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GEOMETRÍA

¿QUÉ ES LA GEOMETRÍA?

Es la ciencia (disciplina) que estudia idealidades geométricas (modelos ideales)

Veamos con un ejemplo, para aclarar, a que nos referimos con idealidades

geométricas. Consideremos un objeto plano (o que se vea en el plano) y que sea de

forma redonda:

Una rueda

Una sección de un tronco cortado

La cara de la luna

Mediante un proceso de abstracción a partir de las formas que observamos, se

puede pasar a la idea de línea plana redonda. Luego, desligándonos de los objetos

de los cuales proviene esta idea pasamos a la circunferencia, dicho objeto es un

ideal, una línea formada por todos los puntos que equidistan de uno dado (es decir,

el centro de la circunferencia)

Cualquier circunferencia trazada sobre la arena, la pizarra o papel, es una

representación de esa idea, es la imagen sensible del lugar que ocuparía una

circunferencia ideal y nos remitimos a esa idea. Por lo tanto, los objetos

geométricos son las “idealidades geométricas”, modelos de los objetos reales de los

cuales surgen.

Ubicándonos en el terreno de las idealidades geométricas, podemos elaborar

ciencia, en el sentido de construir nuevas idealidades, basándonos en las anteriores

ya conocidas. Por ejemplo, sobre la idea de triángulo podemos construir (sin la

necesidad de buscarlas entre los objetos naturales o artefactos culturales) las ideas

de diversos tipos de triángulos que se pueden considerar, si se toma como criterio

de diferenciación las relaciones entre las longitudes de sus lados. Podemos pensar

en tipos de triángulos según si sus tres lados tienen la misma longitud, si solo dos

de ellos tienen igual longitud o que los tres lados tengan longitudes diferentes.

Subrayamos que esta diferenciación puede hacerse, sin la necesidad de buscar tales

triángulos en objetos de la realidad. Por lo tanto, estudiar geometría involucra un

proceso de abstracción de objetos, relaciones y propiedades.

¿QUÉ BENEFICIOS NOS APORTA EL ESTUDIO DE LA GEOMETRÍA?

1 Este apunte teórico se efectuó sobre la base del material teórico realizado para la asignatura Geometría

del cursado 2011 de la carrera Diseño de Interiores y Mobiliario, por los profesores Virginia Navarro y

Carlos R. Pérez Medina.

MATERIAL TEÓRICO 2º Cuatrimestre Año 2013

Prof. María Elena Ruiz Prof. Carlos Roberto Pérez Medina

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1. Estimula la capacidad del hombre de explorar racionalmente el espacio

físico en el que vive, lo cual involucra la capacidad de: definir, deducir,

resolver problemas y aplicar los conocimientos sobre los objetos geométricos,

sus propiedades y relaciones entre ellos.

2. Nos ayuda al desarrollo de la intuición espacial, a la construcción del

pensamiento espacial. Éste nos permite resolver problemas de ubicación,

orientación y distribución de espacios.

3. Nos permite integrar la visualización con la conceptualización, la

manipulación y experimentación con la deducción, y todo ello con la

resolución y la aplicación de los conocimientos geométricos.

CONCEPTOS GEOMÉTRICOS ELEMENTALES

Conceptos primitivos (elementos sin definir) El punto, la recta y el plano

(Objetos geométricos básico)

Como concepto geométrico se considera al plano sin espesor e ilimitado en todas sus direcciones. Todo plano tiene dos dimensiones al igual que toda figura

cerrada que podamos representar en él. (Largo y ancho (o alto))

No hay “cosas” en nuestro entorno real que sean planas en el sentido geométrico

estricto, pues todas las cosas reales tienen tres dimensiones. Pero si podemos

encontrar imágenes o representaciones de un plano: la parte superior de una mesa,

un piso o una pared bien pulidos, la superficie de una laguna en la que no se

observa ningún movimiento, etc.

La línea como concepto geométrico, se considera sin espesor. Solo tiene una

dimensión (longitud); ciertamente en nuestro entorno tampoco hallamos líneas en

el sentido geométrico estricto, pero sí podemos encontrar imágenes o

representaciones de líneas: los bordes de una caja, o los bordes de las figuras

dibujadas en un plano o un trozo extendido de de hilo.

Otro de los objetos geométricos básicos es el que se obtiene como corte o

intersección de dos líneas: el punto. Como objeto geométrico, el punto no tiene

dimensión alguna. Toda línea se considera formada por puntos y, por eso no

tiene “espesor”. Como representación de un punto podemos referirnos a la

huella que sobre un papel puede dejarse con el toque de la punta de un

lápiz, o la perforación que puede hacerse con la punta de una aguja, o las

esquinas de una caja.

En el siguiente cuadro se relacionan los ámbitos en los que pueden encontrarse los

objetos geométricos, de acuerdo con el número de dimensiones correspondientes:

Ámbitos de los Objetos Geométricos Nº de dimensiones

Espacio 3

Plano 2

Línea 1

Punto 0

3

DIFERENTES TIPOS DE LÍNEAS

Línea recta: Mantiene la misma dirección en todos sus puntos y se considera

ilimitada por ambos extremos y está formada por infinitos puntos.

Semirrecta: Porción de recta que tiene como origen un punto y se extiende

ilimitadamente en un solo sentido. Todo punto sobre una recta determina dos

semirrectas sobre ella.

Segmento: Si fijamos dos puntos sobre una recta se obtiene un segmento, que es la

porción de recta que queda comprendida y une los dos puntos. Con segmentos

situados en rectas diferentes de un mismo plano y conectados por sus extremos se

construyen líneas quebradas o poligonales. Cuando estas líneas quebradas se

“cierran” sin haberse cruzado en ellas, se forman polígonos.

También están las líneas curvas, que son aquellas que van variando su dirección en

cada punto. Por ejemplo, la circunferencia.

Finalmente, hablamos de líneas mixtas que son aquellas constituidas por líneas

rectas y curvas al mismo tiempo.

