Geometría Diferencial Introducción a los tensores euclídeos.pdf

INTRODUCCIÓN A LOS TENSORES EUCLÍDEOS

(sin análisis en variedades)

Manuel Martínez Llaneza

Julio 2007. Edición 2.3

INTRODUCCIÓN A LOS TENSORES EUCLÍDEOS Pág. 2

ÍNDICE

0. Introducción.............................................................................................................. 4 1. Índices mudos ........................................................................................................... 5

1.1. Definición y notación ....................................................................................... 5 1.1.1. Notación ................................................................................................... 5 1.1.2. Definición ................................................................................................. 5

1.2. Aplicaciones ..................................................................................................... 6 1.2.1. Producto de matrices ................................................................................ 6 1.2.2. Determinante de un producto ................................................................... 8 1.2.3. Matriz inversa ........................................................................................... 8

2. Álgebra vectorial .................................................................................................... 10 2.1. Cambio de base............................................................................................... 10 2.2. Matriz métrica. ............................................................................................... 11 2.3. Coordenadas covariantes ................................................................................ 13

3. Álgebra tensorial..................................................................................................... 15 3.1. Tensores euclídeos de segundo orden ............................................................ 15

3.1.1. Definición. Componentes covariantes.................................................... 15 3.1.2. Componentes mixtas y contravariantes .................................................. 16 3.1.3. Relaciones entre las componentes .......................................................... 17 3.1.4. Criterios de tensorialidad........................................................................ 19 3.1.5. Tensores simétricos y antisimétricos. Traza........................................... 19

3.2. Tensores euclídeos de orden superior............................................................. 20 3.2.1. Definición. Componentes covariantes.................................................... 20 3.2.2. Componentes mixtas y contravariantes .................................................. 20

3.3. Operaciones con tensores ............................................................................... 21 3.3.1. Suma de tensores. Producto de un tensor por un escalar........................ 21 3.3.2. Producto tensorial ................................................................................... 22 3.3.3. Contracción de índices............................................................................ 22 3.3.4. Producto contracto.................................................................................. 23

3.4. Criterio general de tensorialidad .................................................................... 24 3.5. Algunos tensores ............................................................................................ 25

3.5.1. El tensor h.............................................................................................. 25 3.5.2. Tensor de inercia .................................................................................... 26 3.5.3. Tensor de esfuerzos en un punto y otros relacionados ........................... 27

3.6. Producto vectorial en V3................................................................................. 28 3.6.1. Comentarios a la definición habitual ...................................................... 28 3.6.2. Expresión tensorial del producto vectorial ............................................. 28

4. Análisis tensorial en En........................................................................................... 31 4.1. Coordenadas curvilíneas................................................................................. 31

4.1.1. Introducción............................................................................................ 31 4.1.2. Definición ............................................................................................... 33 4.1.3. Cambio de coordenadas curvilíneas ....................................................... 34


4.1.4. Curvas..................................................................................................... 35 4.2. Campos tensoriales ......................................................................................... 36 4.3. Derivación de campos tensoriales .................................................................. 36

4.3.1. Derivada de un campo escalar ................................................................ 37 4.3.2. Derivada de un campo vectorial ............................................................. 37 4.3.3. Derivada de un campo tensorial de orden superior ................................ 41

4.4. Algunos operadores diferenciales................................................................... 41 4.4.1. Gradiente de campos escalares y vectoriales.......................................... 41 4.4.2. Divergencia de un campo vectorial ........................................................ 42 4.4.3. Laplaciano .............................................................................................. 43 4.4.4. Rótor de un campo vectorial en E3. ........................................................ 43 4.4.5. Expresiones en bases ortonormales particulares .................................... 44


0. Introducción Estas notas pretenden dar la base que permita abordar las cuestiones de índole tensorial que se requieren en el estudio de la Ingeniería Aeronáutica según el Plan actual. En aras de la sencillez de la exposición, se hace expresa renuncia a la generalización de los conceptos, tan necesaria si se persiguieran objetivos más amplios, y se desarrollan únicamente las herramientas que se han considerado necesarias para el fin perseguido. En particular, se exponen las definiciones y ejemplos en dimensiones y órdenes reducidos para evitar expresiones engorrosas de índices con subíndices; los resultados son fácilmente generalizables a dimensiones u órdenes mayores.

Previamente se tratan cuestiones geométricas y de notación que permitirán la introducción más sencilla de los tensores propiamente dichos. Se suponen conocidos los temas tratados en un primer curso de Álgebra Lineal y Cálculo Infinitesimal.

Solamente se presentan ejercicios como ejemplo de aplicación de los conceptos. Se aconseja complementar estas notas con la resolución de los ejercicios y problemas propuestos en el guión de la asignatura ‘Geometría Diferencial’. En la medida de lo posible, se usa la misma notación, aunque en cada caso se definen los criterios.


1. Índices mudos

1.1. Definición y notación

1.1.1. Notación

Los elementos de una matriz A se designarán por aij, donde el superíndice indica la fila

y el subíndice, la columna, o bien por gij o gij. En estos casos, el primer índice designará la fila y el segundo, la columna, convenio que incluye el anterior.

Las coordenadas (contravariantes como luego veremos) de los vectores se seguirán designando como xi (equivalentes a una matriz columna). Se introducirán unas nuevas coordenadas (que se llamarán covariantes) que se designarán por xi (vector fila). Los vectores se designan por ‘negritas’.

Estas notaciones, como todas, son convencionales y pueden usarse otras distintas, pero siempre debe tenerse en cuenta que el producto de matrices (‘filas por columnas’) está definido y no es convencional (no es una cuestión de notación, sino de definición) y tampoco es conmutativo (salvo excepciones), por lo que debe tenerse cuidado a la hora de sustituir valores en una expresión para realizar un cálculo.

Las cursivas se utilizarán para destacar una expresión o para los símbolos incluidos en el texto, por lo que no tienen un significado especial.

1.1.2. Definición

La notación de índices mudos o ‘convenio de Einstein’ establece que una expresión algébrica en la que una letra aparece repetida una vez como subíndice y otra como superíndice significa el sumatorio de dicha expresión para todos los valores que puede tomar la letra. El resto de los índices, ‘libres’, juegan el papel conocido.

Ejemplos (en todos ellos se supone que los índices toman valores de 1 a 3):

x = xi ei = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 (vector x en la base {ei})

xj = αj

i x’i = αj1 x’1 + αj

2 x’2 + αj3 x’3 (cambio de base)

cij = ai

k bkj = ai

1 b1j + ai

2 b2j + ai

3 b3j (producto de matrices)

f(x,y) = aij xi yj = a11 x1 y1 + a12 x1 y2 + a13 x1 y3 + a21 x2 y1 + a22 x2 y2 + a23 x2 y3 + a31 x3 y1 + a32 x3 y2 + a33 x3 y3 (forma bilineal o producto escalar)

||x||2 =aij xi xj = a11(x1)2 + a22 (x2)2 + a33 (x3)2 +2 a12 x1 x2 +2 a13 x1 x3 +2 a23 x2 x3 (norma de un vector)


Comentarios

• Un índice mudo no puede aparecer más de dos veces en una expresión monomial, una como subíndice y otra como superíndice; en otro caso, la expresión no tiene sentido.

• Puede haber tantas parejas de índices mudos como sea necesario. Cada una de ellas suma para todos sus valores con cada valor de las restantes (ver el último ejemplo anterior).

• El índice repetido desaparece (enmudece) al desarrollar la expresión. No tiene ningún significado la letra que se utilice para representarlo, pero esa letra no debe aparecer en otra parte de la expresión. (Cuando, al sustituir una expresión en otra, aparece una repetición, debe cambiarse la letra de uno de ellos). Así, para obtener la fórmula de cambio de base en un espacio vectorial partiendo de la relación entre los vectores de las dos bases {ei} y {e’j}:

x = xi ei = x’j e’j. Sustituyendo en la expresión anterior e’j = αij ei, se obtiene

xi ei = x’j αij ei, que lleva a xi

= αij x’j, por la unicidad de las coordenadas, que

es la misma expresión del párrafo anterior, aunque sean distintas las letras de los índices.

• Comutatividad. Dado que se representan sumas de monomios formados por números reales y vectores, el orden en que se escriban carece de relevancia. El mismo carácter de polinomio hace imposible ‘despejar’ las variables por alguna suerte de ‘división’.

• Los índice libres deben ocupar la misma posición (sub o súper) en ambos miembros de una igualdad.

1.2. Aplicaciones

Para habituarse a manejar la notación anterior, poniendo de relieve su potencia, e introducir algunos elementos que nos serán de utilidad posteriormente, vamos a desarrollar algunas aplicaciones.

1.2.1. Producto de matrices

La correspondencia entre la expresión de índices mudos y la matricial se pone de manifiesto con algunos ejemplos en dimensión 3

• x'j = aji xi corresponde a la expresión matricial X’ = A X, o sea

x'1 a11 a1

2 a13 x1

x'2 = a21 a2

2 a23 x2

x'3 a31 a3

2 a33 x3


• cij = ai

k bkj corresponde a C = A B

c11 c1

2 c13 a1

1 a12 a1

3 b11 b1

2 b13

c21 c2

2 c23 = a2

1 a22 a2

3 b21 b2

2 b33

c31 c3

2 c33 a3

1 a32 a3

3 b31 b3

2 b33

Paso a forma matricial.- La comodidad de la forma de multiplicación (‘filas por columnas’) de las matrices hace útil para el cálculo escribir de forma matricial aquellas expresiones que lo permitan, es decir, compuestas por elementos de uno o dos índices. Independientemente de la notación que se use, el criterio general a tener en cuenta es que el índice de columnas de una matriz debe ser el mismo que el índice de filas de la matriz siguiente. La matriz producto tendrá como índice de filas e índice de columnas sendos índices de filas y de columnas no mudos (‘libres’) de alguna de las matrices producto.

Esto permite ‘enhebrar’ las matrices por el siguiente procedimiento, en el que se emplea el criterio indicado de filas-superíndices y columnas-subíndices (si se empleara el contrario bastaría con trasponer la matriz). La transpuesta de ai

k se designa por ’aki. En

notación matricial, X es el vector columna y Xt el vector fila.

El procedimiento se ejemplifica con el caso sencillo x'j = xi aj

i con una opción en cursiva y otra entre paréntesis.

- Se localiza un índice libre que se tomará como índice de filas (particularmente puede ser un ‘no índice’ en el caso de un vector). El elemento que lo tiene es la primera matriz. Si se toma el índice libre j, la primera matriz es aj

i. (Si se toma como índice libre el ‘no índice’, la primera matriz es ’xi)

- Se encuentra el otro índice del mismo elemento y se busca un segundo elemento que contenga este mismo índice: éste definirá las filas de la segunda matriz. El otro índice es i; la secuencia j-i-i da aj

ixi. (El otro índice es i, la secuencia ‘no’-i-i da ’xi ’ai

j)

- Se toma el otro índice de la segunda matriz y, procediendo análogamente, se encuentra el índice de filas de la tercera matriz y así sucesivamente. No hay más matrices en este ejemplo, véanse los siguientes.

- Cuando se termine de ordenar, el índice libre del último elemento (puede ser un ‘no índice’) designará las columnas del producto. Hay que comprobar en qué orden están los índices libres en el primer término para colocarlo coherentemente. La secuencia completa es j-i-i-’no’ y, por lo tanto, x'j = aj

i xi X’ = A X. (La secuencia completa es ‘no’-i-i-j y, por lo tanto, cambiando el primer término, ’xj = ’xi ’ai

j X’t = Xt At)


A continuación se presentan con menos detalle otros ejemplos en los que se ha utilizado la opción más sencilla; como ejercicio es útil practicar con otra y comparar los resultados.

