Geometria Analitica

Actividad 5. La mediatriz

Unidad 1 Introducción a la Geometría Analítica

Facilitador: CRESENCIANO ECHAVARRIETA ALBITER

Alumno: Ismael Reyna Gracia.

Matricula: AL12515290

Grupo: MT-GAN-1203-004

Actividad 5. La mediatriz

Casos para encontrar la mediatriz de un segmento

Caso A: Un problema en el que solo se cambian los datos.

A partir de la escena (la mediatriz de un segmento), elige un punto cualquiera que pertenezca a la recta, y verifica que cumple lo establecido en la ecuación de la mediatriz de un segmento.

Recuerda que los extremos del segmento, definidos anteriormente como A (1, 1) y B (6, -3), se encuentran fijos.

Por otra parte, P es cualquier punto que pertenece a la recta de manera que puedes elegir de la escena cualquier par de coordenadas que estén sobre la recta, como: (5.5, 1.5) o (0, -5.38), por ejemplo.

Nota: el valor exacto de la ordenada es – 5. 375 pero el resultado se redondea a dos decimales debido a que se obtuvo por medio de un graficador.

Debes tener mucho cuidado cuando aproximes a dos o tres decimales una determinada cifra, ya que al realizar cálculos matemáticos empleando la tecnología, se pueden presentar pequeñas variaciones que conllevan errores en los resultados.

1.- Repaso de uno de los ejercicios del material de la UNAD.

Sean los puntos A (1 , 1) y B (6 , - 3) los extremos de un segmento.

Comprueba que P (4.3, 0) pertenece a la mediatriz del segmento AB.

y = - x (x2 – x1 ) - x12 – x 2

2 + y 12 – y 2

2

(y2 – y1) 2 (y2 – y1)

Sustituyendo tenemos que………………0 = - 4.3 ( 6 – 1 ) – 1 2 – 6 2 + 1 2 - 3 2 ( -3 – 1) 2 ( - 3 – 1)

Realizando las operaciones……………..0 = - 4.3 ( 5 ) – 1 – 36 + 1 – 9 ( – 4) 2 ( – 4 )

Por lo tanto tenemos…………………….0 = - 21.5 – - 43 – 4 – 8

0 = 5.375 – 5.375……………..0 = 0

La grafica la elabore con el software geometría que esta en la sig. Fuente: http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Lugares_geométricos_(1ºBach)

CASO A: Un problema en donde solo se cambian los datos

A ( 1 , 1 ) B ( 6 , -3 ) Si tomo ( 5.5 , 1.5 )

(6 ,-3)

(1 ,1)

Tenemos lo siguiente…………………………… y = - x (x2 – x1 ) - x12 – x 2

2 + y 12 – y 2

2

(y2 – y1) 2 (y2 – y1)

Sustituyendo tenemos que………………1.5 = - 5.5 ( 6 – 1 ) – 1 2 – 6 2 + 1 2 - 3 2 ( -3 – 1) 2 ( - 3 – 1)

Realizando las operaciones……………..1.5 = - 5.5 ( 5 ) – 1 – 36 + 1 – 9 ( – 4) 2 ( – 4 )

Por lo tanto tenemos…………………….1.5 = - 27.5 – - 43 – 4 – 8

Realizando las operaciones indicadas….1.5 = 6.875 – 5.375………Restando tenemos

1.5 = 1.5 Por lo tanto el punto P ( 5.5 , 1.5 ) Pertenece a la mediatriz.

Caso B: Un problema que conserva los datos, cambiando las condiciones.

Cuando se tenga un segmento cuyos extremos son A= (1, 1) y B= (6, - 3), deberás elegir un punto que no pertenezca a la recta y verificar que no se cumpla la igualdad definida en la ecuación.

y = - x (x2 – x1 ) - x12 – x 2

2 + y 12 – y 2

2

(y2 – y1) 2 (y2 – y1)

(1 ,1)

(6 ,-3)

(5.5 , -1.5)●

Para resolver este problema utiliza el punto que no pertenece a la recta.

