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GEOMETRÍA ANALÍTICA

Joaquín Ruiz Basto

PRIMERA EDICIÓN EBOOKMÉXICO, 2014

GRUPO EDITORIAL PATRIA

Dirección editorial: Javier Enrique CallejasCoordinación editorial: Alma Sámano Castillo Revisión técnica 2a. edición: Víctor Rogelio Barrales Guadarrama y María Isabel Flores Reyes Diseño de portada: Juan Bernardo Rosado SolísDiagramación: Jorge Martínez Jiménez y Gustavo Vargas Martínez Diseño de interiores: César Leyva AcostaSupervisor de preprensa: Miguel Angel Morales VerdugoIlustraciones: César Leyva Acosta, Jorge Martínez Jiménez y Gustavo Vargas MartínezFotografías: Thinkstock, César Leyva Acosta y Joaquín Ruiz Basto

Geometría AnalíticaDerechos reservados:© 2014, Joaquín Ruiz Basto © 2014, GRUPO EDITORIAL PATRIA, S.A. DE C.V.Renacimiento 180, Colonia San Juan Tlihuaca,Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F.

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial MexicanaRegistro núm. 43

ISBN ebook: 978-607-744-054-3

Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor.

Impreso en MéxicoPrinted in Mexico

Primera edición ebook: 2014

DeDicatoria

A Estela, Rodrigo, Leonardo, Christian y Ricardo.

A todos los que contribuyeron para la realización de esta obra.

Vii

Contenido

Relaciones y funciones

1.1 Relaciones y funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Clasificación de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Operaciones entre funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Funciones inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5 Funciones especiales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Complemento teórico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Capítulo1

Funciones trigonométricas

2.1 Razones y funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . 30

2.2 Ángulos de rotación y medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3 Valores de funciones trigonométricas. . . . . . . . . . . . . 38

2.4 Gráficas de funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . 42

2.5 Funciones trigonométricas inversas . . . . . . . . . . . . . . 46

2.6 Ley de los senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.7 Ley de los cosenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54


Capítulo2

Funciones exponencial y logarítmica

3.1 Función exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.2 Modelos exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.3 El número e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.4 Función logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.5 Logaritmos comunes y naturales . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas. . . . . . . . . . 84


Capítulo3

Tiempo x (años)

0 1 2 3

Altura y (cm)

61 96 131 166

Viii

Conceptos básicos de geometría analítica

4.1 Coordenadas cartesianas de un punto. . . . . . . . . . . . . 94

4.2 Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.3 División de un segmento en una razón dada . . . . . . 110

4.4 Pendiente de una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.5 Paralelismo y perpendicularidad. . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.6 Uso del método analítico para demostrar propiedades geométricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.7 Área de un polígono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Complemento teórico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

Capítulo4

Discusión de una ecuación

5.1 Intersecciones con los ejes coordenados . . . . . . . . . 142

5.2 Simetrías de una gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

5.3 Extensión de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

5.4 Asíntotas horizontales y verticales . . . . . . . . . . . . . . 154

5.5 Gráfica de una ecuación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158


Capítulo5

La línea recta y la ecuación de primer grado

6.1 Forma punto-pendiente de la ecuación de la recta . . 168

6.2 Forma pendiente-ordenada al origen de la ecuación de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

6.3 Forma simétrica de la ecuación de la recta. . . . . . . . 176

6.4 Forma general de la ecuación de la recta . . . . . . . . . 180

6.5 La ecuación general de primer grado . . . . . . . . . . . . 184

6.6 Forma normal de la ecuación de la recta . . . . . . . . . 188

6.7 Distancia entre un punto y una recta . . . . . . . . . . . . 192


Capítulo6

y

x

150

130

110

210

190

170

10

90

020 30 40 50

70

Esta

tura

(cm

)

Fémur (cm)

Año20012000

02 16141210864 x

150

180

170

160

y

Volu

men

(mill

. de

ton)

