Geometría Medieval

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Geometría Medieval

Escrito por Álvaro Rendón

Publicado el Domingo, 21 Abril 2013 03:59

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Por motivos prácticos, la Geometría Clásica,heredada de los agrimensores egipcios que laaprendieron a su vez de los sumerios, empleaúnicamente la regla y el compás. Una regla lisa,sin marcas de medida, con un sólo canto y uncompás que traza arcos de circunferencia entrepuntos previamente hallados, pero no transportamedidas.

Los problemas constructivos que el geómetra debíasolucionar con esta Geometría eran muy variados.Desde unir dos puntos por medio de un segmento

y hallar un punto equidistante de ambos, contenido o exterior a los mismos; loque, en consecuencia, implicaba el conocimiento de las propiedades de laMediatriz, que podía transformarse en Bisectriz cuando se trataba de hallarpuntos equidistantes de dos rectas concurrentes (ángulo). Ambos conceptos sepodían ampliar, además, a la división y trisección del ángulo recto, y el trazarrectas perpendiculares o paralelas entre sí. Thales de Mileto descubrió un teoremaque permitía la división proporcional de segmentos; pero tuvo que esperarse a lallegada de la Geometría axiomática de Euclides para que esos incipientesprocedimientos dieran sus frutos.

¿Cómo se entendían y aplicaban en la Edad Media conceptos tan básicos comodimensión, proporción y simetría; igualdad, equivalencia o semejanza?

Para la mentalidad medieval, desconectada de los saberes clásicos, los trazadosse hacían a soga; es decir, tensando una cuerda por sus extremos y golpeandocon ella la superficie para dejar su impronta. La verticalidad, sujetando la cuerdapor un extremo y tensarla con un peso al otro extremo. Los arcos, fijando unextremo de la misma en un punto y moviendo el otro extremo alrededor delprimero manteniendo tensada la cuerda. Una cónica, fijando los dos extremos dela cuerda que se tensaba desplazando el instrumento de marcado por el interiorde la misma. Es decir, el geómetra medieval utilizaba procedimientos propios deun agrimensor, [ilustración 2.1].

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No necesitaba abstraer la forma de los objetos, ni averiguar los procedimientospara reproducir su forma de modo objetivo. De ahí, que el cantero que accedía algrado de magister debía demostrar conocimientos geométricos de ciertaabstracción. No se planteaba la naturaleza del espacio, ni si la dimensión de laforma era, o no, la medida del espacio. Para él, el espacio era “todo aquello”exterior a él, y la dimensión, las veces que cabía su vara de medir (el canon queaplicaba a todo lo relativo a la obra) en el objeto. La simetría era unacorrespondencia en igualdad entre las partes respecto de un punto, una recta oun plano. De este modo, si tomaba como límite comparativo un muro diáfano quecortase en dos partes iguales al edificio, se vería cómo los elementos de unamitad se correspondían en posición, tamaño y disposición, con los elementos dela otra.

La dimensión sólo calcula el tamaño del objeto y del conjunto, medianterelaciones entre dos partes de la misma. Cuando lo hacía podía resultar quefueran iguales en forma y tamaño, semejantes (iguales formas, diferentestamaños) o equivalentes (diferentes formas, iguales superficies). Llegar aabstraer que esta comparación se podía realizar mediante líneas paralelas queunían puntos de una y otra parte, y llegar así a aplicar el teorema de Thales deMileto, era el objetivo ue perseguía el maestro hacia su ayudante porque estacapacidad de espacialización le daba acceso a levantar planos bidimensionales oimaginarse el edificio construido.

La proporción es semejanza cuando entre ambos objetos exista una razón; esdecir, el menor está contenido en el mayor un determinado número de veces. Larazón puede ser un número entero, fraccionario o irracional. Los primitivosbuscaban siempre, una razón irracional; preferentemente fundamentadas en elnúmero phi (sección áurea o divina proporción); o elegía un elemento-clave,alrededor del cual giraría todo el edificio. Era lo que se denominaba en el argotconstructivo, la clave de bóveda: un número, una fórmula compleja, unahabitación, una forma, el diámetro del fuste de una columna, etc.

«Se deben entender como proporciones las relaciones entre las partes y el todo,relaciones lógicas, necesarias y capaces de satisfacer al mismo tiempo a la razóny a los ojos.»

En el pasado, la razón armónica se basaba en razones matemáticas,fundamentadas en el número de oro (φ), el número π o en otros númerosirracionales. Se decían herederos de maestros egipcios, griegos, romanos omusulmanes, y se ocultaban intencionadamente. Cuando alguna de estas clavesse aplicaba a la construcción de la marca, se disfrazaba u ocultaba. De ahí quenos resulte tan complicado no ya descubrirla sino demostrar que se ha empleado¿Seremos capaces de conocerla después de casi mil años estos trazados, estosmodelos, estas instrucciones? Tratemos de acercarnos a la mentalidad medievaldel cantero y averigüemos más sobre las marcas.

