Galois definitivo

Evariste Galois

Laura Povedano Álvarez

Indice

1. Introduccion 3

2. Un paseo por la historia de las ecuaciones algebraicas 3

3. Revolucionario y Matematico: Evariste Galois 5

4. La teorıa de Galois 94.1. Ecuacion general de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.2. Ecuacion general de tercer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.3. Ecuacion general de cuarto grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5. Ecuacion general de quinto grado: la gran incognita. 13

2

”El algebra es generosa: a menudo da mas de lo que se le pide.”D’alambert

1. Introduccion

Evariste Galois se nos presenta como un juvenil Quijote luchando en un combate im-posible, perdido de antemano, contra los molinos de la ciencia oficial, representada por latodopoderosa Academia de las Ciencias de Parıs (formada por una importante constelacionde grandes matematicos, pero pagados de sı mismos, que no le entienden y que tampocohacen ningun esfuerzo por tratar de hacerlo), contra la que arremete con todas las armasa su alcance.

2. Un paseo por la historia de las ecuaciones alge-

braicas

Desde la antiguedad uno de los enigmas mas tenazmente perseguido por los matematicoses la resolucion de las ecuaciones algebraicas.

Dada una ecuacion algebraica de segundo grado de la forma ax2 + bx + c, es bienconocido que sus soluciones pueden encontrarse mediante una expresion (ya conocida porlos babilonios) que involucra los coeficientes a, b y c y operaciones con radicales, a saber,

x =−b±

√b2 − 4ac

2a.

Durante la Edad Media se trato de encontrar formulas semejantes a la anterior quesirvieran para resolver ecuaciones algebraicas de grado 3 y superior. El primer resultadopositivo se atribuye a N. Fontana (mas conocido como Tartaglia) y a G.Cardano, queutilizaron la formula

x =3

√q

2+

√p3

27+

q2

4+

3

√q

2−

√p3

27+

q2

4

para calcular las soluciones de x3+px+q = 0 (puesto que la ecuacion y3+by2+cy+d = 0puede reducirse a una del tipo x3 + px + q = 0 mediante el cambio de variable y = x− b

3,

la ecuacion general de tercer grado queda resuelta).

3

Evariste Galois Historia de las matematicas

Diez anos despues Ludovico Ferrari publico una formula para resolver las ecuacionesalgebraicas de grado 4. La cosa marchaba, y los matematicos no tardaron en emprenderintentonas para resolver la ”ecuacion general”anx

n + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0 = 0, y

aquı se estrellaron todos. Algunos, mas modestos, retrocedieron y se limitaron a la dequinto grado, pero tampoco hubo forma. ¿Serıa la ecuacion irresoluble? Esta preguntaplaneo mucho tiempo sobre la matematica.

Como consecuencia de esta busqueda infructuosa el matematico Paolo Ruffini anuncio,a comienzos del siglo XIX, la imposibilidad de encontrar una formula para resolver estasecuaciones; su artıculo, publicado en 1813, contenıa afirmaciones imprecisas. Hubo queesperar al advenimiento de un genio como el noruego Niels Henrik Abel quien en 1823publico la demostracion de que las ecuaciones de quinto grado no podıan resolverse medi-ante radicales, dicha demostracion contenıa afirmaciones precisas pero con demostracionesvagas.

La forma en que Abel ’resolvio’ el problema de la resolucion de la ecuacion general dequinto grado demostrando su imposibilidad es la primera vez en la historia que un problematenıa este final, y serıa el inicio de una larga lista de imposibilidades (con la destacada de laindecibilidad del lenguaje aritmetico, establecido por Godel en 1931). Hasta ese momentocuando un problema no se sabıa resolver se consideraba que es que no se seguıa el caminoapropiado o que no se tenıan los instrumentos necesarios para resolverlo, pero se tenıa elconvencimiento de que antes o despues se lograrıa resolver.