IngresoCosto

60

70

90

80

180120 150 270210 240 300

iX

Las cónicas y la ecuación de segundo grado

7.1 Secciones de un cono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

7.2 Las cónicas como lugar geométrico . . . . . . . . . . . . . 206

7.3 Ecuación general de segundo grado . . . . . . . . . . . . . 210

7.4 Traslación de ejes coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . 214

7.5 Rotación de ejes coordenados. . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

7.6 Simplificación de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222


Capítulo7

La circunferencia

8.1 La circunferencia como lugar geométrico . . . . . . . . 232

8.2 Circunferencia con centro en el origen. . . . . . . . . . . 236

8.3 Circunferencia con centro fuera del origen . . . . . . . 240

8.4 Ecuación general de la circunferencia . . . . . . . . . . . 244

8.5 Circunferencia que pasa por tres puntos. . . . . . . . . . 248


Capítulo8

La parábola

9.1 La parábola como lugar geométrico . . . . . . . . . . . . . 258

9.2 Construcción de la parábola con regla y compás . . . 262

9.3 Parábola con vértice en el origen . . . . . . . . . . . . . . . 266

9.4 Parábola con vértice fuera del origen . . . . . . . . . . . . 272

9.5 Ecuación general de la parábola . . . . . . . . . . . . . . . . 278

9.6 Parábola que pasa por tres puntos. . . . . . . . . . . . . . . 286

9.7 Parábolas oblicuas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290


Capítulo9

X

La elipse

10.1 La elipse como lugar geométrico . . . . . . . . . . . . . . . 300

10.2 Construcción de la elipse con regla y compás . . . . . 304

10.3 Elipse con centro en el origen . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

10.4 Elipse con centro fuera del origen . . . . . . . . . . . . . . 314

10.5 Ecuación general de la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

10.6 Elipse que pasa por cuatro puntos . . . . . . . . . . . . . . 324


Capítulo10

La hipérbola

11.1 La hipérbola como lugar geométrico . . . . . . . . . . . . 334

11.2 Construcción de la hipérbola con regla y compás . . 338

11.3 Hipérbola con centro en el origen . . . . . . . . . . . . . . 342

11.4 Hipérbolas equiláteras y conjugadas . . . . . . . . . . . . 348

11.5 Hipérbola con centro fuera del origen . . . . . . . . . . . 352

11.6 Ecuación general de la hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . 356


Capítulo11

a Valores y fórmulas trigonométricas .................................. 364péndice.

�

PresentaciónLas gráficas y las ecuaciones son de gran utilidad cuando se modelan situaciones que se presentan en la vida diaria, bien en relación con nuestras actividades ordinarias, o con las distintas esferas del conoci-miento científico, sea éste teórico o aplicado.

Aprender geometría analítica permite entender aspectos de las curvas a través de las ecuaciones que las representan y, también, estudiar las ecuaciones a partir de sus gráficas.

El presente libro está estructurado en 11 capítulos. En cada uno de ellos los temas se desarrollan en lec-ciones mediante explicaciones breves sobre los conceptos básicos, ejemplos sencillos con aplicaciones prácticas y abundantes ejercicios.

Con el fin de facilitar el aprendizaje, los márgenes en las hojas te proporcionan información adicional para la comprensión de los temas, incluyendo sugerencias y las soluciones a todos los ejercicios y pro-blemas propuestos. Se sugiere que leas alternadamente la información de la parte central de cada hoja y la del margen, como sigue:

� Grupo Editorial Patria®

Fíjate enlo siguiente...

1. En las funciones continuas la gráfica no presenta puntos aislados, saltos o inte-rrupciones.

2. En las funciones algebraicas los valores se obtienen mediante un número finito de operaciones algebraicas (en las trascen-dentes estas operaciones sólo posibilitan aproximar sus valores).

Observacionesimportantes

1. Al conjunto que contiene al rango se le llama codominio.

Rango

CodominioDominio

0

1

2

3

6

7

8

9

10

2. Sólo los elementos que son imágenesdel dominio están en el rango. Al rango también se le llama recorrido, imagen,ámbito o contradominio.

3. La notación f : A → B (se lee: “f de A en B”) indica que la función f va del conjun-to A (dominio) al conjunto B (codomi-nio). El rango está contenido en B.

Fíjate enlo siguiente...

1. Función uno a uno: cada elemento del dominio tiene su propia imagen. A estas funciones también se les llama inyectivaso unívocas.

2. Función sobre: todo el codominio es imagen (es decir, todo elemento del co-dominio está asociado con alguno del do-minio). A estas funciones también se les llama suprayectivas.

ClasifiCaCión de funCiones

Existen diversos criterios para clasificar las funciones. Algunos de los más usua-les están referidos a su gráfica, al tipo de operaciones que admiten y a su rango y dominio.

