Geometría

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Introductorio Geometría

Geometría elementalDesde los orígenes de la civilización el hombre ha tenido lanecesidad de medir, construir y contar. Problemas prácticos comotrazar ángulos rectos en la construcción de templosmonumentales, o medir los terrenos para para volver a determinarsus límites luego de las periódicas inundaciones del río Nilo, en elcaso de los egipcios, dieron origen, aunque de una maneranetamente práctica, a la geometría en el antiguo Egipto, Sumeriay Babilonia (al rededor del 2000 a. C.). Sin embargo, además deestos requerimientos prácticos, el hombre precisó admirar labelleza de la naturaleza con sus proporciones, patrones yrelaciones, para satisfacer su espíritu, esto llevó a los griegos areflexionar acerca de la naturaleza de los números y de los objetosmatemáticos, convirtiendo más tarde la matemática, y enparticular la geometría, en una ciencia racional y estructurada.



Rectas, puntos y ángulosPunto, recta y plano son conceptos que utilizamos habitualmentey que no se definen.Usamos un punto para ubicar una posición en el plano o en elespacio. Para nombrar un punto se utilizan letras mayúsculas. Porejemplo:

A•

Las rectas se representan indicando dos puntos que pertenecen aella.



Rectas, puntos y ángulos

Rectas paralelas

No se intersectan en ningun punto.Tienen infinitos puntos deintersección (rectas coincidentes)




Rectas secantes Rectas perpendiculares

Se cortan en un único puntos Al cortarse forman 4 ángulos rectos




SegmentoRecta limitada en ambos extremos. Para denotar un segmentoescribimos AB y su medida, m

(AB

)Segmentos AB

A B

Semirecta o rayoPorción continua de una recta limitada solo en un extremo. Sedenota −→AB

A B



Ángulos

El ángulo es la porción del plano limitada por dos semirrectas quecomparten un mismo origen llamado vértice. Cada semirrectarecibe el nombre "lado del ángulo"Ejemplo

El ángulo anterior se puede nombrar utilizando la notación]AOB, de medida α, siendo O el vértice del ángulo.



Ángulos

Clasificación de ángulos según sus medidas

Ángulos Agudo Recto Obtuso Extendido Completo

Medida

Representacióngráfica



Ángulos

Clasificación de ángulos según la suma de sus medidas

70⁰20⁰

120⁰60⁰

Complemetarios Suplementarios

La suma de sus medidases igual a 90⁰

La suma de sus medidases igual a 180⁰

Ángulos

Característica

Ejemplo



Ángulos

Dos ángulos son opuestos por el vértice si las prolongacionesde los lados de uno de ellos corresponde a los lados del otro (verfigura). Dos ángulos opuestos por el vértice tienen igual medida.

ab

cd

A

B C

D

O

]BOA y ]DOCson opuestos por el vértice.]COB y ]AODson opuestos por el vértice.a = cd = b



Ángulos

Si dos ángulos tienen vértice y un lado en común y los otros ladosforman una recta, entonces son ángulos adyacentes. Dos ángulosadyacentes son suplementarios.

a bA

C

D

]COA y ]DOCson adyacentes.



Ángulos

Si dos rectas paralelas (L1 y L2) son intersectadas por unatransversal (t), se forman 8 ángulos.

1 2

34

57

68

L1

L2

t

L1 ‖ L2: paralelast : transversal

Ángulos correspondientes:]1 y ]5,]2 y ]6,]3 y ]7,]4 y ]8.Ángulos alternos internos: ]3 y ]5, ]4 y ]6.Ángulos alternos externos: ]1 y ]7, ]2 y ]8.Los pares de ángulos anteriores tienen igual medida.



Ejercicio resueltoEn la figura, w = 100◦, determine x, y, z. L1 ‖ L2 y t : transversal.

L1 L2

xw y

zt

Solución:]w y ]y son correspondientes, por lo tanto y = w = 100◦, además]y es opuesto por el vértice a ]z, entonces z = y = 100◦.Por otro lado, ]w y ]x son suplementarios, entonces x = 80◦, obien x = 180◦ − w = 80◦.Luego, x = 80◦, y = 100◦, z = 100◦.




L1 L2

xw y

zt

Solución:

]w y ]y son correspondientes, por lo tanto y = w = 100◦, además]y es opuesto por el vértice a ]z, entonces z = y = 100◦.Por otro lado, ]w y ]x son suplementarios, entonces x = 80◦, obien x = 180◦ − w = 80◦.Luego, x = 80◦, y = 100◦, z = 100◦.




L1 L2

xw y

zt

Solución:]w y ]y son correspondientes, por lo tanto y = w = 100◦, además]y es opuesto por el vértice a ]z, entonces z = y = 100◦.Por otro lado, ]w y ]x son suplementarios, entonces x = 80◦, obien x = 180◦ − w = 80◦.Luego, x = 80◦, y = 100◦, z = 100◦.


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