregir el

valor de t p mediante la relacion,

t p = t p + tR − tLL

4 (9.64)

donde tR es la duracion real de la tormenta considerada.

Para estimar crecidas provocadas por tormentas de duraciones muy distintas a la que resulta de la aplica-

cion de la formula anterior, debe aprovecharse la propiedad de los sistemas lineales, en cuanto a la validez

del metodo de superposicion de soluciones.

Si bien conceptualmente el aporte de Snyder resulto importantısimo, su metodo presenta la desventaja ylimitacion de que al intentar utilizarlo en regiones distintas a la que origin o las formulas, se obtienen valores

de los coeficientes C D y C p que escapan bastante al rango de variacion sugerido por el autor, dependiendo

de las caracterısticas de cada cuenca en particular.

9.3.7.2. Hidrogramas Unitarios Tipo Linsley

Linsley senala que las limitaciones de las formulas de Snyder provienen de no haber considerado explıcitamente

la pendiente de las cuencas en la determinaci on del tiempo al maximo, proponiendo una relacion con la

estructura

t p = C D

L · L√

S

n(9.65)

donde S es la pendiente media de la cuenca evaluada mediante la f ormula de Mocciornita.

S =hL02 +n−1

i=1 Li + Ln2

A

(9.66)




donde,

h: Diferencia de alturas entre curvas de nivel.

L0: Longitud de la curva de nivel de menor cota en [m].

Li: Longitud de la curva de nivel intermedia i en [m].

Ln: Longitud de la curva de nivel de mayor cota en [m].A: Superficie de la cuenca en [m2].

9.3.8. Hidrogramas Unitarios sinteticos en Chile

Benitez y Arteaga (1986) estudiaron la determinacion de H U en Chile, proponiendo las siguientes expresiones:

Para la region Maipo Maule:

t p = 0.386L·L√ S 0.397

[hrs]

q p = 355 · t−1.22 p [lts/s· km2]

tB = 2.7 · t1.1 p [hrs]

Para la region Itata-Valdivia:

t p = 1.315

L · L√

S

0.241[hrs]

q p = 171.3 · t−0.829 p [lts/s· km2]

tB = 5.45 · t0.714 p [hrs]

La DGA (1995) actualizo los estudios de Benitez y Arteaga, incluyendo mas informacion, proponiendo las

siguientes expresiones:

IIIª a VIª Regiones

t p = 0.323L·L√ S

0.422[hrs]

q p = 144.141 · t−0.796 p [lts/s· km2]

tB = 5.377 · t0.805 p [hrs]

VIIª Region

t p = 0.584

L · L√ S

0.327[hrs]

q p = 522.514 · t−1.511 p [lts/s· km2]

tB = 1.822 · t1.412 p [hrs]



9.4. Formulas Empıricas 225

VIIIª a Xª Region

t p = 1.315

L · L√

S

0.237[hrs]

q p = 172.775 · t−0.835

p [lts/s· km

2

]tB = 5.428 · t0.717 p [hrs]

En todos los casos anteriores se mantiene, en forma mas o menos arbitraria, las relaciones de Snyder en

cuanto a la duracion de la lluvia que genera el hidrograma.

Para el perfilamiento del hidrograma se propone el siguiente hidrograma adimensional

Tabla 9.6: Hidrograma Adimensional

t/t p q/q p

0 00.3 0.2

0.5 0.4

0.6 0.6

0.75 0.8

1 1

1.3 0.8

1.5 0.6

1.8 0.4

2.3 0.2

2.7 0.1

El hidrograma adimensional anterior debe considerarse solo como referencial, ya que de mucho mayor

importancia resulta satisfacer la condicion de volumen unitario.

9.4. Formulas Empıricas

Para la estimacion en forma rapida del caudal maximo de una crecida se han propuesto en diversas partes

del mundo formulas empıricas, la mayorıa de las cuales tiene una estructura del tipo.

Q p = b · An (9.67)

donde el exponente n varıa segun distintos autores entre 0.5 < n < 0.9, mostrando el coeficiente b un fuerte

rango de variacion. Este tipo de formulas debe utilizarse con mucha precaucion, a menos que el coeficiente b

no se suponga constante, sino que incorpore al menos la intensidad de la lluvia que provoca la crecida.




9.4.1. Formulas tipo Burkli-Ziegler

Burkli y Ziegler proponen una formula con una estructura del tipo

Q p = k

S A

iA (9.68)

que al menos incorpora la pendiente de la cuenca S , la intensidad de la tormenta que provoca la crecida i,

siendo k un coeficiente dependiente de las condiciones de infiltraci on de la cuenca.