Por sus gráficas

Continuas Discontinuas

0

y

x

0

y

x

Por las operaciones para obtener sus valores

Algebraicas Trascendentes

y = 3x2 + x -5 Polinomiales y = 7(5)x Exponenciales

yx

2

1Racionales y = -log4 x Logarítmicas

y x 6 Ni polinomial y = sen x Trigonométricas ni racional

Por la asociación entre dominio y rango

Uno a uno Sobre Biunívocas

0

1

2

3

6

7

8

9

10

0

1

2

3

2

4

6

0

1

1

2

3

3

7

5

Ejemplo 1 Funciones continuas y discontinuas

A partir de una ecuación, su dominio y su gráfica, determina cuáles de las si-guientes funciones son continuas o discontinuas.

a) h(x) = {(2, 1), (3, 1.5), (4, 2), (5, 2.5), (6, 3)}

b) g(x) = x - 2

c) f xx

x( )

2 4

2

�. Estudia la parte teórica hasta antes del primer ejemplo

3. Revisa cada ejemplo 4. Busca en el margen comentarios al mismo

�2

34

Parte teórica

Ejemplo

2. Lee en el margen el contenido correspondiente a dicha parte

Al final de cada capítulo se incluye un apartado denominado Complemento teórico, que te ofrece la oportunidad de ampliar y profundizar los conocimientos sobre la materia, pudiendo dar lugar a otros trabajos como prácticas o investigaciones que, con toda seguridad, coadyuvarán a acrecentar tu interés por el área científica.

24 Grupo Editorial Patria®

Complementoteórico

1. Observacionesimportantes

a) A veces a las desigualdades que contie-nen variables (como x < 2) se les llama inecuaciones.

b) Las inecuaciones representan intervalos. Las siguientes notaciones y terminología son de uso común:

Intervalo abierto con extremos 2, 7.

2 < x < 7

(2, 7)2 7

Representa todos los reales entre 2 y 7, exceptuando estos dos valores.

Intervalo cerrado con extremos 2, 7.

2 ≤ x ≤ 7

[2, 7]2 7

Representa todos los reales entre 2 y 7, incluyendo estos dos valores.

Intervalos semicerrados o semiabiertos:

2 ≤ x < 7 [2, 7)

2 < x ≤ 7 (2, 7]

Incluyen un extremo y al otro no.

c) La notación para intervalos se emplea para denotar algunos conjuntos especia-les. Aunque ∞ no es un número, se usa (-∞, ∞) para representar al conjunto de todos los números reales. También se usan:

-∞, 0) = números reales negativos

[0, ∞) = números reales no negativos

0, ∞) = números reales positivos

1. ¿Cómo se resuelve una desigualdad?

Igual que una ecuación, excepto en que se invierte el signo de la desigualdad,cuando:

a) se multiplican ambos lados por un número negativo.

b) se toman los recíprocos en ambos lados de la desigualdad.

Ejemplos

Resolver:

1. 3x + 4 < 10

3x < 10 - 4 Restando 4 en ambos lados

x < 2 Dividiendo ambos lados entre 3

2. -5x - 30 > 0

5x + 30 < 0 Multiplicando por -1

5x < - 30 Restando 30

x < -6 Dividiendo entre 5

3. 1

2

1

3 2 < 3 Al tomar los recíprocos invirtiendo numerador y de-

nominador en cada fracción se tiene 2 < 3. Observa que se invierte el signo de la desigualdad inicial.

2. ¿Existe alguna manera de decidir si una función es uno-uno sin trazar la gráfica?

Sí. En una función uno-uno, a elementos distintos del dominio les corresponden imágenes distintas, es decir, si a ≠ b, entonces f (a) ≠ f (b). Empleando igualdades esta condición lógica equivale a decir que si f (a) = f (b) entonces a = b. Esta con-dición puede aplicarse a ecuaciones concretas como muestran los dos ejemplos siguientes:

a) ¿Es uno-uno la función F(x) = 6 x + 5?

F(a) = F(b) Suposición

6a + 5 = 6b + 5 Sustituyendo a, b en F(x)

6a = 6b Restando 5

a = b Dividiendo entre 6

Como F(a) = F(b) implica en esta función que a = b, concluimos que F es uno-uno.

b) Probar que G(x) = x2 no es uno-uno.

G(a) = G(b) Suposición

a2 = b2 Sustituyendo a, b en G(x)

a = ± b Extrayendo raíz

Dado que G(a) = G(±b), la función no es uno-uno.

(Observa: (2)2 = (-2)2 no implica 2 = -2.)

25Relaciones y funciones

d) Para las inecuaciones que sólo constan de un signo de desigualdad se emplea la si-guiente notación de intervalos:

x < 2 equivale a (-∞, 2-∞ −3 −2 −1 0 1 2 3 4

x ≤ 2 equivale a (-∞, 2]-∞ −3 −2 −1 0 1 2 3 4

2 < x equivale a (2, ∞)

1 2 3 4 5 6 7 8

2 ≤ x equivale a [2, ∞)

1 2 3 4 5 6 7 8

3. Ampliando elconocimiento

1. Inecuaciones cuadráticas

Casi siempre se resuelven factorizando.

