JeanDalibard

Année2016-17

ChaireAtomesetrayonnement

Fluidesquan2quesdebassedimensionettransi2ondeKosterlitz-Thouless

Gazquan:queendimensiondeux:ducasidéalauxinterac:onsbinaires

2

Laphysiqueenbassedimension

Coursprécédent:àtempératurenonnulle,iln’yapasd’ordrecristallin(ordreàlongueportée)endimension1ou2

h(uj � u0)2i ! 1 quand Rj ! 1

Butdescoursquivontsuivre:Ya-t-ilunordreouunquasi-ordredansungazdeBose,l’ordreétantcaractérisédanscecasparunecohérencemacroscopiqueouuncomportementsuperfluide?

Transi'onBKT(Berezinskii-Kosterlitz-Thouless)

Peierls,Mermin-Wagner-Hohenberg

3

Lesbutsducoursd’aujourd’hui

Traiterleproblèmedugazparfaitendimension2

• Commentl’argumentd’Einstein(1924)surlegazparfaitsaturéest-ilmodifié?

Gazuniformevs.gazconfinédansunpiègeharmonique

• Discuteruneimplémenta:onaprioriinaZendue:

Unpremierpasaudelàdugazparfait

• Commenttraiterleproblèmed’unecollisionbinaireendimension2danslecadredelamécaniquequan:que?

UneassembléedephotonsdansunecavitéBonn,groupedeMar2nWeitz

Klaers et al Nature 468 545 (2010)

4

Lasta:s:quedeBose-Einstein

Par:culesdansuneboîtedecôtéL

• Energie: Ep =p2

2m

• Impulsionquan:fiée: p =2⇡~L

n, n = (nx

, ny

) 2 Z2

p(r) =1pL2

eip·r/~2D

• Fonc:onsd’onde:

Np =1

e(Ep�µ)/kBT � 1

Nombremoyendepar:culesdansunétatd’impulsionpàl’équilibrethermique:

TempératureT,poten:elchimiqueμ

=1

1Z eEp/kBT � 1

Z = eµ/kBT :fugacité

5

Ladensitéd’états

NousseronsamenésàeffectuerdesmoyennesoudessommessurlesétatspX

p

F (p)✓

L

2⇡~

◆2 ZF (p) dp

x

dpy

Silaquan:téF(p)nedépendque|p|,doncdel’énergie,onob:entE =p2

2mZ +1

0F (E) D(E) dE

D(E):densitéd’étatsautourdel’énergieE,provenantdudécomptedunombred’étatsdanslatranched’énergiecompriseentreEetE+dE

X

p

F (p)

Dansuneboîteàdeuxdimensions,D(E)estunequan:téindépendantedeE

Pourrappel,àtroisdimensions: D(E) /pE

6

Pourquoiladensitéd’étatsestconstantedansuneboîte2D

p =2⇡~L

n, n = (nx

, ny

) 2 Z2

px

py

Pointsuniformémentrépar:sdansleplan (p

x

, py

)

2⇡~/L

E =p2x

+ p2y

2m:équa:ond’uncercle

p2m(E + dE)D(E) dE :nombredepointsdansl’anneaucomprisentreet

p2mE

Airedecetanneau: ⇡⇣p

2m(E + dE)⌘2

� ⇡⇣p

2mE⌘2

= 2m⇡ dE

indépendantedeE

Onarriveainsià: D(E) = 2m⇡

✓L

2⇡~

◆2

=mL2

2⇡~2

7

Lasatura:ondesétatsexcitésd’Einstein

Atempératurefixée,lenombredepar:culesquel’onpeutplacerdanslesétatsexcitésestborné.