Todos los objetos geométricos básicos tienen su representación:

Objeto geométrico Representación

Punto

Con una letra mayúscula: A

Recta

Con puntas de flechas en los extremos. Se marcan dos

Puntos , o con una letra minúscula AB

, r

Semirrecta

Con punta de flecha en el extremo “abierto” Se marca el punto

Origen y otro punto, o con una letra minúscula. MN

, s

Segmento

Se marcan los dos puntos extremos PQ

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Hay que tener presente que:

Dos puntos bastan para determinar una recta.

Tres puntos no alineados bastan para determinar un plano.

Un plano queda perfectamente determinado mediante dos rectas que se cortan

en un punto.

DISTANCIA ENTRE UNA RECTA Y UN PUNTO

La distancia entre una recta y un punto fuera de ella, es la longitud del segmento

perpendicular desde el punto a la recta. La distancia entre una recta y un punto de

la misma se define como cero.

POSICIÓN RELATIVA DE RECTAS En el plano dos rectas pueden tener las siguientes posiciones relativas:

1. Rectas secantes: son las que se cortan, es decir, tienen un punto en común.

2. Rectas Perpendiculares: Si al cortarse dos rectas forman cuatro ángulos

congruentes se dice que estas dos rectas son perpendiculares. Se llama ángulo

recto a cualquiera de los ángulos que se cortan.

3. Rectas paralelas: son las que no se cortan, es decir, no tienen ningún punto en

común.

ÁNGULOS

Hay varias formas de considerar un ángulo:

Desde la perspectiva dinámica, podemos entenderlo como un giro que hace

una semirrecta que mantiene fijo su punto de origen. Como este movimiento

puede ser más o menos amplio, hablamos de amplitud del giro, para

referirnos a su medida. Incluso, esta amplitud puede ser mayor a una vuelta

completa. En este caso interesa saber en qué “sentido” sé mueve la

semirrecta. Se considera negativo si el giro es en el sentido de las agujas del

reloj y positivo en caso contrario.

Desde la perspectiva dinámica, también, se puede considerar un ángulo

como un movimiento de barrido que hace una semirrecta que mantiene fijo

su punto de origen. Es una idea muy similar a la de giro, solo que ahora la

semirrecta al moverse, va marcando su huella en el plano. La idea de

amplitud y orientación se mantienen.

Desde una perspectiva estática, un ángulo puede considerarse como la

región limitada por dos semirrectas con un origen en común. Es decir, como

si fuera el resultado del barrido del que hablábamos antes. También desde

la misma perspectiva, un ángulo puede ser considerado como la unión de dos

semirrectas con un origen en común. En ambos casos se mantiene el

concepto de amplitud angular, pero no suele tomarse en cuenta el sentido.

Al hablar de ángulos, conviene advertir que todo lo que se ha dicho en términos de

semirrectas puede extenderse también a segmentos. Para incluir ambos casos

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posibles, se habla en forma general de los lados de un ángulo. El punto de origen de

las semirrectas que giran, o el punto común de las dos semirrectas que se unen, se

denomina vértice del ángulo.

Un ángulo puede recibir diferentes notaciones, en general se utilizan los siguientes

símbolos: , o , los cuales van acompañados por letras del alfabeto griego,

letras mayúsculas del alfabeto latino o números.

Ejemplos:

, , ,ABC ABC B B

, ,

1 , 1

Medir un ángulo significa medir su amplitud. Una de las unidades para medir la

amplitud de un ángulo es el grado sexagesimal (la amplitud de un ángulo obtenido

como resultado de dividir una vuelta en 360 partes iguales).

Entre los ángulos se establecen ciertas relaciones en función de sus medidas:

Dos ángulos que tienen igual medida se dice que son congruentes.

Dos ángulos se llaman complementarios cuando la suma de sus medidas es 90°

Dos ángulos se llaman suplementarios cuando la suma de sus medidas es 180°

ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS SECANTES

Dadas dos rectas secantes AB y CD

(no

necesariamente perpendiculares) aparecen cuatro

ángulos entre ellas, relacionados de a dos:

Se llaman ángulos opuestos por el vértice a los que

están formados por las semirrectas EA y ED

y

por sus prolongaciones EB y EC

en sentido

opuesto. Los ángulos AED y CEB son opuestos

por el vértice al igual que los ángulos CEA y BED .

Los ángulos que comparten el vértice y un lado se llaman consecutivos. Los ángulos

consecutivos cuyos lados no compartidos están constituidos por semirrectas

opuestas, se denominan adyacentes. Siguiendo con el ejemplo gráfico, son ángulos

consecutivos y adyacentes los siguientes pares de ángulos:

y , y , y , yDEB BEC BEC CEA CEA AED AED DEB

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Por definición, la unión de dos ángulos adyacentes son suplementarios. De aquí se

deduce que los ángulos opuestos por el vértice son congruentes, ya que poseen el

mismo suplemento.

ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS CORTADAS POR UNA TERCERA

Si se tienen dos rectas cualesquiera m y n, y una recta l que corta a ambas, se

forman ocho ángulos, los cuales reciben nombres particulares según su posición

respecto de la secante y las otras dos rectas.

Se llaman ángulos alternos (internos o externos) a los pares de ángulos que están

en distintos semiplanos respecto a la secante. Se dice también que dos ángulos

formados por dos rectas cortadas por una tercera son conjugados (internos o

externos) cuando están situados en un mismo semiplano con respecto a la secante.

Finalmente, los ángulos correspondientes son dos ángulos, uno interno y el otro

externo, situados a un mismo lado de la secante, no adyacentes.

y ; y ángulos alternos externos

y ; y ángulos alternos internos

y ; y ángulos conjugados externos

y ; y ángulos conjugados internos

y ; y ; y ; y ángulos correspondientes

En el caso particular de que m y n sean paralelas se tiene

que:

Los ángulos correspondientes son congruentes

Los ángulos alternos internos y los alternos externos son congruentes

Los ángulos conjugados externos e internos son suplementarios.

CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS

Con frecuencia en la resolución de problemas de geometría se necesitan hacer

algunas construcciones planas. Debido a esto veremos algunos métodos de

construcción utilizando herramientas geométricas (regla y compás).

Es probable que el estudiante esté familiarizado con estos métodos pero la

experiencia ha demostrado que estos procedimientos elementales a menudo se

olvidan, de ahí la importancia de considerarlos en este material teórico.

1. Mediatriz de un segmento.

La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a dicho segmento que lo

divide en su punto medio.

Procedimiento:

Dado un segmento AB tomamos un compás y lo abrimos con una amplitud algo

mayor que la mitad del segmento, haciendo centro en A trazamos un arco con esa

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abertura, por “encima” y por “debajo” del segmento. Repetimos la acción con la

misma abertura del compás, pero ahora haciendo centro en B .

Los dos arcos por encima del segmento se cortan en un punto M , igualmente los

dos arcos por debajo del segmento lo hacen en un punto N . Al trazar la recta que

determinan M y N hemos construido la mediatriz del segmento. El punto P

donde se intersecan la recta y el segmento, es el punto medio del segmento AB ,

luego AP PB .

¿Cómo se construye la mediatriz de una recta o semirrecta?

De ninguna manera es posible en ambos casos pues la recta y la semirrecta no

tienen puntos extremos.

Relación existente entre los puntos de la mediatriz y los extremos de un segmento:

Es importante observar a partir de la construcción de la mediatriz que M está a la

misma distancia de A y de B, ya que M se obtuvo como el corte de dos arcos con la

misma abertura del compás.

Por consiguiente: “todos los puntos de la mediatriz de un segmento equidistan de

los extremos del segmento.”

Por lo anterior, una definición más formal de Mediatriz es la siguiente: “Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos del segmento”. Ahora bien,

si dos puntos de una recta equidistan de los extremos de un segmento (la distancia

desde un punto no tiene que ser igual a las distancias desde el otro) dicha recta es

la Mediatriz del segmento.

2. Construir una perpendicular a una recta dada, que pase por un punto

perteneciente a la misma.

Sea una recta AB

y un punto P perteneciente a dicha recta. Con el compás,

haciendo centro en P, se traza un arco de circunferencia que interseca a la

recta AB

en dos puntos: A´ y B ´, estos dos puntos son equidistantes de P, luego P es el punto medio del segmento A´B´ que quedó determinado.

Tomamos el compás y lo abrimos con una amplitud algo mayor que la mitad

del segmento A´B´, haciendo centro en A ´ trazamos un arco con esa

abertura, por “encima” o por “debajo” del segmento. Repetimos la acción con

la misma abertura pero ahora haciendo centro en B´. Los dos arcos se cortan

en un punto M . Al trazar la recta que determinan M y P hemos construido

la perpendicular a la recta AB

que pasa por el punto P .

3. Construir una perpendicular a una recta dada, que pase por un punto

exterior a la recta.

Sea AB

y P el punto exterior. Se dibuja un arco de circunferencia con

centro en P para crear los puntos A' y B ', que son intersección del arco de

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circunferencia con la recta AB

(éstos son equidistantes a P). Se dibujan dos

circunferencias centradas en A' y B', pasando cada una por P. Sea Q el otro

punto de intersección de estas dos circunferencias. La recta que pasa por P

y Q es la perpendicular solicitada.

4. Construir una recta paralela a una dada que pase por un punto exterior

a la recta

Sea AB

y C el punto exterior. Usando la construcción anterior de la

perpendicular, trazamos la perpendicular CD a la recta AB, que pase por C. Llamamos E al punto de intersección de las dos rectas.

Ahora trazamos la circunferencia con centro A' y radio igual a la distancia

de C a E.

Ahora trazamos la circunferencia con centro C y radio igual a la distancia de

A' a E.

Llamamos F al punto de intersección de las dos circunferencias.

Ahora trazamos la recta CF.

La recta CF es la paralela a AB que pasa por C.

5. Dividir un segmento en “n” partes iguales.

Suponga que se desea dividir un segmento dado AB en 6 partes iguales. A partir

de uno de los extremos ( A ) del segmento trazar una semirrecta que forme un

ángulo cualquiera con el segmento dado. Usando un compás tome 6 segmentos

iguales sobre la semirrecta, quedando de esta manera determinados 6 puntos (

, , , , yC D E F G H ), luego unir el último punto con el otro extremo ( B ), quedando

determinado el segmento HB. Luego construya líneas paralelas a la HB desde los

puntos , , , ,C D E F G . Estas líneas cortarán al segmento en los puntos

', ', ', ', 'C D E F G , que dividen al segmento AB en las seis partes iguales

solicitadas.

6. Construcción de la bisectriz de un ángulo dado

Dado el ángulo AOB

, hacemos centro en el vértice O trazamos un arco que

determine dos puntos, uno sobre cada lado del ángulo dado. Luego, haciendo centro

en dichos puntos, marcamos, en cada caso, un arco que quede en el interior del

ángulo, con la misma abertura del compás en cada caso. Así queda determinado un

tercer punto M, uniendo M con el vértice O del ángulo queda determinada la

bisectriz del ángulo. La bisectriz de un ángulo lo divide en dos ángulos congruentes.

7. Trasladar un ángulo dado (solo con compas)

Sea COB

el ángulo dado, con el compás haciendo centro en el vértice O de éste, se

traza un arco de lado a lado; llamamos N y M a los dos puntos de intersección con

los lados del ángulo. Sobre una recta o segmento, con la misma abertura del

compás, haciendo centro en un punto A de la recta, trazamos un arco que corte a la

recta en un punto R. Volviendo al ángulo original, se toma con el compás la

distancia MN. Manteniendo la misma abertura, se hace centro en el punto R y se

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corta el arco trazado anteriormente, lo que determina un punto S. Al unir A con S

se tiene el segundo lado del nuevo ángulo, el cual es congruente con el original.