9.4.2. Formula Racional

Dentro del grupo anterior puede encontrarse la formula denominada Formula Racional, tal vez la formula

mas utilizada a nivel mundial para la estimacion rapida de caudales maximos de crecida en cuencas pequenas.

Diagrama Tiempo-´Area

Dada una cuenca especıfica, es conceptualmente posible establecer la ubicacion de las lıneas isocronas o l ıneas

de igual tiempo de viaje de una partıcula de agua desde su punto de precipitacion hasta la seccion de salida

de la misma. Calculando el area de la cuenca ubicada aguas abajo de cada lınea isocrona y graficando esta

en funcion del tiempo de viaje, se obtiene el denominado diagrama tiempo- area, que representa la variacion

del area aportante de la cuenca en funcion del tiempo, hasta alcanzar el area total de la misma para el

denominado “tiempo de concentracion de la cuenca”, tc.

Si sobre la cuenca se produce una tormenta con intensidad efectiva ief constante en el tiempo y en el

espacio, el caudal en la seccion de salida de la cuenca se puede expresar por la relacion,

Q(t) = ief · A(t) t < tc (9.69)

donde el area aportante hasta dicho instante A(t) podrıa obtenerse del diagrama tiempo-area.

Si la duracion de la lluvia supera el tiempo de concentracion de la cuenca, el sistema entra en regimen y

el caudal alcanzarıa un valor maximo constante

Qmax = ief · AT = cte t > tc (9.70)

En la practica, la intensidad de la lluvia sera variable en el tiempo, y si no se conoce dicha variaci on, el

caudal maximo podra estimarse utilizando el maximo valor promedio de la intensidad de la lluvia para una

duracion correspondiente al tiempo de concentracion de la cuenca tc, luego

Qmax = ief (tc) · AT t > tc (9.71)

Finalmente, la intensidad efectiva puede estimarse en funcion de la intensidad total, introduciendo un

factor de correccion denominado coeficiente de escorrentıa C , con lo que la ecuacion queda finalmente




Qmax = Cief (tc) · AT t > tc (9.72)

donde C depende de las condiciones de intercepcion, retencion e infiltracion de la cuenca, quedando limitado

al rango 0 < C < 1.

Lo anterior supone que la lluvia efectiva dura mas que el tiempo de concentracion de la cuenca. De ahı que la

formula sea aplicada normalmente para cuencas de pequeno tamano. La formula racional es dimensionalmente

correcta; si se utilizan las dimensiones habituales de [mm/hr] para la intensidad de la lluvia y [km 2] para el

tamano de la cuenca la formula queda dada por la expresion,

Q = C · ief (tc) · A

3.6 m3/seg (9.73)

donde C es el coeficiente de escorrentıa (0 < C < 1), i(tc) es la intensidad media maxima de la precipitacion,

correspondiente a una duracion igual al tiempo de concentracion de la cuenca tc.

La confiabilidad en el uso de esta formula depende de una adecuada evaluacion del coeficiente de escorrentıa

C y del tiempo de concentracion de la cuenca.

Si la duracion de la lluvia efectiva te resulta menor que el tiempo de concentracion de la cuenca, lo que

puede ocurrir en cuencas grandes, se demuestra (Stowhas , 2003) que el caudal maximo de crecida para una

lluvia de intensidad efectiva constante queda dado por la expresi on

Qmax = ie(te) · Amax(te) te < tc (9.74)

Esta condicion introduce la incertidumbre de determinar la duracion de la lluvia efectiva y el tamano del

area aportante hasta dicho instante, ambas variables difıciles de determinar. En la practica, el uso de la

formula racional, valida para cuencas pequenas (ecuacion 9.73), ha sido generalizada para su uso en cuencas

mayores, traspasando la incertidumbre al coeficiente de escorrentıa C .

9.4.2.1. Estimacion del Coeficiente de escorrentıa

De la gran experiencia que se dispone respecto a la utilizacion de la formula racional, diversos autores

han propuesto valores representativos del coeficiente de escorrentıa para diferentes condiciones de aplicacion.

