Geometría analítica geogebra

Est. Reynaldo Huarachi Escarzo MATEMÁTICA

Docente. Lic. Ignacio Choque Ayma 2013

1

Dedicatoria

MATEMÁTICA 2013

2 Est. Reynaldo Huarachi EscarzoDocente.

Lic. Ignacio Choque Ayma



3

Agradecimiento

MATEMÁTICA 2013





5

MATEMÁTICA 2013





7

GEOGEBRA MANUAL DE USO EN GEOMETRÍA ANALÍTICA GeoGebra es un software interactivo de matemática que reúne

dinámicamente geometría, álgebra y cálculo. Lo ha elaborado Markus

Hohenwarter junto a un equipo internacional de desarrolladores, para la

enseñanza de matemática escolar.

A) VISTAS GRÁFICA DE LOS OBJETOS MATEMÁTICOS

GeoGebra ofrece tres perspectivas diferentes de cada objeto matemático:

una Vista Gráfica, una, numérica, Vista Algebraica y además, una Vista de

Hoja de Cálculo. Esta multiplicidad permite apreciar los objetos

matemáticos en tres representaciones diferentes: gráfica (como en el caso

de puntos, gráficos de funciones), algebraica (como coordenadas de puntos,

ecuaciones), y en celdas de una hoja de cálculo. Cada representación del

MATEMÁTICA 2013



mismo objeto se vincula dinámicamente a las demás en una adaptación

automática y recíproca que asimila los cambios producidos en cualquiera de

ellas, más allá de cuál fuera la que lo creara originalmente.

En este entendido para este texto utilizaremos las herramientas mas

usuales para la geometría analítica.

B) RECTA Y SUS HERRAMIENTAS

Bisectriz

La bisectriz de un ángulo (ver también el comando Bisectriz),

puede definirse de dos maneras

• Al marcar los tres puntos A, B, C se produce la bisectriz del ángulo

determinado por A, B y C, con B como vértice.

• Al marcar dos rectas se producen las bisectrices de sendos ángulos.

Atención: Los vectores directrices de todas las bisectrices tienen longitud 1.

Atención: La dirección de la bisectriz es la del vector perpendicular del

segmento s o AB.

Recta que pasa por Dos Puntos

Al marcar dos puntos A y B se traza la recta que cruza A y B. El vector que

fija la dirección de la recta es (B ‐ A). (Ver también el comando Recta),

Atención: La dirección del vector de la recta es (B ‐ A).

Recta Paralela

Al seleccionar una recta g y un punto A, queda definida la recta que

pasa por A y es paralela a g. (Ver también el comando Recta).



9

Atención: La dirección del vector de esta recta es la de g.

Mediatriz

La recta mediatriz de un segmento se traza al seleccionar un segmento s o

sus dos puntos A

y B extremos.

Atención: La dirección de esta recta es equivalente a la del vector

perpendicular al segmento

s. o AB (Ver también el comando Mediatriz).

Recta Perpendicular

Al seleccionar una recta g y un punto A, queda definida la recta que pasa por

A y es perpendicular a g. (Ver también el comando Perpendicular).

Atención: La dirección de esta recta es equivalente a la del vector

perpendicular a g.

C) SECCIONES CÓNICAS Y SUS ERRAMIENTAS

Circunferencia dados su Centro y Radio

Tras seleccionar un punto M como centro, se despliega la ventana

para ingresar el valor del radio. (Ver también el comando Circunferencia).

Circunferencia dados su Centro y uno de sus Puntos

Al seleccionar un punto M y un punto P queda definida una

circunferencia con centro en M que pasa por P. (Ver también el comando

Circunferencia).

MATEMÁTICA 2013



Atención: El radio del círculo es la distancia MP.1

Circunferencia dados Tres de sus Puntos

Al seleccionar tres puntos A, B y C queda definida una circunferencia que los

cruza.

(Ver también el comando Circunferencia).

Atención: Si los tres puntos estuvieran alineados, la circunferencia quedaría

reducida a una recta.

Compás

Al seleccionar un segmento o dos puntos, queda especificado el radio

y un clic posterior sobre un punto, lo marca como centro de la

circunferencia a trazar. (Ver también el comando Circunferencia).

Parábola

La parábola se trazará al seleccionar un punto que será su foco y su directriz

(recta, semirrecta o segmento). (Ver también el comando Parábola).

Elipse

La elipse se trazará al seleccionar sus dos focos en primer lugar y

luego, uno de sus puntos. (Ver también el comando Elipse).

Hipérbola La hipérbola se trazará al seleccionar sus dos focos en

1 Cómo es posible que flote sobre el mar

un barco de acero, de miles de

toneladas, y en cambio tú te hundas en

la piscina si no haces algo para evitarlo



11

primer lugar y luego, uno de sus puntos. (Ver también el comando

Hipérbola).

Por tanto este programa representa una tecnología informática que puede

tener gran impacto en los procesos de mediación en la educación

matemática a nivel secundario, pues ofrece la posibilidad de trabajar la

Geometría y el Álgebra simultáneamente de formas dinámicas, atractivas e

integradas.

En este sentido, representa un micro mundo de posibilidades, que ofrece

gran autonomía y capacidad de manipulación a sus usuarios; un entorno

dinámico e interactivo con prestaciones que:

Requieren la realización de acciones informáticas relativamente complejas

(diseño, programación, ejecución). Devuelven resultados

matemáticos (como gráficas, construcciones, transformaciones,

cálculos), y para matemáticos

(como simulaciones, modelos,

clasificaciones, ordenamientos e

iteraciones).

Facilitan el desarrollo de

acciones matemáticas (como

resolución de problemas,

demostración, aplicación,

verificación), y metamatemáticas

(como análisis, deducción,

inducción, reflexión, enseñanza,

aprendizaje, valoración y

experimentación).

MATEMÁTICA 2013



2Las prestaciones del GeoGebra es para explorar conceptos como: los

triángulos y sus puntos notables, la línea recta, la circunferencia, la elipse, la

parábola, hipérbola. Por lo tanto nos servirá para sobreponer la enseñanza

rutina en la educación secundaria, pero al mismo tiempo, permitira analizar

los alcances y limitaciones del GeoGebra en el estudio de conceptos

elementales de la Geometría Analítica.

La geometría analítica estudia las relaciones entre puntos, rectas, ángulos,

distancias, de un modo algebraico, mediante fórmulas algebraicas y

ecuaciones. Para ello es imprescindible utilizar un sistema de referencia: un

punto fijo (origen) y unos ejes (cartesianos) y una orientación. Tal

referencia es bien conocida. Tal

como vemos en la figura

Los ejes cartesianos son

perpendiculares. En el punto

de corte se sitúa el origen:

𝑂 (0, 0).