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Obsérvese que si tomamos un punto cualquiera de la superficie del papel [1] ytrazamos un arco, todos los puntos del mismo están a igual distancia del mismo.Algo obvio, [ilustración 2.2]. Con la misma longitud de cuerda al radio anteriortrazamos un contra-arco desde cualquier punto del arco trazado [2] quecontendrá al centro [1] y se cortarán ambos en el punto [3], equidistante de [1]y [2] y, por ello, vértices del Triángulo Equilátero [123], [Ilustración 2.2].

El Triángulo Equilátero es un polígono regular, sus lados y ángulos son igualesentre sí. Puesto que la suma de los ángulos de un Triángulo es igual a dos rectos(90º + 90º = 180º), cada ángulo del equilátero es de 60º, (180º / 3 = 60º)[ilustración 2.3].

Además de estas interesantes propiedades del Triángulo que nos ha permitido sutrazado a soga, descubrimos que las perpendiculares trazadas a los lados desdelos vértices opuestos son alturas, medianas, mediatrices y bisectrices; con laspropiedades que se conocen de cada una de ellas, [ilustración 2.3(1)]. Todasestas cevianas especiales se cortan en un punto también especial, O, queequidista de los lados y de los vértices, llamado centro del Triángulo, [ilustración2.3(2)].

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Este centro será también el centro de dos Circunferencias. Una interior, inscrita,tangente a los lados; otra exterior, circunscrita, que pasa por los vértices.Obsérvese que el radio de la Circunferencia menor es ⅓ la longitud de lamediana; y el de la Circunferencia mayor, en cambio, ⅔. De este modo, lascevianas del Triángulo Equilátero podrán dividirse en tres partes iguales y, cadauna de esas partes, ser centro de un Círculo con propiedades concretas. Lamediana A1, por ejemplo, contiene a los puntos N y O, equidistantes entre sí conlos extremos A y 1, siendo O el centro de la Circunferencia circunscrita (que pasapor los vértices), el punto N, centro de otra Circunferencia que contiene al centroy al vértice; y, finalmente, el vértice A, centro de una Circunferencia que, dehaberse trazado en la [ilustración 2.4], contendría al punto interior N. También sepodrán trazar las Circunferencias correspondientes a las dos medianas restantes.

Estas cevianas especiales dividen al Triángulo endos porciones simétricas, que, por serperpendiculares a los lados, serán TriángulosRectángulos. Así, la mediana A1, lo divide en losTriángulos Rectángulos A1C y A1B; la B2, en losB2A y B2C; y, la C3, en los C3A y C3B. En todosellos, los lados serán hipotenusas; las medianas,catetos mayores; y los semilados, catetosmenores. En consecuencia, deducimos lasiguiente propiedad: Todo Triángulo Equiláterocontiene hasta seis Triángulos Rectángulos cuyoslados están en una proporción 3:5:6

En la [ilustración 2.4], el Triángulo A1C esRectángulo; en donde, la hipotenusa, AC, es ellado del Triángulo Equilátero de partida (de valor6 unidades), el cateto 1C es igual al semilado,

AC/2 = BC/2 = 3 unidades; y el cateto A1, igual a la raíz cuadrada de raízcuadrada de veinticinco (√25), concretando la relación proporcional vistaanteriormente.

Aún se puede operar de otro modo [ilustración 2.5]. Llévese sobre la hipotenusaAC, el valor del cateto AM (haciendo centro en A y con radio AM se corta a lahipotenusa AC en el punto 1”; de modo que A1”= AM); de manera que 1”C es el

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segmento que le sobra a la hipotenusa al relacionarla con el cateto. Al llevar laporción 1”C sobre el cateto MC se comprueba que es un segmento clave derelación de los tres lados. Así, la porción 1”C=1‘C, y está contenida tres veces enel cateto MC; cuatro veces, en el cateto MA; y, por deducción, estará contenidocinco veces en la hipotenusa AC. De todo lo anterior se puede extraer la siguienteconclusión: Los Triángulos Rectángulos contenidos en todo Triángulo Equiláteroson gálibos, o Pitagóricos, y están en una relación (3:5:6).

Cuadrado primordial o Plano Básico

El Cuadrado es una de las tres formas que Pitágoras definió como básicas;. Lasotras dos serían el Círculo y el Triángulo Equilátero. Habría una cuarta forma quecompletaría la cuarteta conceptual (cuatro elementos, cuatro direcciones, cuatroestados de la materia, etc.), que sería, naturalmente, el Pentágono regular.Huelga decir que el Pentágono regular era para la Escuela Pitagórica mucho másque una forma geométrica; era su razón de ser.

El Cuadrado primordial o Plano Básico es estático y germen de muchas figuras.Las posibilidades de relación proporcional son prácticamente infinitas; aunque,sólo unas pocas son susceptibles de utilidad como recurso proporcional,[ilustración 2.6].

Individualmente, las diagonales delcuadrado lo dividen en pares de TriángulosRectángulos Isósceles, siendo su valor de√2. Tomadas a la vez, las dos diagonaleslo dividen en cuatro Triángulos RectángulosIsósceles de lados 1:√2/2:√2/2

Las mediatrices, una a una, lo dividen endos Rectángulos de lados en relación 1:½;cuya diagonal (D1) tiene un valor de √5.Tomadas a la vez, las dos mediatrices lodividen en cuatro Cuadrados de lado ½,cuyas diagonales tienen un valor de √2/2.