La contribucion genial de Galois a la teorıa de resolucion de ecuaciones fue la deter-minacion de las condiciones en las que una ecuacion es resoluble por radicales, lo que dacomo consecuencia que para todo n > 4 haya ecuaciones polinomicas que no son resol-ubles por radicales. En esencia el resultado de Galois sobre resolubilidad por radicales deuna ecuacion tiene que ver con una serie de subgrupos (de un tipo especial llamados nor-males) del grupo de permutaciones, cada uno subgrupo del anterior, asociados a lo quellama Galois resolventes de la ecuacion. Y este resultado es que una ecuacion es resolublepor radicales si y solo si los ındices de todas las etapas de esa sucesion de subgrupos sonnumeros primos. Eso es lo que pasa en todas las ecuaciones de grado 4, puesto que el ordende S4 es 24, y nos lleva a una serie de subgrupos de ındices 3,2,2 y 2, todos primos. En elcaso de la ecuacion general de grado n > 4, Sn tiene n! elementos y nos lleva a una serie dedos subgrupos de ındices 2 y n!/2, y este ultimo numero nunca es primo, luego la ecuaciongeneral de grado n > 4 no es resoluble por radicales. Basten las pocas lıneas anteriorespara mostrar la aportacion de Galois a la teorıa de resolucion de ecuaciones, que fue detal calibre que acabo con el propio objeto del algebra, pasando a partir de sus resultadosa poner el acento en el estudio de las estructuras algebraicas. Ası comienza lo que aun hoyse conoce como ’matematicas modernas’, de las que la ’Teorıa de Galois’ sigue siendo unaparte plenamente vigente.

Fue tan avanzado que sus resultados, que redacta la noche anterior al duelo y encargaa su amigo A. Chevalier que publique, nadie los entiende durante un tiempo. Tendrıanque pasar doce anos para que vuelvan a ver la luz, cuando Liouville en 1843 anuncia

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en la Academia, que tan poco caso le hizo unos anos antes, que habıa encontrado entrelos papeles de Galois una solucion concisa, pero tan exacta como profunda de este belloproblema: ’Dada una ecuacion de grado primo, decidir si es o no es resoluble por radicales’.Y tres anos mas tarde, el mismo Liouville publica en la revista que dirige (’Journal demathematiques pures et appliquees’) una reedicion de los artıculos de Galois junto con susdos memorias ineditas. Aunque tardıa, su repercusion y su influencia fueron inmensas enlas matematicas desde la segunda mitad del siglo XIX hasta nuestros dıas

3. Revolucionario y Matematico: Evariste Galois

Evariste Galois, joven prodigio y matematico frances, contaba tan solo 20 anos de edadcuando en la madrugada del 30 de mayo de 1832 escribıa a sus amigos Napoleon Lebon yV. Delauney:

”He sido provocado por dos patriotas... Me es imposible rehusar. Os ruego vuestroperdon por no haberoslo dicho. Pero mis adversarios me han exigido palabras de honor deno informar a ningun patriota. Vuestra tarea es sencilla: demostrad que he de combatircontra mi voluntad, tras haber agotado todos los medios de reconciliacion posibles; decid sisoy capaz de mentir ni siquiera en lo mas baladı. Por favor, recordadme, ya que el destinono me ha dado vida bastante para ser recordado por mi patria. Muero amigo vuestro, E.Galois”

Esa misma noche, Galois escribıa tambien a su amigo Auguste Chevalier:

”He hecho algunos descubrimientos nuevos en analisis. El primero concierne a la teorıade ecuaciones; los otros, a las funciones enteras. En teorıa de ecuaciones he investigadolas condiciones de solubilidad de ecuaciones por medio de radicales; con ello he tenidoocasion de profundizar en esta teorıa y describir todas las transformaciones posibles enuna ecuacion, aun cuando no sea posible resolverla por radicales. Todo ello puede verseaquı, en tres memorias... Haz peticion publica a Jacobi o a Gauss para que den su opinion,no acerca de la veracidad, sino sobre la importancia de estos teoremas. Confıo en quedespues algunos hombres encuentren de provecho organizar todo este embrollo.”

El desesperado estado de animo en que se encontraba Galois al escribir estas cartasestaba plenamente justificado, como tristemente habrıan de probar los acontecimientosinmediatos. Poco despues del amanecer de esa misma noche, Galois abandono su habitacionde la pension Sieur Faultrier, en Parıs, y se enfrento en duelo de honor a un activista polıticollamado d’Herbinville, a las orillas de un estanque cercano. Allı Galois recibio un balazo enel abdomen quedando abandonado. Mas tarde un transeunte lo encontro y llevo al Hopital

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Cochin, donde murio al dıa siguiente. Catorce anos despues, los manuscritos que dejo paraChevalier fueron publicados por el matematico frances Joseph Liouville, naciendo de estaforma la rama, excepcionalmente fecunda, de la matematica conocida hoy por teorıa degrupos.

