Geometría 4

GEOMETRÍA

CICLO 4

CONTENIDO

UNIDAD 1 ...................................................................................................................................................... 2

ELEMENTOS BÁSICOS EN EL ESPACIO ..................................................................................................... 3

PLANO ................................................................................................................................................... 3

POSICIONES DE DOS PLANOS ........................................................................................................... 3

POSICIONES DE UNA RECTA Y PLANO .............................................................................................. 4

POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL ESPACIO ................................................................. 5

RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO .............................................................................................. 6

DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO ........................................................................................... 8

PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD ............................................................................................ 8

DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS α Y β PARALELOS........................................................................... 8

ANGULO DIEDRO .................................................................................................................................. 9

ÁNGULOS DIEDROS ............................................................................................................................ 10

PLANOS PERPENDICULARES ........................................................................................................... 10

UNIDAD 2 .................................................................................................................................................... 12

POLIEDROS ............................................................................................................................................. 13

DEFINICIÓN Y ELEMENTOS ................................................................................................................. 13

POLIEDROS REGULARES ..................................................................................................................... 13

FORMULA DE EÚLER ........................................................................................................................... 17

POLIEDROS IRREGULARES .................................................................................................................. 19

PRISMAS ......................................................................................................................................... 19

PRISMA REGULAR Y OBLICUO .................................................................................................... 20

PARALELEPÍPEDO ........................................................................................................................ 20

PIRÁMIDE ............................................................................................................................................... 23

PIRAMIDE RECTA ................................................................................................................................ 23

UNIDAD 3 .................................................................................................................................................... 29

ÁREAS DE LOS POLIEDROS ...................................................................................................................... 30

ÁREA DE UN PRISMA RECTO .............................................................................................................. 30

SECCIÓN RECTA DE UN PRISMA ......................................................................................................... 31

ÁREA LATERAL DE UN PRISMA CUALQUIERA ..................................................................................... 31

PIRÁMIDE REGULAR ........................................................................................................................... 33

TRONCO DE PIRÁMIDE ....................................................................................................................... 35

UNIDAD 4 .................................................................................................................................................... 39

VOLÚMENES DE LOS POLIEDROS ........................................................................................................... 40

VOLUMEN DE UN PRISMA RECTO ...................................................................................................... 40

VOLUMEN DE LOS PARALELEPÍPEDOS ............................................................................................... 41

VOLUMEN DE UN ORTOEDRO ............................................................................................................ 41

VOLUMEN DE UNA PIRÁMIDE ............................................................................................................ 41

VOLUMEN DE UN TRONCO DE PIRÁMIDE DE BASES PARALELAS....................................................... 42

UNIDAD 5 .................................................................................................................................................... 45

ÁREAS Y VOLÚMENES DE LOS POLIEDROS REGULARES ......................................................................... 46

ÁREA Y VOLUMEN DE TETRAEDRO .................................................................................................... 46

ÁREA Y VOLUMEN DEL CUBO ............................................................................................................. 47

ÁREA Y VOLUMEN DEL OCTAEDRO .................................................................................................... 48

ÁREA Y VOLUMEN DE DODECAEDRO ................................................................................................ 50

ÁREA Y VOLUMEN DE ICOSAEDRO ..................................................................................................... 51

UNIDAD 6 .................................................................................................................................................... 54

CUERPOS DE REVOLUCIÓN ..................................................................................................................... 55

CILINDRO ............................................................................................................................................ 55

ÁREA DE UN CILINDRO ................................................................................................................... 55

ÁREA LATERAL ............................................................................................................................ 55

ÁREA TOTAL DE UN CILINDRO .................................................................................................... 56

VOLUMEN DEL CILINDRO ........................................................................................................... 57

CONO CIRCULAR RECTO ..................................................................................................................... 59

ÁREA LATERAL DE UN CONO RECTO .............................................................................................. 59

ÁREA TOTAL DEL CONO .................................................................................................................. 60

VOLUMEN DEL CONO ..................................................................................................................... 60

TRONCO DE CONO .............................................................................................................................. 63

ÁREA LATERAL DEL TRONCO DE CONO .......................................................................................... 63

ÁREA TOTAL DEL TRONCO DE CONO .............................................................................................. 64

VOLUMEN DEL TRONCO DE CONO ................................................................................................. 64

ESFERA ................................................................................................................................................ 68

LA ESFERA TERRESTRE .................................................................................................................... 69

UNIDAD 7 .................................................................................................................................................... 72

MOVIMIENTOS PLANOS ......................................................................................................................... 73

TRANSLACIÓN ..................................................................................................................................... 73

ROTACIÓN .......................................................................................................................................... 77

ORDEN GIRO ................................................................................................................................... 79

SIMETRÍA O REFLEXIÓN ...................................................................................................................... 81

UNIDAD 8 .................................................................................................................................................... 86

TRIGONOMETRÍA .................................................................................................................................... 87

ANGULO TRIGONOMÉTRICO .............................................................................................................. 87

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ANGULO AGUDO EN UN TRIANGULO RECTÁNGULO. ........ 87

RELACIÓN ENTRE LA RAZONES TRIGONOMÉTRICAS .......................................................................... 90

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS .................................................................................. 91

CONOCIDOS DOS LADOS ................................................................................................................ 91

CONOCIDOS UN LADO Y UN ANGULO ............................................................................................ 93

APLICACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS . 97

BIBLIOGRAFÍA ........................................................................................................................................... 104

Guía De Geometría Ciclo 4

Decreto 3011 del 30/11/1994

Código DANE 319001004561

Educación Para Jóvenes Y Adultos

1

REPRESENTACIONES TRIDIMENSIONALES EN EL PLANO

En este tema se va a estudiar cuerpos en el espacio, cuerpos con tres dimensiones, largo, ancho y alto.

En la naturaleza, en el mundo, todos los objetos tienen estas tres dimensiones.

La primera dificultad que se encuentra es como plasmar en papel, pizarra, pantalla de ordenador (que

tienen dos dimensiones) objetos de tres.

Existen películas y juegos de ordenador en tres dimensiones, visibles utilizando gafas especiales o bien

que el propio juego va provisto de las técnicas adecuadas.

Los pintores de todos los tiempos han usado técnicas para representar en sus cuadros escenas

tridimensionales, de forma que cuando se contempla una de sus obras, se tiene la sensación de estar

frente a un objeto tridimensional.


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UNIDAD 1. ELEMENTOS BÁSICOS EN EL ESPACIO

OBJETIVOS

I. Identificar los elementos básicos en el plano.

II. Conocer las posiciones relativas de los elementos presentes en el espacio.

III. Identificar la relación de los elementos de la geometría plana y del espacio.

LOGROS

Conoce la definición de espacio.

Identifica los elementos que surgen en el espacio.

Distingue las posiciones relativas de los elementos en el espacio.

Relaciona los elementos planos y del espacio.


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ELEMENTOS BÁSICOS EN EL ESPACIO

Los elementos básicos en el plano son: el punto, recta y ángulo. El estudio de geometría en el espacio

requiere de la introducción de dos nuevos objetos, el plano y el ángulo diedro.

PLANO

Suele nombrarse con la letra griega π (pi) o también con una letra mayúscula P, Q,..., Z. Y se representa

habitualmente como un paralelogramo, pero entendiendo bien que su extensión es ilimitada.

Figura 1. Plano

Un plano queda definido por:

tres puntos que no estén en línea recta. O equivalentemente, dados tres puntos no alineados

hay un único plano que pasa por ellos.

Por dos rectas que se cortan.

Por una recta y un punto exterior a ella.

Por dos rectas paralelas.

POSICIONES DE DOS PLANOS

Dos planos, pueden ocupar determinadas posiciones entre si. Las posiciones pueden ser:

1. CORTARSE: cuando dos planos se cortan tienen una recta común que se llama intersección de los

planos. Cada plano queda dividido en dos semiplanos por esa recta.

Plano P

Pla

no

T

Plano Q


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4

Figura 2. Intersección de Planos.

2. PARALELOS: dos planos son paralelos cuando no tienen ningún punto común. Esto implica que si

dos planos tienen un punto común tienen una recta común.

Figura 3. Planos Paralelos

POSICIONES DE UNA RECTA Y PLANO

Una recta y un plano pueden estar relacionadas según la posición que ocupe uno con respecto del otro,

están posiciones pueden ser:

1. RECTA CONTENIDA EN EL PLANO: en esta posición todos los puntos de la recta son también puntos

del plano.

Figura 4. Recta Contenida En El Plano.

Plano P

Plano Q Recta de intersección

Plano P

Plano Q

Plano P

Recta l


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2. CORTARSE: una recta y un plano se cortan o son secantes cuando tienen un punto en común.

Figura 5. Recta Secante Al Plano.

3. PARALELOS: una recta y un plano son paralelos cuando no tienen puntos en común.

Figura 6. Recta Paralela al Plano

POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL ESPACIO

Dos recta en el espacio pueden ocupar las siguientes posiciones:

1. CORTARSE: si dos rectas se cortan en el espacio, existe un plano que las contiene. Es decir, están en

el mismo plano.

Figura 7. Rectas Secantes en el Espacio.

Plano P

Recta l Punto de

Intersección

Plano P

l

Plano P

l1

l2


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6

2. PARALELAS: si dos rectas son paralelas en el espacio existe un aplano que las contiene. Es decir,

están en el mismo plano.

Figura 8. Rectas Paralelas en el Espacio.

3. CRUZARSE: dos rectas se cruzan en el espacio si no están contenidas en el mismo plano. En este

caso no tienen ningún punto en común ni son paralelas. Se les llama alabeadas.

Figura 9. Rectas que se Cruzan en el Espacio.

RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO

Una recta es perpendicular a un plano si es perpendicular a todas las rectas del plano que pasan por la

intersección.