El punto O, centro del Cuadrado, estambién punto de equilibrio o baricentro, ycentro de las Circunferencias inscritas ycircunscritas.

El punto M, de intersección de la diagonal del Cuadrado y del Rectángulocorrespondiente es armónicamente asimétrico y punto áureo.

El cuadrado es germen de muchos Rectángulos, estáticos y dinámicos;dependiendo de si se aplican razones aritméticas o fraccionarias. La sencillez desu trazado pareja con la eficacia y armonía lograda. De ahí que se haya utilizadoen todas las épocas. Así, la [ilustración 2.7] muestra tres procedimientos simplesbasados en el empleo de arcos de radios el lado o cualquiera de las diagonalesdel Cuadrado, y centro en cualquier vértice del mismo.

En la [ilustración 2.7(A)], el Rectángulo obtenido es de superficie menor alCuadrado ABCD de partida, contiene al Triángulo Equilátero ATB y tiene una ratio1:√3; puesto que la altura de todo Triángulo Equilátero de lado la unidad es √3.Obsérvese que su obtención es muy sencilla. Bastará trazar arcos con radio ellado del plano Básico, que se cortarán en el vértice M del equilátero, por el quepasará el lado del Rectángulo buscado.

La [ilustración 2.7(B)], muestra otros procedimientos de obtención deRectángulos proporcionales, partiendo del Cuadrado. El centro O es el deintersección de las diagonales y medianas del mismo. El centro H es el de

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intersección de las diagonales del Rectángulo de superficie igual a la mitad delplano Básico; y T, es el pie de su mediana vertical. Con centro en T y en H yradios respectivos TD y HD, se concretan los puntos 3 y 4, por los que podránpasar lados de Rectángulos armónicos De la misma manera, se podrán hacercentro en los mismos puntos anteriores, T y H, y con radios las distancias TM yHM, obtener los puntos 2 y 1, respectivamente, por los que podrán pasar tambiénlados de Rectángulos armónicos.

La [ilustración 2.7(C)], muestra el procedimiento para concretar el punto M,sobre la diagonal. Los segmentos discontinuos paralelos a los lados que contienena dicho punto M, determinarían sobre los lados puntos que permiten de nuevasdivisiones de los mismos. Los Rectángulos así obtenidos guardan relacionesproporcionales con el plano Básico de partida, que podrían servir para trazadosmás complejos.

Otro procedimiento para obtener Rectángulos estáticos a partir del Cuadrado esel denominado método de partes, o aritmético. Está basado en los trazadoscontenidos en los escritos dejados por el boloñés Sebastiano Serlio, que trabajóen el estudio de Palladio; y, con posterioridad, recogidos en el Cesarianode MarcoVitrubio. Hemos tenido acceso a la edición española de su célebre DeArchitetttura. En la [ilustración 2.8] se muestran cuatro ejemplos de Rectángulosaritméticos. Los lados de los Planos Básicos, las ilustraciones 2.8(A) y 2.8(B), sehan dividido en cuatro partes iguales. En el primero, se ha añadido por arriba unade esas partes, transformando el Cuadrado en un Rectángulo de ratio [5:4]. En elsegundo, se han añadido dos partes, transformándolo en el Rectángulo de ratio[6:4]; o, lo que es lo mismo, [3:2] al reducir la fracción.

En la [ilustración 2.8(C) y 2.8(D)] los lados de ambos Planos Básicos se handividido en tres partes iguales. En el primero, se ha añadido una de esas parteshasta transformar lo en el Rectángulo de ratio [4:3]; en el segundo, en cambio,se le han añadido dos partes, transformándolo en el de ratio [5:3].

El Rectángulo aritmético que expone la [ilustración 2.8(E)] tiene de ratio [2:1];y, como se puede apreciar, se han realizado en él algunas operaciones quemuestran las posibilidades de obtención de nuevas relaciones, empleando lasdiagonales √2, √3 y √5. Los puntos interiores H y T, pueden utilizarse comopuntos-contenedores de lados de posibles Rectángulos. Obsérvese, no obstante,la posición del punto N, punto-medio del lado superior DC, de intersección con elarco de centro el vértice B y radio la diagonal √5, del Rectángulo equivalente a lamitad de la superficie total del plano Básico de partida.

El Rectángulo de la [ilustración 2.8(F)] es irracional y de ratio [1 : √2]; en el queuno de los lados es igual a la diagonal del Plano Básico.

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La [ilustración 2.8(G)] muestra una manera curiosa de trazado de un Rectángulofi (φ) de ratio [1 : 1+√5/2], debido a Palladio. Se divide el Plano Básico en dosRectángulos iguales. Tomada la diagonal de uno de ellos y llevada sobre laprolongación de uno de los lados, se obtendrá el lado de un Rectángulo, delongitud [½ + √5] ó [1 + √5/2]; y, en consecuencia, un Rectángulo áureo.

