Introducción a la Geometría Analítica

1.- SISTEMA COORDENADO EN EL

PLANO:

Se llama sistema coordenado rectangular en el plano a

la correspondencia biunívoca entre cada punto del plano

y un par ordenado de números reales.

Todo punto P del plano puede localizarse por

medio del sistema rectangular.

Y

y P(x , y)

x X

Donde: X y Y se llaman ejes de coordenadas y los

números reales: x, y se llaman coordenadas del punto

P. Es decir:

P( x , y ) Abcisa Ordenada

2.- DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

La distancia “ d ” entre dos puntos P1 (x1 , y1) y

P2 (x2 , y2), está dado por:

d =

3. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNARAZÓN DADA :

Las coordenadas de un punto P(x,y) de un segmento

cuyos extremos son los puntos P1(x1, y1) y P2 (x2 y y2)

son:

x = , y = , r -1

donde :

r = es la razón

4. PENDIENTE DE UNA RECTA:

Se llama pendiente o coeficiente angular de una recta L

a la tangente de su ángulo de inclinación y se denota

“m”.

Es decir: m = Tan

Observación : 1. Si 0° < < 90°, la pendiente es

positiva.

2. Si 90° < < 180°, la pendiente es negativa

3. Si = 90°, la pendiente no existe. Por lo tanto,

la recta es paralela al eje Y.

Si P1 (x1, y1) y el P2(x2 , y2) son dos puntos

diferentes cualesquiera de una recta entonces la

pendiente de la recta está dada por :

m = ; x1 x2

5. ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS :

El ángulo formado por dos rectas está dado por:

= arc Tg ; m1 . m2 -1

Donde :m1 es la pendiente inicialm2 es la pendiente inicial correspondiente al ángulo

Observación :1. Si L1 // L2 m1 = m2

2. Si L1 L2 m1 . m2 = -1

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GEOMETRÍA ANALÍTICACAPÍTULO XII

OBJETIVOS:

Al finalizar el presente capítulo, el alumno estará en la capacidad de :

Conceptuar y definir algunos de los fundamentos de la Geometría Euclidiana en forma

analítica.

Comprender los resultados de la Geometría Plana bajo otros términos .

Conocer algunos lugares geométricos determinados mediante una ecuación algebraica y

también las propiedades del mismo

6. LÍNEA RECTA :

1. Definición: La línea recta es el lugar geométrico de

todos los puntos del plano tales que tomados dos

puntos cualesquiera diferentes P1(x1 , Y1) y P2 (x2 , y2)

de lugar, el valor de la pendiente:

m = es constante

2.- Ecuaciones de la línea recta:

a) La recta L que pasa por el punto dado P1 (x1, y1) y tiene la pendiente dada m:

L : y – y1 = m (x – x1)

Observación:Si L // eje Y L : X = K, donde K es un número real.

b) La recta L cuya pendiente es m y cuya ordenada en

el origen es b

L : y = mx + b

c) La recta L que pasa por dos puntos dados P1 (x1, y1) y P2 (x2 , y2) :

L : y – y1 = (x – x1)

También :

L :

d) La recta cuyas intersecciones con los ejes X y Y son a 0 y b 0 :

L :

(Ecuación simétrica de la recta)

e) La ecuación lineal de la línea recta está dada :

L: A x + B y + C = 0 3.- Distancia de un punto a una línea recta: La distancia d de una recta

L: A x + B y + C = 0

a un punto P1 (x1 , y1) está dado :

d =

2. Área de un Triángulo:El área de un triángulo cualesquiera cuyos vértices son : A (x1 , y1) , B(x2 , y2) y C(x3 , y3), está dada por :

B

A C

A =

3. Familias de rectas:

1. La familia de rectas paralelas a una recta dada: L : Ax + By + C = 0

está dada por :

Lk : Ax + By + k = 0

2. La familia de rectas perpendiculares a una recta dada:

L : Ax + By + C = 0

está por :

Lk : Bx – Ay + k = 0

3. La familia de rectas que pasa por la intersección de dos rectas dadas:

L1 : Ax + By + C = 0 L2 : A’ x + B’ y + C’ = 0

Está dada por :

Lk : Ax + By + C + K (A’x + B’y + C ‘) = 0

EJERCICOS DE RESUELTOS

PROBLEMA Nº 01

Hallar las coordenadas del punto P (x,y) el cual divide al

segmento P1 (1,7) ; P2 (6,-3) en la relación r = 2/3

285

¡APRENDIENDO A RESOLVER ………………………………………… RESOLVIENDO!

P1 (1,7)

P (x,y)

P2 (6,-3)

A(6,3)

D(x,y)

B(2,-1)

C(2,-3)

SOLUCION

r =

Hallamos abscisa:

E l punto es P (3,3)

PROBLEMA Nº 02

Establecer la ecuación de la recta que pasa por el punto

(2,-3) y que divide a la recta que une los puntos (6,3) ;

(2,-1) en la relación 2/5.

SOLUCION

Como pasa por los puntos C y D:

Luego la ec. es:

17x – 10y – 64 = 0

EJERCICOS

PROBLEMA Nº 01

Calcular la distancia desde el origen de coordenadas

hasta el punto A = (6,8).

a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16

PROBLEMA Nº 02

Se tiene los puntos colineales A, B y C; tal que:

AB = 3BC ; A = (2;4) ; C = (6,8) y B = (x,y)

Calcular “x + y”

a) 11 b) 13 c) 15 d) 14 e) 16

PROBLEMA Nº 03

Calcular el área de la región triangular ABC:

Si A = (1,1) ; B = (4,6) ; C = (8;2)

a) 14 b) 16 c) 12 d) 20 e) 18

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BIBLIOGRAFÍA BÁSICA

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Perú; 2003.

Mariano Perero; HISTORIA DE LA MATEMATICA Editorial BRUÑO; Lima – Perú.- 2004

Víctor Calvo Daniell ; GEOMETRÍA PLAN; Editorial COVEÑAS ; Lima – Perú; 2002.

Academia ADUNI; COMPENDIO DE GEOMETRÍA ; Editorial LUMBRERAS, Lima – Perú; 2003.

Repetto – Linkens - Fesquet ; GEOMETRÍA ELEMENTAL ; Editorial “ ARCO”; Segunda Edición; Lima – Perú;

2002.

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Ruben Alva Cabrera ; TRIGONOMETRÍA Editorial UNICIENCIA ; Lima – Perú.- 2003

Jorge Quispe Roque ; TRIGONOMETRÍA ; Editorial INGENIO ; Lima – Perú; 2002.

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