Geometria 5°

Nivelación Escolar 2015

5º Secundaria - Geometría Pág. 1

TRIÁNGULOS DEFINICIÓN: Es aquella figura geométrica formada al unir tres puntos no colineales mediante segmentos de recta. ELEMENTOS Vértices: A, B, C

Lados: 𝐴𝐵 , 𝐵𝐶 𝑦 𝐴𝐶

NOTACIÓN: ABC

Ángulos Internos: , , Ángulos Externos: x, y, z PERÍMETRO: 2p = a + b + c

PROPIEDADES FUNDAMENTALES 1.

2.

3.

PROPIEDADES AUXILIARES A. B. C. CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS I. SEGÚN LA MEDIDA DE SUS ÁNGULOS

a) Triángulo Rectángulo: Si tiene un ángulo recto

b) Triángulo Oblicuángulo: Es aquel

triángulo que no tiene ángulo recto. Los triángulos Oblicuángulos se

dividen en: Triángulo Acutángulo y Triángulo Obtusángulo.

x

x

y

z

A

B

C

x

a

b

xy

A

B

C

ab

c

x

y

z

x = + +

+ = a + b

+ = x + y

+ = 90°

+ + = 180º

x = +

x + y + z = 360º


Pág. 2 5º Secundaria - Geometría

Triángulo Acutángulo: Es aquel triángulo que tiene sus tres ángulos agudos.

, y < 90°

Triángulo Obtusángulo: Es aquel triángulo que tiene un ángulo obtuso, es decir mayor que 90°.

> 90°

II. SEGÚN LA MEDIDA DE SUS LADOS a) Triángulo Escaleno: Si tiene sus

lados diferentes.

a b

b c

c a

b) Triángulo Isósceles: Si tiene un par

de lados iguales.

a b

c) Triángulo Equilátero: Si tiene sus tres

lados iguales.

RELACIÓN DE CORRESPONDENCIA En todo triángulo al mayor lado se le opone el mayor ángulo y viceversa.

a > c >

RELACIÓN DE EXISTENCIA En todo triángulo un lado cualquiera siempre es menor que la suma de los otros dos pero mayor que su diferencia.

Tal que: a > b > c

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

01. Las medidas de los ángulos internos de

un triángulo están formando una

progresión aritmética. Calcule la medida

de uno de ellos

A) 80 B) 70 C) 60 D) 75 E) 65

02. En la figura m // n , calcule el valor de x.

A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60

03. Del gráfico calcule el valor de x.

ac

a

bca

bc

a – c < b < a + c



a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 35

04. En el gráfico mostrado α > θ, calcule el

valor entero de x.

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

05. Dos lados de un triángulo miden 4 y 6. Si

el tercer lado del triángulo mide el doble

de lo que mide uno de los otros dos,

calcule el perímetro de dicho triángulo.

A) 14 B) 18 C) 16 D) 22 E) 18 ó 22

06. En un triángulo dos de sus lados miden 4

y 10, calcule la medida del tercer lado

del triángulo si es el triple de uno de los

otros dos.

A) 12 B) 30 C) 14 D) 16 E) 20

07. En la figura entre que valores puede

variar x.

B

D

A C

6 10

x

12 19

A) 4 < x < 31 B) 4 < x < 28 C) 7 < x < 16 D) 6 < x < 14 E) 5 < x < 20

08. El perímetro de un triángulo es 20,

calcule la suma de los valores enteros

que puede tomar la medida de uno de

sus lados.

A) 20 B) 44 C) 35 D) 36 E) 45

09. Del gráfico mostrado calcule el valor de

x, si a + b = 150.

A) 75 B) 30 C) 40 D) 50 E) 35

10. A partir del gráfico calcule: x + y + w + z

A) 100 B) 150 C) 180 D) 400 E) 200

11. En el triángulo ABC: BC > AB > AC;

calcule el menor valor entero que puede

tomar m∢A

A) 46 B) 60 C) 31 D) 91 E) 61

12. En el lado AB de un triángulo ABC se

ubica el punto M y en AC el punto N,

de modo que MN=5, AN=7 y

m∢MNC=m∢B. ¿Cuántos valores

enteros puede tomar AM?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

20°

x°

α°

α° θ°

2θ°

θ°

θ°

y°

x° w°

100°

z°



13. En un triángulo ABC: m∢BCA>m∢BAC.

Calcule el máximo valor entero de AC,

siendo AB=5.

A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) 7

14. Las medidas de los ángulos interiores de

un triángulo son (x-y), (2y-x) y (x+y).

Calcule el mínimo valor entero de y.

A) 17 B) 29 C) 44 D) 46 E) 59

15. Calcule el valor de x.

A) 30 B) 45 C) 60 D) 75 E) 50

16. Calcule el valor de x, si α + θ = 80.

A) 10 B) 18 C) 20 D) 40 E) 16

17. Del gráfico mostrado calcule el valor de

θ.

