Gauss eta Geometria - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GaussEuskera.pdfGerling-i bidalitako eskutitza...

Gauss eta Geometria

Geodesia eta Geometria ez-Euklidiarra

Geometrian Barrenako Ibilaldia

Agustı́ Reventós, 14.02.2007 – p.1

Geometria

I. Geometria Euklidiarra.

II. Geometria ez-Euklidiarra.

III. Geodesia.

IV. Geometria diferentzial (gainazalak).

V. Gd-Gne.

Versión Euskera:José Ignacio Royo Prieto– p.2

Geometria


II. Geometria ez-Euklidiarra.Bolyai

III. Geodesia.


V. Gd-Gne.


Geometria


II. Geometria ez-Euklidiarra.Bolyai

III. Geodesia.


V. Gd-Gne.Bolyai


I. Geometria Euklidiarra

Pauca, sed matura – p.5

1796

1796ko martxoak 29.Hamazazpi alde.


1796


Gerling-i bidalitako eskutitza 1819.


1796



Das Geschichtliche jener Entdeckung ist bishernirgends von mir öffentl erwähnt; ich kann esaber sehr genau angeben. Der Tag war der29März1796, und der Zufall hatte gar keinenAntheil daran.

La historia de este descubrimiento no se ha mencionado hastaahora;

la puedo explicar muy exactamente. Fue el dia29 de marzo de1796,

y la coincidencia nada tuvo que ver en ella.


1796



Schon früher war alles was auf die Zertheilungder Wurzeln der Gleichung

xp − 1x− 1

= 0

en zwei Gruppen [...]

Todo está en dividir las raíces de la ecuación...


1796



[...] glückte es mir bei einem Ferenaufenthalt enBraunschweig, am Morgen des gedachten Tages(ehe ich aus dem Bette aufgestanden war)diesen Zusammenhang auf das klarsteanzuschauen, so dass ich die specielleAnwendung auf das 17-Eck und die numerischeBestätigung auf der Stelle machen konnte.

Durante unas vacaciones en B. una mañana (antes de levantarme de

la cama) vi claramente todas las correlaciones y apliqué al polígono

de 17 lados la correspondiente confirmación numérica.Pauca, sed matura – p.8

Egunkaria

Biharamunean,1796ko martxoaren 30ean,egunkariaidazten hasi zen,19 urte bete bainohilabete bat lehenago.

[1],[3],[55],[65],[66],[116], sarrerak poligonoeidagokie. Galois-en Teoria jaio da.


Egunkaria

Biharamunean,1796ko martxoaren 30ean,egunkariaidazten hasi zen,19 urte bete bainohilabete bat lehenago.

[1],[3],[55],[65],[66],[116], sarrerak poligonoeidagokie. Galois-en Teoria jaio da.

[1] Principia quibus innititur sectio circuli, acdivisibilitas eiusdem geometrica in septemdecimpartes etc.


Braunschweig


Göttingen


II. Geometria ez-Euklidiarra


1792

Schumaker-i bidalitako eskutitza 1846

Ein gewisserSchweikartnannte eine solcheGeometrie Astralgeometrie, Lobatchevskiimaginäire Geometrie. Sie wissen, dass ichschon seit54 Jahren (seit1792) dieselbeÜberzeungung habe.

.. Sabes que durante54 años he compartido los mismos puntos de

vista [1792]


1792


Ein gewisserSchweikartnannte eine solcheGeometrie Astralgeometrie, Lobatchevskiimaginäire Geometrie. Sie wissen, dass ichschon seit54 Jahren (seit1792) dieselbeÜberzeungung habe.

.. Sabes que durante54 años he compartido los mismos puntos de

vista [1792]

Tenia15 años!Pauca, sed matura – p.13

1794


Der Satz, den Ihnen Hr.Schweikarterwähnthat, dass en jeder Geometrie die Summe alleräussern Polygonwinkel von360◦ um eineGrösse verschieden ist, [....] welche demFlächeninhalt proportional ist, ist der erstegleichsam an der Schwelle liegende Satz derTheorie, den ich schonim Jahr1794 alsnothwending erkannte.