POLÍGONOS

Recordemos que en el apartado anterior, decíamos que “con segmentos situados en

rectas diferentes de un mismo plano, y conectados por sus extremos, se construyen

líneas quebradas o poligonales”. Estas líneas pueden ser abiertas si no coincide uno

de los puntos extremos del segmento inicial con alguno del segmento final, o

cerradas en caso contrario. Cuando una línea quebrada es cerrada y no se han

cruzado entre sí los segmentos que la componen, decimos que se ha formado un

polígono.

En todo polígono se destacan los siguientes elementos: Lados: son los segmentos de la línea poligonal

Vértices: puntos de concatenación de dichos segmentos

Ángulos internos: los formados por dos segmentos consecutivos, orientados

hacia la región interna del polígono

Ángulos externos: los formados por un lado

y la prolongación de otro contiguo hacia la

región exterior. Generalmente se designa

con la letra griega del ángulo interior

adyacente acompañada de un subíndice.

Diagonales: son los segmentos que unen

dos vértices no consecutivos.

De los elementos de un polígono, podemos medir: la longitud de sus lados, cuya

suma total se denomina perímetro; la longitud de sus diagonales; la amplitud de

sus ángulos, así como su suma total; la magnitud de su región interna, es decir, el

área del polígono.

Los polígonos se representan con las letras mayúsculas que nombran a cada uno de

sus vértices, escribiéndolas en forma ordenada y usando, en los casos de polígonos

de tres y cuatro lados respectivamente, los símbolos o , antecediendo a las

letras de los vértices; estos símbolos reemplazan las palabras triángulo y

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cuadrilátero, en el caso de no usarlos debería escribirse cada una de estas palabras

antes de las letras que nombran los vértices según corresponda.

Los polígonos se pueden clasificar a través de diversos criterios:

a) Según el número de lados.

En general, se habla de un polígono de “tantos” lados, conformando el nombre

de cada uno usando los prefijos griegos de cantidad y el sufijo “gono” que

significa ángulo. Es por esto que cada uno de ellos tiene un nombre particular:

POLÍGONOS

Números de lados Nombre

3 Triángulo

4 Cuadrilátero

5 Pentágono

6 Hexágono

7 Heptágono

8 Octágono

10 Decágono

12 Dodecágono

15 Pentadecágono

b) Según el valor de los ángulos.

Si la medida de cada uno de los ángulos interiores del polígono es menor de

180°, el polígono se denomina convexo, en caso contrario, cóncavo. Dicho de otra

manera, si al tomar dos puntos cualesquiera de la región poligonal interna, el

segmento que los une queda todo él dentro de esa región poligonal, hablamos de

un polígono convexo, es decir, sin “entrantes”. Un polígono se puede clasificar

como cóncavo cuando presenta algún entrante, es decir, algún ángulo interior

de medida mayor a 180°.

c) Según la congruencia de sus lados y de sus ángulos

Si todos los lados de un polígono son congruentes entre sí, y también lo son

todos sus ángulos, el polígono se denomina regular. E irregular en caso

contrario.

TRIÁNGULOS

Un triángulo es el polígono de tres lados. Es el más elemental de todos los

polígonos, lo que hace que tenga ciertas particularidades:

No existen triángulos cóncavos.

Es el único polígono convexo que no tiene

diagonales.

Es el único polígono en el que se puede

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hablar, sin equívocos, de lados opuestos a ángulos, y viceversa; por eso el lado

BC opuesto al ángulo de vértice A, puede denotarse también como “a”, y así en

los demás casos.

Clasificación de triángulos

Disponemos de dos criterios para clasificar los triángulos. a) Según las relaciones de medida entre los lados. Tenemos tres casos:

Relación entre los lados Nombre del triángulo

Los tres lados congruentes Equilátero

Dos lados congruentes Isósceles

Ningún par de lados congruentes Escaleno

b) Según la amplitud de sus ángulos. Tenemos también tres casos:

Naturaleza de los ángulos Nombre del triángulo

Los tres ángulos agudos Acutángulo

Un ángulo recto Rectángulo

Un ángulo obtuso Obtusángulo

Relación entre los lados y los ángulos en un triángulo Si en un triángulo dos lados son congruentes, los ángulos opuestos también lo

son.

Si en un triángulo dos lados no son congruentes, al lado mayor se opone el

ángulo mayor.

Propiedades recíprocas:

Si en un triángulo dos ángulos son congruentes, los lados opuestos también lo

son.

Si en un triángulo dos ángulos no son congruentes, al ángulo mayor se opone el

lado mayor.

Construcción de un triángulo

Para que tres segmentos puedan construir un triángulo es necesario que la

longitud del segmento mayor sea menor que la suma de las longitudes de los otros

dos segmentos.

Procedimiento: conocida las medidas de tres segmentos, con el compás se abarca la

longitud de uno de los segmentos; se ubica este segmento AB en el plano. Desde el

vértice A y con una abertura del compás equivalente a la medida del segundo

segmento, se traza un arco. Se realiza la misma operación desde el vértice B , con

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una abertura del compás equivalente a la medida del tercer segmento. Desde el

punto C en que se cortan los dos arcos se trazan los segmentos y CA CB y el

ABC queda construido.

Líneas Notables de un Triángulo

Hasta ahora hemos hablado de los lados, vértices y ángulos de un triángulo. Vamos

a ampliar este conjunto de elementos con otros varios, vamos a construirlos y a

estudiar sus propiedades.

a) Mediatrices de un triángulo

Son las semirrectas que pasan por el punto medio de cada lado del triángulo y son

perpendiculares a cada uno de ellos. Al efectuar la construcción de las tres

mediatrices en un triángulo, se tiene una de las propiedades fundamentales de

estas rectas: las tres se cortan en un mismo punto, denominado circuncentro (se lo

suele expresar con la letra O ), que presenta la particularidad que equidista de los

tres vértices, esto es debido a que pertenece a las mediatrices de los tres

segmentos que determinan dicho triángulo.