Al punto de intersección se le llama pie de la perpendicular.

Como es posible la comprobación de que una recta sea perpendicular a todas las rectas del plano que

pasan por su pie, se demuestra que si una recta es perpendicular a dos rectas de un plano que pasan

por su pie es perpendicular a todas.

Por esto, para construir un plano perpendicular a una recta en uno de sus puntos es suficiente trazar dos

rectas perpendiculares a la dada que pasen por el punto.

Por un punto Q pasa un plano perpendicular a una recta l1 y solamente uno. El punto puede estar en la

recta o fuera de ella.

Plano P

Pla

no

Q

l1

l2

l2

l1

Plano P


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Figura 10. Recta Perpendicular a un Plano.

Propiedades:

Por un punto Q de un plano pasa una recta perpendicular al plano y solo una.

Si una recta es perpendicular a un plano, entonces es perpendicular a todos los planos paralelos

a este.

Por un punto Q exterior a un plano P pasa una recta QN (donde N es un punto del plano)

perpendicular al plano P y solo una.

EJERCICIO 1

1. Probar de forma grafica las propiedades de perpendicularidad de una recta y un plano.

Q

l1

Q

l1


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DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO

La distancia de un punto Q a un plano P es la medida de la perpendicular trazada desde el punto Q al

plano P, ya que es la menor distancia que se puede medir desde el punto al plano. Ver figura 11.

Figura 11. Distancia de un Punto a un Plano.

Se observa que , donde es hipotenusa de un triangulo rectángulo en el que es un

cateto.

De forma análoga a la geometría plana, dos oblicuas que se apartan igualmente del pie de la

perpendicular son iguales; y dos oblicuas que se apartan desigualmente del pie de la perpendicular, es

mayor la que se aparta más.

PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD

Postulados:

Si dos rectas son paralelas entre si y una de ellas es perpendicular a un plano. Entonces, la otra

también es perpendicular al plano.

Si dos planos son paralelos y una recta es perpendicular a una de ellos también es perpendicular

al otro.

DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS α Y β PARALELOS

Es el segmento perpendicular comprendido entre los dos planos. O la distancia de uno de los puntos del

plano α al plano β.

M

Q

R Plano P


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Postulados:

Dado un plano existen puntos fuera de él.

Un plano divide al espacio en dos regiones llamadas semiespacios.

EJERCICIO 1.2

1. Probar de forma grafica los postulados de perpendicularidad y paralelismo.

2. Probar de forma grafica los postulados de la distancia entre dos planos.

ANGULO DIEDRO

Se llama ángulo diedro a la región de espacio comprendida entre dos semiplanos limitados por una

misma recta. Su valor es el del ángulo que forman dos rectas, una en cada plano y cada una de ellas

perpendiculares a la recta de intersección de los planos.

Figura 12. Angulo Diedro.

La recta de intersección de los planos se llama arista del diedro.

Los semiplanos que tiene como borde común la arista del diedro se llaman caras del diedro.

El diedro se nombra ubicando las letras de los extremos de la arista entre las letras que designan los

semiplanos. Así el diedro de la figura 12, se designa QABP.

P

Q

A

B


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ÁNGULOS DIEDROS

Si tres o más planos que se cortan mediante rectas que concurren en un mismo punto, la región de

espacio que limitan, se llama ángulo poliedro y al punto común se le llama vértice.

Según el número de caras que formen el ángulo poliedro, estos reciben un nombre diferente. Así, si son

tres planos se le llama triedro, si son cuatro, tetraedro, si cinco, pentaedro, etc.

Figura 13. Ángulos Diedros

PLANOS PERPENDICULARES

Son los que forman un ángulo diedro recto.

Propiedades:

Si una recta l1 es perpendicular a un plano P. Cualquier plano Q que pase por la recta l1 es

perpendicular al plano.

Si una recta es perpendicular a un plano. Cualquier plano paralelo a la recta también es

perpendicular.

Si dos planos son perpendiculares. Cualquier recta de uno de ello, que sea perpendicular a la

intersección de los dos planos, es perpendicular al otro.

Si dos planos P y Q son perpendiculares y desde un punto M de ellos se traza una recta l1

perpendicular al otro, esta recta esta contenida en P.

Si dos planos P y Q que se cortan son perpendiculares a un tercero Z. la recta de intersección l1

también es perpendicular al plano Z.

Por una recta l1 oblicua a un plano P pasa un plano Q perpendicular a P y solamente uno.

Triedro Tetraedro


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EJERCICIO 1.3

1. Construir los ángulos triedros donde converjan

a. Cinco planos

b. Seis planos

c. Siete planos

d. Ocho planos

2. Probar de forma grafica las propiedades de los plano perpendiculares.


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UNIDAD 2. POLIEDROS

OBJETIVOS

I. Conocer los elementos de los poliedros.

II. Identificar los diferentes tipos de poliedros.

III. Construir poliedros regulares.

IV. Identificar las propiedades de los poliedros.

V. Analizar las características y aplicación de las pirámides.

LOGROS

Reconoce los diferentes tipos de poliedros según sus características y elementos.

Construye poliedros regulares con diferentes materiales.

Conoce las propiedades de los poliedros y las aplica para la solución de problemas.

Aplica las propiedades de las pirámides en la relación de los elementos y la solución de las

pirámides.


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POLIEDROS

DEFINICIÓN Y ELEMENTOS

Los poliedros son cuerpos limitados por polígonos planos llamados caras. En cuanto a su etimología, la

palabra “poliedro” está compuesta por dos elementos que provienen del griego, “polys” (mucho) y

“edra” (base o cara). En todos ellos se distinguen tres elementos:

Caras: polígonos que limitan al poliedro.

Aristas: segmentos intersección de las caras.

Vértices: Puntos intersección de las aristas.

POLIEDROS REGULARES

En un poliedro regular todas las caras son polígonos regulares e iguales y los ángulos que forman

también son iguales. Sólo existen cinco poliedros regulares, también llamados sólidos platónicos:

1. TETRAEDRO: poliedro con cuatro caras triangulares.

Figura14. Tetraedro Construcción y Forma.

A B

C

D

D’ D’’ B A

D

C


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14

2. CUBO: poliedro con seis caras cuadradas.

Figura 15. Cubo Construcción y Forma.

3. OCTAEDRO: poliedro con ocho caras triangulares.

Figura 16. Octaedro Construcción y Forma.

A B

D C

E F

H G

F’ E’

G’ H’ H’’

E’’ F E

H G

B

C D

A

A

B

C

D

E

B

M

P

R

N

Q

P

M

A

D

N B

P

C

Q

E

R


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15

4. DODECAEDRO: poliedro con doce caras pentagonales.

Figura 17. Icosaedro Construcción y Forma.

5. ICOSAEDRO: poliedro con veinte caras triangulares.

Figura 18. Dodecaedro Construcción y Forma.


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EJERCICIO 2

1. Construir los cinco poliedros utilizando diferentes materiales y tamaños de arista.

2. Intentar construir los poliedros:

Antiprisma Pentagonal Cubo Truncado Deltaedro – 10

Tetraedro Truncado Cubo Chato Gran Rombicuboctaedro


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FORMULA DE EÚLER

(Basilea 1707-San Petersburgo 1783) Matemático suizo. A los veinte años consiguió el primero de los 12

premios que, con el tiempo, había de concederle la Academia francesa y, por invitación de Catalina I de

Rusia, se incorporó a la Academia de San Petersburgo merced a la gestión de los Bernoulli, instalados allí

desde 1725. En 1733 sucedió a Daniel Bernoulli al frente de la sección de matemáticas de dicha

Academia.

En 1741, invitado por Federico II el Grande, se trasladó a la Academia de Berlín, al frente de la cual

sucedió a Maupertuis, en 1756, como presidente en funciones. En 1766 aceptó una oferta de Catalina la

Grande para reincorporarse a San Petersburgo. Ese mismo año quedó ciego a causa de una afección de

cataratas, tras haber perdido ya la visión del ojo derecho en 1735.

El primer logro científico importante de Eúler lo constituyó la introducción (1736) del método analítico

en la exposición de la mecánica newtoniana con el fin de reducir al mínimo la tradicional confianza en la

demostración por métodos geométricos. De la mecánica, Eúler trasladó estos planteamientos al cálculo

infinitesimal, y en 1748 publicó la primera obra de análisis matemático en la que el papel principal

estaba reservado a las funciones en lugar de a las curvas. La geometría fue, con todo, un campo en el

que Eúler realizó las contribuciones mayores, siendo uno de sus resultados más conocidos la fórmula

que relaciona el número de caras, vértices y aristas de un poliedro regular, en el que el número de caras

más el número de vértices es igual al número de aristas más dos. Sus obras completas, que abarcan más

de ochocientos tratados, ocupan 87 volúmenes.

Las consecuencias más importantes del teorema de Eúler son:

1. No puede existir un poliedro convexo con menos de seis aristas, cuatro caras y cuatro vértices.

2. Sólo existen cinco poliedros convexos cuyas caras sean polígonos de igual número de lados y cuyos

ángulos poliedros tengan entre si el mismo número de aristas y que son; tetraedro, octaedro,

icosaedro, hexaedro y dodecaedro.

3. La suma de todas las caras de un poliedro convexo es igual a tantas veces cuatro rectos como el

número de vértices que tiene menos dos.

La formula de Eúler establece la relación entre el número de caras, vértices y aristas, esta formula

establece que:

, o lo que es igual .


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EJEMPLO 1

Comprobar que se cumple la formula de Eúler para el cubo.

SOLUCIÓN

En el cubo se tiene:

6 caras

8 vértices

12 aristas

Por lo tanto la formula de Eúler:

, por lo tanto el cubo cumple con la formula de Eúler.