{Nexc

Passageàuneintégrale:Nexc

(T, µ) <

Z+1

0

D(E)

eE/kBT � 1dE

CeZeintégralea-t-elleunsens,i.e.,converge-t-elleen0et?+1

Np =1

e(Ep�µ)/kBT � 1

n’adesensquesi µ < E0 = 0

Nexc

(T, µ) =X

p 6=0

1

e(Ep�µ)/kBT � 1

<X

p 6=0

1

eEp/kBT � 1correspondantà µ ! 0

Eneffet,laloideBose-Einstein:

E0

8

Lasatura:ondesétatsexcitésd’Einstein(suite)

{Nexc

Nexc

(T, µ) <

Z+1

0

D(E)

eE/kBT � 1dE

Convergenceen?PasdeproblèmecarD(E)variedoucementavecE

E = +1

ConvergenceenE=0?ToutdépendducomportementdeD(E) :

A3D: D(E) /pE

kBT

Z

0

1pE

dE estconvergenteenE=0

et1

eE/kBT � 1⇡ 1⇣

1 + EkBT

⌘� 1

=kBT

E

9

Lasatura:ondesétatsexcitésd’Einsteinà3D

A3D,l’intégralequimajorelapopula:ondesétatsexcitésestconvergente

Soncalculexactdonne

Nexc

(T, µ) < 2.612L3

�3

T�T =

~p2⇡p

mkBT2.612 =

+1X

n=1

1

n3/2avec

Unequan:tésansdimensionu:le:ladensitédansl’espacedesphases

D =N

L3�3T (densitéspa:ale)⇢ =

N

L3

Dexc

D

Dc

D0

Dexc

Dc

Dc = 2.612 {D0

10

Lanon-satura:ondesétatsexcitésà2D

Nexc

(T, µ) <

Z+1

0

D(E)

eE/kBT � 1dE

Ladensitéd’étatsàdeuxdimensionsestindépendantedeE.L’intégraleneconvergedoncpasenE = 0:

1

eE/kBT � 1⇡ kBT

EkBT

Z

0

1

EdEetdiverge

ATfixée,onpeutmeZreunnombrearbitrairementélevédepar:culesdanslesétatsexcitésquand

Pasdesatura:on,nidepopula:onmacroscopiquedansl’étatfondamental

µ ! 0

11

Distribu:onenimpulsiondugazdeBoseà2D

Onvarieladensitédansl’espacedesphasesd’unevaleur<<1àunevaleur>>1

0 2 4 6 8

10�3

101

105

p�T /h

N(p) D = 0.1, 0.3, 1, 3, 10

p�T

~ = 1 , p2

2m=

1

4⇡kBT

Leseffetsdesta:s:quequan:quesonttoujoursprésents,mêmesanscondensa:on:accumula:ond’unemajoritédespar:culesdanslazonedepe:tesimpulsions

N(p) =1

e(p2/2m�µ)/kBT ) � 1⇡ kBT

p2

2m + |µ|distribu:onLorentzienne

�T =~p2⇡p

mkBT

12

Cohérencespa:aledugazdeBoseà2D

Lacohérencespa:aleestcaractériséeparlafonc:ondecorréla:onàuncorps:

G1(r, r0) = hr|⇢1|r0i

quiestlatransforméedeFourierdeladistribu:onenimpulsion

0 2 4 6 8

10�3

10�1

101

r/�T

G1(r)

D = 0.1, 0.3, 1, 3, 10

TransforméedeFourierd’unelorentzienneenimpulsion:

G1(r, 0) / e�r/`

aveclalongueurdecohérencequiaugmentetrèsviteavec

`D

13

2.

LegazdeBosedansunpiègeharmonique2D

14

Ladensitéd’étatdansunpiègeharmonique2D

En = (nx

+ ny

+ 1)~!

Oscillateurisotropedepulsa:onω

Densitéd’états: D(E) / E

~!

~!

CeZedensitéd’étatsvientassurerlaconvergencedeZ +1

0

D(E)

eE/kBT � 1dE

Lapopula:ondesétatsexcitéssaturedoncdansunpiègeharmonique2D:

Nexc

< 1.64

✓kB

T

~!

◆2

1.64... =⇡2

6

Onretrouveuncondensatcommeà3Dquandmais…µ ! 0

15

Cecondensatest«singulier»

Descrip:ondugazpiégéàl’approxima:onsemi-classique:

N(E) =1

1Z eE/kBT � 1

Approxima2onvalabletantqu’onnecherchepasàenextrairedesinforma2onsavecunerésolu2onenposi2onetenimpulsionquiseraittelleque �r �p . ~

W (r,p) / 1

1Z e

⇣p2

2m+ 12m!2r2

⌘/kBT � 1

Densitéspa:aledanslepiègeàlalimite,c’est-à-dire:

⇢(r) =

ZW (r,p) d2p = � 1

�2T

ln⇣1� e�m!2r2/(2kBT )

⌘µ ! 0 Z ! 1

c’est-à-direauvoisinagedufonddupiège:r ! 0

⇢(r) ⇡ � 1

�2T

ln(r2) + constante

divergeen r = 0

(kBT � ~!)

