García Zarate Óscar Augusto - Introducción a La Lógica
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Introducción a la Lógica – Óscar Augusto García Zarate Pág. 1 Contenido Presentación .......................................................................................................................................................................................... 6 CONCEPTOS PRELIMINARES.......................................................................................................................................................... 7 Génesis de la lógica .......................................................................................................................................................................... 7 Usos de la palabra “lógica” como sustantivo, adjetivo y adverbio, en el lenguaje coloquial ................................................ 8 Como sustantivo ............................................................................................................................................................................... 8 Como adjetivo ................................................................................................................................................................................... 8 Como adverbio.................................................................................................................................................................................. 8 La lógica como ciencia formal de análisis y deducción ............................................................................................................... 9 Definiciones incorrectas de la lógica ............................................................................................................................................ 10 La lógica como ciencia de las leyes del pensamiento ................................................................................................................ 10 La lógica como ciencia del razonamiento .................................................................................................................................... 10 Noción de forma lógica .................................................................................................................................................................. 11 Razonamiento deductivo y razonamiento inductivo * .............................................................................................................. 12 Cuestionario N.º 1 ........................................................................................................................................................................... 15 Esbozo del desarrollo histórico de la lógica ................................................................................................................................ 15 Edad Antigua .................................................................................................................................................................................. 16 Edad Media ..................................................................................................................................................................................... 16 Renacimiento y Edad Moderna .................................................................................................................................................... 16 Edad Contemporánea .................................................................................................................................................................... 18 Lógica clásica y lógica no-clásica .................................................................................................................................................. 18 Cuestionario N.º 2 ........................................................................................................................................................................... 20 División de la lógica ....................................................................................................................................................................... 20 Lógica, filosofía de la lógica, metalógica y semiótica ................................................................................................................ 22 Cuestionario N.º 3 ........................................................................................................................................................................... 23 Pensamiento y lenguaje ................................................................................................................................................................. 23 Lógica y lenguaje: funciones básicas del lenguaje ..................................................................................................................... 25 Cuestionario N.º 4 ........................................................................................................................................................................... 26 Ejercicio Nº. 1................................................................................................................................................................................... 27 Ejercicio Nº. 2................................................................................................................................................................................... 28 Ejercicio N.º 3................................................................................................................................................................................... 28 Primera parte ...................................................................................................................................................................................... 29 Concepto de proposición ............................................................................................................................................................... 30 Expresiones lingüísticas que no son proposiciones ................................................................................................................... 30 Proposición, oración y enunciado ................................................................................................................................................ 31 Clases de proposiciones ................................................................................................................................................................. 32 Clasificación de las proposiciones moleculares .......................................................................................................................... 33
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Introduccin a la Lgica scar Augusto Garca Zarate
Pg. 1
Contenido Presentacin .......................................................................................................................................................................................... 6
CONCEPTOS PRELIMINARES.......................................................................................................................................................... 7
Gnesis de la lgica .......................................................................................................................................................................... 7
Usos de la palabra lgica como sustantivo, adjetivo y adverbio, en el lenguaje coloquial ................................................ 8
Como sustantivo ............................................................................................................................................................................... 8
Como adjetivo ................................................................................................................................................................................... 8
Como adverbio .................................................................................................................................................................................. 8
La lgica como ciencia formal de anlisis y deduccin ............................................................................................................... 9
Definiciones incorrectas de la lgica ............................................................................................................................................ 10
La lgica como ciencia de las leyes del pensamiento ................................................................................................................ 10
La lgica como ciencia del razonamiento .................................................................................................................................... 10
Nocin de forma lgica .................................................................................................................................................................. 11
Razonamiento deductivo y razonamiento inductivo * .............................................................................................................. 12
Cuestionario N. 1 ........................................................................................................................................................................... 15
Esbozo del desarrollo histrico de la lgica ................................................................................................................................ 15
Edad Antigua .................................................................................................................................................................................. 16
Edad Media ..................................................................................................................................................................................... 16
Renacimiento y Edad Moderna .................................................................................................................................................... 16
Edad Contempornea .................................................................................................................................................................... 18
Lgica clsica y lgica no-clsica .................................................................................................................................................. 18
Cuestionario N. 2 ........................................................................................................................................................................... 20
Divisin de la lgica ....................................................................................................................................................................... 20
Lgica, filosofa de la lgica, metalgica y semitica ................................................................................................................ 22
Cuestionario N. 3 ........................................................................................................................................................................... 23
Pensamiento y lenguaje ................................................................................................................................................................. 23
Lgica y lenguaje: funciones bsicas del lenguaje ..................................................................................................................... 25
Cuestionario N. 4 ........................................................................................................................................................................... 26
Ejercicio N. 1................................................................................................................................................................................... 27
Ejercicio N. 2................................................................................................................................................................................... 28
Ejercicio N. 3................................................................................................................................................................................... 28
Primera parte ...................................................................................................................................................................................... 29
Concepto de proposicin ............................................................................................................................................................... 30
Expresiones lingsticas que no son proposiciones ................................................................................................................... 30
Proposicin, oracin y enunciado ................................................................................................................................................ 31
Clases de proposiciones ................................................................................................................................................................. 32
Clasificacin de las proposiciones moleculares .......................................................................................................................... 33
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Introduccin a la Lgica scar Augusto Garca Zarate
Pg. 2
Cuestionario N. 5 ........................................................................................................................................................................... 35
Ejercicio N. 4................................................................................................................................................................................... 36
Ejercicio N.5 ................................................................................................................................................................................... 36
El lenguaje natural y el lenguaje formalizado ............................................................................................................................ 38
Variables proposicionales y operadores lgicos ......................................................................................................................... 38
Principales notaciones simblicas ................................................................................................................................................ 38
Sistemas de Scholz y Peano-Russell ............................................................................................................................................. 39
Sistema de Lukasiewicz ................................................................................................................................................................. 39
Reglas de formacin de frmulas lgicas .................................................................................................................................... 39
Formalizacin de proposiciones ................................................................................................................................................... 40
Formalizacin de inferencias ........................................................................................................................................................ 42
Ejemplos de formalizacin de inferencias ordenadas ............................................................................................................... 43
Ejemplos de formalizacin de inferencias desordenadas ......................................................................................................... 46
Cuestionario N. 6 ........................................................................................................................................................................... 47
Ejercicio N. 7................................................................................................................................................................................... 47
Reglas de formacin de frmulas lgicas .................................................................................................................................... 47
Ejercicio N. 8................................................................................................................................................................................... 48
Formalizacin de proposiciones ................................................................................................................................................... 48
Ejercicio N. 9................................................................................................................................................................................... 49
Formalizacin de inferencias ........................................................................................................................................................ 49
FUNCIONES VERITATIVAS Y TABLAS DE LA VERDAD ........................................................................................................ 50
Definicin tabular de los operadores lgicos .............................................................................................................................. 50
De la conjuncin.............................................................................................................................................................................. 50
De la disyuncin inclusiva ............................................................................................................................................................ 51
De la disyuncin exclusiva ............................................................................................................................................................ 52
Del condicional ............................................................................................................................................................................... 53
Del bicondicional ............................................................................................................................................................................ 54
De la negacin ................................................................................................................................................................................. 54
De la negacin conjunta ................................................................................................................................................................. 55
De la negacin alterna .................................................................................................................................................................... 55
Definicin tabular de frmulas moleculares complejas ............................................................................................................ 56
Clasificacin de las frmulas moleculares por su matriz principal ......................................................................................... 57
Implicacin y equivalencia de frmulas ......................................................................................................................................... 58
Implicacin de frmulas ................................................................................................................................................................ 58
Equivalencia de frmulas .............................................................................................................................................................. 59