El eje horizontal se llama eje

de abscisas, o eje de las X. A la

derecha del origen las abscisas

son positivas; a la izquierda,

negativas.

El eje vertical se llama eje de ordenadas, o eje de las Y. Por encima del

origen las ordenadas son positivas; por debajo, negativas.

2 Una cuerda fina clavada muy tensa en la pared o un rayo de

luz representan lo que es una recta. Es una línea continua en

una dirección que se mantiene fija, sin saltos o

interrupciones, que no tiene principio ni tiene fin, ya que está

formada por infinitos puntos.



13

Cualquier punto del plano se designa por dos números, en general por sus

coordenadas x e y: 𝑃(𝑥, 𝑦).

MATEMÁTICA 2013





15

1. RECTA EN EL PLANO

Una recta es un conjunto de puntos del plano que cumplen una

determinada ecuación. La ecuación general de una recta (que también se

llama ecuación implícita o cartesiana) es de la forma:

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0

1.1. BISECTRIZ DE DOS

RECTAS:

Dibuja las bisectrices de las dos

rectas siguientes y halla sus

ecuaciones.

𝑟: 5𝑥 – 12𝑦 + 22 = 0;

𝑠: 4𝑥 – 3𝑦 + 11 = 0

a) En la Barra de Entrada,

introduce:

b) Dibuja de igual forma la

recta s y r

c) Muestra el nombre y el

valor de las dos rectas.

d) Elige Bisectriz y haz clic en la recta r y en la recta s

e) Muestra en las dos bisectrices y el nombre.

f) En la ventana Algebraica, modifica una de las ecuaciones de las rectas

y verás cómo cambian las bisectrices y sus ecuaciones. También puedes

introducir las nuevas ecuaciones en la Barra de Entrada.3

3 Expresar el número 12 por medio de cuatro treses es muy sencillo:

12 = 3 + 3 + 3 + 3.

MATEMÁTICA 2013



1.2. EL CIRCUNCENTRO

DE UN TRIÁNGULO

Dibuja el triángulo que tiene

como vértices los puntos A =

(6, 2), B = (1, –3) y C = (–3,

5). Halla las mediatrices de

sus lados, sus ecuaciones, el

circuncentro, la

circunferencia circunscrita y

su ecuación.

a) En la Barra de Entrada, introduce uno a uno los puntos 𝑨 = (𝟔,

𝟐), 𝑩 = (𝟏, – 𝟑) 𝑦 𝑪 = (𝟑, 𝟓)

b) Dibuja el triángulo ABC

c) Dibuja las mediatrices.

d) Muestra las coordenadas del

circuncentro.

1.3. EL BARICENTRO DE UN

TRIÁNGULO:

a) Dibuja un triángulo de

vértices 𝐴 = (6, 1), 𝐵 =

(1, 4) 𝑦 𝐶 = (– 1, – 2) y

halla el baricentro.

b) Dibuja las medianas y halla el baricentro. Geometría dinámica:

interactividad



17

c) Arrastra un vértice del triángulo, modifícalo en la ventana

Algebraica o

introduce en la

Barra de Entrada

sus coordenadas;

observa las nuevas

coordenadas del

baricentro.

1.4. EL INCENTRO DE

UN TRIÁNGULO:

a) Dibuja un triángulo de

vértices 𝑨 =

(𝟐, 𝟑), 𝑩 =

(𝟏, −𝟑) 𝑦 𝑪 = (𝟐, – 𝟐)

y halla el incentro

b) Dibuja las bisectrices y halla el incentro.

c) Arrastra un vértice del triángulo, modifícalo en la ventana Algebraica o

introduce en la Barra de Entrada sus coordenadas; observa las nuevas

coordenadas del incentro.

1.5. EL ORTOCENTRO DE UN

TRIÁNGULO:

2. Dibuja un triángulo de

vértices 𝑨 = (−𝟐, 𝟐), 𝑩 =

(𝟏, −𝟑) 𝑦 𝑪 = (𝟐, 𝟑) y halla el

ortocentro

3. Dibuja las alturas y halla el

ortocentro

MATEMÁTICA 2013



4. Arrastra un vértice del triángulo, modifícalo en la ventana Algebraica o

introduce en la Barra de Entrada sus coordenadas; observa las nuevas

coordenadas del ortocentro.



19

2. ECUACIONES DE LA LINEA RECTA EN

EL PLANO

Sabemos que en un punto del espacio pasan

infinitas rectas. Asi mismo "Por un punto del

plano pasan infinitas

rectas".

Por lo tanto dos puntos del espacio. ¿Cuántas

rectas unen a esos dos puntos? "Dos puntos del

espacio determinan una sola recta".

Lo mismo sucede en el plano: "Dos puntos del

plano determinan una sola recta"

2.1. ECUACION DE LA RECTA QUE PASA POR EL ORIGEN

Vamos ahora a demostrar que toda recta que pasa por el origen del sistema

de coordenadas está

representada por una función

de la forma 𝒚 = 𝒎𝒙 o sea una

función de dos variables de

primer grado, sin término

independiente, en la que m es

una constante cuyo significado

estableceremos

posteriormente. Para esto,

necesitamos hacer ver que esta

función establece o expresa la

condición común a que se

ajustan absolutamente todos

los puntos que constituyen una recta que pasa por el origen, en otras

palabras debemos hacer constar que la ordenada y de todo punto de la recta

efectivamente es igual al producto de la constante m por la abscisa x de

dicho punto, es decir 𝒚 = 𝒎𝒙.

MATEMÁTICA 2013



2.2. ECUACION DE

LA RECTA QUE NO PASA

POR EL ORIGEN

Se trata ahora de demostrar

que una función de dos

variables de primer grado con

término independiente, o sea

una función de la forma.

𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟏)

2.2.1. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE LA LINEA RECTA.

EJEMPLO. 1 Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (4. - 1) y

tiene un ángulo de inclinación de 135º

Dicha ecuación es conocida como La Ecuación de la recta con un punto

dado. Como conocemos el punto 𝑃(4, −1) podemos calcular dicha

recta, pero también es necesario

determinar el valor de la pendiente

m, la cual calcularemos de la

siguiente forma: m= Tg (135º);

donde 𝒎 = −𝟏 Sustituimos los

valores en la expresión y

obtenemos;

𝒀 − (−𝟏) = −𝟏(𝑿 − 𝟒)

𝒀 + 𝟏 = −𝑿 + 𝟒

𝒀 = − 𝑿 – 𝟑



21

EJEMPLO. 2 Hallar la

ecuación de la recta que

pasa por el siguiente par de

puntos (–7, 11), (1, 7)

Por medio de los puntos dados

buscamos el valor de la

pendiente aplicando la

formula correspondiente y

obtenemos que: m= -1/2

Luego sustituimos los datos en la fórmula de la ecuación de la recta dado

dos puntos, y obtenemos:

− 7 = −1/2 (𝑥 − 1)

𝑦 − 7 = −1/2𝑥 + 1/2

𝑦 = −1/2𝑥 + 15/2

𝒙 + 𝟐𝒚 – 𝟏𝟓 = 𝟎

EJEMPLO. 3 hallar la distancia entre los puntos 𝑨(𝟑, 𝟓), 𝑩(𝟑, – 𝟕)

𝑑 = √ (3 – 3)2 + (5 + 7)2

= √ 122

= 12

MATEMÁTICA 2013



EJEMPLO. 4 hallar la distancia entre los puntos 𝑨(– 𝟖, 𝟑), 𝑩(– 𝟔, 𝟏)

𝑑 = √(– 8 + 6)2 + (3 – 1)2

= √4 + 4

= √8

= 2 √ 2

EJEMPLO. 4 hallar la

distancia entre los

puntos A(0, –3), B(–5, 1)

𝑑 = √25 + (– 3 – 1)2

= √25 + 16

= √ 41



23

2.2.2. ANALIZA Y RESUELVE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS

a) Dibujar la recta de ecuación 𝑦 = 4/5𝑋 + 3.

b) Un punto dista siete unidades del origen del sistema de coordenadas y

la pendiente de la recta que lo une al punto 𝐴(3,4) es 1/2. Determinar

las coordenadas del punto.

c) Un triángulo equilátero tiene su base en el eje de las x y su vértice en el

punto C(3,5). Determinar las ecuaciones de sus lados.

d) Una diagonal de un cuadrado une los vértices 𝐴(1,2) 𝑦 𝐶(2,5). Obtener

las ecuaciones de los lados del cuadrado. NOTA: Tomando en

consideración que cada lado del cuadrado forma un ángulo de 45° con la

diagonal.

4

4 Una cadena de 28 fichas

¿Por qué las 28 fichas del dominó se

pueden colocar, cumpliendo las

MATEMÁTICA 2013



2.3. RECTAS PARALELAS Y RECTAS

PERPEDICULARES

Serán paralelas si y solo si .

Además, serán coincidentes cuando

Serán perpendiculares si y sólo si

, es decir:

2.3.1. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE LA LINEA RECTA.

EJEMPLO. 1 Halla la ecuación de la recta que pasa por (4, 5). y es

Paralela a la recta 𝒚 = – 𝟐𝒙 + 𝟑

𝑚 = – 2

Remplazando en la dela recta es:

𝑦 = 5 – 2(𝑥 – 4)

𝑦 = 5 − 2𝑥 + 4

𝑦 = −2𝑥 + 9

reglas del juego, en una cadena

continua?

http://es.wikipedia.org/wiki/Paralelismo_%28matem%C3%A1tica%29

http://es.wikipedia.org/wiki/Si_y_solo_si

http://es.wikipedia.org/wiki/Perpendicularidad



25

EJEMPLO. 2 Escribe la

ecuación de la recta que pasa

por 𝑷(−𝟏, 𝟐) y es paralela a

recta 𝟑𝒙 − 𝒚 + 𝟒 = 𝟎.

Obtenemos la pendiente de la

recta dada

3𝑥 − 𝑦 + 4 = 0

𝑦 = 3𝑥 + 4

𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = 3

La recta paralela tiene la misma

pendiente; su ecuación será

𝑦 = 2 + 3 (𝑥 + 1)

𝑦 = 2 + 3𝑥 + 3

3𝑥 − 𝑦 + 5 = 0

EJEMPLO. 3 Hallar la

ecuación implícita de la

recta perpendicular a 𝟐𝒙 +

𝒚 − 𝟑 = 𝟎 que pasa por el

punto 𝑷(𝟏, 𝟏)

Obtenemos la pendiente de la

recta dada:

2𝑥 + 𝑦 − 3 = 0

𝑦 = −2𝑥 + 3

𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = −2

MATEMÁTICA 2013



La pendiente de la perpendicular es:

−1

−2=

1

2

La ecuación de la recta buscada será:

𝑦 = 1 + 1

2(𝑥 − 1)

2𝑦 = 2 + 𝑥 − 1

𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0

EJEMPLO. 4 Comprueba que el triángulo de vértices 𝑨(– 𝟏, 𝟎), 𝑩(𝟑, 𝟐),

𝑪(−𝟏, 𝟒) es isósceles.

¿Cuáles son los lados

iguales?

𝑨𝑩 = √ (– 𝟏 – 𝟑)𝟐 + (𝟎 – 𝟐)𝟐

= √ 𝟏𝟔 + 𝟒 = √ 𝟐𝟎

𝑨𝑪 = √ (– 𝟏 + 𝟏)𝟐 + (𝟎 – 𝟒)𝟐



27

= √𝟎 + 𝟏𝟔 = √ 𝟏𝟔 = 𝟒

𝑩𝑪 = √√ (𝟕 – 𝟑)𝟐 + (𝟒 – 𝟐)𝟐

= √ 𝟏𝟔 + 𝟒 = √ 𝟐𝟎

EJEMPLO. 5 Hallar la longitud de los lados de un tria ngulo A(2,3),

B(5,1) Y C(4,6)

AB d=√(5 − 2)2 + (1 − 3)2

d=√(3)2 + (2)2 d=√9 + 4

BC d=√(4 − 5)2 + (6 + 1)2

d=√(1)2 + (5)2

d=√1 + 25

B,C d=√(4 − 2)2 + (6 − 3)2

d=√(2)2 + (3)2

d=√4 + 9

d=√𝟏𝟑

d=√𝟐𝟔

d=√𝟏𝟑

MATEMÁTICA 2013



5

2.3.2. PRÁCTICA ANALIZA Y RESUELVE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS

Determinar la pendiente de la recta, cuya ecuación es 𝑦 = 𝑚𝑥 + 5, para

que pase por el punto de intersección de las rectas, representadas por

las ecuaciones 𝑦 = −3𝑥 − 5, 𝑦 = 4𝑥 + 2.

La ordenada al origen de una recta es 7. Determine su ecuación

sabiendo que debe ser perpendicular a la recta 4 𝑥 + 9 𝑦 − 27 =

0 .

Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto 𝑃(−3, −5) y es

paralela a la recta 𝑦 = − 2/3𝑥 + 9

Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección

de las rectas: 5 𝑥 − 3 𝑦 = − 2 y 8 𝑥 + 7 𝑦 = 44 y es

perpendicular a la recta que está definida por la ecuación: 𝑦 = 2/3𝑥 +

1

Comprueba, mediante el teorema de Pitágoras, que el triángulo de

vértices A(–2, –1), B(3, 1), C(1, 6) es rectángulo.

