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GEOMETRÍA Y FÍSICA,¿CARA Y CRUZ DE UNA MISMA MONEDA?

PEDRO LUIS GARCÍA PÉREZ

Real Academia de Ciencias y Universidad de Salamanca

INTRODUCCIÓN

Desde los griegos a la actualidad, a lo largo de más deveinticinco siglos de historia, nunca se ha puesto en dudaque la ciencia es el resultado de la interrelación de treselementos básicos: la realidad o conjunto de los denomi-nados hechos objetivos; la observación de los mismos me-diante la experimentación; y la teoría, que construida apartir del más preciado de los dones del hombre, el pen-samiento, trata de proporcionar una visión racional de loshechos. Sin estos tres elementos no sólo es imposible laciencia, sino, más aún, el que se pueda hablar de algo ex-terno a nosotros con sentido. Son dichos elementos el im-plícito punto de partida de toda consideración sobre elmundo que nos rodea, siendo su explicitación en cadaparcela concreta del saber el destino último del conoci-miento científico.

Bajo esta concepción, la matemática, al considerarsecomo un típico producto del pensamiento, independien-te de toda experiencia, tal y como es entendida desde lavisión axiomática, debería ser diferente de las demás cien-cias, por cuanto sus conceptos, proposiciones y resulta-dos no se refieren a la realidad. Sin embargo, y esto es loque a lo sumo se admite desde esa visión, al estar nor-malmente inspirados sus principios básicos en alguna par-cela de la realidad, esta disciplina tendría que tener algúntipo de relación con las otras ciencias, cuya aclaración encada caso concreto se presenta como una cuestión funda-mental.

El caso más claro al respecto es la geometría, la más ra-cionalmente pura de las doctrinas matemáticas, despuésde la aritmética, pero también de las más enraizadas en larealidad desde sus mismos comienzos. Recuérdese quegeometría es la medida del terreno en su acepción origi-nal. De hecho, la geometría euclídea fue hasta comienzosdel siglo XX el marco espacial único en el que se desenvolvióla física, considerándose por tal motivo a esta doctrinacomo el capítulo cero de esta ciencia.

El descubrimiento a fines del siglo XIX de geometríasdistintas de la euclídea, unido a la revisión de los fun-damentos de la física iniciada por Einstein a principios

Albert Einstein (1879-1955).

del XX, tuvieron como principal consecuencia la crecien-te absorción de la física por la geometría. La rígida dis-tinción entre conceptos geométricos y físicos de la etapaanterior se fue difuminando cada vez más a costa del sa-crificio del marco euclidiano de la física. De este modo sellega, casi con el único recurso del pensamiento, a uno delos más grandes descubrimientos de la ciencia moderna,la relatividad general, con la que se hace realidad uno delos mayores deseos de todos los tiempos: la identidad en-tre física y geometría. Con ello culmina un largo periodode desarrollo de la geometría diferencial y de la física teóri-ca que, iniciado en el siglo XVII con la aplicación del cálculoinfinitesimal a la geometría, tuvo a la gravitación newto-niana y al electromagnetismo de Maxwell como sus másseñeras doctrinas.

Fuera de esa maravillosa síntesis, cuyo dominio naturalde aplicación es el mundo macroscópico, queda la físicacuántica, auténtica asignatura pendiente de los últimos

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Sir Isaac Newton (1643-1727).

James Clerk Maxwell (1831-1879).

cien años en lo que a su formulación teórica se refiere.Con la incorporación de nuevos y sorprendentes hechos,sólo accesibles a través de una experimentación cada vezmás agresiva y sofisticada, la fundamentación de esta nue-va rama de la física a cargo de una impresionante nómi-

na de cultivadores (Bóhr, Schródinger, Heisenberg, Di-rac, Von Neumann, Feynman, Gellman, etc.) no ha lle-gado, ni mucho menos, al nivel de comprensión alcanza-do en el dominio clásico tan espléndidamente coronadopor la teoría de la relatividad. No es de extrañar, pues,que tras la euforia de más de cuarenta años que produjola formulación analítico-funcional de la mecánica cuán-tica, se despertase un interés creciente por la geometriza-ción de las nuevas ideas con objeto de comprenderlas me-jor y de relacionarlas con la mentalidad anterior, tarea estaa la que se han dedicado muchos esfuerzos en los últimostreinta años.

Éste es, a grandes rasgos, el marco general en el que voya situar esta conferencia sobre «geometría y física» de la ter-cera edición del «Programa de Promoción de la CulturaCientífica» de la Real Academia de Ciencias, con la quedeseo, sobre todo, poner de manifiesto en el ámbito con-creto de estas dos ciencias, algunos aspectos de ese grantema de siempre, que es: el de la naturaleza de las mate-máticas en relación con el resto de las ciencias.

Con este objetivo en mente, empezaré con unos brevescomentarios sobre la geometría euclídea, desde su con-cepción original a su formulación analítica, destacandocomo principal aportación de la primera el llamado mé-todo axiomático, y de la segunda el concepto de sistema dereferencia, con lo que se consigue por primera vez una ca-racterización teórica de la idea de observación en geome-tría. En este escenario es, precisamente, donde se desa-rrolla la física clásica, tema al que dedicaré algunas palabras.Así llegamos a la tercera parte de la exposición, donde sedescribe la concepción moderna de la geometría, estable-cida por Félix Klein en 1872 en su famoso Programa deErlangen, a la vez que mostramos la cara física del nuevopunto de vista representada por la teoría de la relatividadespecial propuesta por Einstein en 1905. La extensión deestas ideas a la física de campos a propósito de la «relati-vidad general», y su encaje natural en la geometría dife-rencial serán tratados a continuación. Por último, me re-feriré a las sorprendentes relaciones descubiertas en losúltimos treinta años entre la geometría y la física cuánti-ca, que están siendo tan beneficiosas para la matemáticapura como esperanzadoras para una mejor comprensióndel mundo microscópico.

D E LA GEOMETRÍA EUCLÍDEA A LA GEOMETRÍA

ANALÍTICA: ¿QUÉ ES OBSERVAR?

No hay geometría teórica antes de los griegos. Las ma-temáticas egipcia, mesopotámica y babilónica no pasaronde ser un simple compendio de observaciones empíricasde una serie de hechos geométricos, aritméticos y hasta al-gebraicos, con una finalidad esencialmente práctica. Paralos hombres de esas culturas no existió nunca la necesidadde una explicación teórica de los hechos, sentimiento esteque aparece por primera vez en Grecia y que constituye elprincipal motor de su grandiosa cultura.

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Félix Christian Klein (1849-1925).

Con los griegos, la geometría se convirtió en una deli-cada construcción mental que, plasmada en los famososElementos de Euclides, fue la principal referencia mate-mática hasta la invención del cálculo infinitesimal, con-tinuando con una destacada presencia en los siglos pos-teriores. Así, por ejemplo, en el prólogo de la primeratraducción inglesa de esta obra en 1570, Billingsley es-cribe: «Sin el estudio diligente de los Elementos de Eucli-des, es imposible adquirir un conocimiento perfecto de lageometría, y consecuentemente de las otras ciencias ma-temáticas». Y Bonnycastle, en el prefacio de su edición delos Elementos, dice, ya finalizando el siglo XVIII: «De to-dos los trabajos de la antigüedad que han sido transmitidoshasta el presente, ninguno es tan universal y estimado comolos Elementos de geometría de Euclides».

La principal aportación de la visión griega de la geometríaRíe, sin duda alguna, la «axiomática». Según este método, quemás tarde se extendió a otras ciencias, los hechos geométri-cos se presentan bajo la forma de ciertos enunciados (los teo-remas), deducibles a partir de unas relaciones primitivas (losaxiomas) que ligan entre sí a unos objetos primitivos (punto,recta, plano...). La palabra primitivo significa que tanto a losobjetos como a los axiomas no hay que darles ningún signi-ficado intuitivo o experimental previo. Se trata de una seriede enunciados iniciales que constituyen una especie de de-finición implícita de los objetos primitivos a la vez que lasreglas de juego para generar toda la doctrina por aplicacióndel razonamiento lógico. El único requisito que deben cum-plir los axiomas es el de ser independientes y no contradic-torios entre sí; lo primero, para evitar redundancias, y lo se-gundo, para que la teoría sea consistente.

No cabe, ciertamente, mayor esfuerzo de abstracciónpara construir la geometría desde semejante punto de vis-

ta, habida cuenta del directo enraizamiento de los axiomasen la realidad más inmediata. Ello explica que aunque losgriegos lograran plasmar lo esencial de la doctrina, éstano se vio totalmente exenta de algunos procesos encu-biertos cuya clarificación definitiva no se alcanza hastaprincipios del siglo XX con la axiomatización llevada acabo por Hilbert en sus famosos «fundamentos de lageometría».

Y si es fácilmente entendible tal esfuerzo mental paramantener separado del razonamiento lógico la constanteintuición visual de los hechos que tratan de explicarse, nolo es menos la dificultad que comporta el aspecto métricode la doctrina, por apuntar directamente a uno de los con-ceptos más problemáticos de la historia de las matemáti-cas: los números.

Los únicos números admitidos por los griegos eran losnúmeros naturales (1, 2, 3, 4,...), identificándose lo quehoy día conocemos como números reales (positivos) conciertas cantidades geométricas, tales como, segmentos delínea, ángulos, áreas, volúmenes, etc., que recibieron elnombre genérico de magnitudes. Mediante los denomi-nados axiomas de congruencia, las magnitudes de una mis-ma clase podían compararse por su tamaño (menor, igualo mayor), así como sumarse y restarse (la más pequeña dela más grande). Mientras que el proceso de formaciónde algunas magnitudes a partir de otras, tales como la ob-tención de un área a partir de dos segmentos de línea o deun volumen a partir de un segmento de línea y un área,podían interpretarse como una especie de multiplicaciónde magnitudes cuyo resultado era una magnitud de dife-rente clase.

Resulta fascinante ver cómo a partir de este plantea-miento puede construirse una impecable teoría de la me-dida (de áreas y volúmenes), y también establecerse elconcepto de proporción, base de la teoría de la seme-janza.

La admiración y el respeto por el punto de vista antiguopersistió incluso en el tiempo de Descartes, considerándose

David Hilbert (1862-1943).

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Euclides de Alejandría (325 a. C. - 26b

la aplicación del álgebra a la geometría euclídea establecidapor el genial filósofo como la principal aportación de ésteal desarrollo de la geometría. En particular, con la elecciónde un segmento de línea como unidad, Descartes logró de-finir para los segmentos de línea las operaciones usualesde la aritmética, paso decisivo hacia una nueva visión delconcepto de número. En efecto, con Descartes y los desu generación (Pascal, Fermat, Desargues, etc.) se cae enla cuenta, por primera vez, del carácter abstracto de losnúmeros, desligados de su ropaje geométrico en tanto quemagnitudes euclidianas. Y aunque la formulación riguro-sa del nuevo concepto tuvo que esperar dos siglos más,hasta que en 1872 Dedekind definió los números realesmediante la noción de cortadura en el campo de los nú-meros racionales, puede decirse que el espíritu de los nue-vos números estaba ya totalmente captado en el siglo XVII.Con ello se entra plenamente en la modernidad, de la manode los nuevos números, del concepto de función y delinvento del cálculo infinitesimal.

Y es en este ambiente donde nace la «geometría analí-tica», que fue concebida y desarrollada, esencialmente, taly como nos ha sido transmitida.