16

Cecondensat2Dest«singulier»(suite)

Mêmesiladivergenceestcompa:bleavec⇢(r) ⇡ � 1

�2T

ln(r2) + constante

unnombretotaldepar:culesfinicarconverge,elleseraprobléma:que

dèsqu’ilyauradesinterac:onsrépulsivesentreatomes

Z⇢(r) d2r

A:tredecomparaison,ungazdeBosedansunpiègeharmonique3DcondensequandladensitécentraleaZeintlavaleur:

r ! 0 ⇢(r) ! 2.612

�3T

Ce«critèrecentral»estalorséquivalentaucritèretrouvépouruneboîtecubique

Iln’yavaitpasdecondensa2ondansuneboîteà2D,d’oùlecaractèresingulierducaspiégé

17

3.

Ungaz2Dpresqueidéal:lesphotonsencavité

18

Desphotonsmassifsetpiégésquicondensent???

• Lesphotonsnesontpasdespar:culesmassivesdansl'espace3D.Commentpeuvent-ilsacquérirunemasseà2D?

• Pouravoiruncondensatà2D,ilfautconfinerlespar:cules,parexempledansunpiègeharmonique.Commentob:entcepiégeageharmoniquepourlesphotons?

• Onposegénéralementμ=0pourlesphotons(nombrenonconservé).CommentobtenirμnonnuldansceZeexpérience?

• S’agissantdephotons,commentdis:nguercondensa:ondeBose-Einsteineteffetlaser?

19

Ledisposi:fdel’expériencedeBonn

Entrelesdeuxmiroirs,méthanol+colorant(Rhodamine6G)

milieud’indice n0 = 1.33

L = 1.5µm

Cavitéop:quedefinesse105

avec

Lesphotons«u:les»ontunelongueurd’onde(danslevide)danslagamme500-580nm

L ⇡ N�

2n0N = 7

LesmodeslongitudinauxN = 6ouN = 8correspondentàdeslongueursd’ondenonaZeintesparlafluorescencedesmoléculesdecolorant

Ledegrédelibertéselonzestfigépourlesphotonsdelacavité

z

20

Unemassepourlesphotons?

Selonl’axezdelacavité:aveckz = N⇡/L N = 7

Degrésdelibertétransverses(xy):avecE = ~! =~c|k|n0

|k| =q

k2z + k2?

⇡ ~!0 +~2k2

?2mph

oùl’onaposé: ~!0 =N⇡~cn0L

mph =~n0kz

c

mph ⇡ 0.7⇥ 10�35 kg

100000foismoinslourdqu’unélectron

Approxima:onparaxiale: |k?| ⌧ kz

E ⇡ ~cn0

kz

✓1 +

k2?

2k2z

◆

21

Unpoten:elharmoniquepourlesphotons

L(0)

L(r) L(r) = L0 � 2⇣R�

pR2 � r2

⌘

⇡ L0 �r2

R

~!0 =N⇡~cn0L

quel’oninjectedanslerésultatprécédent:

~!0(r) = ~!0(0) +1

2mph⌦

2r2

d’oùl’énergied’unphotonécartéderdel’axeop:que

avec: ⌦ =c

n0

pL0R/2

⌦/(2⇡) ⇡ 40GHz

BilandeceZeanalyse«corpusculaire»: E(r,k?) =~2k2

?2mph

+1

2mph⌦

2r2

22

Thermodynamiqueducolorant

g

ee

g

+1photon

e

gpompage

Larelaxa:onrovibra:onnelletrèsrapide(femtoseconde)garan:tunéquilibrethermiqueentresous-niveauxdegd’unepart,entresous-niveauxdeed’autrepart

Ne(E + ~!)Ng(E)

= Z e�~!/kBT T ⇡ 300K

Enrevanche,lerapportentrelespopula:onsdesdeuxcon:nuaassociésàeetàg n’estpasthermique,maisimposéparlapuissancedulaserdepompage.

