2.1 GEOMETRÍA DE LAS FUNCIONES CON VALORES REALES

Iniciamos nuestra investigación de funciones con valores reales desarrollando métodospara visualizarlas. Introduciremos en particular, los conceptos de grafica, curva de nively superficie de nivel de dichas funciones. Sea f una función cuyo dominio sea un subconjunto de y cuya imagen estéE V8

contenida en . Con esto queremos decir que a cada x , asigna unV œ B − E 07"ßÞÞÞßBa b

8

valor x , una m-ada en . Dichas funciones se llaman funciones con valores0 V 0a b 7

vectoriales si , y funciones con valores escalares si . Por ejemplo, la función7 " 7 œ "

con valores escalares manda al conjunto de0 Bß Cß D œ B C D Ea b a b# # # $Î#

a b a bBß Cß D Á !ß !ß ! V 8 œ $ V 7 œ " 0 en ( en este caso) a ( ). Para denotar solemos$

escribir

0 À Bß Cß D È B C Da b a b# # # $Î#

Nótese que en solemos usar la notación en lugar de . En general,V Bß Cß D B ß B ß B$" # $a b a b

la notación x x es útil para indicar el valor al cual se manda un punto x .È 0 − Va b 8

Escribimos para expresar que es el dominio de (en ) y que la0 À E § V Ä V E 0 V8 7 8

imagen está contenida en . También usamos la expresión manda dentro de V 0 E V Þ7 7

Dichas funciones se llaman funciones de varias variables si , .0 E § V 8 "8

Como otro ejemplo, tomemos la función con valores vectoriales 1 À V Ä V' #

definida por la regla

1 œ 1 B ß B ß B ß B ß B ß B œ B B B B B B ß B B Þa b a b ˆ ‰Èx " # $ % & ' " # $ % & ' " '# #

La primera coordenada del valor de en x es el producto de las coordenadas de x.1 Las funciones de a no son sólo abstracciones matemáticas, sino queV V8 7

surgen de manera natural en problemas estudiados en todas las ciencias. Por ejemplo,para especificar la temperatura en una región del espacio se requiere una funciónX EX À E § V Ä V 8 œ $ 7 œ " X Bß Cß D Bß Cß D$ ( , ); así es la temperatura en el punto .a b a bPara especificar la velocidad de un fluido moviéndose en el espacio se requiere unaasociación , donde es el vector velocidad del fluido en elZ À V Ä V Z X Bß Cß Dß >% $ a bpunto del espacio en el tiempo (ver la figura 2.1.1).a bBß Cß D >Para especificar la tasa de reacción de una solución que consta de seis reactoresquímicos , , , , y en proporciones , , , , y , se requiere unaE F G H I J B C D A ? @asociación , donde da la tasa cuando los químicos5 5À Y § V Ä V Bß Cß Dß Aß ?ß @' a bestán en las proporciones indicadas. Para especificar el vector cardiaco (el vector queindica la magnitud y dirección del flujo de la corriente eléctrica en el corazón) en eltiempo , se requiere una asociación c .> À V Ä V ß > È - >$ a b

Figura 2.1.1 Un fluido en movimiento define un campo vectorial al especificar laZvelocidad de las partículas del fluido en cada punto en espacio y tiempo.

Cuando , decimos que es una función de variables, con0 À Y § V Ä V 0 88

dominio y valores reales. La razón por la que decimos " variables" es simplementeY 8que consideramos las coordenadas de un punto x como variables, yœ B − Y 8a b"ßÞÞÞßB8

0 œ 0 Ba b a bx depende de estas variables. Decimos con "valores reales" porque"ßÞÞÞßB8

0 Ba b"ßÞÞÞßB8es un número real. Buena parte de nuestro estudio será acerca de funciones

con valores reales, por lo que les daremos atención especial. Para , ( ), la gráfica de es el subconjunto de que0 À Y § V Ä V 8 œ " 0 V#

consta de los puntos en el piano, para en . Este subconjunto se puedea ba bBß 0 B B Ypensar como una curva en . Esto se escribe simbólicamente, comoV#

gráfica ,0 œ Ö Bß 0 B − V lB − Y×a ba b #

donde las llaves significan "el conjunto de todos" y la barra vertical significa "tal que".Trazar la gráfica de una función de una variable es un recurso útil para visualizar elcomportamiento real de una función. (Ver la figura 2.1.2.) Sera conveniente generalizarla idea de gráfica de una función a funciones de varias variables. Esto conduce a lasiguiente definicón:

DEFINICIÓN Sea . Definimos la gráfica de como el subconjunto de0 À Y § V Ä V 08

V B ß 0 B V B8" 8""ßÞÞÞßB "ßÞÞÞßB "ßÞÞÞßB que consta de todos los puntos en para ena b a ba b

8 8 8

Y . En símbolos:

gráfica 0 œ Ö B ß 0 B − V l B − Y×a b a ba b"ßÞÞÞßB "ßÞÞÞßB "ßÞÞÞßB8"

8 8 8

Para el caso la gráfica es una curva en , mientras que para es8 œ "ß V 8 œ ##

una superficie en (ver la figura 2.1.2). Para es difícil visualizar la gráfica, puesV 8 œ $$

como vivimos en un mundo tridimensional, nos es difícil imaginar conjuntos en . ParaV%

superar este obstáculo, introducimos la idea de conjunto de nivel.

Figura 2.1.2 Gráficas de (a) una función de una variable y (b) una función de dosvariables.

Supongamos que . Un conjunto de nivel es un0 Bß Cß D œ B C Da b # # #

subconjunto de en donde es constante; por ejemplo, el conjunto dondeV 0$

B C D œ " 0# # # es un conjunto de nivel para . A este si lo podemos visualizar: es unaesfera de radio en . El comportamiento o estructura de una función está" V$

determinada en parte por la forma de sus conjuntos de nivel; en consecuencia,entender estos conjuntos nos ayuda a entender la función en cuestión. Los conjuntosde nivel también son útiles para entender funciones, de dos variables , en cuyo0 Bß Ca bcaso hablaremos de curves de nivel.

Figura 2.1.3 Los contornos de nivel de una función se definen de la misma maneraque las líneas de contorno en un mapa topográfico.

La idea es análoga a la usada para preparar mapas de contornos, donde setrazan líneas para representar altitudes constantes; caminar a lo largo de dicha línea

significará caminar en una curva de nivel. En el caso de una colina sobre el piano ,BCuna gráfica de todas las curvas de nivel nos da una buena idea de la función ,2 Bß Ca bque representa la altura de la colina en los puntos (ver la figura 2.1.3).a bBß C

DEFINICIÓN Sea y sea . Entonces el conjunto de nivel del0 À Y § V Ä V - − V8

valor se define como aquellos puntos x para los cuales x . Si ,- − Y 0 œ - 8 œ #a bhablamos de una curva de nivel (de valor ); y si hablamos de una superficie de- 8 œ $ßnivel. En símbolos, el conjunto de nivel de valor se escribe-

{x x } .− Y l0 œ - § Va b 8

Nótese que el conjunto de nivel siempre esta en el espacio dominio.

EJEMPLO 1 La función constante , esto es, la función0 À V Ä Vß Bß C È ## a b0 Bß C œ # D œ # Va b , tiene como gráfica el plano horizontal en . La curva de nivel del$

valor es vacía si , y es todo el plano si .- - Á # BC - œ #

EJEMPLO 2 La función tiene como gráfica el plano0 À V Ä Vß Bß C È B C ## a binclinado . Este plano interseca el plano ( ) en la rectaD œ B C # BC D œ !C œ B # D !ß !ß # - − V y el eje en el punto . Para cualquier valor , la curva de nivela bdel valor es la recta ; o, en símbolos, el conjunto- C œ B Ð- #Ñ

P œ Bß C lC œ D Ð- #Ñ § V-#{ }a b

Exhibimos unas cuantas curvas de nivel de la funcion en la figura 2.1.4. Se trata, enrealidad, de un mapa de contorno de la funcion .0

Figura 2.1.4 Las curvas de nivel de muestran el comportamiento0 Bß C œ B C #a bde esta función.

Figura 2.1.5 Relación de las curvas de nivel en la figura 2.1.4, con la gráfica de lafunción , la cual es el plano .0 Bß C œ B C # D œ B C #a b

A partir de las curvas de nivel rotuladas con el valor o "altura" de la función, sepuede inferir la gráfica de la función elevando mentalmente cada curva de nivel a laaltura apropiada, sin estirarla, inclinarla o deslizarla. Si se contemplara esteprocedimiento para todas las curvas de nivel , esto es, para todos los valores ,P - − V-

juntas conformarían toda la gráfica de , como se indico en la figura 2.1.5 para el0ejemplo 2. Si se visualiza la gráfica solo para un número finito de curvas de nivel, comosuele ser el caso, se produce una especie de modelo de contorno, como en la figura2.1.4. Sin embargo, si es una función suave, su gráfica será una superficie suave;0entonces, al suavizar mentalmente el modelo de contorno se obtiene una buena ideade la gráfica.