Dados tres ejes perpendiculares entre sí y elegido unsegmento de línea como unidad, se puede establecer unacorrespondencia biunívoca entre los puntos y las ternas denúmeros reales, los planos y las ecuaciones lineales en tres in-cógnitas, las rectas y los pares de ecuaciones lineales, etc. Sur-ge así como concepto fundamental, previo a todo lo de-más, el concepto de espacio (o conjunto de los puntoscaracterizados por sus tres coordenadas numéricas). La vi-

sión griega del Cosmos como una colección de figurasgeométricas sumergidas en la nada, cede su lugar a una ideadel Universo como espacio infinito, en el cual lo accesiblea nuestros sentidos pasa a ser ahora un conjunto de obje-tos analíticos inmersos en el espacio. Por otra parte, conla introducción de la función medida que permite asignara cada objeto (medible) un número real (su medida) seproduce un cambio radical en el planteamiento griego delas cuestiones métricas. Con palabras de S. S. Chern:

Fue Descartes quien en el siglo XVII revolucionó la geo-metría usando coordenadas. Como dijo Hermann Weyl, «laintroducción de los números como coordenadas fue un actode violencia». Desde entonces, figura y número, como án-gel y diablo, se disputan el alma de todo geómetra.

Y si revolucionaria fue la nueva caracterización teóricade la geometría, no lo es menos la nueva concepción delhecho de observar traído por ella. Si para un griego la ob-servación de la realidad no es más que las acciones lleva-das a cabo por un sujeto pensante que, desde fuera de la geo-metría, trata de entender ésta teóricamente, con el nuevoplanteamiento observador y sistema de referencia son unamisma cosa. De este modo, la idea de observación se in-corpora conceptualmente a la geometría misma, apare-ciendo el número y todo lo que de él se deriva como ele-mentos esenciales de ella. Lo que de la geometría se observadesde un sistema de referencia es ahora un mundo analí-tico que tiene poco que ver con la visión griega de estaciencia. La idea de medición y cálculo constituye la prin-

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cipal preocupación de la nueva investigación geométrica,hecho que coincide, precisamente, con el que inspira a lafísica que nace en esa época y que, como no podía ser deotra manera, se concibe y desarrolla en ese oportuno marcogeométrico.

LA FÍSICA EN SU CONCEPCIÓN TRADICIONAL

En un famoso discurso pronunciado por Helmholtz en1869, se decía refiriéndose a esta ciencia:

El fin de la física es hallar los movimientos que sirven debase a todos los cambios y descubrir las fuerzas propulsorasde esos movimientos; en suma, convertirse en mecánica.

Nada más expresivo que esta frase para resumir lo queha sido la física clásica desde su aparición en el siglo XVIIhasta su ocaso en el XIX.

Situada en el espacio de la geometría euclídea, de la queusa a su conveniencia todos sus conceptos y resultados ycon un manejo de la noción de tiempo deliberadamente in-genuo (lo que se mide con un reloj), la física clásica seocupa, esencialmente, de las leyes que rigen la variaciónrespecto del tiempo de las funciones representativas de laspartículasy de los campos. Estas leyes, que se expresan porecuaciones diferenciales ordinarias en la variable tiempopara las partículas, y por ecuaciones en derivadas parcia-les en las variables de espacio y de tiempo para los cam-pos, alcanzaron su cénit en las dos grandes teorías de eseperiodo: la gravitación newtoniana y el electromagnetis-

mo de Maxwell. La primera, en la que se describe el mo-vimiento de los astros por efecto de las fuerzas derivadasdel campo gravitatorio producido por ellos; y la segunda,en la que se trata, análogamente, el movimiento de laspartículas eléctricas en el campo electromagnético queellas generan.

En torno a estas dos teorías se fueron desarrollando otrasnuevas doctrinas (elasticidad, hidrodinámica, termologíay transmisión del calor, electrodinámica de los medioscontinuos, etc.) que, por una parte, las complementarony, por otra, extendieron su método a otros fenómenos fí-sicos con un éxito notable tanto desde el punto de vistateórico como aplicado. Es este el gran momento de lafísica matemática del XVIII y principios del XIX (Euler,D'AIambert, Lagrange, Laplace, Fourier, etc.), que ya nose contenta con una explicación racional de los hechossino que trata, además, de incidir matemáticamente sobreellos para controlarlos y sacarles un beneficio práctico.Nace así lo que hoy día entendemos por matemáticaaplicada.

Como se ve, bajo esta concepción, el marco geométri-co y la física que en él se desenvuelve están perfectamen-te diferenciados. El tiempo es un parámetro externo al es-pacio euclídeo tridimensional en el que las dos nocionesfísicas fundamentales (las partículas y los campos) evolu-cionan al transcurrir aquél. Puede decirse que toda teoríafísica está basada, según este planteamiento, en una espe-cie de combinación (G) + (F), de una parte geométrica(G), y de una parte física (F), donde la primera está rígi-damente fijada por la geometría euclídea, mientras que lasegunda varía de una doctrina a otra, considerándose todolo referente a ella como la física propiamente dicha de ladoctrina en cuestión.

Rene Descartes (1 596-1650). Cari Gustav Jacob Jacobi (1804-1851).

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Y es en relación con esta parte física donde desempeñaun papel decisivo la así llamada mecánica analítica. Esta-blecida por Lagtange en 1788, siguiendo las pautas delcálculo de variaciones introducido por Euler unos añosantes, su principal hallazgo no es tanto la caracterizaciónde los movimientos de un sistema físico como solucionesde un problema de extremos para una cierta funcional,como el haber descubierto un procedimiento canónicopara definir las nociones mecánicas fundamentales (ecua-ciones de movimiento o de campo, estados, magnitudesdinámicas, etc.) a partir del concepto de acción. Este pro-cedimiento que, entre otras cosas, zanjó una vieja polémicaen torno a lo que debía entenderse por dar una explica-ción mecanicista de un fenómeno físico, se convirtió mástarde, con Hamilton y Jacobi, en el fundamento de lo queen la actualidad se conoce como una estructura mecánica,concepto este que constituye uno de los pilares básicos dela física teórica contemporánea.

Éstos son, a nuestro juicio, los aspectos más destacablesde la física clásica en relación con el tema que nos ocupa.La consideración de esta ciencia a fines del siglo XIX como

Joseph-Louis Lagrange (1736-1813).

un edificio casi perfecto y acabado dio lugar a innumera-bles afirmaciones, un tanto exageradas y entusiastas, como,por ejemplo, la que se atribuye al famoso físico y mate-mático inglés William Thomson, más conocido comolord Kelvin, quien en 1898 llegó a decir:

Hoy la física forma, esencialmente, un conjunto perfec-tamente armonioso, ¡un conjunto prácticamente acabado!

Por fortuna, estamos en esos momentos a las puertasdel siglo XX, a punto de aparecer las teorías de la relativi-

dad y de los quanta, con las que se produjo, como es sa-bido, una nueva revolución de esta ciencia en la quetodavía, recién iniciado el siglo XXI, nos encontramosplenamente inmersos.

EL GRAN SALTO O LA RELATIVIDAD ESPECIAL COMO

GEOMETRÍA EN SENTIDO DE KLEIN

Tras la invención de la geometría analítica, la geometríaantigua basada en la axiomática siguió desarrollándose ha-biendo incorporado los aspectos más característicos de la

William Thomson, lord Kelvin (1824-1907).

nueva mentalidad, tales como: el espacio como conjuntode los puntos, el concepto de función numérica para lascuestiones métricas, la idea de transformación, etc. Am-bas geometrías se convirtieron desde entonces en sendosmétodos para tratar la única realidad geométrica existen-te -la geometría euclídea-, pasando a denominarse: geo-metría analítica y geometría sintética, respectivamente.Una doctrina clave en ese desarrollo fue la que se llamó des-de principios del siglo XIX: geometría proyectiva, cuya lar-ga y brillante historia a lo largo de ese siglo culminó en lanueva concepción de la geometría, establecida por FélixKlein en 1872 en su famoso «Programa de Erlangen».

El marco histórico en el que se sitúa el nuevo plantea-miento fue el siguiente:

En los ptimeros años del siglo XIX, la geometría pro-yectiva se puso de actualidad con la publicación de la Geo-metría descriptiva de G. Monge, director de la EscuelaPolitécnica de París. Uno de sus discípulos, Poncelet, es-pecialmente atraído por la parte sintética de la geometríadesarrollada por Monge, se convirtió en el fundador de lageometría proyectiva con su libro Tratado de las propie-

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tades proyectivas de las figuras, que basó en el concepto detransformación proyectiva. Lo que Poncelet observa esque estas transformaciones no conservan las propiedadesusuales de la geometría euclídea, y distingue dichas pro-piedades, denominadas métricas, de aquellas que perma-necen invariantes por las transformaciones proyectivas,que él llamó propiedades descriptivas. Sin embargo, no sealcanzará una exposición clara y natural de esta cuestiónhasta la publicación de la obra de Cayley, quien conside-ra al espacio euclídeo como un parte de un espacio másamplio (el espacio proyectivo), consistente en añadir alprimero un plano más (el plano del infinito), al cual dotade una cónica no degenerada imaginaria (el absoluto).A partir de aquí, las propiedades de la geometría euclídealas caracteriza como aquellas que permanecen invarian-tes por las transformaciones proyectivas que dejan fijo elabsoluto (las semejanzas). Fue tal el entusiasmo que pro-dujo en Cayley este descubrimiento, que le hizo exclamaral final de su memoria: «la geometría euclídea es una par-te de la geometría proyectiva (...) la geometría proyectivaes toda la geometría».

Por otro lado, hacia 1860, hicieron su aparición las ideasde grupo y de invarianza, limitadas al principio al do-minio en el que fueron introducidas por sus creadores,Cauchy y Galois, esto es: a los grupos de permutacionesde un conjunto finito de objetos. Pero pronto se ve quelos distintos tipos de transformaciones de la geometríaproyectiva tienen estructura de grupo respecto de la com-posición de transformaciones, apareciendo, en particular,los teoremas de la geometría euclídea como la expresión

de relaciones idénticas entre invariantes o covariantes delgrupo de las semejanzas.

Estas ideas adquieren una forma clara y definitiva conFélix Klein, quien descubre en la estructura de grupo detransformaciones la verdadera esencia de toda doctrinageométrica, enunciando por fin su famosa definiciónde geometría como:

El conjunto de los invariantes respecto de un grupo detransformaciones.

Gaspard Monge (1746-1818).

Arthur Cayley (1821-1895).

Con este nuevo y revolucionario punto de vista se con-sigue una clasificación estructural de los diferentes teore-mas de la geometría a partir de los grupos correspon-dientes, constituyéndose cada clase de teoremas en unageometría diferente: la geometría proyectiva, basada en elgrupo de las proyectividades; la geometría euclídea, enel de las semejanzas; e incluso, las geometrías de Lobat-chewski-Bolyai y de Gauss-Riemann, recién descubiertaspor motivaciones de tipo axiomático, quedaron engloba-das en el nuevo punto de vista al considerarse los gruposde transformaciones proyectivas que dejan invariantes a uncierto tipo de cuádricas en el espacio de los planos del es-pacio proyectivo. De este modo, la noción de geometríallega a tan alto grado de generalidad que, unida a la teo-ría de invariantes desarrollada en su seno, permitió en eldominio de la geometría clásica construir todos los inva-riantes y todas sus relaciones de un modo sistemático. Des-de ese momento, la geometría clásica se convierte en unedificio prácticamente acabado, dejando de ser ya una in-vestigación de vanguardia.

Pero volviendo a la idea originaria de Klein, veamoscómo ésta se refleja en la interpretación analítica de la geo-metría.

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Dado un sistema de referencia de la geometría definidapor un grupo de transformaciones, se observa que todos losdemás se obtienen aplicando a éste todas las transforma-ciones del grupo, lo cual permite establecer, para cada pa-reja de sistemas de referencia, una correspondencia o cam-bio de coordenadas entre las representaciones analíticasdefinidas por ambos sistemas, satisfaciendo tres condicio-nes naturales (de identidad, invertibilidad y transitividad),que no son otra cosa que la traducción a los sistemas de re-ferencia de los axiomas de grupo. Dar una geometría deKlein resulta equivalente ahora a fijar una familia de siste-mas de referencia en el sentido anterior, donde las nocionesgeométricas se traducen en expresiones analíticas que soncomunicables entre los diferentes miembros de la familiamediante los cambios de coordenadas correspondientes.En otras palabras: «noción geométrica es toda expresiónanalítica que es vista de la misma forma por todos los obser-vadores». La idea de comunicación entre los diferentes miem-bros de una familia de observadores se convierte así en elrasgo característico de la nueva geometría analítica.

