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SUPERFICIES Y CUERPOS DE REVOLUCIÓN: CILINDRO Y CONO

1. CILINDRO REVOLUCIÓN 1.1. SUPERFICIE Y CUERPO DE REVOLUCIÓN

Superficie de revolución

Es la superficie engendrada por la rotación de una línea plana (recta o curva) alrededor de una recta fija situada en su mismo plano.

Cuerpo de revolución

Es un cuerpo engendrado por la rotación de figuras superficiales.

Elementos de la superficie de revolución a. Generatriz. Es la línea plana (recta o curva)

que gira y que genera la superficie curva.

b. Eje. Es la recta fija alrededor del cual gira la línea plana.

c. Paralelo. Es la intersección de la superficie

con un plano perpendicular al eje.

d. Meridiano. Es la intersección de la superficie con un plano que pasa por el eje.

Observación: Cuando la generatriz gira alrededor del eje

cada punto de ella describe una circunferencia cuyo centro está en el eje y cuyo plano es perpendicular al eje de la superficie. Esta circunferencia es el paralelo.

Son ejemplos de superficies (cuerpos) de revolución las copas; floreros, algunas columnas, los jarrones, el trompo, etc.

Las superficies y cuerpos de revolución que estudiaremos son: la superficie cilíndrica, la cónica y la esférica (cilindro, cono y esfera respectivamente).

1.2. SUPERFICIE CILÍNDRICA Y CILINDRO DE

REVOLUCIÓN Superficie cilíndrica de revolución.

Es la superficie engendrada por la rotación de una recta paralela al eje. La superficie cilíndrica es ilimitada puesto que la generatriz también lo es. Elementos de la superficie cilíndrica de revolución:

a. Generatriz. Es la recta fija y paralela al eje

que genera la superficie cilíndrica.

b. Radio. Es la distancia constante entre un punto cualquiera de la superficie cilíndrica y el eje de revolución.

Observación: La superficie cilíndrica de revolución también se

define como la engendrada por una recta que se traslada apoyándose en una circunferencia llamada directriz cuyo plano es perpendicular al eje. Cilindro de revolución

Llamado también cilindro circular recto, es el cuerpo que se determina al cortar la superficie cilíndrica por dos planos paralelos entre sí. También es el cuerpo limitado por una parte de las superficies cilíndricas de revolución y dos secciones (círculos) hechas por planos perpendiculares al eje en dos puntos diferentes.

Elementos del cilindro de revolución: a. Bases. Son los dos círculos determinados por

las secciones hechas.

b. Atura. Es el segmento de la perpendicular trazada desde un punto cualquiera de una base a la otra.

c. Generatríz. Es el segmento de generatriz de

la superficie cilíndrica comprendido entre las bases.

d. Superficie lateral. Es la superficie cilíndrica

comprendida entre las bases. e. Superficie total. Es la superficie lateral más

las superficies de las bases.

Observación: Al cilindro de revolución también se le

considera como el cuerpo geométrico generado por la rotación completa de un

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13 CIENCIAS

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Geometría Teoría – Semana 13


rectángulo alrededor de uno sus lados tomado como eje de giro.

1.3. DESARROLLO DE LA SUPERFICIE LATERAL

DEL CILINDRO: Es la figura que resulta al cortar la superficie lateral del cilindro a lo largo de una generatriz, separando las bases y extenderla en un plano. Dicha figura es un rectángulo, tal como se observa en el gráfico. La base de este rectángulo es la circunferencia de la base del cilindro y su altura es igual a la generatriz o altura del cilindro.

1.4. ÁREA (LATERAL Y TOTAL) Y VOLUMEN DEL

CILINDRO DE REVOLUCIÓN

1.5. SECCIÓN AXIAL DE UN CILINDRO RECTO. Es toda sección hecha en un cilindro recto por un plano secante que contenga a los centros de las bases del cilindro (que pase por el eje). Esta sección generalmente es una región rectangular.

Observación: Llamamos superficie cilíndrica (a secas) a la

superficie engendrada por una recta llamada generatriz que se desplaza paralelamente así misma, apoyándose en una línea curca plana y cerrada denominada directriz.

Llamamos cilindro (a secas) al cuerpo geométrico que se determina al interceptar la superficie cilíndrica con dos planos paralelos entre sí.

