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Instituto Politécnico NacionalEscuela Superior de ingeniería y Arquitectura Unidad Ticomán

Ciencias de la TierraSic

Notas

Geodesia Geométrica

Por:

Camargo Jiménez Monserrath

López López Ulises

López Gutiérrez José Alejandro

Ortiz Serrano Adrián

Sánchez Romero Luis Edgardo

INDICE

CAPITULO I

1 Conceptos y métodos geodésicos

Geodesia Geométrica Instituto Politécnico Nacional Fecha: “La Técnica al Servicio de la Patria”

Instituto Politécnico Nacional

Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura Unidad Ticomán

Ciencias de la Tierra


Ciencias de la Tierra Geodesia Cartografía Topografía Objetivo principal de la Geodesia

2 Bosquejo histórico de la geodesia en el mundo y en México

3 Conceptos preliminares sobre la forma de la tierra

4 Superficies de referencia a considerar en el estudio de la geodesia

5 Sistemas de coordenadas empleadas en geodesia

6 Métodos geodésicos

7 Aplicación de la geodesia con fines cartográficos

1.1 DEFINICIONES PRELIMINARES

Geodesia:

Es la ciencia que desarrolla y estudia los métodos, tecnologías y procedimientos dirigidos a determinar con exactitud el tamaño y la forma de la Tierra o parte de ella, incluyendo su campo gravitacional externo, en un espacio tridimensional variante con el tiempo.



Ciencias de la TierraCartografía:

Es la ciencia que estudia los diferentes métodos o sistemas que permiten representar en un plano una parte o la totalidad de la superficie terrestre así como los elementos geográficos o cosmográficos que nos rodean.

Topografía:

Es la ciencia y la técnica de realizar mediciones de ángulos y distancias en extensiones de terreno lo suficientemente reducidas como para poder despreciar el efecto de la curvatura terrestre, para después procesarlas y obtener así coordenadas de puntos, direcciones, elevaciones, áreas o volúmenes, en forma gráfica y/o numérica, según los requerimientos del trabajo.

OBJETIVO PRINCIPAL DE LA GEODESIA

Los principales propósitos de la Geodesia han sido resumidos en:• Establecimiento y mantenimiento de redes de control geodésico tridimensional, nacional y global, reconociendo el tiempo como aspecto variante en dichas redes;• Medición y representación de fenómenos geodinámicas tales como movimiento polar, mareas terrestres, y movimientos de la corteza;• Determinación del campo de gravedad terrestre, incluyendo las variaciones temporales;• Determinación de parámetros, similar a los geodésicos, para otros cuerpos del sistema solar.

DIVICION DE LA GEODESIA

Astronomía Geodésica.- Es la parte de la Geodesia que mediante métodos y observaciones astronómicas trata fundamentalmente de obtener la dirección de la



Ciencias de la Tierravertical, determina coordenadas astronómicas, latitud, longitud y azimuts astronómicos. Con los datos obtenidos trata de determinar el geoide como figura de la Tierra por el método de nivelación astro geodésica, y efectuar la reorientación de redes geodésicas en la compensación con puntos Laplace. Las determinaciones astronómicas, tanto su teoría como sus métodos son a veces incluidas dentro de la astronomía de posición. Los métodos de pasos meridianos y de alturas iguales son los más comúnmente empleados.

Geodesia Geométrica.- Es aquella rama de la Geodesia en la que los datos de observación están constituidos por las medidas de ángulos y distancias en la superficie terrestre. Estos datos sonReferidos a un elipsoide de referencia para construir las triangulaciones en el caso de la Geodesia clásica bidimensional o bien estudiados en coordenadas cartesianas en el caso de la GeodesiaTridimensional. También son necesarias las determinaciones de altitudes de puntos sobre una superficie de cota cero. En esta rama el conocimiento de la geometría del elipsoide de revolución es fundamental.Geodesia Dinámica.- Es la división de la Geodesia que basada en la teoría del potencial, trata de las medidas de la gravedad, del estudio del campo exterior y de la obtención de la forma de la Tierra; sus datos fundamentales son las medidas de la gravedad efectuadas generalmente en superficie, y las perturbaciones observadas en el movimiento de un satélite artificial. Está relacionada con la Geodesia geométrica, con la geofísica, con la astronomía y con la mecánica celeste. Suele subdividirse en gravimetría, teoría del campo y consecuencias.

Pero desde el punto de vista temático, la Geodesia puede dividirse en diversas secciones o capítulos que, aunque relacionados unos con otros, algunos de ellos han adquirido entidad propia. Así, entre otros, tenemos.Teoría de la figura de la Tierra.- Constituida por los principios de la teoría del potencial y teoría de figuras de equilibrio aplicados al campo de gravedad terrestre.Teoría de redes geodésicas.- Incluye el estudio de las triangulaciones y trilateraciones, el cálculo y compensación de redes geodésicas y el cálculo de coordenadas, con el análisis estadístico de losResultados.Nivelación.- Trata de todo lo referente a la medida de altitudes y establecimiento de redes altimétricas.Teoría de la rotación de la Tierra.- Estudia el movimiento de rotación de la Tierra, en un sistema de referencia fijo en el espacio (precesión y nutación) y en un sistema de referencia fijo al cuerpo (velocidad de rotación y movimiento del polo) y está íntimamente ligada a la astronomía en lo referente a los sistemas de tiempo y nutación y a la geofísica con los modelos del interior de laTierra. Sus principales datos son las determinaciones astronómicas clásicas, los resultados de la Geodesia Doppler, GPS, laser y VLBI.




Gravimetría.- Trata de las determinaciones de la gravedad, sus reducciones, cálculo de anomalías y establecimiento de redes gravimétricas; sirve de base para aplicaciones geodésicas y geofísicas.Geodesia Física.- Está constituida por aquellas teorías y métodos encaminados a la determinación del geoide, con datos dinámicos o gravimétricos, mediante un análisis del problema de contorno de la teoría del potencial. Describe los modelos terrestres de comparación para el establecimiento de la figura de la Tierra, calcula y utiliza fundamentalmente las anomalías gravimétricas. También estudia el campo exterior de la gravedad.Mareas terrestres.- Estudia las desviaciones periódicas de la vertical debidas a las acciones gravitatorias del Sol y la Luna y sus efectos sobre el geoide y deformaciones de la Tierra, tanto desde un punto de vista teórico como numérico y experimental.Geodesia tridimensional.- Trata el problema de la forma y dimensiones de la Tierra en un sistema de referencia tridimensional, aquí el elipsoide sólo será una superficie auxiliar de la que puede prescindirse. Su evolución actual se dirige al estudio de cuestiones de holonomía con sistemas de referencia móviles.Geodesia espacial.- Esta nueva rama de la Geodesia trata principalmente con satélites artificiales cuya observación resulta más cómoda y precisa que la tradicional. Aplica técnicas tridimensionales y resuelve todos los problemas de la Geodesia tanto geométricos como dinámicos. En los cálculos emplea frecuentemente técnicas de colocación por mínimos cuadrados. Incluiremos también en la Geodesia espacial los métodos propios de la VLBI. Ya con entidad independiente, tenemos:Cartografía.- Trata del establecimiento de cartas de todo tipo y engloba todas las fases de trabajo, desde los primeros levantamientos hasta la impresión final de los mapas. Se incluyen los Sistemas de Información Geográfica.Topografía.- Trata del estudio y aplicación de los métodos necesarios para llegar a representar el terreno con todos sus detalles, naturales o no, en él existentes, así como de los instrumentos utilizados.Fotogrametría.- Técnica que trata de estudiar y definir con precisión las formas, dimensiones y posiciones en el espacio, de un objeto cualquiera, utilizando esencialmente una o varias fotografías del mismo, en nuestro caso del terreno.

1

1.2

1





Historia de la Geodesia

La Tierra es plana en todos sus

sentidos

Homero (900 a.c)

Tales de Mileto (639-546 a.c)

La Tierra es un barco redondo flotando en

un mar sin límites

Anaximandro de Mileto (610 -547 a.c)

Yo realice la primera carta Geográfica

Nosotros pensamos que la Tierra y el Sol son discos delgados

Anaximenes y Anaxagoras de clazomene (550-428)




Pá. Mi la Tierra es plana e

Jenofanes de colofón

(540 a.c)

Nosotros emitimos por primera vez la idea de la esfericidad de la Tierra y su aislamiento en el espacio.

Parmenides (515-440 a.c) y

Empedocles (470 a.c)

La Tierra no tiene mas forma que esférica y está aislada en el

espacio inmóvil.

Pitágoras de Samos

(569-470 a.c)




La Tierra gira alrededor de sí

misma produciendo

Los días y las

Filolao (450 a.C.)

Leucipio (460-370 a.C.) Demócrito de Abdera (460-370 a.C.)

Nosotros suponemos otra vez que era un disco plano

sostenido por el aire

La Tierra tiene un movimiento deRotación y pensamos que por lo

menos la Tierra, Mercurio y Venus se mueven

Alrededor del Sol.

Hicetas, Heráclides(388-315 a.C.) y Efanto

Platón (429-338 a.C.),

La Tierra es redonda!!!!!

Caray!!!!!!



1.3 Conceptos preliminares de la forma de la Tierra

La Tierra se decía que era como un barco flotando en el infinito son límite alguno, o que la Tierra era un disco plano y el sol otro que giraban en un mar sin salida, también se llego a pensar que la Tierra era sostenida por 3 elefantes sobre una tortuga gigante. Pero hoy. En nuestra actualidad sabemos cómo está conformada la Tierra y el cosmos que lo rodea

1.4 Superficies de referencia

Superficie de referencia.

Punto o nivel que se toma como base para realizar una medición constituyendo el nivel

Existen 3 superficies de referencia:

Superficie real Superficie matemática Superficie física

La superficie real es la Topográfica

Para la ingeniería topográfica no ha sido fácil representarla ya que se encuentra en constante transformación, bien lo dice la historia hemos ido desde que la tierra a sido; para la percepción del hombre plana; fue hasta que entonces algunos hombres empezaron a considerar a la tierra como un cuerpo esférico no perfecto, debido a esa imperfección se ha tenido que acudir a la ciencia y basarnos en modelos físicos y geométricos que se encuentren más cerca a lo que es esta.

De naturaleza física podemos encontrar el geoide basado en la ley de la gravedad en donde un cuerpo es deformado gracias a la gravedad teniendo como consiguiente que LA FUERZA CON QUE DOS CUERPOS SON ATRAIDOS ES DIRECTAMENTE PROPORCIONAL AL PRODUCTO DE LAS MASAS E INVERSAMENTE PROPORCIONAL AL CUADRADO DE LA DISTANCIA QUE LOS SEPARA debido a esto la masa que es la tierra se deforma dando abultamientos en donde están los continentes y hundimientos en donde hay menos masa.



Ciencias de la TierraEs una superficie equipotencial imaginaria, basada en el campo gravitatorio terrestre, que representa el nivel de los mares en calma prolongado por debajo de los continentes.

De naturaleza geométrica encontramos al elipsoide de revolución que es generado a partir de una elipse que es sometida a girar en uno de sus dos ejes.

La superficie matemática es el elipsoide de revolución

Los griegos creyeron que la Tierra era perfectamente esférica y por espacio de muchos siglos permaneció la cencía de esta idea. En 1669 Huyghens sostuvo que la superficie del mar correspondía a la de un elipsoide de revolución aplanado por los polos, y en 1687 Newton llegó a la misma conclusión.

El fenómeno que dio paso a Huyghens y a Newton para deducir la forma elipsoidal de la Tierra es la llamada depresión del horizonte. La experiencia vulgar nos enseña que el horizonte se ensancha a medida que el observador se eleva a mayor altura. Pero la observación con un instrumento de precisión, por ejemplo, un teodolito, enseña todavía más, a saber: que si desde cierta altura se dirige el anteojo del teodolito, enteramente horizontal, hacia un horizonte plano, cual es la superficie del mar, el anteojo no se dirige al horizonte mismo sino algo más arriba, para divisar el horizonte, hay que inclinarlo algo hacia abajo, tanto más cuanto más alto se encuentra el punto de observación. Este fenómeno, pues, es lo que se llama depresión del horizonte. Pues bien, la depresión del horizonte, desde un mismo punto de observación, no es igual en todo alrededor: el valor de la depresión del horizonte y las variaciones en torno de un mismo punto de observación permiten calcular, así el radio aproximado de la Tierra como la forma elipsoidal de la misma.