Una vez obtenido el Rectángulo deseado, recurriendo a algún procedimiento delos vistos hasta ahora, se pueden concretar puntos interiores que cumplan leyesde armonía o, simplemente, relacionen los lados del mismo. Una alternativa seríaunir puntos notables de los lados del Rectángulo (puntos-vértices, puntos demedianas o puntos obtenidos directamente por arcos de Círculo, etc) y obligarlosa que se corten. Bastará trazar paralelas a los lados por estos nuevos puntosinteriores de intersección segmentos de relación para obtener una retícula derelación. Estos segmentos darán, a su vez, nuevos puntos en los lados quepodrán emplearse como extremos de otros, en una actividad infinita, como seexpone en [ilustración 2.8(H)]. No es normal el empleo de tantas líneas auxiliaresdurante el trazado de plantas. El maestro sabía, de antemano incluso, lo quequería y no especulaba con líneas, sino que iba directamente a satisfacer suinterés. No obstante, el procedimiento anteriormente indicado es una de tantasposibilidades disponibles, que se utilizará o no, dependiendo de las necesidades.

En el ejemplo expuesto, se han tomado como puntos de referencia, las divisiones, , y 5/5 del lado superior y los vértices del Rectángulo; se han unido entre

ellos del modo como se explica gráficamente, hasta concretar los puntosinteriores marcados. Podía haberse utilizado otro criterio de unión, con resultadosdiferentes aunque igualmente válidos. En cualquiera de los casos, dada lasimplicidad de empleo de la fórmula permite libertad absoluta al arquitecto,teniendo la seguridad de estar relacionando armoniosamente las partes delRectángulo con el todo; que, para el caso de tratarse de la nave de un edificio,obtendría con ellos divisiones que concretarían situaciones de huecos, elementosconstructivos o decorativos de cierta relevancia. Definamos en el apartado

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siguiente algunos de estos Rectángulos irracionales vistos aquí y conozcamos mássobre ellos.

Rectángulos irracionales

• Rectángulo áureoLa diagonal del Rectángulo obtenido por la división de un cuadrado en dos partesiguales mide, indistintamente, √5 ó √5/2; dependiendo de si se toma comomedidas 1 y 2 partes, ó 1 y ½ partes.

En la [ilustración 2.9] se hantomado las de esta última,resultando √5/2. Al llevar estalongitud sobre la prolongacióndel lado de la base delcuadrado dado ANMD, seobtiene el punto B; de modoque, al lado AB es iguala [√5/2 + ½ = (1 + √5)/2 =1,618];

Siendo el Rectángulo ABCD, áureo por tener como lados 1 y 1,618.

El trazado expuesto en la [ilustración 2.10] resuelve el problema de construir unRectángulo áureo partiendo de un cuadrado, ANMD, o de un Círculo de centro O yradio MN. Si se parte del Círculo, bastará trazar la tangente AN por el extremo Ndel diámetro MN y llevar sobre ella la longitud MN, obteniéndose el extremo A,desde el que se traza la perpendicular AO que corta al Círculo en los puntos 1 y2. De este modo, las longitudes A1 = 0‘618 y A2 = 1,618

Obteniéndose los Rectángulos AB’C’D y ABCD; ambos, áureos.

Si se parte del cuadrado ANMD, se siguen los pasos expuestos en la [ilustración2.10(2)]. Obtenido el punto medio del lado vertical del mismo, centro del Círculode diámetro el mismo lado [ilustración 2.10(3)], y unido el vértice más alejadode la base con dicho punto medio [ilustración 2.10(4)], se obtienen los puntos 1y 2; que, como se ha visto en el procedimiento anterior, determinan lossegmentos áureos y, en consecuencia, los Rectángulos buscados [ilustración2.10(5)].

• Rectángulo vesicular o egipcio

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El Rectángulo vesicular se conoce porque los hebreos lo utilizaron como razónproporcional con la que construyeron sus principales símbolos: El Arca de laAlianza, un paralelepípedo cuya base rectangular medía 11,2 m x 6,9 m;elaborado, como se sabe con madera de acacia y recubierto con planchas de oro.También utilizaron las proporciones del Rectángulo vesicular para construir elprimer Tabernáculo, de forma rectangular y medidas de 50 x 100 codos; es decir,dos cuadrados adosados de 50 codos de lado cada uno, [ilustración 2.11];levantado mediante tablas verticales de madera de acacia, recubiertas de oropuro: 20 tablas al lado norte, 20 tablas al lado sur, 6 tablas al lado oeste y 6tablas al este.

Estas mismas medidas se utilizarán en la construcción del mítico Templo deSalomón, en Jerusalén, y que la Cristiandad imitará para levantar las iglesias yCatedrales.

«La Casa que el rey Salomón construyó para el Señor tenía treinta metros delargo, veinte de ancho y quince de alto.» (I Reyes 6: 2)

El Rectángulo vesicular o egipcio es de ratio 2:3 ypuede descomponerse en seis Planos Básicos, tresRectángulos de ratio 1:2; dos Rectángulos de ratio1:3; o dos Rectángulos 1‘5:2; lo que permite muchostrazados armónicos. Uno de ellos, el más conocido, elde la vesícula piscis, compuesta por dos Círculos quecontienen los centros respectivos; posibilitandomultitud de trazados auxiliares.

