Geometra descriptiva es un conjunto de tcnicas de carcter geomtrico que permite representar el espacio tridimensional sobre una superficie bidimensional y, por tanto, resolver en dos dimensiones los problemas espaciales garantizando la reversibilidad

Geometra descriptiva es un conjunto de tcnicas de carcter geomtrico que permite representar el espacio tridimensional sobre una superficie bidimensional y, por tanto, resolver en dos dimensiones los problemas espaciales garantizando la reversibilidad del proceso a travs de la adecuada lectura.

En la poca actual se reconocen dos modelos: uno que considera la geometra descriptiva como un lenguaje de representacin y sus aplicaciones, y otro que la sita como un tratado de geometra. Aunque no es exactamente lo mismo, su desarrollo ha estado asociado al de la Geometra proyectiva. Pudiera afirmarse que la Geometra Descriptiva es al ejercicio profesional del diseador lo que la gramtica es al idioma (palabras de Harry Osers). Como medio de expresin, requiere de una claridad y rigurosidad excepcional. Bien dice el refrn: una imagen dice ms que mil palabras.Historia La geometra descriptiva, que posee el carcter de ciencia aplicada, ha tenido un largo proceso de desarrollo desde las incipientes representaciones trazadas en la edad de piedra. Los Elementos de Euclides, los estudios de Descartes en geometra analtica y la crucial aportacin de Gaspard Monge a finales del siglo XVIII, quien la formula y la eleva a la condicin de ciencia autnoma.

Desde la antigedad, el hombre ha sentido siempre la necesidad de representar grficamente el entorno que le rodea, como lo demuestran los dibujos encontrados en las cuevas prehistricas, pero no es hasta el renacimiento cuando se intenta representar la profundidad. Las nuevas necesidades de representacin del arte y de la tcnica empujan a ciertos humanistas a estudiar propiedades geomtricas para obtener nuevos mtodos que les permitan representar fielmente la realidad. Aqu se enmarcan figuras como Luca Paccioli, Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Leone Battista Alberti, Piero della Francesca y muchos otros.

Todos ellos, al descubrir la perspectiva y la seccin crean la necesidad de sentar las bases formales en la que se asiente la nueva forma de Geometra que sta implica: la Geometra proyectiva, cuyos principios fundamentales aparecen de la mano de Grard Desargues en el siglo XVII. Esta nueva geometra tambin fue estudiada por Blaise Pascal o por de la Hire, pero debido al gran inters suscitado por la Geometra Cartesiana y sus mtodos, no alcanz tanta difusin.

El posterior desarrollo de la tcnica hizo necesario aplicar las teoras matemticas a la prctica, proceso que culmin en 1795 con la publicacin de la obra de Gaspard Monge Geometra descriptiva.

Geometra proyectiva se llama as a una estructura matemtica que estudia las incidencias de puntos y rectas sin tener en cuenta la medida. A menudo se usa esta palabra tambin para hablar de la teora de la proyeccin que en realidad se llama geometra descriptivaHistoria. Grard Desargues es el iniciador de la geometra proyectiva, pues fundament matemticamente los mtodos de la perspectiva que haban desarrollado los artistas del Renacimiento, y aunque su trabajo fue publicado en 1639, pas desapercibido durante dos siglos (excepto dos teoremas), ensombrecido por la influyente obra de Descartes.

En el siglo XIX, la geometra proyectiva y la geometra hiperblica, se establecieron dentro de las matemticas, pero lo que acab de enraizarlas, posiblemente, fue hallar un modelo analtico. Dentro del contexto de la geometra euclidiana-cartesiana se puede construir la geometra proyectiva, y si se acepta la primera, hay que admitir la segunda.

Este proceso finaliz definitivamente a principios del siglo XX, pues Einstein, apoyndose en los exhaustivos desarrollos geomtricos de los matemticos del siglo XIX, consigui demostrar que, a gran escala, el universo se puede interpretar mejor con estas nuevas geometras que con el rgido espacio euclidiano.