Galois nacio el 25 de octubre de 1811, en Bourg-la-Reine, cerca de Parıs. Su padre,Nicholas-Gabriel Galois, era partidario de Napoleon y cabeza del partido liberal en la lo-calidad, llegando a ser elegido alcalde de la villa. Durante los primeros doce anos de suvida, Evariste fue educado por su madre, Adelaıde-Marie Demande Galois, quien propor-ciono a su hijo una solida formacion basica en latın y griego. No obstante, es poco verosımilque el joven Galois tuviera mucho contacto con las matematicas aparte de las habitualeslecciones de aritmetica, pues en aquel entonces no se consideraba importante la formacionmatematica. Tampoco se tiene noticia de que se hayan dado casos de talento matematicoespecial en su familia.

La educacion regular de Galois comenzo en 1823, cuando ingreso en el College Royal deLouis-le-Grand, de Parıs, escuela preparatoria donde estudiaron entre otros, Robespierrey Victor Hugo. En el Louis-le-Grand, Galois comenzo inmediatamente a sensibilizarsepolıticamente; sus simpatıas liberales y democraticas adquiridas de sus padres estaban enconsonancia con las simpatıas de la mayorıa de los alumnos. No obstante, durante el primerano de Galois en el Louis-de-Grand, las relaciones entre el alumnado y el profesor reciennombrado fueron asperas y tirantes. Los alumnos sospechaban que el nuevo profesor seproponıa devolver el colegio a los jesuitas. Los alumnos hicieron un plante sin excesivatrascendencia: se negaron a cantar en la capilla, a recitar en clase y a brindar por LuisXVIII en un banquete colegial. En represalia, el profesor expulso a 40 alumnos sospechososde haber encabezado la rebelion. Aunque Galois no fue expulsado, la arbitraria accion delprofesor contribuyo sin duda a fomentar los recelos que Galois pudiera sentir hacia laautoridad.

En sus primeros anos de liceo, Galois gano varios premios de griego y latın. Aunque,durante el tercer ano, su trabajo en retorica fue considerado insuficiente y tuvo que repetircurso. Fue despues de ese tropezon cuando Galois recibio su primer curso de matematicas.Tenıa entonces 15 anos. El curso, impartido por Hippolyte Jean Vernier, desperto el geniomatematico de Galois. Tras engullir a toda velocidad los manuales al uso, fue derechohacia las obras maestras de la epoca, devorando los Elements de Geometrie de AdrienMarie Legendre, emprendiendola inmediatamente con las memorias originales de JosephLouis Lagrange: La resolucion de ecuaciones algebraicas, La teorıa de funciones analıticasy Lecciones sobre el calculo de funciones. Fue sin duda de Lagrange de quien aprendio porvez primera la teorıa de ecuaciones, teorıa a la que el mismo habrıa de realizar contribu-ciones fundamentales a lo largo de los cuatro anos siguientes. El descubrimiento de lasmatematicas provoco un sorprendente cambio en la personalidad de Galois. Empezo a des-cuidar las otras materias, atrayendo hacia sı la hostilidad de los profesores de humanidades.Incluso Vernier, aunque sin pretender enfriar la pasion matematica de Galois, le insistio enla necesidad de trabajar mas sistematicamente. Galois decidio en cambio presentarse alexamen de ingreso en la Ecole Polytechnique con un ano de anticipacion y sin el curso de

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preparacion matematica habitual. Careciendo de formacion fundamental, fue rechazado.Galois considero su fracaso como una injusticia, y ello endurecio su rechazo a la autori-dad. No obstante, continuo progresando rapidamente en matematicas, matriculandose en elcurso superior de esta ciencia en el Louis-de-Grand, impartido por el profesor Louis-Paul-Emile Richard, quien se percato inmediatamente de las dotes de Galois, solicitando quefuera admitido sin examen previo en la Ecole Polytechnique. Aunque su recomendacion nofue atendida, el estımulo de Richard produjo en Galois resultados espectaculares.