EJEMPLO 2

Un poliedro tiene 4 caras y 4 vértices, ¿Cuántas aristas tiene?

SOLUCIÓN

Aplicando la formula de Eúler y despejando Aristas se tiene:

Remplazando valores:

Por lo que el poliedro es un tetraedro.


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EJERCICIO 2.1

1. Construir una tabla donde se relaciones los poliedros con:

a. El numero de caras

b. El numero de vértices

c. El numero de aristas.

2. Un poliedro tiene 7 caras. Cuatro de ellas son pentágonos y tres cuadriláteros.

a. ¿Cuantas aristas tiene?

b. ¿Cuantos vértices tiene?

3. Explicar las siguientes afirmaciones:

a. El número de aristas de un poliedro que concurren en un vértice es, como mínimo de 4.

b. Las caras de un poliedro son todas iguales.

c. Hay poliedros con tres caras.

POLIEDROS IRREGULARES

Un poliedro irregular está limitado por caras poliédricas que pueden presentar diferentes formas. En

este tipo de poliedros, el número de caras no presenta límites. Los poliedros irregulares más comunes

son los prismas, las pirámides y todas sus variedades.

PRISMAS

Los prismas es un poliedro con dos caras (bases) que son iguales y paralelas entre sí. Las caras laterales

son paralelogramos. Los elementos de un prisma son:

Figura 19. Prisma

Las bases: son la cara en la que se apoya el prisma y su opuesta.

Las caras laterales: son las caras que comparten dos de sus lados con las bases. La suma de sus

áreas es la superficie lateral del prisma.

Las aristas: son los lados de las bases y de las caras laterales.

Vértices

Cara Lateral

Bases Aristas


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Los vértices: son los puntos en donde se encuentran cada par de aristas.

Los prismas se nombran según sea el polígono de sus bases: prisma triangular, cuadrangular,

pentagonal, hexagonal, etc.

PRISMA REGULAR Y OBLICUO

Un prisma se llama recto cuando sus aristas laterales son perpendiculares a las bases (figura20), y

oblicuo en caso contrario (figura 21).

Figura 20. Prisma Recto Figura 21. Prisma Oblicuo.

La altura de un prisma es la longitud del segmento perpendicular trazado de una base al plano que contiene a la otra.

PARALELEPÍPEDO

Se llaman así porque los cuadriláteros de las bases son paralelogramos.

Figura 22. Paralelepípedo

Altura

Altura

H G

A B

C D

E F


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Dos aristas son opuestas cuando son paralelas y no pertenecen a la misma cara, por ejemplo y ,

y , etc.

Los vértices no situados en la misma cara. Se laman opuestos, por ejemplo, A y F, C y H.

La diagonal de paralelepípedo es el segmento, que une dos vértices opuestos, como .

Plano diagonal esta determinado por dos aristas opuestas: BCEH por ejemplo.

ORTOEDRO

Si el paralelepípedo es recto y los paralelogramos de las bases son rectángulos, éste recibe el nombre de

paralelepípedo rectángulo u ortoedro. Las seis caras de un ortoedro son rectángulos.

Figura 23. Ortoedro

Las aristas que concurren en cada vértice forman ángulos rectos, por lo que puede aplicarse el Teorema

de Pitágoras. Para el cálculo de diagonales.

El triángulo de lados a, b, d es rectángulo, d es la hipotenusa, por lo que:

También es rectángulo el triángulo de catetos d, c e hipotenusa D. por tanto:

Remplazando d y despejando:

Esta expresión es una generalización del Teorema de Pitágoras al espacio.

E F

K A

I J

G H

D

c

d b

a


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EJEMPLO 1

Una caja tiene 10 cm de ancho, 12 cm de largo y 5 cm de alto. ¿Se puede introducir en ella una varilla

rígida de 18 cm. sin romper la caja?

SOLUCIÓN

Según la figura 23. Se tiene que a = 10 cm, b = 12 cm y c = 5 cm. Por lo tanto:

Aplicando la generalización del teorema de Pitágoras para hallar la longitud de la diagonal principal que

es la longitud mayor que puede contener la caja, ya que horizontal o verticalmente no se puede

introducir la varilla. Se tiene:

Por lo tanto no es posible que la varilla rígida se pueda introducir en la caja sin romperla.

ROMBOEDRO

Es el paralelepípedo cuyas bases son rombos. El romboedro se llama recto cuando sus aristas laterales

son perpendiculares a las bases.


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PIRÁMIDE

Las pirámides son poliedros que tienen una sola base, la cual es un polígono cualquiera, y sus otras caras

son triángulos que se unen en un vértice común que se llama cúspide o vértice de la pirámide, La altura

de la pirámide es la distancia del vértice al plano que contiene a la base. Una tienda de campaña o las

pirámides de Egipto son ejemplos de este tipo de poliedros.

Los elementos de una pirámide son los siguientes:

Figura 24. La Pirámide

Se nombran según sea el polígono de su base: pirámide triangular, cuadrangular, pentagonal, etc.

PIRAMIDE RECTA

La base es un polígono regular y el vértice está en la perpendicular al centro del polígono regular. Figura

24. Las caras laterales son triángulos isósceles iguales.

Entre los elementos de la piramide regular se establecen al gunas relaciones. Es importante que se

observar que estas medidas no son independientes. Aplicando el Teorema de Pitágoras a cada uno de

los triángulos rectángulos que se forman:

1. RELACIÓN 1: La base es un polígono regular, por lo tanto:

Arista

Apotema de la Base

Apotema Lateral Cara Lateral

Vértice

Cúspide

Polígono de la base

Altura

En donde:

a = apotema R = radio

= la mitad del lado de la base

Radio

Lado


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24

Figura 25.

2. RELACIÓN 2: La altura de la Pirámide, el apotema de la base y la altura de una cara (apotema lateral)

forman un triángulo rectángulo:

Figura 26.

3. RELACIÓN 3: Las caras laterales son triángulos isósceles. La altura del triángulo lo divide en dos

triángulos rectángulos.

Figura 27.

4. RELACIÓN 4: Se encuentran relacionados la altura, el radio de la base y la arista de la pirámide.

a R

a

h H

En donde:

a = apotema de la base.

h = apotema lateral

H = altura

Y la relación es según Pitágoras:

h A

En donde:

A = arista.

h = apotema lateral.

= mitad de longitud del lado de la base.

Ya la relación según Pitágoras:


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Figura 28.

EJEMPLO 1

En una pirámide regular el radio de la base mide 30 cm, la altura de la pirámide 70 cm. ¿Cuál es la

longitud de la arista de la pirámide?

SOLUCIÓN

Para encontrar la longitud de la arista basta con emplear la relación 4. En donde:


Despejando A:

Es decir que la longitud de la arista es de 76,15 cm.

EJEMPLO 2

Determinar todos los elementos de una pirámide cuadrangular y realizar su grafica. Si su altura

es de 15 cm, su arista 18 cm y su apotema de su base es 8 cm.

SOLUCIÓN

H

R

A

En donde:

A = arista

H = altura

R = radio

Y cuya relación según Pitágoras es:


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26

Con los datos suministrados y se puede empezar por determinar la longitud del

apotema lateral , empleando la relación 2.

Con la longitud del apotema lateral hallado , la longitud de la arista y empleando

la relación 3. Se determina la longitud del lado, así:

Despejando se obtiene:


Despejando L:

Finalmente para determinar el radio de la base se emplea la relación 1. Por lo que:


Decreto 3011 del 30/11/1994



27

Por lo tanto los elementos de la pirámide son:

, , , , y . Según se ilustra en la figura

29.

Figura 29.

EJERCICIO 2.2

15

cm

8 cm

9,9 cm

18 cm

17 cm

11,8 cm


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28

1. Las tres aristas que concurren en los vértices de un ortoedro son 5, 6 y 4 cm. Hallar el valor de la

diagonal principal.

2. Hallar la diagonal de un cubo cuya arista mide 3 cm.

3. La diagonal de un cubo mide . Hallar el valor de la arista.

4. La diagonal de la cara de un cubo mide hallar la diagonal del cubo.

5. En una pirámide de base cuadrada de 8 cm de lado y 12 cm de altura, determinar la longitud del

apotema de la base y la del apotema lateral o de la pirámide.

6. En una pirámide hexagonal de 8 cm de lado y 14 cm de altura, calcular:

a. Apotema de la base.

b. Arista

c. Apotema de la pirámide.

d. Radio de la base

7. Determinar todos los elementos de una pirámide pentagonal y realizar su grafica, si: la altura es de

15 cm, el radio de la base es de 6 cm y el lado de la base mide 10 cm.

8. Determinar todos los elementos de una pirámide heptagonal y realizar la grafica, si: la altura es de

20 cm, la apotema de la base es de 8 cm y el radio de la base mide 11 cm.

9. Determinar todos los elementos de una pirámide triangular y realizar la grafica, si: el apotema

lateral mide 17 cm, la altura es 20 cm y el radio de la base mide 7 cm.

10. Determinar todos los elementos de una pirámide octagonal y realizar su grafica, si: la apotema de la

base mide 6 cm, la arista 13cm y el radio de la base mide 86 cm.


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29

UNIDAD 3. ÁREAS DE LOS POLIEDROS

OBJETIVOS

I. Conocer elementos para el cálculo de superficies en el espacio.

II. Identificar el desarrollo de las superficies en el espacio.

III. Calcular superficies de los poliedros.

LOGROS

Desarrolla los cálculos para determinar áreas en el espacio.

Calcula el área de los poliedros.


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30

ÁREAS DE LOS POLIEDROS

El área lateral de un prisma o pirámide es la suma de las áreas de las caras laterales.

El área total de un prisma o pirámide es la suma del área lateral mas las áreas de las bases.