El teorema que Mr. S. le menciona a usted, que en cada Geometría la

suma .. es el primer teorema en el umbral de esta teoría, de lo que ya

me di cuenta en el año1794.


Egunkaria

1797ko uztailak 28.

[72] Plani possibilitatem demonstravi.


Egunkaria

1799ko iraila.

[99] In principiis Geometriae egregios progressusfecimus.


Parallelentheorie

Gaussenpaperen artean aurkituriko oharrak (1831).

Gai honen gaineko bere iritzia ezagutzen dugueskutitz batzuen ezker.Sabemos lo que pensaba gracias a unascuantas cartas

Dena dela, eskutitz hauetan agertzen direnGeometria Astralari buruzko emaitzakLambertekiko analogiazzuzenean ondorioztadaitezke.Todos los resultados sobre Geometria astral que aparecen enestas cartas se pueden deducir directamente de laanalogia de Lambert.


Lambert (1728-1777)

Lambertekaipatzendu angelu agudoaren geometriaerradio irudikariko esfera baten gaineko geometriaridagokiola.

Gaussek Lambertenlana konsultatu zuenGottingeneko bibliotekan 1795ko urriaren 24an eta1797ko urtalirraren 2an.

Taurinusekanalogia garatu zuen.


Analogia

cos aR = cosbR · cos

cR cosh

aR = cosh

bR · cosh

cR

A = R2(α + β + γ − π) A= R2(π − (α + β + γ))

L= 2πR sin rR L= 2πR sinhrR .


Defektu

Analogia trigonometrian:

cos α =cosh aR

1 + cosh aR

• α < π/3• α + α + α < π


Paralelismo angelua

1 = sin Π(a) cosha

R

Π(a) = 2 arctan e−a/R


Eskutitz batzuk


F. Bolyai-i bidalitako eskutitza 1799

Wenn man beweisen könnte, dass ein geradlinigesDreieck möglich sei, dessen Inhalt grösser wäre alseine jede gegeben Fläche, so bin ich im Stande dieganze Geometrie völlig strenge zu beweisen.Die meisten würden nun whol jenes als ein Axiomgelten lassen; ich nicht;

Si se pudiera probar que existe un triángulo de área tan grande como

se quiera, entonces yo estaría en condiciones de probar

rigurosamente toda la Geometría.Mucha gente tomaría esto como un

axioma, pero yo no.Pauca, sed matura – p.23

Gerling-i bidalitako eskutitza 1816

Es wäre sogar wünschenswerth, dass die GeometrieEuklids nicht wahr wäre,weil wir dann einallgemeines Mass a priori hätten,z. B. könnte manals Raumeinheit die Seite desjenigen gleichseitigenDreiecks annehmen, dessen Winkel= 59◦59′59′′.99999.

Sería incluso deseable que la GE no fuera cierta,porque entonces

tendríamos una unidad de medida a priori. Por ejemplo, el lado de un

triángulo equilátero...



Der Defectder Winkelsumme im ebenen Dreieckgegen180◦ ist z. B. nicht bloss desto grösser, jegrösser der Flächeninhalt ist,sondern ihm genauproportional, so dass der Flächeninhalt eine Grenzehat, die er nie erreichen kann, und welche Grenzeselbst dem Inhalt der zwischen drei sichasymptotischberührenden geraden Linien enthaltenFläche gleich ist, die Formel für diese Grenze ist

El defecto no es sólo más grande cuando el área se hace más grande,

sino que es exactamente proporcional a ella, de tal manera que el área

tiene una cota que no se puede alcanzar, y esta cota es igual alárea

encerrada por 3 líneasasintóticas. La fórmula para esta cota es



Limes areae trianguli plani=πCC

(log hyp(1 +√

2))2



Limes areae trianguli plani=πCC

(log hyp(1 +√

2))2

Π(1) =π

4



Von meinen eigenen Meditationen,die zum Theilschon gegen 40 Jahr alt sind, wovon ich aber nieetwas aufgeschrieben habe, und daher manches 3oder 4 mal von neuem auszusinnen genöthigtgewesen bin, habe ich vor einigen Wochen docheiniges aufzuschreiben angefangen.Ich wünschtedoch, dass es nicht mit mir unterginge.