Chow (1994) recomienda para zonas rurales los siguientes valores:

Para zonas urbanas, el Manual Nº 37 de la ASCE (1969) propone los siguientes valores en funcion del uso

del area y del tipo de superficies:




Tabla 9.7: Coeficientes de Escorrentıa en Cuencas Rurales Pequenas

Tipo de sueloCoeficiente de Escorrentıa (C )

Terrenos Cultivados Praderas Terrenos Boscosos

Arenoso con alta tasa de

infiltracion

0.2 0.15 0.10

Francos con tasa media de

infiltracion

0.4 0.35 0.30

Arcillosos o suelos poco

profundos sobre roca con

bajas tasas de infiltracion

0.5 0.45 0.40

Tabla 9.8: Coeficientes de Escorrentıa en funcion de tipo de area y tipo de calzada

Tipo de area C Tipo de calzada CComercial Centrica 0.7 - 0.95 Asfaltos 0.7 - 0.95

Comercial suburbana 0.5 - 0.7 Concretos 0.8 - 0.95

Edificios de Departamentos 0.5 - 0.7 Ladrillo o tierra endurecida 0.7 - 0.85

Residencial unifamiliar 0.3 - 0.5 Aceras y pasajes 0.75 - 0.85

Unidades multiples pareadas 0.6 - 0.75 Techos 0.75 - 0.95

Unidades multiples separadas 0.4 - 0.6 Prados arenosos de 2 a 7 %

de pendiente

0.05 - 0.2

Residencial suburbana 0.25 - 0.4 Prados arcillosos de 2 a 7 %

de pendiente

0.13 - 0.35

Industrial Alta Densidad 0.6 - 0.9 Parques y cementerios 0.1 - 0.25

Industrial Baja Densidad 0.5 - 0.8 Patios de ferrocarriles 0.2 - 0.4

Cabe destacar que estos coeficientes no consideran la intensidad de la lluvia o perıodo de retorno del evento,

por lo que en su seleccion debe primar la experiencia y criterio del proyectista.

En la publicacion de la DGA (1995), se proponen coeficientes de escorrentıa para cuencas grandes en

funcion del perıodo de retorno en diferentes regiones de Chile.

Si se considera una tormenta de intensidad variable, centrada, simetrica y monomodal, respetando paratodas las duraciones la formula de Grunsky, se demuestra que el coeficiente de escorrentıa se puede estimar

en forma mas objetiva mediante las relaciones,

C =

12 · t∗ · cf si t∗ < 112 si t∗ = 1

1 − 12t∗ si t∗ > 1

(9.75)




donde cf es un coeficiente de forma que en primera aproximacion puede estimarse mediante la relacion

cf =

2.7 si t∗

√ 6

< 0.089

0.56 t∗

√ 6−0.65

si 0.089≤

t∗

√ 6 ≤0.408

1 si t∗

√ 6

> 0.408

(9.76)

y su vez, t∗ es una variable adimensional definida por la ecuacion

t∗ =

6

tc

i24f

(9.77)

donde tc es el tiempo de concentracion de la cuenca en horas, i24 es la intensidad media diaria en [mm/hr] y

f es la tasa media de infiltracion o abstraccion durante el perıodo de encharcamiento, en [mm/hr].

Las expresiones anteriores se basan en una tasa media de infiltracion constante, es decir, aplican sobre un

intervalo de tormenta que ocurre una vez llegado al tiempo de encharcamiento de una cuenca homogenea.

Si la precipitacion ocurre sobre un suelo relativamente seco, los coeficientes de escorrentıa serıan menores a

los indicados por las formulas propuestas. Esto exige estimar la tasa media de infiltracion adecuada a cada

situacion. En este sentido, resulta conveniente expresar la tasa media de infiltracion a partir del metodo de

la Curva Numero, que permite considerar por una parte las condiciones antecedentes de humedad y por otra,

incorporar la eventual heterogeneidad de la cuenca a traves de la Curva Numero Equivalente en funcion de

la magnitud de la precipitacion.

En este caso, la infiltracion media durante el intervalo en que la precipitacion supera a la infiltracion puede

estimarse mediante la relacion

f = 6(i24)2

P ef (9.78)

Ejemplo

Se considera una cuenca pequena de 8 [km2], cuyo tiempo de concentracion se estima en 1 hora, con una

CN eq igual a 65 sobre la que cae una precipitacion total en 24 horas de 100 [mm] con una intensidad media

i24 = 100/24 = 4.17 [mm/hr].

De la Curva Numero se obtiene

S = 25.41000

CN −10 = 136.8 [mm]

Adoptando I = 0.23S = 31.5 [mm], la precipitacion efectiva resulta

P ef = (P − I )2

(P + S − I ) = 22.9 [mm]

Luego,

f = 6(i24)2

P ef = 4.56 [mm/hr]




t∗√ 6

=

1

tc

i24f

→ t∗ = 2.24

Ademas,

cf = 1.0

→ C = 0.777

Por Grunsky,

i(tc) = i24

24

tc= 20.43 [mm/hr]

Finalmente Q = 0.777 · 20.43 · 8/3.6 = 35.3 [m3/s], con un gasto especıfico de q = Q/A = 4.41 [m3/s· km2].