5 Teorema de Pitágoras, relaciona los tres

lados de un triángulo rectángulo, y que

establece que el cuadrado del lado mayor

(hipotenusa) es igual a la suma de los

cuadrados de los otros dos lados (catetos)



29

MATEMÁTICA 2013





31

MATEMÁTICA 2013



6

3. LA CIRCUNFERENCIA

Se llama circunferencia al lugar geométrico

de los puntos de un plano que

equidistante de un punto fijo del mismo

plano.

Dicho punto fijo se llama centro, a la

distancia de cualquier punto de la

circunferencia al centro se acostumbra a

llamar radio

Un caso de gran importancia es el caso de una circunferencia con centro

en el origen y radio r se obtiene haciendo 𝑎 = 𝑏 = 0

𝑥2 + 𝑦2

= 𝑟2

Notemos también que en general una circunferencia tal como (𝑥 − 𝑎)2

+ (𝑦 − 𝑏)2

= 𝑟2

3.1. RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS.

EJEMPLO 1. Dada la ecuación de una circunferencia en la forma general

representarla en la forma normal. 𝟒𝒙𝟐 + 𝟒𝒚𝟐 – 𝟏𝟔𝒙 + 𝟐𝟒𝒚 + 𝟐𝟕 = 𝟎

4𝑥2 + 4𝑦2 – 16𝑥 + 24𝑦 = −27

4(𝑥2 + 4𝑥) + 4(𝑦2 + 6𝑦) = −27

6 LIBÉRATE



33

4(𝑥2 + 4𝑥 + 4) + 4(𝑦2

+ 6𝑦

+ 9)

= −27

+ 16 − 36

4

2532

4

25

4

3424

22

22

yx

yx

2

5

)5,3(

222

rradio

C

rkyhx

EJEMPLO 2. Halla la ecuación de la

circunferencia de centro (– 𝟓, 𝟏𝟐) y

radio 13. Comprueba que pasa por

el punto (𝟎, 𝟎).

Aplicando la formula de la

circunferencia obtenemos:

(𝑥 + 5)² + (𝑦 – 12)² = 132

𝑥² + 𝑦² + 10𝑥 – 24𝑦 = 0

Si sustituimos 𝑥 = 0, 𝑦 = 0 en la

MATEMÁTICA 2013



ecuación, esta se verifica. Por tanto, la circunferencia pasa por (0, 0).7

EJEMPLO 3. Determinar la ecuación de una circunferencia que pasa

por el punto 𝐏(𝟏, 𝟎) sabiendo que la circunferencia 𝐱² + 𝐲² − 𝟐 𝐱 −

𝟖 𝐲 + 𝟏𝟑 = 𝟎 es concéntrica a

ella

𝒙² + 𝒚² − 𝟐 𝒙 − 𝟖 𝒚 + 𝟏𝟑 = 𝟎 .

( 𝑥² − 2 𝑥 + 1 − 1 ) + ( 𝑦² − 8 𝑦

+ 16 − 16 ) + 13

= 0

( 𝑥 − 1 )² + ( 𝑦 − 4 )² = 4

Por tanto la ecuación buscada tiene

radio, la distancia entre el punto

centro y el punto indicado

anteriormente.

√(1 − 1)2 + (4 − 0)2 = √16 ⇒ 𝑟 = 4

Entonces la ecuación es

( 𝑥 − 1 )² + ( 𝑦 − 4 )² = 16

EJEMPLO 4. El diámetro de una circunferencia es el segmento de recta

definido por los puntos: 𝐴(−8, −2) y 𝐵(4,6). Obtener la ecuación de

dicha circunferencia.

7 El radio es el segmento

que une cualquier punto de la circunferencia con su centro



35

Solución. El centro es el punto

medio del diámetro, cuyas

coordenadas se obtienen

aplicando las fórmulas para el

punto medio de un segmento,

en este caso A B:

Por tanto, el centro

𝑒𝑠 𝐶(−2,2) El radio es la

distancia del centro C a

cualquiera de los extremos del

diámetro, es decir: radio

𝑟 = 𝐶 𝐵 ²

( − 2 − 4 )² + ( 2 − 6 )²

36 + 16 = 52 ,

Por lo tanto, 𝑟 ² = 52 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜

La ecuación de la circunferencia pedida es:

( 𝑥 + 2 )² + ( 𝑦 − 2 )² = 52.

EJEMPLO 5. Comprobar que la recta 2 𝑦 + 𝑥 = 10 es tangente a la

circunferencia 𝑥² + 𝑦² − 2 𝑥 − 4 𝑦 = 0 y determinar el punto de

tangencia.

Solución: Necesitamos hacer simultáneas las dos ecuaciones. Para esto,

despejamos a x de la primera ecuación:

𝑥 = 10 − 2 𝑦

Sustituyendo este valor en la segunda ecuación, desarrollando y

simplificando, se obtiene: (10 − 2 𝑦 )² + 𝑦² − 2 ( 10 − 2 𝑦 ) −

4 𝑦 = 0

MATEMÁTICA 2013



100 − 40 𝑦 + 4 𝑦² + 𝑦² − 20

+ 4 𝑦 − 4 𝑦 = 0

5 𝑦² − 40 𝑦 + 80 = 0

𝑦2 − 8 𝑦 + 16 = 0

Resolviendo para y: Aplicamos

ecuación cuadrática y obtenemos

que 𝑦 = 4, sustituimos este valor

de 𝑦 = 4 en la ecuación despejada

de X:

𝑥 = 10 − 2 ( 4 )

𝑥 = 10 − 8

𝑥 = 2

De acuerdo al resultado, queda comprobado que la recta es tangente a la

circunferencia, porque sólo tienen un solo punto común 𝑇 (2,4) , que es

precisamente el de tangencia.8

8 “Un matemático dice A, escribe B,

quiere decir C, pero lo que significa es

C. Y de hecho D es una idea

espléndida que emerge al poner

orden en la confusión”. (Morris Klein)



37

3.2. EJERCICIOS PROPUESTOS DE CIRCUNFERENCIA

Circunferencia de centro 𝐶 (– 3, 4) y radio 5. Comprueba sí pasa por el

origen de coordenadas.

Encontrar el centro y el radio de la circunferencia cuya

ecuación es: 9 𝑥² + 9 𝑦² − 12 𝑥 + 36 𝑦 − 104 = 0.

Trazar la circunferencia

Encontrar el centro y el radio de la circunferencia dada por la ecuación:

4𝑥² + 4 𝑦² + 4𝑥 + 4𝑦 − 2 = 0.