En 1829, siendo todavıa estudiante, Galois logro publicar su primer trabajo. Se titulabaDemostracion de un teorema sobre fracciones continuas periodicas, y aparecio en Annalesde mathematiques pures et appliquees, de Joseph Diaz Gergonne. Este artıculo, sin em-bargo, solo fue un pequeno aporte. Galois habıa ya dirigido su atencion hacia la teorıa deecuaciones, tema que habıa explorado por primera vez en las obras de Lagrange. A sus 17anos estaba atacando uno de los mas difıciles problemas de las matematicas; un problemaque habıa mantenido en jaque a los matematicos durante mas de un siglo. Lo que Galoisconsiguio fue dar criterios definitivos para determinar si las soluciones de una ecuacionpolinomica podran o no calcularse por radicales. Sin embargo, mas notables quiza que losdescubrimientos de Galois en teorıa de ecuaciones fuesen los metodos que ideo para estu-diar el problema. Sus investigaciones abrieron las puertas de una teorıa cuyas aplicacionesdesbordan con mucho los lımites de la teorıa de ecuaciones: la teorıa de grupos. Galoispresento a la Academia de Ciencias Francesa sus primeros artıculos sobre lo que llegarıa aser teorıa de grupos. Le faltaban menos de dos meses para examinarse por segunda vez delas pruebas de acceso a Ecole Polytechnique, pero los acontecimientos de su vida habrıande tomar un desdichado giro.

Apenas unas semanas antes del examen, el padre de Evariste puso fin a su vida, as-fixiandose en su apartamento de Parıs. Las circunstancias en las que se planteaba el examende ingreso eran las peores posibles. Ademas, al parecer, Evariste declino seguir en su exposi-cion las indicaciones del examinador y fue suspendido por segunda y definitiva vez. Estosdos desastres hicieron cristalizar su odio por la jerarquıa conservadora, entonces gober-nante en Francia. Viendose obligado a tomar en consideracion la menos prestigiosa EcoleNormale, Galois se presento a los examenes de bachillerato necesario para ser admitido,en noviembre de 1829. Esta vez fue aprobado en razon de una excepcional calificacion enmatematicas, recibiendo la categorıa de universitario aproximadamente al mismo tiempoque sus trabajos sobre teorıa de grupos iban a ser presentados a la Academia de Ciencias.Sus artıculos, sin embargo, nunca llegarıan a ver la luz del dıa. Cuando sus trabajos fueronrecibidos por la Academia, fueron enviados a Jean Baptiste Joseph Fourier, matematicoinventor del hoy llamado analisis armonico o analisis de Fourier, en su calidad de secre-tario perpetuo de la Academia. Desgraciadamente Fourier murio en mayo, y el artıculo deGalois no pudo hallarse entre los efectos de Fourier. Mas tarde, Galois atribuirıa su malasuerte a un malvado intento de la Academia, acusando al jurado de rechazar su trabajo deantemano, por ser su autor de nombre Galois, y ademas, tan solo un estudiante.

Pocas dudas caben hoy de que la actitud de Galois hacia las autoridades empezaba amostrar rasgos paranoides. A pesar de estos retrasos y desenganos, Galois continuo siendo

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matematico productivo y empezo a publicar en el Bulletin des sciences mathematiques,astronomiques, physiques et chimiques del Baron de Ferussac. Sus artıculos prueban clara-mente que en 1830 habıa ido mas alla que ningun otro matematico en la busqueda de lascondiciones que determinan la solubilidad de las ecuaciones, si bien no disponıa todavıa deun analisis completo. En enero de 1831, habıa llegado a una conclusion, que sometio a laAcademia en una nueva memoria, escrita a peticion del matematico Simeon Denis Poisson.Esta memoria es la mas importante de las obras de Galois. Poisson hizo cuanto pudo paracomprender el manuscrito, pero acabo recomendando a la Academia que lo rechazase yanimando a Galois a desarrollar y explicitar su exposicion.