El elipsoide adoptado se denomina elipsoide de referencia, superficie ficticia pero geométrica, dada la imposibilidad de hacer los cálculos sobre el geoide, por ser una superficie muy irregular. Evidentemente el elipsoide de revolución ha de ser bien definido, no solo en su forma y dimensiones, sino también en su posición y, además, invariablemente ligado al cuerpo terrestre.

Superficie física de la Tierra Geoide



Ciencias de la TierraEl perfeccionamiento incesante así en las determinaciones de campo, como en los métodos de reducción, hizo ver que los primeros valores encontrados eran susceptibles de una mayor precisión. Por de pronto al tratar de determinar la verdadera forma de la Tierra, surge una gran dificultad, proveniente de los relieves terrestres. Pues bien tomando en cuenta la insignificancia de estos relieves, en comparación con las dimensiones del orbe terráqueo, se ha tratado de simplificar el problema: en vez de intentarla determinación de una forma tan complicada, como es la superficie exterior de la corteza terrestre o superficie real, se ha tratado de determinar la superficie que ofrecerían los mare prolongados idealmente por debajo de los continentes: a esta superficie se ha dado en llamar geoide, según propuso en 1873 el geodesta Listing.

De conformidad con estas ideas, geoide es la superficie de los mares, prolongada idealmente por debajo de los continentes e islas, suponiendo que solo obedece a la atracción universal. Esto implica prescindir de los movimientos producidos por vientos, por el flujo y reflujo de las mareas y de las corrientes marinas, debidas a las diferencias de temperatura y a otras múltiples influencias, como diferencias de presión atmosférica y de densidad por razón de la desigual salinidad de las aguas. La superficie del geoide, así considerada, goza de una propiedad importante, cual es la de que cada punto de su superficie es perpendicular a la dirección de la vertical o plomada.

Primeras mediciones de la tierra

El primer hombre en realizar esto fue Eratóstenes, en el año de 230A.C, Para ello tomo como parte del circulo máximo la distancia entre Alejandría y Siena en Egipto; midió la distancia entre ambas poblaciones, que hallo ser de 5000 estadios (860kilometros) y por un método ingeniosísimo determino el valor de arco o sea el numero de grados entre Siena y Alejandría. En Siena los rayos del sol, a las 12 del día mas largo del año. Que allí es en el solsticio de junio, caen verticales; ese mismo día en Alejandría forman una ángulo con la vertical, ángulo que por ser los rayos del sol prácticamente paralelos ha de ser igual al que forman entre si los radios terrestres. Ahora bien el arco comprendido entre Siena y Alejandría era de 7º 12´o sea 1/50 del circulo máximo y Eratóstenes dedujo q el meridiano terrestre medía 40.500.000 metros en lugar de 40.000.000 que es su valor real lo cual para aquellos tiempos era una aproximación grande.

1.5 Sistemas de coordenadas empleados en geodesia



Ciencias de la TierraEl sistema de coordenadas geodésicas es un "sistema de coordenadas en que la posición es especificada por la latitud geodésica, la longitud geodésica y en los casos trimensionales la altitud elipisódica".

Latitud geodésica φ, ángulo que forma el plano ecuatorial con la perpendicular al elipsoide desde un punto dado. Se toma positiva hacia el norte.

Longitud geodésica λ, ángulo que forma el plano meridiano de un punto dado. Se toma positiva hacia el Este.

Altura geodésica o elipsóidica h, distancia a un punto desde el elipsoide medida a lo largo de la normal al elipsoide por este punto, positiva si es ascendente o el punto está fuera del elipsoide.

En la figura PE1P1E la elipse de meridiano, que pasa por el punto a partir del cual se miden las longitudes; PMRP1, el meridiano que pasa por el punto dado M. El ángulo agudo ϕ, se denomina latitud geodésica y está formado por la normal M a la superficie del elipsoide en el punto dado y por el plano ecuatorial ERE1: a la longitud geodésica λ del punto M se la llama ángulo diedro PMP1E, formado por el plano del meridiano de origen PEP1 y el plano del meridiano del punto en cuestión.Las latitudes de los puntos, situados en el hemisferio norte, se llama latitud norte; la de los puntos situados en el hemisferio sur latitud sur. Los puntos situados al oriente del meridiano de origen poseen una longitud llamada oriental; los puntos situados al occidente del meridiano de origen, poseen una longitud llamada occidental.




Figura. Elipsoide, sistema de coordenadas geodésicas.La latitud ϕ y la longitud λ, como ya se vio anteriormente, determinan exactamente la posición del punto M sobre la superficie del elipsoide. De esta forma las latitudes y longitudes geodésicas definen las proyecciones de los puntos de la superficie terrestre sobre el elipsoide conforme a la normal de este punto.Para determinar las coordenadas de los puntos de la superficie terrestre en un sistema de coordenadas es indispensable además saber la altura geodésica H que es el segmento de la normal al elipsoide de referencia que va desde el punto terrestre dado M (ver Fig.2.26) hasta el elipsoide de referencia. Dicho de otro modo, reduciendo previamente los resultados de las medidas a la superficie del elipsoide de referencia, se los lleva a una altura nula (H=0). Esto simplifica esencialmente la resolución de los problemas geodésicos: del cálculo de las tres coordenadas (ϕ, λ, H), que determinan la situación del punto en el espacio, pasamos al cálculo de las coordenadas (ϕ, λ). Esto resulta conveniente para los puntos de la superficie terrestre, en los cuales H siempre es pequeña y, por lo tanto, las reducciones también lo son.

1.6 Métodos geodésicos

Los métodos geodésicos no son otra cosa que la aplicación al estudio de la Tierra de la metodología científica de "Observación, Cálculo y Comprobación". Se observa un fenómeno, con teorías físicas y el uso de las matemáticas establece un modelo que lo represente y después se comprueba lo cercano que este modelo y sus consecuencias están de la realidad observada. Como ya se ha dicho, la Geodesia pretende conocer la forma y dimensiones de la Tierra y la representación de puntos de su superficie, interesa, pues, conocer para cada punto de la superficie terrestre unas coordenadas que lo determinen que generalmente serán bien cartesianas (x,y,z) o bien geográficas(ϕ,λ,h


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Ciencias de la Tierra) En un cierto sistema de referencia bien definido. Para la Determinación de las coordenadas geográficas puede pensarse en principio en la observación astronómica, esto puede ser válido para obtener

Las coordenadas de puntos individuales en número reducido, pero es evidente que pretender, por este procedimiento, asignar coordenadas a todos los puntos de la superficie terrestre es prácticamente imposible. Para subsanar este problema, la Geodesia clásica adopta una superficie matemática como figura de la Tierra y recubre dicha superficie con una red de triángulos de forma que conociendo las coordenadas de un vértice puedan calcularse las de los demás utilizando para ello simples medidas de ángulos o de distancias, o de ambas cosas. Efectivamente, si suponemos por un momento la Tierra esférica, sea A Un punto de coordenadas (ϕ λ) conocidas (por ejemplo por observación astronó-mica); para calcular las coordenadas de otro punto B de la misma superficie consideremos el triángulo de posición PAB que los punto Ay B forman con el polo P de la esfera; si medimos a distancia AB entre ambos puntos y el acimut en A de la dirección AB, respecto del polo P, n el triángulo anterior conoceremos tres elementos: los lados AB, medido, y PA= 90-ϕ, ato, l ángulo en A medido (Fig. 3).Fig. 3. Cálculo de coordenadas Resolviendo entonces este triángulo con las fórmulas clásicas de la trigonometría esférica, podremos conocer el lado PB que dará la latitud de B y el ángulo en P que siendo la diferencia de longitudes nos hará la longitud de B. Con este sencillo procedimiento podrían determinarse las coordenadas de más de un punto y tendríamos la base para efectuar una representación cartográfica. Después de haber resuelto una red de grandes triángulos o red de primer orden, se plantearía otra red de triángulos más pequeños, denominada de segundo orden, apoyado n a anterior y así sucesivamente con un tercer y un cuarto orden hasta llegar a los trabajos de principios de la Topografía. Esta es la teoría de redes geodésicas con infinidad de aplicaciones.

La forma general de la Tierra

Para hacer cálculos sencillos y aproximados, es conveniente pensar que la Tierra es una esfera. No obstante, como se vió en la sección anterior, en la realidad la forma de nuestro planeta es más compleja: Ligeramente achatada en los polos y abultada en el Ecuador, con el hemisferio sur un poco más voluminoso que el norte, y con la rugosidad propia que le da el relieve del terreno.




Figura 2.4: Forma general de la Tierra

Observaciones detalladas mediante técnicas modernas han mostrado que si exagerásemos estas características, la Tierra se asemejaría más bien a una pera, como muestra la siguiente figura adaptada de [Seeber, 1993].

Figura 2.5: Forma de pera de la Tierra

Nótese que a esta forma general hay que agregarle la correspondiente a la orografía de la superficie terrestre que es muy compleja, tal y como lo refleja la figura 2.6 que muestra el relieve del planete, incluyendo el fondo de los océanos.




Figura 2.6: Relieve de la Tierra. Fuente: NOAA

Por otra parte, hay que tener en cuenta que la altura de la montaña más alta del planeta, el Monte Everest, es de 8844 m [Wikipedia, 2006d]. Esto representa menos del 0,14% del radio medio de la Tierra. Por la razón anterior, es razonable utilizar aproximaciones en vez de la forma general del planeta para muchas aplicaciones, en particular la navegación global.

El elipsoide

En general, es más práctico trabajar la forma de la Tierra como si fuera un elipsoide, sin considerar las ondulaciones propias de la topografía. Esto se debe a que el elipsoide es una figura matemática fácil de usar que es lo suficientemente parecida a la forma de la Tierra cuando se están trabajando las coordenadas en el plano: Latitud y Longitud.

Existen diferentes modelos de elipsoides utilizados en geodesia, denominados elipsoides de referencia. Las diferencias entre éstos vienen dadas por los valores asignados a sus parámetros más importantes:

Semieje ecuatorial ( ) o Semieje mayor: Longitud del semieje correspondiente al ecuador, desde el centro de masas de la Tierra hasta la superficie terrestre.

Semieje polar ( ) o Semieje menor: Longitud del semieje desde el centro de masas de la Tierra hasta uno de los polos. Alrededor de este eje se realiza la rotación de la elipse base2.6.

La relación entre el eje ecuatorial y el polar se presenta en la figura 2.7.




Figura 2.7: Ejes de un elipsoide de revolución

Es habitual describir matemáticamente a una elipse como esta mediante la ecuación 2.2.

(2.2)

Factor de achatamiento ( ): Este factor representa qué tan diferentes son los semiejes entre sí. Su expresión es:

(2.3)

Note que mientras más cerca de cero se encuentre , más parecido a una

esfera es el elipsoide. Por lo general el factor es muy pequeño, por lo que




se acostumbra proporcionar . Por la misma razón a veces, y para cálculos simples, se utiliza una esfera en vez de un elipsoide2.7.

Una manera equivalente de indicar es mediante la excentricidad de la elipse transversal:

(2.4)

Que es equivalente a:

(2.5)

Los valores de estos parámetros para algunos elipsoides de referencia

importantes se presentan en la tabla 2.1 (adaptada de [ -blox ag., 1999]):




Tabla 2.1: Parámetros de elipsoides de referencia

Nombre (m) (m)

Australian National 6378160.000 6356774.719 298.250000

Bessel 1841 6377397.155 6356078.963 299.152813

Clarke 1866 6378206.400 6356583.800 294.978698

Clarke 1880 6378249.145 6356514.870 293.465000

Everest 1956 6377301.243 6356100.228 300.801700

Fischer 1968 6378150.000 6356768.337 298.300000

GRS 1980 6378137.000 6356752.314 298.257222

International 1924 (Hayford) 6378388.000 6356911.946 297.000000

SGS 85 6378136.000 6356751.302 298.257000

South American 1969 6378160.000 6356774.719 298.250000

WGS 72 6378135.000 6356750.520 298.260000

WGS 84 6378137.000 6356752.314 298.257224

Uno de los elipsoides de referencia más utilizados actualmente es el descrito en el sistema denominado World Geodetic System 84 (WGS-84), desarrollado por el Departamento de Defensa de los EEUU, y que tiene como origen el centro de masas de la Tierra. Su popularidad se debe a que es el utilizado por el sistema de posicionamiento global por satélite GPS.