• xi = aji x'j , secuencia ‘no’-j-j-i (vector fila), xi = x'j aj

i Xt = X’t A

• cij = bk

j aik , secuencia i-k-k-j (matriz i-j), ci

j = aik bk

j C = A B

• aij xi yj , secuencia ‘no’-i-i-j-j-‘no’ (escalar) ’xi aij yj Xt A Y

• Tij = aki bl

j gkl , secuencia i-k-k-l-l-j, Tij = ’aik gkl bl

j T = At G B

1.2.2. Determinante de un producto

Se definen los símbolos εmnp y εmnp, donde m, n, p toman valores de 1 a 3, de la siguiente forma: valen

0 si hay algún valor repetido en mnp

1 si mnp es una permutación par de 123 (123, 231, 312)

-1 si mnp es una permutación impar de 123 (132, 213, 321)

Si designamos por |a| el determinante de la matriz cuadrada de tamaño 3 de elementos ai

j, es fácil comprobar que, según la definición de determinante,

|a| = εmnp a1m a2

n a3p (se podría trabajar análogamente con emnp) y que

εijk |a| = εmnp aim aj

n akp

Consideramos el producto C de dos matrices cuadradas A y B (C = A B) de tamaño 3

cij = ai

k bkj

|c| = εmnp c1m c2

n c3p = εmnp a1

i bim a2

j bjn a3

k bkp = a1

i a2j a3

k εmnp bim bj

n bkp =

= a1i a2

j a3k ε

ijk |b| = |a| |b|

Los símbolos y el resultado son fácilmente generalizables a un tamaño cualquiera.

1.2.3. Matriz inversa

Definimos los símbolos δij (delta de Kronecker) de la siguiente forma: valen

1 si i = j

0 si i ≠ j

(Obsérvese que los δij representan los elementos de la matriz unidad I).


• Si alguno de los subíndices es mudo, δij sustituye su pareja por el otro índice.

Así:

δij xj = xi

δij ar

i = arj

• La relación que cumplen los elementos de una matriz cuadrada regular aij con

los de su inversa αij es

aik αk

j = αik ak

j = δij

Esta relación permite ‘despejar’ variables en algunos casos. Por ejemplo, de la expresión antes utilizada del cambio de base

xi = αi

j x’j

puede despejarse x’ multiplicando por la inversa aij de la matriz αi

j. (No es necesario en este caso distinguir entre premultiplicar y postmultiplicar, dado que el producto de una matriz por su inversa es conmutativo, pero en todo caso la disposición de los índices determina el producto). Por lo tanto

aki xi

= aki αi

j x’j de donde, aplicando las expresiones anteriores,

aki xi = δk

j x’j = x’k

(Este asunto se tratará con mayor extensión en el capítulo siguiente)


2. Álgebra vectorial Se recapitulan los conceptos usados en primer curso y se introducen algunos complementarios que van a servir de base a la definición y manejo de tensores.

Cuando se ha trabajado en espacios euclídeos en primer curso, se han utilizado casi exclusivamente bases ortonormales. Sin embargo hay ocasiones en que la simplicidad que proporciona usar una base ortonormal queda anulada por la complicación de encontrar esta base y es preferible referirse a bases ‘naturales’ aunque no sean ortonormales. Esto se vio con claridad en el estudio de las formas fundamentales de una superficie, asunto del que los tensores son una extensión natural, donde la parametrización de la superficie definía las bases de tal forma que, salvo en casos particulares sencillos, era imposible definir una referencia ortonormal en toda la superficie. La diferencia esencial que se observaba aquí respecto del Álgebra Lineal se debía a que en ésta se utilizaba una sola base para todo el espacio, mientras que en el caso de superficies la base iba variando de punto a punto. En consecuencia, en Álgebra Lineal dos bases distintas estaban relacionadas por una matriz (de elementos escalares, constantes) mientras que en el caso de una superficie se trata de una ‘matriz’ de funciones que en cada punto toman el valor de los escalares del cambio en ese punto. Usaremos por comodidad los términos ‘referencia’ o ‘base’ en lugar de ‘sistema de referencias’ o ‘sistema de bases’ (campos), que precisaremos más adelante.

Para tratar después estas cuestiones, repasamos los conceptos de cambio de base e introducimos las coordenadas covariantes en un espacio euclídeo.

2.1. Cambio de base

Si disponemos de un espacio vectorial Vn (euclídeo o no) referido a una base B{ei} y cambiamos a otra base B’{e’i}, el cambio queda definido si conocemos los vectores de la segunda base por sus coordenadas (coeficientes de la combinación lineal de los vectores) en la primera. La relación la podemos expresar, como se vio anteriormente, por

e’j = αij ei , donde la fila j de αi

j está formada por las coordenadas del vector e’j en B.

Según se vio en el comentario tercero de 1.1.2., esto conduce a

xi = αi

j x’j , que expresa la fórmula (del AL) X = A X’ (A = alfa mayúscula), donde la columna i de αi

j está formada por las coordenadas del vector e’i en B.

o bien, como se vio en el tercer punto de 1.2.3.

x’k = aki xi , donde ak

i es la inversa de αij , o sea, X’ = A X (A = A-1)

Por un proceso similar al anterior, cuya demostración se deja como ejercicio, obtenemos

ei = aji e’j


Comentarios

• La primera de las anteriores no es propiamente una expresión matricial, ya que los elementos de una matriz son escalares y en este caso se trata de vectores, pero, si, aprovechando la similitud formal, la escribiéramos ‘matricialmente’, deberíamos poner, de acuerdo con 1.1.2., E’t = Et A, o bien, E’ = A t E, lo que pone de manifiesto la disposición de los elementos de A en ambas expresiones: las columnas de A son las coordenadas de los vectores de la base ‘nueva’ (B’) en la base ‘vieja’ (B) como se vio en AL.

• La matriz A que expresa los vectores de la base ‘nueva’ (B’) en función de los de la base ‘vieja’ (B), expresa también las ‘coordenadas viejas’ (en B) en función de las ‘nuevas’ (en B’). Esta es la razón de que a estas coordenadas se las llame contravariantes, porque varían en sentido contrario al que lo hace la base.

• Para seguir el cómodo criterio de llamar a las matrices con la misma letra que a sus elementos y dado que la mayúscula de las letras a (latina) y α (griega) es idéntica, se ha utilizado la A cursiva para designar la correspondiente a la segunda. Dado el riesgo de confusión, en adelante se utilizarán A y A-1, respectivamente, con lo que la cursiva dejará de tener significado.

• La última de las fórmulas, escrita ‘matricialmente’, sería Et = E’t A-1 o bien, E = (A-1)t E’.

• La notación de índices mudos ‘coloca’ automáticamente los índices de la única forma posible. Sólo es necesario recordar que, si damos un nombre a los coeficientes del cambio de bases (en este caso αi

j), esos coeficientes expresan ‘contravariantemente’ el cambio de coordenadas contravariantes, y los de la matriz inversa expresan los cambios inversos de base y coordenadas.

2.2. Matriz métrica.

Se estudió en Álgebra Lineal que la métrica de un espacio euclídeo Vn referido a una base B{ei} queda completamente definida por una matriz simétrica G (o g), definida positiva, llamada matriz métrica, cuyos elementos, que llamaremos gij, se definen por

gij = ei . ej , donde ‘.’ designa el producto escalar

Mediante la matriz métrica expresamos el producto escalar de dos vectores x e y, como

x . y = gij xi yj

y la norma de un vector x como

||x|| = (gij xi xj )½

Designamos por gij los elementos de G-1 (inversa de G), por lo que, según lo visto en 1.2.3, se cumplirá

gik gkj = gjk gki

= δij

Si cambiamos de base a B’{e’i}, la nueva matriz métrica será


g’ij = e’i . e’j y teniendo en cuenta las relaciones e’j = αij ei

obtenemos, cuidando de nombrar los índices como se indicó en el punto 1.1

g’ij = e’i . e’j = αmi ei . αn

j ei = αmi αn

j gmn

Observamos que gik varía como los vectores de la base (coordenadas nuevas en función de viejas), lo que llamaremos covariantemente, para ambos subíndices.

Multiplicando la expresión anterior por aij, inversa de αi

j

aip aj

q g’ij = aip αm

i ajq αn

j gmn = δmp δn

q gmn = gpq

que expresa el cambio inverso.

La matriz inversa de la matriz métrica cumple, como hemos visto, δij = gjk gki

= g’ik g’kj,

por lo que podemos operar de la siguiente manera (se indican por última vez las operaciones matriciales equivalentes para un mejor seguimiento)

δij = gik gkj I = G-1 G

δij = gik am

k anj g’mn I = G-1At G’ A

αjp δi

j = αjp gik am

k anj g’mn I A-1 = G-1 At G’ A A-1

αjp = δm

p ank g’mn gkj = an

k g’pn gkj A-1 = G-1 At G’

αip g’pq = g’pq gik am

k g’mp = δqm gik am

k = gik aqk A-1 G’-1 = G-1 At

αrq αj

p g’qp = αrq aq

k gkj = δrk gkj A-1 G’-1 (A-1)t = G-1 At (A-1)t

αip αr

q g’pq = gir A-1 G’-1 (A-1)t = G-1

Análogamente (o partiendo de esta última ecuación y ‘despejando’) podría obtenerse g’mn = am

i anj gij, lo que se deja como ejercicio.

Como puede observarse las componentes de gij tienen carácter contravariante.

Comentarios

• Este ejercicio generaliza lo expuesto en 1.2.3. y, bien entendido, permite abordar todos los casos del mismo tipo.

• Sabemos que en un producto de matrices, al no ser conmutativo, sólo podemos operar sobre la primera (premultiplicar) o la última (postmultiplicar) de la expresión. Lo equivalente en la notación de Einstein es operar sobre los índices libres; en nuestro ejemplo, fila y columna respectivamente. Sin embargo, con esta notación no es necesario considerar si se trata de pre o postmultiplicar porque la situación de los índices libres determina automáticamente la


disposición de los nuevos. Se sugiere, como ejercicio, repetir el ejemplo anterior, sólo en notación de Einstein, partiendo de la expresión δj

i = gik gkj 1

• Lo que hay que hacer es determinar qué elemento se quiere pasar al otro miembro; ha de tratarse por supuesto de una matriz regular con un índice libre. Multiplicamos la expresión por su inversa que tendrá la misma letra del índice libre anterior en posición opuesta, lo que lo convierte en mudo; al otro índice se le asignará una letra nueva y será el nuevo índice libre.

• La disposición de los índices de la matriz inversa será la que corresponda a la notación empleada. En el ejemplo anterior, para las matrices de cambio se usa subíndice y superíndice, en cambio, para la matriz métrica se usan doble subíndice y para su inversa, doble superíndice, y el tratamiento es el mismo.

• El orden es indiferente en la notación de Einstein; se emplea el que sea cómodo o habitual para el seguimiento de las expresiones.