Con centro en el circuncentro, es decir en O , podemos trazar una circunferencia

que contenga a los vértices del triángulo. Decimos que es la circunferencia

circunscripta o que el triángulo está inscripto en ella.

b) Bisectrices de un triángulo

Son las semirrectas que a cada uno de los ángulos interiores de un triángulo, lo

dividen en dos congruentes. Al efectuar la construcción de cada una de las tres

bisectrices de un triángulo se tiene una de las propiedades fundamentales de éstas:

que las tres se cortan en un mismo punto, denominado incentro.

La particularidad que presenta el incentro es que equidista de los tres lados del

triángulo. Con centro en el incentro podemos trazar una circunferencia inscripta en

el triángulo. Dicha circunferencia es tangente a los lados del triángulo.

(El radio es igual a la distancia del incentro a los lados, recordemos que para medir

la distancia mínima se considera la recta perpendicular)

c) Medianas de un triángulo

Son los segmentos trazados desde cada vértice del triángulo al punto medio del

lado opuesto. Al efectuarse la construcción de las tres medianas de un triángulo, se

tiene una de las propiedades fundamentales de éstas: que se cortan en un mismo

punto, denominado baricentro.

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Dos son las particularidades que presenta el baricentro de un triángulo. Una es

que coincide con el centro de gravedad del triángulo. Y la segunda es que dicho

punto dista de cualquier vértice, dos tercios de la distancia del vértice al punto

medio del lado opuesto.

d) Alturas de un triángulo

Son las perpendiculares trazadas desde cada vértice a la recta que contiene el lado

opuesto. Estas perpendiculares pueden tener su pie sobre el lado o sobre su

prolongación. Al igual que en los casos anteriores, al efectuarse esa construcción se

descubre que se cortan en un punto, denominado ortocentro.

El ortocentro no presenta una particularidad tan destacable como si la tienen el

circuncentro, el baricentro y el incentro, pero los griegos lo denominaron el centro

“recto” del triángulo para recordar la incidencia de las alturas, que forman un

ángulo recto con los lados correspondientes.

Propiedades de los ángulos de un triángulo

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°.

Consideremos el ABC con sus ángulos interiores

1,2 y3

, así como la recta r que contiene al lado

AB . Por el vértice C hacemos pasar una paralela

s al lado AB . Observemos que sobre la recta s y

con vértice C , se forman tres ángulos

consecutivos 4,3y5

, cuya unión forma un ángulo llano, es decir, la suma de las

medidas de los tres es de 180°.

Observemos que la recta que contiene al lado BC es secante a las paralelas r y s ;

por su carácter de ángulos alternos internos, los ángulos 2 y 5

son congruentes.

Análogamente, nos fijamos en la recta que contiene al lado AC . Esta recta también

es secante a las paralelas r y s ; y por su carácter de ángulos alternos internos, los

ángulos 1y 4

son congruentes.

Ahora bien, si la suma de las medidas de los ángulos 4,3y 5

es de 180°, también lo

será la de los ángulos 1,2 y 3

.

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Esta propiedad es muy fecunda para llegar a otros resultados:

Cualquier ángulo interior es suplementario del ángulo suma de los otros

dos.

La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es 2 180n .

Ángulos exteriores: Todo triángulo tiene, además de tres ángulos interiores, otros

tres ángulos exteriores, cada uno suplementario a su ángulo interior adyacente.

Por consiguiente es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes.

La suma de los ángulos exteriores de cualquier triángulo es de 360°

Esta propiedad puede probarse de manera lógica. Como dijimos anteriormente

cada ángulo interior es adyacente a su ángulo exterior, es decir la suma de ambos

da 180°

Si sumamos todos los ángulos interiores con todos los exteriores tendríamos,

suponiendo que los ángulos interiores son: , y

y los exteriores ', ' 'y

,

' ' ' 540

' ' ' 540

180 ' ' ' 540 ' ' ' 360

COMPARACIÓN DE FIGURAS: El CASO DE LOS TRIÁNGULOS

Para comparar figuras planas se puede adoptar dos criterios de

comparación: su forma y tamaño, o magnitud de su región interior. La

siguiente tabla refleja los posibles resultados de esta comparación:

Figuras Formas Tamaño

Congruentes Igual Igual

Semejantes Igual Diferente

Equivalentes Diferente Igual

La congruencia de triángulos

De acuerdo con tales criterios, dos triángulos son congruentes si poseen

igual forma y tamaño. Desde el punto de vista de sus elementos, la

congruencia de dos triángulos significa que: hay tres pares de lados

correspondientes y tres pares de ángulos correspondientes congruentes.

Existen tres criterios que permiten determinar la congruencia entre dos

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triángulos, a través de la verificación de algunas condiciones entre pares de

sus elementos

En la figura se muestran dos situaciones de congruencia de triángulos, las

cuales usando la notación quedan descritas así ABCA’B’C’ y

MLSM’L’S’. Los vértices que se corresponden en la congruencia, e

indican los pares de ángulos y segmentos iguales, se indican con una tilde en

cada caso, esto es

ABCA’B’C’ MLSM’L’S’

AA’ MM’

BB’ LL’

CC’ SS’

De estas correspondencias, se deduce en cada caso las siguientes relaciones

de igualdad entre pares de ángulos y segmentos.

ABCA’B’C’ MLSM’L’S’

Criterios de congruencia de triángulos

Dos triángulos son congruentes si se

verifica que entre ellos existen: 1. Tres pares de lados congruentes.

L L L

2. Dos pares de lados congruentes

' '

' '

' '

AB A B

BC B C

CA C A

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y los ángulos correspondientes comprendidos entre ellos. L AL

' '

' ' '

' '

AB A B

BAC B A C

AC A C

3. Un lado congruente y los dos ángulos correspondientes que tienen como vértice

los extremos de ese lado. AL A

' ' '

' '

' ' '

CAB C A B

AB A B

ABC A B C

Semejanza de triángulos

Recordando lo visto en Matemática 1, dos triángulos son semejantes cuando tienen

igual forma y tamaño diferente. La primera de estas dos condiciones, igual forma,

implica la congruencia entre los ángulos correspondientes de los triángulos; y la

segunda condición, implica proporcionalidad entre los lados correspondientes

siguientes.