A) 80 B) 60 C) 50 D) 40 E) 70

18. En la figura mBED=20, calcule el valor

de x.

A) 10 B) 15 C) 20 D) 30 E) 40

19. En el gráfico AB>BC, calcule el máximo

valor entero de x.

A C

B90°-x°

4x°

A) 17 B) 8 C) 11 D) 10 E) 9

20. En el triángulo ABC se conoce que

BC=11(AB) y AC=120. Calcule el valor

entero de AB.

A) 7 B) 9 C) 11 D) 13 E) 12

θ° α°

3x°

2x°

θ°

90°-α°

40°

β° 3β°

4α°

θ° θ°

α° α°

3x°

x°

Las matemáticas

es la madre

de todas las ciencias.



CUADRILÁTEROS

Definición: Es aquel polígono de cuatro lados. Se clasifican según el paralelismo de sus lados en tres tipos, trapezoides, trapecios y paralelogramos.

TRAPEZOIDE DEFINICIÓN: Es el cuadrilátero convexo que no tiene lados paralelos. TRAPEZOIDE SIMÉTRICO: Denominado también trapezoide bisósceles, es cuando una diagonal es mediatriz de la otra diagonal.

PROPIEDADES QUE SE CUMPLEN EN TODO CUADRILATERO

1.

+ + + = 360º

2.

x + y + w + z = 360º

3.

+ = x + y 4.

5.

6.

+ = x + y

TRAPECIO

DEFINICIÓN: Es el cuadrilátero que tiene dos lados paralelos a los cuales se les denominan bases.

A

B

C

D

w

z

x

y

xy

x y

2

DmAmx

ÙÙ

+=

2

AmCmx

ÙÙ

-=

)AmCm(ÙÙ

>

A

B

D

C

M N

H

AB no es // CD

BC no es // AD

A

B

C

D

x

A

B

C

D

x



Elementos:

Bases :BC 𝑦 AD

Altura :BH

Mediana :MN CLASIFICACIÓN Trapecio escaleno Trapecio rectángulo Trapecio isósceles Propiedades Si: BC// AD

1.

2.

3.

4.

6. En un Trapecio isósceles

7. En un trapecio isósceles

8.

PARALELOGRAMOS

Es todo cuadrilátero que tiene sus dos pares de lados opuestos paralelos.

2

ADBCMN

+=

2

BCADPQ

-=

2

bax

+=

2

ABCDx

-=

A

B C

Dm

a

x

b

A

B C

D

O

ïï

î

ïï

í

ì

==

Ð=ÐÐ=Ð

=

=

ODBO;OCAO

DmBm;CmAm

ADBC;AD//BC

CDAB;CD//AB

180º

A

B C

D

M N

A

B

D

C

P Q

A

B

C

D

a

bx

A B

C D

xP Q

A

B C

D

2

bam

2

bax

+=

-=

A

BC

DE

Se forma unparalelogramo

Se traza una paralela a un

lado



Observación: * Todo cuadrilátero que tenga dos lados

opuestos paralelos y congruentes, entonces es un paralelogramo.

CLASIFICACIÓN ROMBOIDE: Es el paralelogramo en el cual dos ángulos consecutivos y dos lados consecutivos son diferentes.

+ = 180°

RECTÁNGULO: Es el paralelogramo equiángulo. AC = BD

90

ROMBO: Es el paralelogramo equilátero.

CUADRADO: Es el paralelogramo equiángulo y equilátero a la vez.

A

B C

D

45º

A

B C

D

a

aa

a

45º

45º

45º

45º

45º

45º

45º

A

B C

D

A

B C

D

a

b

O

b

a

A

B

C

D

a

a

a a

Si: BC// AD y BC = AD

ABCD: Paralelogramo

AC BD

AC BD

AC BD

AC = BD = a 2

Gracias a la memoria se da en los hombres

lo que se llama experiencia.




01. En el gráfico, calcular el valor de x.

a) 75 b) 72 c) 90 d) 60 e) 54

02. En un paralelogramo ABCD: BD=AD y

m∢A=2(m∢CBD). Calcular m∢C.

a) 36 b) 45 c) 60 d) 72 e) 54

03. Dado un rectángulo ABCD, en BD se ubica el punto E y en la prolongación de

CE se ubica el punto F de modo que

CE=EF. Si BE=13 y ED=5, calcular AF.

a) 6 b) 8 c) 10 d) 7,5 e) 9

04. En la figura ABCD y EFGD son cuadrado, calcular el valor de x.

x°

CB

A D G

E F

a) 90 b) 75 c) 60 d) 45 e) 150

05. En el interior del rectángulo ABCD se

ubica el punto P, tal que m∢APD=90 y

m∢PAD=60. Si AD=8 3 y CD=10,

calcular la distancia de P a BC .