Si utilizamos la expresión del determinante de una matriz visto en 1.2.2., podemos escribir

det g = eijk g1i g2j g3k = g1i (eijk g2j g3k) = g1i Gi1 (donde Gi1 = eijk g2j g3k)

que expresa el desarrollo del determinante por la primera fila. (Análogamente podíamos haber operado con otra fila o cualquier columna). Vemos así que los elementos Gi1 así definidos son los cofactores (o adjuntos) de los elementos de la primera fila en el desarrollo del determinante. Análogamente obtendríamos

Gj2 = eijk g1i g3k ; Gk3 = eijk g2j g3k

Si recordamos que el producto de los elementos de una línea por los adjuntos de otra paralela es nulo, obtenemos

gjk Gki = δij (det g)

de donde obtenemos

Grs = grs (det g)

que expresa la conocida relación entre los miembros de la matriz inversa y de la matriz adjunta y que nos será de utilidad posteriormente. (Obsérvese que, aunque en G no tiene importancia por ser simétrica, en rigor, como Gij representa el adjunto de gji, Grs es la matriz simétrica de la adjunta de gsr, como es bien sabido).

2.3. Coordenadas covariantes

A cada vector de un espacio euclídeo Vn le podemos asignar biunívocamente un conjunto de n escalares, que llamaremos coordenadas covariantes, y que se define como el conjunto ordenado de los productos escalares del vector por los vectores de la base. 1 dj

i = ami an

k g’mn gkj αip dj

i = αip am

i ank g’mn gkj αj

p = dmp an

k g’mn gkj = ank g’pn gkj αj

p g’qp = g’qp an

k g’pn gkj = dqn an

k gkj = aqk gkj αr

q αjp g’qp = αr

q aqk gkj = dr

k gkj αrq αj

p g’qp = grj


xi = x . ei

Si expresamos el producto escalar por medio de la matriz métrica, obtenemos las coordenadas covariantes en función de las contravariantes

xi = xj ej . ei = xj gji

y si ‘despejamos’

gki xi = xj gji gki = xj δkj = xk

que proporciona las coordenadas contravariantes en función de las covariantes.

Comentarios

• Estas relaciones dan pie a una regla mnemotécnica muy sencilla y cómoda producto de la propia notación que hace que desaparezca el subíndice mudo y quede el que lo acompaña: gij ‘baja’ el índice (de contravariante a covariante) y gij lo ‘sube’ (de covariante a contravariante). Al ser consecuencia de la notación, veremos que se conserva en todo tipo de expresiones.

• La simetría de la matriz métrica y de su inversa, derivada de la simetría del producto escalar, hace que no tengamos que preocuparnos del orden en que ponemos los índices como no nos preocupamos del orden de los factores.

Si cambiamos de base, con la notación que hemos empleado anteriormente,

x’i = x’j e’j . e’i = x’j g’ji = ajp xp αm

j αni gmn = δm

p xp αni gmn = αn

i xp gpn = αni xn

que prueba que las coordenadas covariantes realmente varían de forma covariante.

Puede comprobarse fácilmente que

xi = aji x’j

como se deduce de su carácter covariante.

El producto escalar se puede expresar en función de las diversas coordenadas como

x . y = gij xi yj = δji xi yj = δi

j xi yj = gij xi yj

Para probarlo basta sustituir las expresiones de las coordenadas, lo que se deja como ejercicio, ya que en el capítulo siguiente se verán con más generalidad este tipo de relaciones y se darán criterios de los que las anteriores expresiones son casos particulares


3. Álgebra tensorial Con los tensores buscamos definir entes geométricos, es decir, que sean independientes de la base en la que los expresamos. De manera similar a los vectores, en los que se diferencian el vector, que no depende de la base elegida, y sus coordenadas, que sí dependen de la base, después de definir los tensores estudiaremos sus componentes en las distintas bases y sus relaciones. Los resultados guardan gran similitud con los obtenidos para los vectores, aunque con mayor diversidad y complejidad.

Por facilidad de comprensión, se introducen en primer lugar los tensores de orden dos, ya que se remiten a conceptos conocidos como formas bilineales y matrices. Los tensores de cualquier orden se presentan como una generalización de los anteriores.

Las operaciones se presentan en tensores de órdenes bajos por facilidad de expresión. La generalización no ofrece dificultades, salvo de notación, en la mayoría de los casos.

Ya que se trata exclusivamente con tensores euclídeos, después de la definición, que se pretende precisa, se hará referencia a ‘tensores’, omitiendo el ‘euclídeo’ por comodidad.

3.1. Tensores euclídeos de segundo orden

3.1.1. Definición. Componentes covariantes

Llamamos tensor euclídeo de segundo orden de un espacio vectorial euclídeo Vn a toda forma bilineal (no necesariamente simétrica) T: Vn x Vn R. Si el espacio está

referido a una base B{ei}, la bilinealidad permite expresar la imagen de todo par de vectores x, y en función de sus coordenadas contravariantes como

T(x,y) = T(xi ei, yj ej) = xi yj T(ei, ej) = xi yj Tij

donde se ve que la aplicación queda completamente determinada por las n2 imágenes Tij de los pares de elementos de la base, que llamaremos componentes covariantes del tensor en esa base. Al cambiar de base a B’{e’i}, la imagen (la forma) debe conservarse, por lo que

T(x,y) = x’i y’j T’ij = xm yn Tmn = αmi x’i αn

j y’j Tmn

de donde

T’ij = αmi αn

j Tmn

que muestra el carácter doblemente covariante de las componentes y que puede expresarse, como se ha visto en el capítulo anterior, como

Tij = ami an

j T’mn


Comentarios

• Según la definición anterior, un producto escalar es un tensor de segundo orden y por tanto las componentes gij de la matriz métrica son las componentes covariantes de un tensor que se llama métrico o fundamental del espacio.

• Las componentes covariantes de un tensor de segundo orden se pueden escribir como una matriz de tamaño n x n, en general no simétrica ni definida.

3.1.2. Componentes mixtas y contravariantes

Hemos visto las componentes covariantes de un tensor de segundo orden como los coeficientes de los productos de coordenadas contravariantes de los vectores. Si usáramos coordenadas covariantes para uno o los dos vectores, obtendríamos una de estas formas

T(x,y) = xi yj Tij = xi ym gmj Tij = xi ym Tim (Ti

m = gmj Tij)

T(x,y) = xi yj Tij = xm gmi yj Tij = xm yj Tmj (Tm

j = gmi Tij)

T(x,y) = xi yj Tij = xm gmi yn gnj Tij = xm yn Tmn (Tmn = gmi gnj Tij)

Las dos primeras expresiones definen dos tipos de coordenadas mixtas del tensor y la tercera las coordenadas contravariantes.

Caso particular: el tensor fundamental

Teniendo en cuenta la definición de gij como inversa de gij, si aplicamos las dos primera definiciones al tensor fundamental, obtenemos

gik gjk = gji = δi

j gik gkj = gij = δi

j

por lo que vemos que la delta de Kronecker representa las componentes mixtas del tensor fundamental (la simetría hace irrelevante el orden de los índices). Si, teniendo en cuenta esto, usamos la tercera definición

gmn = gmi gnj gij = gmi δni = gmn

que prueba que gij son las componentes contravariantes del tensor fundamental.

Se deja como ejercicio, ya que basta con repetir lo que se ha hecho anteriormente varias veces, probar que los superíndices indican componentes contravariantes y los subíndices componentes covariantes, es decir, que se cumple

T’ij = αm

i ajn Tm

n Tij = am

i αjn T’m

n

T’ij = ai

m αnj Tm

n Tij = αi

m anj T’m

n

T’ij = aim aj

n Tmn Tij = αim αj

n Tmn


Por sencillez no se hará uso de las segundas componentes definidas. Por lo tanto, cuando se diga componentes mixtas, se hará referencia al primer tipo, en el que el primer índice es la componente covariante.

Comentarios

• Las coordenadas mixtas y contravariantes se pueden escribir como sendas matrices. El convenio que se seguirá es el general indicado en 1.1.1. en el que el primer índice indica la fila y el segundo la columna. No hay confusión con las matrices en las que se seguirá escribiendo también primero la fila (superíndice) y luego la columna (subíndice), lo que coincidiría si se usaran las componentes mixtas excluidas.

• En las primeras definiciones entre paréntesis puede verse cómo la matriz gij ‘sube’ los índices como se vio en el capitulo anterior con los vectores.

• Obsérvese que el paso de una a otra base se realiza covariante o contravariantemente para cada índice, según esté abajo o arriba, y que los índices de la matriz de cambio se ajustan de la única manera posible que permite el convenio de índices mudos. No es preciso en consecuencia memorizar ninguna de las fórmulas anteriores

3.1.3. Relaciones entre las componentes

En el punto anterior se ha visto cómo se obtienen las diversas componentes de un tensor de segundo orden en una base partiendo de las componentes covariantes y cómo se obtienen las coordenadas en otra base partiendo de las homólogas en la primera base.

A partir de esas expresiones podemos obtener otras relaciones por los procedimientos conocidos. Por ejemplo, si queremos hallar las componentes covariantes en función de las mixtas, en la primera expresión del punto anterior, podemos operar como sigue

Tim = gmj Tij gmn Ti

m = gmn gmj Tij gmn Tim = dj

n Tij = Tin

que muestra cómo la matriz gij ‘baja’ el índice de la misma forma que en vectores.

El conjunto de relaciones se muestra en el siguiente cuadro


gjk gim

Tik TmkTij gimgjk

donde el elemento que hay en cada flecha opera sobre el de origen de la flecha para obtener el de destino. La línea superior expresa las componentes (covariantes, mixtas y contravariantes) en la base inicial B{ei} y la inferior, las mismas componentes en la base final B’{e’i}, siendo e’j = αi

j ei, aip la inversa de αi

j y g la matriz métrica.

Comentarios

• Puede observarse que, para pasar de unas componentes a otras, hay varios caminos, de expresiones distintas.

• No hay en principio un camino preferible; la elección dependerá de los datos de que se disponga o que se vayan a necesitar para otros cálculos, teniendo siempre en cuenta que el cálculo de una inversa supone un esfuerzo mayor que el de un producto.

• En cuanto al hecho de que aparezcan diferentes expresiones, hay que tener en cuenta las relaciones que existen entre las matrices métricas y las de cambio de base. Una manera sencilla de verlas es considerar la matriz métrica como un tensor: al aplicar el cambio correspondiente, se obtiene g’mn

= αim αj

n gij, (o también g’mn = am

i anj gij), que ponen de manifiesto la relación existente.

• Si se toman determinantes en las anteriores expresiones se obtiene

det g’ = (det A-1)2 det g det g’-1= (det A)2 det g-1

que corresponden a tomar determinantes en la conocida expresión del Álgebra Lineal G’ = Pt G P, donde P = A-1 y que serán usadas posteriormente.

T’pq T’srT’pr

g’qr g’ps

g’qr g’ps

αms αk

rapi aq

j asm ar

kαip ar

k api αk

rαip αj

q


3.1.4. Criterios de tensorialidad

Si a cada base del espacio le hacemos corresponder n2 escalares, estos son las componentes covariantes de un tensor T (análogamente mixtas o contravariantes) si cumplen uno de estos dos criterios que son equivalentes como se comprueba recurriendo a las propiedades de las formas bilineales y lo visto anteriormente:

Primer criterio de tensorialidad.- Ante cambios de base, las componentes se comportan como indica el cuadro del punto anterior.

Segundo criterio de tensorialidad.- Para cada par de vectores x e y del espacio, los escalares xi yj Tij (respectivamente xi yj Ti

j o xi yj Tij ) son invariantes frente a cambios de base.

Comentario

• La identidad de ambos criterios permite una definición alternativa de tensor, basada en el primer criterio, según la cual un tensor de segundo orden es un conjunto de componentes de cierto tipo en cada base que cumplen entre ellas las relaciones establecidas de cambio de base.