Las medidas dadas por Yahvé para el templo erigidoen Jerusalén, coinciden proporcionalmente con las delRectángulo egipcio. Su disposición permite muchasrelaciones. Nosotros hemos encontrado algunas más.

Obsérvese en la [ilustración 2.12] que el segmentoque une los vértices del Rectángulo con el centro delCírculo tangente interior más alejado corta al ladomenor en puntos que equidistan del vértice opuesto y

del punto medio del lado correspondiente; de tal modo, que divide al lado encuatro partes iguales. Es decir, la recta que parte del vértice C y contiene alcentro O1 (el más alejado del mismo) corta al lado de la base, AB, en un punto ¼

que equidista de A y del punto medio ½. Obviamente, idéntico resultado seobtendría si se une el vértice D con O1; o los vértices A ó B con O2.

La estructura del Rectángulo egipcio permite laobtención directa del número áureo.

Bastará seguir el trazado visto en el apartadoanterior [ilustración 2.11], y considerar alcuadrado TNCD, como el plano Básico de partiday el Círculo de centro O1.

La recta que une el vértice C con O1, corta al

Círculo en los puntos 0,618 y 1,618, siendomedias proporcionales de los lados delRectángulo egipcio.

Al llevar la primera longitud 0‘618 sobre loslados del ángulo de vértice C, se concretarán lospuntos T1 y T2 que dependen de otro T,

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conteniendo a su paso a puntos característicos del Rectángulo egipcio, Q y O1. El

punto Q ya se obtuvo anteriormente por el concurso del segmento DO1.

• Rectángulo cordobésRecibe el nombre por su utilización en la Mezquita de Córdoba. Su trazado puedepartir de un plano Básico, AD1C1B1, [ilustración 2.13], o de un segmento tomado

como lado mayor del mismo.

Cuando se parte del plano Básico, se tomada el arco de radio la diagonal delcuadrado dado, AC1, y se llevará sobre la prolongación del lado AB1, que lo

cortará en el punto B, perteneciente ya al Rectángulo cordobés buscado.Tomando la longitud BC1 como radio de un nuevo arco, se obtendrá vértice C

sobre la paralela al lado superior del plano Básico por B. Sólo restará llevar laperpendicular CD sobre la prolongación del lado de la base para resolver eltrazado.

Cuando se parte de un segmento, considerado como lado mayor del Rectángulo,el trazado se auxiliará de la diagonal del cuadrado que, como se sabe, es bisectrizdel ángulo del mismo, y mide 45º.

De este modo, el arco de centro uno de los extremos del segmento y radio sulongitud cortará a la diagonal del cuadrado en el punto C1. A partir de él gira el

resto del trazado, que se resolverá mediante perpendiculares y paralelas alsegmento dado y siguiendo la construcción del trazado adjunto.

• Rectángulo pi [π]Es un Rectángulo que tiene comolados la unidad y el valor de π, iguala 3,1416; excesivamente alargado;

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razón por la que no suele utilizarse.Se menciona aquí por por meracuriosidad, demostrando que laformación de Rectángulos sólo tienelos límites que marca la imaginacióndel geómetra. Es improbable quefuera una construcción medievalporque los procedimientos derectificación de la la Circunferenciafueron aproximados hasta el sigloXVIII.

En la [ilustración 2.14] el Rectángulo tiene de lados el radio (r) y la rectificaciónde media Circunferencia, siguiendo el método de Kochavsky. Su construcciónparte de la longitud del diámetro NM de la Circunferencia de centro O es NM; elángulo de 30º trazado por O, corta a la perpendicular a NM por M, en el punto J,desde el que se toman tres veces el radio, concretando el extremo B. Elsegmento BN es la rectificación de la semi-circunferenica. Bastará llevar estalongitud sobre MB y hallar el vértice A, perteneciente ya al Rectángulo buscado.

• Rectángulos √2, √3, √5La diagonal de un Cuadrado es igual a la raíz cuadrada de dos, √2; por estarazón, se podrá utilizar como lado del Rectángulo irracional denominado √2,[ilustración 2.15], AB1C1D. De igual modo, la diagonal del Rectángulo √2, es raíz

cuadrada de tres, √3; por eso se podrá utilizar para trazarlo, AB2C2D, sin que

revista más complicación.

La diagonal del Rectángulo √3, es 2; luego el Rectángulo AB3C3D, es doble del

Cuadrado de partida, ABCD. La diagonal de este Rectángulo de ratio 1:2[Rectángulo vesicular o egipcio, estudiado anteriormente] es raíz cuadrada decinco; por eso se podrá utilizar para trazar el Rectángulo √5, AB4C4D, y resolver

el problema.

Pentágono regular

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Es un polígono de cinco lados igualesentre sí. El convexo puede contenerhasta tres tipos de Triángulos isósceles:el AOB, que tiene iguales los lados delconvexo; el ADB, que tiene iguales losradios de la Circunferencia que loinscribe; y, finalmente, el DBC, que tieneiguales las apotemas, [ilustración 2.16].