Ejemplo. Resolver x2 + x - 6 > 0.

x2 + x - 6 > 0 Inecuación cuadrática

(x - 2)(x + 3) > 0 Factorizando x2 + x - 6

Hecho esto, se formula la pregunta:

¿Cuándo el producto de (x - 2) y (x + 3) esmayor que cero (es decir, positivo)?

Respuesta: cuando ambos factores tienen igual signo. O sea, cuando:

1. (x - 2) > 0 y (x + 3) > 0, o

2. (x - 2) < 0 y (x + 3) < 0.

Cada par de desigualdades debe cumplirse simultáneamente.

Primer caso: (x - 2) > 0 y (x + 3) > 0. Resolviendo:

x > 2 y x > -3

Estas dos desigualdades se cumplen simul-táneamente en la intersección de ambas, es decir, cuando x > 2:

−3 2

(todos los valores mayores que 2 son, ade-más, mayores que -3)

3. ¿Pueden construirse funciones inversas para funciones que no son uno-uno?

A veces, limitando su dominio y su rango, puede obtenerse una función inversarestringida. Geométricamente se considera sólo una porción de la gráfica donde la función sea uno-uno.

f

1

2

3

4

5

6

7

g8

9

10

5

No existe función inversa para f. Pue-de tenerse una función inversa res-tringida limitando el dominio de la inversa a {5, 6} y el rango a {1, 2}.

No existe función inversa para g por-que no es uno-uno. Puede obtenerse una función inversa restringida, como {(5, 8)}, limitando el rango.

y = x2 + 1 y x 1

0

12345678910

1 2 3− 1− 2− 3

y

x

0 1 2 3 4

1

−1

2

−2

3

−3

5 6 7 8 9 10

y

x

La inversa no es función. El rango puede restringirse a x 1 (o bien, a x 1 ) y obtener una función inversa restringida.

y = sen x y = sen-1 x

1

0

1

12

y

x—2

21 2

y

x

—2

2

1 0 1

La inversa no es función. El rango y el dominio pueden limitarse al área som-breada y obtener una función inversa restringida.

El Autor

Lecciones�.� Relaciones y funciones

�.2 Clasificación de funciones

�.3 Operaciones entre funciones

�.4 Funciones inversas

�.5 Funciones especiales

Capítulo 1 Complemento teórico

La tabla muestra el crecimiento anual de un árbol de durazno que tiene 61 cm de alto y crece a razón de 35 cm cada año.

La expresión algebraica y = 61 + 35x describe esta misma relación, en tanto que y = 106 + 42x describe el crecimiento de un ciruelo de 106 cm de alto que crece a razón de 42 cm por año.

Estas relaciones ilustran el importante concepto matemático de función: una variable (la altura en este caso) depende de otra (el tiempo) y toma valores únicos (la planta no tiene dos alturas en un mismo momento).

Las anteriores expresiones son útiles para determinar, por ejemplo, cuándo ambos árboles tendrán la misma altura y cuál será ésta.

Capítulo 1Relaciones y funciones

Asociar objetos o elementos mediante alguna relación es una actividad connatural y básica del hombre para la comprensión, la organiza-ción y el dominio del entorno que lo rodea.

Ciertas relaciones tienen particular importan-cia en la ciencia y se les denomina funciones. El significado matemático de este término por lo general difiere del que se usa en el lenguaje común (la función de las leyes; la función del cine) aunque en ocasiones coincide con éste (las tarifas por envío de paquetes a una locali-dad está en función del peso del paquete).

Aunque el término función fue utilizado por primera vez en el siglo xvii por René Descar-tes, fue el matemático alemán Peter Dirichlet quien, en el siglo xix, le confirió el sentido que actualmente posee. Con la introducción de los conjuntos, a finales del siglo xix, el también matemático alemán Georg Cantor, contribuyó a facilitar y precisar su manejo.

En este capítulo aprenderás a distinguir cuándo una relación es una función; identificarás estas últimas de acuerdo con el dominio y al rango; tendrás oportunidad de conocer algunas fun-ciones que poseen características especiales y, por último, sabrás por qué algunas funciones son inversas una de otra y cómo están relacio-nadas sus gráficas y ecuaciones.

1Capítulo

Tiempo x (años)

0 1 2 3

Altura y (cm)

61 96 131 166

4 Grupo Editorial Patria®Grupo Editorial Patria® Relaciones y funciones

Fíjate en lo siguiente...