Cuestionario N. 7 ........................................................................................................................................................................... 60
Ejercicio N. 10................................................................................................................................................................................. 60
Frmulas moleculares y tablas de verdad ................................................................................................................................... 60
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Introduccin a la Lgica scar Augusto Garca Zarate
Pg. 3
ANLISIS DE INFERENCIAS ...................................................................................................................................................... 62
Anlisis de inferencias a travs de la tabla de verdad ............................................................................................................... 62
Anlisis de inferencias por el mtodo abreviado ...................................................................................................................... 66
Anlisis de inferencias mediante el mtodo analgico.............................................................................................................. 68
Leyes de la lgica proposicional ................................................................................................................................................... 68
Principales reglas y leyes de la lgica proposicional ................................................................................................................. 69
Equivalencias tautolgicas ............................................................................................................................................................ 74
Cuestionario N. 8 ........................................................................................................................................................................... 76
Ejercicio N. 11................................................................................................................................................................................. 76
Anlisis de inferencias mediante la tabla de verdad, el mtodo abreviado y el mtodo analgico .................................... 76
EL MTODO DE LA DEDUCCIN NATURAL ........................................................................................................................... 82
La deduccin natural como un mtodo sintctico y no algortmico....................................................................................... 82
Modalidades de la deduccin natural ......................................................................................................................................... 82
Prueba directa (PD) ........................................................................................................................................................................ 82
La prueba condicional (PC) ........................................................................................................................................................... 83
La prueba por la reduccin al absurdo (PRA) ............................................................................................................................ 84
Cuestionario N. 9 ........................................................................................................................................................................... 85
Ejercicio N. 12................................................................................................................................................................................. 85
El mtodo de la deduccin natural .............................................................................................................................................. 85
FORMAS NORMALES .................................................................................................................................................................. 94
Concepto de formas normales ...................................................................................................................................................... 94
Clases de formas normales ............................................................................................................................................................ 94
Leyes de absorcin (Abs.) .............................................................................................................................................................. 97
REDUCTIBILIDAD DE FRMULAS .......................................................................................................................................... 98
Simplificacin de la lgica proposicional .................................................................................................................................... 98
Reductibilidad de frmulas a la negacin conjunta ................................................................................................................... 99
Reductibilidad de frmulas a la negacin alterna ...................................................................................................................... 99
Cuestionario N. 10 ......................................................................................................................................................................... 99
Ejercicio N. 13............................................................................................................................................................................... 100
Anlisis de inferencias mediante Las formas normales .......................................................................................................... 100
Ejercicio N. 14............................................................................................................................................................................... 102
Reductibilidad de frmulas ......................................................................................................................................................... 102
LA LGICA PROPOSICIONAL Y LOS CIRCUITOS ELCTRICOS .................................................................................... 102
El isomorfismo entre la lgica proposicional y los circuitos elctricos ................................................................................. 102
Tipos fundamentales de circuitos ............................................................................................................................................... 103
El circuito en serie ......................................................................................................................................................................... 103
El circuito en paralelo ................................................................................................................................................................... 104
Construccin, traduccin y simplificacin de circuitos ........................................................................................................... 105
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Pg. 4
CUESTIONARIO N. 11 ............................................................................................................................................................... 113
Ejercicio N. 15............................................................................................................................................................................... 113
La lgica proposicional y los circuitos elctricos ...................................................................................................................... 113
UNA PRESENTACIN AXIOMTICA DE LA LGICA PROPOSICIONAL ................................................................... 120
El sistema axiomtico ................................................................................................................................................................... 120
Sistema axiomtico de Principia Mathematica. Russell/Whitehead ........................................................................................ 120
Ejemplos de demostracin de teoremas .................................................................................................................................... 121
Cuestionario N. 12 ....................................................................................................................................................................... 122
Ejercicio N. 16.............................................................................................................................................................................. 123
Demostracin de teoremas de la lgica proposicional ............................................................................................................ 123
Segunda parte ................................................................................................................................................................................... 124
LGICA DE PREDICADOS........................................................................................................................................................ 124
Idea de la lgica de predicados ................................................................................................................................................... 124
Sintaxis de la lgica de predicados............................................................................................................................................. 125
Reglas de formacin de frmulas bien formadas ..................................................................................................................... 125
Formalizacin de proposiciones singulares .............................................................................................................................. 127
Formalizacin de funciones proposicionales ............................................................................................................................ 127
Formalizacin de proposiciones cuantificadas ......................................................................................................................... 128
Reglas de equivalencia entre cuantificadores (Intercambio de cuantificadores: IC) ........................................................... 128
Formalizacin de las proposiciones categricas ....................................................................................................................... 129
Proposicin universal afirmativa (A) ......................................................................................................................................... 129
Proposicin universal negativa (E)............................................................................................................................................. 130
Proposicin particular afirmativa ( I ) ........................................................................................................................................ 130
La proposicin ............................................................................................................................................................................... 130
Proposicin particular negativa (0) ............................................................................................................................................ 130
La proposicin ............................................................................................................................................................................... 130
Formalizacin del cuadro de Boecio en el lenguaje de predicados ....................................................................................... 130
Alcance de los cuantificadores .................................................................................................................................................... 131
Variables libres y ligadas ............................................................................................................................................................. 131
Frmulas abiertas y frmulas cerradas ...................................................................................................................................... 131
Leyes de oposicin aristotlica ................................................................................................................................................... 132
Demostracin de la validez de las leyes de la oposicin aristotlica ..................................................................................... 132
Consecuencias del nuevo enfoque de las leyes de la oposicin aristotlica ......................................................................... 133
El silogismo categrico................................................................................................................................................................. 133
Los modos y las figuras del silogismo categrico .................................................................................................................... 133
Formas vlidas de silogismos ..................................................................................................................................................... 134
Anlisis de silogismos mediante el mtodo analgico ............................................................................................................ 134
Cuestionario N. 13 ....................................................................................................................................................................... 136
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Pg. 5
EL MTODO DE LA DEDUCCIN NATURAL CON FRMULAS CUANTIFICADAS ................................................. 136
Reglas de eliminacin y reintroduccin de cuantificadores ................................................................................................... 136
Anlisis de silogismos mediante el mtodo de la deduccin natural ................................................................................... 137
Anlisis de inferencias asilogsticas mediante el mtodo de la deduccin natural ............................................................. 138
Distribucin de cuantificadores .................................................................................................................................................. 142
Formalizacin de predicados polidicos ................................................................................................................................... 143
Formalizacin de funciones proposicionales y proposiciones generales con predicados polidicos ............................... 144
Cuestionario N. 14 ....................................................................................................................................................................... 145
Ejercicio N. 17............................................................................................................................................................................... 146
Proposiciones y funciones proposicionales ............................................................................................................................... 146
Ejercicio N. 18............................................................................................................................................................................... 146
Formalizacin de proposiciones mediante el lenguaje de la lgica de predicados ............................................................. 146
Ejercicio N. 19............................................................................................................................................................................... 148
Equivalencia de frmulas ............................................................................................................................................................ 148
Ejercicio N. 20............................................................................................................................................................................... 149
Modos y figuras silogsticos ........................................................................................................................................................ 149
Ejercicio N. 21............................................................................................................................................................................... 149
Anlisis de silogismos mediante el mtodo analgico ............................................................................................................ 149
Ejercicio N. 22............................................................................................................................................................................... 150
Anlisis de silogismos mediante el mtodo de la deduccin natural con frmulas cuantificadas ................................... 150
Ejercicio N. 23............................................................................................................................................................................... 151
Demostracin de formas de inferencia vlidas mediante el mtodo de la deduccin natural con frmulas
cuantificadas.................................................................................................................................................................................. 151
Bibliografa .................................................................................................................................................................................... 154
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Introduccin a la Lgica scar Augusto Garca Zarate
Pg. 6
Presentacin
Segn Charles Peirce uno de los fundadores del pragmatismo norteamericano que atac de raz los problemas centrales
lgicos y filosficos ha dado un centenar de definiciones de la lgica. De acuerdo con Aristteles, la lgica puede ser
enfocada desde dos puntos de vista. Por un lado, la lgica como un instrumento orgnico para evaluar la validez de las
inferencias; por otro lado, como el estudio de los principios y mtodos usados para distinguir entre las inferencias vlidas
y las inferencias no vlidas.
La lgica formal contempornea es la lgica matemtica. Su desarrollo no es ajeno a los cambios de la ciencia actual, en
cuya historia podemos distinguir dos grandes etapas. La primera se extiende desde sus orgenes, es decir, cuando fue
creada por Aristteles en el siglo IV a. C., hasta mediados del siglo XIX. Es la etapa de la lgica antigua, tradicional o
aristotlica. La segunda, que se extiende desde mediados del siglo XIX hasta nuestros das, es la etapa de la lgica
matemtica, simblica o moderna o contempornea.
Nace como disciplina independiente en Grecia. Aristteles fue el primer gran filsofo que escribi un tratado de lgica.
Reuni en el rganon todo el material existente en su poca, incluyendo sus propios descubrimientos, entre los que
destaca la teora del silogismo, desarrollada sistemticamente en los Primeros analticos.
La lgica se enriqueci luego con valiosos aportes de los lgicos estoicos y megricos, de filsofos medievales y modernos,
pero sin experimentar cambios sustanciales. Se admita que el Estagirita haba descubierto todo lo que haba que descubrir
sobre lgica. Sin embargo, desde hace poco ms de un siglo, la lgica ha tomado un nuevo curso y en poco tiempo ha
realizado significativos progresos que la han renovado por completo. El impulso fue dado por dos matemticos ingleses:
George Boole y Augustus de Morgan, quienes desarrollaron la idea de Leibniz de construir la lgica como un clculo.