A= (1 ,1) B= (6,-3), P=(3 , 2)

Sustituyendo tenemos que………………0 = - 3 ( 6 – 1 ) – 1 2 – 6 2 + 1 2 – (-3) 2 (-3 – 1) 2 (- 3 – 1)

Realizando las operaciones……………..0 = - 3 ( 5 ) – 1 – 36 + 1 – 9 (– 4) 2 (– 4)

Por lo tanto tenemos…………………….0 = - 15 – (- 43) - 4 - 8

0 = 3.75 – 5.375……………..0 = - 1.625

Por lo tanto el punto P=(3 , 2) no pertenece a la mediatriz

La línea azul muestra claramente que el P (3, 2) NO pertenece a la mediatriz

Caso C: Un problema para un caso distinto

Repite l procedimiento anterior y elige los puntos A, B y P, y que mejor te convengan para resolver el problema.

Para ello, coloca en la escena una nueva posición para los puntos A y B, después elige el punto P y demuestra si pertenece o no a la mediatriz del segmento elegido.

Para resolver este problema utiliza el punto que no pertenece a la recta.

A= (2 ,1) B= (4,-3), P= (5,2)

A=(x1 , y1) B=(x2 , y2) P=(x , y)

(1 ,1)

(6 ,-3)

(3 ,2)●

Formula…………………………………………… y = - x (x2 – x1 ) - x12 – x 2

2 + y 12 – y 2

2

(y2 – y1) 2 (y2 – y1)

Datos.

y=2 x=5 x1=2 y1=1 x2=4 y2=3

Sustituyendo tenemos que………………0 = - 5 (4 – 2 ) – 2 2 – 4 2 + 1 2 – (-3) 2 (-3 – 1) 2 (- 3 – 1)

Realizando las operaciones……………..0 = - 5 (2) – 4 – 16 + 1 – 9 (– 4) 2 (– 4)

Por lo tanto tenemos…………………….0 = - 10 – (- 20) - 4 - 8

2 = 2.5 – 2.5……….……………..2 ≠ 0

Por lo tanto el punto P= (5, 2) NO pertenece a la mediatriz.

3. Problema creado

Por ultimo creare mi problema como lo indica la actividad 5. La mediatrizMe encontraba en el punto A y tenia que encontrarme con mi amigo Ramiro que se encontraba en el punto B para posteriormente ir a tomar un café juntos al punto P en el centro de la ciudad, ¿cual seria el punto medio para encontrarnos y dirigirnos al punto P que pertenece a la mediatriz ? El problema era encontrar la mediatriz de las coordenadas de los puntos A y B.

En la siguiente escena comprobaremos que el punto P pertenece a la mediatrizSean los puntos A (-3, 4) y B (1, 0) los extremos de un segmento.Comprueba que el punto P (1 ,4) pertenece a la mediatriz del segmento AB.

Para resolver este problema utilice el punto P (1 ,4)A= (-3 ,4) B= (1,0), P= (1,4)

A=(x1, y1) B=(x2, y2) P=(x, y)

(2 ,1)

(4 ,-3)

(5 ,2)●

Datos: y=4 x=1 x1=-3 y1=4 x2=1 y2=0

Formula…………………………………………… y = - x (x2 – x1 ) - x12 – x 2

2 + y 12 – y 2

2

(y2 – y1) 2 (y2 – y1)

Sustituyendo tenemos que………………4 = - 1 (1 – (-3)) – (-3) 2 – (1) 2 + (4) 2 – (0) 2 (0 – 4) 2 (0 –4)

Realizando las operaciones……………..4 = - 4 – 9 – 1+ 16 –0 - 4 - 8

Por lo tanto tenemos…………………….4 = - 4 – 24 - 4 - 8

4 = 1 – (-3)……..…………….4 = 1 + 3 =…….……………..4 = 4

Por lo tanto el punto P= (1, 4) SI pertenece a la mediatriz.

Conclusiones: La presente Actividad fue muy laboriosa y muy entretenida, la solución de los ejercicios me dio práctica en cuanto a mis conocimientos; Al principio pensé que no podría con esta actividad sin embargo la practica me ayudo mucho, pensé que el punto que se buscaba se encontraba sobre la recta, pero después me di cuenta con la reflexión de los ejercicios, comprendí que el punto hallado forma parte de una recta que es la mediatriz.

●(-3 ,4)

(1 ,0)

P (1 ,4)