Si la misma tormenta ocurre sobre una cuenca de las mismas caracterısticas pero de tamano mayor de 800

[km2] con un tiempo de concentracion de 12 hrs, se obtiene

t∗√ 6

= 1

tc

i24f

→ t∗ = 0.647

Luego,

cf = 1.33 → C = 0.431

Por Grunsky,

i(tc) = i24

24

tc= 5.90 [mm/hr]

Donde finalmente Q = 0.431 · 5.9 · 800/3.6 = 565 [m3/s], con un gasto especıfico de q = Q/A = 0.71 [m3/s·km2].

9.4.2.2. Estimacion del Tiempo de Concentracion

El tiempo de concentracion de la cuenca se define como el tiempo que demora en llegar a la secci on de salida

de la cuenca, la partıcula de lluvia que cae en el punto mas alejado de ella, es decir, es el tiempo a partir del

cual toda la superficie de la cuenca esta aportando agua a la seccion de salida.

Para estimar a su vez el tiempo de concentracion pueden utilizarse diversos procedimientos. Por ejemplo:

tc = L

v (9.79)

donde L es la longitud del cauce principal y v es la velocidad media del escurrimiento.

A continuacion se presentan algunas ecuaciones utilizadas para el calculo del tiempo de concentracion:

Formula de Kirpich

tc = kL3

∆h

0.385[hrs] (9.80)




Con L longitud del cauce principal [km], ∆h es el desnivel maximo de la cuenca [m] y 0.5 < k < 1.5

dependiendo del grado de definicion de la red de drenaje (Normal en cuencas naturales, k ≈ 1).

Formula de Hathaway

tc =2.19·L·n√

S

0.47[hrs] (9.81)

donde L es la longitud del cauce principal [m], n es el coeficiente de rugosidad de Manning y S es la

pendiente media de la cuenca.

Formula de Giandotti

tc = 4

√ A + 1.5 · L

0.8√

H [hrs] (9.82)

donde A es la superficie de la cuenca en [km2], L es la longitud del cauce principal en [km] y H es la altitud media de la cuenca en [m]. La formula es aplicable en cuencas con A < 200 Ha y si

L/5.4 < tc < L/3.6.

Formula de Linsley-Morgali

tc = 7 · L0.6n0.6

i0.4S 0.3 [hrs] (9.83)

donde L es la longitud de cauce principal en [km], n es el coeficiente de rugosidad de Manning, i es la

intensidad de la lluvia en [mm/hr] y S es la pendiente media de la cuenca. Esta f ormula es iterativa

debido a que tanto i como tc son desconocidos.

Formula Manual de Carreteras de Espana

tc = 0.3 · L0.76

S 0.19 [hrs] (9.84)

donde L es la longitud de cauce principal en [km] y S es la pendiente media de la cuenca.

Leignier (2006) obtuvo buenos resultados al aplicar esta formula en cuencas grandes de Chile.

Para la aplicacion de la formula racional, la magnitud de la intensidad media maxima de la tormenta para

el tiempo de concentracion respectivo (independiente la formula que se utilice), debe obtenerse de la curvaintensidad-duracion de la tormenta.

9.4.3. Formula de Verni-King

Esta formula ha tenido gran aplicacion en el paıs dada su simplicidad y debido a que fue deducida a partir

del analisis de crecidas registradas en Chile.




Sus autores, a partir de un analisis dimensional, proponen que el caudal maximo provocado por una

tormenta de precipitacion total diaria P [mm] que ocurre sobre una cuenca de tamano A [km2], viene dado

por la expresion,

Q = 0.00618 · P 1.24 · A0.88 [m3/s] (9.85)

La formula es generalmente aplicable para tormentas de alto perıodo de retorno en cuencas de tamano

medio o mayor. La DGA (2005b) propone minoraciones al coeficiente de la formula para utilizarla para

tormentas de perıodo de retorno menores a 100 anos.

Aplicada al segundo ejemplo anterior se obtiene

Q = 0.00618 · 1001.24 · 8000.88 = 669 [m3/s]

Es decir, un 18 % mayor al resultado del ejemplo anterior.