A fines del siglo XIX aparecen los trabajos de Gottlob Frege considerado el padre de la lgica moderna cuya primera
obra, el Begriffsschrift, se public en 1879, y los del italiano Giuseppe Peano Principios de la aritmtica (1889), que en
forma independiente lleg a resultados similares a los de Frege. Todos estos trabajos fueron sistematizados y
desarrollados por dos grandes filsofos: Bertrand Russell y Alfred N. Whitehead, cuyos trabajos fueron publicados en
una obra monumental, que consta de tres volmenes, denominada Principia Mathematica (1910-1913).
Posteriormente el matemtico y lgico alemn David Hilbert mostr que los defectos de la obra de Russell y Whitehead
se deban a la falta de rigor en el empleo del lenguaje y cre la llamada metateora, dando origen a una serie de
investigaciones notables, como las de Rudolf Carnap en el terreno de la sintaxis lgica y de Alfred Tarski en el de la
semntica lgica.
Por lo tanto la imagen actual de la lgica revela un progreso y diversificacin tan notable que resulta incorrecto hablar
simplemente de la lgica como se vena haciendo hasta entonces. En efecto, a partir de 1920, y sobre la base de la enorme
influencia que el filsofo y lgico austriaco Ludwig Wittgenstein lleg a ejercer a travs de su Tractatus Logico-
Philosophicus, surgen y se desarrollan ciertos sistemas de lgica que se separan, de diversos modos, de la lgica clsica.
Es el caso de las lgicas polivalentes, asociadas a nombres como Lukasiewicz y Post; la lgica intuicionista, creada por
Brouwer y sistematizada por Heyting; la lgica dialctica, formulada por los profesores Richard Routley, Robert Meyer y
Newton da Costa; y, finalmente, la lgica modal identificada con los trabajos de Lewis. Todas ellas caracterizadas como
lgicas no clsicas, de difusin grande en nuestros tiempos.
La lgica matemtica ha penetrado todas las dems ciencias y nutre de problemas a la filosofa. Es la base de la
investigacin en tecnologas formales que incluye los campos de programacin de computadoras, el anlisis de sistemas
y de investigacin operativa. Es la base de la ciberntica, disciplina que ha permitido importantes avances en el
conocimiento de los mecanismos de transmisin de informacin. Desconocerla, para el hombre del siglo XXI, significa
ignorar una de las creaciones ms fecundas del pensamiento humano.
Justamente, con el anhelo de iniciar a los alumnos de educacin superior en el estudio de esta importante disciplina,
ofrecemos el presente volumen de Introduccin a la Lgica. En l nos proponemos exponer en forma clara y sencilla los
elementos de esta ciencia formal. En la parte preliminar se examinan los conceptos bsicos de la lgica, en su relacin con
el pensamiento y el lenguaje; la segunda y la tercera partes, respectivamente, desarrollan los temas esenciales de la lgica
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Introduccin a la Lgica scar Augusto Garca Zarate
Pg. 7
proposicional y de la lgica de predicados. Se incluyen catorce cuestionarios y veintitrs ejercicios para ayudar al alumno
a adquirir un dominio prctico del material.
El seor Jos Antonio Tejada Sandoval, distinguido alumno de filosofa de San Marcos y ayudante del curso de Lgica en
el Integrado de Letras, ha participado activamente en la elaboracin del libro, tanto en la preparacin de los cuestionarios
y ejercicios, en las correcciones finales, cuanto en la redaccin de ciertas partes. Expresamos nuestro reconocimiento por
su valiosa y responsable contribucin.
Creemos que un trabajo de esta naturaleza contribuir a que el profesor de aula cuente con una pauta que le permita
dirigir la enseanza-aprendizaje del curso y, por lo que se refiere al alumno, le proporcionar un medio efectivo de
iniciarse en su estudio. En la medida en que esto suceda, nuestra tarea habr sido cumplida.
scar Augusto Garca Zrate
CONCEPTOS PRELIMINARES
Gnesis de la lgica
El origen de la lgica como ciencia formal se remonta a los tiempos de Aristteles (siglo IV a. C.), quien fue su creador.
Sin embargo, el gran filsofo de Estagira no emple este trmino para referirse a esta ciencia, sino que aluda a ella usando
la palabra analtica (del griego analysis: solucin, resolucin; fin, en el sentido de trmino). Es por esta razn que los
escritos fundamentales del rganon aristotlico (conjunto de sus investigaciones sobre lgica) reciben el nombre de
Analticos.
No se sabe exactamente por quin ni en qu poca ha sido empleada la palabra lgica en el sentido moderno. Segn
indicacin de Boecio el trmino lgica pudo haber sido creado por los comentadores de Aristteles para oponer el
rganon de ste a la dialctica estoica, tal vez en tiempo de Andrnico de Rodas. En todo caso esta palabra es empleada
por Cicern (siglo I a. C.); y el uso que se hace de ella en Alejandro de Afrodisia (siglo II d. C.) y en Galeno parece demostrar
que se haba hecho muy corriente en su poca. El empleo de este trmino es corriente desde los estoicos (siglo III a. C.):
los teoremas lgicos, las leyes lgicas, como una de las tres especies de filosofa.1
La palabra lgica proviene del vocablo griego logos y ste de la voz legein. Las significaciones respectivas son muchas
y variadas. Con fines didcticos seleccionaremos las que influyeron en el desarrollo de la lgica. En el pensamiento griego
el significado de la palabra logos desborda el campo lgico, pues llega a los terrenos metafsicos; as la us, por ejemplo,
Herclito. Logos traduca una nocin muy profunda que representa un principio de validez universal, pues sealaba que
toda la realidad se hallaba penetrada de l y por esta misma razn volva inteligibles todas las cosas. Incluso el hombre
participaba de l. De aqu que la tarea humana en el conocimiento de las cosas consista en ir purificando el pensamiento
para llegar a la visin del logos y as comprender la realidad. Por su parte, Manuel Garca Morente afirma que el griego
conceba el logos como aquella razn fundamental o frmula racional definitoria que explica el qu es de algo.
Justamente, ste es uno de los sentidos que, por ejemplo, Platn le adjudica a dicho trmino en la parte final del Teeteto,
al intentar definir el conocimiento. Nos parece que esta significacin metafsica del logos sirvi de base para crear la lgica
como un instrumento del pensamiento. En efecto, si la realidad es inteligible, entonces es posible buscar un mtodo de
pensar que haga evidente esa inteligibilidad.
El verbo legein signific, por un lado, norma racional, es decir, un camino especfico para el discurrir de la razn, la
cual siguiendo ese camino hallaba una gua para el logro de sus fines. Tambin signific la facultad de formar conceptos
correctos, lo cual implicaba que el pensamiento exento de todo error debe tambin, por esa misma calidad, ser una
representacin de la realidad.
Heidegger, en un artculo en que analiza detenidamente y desde una perspectiva filolgica el Fragmento 50 de Herclito,
se refiere al significado de legein, indicando que, en su sentido primigenio, este verbo tambin significa colocar, recoger,
recolectar. Heidegger, en relacin con esto, seala que el decir de los hombres se manifiesta como un colocar, y que esto
nos mostrara una nueva dimensin del ser del lenguaje que va ms all de la expresin y la significacin que,
habitualmente, han sido sealados como sus rasgos definitorios.
1 Cf. LALANDE, Andr, Vocabulario tcnico y crtico de la filosofa, Argentina, El Ateneo Editorial, 1966, pp. 586-587.
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Introduccin a la Lgica scar Augusto Garca Zarate
Pg. 8
Igualmente, logos significaba palabra, es decir, el lenguaje que traduca un pensamiento ya ordenado por la norma
racional. As, esta funcin especial del lenguaje interesaba a la lgica y se abri el camino para la determinacin del
concepto de proposicin, pues sta implica asertos y negaciones, los cuales son susceptibles de discusin y pueden llevar
la verificacin de su verdad o falsedad. Siguiendo este camino naci la lgica en el pensamiento griego. A travs de la
palabra que expresaba pensamientos correctos se poda organizar una ciencia que garantizara la inteligibilidad de las
cosas. Por supuesto que la lgica fue afinando su significacin hasta convertirse en el instrumento del pensar correcto de
que habla Aristteles.2
Usos de la palabra lgica como sustantivo, adjetivo y adverbio, en el lenguaje coloquial
Inmerso en el lenguaje coloquial el trmino lgica, en su uso sustantivo (la lgica, lo lgico, lo ilgico, la
logicidad, la ilogicidad), adjetivo (lgico, lgica, ilgico, ilgica y sus respectivos plurales) y adverbial
(lgicamente, ilgicamente), adquiere diversos sentidos.