Punto de vista sinttico. Desde el punto de vista sinttico, la geometra proyectiva es una geometra que parte de los siguientes principios:

Dos puntos definen una recta.

Todo par de rectas se cortan en un punto (cuando dos rectas son paralelas decimos que se cortan en un punto del infinito conocido como punto impropio).

El quinto postulado de Euclides, de las paralelas, est implcito en estos dos principios ya que, dada una recta y un punto exterior, existir una nica paralela (el punto dado y el del infinito definen la paralela por el primer axioma. Ntese que en la geometra proyectiva, dos rectas paralelas por definicin comparten un punto y esto no excluye que sean isomorfas con las paralelas eucldeas).

Como los axiomas de los que se parte son simtricos, si en cualquier teorema proyectivo se intercambian las palabras recta y punto se obtiene otro teorema igualmente vlido. A estos teoremas se les llama duales.

El principio antes expuesto se conoce como Principio de Dualidad y fue enunciado por Poncelet en el siglo XIX. Muchos teoremas anteriores, como los de Pascal y Brianchon, son duales, aunque ningn matemtico lo haba notado hasta entonces.

Los teoremas de Pascal y Brianchon, aunque completamente vlidos, se demostraron inicialmente en geometra euclidiana, basndose en los teoremas de Pappus y Menelao, que utilizan una mtrica y por tanto no son vlidos en geometras de incidencia, como la proyectiva.

En principio se intent buscar demostraciones alternativas de estos teoremas sin usar congruencia de segmentos. Hilbert demostr en 1899 que tal cosa es imposible y desde entonces suele incluirse el teorema del hexgono de Pappus como un axioma de la geometra proyectiva. Ello permite demostrar en proyectiva todo lo demostrable en eucldea sin tener que recurrir a una mtrica.

Por no usar mtricas en sus enunciados, se dice que la geometra proyectiva es una Geometra de incidencia.

Finalmente, hay que destacar que desde el punto de vista sinttico, un espacio proyectivo consiste en un espacio afn al que hemos aadido un conjunto de puntos infinitos, de modo que cada par de rectas paralelas se cortan en uno de estos puntos.

Aplicaciones. Cuando hacemos isomorfas nuestras paralelas eucldeas con las rectas proyectivas que se cortan en el infinito, podemos extrapolar todo lo que demostremos en proyectiva a geometra euclidiana. La geometra proyectiva, ms flexible que la euclidiana, se convierte con esto en una herramienta til para enunciar muchos teoremas clsicos ms sencillamente, e incluso simplificar las demostraciones, aunque no permite demostrar nada que no pueda demostrarse en euclidiana.

La geometra proyectiva puede entenderse, informalmente, como la geometra que se obtiene cuando nos colocamos en un punto, mirando desde ese punto. Esto es, cualquier lnea que incide en nuestro "ojo" nos parece ser slo un punto, en el Plano proyectivo, ya que el ojo no puede "ver" los puntos que hay detrs.

De esta forma, la geometra proyectiva tambin equivale a la proyeccin sobre un plano de un subconjunto del espacio en la geometra euclidiana tridimensional. Las rectas que salen del ojo del observador se proyectan sobre puntos. Los planos definidos por cada par de ellas se proyectan sobre rectas.

Esto es til porque a veces los teoremas de geometra proyectiva no pueden demostrarse slo con los axiomas de incidencia antes expuestos (Hilbert, 1899) y es necesario demostrarlos en geometra euclidiana y luego proyectar, como el Teorema de Desargues (o bien admitir el teorema de Papus anteriormente citado como axioma)

Punto de vista vectorial. La geometra proyectiva es el estudio del grupo de las proyectividades entre espacios proyectivos.