RapportcaractériséparleparamètreZ

23

Thermodynamiquedesphotons

g

e

N (!) :nombredephotonsdansunmoded’énergie ~!

N (!) Ng(E) = [1 +N (!)]Ne(E + ~!)

absorp'on émissionspontanée+s'mulée

N (!)

1 +N (!)=

Ne(E + ~!)Ng(E)

Al’équilibre: = Z e�~!/kBT

Analysesimplifiéefondéesurlebilandétaillé:

ouencore:

LoideBose-Einsteinavecunefugacitédifférentede1,doncunpoten:elchimiquenonnul,dépendantsdelapuissancedulaserdepompage

N (!) =1

1Z e~!/kBT � 1

24

Ladifférenceaveclerayonnementducorpsnoir

DansleformalismeconduisantàlaformuledePlanck,onimposeμ=0pourlesphotons

Celaestmo:véparl’existencedeprocessustelsque:

1photon uneexcita:ondesparois

2photons

Nonconserva:ondunombred’excita:ons: µ = 2µ ) µ = 0

Dansl’expériencedeBonn,ilyaconserva:ondunombred’excita:ons:

1photon+1moléculeg 1moléculee

Lepoten2elchimiquenonnulrendcomptedeceSeconserva2on

Surleplanmathéma:que,descrip:onàl’approxima:onRWA

25

Lacondensa:on2DobservéeàBonn

Spectredelalumièresortantdelacavitépourdespuissancedepompagecroissante

AjustementdescourbesparuneloideBose-EinsteinavecT=300Ketunpoten:elchimiquevariable

Condensa:onaZenduepour

⇡ 60 000

Bonaccordaveclesobserva:ons!

N =⇡2

3

✓kBT

~⌦

◆2

26

Condensatoulaser?

• Lesfluctua:onsdunombredephotonsdanslemoded’unlasersontsouventpoissoniennes.EllessonticineZementplusimportantesetcorrespondentaurésultataZendudanslecadredel’ensemblegrand-canonique.

• Ladistribu:onénergé:quefaitapparaîtreunpicétroitaudessusd’unpiédestalthermique,généralementabsentpourunlaser

• Ils’agitd’unrégimeforcéplutôtqued’unéquilibrethermodynamiqueausensstrict

Uncritèrepluscontraignantpourraitconsisteràvérifiercertainesrela:onsfluctua:on-dissipa:on(ChiocheZaetal.)

27

Bilanàcestade

Gazparfaitdebosonsàlalimitethermodynamique

•Condensa2ondansunpiègeharmonique,maissingulier

densitécentralepourunpiègedefréquence! 1 ! ! 0

•Pasdecondensa2ondansuneboîteàlalimitethermodynamique

Peut-ilyavoirunetransi:ondephasesansqueladensitédevienneinfinie?

Oui,maisceZetransi:onestfondamentalementdueauxinterac:ons!

MécanismeBKT

28

4.

Collisionsbinairesàdeuxdimensions

29

Collisionsentredeuxpar:cules

H =p21

2m+

p22

2m+ U(r1 � r2)

OnsupposeraquenedépendquedeU(r) r = |r|

Sépara'ondesvariables: H = HCM + Hrel

Centredemasse: HCM =P 2

2MR =

1

2(r1 + r2) P = p1 + p2

M = 2m

Variablerela:ve: Hrel =p2

2mr+ U(r) r = r1 � r2 p =

1

2(p1 � p2)

mr = m/2

LaphysiquedelacollisionestdécriteparHrel

30

Barrièrecentrifugeetcollisionenondes

U(r) = �C6/r6avecparexemple+uncoeurdur

Oncherchelesétatspropresded’énergieposi:veHrel =p2

2mr+ U(r)

Etatproprecommunàetaumomentciné:que,depar:eangulaireconnue.Hrel

0 1 2 3 4 5�2

�1

0

1

2

r

U(r)

potentiel dans l’onde s

potentiel dans l’onde p

énergie centrifuge (onde p)

énergie incidente

Pourunétatdemomentciné:quenonnul,ilapparaîtuntermedebarrièrecentrifuge1/r2dansl’hamiltonienradial