Como sustantivo
Empleado como sustantivo en el lenguaje cotidiano la palabra lgica adquiere el sentido de estructura de razonamiento,
forma o modo de pensar o razonar, o, simplemente, razonamiento. As, se habla, por ejemplo, en un artculo periodstico,
de la lgica del escndalo, para referirse al modo de pensar de la prensa de nuestro medio, que decide brindar cobertura
a un hecho en funcin al escndalo que ste genere. Asimismo, se emplea el trmino lgica como sinnimo de sentido
comn, buen sentido, razn o actitud racional, cuando se afirma, por ejemplo, que felizmente prevaleci la lgica. Se
hace uso del sustantivo lgica, tambin, para significar una determinada estructura de ordenamiento o la forma en que
se encuentran dispuestas ciertas partes o ciertos elementos de un determinado conjunto a mbito. As, se es el sentido
que toma en el siguiente texto: Me he visto obligado dijo a creer que la lgica de sus acciones estaba desequilibrada
(Gustave Flaubert, Madame Bovary). Suele tambin significar, en otro contexto, coherencia o sentido; as, podemos leer:
Aunque todo es mentira, no deja de tener lgica lo que dice (Shakespeare, Hamlet).
Como adjetivo
En su uso adjetivo, la palabra lgica pasa a significar natural, en el sentido de previsible; es decir, hace referencia a
un hecho o accin que se esperaba sucediese como consecuencia necesaria de un evento determinado; y as se dice: Es
lgico que el anciano reaccione de la siguiente manera si le robaste las manzanas (Vasconcelos, Mi planta de naranja
lima). Tambin suele usarse el mencionado trmino para significar algo obvio o evidente: No poda haber ms que
un solo significado lgico tras las palabras de Luisa Bourget (A. Christie, Poirot en Egipto). Asimismo, pasa a significar,
en otros casos, necesario, como en el texto siguiente: Como consecuencia lgica de su buena actuacin en las tablas,
comenz a trabajar en el cine (Miguel Pajn, Grandes estrellas del cine). En otras ocasiones, con este trmino, se hace
referencia al carcter coherente que algo posee; en ese sentido, por ejemplo, se dice que los ingenieros hidrulicos
participantes en el proyecto propusieron soluciones lgicas al problema (El Comercio, 03-08-02, p. 10). Adems, cuando
se dice de algo que tiene un orden lgico, se hace referencia a aquello que tiene un orden riguroso, sistemtico y coherente,
aunque en este caso, tal vez, el uso del trmino sea redundante, pues todo orden, por definicin, supone un carcter lgico,
esto es, riguroso, sistemtico y coherente, de modo que este uso sera pleonstico. El empleo de la palabra lgico tambin
sirve para caracterizar una actitud como razonable o sensata, y as se dice, por ejemplo, de un determinado
funcionario que lo ms lgico sera que deje su cargo mientras goza de cierta aprobacin.
Como adverbio
En su uso adverbial el trmino lgica se convierte en lgicamente y expresa los mismos sentidos que posee como
adjetivo, aunque ya no calificando un sustantivo, pues esa funcin slo le corresponde al adjetivo, sino expresando
modo. De esta forma podemos decir, por ejemplo, que la decisin fue tomada, como es lgico, (en este caso, el uso es
adjetivo, y tiene el sentido de evidente) despus de un detenido anlisis, o, en otros trminos, pero de manera
2 Cf. GUERRA, Luis Felipe y Hugo GARCA SALVATECCI, Lgica Matemtica, Lima, Universo, 1984, pp. 7-8.
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equivalente, empleando el trmino bajo su forma adverbial, La decisin fue tomada, lgicamente, despus de un
detenido anlisis
Por ltimo, el trmino ilgico es usado como sinnimo de irracional, absurdo, incoherente e inverosmil,
cuando toma la forma de adjetivo. Como ejemplos de este uso tenemos: El alcalde de Miraflores inaugur el viernes una
obra inconclusa aunque suene ilgico (El Comercio, 18-08-02, p. 22); Lheureux qued estupefacto, era algo ilgico para
l lo que le estaba pasando (G. Flaubert, Madame Bovary). Ilgico no es usado como sustantivo, al menos no de la misma
forma que lgica, pues no cabe hablar de la ilgica de tal o cual accin o actitud, aunque s de su ilogicidad,
entendiendo esta palabra como sinnimo de irracionalidad, absurdidad, etc.; tambin cabe hablar de lo ilgico, pues al
anteponer a este trmino el artculo neutro se lo ha sustantivado, adquiriendo de este modo el valor significativo de
sinrazn o sinsentido. No es muy corriente, asimismo, el empleo de este trmino con valor adverbial, como s lo es,
en cambio, el uso de lgicamente.
La lgica como ciencia formal de anlisis y deduccin
La ciencia puede ser caracterizada como un sistema de proposiciones o conocimientos metdicamente establecidos y
comprobados, conectados por relaciones de fundamentacin y referentes a un dominio particular de objetos; la verdad
de sus proposiciones se establece va demostrativa o deductiva o bien a travs de la experiencia.
Aquellas ciencias que establecen la verdad de sus proposiciones mediante deducciones o demostraciones se denominan
formales, abstractas o estructurales. Son las que tratan de los objetos abstractos, ideales o puramente intelectuales, tales
como los nmeros. La lgica formal y la matemtica pura son ejemplos de estas ciencias. Aquellas otras que la establecen
a travs de la experiencia (observacin, medicin y experimentacin) se llaman ciencias fcticas, factuales, reales o
empricas. Estas ltimas, de las que son ejemplo las ciencias naturales y las ciencias sociales, tratan acerca de los objetos
reales, es decir, de entidades que se dan en la realidad espacio-temporal, entre las que se incluyen aquellos procesos,
fenmenos o hechos naturales y sociales que el hombre encuentra en su experiencia del mundo real (sea la dilatacin de
los cuerpos con el calor en la fsica, o la variacin de la moda en la sociologa, o la devaluacin monetaria en
economa).
Las ciencias formales estn constituidas por un conjunto de proposiciones denominadas analticas: su verdad o
falsedad se establece lgicamente. Ejemplos:
a) El tringulo tiene tres ngulos.
b) 2 + 3 = 5
c) La suma de los ngulos internos del tringulo es de 180.
Las ciencias fcticas estn constituidas por un conjunto de proposiciones que se llaman sintticas: su verdad o
falsedad se establece empricamente. Ejemplos:
a) La clorofila es verde.
b) Los felinos son carnvoros.
c) El calor dilata los cuerpos.
La lgica es una ciencia formal que estudia las tcnicas, procedimientos, reglas, mtodos y los principios o leyes usados
para distinguir la inferencia correcta de la incorrecta; para discriminar la inferencia vlida de la no vlida. Es ciencia
formal porque ella atiende slo al aspecto estructural de las inferencias sin considerar el contenido significativo de sus
proposiciones componentes.
Naturalmente, esta definicin no pretende afirmar que slo es posible razonar o inferir correctamente si se ha estudiado
lgica. Sostener esto sera tan errneo como pretender que slo es posible correr bien si se ha estudiado la fsica y la
fisiologa necesarias para la descripcin de esta actividad. Algunos excelentes atletas ignoran completamente los
complejos procesos que se operan dentro de ellos mismos cuando ejecutan sus habilidades. Y es innecesario decir que los
profesores de edad algo madura que ms saben acerca de tales cosas se desempearan muy pobremente, si arriesgaran
su dignidad en el campo atltico. Pero, inversamente, la agudeza intelectual que la lgica desarrolla con su cultivo hace
que la persona que la ha estudiado tenga la posibilidad de razonar o inferir correctamente, con ventaja sobre aquella que
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nunca ha considerado los principios o leyes generales implicados en esta actividad, limitada al buen sentido natural o
sentido comn.
Ello se debe a varias razones. Ante todo, un estudio adecuado de la lgica la enfocar como un arte tanto como una ciencia,
y el estudiante deber hacer ejercicios relativos a todos los aspectos de la teora que aprende. Aqu como en todo, la
prctica ayuda a perfeccionarse. En segundo lugar, una parte tradicional de estudio de la lgica consiste en el examen y
el anlisis de las falacias o sofismas, es decir, de ciertos tipos de razonamientos incorrectos que se cometen con la intencin
de engaar. El conocimiento de estas trampas nos ayuda positivamente a evitarlas. Finalmente, el estudio de la lgica
suministrar al estudiante ciertas tcnicas, reglas y mtodos de fcil aplicacin para determinar la validez o invalidez de
todas las inferencias, incluso las propias. El valor de este conocimiento reside en que, cuando es posible localizar o
identificar los errores, es menor la posibilidad de que se cometan.