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 2

06. En el lado CD de un rombo ABCD se

ubica el punto M tal que BM y AC se

interseca en N. Si NC=CM=3 y MD=2,

calcular m∢CBM.

a) 37 b) 34,5 c) 53 d) 26,5 e) 36,5

07. En la figura ABCD es un rectángulo, HE=EC, BE=3 y ED=7. Calcular AH.

B

C D

A

H

E

a) 3 b) 4 c) 4,5 d) 5 e) 6

08. En el cuadrilátero ABCD: AB=BC=CD,

m∢A=80 y m∢D=40. Calcular m∢B.

a) 100 b) 90 c) 80 d) 120 e) 110

09. En un romboide ABCD las bisectrices de los ángulos A y D se intersecan interiormente en P. Si la distancia de P a

BC es 1 y la distancia de A a CD es 8,

calcular la distancia de A a BC .

a) 6 b) 4 c) 3 d) 5 e) 7

10. En un cuadrilátero ABCD: BD=12,

m∢A=m∢C=90 y m∢B=3(m∢D). Calcular AC.

a) 6 b) 6 3 c) 9

d) 12 e) 6 2

11. Si ABCD es un romboide, PQ=12 y EF=17, calcular EL.

a) 5 b) 4 c) 6 d) 3 e) 7

12. Se tiene un paralelogramo ABCD, en el

cual AB=BD y m∢ABD=37, calcular

m∢CAD.

a) 45 b) 22,5 c) 30 d) 60 e) 53

x°

7α°

α°

2α°

3θ°

θ° θ°



13. En la figura F es punto medio de CD ,

EB=4, BC=7 y AE=13. Calcular EF.

a) 12 b) 7 c) 8 d) 10 e) 9

14. En la figura AB=4, BC=6 y CD=7.

Calcular PQ.

a) 7 b) 7,5 c) 8 d) 8,5 e) 9

15. En el romboide ABCD: AB=6 y BC=8, las

bisectrices de los ángulos internos A y B

se intersecan en E, tal que m∢EDC=90. Calcular ED.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

16. Las medidas de los ángulos adyacentes

a la base mayor de un trapecio miden 25 y 65. Si las bases miden 8 y 20, calcular la medida del segmento cuyos extremos son los puntos medios de las bases.

a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 10

17. ABCD es un trapecio isósceles, BC // AD ,

tal que BC=3 y AD=13. Si CA es

bisectriz del ángulo BCD. Calcular la altura del trapecio.

a) 12 b) 6,5 c) 10

d) 9 e) 5 2

18. Del gráfico calcular el valor de x.

a) 15 b) 36 c) 45 d) 60 e) 75

19. En un cuadrilátero ABCD las bisectrices

interiores de los ángulos C y D se

intersecan en P tal que m∢CPD=30. Si

m∢B=20, calcular m∢A. a) 40 b) 50 c) 60 d) 70 e) 65

20. En el gráfico calcular el valor de x si 3α-

β=60.

a) 75 b) 80 c) 85

d) 100 e) 105

α°

α°

β° β°

α° α°

θ°

θ° 2x°

x°

x°

α°

θ° 3θ°

β°

3w°

x°

w°



CIRCUNFERENCIA DEFINICIÓN

Se denomina circunferencia al lugar

geométrico de todos los puntos de un plano

cuya distancia a otro punto del mismo plano

llamado centro, es constante. Esta longitud

constante se denomina radio.

Centro : O

Radio : OP , OP = R

Cuerda : CD

Diámetro : AB , AB = 2R

Secante : m

Tangente : n

Arco : CD , CTD

Flecha o Sagita : MH

Punto de tangencia : T

Longitud de la circunferencia: 2R

Área del círculo: R2

= 3.1416 ó = 22/7

CÍRCULO

Es aquella superficie plana determinada por

la unión de una circunferencia y su región

interior.

PROPIEDADES

1. Si: L es tangente

OT es radio

Entonces:

OT L ; =90°

2. Si: O es centro ABON

Entonces:

AM = MB y mAN = mNB

3. Si mAB = mCD

Entonces:

AB = CD ; OM = ON

4. Si: m//CD//AB

Entonces:

mAC = mBD

mCT = mTD

5. Si: PByPA son tangentes y O es centro.

Entonces:

PA = PB

=

TEOREMA DE PONCELET

En todo triángulo rectángulo la suma de las

longitudes de los catetos es igual a la suma

de las longitudes de la hipotenusa y el

diámetro de la circunferencia inscrita.

Secumple:

a + b = c + 2r

Donde: r es el inradio del triángulo ABC

TEOREMA DE PITHOT

En todo cuadrilátero circunscrito a una

circunferencia, la suma de las longitudes de

dos lados opuestos es igual a la suma de las

longitudes de los otros dos lados.

Se cumple:

a + c = b + d

O A B

C

D

M

H R P

m

n

T

A M

O

N

B

L

T O

A

M

O

N D

C

B

A

C

B

D

T m

A

B

P

O

C

A B

a b

c

r

A

B

C

D

a

b

c

d



POSICIONES RELATIVAS DE DOS

CIRCUNFERENCIAS COPLANARES

Circunferencias Exteriores

O1 O2 > R + r

Circunferencias Tangentes Exteriores

O1 O2 = R + r

Circunferencias Secantes

R – r < O1 O2 < R + r

Circunferencias Tangentes Interiores

O1 O2 = R – r

Circunferencias Interiores

O1 O2 < R – r

Circunferencias Concéntricas

ÁNGULOS ASOCIADOS A LA

CIRCUNFERENCIA

Ángulo Central

O : centro

=

Ángulo Inscrito

2

=

Ángulo Ex – inscrito

2

+=

Ángulo SemiInscrito

T: punto de tangencia

2

=

Ángulo Interior

2

+=

Ángulo Exterior

2

-=

T: punto de tangencia

2

-=

O1

R

O2

r

O1 O2

R

r

O1

R

O2

r

O1

R

O2

r

T

R

O1 O2

r

r R

O

T

O

P

C

A

T



2

-=

Además se cumple:

+ = 180°

A y B son puntos de

tangencia.

Además se cumple: + = 180°

A y B son puntos de tangencia.


01. En la figura mostrada M, N, P y Q son

puntos de tangencia. Calcule el valor de

x.

MQ

4x°

x°

N P

A) 15 B) 20 C) 30

D) 35 E) 40

02. En la figura AC=8 y m AB =mBC . Calcule

BH.

A

B

E

O H CP

A) 4,5 B) 5 C) 3,5

D) 4 E) 3

03. Se tienen dos circunferencias tangentes

exteriores. Si las tangentes comunes

exteriores forman un ángulo que mide

60, calcule la razón entre los radios.

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 3

04. En la prolongación del diámetro PQ de

una semicircunferencia se ubica el punto

C y se traza la secante CBA, tal que

AB = BC = 2 y m∢C = 45. Calcule el

radio de la semicircunferencia.

A) 2 2 B) 5 C) 4

D) 5 E) 10

05. En el gráfico mostrado O y Q son

centros, AB+CD=12. Calcule MN.

A

B

CD

OQ

N

M

A) 12 B) 10 C) 8

D) 6 E) 6 2

06. Calcule el valor de x, si en el gráfico

adjunto T y P son puntos de tangencia.

P

T

120° x°

160°

A) 70 B) 50 C) 75

D) 85 E) 80

07. En el gráfico mostrado O centro; D, E y F

son puntos de tangencia. Calcule el valor

de x.

A

D

E

B

C

O

x°

F

A) 45 B) 30 C) 60

D) 37 E) 36º

A

B

P



08. En la figura O es centro y AO=EC,

calcule el valor de x.

A O B C

E

D

x° 20°

A) 40 B) 50 C) 60

D) 80 E) 100

09. Desde un punto P exterior a una

circunferencia se trazan las tangentes

PA y PB tal que la m∢APB=45. Si el

radio de la circunferencia mide 2, calcule

PA.

A) 3+2 2 B) 2 2 C) 4

D) 2 2-2 E) 2 2+2

10. En la figura AE es bisectriz del ángulo

BAC; E, F y G son puntos de tangencia.

Calcule el valor de x.

A D G C

48°

E

F

x°

B

A) 48 B) 42 C) 24

D) 36 E) 72

11. En la figura calcule el valor de x, si

mBD =70. (A, B y D son puntos de

tangencia)

A

B

D Cx°

x°

A) 35 B) 40 C) 50

D) 55 E) 70

12. Calcule el valor de x, si QN// , QPNM

es un romboide y m AQ =40.

Q

Px°

N

OA

M

B

A) 40 B) 50 C) 60 D) 70 E) 80

13. En el gráfico mostrado AB es diámetro,


x°

120°

A B

A) 120 B) 60 C) 90

D) 150 E) 30

14. Si T es punto de tangencia y m AB =80,


A B P

Tx°

A) 40 B) 30 C) 25

D) 20 E) 45

15. Calcule m ABC , si BC = CD.

C

O

A

B

D

70°

A) 110 B) 120 C) 130

D) 140 E) 150



16. Desde un punto E exterior a una

circunferencia se trazan las tangentes

EP y EQ . Si M es un punto del menor

arco PQ y m∢PMQ=3(m∢E), calcule

m∢E.

A) 20 B) 30 C) 36

D) 35 E) 45

17. Si α+β=100, calcule mMQ .

A) 60 B) 70 C) 80

D) 90 E) 75

18. Calcule el valor de x; si O es centro y T

es punto de tangencia.

38°

T

x°

O

A) 61 B) 71 C) 51

D) 67 E) 64

19. En la figura T es punto de tangencia y

AB es diámetro. Si AD // TK , calcule

m∢KTD.

A B

D

T

K

20°

A) 35 B) 40 C) 50

D) 70 E) 80

20. En la figura adjunta AZ = PQ, calcule la

medida del arco AM. (O es centro)

O

P

Q

AZ

M

A) 30 B) 40 C) 45

D) 60 E) 72

Uno de los principales

objetivos de la educación

debe ser ampliar

las ventanas por las cuales

vemos al mundo.



ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR

Para el cálculo del área de una región

triangular, existen diversas expresiones o

fórmulas, estas dependen de los elementos

que se considere, así tenemos:

FÓRMULA BÁSICA

El área de una región triangular es igual al

semiproducto de las longitudes de un lado y

la altura relativa a dicho lado

AABC = 2

h.b

AABC = 2

.b

A ABC = 2

c.b A ABC =

2

h.

FÓRMULA TRIGONOMÉTRICA

El área de una región triangular, es igual al

semiproducto de las longitudes de dos lados

por el seno de la medida del ángulo

determinado por dichos lados.

AABC = 2

abSen

Observación: En los triángulos equiláteros.

AABC = 4

3L2

FÓRMULA DE HERÓN

El área de una región triangular, es igual a la

raíz cuadrada del producto del semiperímetro

de la región triangular y la diferencia del

semiperímetro con la longitud de cada uno de

los lados.

ABC : p = 2

cba ++

p: semiperímetro de la región

ABC.

AABC = )cp()bp()ap(p ---

ÁREA DE LA REGIÓN TRIANGULAR EN

FUNCIÓN DEL INRADIO

ABC : r inradio

p = 2

cba ++

p: semiperímetro

de la región

triangular ABC.

AABC = p.r

ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR EN

FUNCIÓN DEL CIRCUNRADIO

ABC : R circunradio

AABC = R4

abc

A

B

C H b

h

B

M A C b

A

B

C b

c

M

N

Q

h

A B

C

a b

A

B

C L

L L

60°

60°

60°

a b

c A

B

C

a

b

c

A

B

C

r

A

B

C

c a

b

R



ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR

RECTANGULAR

AABC = m . n


01. En un triángulo rectángulo ABC, recto en

B, se ubica en BC el punto M tal que

AB=MC y luego se traza la altura BH . Calcular el área de la región triangular AMH, si AH=4.

A) 2 B) 4 3 C) 16

D) 8 E) 6 3

02. Si O es el incentro del triángulo ABC,

m∢B=60, OA=6 y OC=8, calcular el área de la región triangular AOC.

A) 15 3 B) 9 3 C)12 3

D) 8 3 E) 24 3

03. En la figura O y Q son centros, OD=5 y DE=7. Calcule el área de la región triangular AOC

A) 35 B) 25 C) 30

D) 24 E) 26

04. Se tienen tres circunferencias tangentes exteriores dos a dos cuyos radios miden 3, 4 y 5. Calcule el área de la región triangular que se determina al unir sus centros.

A) 12 B) 9 2 C)12 5

D) 15 E) 8 3

05. Los lados de un triángulo ABC miden AB=13, BC=14 y AC=15. Calcular el área de la región triangular AIC siendo I el incentro del triángulo ABC.

A) 15 B) 20 C) 30

D) 36 E) 42

06. Del gráfico adjunto AP=PB, S1=4 y S2=8. Calcular SABC.

A) 16 B) 18 C) 20

D) 24 E) 28

07. En la figura: QC=2(BQ), AP=2(PC) y SABC=42. Calcule el área de la región sombreada.

A) 4 B) 3 C) 3,5

D) 5 E) 2

08. Calcule SPQM, si SABC=72, AQ=QM y BM=MC.

A) 4 B) 5 C) 6

D) 7 E) 8

09. En un triángulo PQR, la mediana QM

interseca a la ceviana PE en A. Si

ER=2(EQ) y el área de la región triangular QAE es 2, calcular el área de la región triangular PQR.

A C

B

S1

S2

P

A P C

Q

B

R

A P

Q

M

C

B

A

B

C n m



A) 24 B) 22 C) 20

D) 18 E) 16

10. En un triángulo ABC: BC=8, calcule la

medida del segmento paralelo a BC

que divide a la región ABC en dos regiones cuyas áreas están en la razón de 1 a 3.

A) 2 B) 3

4 C) 4

D) 2 E) 2 2

11. Calcule el área de la región correspondiente a un hexágono equiángulo ABCDEF, si AB=3, CD=6, DE=2 y EF=4.

A) 20 3 B) 18 3

C) 85 3/4 D) 93 3/4

E) 83 3/4

12. En un triángulo rectángulo ABC, recto en

B, se traza la altura BH . Con diámetro

BH se traza la circunferencia inscrita en

el triángulo ACD, tangente a AD en el punto M. Si AC=6, calcule DM.

A) 1 B) 2 C) 2,5

D) 3 E) 3,5

13. En el triángulo ABC: AB=9, BC=11 y

AC=10. Calcule el área de la región triangular AIC, si I es el incentro del triángulo ABC.

A) 15 B) 6 2 C) 12

D) 10 2 E) 8 2

14. La circunferencia inscrita en un triángulo

rectángulo determina sobre la hipotenusa dos segmentos que miden 3 y 4. Calcule el área de la región triangular correspondiente.

A) 12 B) 6 C) 24

D) 3 E) 18

15. Se tiene un cuadrante AOB, AO=OB. En

el arco AB se ubica el punto P, tal que

AP= 8 y PB=6. Calcule el área de la región triangular APB.

A) 4 B) 6 C) 8

D) 12 E) 2 5

16. Dos medianas de un triángulo se intersecan perpendicularmente y miden 9 y 12. Calcule el área de la región correspondiente al triángulo.

A) 36 B) 48 C) 64

D) 70 E) 72

17. En la figura O es centro, EF=2 y EC=7. Calcule el área de la región triangular AOE.

A) 2,5 B) 3,5 C) 4

D) 3 E) 5

18. El área de una región triangular es S. Si se prolongan los lados en un mismo sentido y en una longitud igual a la del lado prolongado, calcule el área de la región triangular determinada al unir los extremos de dichas prolongaciones.

A) 5S B) 6S C) 7S

D) 8S E) 9S

19. En el triángulo acutángulo ABC se traza

las alturas AP y CQ . ¿Cuánto debe

medir el ángulo ABC, para que las regiones PBQ y AQPC sean equivalentes?

A) 30 B) 45 C) 60

D) 67,5 E) 75

20. En el gráfico TN=NL=4,

5(ED)=7(DL)=35. Calcule el área de la región sombreada.

A) 30 B) 40 C) 50

D) 60 E) 70

F

A O B C

E

E D L

N

M

T



AREAS DE REGIONES

CUADRANGULARES

FÓRMULA GENERAL

AABCD

= )BD)(AC(2

1 sen

AABCD

= )BD)(AC(2

1 sen

ÁREA DE REGIONES CUADRANGULARES

LIMITADAS POR UN:

Cuadrado

A = L2

Rombo

A = 2

ab

Rectángulo

A = a b

Romboide

A = b h

También: A = a H

Trapecio

Del gráfico:

A =

+

2

ba h

También si: AM = MB y CN = ND:

A = (MN) h


01. Las diagonales de un paralelogramo miden 8 y 10, además una de ellas lo divide en dos triángulos rectángulos. Calcule el área de la región limitada por el paralelogramo. A) 24 B) 28 C) 18

D) 20 E) 30

02. En la figura ABCD y PQRD son

cuadrados. Si PC=4, calcule S1-S2.

A) 4 B) 8 C) 12

D) 16 E) 32

03. Calcule el área de la región

paralelográmica OAMP, si OP=a.

A) a2 B) 2a2 C)3a2/2

D) a2/4 E) 5a2/4

A

B

C

D

L

L

a

b

a

b

H h a

b

A

B C

D

M N

a

b

h

A

B

C

D



04. Si en el gráfico AB=a, ABCD es un paralelogramo y P y D son puntos de tangencia, calcule el área de la región sombreada.

A) a2 B) a2/2 C) a2/4

D) a2/8 E) a2/3

05. Calcule el área de la región limitada por

un trapecio inscrito en una circunferencia cuyo radio mide 5, si sus bases miden 6 y 8. (El centro de la circunferencia es interior al trapecio) A) 48 B) 49 E) 54

D) 42 E) 35

06. Calcule el área de la región sombreada,

si R=8, CN=ND y m AB=150.

A) 64 B) 16 C) 24

D) 16 2 E) 32

07. En la figura BCDE es un paralelogramo, SABO=4 y SCOED=10. Calcule el área de la región ABCD.

A) 20 B) 24 C) 25

D) 27 E) 32

08. Las bases de un trapecio isósceles circunscrito a una circunferencia miden 8 y 18. Calcule el área de la región limitada por el trapecio . A) 144 B) 215 C) 156

D) 132 E) 182

09. Se tiene un hexágono regular ABCDEF

cuyo lado mide 4; M y N son puntos

medios de AB y EF ; calcule el área

de la región cuadrangular MCDN

A) 14 3 B) 16 3 C)12 6

D) 15 3 E) 8 6

10. Calcule el área de la región limitada por el romboide ABCD, si AC=15.

A) 36 B) 54 C) 48

D) 72 E) 108

11. Si el área de la región ABCD

(paralelogramo) es 120. Calcule el área de la región sombreada.

A) 30 B) 35 C) 40

D) 20 E) 25

12. Calcule el área de la región cuadrangular

AHPC; si AP=m y AB=CH.

A) m2 B) m2+1 C) m2-1

D) 2m2 E) m2/2

B M C

A N D

Θ°

Θ°

37°



13. En el gráfico ABCD es un cuadrado, SABG=12, SGCF=4 y AD=DE. Calcule SABCD.

A) 48 B) 50 C) 52

D) 54 E) 56

14. En un trapecio ABCD ( BC // AD ) se

ubica el punto medio M de AB y en

BC se ubica el punto P de modo que

CM ∩ DP ={N}). Calcular el área de la

región cuadrangular ABCD, si el área de la región triangular CPN es S y CM=4(NC).

A) 32 S B) 24 S C) 28 S

D) 42 S E) 56 S

15. Calcule el área de la región sombreada,

si BM=2 y MN=3 (N es punto de tangencia)

A) 7,5 B) 12 C) 15

D) 10 E) 12,5

16. Si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide

8; las circunferencias tienen igual radio, son tangentes y están en contacto con dos lados del cuadrado; calcule el área de la región sombreada.

A) 18 B) 24 C) 32

D) 36 E) 48

17. Se tiene un trapecio isósceles ABCD en

el cual se traza la altura CH ; si el área

de la región triangular ACH es 12; calcule el área de la región trapecial. A) 12 B) 24 C) 18

D) 20 E) 15

18. Se tiene una región paralelogramica

ABCD cuya área es 24; se traza la altura

BH (H∈ AD ) de modo que HD=2(AH).

Si M es punto medio de BH , calcule el

área de la región cuadrangular BMDC. A) 12 B) 16 C) 13

D) 14 E) 15

19. En el gráfico se tiene un cuadrado ABCD y dos paralelogramos cuyas áreas son S1 y S2. Si S1=12; calcule S2.

A) 24 B) 18 C) 20

D) 12 E) 10

20. En el trapezoide ABCD: M, N y P son

puntos medios de AB , BC y CD

respectivamente. Si MP=10 y la distancia

de N a MP es 4, calcule el área de la

región ABCD. A) 40 B) 50 C) 80

D) 120 E) 16

A D E

CGB

F

45°45°

B

M

N A C

A

B C

D

S2

S1



ÁREAS DE REGIONES CIRCULARES

REGIONES CIRCULARES

Región Circular

Del gráfico:

A = R2

A = 4

d2

donde: = 3.14

Sector Circular

Del gráfico:

A =

360

R2

Corona Circular

Del gráfico:

A = (R2 – r2)

T: punto de

tangencia

Además:

A =

Segmento Circular

Del gráfico:

𝐴𝑠𝑒𝑔𝑚. 𝑐 = 𝐴𝑠𝑒𝑐. 𝑐 − 𝐴𝐴𝑂𝐵

Es decir: AAB

= -

sen.R

2

1

360

R 22

AAB

=

-

sen

1802

R2


01. El área de un círculo inscrito en un cuadrado es “x”, calcule el valor del área comprendida entre los círculos inscrito y circunscrito al cuadrado.

A) 2x B) 2x/3 C) x/2

D) 3x/2 E) x

02. En la figura,ABCD es un cuadrado. El

área de la parte sombreada es; O es centro.

A) R2(-2) B) 2R2(-2)

C) R2(3-3) D) R2(+2)

E) R2(-1)

03. Si el radio de un círculo aumenta en x%.

¿en qué porcentaje aumenta su área?

A) (x+1)% B) (x+x2)%

C) 2x% D) (2x+100

2x)%

E) x2%

04. En el gráfico, AB = 4 u, m BD 30= .

Calcule el área de la región sombreada.

A) 2u

B) 22 u

C) 24 u

D) 26 u

E) 28

u3

4

)AB( 2

A

B

O

A B T

R r

R

A

B

O

R A

B

O

R d

B

A D

C

R

B

A O

C

D



05. Del gráfico, calcule: B – (A + C)

A) 8 B) 10 C) 11

D) 12 E) 14

06. ¿Qué porcentaje del círculo incompleto

cuyo centro es O es la parte sombreada?

A) 26.33% B) 25% C) 33% D) 33.33% E) 25.5%

07. En el gráfico, “P” es punto de tangencia,

O: centro, AP = 6 u. Calcule el área de la región sombreada.

A) 24 u B)

26 u C) 29 u

D) 212 u E)

216 u

08. En la figura, ABCD es un cuadrado de

lado “a”u. Calcule el área de la región sombreada, D es centro.

A) a2 2u B) a2 /2

2u

C) a2 /3 2u D) a2/5

2u

E) a2 /4 2u

09. Se tiene un triángulo rectángulo cuyos

catetos miden 5 cm y 12 cm respectivamente. Calcule el área del círculo inscrito en el triángulo.

A) 26 cm B)

24 cm

C) 28 cm D)

23 cm

E) 24 2 cm

10. Del gráfico, “P” es punto de tangencia, AP = 4 cm, PC = 9 cm. Calcule el área de la región sombreada.

A) 26 2 cm -

B) 28 1 cm -

C) 29 2 cm -

D) 29 2 cm -

E) 212 3 cm -

A

B

C

4

6

3

A

P

O B

O

A C

B

P

A B

C D F



11. Del gráfico, m AC m BD 36= = ,

AB 12 5 cm= . Calcule el área de la

región sombreada, O es centro.

A) 250 cm B)

252 cm

C) 254 cm D)

236 cm

E) 236 5 cm

12. La distancia entre los centros de dos circunferencias tangentes interiores es de 14m. Si la suma de las longitudes de las circunferencias es de 140m. ¿Cuál es la diferencia entre las áreas de los círculos?

A) 350m2 B) 450 m2

C) 890m2 D) 980m2

E) 1080m2

13. El área de un sector circular es 4m2, su

perímetro es 8m. Calcule su radio. A) 2m B) 4m C) 6m D) 8m E) 1m

14. Dado los círculos C1 y C2, con áreas a1 y

a2 respectivamente, si la longitud de la circunferencia C2 es igual al diámetro de C1, el área a2 será:

A) π

a1 B)

2

2

1

π

a C)

2π

a1

D) π

a1 E)

2π

2a1

15. Calcule el área de la región sombreada.

A) 3

πa2

B) 2

2

a33

πa+

C) 2a

2

3

3

π

+

D) 2a

+

2

3

3

2π

E) 2a3

3

2π

+ m

16. Calcular el área de la región sombreada

en la figura, sabiendo que ABCD es un cuadrado inscrito en el semicírculo de centro O y radio " R"

A) 10

8)-(5R2

B)

5

8)(4R 2 +

C) 10

)-(8R2

D) 10

1)-(5R2

E) 5

)1(4R 2 +

17. El área de un círculo se incrementa en

7 cuando su radio se aumenta en 1. ¿Cuál es el área original del círculo?

A) 6 B) 7 C) 9,7

D) 9 E) 10

A B

D C

O

a a a

A

B

O



18. En la figura. Calcular el área de la región sombreada:

A) 16 B) 8+4 C) 8

D) 6 E) 16

19. En un círculo de radio 1m se trazan dos diámetros perpendiculares, tomando como diámetro los radios se construyen cuatro círculos, el área de la región sombreada es

A) (-3) m2 B) (2-5) m2

C) 2 m2 D) (2-1) m2

E) (-2) m2

20. En la figura P, Q y O son centros de los semicírculos. Si el rectángulo ABCD tiene perímetro 24cm. El área de la región sombreada será de:

A) (36 – 6) cm2

B) (26 – 6) cm2

C) (9 – 23) cm2

D) (12 – 36) cm2

E) (32 – 9) cm2

8 B C

D A

P

O

Q

Lo poco que he aprendido

carece de valor,

comparado con lo que ignoro

y no desespero en

aprender.



Respuestas: CAP. 1

CAP. 2

CAP. 3

1 C

1 B

1 C 2 D

2 D

2 D

3 C

3 B

3 C 4 C

4 D

4 C

5 B

5 B

5 D 6 A

6 B

6 A

7 C

7 B

7 A 8 B

8 A

8 C

9 D

9 D

9 E 10 E

10 C

10 A

11 E

11 D

11 B 12 C

12 A

12 C

13 C

13 C

13 A 14 D

14 D

14 C

15 C

15 D

15 B 16 C

16 C

16 C

17 A

17 A

17 C 18 C

18 B

18 E

19 E

19 A

19 A 20 C

20 E

20 D

CAP. 4

CAP. 5

CAP. 6 1 D

1 A

1 E

2 C

2 D

2 B 3 C

3 A

3 D

4 C

4 B

4 C 5 C

5 B

5 C

6 D

6 A

6 D 7 E

7 B

7 C

8 C

8 C

8 B 9 A

9 D

9 B

10 C

10 D

10 D 11 E

11 A

11 C

12 B

12 E

12 D 13 D

13 A

13 A

14 A

14 E

14 C 15 B

15 E

15 D

16 E

16 D

16 C 17 B

17 B

17 D

18 A

18 B

18 E 19 B

19 D

19 E

20 D

20 C

20 E

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