BASE MEDIA DE UN TRIÁNGULO

Se llama base media de un triángulo al segmento cuyos extremos son los

puntos medios de un par de lados. La base media de un triángulo es paralela

al tercer lado y congruente con su mitad. 1

2DE AC

RAZÓN DE ÁREAS

Sabiendo que el área de un triángulo es igual al semiproducto de su base por

la respectiva altura, podemos concluir las siguientes propiedades:

1. Si dos triángulos tienen la misma base, entonces la razón de sus áreas es

igual a la razón de sus alturas, con respecto a esa base.

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2. Si dos triángulos tienen la misma altura, entonces la razón de sus áreas es

igual a la razón de sus bases, con respecto a esa altura.

3. Si dos triángulos son semejantes, entonces la razón de sus áreas es igual al

cuadrado de la razón de semejanza.

TRIGONOMETRÍA DE LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

La trigonometría plana es una rama de la matemática que estudia las

relaciones entre los lados y los ángulos de triángulos, hecho que está

implícito en su propio nombre, desde el significado etimológico de la palabra

trigonometría, que es "la medición de los triángulos". Este significado deriva

de los términos griegos trigōno que significa triángulo, y metron que

significa medida. En sus orígenes, esta rama de la matemática se utilizó

para resolver problemas de agrimensura y astronomía, pero con el

desarrollo de la ciencia se ha convertido en un instrumento indispensable en

la física, la ingeniería y la medicina. Sirve para estudiar fenómenos

vibratorios, como por ejemplo la luz, el sonido, la electricidad, etc.

En esta parte, consideraremos solamente los triángulos, sabiendo que un

triángulo consta de seis elementos: tres ángulos y tres lados, y está

perfectamente determinado si se conocen tres de ellos siempre que uno de

los datos sea un lado. Nos referimos entonces a resolver un triángulo cuando

queremos calcular tres de sus elementos cuando se conocen los otros tres, es

decir encontrar la longitud de los lados y la medida de sus ángulos.

Estudiaremos de manera particular, cómo resolver triángulos

rectángulos, de los cuales sabemos que tienen un ángulo recto y

los otros dos agudos, y que de los tres lados, los dos que forman

el ángulo recto se llaman catetos y el otro, opuesto a este

ángulo, se llama hipotenusa.

Veremos que es posible establecer ciertas razones entre los lados de los

triángulos rectángulos, conocidas como razones trigonométricas, y también

algunas aplicaciones que tienen.

TEOREMA DE PITÁGORAS (Recordar lo visto en Matemática 1)

El teorema de Pitágoras relaciona los catetos de un triángulo rectángulo con su

hipotenusa de la siguiente manera:

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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

De manera general se dice que las razones o relaciones trigonométricas, es la

comparación por cociente de dos magnitudes del mismo tipo que da por resultado

un número constante. Particularmente para triángulos rectángulos, vamos a

considerar que se definen como las razones que se pueden establecer entre las

longitudes de los lados de un rectángulo, con respecto a uno de sus ángulos

agudos . Dependiendo de la posición del ángulo, cada cateto se llama opuesto o

adyacente al ángulo. Dado el siguiente triángulo

rectángulo:

Respecto del , se le llama a el cateto opuesto y a

el cateto adyacente al ángulo. También puede

decirse, respecto del , que es el lado adyacente y

el lado opuesto a él.

Con estos acuerdos, se definen como sigue las seis

razones trigonométricas para .

ˆlongitud del cateto opuesto a αˆ ˆseno de

longitud de la hipotenusa

ˆlongitud del cateto adyacente a αˆ ˆcoseno de α cos

longitud de la hipotenusa

longitud del cateto opˆtangente de α

BCsen

AC

AB

AC

ˆuesto a α

ˆˆlongitud del cateto adyacente a α

BCtg

AB

2 2 2

2 2 2

óAC BC AB

b a c

19

ˆlongitud del cateto adyacente a αˆ ˆcotangente de α

ˆlongitud del cateto opuesto a α

longitud de la hipotenusaˆ ˆsecante de α sec

ˆlongitud del cateto adyacente a α

longiˆosecante de α

ABctg α

BC

ACα

AB

c

tud de la hipotenusa

ˆcosecˆlongitud del cateto opuesto a α

AC

BC

Estas razones trigonométricas son las mismas para cualquier triángulo rectángulo,

observando la figura, vemos que si en lugar de trazar un único triángulo rectángulo

sobre se trazaran más, las razones trigonométricas que se obtendrían son las

mismas, la justificación está más abajo.

Pero como son semejantes, se verifica que:

Por lo tanto es indiferente calcular el seno de sobre cualquiera de los triángulos.

Esto mismo es válido para las otras razones trigonométricas.

Una razón trigonométrica cambia de valor si cambia el ángulo sobre el cual se

calcula, es decir que las razones trigonométricas dependen del valor del ángulo.

SOBRE ALGUNAS APLICACIONES

Resolver triángulos rectángulos utilizando relaciones trigonométricas es

fundamental para muchos problemas de navegación, topografía, astronomía y la

medición de distancias. Las aplicaciones que se considerarán involucran siempre

triángulos rectángulos, pero es importante aclarar la trigonometría también es útil

en la resolución de triángulos no rectángulos.

ˆEn

ˆEn

ˆEn

BCA BC sen

AC

B CA B C sen

AC

B CA B C sen

AC

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Para analizar las aplicaciones a las que hacemos referencia, se necesita cierta

terminología referida a los ángulos. Si un observador está viendo un objeto,

entonces la recta del ojo del observador hacia el objeto se conoce como línea de

visión. Si el objeto que se está observando está por encima de la horizontal,

entonces el ángulo entre la línea de visión y la horizontal se conoce como ángulo de

elevación. Si el objeto está por debajo de la horizontal, entonces el ángulo entre la

línea de visión y la horizontal se conoce como ángulo de depresión. Para algunas

situaciones problemáticas particulares, en los que la línea de visión se refiere a un

objeto físico, como un plano inclinado o la ladera de una colina, se utiliza el término

ángulo de inclinación.