ÁREA DE UN PRISMA RECTO

En un prisma recto el área lateral es igual al producto del perímetro de la base por la longitud de la

altura o arista lateral. Ver figura 30.

Figura 30.

Si se denomina como el área lateral, al perímetro y a la altura del prisma, se tiene que:

De otro lado el área total del prisma se obtiene sumando el área lateral más el área de las bases. Por lo

tanto, si se denomina como el área de la bases, se obtiene:

Ya que el prisma tiene dos bases iguales. Ver figura 30.

A

B C

D

E

F

G

H I

J

A B C D E A

J I H G F J


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31

SECCIÓN RECTA DE UN PRISMA

Se llama sección recta de un prisma cualquiera, al polígono determinado por un plano perpendicular a

las aristas laterales.

En la figura 31. El plano P es perpendicular a las aristas del prisma. Por los tanto el polígono MNPQ es

una sección recta del prisma oblicuo.

Figura 31.

ÁREA LATERAL DE UN PRISMA CUALQUIERA

El área de un prisma oblicuo es igual al producto del perímetro de la sección recta por la longitud de la

arista lateral. Es decir:

Donde representa la longitud de la arista del prisma.

EJEMPLO 1

Hallar el área total de un prisma pentagonal. Si la apotema de la base es de 3 cm, la longitud del lado es

4 cm y su altura es 10 cm.

Plano P

M

N

P

Q

E F

G H

B

A

C

D


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32

SOLUCIÓN

Según el enunciado se tiene que , la apotema de la base es de 4 cm y el prisma tiene 5 lados,

por lo tanto:

El perímetro de la base es igual:

Por lo que el área lateral es:

Para calcular el área de la base se debe recordar que el área de un polígono regular es:

Por lo que el área total del prisma es:


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33

PIRÁMIDE REGULAR

El área lateral de una pirámide regular es igual al producto del semi-perímetro de la base por la longitud

de la apotema de la pirámide. Ver figura 32.

Figura 32.

En la figura 32. Se observa que las caras de la pirámide son triángulos isósceles iguales en los que el área

se define como:

Por lo tanto, el área lateral se obtiene al multiplicar esta área por el número de caras . Donde la base

es la longitud del lado de base de la pirámide ( ) y la altura corresponde al apotema de la pirámide .

Por lo que el área lateral es:

Es decir:

A

B C

D

E

V

A B C H D E A

V V V V V

H


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34

Y como es el perímetro , se obtiene:

, donde es el apotema de la pirámide.

Para hallar el área total de una pirámide regular se suman el área lateral y el área de la base. Como el

área de la base es un polígono regular. Entonces:

Y como , donde es la apotema de la base, por lo tanto:

Factorizando:

EJEMPLO 1

Hallar el área lateral y total de una pirámide triangular. Si la apotema de la base es de 4 cm, la longitud

del lado de la base es 5 cm y la apotema de la pirámide es 12 cm.

SOLUCIÓN

Del planteamiento del problema se tiene que:

Calculando el perímetro:

Aplicando la formula para área lateral y total:


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35

Y el área total:

TRONCO DE PIRÁMIDE

Se llama tronco de una pirámide a la sección de la pirámide comprendida entre el plano de la base y un

plano paralelo o no a la base, que corta la pirámide en todas sus aristas. Dicho tronco de pirámide, será

recto u oblicuo, según que el plano sea o no paralelo a la base. Ver figura 33.

Figura 33.

Plano P

Tronco de pirámide

Base mayor

Base

menor


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36

Si el tronco es de una pirámide regular las caras laterales son trapecios isósceles iguales y su altura

coincide con la apotema del tronco de pirámide ( ).

Por otra parte, las bases son polígonos semejantes.

El área lateral del tronco de pirámide regular será la mitad del producto de su apotema por la suma de

los perímetros de las bases, es decir:

Donde:

.

El área total será la suma del área lateral y el área de las dos bases. Es decir.

Donde:

.

EJEMPLO 1

Hallar el área lateral y total del tronco de pirámide regular cuyas bases son cuadrados de lados 10 cm y

7 cm, y cuya apotema mide 11 cm.

SOLUCIÓN

Según el enunciado se tiene que:

.

Y

Calculando el perímetro de las bases:

Aplicando la formula del área lateral:


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37

Para el área total, se calculan las áreas de las bases:

Por lo que el área total es:


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38

EJERCICIO 3

1. Hallar el área lateral de un prisma regular recto pentagonal si el lado de la base mide 5 cm y la arista

lateral 20 cm.

2. Hallar el área lateral de un prisma regular recto octagonal cuyo lado de la base mide 6 cm y la altura

15 cm.

3. Hallar el área lateral y total de un prisma recto cuyas bases son hexágonos regulares de 6 cm de lado

y 5,2 cm de apotema, si la altura del prisma es de 8 cm.

4. Hallar el área lateral y total de un prisma recto cuyas bases son eneágonos regulares de 4 cm de

lado y 3 cm de apotema, si la apotema del prisma es de 12 cm.

5. Determinar la altura de un prisma cuadrangular recto cuya área lateral es de 900 , si el lado de

la base es de 25 cm.

6. Hallar el área total de una pirámide de base cuadrada si el lado de la base mide 6 cm y la altura 4cm.

7. Hallar el área total de una pirámide regular de base hexagonal sabiendo que el lado de la base mide

5 cm y la apotema de la pirámide 4,4 cm.

8. Hallar el área lateral y total de una pirámide regular de base triangular sabiendo que el lado de la

base mide 6 cm, la apotema de la base 4 cm y la altura de la pirámide 12 cm.

9. Hallar el área lateral y total de un tronco de pirámide regular triangular, si los lados de las bases

miden 6 y 8 decímetros respectivamente y la altura 10 decímetros.

10. Hallar el área lateral y total de un tronco de pirámide cuadrada si los lados de las bases miden 8 y

20 cm respectivamente y la altura del tronco mide 8 cm.


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39

UNIDAD 4. VOLÚMENES DE LOS POLIEDROS

OBJETIVOS

I. Calcular el volumen de los poliedros.

LOGROS

Calcula el volumen de los poliedros.


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40

VOLÚMENES DE LOS POLIEDROS

VOLUMEN DE UN PRISMA RECTO

El volumen de un prisma recto es igual al producto del área de su base por la medida de la altura, es

decir:

Donde:

EJEMPLO 1

Determinar el volumen de un prisma cuadrangular recto de 4 cm de lado y 10 cm de altura.

SOLUCIÓN

Como la base es un cuadrado, entonces:

Luego:

Nota: un prisma oblicuo es equivalente al prisma recto que tenga por base la sección recta del

primero y por altura su arista lateral.


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41

VOLUMEN DE LOS PARALELEPÍPEDOS

El volumen de un paralelepípedo cualquiera es igual al producto del área de la base por la medida de la

altura.

Donde:

Y

VOLUMEN DE UN ORTOEDRO

El volumen de un ortoedro es igual al producto de sus tres dimensiones. Es decir, si las dimensiones de

un ortoedro son y el área y volumen del ortoedro se expresa:

También se define el área del ortoedro como el producto del área de la base por la altura.

EJEMPLO 1

Determinar el volumen de un ortoedro de 5 m de ancho, 4 m de profundidad y 6 m de altura.

SOLUCIÓN

Aplicando la formula y remplazando valores:

VOLUMEN DE UNA PIRÁMIDE

El volumen de una pirámide cualquiera es igual a la tercera parte del producto del área de la base por la

medida de la altura. Es decir:


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42

En las pirámides se considera que:

Toda pirámide es la tercera parte de un prisma que tenga igual base e igual altura.

La razón de los volúmenes de dos pirámides cualesquiera es igual a la de los productos de sus

bases por sus alturas.

Dos pirámides de igual altura y bases equivalentes, son equivalentes.

EJEMPLO 1

Calcular el volumen de una pirámide cuadrangular de 5 cm de lado y 8 cm de altura.

SOLUCIÓN

Aplicando la formula y remplazando valores:

. Aproximadamente.

VOLUMEN DE UN TRONCO DE PIRÁMIDE DE BASES PARALELAS

El volumen de un tronco de pirámide de bases paralelas es igual al producto de un tercio de su altura

por la suma de sus bases y la media proporcional entre ellas, es decir:

Donde:


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43

EJEMPLO 1

Calcular el volumen de un tronco de pirámide cuadrangular cuyos lados de las bases son 6 cm y 3 cm

respectivamente y 8 cm de altura.

SOLUCIÓN

Calculando el área de las bases que corresponden a cuadrados, se tiene:

Aplicando la formula:

Por lo que el volumen del tronco de pirámide es de 168 cm3.


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44

EJERCICIO 4

1. Hallar el área y volumen de un ortoedro cuyas dimensiones son: 16, 12 y 8 cm respectivamente.

2. El volumen de un ortoedro es 192 cm3 y dos de sus dimensiones son 8 y 6 cm. Hallar la otra

dimensión.

3. Si el volumen de un ortoedro es 60 m3 y el área de la base es 15 m2, hallar la altura del ortoedro.

4. El área de un ortoedro es 264 cm2. La relacione entre el largo, el alto y el ancho es 5:3:1. Hallar las

dimensiones del ortoedro.

5. Calcular el área y el volumen de un ortoedro de dimensiones 3 cm, 4 cm y 12 cm respectivamente.

6. Hallar el volumen de un prisma hexagonal regular cuya arista lateral mide 4 cm y la arista de la base

2 cm.

7. Hallar el volumen de una pirámide cuadrangular regular cuyas aristas miden: 10 dm las de la base y

13 dm las laterales.

8. Un depósito en forma ortoédrica tiene una capacidad de 6000 L. Si mide 5 m de largo y 4 m de

ancho, calcular su altura.