Por la epoca en que Galois habıa terminado casi su trabajo en teorıa de grupos, losacontecimientos de su vida habıan cobrado fuerte tinte polıtico.En julio de 1830 la oposicionrepublicana tomo las calles y obligo a exiliarse al rey Carlos X. Mientras los estudiantesizquierdistas de la Ecole Polytechnique tuvieron en la lucha un papel activo, Galois y suscompaneros de la Ecole Normale fueron encerrados en la escuela por su director. Indignado,Galois intento sin exito escalar los muros: al no conseguirlo no tomo parte en la breve rev-olucion. Aunque los republicanos consideraron que la abdicacion del Borbon fue una granvictoria, su triunfo fue efımero. Para frustracion de Galois y de otros liberales de ideologıaafın, el trono fue nuevamente ocupado, esta vez por Luis Felipe de Orleans. En los mesesinmediatos a la revolucion, Galois entro en contacto con lıderes republicanos, ingreso ensociedades republicanas y, verosımilmente, intervino en las algaradas y manifestacionesque por entonces atormentaban Parıs. En diciembre de 1830, la ruptura de Galois con laEcole Normale era ya oficial. Galois habıa escrito una carta a su director, donde le llamabatraidor por su actitud durante la revolucion de julio. No sorprende, pues, que lo expulsaran.Tras su expulsion de la Ecole Normale se mudo al piso de su madre en Parıs; tan difıcilresultaba convivir con el, que su propia madre le abandono. El suceso culminante de laturbulenta primavera de 1831 ocurrio durante un banquete republicano done se celebrabala absolucion de 19 oficiales de artillerıa que habıan sido acusados de conspirar contra elgobierno. Galois se puso en pie para proponer un brindis: ”¡Por Luis Felipe!”, dijo, alzandoal mismo tiempo su copa y un punal. A causa de esta accion desafiante fue detenido al dıasiguiente y encarcelado durante mas de un mes en la prision de Sainte-Pelagie. En el juicio,la defensa de Galois sostuvo que el brindis habıa sido: ”¡Por Luis Felipe, si traiciona!”perola frase ”si traiciona”habıa quedado ahogada por el clamor de los comensales. No se sabesi los jurados creyeron este alegato o si se conmovieron por la juventud de Galois, quecontaba entonces con 19 anos; lo cierto es que le absolvieron en pocos minutos. Sin em-bargo, en el dıa de la Bastilla, el 14 de julio de 1831, menos de un mes despues de suabsolucion, Galois fue nuevamente detenido, esta vez por vestir ilegalmente el uniformede la Guardia de Artillerıa. Considerado amenaza para el trono, este cuerpo habıa sidodisuelto; el gesto de Galois fue, por consiguiente, un acto de desafıo. Esta vez durmio ochomeses en Sainte-Pelagie. La permanencia en prision tuvo sobre Galois efectos devastadores,quien pasaba del mas profundo desaliento a la ira ciega. Con ocasion de la muerte de untiro de un companero de prision, parece que Galois acuso al superintendente de la carcelde haber amanado el incidente. Galois fue entonces encerrado en la celda de castigo, quizas

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a consecuencia de la acusacion. Pese a todas estas calamidades, quizas el peor golpe paraGalois fuera ver su trabajo de 1831 rechazado por la Academia. A mediados de marzode 1832 se le traslado de Sainte-Pelagie a la casa de salud Sieur Faultrier, a causa de laepidemia de colera que sufrio Parıs. Al parecer fue allı donde conocio a una mujer con laque mantuvo una relacion que tuvo que ser de poca duracion. Dos cartas fragmentarias lefueron escritas a Galois en las semanas anteriores al duelo, cartas que hacen pensar en unadisputa de caracter personal. La primera carta comienza:

”Por favor, rompamos nuestras relaciones. No tengo animo para proseguir una corre-spondencia de esta naturaleza, aunque me esforzare en reunir el suficiente para conversarcontigo como lo hacıa antes de que nada sucediera...”

La segunda carta es de contenido semejante, y la primera de ellas lleva la firma”Stephanie D.”. Al parecer, era hija de un medico residente en Sieur Faultrier. Por tanto,la ”infame coqueta.a quien Galois culpa de sus desgracias en una carta escrita la nocheanterior al duelo era seguramente esta mujer, cuyo nombre aparece con frecuencia en losmargenes de los papeles de Galois: ”Muero vıctima de una coqueta infame y de sus dos en-candilados.” Si embargo, en el duelo en el que Galois perdio la vida, el adversario era comoel, un ardiente republicano. Mas aun, al parecer, era uno de los 19 oficiales de la Guardiade Artillerıa cuya absolucion fue ocasion del desafiante brindis que Galois ofrecio al rey.El duelo fue entre amigos y se desarrollo como una especie de ruleta rusa estando cargadasolamente una de las pistolas.