1. Una pareja ordenada cambia al invertir el orden de los elementos: (3, 4) ≠ (4, 3).

2. El orden es importante en toda relación. Ejemplo: en la lista que relaciona los pre-cios de artículos y el impuesto a pagar:

Precio 45 67 83 91

IVA 6.75 10.05 12.45 13.65

no puedes intercambiar valores Precio-IVA. En esta relación la pareja (45, 6.75) no ex-presa lo mismo que (6.75, 45).

Recuerda

La notación { } indica “conjunto”. Dentro se listan los objetos o elementos, o bien, se es-cribe la propiedad que caracteriza a los ele-mentos del conjunto.

Observaciones importantes

1. La gráfica de la ecuación

y = 2x

son cuatro puntos aislados cuando el do-minio es {1, 2, 3, 4} y una línea recta cuando el dominio son todos los números reales.

2. Por esto, si una función se describe con una ecuación, debe indicarse su dominio.

(Cuando no se hace, se sobreentiende que son todos los reales para los que la ecuación tiene sentido.

Ejemplo: el dominio de la función yx

= 3

son todos los reales excepto el 0, pues 3

0no está definido.)

Lección1.1

Relaciones y funciones

Una relación es un conjunto de parejas ordenadas (x, y). Los valores x forman el dominio y los valores y el rango de la relación.

Existen muchas formas de describir una relación: como parejas ordenadas, me-diante una oración verbal, o por medio de una ecuación, una tabla, una gráfica o un diagrama.

Oración Diagrama

A cada número entero del 1 al 4 se le asocia su doble.

1

2

3

4

2

4

6

8

Tabla Parejas ordenadas

{(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)}

x 1 2 3 4

y 2 4 6 8

Ecuación Gráfica

y = 2x

y

0

2

46

8

x1 2 3 4

En esta relación, el dominio es el conjunto {�, 2, 3, 4} y el rango es el conjunto {2, 4, 6, 8}.

Una función es una relación donde a cada valor x le corresponde un solo valor y.

La gráfica permite identificar fácilmente una función. Observa:

Función No función

A cada x le corresponde un único valor y.

Existen diversas x a las que les corresponden dos valores y.

y

x0

y

x0

y = 2x y x= ±

Grupo Editorial Patria® 5Grupo Editorial Patria® Relaciones y funciones

Ejemplo 1

Fíjate en lo siguiente…

1. Incisos b y c. En una función es posible que un mismo valor y se asigne a diferen-tes valores x. Lo que no es posible es que a una misma x se le asignen diferentes valores y.

2. Cuando el mismo valor y se asigna a to-das las x (como en el inciso c), la función se denomina constante.

3. Si en cada pareja el valor de x es igual al de y, la función se llama idéntica.

Ejemplo: {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}


1. Si una función está descrita con una ecua-ción, como y = 3x + 1, puede dársele un nombre, digamos f, y utilizar la notación funcional f (x) = 3x + 1 para referirse a ella.

2. En la notación funcional se tiene y = f (x) (“y igual a f de x”), es decir: (x, y) = (x, f (x)). Se dice que f (x) es la imagen de x. También se dice que f (x) es el valor de la función en x.

Ejemplo: el valor de la función f (x) = 3x + 1 en 5 es f (5) = 3(5) + 1 = 16; el valor de la función f en -1 es f (-1) = 3 (-1) + 1 = -2; la imagen de 4 bajo la función f es f (4) = 3(4) + 1 = 13.

Ejemplo 2


Cuando una función se da mediante una ecuación y no se indica el dominio, puede obtenerse éste despejando y. Si quedan de-nominadores o raíces se excluyen del do-minio aquellos valores de x que hacen cero el denominador, o bien que producen números negativos dentro de un radical de orden par: 2 4 6, , , … En forma análoga, despejan-do x podemos determinar el rango.

Ejemplo 1 Identificando funciones

¿Cuáles de las siguientes relaciones son funciones? Halla el dominio y el rango.

a) {(0, 2), (1, 3), (0, 4), (3, 5)}

b) {(-1, 2), (-2, 3), (-4, 5), (-5, 5)}

c) {(-1, 8), (0, 8), (1, 8)}

Solución

a) No es función, ya que al número cero se le asocian dos valores y:

0 → 2; 0 → 4.

Dominio = {0, 1, 3}; rango = {2, 3, 4, 5}.

b) Sí es función. A cada valor x se le asocia un solo valor y.

Dominio = {-1, -2, -4, -5}; rango = {2, 3, 5}.

c) Sí es función. Ninguna x tiene asociados dos o más valores y.

Dominio = {-1, 0, 1}; rango = {8}.