Definiciones incorrectas de la lgica
La lgica como ciencia de las leyes del pensamiento
La lgica ha sido definida como la ciencia de las leyes del pensamiento. Esta definicin, aunque ofrezca un indicio de la
naturaleza de la lgica, no es exacta. En efecto, el pensamiento es uno de los procesos estudiados por los psiclogos. La
lgica no puede ser la ciencia de las leyes del pensamiento porque tambin la psicologa es una ciencia que trata de las
leyes del pensamiento, entre otras cosas, y la lgica no es una rama de la psicologa, es un campo de estudio separado y
distinto.
Igualmente, si pensamiento es cualquier proceso mental que se produce en la psiquis de las personas, no todo
pensamiento es objeto de estudio para el lgico, pues, aunque todo razonamiento es pensamiento, no todo pensamiento
es razonamiento. Por ejemplo, es posible pensar en un nmero entre uno y diez como en los juegos de saln, sin elaborar
ningn razonamiento acerca del mismo.
Hay muchos procesos mentales o tipos de pensamiento que son distintos del razonamiento. Es posible recordar algo,
imaginarlo o lamentarlo, sin razonar sobre ello. O uno puede dejar vagar los propios pensamientos en un ensueo o
fantasa, construir castillos en el aire o seguir lo que los psiclogos llaman asociacin libre, en la que una imagen reemplaza
a otra en un orden que no tiene nada de lgico. Parece haber ciertas leyes que gobiernan el ensueo, pero no son del tipo
de las que han estudiado tradicionalmente los lgicos. Su estudio es ms apropiado para la psicologa; las leyes que
describen y explican las evoluciones de la mente en el ensueo son las psicolgicas no principios lgicos.
Definir la lgica como la ciencia de las leyes del pensamiento es incluir demasiado dentro de ella.
La lgica como ciencia del razonamiento
Otra definicin comn de la lgica es aquella que la caracteriza como la ciencia del razonamiento. Esta definicin, que
evita la objecin anterior, no es an adecuada. El razonamiento es un gnero especial de pensamiento en el cual se realizan
inferencias, es decir, se derivan conclusiones a partir de premisas. Pero, es an pensamiento y por lo tanto forma parte
tambin del tema de estudio del psiclogo. Cuando stos examinan su proceso lo encuentran sumamente complejo,
emocional en alto grado. stos son de la mayor importancia para la psicologa. Pero no son en absoluto de la incumbencia
del lgico los oscuros caminos por los cuales la mente llega a sus conclusiones durante los procesos reales del
razonamiento.
Al lgico slo le interesa la correccin del proceso, una vez terminado. Su problema es siempre el siguiente, la conclusin
a que se ha llegado deriva de las premisas usadas y afirmadas? Si las conclusiones se desprenden de las premisas, esto es,
si las premisas constituyen un buen fundamento de la conclusin, de manera que afirmar la verdad de las premisas
garantiza la afirmacin de que tambin la conclusin es verdadera, entonces el razonamiento es correcto. En caso contrario
es incorrecto. La distincin entre el razonamiento correcto y el incorrecto entre la inferencia vlida e invlida es el
problema central que trata la lgica. Las tcnicas, procedimientos, mtodos, reglas y leyes han sido desarrollados
esencialmente con el propsito de aclarar esta distincin.3A modo de conclusin presentamos las siguientes precisiones:
3 Cf. COPI, Irving y Carl COHEN, Introduccin a la lgica, Mjico, Linusa, 1995, pp. 18-19.
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a) El objetivo de una teora lgica es ofrecer una explicacin de la relacin de implicacin lgica en que se encuentran
las premisas y la conclusin de una inferencia correcta.
b) Otro objetivo es discriminar, mediante un mtodo sistemtico, las inferencias correctas de las que no lo son.
Al perseguir estos objetivos la lgica contempornea ha concebido las inferencias como formuladas lingsticamente y se
ha servido de lenguajes artificiales para alcanzarlos. De entre stos, la familia ms importante es la de los lenguajes de
primer orden. La lgica de primer orden es la teora ms verstil y aplicable, tambin la ms estudiada y la mejor conocida,
de la lgica contempornea. Otros nombres con los que se la conoce son lgica de predicados y lgica cuantificacional. La
lgica de primer orden abarca en cierto sentido la lgica de proposiciones.4
Nocin de forma lgica
La proposicin es una oracin aseverativa susceptible de ser calificada de verdadera o falsa. Ejemplos:
a) Einstein fue el creador de la teora de la relatividad
b) El Per est al norte del Ecuador
En estos ejemplos a) y b) son proposiciones: a) es verdadera y b) es falsa. En consecuencia, la verdad y la falsedad
son sus propiedades; as, pues, solamente poseen el atributo de verdad o falsedad las formas lingsticas que afirman o
niegan algo, es decir, las proposiciones.
La inferencia es una operacin lgica que consiste en obtener la verdad de una proposicin, conocida como conclusin, a
partir de la verdad de una o ms proposiciones, conocidas como premisas. Ejemplos:
a) Si eres limeo, entonces eres peruano (premisa)
Si eres peruano, entonces eres sudamericano (premisa)
Luego, si eres limeo, entonces eres sudamericano (conclusin)
b) Ningn peruano es chileno (premisa)
Todos los loretanos son peruanos (premisa)
Luego, ningn loretano es chileno (conclusin)
Los ejemplos a) y b)son inferencias. Si en a) reemplazamos eres limeo por p, eres peruano por q, y eres
sudamericano por r, se obtendr la forma lgica siguiente:
Si p, entonces q
Si q, entonces r
Luego, si p, entonces r
Si en b) sustituimos loretano por S, chileno por P y peruano por M, se obtendr la forma lgica
siguiente:
Ningn M es P
Todos los S son M
Luego, ningn S es P
En a) las proposiciones Si eres limeo, entonces eres peruano y Si eres peruano, entonces eres sudamericano
representan a las premisas; la proposicin Si eres limeo, entonces eres sudamericano representa a la conclusin.
4 Cf. ALCHOURRN, Carlos E. et al. Lgica, Madrid, Trotta, 1995, p. 71.
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Igualmente, en b) las proposiciones Ningn peruano es chileno y Todos los loretanos son peruanos desempean el
papel de premisas; y la proposicin Ningn loretano es chileno hace las veces de conclusin.
Es fcil advertir que a) y b) son ejemplos de inferencias vlidas, puesto que en ambos casos la conclusin deriva
necesariamente de las premisas. En efecto, nadie puede aceptar la verdad de stas y, simultneamente, negar la verdad
de aqulla sin incurrir en flagrante contradiccin.
Pero cmo sabemos que las mencionadas inferencias son vlidas? Todos lo sabemos por intuicin, sin embargo sta es
subjetiva y no puede garantizar objetivamente la validez de las inferencias en todos los casos. Es aqu, entonces, donde se
hace necesario establecer las condiciones formales de validez de las inferencias.
La inferencia a) es vlida porque su forma lgica: Si p, entonces q. Si q, entonces r. Luego, si p, entonces r tambin lo
es. Es decir, toda inferencia que tenga dicha forma es vlida, independientemente de los significados que asuman p,
q o r. As, por ejemplo, si reemplazamos p, por penalista, q por abogado y r por colegiado, obtendremos
otra inferencia vlida. Y si continuamos reemplazando p, q o r por cualquier trada de proposiciones, obtendremos
siempre inferencias igualmente vlidas.
De modo anlogo, la inferencia b) es vlida porque su forma lgica: Ningn M es P. Todos los S son M Luego, ningn
S es P lo es asimismo. Y todas las inferencias que tengan dicha forma son vlidas. En efecto, si sustituimos S por
planta, P por mineral y M por vegetal, respetando estrictamente el orden en que aparecen S, P y M en
la forma lgica vlida, obtendremos nuevamente una inferencia vlida. Y si seguimos sustituyndolos por otras tradas
de trminos respetando la estructura lgica vlida obtendremos inferencias tambin correctas.