9. ¿Cuál es el precio de un cajón de embalaje de 60 cm de largo, 40 cm de ancho y 50 cm de alto si la

madera cuesta $18 el m2?

10. Un prisma cuadrangular regular tiene 4 m de arista de la base y 6 m de altura. Calcular volumen.

11. Un prisma hexagonal regular tiene 36 m de perímetro de la base y 3 m de altura. Calcula su volumen

si la arista de la base es de 12 m.

12. Una pirámide cuadrangular regular tiene 6 m de la arista de la base y 5 m de arista lateral. Calcula su

volumen, si el lado de la base mide 7.5 m.

13. Calcular el volumen de una pirámide triangular regular de 8 m de lado de la base y 3 m de apotema

lateral.

14. Calcular el volumen de una pirámide cuadrangular regular de 40 m2 de área lateral y 56 m2 de área

total.

15. Calcular el volumen de un tronco de pirámide si el área de su base mayor y menor es 64 m2 y 36 m2

y su altura es de 10 m.

16. Calcular el volumen de un tronco de una pirámide cuadrangular si el lado de la base mayor es el

doble del menor; donde la altura es de 12 cm y el área de la base menor es 25 cm2.


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45

UNIDAD 5. ÁREAS Y VOLÚMENES DE LOS POLIEDROS REGULARES

OBJETIVOS

I. Calcular el ares de poliedros regulares.

II. Calcular el volumen de poliedros regulares.

LOGROS

Calcula el área de de los poliedros regulares.

Calcular el volumen de los poliedros regulares.


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46

ÁREAS Y VOLÚMENES DE LOS POLIEDROS REGULARES

El área y volumen de los poliedros regulares depende del tamaño de la arista.

ÁREA Y VOLUMEN DE TETRAEDRO

En el tetraedro las caras son triángulos equiláteros, ver figura 34.

Figura 34. Tetraedro

Por lo que el área y volumen se definen:

EJEMPLO 1

Calcular el área y volumen de tetraedro regular de 8 cm de arista.

SOLUCIÓN

Aplicando la formula para el cálculo del área se tiene:

Y para el volumen:


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47

ÁREA Y VOLUMEN DEL CUBO

El cubo es un tipo especial de prisma en el que todas las caras son cuadrados y cuyo tamaño de la arista

es igual, ver figura 35.

Figura 35. Cubo

De esta forma en un cubo de arista se define el área y volumen como:

EJEMPLO 1

Calcular el área y volumen de un cubo de 10 dm de arista.


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48

SOLUCIÓN

Aplicando la formula para el área, se tiene:

Y para el volumen:

ÁREA Y VOLUMEN DEL OCTAEDRO

El octaedro es un polígono regular que se basa en triángulos equiláteros, ver figura 36.

Figura 36. Octaedro

Por lo que su área y volumen se definen como:


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49

EJEMPLO 1

Calcular el área y volumen de un octaedro de 12 m de arista.

SOLUCIÓN

Aplicando la formula para calcular el área, se tiene:

Y para el volumen:


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50

ÁREA Y VOLUMEN DE DODECAEDRO

El dodecaedro es un poliedro cuyas caras son pentágonos regulares, ver figura 37.

Figura 37. Dodecaedro

Por lo que el área y volumen de un dodecaedro, se definen como:

EJEMPLO 1

Calcular el área y volumen de un dodecaedro de 15 cm de arista.

SOLUCIÓN

Aplicando la ecuación para el cálculo del área, se tiene:


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51

Y para el volumen:

ÁREA Y VOLUMEN DE ICOSAEDRO

En el icosaedro todas las caras son triángulos equiláteros, ver figura 38.

Figura 38. Icosaedro

Por lo que el área y el volumen se definen como:


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52

EJEMPLO 1

Calcular el área y volumen de un icosaedro de 7 m de arista.

SOLUCIÓN

Aplicando la formula para el cálculo del área, se tiene:

Y para el volumen:


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53

EJERCICIO 5

1. Hallar el área y volumen de un octaedro regular cuya arista es igual a 6 cm.

2. Hallar el área y volumen de un tetraedro regular cuya arista vale 2 cm.

3. Hallar el área y volumen de icosaedro regular cuya arista es igual a 4 cm.

4. Hallar el área y volumen de dodecaedro cuya arista vale 2 cm.

5. Hallar el área y volumen de un cubo cuya arista es igual a 9 cm.

6. Sabiendo que el área de un octaedro regular es , calcular la longitud de la arista.

7. Sabiendo que el área de un icosaedro regular es , calcular la longitud de la arista.

8. Sabiendo que el área de un tetraedro regular es , calcular la longitud de la arista.

9. Sabiendo que el área de un cubo regular es , calcular la longitud de la arista.

10. Sabiendo que el área de un octaedro regular es , calcular la longitud de la arista.

11. Determinar cual de los poliedros regulares tiene mayor área y volumen si la longitud de la arista es

de 7 cm, y es igual para todos los poliedros.


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54

UNIDAD 6. CUERPOS DE REVOLUCIÓN

OBJETIVOS

I. Identificar los elementos de los cuerpos de revolución.

II. Conocer como se generan los cuerpos de revolución.

III. Calcular el área de los cuerpos de revolución.

IV. Calcular el volumen de los cuerpos de revolución.

LOGROS

Identifica los elementos básicos de un cuerpo de revolución.

Calcula el área de los cuerpos de revolución.

Calcula el volumen de los cuerpos de revolución.


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55

CUERPOS DE REVOLUCIÓN

Son cuerpos geométricos que surgen a partir de otros cuerpos que son planos pero que giran alrededor

de uno de sus lados llamado eje. En la rotación los puntos mantiene la misma distancia del eje.

El lado de la figura plana que gira se llama generatriz. Todos los puntos de la generatriz describen

circunferencias cuyos centros están en el eje.

CILINDRO

Se llama cilindro de revolución o cilindro circular recto a la porción de espacio limitado por superficie

cilíndrica de revolución y dos planos perpendiculares al eje. Las secciones producidas por dichos planos

son dos círculos llamados bases del cilindro. La distancia entre la bases se llama altura.

También se considera al cilindro como el cuerpo generado por un rectángulo que gira sobre un lado.

Podría ser considerado como un prisma cuyas bases sean círculos. Ver figura 39.

Figura 39. Cilindro

ÁREA DE UN CILINDRO

ÁREA LATERAL

Es el área de la superficie cilíndrica que lo limita. Par calcular el área lateral del cilindro se desarrolla en

cilindro desplegando este desde una de sus generatrices. Ver figura 40.

Generatriz Bases

Alt

ura

Eje


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56

El área lateral de un cilindro circular recto es igual a la longitud de la circunferencia de la base por la

generatriz del cilindro, es decir la altura del cilindro. Por lo que el área lateral es:

Figura 40. Desarrollo de un cilindro

ÁREA TOTAL DE UN CILINDRO

El área total de un cilindro es igual a la suma del área lateral y el área de las bases. Como las bases son

círculos el área de cada una de ellas es:

Por lo que el área total del cilindro es:


r

Base

r


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57

VOLUMEN DEL CILINDRO

Es el límite del volumen de un prisma inscrito de base regular cuyo número de lados crece

infinitamente. Como el volumen del prisma es el producto del área de la base por la altura, se tiene:

Ya que la altura es la generatriz. Ver figura 40.

EJEMPLO 1

Determinar el área total y volumen de cilindro cuyo radio de la base es 5 cm y cuya generatriz tiene una

longitud de 10 cm.

SOLUCIÓN

Según la ecuación para el área, se tiene:


Y el volumen:


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58

EJERCICIO 6

1. Hallar el are de un cilindro circular recto, si el radio de la base mide 4 cm y la generatriz 11 cm.

2. Hallar la generatriz de un cilindro, si se sabe que su área lateral es 756,6 cm2 y el radio de la base

mide 10 cm.

3. Hallar el área total de un cilindro si el radio de la base mide 20 cm y la generatriz 30 cm.

4. Hallar la generatriz de un cilindro cuya área total es 408,2 cm2 si el radio de la base mide 5 cm.

5. Hallar el volumen de un cilindro cuyo radio de la base es 7 cm y cuya altura es de 15 cm.

6. Hallar el volumen de un cilindro sabiendo que: el área total es 75,36 m2 y su generatriz es el doble

del radio de la base.

7. ¿Que cantidad de ladrillo se necesita para construir un deposito cilíndrico cerrado por ambas bases

que tenga 0,6 m de radio y 1,8 m de altura?

8. Se desea impermeabilizar el suelo y las paredes interiores de un aljibe circular abierto por arriba. El

radio de su base mide 4 m y la altura 5 m. Si cuesta $ 1800. Impermeabilizar 1 m2. ¿cual es el costo

de toda la obra?

9. Toma lápiz, reglas y compas y dibuja el desarrollo de un cilindro recto cuya base tiene 2 cm de radio

y su altura es de 8 cm.

10. Las paredes de un pozo de 12 m de profundidad y 1,6 m de diámetro han sido repelladas a razón de

$ 4000 el metro cuadrado. ¿Cuanto costo la obra?


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59

CONO CIRCULAR RECTO

Es la figura geométrica generada por un triangulo rectángulo al girar sobre uno de sus catetos. Podría

ser considerado como una pirámide cuya base sea un círculo, ver figura 41.

Figura 41. Cono

La porción de espacio limitada por una superficie cónica de revolución y un plano perpendicular al eje,

se llama cono circular o cono de revolución.

ÁREA LATERAL DE UN CONO RECTO

Uno de los catetos es el radio del cono, este es el que forma parte del plano, que contiene la base del

cono.

Al construir con radio , el sector circular del arco igual a la circunferencia de la base del cono, se

obtiene el desarrollo de la superficie lateral del cono.