9.4.4. Formulas DGA

La Direccion General de Aguas, DGA (2005b), propone un metodo que se conoce como Metodo DGA-AC,

en el cual se estima el caudal maximo medio diario para un perıodo de retorno de 10 anos, para distintas

regiones del paıs, en base a las siguientes ecuaciones:

Regiones III y IV:

Q10 = 1.94 × 10−7 · A0.776 p · P 1024

3.108 [m3/s] (9.86)

Regiones V, RM y VI:

Q10 = 5.42 × 10−8 · A0.915 p · P 1024

3.432[m3/s] (9.87)

Regiones VII y IX:

Q10 = 2 × 10−3 · A0.973 p · P 1024

1.124[m3/s] (9.88)

donde A p es el area pluvial de la cuenca en [km2] y P 1024 es la precipitacion en 24 horas con 10 anos de perıodo

de retorno.

A partir del caudal maximo medio diario con perıodo de retorno de 10 anos, se estiman los caudales medios

diarios para otros perıodos de retorno, utilizando coeficientes de frecuencia determinados para 23 distintas

zonas homogeneas del paıs. Finalmente, el metodo propone factores para pasar del caudal maximo medio

diario al caudal maximo instantaneo.




A manera de ejemplo, en la cuenca de 800 [km2] utilizada en los ejemplos anteriores, supuestamente ubicada

en la cuenca del Aconcagua (V region), con una precipitacion en 24 horas con perıodo de retorno de 10 anos

de 80 [mm], el caudal Q10 resulta:

Q10 = 5.42 × 10−8 · 8000.915 · 803.432 = 84.2 [m3/s]

Para la zona de Aconcagua, zona Pp del Manual de la DGA, se obtiene la Tabla

Perıodo de Retorno [anos] Factor de frecuencia

5 0.74

10 1.00

20 1.29

25 1.39

50 1.72

75 1.94

100 2.10

Luego, si la precipitacion de 80 [mm], tiene un perıodo de retorno de 50 anos, el caudal maximo medio

diario para dicho perıodo de retorno resulta,

Q50 = 1.72 · 84.2 = 144.8 [m3/s]

Finalmente, para pasar a valores maximos instantaneos, el Manual propone para dicha zona el valor α =

1.43 de donde

Q50,max = 1.43 · 144.8 = 207.1 [m3/s]

Este resultado es del orden de un 25 % inferior al de los metodos anteriores. Las diferencias, aunque son

habituales en formulas hidrologicas, pueden deberse en este caso, a que se considero una cuenca hipotetica,

adoptando valores estimativos, pero arbitrarios, para el tiempo de concentraci on y el perıodo de retorno de

las lluvias.

9.4.5. Hidrogramas de Crecidas

Las formulas empıricas permiten estimar en forma rapida el caudal maximo de una crecida pero no dan infor-macion sobre la forma del hidrograma correspondiente. Si dicha informacion resulta necesaria, en principio

debiera recurrirse al uso de Hidrogramas Unitarios, efectuando la convolucion en funcion de un determinado

hietograma de la tormenta resultando crecidas cuyo caudal maximo y forma dependeran bastante de la forma

del hietograma o distribucion temporal de la tormenta.

Sin embargo, se han propuesto algunos procedimientos mas o menos simplificados que permiten generar en

forma directa el hidrograma de crecida sin pasar a traves del concepto de hidrograma unitario. Estos metodos




resultan adecuados para su incorporacion en modelos computacionales que modelan el comportamiento de

redes hidrograficas o sistemas artificiales de drenaje de aguas lluvias.

9.4.5.1. Hidrograma de Santa Barbara

El hidrograma de Santa Barbara es un procedimiento simple y conceptualmente interesante desarrollado para

calcular crecidas de diseno en sistemas de aguas lluvias.

El modelo supone una cuenca (urbana) con una fraccion “ p” de suelos impermeables y una fraccion “(1− p)”

de suelos con una tasa de infiltracion constante “f ”.

En consecuencia, si sobre la cuenca cae una lluvia que un instante tiene una intensidad “i”, el flujo o caudal

superficial efectivo que ingresa a la cuenca sera,

I = A

·( p

·i + (1

− p)

·(i

−f )) i > f (9.89)

Si el caudal en la seccion de salida es Q, la ecuacion de continuidad nos dice que

I − Q = dV

dt (9.90)

El modelo postula un comportamiento lineal, en que el almacenamiento en la cuenca es

V = Q · tc = k · Q · tc (9.91)

donde Q es el caudal medio que circula por la cuenca, tc es el tiempo de concentracion de la cuenca, y

k < 1 es un factor que relaciona el caudal medio con el caudal de salida Q. Luego,

I − Q = k · tcdQ

dt (9.92)

Intergrando en forma numerica la ecuacion de continuidad para un intervalo ∆t

I − Q = V f − V i

∆t

I i + I f

2 − Qi + Qf

2 =

k · tc

∆t (Qf

−Qi)

Donde los subındices indican los valores al inicio y termino del intervalo. Reordenando, se obtiene

Qf = Qi +

∆t

∆t + 2ktc

(I i + I f − 2Qi) (9.93)

Aplicada en forma recursiva, esta ecuacion permite sintetizar el hidrograma de salida Q(t) en funcion del

hietograma de la tormenta i(t) y de las caracterısticas de la cuenca (A,p,f ).