3.1.5. Tensores simétricos y antisimétricos. Traza

Un tensor de segundo orden se llama simétrico si lo es la forma bilineal a la que está asociado, es decir, si

T(x,y) = T(y,x) para todo x,y ∈ Vn

un tensor es simétrico si y solo si las componentes covariantes (o las componentes contravariantes) en una base cumplen

Tij = Tji (o bien, Tij = Tji) para todo i, j = 0, 1,….,n

La demostración es inmediata a partir de propia definición de tensor.

Un tensor de segundo orden se llama antisimétrico si lo es la forma bilineal a la que está asociado, es decir, si

T(x,y) = - T(y,x) para todo x,y ∈ Vn

un tensor es simétrico si y solo si las componentes covariantes (o las componentes contravariantes) en una base cumplen

Tij = - Tji (o bien, Tij = - Tji) para todo i, j = 0, 1,….,n

La demostración se basa de nuevo en la propia definición de tensor.

Se llama traza de un tensor de segundo orden al escalar λ = Tii . La traza es

independiente de la base, ya que

λ’ = T’ii = αi

m ani Tn

m = δnm Tn

m = Tnn = λ


3.2. Tensores euclídeos de orden superior

Los introducimos siguiendo el mismo proceso empleado en los de orden 2, que nos limitamos a generalizar. Se omiten las demostraciones que son extensión inmediata de las vistas anteriormente.

3.2.1. Definición. Componentes covariantes

Llamamos tensor euclídeo de orden r de un espacio vectorial euclídeo Vn a toda forma r-lineal T: Vn x Vn x …r veces………x Vn R. Si el espacio está referido a una

base B{ei}, la linealidad en cada componente permite expresar la imagen de toda r-upla de vectores x1, x2 , …., xr en función de sus coordenadas contravariantes como (suponiendo r = 4)

T(x, y , z, t) = T(xi ei, yj ej, zk ek, tl el ) = xi yj zk tl T(ei, ej, ek, el) = xi yj zk tl Tijkl

donde se ve que la aplicación queda completamente determinada por las nr imágenes Tijkl de las permutaciones de los elementos de la base, que llamaremos componentes completamente covariantes del tensor. Al cambiar de base a B’{e’i}, la imagen debe conservarse, por lo que

T(x,y) = x’i y’j z’k t’l Tijkl = xm yn zp tq Tmnpq = αmi x’i αn

j y’j αpk z’k αq

l t’l Tmnpq

de donde

T’ijkl = αmi αn

j αpk αq

l Tmnpq

que muestra el carácter covariante de las componentes y que puede expresarse, análogamente a lo visto en tensores de orden dos, como

Tijkl = ami an

j apk aq

l T’mnpq

3.2.2. Componentes mixtas y contravariantes

De la misma forma que en el caso de tensores de orden dos, se definen componentes mixtas y completamente contravariantes.

Las componentes completamente contravariantes, como antes, corresponden, en la expresión de la forma r-lineal a la elección de coordenadas covariantes para los r vectores considerados. Sin embargo, para las componentes mixtas hay una multiplicidad de posibilidades creciente con el orden del tensor, es decir, podemos elegir cualquier número de vectores entre uno y r, y en cualquier posición, para asignarles coordenadas covariantes.

Para limitar el número de combinaciones, que complican las expresiones sin añadir ventajas de otra índole, únicamente se utilizan componentes mixtas en que las componentes covariantes sean necesariamente las primeras, lo que equivale, si así no fuera de origen, a cambiar el orden en que se toman los r vectores en la forma r-lineal. Así, las componentes de un tensor de cuarto orden que se consideran son

Tijkl Tijkl Tij

kl Tijkl Tijkl


En general, se tratará de componentes (p, q) (p-covariantes q-contravariantes) de un tensor (con p + q = r), que son completamente covariantes cuando q es cero y completamente contravariantes cuando lo es p.

Las expresiones que relacionan en una base los distintos tipos de componentes se obtienen de la misma forma y con la misma justificación que en el caso de tensores de orden dos, ‘subiendo’ y ‘bajando’ índices. Por ejemplo:

Tijkl = gpj Ti

pkl Tijkl = gpk Tijp

l Tijkl = gpi gqj grk Tpqrl (etc.)

(Aunque no lo usemos en estas notas, también Tijk

l = gpk Tijpl , etc.)

Las expresiones que relacionan los componentes en distintas bases se obtienen asimismo de la misma forma y con la misma justificación que en tensores de orden dos, es decir, cambiando covariante o contravariantemente los respectivos índices. Por ejemplo:

T’ijk = αm

i ajn ak

p Tmnp Ti

jk = αim an

j apk T’m

np

Comentarios

• No tiene sentido expresar matricialmente las componentes de un tensor de orden superior a dos. (Las de un tensor de orden tres tendrían que disponerse en forma de cubo, y así sucesivamente en espacios de mayor dimensión).

• Los vectores, en cuanto sus coordenadas (n-uplas) varían según el primer criterio de tensorialidad como se vio en el capítulo anterior, se consideran tensores de orden uno.

• Los escalares, invariantes ante cambio de base, cumplen también el criterio y se consideran tensores de orden cero.

• Lo mismo que en caso de segundo orden, se pueden definir los tensores de orden superior como los conjuntos de nr componentes de cierto tipo en cada base que se relacionan según las expresiones de cambio de base.

3.3. Operaciones con tensores

Se definen a continuación algunas operaciones con tensores.

3.3.1. Suma de tensores. Producto de un tensor por un escalar

La suma de tensores y el producto por un escalar se definen de la misma forma que en cualquier función o aplicación. Es decir:

(T + S) ( ) = T( ) + S ( )

(λ T) ( ) = λ T( )

donde T y S son tensores del mismo orden r sobre el mismo espacio y ( ) representa cualquier conjunto ordenado de r vectores de dicho espacio.


Como consecuencia de la definición, las componentes de cualquier tipo del tensor suma se obtienen sumando las componentes del mismo tipo de los tensores sumandos y las componentes de cualquier tipo del tensor producto por un escalar de un tensor se obtienen multiplicando las de éste por el escalar. Por ejemplo:

(T + S)ijkl = Tijk

l + Sijkl (λ T)ijk

l = λ Tijkl

Como consecuencia de la definición, el conjunto de los tensores de orden r sobre un espacio vectorial tiene estructura de espacio vectorial

3.3.2. Producto tensorial

Dados dos tensores euclídeos T y S, de órdenes respectivos r y s, se denomina producto tensorial de T y S al tensor de orden r+s, P = T ⊗ S: Vr x Vs R definido por

P(x1, x2, x3, …, xr+s) = T(x1, x2, x3, …, xr) . S(xr+1, xr+2, …, xr+s)

De la definición se deduce (se deja como ejercicio) que P es efectivamente una forma multilineal, es decir, un tensor, que el producto tensorial es asociativo, que conmuta respecto al producto por escalares y que es distributivo por ambos lados respecto a la suma de tensores. En general, el producto tensorial no es conmutativo.

Las componentes del tensor producto tensorial pueden deducirse fácilmente de la definición. Como ejemplo, con las limitaciones de tipos que usamos:

Pijkmn = Tijk . Smn Pijkmn = Tijk . Sm

n Pijkmn = Tij

k . Smn

3.3.3. Contracción de índices

Si en la expresión de las componentes mixtas de un tensor designamos con la misma letra un índice covariante y otro contravariante, el efecto de la notación de Einstein es convertirlo en ‘mudo’. Así, para r = 5 y n = 3,

Tijkjn = Ti1k

1n + Ti2k2n + Ti3k

3n = Sikn

que son las componentes (2, 1) de un tensor de orden 3, es decir, r - 2 como puede comprobarse sin más que considerar que

Sikn = Tijk

jn = Tijkmn δj

m

y, al cambiar de base, las componentes

S’pqr = T’puq

vr δuv = αi

p αju αk

q avm ar

n Tijkmn δu

v,

como αju av

m duv = αj

u aum = δj

m

S’pqr = αi

p αkq ar

n Tijkmn dj

m = αip αk

q arn Sik

n

que, por el primer criterio, prueba el carácter tensorial de S.


Comentarios

• Puede aplicarse sucesivamente la contracción de índices, lo que proporcionará tensores de un orden que disminuye en dos unidades cada vez. El límite es un tensor de orden 1 (vector) o de orden 0 (escalar)

• Es necesario indicar qué índices se contraen.

• Se ha tratado la delta de Kronecker como se definió en 1.2.3. Puede tratarse como tensor y hacer los oportunos cambios, pero no es necesario, porque se trata de las componentes mixtas del tensor fundamental que tienen el mismo valor en cualquier base.

Si quisiéramos hacer la contracción de índices del mismo tipo, podríamos aplicar lo visto anteriormente sin más que subir o bajar previamente uno de los dos. Por ejemplo, para contraer el segundo y cuarto índices de Tijkm

n se recurriría a las componentes mixtas del tensor

Tip

kmn = gjp Tijkm

n

en las que se contraen los índices elegidos para obtener

Sikn = Ti

mkm

n = gjm Tijkmn

Análogamente se procedería para contraer dos superíndices. Por ejemplo, para contraer el segundo y cuarto índices de Ti

jkmn:

Sikn = Tim

kmn = gjm Tijkmn

Comentario

• En la primera demostración se han utilizado unas coordenadas mixtas que se indicó que no se usarían, no que no existieran. Podían haberse evitado mediante oportunos cambios de orden, pero se trataría de un método innecesariamente complicado, cuando, por lo demás, al enmudecer los índices contraídos, en la expresión final sólo aparecen las componentes que nos hemos propuesto usar.

En resumen, para contraer dos índices de un tensor se multiplica éste por el tensor fundamental cuyos índices son los dos que se desea contraer. Las componentes del tensor fundamental son las únicas posibles según la notación de Einstein: covariantes (gij) si se trata de dos superíndices; mixtas (δi

j) en caso de un subíndice y un superíndice; contravariantes (gij) para dos subíndices.

3.3.4. Producto contracto.

Dados dos tensores euclídeos T y S, de órdenes respectivos r y s, se llama producto contracto de ambos el tensor de orden r + s – 2 resultante de contraer en el producto tensorial dos índices, uno del primero y otro del segundo de los tensores.

El producto contracto da lugar a un tensor por serlo el producto tensorial y la contracción de índices.


Comentarios

• El concepto de producto contracto es la generalización a dos tensores cualesquiera de la operación realizada en el apartado anterior con el tensor fundamental.

• Cuando se definieron los ‘índices mudos’ en el capítulo 1 se utilizó, con vectores y matrices, esta propiedad que ahora se extiende a tensores y se verifica su carácter tensorial.

• En el producto contracto se mantendrán los tipos que se señalaron en el apartado anterior.

Ejemplos:

Pjkn = gim Tijk . Smn Pjkn = δi

m Tijk .Smn Pijn = gkm Tij

k . Smn

3.4. Criterio general de tensorialidad

Hemos visto que, si en la expresión, Arst Brs = Ct, A y B son tensores, entonces C es

también un tensor. Ahora nos preguntamos: si B y C son tensores, ¿lo será A también? O más precisamente, si B y C son tensores y tenemos en cada base un conjunto de componentes A(r,s,t) (nr en general) que cumplen

A(r,s,t) Brs = Ct

¿tendrá A carácter tensorial?