Hace algunas semanas que he empezado a escribir algunos resultados de

mis meditaciones sobre este asunto,que provienen de 40 añosatrás. Nunca

las había redactado, y ello me ha obligado a empezar mi trabajo de nuevo

tres o cuatro veces.No quisiera que esto muriese conmigo.



Eskutitz honetan esaten dur erradiokozirkunferentzia baten luzera:

L = πk(er/k − e−r/k),

dela, eta komentatzen du harturiko neurriak datuesperimentalekin bat etortzeko,k infinitua izateabeharrezkoa dela.



Eskutitz honetan esaten dur erradiokozirkunferentzia baten luzera:

L = πk(er/k − e−r/k),

dela, eta komentatzen du harturiko neurriak datuesperimentalekin bat etortzeko,k infinitua izateabeharrezkoa dela.

Gaussidazteari utzi zuen 1832-n,János Bolyai-renlana ezagutzean.



Noch bemerke ich, dass ich dieser Tage eine Schriftaus Ungarn über die Nicht-Euklidische Geometrieerhalten habe,worin ich alle meine eigenen Ideenund Resultate wiederfinde, mit grosser Eleganzentwicklet.

Te comento también que he recibido estos días un pequeño trabajo desde

Hungría, sobre Geometrías no Euclidianas,que contiene todas mis ideas y

resultadosdesarrollados muy elegantemente.



Der Verfasser ist ein sehr junger österreichischerOfficier, Sohn eines Jugendfreundes von mir, mit demich 1798 mich oft über die Sache unterhalten hatte,wiewohl damals meine Ideen noch viel weiter vonder Ausbildung und Reife entfernt waren [...]Ichhalte diesen jungen Geometer v. Bolyai für einGenie erster Grösse...

El autor es un joven oficial austríaco, hijo de un amigo de mi

juventud, que conocí en 1978, y con quien había hablado del tema,

pero por aquel entonces mis ideas no habían llegado a la madurez y

formación actual.Tengo a este joven geómetra v. Bolyai como uno

de los más grandes genios.


János Bolyai(1802-1860)


Farkas János-i. 1820ko apirila

Jainkoaren izenean! Utzi bakean zuzenparaleloak. Arnega ezazu haietaz elkarrizketalotsagarri batez bezala: denbora, osasuna,lasaitasuna eta zure bizitzaren zoriontasun osoakenduko dizute, niri gertatu zait legez.

Por el amor de Dios! Deja las paralelas tranquilas, abjura deellas

como de una charla indecente, te quitaran (como a mí) todo tu

tiempo, salud, tranquilidad y la felicidad de tu vida.


Tentamen


Carta a Farkas Bolyai (6-03-1832)

Und höchst erfreulich ist es mir, dass gerade derSohn meines alten Freundes es ist,der mir auf eineso merkwürdige Art zuvorgekommen ist.

Y es una gran alegría para mí que sea justamente el hijo de mi

viejo amigo quienme haya precedido de manera tan remarcable.


Carta a Farkas Bolyai (6-03-1832)

Und höchst erfreulich ist es mir, dass gerade derSohn meines alten Freundes es ist,der mir auf eineso merkwürdige Art zuvorgekommen ist.

Y es una gran alegría para mí que sea justamente el hijo de mi

viejo amigo quienme haya precedido de manera tan remarcable.

Bai Historia aldatuko litzakeelaGaussek JánosBolyai-ren lanari buruzko bere iritzi ona argitaratuizan balu!


III. Geodesia


Geodesia

Geometrilaririk dotoreena eta astronomorik perfektuena,hauek dira bihotz-bihotzetik maitatzen ditudan eta

desberdinak diren bi titulu, zeinak pasio osoz atseginditudan, biak elkarrekin daudenean.


Hannover

Britainia Handiko erregea George III.ak,Hannoverreko hautesle, Hannover Erresumatriangulatzeko agindua eman zionGauss1818an.


Hannover

Britainia Handiko erregea George III.ak,Hannoverreko hautesle, Hannover Erresumatriangulatzeko agindua eman zionGauss1818an.

8 urte edo eman zion honek.

Karratu minimoen metodoa erabili zuen.

Heliotropoaasmatu zuen.

