En primer lugar, para introducirnos en esta geometría es necesario definir el concepto de recta:Una recta que pasa por dos puntos A y B de una esfera de centro O es, por definición, un círculo máximo determinado por A y B, esto es, la curva que se obtiene como intersección de la esfera con el plano generado por los vectores

y .Se puede observar a la vez que dos rectas distintas siempre se cortan en exactamente dos puntos diametralmente opuestos por donde pasan una infinidad de rectas

En esta figura se puede observar dos circunferencias máximas a y b, y una circunferencia menor c, dado que esta última no posee como centro al centro de la esfera.

Respecto de la distancia entre dos puntos A y B en una esfera, se define como la longitud de la porción más chica de un círculo máximo que pasa por A y B, entonces donde R es igual al radio y es el ángulo entre ambos vectores medido en radianes.

Siempre que A y B sean diametralmente opuestos la distancia entre ambos puntos será la mitad del perímetro del círculo máximo, es decir de radio R.

Para poder calcular las distancias entre dos puntos cualesquiera de la Tierra necesitaríamos ubicarlos con precisión utilizando algún método. Trabajando en el plano es más sencillo ya que estamos familiarizados con el mismo, para ubicar coordenadas simplemente utilizamos los ejes perpendiculares X e Y. Para la esfera es similar, teniendo en el caso del planeta Tierra dos rectas, el Ecuador y el Meridiano de Greenwich, que acarrean consigo los conceptos de latitud y longitud de un punto.

Para ubicar un punto en la tierra con su latitud y su longitud será necesario ubicarlo con respecto al Ecuador y al Meridiano de Greenwich (siendo este último el segmento que une los polos y que pasa por el observatorio de Greenwich de Inglaterra). Este meridiano separa el este del oeste, y su simétrico respecto del centro de la Tierra, es decir, el segmento que une los polos y pasa por el punto opuesto a Greenwich con respecto al centro de la tierra, es la línea internacional de cambio de fecha, que se encuentra a los 180° de latitud. La elección de este meridiano como punto de referencia para medir la longitud es arbitraria, de hecho hasta 1884 el meridiano utilizado como referencia pasaba por París.

Triángulos y trigonometría sobre la esfera.

Dentro de la geometría esférica se define al triángulo esférico de vértices A, B y C de la misma manera que se define un triángulo ABC en el plano:

Consideramos tres puntos A, B, C distintos sobre una esfera y se trazan las rectas (AB), (AC) y (BC), esto es, los tres círculos máximos que pasan por cada par de vértices. Así se obtienen en total ocho triángulos posibles, de los cuales se toma en particular aquel en el que los ángulos

, , .

Luego también, para todo triángulo ABC tiene validez la siguiente desigualdad triangular y .

La suma de los ángulos de un triángulo plano es igual a cualquiera sea el triángulo y el área está determinada por sus ángulos y uno de sus lados, con lo cual, dilatando un triángulo del plano podemos obtener triángulos con los mismos ángulos que el triángulo de inicio pero con áreas mucho mayores o menores. La situación es diferente en el caso de los triángulos esféricos, donde la suma de los ángulos es un número entre y , y su hora depende únicamente de esta suma.Teorema de Girad: El área del triángulo esférico ABC sobre una esfera de radio R es . Reescribiendo la fórmula,

Así puede observarse que el área del triángulo ABC es un número positivo e inferior al área de una semiesfera ( ), comprobando así que la suma de los ángulos de un triángulo esférico es evidentemente un número entre y .

En la geometría esférica se cumplen los primeros cuatro postulados de la geometría Euclidea, aunque el quinto postulado no. Este postulado euclideo afirma que “si dos líneas cruzan una tercera de tal manera que la suma de los ángulos interiores en un lado es menor de dos ángulos rectos, entonces las dos líneas deben cruzarse una a la otra de ese lado, prolongadas lo suficiente.”, dicho de otra manera, “dada una recta y un punto exterior a ella, por dicho punto pasa una única recta paralela a la dada”. Es a partir de este postulado que surgen las demás geometrías no euclideas, entre ellas la esférica, en donde no existen rectas paralelas (circunferencias máximas), dado que se cortan siempre en dos puntos diametralmente opuestos.