Y es precisamente así como la concepción kleiniana dela geometría entra en la física de la mano de Einstein,donde noción geométrica es sinónimo de concepto físicoy donde la definición de geometría se corresponde con elfamoso principio de relatividad.

Desde este punto de vista, la mecánica de Newton noes otra cosa que la geometría asociada a los sistemas gali-leanos, que son aquellos que identifican al espacio-tiempocon las cuaternas (x, y , z, i) de números reales, de talmodo que las ecuaciones de Newton se expresan en suforma analítica usual. El grupo correspondiente es el de Ga-lileo, siendo el espacio y el tiempo conceptos físicos al tra-

tarse de sendos invariantes numéricos asociados a lasparejas de puntos. Por el contrario, la velocidad de la luzvaría al pasar de un sistema galileano a otro o, dicho de otromodo, las ecuaciones de Maxwell, base del electromag-netismo, no son invariantes respecto del grupo de Galileo.Estas ecuaciones, sí que son invariantes, en cambio, res-pecto de otro grupo descubierto por el físico holandésH. A. Lorentz unos años antes, mediante el cual aparece otrafamilia de observadores para el espacio-tiempo: los siste-mas lorentzianos. La historia es a partir de aquí bastante bienconocida y no vamos a insistir en ella: decisión de Eins-tein de sustituir el grupo de Galileo por el de Lorentz parafundar la mecánica, donde ahora la constancia de la ve-locidad de la luz sí que es un concepto físico, dejando deserlo en cambio los de espacio y tiempo; propuesta de nue-vas ecuaciones para fundar la dinámica con el resultado deun sustancial cambio en el concepto de energía, etc.

Así, la relatividad especial no sólo queda comprendiday desmitificada, sino que al lado de la mecánica de New-ton y de las otras geometrías clásicas constituye un ejem-plo más de geometría en el nuevo sentido. Hecho queconstituye un salto gigantesco respecto de la concepcióntradicional de la física, por cuanto que son los propiosfenómenos objeto de estudio los que configuran la geo-metría en cuyo seno adquirirán sentido. Realidad observa-ción y teoría, los tres elementos básicos del conocimientocientífico, adquieren en este caso un significado claro ypreciso dentro de la propia geometría que ellos generan.La combinación (G) + (F) de geometría euclídea y de con-ceptos físicos propiamente dichos de la etapa anterior pasaa convertirse ahora en una pura geometría (G), que ya noserá euclídea en general, sino lo que le corresponda según

Augustin-Louis Cauchy (1789-1857). Evanste Galois (1811-1832).

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Galileo Galilei (1564-1642).

su grupo de transformaciones o, equivalentemente, la fa-milia de observadores desde los cuales se mira.

GEOMETRÍA DIFERENCIAL Y FÍSICA DE CAMPOS

Ahondando un poco más en la idea anterior, lo que seobserva en los ejemplos más simples de geometría (porejemplo, la geometría euclídea, la mecánica newtoniana ola relatividad especial) es que los cambios de coordenadas en-tre los sistemas de referencia que definen a esas geometríasvienen dados por ciertas funciones lineales de IR" en IR"para un cierto n (n = 3 para la geometría euclídea y n — 4para la mecánica newtoniana y la relatividad especial).Ello sugiere ampliar estas familias, añadiéndoles otros sis-temas de referencia cuyos cambios de coordenadas con lafamilia inicial sean funciones con un mayor grado de ar-bitrariedad. Se obtendría así una nueva geometría, que alposeer una familia de observadores más amplia o, equi-valentemente, un grupo de transformaciones más gran-de, tendría menos invariantes o conceptos geométricosque la de partida, convirtiéndose por tal motivo en unageometría más general.

Y si es este el proceso en una dirección; es decir, algo asícomo un paso de una geometría lineal a una geometría nolineal, ¿no podría definirse algún tipo de proceso al re-vés?, o dicho de otro modo: ¿sería posible caracterizar dealguna forma este tipo de geometrías no lineales, y resca-tar después las geometrías lineales a partir de ellas? Porotra parte, ¿no representarían estas nuevas geometrías elverdadero estatus de la doctrina y, acaso también, el mar-

co más adecuado para desarrollar la física? Si el descubri-miento de Klein fue esencialmente metodológico al ponerde manifiesto que toda realidad geométrica (o física) sólopuede explicarse en el seno de una geometría modelada pordicha realidad, parece razonable tratar de recorrer el caminoal revés, sentando las bases conceptuales mínimas sobre lasque debería definirse la problemática general de estas dosciencias.

Nos situamos así en un tercer nivel en la concepción dela geometría que, descubierto e iniciado su estudio siste-mático por el genio conceptual de Riemann, pasó a con-vertirse en el siglo recién acabado en uno de los más gran-des logros de la matemática contemporánea: la geometríade variedades. Y es de nuevo de la mano de Einstein comolas nuevas ideas penetran en la física, conduciendo estavez a otro de los grandes descubrimientos del siglo XX: larelatividad general.

El marco en el que se plantea la nueva concepción noes otro que una generalización natural de la geometríaanalítica, donde los sistemas de referencia no están defi-nidos ya sobre la totalidad del espacio, y donde se permi-te a los cambios de coordenadas que vengan dados porfunciones reales de cierto tipo general. Con más preci-sión: se considera sobre un conjunto dado M(el espacio)una familia 'F= {{S¡, U)} (los sistemas de referencia loca-les), donde cada uno de ellos es una correspondencia biu-nívoca, 5,, de un subconjunto ¿7, de Ai (el dominio del sis-tema de referencia) sobre un conjunto abierto de W(n: ladimensión del espacio), de tal manera que: la colección dedominios {U} cubre M; para cada pareja (5,-, U) y (Sj, Lf¡)de miembros de 'F, la aplicación 5, o S'1 (el cambio de co-ordenadas) viene definida por n funciones reales de unacierta clase (por ejemplo: continuas, diferenciables, ana-líticas, etc.) y donde, por último, la familia '^se suponemaximalen el sentido de no estar contenida en ningunaotra familia verificando las condiciones anteriores. Se lle-ga así, bajo el más puro estilo cartesiano, al concepto ge-neral de iwrzVrfW(topológica, diferenciable, analítica, etc.,según la naturaleza de las funciones que definen los cam-bios de coordenadas) con un número arbitrario, n, dedimensiones.

El nuevo concepto permitió englobar a todos los tipos deespacios geométricos conocidos hasta entonces (las curvas ysuperficies del espacio euclídeo ordinario, el espacio pro-yectivo, el conjunto de las configuraciones de un sistemamecánico, etc.), y también proporcionó la caracterizacióngeométrica del espacio-tiempo como una variedad diferen-ciable de dimensión 4, en la cual se desarrollará la física:

Las leyes generales de la Naturaleza tienen que expresar-se por ecuaciones que sean válidas en todos los sistemas decoordenadas, esto es, que sean covariantes respecto a cual-quier sustitución, generalmente covariante (Einstein, 1915).

Con este planteamiento, la idea originaria de Riemannconsistió, esencialmente, en fundar la geometría sobre unavariedad dada en un álgebra de funciones y no en un gru-

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po de transformaciones. Centrándonos en el caso diferen-ciable, que es el que más interesa en física, el dato básicopara construir una geometría sobre una variedad diferen-ciable Mes, según Riemann, el álgebra A de las funcionesreales sobre Men las que se transforman las funciones di-ferenciables sobre IR" por cualquier sistema de referenciade la familia que define a la variedad. Todos los demásconceptos deben construirse a partir del álgebra de funcio-nes, exclusivamente. En particular, el grupo de la nueva geo-metría que, en el caso que nos ocupa, viene caracterizadocomo el seudogrupo, G, de las transformaciones locales in-vertibles de Mque dejan invariante al álgebra: el denomi-nado grupo de los difeomorfismos locales de la variedad.

Esta idea no debe de extrañarnos dado el interés de Rie-mann por la teoría de funciones, en la que la noción devariedad constituye el sustrato espacial necesario para en-tender la multiformidad &c las funciones analíticas segúnsu original punto de vista. A este respecto, es oportuno in-dicar aquí que fue Klein el primero en desarrollar una

Georg Friednch Bernhard Riemann (1826-1866).

idea más libre de las superficies de Riemann, al conside-rar este concepto no tanto como un recurso técnico conorigen en las funciones objeto de estudio, como al revés:el ámbito espacial indispensable en el que las funciones de-ben asentarse. Así lo expresa H. Weyl en la introducciónde su famoso libro El concepto de superficie de Riemannque, publicado en 1913, constituye un puente clave en-tre la teoría de funciones del siglo XIX y la moderna defi-nición de variedad diferenciable.

Y ya en posesión del nuevo marco geométrico (varie-dad diferenciable y grupo de sus difeomorfismos locales)en el que se desea construir la geometría o, en el caso delespacio-tiempo, desarrollar la física: ¿cuáles son, ahora,los objetivos concretos de estas dos ciencias? La nueva geo-

metría, denominada geometría diferencial, se ocupa delestudio de los llamados objetos geométricos sobre una va-riedad diferenciable, mientras que la nueva física puede de-cirse, siguiendo a Einstein, que tiene como principal ob-jetivo el estudio de los campos sobre el espacio-tiempo. Lacoincidencia de partida no puede ser mayor si se tieneen cuenta la identificación que a su vez hizo Einstein de loscampos físicos con los tensores que, como se sabe, sonlos objetos geométricos más simples de los que están do-tadas las variedades diferenciables.

Si en su versión analítica originaria (fines del siglo XIXy principios del XX: Riemann, Christofel, Ricci-Curbas-tro, Levi-Civita, etc.), los tensores son conjuntos de fun-ciones localmente definidas sobre la variedad que se trans-forman de un determinado modo por los cambios decoordenadas; con su caracterización intrínseca a partirdel álgebra de funciones se inaugura, a principios de losaños cincuenta, el lenguaje moderno de esta disciplina. Esla conocida formulación sin coordenadas de la geometríadiferencial, con la que se logra plasmar por fin la prescrip-ción de Riemann de definir todos los conceptos sobre unavariedad a partir de su álgebra de funciones.

El punto de partida del nuevo lenguaje es la caracte-rización del espacio tangente Tx{Ad) en un punto xde unavariedad diferenciable M, como el espacio vectorial realde las derivaciones del álgebra de funciones diferencia-bles, A, en los números reales, y la subsiguiente dobleversión del concepto de campo de vectores como unaasignación (diferenciable) a cada punto xde la variedadde un vector tangente, Dx, en dicho punto, o, equiva-lentemente, como una derivación, D, del álgebra A en símisma. De este modo, el conjunto de los campos de vec-tores se identifica con el yí-módulo x(M) de los opera-dores diferenciales lineales de primer orden homogéneosactuando sobre el álgebra de funciones (localmente,

con las expresiones de la forma D — V f'(x) ope-

rando sobre las funciones). A partir de aquí, los tensorespueden identificarse con las aplicaciones y4-multilinealessobre el y4-módulo XÍ-^0- Así, por ejemplo, una métri-ca de Riemann es una aplicación g: %(Af) x x(M) ~> A,bilineal, simétrica y definido-positiva (localmente,

g = 2_! S¡j (x) dx¡ ® dXj , donde ® es el producto tensorial,

para todo campo de vectores D — /, f ( alo).

De un modo similar, pueden introducirse las formas di-ferenciales con su producto natural (el producto exterior A)y los diferentes «operadores diferenciales» (derivadas deLie, diferencial exterior, derivadas covariantes, etc.), conlos que se completa todo el entramado tensorial sobre unavariedad diferenciable.