El diámetro de una circunferencia es el segmento de recta definido por

los puntos: 𝐴(−8, −2) y 𝐵(4,6). Obtener la ecuación de dicha

circunferencia.9

9 - “El olvido de las matemáticas

perjudica a todo el conocimiento, ya

que el que las ignora no puede conocer

las otras ciencias ni las cosas de este

mundo”.(Roger Bacon)

http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/anecdotas/mate4i/mate4i.htm

MATEMÁTICA 2013





39

MATEMÁTICA 2013



4. LA PARABOLA

Se llama parábola al lugar

geométrico de los puntos del plano

que equidistan de un punto fijo,

llamado foco, y de una recta fija

llamada directriz.

La distancia entre el foco y la

directriz de una parábola recibe el

nombre de parámetro de la parábola

(suele denotarse por p).

Dada una parábola, se llama eje de la

misma la recta que contiene al foco y

es perpendicular a la directriz.

Se llama vértice de la parábola al

punto donde ésta corta a su eje.

Para simplificar la parábola, se

supondrá que el vértice es el origen

de coordenadas y que el foco se encuentra en el semieje positivo de

abscisas.

Ecuación canónica de la parábola

La ecuación de la parábola con vértice en el origen de coordenadas y foco en

el punto 𝐹 =𝑃

2, 0 𝑦 = 2𝑝𝑥

La directrices una recta vertical de la ecuación 𝑥 = −𝑃

2, 0 osea 𝑥 +

𝑃

2= 0

Dando un punto 𝑃 = (𝑥, 𝑦) del plano, su distancia al foco es



41

𝑑(𝐹, 𝑃) = √(𝑥 −𝑃

2)2 + 𝑦2

La distancia a la directriz es 𝑑(𝑃, 𝑑) = |𝑥 +𝑃

2|

La condición para que el punto esté en la parábola es que ambas coincidan:

√(𝑥 −𝑃

2)

2

+ 𝑦2 = |𝑥 +𝑃

2|

Elevando al cuadrado:

(𝑥 −𝑃

2)

2

+ 𝑦2 = (𝑥 +𝑃

2)

2

𝑥2 − 𝑝𝑥 −𝑃2

4+ 𝑦2 = 𝑥2 + 𝑝𝑥 +

𝑃2

4

−𝑝𝑥 + 𝑦2 = 𝑝𝑥 Þ 𝑦2 = 2𝑝𝑥

Hay otros tres casos elementales de parábolas:

Si el eje es horizontal y el foco está en el semieje negativo de abscisas, la

ecuación es 𝑦2 = −2𝑝𝑥.

Si el eje es vertical y el foco está en el semieje positivo de ordenadas, la

ecuación es𝑥2 = 2𝑝𝑦.

Si el eje es vertical y el foco está en el semieje negativo de ordenadas, la

ecuación es 𝑥2 = −2𝑝𝑦. 10

10 La longitud de una circunferencia

es igual a su diámetro multiplicado por

el número

MATEMÁTICA 2013



Parábola con vértice en un punto cualquiera

Si el vértice de una parábola se encuentra en un punto (𝑥0, 𝑦0) su ecuación

será, según los casos:

Eje horizontal y foco a la derecha: (𝑦 − 𝑦0)2 = 2𝑝(𝑥 − 𝑥0)

Eje horizontal y foco a la izquierda: (𝑦 − 𝑦0)2 = −2𝑝(𝑥 − 𝑥0)

Eje vertical y foco por encima: (𝑥 − 𝑥0)2 = 2𝑝(𝑦 − 𝑦0)

Eje vertical y foco por debajo: (𝑥 − 𝑥0)2 = −2𝑝(𝑦 − 𝑦0)

Reducción de la ecuación de una parábola

Dada una ecuación del tipo 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶𝑦 + 𝐷 = 0 o del tipo

𝐴𝑦2 + 𝐵𝑥 + 𝐶𝑦 + 𝐷 = 0, siempre es posible reducirla a la ecuación de

una parábola. Para ello se completa un cuadrado y se manipula

adecuadamente el otro miembro.

4.1. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES PARABÓLICAS.

EJEMPLO 1. Hallar la ecuación reducida de la parábola

2𝑥2 + 8𝑥 + 3𝑦 − 5 = 0. Hallar su vértice, su foco y su directriz. Se ha de

transformar esta ecuación en una de la forma:

(𝑦 − 𝑦0)2 = ± 2𝑝(𝑥 − 𝑥0) ó (𝑥 − 𝑥0)2 = ± 2𝑝(𝑦 − 𝑦0)

La ecuación dada tiene un término en x2. Habrá que transformarla, pues, en

una del tipo (𝑥 − 𝑥0)2 = ± 2𝑝(𝑦 − 𝑦0)

2𝑥2 + 8𝑥 + 3𝑦 − 5 = 0 Þ 2𝑥2 + 8𝑥 = −3𝑦 + 5 Þ

𝑥2 + 3𝑥 = (𝑥 + 2)2 − 4. Se sustituye en la ecuación:



43

Se trata de una parábola con el eje

vertical y el foco por debajo del vértice.

Se trata de una parábola con el eje vertical y el foco por debajo del vértice.

Para hallar el foco se le resta la mitad del parámetro a la ordenada del

vértice:

Por ser el eje vertical, la directriz es horizontal, y su ordenada se obtiene

sumándole la mitad del parámetro a la del vértice:

11

11 Exprese el número 10 con cinco nueves.

Hágalo, por lo menos, por dos procedimientos.

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EJEMPLO 2. Hallar los elementos de la parábola 𝑦2 − 4𝑥 + 6𝑦 + 13 = 0.

Resolución: Se opera como en el caso anterior, teniendo en cuenta que

ahora la variable que aparece elevada al cuadrado es y:

𝑦2 + 6𝑦 = 4𝑥 − 13

𝑦2

+ 6𝑦 = 𝑦2 + 2 · 3𝑦 + 32

− 32 = (𝑦 + 3)2 − 9.

(𝑦 + 3)2

− 9 = 4𝑥 − 13 Þ (𝑦 + 3)2 = 4𝑥 − 4

(𝑦 + 3)2 = 4(𝑥 − 1)

Es una parábola con vértice en el

punto (1, −3).

Su parámetro es 𝑝 +4

2= 2, el eje es

orizontal y el foco es a la derecha de

vertice

El foco es 𝐹 (1 +𝑃

2, −3) =

(1 + 1,3) = (2, −3)

La directriz se obtiene restándole la

mitad del parámetro a la abscisa del vértice: x = 1 - 1 = 0. La directriz es

el eje de ordenadas.