CUADRILÁTEROS

Se llama cuadrilátero al polígono formado por cuatro lados. Entre los

elementos de un cuadrilátero se encuentran sus lados y ángulos.

Entendiendo por estos últimos los que se hallan en la región interna del

polígono, ángulos internos. Cuando se tiene un cuadrilátero convexo, todos

sus ángulos miden menos de 180°, mientras que en un cuadrilátero cóncavo

hay un ángulo (y solo uno) que mide más de 180°.

Otro elemento de un cuadrilátero son las diagonales. Todo cuadrilátero

convexo posee dos, mientras que si es cóncavo, posee una sola diagonal.

Cuando se traza una diagonal, el cuadrilátero se descompone en dos

triángulos. De aquí deducimos que la suma de las medidas de los ángulos

internos de todo cuadrilátero es 360°.

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Clasificación de los cuadriláteros

Como ya vimos, los cuadriláteros se pueden clasificar como convexos o

cóncavos. Pero hay otro criterio que tiene que ver con los lados de un

cuadrilátero y, en particular, con la condición de paralelismo entre ellos.

Si un cuadrilátero posee Se denomina

Dos pares de lados paralelos Paralelogramo

Un solo par de lados paralelos Trapecio

Ningún par de lados paralelos Trapezoide

1. Paralelogramos

Un paralelogramo es un cuadrilátero que posee dos pares de lados paralelos.

En un paralelogramo, los lados opuestos son congruentes. Análogamente,

los ángulos opuestos son congruentes. Y como la suma de los ángulos

interiores es 360°, se tiene que dos ángulos contiguos son suplementarios.

De modo que conociendo la medida de un ángulo se conocen los demás.

Las diagonales de un paralelogramo no tienen por qué ser congruentes, pero

se cortan en sus puntos medios.

En general existen cuatro tipos de paralelogramos, caracterizados por sus

lados o ángulos al ser o no congruentes.

Un rectángulo es un paralelogramo cuyos ángulos son todos rectos.

Un rombo es un paralelogramo cuyos lados son todos congruentes entre sí.

Un cuadrado es un rectángulo cuyos lados son todos congruentes entre sí.

Un paralelogramo propiamente dicho es un paralelogramo que tiene lados y

ángulos iguales dos a dos.

A partir de las definiciones para cada paralelogramo, se tienen varios

criterios para clasificarlos: a) Según sus lados y ángulos

Si posee 4 lados congruentes se trata de un rombo.

Si posee 4 ángulos congruentes, es decir rectos, se trata de un

rectángulo.

Si posee ambas características (los 4 lados congruentes y los 4

ángulos rectos), se trata de un cuadrado.

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Si no posee ninguna de las cuatro características se trata de un

paralelogramo propiamente dicho.

b) Según sus diagonales

Si son perpendiculares, se trata de un rombo.

Si son congruentes, se trata de un rectángulo.

Si son perpendiculares y congruentes, se trata de un cuadrado.

Si no son ni perpendiculares ni congruentes, se trata de un

paralelogramo propiamente dicho.

2. Trapecios

Un trapecio es un cuadrilátero que posee un solo par de

lados paralelos, por esta razón son polígonos convexos.

Los elementos del trapecio son sus lados, ángulos y

diagonales. Cabe señalar que los dos lados paralelos

reciben el nombre de base menor y base mayor, de

acuerdo con su medida. Y la distancia que las separa se

denomina altura del trapecio.

La figura del trapecio es uno de los elementos arquitectónicos destacados en

nuestras culturas americanas autóctonas. El frente de las pirámides tiene forma

de trapecio, así como las ventanas y puertas de numerosos edificios, sobre todo a

lo largo de la cordillera, de los valles y del altiplano andino.

Pirámide Maya, Chichén Itzá, México.

23

Clasificación de los trapecios

Los trapecios se clasifican en dos tipos, de acuerdo a un criterio que usa las

relaciones de los ángulos que forman los lados no paralelos con la base mayor,

llamados ángulos de las bases.

Si ambos ángulos de la base son congruentes, el trapecio se denomina isósceles, y

se tiene que los lados no paralelos son también congruentes.

Si uno de los lados no paralelos forma un ángulo recto con la base mayor (y por

consiguiente, también con la base menor), se denomina trapecio rectángulo. En

los demás casos se habla de trapecio, sin más.

El área del trapecio se obtiene es: 2

B bh

, siendo B la medida de la base mayor,

b la medida de la base menor y h su altura.

Veamos porque: en el trapecio ABCD

hemos trazado la diagonal AD que divide la

región interna en dos triángulos:

yADC ABD

. El área del trapecio resulta

ser la suma de las áreas de los dos

triángulos, es decir:

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2 2 2

AB CD hAB h CD h

Esta altura h es la misma para ambos triángulos y coincide con la altura del

trapecio. Observemos que yAB CD son la base mayor y menor del trapecio, que

designamos por B y b .

De modo que queda probado que el área del trapecio es el producto de la

semisuma de las medidas de las bases por la medida de su altura.

3. Trapezoide

El trapezoide es un cuadrilátero tal

que ninguno de sus cuatro lados es

paralelo a otro. No tienen

propiedades especiales, excepto las

propias de todo cuadrilátero

convexo, tal como que la suma de sus

ángulos interiores es de 360°.

Pueden ser simétricos o asimétricos. El trapezoide simétrico tiene la forma

de un cometa con dos pares de lados iguales. Sus diagonales son

perpendiculares y bisectrices de los ángulos de los vértices.

En la tabla siguiente, están las formulas a través de las cuales se puede

obtener el área de cada tipo de cuadrilátero, teniendo las medidas de lados,

altura y diagonales.