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El objetivo principal de la geometría diferencial es aho-ra fácil de enunciar:

Sobre los tensores y, en general, sobre los objetos geométri-cos de una variedad diferenciable, actúa de un modo naturalsu grupo de difeomorfismos locales, produciendo un pro-blema de clasificación: dos objetos geométricos son localmenteequivalentes si existe un difeomorfismo local que transforma unoen otro. La geometría diferencial puede decirse que tienecomo su más genuino objetivo resolver este problema de cla-sificación para los diferentes objetos geométricos. Y es aquídonde la maquinaria tensorial interviene en toda su extensiónproporcionando los invariantes adecuados y la técnica precisapara abordar este problema. Más concretamente, el concep-to básico de la doctrina es el de operador tensorial natural ocon terminología más clásica, «invariante tensorial» sobre lafamilia de objetos geométricos considerada, el cual vienedefinido como una correspondencia, T, que asigna a cadaobjeto, g de la familia un tensor, T{g), de tal manera que paratodo difeomorfismo local, X, se verifica iT{g) = T(ig).

Con este problema general como objetivo es como na-ció la geometría diferencial como doctrina independiente,empezando con el estudio particular de un primer objetogeométrico notable: las métricas de Riemann.

Introducido este concepto en 1854 por Riemann en sufamosa memoria Sobre las hipótesis que están en la base dela geometría, representa la culminación de un cuarto de si-glo de fértil desarrollo de la geometría diferencial de cur-vas y superficies del espacio euclídeo ordinario que tuvoa Gauss como su máxima figura. Si las Disquisiciones ge-nerales acerca de las superficies curvas, publicadas por Gaussen 1827, significaron el despegue de la geometría dife-rencial del cálculo, con la introducción de los espacios deRiemann puede decirse que la geometría diferencial entraen mayoría de edad. Y es, sobre todo, el modo como se llevóel estudio de los nuevos espacios lo que permitió concretarel principal objetivo de esta nueva doctrina.

Dos conceptos fundamentales que Riemann introduceen su célebre memoria son: las curvas geodésicas y el ten-sor de curvatura. Mientras que las primeras van a ser las lí-neas rectas de la nueva geometría, el segundo constituye elinvariante tensorial básico del que están dotadas las mé-tricas. De hecho, el descubrimiento y el uso que se hacede este invariante es, sin duda alguna, la aportación másrelevante de la geometría riemanniana.

Con más precisión: Riemann define para cada métrica,g= (g,j{x)) un tensor 1-contravariante 2-covariante,Curv g= (R'jM (x)), el tensor de curvatura de la métrica,cuyas componentes, R'-]k¡ (x) dependen de las componen-tes de la métrica, g¡¡(x), hasta sus segundas derivadas, ydonde la asignación g—» Curv ges un invariante tensorialen el sentido anteriormente apuntado; esto es, para tododifeomorfismo local, X, se verifica xCurv g= Curv Xg.

Este tensor constituye el concepto clave de la geometríariemanniana en el marco de la problemática general de lageometría diferencial que hemos enunciado antes. En par-ticular, proporciona una medida de la desviación de la eu-clicidaden el siguiente sentido: Curv g— 0 es la condición

necesaria y suficiente para que una métrica de Riemannsea localmente euclídea, esto es: que exista un sistema decoordenadas locales (x¡) respecto del cual:

Este resultado es, ciertamente, modélico, entre otras,por las siguientes razones:

Resuelve del modo más simple posible el problema deequivalencia local para las métricas de Riemann con ten-sor de curvatura nulo: sólo existe una clase de equivalenciade dichas métricas, las euclídeas. Permite rescatar la geometríaeuclídea desde la geometría diferencial, al caracterizar elgrupo euclídeo como el subgrupo de los difeomorfismosque dejan invariante la métrica. Por otra parte, las geo-désicas correspondientes son, como cabía esperar, las rec-tas euclideanas. Con un entusiasmo parecido al que lehizo exclamar a Cayley su famosa frase en cuanto a la re-lación entre las geometrías euclídea y proyectiva, podría-mos decir ahora: «la geometría euclídea es una parte de lageometría diferencial (...) la geometría diferencial es todala geometría». Por último, introduce un elemento nuevoen geometría, esto es: la definición de ciertos objetos geo-métricos como soluciones de un sistema de ecuacionesdiferenciales; en nuestro caso, el sistema de ecuaciones enderivadas parciales de segundo orden:

RM**M'^ dx¡ ' dx¡ dxm

= 0

de incógnita una métrica.Siguiendo en esta línea, y pasando ahora a la física, si

se consideran métricas no singulares con un índice deinercia arbitrario, el resultado anterior es igualmenteválido. En particular, en el caso del espacio-tiempo, M4,y de las métricas no singulares de índice de inercia 3 (lasmétricas de Lorentz) se tiene también que la anulacióndel tensor de curvatura es una condición necesaria y su-ficiente para que existan sistemas de coordenadas locales{x, y, z, i) respecto de los cuales la métrica se expresa dela forma:

g= dx1 + dy1 + dz1 — c2 dt1

Se rescata así la relatividad especial a partir de las mé-tricas de Lorentz sobre el espacio-tiempo, exactamenteigual a como se hizo para obtener la geometría euclídeaa partir de las métricas de Riemann. Esta métrica seudo-euclídea es la tan celebrada métrica de Minkowski, mien-tras que los sistemas de coordenadas locales (x, y, z, t)anteriores son los sistemas inerciales. Por otra parte, elgrupo inhomogéneo de Lorentz, base de la relatividadespecial, viene caracterizado, análogamente, como el sub-grupo de los difeomorfismos del espacio-tiempo que

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dejan invariante la métrica de Minkowski. Ésta es laestructura geométrica precisa de la relatividad especial,donde el electromagnetismo clásico adquiere su verda-dero sentido.

En efecto, la clase de tensores que definen un campoelectromagnético son las 2-formas, F, satisfaciendo las ecua-ciones de Maxwell:

dF= 0 , divf F= 0

donde des la diferencial exterior y divf la divergencia res-pecto de la métrica.

Si en un sistema de coordenadas locales (x, y, z, t) elnúmero de componentes de Fes justo el que se necesitapara describrir el campo en cuestión:

F- HJx f\dy- Hydx A dz + Hjy A dz + Exdx A dt ++ Éydy A dt + Ezdz A dt

donde (Ex, Ey, E¿) y (Hx, Hy, Hz) se interpretan como uncampo eléctrico y un campo magnético en el sistema decoordenadas considerado), las ecuaciones de campo an-teriores son las más sencillas en la incógnita i7 que satis-facen la condición de invarianza Lorentz.

Esta observación tan simple ilustra muy bien la enormerigidez que tiene la teoría tensorial a la hora de identificarlos campos físicos y sus correspondientes ecuaciones decampo con los tensores y sus posibles ecuaciones tenso-riales invariantes. Sin embargo, esta rigidez en la elecciónde una teoría de campos no encuentra su explicación natu-ral hasta que la doctrina no se formula variacionalmente.Con ello, volvemos a hablar de este importante tema alque ya nos referimos al comienzo de nuestra exposición.

Como se dijo entonces, lo esencial del formalismo va-riacional en física es que proporciona una caracterizacióncanónica de las nociones básicas de un sistema físico apartir del concepto de acción. Constituye, ciertamente,la estructura fundamental de la física en el marco geo-métrico que corresponda. No es de extrañar, pues, quehaya trascendido el ámbito concreto en el que nació en elsiglo XVIII con Lagrange y, más esencialmente, en el XIXcon Hamilton y Jacobi, y se haya adaptado de forma tanadmirable a la relatividad y a las teorías cuánticas. Un des-cubrimiento clave en este desarrollo lo constituye la ca-racterización que hizo E. Noether de las magnitudes di-námicas de un sistema físico y de sus correspondientesleyes de conservación a partir de las simetrías del sistema.Concluido este trabajo poco después de que Hilbert pro-pusiera su formulación variacional de la relatividad gene-ral, ha sido sin duda alguna uno de los resultados que másprofundamente han influido en la física del siglo XX. Enparticular, la introducción del concepto de tensor de im-pulso-energía de un campo en el marco de la teoría de larelatividad especial, a partir de la invarianza de la lagran-giana por el subgrupo de las traslaciones del espacio-tiem-po, ha sido un resultado clave en el desarrollo de la de-nominada física relativista de campos.

En electromagnetismo, la acción es la funcional:

L:F^¡(F,F)gvol(g)

donde (F, F)% es el cuadrado escalar del campo electro-magnético, F, respecto de la métrica de Minkowski g, yvol(g), es el elemento de volumen asociado a dicha métrica.

Sometiendo a la funcional L a las variaciones i7—» F+ tdA(A — 1-forma arbitraria) que preservan la ligadura defini-da por el primer grupo de ecuaciones de Maxwell,dF= 0, se obtiene el segundo grupo de dichas ecuaciones,divfi

7= 0, como ecuaciones de Euler de este problema va-riacional.

El tensor de impulso-energía correspondientes es:

donde g~x es la métrica contravariada, F\y F2 son las ex-presiones 1-covariante 1-contravariante y 2-contravariantede F, respectivamente, y el • indica contracción tensorial.

En cuanto a la ley de conservación de este tensor, se ex-presa como:

dlvJ(F) = 0

para cada solución .Fde las ecuaciones de Maxwell.El ambiente era, como se ve, más que favorable para

que la relatividad general pudiese aparecer en cualquiermomento. Desde un principio, Einstein asoció la arbi-trariedad de un sistema de coordenadas al concepto deaceleración, y ésta al de gravedad:

¿Puede concebirse que este principio (el de relatividad es-pecial) sea también válido para sistemas con aceleración re-lativa uno respecto de otro? (Einstein, 1907).

Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928).

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Si se consideran dos sistemas de referencia, uno en re-poso en un campo gravitatorio constante, y el otro bajouna aceleración constante con respecto al primero, enton-ces: bajo la base de nuestra experiencia real, no hay razónpara suponer que los dos sistemas puedan distinguirse unode otro en forma alguna. Debemos por ello suponer unaequivalencia física completa entre el campo gravitatorio yla correspondiente aceleración del sistema de referencia(Einstein, 1907).

Gregorio Ríccí-Curbastro (1853-1925).

TullioLevi-Civita (1873-1941).

Desde luego, el proceso que condujo a Einstein a su fa-mosa teoría de la gravitación, publicada en 1915, no fueen modo alguno lineal, habiendo ensayado el genial físi-co diferentes posibilidades, empezando por una de ellasconcebida todavía en el marco de la teoría de la relativi-dad especial. Tras varios años de profunda reflexión a lolargo de los cuales aprendió de su amigo Marcel Grossmanen Zurich la geometría riemanniana y el cálculo tensorialde Ricci y Levi-Civita, Einstein dio por fin el gran pasoidentificando el campo gravitatorio con una clase de mé-tricas lorentzianas más generales que la de Minkowski, la

cual, en particular, supuso que define un espacio-tiempo,vacío de gravitación. Esto le permitió describir el movi-miento de los astros como las geodésicas de dichas mé-tricas, las cuales a su vez caracterizó mediante las ecua-ciones de campo: Ricci(g) = 0, donde Ricci(¿) = (R¡j(x)) esel invariante tensorial que se obtiene del tensor de curva-tura Curvg= (R¡A(x)) mediante el proceso de contracción

tensorial R,jM= ^RUjW-

Convertido plenamente a la dialéctica riemanniana, lasrazones que da Einstein en su célebre memoria de 1915para las dos caracterizaciones anteriores no pueden sermás simples:

Si en el caso minkowskiano (espacio-tiempo vacío degravitación) la trayectoria de un punto material es unarecta de acuerdo con el principio de inercia, es naturalidentificar dichas trayectorias, en el caso general, con lasgeodésicas de la métrica que define el campo gravitato-rio. Por otra parte, a la hora de elegir unas ecuaciones decampo más débiles que la anulación del tensor de curva-tura (cuyas soluciones son, como se ha visto, la clase de mé-tricas de Minkowski), Einstein se vio conducido casi uní-vocamente a la anulación del tensor de Ricci; esto es, alsistema de ecuaciones en derivadas parciales de segundoorden invariantes, del mismo número de ecuaciones queincógnitas y con una dependencia lineal de las derivadasde segundo orden.