4. La teorıa de Galois

La idea genial bajo la teorıa de Galois es que se pueden representar ciertos conjuntosasociados a la solucion de ecuaciones algebraicas mediante grupos de simetıas.

4.1. Ecuacion general de segundo grado

Partimos de la expresion x2 + bx + c = 0.Considerando sus raıces r1 y r2 como variables arbitrarias, los coeficientes b y c vienen

dados por funciones polinomicas simetricas de ellas:

x2 + bx + c = (x− r1)(x− r2) ⇒b = b(r1, r2) = −r1 − r2

c = c(r1, r2) = r1 · r2

La formula para resolver la ecuacion (hallar r1 y r2 a partir de b y c) es −b±√

b2−4c2

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donde el radical obra el milagro de pasar una funcion simetrica en r1 y r2, concretamenteb2 − 4c = (r1 + r2)

2 − 4r1r2 a dos funciones no simetricas√

b2 − 4c = ± (r1 − r2)consideremos el conjunto K0 de todas las expresiones que se pueden obtener a partir

de b y c haciendo sumas, restas, multiplicaciones y divisiones, por ejemplo b(c2−b)

+ b2 ∈ K0

y K1 = K0

(√b2 − 4c

)definido de igual manera que K0 pero permitiendo tambien operar

con√

b2 − 4c.

Se tiene b, c ∈ K0 y r1, r2 ∈ K1, de forma que el paso de K0 a K1 representa resolverla ecuacion. Como las funciones de K0 son invariantes al permutar sus dos variables (r1 yr2), diremos que su grupo de simetrıas es S2, mientras que las funciones de K1 no son engeneral simetricas de ningun modo y por tanto le asignaremos el grupo trivial de simetrıas{id}.

K0√

K1 = K0

(√b2 − 4c

)l l

S2 = G0 B G1 = {id}

No hay duda de la normalidad porque G1 tiene ındice 2 respecto de G0, es decir|S2||{id}| = 2.

4.2. Ecuacion general de tercer grado

Sea x3 + bx2 + cx + d = 0, de nuevo b, c y d se pueden considerar como funcionessimetricas en las variables r1, r2 y r3 que representan las raıces:

x3 + bx2 + cx + d = (x− r1) (x− r2) (x− r3) =⇒ b = b (r1, r2, r3) = −r1 − r2 − r3

c = c (r1, r2, r3) = r1r2 + r1r3 + r2r3

d = d (r1, r2, r3) = −r1r2r3

La formula (ver ”Calculus”, M. Spivak, ed. Reverte 1990, pag. 642) para resolver laecuacion es en este caso bastante mas complicada y se puede escribir como

− b

3+

t

3+

b2 − 3c

3t, con t =

3√

E

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donde

E =9bc− 2b3 − 27d +

√D

2y D =

(9bc− 2b3 − 27d

)2+ 4

(3c− b2

)3.

En conclusion, la resolucion de la ecuacion pasa por hallar primero una raız de D ydespues otra cubica (trivaluada) de E. Sustituyendo b, c y d en terminos de las raıcesvemos que:

D = −27 (r1 − r2)2 (r1 − r3)

2 (r2 − r3)2 y E =

(r1 + ζr2 + ζ2r3

)3

donde ζ es una raız cubica no trivial de la unidad, esto es,

ζ =−1± i

√3

2

De nuevo se observa la perdida de simetrıas por medio de los radicales: D es una funcionsimetrica en r1, r2 y r3, mientras que

√D no lo es, aunque perduran algunas simetrıas por

ejemplo√

D es invariante al cambiar (r1, r2, r3) 7−→ (r2, r3, r1). Tambien E goza de lasmismas simetrıas que

√D pero al extraer la raız cubica se pierden todas ellas.

Utilizando la misma notacion que para la ecuacion de segundo grado, el esquema re-sultante es

K0√

K1 = K0

(√D

)3√

K2 = K1

(3√

E)

l l lS3 = G0 B G1 = A3 B G2 = {id}

donde:

A3 son las permutaciones pares, generadas por (r1, r2, r3) 7−→ (r2, r3, r1). Si llamamosa esta permutacion α entonces se tiene A3 = 〈α〉 = {id, α, α2}.

S3 es el grupo simetrico de tres elementos, esto es,S3 = {id, α, α2, β, αβ, α2β},dondeα es la permutacion anterior y β es una transposicion.