La validez o invalidez son propiedades de las inferencias, es decir, nicamente ellas pueden ser calificadas de vlidas o
de invlidas. Las inferencias pueden ser deductivas e inductivas y radica la diferencia en el grado de relacin existente entre
las premisas y la conclusin, pues en una inferencia deductiva la conclusin deriva necesariamente de las premisas: la
verdad de stas garantiza la de aqulla; las premisas implican la conclusin. Consecuentemente, una inferencia es
deductivamente vlida cuando es imposible que sus premisas sean verdaderas y su conclusin sea falsa. En una inferencia
inductiva, en cambio, la conclusin no se sigue necesariamente de las premisas: stas solamente la hacen probable.
Razonamiento deductivo y razonamiento inductivo *
Para empezar se debe hacer una importante distincin entre el razonamiento deductivo y el razonamiento inductivo.
El razonamiento deductivo est usualmente asociado a la solucin de problemas matemticos. Ello se ilustra muy bien
mediante el despliegue de una demostracin geomtrica; sin embargo, el razonamiento deductivo tambin se puede hallar
en el lenguaje ordinario, aunque no se le reconozca cabalmente como un razonamiento. Por ejemplo, si alguien dice
George no es un estudiante de primer grado, en consecuencia no debe llevar puesto un gorro, difcilmente se podra
considerar este enunciado como un tipo de razonamiento. Pero si efectuamos algunas modificaciones y aditamentos
teniendo el cuidado de retener el significado original del enunciado podramos ponerlo de tal forma que se le pueda
reconocer realmente como un tipo de razonamiento deductivo:
George no es un principiante.
Nadie excepto un principiante (ningn no-principiante) puede llevar puesto un gorro.
Luego, George no puede llevar puesto un gorro.
Este argumento es vlido y nuestros sistemas establecidos de lgica pueden mostrar la validez de esta forma de
argumentar.
Se podra decir que es vlido pero que no deja de ser trivial. Para qu hacerse problemas con un enunciado cuya validez
puede ser inspeccionado a partir del establecimiento de determinadas normas sobre cmo vestir en el campus
universitario? Nosotros respondemos que para nuestro razonamiento deductivo necesitamos establecer con claridad
formas de razonamiento correcto que se podran aplicar para casos sencillos como el arriba citado y continuar usando
estas formas para problemas mucho ms complejos.
* THOMAS, Norman L. Modern Logic. Barnes y Noble, Inc., New York, 1966, pp. 1-7. [Pasaje traducido por Claudio Chipana hasta la pgina 36].
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Digamos a estas alturas que por razonamiento deductivo estamos entendiendo un tipo de razonamiento que busca descubrir
si una conclusin dada es consecuencia de determinadas premisas, asunciones, axiomas o presupuestos. Algunos
ejemplos pueden ayudar a ilustrar esta definicin.
La siguiente es una forma comn muy empleada en el razonamiento deductivo:
Si ocurre A, entonces ocurrir B
Ocurre A
En consecuencia, ocurre B.
Aqu hay dos premisas y una conclusin. Las premisas son (1) Si A ocurre, entonces ocurrir B y (2) Ocurre A. Luego, la
conclusin es ocurre B. Un caso especial de esta forma podra ser:
Si ganamos el juego, entonces ganaremos las series
Nosotros ganamos el juego
En consecuencia, nosotros ganamos las series
Por supuesto que nosotros tenemos que reconocer que esa forma argumental tambin podr aplicarse de alguna manera
a una condicin o estructura ms complicada. Podemos usar esa forma para mostrar, por ejemplo, que el siguiente
razonamiento es vlido:
Si R y S ocurren, entonces G no ocurrir
R y S ocurren
En consecuencia, G no ocurre.
Desde otro nivel deductivo consideraremos el caso de las matemticas de cualquier colegio secundario: En geometra
plana, para empezar, se nos dan un cierto nmero de axiomas. Tomemos dos de ellos. (1) El todo es igual a la suma de
sus partes. (2) Una cantidad puede ser sustituida por su igual. Ahora, si nosotros consideramos un segmento lineal AB (el
significado de segmento lineal deber estar dado por definicin), que est dividido en dos partes, x e y, tal que x = y,
podemos probar que 2x = AB de la manera siguiente:
1) x + y = AB, porque el todo es igual a la suma de sus partes, x e y son partes de AB.
2) x + x = AB, porque x es igual a y, y una cantidad puede ser sustituida por su igual; entonces podemos sustituir y
por x.
3) x + x = 2x, por un axioma de aritmtica (todos los axiomas de aritmtica se asumen en geometra plana).
4) 2x = AB, sustituyendo x + x por 2x en el paso nmero dos.
En los ejemplos arriba citados estamos haciendo deducciones que son extremadamente simples; de hecho tan simples que
el estudiante puede sentirse irritado o indignado por ser forzado a recorrer tales procedimientos tortuosos a fin de llegar
a una conclusin que era tan obvia desde el primer momento. Tal como el filsofo Schopenhauer dijo, es como tener dos
piernas rotas por lo que a uno se le tenga que ensear a caminar con muletas.
Sin embargo, una metfora mejor que la de Schopenhauer podra ser aquella que se refiere al entrenamiento de un aviador
para que vuele valindose de sus instrumentos. Bajo condiciones climticas normales y cielo despejado un piloto puede
volar por instinto y por reacciones naturales a los datos que le dan sus sentidos. Pero si l se encontrase bajo una tormenta
o nubes cargadas y apenas pudiese ver las puntas de sus alas ya no podra confiar ms en su comprensin intuitiva de la
situacin en que se halla. Es un hecho muy reconocido por los aviadores que al volar a travs de las nubes es posible sentir
como si se estuviese haciendo un escalamiento cerrado, cuando de hecho se est volando recto y nivelado; o, por otro
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lado, estar en realidad en una espiral ceida hacia tierra aun cuando los sentidos le digan a uno que est en una cmoda
condicin de vuelo recto y nivelado.
Como resultado de tales decepciones provenientes del conocimiento intuitivo, en consecuencia, es esencial que el aviador
aprenda un tipo de vuelo que est basado en una negacin deliberada de sus sentidos intuitivos. Si l tuviese que aprender
un tipo de vuelo que lo convirtiese en un piloto profesional capaz de volar un aeroplano en condiciones ms complejas,
entonces l deber aprender a caminar con muletas como si sus piernas se hubiesen roto. Es decir, l deber aprender a
depender absolutamente de sus instrumentos aun cuando contradigan en gran medida la evidencia de sus sentidos.
Tanto en lgica como en matemticas el proceso de razonamiento deductivo tiene algunas de las caractersticas de los
instrumentos de vuelo. Los presupuestos bsicos y las reglas de operacin con que trabajamos son anlogos a los
instrumentos y su respectivo uso en un avin. Asimismo, es tanto necesario como productivo para nosotros permanecer
dentro de los lmites de aquellos presupuestos (axiomas) y reglas como lo es para el aviador observar y volar con los
instrumentos de su panel.
Si el proceso de razonamiento deductivo pudiese parecer innecesariamente tedioso al tratar los problemas elementales
que hemos mencionado podemos tener la seguridad de que esta aproximacin en apariencia tediosa es la nica que
resolver los problemas complicados que ocurren en el examen de temas ms profundos. Pero, ciertamente, una real
certeza proviene nicamente del uso del procedimiento deductivo en la manera como se abordan los problemas de
geometra o lgebra o lgica y descubriendo as, por uno mismo, su utilidad y poder.
El razonamiento inductivo nos ofrece menos certeza que el razonamiento deductivo y ms bien una diversidad de grados
de probabilidad. En el razonamiento deductivo nosotros estamos efectuando las implicaciones de nuestras asunciones y
reglas operativas para obtener resultados que pueden ser poco claros al principio, pero que estn en verdad ya implicados
en nuestras reglas y asunciones. Pero en el razonamiento inductivo estamos trabajando con predicciones del futuro,
generalizaciones concernientes a vastas reas de instancias no observadas, y teoras concernientes a las llamadas
regularidades en la naturaleza.
Para una definicin de la induccin podemos decir que es aquel tipo de razonamiento que busca producir una afirmacin
verdadera acerca de todos los miembros de un grupo de cosas o eventos sobre la base de un examen de un limitado
nmero de casos individuales dentro de ese grupo.
Afirmaciones tales como las siguientes son ejemplos de razonamiento inductivo: l participa en un concurso de preguntas
todos los viernes por la maana al menos eso es lo que l ha hecho durante todo el semestre hasta ahora, esa es una
caja de manzanas malogradas he observado la mitad de ellas y he encontrado un gusano en cada una que he revisado,
y hay una posibilidad de que llueva si el viento sopla desde el sur es algo que generalmente ocurre.