El principio de dualidad: los teoremas de Pascal y Brianchon

El principio de dualidad

En el plano eucldeo habitual es evidente que dos puntos definen una recta, justo aquella que los contiene. Al revs, sin embargo, no es cierto, pues dos rectas, adems de cortarse y definir por tanto un punto, tambin pueden ser paralelas.

Esta excepcin desaparece en el caso del plano proyectivo, pues en l, por definicin, cada haz de rectas paralelas define un punto del infinito, por lo que se dice aquello de que las rectas paralelas se cortan "en el infinito".

La completa simetra de estas dos proposiciones ("dos puntos definen una recta", "dos rectas definen un punto") en el plano proyectivo es la base del principio de dualidad, truco genial por el cual todo lo que se dice de los puntos puede decirse de las rectas, y al revs (esta simetra puede entenderse si pensamos que para situar un punto en el plano se necesitan dos nmeros, sus coordenadas, y para situar una recta, igualmente dos nmeros: su pendiente y su coordenada en el origen).

Veamos la potencia del principio de dualidad con un ejemplo:

Teorema de Pascal Estamos en los aos treinta del siglo XVII. El joven Pascal acuda, acompaando a su padre, a las reuniones matemticas organizadas en Pars por Mersenne, y all qued fascinado por los trabajos de Desargues. Producto de esta fascinacin, hacia 1639 y con tan solo dieciseis aos, Pascal demostr el teorema que ahora lleva su nombre (l lo llam mysterium hexagrammicum) y que afirma que los seis vrtices de un hexgono estn sobre una cnica si y solo si los tres puntos comunes a los tres pares de lados opuestos estn en una recta comn (ojo: estamos en el plano proyectivo, de modo que si dos rectas son paralelas el punto comn ser un punto del infinito).

(En el esquema, los puntos grises generan la cnica, mientras que los rojos son los seis puntos de los que habla el teorema.)

A partir de este teorema Pascal demostrara del orden de 400 teoremas y corolarios. Es de sealar que ni en el enunciado ni en la demostracin del teorema aparece en ningn momento magnitud alguna de ngulos o segmentos, lo cual es suficiente, como dijo E. T. Bell, "para abolir la estpida definicin de las matemticas [...] como ciencia de la 'cantidad'".

La proyectividad del teorema se ve fcilmente si pensamos en el esquema como la seccin de un cono mediante un plano. Si despus, sobre el mismo cono, realizamos otra seccin, la proyeccin de todos los elementos (puntos, rectas, la propia cnica) compondr otro mysterium hexagrammicum.

Teorema de Brianchon Seguimos en Francia, pero ms de siglo y medio despus, y con otro joven, esta vez de veintin aos, Charle Julien Brianchon, estudiante de la cole Polytechnique, donde en 1806 publicara su teorema, que afirma que los seis lados de un hexgono son tangentes a una cnica si y solo si las tres rectas que unen los tres pares de vrtices opuestos tienen una punto comn.

Si comparamos los esquemas de los teoremas de Pascal y Brianchon puede que no encontremos demasiadas semejanzas. Sin embargo, gracias a la geometra proyectiva y al principio de dualidad, podemos ver que son completamente equivalentes: si en el enunciado del teorema de Pascal sustituimos 'punto' por 'recta' y 'recta' por 'punto' y consideramos que una recta 'est sobre una cnica' cuando es 'tangente a la cnica', obtenemos sorprendentemente el teorema de Brianchon:

"Los seis vrtices/lados de un hexgono estn sobre una cnica si y solo si los tres puntos/rectas comunes a los tres pares de lados/vrtices opuestos tienen una recta/punto comn."

Este par de teoremas no son solo centrales en el estudio proyectivo de las cnicas, sino que constituyen el primer ejemplo claro en geometra, dice Boyer*, de dos teoremas duales. Sin embargo, sera otro francs, contemporneo de Brianchon, y considerado como el padre de la geometra proyectiva, quin explotara con efectividad el principio de dualidad: Poncelet. *Men of mathematics, pp.78, 216; Boyer, pp.454, 657.