El elipsoide WGS-84 define los parámetros para la Tierra indicados en la tabla 2.2.2.8




Tabla 2.2: Parámetros de la Tierra según WGS-84

Nombre Símbolo Valor

Semieje mayor de la elipse a 6378,137000 km

Semieje menor de la elipse b 6356,752314 km

Factor de achatamiento 1/298,257223563

Velocidad angular de la Tierra 7292115 . rad/s

El geoide

No obstante la ventaja de ser una figura matemática sencilla, el elipsoide no es adecuado cuando lo que deseamos medir son altitudes. Dado que la mayor parte de la Tierra está cubierta por mares y océanos (70,8 %, según [Wikipedia, 2006d]), entonces la superficie de referencia por excelencia para medir altitudes es el nivel medio del mar. Además, este nivel medio es una mejor aproximación a la forma real de la Tierra vista desde el espacio.

El nivel medio del mar, a su vez, depende de las irregularidades en el campo gravitatorio de la Tierra (véase la sección 2.1.3), que alteran su posición. El agua de los océanos del globo busca estar en equilibrio, y por ello tiende a seguir una superficie gravitatoria equipotencial.

Es por esto que se introduce una nueva figura llamada Geoide, definida como: La superficie equipotencial del campo gravitatorio de la Tierra que mejor se ajusta (en el sentido de mínimos cuadrados), al nivel medio global del mar2.9 (ver [National Geodetic Survey, 2006]). Una de las consecuencias de esta definición es que el geoide es siempre perpendicular al vector de gravedad local en cada punto.

La figura 2.8 (adaptada de [Seeber, 1993]) muestra una comparación entre el geoide y el elipsoide:




Figura 2.8: Comparación entre el Geoide y el Elipsoide

Como ya se mencionó, es fácil asociar el geoide al nivel medio del mar en las zonas oceánicas. Esto se muestra en la figura 2.9, donde se grafica la diferencia vertical entre geoide y elipsoide y pueden apreciarse diferencias de hasta 150 m. Por otra parte, sobre los continentes lo que se hace es tomar medidas cuidadosas para extender el concepto a las zonas secas, lo que permite utilizar una referencia de alturas común y coherente2.10.

Figura 2.9: Diferencia vertical geoide-elipsoide. Fuente: NASA.




Medir el geoide a nivel mundial es una tarea difícil, pues la corteza terrestre no es homogénea y por tanto su densidad no es uniforme, lo que altera la fuerza de gravedad en un punto dado. Asimismo, ya se comentó que grandes masas de rocas (como cordilleras, montañas y volcanes) pueden alterar también el vector de gravedad local. La tabla 2.3 muestra densidades para diferentes materiales que componen la superficie terrestre (adaptadas de [Torge, 1991]), mientras que la figura 2.10 presenta una gráfica que muestra (de manera muy exagerada) la forma del geoide en el hemisferio que contiene Europa y África.

Tabla 2.3: Densidades relativas de materiales de la superficie terrestre.

MaterialDensidad ( )

Agua 1030

Sedimentos 2000 a 2500

Granito 2500 a 2800

Flujos de lava 2700

Basalto 2700 a 3100

Peridotita 3300 a 3400

Por otro lado, es posible relacionar matemáticamente al geoide y el elipsoide mediante la expresión:

(2.6)



Ciencias de la TierraDonde es la altura de un punto con respecto al elipsoide(altura elipsoidal), es la altura del geoide respecto al elipsoide (ondulación del geoide) y es la altura del punto con respecto al geoide (llamada altura ortométrica). La figura 2.11 muestra esta relación.

Figura 2.11: Relación entre el Geoide y el Elipsoide

Note que tanto como son perpendiculares al elipsoide de referencia, mientras que es la altura medida a lo largo de la línea de plomada (perpendicular al geoide y cuya curvatura ha sido exagerada en la figura).

Mediante esta relación, y con la ayuda de las series en esféricos armónicos mencionadas previamente, es posible escribir programas que aproximen los valores del geoide. Un ejemplo de ello es el proporcionado por la NGA (ver [NGA, 2006b] y [NGA, 2006a]), donde se relaciona el geoide con el elipsoide WGS-84.

La tabla 2.4 presenta los valores de N (ondulación del geoide) para algunas ciudades del mundo según el NGA WGS 84 Geoid Calculator ([NGA, 2006a]).

Tabla 2.4: Ondulación del geoide para algunas ciudades.

Ciudad N (m)

Barcelona 48,61

Berlín 39,79

Buenos Aires 14,34

Lahore -43,60




Londres 47,37

Madrid 53,44

Quito 26,13

Seattle -19,38

Singapur 7,03

Tel Aviv 17,30

Sabiendo que la principal tarea científica de la Geodesia es el estudio de la figura de la Tierra, nos damos cuenta de que el primer problema que hay que resolver es: la determinación del tipo de superficie matemática que mejor representa la figura de la Tierra en su totalidad. A este respecto, se considera como tal superficie la de un elipsoide de revolución ligeramente aplanado, éste se denomina elipsoide terrestre. Esta primera figura de la Tierra es tan buena, que el geoide (la segunda mejor figura de la Tierra, la superficie equipotencial del campo gravitatorio terrestre que coincide con el nivel medio de los océanos) se aparta de esta primera figura en menos que 100 metros de altura, en el caso de mayor separación. Nos encontramos así con dos superficies fundamentales de referencia muy próximas entre sí, el elipsoide y el geoide, las cuales provienen de dos concepciones distintas de la Geodesia, determinando en consecuencia la división de la Geodesia en dos ramas principales, Geodesia Geométrica o Elipsoidal y Geodesia Física o Dinámica. Llegados a este punto, hay que recordar que desde la antigüedad el hombre se ha preocupado por la medida de la Tierra, es decir, por desarrollar la parte geométrica de la geodesia. Así, durante siglos, la única geodesia que se ha desarrollado es la Geodesia Geométrica, sobre todo el estudio y determinación del elipsoide terrestre. Por otra parte, el elipsoide de revolución, como superficie matemática, es sencillo y bien conocido, pudiendo utilizarse para numerosos cálculos que serían muy complejos si se efectuaran sobre el geoide. Esto hace que esta primera aproximación a la figura de la Tierra, el elipsoide de revolución terrestre, siga siendo vigente en la actualidad, siendo



Ciencias de la Tierrautilizado como superficie de referencia para muchas actividades científicas y técnicas. Vista entonces la importancia que tiene este elipsoide de revolución, como primera figura de la Tierra y superficie de referencia, vamos a comenzar el estudio de esta figura matemática repasando algunos conceptos básicos referentes a la elipse meridiana, pues el elipsoide de revolución se formará mediante la rotación de esta elipse, alrededor del eje que pasa por los polos terrestres (el eje OB de la figura 1.1). Debemos entonces recordar que para esta elipse podemos escribir las siguientes relaciones (Torge, 1991)

Sea a el semieje mayor de la elipse meridiana y b el semieje menor. A partir

de sus valores se obtienen los siguientes parámetros de la elipse:

a - b

Aplanamiento o achatamiento: α =

a

2 2a - b

Primera excentricidad: e =

a

2 2a - b

Segunda excentricidad: e' =

b

2 2 Excentricidad lineal: ε = a - b

2.5 RADIOS DE CURVATURA DEL PRINCIPAL

Para los trabajos cartográficos será necesario conocer los radios de curvatura principales del elipsoide en la zona que se considere. En un punto dado P estos radios de curvatura son los de las dos secciones del elipsoide, perpendiculares entre sí, que tienen curvaturas



Ciencias de la Tierramínima y máxima, respectivamente. Los radios de curvatura de todas las restantes secciones posibles, trazadas por P, adoptarán valores intermedios Fig. 2.2. Radio de curvatura entre esos dos. de la elipse meridiana

Una de estas secciones es la intersección con el elipsoide del plano que contiene al eje polar y que pasa por P, es decir la propia elipse meridiana Si se trazan las normales por los dos extremos de un arco de la elipse, estos se cortarán en un punto p (figura 2.2). Cuando el arco tiende a cero, el punto intersección tendrá un límite denominado centro de curvatura de la elipse meridiana. El valor del radio de curvatura en P depende de la latitud geográfica del punto P y se calcula:

2a (1 - e )ρ = 2 2 3 / 2

(1 - e sen φ) siendo e la primera excentricidad y φ la latitud del punto. La otra sección principal corresponde a la intersección del elipsoide con el plano que contiene a la gran normal y es perpendicular al plano meridiano que pasa por P. Siendo PQ la gran normal (figura 2.1) el radio de curvatura correspondiente será N=PQ. También depende de la latitud de P y se calcula:

aN = 2 2 1/ 2(1 - e sen φ)

Como hemos visto, los radios de curvatura principales sólo dependen de la latitud geográfica de P. Por lo tanto, estos radios tienen los mismos valores en todos los puntos de un mismo paralelo.



Ciencias de la Tierra Los radios de curvatura principales son iguales en los polos y en el Ecuador y valen:

2bNO = a ρO = 2

a

Se denomina esfera local a la que tiene más puntos de contacto con la superficie del elipsoide en torno a P. Su radio es la media geométrica entre los de la gran normal y la elipse meridiana en P:

RL = ρ N




3.1 Conceptos básicos de la teoría de las curvas.

Una curva plana es el lugar geométrico de los puntos del plano que verifican una ecuación.• Dependiendo de la expresión de dicha ecuación hablamos de curvas en implícitas, explícitas o paramétricas.

• Explícita: y=f(x)• Implícita: F(x,y)=0• Paramétricas: r(t)=(x(t),y(t)) t ∈ [a,b]

Una ecuación en tres variables F(x, y, z) = 0 representa geométricamente una superficie en el espacio euclıdeo tridimensional R3, mientras que una curva se obtiene como intersección de dos superficies,

F(x, y, z) = 0 G(x, y, z) = 0

La ecuación general de primer grado (o ecuación lineal)

Ax + By + Cz + D = 0

es la más sencilla de las ecuaciones en tres variables y representa un plano que corta a los ejes de coordenadas en los puntos (−D/A, 0, 0), (0,−D/B, 0),(0, 0,−D/C) (siempre que los coeficientes A, B y C sean no nulos).Del mismo modo, el sistema formado por dos ecuaciones de primer grado representa la recta intersección de los dos planos definidos por dichas ecuaciones.

Otras superficies que utilizaremos frecuentemente en lo sucesivo son las cuádricas cuya expresión general, en su forma canónica, corresponde a una ecuación de segundo grado en las variables x, y, z:

Ax2 + By2 + Cz2 + Dx + Ey + Fz + G = 0

Como regla general, las cuádricas se obtienen de las cónicas haciendo girar estas alrededor de un eje y dilatando convenientemente uno de los ejes. La excepción es el paraboloide hiperbólico (también llamado silla de montar).

Longitud de arco




Dada una curva suficientemente suave (diferenciable y de clase ), en y

dado su vector de posición expresado mediante el parámetro t;

se define el llamado parámetro de arco s como:

La cual se puede expresar también de la siguiente forma en la cual resulta más fácil de recordar

Lo cual permite reparametrizar la curva de la siguiente manera:

donde

son las relaciones entre las dos parametrizaciones.

Vectores tangente, normal y binormal: Triedro de Frênet-Serret

Dada una curva parametrizada r(t) según un parámetro cualquiera t se define el llamado vector tangente, normal y binormal como:

o bien

o bien




o bien

Vista esquemática del vector tangente, vector normal y vector binormal de una curva hélice.

Estos tres vectores son unitarios y perpendiculares entre sí, juntos configuran un sistema de referencia móvil conocido como Triedro de Frênet-Serret a raíz del estudio de Jean Frenet y Joseph Serret. Es interesante que para una partícula física desplazándose en el espacio, el vector tangente es paralelo a la velocidad, mientras que el vector normal da el cambio dirección por unidad de tiempo de la velocidad o aceleración normal.