Base

Generatriz

Radio Alt

ura


Decreto 3011 del 30/11/1994



60

Figura 42. Desarrollo del cono

Como el área de un sector circular es igual al semiproducto de la longitud de su arco por la medida del

radio, se tiene:

El área lateral del cono circular es igual a semicircunferencia de la base, multiplicado por la medida de la

generatriz. Ver figura 42.

ÁREA TOTAL DEL CONO

Resulta de sumarle al área lateral el are de la base que es un círculo, por lo tanto:

Por lo que el área total es:

VOLUMEN DEL CONO

Es el límite del volumen de una pirámide inscrita de base regular cuyo número de lados aumenta

infinitamente. Como el volumen de la pirámide es la tercera parte de la base por la altura, se tiene:

r

V

V


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61

EJEMPLO 1

Determinar el área total y el volumen de un cono circular recto cuya generatriz es 10 cm, cuyo radio de

la base es 5 cm y cuya altura es 8 cm.

SOLUCIÓN

Aplicando la formula:



Decreto 3011 del 30/11/1994



62

EJERCICIO 6.1

1. Hallar el área lateral de un cono sabiendo que el radio de la base mide 6 cm y la altura 4 cm.

2. Hallar el área lateral de un cono, si se sabe que el radio de la base mide 6 cm y la altura 8 cm.

3. Hallar el are total de un cono si la generatriz mide 9 cm y el radio de la base 5 cm.

4. Hallar el área total de un cono sabiendo que el área lateral mide y el radio mide 4 cm.

5. Una torre acaba en forma de cono, cuyo diámetro es de 4 m y su altura de 7 m. Se quiere forrar de

teja dicho cono. Si el precio de la teja es de $ 8400 m2, ¿cual es el precio?

6. Hallar el área total y el volumen de un cono que mide 15 cm de alto y su generatriz mide 17 cm.

7. Hallar el volumen de un cono si la generatriz mide 7 cm, la altura 5 cm.

8. Hallar el volumen de un cono si el radio de la base mide 12 cm y la altura 20 cm.

9. Hallar el volumen de un cono donde el radio es la tercera parte de la altura que es tres cuartas

partes de la generatriz que mide 30 cm.

10. Hallar el volumen de un cono, donde el área total es . El radio y la altura están en relación

1:2.


Decreto 3011 del 30/11/1994



63

TRONCO DE CONO

Es la porción de cono circular recto comprendida entre la base y un plano paralelo a ella. Los dos círculos

que limitan al tronco de cono son las bases. La distancia entre las bases es la altura y la porción de la

generatriz del cono es la generatriz del tronco de cono. Ver figura 43.

Figura 43. Tronco de Cono

La porción de cono comprendida entre el vértice y el plano paralelo a la base, se llama cono deficiente.

El tronco de cono también puede ser definido como el cuerpo formado al hacer girar un trapecio

alrededor de su lado perpendicular a las bases.

ÁREA LATERAL DEL TRONCO DE CONO

Para obtener el área lateral se supondrá que el tronco de cono esta inscrito un tronco de pirámide

regular, de apotema .

Si se denominan como P y P’ a los perímetros de las bases, se tiene:

r'

r O

O’ A

B

A

ltu

ra h

r

Bases


Decreto 3011 del 30/11/1994



64

Si el numero de las caras del tronco de pirámide. Se aumenta infinitamente. P y P’ tiene por limites los

valores y y la apotema del tronco de pirámide tiene por limite el valor de la generatriz del

tronco de cono. Entonces se tiene:

El tronco de cono queda caracterizado por los radios de las bases, r y r’, la altura, h, y la generatriz, g,

entre las cuales se da la relación:

ÁREA TOTAL DEL TRONCO DE CONO

Para determinar el área total del tronco de cono, se suma el área lateral más el área de las bases. Por lo

que si:

Y

Entonces el área total es:


Por lo tanto

VOLUMEN DEL TRONCO DE CONO


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65

El volumen del tronco de cono es análogo al del tronco de pirámide regular por lo tanto, se tiene:

Donde h es la altura, r y r’ los radios de las bases del tronco de cono.

EJEMPLO 1

Determinar el área total y el volumen de un tronco de cono cuyos radios son 4 y 6 cm respectivamente y

cuya altura es 10 cm.

SOLUCIÓN

Par el cálculo del área total es necesario el valor de la generatriz, por lo tanto aplicando la relación:

Despejando la generatriz:

Aplicando el la ecuación para el área total:

Y para el volumen:


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66


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67

EJERCICIO 6.2

1. Hallar el área lateral de un tronco de cono cuya altura mide 8 cm y los radios de las bases miden 4

cm y 10 cm respectivamente.

2. Determinar el área lateral de un tronco de cono donde los radios mayor y menor guardan una

relación de 4:2 y se sabe que el menor mide 12 cm y la altura 20 cm.

3. Hallar el área total y el volumen de un tronco de cono cuya altura mide 4 cm, si los radios de las

bases miden 9 cm y 6 cm respectivamente.

4. Hallar el área lateral, área total y volumen de un tronco de cono, si se sabe que los radios de las

bases miden 11 cm y 5 cm y la altura 8 cm, respectivamente.

5. En un tronco de cono cuyas bases tienen radios de 17 cm y 22 cm y cuya altura es de 12 cm:

a. Hallar su generatriz.

b. Hallar el área lateral.

c. Hallar el área total.

d. Calcular el volumen.

6. El área lateral de un tronco de cono es 560 π cm2. El radio de la base mayor y la generatriz son

iguales. El radio de la base menor vale 8 cm y la altura del tronco de cono mide 16 cm. Hallar la

generatriz.

7. Calcular el área y el volumen de un tronco de cono cuyo radio mayor mide 12 cm, radio menor 7 cm

y altura 20 cm.

8. Un cono cuya base tiene un radio de 12 cm y cuya altura es de 16 cm es cortado por un plano

perpendicular a su eje que pasa a 4 cm de la base. determinar las dimensiones, el área lateral y el

área total del tronco de cono formado.

9. En un jardín se tiene 32 macetas con forma de tronco de cono. Los radios de sus bases miden 14 cm

y 20 cm, respectivamente, y su generatriz, 38 cm. Calcular cuanto cuesta pintarlos (solo la parte

lateral) si cuesta $4000 Cada metro cuadrado de pintura y mano de obra.

10. Un cono circular recto cuya radio de la base mide 13 cm, es cortado a 10 cm de su base por un

plano paralelo. Determinar su área lateral, su área total y volumen si la generatriz del tronco

resultante mide 15 cm.


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ESFERA

Una esfera es el cuerpo de revolución que se obtiene al girar un semicírculo alrededor de su diámetro. El

centro y el radio de la esfera son los del semicírculo que la genera.

La superficie de la esfera o superficie esférica se puede definir como el lugar geométrico de los puntos

del espacio cuya distancia al centro es igual, a esta distancia se le llama radio.

Un plano y una esfera pueden ser exteriores (sin puntos comunes), tangentes (con un solo punto

común) o secantes, si el plano atraviesa la esfera.

La intersección de una esfera con un plano es un círculo cuyo radio, r, se obtiene conociendo el radio de

la esfera, R, y la distancia, d, del plano al centro de la esfera:

Figura 44. Intersección De Una Esfera y Un Plano

Si el plano pasa por el centro de la esfera (la corta diametralmente), ver figura 44, el círculo que se

determina se llama círculo máximo y la circunferencia correspondiente circunferencia máxima.

Un plano diametral divide la esfera en dos partes llamados hemisferios.

Para el calcula del área y volumen de la esfera, se utiliza las formulas:

El área de la superficie esférica es:

El volumen de una esfera es:


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En la vida cotidiana se encuentran muchos ejemplos de esferas como en una pelota o una canica, pero

el caso más particular es en la esfera terrestre.

LA ESFERA TERRESTRE

Como la Tierra tiene forma casi esférica (está un poco achatada por los polos), es llamada esfera

terrestre.

Figura 45. Esfera Terrestre

Sobre ella se trazan líneas imaginarias, que permiten precisar la posición de cualquier punto sobre ella,

por ejemplo, la posición de un pueblo o ciudad. Esas líneas son: el eje terrestre, el ecuador, los paralelos

y los meridianos.

El eje de rotación o eje terrestre, en cuyos extremos se sitúan el polo norte y el polo sur.

El ecuador, que es la circunferencia máxima perpendicular al eje terrestre.

Los paralelos, circunferencias paralelas al ecuador, menores que él.

Los meridianos, semicircunferencias que unen los polos. Se llama meridiano cero al que pasa por

Greenwich, que es una ciudad inglesa muy cerca de Londres.

EJEMPLO 1

Calcular el área y volumen de una esfera de radio 2 cm.

SOLUCIÓN

Paralelo

Ecuador

Meridiano

Polo Norte

Polo Sur


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70

Aplicando la formula para el área, se tiene:

Para el volumen:


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71

EJERCICIO 6.3

1. Calcular el área y volumen de una esfera de 8 cm de radio.

2. Calcular el área de una esfera de 5 cm de radio y de una cuyo radio es el doble de la primera.

Describir los resultados.

3. Consultar como se determina la posición de un lugar en la esfera terrestre y realizar algunos

ejemplos.

4. La cúpula de un edificio tiene forma de media esfera cuyo radio mide 9 metros. Calcula su

superficie.

5. Un pintor ha cobrado $100000. Por pintar el lateral de un deposito cilíndrico de 4 m de altura y 4 m

de diámetro. ¿Cuanto debe cobrar por pintar un depósito esférico de 2 m de radio?

6. Una esfera de cobre se funde y con el metal se hacen conos del mismo radio de la esfera y de altura

igual al doble del radio. ¿Cuántos conos se obtienen?