El Pentágono regular se considera unpolígono asimétrico. Para que lo sea, losdiámetros deben tener por extremos dosvértices opuestos del mismo. En elPentágono, los diámetros que contienen

vértices del polígono cortan ortogonalmente a los lados opuestos a los mismos;dividiendo, de este modo, a los Triángulos isósceles tipo en dos partes iguales.Estos diámetros, además, serán alturas, mediatrices, bisectrices y medianas delvértice correspondiente.

El Pentágono regular estrellado es único y continuo; es decir, al unir los vérticesno-consecutivos, y recorrer todo el perímetro del convexo, se acaba por el mismovértice que se comenzó sin levantar el lápiz del papel, [ilustración 2.17]. Elángulo interno del convexo es de 72º, y el del estrellado, de 22º30’.

Los lados del estrellado se cortan entreellos según un nuevo Pentágono estrelladomenor, denominado núcleo, que posee dospropiedades: Su orientación es invertidarespecto del de partida; y guarda unarelación proporcional con el mayor deaproximadamente 0,618, el numero phi.Es decir, las porciones de lados delestrellado se cortan según división áurea.El segmento AC1 es 0,618 veces el lado

del convexo; y, la porción C1C, 1,618

veces el lado del convexo.

Las relaciones interiores que puedenestablecerse en el interior de un planoBásico son increíbles y muy provechosas,como se ha podido comprobar en nuestro anterior trabajo.

En la [ilustración 2.18] se muestra cómo una de estas relaciones del Cuadradoprimordial permite construir un Pentágono regular convexo, partiendo de unCuadrado de lado el mismo que el del Pentágono que se desea construir. Eltrazado se basa en hallar el centro de la Circunferencia que circunscribe alpolígono. Así, con centro en N, pie de la mediatriz del cuadrado ABCD, de ladodado, se traza el arco de Circunferencia que contiene a M y corta a los ladoslaterales en los puntos E y E’. De igual manera, con centro en E y radio EN, setraza el arco que corta al lado opuesto en el punto F; estableciéndose la relaciónEF que corta a la Mediatriz en el punto 5, centro de las Circunferencia quecircunscribe al Pentágono regular correspondiente; que podrá trazarserecurriendo a uno cualquiera de los procedimientos conocidos.

El Pentágono regular estrellado posee un sólo Rectángulo interior que puedautilizarse como base estructural de la planta de un edificio sagrado, el que tienepor vértices los puntos D y C y contiene al A, superior. Los Círculos de centroO1 y O2 son tangentes a tres de los lados del mismo y se cortan según un

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segmento que contiene a M, centro del Rectángulo obviamente, [ilustración2.19]. La Circunferencia de centro O1 y tangente interior al Círculo que

circunscribe al polígono no tiene otra característica de relación; al igual que lospuntos interiores 1, 2, 3, 4 y O1, que pueden ser utilizados como referentes.

Finalmente, las rectas que conforman lacuadrícula-base del Pentágono regularestrellado continuo pasan por los vértices A,E, B, D y C, tanto verticales comohorizontales; y por los puntos interioresdonde se cortan os lados del estrellado. Noes una cuadrícula con posibilidades paraformar parte de la estructura genérica deuna planta de edificio por ofrecer pocasvariantes. Es una cuadrícula que podríaprestarse más bien como estructura depequeños detalles constructivos, integradosen una estructura mayor, más global.

Empleando los procedimientos simplesanteriores se puede trazar casi cualquier

polígono, regular e irregular, partiendo del Triángulo Equilátero y del Cuadrado; y,en consecuencia, conocer las relaciones proporcionales entre sus elementos.

En la Escuela Pitagórica, tan dados al simbolismo del número, sólo considerabanfiguras perfectas al Triángulo Equilátero, contorno de la Tetratkis: Sus ladosestán compuestos por los vértices y el centro que, a su vez, es pie de la Altura,Mediana, Mediatriz y Bisectriz; el Círculo, desarrollo armónico y completo delpunto-germen; y el Cuadrado material.

Muchas marcas de canteros recurren a la forma del Pentágono estrellado. Ladificultad de su construcción deriva en conocer la altura del vértice superior delpolígono que es la altura de un Triángulo isósceles que es media proporcionalentre los lados del mismo y en la Geometría Clásica los procedimientos detrazados quedan limitados, como se ha visto, a la regla y al compás. Laconstrucción que se conoce es aproximada, y es la que emplean nuestrosestudiantes que poseen limitados conocimientos geométricos. Es, por ello, unaconstrucción inexacta pero de trazado simple y sencillo. Consiste en relacionarsus lados con el Cuadrado y el Hexágono regular.

En la [ilustración 2.20], la Circunferencia primordial, orientada parcialmenteservirá para explicar lo que decimos. Tomando el extremo superior de la direcciónvertical, se traza el arco de radio idéntico al de la Circunferencia de partida,dividiéndola en seis partes iguales, como sabemos; aunque, en la ilustración nose ha obtenido más que el primer arco divisor.

Pues bien, para trazar el Pentágonosemirregular estrellado, tal como hemosdescubierto en muchas marcas de cantero, seunen los puntos A-B-C-D y E; de manera quelos dos inferiores (B y D) corresponden a ladivisión de la Circunferencia en ocho partes, ylos dos superiores (D y C)a la división de laCircunferencia en seis.