Para estudiarlo, establecemos la relación en otra base cualquiera y analizamos cómo cambian las componentes

A’(m,n,p) B’mn = C’p = apt Ct = ap

t A(r,s,t) Brs

con Brs = αrm αs

n B’mn

lo que podemos escribir como

[A’(m,n,p)- apt αr

m αsn A(r,s,t)] B’mn = 0

Si esto se cumple siendo B un tensor cualquiera, los coeficientes de B’mn en la expresión anterior deben ser nulos, lo que equivale a

A’(m,n,p) = apt αr

m αsn A(r,s,t)

es decir, que las componentes r y s de A varían covariantemente y la componente t lo hace contravariantemente, por lo que A es un tensor

A(r,s,t) = Arst

La generalización de la anterior expresión es el Criterio general de tensorialidad que expresa que un conjunto de nr componentes en cada base representan un tensor de tipo


(p,q) si y solo si su producto contracto con cualquier tensor de tipo (q’,0) o (0, p’), con p’≤ p y q’ ≤ q, es un tensor de tipo (p-p’, q-q’)

Son aplicables a tensores de cualquier orden los dos criterios definidos en 3.1.4 con las adecuadas adaptaciones (pasar de 2 a r)

Comentarios

• La propiedad anterior viene a decir que, si un conjunto de valores se comporta siempre como un tensor para el producto, entonces se trata de un tensor. Algún autor la llama Quotient law, lo que traslada a los tensores, de forma totalmente incorrecta, pero intuitiva, la idea de que el cociente de dos números es un número.

• Esto que, es cierto en números racionales o reales, salvo que el denominador sea nulo, no tiene más traducción en tensores que el carácter tensorial del factor, sin que se pueda dividir ni despejar, salvo lo indicado en el estudio de las operaciones.

• Sin embargo, la similitud se acaba en el carácter tensorial, ya que es esencial en la demostración que las componentes de B sean cualesquiera para poder asegurar que sus coeficientes son nulos, luego no basta que la relación se cumpla con unos tensores particulares. (Bastaría que se cumpliera con los tensores de una base del espacio vectorial que forman, lo que es equivalente).

3.5. Algunos tensores

Hemos visto que los escalares, los vectores y las formas r-lineales tienen carácter tensorial (son tensores) y que dicho carácter significa que representan entes matemáticos independientes de la base en que se expresan, es decir, que tienen carácter geométrico.

Así, la temperatura en un punto es un escalar independiente de la referencia que adoptemos, lo mismo que la velocidad de un móvil es un vector independiente de la referencia. Los tensores de orden superior expresan propiedades más complejas.

Un ejemplo ha sido el tensor fundamental que expresa el conjunto de las relaciones métricas. Introducimos a continuación un tensor de índole ‘matemática’ que será de utilidad.

Solamente a título de ejemplo, hacemos referencia después a algunos tensores ‘físicos’, cuyo significado y uso se estudia más ampliamente en las disciplinas respectivas.

En el próximo capítulo de Análisis Tensorial aparecerán otros tensores de tipo diferencial.

3.5.1. El tensor h

En el apartado 1.2.2 se definieron los símbolos εijk y εijk. Haremos referencia al primero,

aunque todo lo que se trata se traslada con facilidad al segundo. Para ver si se trata de


un tensor de tercer orden, podemos ver si sus componentes cambian de base de acuerdo con el primer criterio de tensorialidad, es decir, si se cumple

? ε’mnp = ami an

j apk ε ijk = εmnp |a|

que no cumple la definición salvo para los cambios en que |a|=1.

La relación de g con a (véase el cuarto comentario de 3.1.3., y recuérdese que det A-1 = 1/ (det A)) se puede escribir como

|a| = det gdet g'

Si en vez de referirnos a εijk, lo hiciéramos a εijk/ det g , la relación anterior sería

ε’mnp/ det g' = ami an

j apk ε ijk / det g = εmnp |a| / det g = εmnp/ det g'

lo que prueba el carácter tensorial de

h ijk= εijk/ det g

Análogamente se define

h ijk= det g εijk

Comentario

• El símbolo ε y el tensor h que se ha definido a partir de él pueden generalizarse a órdenes mayores sin más que considerarlos 0 si se repite algún índice y 1± ,

/1± det g , det g± , respectivamente, según sea positiva o negativa la paridad de la permutación de índices (signatura).

3.5.2. Tensor de inercia

Se define como tensor de inercia I respecto del origen de un sistema de n puntos de masa M(i) y vector de posición x(i) (i =1, …, n) el de componentes contravariantes en cada base

Imn = M1

n

i=∑ (i) x(i)

m x(i)n

y análogamente las otras componentes.

Si λ es el vector unitario de una recta que pasa por el origen, el momento de inercia respecto a esta recta se define como

I(λ) = M1

n

i=∑ (i) (d(i))2


donde d es la distancia del punto a la recta que, según el teorema de Pitágoras, vale

(d(i))2 = ||x(i)||2 – (x . λ)2 = gmn x(i)m x(i)

n – (gmn x(i)m λn)2

Si multiplicamos por M(i) y sumamos de 1 a n, obtenemos

I(l) = gmn Imn – gmn xm λn gpq xp λq = Inn – Imp λm λp = traza de I – I(λ,λ)

Análogamente se pueden estudiar las propiedades respecto a un punto cualquiera, en particular el centro de gravedad.

Si sustituimos el sistema de n puntos por un sólido, la expresión del tensor de inercia pasa a obtenerse por una integral, pero las relaciones deducidas posteriormente (y otras que no se tratan aquí) permanecen idénticas.

3.5.3. Tensor de esfuerzos en un punto y otros relacionados

Si aislamos un pequeño tetraedro en el entorno de un punto de un sólido elástico de tal forma que tres de las caras sean paralelas a los planos de referencia y escribimos las ecuaciones de equilibrio entre las componentes de la fuerza ejercida sobre cada cara por el resto del sólido, las tres componentes del vector esfuerzo (fuerza por unidad de área, en el límite) en la cuarta cara dependen linealmente de las nueve componentes en las otras tres, que por razones de equilibrio se reducen a seis distintas.

De esta forma, si llamamos n al vector normal a la cuarta cara, el esfuerzo en ella es un vector σ de expresión

σi = σji nj

donde σji son las componentes mixtas de un tensor simétrico, llamado tensor de

esfuerzos, cuyas otras componentes pueden expresarse como habitualmente por

σij = gip σjp σij = gip σp

j

De una forma similar, planteando condiciones de compatibilidad de deformaciones en un sólido o de velocidades de deformación en un fluido, podemos obtener sendos tensores de deformaciones y de velocidades de deformación, ambos también simétricos.

Las relaciones constitutivas expresan la relación entre esfuerzos y deformaciones en un sólido o entre esfuerzos y velocidades de deformación en un fluido y tienen también carácter tensorial.

En el caso de un sólido elástico, la forma más general de las relaciones constitutivas se expresa por un tensor H que relaciona el de esfuerzos σ y el de deformaciones D, de la forma

Dij = Hijmn σmn


3.6. Producto vectorial en V3

Aunque se puede generalizar el producto vectorial a un espacio de dimensión superior, esto se sale del alcance de estas notas, por lo que nos limitamos a estudiar el producto vectorial usual de V3 expresado en bases cualesquiera.

3.6.1. Comentarios a la definición habitual

En V3, se define habitualmente el producto vectorial de dos vectores a y b, como un tercer vector c = a ∧ b que cumple

• c es ortogonal a a y a b.

• el módulo de c es ||c|| = ||a|| ||b|| sen (a, b)

• el sentido de c es el del avance de un sacacorchos que lleve a a sobre b.

Las dos primeras condiciones no tienen ambigüedad, y establecen la dirección y el módulo del producto vectorial, pero la tercera presupone que conocemos cómo avanza un sacacorchos e introduce un elemento no matemático en la definición.

Se podría decir que el ‘avance de un sacacorchos’ se define de forma que, al llevar el eje X sobre el eje Y (por el camino más corto que haga coincidir los semiejes positivos, por supuesto), el avance se produce en sentido del eje Z. Pero, si tomamos otra referencia (base) en que se hayan intercambiado los ejes X e Y, la anterior definición nos llevaría a que el sacacorchos debería avanzar en sentido contrario al anterior, con lo que el sacacorchos no sería un objeto geométrico, es decir, independiente de la base.

Recíprocamente, si sabemos con certeza cómo avanza un sacacorchos ‘geométrico’, podemos decir que, si aplicado a una base, el avance es en sentido Z cuando se lleva X hacia Y, entonces la base está orientada positivamente o el espacio está positivamente orientado por esta base o la orientación del espacio es directa, y, naturalmente, negativa o inversamente en el caso opuesto.

En definitiva, conocer cómo avanza un sacacorchos es equivalente a fijar cuál de las dos orientaciones posibles del espacio adoptamos como positiva. Sabemos por Álgebra Lineal que un cambio de base conservará la orientación si el determinante de la matriz de cambio es positivo y la cambiará si es negativo.

3.6.2. Expresión tensorial del producto vectorial

Supondremos en lo que sigue que la base está orientada positivamente. En caso contrario, bastará con cambiar el signo de todas las componentes del vector producto vectorial.

El procedimiento que seguiremos es

• definir el producto vectorial por una expresión tensorial, es decir, invariante ante cambios de base


• comprobar directamente en una base sencilla que esta expresión cumple la definición anterior de producto vectorial

• deducir del carácter tensorial que es la expresión que representa el producto vectorial en cualquier base (salvo orientación)

Definimos, pues, el producto vectorial w de los vectores u y v, como

wi = h ijk uj vk = εijk uj vk/ det g (h según el punto anterior)

Veamos que, si tomamos una referencia ortonormal que cumpla

• el primer vector tiene la dirección y sentido de u

• el segundo vector está en el subespacio definido por u y v, y su sentido es tal que v queda en uno de los dos primeros cuadrantes

• el tercer vector está orientado positivamente,

la situación queda tal como indica la figura.

w

En esta referencia, las coordenadas de los vectores, tanto contra como covariantes, serán u(u,0,0) y v(v1,v2,0) y

e1

e3 e2

u f

v


2

1 2

vsen = v v+

φ

por lo que el producto vectorial tendrá la dirección y sentido de la figura y su módulo será

||w|| = ||u|| ||v|| sen φ= u v2

es decir,

w = (0,0,u v2).

Si ahora aplicamos la definición tensorial, teniendo en cuenta que, es esta referencia

det g =1

obtenemos

w1 = ε1jk uj vk = u2 v3 – u3 v2 = 0

w2 = ε2jk uj vk = - u1 v3 + u3 v1 = 0

w3 = ε3jk uj vk = u1 v2 – u2 v1 = u v2

que es el valor antes calculado.

Comentarios

• El carácter tensorial de la expresión usada es el que nos permite asegurar que expresa el mismo vector en cualquier base en la que la apliquemos. Si hubiéramos definido el producto vectorial por la expresión wi = εijk uj vk también habrían coincidido los resultados en la base ortonormal, pero la fórmula no sería aplicable a otra base por no ser εijk, y por tanto w, un tensor.

• La expresión proporcionada sólo es válida en V3; su generalización se sale del ámbito de estas notas. Aunque proporciona las coordenadas contravariantes del producto vectorial en función de las coordenadas covariantes de los factores, es sencillo, con las herramientas de que disponemos, transformarla para relacionar cualquier otro tipo de coordenadas.

• Con la misma impropiedad que se señala en el apartado 2.1 al tratar el tema de las expresiones matriciales, pero con el mismo valor mnemotécnico, suele expresarse impropiamente el producto vectorial como (el signo hace referencia a la orientación)

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1= = u u udet g v v v

⎛ ⎞⎜ ⎟∧ ± ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

e e ew u v


4. Análisis tensorial en En

En este capítulo se van a desarrollar las primeras herramientas del Análisis tensorial. Aunque éste tiene su campo más fructífero en el análisis en variedades, que son la extensión de los conceptos de curva y superficie de E3, parece conveniente, por razones de sencillez, iniciar el estudio por el propio espacio (o una parte n-dimensional de él).