Si la curva está parametrizada según la longitud de arco, como se explicó en la sección anterior las fórmulas anteriores pueden simplificarse notablemente:

Donde los parámetros χ y τ anteriores designan precisamente a la curvatura y a la torsión.

Curvatura y torsión

La curvatura es una medida del cambio de dirección del vector tangente a una curva, cuanto más rápido cambia éste a medida que nos desplazamos a lo largo de la curva, se dice, que más grande es la curvatura. Para una curva parametrizada cualquiera la curvatura es igual a:


http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Frenet_trihedron.svg&page=1



Si la curva está parametrizada por el parámetro de longitud de arco, la anterior ecuación se reduce simplemente a:

Además de la curvatura se suele definir el llamado radio de curvatura, como el inverso de la curvatura.

La torsión es una medida del cambio de dirección del vector binormal: cuanto más rápido cambia, más rápido gira el vector binormal alrededor del vector tangente y más retorcida aparece la curva. Por lo tanto, para una curva totalmente contenida en el plano la torsión es nula ya que el vector binormal es constantemente perpendicular al plano que la contiene. Para el caso general la torsión viene dada por:

Si la curva está parametrizada por el parámetro de longitud de arco, la anterior ecuación se reduce a:

Plano osculador

En cada punto de una curva, el plano osculador es el plano que contiene al su vector tangente y al vector normal a la curva. Para una partícula desplazándose en el espacio tridimiensional, el plano osculador coincide con el plano que en cada instante contiene a la aceleración y la velocidad. La ecuación de este plano viene dada por:




Donde:

, el punto de la trayectoria.

, el vector velocidad en el punto considerado.

, las coordenadas de un punto genérico del plano osculador.

Si se tiene una partícula en la posición , moviéndose con velocidad y sometida

a una aceleración el plano osculador viene dado por el conjunto de puntos:

Obviamente si la partícula tiene un movimiento rectilíneo el plano osculador no está definido.

Centro de curvatura

Ilustración de la circunferencia osculatriz en el punto P de la curva C, en la que se muestra también el radio y centro de curvatura.

En un entorno de un punto de una curva puede ser aproximado por un círculo, llamado círculo osculador por estar contenido en el plano osculador. El radio del círculo osculador coincide con el radio de curvatura (inverso de la curvatura). El centro de dicho círculo puede buscarse como:

O más sencillamente en función del parámetro de arco como:


http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Osculating_circle.svg&page=1



Teorema fundamental de curvas

El teorema fundamental de curvas que enunciamos a continuación nos dice que conocido un punto de una curva y su vector tangente, la curva queda totalmente especificada si se conoce la función de curvatura y de torsión. Su enunciado es el siguiente:

Sea un intervalo. Dadas dos funciones continuas χ y τ de a y dado un sistema de referencia fijo (ortonormal) de , {x0; e1, e2, e3}, entonces existe una

única curva parametrizada de , y tales que:

1. La curva pasa por x0, y el vector tangente T a la curva en ese punto coincide con e1.

2. A lo largo de la curva pueden definirse tres campos vectoriales T(s), N(s) y B(s) llamados respectivamente vector tangente, normal y binormal, perpendiculares entre sí y tales que en el punto inicial coinciden con e1, e2, e3 (es decir, T(0) = e1, N(0) = e2, B(0) = e3).

3. Se cumplen las siguientes ecuaciones:

O bien escrito matricialmente

donde el punto es la derivada con respecto al arcoparámetro s.

Esto tiene implicaciones físicas interesantes, por ejemplo, la trayectoria de una partícula queda especificada si se conocen la posición inicial, la velocidad inicial y la variación en el tiempo de las derivadas segundas (que están relacionadas con la curvatura y la torsión). Es por eso por lo que las leyes de Newton o las



Ciencias de la Tierraecuaciones de Euler-Lagrange se expresan en términos de derivadas de segundo orden (que es necesario complementar con la posición y velocidades iniciales).

3.2: CONCEPTOS BÁSICOS DE LA TEORÍA DE SUPERFICIES.

Representaciones paramétricas regulares.

Una representación paramétrica regular de clase Cm de un conjunto de puntosS de R3es una aplicación x = x(u, v) de un conjunto abierto U del plano uv sobre S, tal que.(i) x es de clase Cm(ii) Si (e1, e2, e3) es una base de R3 y x(u, v) = x1(u, v)e1 + x2(u, v)e2 + x3(u, v)e3, entonces, para todo (u, v) de U, es el

que el rango de la matriz jacobiana sea igual a dos nos dice que al menos uno de los tres menores de orden 2 × 2 es diferente de cero.Si consideramos el parámetro u constante de la forma u = uo, la representaciónparamétrica toma la forma x = x(uo, v) = x(v) corresponde a una curva de parámetro v, que se llama curva u = uo. Análogamente para v = vo cte. se tiene una curva de parámetro u. De ésta manera la representación paramétrica cubre a S con dos familias de curvas, que constituyen la imagen de las rectas coordenadas v = cte. u = cte, donde S es la imagen de la aplicación.Si consideramos la derivada parcial xu(uo, vo) , ésta es un vector tangentea la recta de parámetro u , análogamente xv(uo, vo) es un vector tangente a lacurva de parámetro v, ambas tangentes a S.Los vectores tangentes xu(uo, vo) y xv(uo, vo) son llamados vectores tangentesparciales de x = x(u, v) en (uo, vo).Si hacemos el producto vectorial entre ambos vectores tangentes se tiene:

términos que difieren de los menores de orden 2 × 2 de la matriz jacobianade x a lo sumo en un signo, es decir el hecho que el rango de la matriz jacobianasea dos implica que el vector normal a xu × xv es no nulo.



Ciencias de la TierraCartas locales.

Una carta local de clase Cm (m ≥ 1) en S es una aplicación de un conjuntoabierto U en S tal que:(i) x es de clase Cm en U.(ii) xu × xv 6= θ, para todo (u, v) ∈ U.(iii) x sea inyectiva y bicontinua sobre U.Es decir una carta local de clase Cm es una representación paramétricaregular de clase Cm que es inyectiva y bicontinua en su dominio. Es decir unacarta local es una representación paramétrica regular de una parte de S.Se denomina una carta de Monge de clase Cm a una carta de la forma x =ue1+ve2+f (u, v)e3 o x = ue1+f (u, v)e2+ve3 o bien x = f (u, v)e1+ue2+ve3con f (u, v) de clase Cm.

Superficies simples.

Sea S en conjunto de puntos de R3 para el cual existe una colección B de cartaslocales de clase Cm en S, que cumpla las siguientes condiciones.(i) B cubre a S, es decir, por cada punto P de S existe una carta localx = x(u, v) en B que contiene a P .(ii) Toda carta local x = x(u, v) es la intersección de un conjunto abiertoO de R3 con S.Entonces S juntamente con la totalidad de las cartas locales de clase Cm deS, es una superficie simple de clase Cm en R3. Un conjunto B de cartas localesque satisfaga las condiciones anteriores recibe el nombre de base.

Teorema:Por cada punto P de una superficie simple S de clase Cm existe una cartaconexa de clase Cm de S que contiene a P .

Prueba:Sean (u, v) el punto de U que se aplica en P. Sea S(u, v) una bola abierta entorno a (u, v), ésta existe por ser U un conjunto abierto. Entonces la restricciónde x a S(u, v) es una carta en S de clase Cm y conexa que contiene a P.Decimos que una aplicación θ = θ(u, v˙) , φ = φ(u, v) de clase Cm de unconjunto abierto W del plano uv es una transformación admisible de parámetrosi es inyectiva y tal que para todo punto de su dominio el jacobiano ∂(θ,φ)/∂(u,v) 6= 0.Se tiene que si la aplicación θ = θ(u, v˙) , φ = φ(u, v) es una transformaciónadmisible de parámetro, entonces su inversa también lo es.

Teorema:En la intersección de dos cartas locales de una superficie simple de claseCm,los parámetros se relacionan entre sí mediante transformaciones coordenadasadmisibles de clase Cm.




Prueba:Hipótesis: x, x∗ son funciones inyectivas bicontinuas de W → S y W ∗ → Srespectivamente de clase Cm tales que:

x(W ) ∩ x∗(W ∗) 6= φ y sean U, U ∗ tales que: x(U) = x∗(U ∗) = G, entonces:Existen x−1, x∗−1 continuas de G → U, G → U ∗ respectivamente por hipótesis.Definimos: ϕi,j : U → U ∗ , ϕi,j = (x∗−1◦ x)ϕji : U ∗ → U , ϕji = (x−1 ◦ x∗) se demuestra que ϕi,j = ϕ−1 ji ,en efecto ϕ−1ji = (x−1 ◦ x∗)−1 = (x∗−1 ◦ (x−1)−1) = (x∗−1 ◦ x) =ϕi,j

Esto implica que ϕi,j es invertible y su inversa es ϕji. De esto tenemos queexiste f = ϕi,j continua e invertible de clase Cm. Como f es invertible⇒ f esinyectiva, como además es bicontinua⇒ J f 6= ˙0. Es decir f es una transformaciónadmisible de parámetro.

Vectores tangentes y normales a una superficie.

Si x = x(u, v) es una carta de una superficie S y u = u(t) , v = v(t) una curva regular sobre el plano uv de parámetro t, si hacemos la composición x = x(u(t), v(t) = y(t) tendremos una curva regular sobre la superficie S de parámetro t. Decimos que un vector T no nulo es tangente a una superficie S en un punto P , si existe una curva regular x = y(t) que pase por P tal que:Todo vector tangente a S se puede escribir como combinación lineal de los vectores xu y xv , pues T = dy dt =.xudu+ xv dv.El plano que pasa por P paralelo a los vectores xu y xv , se llama planotangente a S en P . Se llama vector unitario normal a la superficie S en P alvector:

el cual varía continuamente en toda la extensión de la superficie, pues xu × xv = θ.Proposición:Si x = x(u, v) y x = x∗(θ, φ) dos cartas de S y P un punto de la intersecciónde las dos cartas.Sea N el vector unitario normal de la carta x = x(u, v) y N∗es el vector unitario normal asociado a la carta x = x∗(θ, φ), entonces:




Prueba:x∗θ ×x∗φ= (xuuθ+xv vθ) × (xuuφ+xv vφ) = (xu×xv)(uθ vφ−uφvθ) = (xu×xv) ∂(u,v)/∂(θ,φ)De ésta forma:

Es decir N∗ tendrá en P el mismo sentido que N si ∂(u,v)/∂(θ,φ) > 0.Algunas propiedades topológicas de las superficies son: Una superficie conexaes arco conexa por arcos regulares. Si S y T son dos superficies simples tales queS sea cerrada, T conexa, y S esté contenida en T , entonces S es igual a T.Orientabilidad de una superficie.En términos intuitivos diremos que una superficie es orientable si es posible definir sobre la superficie una normal unitaria que varíe continuamente en toda la extensión de la superficie. Una superficie orientada será la superficie orientableen la que se ha individualizado uno de los dos sentidos sobre la normal.En términos más formales:Sean S en conjunto de puntos de R3 y F una colección de cartas locales deS de clase Cm que cumplan las siguientes condiciones:(i) Existe en F en conjunto de cartas locales que constituye una base deS.(ii) Si x = x(u, v) y x = x∗(θ, φ) son dos cartas rampantes de F, entonces,en la intersección, será ∂(u,v)/∂(θ,φ) > 0.(iii) F es maximal. Es decir, si a F, se agrega una carta local de S, que nopertenezca a F , entonces no se cumple la propiedad (ii).El conjunto de puntos S conjuntamente con la colección F constituyen unasuperficie simple orientada de clase Cm.

Superficies de Curvatura Doble




líneas geodésicas

En geometría, la línea geodésica se define como la línea de mínima longitud que une dos puntos en una superficie dada, y está contenida en esta superficie. El plano oscilador de la geodésica es perpendicular en cualquier punto al plano tangente a la superficie. Las geodésicas de una superficie son las líneas "más rectas" posibles (con menor curvatura) fijado un punto y una dirección dada sobre dicha superficie.