Las construcciones clásicas del Pentágonoregular dado el lado son aproximadas y se basanen construir un Triángulo Isósceles de ánguloopuesto 36º. Un Triángulo de estascaracterísticas tiene una longitud de alturaprincipal igual a una vez y media el lado de la base. Por ello, se lleva esta

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distancia, hasta obtener el vértice N; de modo que el Triángulo obtenido ANBtiene la propiedad de poseer el ángulo opuesto a la base de 36º.

Si esto es así, y es isósceles, los ángulos de la base son iguales y de 108º.Bastará prolongar los lados iguales del isósceles para tener la inclinación de loslados del Pentágono regular, con la seguridad de que los ángulos de la baseserán de 72º, en suplementario de 108º. Bastará llevar el lado del Pentágonodado para concretar el Polígono regular. Naturalmente, esta construcción eracomplicada para el cantero que prefería el trazado aproximado visto en el párrafoanterior; pues debía conocer la relación proporcional de la diagonal delRectángulo de lados 1 y ½, equivalente a la √5/2 (raíz cuadrada de cinco,dividido por dos); ó √5, cuando consideramos el Rectángulo de lados en larelación 1 y 2. Por tanto, se halla el punto medio n del lado de la base, ylevantada la perpendicular NM, se lleva la distancia N-M a ambos lados laterales,obteniéndose el punto E. Las distancias E-N y E-F son idénticas; de ahí que elsegmento EF corte a la perpendicular del inicio en el centro 5 de la Circunferenciaque circunscribe al Pentágono regular cuyo lado es idéntico al del Cuadrado departida.

La construcción más exacta y la que se emplea en la actualidad, se basa en elconocimiento de Potencia de un punto respecto de una Circunferencia. En la[ilustración 2.21], se ha partido del lado A’B. Con diámetro el lado dado se hatrazado la Circunferencia de centro O.

Obsérvese que este centro está en el punto medio del segmento perpendicular adicho lado por su extremo A’, siendo tangente al mismo. La perpendicular a laCircunferencia O desde el punto exterior B, el otro extremo del lado, estableceuna relación de media proporcional muy interesante.

Por Potencia se tendra que A’-B = B-A • B-N [que se puede expresar comoproporción: B-A/A’-B = A’B/B-N; siendo A’-B el segmento que hace de medioproporcional). De este modo, averiguamos la altura del Triángulo isósceles deángulo opuesto a la base de 36º, y, en consecuencia, la construcción exacta delPentágono regular.

Puesto que la longitud de la perpendicular a la Circunferencia por el extremo Bestá en la misma relación proporcional, se puede construir el Pentágono regularconsiderando el lado del anterior como diagonal del nuevo Pentágono regular.Ambas exigen, ademas, un detallado planteamiento formal que, en el pasado, seaprendía a pie de obra, atendiendo a su transmisión oral.

En la [ilustración 2.22] se expone la

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construcción aproximada del Pentágonoregular convexo. Se parte del lado delPentágono a la que se halla su mediatriz; apartir de la cual (pie M de la perpendicularal segmento-lado AB) se transportan unavez y media el mismo lado, concretándoseel punto ½. Se une el punto ½ con losextremos del lado de partida. Sobre lasprolongaciones de los lados 1/2A y 1/2B.Obsérvese que el Triángulo isóscelesobtenido [1/2AB] tiene por ángulo opuestoa la base AB el complementario del ángulodel Pentágono convexo que se deseatrazar. A partir de aquí la construcción essencilla.

La cuadrícula del Pentágono regularestrellado se obtiene haciendo pasar rectashorizontales y verticales por los principalespuntos de intersección de los lados; esdecir, diez puntos básicos: los vértices delPolígono estrellado de partida y el convexo

interior, su núcleo.

La utilidad de la cuadrícula es obvia: Permite estructurar un espacio planomediante cuadratines armónicos que el maestro arquitecto puede seleccionar aconveniencia de la obra. Obsérvese que el Círculo primordial se ha quedado fuerade los límites del Pentágono.

La disposición estrellada del Pentágono sugiere la idea del microcosmos sisabemos colocar sobre ella los signos representativos La estrella, formada porestos elementos principales, es típicamente el paradigma microscópico, queresume la acción del hombre en el Macrocosmo, [ilustración 2.23].

Se conoce la importancia del péntaculo en el ceremonial teúrgico. Hay que anotaraquí que el pentagrama formado no está invertido, lo que indicaría pasividad,signo de que la punta está hacia arriba (norte); el hombre actuando sobre lamateria. Este pentagrama con la punta hacia arriba es un símbolo de acción,como el signo de unión de los discípulos de Pitágoras, que representa a unhombre con los brazos en cruz, al contrario del pentagrama invertido con las 2puntas hacia arriba, símbolo pasivo, que representa una "cabeza de chivo",principio de negación.

La piedra de comando corresponde a Júpiter,el Gran Señor del Cielo, el que forja los jefes.La encina es simbolizada por Venus, el astrosimilar a la Afrodita de los griegos, queefectúa la unión entre los mundos.