El espacio se va a considerar referido a distintos sistemas de coordenadas. En ingeniería tendrán particular importancia las coordenadas cilíndricas y esféricas en E3, además de las cartesianas bien conocidas.

Por otra parte, se considerarán campos tensoriales en el espacio. Un campo tensorial es una aplicación que permite asignar un tensor a cada punto del espacio, como puede ser el campo de temperaturas o de aceleración de la gravedad en una zona del espacio usual. Aunque por comodidad se use el término tensor, cuando se hable de ‘derivada de un tensor’ se está haciendo referencia a la evolución de un campo tensorial en el entorno de uno de sus puntos.

Aunque la mayor parte de lo que se expone es válido en En, algunos desarrollos y demostraciones se harán en E3 por sencillez, dejándose como ejercicio su extensión, casi siempre meramente formal. En caso de que lo tratado sólo sea válido para E3, como sucedía en el capítulo anterior con el producto vectorial, se señalará explícitamente.

4.1. Coordenadas curvilíneas

4.1.1. Introducción

Como sabemos, una referencia cartesiana rectangular en E3 (O; e1, e2, e3) está compuesta por un origen O y una base B{e1, e2, e3} ortonormal. Esta referencia nos permite asignar biunívocamente a cada punto P de E3 unas coordenadas (x1, x2, x3): las del vector OP . Se llaman ejes coordenados a los conjuntos de puntos (x1, 0, 0), (0, x2, 0), (0, 0, x3) y planos coordenados a los conjuntos (x1, x2, 0), (x1, 0, x3) y (0, x2, x3) de ecuaciones x1 = 0, x2 = 0 y x3 = 0 respectivamente. Si trasladamos el origen a otro punto O’, los ejes y planos coordenados se trasladan paralelamente a sí mismos, sin ninguna ambigüedad. Esto se representa habitualmente dibujando la base, bien en O, bien en O’; hablamos así de la base en O u O’, aunque en este caso se trate de la misma base. Asimismo, cuando hacemos referencia al punto (a, b, c) podemos entenderlo como aquél definido por un vector OP = (a, b, c) o como la intersección de los tres planos x1= a; x2= b; x3= c. Esta segunda forma de verlo nos será útil en lo que sigue.

Existen otros sistemas de coordenadas: si quisiéramos estudiar un problema en el que una variable importante dependiese de la distancia del punto P en que nos encontramos a un punto O fijo del espacio, posiblemente nos interesaría buscar bases en que uno de los vectores tuviera la dirección OP ; en este caso es imposible que los ejes en los diversos puntos sean paralelos. Examinamos a continuación con más generalidad, aunque siempre en E3, el tema del cambio de coordenadas.

Para ilustrar la explicación, consideraremos en paralelo un ejemplo particular: el de las coordenadas cilíndricas


Consideremos la transformación

yi = fi (x1, x2, x3) , i = 1, 2, 3

donde fi son funciones arbitrarias, suficientemente regulares. Sabemos que, si el jacobiano

i

j

y x∂∂

= 1 2 3

1 2 3

(f , f f (x , x x

, ), )

∂∂

es distinto de cero en un punto, la transformación es invertible en un entorno de él y cada terna (x1, x2, x3) de coordenadas cartesianas se corresponde biunívocamente con una terna (y1, y2, y3), que llamaremos de coordenadas curvilíneas correspondientes a la transformación. Supondremos por comodidad que el jacobiano es distinto de cero en todo el espacio, aunque puede restringirse esta exigencia a un abierto del espacio.

En el ejemplo, llamaremos (x, y, z) a (x1, x2, x3) y (r,q,z) a (y1, y2, y3). La

transformación que las relaciona es r= 2 2x y+ ; q= yarctgx

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

; z = z.

(r>0; 0≤ q<2p). Compruébese que el jacobiano es distinto de cero para

(x, y, z) ≠ (0, 0, 0)

(Evidentemente, las coordenadas cartesianas son un caso particular de coordenadas curvilíneas: aquéllas en que las funciones fi son lineales)

A un sistema de coordenadas curvilíneas puede extenderse el concepto de eje y plano coordenado, analizando el significado geométrico de la transformación anterior. Así

f1 (x1, x2, x3) = cte

es la ecuación de la superficie y1 = cte y, cuando la constante varía, tenemos una familia de superficies; análogamente y2= cte e y3= cte son las ecuaciones de otras dos familias de superficies. Análogamente a como ocurría en coordenadas cartesianas, decir que un punto tiene las coordenadas (y1, y2, y3) equivale a decir que queda determinado por ser la intersección de tres superficies de las familias anteriores, de la misma forma que en coordenadas cartesianas quedaba determinado por ser intersección de tres planos paralelos a los coordenados. La condición de que el jacobiano sea no nulo nos asegura la unicidad.

La superficie r=cte es un cilindro circular de radio r y eje Oz. La superficie q= cte es un semiplano de haz que tiene Oz como arista. La superficie z = cte es un plano paralelo al Oxy.

De la misma forma, la intersección de cada dos de las tres superficies anteriores que pasan por un punto da lugar a tres curvas que pasan por él. Si consideramos la intersección de las superficies y2=cte e y3=cte, observamos que en ella sólo varía la coordenada y1; análogamente ocurre con las otras dos intersecciones en que sólo varían y2 e y3 respectivamente, como ocurría en los ejes coordenados, lo que justifica el


nombre de curvas coordenadas que se da a dichas curvas y el de ‘coordenadas curvilíneas’ que hemos utilizado.

En nuestro ejemplo las líneas coordenadas son rectas paralelas a Oz, circunferencias situadas en planos paralelos a Oxy y centro en el eje Oz, y semirrectas situadas en planos paralelos a Oxy que cortan al eje Oz. El propio eje Oz está excluido de la representación.

Si consideramos la transformación φ, inversa de la f antes considerada, que está bien definida por ser no nulo el jacobiano, obtenemos las coordenadas cartesianas de cada punto en función de las coordenadas curvilíneas por

xi = φ i(y1, y2, y3)

que será el camino para la posterior definición general.

La transformación inversa sería x = r cosq; y = rsenq; z= z.

La base asociada a las coordenadas curvilíneas en cada punto viene determinada por el vector tangente a las curvas coordenadas en él, como mejor aproximación lineal. En el punto siguiente se trata esto de una forma más precisa.

4.1.2. Definición

Designamos por (u1, u2,…, un) los elementos de Rn.

Sea D ⊂ Rn un abierto y x: D Rn una aplicación de clase Ck (k≥ 1) con jacobiano no

nulo en D. Entonces:

• El par (x, D) define un sistema de coordenadas curvilíneas en x(D), regular de clase Ck, que asigna a cada punto O + x(u1, u2, …, un) de En las coordenadas curvilíneas (u1, u2, …, un).

• Los vectores ei = xiu

∂∂

forman en cada punto una base del espacio que se conoce

como base asociada al sistema de coordenadas curvilíneas (u1, u2,…, un).

• Con la base anterior el espacio es euclídeo y la métrica queda definida en cada punto por gij = ei.ej. Análogamente a lo visto en el capítulo 2, se define gij.

Comentarios

• Esta definición de coordenadas curvilíneas, extensión al espacio de la empleada para la definición de curvas y superficies, es esencialmente la misma de la ‘Introducción’ anterior, generalizada a la dimensión n del espacio y con consideración expresa de la regularidad de la representación. En aquélla se hacía uso de una transformación en el espacio euclídeo provisto de una referencia cartesiana y en ésta se parte de un espacio vectorial auxiliar para definir las coordenadas curvilíneas en el espacio euclídeo. Pero si se identifica Rn con En


mediante un punto arbitrario O, bastará identificar las yi del anterior apartado con las ui de éste y considerar que la función vectorial x está formada por (φ i,…, φ n) para completar la semejanza.

• En cualquiera de las formas se expresan las coordenadas de un punto del espacio como función de una n-upla de números reales (variables independientes o parámetros), lo que da lugar a las denominaciones de coordenadas paramétricas y líneas paramétricas con que se designan también las coordenadas curvilíneas y las curvas coordenadas.

• Los vectores ei, en número de n, son ciertamente independientes y en consecuencia forman una base, porque sus componentes son las columnas (o filas, con otro convenio) de la matriz jacobiana, que es regular por hipótesis.

• En la definición de la base, puede observarse que el subíndice del primer miembro es superíndice del ‘denominador’ del segundo miembro. Dado que en todas las expresiones que hemos utilizado se comporta como un subíndice, convenimos que los superíndices de las variables independientes de la derivación parcial sean considerados subíndices a efectos del convenio de Einstein.

• El concepto ‘coordenadas curvilíneas’ incluye las coordenadas cartesianas, que se obtienen cuando las funciones componentes de x son lineales.

4.1.3. Cambio de coordenadas curvilíneas Si disponemos en En de unas coordenadas curvilíneas definidas por el par (x, D) y consideramos una aplicación Φ:D Φ(D) de clase Ck que define unas variables

u’i = u’i (u1, u2,..., un)

(donde, por comodidad de notación, hemos designado las componentes de Φ por el mismo nombre que las variables dependientes) de forma que el jacobiano sea distinto de cero en D, esto nos permite definir u’i como nuevas coordenadas curvilíneas y de forma que

x (u1, u2,..., un) = y(u’1, u’2,..., u’n) Φ (u1, u2,..., un)

Si llamamos e’i ='iu

∂∂

y a los vectores de la base asociados al nuevo sistema de

coordenadas según la definición del punto anterior, por derivación en la última ecuación obtenemos la relación

ei = iu∂∂

x = ju'∂∂

y j

i

u'u

∂∂

= e’j j

i

u'u

∂∂

Si comparamos la anterior expresión con la similar obtenida en 2.1 vemos que, según la notación allí usada

j

i

u'u

∂∂

= aji


Por lo que, para un vector v, las coordenadas vi y v’i en dos bases, se relacionan por

v’j = aji vi =

j

i

u'u

∂∂

vi

Comentarios

• Obsérvese que, tanto en la ecuación última de cambio de coordenadas como en la anterior de cambio de base, los índices quedan dispuestos de la única forma posible en que los índices mudos corresponden a variables del mismo sistema de coordenadas curvilíneas y los índices libres también.

• Compruébese como ejercicio, teniendo en cuenta que y = x Φ-1, que

e’i = ej j

i

uu'∂∂

vj = j

i

uu'∂∂

v’i

• Las anteriores consideraciones proporcionan una potente regla mnemotécnica (‘cada oveja con su pareja’) que hace innecesario recurrir a las matrices ai

j y αij

que nos definían el cambio de base. Compruébese como ejercicio que la misma regla se cumple en coordenadas covariantes, es decir

v’i = j

i

uu'∂∂

vj vi = j

i

u'u

∂∂

vj

• Conviene no olvidar que las anteriores relaciones son lineales en cada punto, pero distintas de un punto a otro, salvo que las funciones Φ sean lineales y, por tanto, sus derivadas parciales constantes.

4.1.4. Curvas

Las curvas de En son aplicaciones continuas p: I En, donde I es un intervalo. Si disponemos de un sistema de coordenadas curvilíneas (x, D), las curvas se obtienen habitualmente por la aplicación compuesta

p = x φ

donde φ: I D suele representarse como ui = ui(t). Si las funciones ui son de clase Ck (k≥ 1) y el vector T, tangente a la curva asociado al parámetro t,

T = iu∂∂

x idudt

= ei idu

dt

es distinto de cero en todo punto, se dice que la parametrización es regular de clase Ck. La curva es regular de clase Ck si admite una parametrización regular de clase Ck.


