GEOMETRÍA PLANAY DEL ESPACIO

EN LA ACADEMIA DONDE PLATÓN IMPARTÍA SUS ENSEÑANZAS SE

LEÍA:

“NADIE ENTRA SIN SABER GEOMETRÍA”

Definición de Geometría

La geometría trata de la medición y de las propiedades de puntos, líneas,

ángulos y sólidos, asi como de las relaciones que guardan entre sí.

Términos no Definidos

Los conceptos geométricos básicos son abstractos y existen solo en nuestra mente.

Un Termino no definido se usa cuando la palabra es tan elemental y se supone que todos conocen su significado. Además no es posible definirlos en base a otros elementos ya conocidos

En Geometría se usa los términos: Punto Recta Plano

Estos se consideran términos primitivos o no definidos porque solo tienen explicación a través del uso de ejemplos y descripciones. Sin embargo, ellos sirven para definir otros términos y propiedades geométricas.

Términos no Definidos

El punto

Los puntos no tienen medida. Son represetados por letras mayúsculas y no tienen dimension (largo, alto, ancho).

A B

C

La recta

Una recta se extiende al infinito en ambas direcciones y carece de ancho. Las rectas se nombran con minúscula.

b

C

A

¿Cómo identificar las rectas?

La recta que aparece abajo es la recta b. Si se conocen los nombres de dos puntos de una recta, entonces esta recta puede identificarse por estos dos puntos. En este ejemplo, los puntos A y C están sobre la recta b, por tanto se pueden hacer referencia a la recta b de varios modos:

Palabra: recta AC recta CA

Símbolo AC CA

b C

A

El planoUn plano se extiende al infinito en

toda dirección y no tiene grosor alguno. Los planos se representan regularmente con una figura de cuatro lados y se nombran con letras mayúsculas o tres puntos colineales.

¿Cómo identificar el plano?

B

A C R

La figura de arriba puede denominarse plano R o plano ABC.

El espacio

El espacio es infinito, es tridimencional, es el conjunto de todos los puntos.

Una dimensión: punto, recta, semirrecta y segmento.

Dos dimensiones: ángulos, polígonos, circunferencia y círculo.

Tres dimensiones: cuerpos geométricos (poliedros y figuras de revolución).

EL PUNTO

Puntos Colineales.- Son aquellos que pertenecen a la misma recta L.

Puntos Coplanares.- Son los que pertenecena un mismo plano Π.

Ejemplo: Observe que los puntos A, B y C están contenidos en la recta i. Estos puntos se dice que son colineales. El puntos D no es un punto colineal ya que no pertenece a la recta i.

A

B

C

D

i

Ejemplo:

Los puntos Q, R, S y T son coplanarios ya que cada uno esta en el plano E. Las rectas m y k son coplanarias al estar las dos en el plano E.

U

m k T

Q R S

E

Puntos o rectas que no estan contenidos en el mismo plano son no coplanarios. Los puntos Q, R, S, y U son no coplanarios.

Indica los puntos colineales:

a) D,U J w F p

b) A,B H G T

c) G,F e

d) J,T

Indica los puntos coplanarios:

a) Q,T,R,S J w p

b) H,N,V,M H G

c) I,O,F,L F T e

d) H,G,J,F

Tenemos infinitos puntos alineados, y si los colocamos muy cerca unos de otros, obtendremos una línea recta

.........................................................................................................

Luego podemos definir línea recta como la sucesión de infinitos puntos alineados.

Al estar formada por infinitos puntos, una línea recta no tiene ni principio ni fin.

Por un punto pasan infinitas rectas

Por dos puntos pasa una sola recta

RECTAS SECANTES

Son las que se cortan en un punto

El punto en el que se cortan se llama PUNTO DE

INTERSECCIÓN

RECTAS PARALELAS

Son las que no tienen ningún punto en común

SEMIRECTA O RAYO

Dibujamos una recta, y señalamos en ella un punto P.

Este punto divide a la recta en dos partes. Cada una de esas partes es una SEMIRRECTA

SEMIRRECTA SEMIRRECTA

El punto P es el origen de cada una de las semirrectas.

P

Definimos semirrecta como:

La porción de recta limitada por un punto

SEGMENTO

Dibujamos una recta, y señalamos en ella dos puntos A y B.

Estos dos puntos determinan una porción de recta llamada SEGMENTO

SEGMENTO

Los puntos A y B son los EXTREMOS del segmento.

A

Definimos segmento como:

La porción de recta limitada por dos puntos

B

Comprueba lo aprendido

Encuentra el segmento correcto:

M R N S L Q 1) NS 2) RQ 3) LS 4) ML

Ángulo es la porción de plano limitada por dos semirrectas que tienen el mismo origen

ÁNGULO

Vértice

Lado

Lado

O

A

B

AOB

Los ángulos pueden nombrarse de tres formas distintas:

● Por las letras mayúsculas correspondientes a las semirrectas, colocando en medio la letra vértice: ABC ó CBA.

● Por una letra o número colocado en la abertura a.

● Por la letra del vértice B.

ÁNGULO RECTO

a

b

Rectas perpendiculares

Ángulo recto es el que tiene sus lados perpendiculares.

El ángulo recto tiene un valor de 90º.

ÁNGULO LLANO

Ángulo llano es el formado por dos semirrectas que tienen el mismo origen y sentidos opuestos

El ángulo llano tiene un valor de 180º, es decir dos rectos.

ÁNGULO AGUDO

Ángulo agudo es aquel que es menor que un recto, es decir mide menos de 90º

ÁNGULO OBTUSO

Ángulo obtuso es aquel que es mayor que un recto, es decir mide más de 90º

ÁNGULO COMPLETO

Ángulo completo es aquel que sus lados son la misma semirrecta. Su valor es de 360º

ÁNGULOS CONSECUTIVOS

Son los que tienen el vértice y un lado comunes.

1

2

El ángulo 1 y el ángulo 2 son consecutivos

ÁNGULOS ADYACENTES

Son aquellos que son consecutivos y que el lado no común está en la misma recta

1

2

El ángulo 1 y el ángulo 2 son adyacentes

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

Ángulos complementarios son los que juntos suman 90º, es decir, un ángulo recto.

30º

60º60º

90º

ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

60º120º

120º

Ángulos suplementarios son los que juntos suman 180º, es decir, dos ángulos rectos.

180º

Bisectriz

La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que divide al ángulo en dos partes iguales. Un ángulo tiene exactamente una bisectriz.

Ejemplo:

La semirrecta OA es bisectriz del ángulo O si se cumple que: 1= 2

Practiquemos…

Nombre 1 de otras dos formas

G H

D 1 2

E 1) HEF , FEH

2) GED , DEG

3) GEH , HEG

4) DEH , DEG

Comprueba lo que aprendistes

Identifica la mejor definición para el término vértice:

a) Es el conjunto de todos los puntos.

b) Semirrecta que divide el ángulo en dos

partes iguales.

c) Es el punto en común que es el origen de

los lados.

d) Unión de dos segmentos.

Comprueba lo que aprendistes

Nombra un rayo que parezca ser bisectriz de un ángulo y un ángulo que parezca ser bisecado. R

F D

B C

1) JS 2) OP 3) FD 4) AG

Vamos a practicar…Nombra dos angulos recto: A E

B P D

T

1) APB , APD2) BPE3) DPE , TPE4) APE