Ejemplo 2 Determinando el dominio de una función

Obtén el dominio y el rango de cada una de las funciones siguientes.

a) b)

y = x2 + 4y

x0 2 4

4

8

12

16

−2−4

−1

3

0

−5

12

0

6

−3

2

9

Solución

a) Dominio = {-1, 3, 0, -5, 12}; rango = {0, 6, 2, 9}.

b) Para todo número real x existe x2 (su cuadrado). Por tanto, x admite cualquier valor real: Dominio = {Números reales}. Para hallar el rango debemos deter-minar qué valores admite y en la ecuación y = x2 + 4. Para ello, despejamos

x: x y= ± − 4 . Esta raíz existe sólo si la cantidad dentro del radical no es

negativa: y - 4 ≥ 0. Resolviendo la desigualdad obtenemos y ≥ 4. El rango es el conjunto de valores de y, mayores o iguales a 4.

6 Grupo Editorial Patria®Grupo Editorial Patria® Relaciones y funciones

Ejemplo 3


1. En una función puedes asociar diversos elementos del dominio —incluso to-dos— con la misma imagen.

Función

Frutas Hierro

Aceituna

Ciruela pasa

Higo seco

Lima

Pera

Cereza

1.6

3.9

4.0

0.4

0.5

2. Lo que no puede hacerse en una función es asociar un elemento del dominio con dos o más imágenes.

No-funciónFrutasHierro

1.6

3.9

4.0

0.4

0.5

Aceituna

Ciruela pasa

Higo seco

Lima

Pera

Cereza

Prueba de la vertical

Cualquier línea vertical corta en un solo punto la gráfica de una función.

Sugerencias para los ejercicios 1.1

� a 4. ¿Cuántas imágenes tiene cada elemen-to del dominio?

5 a 7. Sustituye la variable por el valor pro-porcionado y evalúa la expresión.

8 a ��. Aplica la prueba de la vertical.

�4. Cambia f (x) por y. Para analizar el do-minio despeja y; para el rango despeja x en y (3 -x) = -2.

Ejemplo 3 Relaciones y funciones en la vida real

La cantidad de hierro contenida en un fruto depende del tipo de fruto seleccionado. Así, una fresa contiene 1 mg de este mineral, en tanto que una aceituna contiene 1.6 mg.

x fruto (pieza)

y hierro (mg)

Aceituna Ciruela pasa Higo seco Lima Pera Cereza

1.6 3.9 4.0 0.4 0.5 0.5

La relación (x, y) = (fruto, cantidad de hierro) es una función. En cambio, la relación inversa (y, x) = (cantidad de hierro, fruto) no es una función, ya que en este caso a una misma cantidad de hierro, por ejemplo, 0.5 mg, le corresponde más de un fruto.

En los ejercicios � a 4 identifica cuáles relaciones son funciones y cuáles no. Obtén en cada caso el dominio y el rango.

�. 2. {(5, 6), (0, 8), (-3, 10),

x 4 7 4 9

y 1 2 1 2 (0, 2), (-3, -1), (0, 0)}

3. 4.

8

5

6

64

25

36

1

2

3

1

2

3

4

En los ejercicios 5 a 7 encuentra el valor de la función en el punto dado.

5. f (x) = x2 + 2x -1; f (3) 6. g(x) = (x -2)3 + 5; g(2.5) 7. h(x) = -x + 1/x; h(-2)

En los ejercicios 8 a �� determina cuáles gráficas corresponden a una función.

8. 9.

0

1

2

3

3

4

41 2

y

x

0

1

2

3

4

1 2−1−2

y

x

Ejercicios 1.1


�5a. ¿Cambia el volumen al variar el radio?

�5c. El dominio está constituido por todos los valores del radio.

�5d. El radio es la mitad del diámetro:

r = =29

214 5.

�. Sí es función.

Dominio = {4, 7, 9}; rango = {1, 2}.

2. No es función.

Dominio = {5, 0, -3}; rango = {6, 8, 10, 2, -1, 0}.

3. Sí es función.

4. No es función.

5. f (3) = 32 + 2(3) - 1 = 14.

6. 5.125

7. 1.5

8. No es función (dos puntos alineados verticalmente evidencian que a una misma x se le asocian dos valores y).

9. Sí es función.

�0. No es función.

��. Sí es función.

�2. Dominio y rango = R = {Números reales}.

�3. Dominio = R = {Números reales}; rango = {y/y ≥ -1} (se lee: conjunto de todas las y, tales que y es mayor o igual que -1).

�4. Dominio = R-{3} (números reales menos el 3); rango = R-{0} (nú-meros reales menos el 0).

�5a. Sí.

�5b. 32 p

3; el volumen de una esfera de

radio r = 2.