Emaitzak ez ziren guztiz behar bezalakoak.Losresultados no fueron suficientemente satisfactorios

Besselek komentatu zuen Gauss-i berak geodesikoeiburuzko egindako lana, adimen matematikogutxiagoko beste norbaitek egin lezakeela.


Hannover


Transformazio konformeak



Schumaker-i bidalitako eskutitza 1816.

Mir war eine interessante Aufgabe eingefallen,nemlich:

allgemein eine gegebene Fläche so aufeiner andern (gegebenen) zu projiciren(abzubilden), dass das Bild dem Originalen den kleinsten Theilen ähnlich werde.

Ein specialler Fall ist, wenn die erste Flächeeine Kugel, die zweite eine Ebene ist. Hier sinddiestereographischeund diemerkatorischeProjectionen particuläre Auflösungen.



Schumaker-i bidalitako eskutitza 1816.

Problema interesgarri bat asmatu dut[txapelketa batean planteatzeko]:

kasu orokorrean, proiektatu (aplikatu)emandako gainazal bat emandako bestebaten gainean, halako moduan nonirudia eta jatorrizkoa infinitesimalkiantzekoak diren.

Kasu bereizi bat dugu lehenengo gainazalaesfera bat eta bigarrena plano bat denean.Orduan, proiekzioestereografikoabaitaMercatorrenaebazpen partikularrak dira.



Galdera hauCopenhagen Scientific Society-kargitaratua zen 1821en.

Gaussekberak eman zuen erantzuna 1822koabenduaren 11an.


Koordenatu isotermalak

Biharamunean, 1822ko abenduaren 12an, bere oharpribatuetan ondorengoa idazten du ondorengotitulupeanStand meiner untersuchung über dieumformung der Flächen:

k = −1

2m(∂2 log m

∂u2+

∂2 log m

∂v2)




k = −1

2m(∂2 log m

∂u2+

∂2 log m

∂v2)

ds2 = m(du2 + dv2). Formula hau ez da agertzenesplizitukiDisquisitionesliburuan.




k = −1

2m(∂2 log m

∂u2+

∂2 log m

∂v2)

Das Krümmungsmass behält denselben Werth beiallen Umformungen der Fläche, die derenLinienelementm(du2 + dv2) unverändert lassen.

La curvatura toma el mismo valor bajo todas las transformaciones de la

superfície que dejan el elemento de línea invariante. Pauca, sed matura – p.49


1821an egindako galdera 1822n erantzun zen, bainaerantzuna 1825 arte ez zen argitaratu,Astronomische Abhandlungen, Altona aldizkarian:

Allgemeine Auflösung der Aufgabe die Theileeiner gegebnen Fläche auf einer anderngegebnen Fläche so abzubilden, dass dieAbbildung dem Abgebildeten en denKleinsten Theilen ähnlich wird.

Una solución general al problema de aplicar una superficie dada

sobre otra superficie de manera que la imagen y la superficie aplicada

sean infinitesimalmente similares.



1821an egindako galdera 1822n erantzun zen, bainaerantzuna 1825 arte ez zen argitaratu,Astronomische Abhandlungen, Altona aldizkarian:

Allgemeine Auflösung der Aufgabe die Theileeiner gegebnen Fläche auf einer anderngegebnen Fläche so abzubilden, dass dieAbbildung dem Abgebildeten en denKleinsten Theilen ähnlich wird.

Ab his via sternitur ad maiora.Siguiendo a Newton en ’De quadratura curvarum’, preludio del

calculo de fluxiones.


Ab his via sternitur ad maiora

Esfera−→ Planods2 = a2 sin2 u dt2 + a2du2




ds2 = 0 jartzen dugu etadt askatzen dugu.

dt = ±i dusinu (dt+ idu

sinu)(dt− idu

sinu) =1

a2 sin2 uds2






sinu)(dt− idu

sinu) =1

a2 sin2 uds2

Integratuzq = log cot u2






sinu)(dt− idu

sinu) =1

a2 sin2 uds2

Integratuzq = log cot u2(dt + idq)(dt− idq) = 1

a2 sin2 uds2






sinu)(dt− idu

sinu) =1

a2 sin2 uds2

Integratuzq = log cot u2(dt + idq)(dt− idq) = 1

a2 sin2 uds2

ds2 = a2 sin2 u(dt2 + dq2)


Goi Geodesia

Untersuchungen über Gegenstände der HöhernGeodaesie. I, II.