1.6. ÁREA (LATERAL Y TOTAL) Y VOLUMEN DEL

CILINDRO

1.7. CLASIFICACIÓN

Bajo este marco conceptual los cilindros se clasifican de acuerdo a dos criterios: por la forma de sus bases y por sus generatrices. A. Por la forma de su base:

Se clasifican en: cilindro circular, cilindro elíptico, etc., según que su base sea, respectivamente, un círculo, una elipse, etc.

B. Por sus generatrices: Los cilindros se clasifican en: cilindro recto y oblicuo.

r

r

g g

r2π

r

rr

rA

B

C

D

g

Altura h = g = generatriz Área de la superficie lateral: ASL

SLA 2 rg= π

Área de la superficie total AST

STA 2 r(g r)= π +

Volumen: V 2V r h= π Altura h = g = generatriz Área de la superficie lateral del cilindro: ASL

SL SRA (2P )(g)=

Área de la superficie total del cilindro: AST

ST SL BASEA A 2A= +

Volumen del cilindro: V BASEV A h= ×

SRV A g= ×

En la figura ABCD es la sección axial del cilindro recto:

En el gráfico el plano P y el plano Q son paralelos que interceptan a la superficie cilíndrica, generando así un cilindro.




i. Cilindro Recto Es aquel cilíndro cuyas generatrices son perpendiculares a sus bases.

ii. CILINDRO OBLICUO

Es aquel cilíndrico cuyas generatrices no son perpendiculares a sus bases. En la figura se tiene un cilindro oblicuo elíptico.

Observación

Bajo este marco conceptual llamamos cilindro circular recto al cilindro recto y cuya base es un círculo. Asimismo denominamos cilindro elíptico recto al cilindro recto cuya base es una elipse

Si se corta a un cilindro circular recto con dos planos paralelos se obtiene un cilindro oblicuo elíptico, es decir sus bases son elipses.

La figura mostrada se denomina elipse Donde: b → Semi-eje menor a → Semi–eje mayor Área de la elipse: S = π.a.b Perímetro de la elipse: S = π(a + b)

Área (lateral y total) y volumen del cilindro

SR : Sección Recta ÁBASE: Área de la base B h : Altura g : generatriz

1.8. TRONCO DE CILINDRO DE REVOLUCIÓN Es el sólido que se determina al cortar a un cilindro de revolución con un plano secante no paralelo a sus bases. Eje de un tronco de cilindro Es el segmento de recta que une los centros de las bases de un tronco de cilindro, es igual a la semisuma de la generatriz máxima y la generatriz mínima

G: Generatriz Mayor. g: Generatriz Menor

Área (lateral y total) y volumen del tronco de cilindro de revolución

Observación:

El desarrollo de la superficie lateral del tronco es un polígono formado por dos trapecios rectángulos congruentes.

La sección axial del tronco de cilindro recto es un trapecio rectángulo. Sus bases son las generatrices mínima y máxima del tronco y el eje del tronco es la mediana del trapecio.

Área de la superficie lateral del cilindro: ASL

SLA 2 rg= π R: radio de la sección recta

Área de la superficie total del cilindro: AST

ST SL BASEA A 2A= +

Volumen del cilindro: V BASEV A h= ×

SRV A g= ×

Eje del tronco: 100 EJE = 1G g00

2+

=

Área lateral SLateral = 2πR . EJE

Área total STotal = 2 πR . EJE + πR² + πab

Volumen del cilindro V = πR² . EJE

ELIPSE

hg

O

SECCIÓNRECTA

R

ELIPSE

ab

hELIPSE

g

G

CÍRCULOR

O1

Eje

Ro




2. CONO DE REVOLUCIÓN 2.1. SUPERFICIE CÓNICA Y CONO DE

REVOLUCIÓN Superficie cónica de revolución.

Es la superficie engendrada por una recta que gira alrededor de un eje, al cual corta en uno de sus puntos tal que la distancia de cada punto de la recta al eje se mantenga constante. La superficie cónica es también ilimitada como la cilíndrica.

Elementos de la superficie cónica de revolución: a. Vértice. Es el punto de intersección de la

generatriz y el eje.

b. Hoja de la superficie. Es cada una de las las dos partes en que el vértice divide a la superficie.

Observación: Cada punto de la generatriz a excepción del

vértice genera una circunferencia cuyo radio es la distancia de ese punto al eje, radio que es diferente para cada uno de los puntos de la generatriz. Cono de revolución

Llamado también cono circular recto, es el cuerpo que se determina al cortar una de las hojas con un plano perpendicular al eje. También es el cuerpo limitado por una de las hojas y una sección hecha por un plano perpendicular al eje en un punto distinto del vértice.

Elementos del cono de revolución: a. Base. Es sección plana (círculo) que limita al

cono.

b. Atura. Es la distancia entre el vértice y la base.

c. Generatríz. Es el segmento de generatriz de

la superficie cónica comprendido entre el vértice y la base.

d. Superficie lateral. Es la superficie cónica

comprendida entre el vértice y la base. e. Superficie total. Es la superficie lateral más

la superficie de la base.

Observación: Al cono de revolución también se le considera

como el cuerpo geométrico engendrado por la rotación completa de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos tomado como eje. El cateto eje es la altura del cono, el otro cateto es el radio de la base y la hipotenusa es la generatriz del cono.

2.2. DESARROLLO DE LA SUPERFICIE LATERAL

DEL CONO: Si de un cono separamos su base, lo cortamos a lo largo de una generatriz y lo extendemos sobre un plano obtenemos una figura llamada desarrollo del cono. Dicha figura es un sector cuyo radio es la generatriz y cuyo arco es la longitud de la circunferencia de la base.

2.3. ÁREA (LATERAL Y TOTAL) Y VOLUMEN DEL CONO DE REVOLUCIÓN

rEje de giro

g

360°

r

h g

O

Superficie Lateral

Vértice o cúspide

Base

Generatriz

V

r

hgg

O

g g

θ

Altura, generatríz y radio de la base del tronco. h2 + r2 = g2

Área de la superficie lateral: ASL

SLA rg= π

Área de la superficie total: AST STA r(g r)= π +

Volumen: V 2rV h

3 π

= ⋅




Observación: En un cono recto siempre se cumple: Como la superficie lateral del cono de revolución es

equivalente a la superficie lateral del cono entonces:

ASL < > Asector

2grg360ºθπ

⇒ π =

Además:

r360 gθ

=°

2.4. SECCIÓN AXIAL DEL CONO DE

REVOLUCIÓN. La sección axial de un cono circular recto es un triángulo isósceles cuyos lados congruentes son dos generatrices diametralmente opuestos. .

En la figura el ∆AVB, es la sección axial del cono mostrado.

Observación Llamamos superficie cónica (a secas) a la

superficie engendrada por una recta llamada generatriz que se desplaza alrededor de una línea curva plana y cerrada denominada directriz pasando siempre por un punto fijo exterior llamado vértice.

Llamamos cóno (a secas) al cuerpo geométrico que se determina al interceptar la superficie cónica con un plano.

BASE(A )hV3

=

2.5. CLASIFICACIÓN Bajo este marco conceptual los conos se clasifican de acuerdo a dos criterios: por la forma de sus bases y por sus generatrices.

A. Por la forma de su base: Se clasifican en: cono circular, cono elíptico, etc., según que su base sea, respectivamente, un círculo, una elipse, etc.

B. Por su altura: Los conos se clasifican en: cono recto y oblicuo. i. Cono Recto

Es aquel cono cuya altura cae en el centro de su base.

O: centro de la base del cono

ii. Cilindro oblicuo

Es aquel cono el cual su altura cae en el exterior del plano de su base.

Observación

Bajo este marco conceptual llamamos cono circular recto al cono recto cuya base es un círculo. Asimismo denominamos cono elíptico recto al cilindro recto cuya base es una elipse.

gg

r r

H

V

SAVE = r . H

Altura

Base

Superficie Lateral

Vértice o cúspide

h

ELIPSE




Si se corta a un cono circular recto con un plano no paralelo a su base se obtiene un cono oblicuo elíptico, es decir su base es una elipse.

volumen del cono oblicuo elíptico

2.6. CONOS DE REVOLUCIÓN SEMEJANTES

Dos conos de revolución son semejantes si son generados por triángulos semejantes que giran alrededor de dos lados homólogos.

PROPIEDADES

i. Si dos conos son semejantes, las longitudes de sus elementos homólogos son proporcionales.

OA OB R HOP OQ r h

= = =

ii. Si dos pirámides son semejantes, las áreas de

sus bases, área lateral o área total son proporcionales a los cuadrados de las longitudes de sus elementos homólogos.

2 2 2 2

2 2 2 2Área del cono mayor OA OB R H

Área del cono menor OP OQ r h= = = =

iii. Los volúmenes de dos pirámides semejantes,

son proporcionales a los cubos de las longitudes de sus elementos homólogos.

3 3 3 3

3 3 3 3Volumen del cono mayor OA OB R HVolumen del cono menor OP OQ r h

= = = =

2.7. TRONCO DE CONO RECTO DE REVOLUCIÓN

Es el sólido que se determina al cortar a un cono recto con un plano paralelo a su base. También se puede considerar como el sólido generado por

la rotación de un trapecio rectángulo alrededor del lado perpendicular a las bases.

g

r

h

R

Área (lateral y total) y volumen del tronco de cilindro de revolución

Observación:

El desarrollo de la superficie lateral del tronco es un trapecio circular cuyos arcos las longitudes de las circunferencias de las bases.

La sección axial del tronco de cono circular recto es un trapecio isósceles. Sus bases son las generatrices mínima y máxima del tronco y el eje del tronco es la mediana del trapecio.

2.8. CONO EQUILÁTERO Es un cono cuya sección axial es triángulo equilátero y su desarrollo lateral es un semicírculo. En la figura se muestra un cono equilátero y su respectivo desarrollo.

Área de la elipse: S S = π.a.b

Volumen: V V =

31 SBase . h

V= 31

πabh

Altura, generatríz y radios de las bases del tronco de cono.

22 (R r)g h

4−

= +

Área de la superficie lateral: ASL

g)rR(SL ⋅+π=

Área de la superficie total: AST

22LT rRSS π+π+=

Volumen: V )RrrR(3

HV 22 ++⋅π⋅

= H

h

P Q

R A

O

B

r

r




EJERCICIOS DE CLASE 1. El desarrollo de la superficie lateral de un cilindro

circular recto es un cuadrado cuya área es igual a “S”. Calcule el volumen del cilindro en función de “S”.

A) S S2π

B) S S3π

C) S S4π

D) S S5π

E) S S7π

2. Se tiene un cilindro circular recto de altura igual al

diámetro de la base. Si el área total de del cilindro es igual a 12π cm2, entonces su volumen en cm3 es:

A) 8π B) 16π C) 32π D) 4 2π E) 8 2π

3. Se tiene un cilindro de revolución cuyo desarrollo de

su superficie lateral tiene una diagonal de 13 m. Si la altura del cilindro mide 5 m, entonces su volumen en m3 es:

A) 720/π B)180/π C) 90/π D) 45/π E) 360/π

4. La sección axial de un cilindro de revolución es una

región cuadrada. Si el área de su superficie total es 24π cm2, calcule el volumen de dicho cilindro en cm3.

A) 12π B) 16π C) 18π D) 24π E) 28π

5. Se tiene un cuadrado cuya diagonal mide 4 2 m .

Calcule el volumen (en m3) del sólido generado por la región determinada por el cuadrado cuando gira alrededor de uno de sus lados tomado como eje.

A) 16π B) 64π C) 8π D) 32 E) 60 π

6. Se tiene un tronco de cilindro de revolución cuya

generatriz mínima es nula y la generatriz máxima mide 8 m. Si el radio de la esfera inscrita en el tronco mide 2 m, entonces el volumen del tronco en m3 es:

A) 24π B) 36π C) 42π D) 48π E) 60π

7. Se tiene un cono de revolución cuyo radio de la base

mide 6 m y su altura 8 m. A que distancia del vértice se le debe cortar con un plano paralelo a la base de tal manera que el área total del pequeño cono obtenido sea igual al área lateral del cono total.

A) 40 B) 50 C) 20 D) 16 E) 10

8. Un sector circular cuyo ángulo central mide 288° es el desarrollo de la superficie lateral de un cono de revolución. Si la longitud de su generatriz mide 10m, calcule su volumen en m3.

A) 24π B) 128π C) 32π D) 36π E) 100π

9. Se tiene una esfera inscrita en un cono equilátero. Si

el radio de la esfera mide 6 m, entonces el volumen del cono en m3 es:

A) 648π B) 636π C) 484π D) 564π E) 600π

10. Un recipiente, que tiene la forma de un tronco de

cono circular recto cuyos radios de sus bases miden 3 m y 6 m, contiene agua hasta los 2/3 de su altura. Si se introduce una esfera cuyo volumen es 182π m3 tal que queda sumergida elevándose el nivel de agua hasta enrasar la base superior. Calcule la altura del recipiente.