Lo más significativo de estas dos caracterizaciones esque, por primera vez en la historia de la física, se llega aunas leyes de esta ciencia de un modo puramente espe-culativo, sin apelar en lo más mínimo a la experiencia, ylo que es más sorprendente aún, con una confirmación aposteriori por parte de la naturaleza tan clara y convincentecomo nunca se habría esperado.

Con una diferencia de días, Hilbert propuso la formu-lación variacional de la relatividad general, obteniendo lasecuaciones de campo de esta teoría como ecuaciones de Eu-ler de la lagrangiana definida por la curvatura escalar de

la métrica R,, — ¿^ R¿ (,?)• Es este el momento en que los/

más grandes matemáticos de la época se interesan por eltema, convirtiendo a la Universidad de Góttingen en elcentro indiscutible de las nuevas ideas: E. Noether publi-ca los teoremas que llevan su nombre mediante los cua-les resuelve el problema de la conservación de la energíalocal en relatividad general; Einstein generaliza sus ecua-ciones de campo para incluir el campo material que esfuente del gravitatorio; se inician los intentos para dar unateoría unificada de la gravitación y el electromagnetis-mo, etc. Especialmente importante es esto último, porcuanto que fue, entre otras cosas, la principal motivaciónde la teoría de conexiones, doctrina ésta de las más cen-trales de la geometría diferencial del siglo XX.

En efecto, lo que pusieron de manifiesto dichos inten-tos hacia una tal teoría unificada, iniciados en 1919 porH. Weyl y a los que Einstein dedicó la mayor parte de sus

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Hermann Klaus Hugo Weyl (1885-1955).

esfuerzos, hasta su muerte en 1955, es que la noción fun-damental sobre la que debía basarse la geometría rieman-niana para estar de acuerdo con la Naturaleza era la dedesplazamiento paralelo infinitesimal de un vector. Según esteconcepto, debido originariamente a Levi-Civita, toda mé-trica lleva asociada de un modo natural una isometríaentre los espacios (métricos) tangentes a cada pareja depuntos de la variedad dependiendo únicamente delcamino que los une. Es la denominada conexión de Levi-Civita asociada a la métrica, que es de la que en realidaddependen los conceptos geométricos fundamentales deuna variedad riemanniana (geodésicas, tensor de curva-tura, etc.).

La definición general de conexión lineal, sin referenciaya a una métrica, no se hizo esperar. Y aunque las diferentesteorías del campo unificado que fueron proponiéndosefracasaron en aquello que inicialmente pretendían, con-siguieron en cambio algo tan importante como el haberdescubierto las variedades a conexión lineal, el más signi-ficativo avance en geometría diferencial desde el tiempode Riemann.

Y es, en esta ocasión, donde, al revés, la dialéctica físi-ca marca el camino por donde habría de ir la geometría.

Las diferentes versiones propuestas fueron finalmenteenglobadas a partir de 1922 en la síntesis realizada porE. Cartan, con la cual empiezan por fin a comprendersetodas las limitaciones anteriores, atravesando la geome-tría diferencial por uno de sus periodos más fecundos.

La idea de Cartan fue extremadamente original y abrióotra vía de penetración de los grupos y de las ideas klei-nianas en la geometría diferencial. Si a cada punto xde unavariedad, M, se le asocia una geometría, X*, todas ellasisomorfas a una cierta geometría de Klein, X, dar una co-nexión asociada a esa geometría es establecer un isomor-

fismo entre las geometrías en cada pareja de puntos de-pendiente del camino que los une. Estos isomorfismosconstituyen el último sustrato de la idea de desplazamientoparalelo, convirtiendo a la geometría diferencial en el es-tudio de las redes de interconexiones entre las geometríaslocales en cada pareja de puntos, las cuales aparecen asícomo una primera aproximación de la verdadera geome-tría de la variedad. Con la reconstrucción de esta idea me-diante los espacios fibrados, introducidos por Ehresmany Whitney entre 1937 y 1939 en el contexto topológico,se entra ya en la etapa de fundamentación y globalizaciónde la geometría diferencial, la cual, por una parte, dirigesu principal atención hacia los problemas globales, y porotra, abre su cada vez más amplio marco conceptual a lasnuevas exigencias de la física teórica.

El nuevo concepto, básico hoy día en geometría y físi-ca, es fácil de describir:

Un espacio fibrado (diferenciable) consiste en poner encada punto, x, de una variedad diferenciable, M, algúntipo de espacio, Ex, todos ellos isomorfos a una ciertavariedad diferenciable, TV, de tal modo que la colección

E = U Ex de dichos espacios sea a su vez una variedad di-ferenciable (¡ocalmente de la forma UXX N, donde ÍÁ-esun cierto entorno de cada punto x), y donde la proyecciónnatural n : E—> Mes también diferenciable. De este modonos encontramos con un tipo de variedad constituida porfibras, donde cada una de ellas consiste en el espacio quese ha puesto en cada punto de la variedad de partida que,por tal motivo, se denomina variedad base.

Una noción fundamental asociada a este concepto es lade sección del fibrado, esto es: una aplicación diferencia-ble s: £/-» E(U: abierto de M) tal que n • s= identidad.

EüeJoseph Cartan (1869-1951).

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Max Karl Ernst Ludwig Planck (1858-1947).

Tales secciones son los nuevos objetos que se definen so-bre las variedades o, correspondientemente, la versión másgeneral que puede darse de un campo físico.

En particular, la geometría diferencial y la física einste-niana están basadas en los fibrados cuyas secciones sonlos campos tensoriales, los cuales tienen, como vimos, lapropiedad fundamental de que los difeomorfismos loca-les de la variedad base actúan de modo natural sobre sussecciones o, lo que es lo mismo, dichos difeomorfismospueden levantarse al espacio fibrado como difeomorfis-mos del mismo, transformando fibras en fibras.

Y es precisamente esta propiedad, en la que esencial-mente se basa la geometría diferencial y la física de cam-pos, la que en la década de los setenta es tomada como prin-cipio básico para establecer el marco categorial preciso dela geometría diferencial. En efecto, en una serie de traba-

Níels Henrik David Bohr (1885-1962).

jos fundamentales: Nijenhuis (1972), Kirillov (1977), Pa-lais-Terng (1977), Epstein-Thurston (1979), etc., se defi-nen los fibrados naturales como aquellos que incorporan asu propia definición dicha propiedad de levantamiento delos difeomorfismos locales de la variedad base, consiguién-dose una clasificación completa de dichos fibrados, así comode los operadores naturalesque pueden definirse entre ellos.

De este modo, la identidad de conceptos y de plantea-mientos que hemos ido destacando entre la geometría yla física se convierte, tras esta categorización, en un hechoclaro y manifiesto, alcanzando estas dos doctrinas en eldominio considerado un grado de coincidencia tal quejustificaría ya de sobra el título dado a esta conferencia, in-cluso sin su interrogante.

¿HACIA UNA GEOMETRIZACIÓN DE LAS TEORÍAS

CUÁNTICAS?

El otro gran descubrimiento que vino a perturbar esa ar-moniosa y acabada física que en 1898 proclamaba lordKelvin, fue el de los fenómenos cuánticos, cuyo primer cen-tenario se cumplió en diciembre de 2000. Si la relatividadfue el último acto de reflexión del pensamiento clásico, lafísica cuántica por el contrario empezó prácticamente des-de cero con una serie de hechos nuevos, inexplicablesdesde la física clásica pero incuestionables desde el puntode vista experimental. Hechos, por otra parte, que fue-ron accesibles gracias a una experimentación cada vez másagresiva y sofisticada, donde por primera vez la interacciónentre observador y objeto observado produce unos cambiosen el sistema que se observa que ya no son asumibles porlos errores inherentes a los aparatos de medida.

Como era de esperar, los primeros intentos para expli-car tales hechos no pasaron de ser una colección de reglasmás o menos ad hoc que, ingeniosamente superpuestas alas doctrinas clásicas, introdujeron una primera ordenaciónen la abundante literatura experimental que se iba pro-duciendo. Así es como, de hecho, nace la física cuánticaen 1900, cuando Max Planck soslayó las contradiccionesobservadas en la distribución de energía entre los oscila-dores que componen el llamado cuerpo negro, postulandola famosa constante «h» que lleva su nombre y suponien-do que un oscilador de frecuencia ^sólo puede tener ener-gías que sean múltiplos de \\v. De un modo análogo, en1905, Einstein explicó el efecto fotoeléctrico, descubiertoen 1899 por J. J. Thompson y P. Lenard. Y en 1913,N. Bohr, imponiendo restricciones cuánticas al momentoangular del electrón que gira alrededor del núcleo en el mo-delo del átomo de hidrógeno propuesto en 1911 porRutherford, obtuvo una interesante fórmula que relacio-na las líneas espectrales de la radicación emitida por esteelemento químico (cuando es adecuadamente excitado) conla estructura atómica del mismo. Esta idea fue más tardeextendida a otros átomos más complejos, lográndose unaordenación de la espectroscopia impensable unos años an-tes. Con todo ello, sin embargo, este tipo de explicacio-

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nes, aparte de no proporcionar un procedimiento gene-ral para obtener las reglas de cuantificación, era muy difícilde conciliar con las teorías clásicas que les servían desoporte, como, por ejemplo, la de la estabilidad de lasórbitas de Bohr, en franca contradicción con la electro-dinámica.

Por fin, en 1925, Schródinger (inspirado en los traba-jos de L. de Broglie) y Heisenberg descubrieron de modoindependiente reglas de cuantificación generales que, enlos cinco años siguientes, gracias a los esfuerzos combi-nados de ambos y de Dirac, Bohr, Born, Jordán, Von Neu-mann y otros, condujo al establecimiento de lo que des-de entonces se conoce como mecánica cuántica que, entreotras cosas: tenía a la mecánica clásica como caso límite(para grandes masas y distancias), implicaba la existenciade reglas de cuantificación bien definidas, explicaba la es-tabilidad de las órbitas de Bohr y también el modo comola materia y la radicación podían ser a la vez campos y par-tículas.

El precio de tal fundamentación fue grande en aquelmomento debido al profundo cambio que supuso en lasnociones de estado y de observable clásicos. En efecto, el mo-delo de sistema mecánico que postula la nueva física es elde un espacio de Hilbert complejo de dimensión infini-ta, Jt, donde los estados se identifican con los subespaciosde dimensión 1 de .7/ y los observables con sus operadoresautoadjuntos. Dado un observable A y un estado <())>, elresultado de la medida de A en «J» no es ya un número realsino una medida de probabilidad sobre la recta real,E —><7T (|), ())>, donde itf. es el proyector asociado a A y alsubconjunto boleriano E de la recta real según un teore-ma clásico de descomposición espectral, (]) es un repre-sentante de módulo unidad de <())> y < , > denota el pro-ducto escalar de Jl. Por otra parte, se da como dato delsistema, igual que en física clásica, un observable de especialinterés, la energía o hamiltoniana caracterizándose la evo-lución temporal de los estados o de los observables por el

Werner Karl Heisenberg (1901-1976), a la derecha, junto a PaulAdríen Maurice Dírac (1902-1984).

grupo uniparamétrico e '"' generado por H de acuerdocon otro resultado clásico (el teorema de Stone). En cuan-to a la relación entre la nueva mecánica y la clásica hay quebuscarla en la vieja formulación de Poisson de la mecáni-ca hamiltoniana, y en un proceso nuevo denominadocuantificación.