Abhanlungen der Königl. Gesellschaft derWissenschaften zu Göttingen.1844, 1847.

I. Elipsoide−→ Esfera.II. Trigonometria elipsoidean.


Goi Geodesia I


IV. Geometria diferentzial


Aierua

Gaussek Lambert-en analogia hedatu ahal izan zuenGeometria diferentzialaren arlora, esfera irudikariaadierazten duen gainazal bat aurkitzeko asmoz.Hortaz,kurbadura negatibokoa.


Aierua


Hau izan daitekeGaussekBostgarren Postulatuafrogatzeko hautatu zuenbide alternatiboa. Bide hauaipatzen du berakSchumaker-ri(?) bidalitakoeskutitz batean [Lobatschewsky-ren lanariburuzkoa]:

[...] aber die Entwickelung ist aufandermWegegemacht


Aierua


Hau izan daitekeGaussekBostgarren Postulatuafrogatzeko hautatu zuenbide alternatiboa. Bide hauaipatzen du berakSchumaker-ri(?) bidalitakoeskutitz batean [Lobatschewsky-ren lanariburuzkoa]:

[...] aber die Entwickelung ist aufandermWegegemacht

Idatzi al zuenDisquisitionesliburua (partzialki)asmo honetaz ? Pauca, sed matura – p.56

Luzera-elementua

ds2 = dr2 + R2 sin2( rR) dθ2


Xedea

Aurkitu gainazal bat non

ds2 = dr2 + R2 sinh2(r

R) dθ2

den.


Disquisitiones Generales CircaSuperficies Curvas

1827ko urriaren 7a



Ich habe seit einiger Zeit angefangen, einen Theilder allgemeinen Untersuchungen über die krummenFlächen wieder vorzunehmen, die die Grundlagemeines projectirten Werks über Höhere Geodäsiewerden sollen.

Recientemente he retomado parte demis investigaciones sobre superficies

curvas, que habrán de formar parte de mi proyectado ensayo sobre geodesia

avanzada.



Ich finde leider, dass ich dabei sehr weit werdeausholen müssen,da auch das Bekannteen einerandern, den neuen Untersuchungen anpassendenForm entwickelt werden muss.

Desafortunadamente debo ir muy atras en la exposición, porqueincluso lo

que es conocidose debe desarrollar de diferente manera, adaptada a las

nuevas investigaciones.


Disquisitiones

40 orrialde;29 atal.

Berriak (?) diren 5 konzeptu;10 Teorema.

Euler(§8) etaLegendre(§27) aipatzen ditu.

Agertzen den gainazal bakarra esfera da.


Amaitu gabeko (?) proiektua

Attamen uberiorem huius argumenti de figurisgeneralissime conceptis expositionem ad aliamoccasionem nobis reservare debemus.§6

Ad has posteriores, quarum investigatio campumgeometriae novum fertilemque aperit,...§13

Magnam utilitatem affert consideratio trianguliplani rectilinei, cuius latera aequalia sunt ipsisa, b, c; §26



Beste behin baterako utziko dugu figura hauenteoriaren garapen zehatzago baten aurkezpena.§6

Ad has posteriores, quarum investigatio campumgeometriae novum fertilemque aperit,...§13





...zeinen azterketak arlo berri eta emankor batsortzen du geometriarentzat.§13






a, b etac aldeetako triangelu lerrozuzenakontsideratzea oso erabilgarria da.§26





a, b etac aldeetako triangelu lerrozuzenakontsideratzea oso erabilgarria da.§26

Ez du aurkitzen esfera irudikaria.Pauca, sed matura – p.66

Konzeptu berriak

Gauss-en aplikazioa. §6

Gauss Kurbadura. §6

Kurbadura totala. §6

Angelu-bariazioa. §17

Karta ortogonal abszisarekiko geodesiko. §19


Teorema berriak

k = det Φ2/ det T2. §7

k = k1 · k2. §8Teorema Egregium. §12


Teorema berriak



Gauss-en Lema. §16

k = − 1√G(√

G)rr,dγdθ = −(

√G)r. §19

Defektuaren Teorema. §20


Teorema berriak



Gauss-en Lema. §16

k = − 1√G(√

G)rr,dγdθ = −(

√G)r. §19

Defektuaren Teorema. §20

A∗ = A− 112σ(2k(A) + k(B) + k(C)). §27


Kurbadura. §6

γ : S → S2 Gauss-en aplikazioa.