A) 16 m B) 18 m C) 35 m D) 20 m E) 15 m

11. Un cilindro macizo de plomo tiene un diámetro “D” y

una altura “D”, se funde el cilindro para obtener dos sólidos: un cono recto y una esfera. Si el cono tiene una altura D y una base con diámetro “D”. ¿Qué diámetro tendrá la esfera?

A) D/3 B) D/2 C) D D) 2D E) 3D

12. Los radios de las bases de un tronco de cono recto

miden R y r (R mayor que r). ¿Cuál debe ser la medida de la altura para que el área lateral sea igual a la suma de las áreas de las bases?

A) 2Rr(R r)+

B) 4Rr(R r)+

C) Rr(R r)+

D) Rr2(R r)+

E) 2Rr

EJERCICIOS DE EVALUACIÓN

1. En la figura mostrada se tiene un cilindro de

revolución, “O” es el centro de la base inferior del cilindro. Si OA = 16 m, calcule el área (en m2) de la superficie lateral del cilindro. A) 96π

B) 84π

C) 128π

D) 132π

E) 106π

O

F




2. Se tiene un cilindro de revolución cuya altura mide 10 cm. Si el desarrollo de la superficie lateral del cilindro tiene por área 100π cm2, calcule su volumen (en cm3). A) 250π B) 240π C) 210π

D) 80π D) 150π

3. En un cono circular recto la altura mide 6 m, la mediatriz de una de sus generatrices intercepta a la altura tal que el segmento de mediatriz determinado mide 2 m. Calcule el área lateral del cono en m2. A) 16π B) 20π C) 24π D) 30π E) 27π

4. Si área lateral de un cono de revolución es el doble

del área de la base, calcule la medida del ángulo que forman la generatriz y altura.

A) 30° B) 45° C) 60° D) 37° E) 53°

5. En un círculo se traza una cuerda de 8 cm de longitud. Si la distancia del centro a la cuerda es 6 cm, entonces el área lateral del cono que tiene como base el circulo y una altura que mide 4 cm es:

A) 15 5π B) 6 5π C) 13 5π

D) 12 5π E) 24π 6. Se tiene un cono circular recto cuya área lateral es

igual al doble del área de la base. Si el radio de la base mide 2 cm, calcule el volumen del cono en cm3.

A) π 3 B) 8 53π C) 16

3π

D) 4 63π E) 3 3

2π

7. Calcule el área total de un cilindro de revolución circunscrito a una esfera de radio “r”. A) 2π r2 B) 3π r2 C) 4π r2 D) 6π r2 E) 8π r2

8. El área total de un cilindro circular recto es igual a “S” y la media armónica entre el radio de la base y la altura del cilindro es “m”. Calcule el volumen del cilindro.

A) Sm/4 B) Sm/2 C) Sm/6 D) Sm/8 E) Sm/10

9. Un vaso cilíndrico de diámetro “d” y altura “h” está lleno con agua. Si se vierte esta agua en otro vaso de diámetro “2d” ¿hasta qué altura “H” subirá el agua? A) h/2 B) h/6 C) h/4 D) h/12 E) h/16

10. Si la relación entre el volumen y el área lateral de un cilindro de revolución es 1/4. Calcule la altura si el área de la base es 3/2 del área lateral. A) 1/2 B) 1/4 C) 1/8 D) 2/3 E) 1/6

11. Un cilindro está lleno de agua hasta la mitad, se

suelta un sólido metálico y el nivel del agua sube 3,5 cm. Si el diámetro del cilindro es 8 cm. Calcule el volumen del cuerpo en cm3.

A) 52π B) 56π C) 48π D) 16π E) 36

12. Se tiene dos conos de revolución semejantes, tales que el área total de uno de ellos es la cuarta parte del área total del otro; si la generatriz del cono menor mide 39 cm. ¿Cuánto medirá la generatriz del mayor?

A) 78 cm B) 240cm C) 90cm D) 30 cm E) 40cm

13. El desarrollo de la superficie lateral de un cono de revolución es un cuadrante cuyo radio mide 8 cm. Calcule el volumen (en cm3) de dicho cono.

A) 8 153π B) 2

3π C) 4

3π

D) 3π E)

5π

14. El desarrollo de la superficie lateral de un tronco de cono circular recto tiene por área 30π m2. Si la altura mide 3 m y la generatriz 5 m, entonces el volumen del tronco es: A) 32π B) 31π C) 35π D) 16π E) 36


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