�5c. No.

�5d. 12 770 cm3

�6a. Función. Cada persona tiene un solo peso promedio semanal.

�6b. Función. Cada artículo tiene un solo precio en el almacén.

Soluciones a los ejercicios 1.1

�0. ��.

0

2

4

6

8

2 4−2−4

y

x

0

1

2

3

4

1 2−1−2

y

x

En los ejercicios �2 a �4 obtén el dominio y el rango de cada una de las si-guientes funciones:

�2. y = 3x + 5 �3. y = 4x2 -1 �4. f xx

( ) = −−2

3

�5. Geometría. El volumen V de una esfera depende de su radio r. Esta rela-

ción está dada por la ecuación: V r r( ) = 4

33p .

a) ¿Es el volumen una función del radio?

b) Calcula V(2). ¿Qué representa este valor?

c) ¿Es posible que el dominio contenga números reales negativos?

d) ¿Cuál es el volumen de un balón de basquetbol cuyo diámetro es de 29 cm?

�6. ¿Cuáles relaciones corresponden a una función?

a) La relación que asocia a cada miembro de una familia con su peso promedio en una semana determinada.

b) La lista de artículos adquiridos en un almacén.

Cebolla $12 kg

Jitomate $16 kg

Café soluble $40 frasco

Crema $25 litro

Leche $12 litro

Servilletas $12 paquete

Jabón $6 pieza

Pasta dental $40 pieza

8 Grupo Editorial Patria®

Lección

Grupo Editorial Patria® Relaciones y funciones

1.2 Fíjate en lo siguiente...

1. En las funciones continuas, la gráfica no presenta puntos aislados, saltos o inte-rrupciones.

2. En las funciones algebraicas los valores se obtienen mediante un número finito de operaciones algebraicas (en las trascen-dentes estas operaciones sólo posibilitan aproximar sus valores).


1. Al conjunto que contiene al rango se le llama codominio.

Rango

CodominioDominio

0

1

2

3

6

7

8

9

10

2. Sólo los elementos que son imágenes del dominio están en el rango. Al rango también se le llama recorrido, imagen, ámbito o contradominio.

3. La notación f : A → B (se lee: “f de A en B”) indica que la función f va del conjun-to A (dominio) al conjunto B (codomi-nio). El rango está contenido en B.


1. Función uno a uno: cada elemento del dominio tiene su propia imagen. A estas funciones también se les llama inyectivas o unívocas.

2. Función sobre: todo el codominio es imagen (es decir, todo elemento del co-dominio está asociado con alguno del do-minio). A estas funciones también se les llama suprayectivas.

clasificación de funciones

Existen diversos criterios para clasificar las funciones. Algunos de los más usua-les están referidos a su gráfica, al tipo de operaciones que admiten y a su rango y dominio.

Por sus gráficas

Continuas Discontinuas

0

y

x

0

y

x

Por las operaciones para obtener sus valores

Algebraicas Trascendentes

y = 3x2 + x -5 Polinomiales y = 7(5)x Exponenciales

yx= −+2

1 Racionales y = -log4 x Logarítmicas

y x= + 6 Ni polinomial y = sen x Trigonométricas ni racional

Por la asociación entre dominio y rango

Uno a uno Sobre Biunívocas

0

1

2

3

6

7

8

9

10

0

1

2

3

2

4

6

0

1

1

2

3

3

7

5

Ejemplo 1 Funciones continuas y discontinuas

A partir de una ecuación, su dominio y su gráfica, determina cuáles de las si-guientes funciones son continuas o discontinuas.

a) h(x) = {(2, 1), (3, 1.5), (4, 2), (5, 2.5), (6, 3)}

b) g(x) = x - 2

c) f xx

x( ) = −

+

2 4

2


3. Función biunívoca: es simultáneamente uno a uno y sobre. A estas funciones tam-bién se les llama biyectivas.

Ejemplo 1

Recuerda

1. Una función polinomial es la suma de términos de la forma axn, donde a es un número real, n es un entero no negativo y x es una variable que admite cualquier valor real.

2. Una función racional es el cociente o ra-zón de dos funciones polinomiales (con la restricción de que el denominador no puede ser una función constante).

Ejemplo 1


1a. Una condición necesaria (aunque no su-ficiente) para que una función sea conti-nua es que su dominio sea el conjunto de los números reales, o bien, un conjunto equivalente a éste (es decir, con igual número de elementos).

1c. El valor x = -2 no pertenece al dominio de la función porque produce la expre-

sión sin sentido 0

0.

f no está definida en a

significa: a no pertenece al dominio de f.