EJEMPLO 3 Describir la gráfica de la función cuadrática0 À V Ä Vß Bß C È B C# # #a b .

SOLUCIÓN La gráfica es el paraboloide de revolución , orientado haciaD œ B C# #

arriba desde el origen y alrededor del eje . La curva de nivel del valor es vacía paraD -- ! - ! - Bß C lB C œ -; para la curva de nivel de valor es el conjunto { }, una b # #

círculo de radio con centro en el origen. Así, al elevarlo a la altura sobre el planoÈ- -

BC 0, el conjunto de nivel es un círculo de radio , que indica una forma parabólica (verlas figuras 2.1.6 y 2.1.7).

Es posible determinar el aspecto de una gráfica mediante el método de lassecciones. Una sección de la gráfica de es la intersección de la gráfica con un plano0(vertical). Por ejemplo, si es el plano en , definido por , entonces laT BD V C œ !"

$

sección de en el ejemplo es el conjunto0 $

T 0 œ Bß Cß D lC œ !ß D œ B"#gráfica { },a b

Figura 2.1.6 Algunas curvas de nivel para la funcion .0 Bß C œ B Ca b # #

Figura 2.1.7 Las curvas de nivel de la figura 2.1.6 elevadas hasta la gráfica.

Figura 2.1.8 Dos secciones de la gráfica de .0 Bß C œ B Ca b # #

el cual es una parábola en el plano . De manera análoga, si denota al plano ,BD T CD#

definido por , entonces la secciónB œ !

T 0 œ Bß Cß D lB œ !ß D œ C##gráfica { }a b

es una parábola en el plano (ver la figura 2.1.8). Usualmente, es útil calcular alCDmenos una sección para complementar la información dada por los conjuntos de nivel.

EJEMPLO 4 La gráfica de la función cuadrática se0 À V Ä Vß Bß C È B C# # #a bllama paraboloide hiperbólico o silla de montar, con centro en el origen. Esbozar lagráfica.

SOLUCIÓN Para visualizar esta superficie trazamos primero las curvas de nivel. Paradeterminar las curvas de nivel, resolvemos la ecuación . Consideremos losB C œ -# #

valores . Para , tenemos , o , de manera que este- œ !ß „ "ß „ % - œ ! C œ B C œ „ B# #

conjunto de nivel está formado por dos rectas que pasan por el origen. Para , la- œ "

curva de nivel es , o , queB C œ " C œ „ B "# # #È

Figura 2.1.9 Curvas de nivel para la función .0 Bß C œ B Ca b # #

es una hipérbola que cruza verticalmente el eje en los puntos (ver la figuraB „ "ß !a b2.1.9 .De manera análoga, para , la curva de nivel está definida porÑ - œ %

C œ „ B % B „ #ß ! - œ "È a b# , la hipérbola cruza verticalmente el eje en . Para ,

obtenemos la curva , esto es, , la hipérbola cruzaB C œ " B œ „ C "# # #Èhorizontalmente el eje en . Y para , se obtiene la hipérbola que pasaC !ß „ " - œ %a bpor . Se muestran estas curvas en la figura 2.1.9. Como no es fácil visualizar laa b!ß „ #gráfica de a partir solo de estos datos, calcularemos dos secciones, como lo hicimos0en el ejemplo anterior. Para la sección en el plano , tenemosBD

T 0 œ Bß Cß D lC œ !ß D œ B ß"#gráfica { }a b

que es una parábola abriéndose hacia arriba; y para el plano ,CD

T 0 œ Bß Cß D lB œ !ß D œ C ß##gráfica { }a b

que es una parábola abriéndose hacia abajo. Ahora se puede visualizar la gráficaelevando las curvas de nivel a la altura apropiada y suavizando la superficie resultante.Su colocación se facilita al calcular las secciones parabólicas. Este procedimiento generala silla de montar hiperbólica mostrada en la figura 2.1.10. Comparar esto con lasgráficas generadas por computadora en la figura 2.1.11 (nótese que se ha cambiado laorientación de los ejes).