Si no se dispone de informacion pluviografica se puede considerar una intensidad efectiva media constante,

en cuyo caso

I = ief ·

A (9.94)

De donde la ecuacion de continuidad queda

ief A − Q = ktcdQdt t < T ef

−Q = ktcdQdt t > T ef

Donde T ef es la duracion de la lluvia efectiva. La integracion directa de las ecuaciones anteriores lleva a

Q(t) = ief A

1 − e−t/(ktc)

t < T ef (9.95)

Q(t) = ief A

1 − e−T ef /(ktc)

e−t−T ef ktc t > T ef (9.96)

Se observa de la ecuacion 9.96 que de acuerdo a este modelo, si la lluvia se prolonga en forma indefinida el

caudal es siempre creciente tendiendo asintoticamente al caudal en regimen. De lo anterior se desprende que

el maximo caudal ocuurrirıa en el instante t = T ef con una magnitud

Qmax = ief A

1 − e−T ef ktc

(9.97)

Por otra parte la intensidad efectiva media sera a su vez funcion de la duracion de la tormenta. Si se acepta

nuevamente una tormenta centrada, simetrica, monomodal que satisfaga en todo momento la ley de Grunsky,

con una tasa de infiltracion constante “f ”, se demuestra que

ief = P 24

24

T ef 6

(9.98)

De donde

Qmax = P 24

24

T ef /6A

1 − e−

T ef ktc

(9.99)

Derivando el caudal maximo respecto a la duracion de la lluvia e igualando a cero, se llega a la expresion

eT ef ktc + 2

T ef ktc

e−T ef ktc = 0 (9.100)




Ecuacion que se satisface para T ef ktc

≈ 1.2565.

De lo anterior, la duracion de lluvia mas desfavorable de la cuenca serıa

T ef = 1.2565k · tc (9.101)

Con un caudal maximo dado por la expresion

Qmax = P 24

24

1.2565ktc/6A

1 − e−1.2565

(9.102)

Si la precipitacion se expresa en mm, el tiempo de concentracion en horas y el area de la cuenca en km2,

se llega a la formula

Qmax = 0.018√ ktc

P 24A m3/s (9.103)

El hidrograma original de Santa Barbara supone un coeficiente k = 1, lo que implica aceptar que en toda

la cuenca el caudal es el mismo que en la seccion de salida. Esta hipotesis parece exagerada, ya que en la

cabecera de la cuenca el caudal sera nulo, pareciendo mas razonable utilizar un valor menor, cercano a k = 0.5

Aplicado al primer caso del ejemplo anterior, y utilizando k = 0.5, se tiene

Qmax = 0.018√

0.5100 · 8 = 20.4 [m3/s]

En el segundo caso,

Qmax = 0.018√ 0.6

100 · 800 = 588 [m3/s]

9.4.5.2. Hidrograma del SCS

El Soil Conservation Service (SCS) de los EE. UU. propone el uso de una hidrograma de crecida simplificado

de forma triangular. La precipitacion efectiva o volumen de escorrentıa directa se calcula mediante el metodo

de la Curva Numero.

Para el tiempo al maximo proponen la relacion

t p = T ef 2

+ 0.6tc (9.104)

Mientras que para el tiempo base proponen

tB = 2.67 · t p (9.105)

Como el hidrograma es triangular, el volumen de escorrentıa directa valdra




V ed = P ef A = 1

2tBq p (9.106)

de donde

Q p = 2P ef A

2.67T ef 2 + 0.6tc

(9.107)

Expresando la precipitacion en [mm], el area en [km2] y los tiempos en horas resulta finalmente

Q p = 0.416 P ef AT ef +1.2tc

[m3/s] (9.108)

Con el mismo modelo de tormenta de los casos anteriores, se demuestra que

T ef = 6

i24f

2(9.109)

Volviendo a los ejemplos anteriores, se tiene

T ef = 6

4.167

4.56

2= 5.01 [hr]

Donde en el primer caso

Q p = 0.416 22.9 · 8

5.01 + 1.2 = 12.3 [m3/s]

y en el segundo

Q p = 0.416 22.9 · 800

5.01 + 1.2 · 12 = 393 [m3/s]

9.4.5.3. Formula de Millan-Stowhas

Este metodo permite una metodologıa generalizada simplificada que entrega valores directos de los principales

factores que intervienen en el hidrograma de una crecida; caudal m aximo instantaneo, tiempo al maximo y

forma de la onda de crecida, sin necesidad de pasar a traves del metodo del hidrograma unitario.