Abasseénergie,lepoten:eld’interac:onnejoueunrôlequepourlecanaldecollisiondemomentciné:quenul

Collisionenondes,doncisotrope

31

Etatsta:onnairedediffusion

Hrel =p2

2mr+ U(r)

OnchercheunétatpropreavecHrel k(r) = Ek k(r) Ek =~2k22m

etlecomportementasympto:que

k(r) ⇠ eik·r + f(k)eikrpkr

ondeplaneincidente

ondecylindriquesortante

Oncherchelecomportementdel’amplitudedediffusionf (k)danslalimite k ! 0

32

Lecastri-dimensionnel

Poten:eldeportéeb,limitedebasseénergie: kb ⌧ 1U(r)

eikx

Ilexistedoncunerégiondel’espacetelleque b < r ⌧ k�1

kr = 1

2b

⇢e

±ikr

r

�ou

⇢sin(kr)

r,cos(kr)

r

�

⇢1,

1

r

�

Lavaleurdelalongueurdediffusionaestimposéeparlarégularitédelafonc:ond’ondeenr = 0etdépenddeU(r)

a = � limk!0

f(k)Amplitudedediffusion:

R(r) = C0

⇣1� a

r

⌘Fonc:onradiale:

33

Lecasbi-dimensionnel

⇢e

±ikr

pr

�ou

⇢sin(kr)p

r,cos(kr)p

r

�

eikx kr = 1

2b

⇢pr,

1pr

�???

Nemarchepascarn’estpasunesolu:onexactedanslecasU = 0,

maissimplementunelimiteasympto:que

e±ikr

pr

Enrevancheà3D,estbienunesolu:onexactequandU = 0e±ikr

r

34

Lecasbi-dimensionnel(suite)

eikx kr = 1

2b

Solu:onsexactespourU = 0 : fonc:onsdeBesselde1èreet2èmeespèce

J0(kr) Y0(kr)

J0(kr) ⇠r

2

⇡krcos

⇣kr � ⇡

4

⌘

Y0(kr) ⇠r

2

⇡krsin

⇣kr � ⇡

4

⌘

J0(kr) ⇠ 1

Y0(kr) ⇠2

⇡ln(kr)

35

Lecasbi-dimensionnel(fin)

eikx kr = 1

2b

J0(kr) ⇠r

2

⇡krcos

⇣kr � ⇡

4

⌘

Y0(kr) ⇠r

2

⇡krsin

⇣kr � ⇡

4

⌘

Fonc:onradiale: R(r) = C1 ln(r) + C2 = C1 ln(r/a2)

a2:longueurdediffusionàdeuxdimension

Amplitudedediffusion: f(k) ⇡ 1

� 1

2⇡ln(ka2) +

i

4

k ! 0

J0(kr) ⇠ 1

Y0(kr) ⇠2

⇡ln(kr)

Collisiondansunegéométriequasi-bidimensionnelle

Petrov-Holzmann-Shlyapnikov

aoh

Confinementharmoniqueselonl’axez:

aoh

=

r~

m!z

Résultatdumêmetypequeceluitrouvépourleproblèmestrictement2D:

f(k) ⇡ 11

g� 1

2⇡ln(ka

oh

) +i

4

g =p8⇡

a

aoh

avec

a:longueurdediffusion3D

Danslaplupartdescas,letermedomineledénominateur,cequidonne1/g

maisilfaudraserappelerquecelanepeutpasêtrecorrectsidevientgrand

f(k) ⇡ gg . 1

g

37

Bilan

Legazparfaitàdeuxdimensionspeutêtrevucommeuncaspar:culierduthéorèmedeMermin-Wagner-Hohenberg

Pasd’ordreàlongueportéeàlalimitethermodynamique

Maisilest«pauvre»ausensoùilneprésentepasnonplusdetransi:ondephasetopologiqueàlaBKT

Lesinterac'onssontindispensablespourfaireémergerceLetransi'ondephase

Ladescrip:ondecesinterac:onspeutsefairedanslescassimplesentermed’unnombresansdimensionquicaractérisel’amplitudedediffusiong

g =p8⇡

a

aoh

f(k) ⇡ g si g . 1