Se debe notar aqu que el procedimiento en cada uno de estos ejemplos es formular un enunciado concerniente a ciertas
condiciones generales o supuestas regularidades basadas en observaciones de individuos o circunstancias individuales.
Esos enunciados indican intentos de descubrir alguna regularidad o generalizacin sobre la base de ocurrencias
particulares cuidadosamente observadas y enumeradas. Alfred North Whitehead denomina a ello tratar de ver lo que es
general y lo que es particular.
El proceso inductivo est ntimamente vinculado a lo que se denomina el mtodo cientfico. Es un proceso de
razonamiento que es fundamental para las actividades del cientfico. Pero su principal caracterstica, tal como se puede
ver en los ejemplos, es la probabilidad en lugar de la certeza. P.W. Bridgeman dice que ninguna ciencia emprica puede,
en ningn caso, formular enunciados exactos.
Las probabilidades a las que nos referimos pueden, desde luego, ser extremadamente altas. El ejemplo que se ha hecho
clsico en los escritos de David Hume a fines del siglo dieciocho es aquel que concierne al enunciado: el Sol saldr
maana. Las observaciones que hiciramos, desde los primeros das, al hacer observaciones han incluido aspectos del
Sol como el de su salida al inicio de cada periodo de aproximadamente cada veinticuatro horas. Siempre ha salido el Sol
en el pasado y siempre saldr en el futuro, de ello estamos convencidos. Pero, sin tener la intencin de caer en trivialidades
o proponer algo no razonable, podemos, sin embargo, subrayar que nuestro conocimiento de que el Sol saldr maana no
es un conocimiento absolutamente cierto, tal como el que se puede deducir de la siguiente operacin: 97 x 58 = 5626. Sin
duda es muy probable que el Sol salga maana y sera inslito actuar como si el Sol no hubiese de salir maana; pero
debemos reconocer que la prediccin es una probabilidad de creer por induccin y que no contiene el tipo de certeza que
podemos encontrar en todo argumento deductivo.
La deduccin nos da conclusiones que son ciertas porque no son nada ms que implicaciones de nuestros presupuestos.
La induccin por su parte da conclusiones que son slo probables. Pero la deduccin est basada en asunciones y reglas
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que son, tanto como sea posible, divorciadas de la experiencia. Es un estudio de formas y operaciones que son
deliberadamente libres de referencias al mundo de la percepcin sensorial. [...] . Y la induccin, por otra parte, est
ntimamente ms asociada con la experiencia y la actividad sensorial. Los pasos fundamentales en el proceso inductivo
son la observacin y la experiencia.
Bertrand Russell discute los extremos de esta relacin que se halla entre los hechos de la experiencia y la lgica pura:
En la lgica pura ningn hecho atmico (el tipo de hecho ms simple que podamos experimentar) es jams mencionado: nos confinamos
nosotros mismos enteramente a las formas, sin preguntarnos qu objetos pueden llenar las formas. Esta lgica pura es independiente
de los hechos atmicos; pero a la inversa, en cierto sentido, stos son independientes de la lgica. La lgica pura y los hechos atmicos
son los dos polos, lo a priori total y lo emprico total. Pero entre ambos hay una vasta regin intermedia... (En RUSSELL, Bertrand, Our
Nowledge of the External World, New York, New American Library, Mentor Books, 1956, p. 49).
En consecuencia, apenas es necesario decir que el cientfico, el filsofo o alguien ms que se interese en descubrir hechos
acerca del universo en que vive, encontrar tanto el razonamiento inductivo como el deductivo indispensable para sus
investigaciones. La deduccin nos hace capaces de llevar a cabo las implicaciones de nuestras asunciones en su ms pleno
sentido sin estar influidos por las frecuentes percepciones errneas de nuestras experiencias inmediatas. Y la induccin
es nuestro modo de ver las generalizaciones y categoras en el mundo de nuestra experiencia.
Cuestionario N. 1
1. Qu trmino empleaba Aristteles para referirse a lo que ahora denominamos lgica?
2. Dnde tiene su origen el uso del trmino lgica?
3. Qu sentidos tienen en el contexto del pensamiento griego la palabra logos y el verbo legein?
4. De qu formas es empleado el trmino lgica en el lenguaje coloquial?
5. Qu sentidos adquiere el trmino lgica cuando se lo emplea como sustantivo?
6. Cules son los sentidos de la palabra lgica cuando es usado como adjetivo?
7. Bajo la forma de adverbio, qu sentidos toma el trmino lgica?
8. Qu significaciones se la adjudica al vocablo ilgico y bajo qu formas se le suele usar?
9. Cmo puede ser caracterizada la ciencia?
10.A qu se denomina ciencias formales, abstractas o estructurales?
11. A qu se denomina ciencias fcticas, factuales, reales o empricas?
12. De qu tipo de proposiciones estn constituidas las ciencias fcticas?
13. De qu tipo de proposiciones estn constituidas las ciencias formales?
14. Por qu la matemtica es una ciencia formal y por qu la fsica es una ciencia fctica?
15. Es la lgica la ciencia de las leyes del pensamiento? Por qu?
16. Es la lgica la ciencia del razonamiento? Por qu?
17. Cul sera la definicin ms pertinente de lgica?
18. Qu es una proposicin?
19. A qu se denomina inferencia?
20. Cundo una inferencia es vlida?
21. Qu se entiende por razonamiento deductivo?
22. A qu se refiere la metfora que establece una analoga entre el proceso deductivo y las caractersticas de los
instrumentos de vuelo?
23. Cmo se define la induccin?
24. Cul es la principal caracterstica del proceso de razonamiento inductivo?
25. Se podra decir que el razonamiento deductivo y el razonamiento inductivo se complementan? Por qu?
Esbozo del desarrollo histrico de la lgica
En las siguientes pginas se presenta un sucinto panorama histrico de la lgica dividido en las siguientes secciones: edad
antigua, edad media, renacimiento y edad moderna, y edad contempornea.
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Edad Antigua
A los trabajos de Aristteles (384-322 a. C.) se debe la sistematizacin de la lgica. Conscientes de este descubrimiento (la
teora del silogismo), los comentaristas, que durante la poca bizantina se encargaron del estudio y ordenamiento de estos
escritos, denominaron rganon (instrumento) al compendio que nos leg ese saber, en cuya seccin inicial, Primeros
analticos, reuni todo el material existente en su poca sobre la deduccin o inferencia. Es, por ello, el primer lgico formal
de la historia. Su mrito consisti en haber examinado las deducciones o inferencias considerando slo su forma o
estructura, con independencia de su significado o contenido. sta es la razn por la que la lgica desde su creacin es una
ciencia formal o estructural que mantiene este carcter hasta nuestros das, tras veinticuatro siglos.
El tratamiento estructural que hizo el Estagirita de la deduccin signific un aporte sustancial al desarrollo de la lgica y
de la matemtica: el mtodo axiomtico. En efecto, debido a que todos los razonamientos podan ser considerados como
estructuras, Aristteles axiomatiz su teora del silogismo. La silogstica aristotlica forma parte de lo que hoy se considera
la teora general de la inferencia deductiva y su desarrollo hace de su lgica un antecedente remoto de la contempornea.5
Casi contemporneos con Aristteles fueron los lgicos estoicos y los megricos. Los primeros tuvieron el mrito de
profundizar en algunos campos a los que el Estagirita no haba concedido suficiente atencin. Estos filsofos son los
precursores ms lejanos de la actual lgica proposicional y de las teoras que incluyen predicados relacionales, que son
indispensables para dotar a la matemtica de una lgica adecuada que el silogismo no proporciona. Por su parte, los
megricos hicieron tres aportaciones a la lgica: una en lo relativo a las paradojas (por ejemplo, la del mentiroso, atribuida
a Eublides); otra en el examen de los conceptos modales y, adems, iniciaron un importante debate sobre los enunciados
condicionales. 6 El ms importante de ellos, Diodoro Cronos, se dedic a la lgica de las modalidades temporales
esclareciendo relaciones importantes entre verdad y tiempo. Sin embargo, el influjo del Estagirita fue avasallador y los
estoicos y megricos fueron desconocidos en la Edad Media, durante la cual las investigaciones lgicas se centraron en el
silogismo y sus aplicaciones.