Utilizando el metodo del Hidrograma Unitario Sintetico propuesto por Arteaga y Benıtez (1986) para la

zona central-norte de Chile, se genero un gran numero de hidrogramas de crecida para distintas combinaciones

de las variables que intervienen en el fenomeno, tales como magnitud y duracion de la tormenta, potencial de

infiltracion y caracterısticas geomorfologicas de la cuenca, ajustando relaciones generalizadas para representar

la magnitud y forma de la onda de crecida en funcion de las variables hidrometeorologicas y geomorfologicas

que la originan, aun cuando los hidrogramas generados corresponden tormentas centralmente distribuidas

segun la Distribucion Centrada de Endesa (Benitez, 1985).




Para evaluar la infiltracion y la precipitacion efectiva se utiliza el Metodo de la Curva Numero para cuencas

con Curva Numero entre 60 y 80.

El metodo permite evaluar las siguientes variables:

Tiempo en el cual ocurre el maximo caudal (TM), en horas.

Caudal maximo por unidad de area del hidrograma de crecida generado (q m), en [m3/s · km2].

Instante en el cual comienza a generarse la escorrentıa directa (TI), en horas.

Forma del hidrograma de crecida, segun la funcion Gamma propuesta por McEnroe (1992), la cual

obedece a la siguiente expresion:

Q(t) = Q p ·

t

T p

p· e p· tT p−1

(9.110)

donde:

Q(t) : Caudal del hidrograma en funcion del tiempo.

Qp : Caudal maximo de la crecida (Q p = q m · A).

T p : Tiempo en que ocurre el maximo caudal, medido con respecto al inicio del hidrograma (T p =

T M − T I ), ya que el origen de esta funcion se fijo en el instante en que comienza la escorrentıa directa

(TI).

p : Factor de forma adimensional.

Para el factor de forma p se propone, en forma referencial, la expresion,

p =

2.38 · q m · (T M − T I )

P ef + 0.113

2.041(9.111)

donde el producto q m ·(T M −T I )/P ef debe ser adimensional (factor de correccion 3.6 si se usa [m3/s·km2],

horas y [mm]).

Sin embargo, para cada aplicacion particular, el factor p debe ajustarse de manera que el volumen de

escorrentıa sea igual al volumen precipitacion efectiva, es decir, igual al producto de la precipitaci on efectiva

(P ef ) por el area de la cuenca (A).

Para el caudal maximo se propone la relacion

q m = 0.383 P TD − S (P −0.16S )3.3TD(P +0.8S ) − 61.971 GM 0.854P 0.759

TD3.322NC 1.135 m3/s/km2 (9.112)

donde S se obtiene del metodo de la Curva Numero, N C es la Curva Numero, P es la lluvia de diseno

[mm], T D es la duracion de la lluvia de diseno [hrs] y GM es el parametro geomorfologico de Linsley,

GM =

L · L√

S

[km2]




Para el tiempo al maximo se propone la relacion

T M = TD2 + 0.565GM 0.348 [hrs] (9.113)

Por ultimo, para el tiempo de inicio de la escorrentıa directa se proponen las relaciones

T I =

0 si P ≥ P lim21.01T D

P 1.288(N C/100)4.536 si P < P lim

(9.114)

donde T I esta en horas y P lim = 78.15

1000CN

− 10

en [mm].

9.4.6. Hietogramas de Tormentas de Diseno

Cuando se pretende sintetizar el hidrograma de una crecida mediante un metodo precipitacion-escorrentıa, tal

como los hidrogramas unitarios u otros de los procedimientos antes vistos, es necesario establecer previamente

el hietograma de la tormenta de diseno, es decir, hay que establecer la sucesion u orden cronologico en que

se presentan los distintos intervalos de intensidad de precipitacion.

Diversos estudios se han realizado en Chile y en el mundo intentando establecer alguna forma o hietograma

tıpico de las tormentas, pero los resultados no son concluyentes. La intensidad de las precipitaciones puede

distribuirse de cualquier forma, existiendo a lo mas, algunas formas o distribuciones que se presentan con

mayor frecuencia que otras. Dependera en consecuencia del criterio y experiencia del proyectista la distribucion

a seleccionar en funcion del objetivo de la estimacion, ya que tormentas de igual magnitud, pero de distinta

distribucion temporal generaran caudales maximos de crecida distintos, perdiendose la asociacion entre el

perıodo de retorno de la tormenta y el perıodo de retorno del caudal maximo de crecida resultante.