4.2. Campos tensoriales

Como ya se ha indicado, un campo tensorial es una aplicación que permite asignar un tensor a cada punto del espacio. Se dirá que un campo tensorial es de clase Ck (k≥ 1) si sus componentes de algún tipo en algún sistema de coordenadas curvilíneas son funciones de clase Ck de las coordenadas curvilíneas.

Un campo tensorial de cuarto orden en un espacio tridimensional se representará, utilizando por ejemplo sus componentes 1-covariante 3-contravariantes, como

Tijkl (u1, u2, u3) o bien simplemente Ti

jkl si no hay riesgo de confusión

Dado que en cada punto se trata de un tensor, son aplicables las relaciones analizadas en 3.1.3. para las distintas bases y tipos de componentes. En el caso de un cambio de coordenadas curvilíneas ui a u’i, teniendo en cuenta lo visto en el apartado anterior respecto a las matrices de cambio de coordenadas curvilíneas, podemos escribir las relaciones en la forma

T’ìjkl =

m

i

uu'

∂∂

j

n

u'u∂∂

k

p

u'u∂∂

l

q

u'u∂∂

Tmnpq

Tìjkl =

m

i

u'u'

∂∂

j

n

uu'∂∂

k

'p

uu∂∂

l

q

uu'∂∂

T’mnpq

Comentarios

• Puede observarse que, como se señaló anteriormente, la notación proporciona de forma unívoca la forma adecuada de la ecuación al tener que ser los índices mudos del mismo sistema de coordenadas (sin ‘primas’ en la primera expresión y con ellas en la segunda) y también los índices libres (con ‘primas’ en la primera expresión y sin ellas en la segunda)

• Lo dicho anteriormente es aplicable en particular al tensor métrico que define siempre un campo tensorial.

4.3. Derivación de campos tensoriales

Se estudia en este apartado cómo evoluciona un campo tensorial en el entorno de un punto. Para ello hay que tener en cuenta que, en el caso general de coordenadas curvilíneas propiamente dichas (no cartesianas), la base varía continuamente de un punto a otro por lo que las componentes del tensor están referidas a distintas bases en puntos distintos y hemos de tener en cuanta esta variación.

Esto no ocurre en campos escalares que son invariantes frente a la base por lo que los estudiaremos en primer lugar. Veremos en detalle los campos vectoriales y extenderemos las conclusiones a los tensores de cualquier orden.


4.3.1. Derivada de un campo escalar

Un campo escalar en En es una aplicación f: En R, cuyos valores designaremos como

f(u1, u2,…, un) en función de las coordenadas curvilíneas o simplemente como f, si no hay riesgo de confusión.

Se llama derivada covariante o gradiente de f al campo vectorial (tensorial) de coordenadas covariantes en cada sistema de coordenadas curvilíneas

i i

ff=u∂

∂∂

Se trata efectivamente de las coordenadas covariantes de un campo tensorial porque, al cambiar de parametrización, lo hace según el primer criterio de tensorialidad

j j

i ji j i

f f u u' f = fu' u u' u'∂ ∂ ∂ ∂

∂ = = ∂∂ ∂ ∂ ∂ i

Si hallamos la derivada del campo escalar según una curva definida por la parametrización ui = ui(t), obtenemos

i i

ii

df f du duf dt u dt dt

∂= = ∂∂

que es la derivada usual de f a lo largo de la curva (y de cualquier otra curva que tenga en el punto la misma tangente). En particular, las componentes covariantes del tensor gradiente son las derivadas de f según las líneas paramétricas.

Comentarios

• La expresión anterior es el producto contracto del tensor gradiente por el vector tangente a la curva (v. 4.1.4). El tensor gradiente contiene la información de las variaciones de primer orden en torno del punto y las ‘proyecta’ de esta forma en las diversas direcciones, análogamente a como ocurre con el tensor de esfuerzos o el de deformaciones.

• El nombre derivada covariante que se da al tensor gradiente no significa que no tenga componentes mixtas y contravariantes como los demás tensores. Se calculan de la misma forma que en cualquier tensor.

4.3.2. Derivada de un campo vectorial

Derivada covariante

Un campo vectorial en En es una aplicación f: En Rn cuyas componentes designaremos

como v{v1(u1, u2,…, un),v2(u1, u2,…, un),…,vn(u1, u2,…, un)} en función de las coordenadas curvilíneas o simplemente como {v1,v2,…,vn} o v, si no hay riesgo de confusión.


En un campo vectorial no tiene, en general, sentido derivar las coordenadas del vector, dado que, salvo que se trate de una referencia cartesiana, estas coordenadas están referidas a bases que varían en el espacio. Puede comprobarse como ejercicio que

v∂ ∂i/ uj no tiene carácter tensorial por lo que no representa una entidad geométrica.

Para ver cómo evoluciona el campo vectorial en el sentido de las líneas paramétricas, derivamos v=viei en el sentido de una de ellas, uj, con lo que se obtiene

i

i iij j

v vu u u

∂∂ ∂= +

∂ ∂ ∂ev e j

∂ ∂

En el segundo miembro de la expresión anterior, el primer sumando está expresado en la base en la que estamos trabajando (la generada por la parametrización empleada), pero no así el segundo sumando, por lo que, para poderlo manejar, es necesario expresar el vector ei/ uj en la base B(e1, e2,…, en) (se trata de un proceso similar al de las fórmulas de Frenet en curvas). Este vector, que depende de dos índices, deberá poder expresarse en función de la base por sus n coordenadas, por lo que necesitaremos símbolos, que llamaremos Γ, de tres índices (el vector de la base que se deriva, la coordenada respecto a la que se deriva y el vector de la base del que es coeficiente) que permitan escribir

kiij kju

∂= Γ

∂e e

y por tanto, sustituyendo en la expresión anterior de la derivada de un vector, y corrigiendo el nombre del superíndice del primer miembro para que sume con ek que sacamos factor común, tenemos

k

i kij kj j

v vu u

⎛ ⎞∂ ∂= + Γ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

v e

Los símbolos introducidos se conocen como símbolos de Christoffel de segunda especie (que no son tensores como veremos, pero a los que se aplica el convenio de Einstein y que calcularemos posteriormente) y la expresión entre paréntesis es el gradiente o derivada covariante del campo vectorial, que se escribe

k

k ij ij

vv vu∂

∂ = + Γ∂

kj

donde de nuevo los índices están colocados de la única forma posible. Los símbolos de Christoffel de segunda especie son simétricos en los subíndices, ya que

2i j ji

j j i j i iu u

u u u u u u

x xee x

∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂= = = =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

La derivada del campo vectorial v a lo largo de una curva definida por ui=ui(t) es, según la regla de la cadena, el campo vectorial


i i

ki ki

d du vdt u dt dt

∂= = ∂∂

v v e du

cuyas componentes contravariantes son los coeficientes de los vectores de la base, o sea

k i

ki

d dvdt dt

⎛ ⎞ = ∂⎜ ⎟⎝ ⎠

v u

La derivada cumple las propiedades, de fácil demostración que se omite,

d( + ) d ddt dt dt

= +v w v w ; d(f ) df

dt dt=

v v ; d( . ) d d. + .dt dt dt

=v w v ww v

Veamos que la derivada covariante es un tensor. Si multiplicamos escalarmente dv/dt por un campo vectorial cualquiera w, obtenemos

ddtv . w =

ik

iduvdt

∂ wk = λ

En la anterior expresión, λ es en cada punto un tensor (escalar), dui/dt las coordenadas contravariantes de un tensor (vector) y wk las componentes covariantes de un tensor (vector) cualquiera, por lo que la aplicación del criterio general de tensorialidad enunciado en el punto 3.4 nos asegura el carácter tensorial de la derivada covariante. Este tensor se conoce como tensor gradiente, tensor derivada covariante o tensor jacobiano.

Cálculo y propiedades de los símbolos de Christoffel.

Los símbolos de Christoffel de segunda especie, como hemos visto, son las coordenadas, en la base asociada al sistema de coordenadas curvilíneas, de las derivadas de los vectores de esta base respecto de las coordenadas curvilíneas.

Para calcularlos consideramos

ij i j j m n m nij i ik m j i jk n ik mj jk in ik,j jk,ik k k k

g (e .e ) ee .e e . e . e e . e g gu u u u∂ ∂ ∂∂

= = + = Γ + Γ = Γ +Γ = Γ +∂ ∂ ∂ ∂

Γ

expresión que introduce los símbolos de Christoffel de primera especie

= ij,kΓ pijΓ gpk

que, aunque tampoco son tensores, están definidos de tal forma que se cumple la regla de ‘bajada de índices’ propia de la notación usada. Para hallar la transformación inversa, basta multiplicar por la inversa de g

gij,kΓ kq = pijΓ gpk gkq = p

ijΓ δqp= qijΓ

que muestra que se pasa ‘subiendo’ el tercer índice de la forma usual.


Los símbolos de Christoffel de primera especie son simétricos en i y j, puesto que lo son gij y los de segunda especie.

Si escribimos la primera ecuación de este apartado y las resultantes de permutar sus índices, obtenemos

ijik,j jk,ik

gu∂

= Γ +Γ∂

ikij,k jk,ij

gu

∂= Γ +Γ

∂ jk

ij,k ik,ji

gu

∂= Γ +Γ

∂

Sumando las dos últimas y restando la primera (o con cualquier otra permutación), podemos despejar el símbolo de primer orden

=ij,kΓ jk ijikj i

g gg12 u u u

∂ ∂⎛ ⎞∂+ −⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

k

y, ‘subiendo’ el índice, como se ha visto, obtenemos el de segundo orden

= gqijΓ ij,kΓ kq

Los símbolos de Christoffel no son tensores, porque, si lo fuera el de segundo orden, en la expresión de la derivada covariante nos encontraríamos con que ésta es un tensor y el segundo sumando también lo sería por ser producto contracto de dos tensores, lo que nos llevaría a que la derivada ∂ vi/∂ uj es también un tensor, lo que sabemos que no es cierto en general. (Lo es cuando las coordenadas son cartesianas y entonces los símbolos de Christoffel son nulos). Por un razonamiento análogo, a la vista de su definición, el símbolo de primer orden no puede ser un tensor si no lo es el de segundo orden.

Componentes covariantes del tensor gradiente

Las componentes covariantes del tensor gradiente, que designaremos por ∂ jvi pueden obtenerse a partir de las contravariantes como habitualmente

∂ jvi = gik∂ jvk = gik k

j

vu∂∂

+ gikm k

mjv Γ

teniendo en cuenta que

( )k k

ik kikikj j

g v g vv +gu u

∂ ∂ ∂=

∂ ∂ ∂ ju

y sustituyendo en la expresión anterior el segundo sumando

∂ jvi = ( )k

ik k mikik mjj j

g v g v g vu u

∂ ∂− +

∂ ∂kΓ

en la que sustituimos las derivadas calculadas en el apartado anterior


∂ jvi = ( )p q k m kiij pk jk qi ik mjj

v g g v g vu∂

− Γ +Γ + Γ∂

= p kiij pkj

v g vu∂

−Γ∂

= piij pj

v vu∂

−Γ∂

(obsérvese que los índices m, k y q son mudos y no importa el nombre que tengan)

4.3.3. Derivada de un campo tensorial de orden superior

La derivación de un campo tensorial es una extensión de estudiado para un campo vectorial, en el que se ha visto que la derivada covariante se aplicaba a las coordenadas contra o covariantes dando como resultados las coordenadas contra o covariantes del tensor gradiente por las expresiones que se han deducido.