−→

k(P ) = limS→P

γ(S)-ren azaleraS-ren azalera


Euler Kurbadura. §8

THEOREM. Mensura curvaturae in quovissuperficiei puncto aequalis est fractioni, cuiusnumerator unitas, denominator autem productumduorum radiorum curvaturae extremorum insectionibus per plana normalia.

k = k1 · k2


Euler Kurbadura. §8

THEOREM. Mensura curvaturae in quovissuperficiei puncto aequalis est fractioni, cuiusnumerator unitas, denominator autem productumduorum radiorum curvaturae extremorum insectionibus per plana normalia.

k = k1 · k2

Hae conclusiones omnia fere continent, quae ill.Eulerde

curvatura superficierum curvarumprimus docuit


Olinde Rodrigues(1794-1851)

Recherches sur la théorie analytique des lignes et des

rayons de courbure des surfaces, et sur la transformati-

on d’une class d’intégrales doubles, qui ont un rapport

direct avec les formules de cette théorie, Correspondance

sur l’Ecole Polytechnique, Vol3, pag.162− 182, 1815.



Gauss-en aplikazioa.

Gauss kurbadura.

k = k1 · k2.N ′(t) = λx′(t).



Gauss-en aplikazioa.

Gauss kurbadura.

k = k1 · k2.N ′(t) = λx′(t).

Gausseklehen hiru puntuak ezagutzen zituen 1813aurretik (argitaratu gabe).


Teorema Egregium.§11

4 (EG− FF )2 k = E(dE

dq·dG

dq− 2

dF

dp

dG

dq+ (

dG

dp)2)

+ F (dE

dp

dG

dq−

dE

dq

dG

dp− 2

dE

dq

dF

dq+ 4

dF

dp

dF

dq− 2

dF

dp

dG

dp)

+ G(dE

dp

dG

dp− 2

dE

dp

dF

dq+ (

dE

dq)2)

− 2(EG− FF )(ddE

dq2− 2

ddF

dp · dq+

ddG

dp2).


Teorema Egregium.§12

Formula itaque art. prae. sponte perducit adegregium

THEOREMA Si superficies curva en quamcunquealiam superficiem explicatur, mensura curvaturae ensingulis punctis invariate manet.


Angelu-bariazioa


Angelu-bariazioaplanoan

dγdα = −1

γ(0) = π − β.Pauca, sed matura – p.76

Angelu-bariazioaesferan

dγdα = − cos

b(α)R


S2(R)-ko triangelu baten azalera

Azalera =∫ α

0

∫ r(θ)0

R sinr

Rdrdθ

= R2α−∫ α

0

R2 cosr(θ)

Rdθ


S2(R)-ko triangelu baten azalera

Azalera =∫ α

0

∫ r(θ)0

R sinr

Rdrdθ

= R2α−∫ α

0

R2 cosr(θ)

Rdθ

= R2α + R2(γ(α)− γ(0))= R2(α + β + γ − π)= R2 ·Gehiegitza.


Disquisitiones(Jarraipena)



Karta abszisarekiko geodesiko eta ortogonal batekoluzera-elementua:

ds2 = dr2 + G(r, θ)dθ2



dγ

dθ= −

∂

∂r

√G



dγ

dθ= −

∂

∂r

√G

Koordenatu polarrak esferan:

G = r2;dγ

dθ= −1

Koordenatu polarrak esferan:

G = R2 sin2r

R;

dγ

dθ= − cos

r

R


Kurbadura. §19

k = −1√G·∂2√

G

∂r2

Hemendik, Teorema Egregium ondorioztatzen dugu.

Honela amaitzen da 1825koDisquisitionesliburua.