Figura 2.1.10 Algunas curvas de nivel en la grafica de .0 Bß C œ B Ca b # #

Figura 2.1.11 (a) Gráfica generada por computadora, de . (b) Esta gráficaD œ B C# #

con las curvas de nivel elevadas.

EJEMPLO 5 Describir la gráfica de la función .0 À V Ä Vß Bß Cß D È B C D$ # # #a b

SOLUCIÓN Este es el equivalente tridimensional del ejemplo . En este contexto, los$conjuntos de nivel son superficies en el dominio tridimensional . La gráfica, en , noV V$ %

se puede visualizar directamente; sin embargo se pueden calcular de manera analíticalas secciones.

Figura 2.1.12 Algunas superficies de nivel para .0 Bß Cß D œ B C Da b # # #

El conjunto de nivel con valor es el conjunto-

P œ Bß Cß D lB C D œ - ß-# # #{ }a b

el cual es una esfera con centro en el origen y radio para , es un solo punto enÈ- - !

el origen para , y es vacio para . En la figura 2.1.12 se muestran los conjuntos- œ ! - !de nivel para y . Se obtiene mayor información acerca de la gráfica al- œ !ß "ß % *calcular una sección. Por ejemplo, si escribimos { }, entoncesW œ Bß Cß Dß > lD œ !Dœ! a bpodemos ver la sección

W 0 œ Bß Cß Dß > l> œ B C ß D œ ! ÞDœ!# #gráfica { }a b

Como aquí se mantiene fija en , podemos visualizar esta sección de la gráficaD D œ !como una superficie en , en las variables y (figura 2.1.13). La superficie es unV Bß C >$

paraboloide de revolución.

Figura 2.1.13 La sección de la gráfica de .D œ ! 0 Bß Cß D œ B C Da b # # #

EJEMPLO 6 Describir la gráfica de la función definida por0 À V Ä V$

0 Bß Cß D œ B C D %a b # # #, que es el símil tridimensional del ejemplo , y también seconoce como silla de montar.

SOLUCIÓN Las superficies de nivel están definidas por

P œ Bß Cß D lB C D œ - Þ-# # #{ }a b

Para , se trata del cono con centro en el eje . Para negativa,- œ ! D œ „ B C D -È # #

digamos , obtenemos , que es un hiperboloide de dos- œ + D œ „ B C +# # # #Èhojas alrededor del eje , que atraviesa el eje en los puntos . Para D D !ß !ß „ + -a bpositivo, digamos , la superficie de nivel es el hiperboloide de revolución de una- œ ,#

hoja alrededor del eje definido por , el cual interseca el planoD D œ „ B C ,È # # #

BC l,l en el círculo de radio . Estas superficies de nivel se esbozan en la figura 2.1.14. Sepuede obtener otra vista de la gráfica a partir de una sección. Por ejemplo, elsubespacio { } interseca la gráfica en la secciónW œ Bß Cß Dß > lC œ !Cœ! a b

W 0 œ Bß Cß Dß > lC œ !ß > œ B D ßCœ!# #gráfica { }a b

esto es, el conjunto de puntos de la forma , que puede considerarse,a bBß !ß Dß B D# #

como en el ejemplo anterior, una superficie en el espacio (ver la i figura 2.1.15). BD>

Figura 2.1.14 Algunas superficies de nivel de la función .0 Bß Cß D œ B C Da b # # #

Figura 2.1.15 La sección de la gráfica de .C œ ! 0 Bß Cß D œ B C Da b # # #

Hemos visto como se pueden usar los métodos de secciones y conjuntos de nivel paraentender el comportamiento de una función y su gráfica; estas técnicas pueden ser debastante utilidad para personas que deseen visualizar ampliamente datos complicados. Existen muchos programas de computadora que pueden trazar una funcióndada. Para funciones de una variable, se trata solo de calcular ciertos valores de lafunción y localizar los puntos. Para funciones de dos variables se usa el método de lassecciones. Por ejemplo, para trazar , la computadora selecciona secciones0 Bß Ca bparalelas a los ejes, asignando valores, digamos a y trazando la gráficaCcorrespondiente, después cambiando y y repitiendo el proceso. Así se puede barrer unabuena parte de la gráfica.