4. Ecuación ordinaria de la circunferencia

4.1 Ecuación ordinaria a partir del centro y el radio

Se requiere encontrar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (h, k) y cuyo radio es la constante r.

Aplicando el teorema de Pitágoras en la figura obtenemos:

( x – h )² + ( y – k )² = r²

Que es la ecuación ordinaria de la circunferencia.

Se puede observar que si: h = 0, k = 0, el centro de la circunferencia se encuentra en el origen, por tanto la ecuación de la circunferencia con centro en el origen es:

x² + y² = r²

Ejemplo 1

Encontrar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en C( 4, 6 ) y radio r = 5

La gráfica correspondiente es la siguiente:

La ecuación buscada está dada por la fórmula: ( x – h )² + ( y – k )² = r²

Sustituyendo valores se tiene:

( x – 4 )² + ( y – 6 )² = 25 ; esta es la ecuación de la circunferencia con centro en:

C( 4, 6 ) y radio r = 5

Ejemplo 2

Encontrar la ecuación de la circunferencia con centro en C(−3, 6) y que pasa por el punto A(4, 3)

La gráfica es la siguiente:

La ecuación buscada está dada por la fórmula: ( x – h )² + ( y – k )² = r²

Sustituyendo valores se tiene: ( x + 3 )² + ( y – 6 )² = r² (1)

La distancia del centro al punto A es el radio de la circunferencia, usamos la fórmula:

radio=√(x2−x1)2+( y¿¿2− y1)

2=√(4+3)2+(3−6)2=√49+9=√58=7.6¿

Se sustituye el valor de r en (1):

( x + 3 )² + ( y – 6 )² = 58

Ejemplo 3

Encuentre la ecuación de la circunferencia cuyas coordenadas de los extremos de su diámetro son: A(−5, 6) y B(4, 2)

La gráfica es la siguiente:

El primer paso es encontrar las coordenadas del centro, se calculan entonces las coordenadas del punto medio del diámetro A B.

x=x1+x22

=−5+42

=−12

;

y=y1+ y22

=6+22

=4

Pm ( −12,4¿; son las coordenadas del punto medio y por tanto las

coordenadas del centro de la circunferencia.

La longitud del radio es ½ de la longitud del diámetro, por tanto:

radio=√(−5−4)2+6−2¿2¿=√(−9)2+(4)2=√81+16=√97=9.84Se sustituyen valores en la ecuación : ( x – h )² + ( y – k )² = r²

( x + ½ )² + ( y – 4 )² = 97

4.3 Ecuación de la circunferencia a partir del centro y una tangente

Ejemplo 1

Encuentre la ecuación de la circunferencia con centro en C( 6, 2 ) y que es tangente a la recta

x – y + 1 = 0

El radio es la distancia a la recta dada, por tanto: r=Ax+By+C

√A2+B2

Sustituyendo valores se tiene:

r=1 (6 )−1(2)+1

√12+(−1)2 = 5

√2

Por tanto la ecuación de la circunferencia es:

(x−6)2+( y−2)2=252

5. Ecuación general de la circunferencia

5.1 Ecuación general de la circunferencia

La ecuación general de la circunferencia es de la forma:

x² + y² + Dx + Ey + F = 0

y se obtiene a partir del desarrollo de la ecuación ordinaria: ( x – h )² + ( y – k )² = r²

x² - 2hx + h² + y² - 2ky + k² = r² ; ordenando términos tenemos: x² + y² - 2hx - 2ky + h²+ k² - r² = 0

en donde: D = - 2h, E = - 2k, F = h²+ k² - r²

Ejemplo 1

Encontrar el centro y el radio de la circunferencia, cuya ecuación general es:

x² + y² - 6x - 2y - 6 = 0

Solución:

De la ecuación general dada, se completa el trinomio cuadrado perfecto:

(x² - 6x + 9) + ( y² - 2y + 1) = 6 + 10

( x - 3 )² + ( y - 1 )² = 16

Por tanto las coordenadas del centro son C( 3, 1 ) y el radio es r = 4

La gráfica correspondiente es la siguiente:

Ejemplo 2

Encuentre la ecuación general de la circunferencia cuya ecuación ordinaria es:

( x + 5 )² + ( y - 2 )² = 25

Las coordenadas del centro de la circunferencia son: C( - 5, 2 ) y el radio es r = 5

La gráfica de la circunferencia dada es la siguiente:

Para encontrar la ecuación general se debe desarrollar la ecuación ordinaria:

x² + 10x + 25 + y² - 4y + 4 = 25 ; ahora se tienen que acomodar los términos:

x² + y² + 10x - 4y + 29 = 25

x² + y² + 10x - 4y + 29 – 25 = 0

x² + y² + 10x - 4y + 4 = 0 ; ecuación general de la circunferencia