La normalidad de A3 en S3 se justifica facilmente porque el ındice es |S3||A3| = 2. Es evi-

dente que {id} tambien es un subgrupo normal de A3 por la propia definicion de normalidad(H C G ⇔ xHx−1 ⊂ H,∀x ∈ G).

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4.3. Ecuacion general de cuarto grado

Para resolver la ecuacion de cuarto grado la formula es muchısimo mas compleja. Enuna de las maneras de escribirla hay que hacer:

F −√

F − 3√

G−√

H −√

I

al expresar todo en terminos de las variables r1, r2, r3 y r4, que representan las raıces,el fenomeno de perdida de simetrıas se repite, desde F que las tiene todas, hasta

√I que

no tiene ninguna.En este caso se tiene

K0√

K1 = K0

(√F

)3√

K2 = K1

(3√

G) √

K3 = K2

(√H

) √K4 = K3

(√I)

l l l l l

G0 B G1 B G2 B G3 B G4 = {id}

siendo:

G0 = S4 el grupo simetrico de 4 elementos.

G1 = A4 el subgrupo de las permutaciones pares, es decir, el generado por σ =(r1, r2) (r3, r4) , τ = (r1, r3) (r2, r4) y λ = (r1, r2, r3).

G2 = 〈σ, τ〉 = {id, σ, τ, στ} donde σ y τ son las permutaciones descritas anterior-mente. En particular G2

∼= Z2×Z2, puesto que tienen el mismo numero de elementos,todos ellos de orden 2 salvo la identidad (y por tanto existe un isomorfismo).

G3 = 〈σ〉 = {id, σ} ∼= Z2.

A4 es subgrupo normal de S4 porque tiene ındice |S4||A4| = 24

12= 2.

Para comprobar que G2 es subgrupo normal de A4 basta aplicar la definicion a λ,porque que los otros elementos ya estan en G2:

λ−1σλ = τ ⊂ G2

λ−1τλ = στ ⊂ G2

}⇒ A4 B G2

El resto de los subgrupos tambien son normales porque tienen ındice 2.

De esta forma reflejamos el metodo para resolver las ecuaciones de grado n = 2, 3, 4 enuna ”cadena ” de subgrupos que empiezan en Sn (grupo de Galois) y acaba en {id}. Ademas

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-y aquı esta la clave de las aportaciones de Galois- siempre que empleemos radicales pararomper simetrıas cada subgrupo debe ser normal en el anterior (Gi B Gi+1), para cualquierecuacion algebraica particular, la estructura interna de K0 esta fielmente reflejada en laestructura del grupo de Galois, lo cual es realmente destacable porque permite pasar deestudiar un conjunto infinito y de alguna forma continuo a otro finito discreto (l).

5. Ecuacion general de quinto grado: la gran incogni-

ta.

Aplicando el metodo anterior nos damos cuenta de que no existe ninguna cadena de sub-grupos desde S5 a {id} siendo cada uno subgrupo normal del anterior. Ası, no sera posibleescribir una expresion del tipo

S5

√

B A5 B . . . B {id}

porque A5 no tiene subgrupos normales propios (de hecho no los tiene ningun An, n ≥5). La cadena se corta y nos faltan por hacer los radicales 5

√, 3√

,√

,√

.Por tanto no existe una formula para resolver la ecuacion de quinto grado usando solo

sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y radicales (teorema de Abel). Lo mismo seaplica a la ecuacion general de grado n > 5. Evidentemente hay casos particulares, comopor ejemplo x6 − 7 = 0 que sı puede resolverse por radicales.

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Referencias

[1] J.R. Dorronsoro, E. Hernandez Numeros, grupos y anillos, 1996 Addison-WesleyIberoamericana-UAM

[2] H.M. Edwards Galois theory, 1998 Ed. Springer

[3] F. Corbalan Galois. Revolucion y matematicas, 2000 Ed. Nivola

[4] Boyer, Carl B. Historia de la matematica, Alianza Editorial

[5] http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/fchamizo/algebraIIn.html

[6] http://www.mat.usach.cl/histmat/html/galo.html

[7] http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Biografias/05-2-b-galois.html

[8] http://www.divulgamat.net/weborriak/Historia/MateOspetsuak/Galois3.asp

14

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http://www.divulgamat.net/weborriak/Historia/MateOspetsuak/Galois3.asp

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