Geometra diferencial de curvasEn matemticas, lageometra diferencial de curvaspropone definiciones y mtodos para analizarcurvassimples en Variedades de Riemann, y en particular, en el Espacio Eucldeo.ndice[ocultar] 1Longitud de arco 2Vectores tangente, normal y binormal: Triedro de Frnet-Serret 3Curvatura y torsin 4Plano osculador 5Centro de curvatura 6Teorema fundamental de curvas 7Vase tambin 8Referencias 8.1Bibliografa 8.2Enlaces externosLongitud de arco[editar]Artculo principal:Longitud de arcoDada una curva suficientementesuave(diferenciable y de clase), eny dado su vector de posicinexpresado mediante el parmetrot;

se define el llamadoparmetro de arcoscomo:

La cual se puede expresar tambin de la siguiente forma en la cual resulta ms fcil de recordar

Lo cual permite reparametrizar la curva de la siguiente manera:

donde

son las relaciones entre las dos parametrizaciones.Vectores tangente, normal y binormal: Triedro de Frnet-Serret[editar]

Vista esquemtica delvector tangente,vector normalyvector binormalde una curvahlice.Dada una curva parametrizadar(t) segn un parmetro cualquieratse define el llamado vector tangente, normal y binormal como:

o bieno bieno bien

Estos tres vectores son unitarios y perpendiculares entre s, juntos configuran un sistema de referencia mvil conocido comoTriedro de Frnet-Serreta raz del estudio deJean FrenetyJoseph Serret. Es interesante que para unapartculafsica desplazndose en el espacio, el vector tangente es paralelo a la velocidad, mientras que el vector normal da el cambio direccin por unidad de tiempo de la velocidad oaceleracin normal.Si la curva est parametrizada segn la longitud de arco, como se explic en la seccin anterior las frmulas anteriores pueden simplificarse notablemente:

Donde los parmetros y anteriores designan respectivamente a la curvatura y a la torsin.Curvatura y torsin[editar]Lacurvaturaes una medida del cambio de direccin del vector tangente a una curva, cuanto ms rpido cambia ste a medida que nos desplazamos a lo largo de la curva, se dice que es ms grande la curvatura. Para una curva parametrizada cualquiera la curvatura es igual a:

Si la curva est parametrizada por el parmetro de longitud de arco, la anterior ecuacin se reduce simplemente a:

Adems de la curvatura se suele definir el llamado radio de curvatura, como el inverso de la curvatura.Latorsines una medida del cambio de direccin del vector binormal: cuanto ms rpido cambia, ms rpido gira el vector binormal alrededor del vector tangente y ms retorcida aparece la curva. Por lo tanto, para una curva totalmente contenida en el plano la torsin es nula ya que el vector binormal es constantemente perpendicular al plano que la contiene. Para el caso general la torsin viene dada por:

Si la curva est parametrizada por el parmetro de longitud de arco, la anterior ecuacin se reduce a:

Plano osculador[editar]En cada punto de una curva, el plano osculador es el plano que contiene a su vector tangente y al vector normal a la curva. Para una partcula desplazndose en el espacio tridimensional, el plano osculador coincide con el plano que en cada instante contiene a la aceleracin y la velocidad. La ecuacin de este plano viene dada por:1

Donde:, el punto de la treyectoria., el vector velocidad en el punto considerado., las coordenadas de un punto genrico del plano osculador.Si se tiene una partcula en la posicin, movindose con velocidady sometida a una aceleracinel plano osculador viene dado por el conjunto de puntos:

Obviamente si la partcula tiene un movimiento rectilneo el plano osculador no est definido.Centro de curvatura[editar]

Ilustracin de la circunferencia osculatriz en el puntoPde la curvaC, en la que se muestra tambin el radio y centro de curvatura.En un entorno de un punto de una curva puede ser aproximado por un crculo, llamadocrculo osculadorpor estar contenido en el plano osculador. El radio del crculo osculador coincide con el radio de curvatura (inverso de la curvatura). El centro de dicho crculo puede buscarse como:

O ms sencillamente en funcin del parmetro de arco como:

Teorema fundamental de curvas[editar]El teorema fundamental de curvas que enunciamos a continuacin nos dice que conocido un punto de una curva y su vector tangente, la curva queda totalmente especificada si se conoce la funcin de curvatura y de torsin. Su enunciado es el siguiente:Seaun intervalo. Dadas dos funciones continuas y deay dado un sistema de referencia fijo (ortonormal) de, {x0;e1,e2,e3}, entonces existe una nica curva parametrizada de,y tales que:1. La curva pasa porx0, y el vector tangenteTa la curva en ese punto coincide cone1.2. A lo largo de la curva pueden definirse tres campos vectorialesT(s),N(s) yB(s) llamados respectivamente vector tangente, normal y binormal, perpendiculares entre s y tales que en el punto inicial coinciden cone1,e2,e3(es decir,T(0) =e1,N(0) =e2,B(0) =e3).3. Se cumplen las siguientes ecuaciones:

O bien escrito matricialmente

donde el punto es la derivada con respecto al arcoparmetro s.Esto tiene implicaciones fsicas interesantes, por ejemplo, la trayectoria de una partcula queda especificada si se conocen la posicin inicial, la velocidad inicial y la variacin en el tiempo de las derivadas segundas (que estn relacionadas con la curvatura y la torsin). Es por eso por lo que lasleyes de Newtono lasecuaciones de Euler-Lagrangese expresan en trminos de derivadas de segundo orden (que es necesario complementar con la posicin y velocidades iniciales).