Defektuaren Teorema.§20

Hemendik abiaturik (egregium)

k√

G = −∂2√

G

∂r2


Defektuaren Teorema.§20

Hemendik abiaturik (egregium)

k√

G = −∂2√

G

∂r2

Triangeluan integratuz


Defektuaren Teorema.§20∫ r(θ)

0 k√

Gdr = 1− ddr√

G



0 k√

Gdr = 1− ddr√

G∫ α

0

∫ r(θ)0 k

√Gdr dθ = α−

∫ α0

ddr

√G dθ



0 k√

Gdr = 1− ddr√

G∫ α

0

∫ r(θ)0 k

√Gdr dθ = α−

∫ α0

ddr

√G dθ

∫ α0

∫ r(θ)0

k√

Gdr dθ = (α + β + γ)− π



0 k√

Gdr = 1− ddr√

G∫ α

0

∫ r(θ)0 k

√Gdr dθ = α−

∫ α0

ddr

√G dθ

∫T

kdA = (α + β + γ)− π



0 k√

Gdr = 1− ddr√

G∫ α

0

∫ r(θ)0 k

√Gdr dθ = α−

∫ α0

ddr

√G dθ

∫T

kdA = (α + β + γ)− π

Kurbadura totala = irudi esferikoaren azalera =defektua


1825-ko bertsioa.

Azalera(ν(T )) = Defektu(T ) dela frogatzen du,baina esaten ondorengoa:

Der Beweis wird en der Form einigerModification und Erläuterung bedürfen.La demostración requerirá alguna modificación y explicación.


1825-ko bertsioa.



Hemendik abiaturik, Teorema Egregiumondorioztatzen du.Deduce el teorema egregio


1825-ko bertsioa.



Hemendik abiaturik, Teorema Egregiumondorioztatzen du.Deduce el teorema egregio

Defektu←→ Egregium


Azten atalak


Konparaketa-Teoremak. §26

Laugarren ordenako kantitateak ahaztuz:

A∗ = A− σ12(2k(A) + k(B) + k(C))


Konparaketa-Teoremak. §26

Laugarren ordenako kantitateak ahaztuz:

A∗ = A− σ12(2k(A) + k(B) + k(C))

• σ = AzaleraABC.• k(A) = KurbaduraA puntuan.• A∗ = Gainazalgainearen triangeluaren aldeakberdinak dauzkan triangelu euklidiarraren angelu.


Esfera§27

Aurreko formulakLegendreksortuak zirenlehenengoz, esferaren testuinguruan.

A∗ = A− σ3R2


Esfera§27

Aurreko formulakLegendreksortuak zirenlehenengoz, esferaren testuinguruan.

A∗ = A− σ3R2

Batuketa eginez,Defektuaren Teoremalortzen dugu.

π = A + B + C − σR2


BHI §28

BHI angelu esferikoa izango balitz:

B∗ = B − σ3R2 = B −14.85348′′

3 = B − 4′′.95116


BHI §28

BHI angelu esferikoa izango balitz:

B∗ = B − σ3R2 = B −14.85348′′

3 = B − 4′′.95116

Lurrelipsoidearen gainean, kalkuluen bidez lortzenda ondorengoa:

Hohehagen −4′′.95113Brocken −4′′.95104Inselsberg −4′′.95131


BHI §28

Olbers-i bidalitako eskutitza 1827.In praktischer Rücksicht ist dies zwar ganzunwichtig, weil en der That bei den grösstenDreieecken, die sich auf der Erde messenlassen, diese Ungleichheit en der Vertheilungunmerklich wird; aber dieWürde derWissenschafterfordert doch, dass man dieNatur dieser Ungleichheit klar begreife.

En consideraciones prácticas esto no es importante, ya que

incluso en el triángulo más grande que se puede medir sobre la

tierra, se hace imperceptible. Pero ladignidad de la ciencia

requiere que se entienda claramente la naturaleza de esta

desigualdad.Pauca, sed matura – p.92

V. Gd-Gne.

Esfera irudikaria aurki dezagun


Sasiesfera.F. Minding (1840)


Traktrize

1 azpitangenteko kurba.

y′ = − y√1−y2


Sasiesfera

ds2 =1

y2(dx2 + dy2)

x = biraketa-angelua;y = eτ , τ = Traktrizearengaineko luzera.