La nueva física siguió teniendo entre sus principales ob-jetivos explicar qué son las partículas y cuáles son los cam-pos producidos por ellas, así como describir las interac-ciones que se producen entre ambos. A este respecto, hayque hacer notar que desde el descubrimiento del electrónpor J. J. Thompson en 1897, las partículas dejaron de sersimples puntos materiales para convertirse en entidadesmás complejas, estrechamente ligadas a la experimentaciónque permite detectarlas; y en cuanto a los campos, decir quea los tradicionalmente existentes (el gravitatorio y el elec-tromagnético), se sumaron dos más, los campos fuerte ydébil, que rigen la física del núcleo atómico y la desinte-gración (3, respectivamente. Este ambicioso programa, en-caminado a dar una teoría unificada de las partículas ele-mentales y de los cuatro tipos de fuerzas existentes en lanaturaleza, cristalizó en la famosa teoría cuántica de cam-pos que, basada en una sofisticada unificación de las no-ciones de partícula y de campo y con un uso sistemáticode las representaciones de grupos como técnica clasifica-toria, ha ido configurando a lo largo de más de cuarentaaños una teoría de las partículas elementales razonable-mente comprensible. Sin embargo, y dejando aparte elconsiderable número de problemas que han ido presen-tándose (divergencias ultravioleta, anomalías, etc.) muydifíciles de manejar matemáticamente, dos cuestiones bá-sicas siguen sin tener una explicación convincente hastala fecha, a saber: cuál es el último nivel de elementalidaden las partículas y cómo conciliar la relatividad general conla mecánica cuántica; la primera, dependiendo de la cadavez mayor potencia de los aceleradores empleados en laexperimentación, y la segunda, de un carácter más espe-culativo, cuya principal dificultad se encuentra en la di-ferencia de escalas en las que operan la gravitación y la me-cánica cuántica.

Habiendo sido diversas áreas del análisis (teoría deoperadores, C*-álgebras, representaciones infinitas de gru-pos, funciones de varias variables complejas, etc.) laprincipal técnica matemática de todas estas teorías, secomprende ese largo divorcio entre la geometría y lafísica cuántica del que tanto se ha hablado en el pasado.Matizando un poco más, puede decirse que existen tresetapas bien definidas en el proceso de geometrización dela nueva física que, empezando a mitad de los años cin-cuenta, en plena época de formalización de la geometríadiferencial, han llevado a las teorías cuánticas a su esta-tus geométrico actual que tan beneficioso está siendopara la física como para la matemática en su más ampliosentido.

Tratemos de mostrar lo que ha sido más característicode cada una de dichas etapas.

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En la primera, que podemos situarla entre 1955 y 1970,aparecen como principales temas de interés: la mecánicasimpléctica, la teoría variacional de campos sobre espa-cios fibrados y el formalismo geométrico de las teorías degauge. Se trata de una formulación en el lenguaje de lageometría diferencial moderna, recién acuñado en esosaños, de tres doctrinas consideradas esenciales para la fí-sica cuántica. Principalmente tratadas por matemáticoscon especial interés en sus aspectos globales, dicho trata-miento despertó también la curiosidad de parte de la co-munidad física, que veía en ello una oportunidad nuevapara la aclaración de conceptos físicos fundamentales.

Comenzando con el primer tema, una estructura sim-pléctica sobre una variedad diferenciable, M, de dimen-sión finita, viene definida por una 2-forma, Q, no singu-lar y cerrada (esto es, dQ. — 0) . Se trata de una versiónhemisimétrica del concepto de métrica sobre una variedad,donde la no singularidad implica que la dimensión de éstasea par, 1n, mientras que la condición dQ = 0 permiteasegurar, según un resultado clásico debido a Darboux,la existencia de sistemas de coordenadas localesrespecto de los cuales:

observables de un sistema cuántico, donde por represen-tación se entiende una aplicación Rí-lineal _/"—»_/" del álgebrade Poisson en el álgebra de los operadores autoadjuntos, tal

qJt p)

Un sistema hamiltoniano con «grados de libertad pue-de caracterizarse ahora como una variedad diferenciable,M, de dimensión 2«, dotada de una métrica simpléctica,Q, y de una función diferenciable H. Los puntos de Mseinterpretan como los estados por los que puede pasar elsistema y las funciones sobre Mcomo sus magnitudes di-námicas u observables. La métrica Q caracteriza la estruc-tura dinámica del sistema, mientras que la función / /de-fine un observable de especial interés denominado energíao hamiltoniana.

Dado un observable f, el campo vectorial Dj sobre Mdefinido por la condición 'Dj1 — —df{'Df = producto inte-rior respecto de Df) se denomina campo vectorial hamil-toniano correspondiente nf En particular, el campo vec-torial D,i correspondiente a la hamiltoniana H, genera ungrupo uniparamétnco de transformaciones de TV/que se in-terpreta como la evolución temporal del sistema. Por otraparte, el producto [fi g} = Q(Df, D?) dota a los observa-bles de una estructura de álgebra de Lie real, el álgebra dePoisson, a partir de la cual, recíprocamente, puede recu-perarse la métrica simpléctica.

Un problema fundamental en mecánica cuántica es aho-ra el siguiente: asociar a cada sistema clásico un sistemacuántico de tal manera que a ciertos observables clásicosse les pueda hacer corresponder observables cuánticos deun modo bien definido. Es a Dirac, Weyl y Von Neu-mann a quienes se debe la formulación precisa de esteproblema, conocido como problema de Dirac o cuantifi-cación. De un modo más preciso, se trata de construir re-presentaciones (irreducibles) de ciertas subálgebras del ál-gebra de Poisson de un sistema clásico en el álgebra de los

que = [A =¿A donde [f,g]=f°g-g°f

es el conmutador de operadores y kles un múltiplo no nulodel operador identidad.

Introducidas, a principios de los años sesenta, las va-riedades diferenciables de dimensión infinita y las técni-cas básicas del análisis global, la generalización de la geo-metría simpléctica a este nuevo marco y su aplicación a lateoría hamiltoniana de campos no se hizo esperar. Espe-cialmente notable en esta dirección fue el programa sobrecuantificación de campos no lineales desarrollado porI. Segal en esos años. La idea básica de Segal consistió enconsiderar al conjunto de las soluciones de las ecuacionesde campo como sustituto del espacio de los estados de lateoría hamiltoniana, con la esperanza de poder generali-zar a esta variedad de soluciones, como se la conoce desdeentonces, los métodos estándar de cuantificación de los sis-temas con un número finito de grados de libertad. De he-cho, Segal estudió con detalle el caso de un campo esca-lar sobre el espacio-tiempo de Minkowski, definido por unacierta ecuación en derivadas parciales hiperbólica no li-neal, a cuyo conjunto de soluciones dotó de una estruc-tura de variedad simpléctica de dimensión infinita me-diante el propagador asociado a dicha ecuación. Esteprograma, si bien no tuvo el éxito esperado, debido fun-damentalmente a las dificultades analíticas que fueronpresentándose, sí aportó la brillante y original idea de con-siderar como espacio natural para fundar la teoría hamil-toniana de los sistemas físicos definidos por un problema

John von Neumann (1903-1957).

137


Richard Phillips Feynman (1918-1988).

variacional, al conjunto de las soluciones de sus correspon-dientes ecuaciones de Euler-Lagrange.

De este modo nos vemos conducidos al segundo temaque hemos destacado en esta etapa, esto es: la teoría va-riacional de campos sobre espacios fibrados.

Definidos los fibrados de jets, j'TÍ : J E —> M {k:\xn nú-mero natural), asociados a un fibrado diferenciable,71: E —> M, el dato básico para definir un problema varia-cional de orden k sobre el conjunto F(E) de las seccioneslocales de E, es una «-forma y^Ti-horizontal, £., sobreJkE (n — dim M), denominada «densidad lagrangiana».Integrando dicha n-forma sobre la extensión k-jetde cadasección y considerando variaciones que preservan la es-tructura geométrica de los espacios de jets, se definen deun modo natural la funcional y el concepto de extremaltípicos del cálculo de variaciones. En particular, parak = 1, a fines de los años sesenta se asoció canónicamen-te a cada densidad lagrangiana, £., una «-forma, QL, quegeneraliza a tales problemas el invariante integral clásicode E. Cartan de la mecánica analítica (R. Hermann, P Gar-cía-A. Pérez Rendón, H. Goldsmith-S. Sternberg). Dichanoción se convirtió en el concepto clave del cálculo devariaciones de primer orden al caracterizarse a partir delmismo todas las nociones y procesos típicos de la teoría va-riacional (extrémales, simetrías y leyes de conservación,transformación de Legendre, ecuación de Hamilton-Ja-cobi, etc.). Especialmente importante fue la noción demétrica multisimpléctica sobre el conjunto de las extré-males, con la que se pudo aclarar definitivamente la teo-

ría hamiltoniana de campos, que tan intensamente habíasido tratada en décadas anteriores (Caratheodory, Weyl, DeDonder, Lepage, etc.). Esta doctrina, conocida desde en-tonces como «formalismo de Hamilton-Cartan del cálculode variaciones sobre espacios fibrados», constituye unaimportante área interdisciplinar cuya investigación en mu-chos de sus aspectos (geometría multisimpléctica, discre-tizaciones, reducción lagrangiana, etc.) se encuentra aúnlejos de estar agotada.

Una de las principales aplicaciones de este formalismoen esos años fue a los campos de Yang-Mills o, más gene-ralmente, a las denominadas «teorías de gauge», que tam-bién incluyen como ejemplo a la relatividad general.

Dado un campo clásico definido por un problema va-riacional cuya densidad lagrangiana, H^, depende de un cier-to objeto geométrico, (j), tal que su grupo de simetrías J/(típicamente, un grupo de Lie de dimensión finita) dejainvariante -£$,, se trata de transformar dicho problema enotro cuya densidad lagrangiana sea invariante por un gru-po de Lie, £}, de dimensión infinita («grupo gauge») quetiene a J/ como subgrupo.

En relatividad general, primera teoría gauge que de he-cho aparece en la historia de la física, <\> es la métrica de Min-kowski, g, í/g el grupo inhomogéneo de Lorentz y (/ elgrupo de los difeomorfismos del espacio-tiempo. La so-lución en este caso del anterior problema fue la que dioEinstein, consistente en sustituir la métrica de Minkows-ki, g, en la lagrangiana inicial -Cg(campo fuente) por unamétrica de Lorentz arbitraria (campo gravitatorio), y to-mar como lagrangiana del sistema constituido por amboscampos la suma Jíg + R(g)(úg(Rg: la curvatura escalar y COel elemento de volumen de la métrica g). Como es sabi-do, dicho sistema es ya invariante por todos los difeo-morfismos y tiene como ecuaciones de Euler-Lagrange lasecuaciones de la gravitación de Einstein acopladas con elcampo fuente inicial.

Del mismo tipo es la idea básica que llevó a Yang y Millsen 1955 a introducir los campos que llevan su nombrepara describir las interacciones fuertes en física nuclear. Trasinterpretar la interacción usual de los campos cargadoseléctricamente con el campo electromagnético que ellos ge-neran, como el paso de una lagrangiana, L, invariante por elgrupo unitario U{\) — \elK", t e IR}, a la lagrangiana suma

-l-F — dA) \ campo electromagnético de po-

tencial A, y II , la norma asociada a la métrica deMinkowski g), la cual es invariante por el grupo gaugeG = {e2K'^x\ f(x): función sobre el espacio-tiempo}, dichosautores generalizaron a SU(2) y a otros grupos de sime-trías el formalismo anterior, introduciendo un nuevo cam-po de ¡naturaleza geométrica desconocida! Pocos años mástarde (Kerbran-Lunc, R. Hermann, A. Pérez-Rendón,Yang y Wu, etc.) dichos campos se identificaron con lasconexiones sobre un fibrado principal, inaugurándose conello uno de los más brillantes capítulos de las relaciones en-tre física y geometría.

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GEOMETRÍA Y FÍSICA, ;CARA Y CRUZ DE UNA MISMA MONEDA?

Con más precisión: dado un fibrado principal/;: P—> Mcon grupo estructural un grupo de Lie, G, se consideraun campo fuente definido sobre las secciones de un fibra-do vectorial asociado a /'(respecto de una representaciónlineal de G) por una lagrangiana, -CA, dependiente de la co-nexión plana canónica, A, de cada trivialización local deP, e invariante por la acción natural de G en dichas tri-vializaciones. A partir de aquí, análogamente al procedi-miento einsteniano, se sustituye la conexión plana, A, poruna conexión arbitraria (el potencial de Yang-Mills), to-mándose como lagrangiana del sistema definido por am-

bos campos la suma41 Cu (F=Curv A: campo

de Yang-Mills de potencial A, y ||, la norma asociada alas métricas de Minkowski y de Cartan-Killing del grupoG). Por construcción, este sistema es invariante por elgrupo gauge, ^j, de los automorfismos />-verticales del fibradoprincipal, al actuar sobre las conexiones y las seccionesdel fibrado asociado de partida del modo natural.