Edad Media
Durante la Edad Media los mximos representantes de la lgica escolstica, como Pedro Abelardo, Pedro Hispano, Toms
de Aquino, Raimundo Lulio y Guillermo de Occam, no slo perfeccionaron y sistematizaron temas heredados de la
tradicin antigua, sino emprendieron nuevas investigaciones como la teora de las suposiciones precursora de la moderna
teora de la jerarqua de lenguajes, la cual es empleada para la eliminacin de paradojas metalgicas. Asimismo, trabajaron
en forma apreciable la lgica proposicional y conocieron sus principales reglas de inferencia a pesar de no manejar un
lenguaje simblico adecuado, lo que hizo muy difciles sus trabajos. Por aadidura, la concepcin nominalista de los
universales de Occam que interpreta los conceptos como nombres genricos es muy prxima a la nocin
contempornea de predicado lgico.
Los escolsticos, adems, emprendieron un estudio especial y profundo de la lgica modal llevndola bastante ms all
del nivel inicial en el que la haba dejado Aristteles. Tambin se enfrentaron con el problema de las paradojas
semnticas, de las que hallaron no menos de una docena de soluciones, logrando desentraar casi todos sus aspectos.
Finalmente, los escolsticos desarrollaron la mayor parte de sus investigaciones de manera metalgica, o sea no
construyendo frmulas lgicas sino describindolas, cosa que los antiguos slo haban hecho en contadas ocasiones. No
obstante, como lo anotramos lneas arriba, los filsofos medievales no lograron avanzar mucho, debido a que no contaron
con un lenguaje adecuado para un eficaz anlisis de inferencias.
Las principales aportaciones de esta poca son las relacionadas con los trminos sincategoremticos, la teora de la
suposicin y la teora de las consecuencias.7
Renacimiento y Edad Moderna
En el siglo XVII Guillermo Leibniz el precursor de la lgica matemtica descubre por su cuenta todo cuanto haban
descubierto los estoicos, megricos y medievales y se constituye en el primer filsofo que tom conciencia de la necesidad
de disponer de un lenguaje especial para progresar en el estudio de las deducciones. Aunque los especialistas reconocen
5 Ibdem, p. 50.
6 Ibdem, p. 52. 7 Ibdem, pp. 54-56.
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que esta idea ya estaba en germen en el Ars magna, de Raimundo Lulio, Leibniz fue el primero que sostuvo con claridad
que el procedimiento para convertir la teora de la deduccin lgica en una ciencia estricta e infalible era convertirla en
un clculo mediante el uso de procedimientos matemticos.
Esta nueva ciencia sera una mathesis universalis (ciencia fundamental), que l llam tambin logstica o lgica matemtica.
Su funcin consistira en demostrar la verdad de las afirmaciones filosficas y cientficas sin tener en cuenta su significado
sino solamente su estructura expresada en smbolos de un lenguaje artificial, construido especialmente para calcular.
Leibniz deca que calcular era operar con smbolos. As como se poda calcular con smbolos aritmticos tambin ello sera
factible con smbolos que representaran estructuras deductivas.
El ideal leibniziano era lograr un instrumento lgico lo suficientemente poderoso como para poder traducir cualquier
discusin significativa sobre la correccin de las deducciones a una operacin en la que los oponentes se limiten a revisar
los clculos para ubicar el error de manera parecida a como se corrige una suma cualquiera. El proyecto de Leibniz era
demasiado ambicioso y por ello fracas. Aunque su intuicin fue grande, estuvo lejos de lo realizable y no pudo avanzar
hacia la construccin de un lenguaje simblico que superara significativamente la vieja silogstica aristotlica.
Pero sus trabajos no alcanzaron difusin y pasaron inadvertidos debido al inmenso prestigio que alcanzaba Aristteles
aun hasta el siglo dieciocho. Es que se admita, con Manuel Kant en el prefacio a la segunda edicin (1787) de su Crtica de
la razn pura, que el Estagirita haba descubierto todo lo que haba que descubrir sobre lgica. Se aceptaba que la lgica
creada por l era un conocimiento acabado, cerrado y completo; puesto que la investigacin posaristotlica no haba ni
refutado ni aportado nada nuevo en relacin con las enseanzas del rganon. Este apodctico juicio privaba a la disciplina
lgica al haber surgido del cerebro de Aristteles ya acabada y perfecta, como Minerva de la cabeza de Jpiter de su
propia historia:
... a partir de Aristteles no ha tenido que dar ningn paso atrs... y hasta hoy la lgica no ha podido dar ningn paso
adelante, de modo que todo parece indicar que hay que considerarla como cerrada y completa.8
Esta limitacin es debida, esencialmente, a la escasa cultura referente a la historia de la filosofa, comn a los dems
grandes pensadores de su tiempo, cuya informacin en historia de la filosofa no llegaba en el tiempo ms atrs de
Descartes, desconociendo de manera casi total la Edad Media y que tena de la filosofa antigua nociones de nivel
puramente manualstico y poco precisas.
Sin embargo, desde hace ms de un siglo la lgica ha tomado un nuevo curso y en poco tiempo ha experimentado
significativos progresos que la han renovado por completo. El impulso fue dado por dos matemticos y lgicos ingleses:
George Boole con su obra Anlisis matemtico de la lgica, que apareci en 1847 y Augustus De Morgan, quien ese
mismo ao public su Lgica formal, en la que se desarrolla la idea de Leibniz de construir la lgica como un clculo.
Este nuevo lenguaje conocido como lgebra de Boole manifest su potencia resolviendo problemas que excedan los
alcances de la lgica aristotlica y poniendo por primera vez en evidencia los errores del Estagirita. El lgebra de Boole
conocida tambin como lgebra de clases o de conjuntos fue asimismo investigada por De Morgan. Ambos son los
creadores del moderno lenguaje formalizado de la lgica lo que les permiti, entre otras cosas, descubrir una cantidad
asombrosa de nuevos tipos de deduccin o inferencia. A pesar de las limitaciones de sus trabajos sealan un verdadero
cambio de rumbo en la historia de la lgica y han contribuido a dotar de sus caracteres esenciales a la lgica matemtica.
A fines de siglo XIX aparecen los trabajos del matemtico y lgico alemn Gottlob Frege, considerado el padre de la lgica
matemtica, cuya primera obra, el Begriffsschrift, publicada en 1879, marcara el comienzo de la lgica formal
contempornea. Desarrolla un primer sistema axiomtico, plenamente simbolizado, consistente y completo, de lgica de
primer orden aun antes de que se tuvieran las herramientas lgicas adecuadas para llevar a cabo la prueba de la completud
de un sistema deductivo cualquiera. Bochnski, por ejemplo, no duda en comparar su primera obra lgica, el Begriffsschrift,
con los Primeros analticos y anota:
El Begriffsschrift contiene toda una serie de perspectivas totalmente nuevas. As, Frege es el primero en formular de manera clara la
distincin entre variable y constante; el concepto de funcin lgica y el concepto de cuantificador; da una formulacin notablemente
ms rigurosa a la teora aristotlica de sistema axiomtico, distingue cuidadosamente entre ley y regla, introduce la diferencia
igualmente precisa entre lenguaje y metalenguaje...9
8 KANT, Manuel, Crtica de la razn pura, Buenos Aires, Losada, 1960, tomo I, p. 18. 9 BOCHNSKI, I. M., Historia de la lgica formal, Madrid, Gredos, 1966,
p. 283.
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Sin embargo, la obra de Frege, a pesar de su gran valor, pas casi inadvertida y transcurrieron casi veinte aos antes de
que Bertrand Russell llamara sobre ella la atencin teniendo que pasar otros veinte hasta que Lukasiewicz pusiera de
manifiesto con suficiente profundidad toda su riqueza y valor. Asimismo, propuso un mtodo de clculo de matrices para
la lgica proposicional muy semejante al que se usa actualmente y desarroll de manera axiomtica la naciente teora de
conjuntos de George Cantor.
Con Giuseppe Peano (1858-1932), se cierra en cierto sentido la lnea de desarrollo del clculo lgico iniciada por el Anlisis
matemtico de la lgica de George Boole. La expresin misma de lgica matemtica es introducida por primera vez en su
obra Principios de aritmtica expuestos con un nuevo mtodo, que apareci en 1889, donde la utiliza no slo a causa de hacer
uso operacional de los smbolos, sino especialmente porque concibi la nueva lgica como un poderoso instrumento para
la sistematizacin rigurosa del saber matemtico.
La obra de Peano corona el desarrollo de la lgica en el siglo XIX. El significado histrico de su fundamentacin de la
aritmticabasada en las tres nociones primitivas de nmero, cero y sucesor, as como sus cinco famosos
axiomas es considerable, pues con ella muestra de manera concreta cmo aplicar ese nuevo instrumento a la
sistematizacin de las matemticas. Haba no slo logrado un manual completo y riguroso de lgica matemtica sino
creado un simbolismo particularmente manejable y preciso que an est vigente.
Edad Contempornea