El Sol, materializado por el menhir, es elpunto de partida del sistema. Marte es el Esode los galos, astro que crea la división, lapiedra del ara, el dolmen de la primera piedrade base. Saturno, inherente al maleficio, es elsegundo dolmen de la base, formando así lapareja de la santificación, el equilibrio de lamesa de expresión del menhir. Las dospiedras de equilibrio son, además, Mercurio,el intelecto, y la Luna, la intuición; es decir, el razonamiento y el impulso. No se

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trata aquí de coincidencias, como tampoco el caso de la disposición de elementosque componen un aparato de radio que sabe leer las ondas con las que podemosoír lo que se comenta en el Estudio. Hace siglos, esto habría sido calificado demágico y nuestros físicos tenidos por brujos.

Si los términos han cambiado, ¿por qué disgustarse por estos vocablos? Noexistiendo ya la alquimia, ¿no es la brujería una hiperquímica? Donde muere lafísica, la magia comienza.

No hay nada sobrenatural. Existe lo supranormal, cuando hablemos de fluidos,vibraciones, rayos, lo cual no se puede ya negar, como se podía hacer dos o tressiglos antes. Estamos en la aurora de una Nueva Era, donde el saber antiguovuelve a tomar su puesto. Ojalá puedan los hombres, con su espíritu abierto,ayudar a los investigadores serios a volver a conquistar las riquezas espiritualesde otrora.

Hexágono

El Hexágono regular es un polígono de seislados iguales entre sí, simétrico y susceptiblede dividirse en seis Triángulos equiláterosinteriores, obtenidos por el concurso de sustres ejes de simetría. Esta particularidad,permite establecer múltiples relacionesinternas y el haberse utilizado como formaglobal de partida de muchas plantes derecintos sagrados, [ilustración 2.25]. Los seisángulos interiores de polígono convexo es de120° y el del estrellado de 60°. Las apotemascontienen al centro y son perpendiculares a loslados opuestos por sus puntos medios;formando ángulos de 30° con los ejes.

El Hexágono estrellado es discontinuo y sus lados se cortan entre sí segúnporciones iguales; de modo que, el núcleo es un tercio el de partida.

Al combinarse un hexágono convexo con su estrellado, los ángulos se conjugansegún 30°. Obsérvese la [ilustración 2.26], la horizontal trazada por el vérticeinferior determina tres ángulos iguales a 30°, que completarían el de noventa queforma el eje vertical con la línea de base. De este modo, se convierte en uno delos polígonos más regulares.

El punto M, en el punto medio del lado FB del estrellado, es centro de unaCircunferencia que contiene al centro del polígono y al vértice A; estableciéndoseque los lados del Hexágono estrellado dividen al eje en cuatro partes iguales. Dela misma manera, estos lados dividen a las apotemas del convexocorrespondiente en seis partes iguales, como lo demuestran las Circunferenciasde centros O1, tangente interior al lado FE; la O2, tangente interior al lado BC; y

la O, tangente a las anteriores.

El Hexágono regular estrellado posee un sóloRectángulo interior [ABNE] que puede utilizarsecomo base estructural como planta de edificiosagrado, el que contiene a los vértices A y B,extremos de su eje vertical y de lados paralelosy perpendiculares al mismo.

Los Círculos de centro en O y radiosconvenientes, serán tangente al núcleo delHexágono y cortará a los lados del mismo,

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respectivamente, [ilustración 2.27]. Los paresde lados paralelos de todo hexágono regularestrellado y los del convexo comprendidos,forman un Rectángulo ECBF, de ratio 1:2√5, con nuevas posibilidades de análisisy relación geométricos.

Finalmente, la cuadrícula-base del Hexágonoregular estrellado discontinuo está formadapor muy pocas rectas; las que contienen a losextremos del eje principal, A y D, horizontalesy vertical; las que contienen a los pares devértice F-B, E-C, y F-E, B-C [ilustración 2.28].Como se veía para la cuadrícula delpentágono regular estrellado, no es esta unacuadrícula con muchas posibilidades paraformar parte de la estructura genérica de unaplanta de edificio por ofrecer escasasvariantes; aunque, como aquella, se prestacomo estructura de pequeños detalles

constructivos, integrados en una estructura mayor, más global.

Si se sigue la magnífica obra de Honnecourt [Livre de Portraiture, Honnecourt,Villard; Mayo, 1642] se deduce que el maestro constructor y, previsiblemente, elmaestro cantero, estaban preocupados en hallar las estructuras internas de losseres y objetos. Es un modo incipiente de abstracción de la forma natural que nosmueve a imaginar que las marcas de canteros no son más que expresionesabstractas de la misma. ¿Poseía el cantero esta capacidad de abstracción?

Y si así fuera, ¿la aplicaba en la concepción de sumarca de identidad?

Ahora sabemos que algunas de estas retículas seemplearon como método de articulación ydistribución de vanos interiores de edificios por sucapacidad para crear espacio en orden y empatía.Es probable que al final de la Edad Media seempleaban recursos para controlar formalmente eledificio; y que estos recursos se basaban en unamatriz geométrica.

Probablemente no sea más que un sistema simplede relación proporcional basado en analogías y semejanzas; pero, no dudamos deque ha resultado ser efectivo en el control del trazado completo.

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