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72

UNIDAD 7. MOVIMIENTOS PLANOS

OBJETIVOS

I. Conocer los movimientos presentes en el espacio.

II. Realizar translación de figuras en el espacio.

III. Realizar rotación de figura en el espacio.

IV. Realizar reflexiones y simetrías en el espacio.

LOGROS

Conoce y diferencia entre los diferentes movimientos en el espacio.

Realiza translaciones de figuras con especificaciones dadas.

Realiza rotaciones aplicando los elementos básicos.

Construye figuras a partir de la simetría y la reflexión.

Construye figuras a partir de los movimientos planos.


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73

MOVIMIENTOS PLANOS

La geometría no es sólo el estudio de las figuras y sus propiedades, sino también los movimientos de

esas figuras. El deslizarse en una patineta o en una pista de hielo, trasladarse en una escalera mecánica,

girar en un auto o en la rueda o verse en un espejo son movimientos físicos. Algo interesante en estos

movimientos es que la persona o el objeto que se desliza, gira o se voltea no cambia de forma ni

tamaño.

Esos movimientos inducen en la geometría el estudio de las transformaciones de figuras. Traslación,

rotación, reflexión de figuras son movimientos estudiados por la geometría. La geometría describe los

movimientos al estudiar la correspondencia entre los puntos de la figura original y los puntos de la

nueva figura o imagen.

TRANSLACIÓN

Para comprender el concepto de translación conviene pensar en un deslizamiento sobre el plano. En la

vida cotidiana se encuentran muchos ejemplos de deslizamientos, por ejemplo:

cuando se abre una gaveta.

cuando se abren o se cierran las verjas en las casas.

cuando se practican deportes como el patinaje.

En la traslación del tamaño, la forma y la orientación de la figura permanecen constantes. Como se

observa en la figura 46.

Figura 46. Translación

En la figura 46, se observa que AA’, BB’, CC’ y DD’ son paralelas. Sin embargo, la traslación se puede

realizar en cualquier dirección.

A

B

C

D

A’

B’

D’

C’


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74

Para realizar una traslación solo basta con tener una dirección de movimiento y el número de posiciones

que se moverá o trasladara la figura.

EJEMPLO 1

Realizar la translación de las figuras, en la cantidad y dirección indicada.

Figura 47.

SOLUCIÓN

Realizando la translación de cada vértice de las figuras se obtiene:

Figura 48

7 posiciones

10 posiciones A

B

C

D E

F

O P

Q

R S

7 posiciones

10 posiciones A

B

C

D E

F

O P

Q

R S

A’

B’

C’

D’ E’

F’

O’ P’

Q’

R’ S’


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75

EJERCICIO 7.1

1. dibujar las figuras y realizar la translación indicada.

a. 5 posiciones hacia la derecha

b. 4 posiciones hacia arriba

c. 6 posiciones diagonal arriba

d. 3 posiciones transversal abajo.

2. Investiga herramientas para realizar translación de figuras y construye una de ellas como el

TRASLATORE DI KEMPE.

3. Copiar el mosaico sobre un material transparente (papel vegetal o acetato) y desplazar la copia

horizontal y verticalmente varias veces. Observar que ocurre.


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77

ROTACIÓN

La rotación o giro es otro de los procedimientos para conseguir las transformaciones geométricas. Se

tienen ejemplos de giros en muchas de actividades cotidianas:

el movimiento de las agujas de un reloj

al abrir una puerta

el movimiento del volante al manejar un carro

Para realizar una rotación en el plano se debe fijar un punto llamado centro de giro sobre él que gira la

figura. También se debe definir o concretar el ángulo de giro que se quiere aplicar.

En la rotación permanece el tamaño y la forma de la figura, pero no la orientación. El centro de giro

puede ser un punto de la figura o puede ser un punto externo a ella. Como se ve en la figura 49.

Figura 49. Rotaciones

En el triangulo ABC de la figura 49 el centro de giro esta sobre el vértice A. para paralelogramo RSTU el

centro de giro esta en un punto externo Q.

C

B A

B’

C’

S

T U

R

Q

R’

S’

T’

U’

R’’

S’’

T’’

U’’


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78

EJEMPLO 1

Girar el grafico 90o, 180o, 270o sobre el punto Q como se ilustra en la figura.

Figura 50.

SOLUCIÓN

Utilizando el punto de referencia Q y un transportador se obtienen las rotaciones solicitadas.

Figura 51.

Q

90o

180o 270o


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79

EJERCICIO 7.2

1. dibujar las figuras y rotarlas 90o, 180o, 270o sobre el punto indicado.

2. investiga y construye el PANTÓGRAFO DE SYLVESTER para rotaciones.

ORDEN GIRO

Hay figuras que al girar sobre un punto vuelven a coincidir consigo mismas. A ese punto se le llama

centro de giro y se dice que la figura es simétrica por rotación.

Dependiendo del número de veces que la figura coincide consigo misma al girarla 360o, se la clasifica

diciendo que tiene simetría de giro de orden 2, de orden 3, de orden 4, etc.

Figura 52.

En la figura se pueden observar tres graficas cuyo orden de giro, tomando de referencia al punto O es:

Figura A: simetría de giro de orden 2

Figura B: simetría de giro de orden 3

Q

P

O

O

O


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80

Figura C: simetría de giro de orden 4

EJERCICIO 7.3

1. Determinar cual es el orden de simetría de giro de la figuras.

2. Dibujar una figura que tenga simetría de giro de orden 3, 4 y 6.

A B C

D E F


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SIMETRÍA O REFLEXIÓN

El concepto de simetría o reflexión, como el deslizamiento y el giro, también está muy presente en la

vida cotidiana.

Por una parte, el entorno está lleno de formas que poseen al menos, un eje de simetría: muchas hojas

de los árboles, algunos animales: mariposas, estrellas de mar, etc. Como se observa en la figura 53.

Figura 53. Simetrías Cotidianas

De otro lado, las personas están familiarizadas con el concepto ya que cada vez que se miran al espejo,

lo que ven es una reflexión o simetría de su imagen.

En el plano, la figura simétrica a una dada, respecto a una línea, es la que se vería en un espejo colocado

verticalmente sobre la línea. A esta línea se le llama eje de reflexión. Ver figura 54.

Figura 54.

Eje de simetría

P P’

Eje de reflexión


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82

En la reflexión las propiedades de tamaño y forma permanecen, pero la figura obtenida no puede

coincidir con la original ni por traslación ni por giro. Las isometrías (movimientos rígidos o congruencias)

de un plano, diferentes de la identidad, se clasifican según la cantidad de puntos fijos que tienen.

Las que tienen más de un punto fijo, por lo tanto tienen fijos todos los puntos de una recta, son las

reflexiones cuyo eje es esa recta.

Se dice que una figura tiene simetría axial (o eje de simetría) si se puede marcar una línea, de tal forma,

que si se pliega la figura a lo largo de esa línea, las dos mitades coinciden.

Otra forma de comprobar si se tiene simetría axial consiste en colocar un espejo verticalmente a la

figura, sobre el eje de reflexión; la mitad de la figura que queda a la vista y la imagen que se ve en el

espejo, deben formar la figura original.

EJEMPLO 1

Figura 55.

Comprobación con espejo Comprobación por doblez


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83

EJERCICIO 7.3

1. Dibujar las figuras simétricas a las dadas:

2. Dibujar las el reflejo que aparecería, ubicando un espejo a lo largo de la línea.


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84

3. Construye un rombo articulado para la construcción de figuras con simetría axial.


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85

4. Completa las figuras.

Figura 56.

Figura 57.


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86

UNIDAD 8. TRIGONOMETRÍA

OBJETIVOS

I. Conocer las funciones trigonométricas.

II. Aplicar las funciones trigonométricas en la solución de problemas de la vida diaria.

LOGROS

Conoce las funciones trigonométricas básicas.

Aplica las funciones trigonométricas para la solución de problemas de la vida real.


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87

TRIGONOMETRÍA

ANGULO TRIGONOMÉTRICO

En trigonometría el concepto de ángulo se mantiene ya que este esta formado por dos semirrectas con

origen común.

Adicionalmente se ha convenido que los ángulos cuya dirección sea contraria al sentido de giro de las

manecillas del reloj sean considerados positivos y negativos a los que son medidos en el sentido de las

manecillas del reloj. Ver figura 58.

Figura 58. Ángulos Trigonométricos

Cuando las semirrectas coinciden después de dar un giro completo el ángulo formado es de 360o.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ANGULO AGUDO EN UN TRIANGULO

RECTÁNGULO.

Figura 59. Triangulo ABC

O O

α

-α

A

C

B

b a

c


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88

Al considerar el triangulo rectángulo ABC rectángulo en A (figura 59). Las funciones o razones

trigonométricas de los ángulos agudos A y B son:

SENO: es la razón entre el cateto opuesto a la hipotenusa. El seno se nota como . Es decir:

COSENO: es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa. El coseno se nota como . Es

decir:

TANGENTE: es la razón entre el cateto opuesto y el cateo adyacente. Se nota como . Es

decir:

COTANGENTE: es la razón entre el cateto adyacente y el cateto opuesto. Se nota como . Es

decir:

SECANTE: es la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente, se nota como . Es decir:


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89

COSECANTE: es la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto, se nota como . Es decir:

EJEMPLO 1

Dado el triangulo rectángulo cuyos catetos miden 6 y 8 cm, calcular las funciones trigonométricas del

ángulo agudo mayor.

SOLUCIÓN

Construyendo una grafica para el ejercicio se tiene:

Figura 60.

Lo primero que hay que realizar es determinar la medida de la hipotenusa, lo cual se realiza mediante el

teorema de Pitágoras. Con lo que:


B A

C

a 8 cm

6 cm


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90

Despejando la hipotenusa:

Según la grafica el ángulo mayor es B, ya que el ángulo mayor es aquel donde se cumple que “a mayor

lado se opone mayor ángulo”. Por lo tanto

RELACIÓN ENTRE LA RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Algunos valores de las funciones trigonométricas se muestran en la tabla.