Koordenatu polar geodesikoetan.

ds2 = dr2 + R2 sinh2r

Rdα2


Ein Genie erster Grösse


János Bolyai


János Bolyai

dz2

dy2 + BH2 =̇1


János Bolyai

dz2=̇ cosh2y

Rdx2 + dy2


János Bolyai

ds2 = dr2 + R2 sinh2r

Rdα2


Ezerezatik sorturiko mundu berribat

MarosvásárhelyPauca, sed matura – p.103

Kuen-en gainazala

Kurbadura negatibokoa


GeometriaGeometriaGeometriayellow I. Geometria Euklidiarrayellow $1796$yellow $1796$yellow $1796${yellow Egunkaria}BraunschweigGöttingenyellow II. Geometria ez-Euklidiarrayellow 1792yellow 1794yellow Egunkariayellow EgunkariaParallelentheorie{yellow Lambert} (1728-1777)yellow AnalogiaDefektuParalelismo angeluagreen Eskutitz batzuk{yellow F. Bolyai}-i bidalitako eskutitza 1799{yellow Gerling}-i bidalitako eskutitza 1816{yellow Gerling}-i bidalitako eskutitza 1819{yellow Gerling}-i bidalitako eskutitza 1819{yellow Schumaker}-i bidalitako eskutitza small 1831{yellow Schumaker}-i bidalitako eskutitza small 1831{yellow Schumaker}-i bidalitako eskutitza small 1832{yellow Gerling}-i bidalitako eskutitza 1832{yellow János Bolyai} (1802-1860){yellow Farkas} {yellow János}-i. 1820ko apirilaTentamen{ Carta a {yellow Farkas Bolyai}} (6-03-1832)yellow III. GeodesiaGeodesiaHannoverHannoverHannoverHannoverHannoverHannoverHannovergreen Transformazio konformeakTransformazio konformeakTransformazio konformeakTransformazio konformeakKoordenatu isotermalakKoordenatu isotermalakTransformazio konformeakTransformazio konformeakAb his via sternitur ad maioraGoi GeodesiaGoi Geodesia Iyellow IV. Geometria diferentzialAieruaLuzera-elementuaXedea{yellow Disquisitiones Generales Circa Superficies Curvas}\ mbox {}\{green 1827ko urriaren 7a}{yellow Schumaker}-i bidalitako eskutitza small 1825 {yellow Schumaker}-i bidalitako eskutitza small 1825 yellow DisquisitionesAmaitu gabeko (?)proiektuaAmaitu gabeko (?)proiektuaAmaitu gabeko (?)proiektuaAmaitu gabeko (?)proiektuaKonzeptu berriakTeorema berriakKurbadura. green S $6${yellow Euler} Kurbadura. {green S $8$}{yellow Olinde Rodrigues} (1794-1851){yellow Olinde Rodrigues} (1794-1851)Teorema Egregium. {green S $11$}Teorema Egregium. {green S $12$}green Angelu-bariazioaAngelu-bariazioa {yellow planoan}Angelu-bariazioa {yellow esferan}{yellow $S^2(R)$}-kotriangelu baten azalera{yellow $S^2(R)$}-kotriangelu baten azalera{green Disquisitiones} (Jarraipena)Angelu-bariazioa. {green S $19$}Angelu-bariazioa. {green S $19$}Kurbadura. {green S $19$}Defektuaren Teorema. {green S $20$}Defektuaren Teorema. {green S $20$}Defektuaren Teorema. {green S $20$}{green 1825}-ko bertsioa.green Azten atalakKonparaketa-Teoremak. {green S $26$} Esfera {green S $27$}BHI {green S $28$}BHI {green S $28$}yellow V. Gd-Gne. \hspace {1cm} \ Esfera irudikaria aurki dezagunSasiesfera. {yellow F. Minding} (1840)yellow TraktrizeSasiesferagreen Ein Genie erster Grösseyellow János Bolyaiyellow János Bolyaiyellow János Bolyaiyellow János Bolyaiyellow János BolyaiEzerezatik sorturiko mundu berri batKuen-en gainazala

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