12

12 Piense en un número menor de 10 (y que no sea cero) Añádele 29, Quite la última cifra de la suma., Multiplique lo que queda por 10., Súmele 4 al producto. Multiplique lo obtenido por 3. Réstele 2 al resultado. (Ahora tendrá 100)



45

EJEMPLO 3 Dadas las parábolas siguientes, calcular; las coordenadas del

vértice, las coordenadas del foco, la longitud del latus rectum y la ecuación

de la directriz. 𝑦2 -4y +6x -8 = 0

𝑦2 -4y +6x -8 = 0

(𝑦 − 2)2 - 22 + 6x = 8

(𝑦 − 2)2 = - 6𝑥 + 12

(𝑦 − 2)2 = - 6 (x + 2)

V= (-2,2

F= (h + q, k)

F= (- 2+ (-1, 5), 2)

F= (- 2-1.5, 2)

F= (- 3.5, 2)

EJEMPLO 4 Hallar característica y grafica de la parábola 𝑥2 = 6y

determinar la longitud de a:

4a = 6

a= 1,5

F: (0, a)

F:(0, 1.5)

Eje: x

V: (0,0)

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47

MATEMÁTICA 2013



5. LA ELIPSE.

DEFINICIÓN. Se

llama elipse al

lugar geométrico

de los puntos

tales que la suma

de sus distancias

a dos puntos

fijos, llamados

focos, es una

constante.

La línea que une

los dos focos se

llama eje

principal de la elipse y la mediatriz de los mismos eje secundario.

Se llaman vértices de la elipse a los puntos donde ésta corta a sus ejes.

El punto medio de los dos focos se llama centro de la elipse y la distancia

entre ellos se llama distancia

focal .

Generalmente el eje principal

se representa por 2a y la

distancia focal por 2c. Los

valores a y c se llaman semieje

principal y semidistancia focal,

respectivamente.

Cálculo del eje secundario

Llamando 2b al eje secundario,



49

P al vértice superior, O al centro y F y F ' a los focos de la elipse, por el

teorema de Pitágoras:

Por definición de elipse,

A la distancia b se le llama semieje secundario.

Ecuación canónica de la elipse

La ecuación de una elipse centrada en el origen y con focos en F(c, 0) y F'' (-

c, 0) es:

Vértices de una elipse referida a sus ejes

(0, 𝑏) 𝑦 (0, −𝑏).

El eje principal es el eje de abscisas, es decir y = 0. Para hallar su

intersección con la elipse se

resuelve el sistema:

Los vértices son (𝑎, 0) 𝑦 (−𝑎, 0)

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Eje secundario: Se resuelve el sistema:

Los otros dos vértices son (0, b) y (0,

-b)

Ecuación de una elipse con ejes paralelos a los ejes de coordenadas

Desarrollando esta ecuación, se obtiene:

𝑏2𝑥2 − 2𝑏2𝑥0

𝑥 + 𝑏2𝑥02

+ 𝑎2𝑦2 − 2𝑎2

𝑦0𝑦 + 𝑎2𝑦02

− 𝑎2𝑏2 = 0, Que se

puede poner en la forma:

𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2

+ 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0 Donde A y B son del mismo signo.

Ecuación de una elipse vertical

Si una elipse tiene su eje principal vertical, su ecuación viene dada por:

EJEMPLO 1. Reducir la ecuación 4𝑥2 + 9𝑦2

− 8𝑥 + 18𝑦 − 23 = 0. Si

se trata de una elipse, hallar su centro, sus focos y sus vértices. Se agrupan

los términos en x2 con los términos en x y los términos en y2 con los

términos en y:

(4𝑥2 − 8𝑥) + (9𝑦2

+ 18𝑦) − 23 = 0



51

4(𝑥2 − 2𝑥) + 9 (𝑦2

+ 2𝑦) − 23 = 0

𝑥2 − 2𝑥 = 𝑥2 − 2𝑥 + 1 − 1 = (𝑥 − 1)2

− 1

𝑦2 + 2𝑦 = 𝑦2

+ 2𝑦 + 1 − 1 = (𝑦 + 1)2 − 1

4[(𝑥 − 1)2 − 1] + 9[(𝑦 + 1)2

− 1] − 23 = 0

4(𝑥 − 1)2 + 9(𝑦 + 1)2

= 36

Centro de la elipse: (1, −1)

Focos: Para hallar los focos hay que observar que éstos se hallan en una

recta horizontal que contiene al centro y a distancia c del mismo. Basta pues

con sumar y restar c a la abscisa del centro.

Los focos son

Los vértices se obtienen

sumando y restando a las

coordenadas del centro los

semiejes de la elipse:

(1 ± 3, −1), lo que da los

puntos (4, −1) 𝑦 (−2, −1)

(1, −1 ± 2), lo que da los

puntos (1, 1) 𝑦 (1, −3)

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EJEMPLO 2. Reducir y, en su caso, hallar los elementos de la cónica de

ecuación

𝑥2 + 3𝑦2

− 8𝑥 − 12𝑦 + 32 = 0

(𝑥2 − 8𝑥) + (3𝑦2

− 12𝑦) + 32 = 0

(𝒙𝟐 − 𝟖𝒙) + 𝟑(𝒚𝟐 − 𝟒𝒚) + 𝟑𝟐 = 𝟎

𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 = 𝒙𝟐

+ 𝟏𝟔 − 𝟏𝟔 − 𝟖𝒙 = (𝒙 − 𝟒)𝟐 − 𝟏𝟔

𝒚𝟐 − 𝟒𝒚 = 𝒚𝟐

+ 𝟒 − 𝟒 − 𝟒𝒚 = (𝒚 − 𝟐)𝟐 − 𝟒

(𝒙 − 𝟒)𝟐 + 𝟑 (𝒚 − 𝟐)𝟐

− 𝟏𝟔 − 𝟏𝟐 + 𝟑𝟐 = 𝟎

(𝒙 − 𝟒)𝟐 + 𝟑(𝒚 − 𝟐)𝟐

= −𝟒

Como el primer miembro es suma de números positivos y el segundo es un

número negativo, la ecuación no tiene solución y se trata de una elipse

imaginaria.

EJEMPLO 3. Hallar los elementos de la elipse

𝟐𝟓𝒙𝟐 + 𝟏𝟔𝒚𝟐 − 𝟓𝟎𝒙 + 𝟔𝟒𝒚 − 𝟑𝟏𝟏 = 𝟎

(𝟐𝟓𝒙𝟐 − 𝟓𝟎𝒙) + (𝟏𝟔𝒚𝟐

+ 𝟔𝟒𝒚) − 𝟑𝟏𝟏 = 𝟎

𝟐𝟓(𝒙𝟐 − 𝟐𝒙) + 𝟏𝟔(𝒚𝟐

+ 𝟒𝒚) − 𝟑𝟏𝟏 = 𝟎

𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 = 𝒙𝟐

− 𝟐 · 𝟏𝒙 + 𝟏𝟐 − 𝟏𝟐

= (𝒙 − 𝟏)𝟐 − 𝟏

𝒚𝟐 + 𝟒𝒚 = 𝒚𝟐 + 𝟐 · 𝟐𝒚 + 𝟐𝟐

− 𝟐𝟐 = (𝒚 + 𝟐)𝟐

− 𝟒

𝟐𝟓(𝒙 − 𝟏)𝟐 − 𝟐𝟓 + 𝟏𝟔(𝒚 + 𝟐)𝟐

− 𝟔𝟒 − 𝟑𝟏𝟏 = 𝟎

𝟐𝟓(𝒙 − 𝟏)𝟐 + 𝟏𝟔(𝒚 + 𝟐)𝟐

= 𝟐𝟓 + 𝟔𝟒 + 𝟑𝟏𝟏 = 𝟒𝟎𝟎



53

Como el denominador de la

segunda fracción es mayor que el

de la primera, no puede ser 𝑎2 =

16 𝑦 𝑏2 = 25, lo cual significa

que la elipse tiene su eje principal

vertical.

Como el denominador de la

segunda fracción es mayor que el

de la primera, no puede ser 𝑎2 =

16 𝑦 𝑏2 = 25, lo cual significa

que la elipse tiene su eje principal vertical.

El centro es (1, -2)

Los vértices son:

(1 ± 4, −2), 𝑜 𝑠𝑒𝑎 (−3, −2) 𝑦 (5, −2); (1, -2 ± 5), o sea (1, -7) y (1, 3)

Los focos son (1, -2 ± 3), es decir (1, - 5) y (1, 1)

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Ejemplo 2. Dada la ecuación

encuentre los focos y sus vértices

4𝑥 2 + 4𝑦 2

= 𝑥 2

+ 6𝑥 + 9

3𝑥 2

+ 4𝑦 2

− 6𝑥 = 9

3(𝑥 2

− 2𝑥 + 1 − 1) + 4𝑦 2

= 9

3(𝑥 − 1)2

+ 4(𝑦 − 0)2

= 12

Finalmente, dividiendo entre 12, se encuentra la ecuación de la elipse (x − 1)2

4+

(y − 0)2

3= 1



55

MATEMÁTICA 2013





57

MATEMÁTICA 2013



6. HIPÉRBOLAS. Se llama hipérbola al lugar geométrico de los puntos del

plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos,

llamados focos, es una constante (se representa por 2a). A éstos es

centro de simetría de la figura. Llegamos así a que el punto medio O

de [FF’] es el centro de la hipérbola.



59

El eje focal (FF’) corta a la hipérbola en dos puntos A y A’ llamados vértices

de la hipérbola y que están a distancia a del centro de la misma. El eje no

focal no corta

La recta que une los dos focos se llama eje real de la hipérbola y la mediatriz

se llama eje imaginario de la hipérbola.

El punto donde se cortan ambos ejes (que es, evidentemente, el punto

medio de los focos) se llama centro de la hipérbola.

Los puntos donde la hipérbola corta a los ejes (se verá que únicamente

corta al eje real) se llaman vértices de la hipérbola.

Al igual que en la elipse, se llama distancia focal a la distancia entre los dos

focos y a las distancias desde un punto cualquiera de la hipérbola a ambos

focos se les llama radios vectores del punto.

A diferencia de la elipse, aquí se tiene 2c > 2a (por tanto c > a) y se

puede considerar . Este valor se llama semieje

imaginario de la hipérbola.

Hipérbola. Al igual que en la elipse, se considerarán en primer

lugar las hipérbolas centradas en el origen de coordenadas y con

focos en el eje de abscisas.

Cálculo de los radios vectores de un punto

En un punto P(x, y) de una hipérbola con focos en los puntos F(c, 0) y F'(-c,

0) los radios vectores son:

Los radios vectores son:

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Eliminando los términos comunes:

2cx = 4a2 - 2cx + 4a·

Despejando:

4a · = 2cx - 4a2 + 2cx = 4cx - 4a2, luego

' = + 2a = ex - a + 2a = ex + a

Nótese que se ha utilizado que la distancia ' es mayor que , lo cual sólo

es cierto en el semiplano de la derecha. Si se hubiese tomado un punto del

semiplano de la izquierda y se hubiese operado, el resultado hubiera sido

similar, pero cambiando los signos. Es por eso que en el enunciado se tomó

valor absoluto en los segundos miembros.



61

Ecuación canónica de la hipérbola

La ecuación de una hipérbola con focos en los puntos F(c, 0) y F''(-c, 0) es

Demostramos:

Se toma la expresión de uno de los radios vectores y se opera en ella:

Sacando factor común (𝑐2 − 𝑎2)

(𝑐2 − 𝑎2) 𝑥2

+ 𝑎2 (𝑎2

− 𝑐2) − 𝑎2𝑦2 = 0

Pero 𝑐2 − 𝑎2

= 𝑏2, luego

𝑏2𝑥2 − 𝑎2𝑏2

− 𝑎2𝑦2 = 0. Dividiendo entre 𝑎2

· 𝑏2, se

obtiene:

En el caso en que la hipérbola tuviese el eje vertical, la ecuación sería:

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Vértices de una hipérbola

Los vértices de una hipérbola son los puntos donde

ésta corta a sus ejes.

ejes de coordenadas, cuyas ecuaciones respectivas son y = 0 y x = 0.

Los vértices son (a, 0) y (-a, 0)

Esta ecuación no tiene solución, ya que el primer miembro es siempre

negativo y el segundo es positivo.

Asíntotas de una hipérbola

Si en la ecuación de la hipérbola se despeja y, resulta:

Pero, para valores grandes de x , » x , siempre que a sea un número

fijo. En efecto:

Al hacer x suficientemente grande, el denominador aumenta

indefinidamente, mientras que el numerador permanece invariable. Así la

diferencia se hace tan pequeña como se quiera al crecer x.



63

Estas rectas se llaman asíntotas de la hipérbola.

Cálculo de las asíntotas de una hipérbola

Por tanto, para calcular las asíntotas, se iguala a cero el primer miembro de

la ecuación reducida de la hipérbola y se despeja y.

Hipérbola con ejes paralelos a los ejes de coordenadas

Si se tiene una hipérbola con centro en un punto (x0, y0), procediendo

como se hizo para la elipse, se tiene que su ecuación es

Vertical será

Los focos serán, si el eje real es horizontal (𝑥0 ± 𝑐, 𝑦0) 𝑦 (𝑥0, 𝑦0 ± 𝑐 ) si es

vertical. De la misma forma los vértices son

(𝑥0 ± 𝑎, 𝑦0) ó (𝑥0, 𝑦0 ± 𝑎 )

según que el eje real sea horizontal o vertical, respectivamente.

Para hallar las asíntotas, se sustituye 1 por 0 en el segundo miembro y se

extrae la raíz cuadrada.

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Reducción de la ecuación de la hipérbola

Sea una ecuación de la forma Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0 en la que A y B

tengan distinto signo. Operando por un procedimiento similar al visto en el

caso de la elipse, siempre se puede llegar a uno de los tipos de ecuación de

una hipérbola.