La derivada covariante de un campo tensorial, que aquí no deduciremos, se comporta como la derivada de un campo vectorial para cada una de las componentes del campo, según su tipo. Por ejemplo

∂ p Tijk =

jkip

Tu

∂∂

+ Timk j

pmΓ + Tijm k

pmΓ - Tmjk m

piΓ

(Se ha usado la letra m como nuevo subíndice mudo en todos los sumandos para dejar más claro su papel, pero no es necesario hacerlo así)

Teorema de Ricci

La derivada covariante del tensor métrico es nula. Aplicando la definición anterior,

∂ k gij = ijk

gu∂

∂- gim - gm

kjΓ mj mkiΓ = ik,j jk,iΓ +Γ - kj,iΓ - ki,jΓ = 0

4.4. Algunos operadores diferenciales

Citamos aquí algunos operadores sobre campos escalares y vectoriales de uso frecuente en aplicaciones de ingeniería.

4.4.1. Gradiente de campos escalares y vectoriales

Ya nos hemos referido anteriormente al gradiente, identificándolo con la derivada covariante. Se designa por el símbolo (nabla).

Las componentes covariantes del gradiente de un campo escalar f son, pues

( f)i = i i

ff =u∂

∂∂

Las componentes contravariantes se calculan como habitualmente

( f)j = gji ( f)i

Las componentes mixtas del gradiente de un campo vectorial v son


( v)ji =

ii k

j jj

vv vu∂

∂ = + Γ∂

ik

y las componentes covariantes del mismo

( v)ji = kij i k ijj

vv -vu∂

∂ = Γ∂

4.4.2. Divergencia de un campo vectorial

La divergencia de un campo vectorial es el campo escalar que se obtiene al contraer índices en el tensor gradiente del campo. Se designa como .v (Operador .)

.v = i

i ki ii

vv + vu∂

∂ = Γ∂

ik

Para calcularlo, hemos de calcular previamente el símbolo de Christoffel de segundo orden con dos índices iguales que aparece en la expresión. Para ello derivamos el determinante de g siguiendo lo indicado en 2.2. y utilizando la notación y propiedades allí vistos (lo hacemos en dimensión 3, la generalización es formal)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ijk

=1i 2j 3k 2j1i 3kijk ijk ijk2j 3k 1i 3k 1i 2jm m m m m

ε g g g gdet g g gε g g ε g g ε g g

u u u u u∂ ∂∂ ∂ ∂

= = + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2j1i 3k rs1i 2j 3k rs rsrm,s sm,rm m m m

gg g gG G G G det g

u u u u∂∂ ∂ ∂

g+ + = = Γ +Γ∂ ∂ ∂ ∂

=

i

( )( ) ( )r srm sm imdet g 2 det g= Γ +Γ = Γ

Sustituimos este resultado en la expresión de la divergencia

.v = ( )( )

iii i

det gv 1+ vu u 2 de

∂∂∂ ∂ t g

y tenemos en cuenta que, derivando obtenemos que

( ) ( )i i

ii i

det g v det gv 1det g vu u 2 det g

∂ ∂∂= +

∂ ∂ iu∂

por lo que, sustiyendo

.v = 1det g

( )i

i

det g v

u

∂

∂


4.4.3. Laplaciano

El laplaciano es una doble derivación seguida de la contracción de los índices de estas derivaciones. Se designa con el símbolo ∆ (delta)

El laplaciano de un campo escalar es por tanto el campo escalar

∆f = gij ∂i(∂jf) = ∂i(gij∂jf) (por el teorema de Ricci)

La segunda expresión se puede interpretar como la divergencia del gradiente (el paréntesis es la componente contravariante del gradiente) y en consecuencia escribirla, según lo visto en el apartado anterior, como

∆f = 1det g

ijj

i

fdet g gu

u

∂⎛ ⎞∂ ⎜ ⎟∂⎝ ⎠∂

El laplaciano de un campo vectorial es el campo vectorial de componentes contra y covariantes

(∆v)i = gjk (∂j∂k vi) (∆v)i = gjk (∂j∂k vi)

donde, por el teorema de Ricci, gij puede colocarse en cualquier lugar.

4.4.4. Rótor de un campo vectorial en E3.

El concepto de tensor rótor de un campo vectorial puede definirse en un espacio de cualquier dimensión, pero se sale del alcance de estas notas, por lo que nos vamos a limitar al vector rótor en el espacio tridimensional usual donde tienen lugar las aplicaciones que nos interesan. Lo que sigue no es aplicable a espacios de dimensión distinta a tres, lo mismo que sucedía en el producto vectorial con el que guarda gran similitud formal.

Se define el vector rótor de un campo vectorial tridimensional, y se designa por ∆∧v el campo determinado por

∆∧v = h ijk kj

vu∂∂

= 1det g

εijk kj

vu∂∂

que, de forma análoga a como se hizo con el producto vectorial, suele expresarse de forma impropia, pero fácil de recordar, como

(∆∧v)i

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1= u u udet gv v v

⎛ ⎞⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎜ ⎟±⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎜ ⎟⎝ ⎠

e e e

El signo tiene el mismo sentido que allí respecto a la orientación del espacio.


4.4.5. Expresiones en bases ortonormales particulares

Todas las expresiones que hemos utilizado en este capítulo, y en particular las referentes a los operadores diferenciales, se han calculado en bases asociadas a sistemas de coordenadas curvilíneas tal como se definen en 4.1.2. Estos sistemas dependen de la parametrización elegida y en general dan lugar a bases que no son ortonormales o ni siquiera ortogonales. Aunque los tensores son independientes de la base elegida, sus componentes y las expresiones que permiten calcularlas no lo son.

Es bien sabido el interés que tiene por muchas razones usar bases ortogonales y ortonormales y en consecuencia conocer la expresiones que adoptan en ellas los tensores y operadores que se van a manejar. En el capítulo anterior se estudiaron los cambios de base que permiten pasar de una base a otra las componentes de los tensores. Hay que recordar que las expresiones diferenciales que proporcionan dichas componentes sólo son válidas en las referencia en las que se han obtenido.

Existen situaciones particulares, pero de muy amplio uso, en los que la parametrización habitual da lugar a bases ortogonales, aunque no ortonormales. Son los casos de las coordenadas polares en el plano y los de las coordenadas cilíndricas y esféricas en el espacio. En ellos, es fácil aplicar a las expresiones diferenciales la afinidad correspondiente que normalice la base.

Por su interés en las aplicaciones físicas transcribimos a continuación con la notación habitual las expresiones diferenciales que se obtienen, dejando su cálculo como ejercicio para el lector.

Los vectores unitarios de la base ortonormal los designamos por ui=ei/|ei|, siendo {ei} la base asociada a la parametrización usual.

Coordenadas polares en el plano. Campo escalar f, campo vectorial v= Uur +VuJ

rf 1 ff=r r ϑϑ∂ ∂

∇ +∂ ∂

u u

2

2 2

1 f 1f= rr r r r

fϑ

∂ ∂ ∂⎛ ⎞∆ +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

( ) ( )( ) ( )

rr r

r

U Vr r=

1 U 1 VV +r r

ϑ

ϑ ϑϑ

ϑ ϑ

∂ ∂⎛ ⎞⎜ ⎟∇ ∇⎛ ⎞ ∂ ∂⎜ ⎟∇ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂∇ ∇ ⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟⎝ ⎠ −⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠

v vv

v v U ⎞⎟⎠

( )rU1 1. =r r r

Vϑ

∂ ∂∇ +

∂ ∂v

r2 2 2 2

1 2 V 1 2 U= U- U- V- V+r r r r ϑϑ ϑ

∂ ∂⎛ ⎞ ⎛∆ ∆ + ∆⎜ ⎟ ⎜∂ ∂⎝ ⎠ ⎝v u ⎞

⎟⎠u


Coordenadas cilíndricas en el espacio.

Campo escalar f, campo vectorial v= Uur +VuJ+Wuz

r zf 1 f ff=r r zϑϑ∂ ∂ ∂

∇ + +∂ ∂ ∂

u u u

2 2

2 2

1 f 1 ff= rr r r r zϑ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞∆ +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ 2

f+

( )rr

Ur

∂∇ =

∂v ( )r

Vrϑ

∂∇ =

∂v ( )rz

Wr

∂∇ =

∂v

( ) r

1 U Vrϑ ϑ

∂⎛ ⎞∇ = −⎜ ⎟∂⎝ ⎠v ( ) 1 V U

rϑϑ ϑ∂⎛ ⎞∇ = +⎜ ⎟∂⎝ ⎠

v ( ) z

1 Wrϑ ϑ∂

∇ =∂

v

( )zr

Uz

∂∇ =

∂v ( )z

Vzϑ

∂∇ =

∂v ( )zz

Wz

∂∇ =

∂v

( )rU1 1 V. =r r r zϑ∂ ∂ ∂

∇ +∂ ∂

v W+∂

r z2 2 2 2

1 2 V 1 2 U= U- U- V- V+ W r r r r ϑϑ ϑ

∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∆ ∆ + ∆ + ∆⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠v u u u

r zr1= detr r

U rV W

ϑ

ϑ z

⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥∇ ∧∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

u u u

v


Coordenadas esféricas en el espacio

Campo escalar f, campo vectorial v= Uur +VuJ+Wuf

rf 1 f 1 ff=r r r senϑ ϕϑ ϑ ϕ∂ ∂ ∂

∇ + +∂ ∂ ∂

u u u

2 2

22 2 2 2 2

1 f 1 f 1f= r senr r r r sen r sen

ϑ 2

fϑ ϑ ϑ ϑ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞∆ + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ϕ

( )rr

Ur

∂∇ =

∂v ( )r

Vrϑ

∂∇ =

∂v ( )r

Wrϕ

∂∇ =

∂v

( ) r

1 U Vrϑ ϑ

∂⎛ ⎞∇ = −⎜ ⎟∂⎝ ⎠v ( ) 1 V U

rϑϑ ϑ∂⎛ ⎞∇ = +⎜ ⎟∂⎝ ⎠

v ( ) 1 Wrϑϕ ϑ∂

∇ =∂

v

( ) r

1 U 1 Wr sen rϕ ϑ ϕ

∂∇ = −

∂v ( ) 1 V 1 W

r sen r tgϕϑ ϑ ϕ ϑ∂

∇ = −∂

v

( ) 1 W 1 1U+ Vr sen r r tgϕϕ ϑ ϕ ϑ

∇ = +∂

v ∂

( ) ( )2

2

r U sen V1 1 1. =r r r sen r sen

ϑ Wϑ ϑ ϑ

∂ ∂ϕ

∂∇ + +

∂ ∂v

∂

( )r2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

Vsen2 2= U- U-r r sen

2 U 1 2cos WV+ - V-r r sen r sen

2 U 2cos V 1W+ W r sen r sen r sen

ϑ

ϕ

ϑϑ ϑ

ϑϑ ϑ ϑ ϕ

ϑϑ ϕ ϑ ϕ ϑ

∂⎛ ⎞∆ ∆⎜ ⎟∂⎝ ⎠⎛ ⎞∂ ∂

+ ∆⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎛ ⎞∂ ∂

+ ∆ + −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

v u

u

u

r

2

r r sen 1= det

r sen rU rV r sen W

ϑ ϕϑ

ϑ ϑ ϕϑ

⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥∇ ∧⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦

u u u

v

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