Más generalmente, se puede hablar de geodésicas en "espacios curvados" de dimensión superior llamados variedades riemannianas en donde, si el espacio contiene una métrica natural, entonces las geodésicas son (localmente) la ruta más corta entre dos puntos en el espacio. Un ejemplo físico, de variedad

Es el que aparece en la teoría de la relatividad general las partículas materiales se mueven a lo largo de geodésicas temporales del espacio-tiempo curvo.

El término "geodésico" proviene de la palabra geodesia, la ciencia de medir el tamaño y forma del planeta Tierra; en el sentido original, fue la ruta más corta entre dos puntos sobre la superficie de la Tierra, específicamente, el segmento de un gran círculo

Si consideramos una curva con parametrización totalmente general, mediante un parámetro t que no tenga por qué coincidir con el parámetro longitud de arco s, entonces la ecuación de la curva no cumplirá generalmente la ecuación (1). Sin embargo la curva recorrida seguirá siendo geodésica si y sólo si existe una función

y se cumple la siguiente ecuación:

(2)

Donde es una función cuya derivada no se anula nunca que relaciona

el parámetro t con el parámetro s cumpliéndose

Si meditamos sobre las curvas contenidas en una superficie regular nosEncontramos en la situación de que algunas de ellas tienen una curvatura en cadaUno de sus puntos que coincide con la curvatura normal en tales puntos de laSuperficie que las contiene.Toda curva alabeada regular C de vector tangente t en un punto dado, tiene, en talPunto, definido un triedro móvil, triedro de Frente, de modo que los otros dosVectores, normal n, y binormal b, se encuentran en un plano normal a dicho vectorTangente, siendo n el vector unitario de la dirección de la curvatura de C.


http://es.wikipedia.org/wiki/Gran_c%C3%ADrculo

http://es.wikipedia.org/wiki/Segmento

http://es.wikipedia.org/wiki/Tierra


http://es.wikipedia.org/wiki/Geodesia

http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio-tiempo

http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_general_de_la_relatividad

http://es.wikipedia.org/wiki/Localmente

http://es.wikipedia.org/wiki/Variedad_de_Riemann

http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa


Ciencias de la TierraPor otra parte, si la curva está contenida en una superficie S, sabemos que en cadaPunto P, de vector tangente a la curva t, podemos considerar también el triedroNatural formado por t y por los vectores normal N a la superficie en P y binormal u(Normal a t y a N).En cada punto P de la curva C con vector tangente t y contenida en S hay, pues,Dos triedros en los que coincide el vector tangente t. Uno es el triedro de FrenteFormado por t, el vector n de dirección de la curvatura de C y el vector b

Perpendicular a ambos, y el otro triedro es el triedro natural formado también porT, y ahora por los vectores normales N a la superficie en P y u perpendicular aAmbos. Obviamente, el plano perpendicular al vector tangente común t contieneSiempre a los otros dos vectores de cada triedro (n y b del triedro de Frente, y N yU del triedro natural).Cuando los vectores de ambos triedros, triedro natural y triedro de Frente,Coinciden, es decir cuando la curvatura de la curva C tiene la misma dirección n queLa curvatura normal, de dirección N, de la superficie S que la contiene, es cuandoDecimos que la curva C es geodésica, o que se trata de una línea geodésica en laSuperficie S.

Si consideramos el plano perpendicular al vector tangente t, se tiene la siguienteFigura en donde se visualiza la posición relativa de los otros dos vectores unitariosEn el caso de líneas no geodésicas y en el caso de líneas geodésicas en la superficieS:En




En el caso general de líneas no geodésicas los vectores unitarios de dirección de lasCurvaturas, mr.(Curva) y NR(Normal respecto a la superficie) forman un ciertoÁngulo no nulo. En la figura se ha representado el complementario θ, esto es, elÁngulo que forman los vectores mr.E ir.Para estudiar las líneas geodésicas y sus propiedades hemos de tener en cuentaAlgunas relaciones previas entre los vectores tangentes y los símbolos deChristoffel, lo cual permitirá probar fácilmente las propiedades básicas y obtener lasEcuaciones de las líneas geodésicas.

Ecuación de las geodésicas

En una superficie curva o variedad

La longitud LC a lo largo de una curva contenida en ella se evalúa gracias a las componentes gil del tensor métrico g del siguiente modo:



Ciencias de la TierraDonde xi (t) es la expresión paramétrica de los puntos de la curva parame trizada mediante el parámetro t. Todas las líneas geodésicas son extrémales de la integral anterior. Para encontrar la ecuación de las geodésicas, consideraremos que dichas geodésicas están parame trizadas mediante la longitud de arco s. En ese caso, usando los símbolos de Christoffel asociadas a la conexión sin torsión, la curva geodésica de mínima longitud que pasan por un punto x0 y tiene el vector tangente v constante satisface la siguiente ecuación:

(1)

Puede probarse que la ecuación anterior puede obtenerse también por métodos variaciones de mínima acción. De hecho las geodésicas son una solución particular de las Ecuaciones de Euler-LaGrange para un lagrangiano basado en la forma cuadrática asociada al tensor métrico que interviene en el cálculo de longitudes.




Longitud del arco de meridiano

Por ser un dato necesario en multitud de problemas en Geodesia, y en particular para el cálculo de coordenadas geodésicas, cuando se estudie el transporte de coordenadas, es necesario calcular el arco que sobre el meridiano corresponde a una diferencia de latitudes dϕ.

haciendo operaciones se escribe este valor de s en la forma,

Conocido este valor del arco de la elipse meridiana en función de la diferencia de latitudes de sus extremos, se puede calcular el problema inverso, pudiendo dar como expresión de dicha diferencia de latitudes la siguiente.

obtenida en función de los parámetros del elipsoide y lógicamente en función del arco de elipse meridiana. Esta expresión será utilizada en el cálculo de las coordenadas geodésicas, cuando se estudie el cálculo de coordenadas en el elipsoide.


Rα= N

1+e2 cos2α cos2φ

Rα= NM

M sin2α+N cos2α



Problemas

Determinar en el elipsoide SGR-80 el radio de curvatura de la sección meridiana (M) y el radio de curvatura de la primera vertical (N) de un punto cuya latitud es de 32°.

Datos: Formulas: a=6378137mb=63567520.3141mϕ=32°

Respuestas:e²=0.006694380036M=6353346.183mN=6384140.527m

ϕ

Del problema anterior calcular el radio de curvatura de la latitud con azimut α=180° en el elipsoide SGR-80.

Respuesta: Formulas:

Rα=6353551.344m


e2=a2−b2

a2

M=a (1−e2 )

(1−e2 sin2φ )32

N= a

(1−e2 sin2φ )12

Δφ=φ2−φ1

Bm=φ1+φ2

2

Mm=a (1−e2)

(1−e2 sin2Bm )32

S=Mm Δφρ '

N= a

(1−e2 sin2φ )12

P=Ncosφ



Calcular el radio de curvatura (P) en el elipsoide SGR-80 de un paralelo cuya latitud es de 32°.

Datos: Formulas:

ϕ=32°

N=6384140.527m

Respuesta:

P=5414058.22m

ϕ

Calcular la longitud del arco de meridiano (S) en el elipsoide SGR-80 cuyas latitudes son 13°30' y 14°00'.

Datos: Formulas:φ1 =13°30'φ2 =14°00'

ρ'=3437.7477

Respuestas:Δϕ=00°30'Bm=13°45'Mm=6339035.086mS=55318.5019m

Calcular el radio de curvatura (P) en el elipsoide SGR-80 de un paralelo cuya latitud es de 56°.

Datos: Formulas:a=6378137m


P=Ncosφ

Δφ=φ2−φ1

Bm=φ1+φ2

2

Mm=a (1−e2)

(1−e2 sin2Bm )32

S=Mm Δφρ '

Δφ=φ2−φ1

Bm=φ1+φ2

2

Mm=a (1−e2)

(1−e2 sin2Bm )32

S=Mm Δφρ °

¿


Ciencias de la Tierraϕ=56°e²=0.006694380036Respuestas:N=6392860.955mP=3574842.479m

Calcular la longitud del arco de meridiano (S) en el elipsoide SGR-80 cuyas latitudes son 13°15' y

14°00'.

Datos: Formulas:φ1 =13°15'φ2 =14°00'

ρ'=3437.7477

Respuestas:Δϕ=00°45'Bm=13°37'30"Mm=6338971.207mS=82976.91664m

Calcular la longitud del arco de meridiano (S) en el elipsoide SGR-80 cuyas latitudes son 34° y

42°.

Datos: Formulas:φ1 =34°φ2 =42°

ρ°=57.295779

Respuestas:Δϕ=08°00'Bm=38°00'Mm=6359629.652mS=887975.3255m


Sφ=a ( 1−e2 )[A Δφ} over {ρ −(B2 sin2φ)+(C4 sin 4φ)−( D6 sin 6φ)+(E8 sin 8φ)−( F10sin 10φ)]

Δφ1=φ1−0 °

Δ φ2=φ2−0 °

Sφ1φ2=¿ Sφ2−Sφ1¿

Δκ=κ2−κ1

D=Ncosφ Δκρ°


Ciencias de la TierraCalcular el arco de meridiano en el elipsoide SGR-80 cuyas latitudes son:

Datos: Formulas:φ1 =23°15'34.77"φ2 =34°00'00"

ρ"=206264.80624A=1.00505250181B=0.00506310862C=0.00001062759D=0.00000002082E=0.00000000004F=0.00000000000

Respuestas:Δφ1=83734.77"

Δφ2=122400" φ2

Sφ1=2573293.656m φ1 0° Sφ2=3763661.442m Sφ1φ2=¿ ¿1190367.786m

Calcular la distancia de arco meridiano (D) en el elipsoide SGR-80Datos: Formulas:ϕ=32°κ1=13°κ2=20°

ρ°=57.295779N=6384140.527m

Respuestas:Δκ=7°D=661451.9987m

Paralelo κ1

κ2


Δφ=φ2−φ1

Bm=φ1+φ2

2



Calcular la distancia de arco meridiano (D) y el arco de meridiano (S) en el elipsoide SGR-80Datos: Formulas:

φ1 =27°φ2 =26°κ1=106°κ2=108°

e=0.08181919112ρ°=57.295779N=6384140.527m

Respuestas:

Δϕ=1°Δκ=2°Bm=26°30'D1=198559.5086mD2=200294.9466m

S=110851.8436m


S=aΔφp° [1−( 1

4+ 3

4cos2Bm)e2−( 3

64+ 3

16cos2Bm−15

64cos 4Bm)e4+( 1

8e2 Δφ2 cos2Bm)]



UNIDAD IV: SISTEMA DE ALTURAS

4.1: Generalidades: Altura

El término altura hace referencia a varios conceptos:

Distancia vertical de un cuerpo respecto a la tierra o a cualquier otra superficie tomada como referencia:

altitud, la distancia vertical de un punto de la tierra respecto del nivel del mar.

Medida de un cuerpo o de una figura considerada verticalmente desde su base hasta su punto más elevado:

estatura de una persona. altura musical, el parámetro utilizado para determinar la percepción del tono

(frecuencia) de un sonido. altura (astronomía), la amplitud del arco vertical contado desde el horizonte. altura (geometría), en una figura plana o en un sólido, distancia entre un

lado o cara y el vértice o el punto más alejado en la dirección perpendicular. También hace referencia a la recta o segmento sobre el cual se mide esa distancia.

Altura (Castellón), municipio de la provincia de Castellón, España.

En astronomía se llama altura (a) de un astro al arco de vertical contado desde el horizonte hasta el astro. Su valor absoluto es siempre menor o igual que 90º y, por convenio, es un valor positivo si el astro es visible (es decir si está sobre el horizonte) y negativo si no es visible (es decir si está bajo el horizonte). Es una de las dos coordenadas horizontales, siendo la otra el azimut o acimut. La altura y el acimut son coordenadas que dependen de la posición del observador. Es decir un mismo astro en un mismo momento son vistos bajo diferentes coordenadas horizontales por diferentes observadores situados en puntos diferentes de la Tierra. Esto significa que dichas coordenadas son locales. En la actualidad para medir la altura de un astro se utiliza un instrumento denominado sextante. Si lo que se mide es la altura del sol, hay que tener mucho cuidado para no dañar los ojos. Las coordenadas horizontales pueden ser calculadas matemáticamente. Esta información al mismo tiempo puede ser utilizada para calcular la radiación solar recibida por la tierra en un período de tiempo determinado, la proyección de sombras de un elemento que aun no existe como un edificio, entre muchísimas otras funciones.


http://es.wikipedia.org/wiki/Sextante


http://es.wikipedia.org/wiki/Acimut


http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_horizontales

http://es.wikipedia.org/wiki/Astronom%C3%ADa



La altitud es la distancia vertical a un origen determinado, considerado como nivel cero, para el que se suele tomar el nivel medio del mar. En meteorología, la altitud es un factor de cambios de temperatura puesto que esta disminuye, como media, 0,65 °C cada 100 metros de altitud.

En geografía, la altitud es la distancia vertical de un punto de la Tierra respecto al nivel del mar, llamada elevación sobre el nivel medio del mar, en contraste con la altura, que indica la distancia vertical existente entre dos puntos de la superficie terrestre; y el nivel de vuelo, que es la altitud según la presión estándar medida mediante un altímetro, que se encuentra a más de 20 000 pies sobre el nivel medio del mar.

En Europa continental, casi toda Iberoamérica y en otras partes del mundo, la altitud se mide en metros. En Estados Unidos se mide generalmente en pies, pero este país ha convenido en ir remplazando ese sistema de medición por el Sistema Internacional de Unidades (SI). En aviación, generalmente se utilizan los pies en todo el mundo, excepto en los países del antiguo bloque del este, ya que los aviones de la antigua Unión Soviética y de esos países llevan los indicadores de altitud en metros.


http://es.wikipedia.org/wiki/Uni%C3%B3n_Sovi%C3%A9tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_Internacional_de_Unidades

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_Internacional_de_Unidades

http://es.wikipedia.org/wiki/Pie_(unidad)

http://es.wikipedia.org/wiki/Estados_Unidos

http://es.wikipedia.org/wiki/Metro

http://es.wikipedia.org/wiki/Iberoam%C3%A9rica

http://es.wikipedia.org/wiki/Europa

http://es.wikipedia.org/wiki/Alt%C3%ADmetro

http://es.wikipedia.org/wiki/Nivel_de_vuelo

http://es.wikipedia.org/wiki/Nivel_medio_del_mar

http://es.wikipedia.org/wiki/Nivel_del_mar

http://es.wikipedia.org/wiki/Geograf%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/Grado_Celsius

http://es.wikipedia.org/wiki/Meteorolog%C3%ADa


http://es.wikipedia.org/wiki/Distancia


Ciencias de la TierraEn España, se toma normalmente como referencia para el cálculo de la altitud el nivel medio del mar en la ciudad de Alicante, a partir de la señalización de la altitud situada en los escalones del ayuntamiento.

Para expresar la altitud frecuentemente se utiliza el valor en metros seguido de "msnm": metros sobre el nivel del mar.

La mayor parte de las mediciones geodésicas se aplica en la superficie terrestre, donde, para fines de determinaciones planimétricas, son marcados puntos de una red de triangulación. Con los métodos exactos de la Geodesia matemática se proyectan estos puntos en una superficie geométrica, que matemáticamente debe ser bien definida. Para este fin se suele definir un Elipsoide de rotación o Elipsoide de referencia. Existe una serie de elipsoides que antes fueron definidos para las necesidades de apenas un país, después para los continentes, hoy para el Globo entero, en primer lugar definidos en proyectos geodésicos internacionales y la aplicación de los métodos de la Geodesia de satélites. Además del sistema de referencia planimétrica (red de triangulación y el elipsoide de rotación), existe un segundo sistema de referencia: el sistema de superficies equipotenciales y líneas verticales para las mediciones altimétricas. Según la definición geodésica, la altura de un punto es la longitud de la línea de las verticales (curva) entre un punto P y el geoide (altura geodésica). También se puede describir la altura del punto P como


http://es.wikipedia.org/wiki/Globo_terr%C3%A1queo

http://es.wikipedia.org/wiki/Elipsoide


http://es.wikipedia.org/wiki/Alicante

http://es.wikipedia.org/wiki/Espa%C3%B1a


Ciencias de la Tierrala diferencia de potencial entre el geoide y aquella superficie equipotencial que contiene el punto P. Esta altura es llamada de Cota Geopotencial. Las cotas geopotenciales tienen la ventaja, comparándolas con alturas métricas u ortométricas, de poder ser determinadas con alta precisión sin conocimientos de la forma del geoide (Nivelación). Por esta razón, en los proyectos de nivelación de grandes áreas, como continentes, se suelen usar cotas geopotenciales, como en el caso de la compensación de la 'Red única de Altimetría de Europa'. En el caso de tener una cantidad suficiente, tanto de puntos planimétricos, como también altimétricos, se puede determinar el geoide local de aquella área.

El área de la Geodesia que trata de la definición local o global de la figura terrestre generalmente es llamada de Geodesia Física, para aquella área, o para sus sub-áreas. También se usan términos como Geodesia dinámica, Geodesia por satélite, Gravimetría, Geodesia astronómica, Geodesia clásica, Geodesia tri-dimensional...

Esquema mostrando: (1) la superficie de los océanos, (2) el elipsoide, (3) la dirección de la plomada, (4) los continentes, (5) el geoide


http://es.wikipedia.org/wiki/Geoide

http://es.wikipedia.org/wiki/Continente

http://es.wikipedia.org/wiki/Plomada

http://es.wikipedia.org/wiki/Elipsoide

http://es.wikipedia.org/wiki/Oc%C3%A9ano

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Cota_Geopotencial&action=edit&redlink=1



4.2: Concepto de altura:

El término altura hace referencia a varios conceptos:

En astronomía se llama altura de un astro al arco de vertical contado desde el horizonte hasta el astro. Su valor absoluto es siempre menor o igual que 90º y, por convenio, es un valor positivo si el astro es visible (es decir si está sobre el horizonte) y negativo si no es visible (es decir si está bajo el horizonte). Es una de las dos coordenadas horizontales, siendo la otra el azimut. La altura y el azimut son coordenadas que dependen de la posición del observador. Es decir un mismo astro en un mismo momento son vistos bajo diferentes coordenadas horizontales por diferentes observadores situados en puntos diferentes de la Tierra. Esto significa que dichas coordenadas son locales.

La altitud es la distancia vertical a un origen determinado, considerado como nivel cero, para el que se suele tomar el nivel medio del mar. En meteorología, la altitud es un factor de cambios de temperatura puesto que esta disminuye, como media, 0,65 °C cada 100 metros de altitud. En geografía, la altitud es la distancia vertical de un punto de la Tierra respecto al nivel del mar, llamada elevación sobre el nivel medio del mar, en contraste con la altura, que indica la distancia vertical existente entre dos puntos de la superficie terrestre.

La altura de un objeto o figura geométrica es una longitud o una distancia, usualmente vertical o en la dirección de la gravedad. Este término también se usa para designar la coordenada vertical de la parte más elevada de un objeto. En coordenadas cartesianas (x, y, z), la altura de los volúmenes corresponde a la coordenada Z que es la que se sitúa perpendicular al suelo (vertical), normalmente, ya que X e Y son asignados a valores horizontales: anchura (o ancho) y longitud (o largo).

En coordenadas cartesianas (x, y), en el plano, la altura se refiere a la distancia perpendicular al eje X, o la longitud de un segmento paralelo al eje Y. En un


http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianas

http://es.wikipedia.org/wiki/Longitud_dimensional

http://es.wikipedia.org/wiki/Anchura

http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenada

http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianas

http://es.wikipedia.org/wiki/Gravedad


http://es.wikipedia.org/wiki/Longitud

http://es.wikipedia.org/wiki/Figura_geom%C3%A9trica




http://es.wikipedia.org/wiki/Geograf%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/Grado_Celsius

http://es.wikipedia.org/wiki/Meteorolog%C3%ADa





http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_horizontales

http://es.wikipedia.org/wiki/Astronom%C3%ADa


Ciencias de la Tierraparalelogramo, la altura es la menor distancia entre los dos lados paralelos. En un cuadrilátero con al menos dos lados paralelos, la altura es la menor distancia entre los dos lados paralelos.

Se denomina nivel del mar al que sirve como referencia para ubicar la altitud de las localidades y accidentes geográficos, excepto los accidentes submarinos, que se miden por su profundidad. La unidad en que suele medirse la altura sobre el nivel del mar es el metro. Se habla pues de metros sobre el nivel del mar, abreviado msnm.

4.3 Concepto de Sistema Alturas

La superficie topográfica es la superficie real de la Tierra, pero para poder representarla es necesario referirla a algún modelo matemático, de estos modelos se generan las cartas y mapas, desarrollados por la cartografía. Las alturas que usan en la Geodesia se clasifican según su determinación, su aplicación y modelo físico matemático.

Alturas geométricas

Estas son obtenidas a través de nivelación geométrica, las diferencias de nivel ir varían según el campo de gravedad del recorrido de la nivelación. Debido a la forma elipsoidal de la tierra y su distribución irregular de las masas en su interior, las superficies equipotenciales en puntos diferentes no son iguales debido a la distribución de masas en el interior de la Tierra, lo que explica densidades diferentes, generando diferentes campos de gravedad.

Alturas elipsoidales

Representan la separación entre la superficie topográfica terrestre y la superficie del elipsoide, y se mide por la normal al elipsoide designándose con la letra

h.Esta es calculada a partir de coordenadas geocéntricas cartesianas definidas

sobre un elipsoide de referencia.

Alturas ortométricas

Esta es la altura que existe entre la superficie topográfica y el geoide siendo


http://es.wikipedia.org/wiki/Metro

http://es.wikipedia.org/wiki/Accidente_geogr%C3%A1fico

http://es.wikipedia.org/wiki/Localidad

http://es.wikipedia.org/wiki/Altitud

http://es.wikipedia.org/wiki/Cuadril%C3%A1tero

http://es.wikipedia.org/wiki/Paralelogramo


Ciencias de la Tierraperpendicular a este ultimo se designa con la letra H. Pera lo que será necesario conocer la gravedad verdadera entre el punto evaluado y el geoide.

La gravedad medida en la superficie topográfica es la gravedad real y la verdadera se encuentra referida al geoide, es aquí donde surge el inconveniente de cómo medirla siguiendo la vertical en el punto observado. Existen alguno modelos de cómo poder calcularla a través de modelos geofísicos y aplicar reducciones para trasladar la gravedad al geoide.Las alturas ortométricas se pueden calcular a partir de las elipsoidales:

H = h - N ( 10.1 ) 10.4

Ondulación geoidal

La diferencia que existe entre el geoide y el elipsoide se conoce como ondulación del geoide N. Gracias a esta variante se puede describir el irregular comportamiento del geoide. Conociendo la ondulación geoidal se puede calcular la altura ortometrica o altura sobre el NMM de algún punto de observación en particular todo esto a partir del valor de la altura sobre el elipsoide referida por un equipo GPS, esta situación se expresa mediante la siguiente fórmula.

= -

= Desnivel ortométrico.= Diferencia de alturas elipsoidales.= Diferencia de ondulaciones geoidales.




4.4ALTURAS REFERIDAS AL GEOIDE

Se denomina nivel del mar al que sirve como referencia para ubicar la altitud de las localidades y accidentes geográficos, excepto los accidentes submarinos, que se miden por su profundidad.

La unidad en que suele medirse la altura sobre el nivel del mar es el metro. Se habla pues de metros sobre el nivel del mar, abreviado msnm.Un estudio de nivelación determina las alturas de los lugares por encima o por debajo de una superficie de referencia. Existen tres diferentes tipos de estudios de nivelación: diferencial, trigonométricas y barométricas.

El método más exacto es el de nivelación diferencial. En este método, la altura de un lugar se mide en relación a la altura conocida de otro lugar. Las lecturas se hacen sobre barras graduadas en posición vertical adelante y atrás de un instrumento denominado nivel. La diferencia entre las lecturas es la diferencia de elevación entre los puntos.

Nivelación trigonométrica se usa para medir un ángulo vertical desde una distancia conocida, con un teodolito y se calcula la elevación del punto trigonométricamente. Este método implica realizar triangulación y nivelación al mismo tiempo y de manera eficaz, pero menos exacta que la nivelación diferencial.

Nivelación barométrica se usa para medir las diferencias de presión atmosférica entre los puntos en el estudio. Es la técnica más rápida, pero menos precisa para obtener alturas relativas.

Los levantamientos o estudios diferenciales y nivelación trigonométrica requieren líneas claras de visión, lo que aumenta el número de mediciones necesarias, el costo y el tiempo.

En México, el objetivo principal de la RGV consiste en establecer un sistema de control vertical de precisión que se pueda usar convenientemente para proporcionar valores de alturas, está compuesta por un conjunto de Bancos de Nivel, representados por placas metálicas, alojadas sobre monumentos o empotradas sobre rocas u obras de infraestructura, entre uno y dos kilómetros de separación, e integrados en líneas de nivelación que generalmente están proyectadas por vías de comunicación; su permanencia y estabilidad son factores de gran importancia.

Sobre los Bancos de Nivel se realizan nivelaciones de precisión para determinar su Altura con respecto a una superficie de referencia (Dátum Vertical).

El Nivel Medio del Mar (NMM), es la superficie de referencia que se adopta como



Ciencias de la Tierradátum, la Altura de cada banco de nivel se define como la distancia vertical entre ésta y la superficie de referencia.

El Dátum Vertical se define como la altura cero y es representado por las aguas marinas en reposo y continuadas por debajo de los continentes; para su determinación precisa son necesarias observaciones mareográficas continuas de la fluctuación de las mareas en Estaciones Mareográficas durante un periodo de casi 20 años. En 1959, la RGV se ligó al nivel medio del mar de México y, en la frontera norte, al Dátum Vertical Norteamericano de 1929, NAVD29.

La actividad del planeta expresada en la tectónica de placas, el dinamismo oceánico, los efectos sismológicos, la diversidad de errores que afectan los levantamientos geodésicos verticales, entre otros, son causas muy importantes en el cambio de valores de las alturas de los bancos de nivel, en función del tiempo.



Ciencias de la TierraLos desniveles entre Bancos de Nivel se determinan utilizando el procedimiento denominado Nivelación Geométrica Diferencial, para tal efecto se cuenta con una distribución operativa a nivel regional y estatal para cubrir el territorio nacional.

Los antecedentes de la RGV datan de alrededor de 1950, propiamente como una red de nivelación de precisión, en la cual instituciones como: la Secretaria de la Defensa Nacional (Departamento Cartográfico Militar), la Universidad Autónoma de México (Instituto de Geofísica), la Secretaria de la Presidencia, la Secretaria de Programación y Presupuesto (CETENAP hasta DGG), el Servicio Geodésico Interamericano (IAGS – USA) y el Instituto Nacional de Estadística, Geografía e Informática (INEGI-DGG), establecieron cerca de 40000 bancos de nivel, entre bancos de precisión (28000) y bancos topográficos (17000) estos últimos fueron el insumo de la altimetría de la carta topográfica 1:50000.

Debido al mantenimiento y modernización de las vías de comunicación y al paso del tiempo, la red ha tenido un alto grado de destrucción, razón por la cual, desde 2002 el INEGI a través de la Dirección General de Geografía, actualmente DGGyMA, se ha dado a la tarea de reconstruir (recuperar, monumentar y renivelar) la RGV.

La RGV fundamental del país de acuerdo a la normatividad vigente, es una red de Primer Orden Clase II y los principales Estándares de Exactitud Posicional Vertical



Ciencias de la Tierraque se emplean para validar la información generada en campo son:

• Para una sección de nivelación ± 4 mm , donde k es la distancia de la sección

• Para una línea de nivelación ± 5 mm , donde k es la distancia de la línea.Aplicaciones.

Las alturas de acuerdo a los Órdenes de Exactitud Posicional Vertical tienen los siguientes usos:

• Establecimiento de la red primaria o fundamental.• Proyectos de ingeniería extensos e importantes.• Densificación de la red secundaria y de menor orden.• Investigación de subsidencia del suelo y movimientos de corteza terrestre.• Estudios rápidos de asentamientos de suelo.• Levantamientos locales.• Proyectos de ingeniería pequeños.• Cartografía topográfica a escalas pequeñas.• Estudios de drenaje.Apoyo fotogramétrico, etcétera.

ESTACIONES MAREOGRÁFICAS

la secretaría de marina - armada de méxico, cuenta con mareografos instalados en puntos específicos a lo largo de la costa del oceano pacífico, golfo de méxico y mar caribe, que conforman una red mareográfica a cargo del departamento de mareografia de la dirección general adjunta de oceanografia, hidrografia y meteorologia, asi como regionalmente a cargo de las estaciones de investigación oceanográfica.la estación de investigación oceanográfica de salina cruz, dentro de su área de jurisdicción está a cargo de cuatro mareografos, ubicados en la bahía de acapulco, gro., darsena de huatulco, oax., darsena de salina cruz, oax. y puerto chiapas, chis.

importancia de los mareografos

los mareografos ubicados en los principales puertos, tiene como uno de los propósitos, orientar e informar a los barcos de la disposición de calado existente para su navegación segura en los puertos, asi mismo para la navegación marítima en general.

componentes, accesorios y su mantenimiento

para el funcionamiento óptimo de los mareografos es necesario darle mantenimiento periódicamente a todos lo componentes del equipo. los componentes básicos son los siguientes:



Ciencias de la Tierra1.- datalogger es una unidad de procesamiento de operaciones y almacenamiento de datos.2.- un sensor de presión que registra el nivel o culumna de agua.3.- antena de transmisión satelital.4.- sistema de alimentación eléctrica, que funciona a traves de fotovoltaicos con capacidad de hasta 12 volts de tensión, para ello consta de páneles solares y baterías.

unidad de procesamiento y almacenamiento de datos “datalogger”

la mayor atención durante los recorridos de mantenimiendo se centra principalmente en el sensor, debido a que se expone directamente a los agentes externos del medio donde se encuentra instalado, es el que se le efectúa mantenimiento de limpieza mas detalladamente. normalmente tanto el sensor como el tubo que lo protege en un periodo de tiempo muy corto (una semana) comienzan ser cubiertas por organismos adherentes, como son los bivalvos, crustáceos (balanos), poliquetos, algas, entre otros, que obstruyen el funcionameinto.

tipos de mareografos

mareógrafo de presión. diseñado y fabricado por aanderaa por lo que es conocido también con este nombre, este tipo de mareógrafo mide el nivel del mar basándose en la presión que ejerce el agua (presión hidrostática) sobre un sensor colocado a una cierta profundidad conocida y referenciado a un banco de nivel.

mareógrafo sonar. este tipo de mareógrafo funciona emitiendo ondas sonoras a la superficie del agua marina y con el registro del eco de retorno obtiene la distancia vertical que existe entre el sonar y la superficie del agua y de esta manera es posible realizar cálculos de los cambios del nivel del mar (marea). en otras palabras, esta acción llamado también acústico sonar usa el principio de medición de distancia por el eco de un sonido. el equipo receptor de señal está compuesto por un emisor - receptor de ultrasonidos que es colocado a una distancia de la superficie del agua y mediante la medición del tiempo que tarda en llegar el eco de una señal que ha mandado determina el nivel de la marea.

la secretaría de marina solo cuenta actualmente con el primer tipo mencionado y los datos almacenados en el datalogger son descargados bimensualmente, al mismo tiempo que se le efectúa su mantenimiento preventivo, mismo que son enviados al departamento de análisis mareográfico perteneciente a la dirección general adjunta de hidrografía, oceanografía y meteorología, donde se concentran todos los datos obtenidos por los mareógrafos, para la elaboración de calendario de predicción de mareas.




productos mareográficos que ofrece la semar

una vez analizados y guardados lo datos, la secretaría de marina elabora y distribuye en forma impresa diferentes productos de información, a todos los buques para su navegación segura, así como todas la estaciones de investigación oceanográfica para su venta a toda la población en general que lo requiera. los productos que tiene disponible la semar son: calendario gráfico y tablas numéricas de predicción de mareas en los principales puertos, nivel medio, diario, mensual y anual de marea, constantes armónicas.

¿qué es marea?La marea es el cambio periódico del nivel del mar, producido principalmente por las fuerzas gravitacionales que ejercen la Luna y el Sol.

Otros fenómenos ocasionales, como los vientos, las lluvias, el desborde de ríos y los tsunamis provocan variaciones del nivel del mar, pero no pueden ser calificados de mareas.A continuación se recogen los principales términos empleados en la descripción de las mareas:

• Marea alta o pleamar: momento en que el agua del mar alcanza su máxima altura dentro del ciclo de las mareas.

• Marea baja o bajamar: momento opuesto, en que el mar alcanza su menor altura.

El tiempo aproximado entre una pleamar y la bajamar es de 6 horas, completando un ciclo de 24 horas 50 minutos.

4.5 ALTURAS REFERIDAS AL ELIPSOIDE Alturas elipsoidales

Es sabido que las alturas elipsoidales (h) y las ortométricas (H) están referidas a distintas superficies de referencia, el elipsoide y el geoide respectivamente.

Las alturas de tipo físico, particularmente las ortométricas, son esenciales para todas las aplicaciones prácticas que requieran información sobre las pendientes gravitacionales, además de ser las utilizadas en la cartografía topográfica.

Para aprovechar el potencial de la tecnología GNSS podemos obtener alturas ortométricas, siempre que podamos determinar la relación entre los sistemas de alturas físico y geométrico (derivado del posicionamiento satelital), a través de la conocida fórmula aproximada:



Ciencias de la TierraH = h – N (1),

Donde N es la altura sobre el geoide o separación geoide – elipsoide, u ondulación del geoide.

Cabe aclarar que las alturas que nos proporciona la red de nivelación argentina son valores que surgen de la nivelación tradicional sin las correcciones por el efecto de la gravedad, además el nivel en el mareógrafo de referencia no concuerda con el geoide, sea por variaciones temporales como permanentes, en este último caso la topografía de la superficie del mar (SSTop) adquiere una singular importancia (figura 1). Por todo ello, es que la ecuación (1) no es posible cumplirla rigurosamente.

Figura 1

No obstante, si dos de estas magnitudes son conocidas podemos determinar:

- alturas ortométricas, combinando mediciones GNSS y alturas sobre el geoide; y- realizar un control del geoide, a partir de informaciones provenientes de la nivelación geodésica más alturas elipsoidales determinadas con técnicas GNSS.

En los casos que sea necesario tener en cuenta solo los cambios en la altura a través del tiempo, como en el monitoreo de estructuras, bastará solamente contar con alturas elipsoidales.




En resumen, podemos identificar las siguientes aplicaciones prácticas:

1) transporte de alturas ortométricas con geoide conocido;2) determinación/control del geoide; y3) cambios en la altura a partir de observaciones GNSS periódicas o permanentes.

En todo caso, debe quedar claro que la falta de conocimiento de un geoide preciso constituye la principal limitación para el empleo de técnicas GNSS en altimetría. Actualmente, la información sobre el geoide para nuestro país está disponible a través de dos fuentes de datos:

1) Geoide Gravimétrico Argentino (GAR) , y2) Earth Geopotential Model 2008 (EGM2008)

Desde el punto de vista práctico, los modelos de geoide permiten calcular a través de algún método de interpolación, las alturas sobre el geoide (N) referidas a los elipsoides GRS 80 o WGS 84, a partir de coordenadas geodésicas conocidas.




Figura 2 - Geoide Gravimétrico Argentino (Corchete V., Pacino M.C., 2007). Fuente: International Geoid Service (IGeS), http://www.iges.polimi.it/

4.6 ondulaciones del geoide

alturas ortométricas. Método GPS-Nivelación

Después de todo lo dicho en el apartado anterior, cuando volvemos a la sencilla fórmula

h = H +N

notamos que al obtener la cantidad N, tal como se ha indicado antes, siguiendo el método gravimétrico; podemos escribir

H=h-N

de donde, conocida la altura elipsoidal h del punto P considerado y determinado N mediante la integral de Stokes, puede hallarse la altura ortométrica H de ese punto. Cabe ahora preguntarse si es posible determinar también H, mediante los valores de la gravedad medida en la superficie de la Tierra, ya que, en caso afirmativo, podríamos calcular la altura del geoide en un punto P, sin necesidad de recurrir a la integral de Stokes, la cual requiere para su solución, una colección suficiente de medidas de la gravedad distribuidas por toda la Tierra.

En efecto, puede hallarse con precisión la altura ortométrica de un punto sin tener conocimiento del geoide, o al menos sin un conocimiento detallado o muy preciso del mismo. El procedimiento que se sigue para calcular las alturas ortométricas, directamente sobre el terreno, se llama nivelación, y a continuación vamos a describirlo con cierto detalle.

En principio, el procedimiento de nivelación geométrica es bien conocido por los topógrafos, consiste en medir la diferencia de altura entre dos puntos A y B, como los representados en la figura 7(a), mediante la observación de la diferencia de lecturas sobre dos miras verticales situadas en los puntos considerados. La diferencia de altura entre los dos puntos resulta ser entonces, la diferencia de las lecturas l1 y l2, observadas con el nivel (instrumento de nivelación), es decir,



Ciencias de la TierraδHAB =l1 −l2 =AA −BB

geoide

(a)

(b)

(a) Esquema del procedimiento de nivelación geométrica. (b) Diferencias de alturas ortométricas debidas al no paralelismo de las superficies de nivel.

siendo δHAB la diferencia de altura geométrica entre los puntos A y B. Cuando este procedimiento se repite una y otra vez, siguiendo un circuito de nivelación, es decir, una línea de nivelación cerrada, la suma algebraica de los incrementos de nivelación o diferencias de altitud medidas, no es exactamente cero, como cabría esperar si realizamos estas medidas con gran precisión. Este error, que se conoce como error de cierre de un circuito de nivelación,

nos indica que el procedimiento de nivelación exacto, es algo más complicado que la simple determinación de las diferencias de altura.

Para entender lo que sucede basta considerar dos puntos A y B, suficientemente alejados, de tal manera que el proceso mostrado en la figura 7(a), debe ser aplicado repetidas veces. Esta situación es la que esta representada en la figura 7(b), en esta figura la diferencia de altitud nivelada δn, es distinta al incremento δHB en la línea de la plomada que pasa por B. Ello es debido al no paralelismo de las superficies de nivel, tal como se ve en la figura, en consecuencia, si designamos por δW el incremento del potencial de la gravedad, tenemos

−δW= gδn = g’δHBdonde g es la gravedad en la estación de nivelación y g’ es la gravedad sobre la línea de la

plomada de B en δHB. La relación anterior implica que δHB = g

δn = δn



Ciencias de la Tierrag'

no habiendo relación geométrica directa entre el resultado de la nivelación geométrica y la diferencia del alturas ortométrica. Esta consecuencia es inmediata si notamos que la combinación de medidas geométricas con la gravedad, nos proporciona la diferencia de potencial δW, de tal forma que

BWB − WA = − ∑ g δn

A

Así, la nivelación combinada con medidas de la gravedad nos proporciona diferencias de potencial, esto es, cantidades físicas no geométricas; con una ventaja añadida, la diferencia de potencial entre dos puntos es independiente del camino que se siga, obteniéndose el mismo resultado con independencia de los itinerarios que se sigan, por ello, si medimos a lo largo de un circuito de nivelación (seguimos un trayecto cerrado) sucede que

WA − WA = 0 = ∫

A

g dn A

donde hemos cambiado el sumatorio por la integral por ser teóricamente más riguroso. Este resultado es imposible, en general, si consideramos sólo medidas geométricas, ya que, la suma de incrementos de nivelación depende de la trayectoria, esto es

∆nAB =∑B δn ,, ∫Adn

=errordecierre

A

Como consecuencia de todo lo dicho, las diferencias de potencial son básicas en toda teoría de altitudes, concluyendo que la nivelación sin medidas de gravedad, que en la práctica puede aplicarse a pequeñas distancias (para las que las superficies de nivel son prácticamente paralelas), no tiene significado desde un punto de vista riguroso, llevando a contradicciones como es el error de cierre.

A

Fig. 8. Altura ortométrica de un punto P sobre la superficie de la Tierra.

2



Ciencias de la TierraTodo esto hace que se considere, en trabajos geodésicos de gran precisión, la diferencia de altura ortométrica δHAB en lugar de la diferencia de altura geométrica ∆nAB; ya que, tal como puede verse en la figura 7(b), la altura de los puntos A y B sobre el geoide, HA y HB, es siempre la misma, con independencia del trayecto de nivelación que se siga entre ambos, debido a que la definición de altura ortométrica es consecuencia de principios físicos, no una cantidad obtenida de un sumatorio.

Quedando claro qué sistema de alturas debe usarse para obtener una gran precisión, el problema planteado es la realización de esta medida de altura, es decir, el procedimiento operativo que debe seguirse para calcular la altura ortométrica de un punto P. Para ello, vamos a considerar un punto P sobre la superficie de la Tierra, tal como se indica en la figura 8, designando por P0 la intersección con el geoide, de la línea de la plomada que pasa por P, entonces, recordando la definición de número geopotencial, podemos escribir

donde

W0 – W = C = ∫ 0H

g dH = H H1 ∫ 0H

g dH = g H g = H1 ∫ 0H

g d H

es el valor medio de la gravedad sobre la línea de la plomada entre P y P0. La expresión anterior nos permite obtener la altura ortométrica del punto P en la forma

H = Cg

esta ecuación no es una tautología, es realmente una fórmula de utilidad práctica, debido a que la gravedad media g no depende fuertemente con la altura ortométrica, en consecuencia

sin un conocimiento preciso de la altura del punto P sobre el geoide, es decir, con un valor inicial de H suficientemente cercano a la verdadera altura ortométrica, podemos abordar el cálculo de la gravedad g . En este sentido, podemos encontrar expresiones aproximadas de g

en diversos libros de geodesia (ver por ejemplo, Heiskanen y Moritz (1985)).Por otra parte, si se quiere aplicar la sencilla fórmula anterior es necesario hallar,

además de g , el número geopotencial de P, designado por C. Para ello, un procedimiento que



Ciencias de la Tierrapuede seguirse es elegir un punto O al nivel del mar, es decir, sobre el geoide; generalmente, un punto apropiado sobre la costa. Entonces, puede determinarse el número geopotencial de P aplicando la integral

C=W0 –W=∫Pgdn 0

siendo como ya sabemos independiente del itinerario de nivelación utilizado para relacionar los puntos P y O. El número geopotencial se mide en unidades geopotenciales (u.g.p.), y éstas están derivadas de las unidades de la gravedad y la altura, mediante la relación

1 u.g.p. = 1 kgal.m = 1000 gal.mcomo g es aproximadamente 0.98 kgal, tenemos que C es aproximadamente igual a 0.98H.

Los procedimientos descritos para el cálculo de los números geopotenciales y el valor de la gravedad media g , introducen un error muy pequeño en la determinación de la altura

ortométrica, de tal forma, que las altitudes ortométricas pueden obtenerse con una precisión 3 muy alta. Este hecho es fundamental en la geodesia, pues podemos emplearlas como un sistema de alturas muy preciso, e introducirlas como dato de gran precisión en cualquier cálculo que requiera la altura de los puntos sobre la superficie de la Tierra. Concretamente, al retomar la fórmula presentada al principio de este apartado

h=H+N

si H puede ser obtenida con gran precisión siguiendo el itinerario de nivelación correspondiente, y h puede también ser obtenida con gran precisión, por ejemplo, empleando para ello un sistema de posicionamiento como GPS; resulta, como consecuencia, la determinación del geoide con una precisión tan alta como la que poseen las medidas de alturas elipsoidales y ortométricas.

Esta técnica es muy empleada en la actualidad para obtener las alturas del geoide sobre el elipsoide de referencia, en trabajos geodésicos de gran precisión, basta mencionar como ejemplo el proyecto ALGESTAR (ver Bürki and Marti (1990)), cuyo objetivo fue llevar a cabo la computación de un nuevo geoide para Suiza, comprobando al mismo tiempo la fiabilidad de las medidas GPS en una zona muy montañosa. Para ello, se obtuvieron las ondulaciones del geoide aplicando la ecuación

N=h−H

donde h fue obtenida a partir de observaciones GPS y H a partir de la computación de los números geopotenciales, siguiendo las líneas de nivelación de la Red Nacional de Nivelación que une los 40 vértices geodésicos de la Red Suiza de Triangulación. El resultado de este proyecto fue la obtención de las



Ciencias de la Tierraondulaciones geoide para Suiza, con una precisión del orden de 10 cm.

5.3- NIVELACIÓN BAROMETRICA

Está basada en la medición de la presión atmosférica, que cambia según las alturas de los lugares, a mayor altura mayor presión y a menor altura menor presión.

La presión al nivel de mar vale 76.2 cm. de columna de mercurio, en la ciudad de México estamos a 2300m sobre el nivel del mar lo que equivale a una presión de 55 cm. de columna de mercurio Cada 100 mts. de altura la presión atmosférica varia aprox. De 0.07 a 1 cm. de columna de mercurio. Para la nivelación barométrica se emplean barómetro de mercurio o de cubeta tipo fortín Dieroide.

El método de nivelación barométrica es un método de aproximación y de uso infrecuente en Topografía. Se fundamenta en la variación de la presión atmosférica con la altura. Los métodos utilizados en este tipo de nivelación son el de radiación y el de itinerario. Para la práctica de ellos es necesaria la utilización de dos barómetros gemelos que sustituirán el equipo de nivelación. Con ellos se tratara de reducir al máximo las oscilaciones de la aguja debidas a la influencia de la meteorología.



Ciencias de la TierraMétodo de radiación.- Es necesaria la participación de dos operadores provistos cada uno del altímetro correspondiente. Se situaran en un punto correspondiente al centro de la zona a levantar y procederán a contrastar sus aparatos y sus relojes con el fin de poder efectuar observaciones simultáneas. A continuación, uno de ellos permanecerá fijo en esta posición y el otro se irá desplazando por todos los puntos que se deseen nivelar, tomando nota de las lecturas sobre el barómetro a intervalos de tiempos fijos y previamente estipulados con el compañero.

Una vez finalizada la toma de datos se reunirán de nuevo y comprobarán los instrumentos, observando que no sean producido variaciones en ellos. Entonces se procederá a corregir las lecturas efectuadas con el altímetro móvil de la posible oscilación que hubiera experimentado la aguja del barómetro fijo en el mismo instante. En la puesta en práctica de este método suponemos que las oscilaciones de presión en la zona levantada son las mismas.

Método de itinerario.- Se comienza por contrastar los aparatos en el punto de inicio del recorrido tomando nota de la diferencia de sus lecturas. A continuación uno de los operadores se desplaza hasta el punto siguiente. Una vez situado sobre el mismo indicará al operador del punto anterior el momento en el que sea de realizar la lectura sobre el altímetro de manera que en ambos puntos las lecturas se realicen de forma simultánea.

A continuación, el operador situado en el punto de detrás se desplaza hasta la posición del compañero donde confrontaran de nuevo los barómetros. La lectura tomada sobre el barómetro delantero se corregirá por la oscilación experimentada por el de detrás. La diferencia de lecturas entre ambos barómetros, una vez corregidas, nos proporcionara la diferencia de nivel entre ambos puntos.

5.4- NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA

Se define nivelación trigonométrica al método altimétrico que permite obtener desniveles entre puntos, con observaciones de distancias cenitales de cualquier inclinación.Supongamos estacionado el instrumento en el punto A, y que se sitúa el prismapara la MED en el punto B. El modelo teórico de medida queda reflejado en elsiguiente gráfico.




De aquí puede deducirse la expresión por la que se podrá obtener el desnivel, que es la siguiente:

En Topografía, siempre es necesario referirse a dos tipos de variables: aquellasque determinan el grado de incertidumbre en el que se encuentran lasobservaciones realizadas (son también llamados como errores accidentales); y aquellas variables que afectan a las observaciones siguiendo leyes físicas. Éstas últimas, al ser conocidas las causas que las producen, pueden cuantificarse y deben aplicarse las correcciones que eliminan sus efectos en las medidas topográficas.




bibliografia

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http://profeupel.globered.com/categoria.asp?idcat=33

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