Figura Perímetro u Área 2u

Paralelogramo

1 22 l l

1l h

Rectángulo

1 22 l l

1l h

Rombo

4 l

2

D d

Romboide

25

1 22 l l

2

D d

Cuadrado

4 l

2l

Trapecio

1 2B b l l

2

B b h

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PROPIEDADES

DE LOS LADOS

Romboide Trapecio Trapecio rectángulo

Trapecio isósceles

Paralelo-

gramo Rectángulo Rombo Cuadrado

Un par de lados paralelos

Dos pares de lados paralelos

Dos pares de lados opuestos

congruentes

Dos pares de lados consecutivos

congruentes

Cuatro lados congruentes

PROPIEDADES DE LOS

ÁNGULOS

Un par de ángulos opuestos

congruentes

Dos pares de ángulos opuestos

congruentes

Un par de ángulos adyacentes

congruentes

Dos pares de ángulos adyacentes

congruentes

Cuatro ángulos congruentes

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PROPIEDADES DE

LAS DIAGONALES

Trapezoide

Romboide

Trapecio

Trapecio

Rectángulo

Trapecio

Isósceles

Paralelo-

gramo

Rectángulo

Rombo

Cuadrado

Las diagonales se cortan en un punto interior

Una diagonal corta a la otra en su punto medio

Cada diagonal corta a la

otra en su punto medio

Una diagonal es

bisectriz de un par de

ángulos opuestos

Cada diagonal es

bisectriz de un par de

ángulos opuestos

Las diagonales son

perpendiculares

Las diagonales son

congruentes

Una diagonal divide al

cuadrilátero en dos

triángulos congruentes

Cada diagonal divide al

cuadrilátero en dos

triángulos congruentes

Las diagonales dividen

al cuadrilátero en 4

triángulos congruentes

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POLÍGONOS REGULARES

Un polígono se denomina regular cuando todos sus lados son congruentes, así como

sus ángulos internos. Ambas condiciones son necesarias, por esta razón los

polígonos reculares son convexos.

El triángulo equilátero y el cuadrado son ejemplos de polígonos regulares de 3 y 4

lados, respectivamente. En los demás casos, se habla de pentágono regular,

hexágono regular, etc.

Todos los lados de un polígono regular son congruentes; de aquí que, si la medida

de un lado es l , el perímetro p de un polígono regular de n lados viene dado por:

p n l

Los ángulos internos, formados por dos lados consecutivos son también

congruentes. Como la suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es

2 180n , de aquí se tiene que cada ángulo interior mide la suma anterior

dividida entre n , es decir, 2 180n

n

Las diagonales de un polígono regular (a excepción del triángulo equilátero, que no

posee ninguna) son también congruentes. Recordemos que el número de diagonales

de un polígono regular de n lados viene dado por 3

2

n n .

Todo polígono regular posee un centro o punto central. Si el polígono regular tiene

un número par de lados, el centro viene dado por la intersección de cualquier par

de diagonales; y si el polígono tiene un número impar de lados, el centro viene dado

por la intersección de dos segmentos que partan de dos vértices y vayan hasta el

punto medio de los lados opuestos.

Establecido el centro de un polígono regular podemos hablar de su ángulo central,

que es el ángulo formado por dos segmentos que parten del centro y van hasta dos

vértices consecutivos. El valor de este ángulo central en un polígono regular de n

lados viene dado por 360

n

.

Finalmente, podemos hablar de la apotema de un

polígono regular, que es el segmento (que es

perpendicular) trazado desde el centro al punto medio de

cualquiera de los lados del polígono.

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Al trazar los segmentos que van desde el centro a cada uno de los vértices del

polígono obtenemos n triángulos isósceles congruentes. El área de cada uno de

estos viene dado por 2

l a, siendo l la medida de un lado y a la de su apotema. El

área total del polígono regular es:2

l an

, dicho de otra manera, el área total de un

polígono regular viene dada por el producto del semiperímetro por la apotema.

Semejanza y congruencia de polígonos regulares

Todos los polígonos regulares que poseen el mismo número de lados son

semejantes: tienen la misma forma. Por ejemplo, todos los cuadrados son

semejantes, así como todos los triángulos equiláteros, etc. Todos los polígonos

regulares poseen ángulos internos congruentes. Pero dos de tales polígonos serán

congruentes sólo si los lados de ambos miden lo mismo.

Ensamblados o mosaicos con polígonos regulares

Un aspecto curioso que tiene que ver con estos polígonos es la posibilidad de

“ensamblar” o “enladrillar” una superficie plana con baldosas poligonales, de modo

que al ir yuxtaponiendo no queda espacio libre entre ellas ni se superponen unas

con otras. En otras palabras cubrir la superficie con mosaicos.

Los triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos regulares son los únicos

polígonos regulares que nos permiten rellenar el plano. Esto se debe a que la

medida del ángulo interno del polígono regular debe ser divisor de 360°. En el caso

del triángulo equilátero, del cuadrado y del hexágono regular, estas medidas son,

respectivamente, 60°, 90° y 120°. Esto significa que en cada vértice concurren 6

triángulos equiláteros, 4 cuadrados y 3 hexágonos, respectivamente.

Además de los mosaicos regulares, también existen los mosaicos semirregulares,

que son aquellos que se obtienen utilizando simultáneamente dos o más tipos de

polígonos regulares para cubrir una superficie, ensamblándolos por sus vértices de

modo que rodeen cada vértice en el mismo orden.

El conjunto de mosaicos regulares y mosaicos semirregulares se conoce como

mosaicos homogéneos. En cada vértice de un mosaico homogéneo es preciso que la

suma de los ángulos de los polígonos en contacto sea igual 360º.

Existen sólo 11 tipos de mosaicos homogéneos y todos son el resultado de diversas

combinaciones de triángulos, cuadrados, hexágonos, octógonos y dodecágonos. Ocho

de ellos son semirregulares y los tres restantes son los mosaicos regulares

mencionados previamente.Para precisar la composición de cada uno de estos

mosaicos se suelen escribir los polígonos que intervienen en un vértice en el orden

en que se presentan. Esta información se abrevia mediante un simple símbolo. Por

ejemplo: 32•4•3•4 significa que en cada vértice hallamos, por orden, dos

triángulos, un cuadrado, un triángulo y un cuadrado.

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A continuación se pueden observar dichos mosaicos: