Geometría 5

Geometra5to grado I Bimestre

ndicendice

Pg

l Elementos fundamentales de la Geometra 119

l Segmento 123

l La recta 127

l Plano cartesiano 131

l Pares ordenados 133

l Traslacin de polgonos 137

l Repaso 139

5Razonamiento Matemtico 4 Grado

Es una rama de la Matemtica que tiene por objetivo estudiar a las figuras geomtricas, sus propiedades y caractersticas, independiente de su tamao.

Veamos algunos conceptos elementales.

Punto:

La marca de un lpiz, lapicero o una tiza nos dan la idea de punto.

Se nombra con una letra mayscula.

A C

B

Punto A Punto C

Punto B

Recta:

Es una sucesin de infinitos puntos en una misma direccin. Se nombra con una letra minscula o dos letras maysculas.

a

Recta a: ab

Recta b: b Recta AB: ABA B

Segmento:

Es una parte de la recta que tiene por extremos a dos puntos.

Su medida se expresa en unidades de longitud.

24 cm

A

B

24 cm

C D

AB = 24 cm CD = 24 cm

Segmento AB : AB Segmento CD : CD

Elementos fundamentales de la Geometra

ConCepto

6Institucin Educativa Privada IntegralPitgoras

Plano:

La superficie de una pizarra, del piso, de una mesa, estas superficies nos dan la idea de un plano. Un plano no tiene lmites ni espesor. Se le nombra con una letra mayscula.

a

B

AO Dr

E

PPlano P

Semirecta:

Sobre una recta se toma un punto A, este punto divide a la recta en dos partes, cada parte se llama semirecta y no se considera al punto A, el punto A se llama origen o frontera.

C BA

origen

Semirecta AC : AC

Semirecta AB : AB

Rayo:

Sobre una recta se toma un punto A, este punto divide a la recta en dos partes, cada parte se le llama rayo y se considera el punto A. El punto A se llama origen.

C BA

origen

Rayo AB : AB

Rayo AC : AC

PBA

c o

m

n

AtenCin!

En el plano P se han marcado los puntos A; B; C.

Por el punto C, se han trazado varias rectas y se podrn trazar nucho ms.

Por los puntos A y B se ha trazado una sola recta y no se puede trazar ni una ms.

Las rectas m y n tienen un punto comn "O".

Por un punto pasan infinitas rectas. Por dos puntos pasa una sola recta.


Resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios:

1. Dibuja un plano "P" y luego traza en l una recta AB y un rayo CD.

2. Dibuja un plano "R" y luego marca en l los puntos A, B, C y D.

3. Dibuja un plano "Q" y luego traza en l dos rectas CD y EF que pasen por un punto "J".

4. Grafica sobre un plano "S" los segmento MN, PQ, y RS.

5. Contesta "V" si es verdadero o "F" si es falso, segn corresponda:

a. La Geometra es una parte de la Matemtica con la cual ( )

organizamos nuestro espacio.

b. El espacio de dos dimensiones es llamado tambin espacio ( )

"bidimensional".

c. El espacio de tres dimensiones es llamado tambin espacio ( )

"tridimensional".

d. En el espacio de dos dimensiones encontramos: largo y ancho. ( )

e. En el espacio de tres dimensiones encontramos: largo, ancho y altura. ( )

Listos, a trabajar!

8Institucin Educativa Privada IntegralPitgoras


SegmentoSegmento

Es una porcin de recta limitada por dos puntos llamados extremos.

Ejemplo: En las siguientes figuras encuentra y denota todos los segmentos.

A

B D

C G H I M

LJ

K

FE

punto medio de un Segmento.

Es el punto que pertenece al segmento y lo divide en medidas iguales.

mediAtriz de un Segmento.

Es una recta perpendicular (90) que divide al segmento en dos partes iguales; es decir, pasa por el punto medio de dicho segmento.

Segmentos:

AB, BC, CD

Segmentos:

_________________

Segmentos:

_________________

A B

M

13 cm 13 cm

26 cm

"M" es un punto medio de AB

mediatriz

A BM

3 cm3 cm

m (AB) = 6 cm

m (AM) = m (MB) = 3 cm

10

Institucin Educativa Privada IntegralPitgoras

uSAndo CompS:

Hallamos el "Punto medio" y "la mediatriz" de un segmento.

Q

MA B

P

Mediatriz de AB : PQ

"M" punto medio de AB

Observacin:

* Usando tu comps traza 2 arcos, desde los extremos (A y B), que pasen aproximadamente ms de la mitad del segmento.

* Al trazar una recta que pase por los puntos de interseccin de dichos arcos trazados, se obtiene la mediatriz del segmento. Adems, la interseccin de la mediatriz con el segmento determina el punto medio (M) de dicho segmento.

Listos, a trabajar! 1. Con ayuda de una regla graduada, mide los siguientes segmentos y luego completa:

Recuerda: m (AB) se lee "medida del segmento AB".

m ( AB ) = _____________ cm

m ( CD ) = _____________ cm

m ( EF ) = _____________ cm

m ( GH ) = _____________ cm

m ( IJ ) = _____________ cm

m ( KL ) = _____________ cm

m ( MN ) = _____________ cm

A B

C

E

K

I

J

M

N

L

G H

F

D

11

Razonamiento Matemtico 4 Grado

2. Denota (nombra) todos los segmentos que determinan los puntos "R", "S" y "U" sobre la recta AB.

A

r S u

B

Segmentos:

* Utiliza tu regla y comps:

3. Traza todas las mediatrices de los segmentos que conforman cada una de las siguientes figuras:

4. Dibuja un segmento de 6 cm y luego traza su mediatriz usando tu comps.

5. Rapidez mental: a) Si la distancia entre la mediatriz y uno de los extremos del segmento es 5 cm,

cul es la medida del segmento?

_________________________________________________________________________

b) La mediatriz de un segmento est ubicado a 7 cm con respecto a uno de los extremos del segmento. Cunto mide el segmento?

_________________________________________________________________________

12


c) Si un segmento mide 6 cm, a qu distancia con respecto a uno de los extremos pasa la mediatriz?

_________________________________________________________________________

6. Para representar la mediatriz del segmento AB, qu figura representa la alternativa correcta?

A

A

AB

B

F

G

B

C

D

C

D

7. Lee con atencin, luego grafica correctamente cada segmento:

a. La mediatriz de un segmento est ubicada a (22 - 2) cm con respecto a sus extremos, entonces la longitud del segmento ser:

b. La medida de un segmento es (52 - 42) cm., entonces la mediatriz dividir al segmento en dos segmentos de _______cm:

c. La mediatriz de un segmento est ubicada a (33 - 52) cm. con respecto a sus extremos, entonces la longitud del segmento ser:

13


La rectaLA reCtA

El borde de una pizarra, un hilo tenso, una regla de madera, nos dan la idea de una recta. Una recta es un conjunto de infinitos puntos que se encuentran alineados, una recta no tiene origen ni tiene fin. A las rectas se les designa por dos letras maysculas o por una sola letra minscula.

A BAB : Se lee "recta AB"

m

m : Se lee "recta m"

Rectasparalelas

Decimos que dos rectas son paralelas si no tienen ningn punto en comn o punto de corte.

A B

C DF H

E G

AB // CD EF // GH

Se lee: La recta que pasa por "A" y "B" es paralela a la recta que pasa por "C" y "D".

Se lee: La recta que pasa por "E" y "F" es paralela a la recta que pasa por "G" y "H".

Trazando paralelas (utiliza tus escuadras):

AB // CD

DB

CAposicin inicial posicin Final

14


Rectassecantes

Son aquellas rectas que tienen un punto en comn y pueden ser:

Rectas perpendiculares

Decimos que dos rectas son perpendiculares si al cortarse forman cuatro (4)

ngulos rectos (90).

Trazando perpendiculares (usa tus escuadras):

RS TU RS VX

Se lee: La recta que pasa por "R" y "S" es perpendicular a la recta que pasa por "T" y "U"

Se lee: La recta que pasa por "R" y "S" es perpendicular a la recta que pasa por "V" y "X"

T

U

R S

X

V

Rectasoblicuas

Decimos que dos rectas son oblicuas si al cortarse no forman ngulos rectos (90).

AB CD

A D

BC

Se lee: La recta que pasa por "A" y "B" es oblicua a la recta que pasa por "C" y "D".

15


1. Traza una recta AB y luego dos rectas perpendiculares a AB. Cmo son estas dos rectas entre s?

Respuesta: ____________________________________________________________________

2. Sea AB una recta (ver grfico) traza una recta CD perpendicular a AB, y otra recta EF perpendicular a CD. Cmo son las rectas EF y AB entre s?

A

B

Respuesta: ____________________________________________________________________

3. Dibuja dos rectas RS y TU perpendiculares a AB y otra recta PQ perpendicular a TU .

a. Cmo son RS y TU entre s? Respuesta: ______________________________

b. Cmo son PQ y RS entre s? Respuesta: ______________________________

4. Dibuja con ayuda de tu escuadra tres rectas perpendiculares a AB.

A

B

Listos, a trabajar!

Responde:

16


5. En la siguiente figura, denota las rectas que son paralelas y perpendiculares entre s.

D E

CA

B

paralelas entre s: ________________________

paralelas entre s: ________________________

________________________

6. El siguiente dibujo representa el puente ms grande del Per, "AGUAYTA".

B A

a b c d e f g

k j

h

i

Responde:

a. Qu lneas son perpendiculares a AB? ____________________________________

b. Qu lneas son paralelas a AB? ___________________________________________

17


Plano cartesianoreCtA numriCA

A cada punto de la recta le corresponde un nmero real. Asgnale a uno de ellos el nmero cero y al otro el nmero uno, las posiciones del cero y del uno determinan el sentido positivo de la recta.

0 11

Sentido negativo Sentido positivo

(recta horizontal)

0

1

1

Sentido negativo

Sentido positivo

(recta vertical)

* En la recta numrica, cada punto posee una coordenada, la cual es el nmero real que le corresponde:

0CBA D E

1 1512

Coordenada A : 2 Coordenada B : 1 Coordenada E : 1.5

pLAno CArteSiAno

Cuando se intersectan dos rectas numricas perpendicularmente, de tal manera que ambos se corten en el punto en el que tiene ubicado el cero, determinan un plano de coordenadas llamado "PLANO CARTESIANO".

0 1 2 3 4

x

1234

II C I C

III C IV C

1

2

3

4

y

1

2

3

4

El plano cartesiano tiene cuatro cuadrantes.

Recta "y" = eje y = eje de las ordenados.

Recta "x" = eje x = eje de las abscisas.

IC = primer cuadrante.

IIC = segundo cuadrante.

IIIC = tercer cuadrante.

IVC = cuarto cuadrante.

18


CoordenAdAS de un punto en eL pLAno CArteSiAno.

Un punto "P" en el plano se representa mediante un par ordenado de la forma (a; b). En el grfico:

Por ejemplo el punto "Q" tiene como coordenadas al 3 y al 2, donde 3 es la abscisa y 2 la ordenada.

P (a; b)

"a" est en el eje "x", "a" es la distancia del punto al eje vertical "y".

"b" est en el eje "y", "b" es la distancia del punto al eje horizontal "x".

0 1 2 3 41234

1

2

3

4

1

2

3

4

() (+)

y

x

Q(3; 2)

pAr ordenAdo

Es un arreglo de dos nmeros reales que indican la posicin de un punto en el plano cartesiano. A estos nmeros se les llama coordenadas del punto.

Del grfico anterior tenemos el par ordenado: (3; 2)

19


1. Demuestra tu habilidad formando pares ordenados, luego representlos en tu cuaderno.

Operacin Eje "x" Operacin Eje "y" Par ordenado

23 5 42 8 A ( ; )

62 9 4 x 1 + 3 B ( ; )

32 5 52 19 C ( ; )

20 2 31 2 D ( ; )

45 9 27 3 E ( ; )

8 2 2 3 F ( ; )

10 2 16 8 G ( ; )

62 12 62 18 H ( ; )

24 4 25 8 I ( ; )

2. Completa la tabla segn corresponde, luego representa los pares ordenados en el plano cartesiano.

Par ordenado abscisa ordenado

A ( ; )

B ( ; )

C ( ; )

D ( ; )

E ( ; )

F ( ; )

G ( ; )

H ( ; )

I ( ; )

J ( ; )

3

1

4

9

5

4

9

4

1

8

Pares ordenados

3

5

7

0

2

4

2

8

5

3

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x' x

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

y'

y

20


3. Representa en tu cuaderno los siguientes pares ordenados:

a. P(0;0), Q(5;10) R(0;8), T(4;4)

b. V(6;6), U(6;8), E(6;4), L(4;2), A(3;2)

4. Dados los puntos en el plano, completa los pares ordenados:

0

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2

3

4

5

6

7

8

9

A

D

C

B A ( ; )B ( ; )C ( ; )D ( ; )

0

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2

3

4

5

6

7

8

9

H

A G

E

B

F D C A ( ; )B ( ; )C ( ; )D ( ; )E ( ; )F ( ; )G ( ; )H( ; )

y y

x x

5. Completa la siguiente tabla con los pares ordenados que se forman y luego represntalos en el plano cartesiano.

0 3 5 4 7 9

0 (0 ; 0)

2 (2 ; 5)

4

6

8

7 (7 ; 9)

x y

0

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2

3

4

5

6

7

8

9

y

x

21


Sigue la flecha

Sigue, cuadradito a cuadradito, lo que indica la flecha. Comienza desde el nmero indicado. El primero es un ejemplo.

Desafo

161116

271217

381318

491419

5101520

11

17

10

1

2 = 8

=

=

=

=

=14

22


23


Traslacin de polgonosPara trasladar un polgono, a los elementos de cada par ordenado se suman o restan nmeros, de esta forma se obtienen los nuevos vrtices. La figura trasladada conserva su forma y su tamao.

Observacin:

: traslacin

1. Completa cada una de las siguientes tablas y luego dibuja en tu cuaderno los dos polgonos de cada tabla, en un plano cartesiano. (El segundo polgono es el que ha sido trasladado).

Listos, a trabajar!

(x;y) (x 3; y + 4)

A (8; 2) A' ( ; )

B (12; 3) B' ( ; )

C (12; 5) C' ( ; )

D (10; 5) D' ( ; )

a.

(x;y) (x + 6; y + 3)

E (1; 1)

F (2; 3)

G (4; 3)

H (5; 1)

c.

(x;y) (x + 7; y + 3)

I (0; 0)

J (3; 0)

K (1; 1)

L (2; 1)

M (1; 4)

N (2; 4)

e.

(x;y) (x 4; y + 5)

A (10; 7)

N (10; 10)

L (13; 10)

(12; 8)

b.

(x;y) (x +5; y 4)

P (1; 6)

Q (1; 9)

R (3; 9)

S (3; 8)

T (6; 6)

d.

t

24


2. Completa las tablas y traslada los polgonos.

(x;y) ( ; )

A (5; 9) A' (8; 4)

B ( ; )

C ( ; )

D ( ; )

E ( ; )

F ( ; )

(x;y) ( ; )

A (9; 4) A' (4; 7)

B ( ; )

C ( ; )

D ( ; )

0

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2

3

4

5

6

7

8

9

y

x

A'

D

B

A

C

0

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

y

x

A'

F E

D

BA

C

25


Repaso 1. Observa y analiza el siguiente dibujo, luego denota.

M

CB

A D

R

S R

N Q

O

K

IJ

L

H G

P

F

2planos : __________________

4segmentos : __________________

5puntos : __________________

2segmentosparalelos : __________________

2segmentosperpendiculares : __________________

2segmentosoblicuos : __________________

2. Cuntos segmentos hay en?

a. A B D E

____________

b. M N O P Q

____________

c. F G H I J K L

____________

3. Traza la mediatriz de los segmentos que conforman las siguientes figuras:

26


4. Completa las tablas y traslada los polgonos:

(x;y) (x + 6; y 4)

P (2; 12)

Q (8; 12)

R (5; 8)

(x;y) (x + 6; y + 4)

M (2; 1)

N (5; 5)

O (8; 1)

0

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

y

x

5. Crea una figura y trasldala. Sigue el esquema sealado.

(x;y) (x ; y )

Geometra5to grado II Bimestre

ndicendice

Pg

l ngulos 77

l Clasificacindelosngulos 83

l Bisectriz de un ngulo 91

l Polgonos 97

l Tringulos 101

l rea de una regin 111

l Cuadrilteros 115

l rea de cuadrilteros 119

29


ngulosObserva:

Dos rectas secantes dividen el plano en cuatro regiones angulares.

Cada regin angular determina un ngulo.

ngulo

Se llama ngulo a la abertura que forman dos rayos que parten del mismo punto.

lado

lado

Elementos

Lados: ___ ___OA;OB

Vrtice: O

Notacin

ngulo AOB: AOB

Nota: m AOB : Se lee medida del ngulo AOB.

0 es la medida del ngulo AOB.

Pasos para medir ngulos:

1) Se coloca el transportador de modo que su centro coincida con el vrtice "O" del ngulo.

2) Se hace pasar un lado del ngulo por la medida 0 del transportador.

Regin

Regin

30


3) Se identifica en el transportador el nmero por el que pasa el otro lado del ngulo. Ese nmero es la medida del ngulo.

31


Listos, a trabajar!

Jugando con los ngulos

1) Observa los siguientes ngulos y completa la tabla.

Nombre Designacin Vrtice Lados

ngulo AOB AOB O OA

; OA

32


2) Mide los siguientes ngulos con la ayuda del transportador y luego, completa cada espacio en blanco.

Recuerda:

AOB : se lee medida del ngulo AOB.

m AOB =

m FGH =

m LMN m IJK =

m EDC

m PQR

33


3. Denota y mide con ayuda del transportador todos los ngulos que observas en las siguientes figuras:

NOTACIN MEDIDA

m AOC

m AOB

m BOC

NOTACIN MEDIDA

NOTACIN MEDIDA

34


4. Usando tu regla y comps, construye en ngulo de 60; 37; 160; 200; 255; 300 y 345.

35


Clasificacin de los ngulos 1. ngulo Nulo: Cuando sus dos lados coinciden, su medida es 0.

m

2. ngulo Agudo: Su medida es menor que 90 y mayor que 0.

O < m AOB

36


3. ngulo Recto : Su medida es igual a 90.

m AOB

El cuadrado pequeo indica que el ngulo mide 90

4. ngulo Obtuso: Su medida es mayor que 90 pero menor que 180.

90 < m AOB

37


5. ngulo llano: Cuando mide 180

m AOB

38


m AOB

6. ngulo de una vuelta: Este ngulo mide 360

Listos, a trabajar! 1. Usando el transportador mide y clasifica cada ngulo segn su medida:

m AOB = __________, ngulo __________.

m BOC = __________, ngulo __________.

m AOC = __________, ngulo __________.

39


______________ = _______, ngulo _______.

______________ = _______, ngulo _______.

______________ = _______, ngulo _______.

______________ = _______, ngulo _______.

______________ = _______, ngulo _______.

______________ = _______, ngulo _______.

______________ = _______, ngulo _______.

______________ = _______, ngulo _______.

______________ = _______, ngulo _______.

Cul es el valor?

2. Halla el valor de "x" con los datos que se te proporcionan y dentalos correctamente:

x =

40


x =

x =

x =

41


3) Con ayuda de tu transportador, encuentra la medida de 4 ngulos en cada figura. Luego, completa la tabla.

NOTACIN MEDIDA

ALgunoS CASoS eSpeCiALeS de nguLoS

ngulos Adyacentes: Son dos ngulos que tienen el vrtice y un lado comn, el lado comn es intermedio.

Lado

Vrtice

Los ngulos AOB y BOC son adyacentes.

NOTACIN MEDIDA

42


ngulos Consecutivos: Son dos o ms ngulos adyacentes.

Los ngulos AOB, BOC y COD son consecutivos.

ngulos Opuestos por el vrtice: Son dos ngulos en los cuales los lados de uno de ellos son las prolongaciones de los lados del otro.

m AOD = m

43


USANDO REGLA Y COMPS

Concepto: Es el rayo que partiendo del vrtice, divide al ngulo en dos partes iguales.

Si: OA

bisectriz del ngulo AOB.

se cumple: m AOP = POB

U s a n d o comps y regla traza la bisectriz.

Trazar la bisectriz de un ngulo con el uso del comps.

Paso 1: Ubica la punta del comps en el vrtice O y con una abertura que t elijas, dibuja un arco que cortar ambos lados del ngulo en "M y N".

Bisectriz de un ngulo

44


Paso 2: Luego, con la punta del comps en "M" y luego en "N", con una misma abertura o con otra, dibuja dos arcos que se corten en "P".

Paso 3: Finalmente, al unir el vrtice "O" y el punto de corte P, se obtiene la bisectriz OA

del ngulo inicial AOB.

45


1. Usando tu regla y tu comps, traza la bisectriz de los siguientes ngulos:

a. Si: m AOB = 80

OA

bisectriz del ngu-lo AOB

donde: m AOP =

b. Ahora t solo, construye un ngulo de 60 con tu transportador y luego, traza su bisectriz.

c. Construye un ngulo de 120 y traza su bisectriz.

d. Construye un ngulo de 40 y luego, traza su bisectriz.

Listos, a trabajar!

46


2. Traza la bisectriz de los siguientes ngulos y da la medida de los ngulos formados. (Usa tu transportador).

3. Traza la bisectriz en los ngulos de cada tringulo y luego, halla la suma de la medida de los seis ngulos as formados. (Sugerencia: usar colores).

d.

47


4. En cada caso, dibuja los ngulos con las medidas indicadas y traza sus bisectrices.

a. m ABC = 20 b. m BCD = 50

c. m CDF = 60 d. m DFG = 70

e. m PQR = 96 f. m MNP = 120

g. m HIJ = 150 h. m DEF = 105

48


49


PolgonosCONCEPTO: Un polgono es una figura geomtrica que se forma al unir tres o ms

puntos no colineales con segmentos de recta.

Elementos:

- Vrtices : __________________

- Lados : __________________

- Diagonales : __________________

- Med. de Internos : __________________

- Permetro : __________________

Completa el cuadro:

Polgono Nombre N de lados

N de vrtices

N dengulos internos

N de diagonales

50


Nongono o enegono, tiene _______ lados y _______ vrtices.

Decgono, tiene _______ lados y _______ vrtices.

Endecgono, tiene _______ lados y _______ vrtices.

Dodecgono, tiene _______ lados y _______ vrtices.

Pentadecgono, tiene _______ lados y _______ vrtices.

Icosgono, tiene _______ lados y _______ vrtices.

CLASIFICACIN DE LOS POLGONOS:

1. Polgono Convexo

_____________________________________________

_____________________________________________

_____________________________________________

2. Polgono no Convexo

_____________________________________________

_____________________________________________

_____________________________________________

51


2. En el hexgono mostrado, traza las diagonales de un vrtice:

4. En el octgono mostrado, traza las diagonales desde dos vrtices consecutivos:

1. Cuntas diagonales se pueden trazar en el grfico?

Ahora, hazlo t!

3. Traza las diagonales en el siguiente grfico:

52


53


Tringulo

Figura geomtrica formada por tres segmentos de recta determinados por tres puntos no colineales.

Elementos de un Tringulo

Del tringulo ABC que se muestra en la figura, recordamos los siguientes elementos:

Lados: ___ ___ ___AB;BC y AC

Vrtices: A, B y C ngulos:

Internos: ; y externos: , , Permetro: P

P=___ ___ ___AB;BC y AC+

___ ___ ___AB;BC y AC+___ ___ ___AB;BC y AC

PROPIEDADES: En todo tringulo se cumple:

1. 180 + + = ( Suma de ngulos internos) 2. + + pi =360 (Suma de ngulos externos)

Clasificacin de Tringulos

1. Segn las medidas de sus lados.

a) Tringulo escaleno.

Tiene sus tres lados dife-rentes.

Tringulos

54


b) Tringulo issceles

Tiene dos lados iguales y el tercer lado es diferente.

Los dos ngulos de la base son iguales.

___AC : BASE

c) Tringulo equiltero.

Tiene sus tres lados iguales. Tiene sus tres ngulos iguales a 60.

2. Segn las medidas de sus ngulos:

a) Tringulo rectngulo

Tiene un ngulo recto (mide 90).

Los lados ___BH y

___BH se llaman cateto y

___BH hipotenusa.

Se cumple + =90

b) Tringulo acutngulo

Tiene sus tres ngulos agudos.

55


c) Tringulo obtusngulo

Tiene un ngulo obtuso (mide ms de 90 y menos de 180).

90 180

A practicar lo aprendido!

1. Encierra con un la alternativa que identifica a cada tringulo:

a. Rectngulob. Isscelesc. Equiltero

a. Isscelesb. Acutnguloc. Escaleno



a. Obtusngulob. Escalenoc. Issceles

a. Obtusngulob. Equilteroc. Issceles

a. Isscelesb. Equilteroc. Obtusngulo

a. Isscelesb. Equilteroc. Escaleno

56


2. Dibuja los tringulos que se indican:

Equiltero Rectngulo e issceles

Issceles y obtusngulo Issceles y acutngulo

Reconozco lneas notables de un tringulo.

a. Mediana:

Es el segmento que une un vrtice con el punto medio del lado opuesto.

___BH :

b. Bisectriz

Es el segmento trazado desde un vrtice y divide a dicho vrtice en dos ngulos

iguales.

__BI :

57


c. Altura

Es el segmento que se traza en forma perpendicular desde un vrtice hacia el lado

opuesto o a su prolongacin.

___BH :

d. Mediatriz

Es la recta perpendicular a uno de los lados y que lo divide en dos partes iguales.

OA

Listos, a trabajar!

1. Ahora, desarrolla tu clculo mental aplicando en cada caso la propiedad de la suma de ngulos internos para determinar el valor de "x".

x= x= x=

58


Suma de ngulos internos =

2. Indica con una (V) si es verdadero o con una (F) si es falso:

- El tringulo es un polgono ...................................................................... ( )

- La suma de los ngulos interiores de un tringulo es 180 ..................... ( )

- El tringulo issceles tiene 3 lados iguales .............................................. ( )

- El tringulo no tiene diagonales .............................................................. ( )

- El cuadrado tiene 3 diagonales .............................................................. ( )

Aprendo propiedades

1. La suma de los ngulos internos de cualquier tringulo es 180.

+ + =180

2. La suma de los ngulos agudos de un tringulo rectngulo es 90.

+ =90

x= x= x=

59


Desmuestra lo aprendido

1. Halla el valor del ngulo "x" aplicando propiedades sobre los ngulos de un tringulo.

3. La suma de los ngulos externos de cualquier tringulo es 360.

+ + =360

4. La medida de un ngulo externo es igual a la suma de los ngulos internos no adyacentes a l.

x= +

x + 60 + 70 = 180

x = 180 - 60

a)

b)

60


2. Averigua el tipo de tringulo:

2 cm

4 cm

3 cm

3 cm 3 cm

1 cm

2 cm 2 cm

2 cm

61


4. Construye con ayuda de una regla lo que se indica:

tringuloequiltero

tringuloissceles

tringuloescaleno

5. Segn la clasificacin de tringulos, completa la tabla marcando con una cruz en los espacios en blanco:

Iss-celes

Es-caleno

Equi-ltero

Rec-tngulo

Acu-tngulo

Ob-tusngulo

3. Grafica un tringulo cuyos lados midan 6 cm, 3 cm y 4 cm e indica qu tipo de tringulo es.

Grafica un tringulo cuyos lados midan 5 cm, 5 cm y 3 cm e indica qu tipo de tringulo es.

60

60 60

50

60

70

40

100

40

62


6. Halla "x" en cada caso:

x

40

70 70

x x

x

30 70 x

3x

2x x2x

x

x x

50 40

63


Nota: El rea de una

regin se expresa en: cm2, m2,

rea de una Regin Triangular

Para calcular el rea de una regin triangular es necesario conocer la altura y el lado relativo a dicha altura, como se muestra en el grfico:

1. Tringulo acutngulo

b.hA

2=

A rea

b

2. Tringulo obtusngulo

b.hA

2=

rea de una regin

64


3. Tringulo rectngulo

a.bA

2=

EJEMPLOS:

1. Calcula el rea de la regin triangular ABC.

Resolucin:

24.12A A 24cm2

= =


Resolucin:

24.6A A 12cm2

= =

A

B

C


A

B C

Resolucin:

24.12A A 24cm2

= =

65


Listos, a trabajar!

Calcula el rea de la regin sombreada en cada ejercicio:

1.

A = ______________

2.

A = ______________

3.

A = ______________

4.

A = ______________

5.

A = ______________

6.

A = ______________

66


7.

A = ______________

8.

A = ______________

9.

A = ______________

10.

A = ______________

11.

A = ______________

12.

A = ______________

67


CONCEPTO: ______________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

Elemento:

- Vrtice : _________________________

- Lados : _________________________

- Diagonales : _________________________

- ngulos Internos : _________________________

360 + + + =

CLASIFICACIN:

1. Paralelogramos

a) Cuadrado b) Rectngulo

Cuadrilteros

68


2. Trapecios

Un trapecio tiene un par de lados paralelos que

se llaman bases ___ ___BC// AD.

3. Trapezoides

Un trapezoide no tiene ningn par de lados paralelos.

Listos, a trabajar!

1. Indica los elementos de cada grfico:

- Lados : _________________________

- Vrtices :

- Lados : _________________________

- Vrtices :

Sabas que...

...un paralelogramo tiene dos pares de lados

paralelos. En el romboide AB//CD y BC//AD.

69


2. Completa los espacios en blanco:

a. El cuadriltero que tiene un par de lados paralelos se llama ______________________.

b. El cuadriltero que no tiene lados paralelos se llama ________________________.

c. El cuadriltero que tiene dos pares de lados paralelos se llama __________________.

d. El cuadriltero es un polgono que tiene ______________________________ lados.

3. Traza las diagonales de los siguientes cuadrilteros:

70


71


El cuadrado ________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

A = L x L

El rectngulo _______________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

A

reas de Cuadrilteros

72


Listos, a trabajar!

Usando colores, sombrea cada rea y luego, halla su medida.

A

1.

A

2.

A =

3.

A =

4.

A

5.

A =

6.

A =

7.

A =

8.

73


Demuestra lo aprendido Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas:

1. Un aula cuadrada de 10 m de lado se ha dividido en dos partes iguales. Cul es el rea de tres aulas iguales?

2. Cul es el rea de un rectngulo cuyos lados miden 10 m y 20 m?

3. Cul es el rea de un rectngulo de 5 cm de largo, si se sabe que su ancho es el triple de la medida de su largo?

4. Si el lado del cuadrado es 1 m, el rea ser igual a:

5. Calcula el rea de un cuadrado de lado igual a 16 cm.

6. El rea de un rectngulo es 50 cm2. Si el ancho es 5 cm, cunto mide el largo?

7. El lado de un cuadrado es 16 cm. Cul es la medida del rea de cinco cuadrados iguales?

8. Si el lado de un cuadrado es igual a () {} 48105 + ( ){ }4 8 10 5 + cm, cul es el rea? 9. Cul es el rea de un rectngulo cuyo largo mide 5 cm y su ancho es 8 cm?

10. Si en una pista de patinaje cuadrangular, un lado mide 10 m, cul es el rea de la pista de patinaje?

11. Si el rea de un saln cuadrado es 64 m2, cunto mide el lado del cuadrado?

74


Geometra5to grado III Bimestre

ndicendice

Pg

l Circunferencia 95

l Longitud de la circunferencia y el nmero Pi: ( pi ) 99

l Problemas sobre longitud de circunferencia 103

l El crculo - problemas con reas de crculos 105

l Cuerpos geomtricos: Prisma 109

l Pirmide 119

77


CircunferenciaSi sobre una hoja de papel pasas el lpiz por el borde de un vaso o una moneda,

habrs trazado o dibujado una circunferencia.

La circunferencia es una curva cerrada y plana cuyos puntos equidistan de otro interior denominado centro.

Elementos de la Circunferencia.

Radio ___AB

_________________

_________________

_________________

_________________

_________________

Dimetro ___AB

_________________

_________________

_________________

_________________

_________________

Cuerda ___AB

_________________

_________________

_________________

_________________

_________________

Arco MN _________________

_________________

_________________

_________________

_________________

1. Escribe el nombre de cada segmento trazado en esta circunferencia.

___AB es una ______________________

OA es un _________________________AB es un _________________________AB es ______________________

BH es un ______________________

MN es un ______________________

Practiquemos

78


Recuerda que...

...el Dimetro es igual a dos veces el

2. Observa las siguientes circunferencias y completa escribiendo sus elementos. ("O" es el centro de la circunferencia).

SB es__________________

AB es__________________

OR es__________________

PQ es__________________

ER es__________________

DE es__________________

RQ es__________________

PS es__________________

CM es__________________

MD es__________________

PO es__________________

PQ es__________________

EO es__________________

HG es__________________

ZW es__________________

XW es__________________

79


3. Dibuja en los espacios, cuatro circunferencias cuyos dimetros sean 5 cm; 2 cm; 3 cm y 7 cm.

1. D = 5 cm 2. D = 2 cm

3. D = 3 cm 4. D = 7 cm

4. Completa las frases:

- Si el dimetro de una circunferencia mide 22 cm, su radio mide: __________

- Si el radio de una circunferencia mide 62 cm, su dimetro mide: __________




- Si el radio de una circunferencia mide 36 cm, su dimetro mide: __________

- Si el radio de una circunferencia mide 52 cm, su dimetro mide : __________

- Si el dimetro de una circunferencia mide (6 x 3) cm, su radio mide : __________

Recuerda traer a clase: un comps, tu escuadra, un metro de pabilo y algn objeto para trabajar (una lata de leche, un vaso, un envase de goma).

80


81


Determinacin del nmero "Pi" (( )pi) Realiza el siguiente experimento:

- Consigue diversos objetos de forma cilndrica. Por ejemplo: tarros de leche, vasos, etc.

- Mide en milmetros, la circunferencia (L) y el dimetro (D) de cada objeto.

Con estos datos completa la siguiente tabla:

Como podrs observar los nmeros obtenidos en la ltima columna o sea los re-

sultados de L D, todos son mayores que 3, se obtiene un nmero prximo a 3,14159, a este

nmero se denomina nmero "Pi" y se le representa por ( )pi.Atencin!

( )pi = 3, 1416 El nmero ( )pi (Pi) es el cociente entre la medida de la longitud de cualquier circunferencia y su dimetro

correspondiente.

La longitud de una circunferencia es igual al producto de ( )pi por su dimetro.L =

o L = 2R x ( )pi L =

Longitud de la Circunferencia


(L) en mm

Longitud del Dimetro (D)

en mm

CocienteL D

Objeto 1: __________________

Objeto 1: __________________

Objeto 1: __________________


(L) en mm

Longitud del Dimetro (D)

en mm

CocienteL D

Objeto 1: __________________

Objeto 2: __________________

Objeto 3: __________________

82


Ejemplo 1:

Cul es la longitud de una circunferencia de 6 cm de dimetro?

Resolucin:

Sabemos que: L =

Luego: L = 6cm x 3, 1416 = 18, 8496 cm

Rpta: La longitud de la circunferencia es de 18,8496 cm

Ejemplo 2:

Cul es la longitud de la circunferencia de 5 cm de radio?

Resolucin:

Sabemos que: L =

Luego: L = 2 x 3, 1416 x 5 cm = 31, 416 cm

Rpta: La longitud de la circunferencia es de 31, 416 cm

Ejemplo 3:

Si la longitud de una circunferencia es de 20( )pi cm, cul es el valor del radio?Resolucin:

Sabemos que: L =

Luego: 20( )pi cm = 2( )piR 20cm2 = R R = 10 cm Rpta: El valor del radio de dicha circunferencia es de 10 cm.

83


Ejercicios:

I. Halla:

1. Cul es la longitud de una circunferencia de 30 cm de dimetro?

Resolucin:

2. Si la longitud de una circunferencia

es de 140( )pi cm, cul es el valor del radio?

Resolucin:

3. Cul es la longitud de una circunferencia de 25 cm de radio?

Resolucin:

4. Si la longitud de una circunferencia

es de 24,6 ( )pi cm, cul es el valor de su dimetro?

Resolucin:

II. Halla la longitud de las circunferencias:

D =

R

R

D =

L =

D x ( )piL =

L =

______

L =

2( )pi x RL =

L =

______

84


III. Observa el grfico y completa las expresiones:

O : Centro de C1 y C2

C1 : Circunferencia mayor

OD = r1 = 7 m

La medida de:

EO = ___________________ AB = ___________________

OC = ___________________ HF = ___________________

DE = ___________________ OF = ___________________

DB = ___________________ HO = ___________________

EA = ___________________ DA = ___________________

CG = ___________________ GO = ___________________

IV. Utilizando el valor de ( )pi = 3,14; determina la longitud de la circunferencia si: r = 0,8 m D = _________________ Luego: L = _________________

r = _______ D = 2,6 cm Luego: L = _________________

85


Problemas sobre longitud de Circunferencia

1. Los centros de la circunferencia "C1" de radio: r1 = 2 cm y "C2" de radio: r2 = 4 cm, se encuentran a una distancia de 2 cm. Determina y dibuja la posicin de estas circunferencias.

2. En tres terrenos circulares se siembra flores. Halla el dimetro, el radio y el permetro de cada terreno.

x+3 x - 3x

36 m

3. Un caballo debe saltar obstculos en el recorrido de una pista circular de 10 m de dimetro.

a. Cuntos metros recorri en una vuelta?

1

2

3

86


b. Cul ser el recorrido desde el punto de partida hasta cada uno de los obstculos?

c. Cuntos metros recorrer en diez vueltas?

S i s i g u e s practicando, ser ms

87


El Crculo - problemas con reas de crculos

Una circunferencia determina en el plano una regin interior y una regin exterior.

Un crculo es el conjunto formado por la circunferencia y su regin interior.

Por lo tanto:

La circunferencia es una lnea.

El crculo es una regin.

Regin exterior

Regin interior

Ci rcun-

rea del Crculo (A)

= ( )pi.R2Ejemplo 1:

Calcular el rea de un crculo cuyo radio mide 6 cm.

Resolucin:

Sabemos que: rea del crculo: A = ( )pi.R2 Luego: A = ( )pi.(6 cm)2 A = 36( )pi cm2Ejemplo 2:

Calcular el radio de un crculo cuya rea es 64( )pi m2Resolucin:

Sabemos que: rea del crculo: A = ( )pi.R2 Luego: 64( )pi

m2 = ( )piR264

m2 = R2

88


Ejemplo 3:

Calcular el rea de la regin sombreada de la figura:

Resolucin:

(rea de la regin sombreada) = A - A

= ( )pi(6 cm)2 - ( )pi(3 cm)2 = 36( )picm2 - 9( )picm2 rea de la regin sombreada = 27( )picm2

1. Halla el rea de los siguientes crculos.

D =

D =

A = ( )pi x R2

A =

A =

______

A =

______

A =

______

2. Halla 16

del rea de un crculo cuyo radio mide 30 m.

Practiquemos

89


3. Se vende un terreno de forma circular cuyo radio es 20 m. Si el precio por metro cuadrado es S/.50, cunto recibir por la venta?

4. Si la longitud de una circunferencia es 18( )pi m, cul es el rea del crculo?

5. Mara quiere construir en su patio una piscina circular de 5 m de radio. Cul es el rea que emplear para la piscina y cul ser la longitud de una baranda que est alrededor de la piscina?

6. Busca dos objetos circulares, mide su dimetro, anota su medida y calcula su rea.

90


91


Cuerpos Geomtricos Poliedros

Observa los siguientes slidos geomtricos:

Un Poliedro es un slido geomtrico limitado por regiones poligonales

Elementos de un Poliedro

Los elementos bsicos de un Poliedro son los siguientes:

Caras: Son las regiones poligonales que limitan al poliedro, son:

- Base Inferior: ABCD

- Base Superior: HGFE

- Caras Laterales: AHGB, BGFC, DEFC, AHED.

Aristas: Son los segmentos de recta que corresponden a la interseccin de dos caras, son:

- Aristas Bsicas: AB , BC, CD, DA, HG, GF, FE , EH

- Aristas Laterales: AH, BG, CF , DE

Vrtices: Son los puntos de interseccin de tres o ms aristas, son:

A, B, C, D, E, F, G, H

Los principales poliedros son los prismas y las pirmides.

Base

92


PRISMAS: Son poliedros formados por dos bases iguales y cuyas caras laterales son cuadrilteras (rectngulo, cuadrado). A la unin de las caras y la unin de estas con las bases se les llaman aristas.

Escribe el nombre de los elementos que conforman un prisma.

T O R R E S

93


Ahora, hazlo t! 1. El grfico mostrado en la pgina anterior:

a. Tiene ____________ aristas

b. Tiene ____________ aristas

c. Tiene ____________ aristas

d. Tiene ____________ aristas

e. Las caras tienen forma de un ___________________________.

f. Las bases tienen forma de un ___________________________.

2. Indica ( V ) si es verdadero o ( F ), si es falso, en las siguientes proposiciones:

a. Las bases de un prisma son paralelos ..................................................( )

b. El nmero de vrtices es mayor al nmero de caras............................( )

c. Las bases de un prisma pueden ser pentgonos..................................( )

d. Las caras de un prisma siempre son rectngulos..................................( )

En tu cuaderno: 3. Grafica un prisma cuadrangular cuya base es un cuadrado de lado 3 cm y su arista

lateral 5 cm.

4. Grafica un prisma pentagonal cuya base es un pentgono regular de lado 4 cm y

su arista lateral 6 cm.

A. PRISMA TRIANGULAR C. PRISMA HEXA-

B. PRISMA CUADRAN-

94


Ahora, hazlo t!

1. Responde de acuerdo a las figuras de la pgina anterior.

a. En la figura "A" se observa que tiene __________ vrtices, __________ bases,

__________ caras y __________ aristas.

b. En la figura "B" se observa que tiene __________ vrtices, __________ bases,

__________ caras y __________ aristas.

c. En la figura "C" se observa que tiene __________ vrtices, __________ bases,

__________ caras y __________ aristas.


a. Las caras de todos los prismas tienen la misma forma. ( )

b. Las bases de todos los prismas son paralelas. ( )

c. El nmero de vrtices de una base es igual al nmero de lados de dicha base.

( )

d. El nmero de aristas laterales es igual al nmero de caras. ( )

3. En un prisma octogonal, indica lo siguiente:

Nmero de aristas : ___________.

Nmero de caras : ___________.

Nmero de vrtices : ___________.

Nmero de bases : ___________.

En tu cuaderno: 4. Grafica un prisma triangular cuyo lado de la base mida 3 cm y la arista lateral mida

5 cm.

5. Grafica un prisma hexagonal cuyo lado de la base mida 4 cm y la arista lateral mida

6 cm.

95


Prismas

TALLER 1: CONSTRUCCIN DE UNA MAQUETA - PRISMAS

A continuacin se adjunta moldes de algunos cuerpos geomtricos, que previamente debern ser ampliados, recortados y pegados en cartulina, para su posterior construccin.

PRISMA TRIANGULAR

96


RECorta como te indica la profesora

97


P R I S M A C U A-

98



99


PRISMA RECTANGULAR

100



101


Pirmide

TALLER 2: CONSTRUCCIN DE UNA MAQUETA - PIRMIDE

A continuacin se adjunta moldes de algunos cuerpos geomtricos, que previamente debern ser ampliados, recortados y pegados en cartulina, para su posterior construccin.

PI-RMIDE

102



103


Una pirmide es __________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

PIRMI-

104


Ahora, hazlo t!

1. El grfico mostrado en la pgina anterior:

a. Tiene __________ caras, __________ base, __________ aristas laterales y __________

vrtices.

b. Las caras tienen forma de un _____________________________________________.

c. La base tiene forma de un _____________________________________________.


a. Todas las pirmides tienen una base. ( )

b. Todas las pirmides tienen caras en forma triangular. ( )

c. La base de una pirmide puede ser un pentgono. ( )

d. Todas las pirmides tienen una sola altura. ( )

3. Si la base de una pirmide tiene 10 lados, entonces la pirmide tiene ___________

caras.

En tu cuaderno: 4. Grafica una pirmide triangular cuyo lado de la base mida 3 cm y su arista lateral

mida 5 cm.

5. Grafica una pirmide hexagonal cuyo lado de la base mida 2 cm y su arista lateral

mida 4 cm.

105


PIRMIDECUA-

106



107


PI-RMIDE

108



Geometra5to grado IV Bimestre

ndicendice

Pg

l Cuerposredondos 89

l rea total de un cubo o hexaedro 101

l rea total de un prisma triangular 103

l rea total de una pirmide cuadrangular 107

l GraficandoI 109

l GraficandoII 113

111


Cuerpos redondos I. LA ESFERA

La esfera es el slido engendrado por un semicrculo cuando gira una vuelta completa alrededor de su dimetro.

Elementos:

1. Centro

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

2. Radio

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

3. Dimetro

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

R :

112


II. EL CILINDRO

Es el cuerpo engendrado por un rectngulo cuando gira una vuelta completa en torno a uno de sus lados.

Elementos:

1. Base

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

2. Radio

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

3. Altura

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

113


Construccin de maquetasA continuacin se adjunta moldes de algunos cuerpos geomtricos, que previamente debern ser ampliados, recortados y pegados en una cartulinda, para su posterior construccin.

CiLindro

114



115


III. EL CONO

Es el slido engendrado por un tringulo rectnculo cuando gira una vuelta completa alrededor de uno de sus catetos.

Elementos:

1. Base

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

2. Vrtice

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

3. Radio

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

116


4. Altura

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

5. Generatriz

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

117


Cono

Construccin de maquetas

118



119


ConotrunCAdo

120



121


Ahora, hazlo t!

1. Completa los siguientes enunciados:

a. El cilindro tiene ______ bases.

b. Las bases de un cilindro tienen forma de un _____________________.

c. En una esfera todos los radios son ______________________.

En tu cuaderno:

2. Dibuja una esfera cuyo radio mide 5 cm.

3. Dibuja un cilindro de 2 cm de radio y de 6 cm de generatriz.

4. Dibuja una esfera dentro de un cilindro, el radio de la esfera mide 3 cm.

5. Dibuja un cilindro dentro de un prisma cuadrangular, cuyo lado de la base mide 4 cm y su arista lateral, 5 cm.

6. Dibuja un cono cuyo radio de la base mide 3 cm y la altura, 4 cm.

122


123


rea total de un cubo o hexaedro

El Hexaedro o cubo est formado por 6 caras que son cuadrados iguales.

El cubo posee:

- 6 caras

- 8 vrtices

- 12 aristas

rea total = 6 A

= 6 a2

real total = 6a2

Volumen = largo ancho altura

= a a a

Volumen = a3

A = a a

Donde: A es el rea de un cuadrado.

124


Ahora, hazlo t!

1. Observa el cubo y su desarrollo. Luego, resuelve.

a. Colorea de azul la cara DCGH.

b. Colorea de rojo la cara ABFE.

c. Marca el vrtice "B".

d. Resalta la arista DH.

2. Halla el rea total de un cubo cuya arista mide:

L = 5m AT = ______ = ______ L = 23 m AT = ______ = ______

L = 12 AT = ______ = ______ L = 25cm AT = ______ = ______

L = 9cm AT = ______ = ______ L = 23 u AT = ______ = ______

3. Halla el volumen de un cubo cuya arista mide:

L = 4 V = ______ = ______ L = 3 3 V = ______ = ______

L = 42 cm V = ______ = ______ L = 110 V = ______ = ______

L = 2 m V = ______ = ______ L =[(1998)2]0 V = ______ = ______

125


rea total de un prisma triangular

C A -RAS

126


A = A =

Donde A es el rea de un

Donde A es el rea de un

Ahora, hazlo t!

1. Determina el rea total de los siguientes prismas:

A BASES = ___________________

A CARAS LATERALES = ___________________

A TOTAL = ___________________

___________________________________

127


A BASES = ___________________


A TOTAL = ___________________

___________________________________

A BASES = ___________________


A TOTAL = ___________________

___________________________________

A BASES = ___________________


A TOTAL = ___________________

___________________________________

128


129


rea total de una pirmide

cuadrangularvr t ice de la

ATOTAL = ABASE + 4 ACARA

R e -

ATOTAL = A + 4A

A

130


Ahora, hazlo t!

1. Observa la pirmide de base cuadrada y su desarrollo en el plano.

En el desarrollo:

a. Marca los vrtices B y D.

b. Marca los vrtices A y C.

c. Marca el punto E.

d. Colorea las aristas , , y .

2. La base de la siguiente pirmide es un cuadrado de 4 cm de lado. Calcula el rea total si las caras laterales son tringulos cuyas alturas miden 10 cm.

4 cm

10

131


1. Grafica una esfera de radio "r" y seala sus elementos en cada caso:

a. r = 3 cm b. r = 3,5 cm

c. r = 4 cm d. r = 2 cm

Graficando I: Esfera, Cilindro y Cono

132


2. Grafica un cilindro cuyo radio es "r" y altura "h". Adems, seala sus elementos para el primer cilindro:

a. r = 2 cm y h = 8 cm b. r = 1,5 cm y h = 6 cm

c. r = 1 cm y h = 10 cm d. r = 3 cm y h = 9 cm

133


3. Grafica un cono de radio "r" y altura "h". Adems, seala sus elementos para el primer Cono:

a. r = 3 cm y h = 8 cm b. r = 1 cm y h = 7 cm

c. r = 2 cm y h = 6 cm d. r = 1,5 cm y h = 5 cm

134


4. Grafica una esfera dentro de un cilindro.

5. Grafica Una esfera dentro de un cono.

6. Grafica un cono dentro de un cilindro.

135


Graficando II: cubo, prisma triangular y pirmide cuadrangular

1. Grafica un cubo o un hexaedro cuyo arista es "a".

a. a = 3 cm b. a = 4 cm

c. a = 2 cm d. a = 5 cm

e. a = 3,5 cm f. a = 2,5 cm

136


2. Grafica un prisma que tiene como altura "h" y como base "b" un tringulo.

a. h = 5 cm b. h = 6 cm b = tringulo equiltero b = tringulo equiltero (l = 3 cm) (l = 2 cm)

c. h = 8 cm d. h = 7 cm b = tringulo issceles b = tringulo issceles (l = 5 cm y l = 3 cm) (l = 4 cm y l = 2 cm)

137


3. Grafica una pirmide de base "b" (cuadrado) y altura de la pirmide "h".

a. h = 4 cm b. h = 6 cm b = lado del cuadrado b = lado del cuadrado (l = 3 cm) (l = 4 cm)

c. h = 5 cm d. h = 8 cm b = lado del cuadrado b = lado del cuadrado (l = 2 cm) (l = 3 cm)

138


3. Grafica una pirmide cuadrangular dentro de un cubo.

4. Grafica un prisma triangular dentro de un cubo.

Geometría 5

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