Función

0o 30o 45o 60o 90o

0 1

1 0

0 1

Los valores de las razones trigonométricas se relación, por ejemplo:

El seno, coseno y la tangente ya que estas tres razones no son independientes entre sí.

B


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91

Figura 61.

1. El cociente entre el seno y el coseno de un ángulo es su tangente:

Ya que, según la figura 61:

2. Para cualquier ángulo , se verifica que:

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Una de las aplicaciones más inmediatas de la trigonometría es la resolución de triángulos. Para resolver

un triángulo se debe determinar o conocer el valor de sus tres lados y sus tres ángulos.

El uso de las razones trigonométricas junto con el teorema de Pitágoras, permiten resolver cualquier

triángulo rectángulo conociendo dos datos, donde uno de ellos debe ser un lado.

CONOCIDOS DOS LADOS

Para este caso de triángulos rectángulos se siguen los siguientes pasos:

1. El tercer lado se halla o calcula aplicando el teorema de Pitágoras.

2. Uno de los ángulos agudos aplicando la razón trigonométrica que relacione los dos lados conocidos.

3. Para calcular el otro ángulo agudo basta considerar que la suma de los ángulos agudos de un

triangulo rectángulo es de 90o.

A

C


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92

EJEMPLO 1

Resolver el triangulo rectángulo ABC, recto en A si los catetos miden 4 cm y 3 cm, y .

SOLUCIÓN

Según la información, una grafica del triangulo seria la de la figura 62.

Figura 62.

Por lo que lo primero es determinar el tercer lado utilizando el teorema de Pitágoras, por lo que:

El segundo paso es hallar uno de los ángulos. Como los lados conocidos son los catetos, la función

aplicable es la tangente o su inversa la cotangente. Utilizando la tangente.

Despejando C:

A

C

B

3 cm

4 cm


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93

Convirtiendo a grados minutos y segundos, se tiene:

Para calcular el tercer ángulo, se debe comprobar que A y B sumen 90o, por lo tanto:

Despejando a B:

El triangulo rectángulo ABC, se muestra en la figura 63.

Figura 63.

CONOCIDOS UN LADO Y UN ANGULO

Para este tipo de triángulos el ángulo conocido debe ser agudo. El proceso es similar al caso anterior.

Por lo que los pasos a seguir son:

1. Se calcula otro lado mediante la razón trigonométrica que relacione el ángulo conocido y el lado

conocido.

2. El tercer lado se calcula mediante el teorema de Pitágoras; o bien, mediante otra razón

trigonométrica.

3. El segundo ángulo solo se aplica que la suma de los ángulos agudos de un triangulo rectángulo debe

ser igual a 90o.

A

C

B

3 c

m

4 cm

5 cm


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94

EJEMPLO 1

Resolver el triangulo rectángulo ABC recto en B, si el lado tiene una longitud de 6 cm y el angulo A

tiene una medida de 50o.

SOLUCIÓN

Según la información del enunciado se tiene que:

Figura 64.

Lo primero es calcular uno de los lados, el cual puede ser el cateto adyacente o la hipotenusa, para el

caso del cateto adyacente.

Despejando :

Ahora la longitud de la hipotenusa, usando el teorema de Pitágoras:

A

B

C

6 c

m

50o

c

b


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95

Como la suma de los dos ángulos agudos de un triangulo rectángulo debe ser 90o, entonces:

Con los valores encontrados el triangulo rectángulo queda resulto como se ve en la figura 65.

Figura 65.

A

B

C

6 c

m

50o

5,037 cm

7,833 cm

40o


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96

EJERCICIO 8

1. Comprobar mediante el teorema de Pitágoras que se cumple

2. Determinar las razones trigonométricas para los siguientes triángulos.

3. Resolver los triángulos rectángulos.

A

B

C

5 c

m

c

10 cm

A

B C

8 c

m

4 cm

b

C

B

A

4 cm

7 cm c

A

B

C

7 c

m

c

9 cm

C

b 60o

18 cm

A

b c

A

B

C

a

9 cm

20 cm


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97

APLICACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS EN LA SOLUCIÓN DE

PROBLEMAS

Las técnicas para la resolución de triángulos rectángulos pueden aplicarse para resolver diversas

situaciones cotidianas de medición.

Algunas de estas aplicaciones se presentan a continuación.

EJEMPLO 1

Una escalera de 9 m. está apoyada contra la pared; qué altura alcanza si forma con el suelo, un ángulo

de 72o.

SOLUCIÓN

Según los datos se tiene que:

Figura 66.

Con la figura 66. Se observa que la altura de la pared corresponde al cateto opuesto con relación al

ángulo formado por la escalera con el piso, y que además la longitud de la escalera es la hipotenusa del

triangulo por lo que aplicando la función , se tiene:

Despejando el cateto opuesto


72o

9 m


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98

Por o que altura de la pared es de 8,56 metros.

EJEMPLO 2

¿Cuál es el radio de una circunferencia inscrita en un pentágono regular de 2 cm de lado?

SOLUCIÓN

Figura 67.

Para determinar el radio de la circunferencia que coincide con la apotema del polígono (figura 67).

Primero se calcula el ángulo central del polígono:

Por lo que el ángulo es de 360.

Aplicando la función trigonométrica tangente se obtiene:

Despejando al cateto adyacente y remplazando valores:

2 cm 1 cm

r


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99

Por lo que el radio de la circunferencia inscrita es de 1,38 cm.

EJEMPLO 3

La estatua CD está colocada sobre una columna BC de 40 m de alto, a una distancia AB de 25 m del pie

de la columna, la estatua se ve bajo un ángulo de 5o, ¿cuál es la altura de la estatua?

SOLUCIÓN

Figura 68.

Para determinar la altura de la estatua según la figura 68. Hay que determinar la altura desde el piso

hasta la estatua ( ). Por lo que:

Hallando el ángulo A:

Despejando A:

40 m

25 m

5o

D

A

B

C


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100

Luego el ángulo BAD es:

Aplicando tangente para determinar la longitud de :

Por lo que:

Luego la atura de la estatua es:

EJEMPLO 4

Desde lo alto de un faro de 150 m. de altura se observa una embarcación a un ángulo de depresión de 23o 30'; calcular la distancia del faro a la embarcación.

SOLUCIÓN

Figura 69.

150 m

23o 30’

d α


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101

Como los ángulos alternos internos entre paralelas son iguales y aplicando la función tangente se tiene:

Por lo que la distancia desde el faro hasta la embarcación es de 344,99 metros.


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102

EJERCICIO 8.1

1. Para determinar la altura de una torre transmisora que se encuentra sobre un cerrito, un topógrafo

se sitúa a 300 metros de la torre sobre el suelo nivelado. Si el topógrafo mide que el ángulo de

elevación a la cúspide de la torre es de 40o, y si la elevación del montículo de tierra es de dos metros

con respecto al suelo nivelado. ¿Qué altura tiene la torre?

2. La torre Eiffel, símbolo de la ciudad de París fue terminada el 31 de marzo de 1889; era la torre más

alta hasta que inició la era de las torres de televisión. Encuentra la altura de la torre Eiffel, (sin

contar la antena de televisión que está en su cúspide) usando la información proporcionada en la

figura 70.

Figura 70.

3. Sobre la azotea de una iglesia se encuentra una cruz monumental como se muestra en la figura. Se

hacen dos observaciones desde el nivel de la calle y a 30 pies desde el centro del edificio. El ángulo

de elevación hasta la base de la cruz es de 45o y el ángulo medido hasta el extremo de la cruz es de

47,2o ¿cuánto mide la cruz?

4. Calcular cuánto mide el radio del círculo inscrito y el del círculo circunscrito en el pentágono regular

cuyos lados miden 25 cm. Cada uno. Ver figura 71.

80 pies

85o 21’


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103

Figura 71.

5. El pie de una escalera de cinco metros de largo dista 1,9 metros de una pared vertical en la cual se

apoya; hallar el ángulo formado por ambas.

6. ¿Cuál es la altura del sol sobre el horizonte en el momento en que la longitud de la sombra de una

varilla vertical sea el doble de la longitud de la varilla?

7. La escalera de un carro de bomberos puede extenderse hasta una longitud máxima de 24 m. Cuando

se levanta un ángulo de 65o. Si la base de la escalera está a dos metros sobre el suelo, ¿qué altura

sobre este puede alcanzar la escalera?

8. Desde el extremo de una torre de 42 m de altura, el ángulo de depresión al extremo de otra es de

21o 50’. Si entre ambas torres hay una distancia de 72 m, calcular la altura de la segunda torre.

9. Desde la cúspide de un faro de 52 m de altura se observa que los ángulos de depresión a dos botes

alineados con él son de 16o 10’ y 35o respectivamente. Encontrar la distancia entre los botes.

10. A una distancia de 105 metros de la base de una torre, se observa que el ángulo de elevación a su

cúspide es de 38o 25’. Hallar su altura.

11. ¿Cuál es el ángulo de elevación del sol cuando una torre de 103 m de alto, proyecta una sombra de

167 m de largo?

12. Si el diámetro de La Tierra es de 7,912 millas, ¿cuál es el punto de su superficie más lejanamente

visible desde la cima de una montaña de 1.25 millas de alto?

13. Hallar el ángulo de elevación de la ladera de una montaña que en una distancia horizontal de un

octavo de kilometro alcanza una elevación de 238 metros.

14. Calcular el perímetro de un hexágono regular inscrito en una circunferencia de radio 18 cm.


Decreto 3011 del 30/11/1994



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Geometría 4

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