La segunda etapa del proceso de geometrización que es-tamos describiendo, podemos situarla entre 1970 y 1985.

Obtenidas las formulaciones geométricas de las teoríasfísicas antes referidas, se produce en esos años un inespe-rado vuelco en las relaciones entre la geometría y la físicacomparable, en cierto modo, al que tuvo lugar en el pri-mer cuarto del siglo XX en torno a las teorías de la relati-vidad y del campo unificado. Ideas y desarrollos clave delas teorías cuánticas pudieron transferirse, una vezformuladas en el nuevo lenguaje, a la geometría diferen-cial, topología, geometría algebraica, etc., produciendoresultados sorprendentes en estas disciplinas y, del otrolado, la propia física se vio beneficiada de ello, no sólo porla interpretación cuántica que hizo de muchos de esos re-sultados, sino también por haberse abierto de este modouna vía de penetración a la física teórica de las podero-sas técnicas empleadas en esas especialidades matemá-ticas.

La Cuantificación geométrica, los Moduli de campos deYang-Mills sobre espacios de Riemann y las Variedades gra-duadas y supervariedades, son tres importantes doctrinas muyrepresentativas de esta segunda etapa.

Dada una variedad simpléctica (M, Q) de dimensiónfinita, lo que se dio en llamar a principios de los años se-tenta Cuantificación geométrica, tenía como principalobjetivo resolver el Problema de Diracen términos de lageometría de la variedad. Esta doctrina, que tuvo su ori-gen en una idea de J. M. Souriau, fue establecida y de-sarrollada por B. Kostant, que la usó como un instru-mento básico de su teoría de las representaciones unitariasde los grupos de Lie conexos. En particular, la determi-nación mediante esta teoría, de todas las representacio-nes unitarias de los grupos de Lie solubles de tipo I fueuno de los más importantes resultados obtenidos poreste autor en esos años.

Tras la realización de la métrica simpléctica, £2, como2-forma de curvatura de una conexión hermítica sobre

un fibrado de línea complejo n : L —» M, el álgebra dePoisson de (M, Q) puede hacerse operar sobre las seccio-nes de L de tal manera que el paréntesis de Poisson setransforma en el conmutador de operadores, proceso esteconocido con el nombre de precuantificación. Tomandoahora secciones que son constantes en ciertas direccionesmediante la introducción de una estructura adicional de-nominada polarización, y tensorializando dichas seccio-nes por unos nuevos objetos llamados semiformas se con-sigue un espacio de Hilbert complejo que, de este modo,está asociado canónicamente a la variedad simplécticay a la polarización consideradas. La cuantificación se ob-tiene, finalmente, restringiendo el homomorfismo de pre-cuantificación a dicho espacio de Hilbert.

Aparte de la indudable aportación conceptual que dichadoctrina supuso para la mecánica cuántica de los sistemascon un número finito de grados de libertad, el principalinterés de ella se halla, realmente, del lado matemático, ha-biendo sido esta teoría intensamente tratada con muy buenosresultados a lo largo de esos años.

En otro orden de cosas, y esta vez por motivaciones dela teoría cuántica de campos según la formulación de Feyn-mann, se mostró gran interés, también a principios de losaños setenta, por el estudio de un tipo particular de solu-ciones de las ecuaciones de Yang-Mills en el espacio eu-clídeo de dimensión 4 llamadas instantones o seudopar-tículasijK. Belavin, A. Polyakov, R. Jackiw, C. Rebby, etc.).Estas ecuaciones, que sobre el espacio-tiempo deMinkowski son hiperbólicas, se convierten en el espacioeuclídeo en elípticas, con propiedades bien diferentes

Maríus Sophus Lie (1842-1899).

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Bertram Kostant (1928-).

como es sabido. De especial interés desde el punto de vistamatemático son los resultados obtenidos por M. Atiyah,N. Hitchin e I. Singer en esos años.

Originariamente, de lo que se trataba era de estudiar laestructura del conjunto de los mínimos de la funcionalde Yang-Mills sobre las conexiones del SU(2)-fibrado prin-cipal trivial, IR x SU(2) (IR"1 con su métrica euclídea or-dinaria) que son asintóticamente planas en un cierto sen-tido. A tal fin y teniendo en cuenta la invarianza de estafuncional por el grupo conforme de IR\ la idea clave con-sistió en ver cómo la condición asintótica impuesta per-mitía extender dicho problema a otro sobre un SU(2)-fi-brado principal no trivial sobre la esfera S4. Si -k es elsegundo número de Chern de P, el resultado principal deAtiyah, Hitchin y Singer afirma: «que el grupo gauge de Pdeja invariante al conjunto de las conexiones de Yang-Mills minimales, siendo el conjunto de sus órbitas (el gau-ge-moduli de tales conexiones) una variedad de dimensión8k— 3». Dicho resultado, en cuya demostración se haceun uso sistemático de los teoremas del índice para com-plejos elípticos y de la teoría de deformaciones, tuvo sor-prendentes consecuencias y aplicaciones que atrajeron laatención de físicos y matemáticos.

Así, por ejemplo, mediante la transformada twistor dePenrose las conexiones consideradas se convierten en fi-brados vectoriales complejos de rango 2 holomorfos(y, por consiguiente, algebraicos) sobre el espacio proyec-tivo Pj(C), mientras que la equivalencia gauge de cone-xiones se transforma en equivalencia algebraica de fibra-dos. De este modo se pasa del estudio de la estructura delconjunto de las soluciones de una ecuación en derivadasparciales a un problema de clasificación de fibrados sobreel espacio proyectivo. Tal es el tipo de resultados obtenidospor Atiyah y Ward a este respecto, mediante los cuales lateoría de Yang-Mills entró brillantemente en el dominiode la geometría algebraica.

Más sorprendente aún si cabe fue el famoso teorema deDonaldson sobre «4-espacios exóticos» que produjo unagran conmoción en la comunidad matemática interna-cional. En combinación con el importante trabajo desa-rrollado con anterioridad por Freedmann, este resultadoimplica la existencia de variedades diferenciables de di-mensión 4, topológicamente pero no diferenciablemen-te equivalentes al espacio euclídeo estándar IR4, siendon — 4 la única dimensión para la que tales espacios exis-ten. Y si sorprendente fue tal resultado, más todavía lofue la técnica empleada para su obtención, a saber: con-siderar el gauge-moduli de las conexiones de Yang-Mills mi-nimales sobre una variedad arbitraria de dimensión 4 comotécnica geométrica para investigar las propiedades topo-lógicas de dichas variedades.

Finalmente, el tercer tema característico de esta segun-da etapa, las variedades graduadas y supervariedades, pue-de decirse que constituye la respuesta matemática ade-cuada a las teorías físicas de la supersimetría y, en particular,de la supergravedad, que aparecen a fines de los años setentay principios de los ochenta.

Como se sabe, en teoría cuántica de campos hay dosclases de campos que describen los diferentes tipos de par-tículas elementales: los campos bosónicos (de espín ente-ro) y los fermiónicos (de espín semientero). Los primeros,con funciones de onda simétricas, y los segundos, queobedecen aJ principio de exclusión de Pauli, y tienen comoestados funciones con valores en un álgebra de Grass-mann. Pues bien, el principio básico de la Supersimetríaconsiste en suponer que las ecuaciones de campo de lateoría son invariantes por ciertas transformaciones quemezclan ambos tipos de campos o, lo que es lo mismo,intercambian entre sí bosones y fermiones.

La doctrina se desarrolló en dos vertientes diferentes:la teoría de variedades graduadas debida a Berezin, Kos-tant y Leites, y la teoría de supervariedades de Rogers,Jadczyk-Pilch, Boyer-Gitler, etc. Grosso-modo, si en las su-pervariedades se aumenta el conjunto de los puntos deuna variedad clásica, en las variedades graduadas los pun-tos son los mismos y lo que cambia es el álgebra de fun-ciones sobre la variedad.

Ambos puntos de vista incorporaron casi de inmediatola teoría de campos, dando lugar a una teoría de super-campos muy atractiva matemáticamente y de gran apli-

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cación física. En particular, la conversión de las interac-ciones típicas de las teorías de gauge en un supercampo deYang-Mills libre, definido por una superconexión, consti-tuye uno de los mayores logros de esta doctrina, que tuvoimportantes aplicaciones en gravitación cuántica.

Llegamos así a la tercera y última etapa de este procesode geometrización que, empezando en los primeros añosochenta, se encuentra todavía en desarrollo.

Si las ideas cuánticas continuaron produciendo avan-ces importantes en las doctrinas matemáticas de la eta-pa anterior y en otras que se fueron sumando (nudos ylazos, teoría de números, etc.), la física teórica, en pose-sión ya de un nuevo marco conceptual y de técnicas ma-temáticas muy poderosas, empieza a dar pasos de másenvergadura para abordar algunos de sus problemas debase no resueltos. En esta renovada interacción, la físi-ca plantea asimismo a la matemática problemas nuevosde gran profundidad que habrían sido impensables unosaños antes.

De entre los muchos y variados temas tratados en estaetapa destacan especialmente dos: la teoría de cuerdas y lageometría no conmutativa, a las que dedicaremos unos bre-

ves comentarios.

Míchael Atíyah (1929-).

Aunque el origen de la teoría de cuerdas se encuentra enel estudio de las interacciones fuertes desarrollado a finesde los años sesenta y en la cromodinámica cuántica deprimeros de los setenta, es a principios de la década de losochenta, con los trabajos de Poliakov y Witten, cuando sereconoce que esta teoría podía proporcionar un marcoadecuado para una formulación unificada de la mecáni-ca cuántica y la gravitación. Desde entonces, la teoría decuerdas y su versión supersimétrica (las supercuerdas) hasido una de las doctrinas de la física teórica que ha aca-parado más atención de físicos y matemáticos. Por pri-mera vez el espacio subyacente a la teoría deja de ser elespacio-tiempo clásico para convertirse en una de las va-riables del problema, que ha de ser determinada por mé-todos matemáticos o físicos.

En las teorías bosónicas la dimensión del Universo es 26,mientras que en la versión supersimétrica se reduce a 10(teoría de supercuerdas) u 11 (teorías M y F). Y es tam-bién la estructura global del Universo la que debe sercomputada de acuerdo con la teoría. Así, por ejemplo, enlas denominadas teorías heteróticas (con grupos de sime-tría fix&o Spin(32)) se demuestra que el Universo hade ser el producto cartesiano de una variedad de Min-kowski por una variedad de Calabi-Yau de dimensióncompleja 3.

También es de destacar la profunda conexión existenteentre el cómputo de las magnitudes cuánticas en teoríade cuerdas (funciones de partición, funciones de correla-ción, etc.) y la estructura geométrica de las variedades demoduli de superficies de Riemann compactas.

Como se ve, la creciente sofisticación de los objetos geo-métricos que aparecen a lo largo de esta etapa obligó a irsustituyendo el marco espacio-temporal clásico por otrosque resultaban más acordes con las nuevas teorías. Desdeluego, siempre se pensó que no había razón alguna parasuponer que la estructura del espacio físico a escalas de or-den de magnitud de la constante de Planck fuese la deun continuo de cuatro dimensiones como en física ma-croscópica. Pero es ahora cuando por primera vez se abor-da este problema de un modo sistemático, destacandomuy especialmente en esta dirección el ambicioso pro-grama de A. Connes sobre geometría no conmutativa, me-diante el cual parece que se está empezando a conseguiruna visión global de la física en la que lo clásico y lo cuán-tico pueden convivir ya en una razonable armonía.

El planteamiento, bien conocido por otra parte en geo-metría algebraica, se remonta a Riemann y se basa en laidea de obtener el espacio subyacente a un álgebra de fun-ciones como el espectro del álgebra.

