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4.1
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Vector Spaces
ESPACIOS VECTORIALES Y SUBESPACIOS
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ESPACIOS VECTORIALES Y SUBESPACIOS
§ Definición: Un espacio vectorial es un conjunto no vacío V de objetos, sobre el cual se definen dos operaciones, llamadas la suma y la multiplicación por un escalar, sujeto a diez axiomas (o reglas). Los axiomas se cumplen para todos los objetos u, v, y w en V y para todos los escalares c y d.
1. La suma de u y v, denotada por u + v, está en V.
2. u + v = v + u 3. (u + v) + w = u + (v + w) .
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ESPACIOS VECTORIALES Y SUBESPACIOS 4. Existe un vector cero 0 en V tal que u + 0 = u 5. Para cada u en V, existe un vector –u en V tal
que u + -u = 0 6. El múltiplo escalar de u por c, denotado por
cu, está en V. 7. c(u + v) = cu + cv 8. (c + d)u = cu + du 9. c(du) = (cd)u 10. 1u = u
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ESPACIOS VECTORIALES Y SUBESPACIOS
§ Utilizando estos axiomas, se puede demostrar que el vector cero del axioma 4 es único y que el vector –u, llamado el negativo de u, en el axioma 5 es único para cada u en V.
§ Tambien se puede probar que: 0u = 0 c0 = 0 -u = (-1)u
ESPACIOS VECTORIALES Y SUBESPACIOS
§ Algunos espacios vectoriales § El conjunto de todos los vectores de dos entradas § El conjunto de todos los vectores de tres entradas R3
§ El conjunto de todas las matrices de mxn (Mmn) § El conjunto de todos los polinomios de grado menor e
igual a dos (P2) § El conjunto de todos los polinomios de grado menor e
igual a tres (P3)
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ESPACIOS VECTORIALES Y SUBESPACIOS § Ejemplo 1: Dado un conjunto V de todas las flechas
(segmentos de recta dirigidos) en el espacio tri-dimensional, donde dos flechas son iguales si tienen la misma longitud y apuntan en la misma dirección. Definir la suma por la regla del paralelogramo, y para cada v en V, definir cv como la flecha cuya longitud es |c| veces la longitud de v, apuntando en la misma dirección de v si c >=0 y en la dirección opuesta de otra manera.
§ O sea,
§ Demostrar que V es un espacio vectorial.
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ESPACIOS VECTORIALES Y SUBESPACIOS § Solucion: La definición de V es geométrica,
utilizando los conceptos de longitud y dirección. § No se involucra el sistema de coordenadas xyz. § Un vector de longitud cero es un simple punto y
representa al vector cero. § El negativo de v es -v. § Los axiomas 1, 4, 5, 6, y 10 son evidentes.
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SUBSPACIOS
§ Definición: Un subespacio de un espacio vectorial V es un subconjunto H de V tal que tiene tres propiedades:
a. El vector cero de V está en H. b. H es cerrado para la suma vectorial. Esto es,
para cada u y v en H, la suma u + v está en H. c. H es cerrado para la multiplicación por
escalares, el vector cu está en H.
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SUBSPACIOS
§ Las propiedades (a), (b), y (c) garantizan que un subespacio H de V es por si mismo un espacio vectorial, bajo las operaciones vectoriales ya definidas en V.
§ Entonces: cada subespacio es un espacio vectorial. § A la inversa, cada espacio vectorial es un
subespacio (de si mismo y posiblemente de otros espacios mas grandes).
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UN SUBESPACIO CREADO POR UN CONJUNTO
§ El conjunto que tiene como único elemento el vector cero en un espacio vectorial V es un subespacio de V, y se le llama el subespacio cero y se escribe como {0}.
UN SUBESPACIO CREADO POR UN CONJUNTO
§ El término combinación lineal se refiere a la suma de múltiplos escalares de vectores, y Gen{v1,…,vp} denota el conjunto de todos los vectores que se pueden escribir como combinaciones lineales de v1,…,vp.
§ Entonces Gen{v1,…,vp} es un espacio vectorial y contiene todos los v dados por la ecuación anterior
vvvv =+++ ppccc …2211
UN SUBESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO, EJEMPLO NUMERICO
§ Ejemplo 2: considere los vectores y
Demostrar que Gen {v1, v2} es un subespacio de R3
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⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
132
1v
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
212
2v
UN SUBESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO, EJEMPLO 2
§ Solución: considerar dos vectores arbitrarios en Gen {v1, v2}
§ y y un escalar c. Numericamente
2211 vvu cc += 2211 vvv dd +=
u = c1231
!
"
###
$
%
&&&+ c2
212
!
"
###
$
%
&&&
v = d1231
!
"
###
$
%
&&&+ d2
212
!
"
###
$
%
&&&
UN SUBESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO, EJEMPLO 2
Debemos demostrar que se cumplen las tres propiedades de los subespacios, donde V es R3 y H es Gen {v1, v2}
UN SUBESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO, EJEMPLO 2
§ Esto es: a. El vector está en Gen {v1, v2} b. Gen {v1, v2} es cerrado para la
multiplicación por escalares. c. Gen {v1, v2} es cerrado para la suma
vectorial.
000
!
"
###
$
%
&&&
UN SUBESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO, EJEMPLO 2
§ El vector cero de R3 debe estar en Gen {v1, v2} § Suponer un vector arbitrario de Gen {v1, v2},
digamos: §
§ Si hacemos c1=0 y c2=0, obtenemos el vector cero. Entonces el vector cero es una combinación de v1 y v2 y está en Gen {v1, v2}
u = c1231
!
"
###
$
%
&&&+ c2
212
!
"
###
$
%
&&&
UN SUBESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO, EJEMPLO 2
§ Gen {v1, v2} debe ser cerrado para la suma vectorial.
§ Hacer la suma de dos vectores arbitrarios de Gen {v1, v2}, o sea:
§ la suma es una combinación de v1 y v2, por lo que pertenece a Gen {v1, v2}
u+ v = (c1 + d1)231
!
"
###
$
%
&&&+ (c2 + d2 )
212
!
"
###
$
%
&&&
UN SUBESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO, EJEMPLO 2
§ Gen {v1, v2} debe ser cerrado para la multiplicación por escalares.
§ Hacer un múltiplo escalar de un vector arbitrario en Gen {v1, v2}
§ el múltiplo escalar es una combinación de los vectores v1 y v2, por lo que pertenece a Gen {v1, v2}
cu = c c1231
!
"
###
$
%
&&&+ c2
212
!
"
###
$
%
&&&
'
(
)))
*
+
,,,= cc1
231
!
"
###
$
%
&&&v1 + cc2
212
!
"
###
$
%
&&&
UN SUBESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO, EJEMPLO 2
Los vectores en Gen {v1, v2} , cumples con las tres propiedades para ser un subespacio, en este caso de R3
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UN SUBESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO
§ Ejemplo 3: Dados v1 y v2 en un espacio vectorial V, y dado H = Gen{v1, v2}. Mostrar que H es un subespacio de V.
§ Solución: El vector cero está en H, ya que § Para mostrar que H es cerrado para la suma vectorial,
tomar dos vectores arbitrarios en H, digamos, y . § Por los axiomas 2, 3, y 8 para el espacio vectorial V,
1 20 0v 0v= +
1 1 2 2u v vs s= + 1 1 2 2w v vt t= +
1 1 2 2 1 1 2 2
1 1 1 2 2 2
u w ( v v ) ( v v )( )v ( )vs s t ts t s t
+ = + + +
= + + +
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UN SUBESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO § De manera que está en H.
§ Además, si c es cualquier escalar, entonces por los axiomas 7 y 9, lo que demuestra que cu está en H y H es cerrado para la multiplicación escalar.
§ Entonces H es un subespacio de V.
u w+
1 1 2 2 1 1 2 2u ( v v ) ( )v ( )vc c s s cs cs= + = +
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UN SUBESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO
§ Teorema 1: Si v1,…,vp están en un espacio vectorial V, entonces Gen{v1,…,vp} es un subespacio de V.
§ Llamamos a Gen {v1,…,vp} el subespacio generado por {v1,…,vp}.
§ Dado cualquier subespacio H de V, un conjunto generador para H es un conjunto {v1,…,vp} en H tal que
. H =Gen{v1,...v p}
UN SUBESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO
§ Ejemplo 4: Sea H el conjunto de todos los vectores de la forma
§ Demuestre que H es un subespacio de
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⎤
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⎡
−
+
tts
sts
532
242
4R
UN SUBESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO
§ Ejercicio 4.1.13: Sean
§ Está w en {v1, v2, v3}? Cuantos vectores están en {v1, v2, v3}?
§ ¿Cuantos vectores están en {v1, v2, v3}? § ¿w está en el subespacio generado por {v1, v2, v3}?
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⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
=
101
1v
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⎦
⎤
⎢⎢⎢
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⎡
=
312
2v v3 =426
!
"
###
$
%
&&& ⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
213
w
EJERCICIOS PROPUESTOS
§ Capítulo 2, sección 8; se recomienda realizar los ejercicios: 1 a 6
§ Capítulo 4 , sección 1; se recomiendan los ejercicios: 2, 3, 4, 10, 11, 15, 18, 24 y 35.