Mapas de la tierra o como volver llana una esfera

Un mapa que preserve las distancias no existe porque la Tierra es curva y el mapa es llano. Luego, lo mejor que se puede hacer es diseñar mapas preservando algunas propiedades con la medida de los ángulos o preservando las áreas, o que no deforme demasiado algunas zonas.Matemáticamente, un mapa o proyección es una aplicación P de la esfera de radio R en el plano R2, que a un punto de coordenadas esféricas le asocia un punto (x,y) de R2 donde x, y son funciones de y , con x=x e y=y .

TeoremasLa proyección P conserva las áreas si y sólo si para

todo

La proyección P conserva los ángulos si y sólo si C=0 y existe una función D >0 continua tal que: A=R2D, B=R2cos2 .D para todo

Proyección estereográfica

Sea un punto P, que llamaremos centro de proyección, en la superficie de una esfera y sea un plano, que llamaremos plano de proyección, paralelo al plano tangente de la esfera en P; la proyección estereográfica hace corresponder a cada punto de la esfera, distinto de P, del punto A que es intersección de la recta P con el plano. Recíprocamente, a cada punto A del plano le corresponde un punto , distinto de P, que es la intersección de la esfera con la recta PA.Es usada en el Planisferio de Ptolomeo para proyectar en el plano la esfera celeste y en ella está basado el astrolabio.La proyección estereográfica tiene las siguientes propiedades:

Las circunferencias sobre la superficie de la esfera que pasan por el centro de la proyección se proyectan sobre rectas en el plano de proyección y viceversa.

Las circunferencias sobre la superficie de la esfera que no pasan por el centro de la proyección se proyectan obre circunferencias en el plano de proyección y viceversa.

Es conforme, lo que quiere decir que si dos curvas sobre la superficie de la esfera se cortan en un determinado ángulo, sus proyecciones se cortan en el mismo ángulo.

El funcionamiento del astrolabio se basa en la segunda propiedad, que era seguramente conocida por Apolonio aunque la demostración más antigua que se conserva esté en el Tratado obre el Astrolabio de Al-Farghani (Alfraganus), hacia el 856 d.C. La tercera propiedad no era aparentemente conocida en la antigüedad, y la primera demostración publicada (en 1697) se le debe a Halley.Como afirma la tercera propiedad, la proyección estereográfica conserva los ángulos, lo cual puede comprobarse con los meridianos y paralelos, ya que un paralelo cualquiera y un meridiano cualquiera son ortogonales y sus imágenes respectivas son un círculo y una recta que es su diámetro, y por lo tanto, se cortan también ortogonalmente.

Proyección cilíndrica

La superficie de la esfera se proyecta sobre la superficie desarrollable de un cilindro tangente a la esfera. Es una proyección conforme, porque conserva las formas y las áreas.

Proyección Mercator

Fue ideada por Gerardus Mercator en 1569 y posee como característica más importante el hecho de que esta proyección consiste en un sistema de meridianos y paralelos que se transforma en un sistema de coordenadas del tipo cartesiano, líneas rectas que se cortan perpendicularmente.

Los meridianos son líneas rectas paralelas entre sí dispuestas verticalmente a la misma distancia uno de otros y los paralelo rectas paralelas entre sí dispuestas horizontalmente, pero cuyas distancias aumentan al acercarse a los polos. Este es el motivo por el cual no suele emplearse esta proyección para mapas de latitudes extremas.La proyección Mercator es un tipo de proyección cilíndrica que conserva los ángulos, mantiene paralelos el eje terrestre y el del cilindro, permite representar toda la superficie terrestre y la deformación es mínima en la región ecuatorial.Esta proyección conserva los ángulos por construcción pero no las áreas. Sólo cerca del Ecuador se conservan ambas de manera aproximada.