Como ya hicimos notar, el fenómeno de la multiformi-dad e,n teoría de funciones condujo al concepto de su-perficie de Riemann y poco después a las variedades: unmarco natural para el desarrollo, entre otras doctrinas, dela geometría diferencial y de la física de campos. El énfa-sis riemanniano en las funciones y no en el espacio sub-yacente a las mismas fue también destacado a propósitode la caracterización de los objetos geométricos sobre una

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variedad a partir de su álgebra de funciones. Sin embar-go, y a pesar del éxito alcanzado en esos dominios, dichomarco espacial no fue capaz de albergar en su seno a doc-trinas matemáticas tan fundamentales como la aritméti-ca, el álgebra o el análisis, ni tampoco a la física en su glo-bal complejidad.

El nuevo punto de vista, cuyo antecedente preciso seencuentra en una adaptación a la teoría de funciones delas técnicas desarrolladas por Dedekind para el tratamientoalgebraico de la teoría de números, representa un paso másen la idea central riemanniana. En efecto, en una célebrememoria de Dedekind y Weber, publicada en 1882-Teoría de funciones algebraicas de una variable-, apareceplasmada por primera vez la revolucionaria idea de con-siderar como dato previo para fundar una geometría, noun espacio, considerado como un conjunto de puntos, sinomás bien una determinada estructura algebraica, a partir dela cual el espacio se construye de tal modo que los ele-mentos del álgebra inicial se convierten en funciones so-bre él mismo. Esta idea constituye, de hecho, el principalantecedente del álgebra conmutativa y de la geometría al-gebraica modernas, donde el espacio de un esquema afínviene definido como el conjunto de los ideales primos deun anillo. Y como suele ocurrir con todos los descubri-mientos grandes, el nuevo punto de vista trascendió elámbito concreto en el que nació para verlo reflejado en otrasdiferentes disciplinas (análisis, álgebra diferencial, lógi-ca, etc.), en las que la nueva visión no sólo proporcionóuna aclaración esencial de las mismas, sino lo que es másimportante aún, les permitió avanzar con un renovadoímpetu que de otro modo no se habría producido.

Éste es, a grandes rasgos, el marco conceptual en el quese cree que la física cuántica puede alcanzar su verdaderoestatus teórico con base exclusiva en la experiencia.

Mucho se ha hablado de la dificultad para entender lasdoctrinas cuánticas a lo largo del siglo que acaba de con-cluir. Pero un análisis cuidadoso del tema muestra que elproblema no se halla tanto en el planteamiento concep-tual originario, muy estrechamente ligado a los hechosexperimentales, como en su interpretación posterior entérminos de construcciones teóricas más propias de la vi-sión macroscópica clásica que de la realidad cuántica pro-piamente dicha. Puede decirse, que si acertada fue la ca-racterización matemática inicial de los conceptos básicosde la mecánica cuántica (las matrices de Heisenberg, porejemplo, traducción casi literal de las series de Balmerdela espectroscopia), no se dispuso en cambio de un marcogeométrico adecuado que explicase tal caracterización. Lahistoria vuelve a repetirse una vez más, siendo esta vez lasideas espectrales las que parece que están permitiendoavanzar al análisis funcional y a la física cuántica en sus res-pectivos caminos hacia la evidencia.

Fiel a esta visión positivista de la mecánica cuántica, elpunto de partida de la teoría de Connes es el álgebra delos observables de un sistema cuántico: un álgebra (no con-mutativa) de operadores de un espacio de Hilbert complejoestable por la involución que transforma cada operador en su

adjunto. Dicha álgebra se considera la única realidad ob-servable, siendo el objetivo fundamental de la teoría en-contrar el espacio como espectro del álgebra y desarrollaren este nuevo marco (no conmutativo) todo el programade la física clásica (conmutativa), con la esperanza de quela doctrina resultante sea ya la física, sin calificativos, ca-paz de explicar unitariamente todos los hechos descu-biertos hasta ahora con independencia de la escala en laque éstos se manifiestan.

Como era de esperar, el programa empieza con un aná-lisis exhaustivo del caso conmutativo donde, según la teo-ría de Gelfand, el espectro del álgebra (o conjunto de losideales maximales) es un espacio topológico compacto cuyaálgebra de funciones continuas se identifica canónica-mente con el álgebra inicial. La traducción a este lengua-je de resultados clave de la teoría de variedades (en parti-cular, los teoremas de D. Sullivan sobre orientaciónKO-homológica) permite una caracterización algebraicade esta teoría a partir de la cual queda despejado el cami-no hacia el caso no conmutativo y su geometría corres-pondiente. Con una adaptación a este caso, no exenta decambios sustanciales (el nuevo espectro es, por ejemplo,

Juüus Wihelm Richard Dedekind (1831-1916).

el conjunto de las representaciones irreducibles del álge-bra dada en espacios de Hilbert), la clase de variedadesque ahora aparece es muy amplia y sorprendente, inclu-yendo, entre otras, a variedades con singularidades, espa-cios discretos, conjuntos de Cantor, etc. En particular, ladescripción llevada a cabo en este nuevo marco del mo-delo estándar de Glashow-Weinberg-Salam mediante unageometría producto cartesiano de una geometría discretapor el espacio-tiempo ordinario, constituye uno de los ma-

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yores éxitos de esta teoría, con resultados importantes so-bre la estructura del espacio-tiempo a pequeña escala(~(100Gev) ')•

CONCLUSIÓN

De la concepción euclidiana de la geometría a esta no-vísima visión no conmutativa de la misma, la evoluciónde esta ciencia a lo largo de veinticinco siglos ha sido im-presionante. Las figuras y el espacio, en constante revisiónconceptual, han constituido los elementos básicos de estadoctrina, habiendo sido, de hecho, la idea que se ha teni-do de ellos y de las leyes por las que se han regido en cadamomento, la verdadera esencia del pensamiento geomé-trico.

Tras una ausencia clara de la idea de espacio en la ma-temática griega, es con Descartes cuando por primera vezse introduce este concepto como el conjunto de los pun-tos euclídeos caracterizados por sus tres coordenadas numé-ricas en una referencia. Desde entonces hasta finales delsiglo XIX, es este el marco espacial en el que se desarrollala geometría euclídea, única doctrina geométrica existen-te. Y fue también el espacio euclídeo el escenario dondese desarrolló en ese mismo periodo la física clásica bajouna concepción en la que la geometría y la física estánclaramente diferenciadas.

En 1872, con el famoso Programa de Erlangen de Fé-lix Klein se produce el gran cambio en la concepción dela geometría al caracterizarse ésta como el conjunto delos invariantes respecto de un grupo de transformacio-nes o, equivalentemente, como el conjunto de las expre-siones analíticas en una referencia que son vistas de lamisma forma por todos los miembros de una familia deellas (estando relacionadas familia y grupo por el hechode ser los cambios de coordenadas entre las referenciasde la familia los que definen las transformaciones delgrupo). Y es bajo esta segunda forma, típicamente car-tesiana, como la nueva concepción de la geometría entraen la física en 1905 de la mano de Einstein con la teoríade la relatividad especial, en la que invariante es sinóni-mo de concepto físico y la nueva definición de geometríase corresponde con el famoso principio de relatividad. Yano existe una sola geometría sino muchas y, del lado fí-sico, cada clase de fenómenos genera una geometría enel nuevo sentido, en cuyo seno dichos fenómenos ad-quieren su verdadera razón de ser en términos puramentegeométricos.

La generalización del concepto de familia de referenciassobre un espacio en el sentido de que cada uno de susmiembros proporciona coordenadas, no para el espacioentero, sino solamente para la vecindad de cada uno desus puntos, y donde los cambios de coordenadas entre losmiembros de la familia se supone que vienen dados porfunciones de una cierta clase general (continuas, dife-renciables, analíticas, etc.), condujo al concepto de va-riedad; sobre las cuales, la familia de referencias —o, equi-

valentemente, el seudogrupo de las transformaciones lo-cales definidas por los cambios de coordenadas— defineuna geometría canónicamente asociada a la variedad. Eneste tipo de geometrías, siguiendo a Riemann, se ponemás énfasis en el álgebra de funciones que en el grupode transformaciones, el cual viene caracterizado como lamayor parte de los conceptos intrínsecamente asociadosa la variedad en términos de las funciones. En particular,en el caso diferenciable, se obtiene la geometría diferen-cial, cuyo objetivo originario es la clasificación de lostensores sobre una variedad diferenciable respecto de suseudogrupo de difeomorfismos locales; objetivo este esen-cialmente idéntico a la concepción einsteniana de la fí-sica como teoría de campos sobre el espacio-tiempo conecuaciones de campo determinadas por la única condi-ción de ser invariantes por todos los difeomorfismos(principio de relatividad general). Así fue, en efecto,como Einstein se vio conducido a su famosa teoría de lagravitación, en la que por primera vez en la historia dela física se llega a unas leyes de la naturaleza de un modopuramente especulativo, sin apelar en lo más mínimo ala experiencia.

Fuera de este marco geométrico, brillante coronacióndel pensamiento clásico, queda la física cuántica, la cuala lo largo de los últimos cien años ha tenido que en-frentarse a una serie de hechos nuevos, inexplicables clá-sicamente, pero incuestionables desde el punto de vistaexperimental. Con un planteamiento teórico estrecha-mente ligado a la observación —el álgebra de Heisenbergde los observables cuánticos—, la geometría de varieda-des, basada en el álgebra (conmutativa) de las funcionessobre una variedad, nunca ha sido, ciertamente, el es-quema geométrico adecuado para la descripción de losfenómenos cuánticos. Y es por ello por lo que este tipode explicaciones geométricas ha conducido a dificulta-des de las que, incluso, no se han visto exentas algunasdoctrinas básicas recientes (supersimetría, teoría de cuer-das y supercuerdas, etc.). No es de extrañar, pues, laatracción que ha producido en los últimos años la geo-metría no conmutativa o geometría cuántica que, basa-da exclusivamente en la observación experimental al con-cebir el espacio geométrico como el espectro del álgebrano conmutativa de los observables cuánticos, está ofre-ciendo una visión unitaria de la física en la que los he-chos clásicos y cuánticos aparecen por primera vez enpie de igualdad con independencia de sus respectivas es-calas de manifestación.

Este proceso de absorción creciente de la física por la geo-metría arroja, a nuestro juicio, bastante luz sobre la na-turaleza de las matemáticas y su relación con el resto delas ciencias.

Desde luego, el desarrollo de la matemática no pareceque sea un mero juego lógico tal y como se entiendedesde la postura axiomática. Tras el famoso teorema deindecibilidad de Gódel, dicha postura resulta insostenible,frustrándose así el viejo sueño de Hilbert de una matemá-tica cerrada en sí misma al modo formal. La evolución

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experimentada por la geometría, de la que aquí hemoshablado, sugiere algo muy distinto. Con palabras en-tresacadas de los muchos diálogos que sobre este tema hetenido con mi maestro, el profesor Juan Sancho Guime-rá, podríamos decir:

que continuamente se produce un retorno a los fundamentospara reformular y superar las primitivas concepciones des-de una nueva visión. Este retorno aparecerá tal vez comouna generalización, pero realmente se trata de una profun-dización reveladora de nuevas estructuras que antes sólo es-taban presentes de manera implícita. En estas sucesivas re-velaciones, en las que cada etapa ilumina la anterior, residelo esencial del avance en el conocimiento matemático: unproceso altamente no trivial, entre otras razones, porque notiene un carácter deductivo.

Y si éstas podrían ser las señas de identidad del conoci-miento matemático, parece natural que también deberíanserlo de cualquier profundización teórica en el resto de lasciencias.

En este eterno retorno a los fundamentos, podemos tenerla fortuna de que se produzca una coincidencia tan grandeentre una doctrina matemática y alguna parcela de la cien-cia natural, que puedan terminar ambas por hacerse indis-tinguibles una de otra. Tal parece que es el caso de las teo-rías geométricas y físicas de las que hemos hablado aquí.

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