EJEMPLO. 1 Hallar la ecuación

reducida de la hipérbola

4𝑥2 − 9𝑦2 − 8𝑥 + 36𝑦 + 4

= 0.

Resolución: Se asocian los

términos que tengan la misma

incógnita y se saca factor

común el coeficiente de

segundo grado:

(4𝑥2 − 8𝑥) − (9𝑦2

− 36𝑦) + 4 = 0

4(𝑥2 − 2𝑥) − 9(𝑦2

− 4𝑦) + 4 = 0

Se completan cuadrados en los paréntesis:

𝑥2 − 2𝑥 = 𝑥2 − 2 · 1𝑥 + 12

− 12 = (𝑥 − 1)2

− 1

𝑦2 − 4𝑦 = 𝑦2

− 2 · 2𝑦 + 22 − 22

= (𝑦 − 2)2 − 4

Se sustituye en la ecuación:

4(𝑥 − 1)2 − 4 − 9(𝑦 − 2)2

+ 36 + 4 = 0

4(𝑥 − 1)2 − 9(𝑦 − 2)2

= 4 − 36 − 4 = −36



65

Se divide entre -36:13

Se trata, pues, de una hipérbola con el eje real vertical, con centro en (1, 2) y

sus semiejes son 𝑎 = = 2 𝑦 𝑏 = = 3

Los vértices son (1, 2 ± 2), es decir (1, 0) 𝑦 (1, 4).

Asíntotas:

EJEMPLO. 2 Hallar los elementos de la hipérbola

𝑥2 − 𝑦2

+ 2𝑥 + 4𝑦 − 12 = 0

Resolución: (𝑥2 + 2𝑥) − (𝑦2

− 4𝑦) − 12 = 0

𝑥2 + 2𝑥 = 𝑥2

+ 2 · 1𝑥 + 12 − 12

= (𝑥 + 1)2 − 1

13 33 * 3 + 3 = 100.

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𝑦2 − 4𝑦 = 𝑦2 − 2 · 2𝑦 + 22

− 22 = (𝑦 − 2)2

− 4

(𝑥 + 1)2 − 1 − (𝑦 − 2)2

+ 4 − 12 = 0

(𝑥 + 1)2 − (𝑦 − 2) = 1 − 4 + 12 = 9

Se trata de una hipérbola con centro

en (−1, 2), eje real horizontal, y

semiejes 𝑎 = 3, 𝑏 = 3 (este tipo

de hipérbolas que tienen iguales sus

semiejes se llaman hipérbolas

equiláteras).

Los vértices son los puntos

(−4, 2) 𝑦 (2, 2).

14

14 Con cinco treses

Usted sabe, como es natural, que con cinco treses y los signos de las operaciones matemáticas se puede escribir el número 100 así:



67

Para hallar las asíntotas se iguala a cero el primer miembro de la ecuación

reducida:

Þ (𝑥 + 1)2 = (𝑦 − 2)2 Þ 𝑥 + 1 = ±(𝑦 − 2)

𝑥 + 1 = 𝑦 − 2 Þ 𝑦 = 𝑥 + 3

𝑥 + 1 = −𝑦 + 2 Þ 𝑦 = 1 − 𝑥

15

15 Con cuatro cuatros le gustan las rompecabezas, intente componer todos los números del 1 al 100 con cuatro cuatros. Esto no es más difícil que expresar estos mismos números con treses. 13. Con cuatro cincos Hay que expresar el número 16 valiéndose de cuatro cincos unidos entre sí por los signos de las operaciones.

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ÍNDICE

MANUAL DE USO EN GEOMETRÍA ANALÍTICA .............................................. 7

A) VISTAS GRÁFICA DE LOS OBJETOS MATEMÁTICOS ................ 7

B) RECTA Y SUS HERRAMIENTAS .................................................... 8

C) SECCIONES CÓNICAS Y SUS ERRAMIENTAS .................................. 9

1. RECTA EN EL PLANO ...................................................................... 15

1.1. BISECTRIZ DE DOS RECTAS: ..................................................... 15

1.3. EL BARICENTRO DE UN TRIÁNGULO: ...................................... 16

1.4. EL INCENTRO DE UN TRIÁNGULO: .......................................... 17

1.5. EL ORTOCENTRO DE UN TRIÁNGULO:..................................... 17

2. ECUACIONES DE LA LINEA RECTA EN EL PLANO ....................... 19

Sabemos que en un punto del espacio pasan infinitas rectas. Asi mismo

"Por un punto del plano pasan infinitas rectas". .............................. 19

2.1. ECUACION DE LA RECTA QUE PASA POR EL ORIGEN ............ 19

2.2. ECUACION DE LA RECTA QUE NO PASA POR EL ORIGEN ..... 20

2.2.1. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE LA LINEA RECTA. ......... 20

2.2.2. ANALIZA Y RESUELVE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS ........ 23

2.3. RECTAS PARALELAS Y RECTAS PERPEDICULARES ............... 24

2.3.1. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE LA LINEA RECTA. ......... 24

EJEMPLO. 5 Hallar la longitud de los lados de un tria ngulo A(2,3),

B(5,1) Y C(4,6) ............................................................................................... 27

AB d=(5 − 2)2 + (1 − 3)2 ............................................................................ 27

d=(3)2 + (2)2 ................................................................................................... 27

d=9 + 4 .............................................................................................................. 27

d=13 ................................................................................................................... 27



69

BC d=(4 − 5)2 + (6 + 1)2 .............................................................................. 27

d=(1)2 + (5)2 ................................................................................................... 27

d=1 + 25 ........................................................................................................... 27

d=26 .................................................................................................................. 27

B,C d=(4 − 2)2 + (6 − 3)2 ............................................................................. 27

d=(2)2 + (3)2 ................................................................................................... 27

d=4 + 9 .............................................................................................................. 27

d=13 .................................................................................................................. 27

2.3.2. PRÁCTICA ANALIZA Y RESUELVE LOS SIGUIENTES

EJERCICIOS ............................................................................................... 28

3. LA CIRCUNFERENCIA ...................................................................... 32

3.1. RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS. .................................................... 32

3.2. EJERCICIOS PROPUESTOS DE CIRCUNFERENCIA .................. 37

4. LA PARABOLA .................................................................................. 40

4.1. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES PARABÓLICAS. ...................... 42

5. LA ELIPSE. ......................................................................................... 48

6. HIPÉRBOLAS. Se llama hipérbola al lugar geométrico de los

puntos del plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos

fijos, llamados focos, es una constante (se representa por 2a). A éstos

es centro de simetría de la figura. Llegamos así a que el punto medio

O de [FF’] es el centro de la hipérbola. .................................................... 58

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