No obstante lo anterior, diversos criterios se han propuesto para la distribucion de tormentas en el tiempo.

9.4.6.1. Distribucion de Tormentas de Endesa

Benitez y Verni (1985) estudiaron la distribucion temporal de tormentas chilenas con duraciones entre 12

y 72 horas, proponiendo tres distribuciones distintas, una con valores maximos al comienzo, otra centrada

y otra con valores maximos al final de la tormenta. Por efectos de infiltracion y forma de los hidrogramas

unitarios, los caudales maximos se incrementaran cuando las maximas intensidades se concentren al final

de la tormenta. De ellas, la mas utilizada, por generar valores de crecida intermedios, es la denominada

Distribucion Centrada de Endesa. En la Tabla 9.9 y la Figura 9.11.




Tabla 9.9: Distribucion de Endesa centrada para tormentas de duraciones 12 [hr] ≤ t ≤ 72 [hr].

% Tiempo % P total % Tiempo % P total

0-10 6.9 50-60 14.2

10-20 8.3 60-70 11.6

20-30 10.4 70-80 9.5

30-40 12.6 80-90 7.5

40-50 13.7 90-100 5.3

Figura 9.11: Distribucion de Endesa centrada para tormentas de duraciones 12 [hr] ≤ t ≤ 72 [hr].

9.4.6.2. Metodo de los Bloques Alternantes

Un procedimiento alternativo, aun cuando mas conservador, es distribuir cronologicamente la precipitacion

mediante el denominado metodo de los bloques alternantes. Este consiste en postular valores de precipitacion

para un cierto intervalo de tiempo, digamos 1 hora, de manera que su suma coincida con la precipitaci on

total de la tormenta. Los bloques (horarios) de precipitacion se distribuyen ubicando el intervalo u hora de

mayor precipitacion en forma central, agregando en forma alternante los bloques de precipitaci on siguientes

ordenados de mayor a menor, sucesivamente antes y despues del bloque central.

Con el proposito de que la distribucion de la tormenta resulte crıtica para todos los tiempos de concen-

tracion, conviene asignarle a cada bloque de precipitacion la magnitud que le corresponda de acuerdo a los

coeficientes de duracion de precipitaciones.

Ejemplo: Distribucion cronologica o hietograma de diseno de una tormenta de diseno de 120 [mm] en 24

horas.

Utilizando la formula de Gunsky, P t = P 24 ·

t24 , se indica en la columna 2 de la Tabla 9.10, para cada




duracion, la precipitacion maxima acumulada correspondiente a ella y por diferencia con el valor anterior,

se obtiene en la columna 3, la magnitud de precipitacion individual de cada bloque u hora. Finalmente, el

hietograma de diseno que se muestra en la columna 4 de la Tabla 9.10 y Figura 9.12, se construye ubicando

en este caso la mayor precipitacion horaria en el bloque u hora 13, la segunda mayor precipitacion horaria

en el bloque u hora 12, la tercera magnitud, alternadamente en el bloque u hora 14 y ası sucesivamente.

Tabla 9.10: Obtencion de hietograma de diseno mediante el metodo de los bloques alternantes.

DuracionPrecipitacion Hietograma

DuracionPrecipitacion Hietograma

Acumulada Horaria Diseno Acumulada Horaria Diseno

[hr] [mm] [mm/hr] [mm/hr] [hr] [mm] [mm/hr] [mm/hr]

1 24.5 24.5 2.5 13 88.3 3.5 24.5

2 34.6 10.1 2.6 14 91.7 3.3 7.8

3 42.4 7.8 2.8 15 94.9 3.2 5.8

4 49 6.6 2.9 16 98 3.1 4.85 54.8 5.8 3.1 17 101 3 4.2

6 60 5.2 3.3 18 103.9 2.9 3.8

7 64.8 4.8 3.6 19 106.8 2.8 3.5

8 69.3 4.5 4 20 109.5 2.8 3.2

9 73.5 4.2 4.5 21 112.2 2.7 3

10 77.5 4 5.2 22 114.9 2.6 2.8

11 81.2 3.8 6.6 23 117.5 2.6 2.7

12 84.9 3.6 10.1 24 120 2.5 2.6

Figura 9.12: Obtencion de hietograma de diseno mediante el metodo de los bloques alternantes.




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