Por tanto, la función f no está definida en -2.

Ejemplo 1


Aunque algebraicamente es cierto que

xx

x− = −

+2

4

2

2

, consideradas como ecua-

ciones de funciones, estas expresiones son diferentes porque sus dominios son distintos. Las gráficas coinciden en todo, excepto en que la de f está interrumpida en el punto co-rrespondiente al valor -2, ya que la función f no está definida en ese punto.

Solución

a) Como el dominio de h consta sólo de cinco elementos {2, 3, 4, 5, 6}, la grá-fica de h contiene cinco puntos aislados. La función es discontinua.

b) Todas las funciones polinomiales son continuas.

c) Las funciones racionales son discontinuas para todos los valores de x que hacen cero el denominador. En este caso, el denominador es cero cuando x = -2.

y

x

3

2

1

0 2 4 6

y

x

1

0 2 4 6−2−4−1

−2

−3

−4

y

x

1

0 2 4 6−2−4−1

−2

−3

−4

Inciso a) Inciso b) Inciso c)

Ejemplo 2 Identificando funciones algebraicas y trascendentes

Clasifica cada función como algebraica o trascendente e indica el tipo al que corresponde.

a) yx

x= −3 1

b) y x= −1

3

1

22 c) y = -ang cos x2

d) y = 3 log5 (x - 1) e) y = 1 500 (0.032)2x

Solución

a) Algebraica. Racional. b) Algebraica. Polinomial.

c) Trascendente. Trigonométrica. d) Trascendente. Logarítmica.

e) Trascendente. Exponencial.

Ejemplo 3 Funciones en la vida real

a) Los botones y ojales de una prenda de vestir se relacionan de modo que, en la forma ordinaria del uso de la prenda, a cada botón le corresponde sólo un ojal. De aquí que esta relación sea una fun-ción. Esta función es uno a uno debido a que dos botones distintos no pueden ir en un mismo ojal (es decir, a boto-nes distintos les corresponden ojales distintos). Es sobre porque no quedan ojales vacíos. Esta función es biunívo-ca porque es uno-uno y sobre, es de-cir, para cada botón hay un solo ojal y ambos conjuntos quedan asociados sin que sobren elementos en ninguno de ellos.

�0 Grupo Editorial Patria®Grupo Editorial Patria® Relaciones y funciones

b) La relación N: P → F, que a cada persona p le asocia su fecha de nacimiento f, es una función porque ninguna persona pudo haber nacido en dos fechas distintas. Esta función es sobre porque cualquier fecha del calendario está asociada con alguna persona. No es uno-uno porque muchas personas po-seen la misma fecha de nacimiento. No es biunívoca debido a que no es ambas: uno-uno y sobre.

c) La relación T: P → R, que a cada persona p de una población le asocia un registro r como causante fiscal, es una función porque una misma persona no puede tener más de un registro federal de causante. Esta función es uno-uno porque a registros diferentes corresponden personas distintas. No es sobre ya que todos los registros del país que no sean de esa población quedan sin ser asociados con personas de dicha población.

Ejercicios adicionales 1. Clasifica cada función como uno-uno,

sobre o biunívoca.

a) a

b

c

s

p

q

b) 6

24

89

5−1

2. Asocia correctamente ambas columnas.

1) y = -5x3 + 2x2 a) Función - 10x - 6 exponencial.

2) y = log2 x b) Función logarítmica.

3) yx

x= +

−3

1 3( ) c) Función

racional.

4) y = -4x d) Función polinomial.

5) yx

= 1

3. Clasifica cada afirmación como falsa o verdadera.

a) La función y x x= + −2 1 no es racional ni polinomial, pero sí es algebraica.

b) La función racional y yx

x= +

+3 1

52 es

continua en los reales.

c) La función racional yx

=−1

42 es

discontinua sólo en x = 2.

Soluciones a los ejercicios adicionales

1a. Biunívoca. 1b No es uno-uno ni sobre, por tanto, es no biunívoca.

2. 1-d, 2-b, 3-c, 4-a, 5-c.

3a. Verdadera.

3b. Verdadera.

3c. Falsa. Es discontinua en x = 2, y x = -2.

Ejercicios � a 5. Identifica cada función como algebraica o trascendente.

�. y = x2

2. y = 2x

3. y = -cos x

4. y x= 3

2

5. f xx

( ) = −8 2

2

3

6. Asocia cada gráfica discontinua con la descripción correcta.

Gráfica 1

y

x0

Gráfica 2

y

x0

2

−2

π2π

Gráfica 3

y

x

1

2

0 1 2−1

−1

−2

−2−3

Ejercicios 1.2

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